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Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Apresentação do curso Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração direta, demonstração indireta (por absurdo), equivalência, relação com teoria de conjuntos, conectivos, quantificadores, negação, argumentos. Função modular. Função potência. Função quadrática (incluindo completamento de quadrados). Função da forma f (x )= a 2 x 2 . Parte 1 Matemática Básica 3 Bibliografia Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. Coleção MatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002. Parte 1 Matemática Básica 4

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Page 1: Apresentação do curso...Apresentação do curso Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 1

Parte 1 Matemática Básica 1

Apresentação do curso

Parte 1 Matemática Básica 2

Conteúdo do curso

� Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo,contraexemplo, demonstração direta, demonstraçãoindireta (por absurdo), equivalência, relação com teoriade conjuntos, conectivos, quantificadores, negação,argumentos.

� Função modular.� Função potência.� Função quadrática (incluindo completamento de

quadrados).� Função da forma f (x) =

√a2 − x2.

Parte 1 Matemática Básica 3

Bibliografia

Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a UmaVariável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. ColeçãoMatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.

Parte 1 Matemática Básica 4

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Bibliografia

Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César Morgado. A Matemática do EnsinoMédio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

Parte 1 Matemática Básica 5

Bibliografia

Elon Lages Lima. Logaritmos. Coleção do Professor deMatemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2002.

Parte 1 Matemática Básica 6

Bibliografia

James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.

Parte 1 Matemática Básica 7

Bibliografia

Marlene Dieguez Fernandez. Matemática Básica. Notas deAula, Departamento de Matemática Aplicada, UniversidadeFederal Fluminense, 2011.

Sebastião Marcos Antunes Firmo. Lições de MatemáticaBásica. Departamento de Matemática Aplicada,Universidade Federal Fluminense, 2011.

Parte 1 Matemática Básica 8

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Outras informações

� Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.

Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.

� Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.

� Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.

Parte 1 Matemática Básica 9

Datas das provas

1a VE 31/10/2016 (peso 2)

2a VE 09/01/2017 (peso 3)

VR 11/01/2017

VS 18/01/2017

Frequência mínima: 75%.

Parte 1 Matemática Básica 10

Como estudar?

� Tenha uma cópia impressa destes slides sempre consigo!

� Após cada aula, estude o material apresentado (estesslides): marque o que é importante, refaça os exemplos eas demonstrações apresentadas por conta própria, anotedúvidas, etc.

� Faça uma lista com as definições e teoremas principais!

� Tem uma dúvida? Converse com seus colegas, comos monitores e com os professores.

� Não fique acanhado em perguntar em sala de aula.

� Não deixe para estudar na última hora: estude todo dia!

Parte 1 Matemática Básica 11

Elementos de Lógica e LinguagemMatemáticas

Parte 1 Matemática Básica 12

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O significado das palavras

linguagem do cotidiano�=

linguagem matemática

Parte 1 Matemática Básica 13

Exemplo

João disse que:

Se

eu viajar para a região Sul do Brasil,

então

eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.

A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!

Parte 1 Matemática Básica 14

Exemplo

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?

Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.

Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!

Parte 1 Matemática Básica 15

Exemplo

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?

Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar.

Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é falsa!

Parte 1 Matemática Básica 16

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Exemplo

O pai de João disse que:

Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.

Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?

Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.

Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença

Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.

é verdadeira, então também é verdadeira a sentença

Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.

Parte 1 Matemática Básica 17

Se A, então B: hipótese e tese

Parte 1 Matemática Básica 18

Se A, então B: hipótese e tese

Na sentença

Se A, então B.

A é denominada hipótese e B é denominada tese.

Exemplo:

Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.

Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.

Parte 1 Matemática Básica 19

Se A, então B: hipótese e tese

Na sentença

Se A, então B.

A é denominada hipótese e B é denominada tese.

Exemplo:

Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.

Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.

Parte 1 Matemática Básica 20

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Se A, então B: hipótese e tese

Na sentença

Se A, então B.

A é denominada hipótese e B é denominada tese.

Exemplo:

Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.

Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.

Parte 1 Matemática Básica 21

Se A, então B: hipótese e tese

Na sentença

Se A, então B.

A é denominada hipótese e B é denominada tese.

Exemplo:

Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.

Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.

Parte 1 Matemática Básica 22

Se A, então B: exemplo econtraexemplo

Parte 1 Matemática Básica 23

Se A, então B: exemplo e contraexemplo

Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.

Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.

Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.

Exemplo: m = 18.� Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.� Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.

Contraexemplo: m = 6.� Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.� Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.

Parte 1 Matemática Básica 24

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Se A, então B: exemplo e contraexemplo

Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.

Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.

Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.

Exemplo: m = 1.� Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.� Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.

Contraexemplo: m = −3.� Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.� Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0

para todo inteiro k e m = −3 < 0.

Parte 1 Matemática Básica 25

Se A, então B: exemplo e contraexemplo

Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.

Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.

Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.

Exemplo: n = 1.� Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.� Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.

Contraexemplo: n = 40.� Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.� Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é

um número primo.

Parte 1 Matemática Básica 26

Se A, então B: exemplo e contraexemplo

Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.

Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.

Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.

Exemplo: m = 2 e n = 2.� Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.� Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.

Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e nsão inteiros pares. Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 · r e n = 2 · s. Logo,m · n = 2 · (2 · r · s) é inteiro par e satisfaz a tese.

Parte 1 Matemática Básica 27

Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Parte 1 Matemática Básica 28

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Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:

(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.

(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.

(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.

Regras do Jogo

Parte 1 Matemática Básica 29

Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.

Contraexemplo: m = 6.� Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.� Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.

Logo a sentença (proposição) é falsa!

Parte 1 Matemática Básica 30

Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.

Contraexemplo: m = −3.� Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.� Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que

2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.

Logo a sentença (proposição) é falsa!

Parte 1 Matemática Básica 31

Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.

Contraexemplo: n = 40.� Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.� Não satisfaz a tese:

n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.

Logo a sentença (proposição) é falsa!

Parte 1 Matemática Básica 32

Page 9: Apresentação do curso...Apresentação do curso Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração

Se A, então B: verdadeira ou falsa?

Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.

Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares.Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 · r e n = 2 · s. Logo,m · n = 2 · (2 · r · s) é inteiro par e satisfaz a tese.

Logo a sentença (proposição) é verdadeira!

Parte 1 Matemática Básica 33

A recíproca de “Se A, então B.”

Parte 1 Matemática Básica 34

A recíproca de “Se A, então B.”

A recíproca de uma sentença na forma

Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)

Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)

Parte 1 Matemática Básica 35

A recíproca de “Se A, então B.”

A recíproca de uma sentença na forma

Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)

Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)

Parte 1 Matemática Básica 36

Page 10: Apresentação do curso...Apresentação do curso Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração

A recíproca de “Se A, então B.”

A recíproca de uma sentença na forma

Se A, então B.

é a sentença

Se B, então A.

Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)

Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)

Parte 1 Matemática Básica 37

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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 2

Parte 2 Matemática Básica 1

Se A, então B: notações

Parte 2 Matemática Básica 2

Se A, então B: notações

Notação Exemplo

Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.

A ⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.

A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.

A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.

B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.

Parte 2 Matemática Básica 3

Demonstrações: direta e por absurdo

Parte 2 Matemática Básica 4

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Demonstração direta

Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A tambémsatisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” éverdadeira, pois ela não possui contraexemplos.

Demonstração direta

Parte 2 Matemática Básica 5

Demonstração direta: exercício resolvido

Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.

Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,

m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).

Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.

Parte 2 Matemática Básica 6

Demonstração por absurdo

Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.

Demonstração por absurdo

Parte 2 Matemática Básica 7

Demonstração por absurdo: exercício resolvido

Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.

Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que

m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.

Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!

Parte 2 Matemática Básica 8

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A se, e somente se, B

Parte 2 Matemática Básica 9

A se, e somente se, B

Dizemos que uma sentença

A se, e somente se, B

é verdadeira quando as sentenças

“se A, então B” e “se B, então A”

são simultaneamente verdadeiras.

Regras do Jogo

Parte 2 Matemática Básica 10

A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?

m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.

A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças

se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par

e

m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par

são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).

Parte 2 Matemática Básica 11

A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?

m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.

A sentença é falsa, pois a sentença

se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares

é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).

Parte 2 Matemática Básica 12

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A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?

m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.

A sentença é falsa, pois a sentença

se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9

é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).

Parte 2 Matemática Básica 13

A se, e somente se, B: notações

Notação Exemplo

A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.

A ⇔ B. m é um inteiro e m2 é par ⇔ m é par.

A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.

Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.

Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente

para que m seja par.

Parte 2 Matemática Básica 14

Quatro observações

Parte 2 Matemática Básica 15

Observação 1

O pai de João disse que:

Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.

Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?

Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.

Parte 2 Matemática Básica 16

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Observação 2

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

Se x ∈ R e x2 < 0, então x = 1/7.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.

Parte 2 Matemática Básica 17

Observação 3

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.

Parte 2 Matemática Básica 18

Observação 4

Proposição é sinônimo de sentença.

� Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.

� Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.

� Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.

Parte 2 Matemática Básica 19

Uma demonstração por absurdo famosa

Parte 2 Matemática Básica 20

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Demonstração por absurdo: exercício resolvido

Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional

Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m, n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.

Parte 2 Matemática Básica 21

Seção de Exercícios

Parte 2 Matemática Básica 22

Implicações e Teoria dos Conjuntos

Parte 2 Matemática Básica 23

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 �= 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0, 1}T = {x | x satisfaz a tese } = {1}

Note que H �⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 24

Page 17: Apresentação do curso...Apresentação do curso Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}T = {x | x satisfaz a tese } = {0, 1}

Note que H ⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 25

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 �= 2).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2, 2}T = {x | x satisfaz a tese } = {2}

Note que H �⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 26

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {2}T = {x | x satisfaz a tese } = {−2, 2}

Note que H ⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 27

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞, 0[ ∪ ]1,+∞[

T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[

Note que H �⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 28

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ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0, 1}T = {x | x satisfaz a tese } = {0, 1, 2}

Note que H ⊂ T !

Parte 2 Matemática Básica 29

MoralVerdadeira ou falsa?

Se A, então B.

Sejam:

H = {x | x satisfaz a hipótese A},

T = {x | x satisfaz a tese B}.

Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .

Parte 2 Matemática Básica 30

ExemploVerdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = 1/7

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅

T = {x | x satisfaz a tese } = {1/7}

Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!

Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?

Parte 2 Matemática Básica 31

Conectivos Lógicos

Parte 2 Matemática Básica 32

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Conectivo “ou” (∨)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p ou q

(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.

Regras do Jogo

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?

x + 1 = 2 ou x2 = 4 .

Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).

Parte 2 Matemática Básica 33

Conectivo “ou” (∨)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p ou q

(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},

então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.

Parte 2 Matemática Básica 34

Conectivo “e” (∧)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p e q

(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?

x + 1 = 2 e x2 = 1 .

Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.

Parte 2 Matemática Básica 35

Conectivo “e” (∧)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p e q

(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},

então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.

Parte 2 Matemática Básica 36

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Conectivos e o uso de parêntesisQuais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

(x > 0 ou x < 2) e x > 1 .

Resposta: x > 1.

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

x > 0︸ ︷︷ ︸

p

ou (x < 2︸ ︷︷ ︸

q

e x > 1︸ ︷︷ ︸

r

).

Resposta: x > 0.

Moral: os parêntesis são importantes!

Parte 2 Matemática Básica 37

Conectivos e o uso de parêntesisQuais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

(x = 0︸ ︷︷ ︸

p

ou x = 1︸ ︷︷ ︸

q

) e 2 = 3︸ ︷︷ ︸

r

.

Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

x = 0︸ ︷︷ ︸

p

ou (x = 1︸ ︷︷ ︸

q

e 2 = 3︸ ︷︷ ︸

r

).

Resposta: x = 0.

Moral: os parêntesis são importantes!

Parte 2 Matemática Básica 38

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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 3

Parte 3 Matemática Básica 1

Negação

Parte 3 Matemática Básica 2

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

Parte 3 Matemática Básica 3

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U

︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Parte 3 Matemática Básica 4

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

Parte 3 Matemática Básica 5

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Parte 3 Matemática Básica 6

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.

Parte 3 Matemática Básica 7

Contrapositiva

Parte 3 Matemática Básica 8

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Contrapositiva

Dada uma sentença A ⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

Parte 3 Matemática Básica 9

TeoremaA ⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A ⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A ⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A ⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Parte 3 Matemática Básica 10

Contrapositiva: exercício resolvidoSe m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Parte 3 Matemática Básica 11

Quantificadores

Parte 3 Matemática Básica 12

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Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Parte 3 Matemática Básica 13

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Parte 3 Matemática Básica 14

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(x)(lê-se “para todo x pertencente a X , q(x)”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predi-cado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) é verdadeira. Noteque “∀x ∈ X , q(x)” é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que nãosatisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∀a, b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a, b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Parte 3 Matemática Básica 15

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ R

e x2 − x − 1 = 0.

Parte 3 Matemática Básica 16

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Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Parte 3 Matemática Básica 17

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∃a, b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Parte 3 Matemática Básica 18

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(x)(lê-se “existe x pertencente a X tal que q(x)”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuipelo menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q(x)” é falsa se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Exemplo:∃n, a, b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Parte 3 Matemática Básica 19

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Dizemos que a expressão quantificada

∃!x ∈ X | q(x)(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q(x)”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q(x) possuium único exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q(x)” é falsa se existe maisde um elemento x ∈ X que satisfaz o predicado q(x) ou se todoelemento x ∈ X não satisfaz o predicado q(x).

Regras do Jogo

Parte 3 Matemática Básica 20

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Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:

∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4 − 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Parte 3 Matemática Básica 21

Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:

∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 �= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 �= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 �= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Parte 3 Matemática Básica 22

Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:

∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 �= x2.

Parte 3 Matemática Básica 23

Quantificador existencial de unicidade (∃!)Exemplo:

∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 �= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 �= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 �= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Parte 3 Matemática Básica 24

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Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R, ∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Parte 3 Matemática Básica 25

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p(x)) = (∃x ∈ X | ∼ p(x))

∼ (∃x ∈ X | p(x)) = (�x ∈ X | p(x)) = (∀x ∈ X , ∼ p(x))

∼ (∃!x ∈ X | p(x)) = (∀x ∈ X , ∼ p(x)) ∨ (∃x ∈ X | (p(x) ∧ (∃y ∈ X | p(y) ∧ (x �= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 �= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Parte 3 Matemática Básica 26

Negação de uma implicação

Supondo que p e q são dois predicados que dependem de x ∈ X :

∼ (p(x) ⇒ q(x)) = ∃x ∈ X | (p(x) ∧ ∼ q(x))

Negação de Uma Implicação

Exemplos (supondo que x ∈ R):

∼ (1/x < 1 ⇒ x > 1) = ∃x ∈ R | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x ∈ R | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Parte 3 Matemática Básica 27

Negação de uma implicação

CUIDADO!

A negação de uma implicação não é outra implicação!

Erro comum:achar que a negação de p(x) ⇒ q(x) é ∼ p(x) ⇒∼ q(x)!

Parte 3 Matemática Básica 28

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Saiba diferenciar!

A ⇒ B

B ⇒ A ∼ B ⇒∼ A ∃x | A∧ ∼ B

recíproca contrapositiva negação

Parte 3 Matemática Básica 29

Vamos praticar?

Sentença:para todo x real, x2 ≥ −x .

Negação:existe x real tal que x2 < −x .

Parte 3 Matemática Básica 30

Vamos praticar?

Sentença:para todo n natural positivo, n2 + n + 41 é um número primo.

Negação:existe n natural positivo tal que n2 + n + 41 não é um número primo.

Parte 3 Matemática Básica 31

Vamos praticar?

Sentença:existe x real tal que x2 − x + 1 = 0.

Negação:para todo x real, x2 − x + 1 �= 0.

Parte 3 Matemática Básica 32

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Vamos praticar?

Sentença:existem n, a, b, c naturais tais que n > 2 e an = bn + cn.

Negação:para todo n, a, b, c naturais, n ≤ 2 ou an �= bn + cn.

Parte 3 Matemática Básica 33

Vamos praticar?

Sentença:existe b real tal que para todo a real, b > a.

Negação:para todo b real, existe a real tal que b ≤ a.

Parte 3 Matemática Básica 34

Vamos praticar?

Sentença:se n é primo, então 2n − 1 é primo.

Negação:existe n natural tal que n é primo e 2n − 1 não é primo.

Parte 3 Matemática Básica 35

Vamos praticar?

Sentença:se a2 > 1, então a > 1.

Negação:existe a real tal que a2 > 1 e a ≤ 1.

Parte 3 Matemática Básica 36