exercÍcios matemÁtica bÁsica (1)

53
Revisão: produtos notáveis e fatoração 1. (Ufam) Se x 1 x 3, então o valor de x 2 1 3 x x 3 1 2 x é: a) 27. c) 36. e) 63. b) 47. d) 11. 2. (UFS-SE/adaptado) Analise as afirmações abaixo. 0–0) Se A 2 3 5 6 2 3 , então A 9 1 5 . 1–1) Se B 3 4 392 2 11 242 4 3 200, en- tão B é igual a 155 6 2. 2–2) 3 5 8 3 5 6 3 5 5 : 3 5 6 3 5 . 3–3) Se A 1 3 , B 1 4 e C 1 5 , então A B C. 3. (UFPB) Se A 7 x 7 x e B 7 x 7 x , x IR, o valor da expressão A 2 B 2 é: a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 4. (Unifor-CE) Se o trinômio x 2 36x c é um quadrado perfeito, o número real c é divisível por: a) 243. c) 72. e) 24. b) 216. d) 27. 5. (Unifor-CE) Se A 1 3 2 e B 1 3 2 , então o produto A B está compreendido entre: a) 2,4 e 2,5. d) 0,2 e 0,3. b) 1,2 e 1,3. e) 0 e 0,1. c) 0,37 e 0,38. 6. (UFC-CE) Os números reais não nulos a e b são tais que a b 2. Sendo assim, o valor da expressão 2b a a b é: a) 1. b) 2. c) 2. d) 3. e) 3. 7. (UFMA) Sabendo-se que 1 1 2 1 2 3 1 3 4 ... 1 1 nn ( ) 48 49 , então o valor de n é: a) 47. c) 50. e) 51. b) 49. d) 48. 8. (Uece) A equação ax b a 4 b 4 bx a , com a b, tem como solução: a) ab(a 2 b 2 ). c) a b ab 2 2 . b) ab(a 4 b 4 ). d) a b ab 4 4 . 9. (UFC-CE) Considere a função f(x) x 2 1 2 x , cujo do- mínio é o conjunto dos números reais não nulos. Calcule f(c), onde c é um número real tal que c 1 c 5. 10. (Mack-SP) A fração 2 4 8 2 32 2 98 50 34 99 20 101 é igual a: a) 1. c) 2. e) 7 4 . b) 11 6 . d) 5 2 . 11. (Mack-SP) Se x e y são números inteiros e positivos, tais que x 2 y 2 17, então: a) x e y são primos entre si. d) x 3y. b) x 2y. e) |x y| 2 c) x y 30.. 12. (Mack-SP) Qualquer que seja x não-nulo, tal que |x| 1, a expressão x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 é sempre igual a: a) 1 x . b) 2x. c) x 2. d) 1 e) 2. 13. (FGV-SP) Seja N o resultado da operação 375 2 374 2 . A soma dos algarismos de N é: a) 18. c) 20. e) 22. b) 19. d) 21.

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Page 1: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

PB �

Revisão: produtos notáveis e fatoração

1. (Ufam) Se x 1x

3, então o valor de

x2 13x

x3 12x

é:

a) 27. c) 36. e) 63.b) 47. d) 11.

2. (UFS-SE/adaptado) Analise as afirmações abaixo.

0–0) Se A 235

623

, então A 915

.

1–1) Se B 34

392 211

242 43

200 , en-

tão B é igual a 155

62 .

2–2) 35

8

35

6

35

5

: 35

6

35

.

3–3) Se A 13

, B 14

e C 15

, então

A B C.

3. (UFPB) Se A 7x 7x e B 7x 7x, x IR, o valor da expressão A2 B2 é:a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2.

4. (Unifor-CE) Se o trinômio x2 36x c é um quadrado perfeito, o número real c é divisível por:a) 243. c) 72. e) 24.b) 216. d) 27.

5. (Unifor-CE) Se A 1

3 2 e B 1

3 2,

� então

o produto A B está compreendido entre:a) 2,4 e 2,5. d) 0,2 e 0,3.b) 1,2 e 1,3. e) 0 e 0,1.c) 0,37 e 0,38.

6. (UFC-CE) Os números reais não nulos a e b são tais que

a b 2 . Sendo assim, o valor da expressão 2b aa b

é:

a) 1. b) 2 . c) 2. d) 3 . e) 3.

7. (UFMA) Sabendo-se que

11 2

1

2 3

13 4

... 1

1n n( )�

4849

,

então o valor de n é:a) 47. c) 50. e) 51.b) 49. d) 48.

8. (Uece) A equação axb

a4 b4 bxa

, com a b,

tem como solução:

a) ab(a2 b2). c) a b

ab

2 2.

b) ab(a4 b4). d) a b

ab

4 4.

9. (UFC-CE) Considere a função f(x) x2 12x

, cujo do-

mínio é o conjunto dos números reais não nulos. Calcule

f(c), onde c é um número real tal que c 1c

5.

10. (Mack-SP) A fração 2 4 8

2 32 2

98 50 34

99 20 101

é igual a:

a) 1. c) 2. e) 74

.

b) 116

. d) 52

.

11. (Mack-SP) Se x e y são números inteiros e positivos, tais que x2 y2 17, então:a) x e y são primos entre si. d) x 3y.b) x 2y. e) |x y| 2c) x y 30..

12. (Mack-SP) Qualquer que seja x não-nulo, tal que |x| 1,

a expressão

xx

xx

x x

11

11

11

11

é sempre igual a:

a) 1x

.

b) 2x. c) x 2. d) 1e) 2.

13. (FGV-SP) Seja N o resultado da operação 3752 3742. A soma dos algarismos de N é:a) 18. c) 20. e) 22.b) 19. d) 21.

Page 2: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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14. (Ufpel-RS) Simplificando 3 3

6

17 165

, obtém-se o valor:

a) 27. d) 3 3

6

1715 1615.

b) 32

5 . e) 32

.

c) 12

5 .

15. (UFSM-RS) Considere as expressões

m

x2 4

kxx

2 e

52x

onde x 2 e x 2.

Para que a 1a e a 2a expressões sejam iguais, os valores de m, k, têm como soma:a) 5. c) 18. e) 25.b) 8. d) 22.

Conjuntos e conjuntos numéricos

16. (UFPA/PSS) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alu-nos, tendo chegado ao seguinte resultado:• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da

Gama;• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da re-ferida turma, teremos, evidentemente, A B . Con-cluímos que o número n de alunos desta turma é:a) 49. c) 47. e) 46.b) 50. d) 45.

17. (Ufac) Há alguns anos a Ufac estabeleceu a isenção da taxa de inscrição no concurso vestibular. No ano passa-do, um bom número de pessoas solicitou tal benefício. A maioria obteve a isenção e parte teve o pedido negado pela Comissão do Vestibular. Suponha que todas as pes-soas que foram isentas do pagamento da taxa fizeram a inscrição e que algumas das que tiveram o pedido negado não a fizeram. Considere que:• A é o conjunto constituído pelas pessoas que fizeram

a inscrição;• B é o conjunto das pessoas que solicitaram a isenção;• C é o conjunto das pessoas que foram isentas do

pagamento da taxa;• D é o conjunto das pessoas que tiveram o pedido ne-

gado.

É correto, então, afirmar que:a) C A. d) C B.b) A D A. e) D A.c) D B.

18. (UFPB) A Secretaria de Saúde do Estado da Paraíba, em estudos recentes, observou que o número de pessoas acometidas de doenças como gripe e dengue tem as-sustado bastante a população paraibana. Em pesquisas realizadas com um universo de 700 pessoas, constatou-se que 10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram apenas gripe e 50% tiveram gripe ou dengue. O número de pes-soas que tiveram apenas dengue é:a) 350. d) 140.b) 280. e) 70.c) 210.

19. (Uespi) Numa agência de turismo com 30 funcionários, 16 deles falam francês e 20 deles falam inglês. O número de funcionários dessa agência que falam inglês e francês é:a) exatamente 16.b) exatamente 10.c) no máximo 6.d) no mínimo 6.e) exatamente 18.

20. (Unifor-CE) Em qual das alternativas seguintes não está expresso um número inteiro?

a) (0,125)1 c) 3 (0,666…) e) 1

0 375,b) 643 d) ( )63 6

21. (Unifor-CE) Sejam os conjuntos:A: consoantes da palavra CEARÁ;B: vogais da palavra CEARÁ;C: consoantes da palavra FORTALEZA;D: vogais da palavra FORTALEZA.

Sobre as afirmações: I) A CII) D B {O}

III) A B {A, C, E, R}

está correto somente o que se afirma em:a) I. c) III. e) II e III.b) II. d) I e II.

22. (Uece) Sendo n um número inteiro positivo, a notação Mn designa o conjunto de todos os múltiplos positivos de n. O valor de p para Mp M18 M24 é:a) 42. c) 66.b) 54. d) 72.

23. (Uece) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos meus bisavós (bisavós são os pais de seus avós)?a) 16b) 32c) 64d) 81

Page 3: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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24. (UEFS-BA) Considerando-se os conjuntosA {(x, y) IR IR; y x = 0} e B {(x, y) IR IR; 2y x 1} pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa A B é:

a) y

x

1

1–1

d) y

x

1

1

12

b) y

x

1

1

e) y

x

1

1–1

c) y

x

12

12

25. (Ufla-MG) Um modo prático e instrutivo de ilustrar as re-lações entre conjuntos é por meio dos chamados diagra-mas de linhas. Se A é um subconjunto de B, A B, o diagrama é da forma apresentada na figura 1. Uma outra forma de expressar tais relações é o diagrama de Venn. Nas opções da figura 2, o diagrama de Venn está relacio-nado ao diagrama de linhas. Assinale a opção incorreta.

A

B

Se A B C AB

C

, se A B, A C, B C,

C B CB

A

a)

C

D

BA

BA

C

D

b) A C D

B

C

A

D

B

c) D

A BC

A B

C

D

d) A B

C D

CAB

D

e) A

C

DB

CB

A

D

26. (PUC-RJ) Se A, B e C são três conjuntos onde n(A) 25, n(B) 18, n(C) 27, n(A B) 9, n(B C) 10, n(A C) 6 e n(A B C) 4, sendo n(x) o número de elementos do conjunto X, determine o valor de n[(A B) C].

27. (Ufpel-RS) No diagrama a seguir, a parte sombreada re-presenta:

A

B

C

a) B C. d) (A C) B.b) (A B) C. e) A C.c) (B C) A.

Funções

28. (UFPA/PSS) Em um jornal de circulação nacional foi pu-blicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os per-centuais, em função do ano, de famílias compostas por pai, mãe e filhos, chamadas famílias nucleares, e de famí-lias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percen-tual desses dois tipos de família, com suas respectivas projeções para anos futuros, é correto afirmar:

y

x23%

72%

1987 2006

Famílias nucleares

Novas famílias

2020

a) No ano 2030, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares.

b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares.

c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares.

d) No ano 2015, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares.

e) No ano 2012, o número de famílias nucleares será menor do que o de novas famílias.

Page 4: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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29. (UFPB) Considere a função f: [0, ∞) → [12, ∞), dada por f(x) x2 2kx k2 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Sabendo-se que g(x) é a função inversa de f(x), o valor de g(21) é:a) 1. c) 9. e) 9.b) 4. d) 1.

30. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as esco-las de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de profes-sores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então:a) f não pode ser uma função bijetora.b) f não pode ser uma função injetora.c) f é uma função sobrejetora.d) f é necessariamente uma função injetora.

31. (Unifor-CE) Sejam f e g funções de IR em IR tais que g(x) 1 2x e g(f(x)) 4x2 1. O conjunto imagem de f é:a) [1, ∞[. d) IR+.b) IR. e) ]∞, 1].c) IR

.

32. (Uece) Sejam f(x) xx

11

uma função real de variável

real e f1 a função inversa de f. Então o valor de f(2) f1(2) é igual a:a) 3. c) 7.b) 5. d) 9.

33. (Cefet-CE) Considere f: IR → IR, tal que

f(x2) f(2x) 3x 2. O valor de f(4) é igual a:

a) 2.b) 4.c) 6.

d) 8.e) 10.

34. (Uneb-BA) Considerando a função real f(x) 1x

, assi-

nale com V as afirmativas verdadeiras e com F, as falsas.

( ) x 0 pertence ao conjunto imagem de f.

( ) Se x é um número real não-nulo, então f1(x) 1x

.

( ) Existe um único número real x tal que fx1

f(x).

A alternativa que indica a sequência correta, de cima para baixo, é a:

01) V F F.02) F V F.03) F V V.04) V F V.05) V V V.

35. (UEFS-BA) A função real inversível f tal que

f(2x 1) 6x 2 tem inversa f1(x) definida por:

a) 3 5

2x

.

b) x

. 53

c) 5x 3.

d) 3x 5.

e) 3x 15.

36. (UFBA) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parên-teses a soma dos itens corretos.Sobre funções reais, é verdade que:

(01) O domínio de f(x) 7

2x

x é IR.

(02) f(x) 3x2 4x é uma função par.

(04) f(x) 3 2

2x

x

é a função inversa de

g(x) 2

2 3x.

(08) Sendo f(x) 2x 4, então f(x) 0, para todo x 0.

(16) Sendo f(x) 4x2 7x, então f(1) 11.

Soma ( )

37. (UnB-DF) A tabela abaixo apresenta informações relativas às pizzas de uma pizzaria.

Tamanho Diâmetro(em cm)

Preço(em R$)

pequena 20 6,00

média 30 11,00

grande 40 18,00

Considerando que, nessa pizzaria, o preço P, em reais, de uma pizza é calculado pela soma de um custo fixo c com um termo que depende do raio r, em cm, da pizza, segundo a função P(r) c br ar2, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, descon-siderando a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.1) Calcule o valor de b.2) Calcule o valor de c.3) Determine o preço, em reais, de uma pizza gigante,

de 50 cm de diâmetro.

38. (UnB-DF/adaptado) O consumo de oxigênio de atletas de alto nível está diretamente relacionado com a prática do es-porte em que eles se especializaram. A figura a seguir apre-senta o consumo de oxigênio, medido em mL/min, por kg de massa dos atletas de alto nível, de acordo com as espe-cialidades.

Page 5: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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Volume de O2 consumido (mL/min por kg)90

85

80

75

70

65

60

55

5055 ginástica olímpica

63 tênis65 arremesso de peso

70 basquetebol71 futebol

73 corrida de longa distância

75 natação

80 marcha atlética

0La Recherche, n. 113. jul.-ago./1980, p. 80 (com adaptações).

O gráfico abaixo representa o consumo total acumulado de oxigênio, em mL/kg, em função do tempo, em min, de um atleta na prática de três esportes distintos, escolhidos entre os listados no gráfico acima, cada um praticado por um período de meia hora, em 90 min ininterruptos.

1.650

3.750

30

P

Q

R

60 90

Consumo de O2 (mL/kg)

Tempo (min)

Com base nessa situação e nas informações do texto, julgue os itens que se seguem.1) Na primeira meia hora, o atleta praticou marcha atlética.2) Se, na terceira meia hora, o esporte praticado tivesse

sido o tênis, então os pontos P, Q e R do gráfico es-tariam alinhados.

3) Se, na terceira meia hora, o esporte praticado tiver sido a natação, então o consumo total de oxigênio, ao se completar 80 min de atividades, terá sido igual a 5 250 mL/kg.

4) Quando o consumo total atingiu 2 700 mL/kg, o atleta estava em atividade por mais de 50 min.

39. (UFMS) Seja f: IR → IR uma função real tal que f(1) A, f(e) B e f(x y) f(x) f(y), para todo x e y perten-cente a IR. Então, f(2 e) é igual a:a) A. c) A2B. e) A2 B.b) B. d) AB2.

40. (UFMT) Seja f: IR → IR uma função que satisfazf(tx) t2f(x), para quaisquer x e t reais. A partir dessas informações, assinale a afirmativa correta.a) f(x) f(x), para qualquer x real.b) f(x) 0, para qualquer x real.c) f(0) 1.d) f(1) 1.e) f(x) f(x), para qualquer x real.

41. (IME-RJ) Seja f: IR → IR, onde IR é o conjunto dos núme-

ros reais, tal que f

f x f x f

( )

( ) ( ) ( )

4 5

4 4

� � �

O valor de f(4) é:

a) 45

. c) 15

. e) 45

.

b) 14

. d) 15

.

42. (IME-RJ) Considere os conjuntos A {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} e B {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a função f: A → B tal que f(x, y) x y. É possível afirmar que f é uma função:a) injetora. d) par.b) sobrejetora. e) ímpar.c) bijetora.

43. (IME-RJ) Seja f: IN → IR uma função tal que

∑k

n

0 f(k) 2 008 ·

nn

,

12

onde IN e IR são, respectiva-

mente, o conjunto dos números naturais e o dos núme-

ros reais. Determine o valor numérico de 1

2 006f( ).

44. (UFPR) Precisando contratar serviço de limpeza para car-petes, uma pessoa encontrou duas empresas que pres-tam o mesmo tipo de serviço e cobram os preços descri-tos a seguir, sempre baseados na área do carpete.Empresa Limpinski: para áreas de até 50 m2, preço fixo de R$ 70,00; para áreas superiores a 50 m2, valor fixo de R$ 45,00, acrescido de R$ 0,50 por metro quadrado lavado.Empresa Clean: para áreas de até 40 m2, preço fixo de R$ 40,00; para áreas superiores a 40 m2, R$ 1,00 por metro quadrado lavado. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I) Para lavar 80 m2 de carpete, a empresa Clean cobra

R$ 120,00.II) É a empresa Clean que oferece o menor preço para

lavar menos de 70 m2 de carpete.III) Para lavar entre 80 m2 e 100 m2 de carpete, a opção

mais barata é sempre a empresa Limpinski.Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente a afirmativa I é verdadeira. c) Somente a afirmativa II é verdadeira. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Função afim 45. (Uespi) No dia dois do mês de abril de certo ano, o dólar

custava R$ 2,02 e a partir daí seu valor em relação ao real começou a sofrer uma valorização linear constante por dia, isto é, o dólar começou a se valorizar diariamente segundo uma função afim do tempo (dia do mês), até atingir seu valor máximo no dia 18 de abril; estabilizando-se nesse

Page 6: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

� �� �

valor até o final do mês. Se no décimo dia do referido mês o dólar estava cotado por R$ 2,08, é correto afirmar que o valor do dólar no último dia do referido mês foi de:a) R$ 2,11. d) R$ 2,14.b) R$ 2,12. e) R$ 2,18.c) R$ 2,13.

46. (Uespi) Os gráficos ilustrados abaixo são de duas fun-ções afins f e g, que têm como domínio o conjunto dos números reais.

3 5

3

g f

–10

x

y

Nessas condições, é correto afirmar que o conjunto solução da desigualdade f(x) g(x) 0, com x variando no conjunto IR dos números reais, é:a) {x IR | 3 x 6}. d) {x IR | 0 x 3}.b) {x IR | 3 x 5}. e) .c) {x IR | 2 x 6}.

47. (UFCG-PB) Pelos estudos de hidrostática, sabe-se que a pressão na superfície da água no mar é de 1 atm (atmos-fera). Sabendo-se também que a pressão da água no mar varia com a profundidade e que a cada 5 m de pro-fundidade a pressão sofre um acréscimo de 0,5 atm, a expressão que dá a pressão p (em atmosferas) em fun-ção da profundidade a (em metros) é:a) p 0,5a 1. d) p 0,1a.b) p 0,5a. e) p 0,1a 1.c) p 1 0,5a.

48. (UFPI) A função afim cujo gráfico passa pelo ponto (2, 3) e forma com os eixos coordenados um triângulo com 12 uni-dades quadradas de área é:a) f(x) 5 x. d) f(x) 7 2x.

b) f(x) 6 �32

x. e) f(x) 9 3x.

c) f(x) 8 52

x.

49. (UFPI/PSE) O conjunto solução da inequação quociente

xx

12 1

1 é S {x IR | a x b}. Então, podemos

afirmar que o valor de ba

é:

a) 12

. b) 1. c) 4. d) 2. e) 6.

50. (UnB-DF) Uma lanchonete pratica um rigoroso controle de qualidade sobre seus produtos. Um copo de vitamina de fruta dessa lanchonete, que é feita unicamente com leite e polpa de fruta, deve ser preparado de acordo com o seguinte padrão:• será servido em um copo de 180 mL;• o volume de leite utilizado deve ser pelo menos 5 vezes

maior que o volume de polpa de fruta;• o volume de polpa de fruta deve ser, no mínimo, igual

a 16

do volume de leite;

• o volume de vitamina deve ocupar pelo menos 56

do

volume do copo.Considerando que, na situação acima, L e P representem, respectivamente, os volumes, em mL, de leite e de polpa de fruta em um copo de vitamina que segue esse padrão de qualidade, julgue se cada item abaixo apresenta valo-res possíveis para L e para P, respectivamente.1) 155 e 26 3) 119 e 212) 140 e 20 4) 150 e 25

51. (UFMT) Em uma cidade operam duas empresas de tele-fonia fixa. Admita que a empresa A cobra uma taxa fixa de R$ 30,00 mais R$ 0,15 para cada minuto de ligação local ou interurbana, que a empresa B cobra uma taxa fixa de R$ 20,00 mais R$ 0,20 para cada minuto de liga-ção local ou interurbana. Nessas condições, é mais van-tajoso optar pela empresa A, em planos de, no mínimo:a) 200 minutos. d) 120 minutos.b) 180 minutos. e) 100 minutos.c) 150 minutos.

52. (Ufop-MG) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas cidades, A e B, são representadas pelos pontos A(100, 200) e B(200, 800). Uma estrada em linha reta liga as cidades A e B. Uma pessoa sai da cidade B e viaja com velocidade constante por essa estrada em direção à cidade A. Quando chega a um vilarejo C, já

concluiu 13

da viagem. Desta forma, o vilarejo C é repre-

sentado pelo ponto:

a) C 200

32000

3, . c) C

1003

10003

, .

b) C(0, 400). d) C(100, 600).

53. (Vunesp) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmu-la aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) 15,3h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu con-sumo diário de energia e obteve 2 975 kcal. Sabendo-se

Page 7: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é:a) 2 501.b) 2 601.c) 2 770.d) 2 875.e) 2 970.

54. (Mack-SP) Se, na figura, temos o esboço do gráfico da função y f(x), o gráfico que melhor representay f(x 1) 1 é:

y

x

3

–1

a) y

x

1

1 4

d) y

x

1

1 4

b) y

x

1

3

e) y

x

–1

–3

c) y

x–1

–1

2

55. (Mack-SP) Um ambulante paga R$ 1,00 pela compra de 3 lápis e revende por R$ 2,00 cada 5 lápis. A quantidade necessária de lápis que deve ser vendida para que ele tenha lucro de R$ 50,00 é:a) 600. c) 550. e) 620.b) 750. d) 440.

56. (Uerj) O gráfico adiante representa, em bilhões de dóla-res, a queda das reservas internacionais de um determi-nado país no período de julho de 2000 a abril de 2002.

Bilhões de dólares

35,6

22

julho2000

julho2001

abril2002

12

(Adaptado de “Veja”, 01/05/2002.)

Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001.

57. (FGV-SP) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo men-sal de R$ 5 000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas. O valor de x é:a) 300.b) 350.c) 400.d) 450. e) 500.

58. (FGV-SP) Uma função polinomial f do 1o grau é tal que f(3) 6 e f(4) 8. Portanto, o valor de f(10) é:a) 16. c) 18. e) 20.b) 17. d) 19.

59. (Fuvest-SP) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e –x + 5. Assim, o valor máximo de f(x) é:a) 1. c) 4. e) 7.b) 2. d) 6.

Função quadrática

60. (Ufac) Sejam a um número real negativo e as funções f(x) ax2 e g(x) ax, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Considere os seguintes itens em ro-manos: I) f(x) g(x) para x no intervalo ]0, 1[.II) f é crescente em IR.

III) g é decrescente em IR.Relativamente aos itens, podemos dizer que:a) todos são verdadeiros. b) todos são falsos. c) I e III são verdadeiros.d) I é falso.e) I e II são falsos.

Page 8: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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61. (Ufac) Abaixo estão representados os gráficos das fun-ções f(x) ax2 bx e g(x) 2x 2, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Os gráficos de f e g se tocam em dois pontos, sendo que um deles pertence ao eixo x. Os valores de a e b são:a) a 1 e b 4. d) a 1 e b 1.b) a 4 e b 0. e) a b 4.c) a 4 e b 4.

y

x

–1

62. (Unir-RO) Admita que f seja uma função real, quadrática, cujo gráfico é uma parábola com abscissa do vértice igual a 3, que a imagem de 1 é igual a zero e que a imagem de zero é igual a 1. A partir dessas informações, pode-se afirmar que a função f:a) tem raízes 1 e 4.b) é positiva para todo x real menor que 1.c) é estritamente crescente em todo seu domínio.d) tem concavidade voltada para cima.e) é negativa no intervalo (∞, 1).

63. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre funções, é correto afirmar:(01) Se a função afim m(x) ax b, a 0, é crescente,

então a 0 ou x ba

.

(02) Se a função afim p(x) ax b, a 0, é decrescen-

te, então a função é negativa para todo x < ba

.

(04) Se a função quadrática n(x) ax2 bx c é par, então b 0.

(08) Se a figura representa um esboço do gráfico da fun-ção quadrática r(x) ax2 bx c, então b é um número real negativo.

y

x

(16) Se a função quadrática h(x) ax2 4x c admite valor máximo 1 no ponto de abscissa 2, então c a 4.

(32) Se a função real f(x) ax4 bx2 c, com a 0, possui apenas duas raízes reais positivas distin-tas, entre suas raízes, então a função quadrática g(x) ax2 bx c possui duas raízes reais positi-vas distintas.

64. (UFS-SE) Para analisar as afirmativas abaixo, considere a função f, de IR em IR, definida por f(x) 2x 3.0-0) A função inversa de f é definida por

f x x 1 32

( ) .

1-1) A função composta f o f é definida por f(f(x)) 4x 6.2-2) A função g definida por g(x) [f(x)]2 tem por gráfico

uma parábola de concavidade para cima e que inter-

cepta o eixo das abscissas nos ponto 32

0,

e

32

0, .

3-3) O vértice da parábola definida por y x2 2x 6 pertence ao gráfico de f.

4-4) Se o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B, a função quadrática cujo gráfico

contém os pontos A, B e 92

0,

é definida por

y 49

43

2x x 3.

65. (UFPB) O gráfico da função y f(x) 1

2 02

0x

15

x ,

representado na figura a seguir, descreve a trajetória de um projétil, lançado a partir da origem.

H

0A

x (km)

y (km)

y � f(x)

Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, a altura máxima H e o alcance A do projétil são, respectivamente:a) 2 km e 40 km.b) 40 km e 2 km.c) 2 km e 10 km.d) 10 km e 2 km.e) 2 km e 20 km.

66. (Uespi) Um comerciante comprou a unidade de certo artigo por R$ 20,00, e calculou que se o comercializasse por x reais, cada, venderia por dia (60 x) unidades desses artigos. Considerando 0 x 60 e as condições apresentadas, podemos concluir que, para maximizar o seu lucro, o comerciante terá que vender:a) 20 artigos, cada um ao custo de R$ 40,00.b) 25 artigos, cada um ao custo de R$ 20,00.c) 30 artigos, cada um ao custo de R$ 30,00.d) 35 artigos, cada um ao custo de R$ 35,00.e) 40 artigos, cada um ao custo de R$ 30,00.

Page 9: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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67. (UEFS-BA) O vértice da parábola de equaçãof(x) x2 2x 4k é um ponto da reta y 2. Portanto, a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada:

a) 14

. d) 2.

b) 0. e) 4.c) 1.

68. (UFBA) Determine os valores de p para os quais a parábo-la e a reta, representadas pelas equações y 2x2 x 3

e y px 1, se interceptam em dois pontos distintos.

69. (UFPI) Seja m a quantidade de números inteiros perten-centes ao conjunto solução, nos números reais, da ine-quação x4 4x2 45 0. Então, m é igual a:a) 1. c) 3. e) 5.b) 2. d) 4.

70. (UFPI/PSE) A partir de dois vértices opostos de um re-tângulo de lados 3 cm e 5 cm, marquemos, sob seus lados, quatro segmentos de comprimento x. As extremidades desses segmentos formam um paralelogramo de área má-xima. O valor de x é:a) 2,0 cm. d) 1,0 cm.b) 1,8 cm. e) 1,5 cm.c) 0,5 cm.

71. (UFMS) Nas figuras abaixo, são dados os gráficos das funções reais y f(x) e y g(x), onde f é uma função afim e g uma função quadrática.

y

x

1

f

–1

y

x

2

1 3

g

–1

Das afirmações: I) Se 0 x 3, então 1 f(x) 3.II) Se f(x) 1, então x 0.

III) Se 0 x 2, então 32

g(x) 2.

IV) Se g(x) 0, então x 1 ou x 3.

São verdadeiras apenas:a) I e II.b) I e III.c) II e III.d) II, III e IV.e) III e IV.

72. (Vunesp) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:a) f(x) 2x2 2x 4.b) f(x) x2 2x 4.c) f(x) x2 x 2.d) f(x) 2x2 2x 4e) f(x) 2x2 2x 2.

y

x1

–1

–2

–3

–4

2

y = f(x)

1–2 –1

73. (Mack-SP) A reta y x é tangente à curva y x2 bx, b 0. Se m e p são as abscissas dos pontos em que a curva encontra o eixo Ox, m p vale:

a) 2.

b) 23

.

c) 12

.

d) 1

e) 32

.

74. (ESPM-SP) O gráfico a seguir representa a função real f(x) x2 kx p, com k e p reais.

y

4

2 f(1)1

x

O valor de p k é:a) 12. d) 18.b) 15. e) 3.c) 18.

Page 10: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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75. (Ufla-MG) Uma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de qua-tro parábolas, como pode ser observado no gráfico.

y

0x

A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é

34

do valor da altura máxima da parábola anterior. Saben-

do-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira pará-bola é y 4x2 8x, a equação da quarta parábola é:a) y x2 14x 48.b) y x2 14x 48.

c) y 2716

(x 6)(x 8).

d) y 34

3

(x 6)(x 8).

e) y 8x2 16x.

76. (UFMG) Observe esta figura:

x

A B

y

Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de segundo grau y ax2 bx c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é para-lelo ao eixo das abscissas. Assim sendo, é correto afirmar que o comprimento do segmento AB é:

a) c. c) ba

.

b) ca

. d) ba

.

77. (Fatec-SP) Sejam as funções f e g, de IR em IR, definidas, respectivamente, por f(x) 2 x e g(x) x2 1. Com relação à função g o f, definida por (g o f)(x) g(f(x)), é verdade que:a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 16.b) o eixo de simetria de seu gráfico é y 2.c) o seu valor mínimo é 1.

d) o seu conjunto imagem está contido em [0, ∞[.e) (g o f)(x) 0 se, e somente se, 0 x 3.

78. (UEL-PR) Para um certo produto comercializado, a função receita e a função custo estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto.

q

125 000

105 000

45 000

Custo

Receita

35 000

500 250 350 500

RC

Com base nessas informações e considerando que a função lucro pode ser obtida por L(q) R(q) C(q), assinale a alternativa que indica essa função lucro.a) L(q) 2q2 800q 35 000b) L(q) 2q2 1 000q 35 000c) L(q) 2q2 1 200q 35 000d) L(q) 200q 35 000e) L(q) 200q 35 000

79. (Udesc) Seja f: IR → IR uma função do segundo grau tal que f(0) 1, f(1) f(1) 6 e f(2) 2f(1) 27. Encontre a lei que descreve essa função.

Função modular

80. (UFPA/PSS) Um professor de Matemática Aplicada en-viou a seguinte mensagem ao seu melhor aluno, um es-tudante chamado Nicéphoro, que gostava muito de de-senhar e traçar gráficos:

Prezado Nicéphoro,

Estive analisando cuidadosamente aquele problema de Matemática e percebi que ele é regido por uma função

pulso-unitário definida por f xse x

se x( )

,

,.

1 1

0 1

Trace, por favor, usando os seus conhecimentos, o gráfico desta função e o envie para mim.Um abraço e saudações matemáticas.

Euclides Arquimedes.

Nicéphoro traçou corretamente o gráfico da função acima e o enviou ao prof. Euclides Arquimedes.

Page 11: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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O gráfico enviado foi:

a) y

x

1

0

d) y

x

1

–1 10

b) y

x

1

0

e) y

x

1

0

c) y

x

1

�1

0

81. (Unifap) Dada a função f: IR → IR, de lei f(x) x|x| 1, esboce o gráfico de f.

82. (UFRN) Sendo f(x) |x2 2x|, o gráfico que melhor representa f é:

a) y

x2

4

6

8

1 2 3 4–2 –1 0

c) y

x12

3

4

2 4 6–4 –2 0

b) y

x2

4

6

8

1 2–4 –3 –2 –1 0

d) y

x1

2

3

4

2 4–6 –4 –2 0

83. (UFPE) Indique o produto dos valores dos reais x que satisfazem a equação |x 7| 3.

84. (UFPI) Sejam a e b números reais tais que 0 a b. Então, a respeito da função, real de variável real, f defini-da por f(x) |x a| |x b|, é correto afirmar que:a) f é crescente em (∞, a).b) f é injetiva em (a, b).c) a imagem de f é (0, ∞).

d) a imagem de f é (b a, ∞).e) f é decrescente em (b, ∞).

85. (UFCG-PB) Considere os seguintes subconjuntos da reta:A {x IR | 1 3 2x 3}B {x IR | x2 4x 3 0}C {x IR| |3x| 3}

Então, podemos afirmar que:a) (A C) B. d) C B {1}.b) C (A B). e) (A B) C.c) A (B C).

86. (Unifor-CE) Se x > 4, quantos números inteiros satisfazem

a sentença 20 5

4

x

x 8x 136?

a) 10 d) 13b) 11 e) 14c) 12

87. (UFPE) Sejam x e y números reais tais que x y e x(x y) 0. Analise a veracidade das afirmações abaixo.( ) x 0( ) y 0( ) x y 0( ) |x| |y|( ) |x y| 0

88. (UFMT) O sistema | |

| |

2 5 3

3 1 0

x

x

tem como solução

o intervalo:

a) [∞, 43

]. d) 43

2, .

b) (2, ∞). e) (2, 4).c) (1, 4).

89. (UFG-GO) O conjunto solução da inequação é

2x 4x 2

0 é:

a) {x IR | x 2}.b) {x IR | x 2}.c) {x IR | x 2}.d) {x IR | 2

x 2}.

e) {x IR | x 2 ou x 2}.

90. (UFU-MG) A soma das soluções reais da equação|x2 3x 2| |6x| 0 é igual a:a) 3. c) 3.b) 6. d) 6.

91. (Uerj) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a equação V 10 |4 2t| |2t 6|, t IR

. Nela, V é o volume medido em m3 após t horas,

contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horá-rios inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

Page 12: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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92. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de x que satisfa-zem simultaneamente as desigualdades |x 5| 3 e |x 4| 1 é:a) 25. c) 16. e) 21.b) 13. d) 18.

93. (Mack-SP) Na figura 1, temos o esboço do gráfico de uma função f, de IR em IR.

y

x0

Figura 1

O melhor esboço gráfico da função é g(x) f(|x|) é:

a) y

x0

d) y

x0

b) y

x0

e) y

x0

c) y

x0

94. (Ufla-MG) O gráfico da expressão |x| |y| 4 é dado por:

a) y

x–4

–4

4

4

d) y

x–4 4

b) y

x–4

–4

4

e) y

x

–4

4

4

c) y

x–4

–4

4

4

95. (UFV-MG) Se x e y são números reais quaisquer, então é correto afirmar que: a) se x2 y2, então x y.b) se x y, então x2 y2.c) se x2 y2 0, então |x| |y|.

d) x y2 2 x y.

e) x 0.

96. (UFMG) Quantos números inteiros satisfazem a desi-

gualdade |nn

?�

��

20|2

1

a) 8 b) 11 c) 9 d) 10

97. (PUC-PR) Sendo x e y números reais, quais das afirma-ções são sempre verdadeiras?I) Se x y, então x y.

II) Se |x| x, então x 0.

III) Se 0 x y, então 1 1x y

.

IV) Se x2 9, então x 3. V) x2 2x y2 0.a) Somente I e II. d) Todas.b) Somente II e IV. e) Somente I e III.c) Somente II e III.

Função exponencial 98. (UFPA/PSS) Se y e x 1 2

é uma função definida para 0 x 1, então podemos afirmar que:a) y é crescente. d) y(0) 1.b) y é decrescente. e) y é negativo.c) y é constante.

99. (Ufac) Se 3x 2 para algum x, o valor de 3 2

x

é:

a) 2 . c) 2. e) 32

.

b) 3. d) 22

.

100. (UFG-GO) Os valores reais de x para os quais (0,8)4x2 – x > (0,8)3(x + 1) são:a) 1,5 x 1,5. d) 0,5 x 1,5.b) 1,5 x 0,5. e) nda.c) x 0,5 ou x 1,5.

101. (UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se que o gráfico da função f(x) a2kx passa pelos pontos A(0, 5) e B(1, 10), o valor da expressão 2a k é:

a) 15. c) 11. e) 12.b) 13. d) 10.

102. (Uespi) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função f(t) 0,7 0,04(3)0,14t, com t represen-tando o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é:a) 30 dias. d) 50 dias.b) 40 dias. e) 55 dias.c) 46 dias.

103. (UFPI) Seja n a quantidade de elementos do conjunto solução, nos números reais, da equação exponencial

Page 13: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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23

32

1

x x

8

27

2

x

.

Então, n é igual a:

a) 1. c) 3. e) 5.b) 2. d) 4.

104. (Vunesp) Considere a função dada porf(x) 32x 1 m 3x 1.a) Quando m 4, determine os valores de x para os

quais f(x) 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais

a equação f(x) m 1 não tem solução real x.

105. (Uerj) A inflação anual de um país decresceu no perío-do de sete anos. Esse fenômeno pode ser representa-do por uma função exponencial do tipo f(x) abx, con-forme o gráfico a seguir. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

x (anos)7,5%

40 7

960%

y = f(x)

106. (Vunesp) Resolva as equações exponenciais, determi-nando os correspondentes valores de x. a) 7x 3 7x 2 7x 1 57

b) 13

13

1

x x

13

2

x

207

107. (Mack-SP) Se 2x 3y 1 18

2

y

, então x y é:

a) 0. c) 2. e) 1.b) 1. d) 3.

108. (UEL-PR) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) 4xt, onde t 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será:a) 6.b) 8.c) 9.d) 8 4.e) 8.

Logaritmo e função logarítmica

109. (Ufam) Considere a equação em x, ax 1 b x

1

, onde

a e b são números reais positivos, tais que

n b 6n a 0 (n logaritmo natural). A soma das soluções da equação é:

a) 3. c) 1. e) 6.b) 2. d) 6.

110. (Unir-RO) A quantidade de madeira em uma floresta jovem aumenta, anualmente, segundo a função f(t) aqt (a 0, q 0, q 1) em que a representa a quantidade inicial de madeira, q o fator de crescimento e t o número de anos. Assinale a expressão que representa o número de anos ne-cessários para que a quantidade de madeira seja igual a b.

a) logq

ba

d) log

log

qba

b) log

log logb

a q

e) log

log

2

2

abq

c) log log

logb a

q

111. (UFPB) O conjunto solução da equaçãolog|x 2| (7 2x) = 2 é:a) S {3, 1}.b) S {1, 3}.c) S {1}.d) S {3}.e) S {1}.

112. (Uneb-BA) Sabendo-se que x IR é tal que

31

272 2 x e considerando-se log 2 0,30, pode-se

afirmar que log |x| pertence ao intervalo:01) ]∞, 3].02) ]3, 2].03) ]2, 0].04) ]0, 1].05) [1, ∞[.

113. (UFS-SE) Analise as afirmativas abaixo.0-0) Se A {2, 3, 5, 7, 8}, B {4, 5, 10, 12, 14} e R é

a relação de A em B definida por R {(a, b) A B | mdc(a, b) 2}, então R

tem 6 elementos.1-1) O conjunto imagem da função que associa a

cada número natural n o resto da divisão de n por 5 é {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

2-2) A sentença 2x 2x 1 4 é verdadeira para todo x real.

3-3) Se log9 12 + log9 y 12

, então y 14

.

4-4) No universo IR, o conjunto solução da inequa-

ção 2x 13

2 3( ) x 25

2 3( ) x (x – 1) mx 2,

m IR, é 233

, .�∞

O número m é igual a 3.

Page 14: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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114. (UEFS-BA) O conjunto X {x ZZ \ log6 (2

x 2) 1} está contido em:a) {1, 2}. d) {0, 2, 4}.b) {0, 1, 3}. e) {0, 3, 4}.c) {0, 2, 3}.

115. (UFRN) Os habitantes de um certo país são apreciado-res dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o Banco ZIG oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T log8 225, enquanto o Banco ZAG trabalha com a taxa (mensal) S log2 15. Com base nessas informações:a) estabeleça uma relação entre T e S.b) responda em qual dos bancos um cidadão desse

país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique.

116. (UFMA) A soma das raízes da equação2 log9 x 2 logx 9 5 é:

a) 92. c) 36. e) 84.b) 27. d) 76.

117. (UnB-DF)

atmosfera

calor

Terra

radiação luminosa

radiação infravermelha

A manutenção da temperatura na Terra pela atmosfera é um fator importante para a garantia de vida no planeta. Por isso, o aquecimento global que se tem verificado nos últimos anos, como consequência do efeito estufa, deve ser controlado. Estudos recentes demonstram que a temperatura média do planeta vem subindo. Se for mantida a tendência, nos próximos 50 anos haverá um aquecimento de 4 °C a 5 °C, o que pode provocar o degelo de parte das calotas polares e, como consequência, a elevação do nível dos ma-res e a inundação de cidades litorâneas. Comparando o ní-vel dos oceanos em 2000 com o registrado em 1900, verifi-ca-se uma elevação de 30 cm, e esse processo tem-se acelerado em consequência da atuação do homem.A energia luminosa solar incidente sobre o planeta é par-cialmente refletida pela atmosfera de maneira difusa. Como ilustrado na figura acima, parte da energia lumino-sa absorvida pela Terra é irradiada sob a forma de radia-

ção infravermelha, contribuindo para o efeito estufa. O aumento da emissão de gases na atmosfera, como o dió-xido de carbono, o metano, o ozônio e o óxido de dinitro-gênio, entre outros, eleva a temperatura da Terra. A função abaixo, em que A e k são constantes reais po-sitivas e a constante e é a base dos logaritmos neperia-nos, é um modelo que relaciona a variação T, em °C, da temperatura nos polos da Terra, com relação à existente em 2000, com a elevação h(T), em cm, do nível dos oceanos, com relação ao valor constatado em 1900:

h(t) Ae

e

kt

kt 9.

Considerando as informações acima, das quais se obtém h(0) 30, julgue os itens:1) No modelo proposto, A 300.2) A elevação de 1 cm no nível dos oceanos, com relação

ao nível verificado no ano 2000, resultará de uma varia-

ção da temperatura polar de �nA

kCk º .

319

118. (UFRN) Suponha que, numa colônia de fungos, a mas-sa biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), seja dada pela expressão

m tt

( ) 2

1011 gramas. (Considere que log10 2 0,3.)

De acordo com o ritmo de crescimento populacional estabelecido por essa expressão, a massa da popula-ção de fungos, em 50 horas, é da ordem de:a) 100 g. c) 10 000 g.b) 10 g. d) 1 000 g.

119. (Uespi) Após alguns experimentos envolvendo a mistura do enxofre com o sódio, um químico chegou a um pro-duto cuja relação entre a quantidade y de sódio em fun-ção da quantidade x de enxofre existente na sua compo-sição obedecia à equação y k x2n, onde k e n são duas constantes reais. Supondo que numa dessas expe-riências com o produto foram obtidos os dados da tabe-la a seguir, e que log 3 = 0,48, calcule o valor de 100n.

x y

3 15

30 50

a) 25 c) 37 e) 40b) 26 d) 38

120. (UFBA) O gráfico representa e função f: IR → ]1, ∞[; f(x) a b 2kx, sendo a, b e k constantes reais. A partir dessas informações, calcule f1(x).

y

x

5

3

1

–1 0

Page 15: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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121. (UFMT) O quadro abaixo apresenta o valor do logaritmo de 2 e 3 nas bases 2, 3 e 6.

Base do logaritmo

Logaritmando 2 3 6

2 a b c

3 d e f

A partir dessas informações, é correto afirmar que:

a) d 1c

1 d) d 1 1c

.

b) a 2e. e) b fc

.

c) c bf

.

122. (Ufop-MG) A soma das raízes da equação logarítmica

(log )2 21� x ( )log x2 1− 2 0 é:

a) 574

. c) 634

.

b) 1. d) 15.

123. (UFU-MG) Estimava-se que, no início do ano de 2003, as reservas mundiais de carvão seriam equivalentes a 6 1012 toneladas. Considerando que no ano de 2003 foram consumidas mundialmente 2,5 108 toneladas de carvão, que, em cada ano subsequente, poderá haver um aumento de 5% no consumo anual de carvão em relação ao ano anterior e que log10 1 201 3,08 e log10 1,05 0,02, pode-se afirmar que as reservas atuais de carvão poderão suprir as necessidades de consumo mundial:a) por menos que 40 anos.b) entre 40 e 80 anos.c) entre 81 e 89 anos.d) por mais de 90 anos.

124. (Unirio-RJ) Sabe-se que

1 log x log2 x log3 x ... 35

. Calcule o valor

de x3 sabendo que |log x| 1.

125. (UFRJ) Considere a log xx

1

e

b log [x 1x

1] , com x 1. Determine

log [x2 x 1 1

2x x ] em função de a e b.

126. (Mack-SP) Se (x, y) é a solução do sistema

( )

log( ) loglog

33

3

12

3

xy

x y

,, o valor de x y é:

a) 5. c) 7. e) 9.b) 6. d) 8.

127. (Mack-SP) A figura mostra os esboços dos gráficos das funções f(x) 22x e g(x) log2 (x 1).

y

x

BA

C

A área do triângulo ABC é:

a) 14

. c) 32

. e) 13

.

b) 52

. d) 25

.

128. (Unicamp-SP) O álcool no sangue de um motorista al-cançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) 2(0,5)t, em que t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constata-do. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo se o limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 grama por litro? (Use 0,3 para log10 2.)

129. (UFRGS-RS) Sabendo-se que logb a2 x e que logb2 a = y,

pode-se afirmar que x é igual a:

a) y. c) y4. e) 4y.b) y2. d) 2y.

130. (Furg-RS) Dada a equação log 1

3

2

x

log 1

3

4x

4

em que x representa um número real, é correto afirmar que essa equação:a) tem mais que duas soluções.b) tem uma única solução entre 1 x 3.c) tem duas soluções.d) tem uma única solução entre 0 x 1.e) não tem solução.

Progressões 131. (Ufam) Dadas uma PA e uma PG com três termos reais.

A soma da PA adicionada à soma da PG é igual a 26. Sabe-se que suas razões são iguais ao primeiro termo da PG, e que o primeiro termo da PA é igual a 2. A razão será igual a:

a) 2. c) 1. e) 3.b) 1. d) 2.

Page 16: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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132. (Ufac) Dentre as sequências abaixo somente uma não representa uma PA ou uma PG: Em qual dos itens abaixo ela aparece?a) Sequência dos números pares positivos.b) Sequência dos números primos maiores que 21 e

menores que 70.

c) 27; 9; 3; 1; 13

19

; ; ...

d) 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128;...

e) 32

3 24

; ; ; ;34

3 28

; ;38

3 216

...

133. (UFPB) Se as 4 (quatro) notas bimestrais de um aluno estão em uma progressão aritmética, de razão 2, e a mé-dia aritmética dessas notas é 7,0 (sete), então pode-se afirmar que a soma das duas primeiras notas é:a) 10,5. b) 10,0. c) 9,5. d) 9,0. e) 8,5.

134. (Ufal) Analise as afirmações abaixo.0-0) Se n IN*,o termo geral da sequência (2, 8, 32, 128, ...) é an 22n 1.

1-1) O 9o termo da sequência 14

19

116

125

, , , , ...

é

1100

.

2-2) Se o 3o e o 6o termos de uma progressão geomé-trica são, respectivamente, 1 e 8, a razão dessa progressão é 2.

3-3) A soma dos infinitos termos da progressão

118

164

, , , ...

é 78

.

4-4) Se a sequência (a, b, c) é uma progressão aritmé-tica de razão 1, então 3a 3b 3c 27a.

135. (UFRN) Caixas são empilhadas de modo que, vistas do topo para baixo, se observa o seguinte: uma fica em cima de duas, duas em cima de três, três em cima de quatro, e assim sucessivamente. Um funcionário expe-riente sabia que, para obter o total de caixas num em-pilhamento desse tipo, bastava contar quantas havia na base. Para conferir que existiam 210 caixas empilhadas, ele constatou que, na base, o número de caixas era:a) 30. b) 40. c) 20. d) 10.

136. (UFMA) Sejam f: IR → IR uma função afim definida por

f(x) 2x 1 e a sequência a1 2 , a2 2 2,

a3 2 4, a4 2 6, a5 2 8, ..., então

f(a1), f(a2), f(a3), f(a4), ... formam uma:

a) PA de razão 2. d) PA de razão 4.b) PG de razão 2. e) PG de razão 16.c) PG de razão 4.

137. (UFPI) Seja p 0 um número real. Então, o sétimo ter-

mo da progressão aritmética (n p ; n p ;3 n p ;6 ...)

é igual a:

a) n p

5. c)

n p14

. e) n p10

.

b) n p

7. d)

n p2

.

138. (UnB-DF) Na figura abaixo, Ak representa a área do k-ésimo quadrado sombreado, cujo lado é o dobro do lado do (k 1)-ésimo quadrado, para k 1, 2, 3, …

A1

12

A2

A3

12

12

12

Com base na figura acima, julgue os itens que se seguem.

1) A4

1256

.

2) A

A201

200

18

.

3) A1 A2 ... A10 13

.

4) O menor valor de k para o qual

A1 A2 ... Ak 13

11200

é igual a 5.

139. (IME-RJ) Um quadrado de lado igual a um metro é di-vidido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessiva-mente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo.

1 m

Primeira etapa

Segunda etapa

Terceira etapa

Quarta etapa

Page 17: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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Quando n → ∞, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:

a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.

140. (Fuvest-SP) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamen-te positivos tais que log2 a1, log2 a2, log2 a3, log2 a4, log2 a5 formam, nesta ordem, uma progressão aritméti-

ca de razão 12

. Se a1 4, então o valor da soma

a1 a2 a3 a4 a5 é igual a:

a) 24 2 . d) 28 12 2 .

b) 24 2 2 . e) 28 18 2 .

c) 24 12 2 .

141. (Vunesp) Um fazendeiro plantou 3 960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x r) árvores, r 0, e assim sucessivamente, sempre plan-tando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2 160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi:a) 50. c) 100. e) 165.b) 75. d) 150.

142. (Mack-SP) As medidas dos lados de um triângulo re-tângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medi-da do maior cateto, a área do triângulo é:

a) 43

2b. c) 4b2. e) b2.

b) 32

2b. d)

38

2b.

143. (UFRGS) Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo através das medidas de seus lados:– Triângulo I: 9, 12 e 15.– Triângulo II: 5, 12 e 13.– Triângulo III: 5, 7 e 9.Quais são triângulos retângulos com as medidas dos lados em progressão aritmética?a) Apenas o triângulo I.b) Apenas o triângulo II.c) Apenas o triângulo III.d) Apenas os triângulos I e III.e) Apenas os triângulos II e III.

144. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).01) O vigésimo termo da progressão aritmética

(x, x 10, x2, ...) com x 0 é 186.02) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA cres-

cente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então xy 12.

04) O valor de x na igualdade x x x3 9

... 12,

na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

08) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2 1.

16) O termo 1

1 024 encontra-se na décima segunda po-

sição na progressão geométrica 2 112

, , , ... .

145. (Furg-RS) Qual a razão de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é igual a 1, para que a soma de seus 10 primeiros termos seja igual a 10 vezes a sua razão?

a) 13

c) 27

e) 1,3

b) 27

d) 13

146. (Udesc) A soma do segundo com o décimo primeiro termo de uma PA de n termos é 78, e a soma do quarto termo dessa PA com o oitavo termo é 72. Sabendo que a soma de todos os termos dessa PA é 468, encontre a razão, o número de termos e escreva essa PA.

147. (UPF-RS) Uma PA de termos não negativos apresenta a seguinte característica: a8 a4 8 e (a1)

2 9. So-bre esta PA a alternativa incorreta é:a) É uma PA decrescente.b) (a2)

2 25. c) a4 a8 26.d) A soma dos dez primeiros termos é 120.e) A razão está no intervalo [1, 2].

Matemática financeira

148. (UFPA/PSS) Se uma poupança rende 0,9% ao mês e S é a aplicação inicial, então em 7 meses o saldo acumu-lado é dado por:a) 0,097 S. d) (1 7 0,09)S.b) 7 0,009S. e) (1,009)7S.c) 1,097S.

149. (UFT-TO) Uma mercadoria, cujo preço era de R$ 80,00, passou a custar R$ 90,00. Então, é correto afirmar que o preço dessa mercadoria sofreu um reajuste:a) de 10%. c) maior que 20%.b) maior que 12%. d) menor que 10%.

150. (UFRN) Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual em milhões de toneladas ainda é inferior à da Alemanha, à da Austrá-lia, à do Canadá, à da China, à dos EUA, à da França, à

Page 18: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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da Índia e à do México. O gráfico abaixo mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000.

PRODUÇÃO MUNDIAL DE SAL EM 2000

Milhões de toneladas50

40

30

20

10

0Bra

6

169 9

13

30

43

715

Ale Aus Can Chi EUA Fra Ind Méx

Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil na produção mundial de sal em 2000 foi de:a) 4%. c) 6%.b) 5%. d) 11%.

151. (UFPE) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de qua-tro canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor? a) 0,05% c) 5% e) 50%b) 0,5% d) 15%

152. (UFPE) O plano de pagamento de um apartamento consiste em prestações mensais calculadas da seguin-te forma:— A primeira mensalidade é de R$ 400,00.— As mensalidades dos meses subsequentes são obti-das multiplicando-se o valor da mensalidade do mês anterior por 1,01.Se o pagamento estende-se durante 10 anos, qual o valor total pago, em milhares de reais? Dado: Use a aproximação 1,01120 3,30.

153. (Cefet-CE) Considere a proporção xy

zt

.

Se t z x y 0, então t z é igual a:a) y x. d) x y.b) x y. e) xy.c) x y.

154. (Uneb-BA) O lucro de um comerciante na venda de um produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das unidades vendidas. Sabendo-se que, quan-do são vendidas 2 unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de 10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a:01) 500,00. 04) 2 500,00.02) 1 000,00. 05) 2 800,00.03) 1 600,00.

155. (UFPI/PSE) Uma loja oferece duas opções de paga-mento para seu cliente: à vista, com 10% de desconto ou em duas prestações mensais iguais, sem desconto,

sendo que a primeira prestação é paga no ato da com-pra. A taxa mensal cobrada pela loja é:a) 30%. c) 10%. e) 5%.b) 25%. d) 15%.

156. (UnB-DF) A tabela a seguir representa os percentuais dos grupos sanguíneos na população de um país.

O A B AB

Rh 35,0% 38,1% 6,2% 2,8%

Rh 9,0% 7,2% 1,2% 0,5%

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.1) A porcentagem da população desse país pertencen-

te ao grupo O é superior a 45%.2) A porcentagem da população com fator Rh é infe-

rior a 80%.3) Dos indivíduos que pertencem ao grupo AB, o per-

centual daqueles com fator Rh é superior a 15%.

157. (UFMS) Uma loja vende um produto por R$ 510,00 para pagamento à vista. Um cliente pode pedir um fi-nanciamento pelo plano (1 1) pagamentos iguais, ou seja, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e o segundo, um mês após essa data. Se a taxa de juros praticada pela loja for de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será de:a) R$ 267,60. d) R$ 257,50.b) R$ 265,20. e) R$ 270,50.c) R$ 260,00.

158. (UFMT) A alimentação é um dos itens que compõem a cesta básica. Numa determinada semana, o preço da cesta básica aumentou 1,35%, exclusivamente em vir-tude de um acréscimo de 1,8% nos preços dos alimen-tos. Nessas condições, o percentual da participação dos alimentos no cálculo do valor da cesta básica é:a) 60%. c) 70%. e) 75%.b) 65%. d) 80%.

159. (Fuvest-SP) Uma fazenda estende-se por dois municí-pios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Saben-do-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a:

a) 29

. c) 49

. e) 79

.

b) 39

. d) 59

.

160. (Vunesp) No ano passado, a extensão da camada de gelo no Ártico foi 20% menor em relação à de 1979, uma redução de aproximadamente 1,3 milhão de quilô-

Page 19: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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metros quadrados (Veja, 21/06/2006). Com base nes-ses dados, pode-se afirmar que a extensão da camada de gelo no Ártico em 1979, em milhões de quilômetros quadrados, era:a) 5. c) 6. e) 7.b) 5,5. d) 6,5.

161. (FGV-SP) Se um automóvel custa hoje R$ 45 000,00 e a cada ano sofre uma desvalorização de 4%, o seu valor, em reais, daqui a dez anos, pode ser estimado em:a) 45 103 (1,04)10. d) 45 103 (0,96)10.b) 45 103 (1,04)10. e) 45 107.c) 45 103 (0,96)10.

162. (FGV-SP) Uma empresa acredita que, diminuindo 8% o preço de determinado produto, as vendas aumentarão cerca de 14%. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja expressa por uma função linear. Nesse caso, uma redução de 14% no preço do produto acarretará um aumento na quantida-de vendida de:a) 18,4%. d) 24,5%.b) 20%. e) 8%.c) 26,5%.

163. (FGV-SP) Carlos recebeu R$ 240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que res-tou em fundos de investimentos de três instituições fi-nanceiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$ 144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendi-mentos anuais foram de 20%, 10% e 30%, respectiva-mente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$ 240 000,00, recebido inicialmente, em:a) 80%. d) 18,50%.b) 30%. e) 17%.c) 20%.

164. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).01) As promoções do tipo “leve 5 e pague 4”, ou seja,

levando-se um conjunto de 5 unidades, paga-se o preço de 4, acenam com um desconto de 25%.

02) 802

%%

40%.

04) (30%)2 0,09.08) Uma pedra semipreciosa de 20 g caiu e se partiu

em dois pedaços de 4 g e 16 g. Sabendo-se que o valor, em uma certa unidade monetária, desta pe-dra é igual ao quadrado de sua massa expressa em gramas, a perda é de 32% em relação ao valor da pedra original.

16) Um quadro cujo preço de custo era R$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Neste caso, o lucro obti-do na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.

165. (Ufpel-RS) Um dos motivos que leva as pessoas a en-frentarem o problema do desemprego é a busca, por par-te das empresas, de mão-de-obra qualificada, dispen-sando funcionários não habilitados e pagando a indeniza-ção a que têm direito. Um funcionário que vivenciou tal problema recebeu uma indenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a razão da primeira para a segunda

é de 45

e a razão da segunda para a terceira, de 6

12.

Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:a) o valor de cada parcela.b) o tempo necessário para que o funcionário aplique

o valor da primeira parcela, a juro composto, a uma taxa de 1% ao mês, para acumular um montante de R$ 12 738,00.

c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para que o funcionário, no final de 2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.

Trigonometria no triângulo retângulo

166. (Ufam) Em relação ao triângulo ABC abaixo:

HA C

B

h

Dados AB 3 cm, AC 8 cm e  60º. Pode-se dizer então, que é verdadeira a seguinte afirmação:

a) Seu perímetro é 20 cm.

b) sen AA 12

.

c) Sua área é 6 3 cm2.

d) É um triângulo retângulo.

e) BH 7 3

2 cm.

167. (UEFS-BA) Uma escada, representada na figura pelo

segmento AC, mede 10 u.c. e está apoiada no ponto

C de uma parede, fazendo, com o solo plano, um ângulo tal que tg() 2.

C

A

Page 20: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

Uma pessoa que subiu 23

dessa escada está a uma

altura, em relação ao solo igual, em u.c., a:

a) 23

. c) 4 2

3. e)

3 52

.

b) 52

. d) 4 3

3.

168. (UEFS-BA) Na figura, o segmento tBDu é tangente à cir-cunferência de centro C e raio 4 cm e tADu é perpendi-cular a tBDu.

A

45°

D

BC

Nessas condições, a área do trapézio ADBC mede, em cm2, aproximadamente:

a) ( ).2 2 1� d) 4 2 1 .�( )b) 4 2 2 1 .( ) e) .2 1�( )c) 8 2 1 .( )

169. (UFPI/PSE) O piloto de um pequeno avião, pensando que estava em direção a uma cidade B, ao norte, distan-te 60 km de seu ponto de partida, equivocou-se em sua orientação e rumou ao oeste. Ao perceber o grave erro cometido, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à direita em um determinado ponto C de sua trajetória, de modo que o seu trajeto, juntamente com o que deveria ter sido seguido, forma um triângulo ABC, retângulo em A, onde A representa o seu ponto de partida. Com base nessas informações, a distância em quilômetros que o piloto voou, partindo de A até chegar ao ponto B, é:

a) 20 3 . d) 70 3

3.

b) 60 3 . e) 20 20 3

3.

c) 20 20 3 .

170. (UFG-GO) A figura abaixo representa uma pipa simé-trica em relação ao segmento AB, onde AB 80 cm.

A30° 60°

B

C

D

Então a área da pipa, em m2, é de:

a) 0 8 3, . d) 16 3, .

b) 016 3, . e) 3 2 3, .

c) 0 32 3, .

171. (Vunesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

3°30 m

topo da rampa

ponto de partida

Use a aproximação sen 3° 0,05 e responda: O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer comple-tamente a rampa é:a) 2,5. c) 10. e) 30.b) 7,5. d) 15.

172. (Vunesp) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (diantei-ra) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (despre-zando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura.

7 dm

P

A

Q

B

3 dm2 dm

r

a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BA PQ.

b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.

173. (FGV-SP) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 e o ângulo AA BC mede 60°. A soma das medidas dos catetos vale:

a) 15 1 3

4

( ).

� d)

152

.

b) 154

. e) 15 1 3

2.

�( )

c) 15 1 3( ).�

Page 21: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

174. (UFV-MG) Considere o triângulo retângulo ABC abai-xo, com tACu x, tBCu y, AA , A B e AC 90°.

A

B

C

É correto afirmar que:a) se 45°, então y x.b) se 65°, então x y.

c) se x 35

e y 47

, então 45°.

d) se x log 2 e y log 3, então 30°. e) se 60°, então y x.

175. (Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilí-nea e sua velocidade se mantenha constante ao longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lança-mento. Os valores de x e y são, respectivamente:

a) 90 e 90 3 . c) 450 e 450 3 .

b) 90 3 e 90. d) 450 3 e 450.

176. (ITA-SP) Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma se-gunda circunferência de raio R2, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 externamente.

Calcule R R

h1 2

.

177. (UFRRJ) Em um campo de futebol, o “grande círculo” é formado por uma circunferência no centro, de 30 me-tros de diâmetro, como mostra a figura:

30°

A

B

C

Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros que ele traçou foi de:

a) 5 3 .m d) 15 3 .m

b) 10 3 .m e) 15 2 .m

c) 10 2 .m

178. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altu-ra de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodoli-to (instrumento óptico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir.

30°

Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metro do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é:(Use os valores: sen 30° 0,5; cos 30° 0,866; tg 30º 0,577.)a) 112. c) 117. e) 124.b) 115. d) 120.

179. (Ufla-MG) Duas pessoas A e B estão situadas na mes-ma margem de um rio, distantes 60 3 m uma da ou-tra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está situada de tal modo que tABu seja perpendicular a tACu e a medida do ângulo AACB seja 60°.

60°

A60√3 m

C

B

A largura do rio é:

a) 30 3 .m d) 20 3 .mb) 180 m. e) 60 m.

c) 60 3 .m

180. (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir.

30°

4 m

1,5 mM N1 m

A distância entre M e N é, aproximadamente:a) 4,2 m. c) 5,9 m. e) 8,5 m.b) 4,5 m. d) 6,5 m.

181. (PUC-RS) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8 m. Duas jogadoras, A e B, em um determi-

Page 22: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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nado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura abaixo.

A

B

1 m

2 m

A distância x, percorrida pela jogadora B para se deslo-car paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, é:a) x 5 tg . d) x 2 tg .b) x 5 sen . e) x 2 cos .c) x 5 cos .

182. (UFPR) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa para para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal. Após caminhar 49 m, para uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize 3 17� , . Nessa situação, é correto afirmar:(01) O edifício tem menos de 30 andares.(02) No momento em que a pessoa para pela primeira

vez, ela está a 160 m da portaria do edifício.(04) Quando a pessoa para pela segunda vez, a dis-

tância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do edifício.

(08) Se, depois da segunda vez em que para, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal.

Soma ( )

Geometria plana

183. (UFT-TO) Observe este triân-gulo isósceles ABC.Nessa figura, a medida do ân-gulo BAAC é e a medida do ângulo AA BC e do BACA é 2. Além disso, o segmento BD é bissetriz do ângulo AABC, BC a e AC b. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que a área do triângulo ADB é:

a) ab2

. c) b a b4

4

2 2.

b) a a b4 2 2 . d) ab 3

4.

B

A

2�C

D

B

A

2�C

D

184. (UFPB) Dividindo uma circunferência qualquer em exata-mente trezentos arcos iguais, considere, como um trento, a medida do ângulo central correspondente a um desses arcos.

A B

V

Sendo tABu um diâmetro e V um ponto, da circunferên-cia acima, distinto de A e B, o ângulo AA VB inscrito tem, como medida, em trentos:a) 25. c) 75. e) 125.b) 50. d) 100.

185. (Ufal) O retângulo ABCD é tal que AB 8 cm, AD 6 cm e suas diagonais interceptam-se no ponto P. Se M e N são os respectivos pontos médios de tADu e tABu e se tMNu intercepta tACu em Q, qual a área do quadrilátero BPQN?

186. (UFRN) A figura a seguir é composta por 16 circunfe-rências inscritas em 16 quadrados, cujos lados medem 2 cm de comprimento. Os segmentos de retas que cor-tam as circunferências são paralelos e a distância entre dois segmentos vizinhos quaisquer é sempre a mesma.

A área sombreada da figura mede:a) 6π cm2. c) 9π cm2.b) 8π cm2. d) 11π cm2.

187. (UFPE) Uma propriedade rural tem a forma do triângulo ABC representado na figura. A região cultivada corres-ponde apenas à porção sombreada.

B

C

D

E

A

Sabendo-se que AD 34

AB e AE 34

AC, que por-

centagem da área da propriedade rural é cultivada?a) 50% d) 75%

b) 60% e)

12

23

34

100%c) 66%

Page 23: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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188. (Uespi) Um teleférico une os picos A e B de dois mor-ros de altitudes 600 m e 800 m, respectivamente, sen-do de 700 m a distância entre as retas verticais que passam por A e B. Na figura abaixo, que não guarda as devidas proporções com as medidas reais, o ponto T representa o teleférico subindo. Nessas condições e desprezando as dimensões do teleférico, calcule a que altura do solo o mesmo se encontra, quando seu des-locamento horizontal for de 70 m.

70 m

A

B

T

600 m800 m

700 m

a) 620 m c) 650 m e) 730 mb) 640 m d) 720 m

189. (UFBA) Na figura abaixo, todos os triângulos são re-tângulos isósceles, e ABCD é um quadrado. Nessas

condições, determine o quociente GH

CE.

D

AB

G

C H

F

E

190. (UnB-DF) Três companhias se uniram para formar uma nova empresa. O logotipo adotado para simbolizar essa fusão está representado na figura abaixo e foi ob-tido a partir de três semicircunferências de mesmo raio R e com centros nos pontos A, B e C.

A C

D EB

F

Sabendo que R 2 3 m, que os pontos A, B e C são os vértices de um triângulo equilátero de lado R e que existe uma circunferência de raio r que passa pelos pontos A, B e C, escolha apenas uma das opções a se-guir e faça o que se pede, desprezando a parte fracionária do resultado final obtido após efetuar todos os cálculos necessários. Não utilize valores aproximados para 3 .

1) Calcule, em metros, o quadrado da distância entre os pontos A e C.

2) Calcule, em cm, a distância entre os pontos A e E.3) Calcule, em cm, o raio r.

191. (UnB-DF) Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é um dos lados do triângulo equilátero ABC intercepta os outros dois lados desse triângulo nos pontos D e E, conforme ilustra a figura abaixo. Sabendo que o diâme-tro AB mede 16 cm, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.

O

C

A B

ED

1) Calcule a medida, em graus, do ângulo AAOD.

2) Calcule o comprimento, em mm, do segmento DE.

3) Determine a porcentagem da área do triângulo ABC ocupada pelo quadrilátero ABED.

192. (UFMS) Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2 são tangentes.

1 cm

C1C2

Sabendo que a distância entre os centros delas é igual a 1 cm e que a área da região hachurada é igual a cin-quenta por cento da área da circunferência C2, então os raios de C1 e C2 são dados, respectivamente, por:

a) 1 2� cm( ) e .2 2� cm( )

b) 1 2� cm( ) e ( ) .2 2� cm

c) 3 8� cm( ) e .4 8� cm( )

d) 1 2 2 cm( ) e .2 2 2� cm( )

e) 2 2� cm( ) e .3 2� cm( )

193. (Ufop-MG) Na figura, O é o centro da circunferência indicada, cujo diâmetro mede 20 cm.

5 cmO

Q

P

Page 24: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� PB

A medida do segmento tPQu, em cm, é:

a) 5 2 . b) 5 3 . c) 10. d) 12.

194. (Ufes) Sabendo que tADu e tBCu são perpendiculares e que 3AC 8AD, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC da figura é:

a) 43

AB. b) AB. c) 43

AC. d) AD. e) 43

AD.

A

B

C

D

195. (Fuvest-SP) Na figura, OAB é um setor circular com cen-tro em O, ABCD é um retângulo e o segmento tCDu é tan-gente em X ao arco de extremos A e B do setor circular.

x

O

D

A

C

B

Se AB 2 3 e AD 1, então a área do setor OAB é

igual a:

a) π3

. c) 43π

. e) 73π

.

b) 23π

. d) 53π

.

196. (Fuvest-SP) A figura representa um retângulo ABCD, com AB 5 e AD 3. O ponto E está no segmento tCDu de maneira que CE 1, e F é o ponto de intersecção da diagonal tACu com o segmento tBEu.

D C

F

E

A B

Então a área do triângulo BCF vale

a) 65

. c) 43

. e) 32

.

b) 54

. d) 75

.

197. (Fuvest-SP) Uma folha de papel ABCD de formato retan-gular é dobrada em torno do segmento tEFu de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura.

A BF

G

CD

E

Se AE 3 e BG 1, então a medida do segmento tAFu é igual a:

a) 3 5

2. b)

7 58

. c) 3 5

4. d)

3 55

. e) 53

.

198. (UFRGS-RS) Uma das dimensões de um certo retân-gulo é o dobro da outra. A expressão algébrica da área A, desse retângulo, em função do seu perímetro P, é:

a) P2

18. d)

P2

4.

b) P2

9. e)

P2

2.

c) P2

6.

199. (UFPR) Duas caixas de papelão, de formato cúbico, foram colocadas embaixo de uma escada, como sugere o desenho abaixo, que representa um corte de perfil.

x

Sabendo que a aresta da caixa maior mede 70 cm e que a aresta da caixa menor mede 30 cm, quanto mede a distância x indicada no desenho?a) 22,0 cm d) 21,0 cmb) 21,5 cm e) 20,5 cmc) 22,5 cm

200. (UFSC) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 12 cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm2) do quadrado.

Page 25: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

PB ��

Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer 201. (UFPI/PSE) Seja ABC um triângulo sobre o qual sabe-

mos que a medida do ângulo em B é 15°, a medida em C é 45° e a medida do lado BC é 18 cm. A medida do lado AB é:

a) 6 cm. d) 6 6 cm.

b) 3

2cm. e)

62

cm.

c) 62

.

202. (UFPE) As cidades A, B e C estão situadas numa re-gião plana e a distância entre A e B é 4 km, a distância entre A e C é 10 km e o ângulo BAC mede 60°. Preten-de-se construir uma escola num ponto da região plana situado à mesma distância d km de A, B e C. Indique 3d2.

A

C

B

4

60°

10

203. (Ufes) Duas viaturas policiais A e B perseguem um carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A pos-sui um radar que informa ao Comando Central que a distância dela até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse instante, o ângulo ABBC é de 45°. Sabendo que o carro C está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em km, entre B e C. A resposta é:

a) 2 3 4. d) 3 2 3.

b) 4 2 2. e) 2 2 4.

c) 3 2 2.

204. (Unicamp-SP) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura abaixo:

A 150°

90°30°

1 km

2 km

B

C

N

a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.

b) Calcule o comprimento do segmento NB.

205. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, tem-se AC 3, AB 4 e CB 6. O valor de CD é:

A

C BD

a) 1712

. b) 1912

. c) 2312

. d) 2512

. e) 2912

.

206. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB AC. O ângulo entre o lado tABu e a altura do triângulo ABC em relação a tBCu é . Nestas condições, o quociente entre a área do triângu-lo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de , pela expressão:

A

B C

a) 2π

cos2 . d) 2π

sen cos 2.

b) 2π

sen2 2. e) 2π

sen 2 cos2 .

c) 2π

sen2 2 cos .

207. (Mack-SP) Na figura, se AB AC, a área do triângulo ABC é:

a) 12

. d) 32

.

b) 34

. e) 43

.

c) 14

.

208. (Unifesp) A figura representa, em um sistema ortogo-nal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F,

A

B C

30°

√3 – 1

A

B C

30°

√3 – 1

Page 26: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

correspondentes às intersecções das retas e do eixo Ox com a circunferência.

B

s r

A(1, 2)

CO

F

D E

y

x

Nestas condições, determine:a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área

do hexágono ABCDEF.b) O valor do cosseno do ângulo A BOB.

209. (Vunesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interli-gadas por rodovias, con-forme mostra a figura:A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC,

são tais que sen x 34

e sen y 37

. Deseja-se

construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que,

dada a disposição destas cidades, será paralela a BC.a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilô-

metros tem a rodovia BC.b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos

quilômetros terá a rodovia DE.

210. (UFRJ) O objetivo desta questão é que você demons-tre a lei dos cossenos. Mais especificamente, conside-rando o triângulo da figura a seguir, mostre quea2 b2 c2 2bc cos .

A B

C

b a

c�

211. (Unicamp-SP) Sejam A, B e C pontos de uma circun-ferência tais que, tABu 2 km, tBCu 1 km e a medida do ângulo ABBC seja de 135°.a) Calcule o raio dessa circunferência.b) Calcule a área do triângulo ABC.

212. (Mack-SP) Supondo 3 1,7, a área do triângulo da figura vale: a) 1,15. d) 1,35.b) 1,25. e) 1,45.c) 1,30.Dado:sen 105°

2 64

.

A BD

E

x y

C

A BD

E

x y

C

30°

2

45°

30°

2

45°

213. (Fatec-SP) Em um paralelogramo ABCD, os lados tABu e tADu medem, respectivamente, x 2 cm, x cm, e é

o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diago-

nal maior mede 2x cm, então o ângulo é tal que:

a) cos 144

. d) sen 12

.

b) sen 24

. e) tg 7 .

c) cos 3

2.

214. (UEL-PR) Entre os povos indígenas do Brasil contempo-râneo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 9 000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia yano-mami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, per-corra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é:

a) 8 3 km. d) 8 2 km.

b) 8 3

3 km. e) 2 8 km.

c) 3 8 km.

215. (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é 3, a do ângulo E é 75°, e a do ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a

distância AC é 2 e que o segmento ED é perpendi-

cular a AB. Nessas condições, é correto afirmar:01) A medida do ângulo B é igual a 60°.

02) AD ED

04) EB 6

08) EC 5

Soma ( )

Conceitos trigonométricos básicos 216. (UFPA) Um engenheiro, responsável pela construção

de uma pista de atletismo circular de 400 m, precisa orientar o pintor responsável por pintar as linhas de largada e chegada e as faixas de corrida de cada cor-redor, de modo que cada corredor corra apenas 400 m entre sua linha de largada e a linha de chegada, dentro de uma faixa de 1 m de largura. Considerando que:

Page 27: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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• o corredor que corre a faixa 1, a faixa mais próxima do centro da pista, parte da linha de chegada;

• a linha de chegada e a linha de largada do sexto corredor formam um ângulo de, aproximadamen-te, 0,457 radianos e que o comprimento do arco entre a linha de chegada e a linha de largada do sexto corredor é 31,43 m (veja figura abaixo);

• o raio de cada faixa é dado pelo segmento que une o centro da pista à circunferência menor da faixa;

Linha de largadado sétimo corredor

Linha de largadado sexto corredor

Linha de chegada

então, admitindo que 2π 6,28, o comprimento, apro-ximado, do arco entre a linha de chegada e a linha de largada do sétimo corredor é:a) 41,25 m. c) 36,12 m. e) 40,10 m.b) 35,11 m. d) 38,15 m.

217. (UFRN) Na representa-ção ao lado, EF é diâme-tro da circunferência; EG e FG são catetos do tri-ângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a Ox para qualquer . O raio da circunferência é unitário. Nessas condições, podemos afirmar que, para qualquer (0° 90°):

a) FGEG

2 tg . c) tOHu cos (90° ).

b) sen2 cos2 tEFu. d) tFGu 2 sen .

218. (UFRN) A figura ao lado é composta por dois eixos per-pendiculares entre si, x e y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo z, pa-ralelo a y e tangente ao círculo no ponto P. A se-mirreta OQ, com Q per-tencente a z, forma um ângulo com o eixo y.

Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é:a) sec . b) tg . c) cotg . d) cos .

O

F

G

H

E

y

xO

F

G

H

E

y

x

O

Q

P

y z

xO

Q

P

y z

x

219. (Cefet-CE) Um ângulo mede, em graus, 22º30. A sua medida, expressa em radianos, é:

a) π8

. b) π4

. c) π

12. d)

π9

.

220. (Unifor-CE) Na figura ao lado tem-se o triângulo OAB, inscrito em um ciclo trigonométrico:Se o ponto B é a extremi-dade do arco de medida

43π

rad, o perímetro

do triângulo OAB, em unidades de comprimento, é:

a) 2 3 . c) 1 2 3 . e) 4 2 3 .

b) 3 3 . d) 2 2 3 .

221. (UFPE) Três coroas circulares dentadas C1, C2 e C3 de raios r1 10 cm, r2 2 cm e r3 5 cm, respectivamen-te, estão perfeitamente acopladas como mostra a figura a seguir. Girando-se a coroa C1 de um ângulo de 41 no sentido horário, quantos graus girará a coroa C3?

r1

C1

C2C3

r2r3

222. (Unifor-CE) Sejam os arcos trigonométricos , e , tais que:• e pertencem ao 1‚ quadrante e pertence ao

2‚ quadrante;• e são complementares;• e são suplementares.

Nessas condições, é correto afirmar que:a) cos cos . d) sen cos .b) tg tg . e) sen cos .c) tg tg .

223. (Unifor-CE) O arco mede 7 632°. O arco , tal que 0 90°, é côngruo a . A medida de , em radia-nos, é:

a) π6

. b) π5

. c) π3

. d) 25π

. e) 27π

.

224. (Unifor-CE) Seja S o conjunto de todos os valores po-

sitivos de

3 que são menores que 360°.

Se sen 3

2, então o número de elementos de S é:

a) 2. c) 6. e) 10.b) 4. d) 8.

O

B

A

y

xO

B

A

y

x

Page 28: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

225. (Unifor-CE) O valor da expressão

cos π π π3 6 12

sen π π π3 9 27

é:

a) 12

. b) 1. c) 0. d) 1. e) 32

.

226. (Ufal) O seno de um arco de medida 2 340° é igual a:

a) 1. b) 12

. c) 0. d) 3

2. e)

12

.

2 27. (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instan-te, 1 hora e 15 minutos. Admita que o ponteiro dos mi-nutos, a partir desse instante, se movimente 36°. Nes-sas condições, o novo horário apresentado por esse relógio é:a) 1 hora e 51 minutos. d) 1 hora e 36 minutos.b) 1 hora e 31 minutos. e) 1 hora e 21 minutos.c) 1 hora e 43 minutos.

228. (Ufop-MG) Um ciclista percorre uma pista circular de 500 m de raio. Se os pneus da sua bicicleta têm 20 cm de raio, o número de voltas que cada pneu dá quando o ciclista completa uma volta na pista é:a) 6 250 000. b) 2 500. c) 625. d) 25.

229. (Mack-SP) A figura representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura.

k d

posições de partidapara corridas de 300 m

linha de chegadapara corridas de 300 m

d d

r

sentido das corridas

r

Sendo r 10 m e adotando π 3, o valor de k d é:a) 248 m. c) 245 m. e) 240 m.b) 247 m. d) 244 m.

Transformações trigonométricas 230. (Ufac) O subconjunto A do intervalo [0, 2π], onde

sen x 0 e cos x 0 para todo x em A, é:

a) 02

, .π

c) [π, 2π]. e) [0, π].

b) π π2

, .

d) 32

2π π, .

231. (Ufam) Dado tg x2

12

, então sen x cos x é igual a:

a) 75

. b) 45

. c) 35

. d) 15

. e) 25

.

232. (Unir-RO) A soma de todas as soluções reais da equa-ção sen 2x cos x no intervalo [0, 2π] é:a) 4π. c) 2π. e) 5π.b) π. d) 3π.

233. (UFRN) Na representa-ção ao lado, EF é diâme-tro da circunferência; EG e FG são catetos do triân-gulo retângulo FGE, ins-crito na circunferência trigonométrica; e FG é perpendicular a OX para qualquer a. O raio da cir-cunferência é unitário.Nessas condições, podemos afirmar que, para qual-quer (0 90):

a) FGEG

2 tg . c) OH cos (90 ).

b) sen2 cos2 EF. d) FG 2 sen .

234. (UFCG-PB) Um marceneiro construiu uma peça pro-jetada por um engenheiro e, curioso, anotou as se-

guintes informações: sen x a, cos x b,

cos 2x 12

e 32π

x 2π. Um mês depois de

construída a peça, o engenheiro perguntou ao marce-neiro pelo projeto, para fazer uma modificação num ân-gulo da peça. Tendo extraviado aquele projeto, o marce-neiro forneceu ao engenheiro somente as informações anotadas. A partir dessas informações, o engenheiro calculou, corretamente, a medida do ângulo x que a peça deveria ter e encontrou x igual a:

a) π3

. b) 11

. c) 56π

. d) 53π

. e) 73π

.

235. (UPE) As raízes da equação x2 3x 2 0 são tg e tg . Pode-se afirmar que tg ( ) é igual a:a) 3. b) 2 c) 2. d) 3. e) 0.

236. (Unit-SE) Seja ABC um triângulo retângulo em A. So-bre a hipotenusa desse triângulo, considere um ponto D tal que tBDu tDCu e tABu tADu. Se é a medida do ângulo interno ABBD, então tg 2 é igual a:

a) 2 3 . b) 3 . c) 33

. d) 33

. e) 3 .

237. (UFMA/PSG) Se x 02

, ,π

então a soma das raí-

zes da equação 1 cos 2x cos 4x cos 6x 0 é:

a) 1112

π. b) 0. c) 1. d) π. e)

1312

π.

O

F

G

H

E

y

xO

F

G

H

E

y

x

Page 29: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

238. (UFMA) Sejam a, b IR e

M cos ( ) cos ( )( )a b a b

sen a b sen

(( ).

a b

Em relação ao va-

lor de M, é correto afirmar que:a) ele é sempre igual a 1. d) M tg (a b).b) só depende de a. e) M cotg b.c) só depende de b.

239. (UFPI/PSIU) Sejam e tais que 0 π2

e

0 π2

. Se tg 34

e tg 2, então,

log6 [4 sen ( ) 2 cos ( )] é:

a) 1 log6 4 23

log6 5.

b) 1 log6 4 32

log6 5.

c) 1 log6 4 32

log6 5.

d) 1 log6 4 23

log6 5.

e) 1 log6 4 23

log6 5.

240. (UFPI/PSE) Sabendo que sen x cos x 34

, pode-

mos afirmar que sen 2x é:

a) 1316

. c) 1316

. e) 34

.

b) 3

16. d)

1316

.

241. (Uece) Se a igualdade tg x cotg x 4 é verdadeira para alguns valores de x, então, para estes mesmos valores de x, sen 2x, é igual a:a) 0,2. c) 0,3.b) 0,4. d) 0,5.

242. (Uece) A soma das soluções da equação2 cos2 x 2 sen2 x 1 0, no intervalo [0, 2π], é:

a) 1116

π. b) 3π. c) 4π. d)

236π

.

243. (UFG-GO) Uma empresa de engenharia deseja cons-truir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura abaixo:

A C

Reserva�orestal

D

B

A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro da distância

de B a D, o ângulo , formado pelos dois trechos reti-líneos da estrada, mede:a) 110°. b) 120°. c) 130°. d) 140°. e) 150°.

244. (Udesc) Sendo sen x n:

a) encontre o valor de n, que verifica a igualdade da

expressão 2 tg2 x 2cos

tg xx

1 0;

b) encontre o valor numérico de sen 2x cos 2x.

As funções trigonométricas2 45. (Ufam) A expressão

tg x cotg (x) sen π2

x

cos (π x), em

que 0 x π2

, é equivalente a:

a) x

tg x. c) cos 2x. e) x sec x.

b) 2

2sen x. d)

cot.

g xx

246. (UFPB/PSS) Se x é um arco do primeiro quadrante

satisfazendo a equação x arcsen 35 2

o va-

lor de sen x corresponde a:

a) 35

. c) 25

. e) 47

.

b) 45

. d) 15

.

247. (Uespi) Em virtude de a procura por certo produto ser maior em determinados meses do ano e menor em outros, seu preço, durante todo o decorrer do ano de 2005, variou segundo a equação

N(t) 120 80 cos t ,π6

onde N é o preço de

uma unidade do produto, em reais, e t é o mês do ano. Com base nesses dados analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. (Dado: Considere π 3,14.)1) O valor máximo obtido pela venda de uma unidade

do produto foi de R$ 200,00.2) O pior valor de venda da unidade do produto ocor-

reu no nono mês.3) No oitavo mês do ano, o produto foi comercializado

por R$ 80,00 a unidade.

Está(ão) correta(s):a) 1 apenas.b) 1 e 2 apenas.c) 1 e 3 apenas.d) 2 e 3 apenas.e) 1, 2 e 3.

Page 30: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

248. (UFPB/PSS) Considere a função f: [0, 2π] → lR, defini-

da por y f(x) 12

[sen x cos x sen (x) cos

(x)]. O gráfico que melhor representa essa função é:

a) y

x

1

�1

�0 π 2ππ

2

12

12

3π2

b) y

x

1

�1

0 π 2ππ2

3π2

c) y

x

1

�1

0 2π

d) y

x

1

�1

�0 π 2ππ

2

12

12

3π2

e)

x

1

�1

0 π 2ππ2

3π2

y

249. (UFRN) A figura a seguir representa o gráfico da fun-ção y a sen (bx), onde a 0 e b 0.

x

3y = a sen (bx)

�3

0

– π4

π4

π2

π2

y

Para o menor valor possível de b, os valores de a e b são, respectivamente:

a) 3 e 2. c) 3 e 12

.

b) 3 e 2. d) 3 e 12

.

250. (Uece) O conjunto imagem da função f: lR → lR dada por f(x) 3 sen2 x 5 cos2 x, isto é, o conjunto{y lR | y f(x), para algum x lR} é o intervalo:

a) [6, 2]. c) [5, 5].b) [5, 3]. d) [2, 4}.

251. (Cefet-CE) O período da função definida por f(x) sen (2x) cos (2x) é:

a) π6

. c) π4

. e) π2

.

b) π5

. d) π3

.

252. (Unifor-CE) Se k é um número inteiro, para que valores

reais de x a função dada por f(x) tg x π2

não

é definida?

a) π2

kπ. c) (k 1)π. e) k

. 12

π

b) 2kπ. d) k2

π.

253. (Unifor-CE) Se arcsen 5

13, então cos é igual a:

a) 1213

. c) 9

13. e)

313

.

b) 1013

. d) 6

13.

254. (Unifor-CE) O período da função f, de lR em lR, dada

por f(x) sen 38x

cos 38x

, é:

a) 10

. c) 2π. e) 23π

.

b) 83π

. d) 43π

.

255. (UFMS) Considere a função

f(t) (a b) cos t b cos a b

bt ,

sendo a e b

constantes reais. Fazendo b 14

a, obtém-se:

a) f(t) a cos3 t. d) f(t) a sen3 t.

b) f(t) a4

cos3 t. e) f(t) a4

sen3 t.

c) f(t) 34a

cos3 t.

Page 31: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

256. (UFMT) As figuras a seguir, com seus respectivos es-quemas, ilustram três das posições assumidas pelo gingar feminino, mostrando que o balançar da pélvis feminina obedece a um ciclo oscilatório.

s

rC

s

rC

–�

s

r

C� = 0

s

rC

+�

s

r C

Tal movimento oscilatório pode ser observado a partir da reta imaginária (r) que passa pelas duas cristas ilía-cas perpendicular à semirreta imaginária (s) que, na ilustração, representa a coluna vertebral. Quando a mu-lher se desloca no seu andar, a reta (r) oscila em torno do centro C para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis, conforme mostram as figuras com os respectivos esquemas. Admitindo que o movimento se completa a cada 1,5 segundo e que a função

(t) π

10 cos

43π

t

representa a variação do ângulo

em função do tempo t, assinale o esboço do gráfico dessa função no intervalo [0; 1,5].

a)

t

π10

0 38

98

64

34

π10

b)

t

π10

0 38

98

64

34

π10

c)

t

π5

0 38

98

64

34

d)

t

π10

0

38

98

64

34π

10

e)

t

π10

0 38

98

64

34

257. (Unemat-MT) Na expressão

sec cos cot

cossec

2

2

x x g x sen x

x

ssen x x g x g x xsec cot cot cos,

podemos afirmar que:1) O numerador é igual a sen x tg x.2) O denominador é igual a cos x cotg x.3) Podemos dizer que

sec cos cot

cossec

2

2

x x g x sen x

x

ssen x x g x g x xsec cot cot cos tg x.

4) Se considerarmos sec x cotg x cotg x cos x isoladamente, então podemos substituí-la por sen x.

5) O numerador é igual ao denominador, portanto, a expressão é igual a 1 (um).

258. (Ufop-MG) Num pentágono regular de 2 cm de lado, M é o ponto médio do lado tABu e O é o centro. As medi-das do ângulo α e do seg-mento tOMu são, respectiva-mente:a) 36° e cotg 36°.b) 72° e cotg 72°.c) 36° e tg 36°.d) 72° e tg 72°.

259. (Ufes) Considere que V(t), volume de ar nos pulmões de um ser humano adulto, em litros, varia de no mínimo 2 litros a no máximo 4 litros, sendo t a variável tempo, em segundos. Dentre as funções abaixo, a que melhor descreve V(t) é:

a) 2 2 sen π3

t

. d) 1 3 sen π3

t

.

b) 4 2 sen π3

t

. e) 3 sen π3

t

.

c) 5 3 sen π3

t

.

O

A BM

O

A BM

s

rC

Page 32: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

Relações trigonométricas

260. (Ufam) Se a x sen x

b x sen x

cos

cos,

1

1

então o produto ab

é igual a:

a) sen x. c) 2. e) cos x.b) 4. d) 1.

261. (Ufam) A solução da equação trigonométrica2 cos x 5 sec x 9 é igual a:

a) S x k k; . π π4

Z

b) S x k k; . π π6

Z

c) S x k k; . 223

π π Z

d) S x k k; . 24

π π Z

e) S x k k; . 26

π π Z

262. (UFPA/PSS) O pêndulo simples é formado por uma partícula de massa m fixada na extremidade inferior de uma haste retilínea, de comprimento (de massa des-prezível se comparada com a massa da partícula), cuja extremidade superior está fixada. Suponhamos que o movimento do pêndulo se processe em um plano ver-tical e designemos por o ângulo que a haste faz com a reta vertical Oy (veja figura abaixo). Observemos que (t), isto é, é função do tempo t 0. O movi-mento do pêndulo, para pequenas oscilações, é regido pela equação

(t) A cos g

t

, t 0, em que A é uma constan-

te positiva, g é a aceleração da gravidade e é o compri-mento da haste. Os valores de t 0, referentes à passa-gem do pêndulo pela posição vertical Oy, isto é, ao mo-mento em que (t) 0, são dados por:

a) t (2k 1)π2

g, k 1, 2, …

b) t 1, 2, 3, …

c) t 0 ou t

g.

d) t 1, 12

13

, , …

e) t 1 2 3, , , …

263. (UFPA) As soluções da equação

cos cos ( ) cos (π π π2

2 x x

xx

sen x x s

)

cos32 2π π

een x( )2π

1,

para 0 x 2π, são tais que:

O

y

��(t)

O

y

��(t)

a) somam π. d) somam 32π

.

b) somam 2π. e) somam π2

.

c) somam 52π

.

264. (UFMA/PSG) Seja D IR o domínio da função real

y cos .π3

x

Então D [π, π] é igual a:

a) x IR x; . π π3 3

b) x IR x; . π3

c) x IR x; . π π6

56

d) x IR x; . π3

e) x IR x; . π π6 3

265. (UFMA/PSG) O conjunto solução da equação trigono-métrica 2 cos2 x 3 cos x 1, no intervalo [0, 2π], é:

a) 043

53

2, , , .π π π

d) π π π π3

23

53

2, , , .

b) 03

53

2, , , .π π π

e) π π π π3

43

2, , , .

c) 03

53

, , , .π π π

266. (Uece) Se x é um arco do primeiro quadrante, tal que

tg x2

7 , então sen x é igual a:

a) 78

. b) 76

. c) 74

. d) 73

.

267. (Cefet-CE) O valor da expressão

sen sen

tg

cos cos10 20 20 10

3

° ° ° °

30° é:

a) 12

. b) 3

2. c) 1. d)

2

3.

268. (Cefet-CE) Se sen x cos x 2 , o valor de1 sen 2x é:a) 2. b) 1. c) 0. d) 3. e) 1.

269. (UFU-MG) Se x e y são números reais, tais que 0 x π, 0 y π, x y π e cos (x y) 0, então, os possíveis valores para tg (2x y) são:

a) 33

. b) 3 . c) 1. d) 0.

Page 33: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

270. (Mack-SP) Se (1 sen x; 1 cos x, 1 sen x),

0 x π2

, é uma progressão geométrica, cos 2x vale:

a) 12

. b) 3

2. c)

12

. d) 3

2. e)

22

.

271. (Mack-SP) A soma de todas as soluções da equação tg a cotg a 2, 0 a 2π é:

a) 54π

. b) 23π

. c) 32π

. d) 74π

. e) 73π

.

272. (FGV-SP) A soma das raízes da equaçãosen2 x sen (x) 0, no intervalo [0, 2π] é:

a) 72π

. b) 92π

. c) 52π

. d) 3π. e) 32π

.

273. (UFRGS-RS) O conjunto solução da equação

sen π2

log x

0 é:

a) {1, 10, 102, 103, 104, …}.b) {…, 103, 102, 101, 1, 10, 102, 103, 104, …}.c) {…, 106, 104, 102, 1, 102, 104, 106, …}.d) {…, 106, 104, 102, 1, 102, 104, 106, …}.e) {…, 103, 102, 10, 1, 10, 102, 103, 104, …}.

274. (UFRGS) O número de soluções da equação2 cos x sen x que pertencem ao intervalo

16

316

3π π

,

é:

a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

275. (UPF-RS) Considerando que sen x 23

e x pertence ao

segundo quadrante, o valor de tg x g x

x xcot

sec cossec

é:

a) sen x. c) cos2 x. e) 6 5 .

b) 53

. d) 3 2 5( ).

Estudo das matrizes 276. (Ufam) Seja A, B e C matrizes quadradas quaisquer de

ordem n. Então, é correto afirmar que:a) se AB AC, então B C.b) AB BA.c) Se A2 0n (matriz nula), então A 0n.d) (AB)C A(BC).e) (A B)2 A2 2AB B2.

277. (Ufam) Seja a matriz A 1

2

x

y

.

Se A2

12

92

352

, então yx

é igual a:

a) 32

. b) 23

. c) 23

. d) 32

. e) 52

.

278. (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solici-ta transferência para outro curso, escolhido entre os

mesmos 1, 2 e 3. A matriz

132 7 8

12 115 13

14 15 119

repre-

senta o resultado obtido após as transferências:• para i j, na intersecção da linha i com a coluna j,

encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j;

• para i j, na intersecção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i.

Admitindo que cada aluno pode se matricular em ape-nas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima.( ) Antes das transferências, existiam 147 alunos no

curso 1.( ) Após as transferências, existem 137 alunos no

curso 2.( ) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.( ) O total de alunos transferidos é 69.( ) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.

279. (UFPB/PSS) Considere as matrizes A x y

5 3

,

B 1 2

2 3

e C 13 9

11 1

, onde x, y IR.

Sabendo que AB C, o valor da expressão x2 y2 é:

a) 16. b) 16. c) 9. d) 9. e) 4.

280. (UFRRJ) Dada a matriz A 1 2

1 0

, denotamos por

A1 a matriz inversa de A. Então A A1 é igual a:

a) 2 3

1 0

. d)

0 1

12

12

.

b) 1 1

2 0

. e)

2 4

2 0

.

c) 1 1

12

12

.

281. (UFRRJ) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três ti-pos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos mode-los básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produ-ção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a

Page 34: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005

ModeloMadeira Básico Luxo Requinte

Mogno 3 5 4

Cerejeira 4 3 5

Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005

MadeiraTipo Mogno Cerejeira

Dourada 10 12

Prateada 8 8

Bronzeada 4 6

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de:a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.

2 82. (Vunesp) Considere as matrizes A 1 x

y z

,

B 1 2

1 1

e C 4 5

36 45

, com x, y, z números

reais. Se A B C, a soma dos elementos da matriz A é:a) 9. b) 40. c) 41. d) 50. e) 81.

283. (UFSC/adaptado) Assinale a(s) proposição(ões) corre-ta(s).01) Se K (kij) é uma matriz de ordem 2 dada por

kij 22i j para i j e kij i2 1 para i j, então K é uma matriz inversível.

02) Se A e B são matrizes tais que A B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.

04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de or-dens 5 7 e 7 5. Se R M ⋅ P, então a matriz R2 tem 625 elementos.

284. (UFSM-RS) Outra medida no sentido de desafogar o trânsito é o planejamento na construção de edifícios públicos. O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2 e C3, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros. Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal ma-neira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível. A matriz X que representa as distân-cias entre as localidades é dada por X [dij], onde dij é a distância entre Ci e Cj, 1 i 3, 1 y 3.

1102,2

C1

C2 C3

1,8 2,0

120

100

Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.

( ) X

0 18 2

18 0 2 2

2 2 2 0

,

, ,

,

( ) Se Y

120

110

100

é a matriz coluna das populações,

então XY

398

436

482

.

( ) A localidade escolhida para a construção da escola deve ser C2.

A sequência correta é:a) V, V e V. c) F, V e F. e) F, F e V.b) V, F e V. d) V, V e F.

285. (Udesc) Considere as matrizes A 1

1

x

x

,

I 1 0

0 1

e 0

0 0

0 0

,; a soma dos valores numé-

ricos de x, para os quais a igualdade A2 2A 3I 0 é verificada, é:a) x 0. c) x 1. e) x 1.b) x 2. d) x 2.

286. (Udesc) Sejam A 3 2

2 1

e B

1 1

0 1

duas matrizes. Encontre a matriz M que verifica a igual-

dade AM B A 0.

Determinantes 287. (Ueap) Se uma matriz A (aij)2 2, é tal que seus

elementos estão relacionados pela equação

aij log 2i j, então 1

22log det (10A) é igual a:

a) 50. c) 150. e) 250.b) 100. d) 200.

288. (Ufam) Considere a matriz A 4 0

7 2

. Os valores de

k que tornam nulo o determinante da matriz A kI, sendo I a matriz identidade, são:a) 0 e 5. c) 0 e 4. e) 4 e 0.b) 2 e 4. d) 4 e 2.

2 89. (Ufam) Considere A (log ( ))

log log.2

2 2

2 2

0

2

x

x

Saben-

do que det A 28, a soma dos elementos da diagonal principal é:a) 128. b) 64. c) 72. d) 68. e) 32.

Page 35: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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290. (Ufam) As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B 4At, onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 256, então o determi-nante da matriz inversa de A é igual a:a) 22. c) 23. e) 21.b) 22. d) 23.

291. (UFSE/PSS) Considere as matrizes A (aij)2 × 2, tal

que aij 2

3

i

i

,

,

se i j

se i j

e B

x

y

2

1

, x e y reais.

0-0) Se A B 5 4

10 2

, então x y 0.

1-1) Se B2 é a matriz 6 2

1 11

, então o determinante

de B é igual a 8.

2-2) O par (3, 2) é solução do sistema

a x a y

a x a y11 12

21 22

13

20.

3-3) Se x 0 e y 3, então A B 3 4

4 3

.

4-4) A matriz inversa de A é

35

15

25

310

.

292. (Ufal) Indica-se por Mt e M–1 as matrizes transposta e inversa de M, respectivamente. Para analisar as afirma-tivas abaixo, considere as matrizes

A 0 4

1 3

, B

0 5

5 6

e C

3 2

1 1

.

0-0) (A B) ⋅ C

9 9

0 3

1-1) C1 1 2

1 3

2-2) A matriz A At é antissimétrica.

3-3) A matriz A B C não é inversível.

4-4) O determinante da matriz B Bt é igual a 100.

293. (Uneb-BA) O número de elementos inteiros do conjunto

solução da inequação det 2 2

1

x x

x

0 é:

01) 0. 02) 1. 03) 2. 04) 3. 05) 4.

294. (Unit-SE) Se det A 2 é o valor do determinante de uma matriz quadrada A, de ordem 3, quantos números inteiros satisfazem a sentença det (3A) n2 5n 68?a) Nenhum d) Catorzeb) Cinco e) Mais do que catorze.c) Oito

295. (UFCG-PB) Para cada número real associamos uma

matriz quadrada M

16

0

16

1

0 3 2

cos

cos

π

π

.

Determine o valor da soma de todos os números reais

072

tais que M não seja inversível.

296. (Unit-SE) Se o determinante

x x x

0 1 3

1 2 2

é igual a 5,

então o valor de x é:

a) 72

. c) 32

. e) 52

.

b) 52

. d) 32

.

297. (UFMT) Considere a função f: A → B, em que A é o conjunto das matrizes quadradas de números reais de ordem 2, B é o conjunto dos números reais e f(x) det X, onde det X é o determinante da matriz X. Se M e N são matrizes de números reais 2 × 2, NT a matriz transposta de N, f(M) 2 e f(N) 3, então f(M NT) é igual a:

a) 2. c) 6. e) 23.

b) 3. d) 23

.

298. (UFU-MG) Considere as matrizes A 1 2 3

2 5 8

e

B x

.

1 8 5

2 7 4

Para que o determinante da

matriz A Bt, em que Bt denota a matriz transposta da matriz B, seja igual a 138, o valor de x será igual a:a) 6. c) 8.b) 7. d) 9.

299. (Ufscar-SP) Seja A (aij) uma matriz quadrada de or-

dem 3 tal que, aij p, se i j

2p, se i j

com p inteiro posi-

tivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessa-riamente, det A é múltiplo de:a) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.

300. (UFV-MG) Na matriz quadrada A (aij) de ordem 2, os elementos a11, a12, a21 e a22, nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão”. Se a12 2, o de-terminante de A vale:a) 8. c) 0. e) 4.b) 8. d) 4.

Page 36: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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301. (Unifesp) Se |A| denota o determinante da matriz

A | |

| |,

A

A

1

2

então:

a) A 0 1

2 0

.

b) A 2 1

2 2

, se |A| 0.

c) A

1 1

2 1

, se |A| 0.

d) A 2 1

2 2

ou A

1 1

2 1

.

e) A

2 1

2 2

ou A

1 1

2 1

.

302. (Unirio-RJ) Considere a matriz A

x x

x

6

13

2 1

0 312

.

Sejam f e g funções definidas por f(x) det A e g(x) x 1. Calcule todos os valores de x reais tais que f(x) g(x).

303. (Unicamp/adaptado) Seja dada a matriz

A

x x x

x

x

.

1 1 1

1 1 2

1 1 2

Encontre o conjunto

solução da equação det A 0.

304. (UFPR) A respeito da matriz A sen x x

sen x x

cos

cos,

assinale a alternativa correta.a) Para qualquer x real, det A cos 2x.b) Existe um valor de x para o qual a matriz A é a ma-

triz nula.

c) Se x é um número da forma kπ2

, com k inteiro, en-

tão a matriz A não tem inversa.d) Se x 0, a matriz A é igual à sua transposta.

e) Se x π4

, o determinante da matriz A é igual a 0.

305. (UFPR) Considere as matrizes A 1

2

cos b c

e

B 3 10

12

5

210

10

a b log

log,

onde a, b, c e são nú-

meros reais. Assim, é correto afirmar:01) Os valores de a e b para os quais A B são,

respectivamente, 2 e 1.

02) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é neces-sário que c seja número negativo.

04) Se b 0 e c 1, então o elemento na posição

“2· linha, 2· coluna” da matriz (A B) é log10 2 .08) Se ϕ 0 e c 0, então a matriz A tem inversa,

qualquer que seja o valor de b.16) Todos os valores de ϕ para os quais A B são da

forma 2kπ π3

, onde k é número inteiro.

Soma ( )

Sistemas lineares 306. (Ufac) Em relação ao sistema linear

():

x y z

y z

x y z

,

0

2 4

2

qual é a única proposição

errada dentre as dos itens abaixo?a) A matriz dos coeficientes de () é inversível.b) O conjunto solução de () é finito.c) O sistema () é possível e determinado.d) O método de G. Cramer (1704-1752) é preciso na

obtenção do conjunto solução de ().e) Não existem sistemas lineares equivalentes a ().

307. (Ufac) As afirmações abaixo fazem referência à matriz

B 1 1

2 2

. Apenas uma delas é verdadeira. Assina-

le-a.a) O determinante da matriz B é 3.b) O sistema BX 0 possui apenas uma solução.c) O sistema BX 0 possui infinitas soluções.d) B é matriz inversível.e) B I2 B, onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.

308. (Ufam) Dado o sistema x y z

x y z

1

1

nas variáveis

x, y e z, é correto afirmar que:a) tem uma solução com z 1.b) não tem solução.c) tem exatamente três soluções.d) tem uma solução única x 0, y 1 e z 0.e) tem uma infinidade de soluções.

309. (UFCG-PB) O gerente de um restaurante propôs a seu patrão a seguinte promoção: quem comprar os três pratos sugeridos receberá o primeiro gratuitamente. As quantidades x, y e z são os preços das iguarias que constituem o prato.Primeiro prato: uma porção da primeira iguaria, uma porção da segunda iguaria e duas porções da terceira iguaria, por zero unidade monetária.Segundo prato: duas porções da primeira iguaria, uma porção da segunda iguaria e ( )2

2a a porções da ter-ceira iguaria, por uma unidade monetária.

Page 37: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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Terceiro prato: uma porção da primeira iguaria, duas porções da segunda iguaria e duas porções da terceira

iguaria, por log3 1

22a

unidades monetárias.

Antes de anunciar sua promoção para o público, o pa-trão pediu ao gerente que analisasse para ele aquela proposta. O gerente montou o sistema

x y z

x y z

x y

a a( )

2 0

2 2 1

2

2

log

21

23 2za

, onde a é um parâ-

metro de ajuste do preço do prato, e fez a seguinte análise:

I) A promoção é possível e existe um único preço para as iguarias se a 1.

II) A promoção é possível para qualquer preço das iguarias se a 1.

III) A promoção não é possível quando a 2.

Está(ão) correta(s) a(s) seguinte(s) afirmação(ões) do gerente:a) I, II e III. d) I e II.b) I e III. e) I.c) II e III.

310. (Uneb-BA) Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos, A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:• O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e

1 do tipo C, gastando R$ 121,00.• O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e

gastou R$ 112,00.• O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e

gastou R$ 79,00.• O quarto comprou um CD de cada tipo.

Com base nessa informação, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs, foi igual a:a) 48,00. d) 63,00.b) 54,00. e) 72,00.c) 57,00.

311. (UnB-DF)

PostoComposição do combustível Custo por litro

(em R$)Preço de venda

(em R$)Álcool Gasolina Solvente

P 25% 75% 0% 1,70 1,78

Q 30% 70% 0% 1,64 1,78

R 30% 40% 30% 1,37 1,78

Para os três postos P, Q e R, considere que x, y e z sejam os preços de custo, em reais, do litro de álcool anidro, de gasolina pura e de solvente, respectivamen-te, e que , , sejam os preços de venda do litro, em reais, desses mesmos produtos, quando misturados para formar o combustível composto. Considere ainda que A, B, C, X e Y sejam as matrizes:

A

14

34

0

310

710

0

310

410

310

, B

170

164

137

,

,

,

,

C

178

178

178

,

,

,

,

X

x

y

z

e Y

. Com base nessas informa-

ções, julgue os itens a seguir:

1) O preço de custo por litro de combustível composto para cada um dos pontos P, Q e R pode ser repre-sentado pela matriz B, que pode ser obtida pelo produto AX.

2) Se Y é solução do sistema AY C e X, a solução do sistema AX B, então a matriz Y X representa o lucro de cada posto, por litro, com a venda do com-bustível composto.

3) O sistema de equações lineares representado por

A

x

y

z

178

175

170

,

,

,

tem mais de uma solução.

4) O preço de custo do litro da gasolina pura é o dobro do preço de custo do litro do solvente, isto é, y 2z.

312. (UFV-MG) No parque de diversões Dia Feliz, os in-gressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 in-gressos, a arrecadação foi de R$ 3 000,00. A razão en-tre o número de adultos e crianças pagantes foi:

a) 35

. b) 23

. c) 25

. d)34

. e) 45

.

313. (Vunesp) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equa-ção 9TC 5TF 160. Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela equação TK TC 273. A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é:

a) TF TK

. 1135

b) TF 9 2 457

5TK

.

c) TF 9 2 297

5TK

.

d) TF 9 2 657

5TK

.

e) TF 9 2 617

5TK

.

Page 38: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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314. (ITA-SP) A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear

x y z

x y z

x y az

3 2

2 5 1

2 2 b

é:

a) a b 2. d) ab

.32

b) a b 10. e) a b 24.c) 4a 6b 0.

315. (Unicamp-SP) Seja dado o sistema linear

x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

2 2

2 2

2

.

a) Mostre graficamente que esse sistema não tem so-lução. Justifique.

b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear Ax b impossível, utiliza-se o méto-do dos quadrados mínimos, que consiste em resol-ver o sistema ATAx ATb. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de M.

316. (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilo-grama do açúcar, da farinha e da manteiga são, res-pectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80, R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando ape-nas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantida-de, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.

317. (Fuvest-SP) Considere o sistema linear nas incógnitas

x, y, z e w:

2 2

1

1 2 2

x my

x y

y m z w( )

zz w 1

a) Para que valores de m o sistema tem uma única solução?

b) Para que valores de m o sistema não tem solução?c) Para m 2, calcule o valor de 2x y z 2w.

318. (UFRGS-RS) O conjunto das soluções da equação

2 1 0

1 0 1

1 0 1

x

y

z

1

0

0

é o conjunto das ter-

nas da forma:a) (x, 2x 1, x). d) (x, 2x 1, x).b) (x, 2x 1, x). e) (x, 2x 1, 2x).c) (x, 2x 1, 2x).

319. (UFSC) Julgue os itens a seguir:01) A soma dos elementos da inversa da matriz

1 1

0 1

é igual a 2.

02) A matriz A (aij)1 3, tal que aij i 3j é

A [2 5 8].

04) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

3

1

2

, [3x 5],

6 1 1

0 2

x

,

19

6

08) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se tA A, sendo tA a transposta da matriz A. Nes-sas condições pode-se afirmar que a matriz

0 0 1

0 0 0

1 0 0

é antissimétrica.

16) O par ordenado (x, y) (5, 2) é a única solução

do sistema x y

x y.

2 9

3 6 27

32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det A 5 det B, sendo que det A e det B desig-nam, respectivamente, os determinantes das ma-trizes A e B.

320. (UFSM-RS) A remoção de um volume de 540 m3 de entulho da construção de uma obra viária foi feita com dois tipos de caminhões. O primeiro tem capacidade de carga de 6 m3, com custo de R$ 30,00 por viagem. O segundo tem capacidade de carga de 10 m3 com custo de R$ 40,00 por viagem. Sendo destinados R$ 2 400,00 para a remoção do entulho, as quantidades de viagens necessárias para os caminhões do primeiro e do segun-do tipos removerem completamente o entulho são, res-pectivamente:a) 30 e 40. d) 40 e 40.b) 30 e 50. e) 40 e 30.c) 40 e 50.

Geometria espacial — Uma introdução intuitiva 321. (Ufam) Se r e s são duas retas paralelas a um plano ,

então:a) r e s se interceptam.b) r e s são paralelas.c) r e s são perpendiculares.d) r e s são reversas.e) nada se pode concluir.

Page 39: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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322. (Unit-SE) Considere o prisma regular pentagonal re-presentado na figura ao lado:A análise das retas e planos de-terminados pelos vértices desse prisma permite que se conclua corretamente que:a) os planos (AEF) e (CDH) são

paralelos entre si.b) os planos (BCG) e (DEJ) são

secantes.c) as retas ‡BCfl e ‡IJfl são para-

lelas entre si.d) as retas ‡ADfl e ‡EJfl são perpendiculares entre si.e) as retas ‡ABfl e ‡DEfl são reversas.

323. (UFRN) Na cadeira representada na figura abaixo, o encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão.Sendo assim:a) os planos EFN e FGJ são pa-

ralelos.b) HG é um segmento de reta

comum aos planos EFN e EFH.

c) os planos HIJ e EGN são pa-ralelos.

d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG.

324. (UFPB/PSS) Ao verificar que faltava uma semana para a prova de matemática, Maria e João foram à escola es-tudar. Ao entrar na biblioteca, Maria percebeu que a mesma tinha a forma da figura a seguir, onde ABDEJFGI é um paralelepípedo reto retângulo, BCDIGH é um prisma reto e BCD é um triângulo isósceles.

4 m

5 m

3 m

3 mH

I

J

C

B

A E

D

G

F

João afirmou: I) O plano do piso e o plano CDI são secantes. II) As retas ‡ABfl e ‡IHfl são concorrentes.III) As retas ‡ABfl e ‡JIfl são reversas.

Está(ão) correta(s) apenas:a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.

325. (FGV-SP) Duas retas distintas que são perpendicula-res a uma terceira podem ser: I) concorrentes entre si. II) perpendiculares entre si.

A

F I

D

E

G H

J

B C

A

F I

D

E

G H

J

B C

M N

L K

G

J

H

I

E F

M N

L K

G

J

H

I

E F

III) paralelas. IV) reversas e não ortogonais. V) ortogonais.

Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:a) V, V, V, V, V. c) F, V, F, F, F. e) F, F, F, V, F.b) V, F, V, F, V. d) V, V, V, V, F.

326. (UFF-RJ) Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas são formados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro.a) Um par. c) Três pares. e) Cinco pares.b) Dois pares. d) Quatro pares.

327. (UFV-MG) Considere as afirmações a seguir: I) Se dois ângulos BA e BB de um triângulo são con-

gruentes aos ângulos BC e BE, respectivamente, de outro triângulo, então esses triângulos são con-gruentes.

II) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é pa-ralela a toda reta desse plano.

III) Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

IV) As diagonais de um trapézio isósceles são con-gruentes.

Assinalando V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas; a alternativa que apresenta a sequência cor-reta é:a) V, F, F, V. c) F, F, F, V. e) V, V, V, F.b) V, V, F, F. d) F, F, V, V.

328. (Ufscar-SP) Considere um plano e um ponto P qual-quer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicu-lar a , a intersecção dessa reta com é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre . No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com relação a um plano qualquer fixado, pode-se dizer que:a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode

resultar numa semirreta.b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta

numa reta.c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar

num segmento de reta.d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar

num quadrilátero.e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode

resultar num segmento de reta.

329. (Unifesp) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas re-versas num tetraedro como o da figura é:a) 6. c) 2. e) 0.b) 3. d) 1.

A

B D

C

A

B D

C

Page 40: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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330. (Faap-SP) Duas retas são reversas quando:a) não existe plano que contém ambas.b) existe um único plano que as contém.c) não se interceptam.d) não são paralelas.e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos.

331. (Vunesp) Dado um paralelepípedo retângulo, indique-mos por A o conjunto das retas que contêm as arestas desse paralelepípedo e por B o conjunto dos planos que contêm suas faces. Isso posto, qual das seguintes afirmações é verdadeira?a) Quaisquer que sejam os planos e de B, a dis-

tância de a é maior que zero.b) Se r e s pertencem a A e são reversas, a distância

de r a s é maior que a medida da maior das arestas do paralelepípedo.

c) Todo plano perpendicular a um plano de B é per-pendicular a exatamente dois planos de B.

d) Toda reta perpendicular a um plano de B é perpen-dicular a exatamente dois planos de B.

e) A intersecção de três planos quaisquer de B é sem-pre um conjunto vazio.

332. (UEL-PR) Considere uma reta s, contida em um plano , e uma reta r perpendicular a s. Então, necessaria-mente:a) r é perpendicular a .b) r e s são coplanares.c) r é paralela a .d) r está contida em .e) todas as retas paralelas a r interceptam s.

333. (UFRGS-RS) A figura abaixo representa um cubo de centro O:

A B

CD

EF

O

H G

Considere as afirmações abaixo:

I) O ponto O pertence ao plano BDE.

II) O ponto O pertence ao plano ACG.

III) Qualquer plano contendo os pontos O e E também contém C.

Quais estão corretas?a) Apenas I.b) Apenas II.c) Apenas I e II.d) Apenas I e III.e) Apenas II e III.

334. (UEL-PR) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura a seguir:

r

s

Sobre a situação dada, assinale a afirmação incorreta.a) r e s são retas paralelas. b) r e s são retas reversas. c) r e s são retas ortogonais.d) Não existe plano contendo r e s.e) r s

335. (UFSC) A única proposição correta é: 01) Dois planos que possuem três pontos em comum

são coincidentes. 02) Se duas retas r e s, no espaço, são ambas perpen-

diculares a uma reta t, então r e s são paralelas. 04) Duas retas concorrentes determinam um único

plano. 08) Se dois planos A e B são ambos perpendiculares

a um outro plano C, então A e B são planos para-lelos.

16) Se duas retas r e s estão em um plano A, então r e s são paralelas.

Poliedros 336. (Ufac) Um depósito de água tem base quadrada e late-

rais perpendiculares à base. Quando se adicionam 500 de água ao depósito, a altura da água sobe 10 cm. Dado que a altura do depósito mede 2 m, sua capacidade em m3 é igual a:a) 8. d) 0,5.b) 5. e) 1.c) 10.

337. (Ufam) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 6 480°. O número de vértices deste prisma é igual a:a) 32. d) 12.b) 10. e) 20.c) 8.

338. (Unir-RO) Em 1812, o matemático francês Augustin- -Louis Cauchy publicou um trabalho no qual mostrou que o volume de um “cristal” com a forma de paralele-pípedo, como o da figura a seguir, é igual ao módulo do

Page 41: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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determinante da matriz incompleta do sistema linear a ele relacionado.

Admita que, para o paralelepípedo dado, o sistema li-

near a ele relacionado é

x y z

x y z

x y z

3 5 0

3 4 2 0

2 0

.

Qual o volume do paralelepípedo?a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

339. (Unir-RO) Retira-se de um cubo de aresta a cm

outro de aresta a2

cm, re-

sultando no sólido mos-

trado na figura.

A partir dessas informa-ções, assinale a afirmati-va incorreta.

a) A área total do sólido resultante é 6a2 cm2.

b) A área total do sólido resultante é menor que a área total do cubo de aresta a cm.

c) O volume do sólido resultante é 78

a3 cm3.

d) A área total do cubo de aresta a cm é 6a2 cm2.

e) A área total do cubo de aresta a cm é o quádruplo

da área total do cubo de aresta a2

cm.

340. (UFT-TO) Para fabricar-se uma caixa em forma de para-lelepípedo, com 8 m de comprimento e com a altura igual à largura, ambas medindo x metros de compri-mento, utilizou-se uma chapa metálica cuja área mede 322 m2. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o volume dessa caixa é de:a) 300 m3. b) 322 m3. c) 392 m3. d) 400 m3.

341. (UFMS) Durante uma forte chuva, uma calha, em for-ma de prisma reto, de 10 m de comprimento e secção transversal trapezoidal isósceles de base maior 80 cm, base menor 60 cm e profundidade 80 cm, como na fi-gura a seguir, enche de água.

x 10 m

a2

a

a2

a

Se V(x) é a função que define o volume de água na calha, em cm3, em relação à profundidade x, em centí-metros, determine V(x).a) V(x) 125x 60 000 x2

b) V(x) 60 125x2

c) V(x) 24 000xd) V(x) 60 000x 125x2

e) V(x) 600x 54

x2

342. (UFMS) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura e 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram retirados qua-drados idênticos de lados com x cm de comprimento (0 x 8). Depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. A expressão que representa a área lateral da caixa é:a) 92x 8x2 cm2. d) 46x 4x2 cm2.b) 62x 6x2 cm2. e) 32x 4x2 cm2.c) 72x 6x2 cm2.

343. (Unemat-MT) Uma caixa retangular é entregue para Carla para analisar, medir e realizar alguns cálculos. Ao final ela concluiu que:1) se a caixa apresentar as medidas de três arestas

diferentes, respectivamente a 10 cm, b 20 cm e c 30 cm, seu volume será igual a 6 litros.

2) se as faces forem iguais e suas arestas apresenta-rem a mesma medida, esta caixa terá o mesmo for-mato que um cubo.

3) se as arestas medirem a 3 cm, b 4 cm e c 5 cm, a área total das faces desta caixa será igual a 80 cm2.

4) se a caixa apresentar suas arestas todas iguais a 4 cm, aumentando em cada uma 1 cm, seu volume aumen-tará em 25%.

344. (UnB-DF) Ligando-se os pontos médios das arestas de um tetraedro regular, obtém-se um octaedro, também re-gular, conforme ilustra a figura ao lado.

Nessa situação, sabendo que a aresta do tetraedro

mede 12 2 cm, calcule uma das seguintes quantida-

des, sem utilizar nenhum valor aproximado para 2 e desprezando a parte fracionária do resultado final obti-do após efetuar todos os cálculos solicitados.a) A razão entre a área total do tetraedro ABCD e a

área do octaedro.b) O comprimento, em centímetros, da diagonal OM

do octaedro.c) O volume do octaedro, em cm3.

A

OL

M N

B D

C

A

OL

M N

B D

C

Page 42: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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345. (UnB-DF) Dois cubos cla-ros e idênticos são encai-xados em um sólido es-curo, formando um cubo maior, como mostra a obra de Hércules Barsotti reproduzida ao lado, que se encontra no Museu de Arte Moderna de São Paulo.Considerando que o lado do cubo maior seja o dobro do lado do cubo claro, julgue os itens subsequentes.1) Considerando as faces do cubo maior, a razão entre

a área clara total e a área escura total é igual a 13

.

2) A razão entre a área total do sólido escuro e a área

total do cubo maior é igual a 34

.

3) A razão entre o volume total dos dois cubos claros e

o volume do sólido escuro é igual a 13

.

346. (UnB-DF) Minha casa é engraçada Desenho espetacular A parede é inclinada E o chão retangular

Chão e teto semelhantes Estão em proporção Oito vezes a área do teto É a metade da área do chão

Quatro paredes tem a casa Uma à outra, tão igual Quatro paredes muito grandes 100 m2 de área lateral

Com uma pergunta quero terminarMinha altura você pode calcular?O teto da casa nunca vou alcançarPois minha altura teria de dobrarUma pista ainda devo anunciarEm forma de quadrinha singular

Batatinha quando nasce Se esparrama pelo chão Ocupando totalmente Os 64 m2 de extensão

Com base nas informações do texto acima, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.1) Calcule a área, em m2, do teto da casa.2) Calcule a altura, em metros, de um dos quatro qua-

driláteros que formam as paredes da casa.3) Calcule a altura, em decímetros, do dono da casa.

347. (Ufes) Considere que a resistência de vigas de eucalip-to de mesmo comprimento e em formato de paralelepí-pedo, como mostra a figura a seguir, com todas as fa-

ces retangulares, é diretamente proporcional à largura x e ao quadrado da altura y.

x

y

A partir de toras cilíndricas de euca-lipto com seção transversal circular, de diâmetro de 25 cm, esquematizada ao lado, são obtidas vigas com o for-mato descrito anteriormente, todas de mesmo comprimento.

Considere cinco dessas vigas com larguras de 13, 14, 15, 16 e 17 centímetros. A largura, em centímetros, da viga mais resistente, dentre as mencionadas, é:a) 13. b) 14. c) 15. d) 16. e) 17.

348. (UFRGS-RS) Considere o trapézio ABCD da figura abaixo, obtido pela intersecção de um cubo de aresta 1 com um plano que passa por dois vértices opostos A e D de uma face e pelos pontos médios B e C de ares-tas da face não adjacente.

A

B

C

D

A área do trapézio ABCD é:

a) 3 2

5. c)

3 52

. e) 98

.

b) 53

. d) 62

.

349. (UFRGS-RS) A figura abaixo representa a planificação de um cubo cujas faces foram numeradas de 1 a 6.

1

2 3

4 5

6

O produto dos números que estão nas faces adjacen-tes à face de número 1 é:a) 120. c) 180. e) 360.b) 144. d) 240.

x

y

x

y

Page 43: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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350. (Furg-RS) Dado um sólido com formato de um cubo com aresta a, onde a é um número inteiro positivo, considere um vértice B e os pontos médios M, S e N de cada aresta adjacente a esse vértice. Esses quatro pontos definem um tetraedro que é retirado do cubo, conforme ilustra a figura.

A’

A M

D

N

C

C’

B’

D’

S

M B

N

S

Sabendo que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base pela altura, então a razão do volume do cubo original e o volume do tetraedro definido pelos vértices M, S, B e N é dada por:

a) 48. c) a2

25. e)

125

.

b) a

25. d)

a 250

.

Corpos redondos 351. (Ufac) Um depósito de

água, de 2 m de altura, tem forma de um “peda-ço” de um cone. Os seg-mentos de reta contidos nas laterais com extremi-dades nas retas de mes-ma direção que contêm os diâmetros dos círculos da base e superior, quan-do prolongados, inter-ceptam-se no ponto V, que dista 6 m do centro do círculo da base. Dado que o raio do círculo superior mede 2 m e o do círculo da base mede 1,5 m, o volume do depósito é igual a:

a) 8π m3. d) 37π m3.

b) 37

m3. e) 25π m3.

c) 40

m3.

352. (Ufam) Uma seringa tem forma cilíndrica com 3 cm de diâmetro por 9 cm de comprimento. Quando o êmbolo se afastar 6 cm da extremidade da seringa próxima a

2 m

6 m

V

2 m

6 m

V

agulha, então o volume, em cm3, de remédio líquido que a seringa pode conter é igual a:a) 27,5π. c) 13,5π. e) 54π.b) 18π. d) 11,25π.

353. (Unir-RO) A figura abaixo representa um reservatório de água formado por três partes sobrepostas, todas com a forma de cilindro circular reto, com alturas iguais a x centímetros, com os raios das bases iguais a 100, 90 e 80 centímetros, e com eixos centrais coincidentes. Sabendo que o reservatório tem capacidade de 1 000 litros, assinale o valor inteiro mais próximo de x. (Dado: Utilize π 3,14.)

a) 10 cm c) 19 cm e) 22 cmb) 16 cm d) 13 cm

354. (UFPA) A gasolina contida em um tanque cilíndrico do terminal da cidade deve ser distribuída entre vários postos. Se cada posto tem dois tanques (também cilín-dricos) com a altura e o diâmetro de bases iguais, res-

pectivamente, a 15

e 14

das dimensões do tanque do

terminal, quantos postos poderão ser abastecidos?a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

355. (UEFS-BA) Uma certa marca de óleo era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 10 cm e raio da base 6 cm, pelo preço de R$ 4,00. Diminuindo-se em 1 cm a altura, aumentando-se em 1 cm o raio da base e man-tendo-se o preço anterior para essa embalagem, pode-se afirmar que o preço do produto:a) se mantém estável.b) aumenta entre 10% e 20%.c) aumenta entre 20% e 30%.d) diminui entre 10% e 20%.e) diminui entre 20% e 30%.

356. (UFCG-PB) Uma determinada indústria confecciona um lote de 10 peças P1, P2, ..., P10 em formato de cones equiláteros, de modo que o custo Cj (em reais) da

peça Pj é dado por Cj Vj 3

27π, onde Vj é o volume

(em cm3) de Pj, j 1, 2, ..., 10. Denotando por rj o raio da base de Pj, sabe-se que a sequência r1, r2, ..., r10 é uma progressão geométrica. Dado que r1 e r4 medem, respectivamente, 3 cm e 6 cm, o custo total do lote é:a) R$ 1 116,00. d) R$ 1 023,00.b) R$ 1 063,00. e) R$ 1 123,00.c) R$ 1 106,00.

Page 44: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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357. (UFMS) Um recipiente cônico de vidro, de altura igual ao raio da base circular, completamente fechado, está apoiado com sua base circular sobre a mesa, como na figura 1, de forma que o líquido em seu interior atinge a metade da profundidade do recipiente. Se virarmos o recipiente, como na figura 2, de forma que a base cir-cular fique paralela à mesa, qual será a profundidade do líquido em seu interior, com o recipiente nessa nova posição?

H2

?H

Figura I Figura II

a) H 7

2 c)

H2

e) H

2 73

b) H 7

2

3

d) 34H

358. (UFMT) Duas esferas cujos raios medem a cm e b cm estão apoiadas em um mesmo plano horizontal e en-costadas uma à outra, conforme figura abaixo. A dis-tância entre os seus respectivos pontos de apoio nesse plano horizontal é:

a) 3 ab cm.

b) 2 ab cm.

c) 2ab cm.

d) 3ab cm.

e) 3ab cm.

359. (UFMT) Um reservatório em forma de cilindro circular reto, posicionado horizontalmente, contém um líquido

cujo nível se encontra a 12

metro de sua parte mais

profunda, conforme figuras abaixo.

2 m

12

m

6 m

secção transversal

12

m

Considerando as dimensões internas dadas nas figu-ras, qual a quantidade de líquido, em litros, presente no reservatório?

a) 2000

31500 3

π d)

10003

250 3π

b) 1 000π 1000 3 e) 1000

3375 3

π

c) 2 000π 1500 3

360. (UFG-GO) A terra retirada na escavação de uma pisci-na semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundida-de foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de:a) 1,0. b) 2,8. c) 3,0. d) 3,8. e) 4,0.

361. (UnB-DF) Os tanques de armazenagem de combustí-vel têm, em geral, forma cilíndrica. Considere um retân-gulo de lados x e y, dados em metros. Represente por Cx o cilindro circular reto de raio x, obtido ao girar o retângulo em torno de um dos lados y e por Cy o cor-respondente cilindro, de raio y, obtido ao girar o retân-gulo em torno de um dos lados x, conforme ilustram as figuras abaixo.

y

x

Cx

y

x

Cy

Considere que a área A xy do retângulo seja tam-bém escrita como uma função linear do lado x, isto é, A a bx, ou A a bx, em que a é uma cons-tante positiva, em m2, e b é uma constante positiva, em metros. Sabendo que a área total AT e o volume V de um cilindro circular reto de raio da base r e altura h são, respectivamente, AT 2πrh 2πr2 e V πr2h, julgue os itens seguintes.1) Se Ax, Vx, Ay e Vy são as áreas totais e os volumes

dos cilindros Cx e Cy, respectivamente, então VA

V

Ax

x

y

y

.

2) Se A 3(1 x) e x 3, então o volume de uma esfera de raio igual a 3 m é maior que o volume do cilindro Cx, para x 3.

3) Se A 10 x, então existe somente um valor de y tal que o cilindro Cy tenha volume igual a 49π.

362. (PUCC-SP) Um trapézio isósceles cujas bases medem 2 cm e 4 cm, respectivamente, e cuja altura é de 1 cm, sofre uma rotação de 360° em torno da base maior, gerando assim um sólido. O volume desse sólido é:

a) 83π

cm3. d) 23π

cm3.

b) 4π cm3. e) 32π

cm3.

c) 8π cm3.

Page 45: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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363. (UFMG) Um cone é construído de forma que:• sua base é um círculo inscrito em uma face de um

cubo de lado a; e• seu vértice coincide com um dos vértices do cubo

localizado na face oposta àquela em que se encon-tra a sua base.

Dessa maneira, o volume do cone é de:

a) πa3

6. c)

πa3

9.

b) πa3

12. d)

πa3

3.

364. (UFU-MG) Considere o ci-lindro S, em cuja base de raio R está desenhada uma circunferência de raio r, con-forme a figura ao lado.Sabendo-se que a área da região sombreada é igual a 16π cm2 e que R r 2 cm, pode-se concluir que o volu-me do cilindro S é igual a:a) 45π cm3. c) 125π cm3.b) 250π cm3. d) 90π cm3.

365. (UFRJ) Dois cones circulares retos têm bases tangen-tes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura.

r s

Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vér-tice do outro. Sendo r o menor dentre os raios das ba-

ses, s o maior e x rs

, determine x.

Análise combinatória 366. (Ufac) Emanuel investigou os seguintes números: A

quantidade máxima de maneiras de preencher, ao aca-so, a folha de respostas de uma prova de matemática que contém 7 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas e a quantidade máxima de triângulos que podem ser construídos com vértices to-

10 cm

S

rR

10 cm

S

rR

mados sobre 30 pontos distintos de uma circunferên-cia de raio r 0.Se seus cálculos foram feitos corretamente, neles po-demos ver que:a) o maior número de triângulos que podem ser cons-

truídos é maior que o maior número possível de fo-lhas de respostas preenchidas ao acaso.

b) os números investigados são iguais.c) os números investigados são maiores que 4 070.d) os números investigados são menores que 70 000.e) o maior número de triângulos que podem ser cons-

truídos é menor que o maior número possível de folhas de respostas preenchidas ao acaso.

367. (Ufac) A quantidade de números inteiros múltiplos de 5, formados por três algarismos distintos, é:a) 120. d) 136.b) 150. e) 144.c) 180.

368. (Ufam) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéri-cos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será:a) 10 362. d) 26 363. b) 264. e) 10 263.c) 364.

369. (Ufam) O termo independente de x, no desenvolvi-

mento do binômio 1 1

8

xx

xx

é igual a:

a) 70. d) 20.b) 70. e) 60.c) 20.

370. (Ufam) Uma prova de matemática consta de 8 ques-tões das quais o aluno deve escolher 6. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões?a) 8 d) 1 680b) 56 e) 28c) 336

371. (UFPA) Por ocasião dos festejos da semana da pátria, uma escola decidiu exibir seus melhores atletas e as respectivas medalhas. Desses atletas, em número de oito e designados por a1, a2, a3, ..., a8 serão escolhidos cinco para, no momento do desfile, fazerem honra à bandeira nacional. Do total de grupos que podem ser formados, em quantos o atleta a2 estará presente?a) 18 b) 21 c) 35 d) 41 e) 55

372. (UFPA) Sendo Cnp a combinação de n elementos to-

mados p a p, e Tp 1 (1)p Cnp, o termo geral de

um binômio de Newton, podemos afirmar que a soma de todos os termos desse binômio é igual a:a) 0. d) 2n.b) 1n. e) (2)n.c) (1)n.

Page 46: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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373. (UFPA/PSS) No cartão da megassena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números in-teiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, al-gumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quan-tidade de cartões que o apostador deve apostar é:a) 8. b) 25. c) 28. d) 19. e) 17.

374. (Unir-RO) Na LOTECA da Caixa Econômica Federal, o apostador deve marcar o seu palpite para cada um dos 14 jogos do concurso (coluna 1, coluna do meio ou coluna 2). Para um prognóstico duplo, o apostador deve escolher duas dentre as três opções de resulta-dos em um dos jogos e, para um prognóstico triplo, ele deve assinalar todas as opções de resultados em um dos jogos. Assim sendo, de quantas maneiras distintas pode-se preencher um cartão da LOTECA com um prognóstico triplo?a) 14 313. d) 14 C13, 2.b) 13 314. e) 14 133.c) 13 A14, 3.

375. (Unit-SE) Se, no desenvolvimento de (1 x)n segun-do as potências crescentes de x, os coeficientes do 14‚ e do 28‚ termos são iguais, então n é um número natural igual a:a) 32. b) 35. c) 38. d) 40. e) 45.

376. (Uespi) Sabendo que n 3 e que o quociente entre o coeficiente do 4‚ termo e o coeficiente do 3‚ termo do

desenvolvimento do binômio 1 2

xx

n

é 73

, é cor-

reto afirmar que o valor de n é:a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.

377. (UFMT/adaptado) A Copa do Mundo de Futebol, que foi realizada na Alemanha em junho de 2006, contou com a participação de 32 seleções divididas em 8 gru-pos com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na primeira fase?a) 32 b) 40 c) 48 d) 44 e) 96

378. (UFMS) Considere o mapa da região formada pelos países A, B, C e D.

A

BD

C

Ao colorir um mapa, pode-se usar uma mesma cor mais de uma vez, desde que dois países vizinhos te-nham cores diferentes. De acordo com essa informa-ção e usando apenas quatro cores, pode-se colorir o mapa de L maneiras distintas. Então, é correto afirmar que L vale:a) 24. d) 48.b) 36. e) 32.c) 40.

379. (Ufes) Deseja-se pintar as faces de um dado com as cores verde, azul, amarelo, vermelho, violeta e alaranja-do. Se cada uma das faces deve ser pintada de uma mesma cor, então o número de maneiras possíveis de pintá-las, sem repetir cores, é:a) 66.b) (6!)3.c) 6!.d) 63.e) 6.

380. (Ufes) Sejam m e n inteiros positivos. O termo geral do

desenvolvimento binomial de xx

mn

12 003

é

2 0032 003

12 003

!!( )!

.j j

xx

mjn

j

O referido desenvolvi-

mento binomial possuirá o termo independente x, se:a) m 4n.b) n 4m.c) n 2 003m.d) m 2 n.e) n 2 003 m.

381. (Fuvest-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?a) 71 d) 83b) 75 e) 87c) 80

382. (Furg-RS) Em um certo país, os veículos são emplaca-dos por meio de um código composto de 3 letras se-guidas de 4 dígitos. As letras pertencem a um alfabeto com 26 letras, e os dígitos pertencem ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se fosse mudado esse sistema para 4 letras seguidas de 3 dígitos e supondo que to-das as possibilidades de códigos possam ser usadas como placas, o número de veículos a mais que podem ser emplacados neste novo sistema é:a) 26 103.b) 16 263 103.c) 16 103.d) 16 263 104.e) 264 104.

Page 47: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

Probabilidade 383. (Ueap) Seja k o número de polígonos convexos que

podemos obter, marcando, aleatoriamente, 12 pontos distintos em uma circunferência. Então, a probabilidade de escolhermos, ao acaso, um desses k polígonos convexos e ele ser um triângulo é, aproximadamente:a) 7,3%.b) 6,7%.c) 4,5%.d) 8,1%.e) 5,4%.

384. (UFPA) No estado do Pará, 94% dos estudantes do ensino médio estão matriculados em escolas públicas. Se a probabilidade de esses estudantes serem negros é de 75%, então a probabilidade de o estudante do ensino médio estar matriculado em escola pública e ser negro é de:a) 23,5%.b) 45,5%.c) 55,5%.d) 67,5%.e) 70,5%.

385. (UFPA/PSS) Alguns estudantes estavam se preparan-do para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo de dados a fim de testar os seus conhecimen-tos em Teoria das probabilidades. O jogo possuía as seguintes regras: I) O jogador faz o primeiro lançamento do dado. Se

sair o número 5 o jogo termina e o jogador vence.II) Se na primeira jogada não sair o número 5, o joga-

dor deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair um número maior do que 3, o jogador vence. Caso contrário perde.

A probabilidade de o jogador vencer esse jogo é:

a) 9

13.

b) 7

12.

c) 35

.

d) 47

.

e) 1013

.

386. (UFT-TO) Quando se jogam dois dados, tanto o núme-ro 6 quanto o número 7, por exemplo, podem ser obti-dos de três maneiras distintas:• (5, 1), (4, 2), (3, 3) para o 6; e

• (6, 1), (5, 2), (4, 3) para o 7.

Na prática, porém, segundo Galileu, a chance de se

obter 6 é menor que a de se obter 7, porque as permu-tações dos pares devem ser consideradas no cálculo das probabilidades.Com base no raciocínio de Galileu, é correto afirmar que, nesse caso, a probabilidade de se obter o número 6 e a probabilidade de se obter o número 7 são, res-pectivamente, de:

a) 5

3616

.e

b) 1

181

12.e

c) 1

121

12.e

d) 13

12

.e

387. (UFT-TO) Em um certo jogo, os dois participantes fa-zem esta aposta: cada um vai lançar duas moedas; aquele que obtiver um par de faces iguais coroa/co-roa ou cara/cara será o vencedor. Evidentemente, pode ocorrer empate se ambos os jogadores, cada um em seu lançamento, obtiverem faces iguais nas duas moedas lançadas. Também é possível não haver ven-cedor se ambos os parceiros obtiverem faces distintas no lançamento das moedas.Considerando-se a situação descrita e as informações dadas, é correto afirmar que a probabilidade de não haver vencedores é de:

a) 18

. c) 13

.

b) 14

. d) 12

.

388. (UEPB) Por estarem com seus antivírus desatualiza-dos, mais de 70% dos 10 mil computadores de uma empresa foram atacados pelo vírus Chernobyl e Melis-sa, sendo que 4 527 computadores foram infectados pelo Chernobyl e 3 423 computadores foram infecta-dos pelo Melissa. Sabendo que 2 200 micros ficaram livres desses vírus por estarem com os seus antivírus atualizados, qual a probabilidade de um usuário estar usando um micro infectado com ambos os vírus?a) 15%b) 1,5%c) 2%d) 2,5%e) 25%

389. (UFMT) Qual a probabilidade de haver descendentes heterozigotos nascidos de pais heterozigotos?

a) 14

c) 1

16 e)

12

b) 38

d) 1

32

Page 48: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

390. (UFMT) Admita que os termos aij, i j, da matriz A, dada abaixo, representam as probabilidades do pro-prietário de um caminhão com um certo tipo de motor, linha i, optar, na primeira troca de veículo, por outro com tipo de motor diferente, coluna j, e os termos aij, i j, representam as probabilidades de ele optar por um novo caminhão com o mesmo tipo de motor.

de , ,

, ,

D G

de D

G

0 8 0 2

0 6 0 4

, A onde D diesel e

G gasolina

De maneira análoga, interpretam-se os termos da ma-triz A2, que representam as probabilidades da segunda troca de veículo. Desse modo, se atualmente ele é pro-prietário de um caminhão com motor a diesel, a proba-bilidade de, na segunda troca, ele adquirir um cami-nhão com motor a gasolina é:a) 76%.b) 72%.c) 28%.d) 24%.e) 20%.

391. (UFG-GO) Um jogo de memória é formado por seis cartas, conforme as figuras que seguem:

Após embaralhar as cartas e virar as suas faces para baixo, o jogador deve buscar as cartas iguais, virando exatamente duas. A probabilidade de ele retirar, ao acaso, duas cartas iguais na primeira tentativa é de:

a) 12

.

b) 13

.

c) 14

.

d) 15

.

e) 16

.

392. (UnB-DF) Um levantamento estatístico efetuado em uma videolocadora permitiu estabelecer a seguinte distribuição dos filmes alugados, disponíveis apenas

parapara

nos formatos VHS e DVD:

• 60% são filmes produzidos nos Estados Unidos da

América (EUA), sendo que 14

desses está em for-

mato DVD;

• 25% são filmes nacionais, sendo que 15

desses

está em formato DVD;

• os demais são filmes de origem europeia, sendo

que 23

deles estão em formato VHS.

Caso se escolha um filme ao acaso, entre os menciona-dos acima:1) a probabilidade de esse filme ser um DVD de ori-

gem europeia será igual a 0,1.2) a probabilidade de esse filme não ser originário dos

EUA será igual a 0,6.3) a probabilidade de esse filme ter sido produzido nos

EUA ou estar em formato VHS será igual a 0,75.4) se esse filme for de origem europeia, a probabilida-

de de ele estar em formato DVD será inferior a 0,3.

393. (UnB-DF) Para ganhar na loteria LOTOGOL, da Caixa Econômica Federal (CAIXA), ilustrada na cartela abai-xo, o apostador deve acertar o número de gols marca-dos por cada um dos dois times participantes em 5 jo-gos de futebol. Mais precisamente, o apostador deve acertar se cada time marcará 0, 1, 2, 3 ou mais de 3 gols. Para cada jogo, o apostador pode marcar 52 re-sultados diferentes. Consequentemente, o número de possíveis apostas diferentes existentes na LOTOGOL é 255 ( 9 765 625).

Supondo que os 9 765 625 resultados diferentes sejam igualmente prováveis, julgue os itens seguintes, consi-derando um apostador que preencha uma única carte-la de aposta.1) A probabilidade de o apostador acertar os resulta-

dos dos 5 jogos é igual a 1

510 .

2) É mais provável o apostador obter 20 caras ao lan-çar ao acaso 20 vezes uma moeda não-viciada, do que acertar os resultados dos 5 jogos.

repr

od

ão

Page 49: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

48 4948 49

3)Aprobabilidadedeoapostadoracertarosresulta-dosdesomente4jogoséiguala120vezesapro-babilidadedeeleacertarosresultadosdos5jogos.

4)Aprobabilidadedeoapostadoracertarosresulta-dosdeapenas3jogoséiguala5760vezesapro-babilidadedeeleacertarosresultadosdos5jogos.

394.(UnB-DF)ParacomporumaprovadeMatemáticadeumconcursovestibular,foramelaboradas15questões,umaparacadaumdos15tópicoslistadosnoprograma.Limitadopelotempo,umcandidatodecidiunãoestudarotópicodeCombinatórianemodeProbabilidade.Nes-sasituação,supondoqueaordemdasquestõessejaescolhidaaoacaso,julgueositenssubsequentes.1)Aprobabilidadedequenenhumadas13primeiras

questões aborde os dois tópicos não-estudados

pelocandidatoéiguala26

105.

2)Aprobabilidadedequeentreas13primeirasques-tõesexistaumadeCombinatóriaeoutradeProba-

bilidadeéiguala1

105.

3)Senenhumadas13primeirasquestõesabordarotópicodeProbabilidade,aprobabilidadedeaques-

tão14abordaressetópicoseráiguala12

.

395.(UnB-DF)JoãoeMaria lançamalternadamenteeaoacaso uma moeda não-viciada que apresenta comoresultadospossíveiscaraoucoroa.Seapós20lança-mentos210deJoãoe10deMaria2nenhumdelestiverobtidoumacara,o jogoédeclaradoempatado.Casocontrário,oprimeiroaobtercaraganhaojogo.NessasituaçãoesupondoqueJoãoéoprimeiroalan-çaramoeda,julgueositensqueseseguem.1)Aprobabilidadedeojogoacabarempatadoéigual

a12

.

2)Aprobabilidadede JoãoganharéodobrodadeMaria.

3)AprobabilidadedeJoãoganharéiguala

23

11

220 .2

4)SeJoãoobtivercoroanoseuprimeirolançamento,aprobabilidadedeMariaganharseráiguala

23

11

220 .2

5)SeJoãoobtivercoroanoseuprimeirolançamento,aprobabilidadedeeleganharseráiguala

13

11

220 .2

396.(Fuvest-SP)Umdado,cujasfacesestãonumeradasdeumaseis,édito“perfeito”secadaumadasseisfaces

tem probabilidade16

de ocorrer em um lançamento.

Considereoexperimentoqueconsisteemtrêslança-mentosindependentesdeumdadoperfeito.Calculeaprobabilidadedequeoprodutodessestrêsnúme-rosseja:a) par; b)múltiplode10.

397.(FMU-SP) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4pretas;delasãotiradas2bolas,umaapósaoutra,semreposição.Seaprimeirabolaretiradaédecorpreta,qualéaprobabilidadedequeasegundabolasejaver-melha?

a)49

.

b)53

.

c)45

.

d)58

.

e)12

.

398.(UFU-MG)Considerequeumdadohonestoélançadoduasvezesequeosnúmerosobservadosnafacesupe-riorsãoanotados.Aprobabilidadedequeasomadosdoisnúmerosanotadossejamúltiplode4éiguala:

a)15

.

b)16

.

c)34

.

d)14

.

399.(UFRGS-RS)UmnúmeronaturalNdetrêsalgarismos,menorque500,éescolhidoaoacaso.Aprobabilidadedequelog2Nsejaumnúmeronaturalé:a) 0,001.b)0,005.c) 0,01.d)0,05.e)0,1.

400.(UFRGS-RS) Uma pessoa tem em sua carteira oitonotasdeR$1,00,cinconotasdeR$2,00eumanotadeR$5,00.Seelaretiraraoacasotrêsnotasdacarteira,aprobabilidadedequeas trêsnotas retiradassejamdeR$1,00estáentre:a) 15%e16%.b)16%e17%.c) 17%e18%.d)18%e19%.e)19%e20%.

Page 50: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

Números complexos

401. (Ufac) Seja C = {a + bi | a, b ∈ R e i = −1 } o con-junto dos números complexos. É errado afirmar que:a) todo número real é um número complexo.

b) se z é o conjugado de z ∈ C, vale que z z= .c) ∀ z, w ∈ C, vale z + w = z + w.

d) em C temos 16 24 = − ou 2 ou –2i ou 2i.

e) 3

1 38 3

5

i ii

i− = + .

402. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva.

403. (UFS-SE) Uma das raízes quadradas do número com-plexo 4i é:

a) –2i. c) − −2 i. e) 2 1( ).− i

b) 2 + i. d) 2 1( ).− i(1 + i).

404. (PUC-RS) Se u e v são reais que satisfazem a igualda-de 5i – 3(u – vi) + 2i(u + vi) = 0, onde i ∈ C, então u + v é igual a:a) –6. b) –5. c) –1. d) 1. e) 5.

405. (Vunesp) Se z = (2 + i)(1 + i)i, então –z, o conjugado de z, será dado por: a) –3 – i. c) 3 – i. e) 3 + i.b) 1 – 3i. d) –3 + i.

406. (Mack-SP) Se i2 = –1, o complexo zi i

i= −

2 003

1 é:

a) da forma a + bi, com a + b = 1.

b) um número de módulo 2 . c) um imaginário puro. d) um número real. e) um número de módulo 1.

407. (Vunesp) (i – 1)8 é igual a:a) 8. b) 8i. c) 16. d) 16i. e) –16.

408. (Mack-SP) Se z = in + i–n, n ∈ Z e i é a unidade imagi-nária, então o número total de possíveis valores diferen-tes de z é:a) 3. c) 5. e) maior que 6.b) 4. d) 6.

409. (Fuvest-SP) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i2 = –1). Suponha z ≠ i.

a) Para quais valores de z tem-se z i

iz+

+=

12?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para

os quais z i

iz+

+1 é um número real.

410. (UFMG) Observe esta figura:

y

xO

44°65°

PQ

Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respecti-vamente, os números complexos representados geo-metricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses

dados, escreva o número complexo z

i w

11

5⋅ na forma

a + bi, em que a e b são números reais.

411. (ITA-SP) Determine o conjunto dos números comple-xos z para os quais o número

wz z

z z= + +

− + + −2

1 1 3

pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou identifique) este conjunto geometricamente e faça um esboço dele.

412. (Ufal) É dado um número complexo z = (x – 2) + (x + 3)i, onde x é um número real positivo. Se |z| = 5, então:a) z é um imaginário puro.b) z é um número real positivo.c) o ponto imagem de z é (–1, 2).d) o conjugado de z é –1 + 2i.e) o argumento principal de z é 180°.

413. (UFPR) Para cada número x, considere as matrizes

A

x

xe B

x=

−− −

=+

1 1

1 1

1 0

2 1.

Então, é correto afimar:

01) Se x = 0, então A B+ =

0 1

1 0.

02) Se x = 1, então AB =−

2 1

2 1.

04) Existe número real x tal que det A = det B.

Page 51: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�0 ���0 ��

08) Existe número real x tal que A é inversa de B.16) O número complexo 1 + i é raiz da equação

det A = 0.32) (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm

soma igual a 3.Soma:

414. (Vunesp) Considere o número complexo z = i, onde i é a

unidade imaginária. O valor de z z z zz

4 3 2 1+ + + + é:a) –1. b) 0. c) 1. d) i. e) –i.

415. (Acafe-SC) É dado o número complexo z = (x – 3) + (x + 7)i, em que x é um número real po-sitivo. Se |z| = 10, então:a) o argumento de z é 180°.b) z é um número real positivo.c) o conjugado de z é –1 + 3i.d) z é um número imaginário puro.e) o ponto imagem de z é (–1, 3).

416. (PUC-RS) O número complexo

2

116

116

cos senπ π+ ⋅

i

escrito na forma algébrica a + bi é:

a) 2 3 + i. c) − −3 i. e) 2 3 − i.

b) − +3 i. d) 3 − i.

417. (Uece) Os valores de p e q para os quais a unidade complexa i é raiz da equação x3 + px2 + x + q = 0 sa-tisfazem a condição:a) p + q = 1. c) p – q = 0.b) p + q = 0. d) 2p + q = 0.

418. (Fuvest-SP) Determine os números complexos z1 e z2 tais que |z1| = 1, |z2| = 1 e z1 + z2 = 1.

419. (Mack-SP) O sistema

x y z

x y z

x y z

− + =+ − = −

+ − = −

6

2 3

2 5

é:

a) possível e determinado, sendo xyz = –6.b) possível e determinado, sendo xyz = –4.c) possível e determinado, sendo x + y + z = 5. d) possível e indeterminado. e) impossível.

420. (Unicamp-SP) Identifique o lugar geométrico dos pon-tos z = x + iy do plano complexo tal que

Re .1z

14

=

421. (Uniube-MG) Considere os números complexos z = x + iy, em que x, y ∈ R e i2 = –1, que têm módulo

igual a 3 e cujas representações geométricas encon-tram-se sobre a parábola y = x2 – 1, contida no plano complexo. Se w é a soma desses números complexos, então |w| é igual a:

a) 3. b) 3. c) 2. d) 6 .

422. (ITA-SP) Seja z um número complexo de módulo 1 e de

argumento. Se n é um número inteiro positivo, zz

nn+ 1

é igual a: a) cos (nθ). d) 2 · sen(nθ).b) 2 · cos (nθ). e) sen(nθ) + cos(nθ).c) sen (nθ).

423. (ITA-SP) Seja z ∈ C. Das seguintes afirmações inde-pendentes:

I) Se wiz z i

z iz z z= + −

+ + + +2 5

1 3 2 3 2

2

2 2 , então

wiz z i

z iz z z= − + +

+ − + +

2 5

1 3 2 3 2

2

2 2 .

II) Se z ≠ 0 e wiz i

i z= + +

+( )2 3 3

1 2, então

wz

z

2 3 2

5

+.

III) Se wi z

i=

+( )+

1

4 3 4

2

, então 212

arg z + π é um argu-

mento de w.

É (São) verdadeira(s): a) todas. d) apenas I e III. b) apenas I e II. e) apenas II. c) apenas II e III.

424. (Unicamp-SP) Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número

complexo 3 + i.a) Que números complexos estão associados aos ou-

tros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo.

b) Qual a medida do lado desse triângulo?

425. (Mack-SP) No plano de Argand-Gauss, os complexos

z tais que z z

z z

⋅ =

( ) =

92 2

são vértices de um polígono de

área: a) 36. b) 25. c) 9. d) 18. e) 16.

Page 52: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

�� ���� ��

426. (ITA-SP) Considere os números complexos

z i= +2 2 e w i= +1 3. Se

mw z i

z w i= + +

+ + −

6 4

2 3

23 4

6 2 então m vale:

a) 34. b) 26. c) 16. d) 4. e) 1.

427. (UFRN) O número complexo 11

25−+

ii

é igual a:

a) i. b) 1. c) –1. d) –i.

Polinômios – Equações polinomiais

428. (ITA-SP) Considere o polinômio P(x) = 2x + a2x2 + ... + anx

n, cujos coeficientes 2, a2, ..., an formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sabendo

que − 12

é uma raiz de P e que P(2) = 5 460, tem-se

que o valor de n q

q

2 3

4

− é igual a:

a) 54

. b) 32

. c) 74

. d) 116

.

e) 158

.

429. (UFMG) Os polinômios p1(x) = x2 – 4 e p2(x) = x2 – 7x + 10 dividem o polinômio p(x) = ax3 + bx2 – 12x + c, em que a, b e c são números reais. Determine a, b e c.

430. (Fuvest-SP) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c sa-tisfaz as seguintes condições: P(1) = 0; p(–x) + p(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de p(2)?a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

431. (UFS-SE) Dividindo-se o polinômio A(x) = x3 – 2x2 – x + 2 pelo polinômio B(x) obtém-se o quociente Q(x) = x – 3 e o resto R(x) = 3x – 1. É verdade que: a) B(2) = 2. d) B(–1) = 1.b) B(1) = 0. e) B(–2) = 1.c) B(0) = 2.

432. (Vunesp) Indicando por m, n e p, respectivamente, o número de raízes racionais, raízes irracionais e raízes não-reais do polinômio P(x) = x5 – x3 + 2x2 – 2, temos:a) m = 1, n = 1 e p = 3.b) m = 1, n = 2 e p = 2.c) m = 2, n = 1 e p = 2.d) m = 2, n = 2 e p = 1.e) m = 1, n = 3 e p = 1.

433. (Ufam) O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x2 + 1)(x2 + 4x – 12) é:a) 0. d) 2.b) 4. e) 3. c) 1.

434. (UFMG) Considerem-se os polinômios P(x) = (a2 – 3a + 2)x3 + 5x2 – 3ax + 1 e Q(x) = (a – 7)x2 + ax + 3. O conjunto de todos os va-lores reais de a, para os quais a soma P(x) + Q(x) seja um polinômio do 2º grau, é:a) {1}. c) {7}. e) {1, 2, 7}.b) {2}. d) {1, 2}.

435. (Ufscar-SP) Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 – 5x4 – 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale:a) 5. c) 3. e) 1.b) 4. d) 2.

436. (ITA-SP) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x – 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x – 2),

tem-se que o valor de abc

é igual a:

a) –6. c) 4. e) 9.b) –4. d) 7.

437. (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio cujas raízes formam uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro ter-mo 2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 221. O grau do polinômio é:a) 4. c) 6. e) 8. b) 5. d) 7.

438. (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um poli-nômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10. c) 17. e) 70. b) 12. d) 25.

439. (Efei-MG) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, o seu polinômio característico p(λ) é definido por p(λ) = det (A – λI), em que I é a matriz identidade de ordem n. Mostre que, quando A é uma matriz simétrica de ordem 2, o seu polinômio característico tem sempre raízes reais.

440. (FGV-SP) A equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0 admite –2 como raiz. As outras raízes satisfazem a equação: a) x2 – 4x + 14 = 0.b) x2 – 5x + 14 = 0.c) x2 – 6x + 14 = 0.d) x2 – 7x + 14 = 0.e) x2 – 8x + 14 = 0.

Page 53: EXERCÍCIOS MATEMÁTICA BÁSICA (1)

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441. (ITA-SP) Sabendo que o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + 2x – 2 é divisível por (x + 1) e por (x – 2), podemos afirmar que:a) a e b têm sinais opostos e são inteiros.b) a e b têm o mesmo sinal e são inteiros.c) a e b têm sinais opostos e são racionais não-inteiros.d) a e b têm o mesmo sinal e são racionais não-inteiros.e) somente a é inteiro.

442. (Cefet-PR) Sejam os polinômios A(x) = a1x

n + a2xn – 1 + ... + anx + an + 1 e

B(x) = b1xm + b2x

m – 1 + ... + bmx + bm + 1 de mesmo grau. Se (a1, a2, ..., an + 1) nesta ordem formam uma PA onde a3 = 5 e r = n, n ∈ Z com 3 n < 4 e (b1, b2, ..., bm + 1) formam nesta ordem uma PG onde b2 = a2 e b3 = –1, então o termo independente da soma A(x) + B(x) é:

a) –1. c) 152

. e) 172

.

b) 12

. d) 92

.

443. (PUC-SP) Sendo 1 + i raiz da equação x7 + ax5 + b = 0,

então ba

é igual a:

a) –2. b) –6. c) 8. d) 5. e) 9.

444. (UFU-MG) Considere o polinômio p(x) = ax3 – 3(a + 5)x + a2, com a ∈ R. Assim, o con-junto S dos valores positivos de a para os quais p(1) < 0 é igual a: a) S = {a ∈ R : 0 < a < 5}. b) S = {a ∈ R : a > 5}. c) S = {a ∈ R : a > 0}. d) S = {a ∈ R : 3 < a < 5}.

445. (FGV-SP) Considere a equação polinomial x3 – 3x2 – kx + 12 = 0.a) Determine k de modo que haja duas raízes opos-

tas. b) Determine k de modo que 1 seja raiz da equação.

Neste caso determine também as outras raízes.

446. (UFF-RJ) O resto da divisão do polinômio p(x) por (x – 1)3 é o polinômio r(x). Sabendo que o resto da divisão de r(x) por x – 1 é igual a 5, encontre o valor de p(1).

447. (UFC-CE) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b ∈ R, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então, o produto ab é igual a:a) –2. d) 1. b) –1. e) 2.c) 0.

448. (Fuvest-SP) Suponha que o polinômio do 3º grau P(x) = x3 + x2 + mx + n, onde m e n são números reais, seja divisível por x – 1.a) Determine n em função de m.b) Determine m para que P(x) admita raiz dupla dife-

rente de 1.c) Que condições m deve satisfazer para que P(x) ad-

mita três raízes reais e distintas?

449. (UFF-RJ) Considere o polinômio p(x) = x3 – 3x + 2 e a

função real de variável real f definida por f xp x

( ) =( )1

.

Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o domínio de f sob a forma de intervalo.

450. (Fuvest-SP) Dado o polinômio p(x) = x2(x – 1)(x2 – 4), o gráfico da função y = p(x – 2) é mais bem represen-tado por:

a)

b)

c)

d)

e)

y

x

10 2 3 4

y

x

10 2 3 4

y

x

–1 0–2 1 2

y

x

10 2 3 4

y

x

–3–4 –2 –1 0