curso de matemÁtica bÁsica · curso de matemÁtica bÁsica. programa de educaÇÃo tutorial...
TRANSCRIPT
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Aula 01
• Introdução a Geometria Plana – Ângulos• Potenciação• Radiciação
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria PlanaIntrodução:
No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos: O ponto, a reta e o plano. Os mesmos são os pilares da construção da Geometria.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria PlanaPostulados da Geometria:• A reta tem infinitos pontos;• Dois pontos distintos determinam uma única reta;• Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta
paralela a essa reta. (Postulado das retas paralelas ou Postulado de Euclides.).
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria PlanaSegmento de Reta:
Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e B, podemos definir o segmento de reta AB, como sendo o conjunto dos pontos da reta r, situados entre A e B, incluindo-se estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria Plana• Ângulos:
Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas e determinam dois ângulos: um de abertura “a” (ângulo convexo) e outro de abertura “b” (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e “a” é a medida deste ângulo.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria PlanaMedidas de Ângulos:
A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo: °). Um ângulo raso, aquele formado por duas semi retas opostas, mede 180°.
A metade de ângulo raso é denominado ângulo reto, e sua medida é 90°. O ângulo em volta de uma volta completa, corresponde a dois ângulos rasos e portanto sua medida é 360°.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria Plana• Ângulo agudo: é aquele cuja medida situa-se entre 0°e 90º.• Ângulo obtuso: é aquele cuja medida situa-se entre 90°e 180°.• Ângulos complementares: são aqueles cujas medidas somam 90º.• Ângulos suplementares: são aqueles cujas medidas somam 180°.• Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Introdução a Geometria Plana• Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles
cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição:
“Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.”
• Bissetriz de um ângulo: é a semi reta única que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes(ou seja, de mesma medida).
• Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum.
• Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.
• Retas paralelas: duas retas “r” e “s” são paralelas quando estando contidas num mesmo plano(coplanares) não possuem ponto em comum. (representação: r // s)
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Potenciação
• A potenciação “é uma multiplicação de fatores iguais”.
• Ou seja: , “a” multiplicado n vezes.• Exemplos:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Potenciação
• Particularidades, conseqüências da definição:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Potenciação
• Propriedades:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Potenciação
• Observação Importante:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Potenciação
• Potência de Base 10:Muitos problemas de Física e/ou Química usam
o artifício das potências de 10 para suas resoluções sejam elas macroscópicas(grandes dimensões) ou microscópicas(pequenas dimensões).
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Radiciação• Definição:
O número “y” é raiz enésima de “a” se, e somente se, elevado ao expoente reproduzir o número “a”.
Simbolicamente temos: = y , sendo:• : símbolo da radiciação(radical)• a: radicando• n: índice da raíz(n ≥ 2)• y: raiz
,
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Radiciação
• Propriedades:Sendo temos:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Radiciação• Racionalização:
É o processo mediante o qual, dada uma função com radical no denominador, encontramos uma fração equivalente(com mesmo valor), porém sem o radical no denominador.
• 1º caso: Denominador contendo termo do tipo :
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Radiciação• 2º caso: Denominador do tipo , com n > 2 e m < n:
• 3º caso: Denominador do tipo :
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 1: O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1b) 2c) 3d) 4
• Solução:Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 1642 = 4 x 4 = 164-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade)(-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)(-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade)
• Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 2: O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:
a) 1b) -5/6c) -5/3d) -5/2
• Solução:Todos sabem, após a leitura atenta dos slides que (-2)-1 = -1/2. Logo:
A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]
Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):
A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2• Resposta d).
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:
a) 10b) 1000c) 10-2
d) 10-3
• Solução:Novamente, pela propriedade vem que:
C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105
E, também pela propriedade, temos:C = 102-5 = 10-3
• Resposta d).
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 5: Calcular:
Solução:Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
ExercíciosAssim de 1, 2 e 3 obtemos:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 6: Simplificar a expressão:
• Solução:Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de
cada radicando e da utilização de propriedades, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 7: Calcular o quociente:
• Solução:Outro exercício de solução simples onde demonstra-se o uso das
propriedades e novamente, se faz uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Exercícios• Exercício 8: Efetuar:
• Solução:Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela
diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas: