programa de educaÇÃo tutorial centro de engenharia da mobilidade curso de matemÁtica bÁsica

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA


Aula 03

• Funções polinomiais• Logaritmo


Funções PolinomiaisIntrodução: Polinômio

Para a sucessão de termos comcom , um polinômio de grau n possui a seguinte forma :

Ex :


Funções PolinomiaisFunção polinomial de 1° grau:

Toda função definida como , tal que

com e .

O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano.

Ex:

RRf : baxxf )(a Rb

)(xf


Funções PolinomiaisFunção polinomial de 1° grau:

• Se a > 0 então a função é estritamente crescente;• Se a < 0 então a função é estritamente decrescente;• Se a = 0 então a função é definida como função constante.)(xf


Funções PolinomiaisFunção polinomial do 2° grau:

Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função

,tal que , com a, b e c .

Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma parábola, na qual o valor de ‘c’ indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola intercepta o das abscissas.

)(xfRRf :

cbxaxxf ²)( R



Se a> 0, a função decresce de + até o “y do vértice” e depois cresce até

+ ao passo que x varia de - até + .

Se a<0, a função cresce de - até o”y do vértice” e depois decresce até -

ao passo que x varia de - até + . )(xf



)(xf



Vértice da Parábola:

O vértice da parábola é o ponto de coordenadas:

Se a > 0, então o vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de mínimo da mesma.

Forma fatorada de um polinômio de grau n:)(xf )4/,2/( aabV

)...''')('')('()( xxxxxxaxp


Funções PolinomiaisForma fatorada de um polinômio:

Sendo X’ , X’’, X’’’ raízes da função. Ou seja, elementos em x que geram imagem nula.

)(xf ...0)''(,0)'( xpxp


Funções PolinomiaisOperações envolvendo polinômios:

Adição: p(x) + h(x) = (a+d)x² + (b+e)x + (c+f)

Subtração: p(x) - h(x) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f)

Multiplicação: p(x) . h(x) = (ax² + bx + c)(dx² + ex + f)

)(xf cbxaxxp ²)( fexdxxh ²)(


Funções PolinomiaisOperações envolvendo polinômios:

Divisão: Método das chaves

Q(x).D(x) + R(x) = P(x) )(xf


LogaritmoDefinição:

b = Antilogaritmo ou logaritmando

a = base

c = logaritmo

Condição de existência: ,

0b 01 a


LogaritmoConsequências:


LogaritmoPropriedades:


LogaritmoPropriedades:

Mudança de Base: Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.


LogaritmoA função logarítmica:

log


LogaritmoO Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural:

É o logaritmo cuja base é o n° de Euler “e” ( aproximadamente 2,718281828459045). Ou seja, corresponde à função inversa da função exponencial.

É comumente utilizado como ferramenta matemática para modelar fenômenos que ocorrem na natureza.

Notação:

log


Exercícios -Polinômios1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.


Exercícios -Polinômios1)Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.

Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 03a = -10 => a=-10/3

Resposta: a=-10/3


Exercícios -Polinômios

2) Calcular m para que o polinômioP(x)=(m²-1)x³ +(m+1)x² -x +4 seja:

a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau


Exercícios -PolinômiosResposta:

a) para o polinômio ser do 3º grau, o coeficiente de x³ deve ser diferente de zero. Então:m²-1≠0 => m² ≠ 1 => m ≠ 1 , m ≠ -1Portanto, o polinômio é do 3º grau se m ≠ 1 e m ≠ -1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m= -1m+1 ≠ 0 => m ≠ -1Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então:m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m=-1m+1=0 => m=-1Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.


Exercícios -Polinômios3)Num polinômio P(x), de 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e

P(3)=30, calcule o valor de P(-1).


Exercícios -Polinômios3)

Resolução:Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3


Exercícios -Polinômios3) Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9, b=-34, c=24Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66Resposta: P(-1)= 66


Exercícios -Polinômios4) O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisivel por :

a)x+7

b)X

c)x+2

d)x+4

e)x-4


Exercícios -Polinômios4) Como todo polinômio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x’)(x-x’’)(x-x’’’)...

Sendo x’,x’’,x’’’ ..raízes do polinômio e que p(x’) = 0

Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0

Ou verificar qual o numero “a” do polinômio D(x) = (x – a) , que faz com que P(a) = 0


Exercícios -Polinômios4) Testando os valores vê-se que o polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é

divisível por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0

OU seja, P(-4) = 0

Resposta ) letra D


Exercícios -Polinômios5) Efetue a divisão entre os polinômios:


Exercícios -Polinômios5)


Exercícios –logaritmo 1) Determine o valor de log0.2532.


Exercícios –logaritmo 1) log0.2532 = log1/432

Logo : ¼^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5

X = -5/2


Exercícios –logaritmo2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de

5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Dica : M = C(1+i)^t


Exercícios –logaritmo2)


Exercícios –logaritmo3)


Exercícios – logaritmo3) Log x + log ( x-5 ) = log 36

Log ((x)(x-5)) = log 36

Log (x²-5x) = log36

x² - 5x = 36

x= 9 ou x= -4

Porêm x não pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre maior que 0.

Resposta : D

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