apostila de matemática básica

Apostila de Matemática

Conceitos básicos da matemática

Noções de conjuntos

Potenciação e Radiciação

Equações do 1º e 2º grau

Função exponencial

Logaritmo e Funções logarítmicas

Geometria plana

Áreas e Volumes

Noções básicas de estatística

Noções básicas de Matemática financeira

Matrizes e Determinantes

Professor: Luam de Oliveira Santos

e-mail: [email protected]

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Prof. Marcos Métodos Quantitativos

5

1 – CONJUNTOS

Na utilização usual da linguagem, quando falamos, a maioria das palavras pode ter mais de um significado; quando escrevemos, um mesmo símbolo pode ser interpretado, às vezes, de diferentes maneiras.

A matemática, no entanto, tem finalidades diferentes das da língua e elas exigem a utilização de uma linguagem mais específica.

A teoria dos conjuntos fornece os elementos para essa linguagem matemática, que se tem revelado também conveniente para o tratamento matemático de fenômenos relativos às mais variadas ciências, da Economia a Psicologia, por exemplo.

Como o próprio nome indica, conjunto dá uma ideia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, coisas etc. constitui um conjunto.

Os objetos que formam um conjunto são denominados elementos. Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c e os conjuntos,

por letras maiúsculas A, B, C. Alguns termos e definições são importantes no estudo de conjuntos:

· Pertinência Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Para indicar que

um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o símbolo “Î” e quando não pertence,

usamos o “Ï”.

x Î A (lê-se: x pertence a A)

x Ï B (lê-se: x não pertence a B)

Obs.: Os símbolos Î e Ï são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

· Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmo elementos. Indica-se: A = B (A é igual a B).

· Conjunto Vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos.

Representa-se o conjunto vazio por { }ou Æ

· Conjunto Universo Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte de nosso estudo.

· Subconjuntos Dados dois conjunto, A e B, dizemos que A é subconjunto de B, se cada elemento do conjunto A é, também, um elemento do conjunto B. Indicamos esta relação por:

A Ì B (lê-se: A está contido em B)

B É A (lê-se: B contém A) 1.1 - Representação de um conjunto Um conjunto pode ser representado de 3 formas:


6

1º) Por extensão Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Ex.: A = {1, 2, 3, 4, 5}

2º) Por compreensão O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos

Ex.: A = {x Î N / x é par}.

3º) Por figuras Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venn. Ex.: O conjunto A = {1, 2, 3, 4} pode ser representado pelo diagrama:

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1 2 A 3 4

1.2 – Operações com conjuntos

1.2.1 União de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B o conjunto

representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A B =

{x / x Î A ou x Î B}.

1.2.2 Intersecção de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto

representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B simultaneamente,

ou seja: A B: {x / x Î A e xÎ B}

Os elementos de A são representados por pontos internos desta figura.

Observe que: 2 Î A (é ponto interno)

7 Ï A (é ponto externo)


7

1.2.3 Diferença de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto

representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não

pertencem a B, ou seja, A - B = {x / x A e x B}.

1.3 – Número de elementos da união de conjuntos Sendo nA o número de elementos de A e nB o número de elementos de B, temos:

nAÈB = nA + nB - nAÇB

Exercícios de aplicação (série A) A1) Numa pesquisa feita sobre os produtos A e B com 600 consumidores, obteve-se o seguinte resultado: 120 pessoas consomem ambos os produtos. 250 pessoas consomem o produto A. 135 pessoas consomem o produto B. Responda: a) Quantas pessoas consomem somente o produto A? b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o B? c) Quantas pessoas não consomem nem A nem B?

A2) Numa sala de aula com 50 alunos, todos falam pelo menos uma língua estrangeira; sabe-se que 35 falam inglês e 27, espanhol. Responda: a) Quantos alunos falam inglês e espanhol? b) Quantos alunos falam somente inglês? c) Quantos alunos falam somente espanhol?

A3) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores com 3 produtos P1, P2 e P3, mostrou que, dos entrevistados 20 consumiam os 3 produtos, 30 os produtos P1 e P2, 50 os produtos P2 e P3, 60 os produtos P1 e P3, 120 o produtos P1, 75 o produto P2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos pergunta-se: a) Qtas. consumiam somente o produto P3 ? b) Qtas. consumiam pelo menos 2 dos produtos? c) Qtas. consumiam os produtos P1 e P2 e não o P3?/

A4) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme quadro abaixo.

Conv A Conv B Somente INSS 430 160 60

Pergunta-se: a) Qtos. eram filiados as duas empresas A e B? b) Qtos. eram filiados somente a empresa A?


8

A5) Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação a 3 jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi precisamente: 44 pessoas leem o jornal A. 37 pessoas leem o jornal B. 32 pessoas leem os jornais A e C. 28 pessoas leem os jornais A e B. 26 pessoas leem os jornais B e C. 20 pessoas leem os jornais A, B e C. 7 pessoas não leem jornais. Pergunta-se, com base neste resultado, quantas pessoas leem o jornal C. A6) Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula com 30 alunos perguntando quem havia lido as obras Dom Casmurro ou Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambas de Machado de Assis. O resultado da pesquisa foi precisamente: 19 alunos leram D. Casmurro. 20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas. 3 alunos não leram nenhum dos dois itens. Com base neste resultado, quantos alunos leram as duas obras? A7) Num departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou – se um teste em 44 candidatos. Uma das perguntas foi: Você já trabalhou no: a) setor de montagem. b) setor de pintura. c) setor de eletricidade. Concluiu-se que todos os candidatos tem experiência em pelo menos um dos setores e que exatamente: 28 pessoas trabalharam em montagem. 04 pessoas trabalharam só em montagem. 01 pessoa trabalhou só em eletricidade. 21 pessoas já trabalharam em montagem e pintura. 16 pessoas trabalharam em pintura e eletricidade. 13 pessoas trabalharam em montagem e eletricidade. a) Quantas pessoas tem experiência nos 3 setores? b) Quantas pessoas tem experiência em pintura? c) Quantas pessoas tem experiência em eletricidade? A8) Numa prova sobre o corpo humano constavam 3 questões: a 1ª sobre o sistema circulatório, a 2a sobre o sistema respiratório e a 3a sobre o sistema nervoso. Sabe-se que dos 29 alunos que fizeram a prova precisamente: 15 alunos acertaram a 1a questão. 07 alunos acertaram somente a 2a questão. 01 aluno acertou somente a 3a questão. 11 alunos acertaram a 2a e 3a questões. Nenhum aluno errou todas as questões. Pergunta: Quantos alunos acertaram as 3 questões? A9) Um professor de história fez 3 perguntas aos 32 alunos da sala e pediu para que os alunos levantassem o braço se a resposta fosse sim. a) Quem já estudou história do Egito? b) Quem já estudou o mundo grego? c) Quem já estudou o mundo romano?


9

O professor observou que 17 alunos responderam sim a 1a pergunta, 19 alunos responderam sim à 2a pergunta, 21 alunos responderam sim à 3a pergunta, 11 alunos responderam sim às 1ª e 2a perguntas, 13 alunos responderam sim às 2a e 3a perguntas, 12 alunos responderam sim às 1a e 3a perguntas e 10 alunos responderam sim às 3 perguntas. Pergunta-se: Quantos alunos da sala não estudaram nem Egito, nem o mundo grego, nem o mundo romano? A10) Nas favelas, devido as péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames feitos em 41 crianças foi constatada a presença de 3 tipos de bactérias A, B e C. 23 crianças apresentaram bactéria A 25 crianças apresentaram bactéria B 22 crianças apresentaram bactéria C 11 crianças apresentaram bactéria A e B 12 crianças apresentaram bactéria B e C 9 crianças apresentaram bactéria A e C Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias. Quantas crianças apresentaram as 3 bactérias? A11) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de 2 refrigerantes Coca-Cola e Pepsi Cola. Para se saber qual o preferido de uma certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade. 135 bebem Coca-Cola. 75 bebem os dois refrigerantes. 40 não bebem nenhum dos 2 refrigerantes. Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido e quantos jovens bebem este refrigerante?

Exercícios de Extras – Conjuntos 1) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? 2) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam produtos A ou B. P produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 3) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados : A, 48% ; B, 45% ; C, 50% ; A e B, 18% ; B e C, 25% ; A e C, 15%, nenhuma das três 5%. a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas? b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas? 4) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as publicações: Helena, Iracema e A Moreninha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas,

· 600 leram a Moreninha;

· 400 leram Helena;

· 300 leram Iracema;

· 200 leram A Moreninha e Helena;

· 150 leram A Moreninha e Iracema;

· 100 leram Iracema e Helena;


10

· 20 leram as três obras. Calcule: a) o número de pessoas que leu apenas uma das três obras. b) o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) o número de pessoas que leu duas ou mais obras. 5) Numa comunidade são consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados:

Leite Nº de Consumidores A 100

B 150

C 200

A e B 20

B e C 40

A e C 30

A, B e C 10

Nenhum dos três 160

Determine quantas pessoas:

a) Foram consultadas? b) Consomem apenas dois tipos de leite? c) Não consomem o leite tipo B? d) Não consomem o leite tipo A ou não consomem o leite tipo B?

2 - REGRA DE TRÊS (ferramentas) 2.1 – Razão

Se a e b são dois números e b é diferente de zero, dizemos que a/b ou a:b é a razão entre a e b, nessa ordem.

A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números que expressam as medidas dessas grandezas. Exemplos:

1) Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Capítulo 2

Números

2.1 Conjuntos Numéricos

2.1.1 Naturais

DeÞnimos o conjunto do números naturais por, N = {0 1 2 3 4 5!!!}Convém destacar um subconjunto: N = N {0} = {1 2 3 4 5!!!}

2.1.2 Inteiros

DeÞnimos o conjunto do números inteiros por, Z = {!!! 3 2 1 0 1 2 3!!!}No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:Z = Z {0} = {!!! 3 2 1 1 2 3!!!}Z+ = {0 1 2 3 4!!!} (inteiros não negativos)Z! = {0 1 2 3 4!!!} (inteiros não positivos)Z + = {1 2 3 4!!!}(inteiros positivos)Z != { 1 2 3 4!!!}(inteiros negativos)

2.1.3 Racionais

Q = {" Á " =#

$ # ! Z $ ! Z $ 6= 0}!

Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica,isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por inÞnitos algar-ismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4 5555 (período 5) ,10 878787 (período 87) e 9 8545454!.. (período 54, parte não periódica 8)No conjunto dos racionais adotamos as seguintes deÞnições:a)

!= "

#"# %& = '(

b)

!+ "

#= #+!"

!#

c)

!· "#= "

!#

No conjunto dos racionais destacamos os seguintes subconjuntos:Q+ = {" ! QÁ" $ 0}(racionais não negativos)

7

Q! = {" ! QÁ" % 0}(racionais não negativos)Q = Q {0}(racionais não nulos)

2.1.4 Irracionais

É todo número decimal não-exato e não periódico, bem como toda raiz não-exata. Ou seja todo número que não pode ser expresso como o quociente dedois números racionais.- raiz quadrada de dois = 1 414!!!;- raiz quadrada de três= 1 73!!!;- número pi= 3 141516Notação: Denotaremos o conjunto dos irracionais por I

2.1.5 Reais

DeÞnimos o conjunto dos números reais como a união entre os conjuntos dosracionais e irracionais.: R = Q & IDiante do exposto acima concluímos queN ' Z ' Q ' R I ' R e Q ( I = No conjunto dos reais destacamos os seguintes subconjuntos:R = R {0} (reais não nulos)R

+ = {" ! R Á " ) 0} (reais positivos)R

!= {" ! R Á " * 0} ( reais negativos)

Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos deum eixo ordenado

2.2 Ordenação dos números reais

Na reta real os números estão ordenados, um número % é menor que qualquernúmero colocado à sua direita.

Exprimimos este fato da seguinte maneira: % é menor que ' ou equivalente-mente, que ' é maior que %.Se % e ' são números reais então dizemos que % ) ' (% é maior que '), se

% ' é um número positivo. A este fato damos o nome de desigualdade. Outrostipos de desigualdade são % * ' % % ' % $ '!

8

2.2.1 Propriedades das desigualdades

a) Se % ) ' e ' ) ( então % ) ( Ex: 10 ) 0 ) 10 # 10 ) 10b) Se % ) ' então %± ( ) '± ( Ex: 10±5 ) 10±5# 15 ) 5 e 5 ) 15c) Se % ) ' e ( ) 0 então %( ) '( Ex: 10!5 ) 10!5# 50 ) 50d) Se % ) ' e ( * 0 então %( * '( Ex: 10! 3 * 10! 3 # 30 * 30e) Se % ) ' então 1

* 1

! se % 6= 0 e ' 6= 0

2.2.2 Intervalos

Sendo % e ' dois números reais, com % * ', temos os seguintes subconjuntos deR chamados intervalos.Intervalo aberto:

(% ') = {" ! R Á % * " * '}

Intervalo fechado:

[% '] = {" ! R Á % % " % '}

Intervalo semi-aberto à direita:

[% ') = {" ! R Á % % " * '}

Intervalo semi-aberto à esqueda:

(% '] = {" ! R Á % * " % '}

Intervalo inÞnitos

( ) +)) = {" ! RÁ ) * " * +)} = R

[% +)) = {" ! R Á % % " * +)}

(% +)) = {" ! R Á % * " * +)}

9

( ) %] = {" ! R Á ) * " % %}

( ) %) = {" ! R Á ) * " * %}

2.2.3 Exercicios Resolvidos

1) Usando a notação de conjunto escrever os intervalosa) ( 3 6) b) (+ 6] c)

£*2 *3¤

d) [ 1 0) e) ( ) 0)2) Se , = {" ! R Á 2 * " * 5} e - = {" ! RÁ3 % " * 8} determinara) , (- b) , - c) - ,

3) Representar os seguintes intervalos:a) [ 1 1] b) [0 10) c) ( 3 1] d) (4 6) e) (5 +))4) Resolver graÞcamentea) (+ 6] & [ 1 1) b)

£*2 *3¤(£1

2 3¤

5) Resolver as inequaçõesa) 3 + 7" % 2"+ 9 b) 7 % 2 5" * 9c) 2$!5

$!2* 1 d) $!1

$$ 4

2.3 Exercícios de Fixação

01) Quais das alternativas abaixo é falsaa) { } é um conjunto unitáriob) {} é o conjunto vazioc) Se , = {1 2 3} então {3} ! ,

d) {" ! NÁ" = 2. onde . ! N} é o conjunto dos números naturais ímparese) '

£1

2 !12

¤

f)£1

2 !12

¤& {} '

h) - (, ' , &-

i) Q ' R Z02) Escrever usando o sinal de desigualdadea) % é um número positivo b) ' é um número negativo c) % é maior que

'

03) Representar na reta real os seguintes intervalosa) [ 10 11] b) [0 3) c) ( 3 0] d) (3 7) e) (0 +))

04) Representar graÞcamente os intervalos dados pelas desigualdadesa) 2 % " % 7 b)

*3 % " %

*5 c) 0 % " * 2 d) ) * " * 1

05) Deternimar graÞcamentea) (5 7] ( [6 9] b) ( ) 7] ( [8 10] c) ( 3 0] & (0 8) d) (0 7] (5 7)

06) Sejam / = {" ! RÁ2 % " * 10}, 0 = {" ! R Á 3 * " * 8} e 1 ={" ! RÁ2 % " % 9} ! Determinar o conjunto 1 (/ 0)!

10

07) Resolva as inequações e exprima a solução em termos de intervalos quandopossível:a) 2"+ 5 * 3" 7 b) " 8 * 5"+ 3c) 2 % 2$!3

5* 7 d) $+1

2$!3) 2

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Matemática para Concursos

Polícia Rodoviária Federal 48

centímetros".0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações: Transforme 16,584hm em m.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).16,584 x 100 = 1.658,4Ou seja:16,584hm = 1.658,4m

Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10x 10).1,463 x 1.000 = 1,463Ou seja:1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.


Para transformar dam em cm (três posições à esquerda) devemos dividir por 10.176,9 : 10 = 17,69Ou seja:176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.978 : 1.000 = 0,978Ou seja:978m = 0,978km.

Sistemas de Equações do 1º Grau

Equações do 1º grau com uma variável

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que existauma ou mais letras que representam números desconhecidos.



Exemplo: X + 3 = 12 – 4 Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 0.Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equaçãodo 1º grau)

Exemplos: x - 4 = 2 + 7, (variável x) 2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m) -2r + 3 = 31, (variável r) 5t + 3 = 2t – 1 , (variável t) 3(b – 2) = 3 + b,(variável b) 4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do1º grau) 3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equaçãodo 1º grau)

Obs: Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal deigual e o 2º membro à direita do sinal de igual.Veja:

Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir.Representamos pela letra U. Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentençaverdadeira. Representamos pela letra S. Exemplo:Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentençamatemática 2x – 4 = 2, verdadeira. 2(0) – 4 = 2 Errado2(2) – 4 = 2 Errado2(3) – 4 = 2 Verdadeiro2(6) – 4 = 2 Errado2(8) – 4 = 2 Errado2(9) – 4 = 2 Errado Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Raiz da equação Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a igualdade verdadeira.Verificando se um dado número é raiz da equação:

Exemplos:1. Vamos verificar se o número 4 é raiz da equação 9a – 4 = 8 + 6a



Equação 9a – 4 = 8 + 6aVamos substituir a por 4 >> 9(4) – 4 = 8 + 6(4) >> 36 – 4 = 8 + 24 >> 32 = 32Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução. 2. Vamos verificar se o número – 3 é raiz da equação 2x – 3 = 3x + 2.Vamos substituir x por – 3 >> 2(-3) – 3 = 3(-3) + 2 >> - 6 – 3 = - 9 + 2 >> - 9 = - 7 ,

sentença falsa – 9 é diferente de –7 (- 9 - 7).Então – 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação. Equações Equivalentes Duas ou mais equações que possui o mesmo conjunto solução (não vazio) são chamadasequações equivalentes. Exemplo:1. Dada as equações , sendo U = Q.x + 2 = 8, a raiz ou solução é = 6x = 8 – 2, a raiz ou solução é = 6x = 6, a raiz ou solução é = 6

Podemos observar que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é omesmo. Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes.

Resolvendo Equações do 1º Grau Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinara raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução. Resolução:Exemplo:Vamos resolver a equação 5a + 11 = - 4, sendo U = Q.

Aplicando o principio aditivo, vamos adicionar –11 aos dois membros da equação, e isolar otermo que contém a variável a no 1º membro.5a + 11 = - 45a + 11 + (– 11) = - 4 + (– 11) (adicionamos – 11 para podermos eliminar o + 11 do 1º membro)

5a = - 4 – 115a = - 15Aplicando o principio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros por (1/5) 5a . (1/5) = - 15 . (1/5) (multiplicamos os dois lados por (1/5) para podermos eliminar o 5que multiplica a variável)

a = - 3

logo – 3 ! Q, S = { - 3}

obs:Devemos lembrar que equação é uma igualdade, tudo que fizermos em um membro temosque fazer no outro para que a igualdade permaneça. Modo prático:Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado que o número que estava em ummembro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e quem estavamultiplicando aparece no outro membro dividindo. No processo prático fazemos assim.5a + 11 = - 45a = - 4 – 11(observe o sinal do número 11)



5a = -15a = -(1/5) (observe o número 5)a = - 3S = {- 3} Resolvendo equações pelo método prático:Exemplos:

1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U = Qa) y + 5 = 8y = 8 – 5 (+5 passou para o 2º membro – 5) y = 3 S = {3} b) 13x – 16 = - 3x 13x + 3x = 16 (- 3x passou para o 1º membro + 3x)16x = 16 x= 16/16 (16 estava multiplicando x, passo para o 2º membro dividindo) x = 1 S = {1} c) 3(x – 2) – (1 – x) = 13 (aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação)3x – 6 – 1 + x = 13 3x + x = 13 + 6 +1 (+6 e +1, passaram para o 2º membro – 6 e – 1) 4x = 20 x= 20/4 (4 passou para o 2º membro dividindo)x = 5 S = {5}

d) (tiramos o mmc)

5t –14 = 8t – 20 (cancelamos os denominadores)5t – 8t = -20 + 14- 3t = - 6 (multiplicamos por – 1, 1º membro é negativo)3t = 6t = 2S = {2} 2) Vamos resolver a equação 5x – 7 = 5x – 5, sendo U = Q.5x – 7 = 5x – 55x – 5x = - 5 + 70x = 2x= 2/0Não existe divisão por zero, dizemos que a equação é impossível em Q, então S = { }(vazio). 3) Vamos resolver a equação 5x – 4 = - 4 + 5x.5x – 4 = - 4 + 5x5x – 5x = - 4 + 40x = 0Dizemos que esta equação é indetermina (Infinitas soluções), logo S = Q. 4) Determine o conjunto solução da equação 18m – 40 = 22m, sendo U = N.18m – 40 = 22m18m – 22m = 40- 4m = 40 (-1)4m = - 40m= -40/4



m = -10Não existe – 10 no conjunto N(naturais), logo S = { }. Usando Equações para Resolver Problemas do 1º Grau Exemplos:1)Um número somado com seu dobro é igual quinze. Determine este número.

x + 2x = 153x = 15x= 15/3x = 5O número procurado é 5.

2)Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas equantos coelhos há nesse terreiro?Coelho = xGalinhas = 13 – x (total de animais menos o número de coelhos)Logo, 4x+2(13-x)=46 (número de pés de coelho vezes o numero de coelhos + número de pésde galinha vezes o número de galinha é igual ao total de pés).4x+2(13-x)=46 4x + 26 – 2x = 464x – 2x = 46 – 262x = 20x= 20/2x = 10Número de coelhos = 10Número de galinhas = 13 - 10 = 3

Inequações de 1º grau

Denominamos de inequação, toda sentença matemática aberta representada por umadesigualdade. O sinais de desigualdade que usamos nas inequações são: >(maior), <(menor), £(menor eigual), ³(maior e igual).Exemplos: 2x - 5 < 2, 4x - 3(x+2) > 5(x+9), 2m - 6 £ m - 700

Resolução A forma que usamos para resolver as inequações é a mesma usada nas equações,observando que as equações são igualdades e as inequações são desigualdades.Exemplos: x - 9 > 7 - x



Obs: Observe que no segundo exemplo a inequação foi multiplicada por -1, o sinal da equaçãoque era <(menor), passou a ser >(maior). Sempre que multiplicarmos uma inequação por -1,temos que inverter o sinal da desigualdade.

Equações do 2º Grau

De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode serescrita na forma, ax2 + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b e c são os coeficientes daequação do 2º grau.

· a representa o coeficiente de x2.· b representa o coeficiente de x.· c representa o termo independente.

Exemplos de equações do 2º grau.5x2 - 3x + 2 = 0 onde: a = 5, b = - 3 e c = 2x2 + 6x + 9 = 0 onde: a = 1, b = 6 e c = 9-3x2 + 7x + 1 = 0 onde: a = -3, b = 7 e c = 1-x2 + 5x - 6 = 0 onde: a = - 1, b = 5 e c = -63x2 - 5 = 0 onde: a = 3, b = 0 e c = - 5x2 + 4x = 0 onde: a = 1, b = 4 e c = 0

Equações do 2º grau Completas e Incompletas

Completas: ax2 + bx + c = 0Quando possui os coeficientes a, b e c.Exemplos:x2 – 4x – 12 = 0, onde: a = 1, b = - 4 e c = -12- x2 + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = - 18

Incompletas: ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ou ax2 = 0Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero.Exemplos:3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 02x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 53x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0

Raízes de uma equação do 2º grau

Dizemos que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemáticaverdadeira.Exemplos:

1. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0.x2 - 11x + 18 = 0(9)2 - 11(9) + 18 = 0 (substituímos a variável x por 9)81 - 99 + 18 = 00 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais)

2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0.2x2 + 5x - 3 = 0



2(3)2 + 5(3) - 3 = 0 (substituímos a variável x por 3)2(9) + 15 - 3 = 018 + 15 - 3 = 030 ¹ 0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes)Resolvendo Equações do 2º Grau

Equações Incompletas

ax2 - bx = 0, (c = 0)

a)x2 - 4x = 0x(x - 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)x = 0x - 4 = 0x = 4S = {0;4}

b)-2x2 - 8x = 0x(-2x - 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)x = 0-2x = 8 (-1)

2x = - 8 x = - 4S = {0;-4}

Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero.ax2 + c = 0, (b = 0)

a)x2 - 16 = 0x2 = 16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezeseis , - 4 e + 4).

x = ± 4S = {- 4; 4}

b)-2x2 + 8 = 0-2x2 = - 8(-1)2x2 = 8

x2 = 4

x2 = 4

x = ± 2S = {- 2; + 2}

Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas.· ax2 = 0, (b = 0, c = 0)

5x2 = 0

x2 = 0

x = 0 (zero é nulo)S = { 0 }



Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero.

Equações Completas

ax2 + bx + c = 0

Usamos a fórmula de Báskara.(Foi um matemático indiano)

Observe, que a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau.Resolução

Exemplos:x2 – 8x + 12 = 0a = 1, b = - 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)

(Delta positivo)

(fórmula de Baskara)

(substituímos b por – 8, delta por 16 e a por –1)

S = {-6;-2}

x2 – 12x + 36 = 0a = 1, b = - 12 e c = 36



(Delta igual a zero)

S = {6}

2x2 – 4x + 3 = 0a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, não existe raiz de número real negativo

Importante

D > 0(Positivo)

A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’ ¹ x”)

D < 0 (Negativo)

A equação não possui raízes reais.

D = 0

A equação possui duas raízes reais e iguais. (x’ = x”)

Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta)Exemplo:Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais.

D = 0 (Raízes reais e iguais)a = 2, b = 3 e c = m

(Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 9/8)

Determine o valor de m na equação 2x2 - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes.D > 0a = 2, b = - 4 e c = 5r



(quando multiplicamos por – 1 o sinal da desigualdade muda)

(Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 2/5)

Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes reais.D < 0a = - 3, b = 5 e c = -2k

Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau

É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolvera equação. Graças as relações de Girard.

- Soma das raízes.

- Produto das raízes.

Exemplos:Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau.

x2 + 7x + 12 = 0a = 1, b = 7 e c = 12

Determine o valor de p na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja3/4.



sistemas

Sistemas do 1º grau

Dizemos que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem umasolução comum (mesma solução). Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo.

Resolvendo sistemas do 1º grau:1º) Método da adição: Esse método consiste em adicionarmos as duas equações membro a membro,observando que nesta operação deveremos eliminar uma variável. Exemplo 1:

1º somamos as duas equações membro a membro:Logo: 2x = 14 logo x = 14/2 Logo x = 7

Voltamos na 1ª ou 2ª equação: 1ª equação: x + y = 9 (vamos substituir x por 2)2 + y = 9 logo y = 9 – 2 logo y = 7 S = {(2;7)} Obs: no conjunto solução de um sistema, devemos colocar o par de números dentro deum parêntesis por ser um par ordenado, primeiro x depois y. Exemplo 2:

Observe que na forma em que se encontram as equações. Se adicionarmos nãoeliminaremos nenhuma das variáveis. Vamos multiplicar a 1ª ou 2ª equação por (-1), para queos coeficientes de y fiquem opostos –3 e +3.

Voltando na 1ª equação vamos substituir x por 2.

s = {(2;1)}

Sistemas do 2º Grau

Veja os seguintes sistemas de equações, com variáveis x e y.

Note que, em cada sistema temos uma equação do 2º grau e uma equação do 1º grau.Estes são chamados sistemas do 2º grau.



Resolvendo sistemas do 2º grau:

Vamos resolver pelo método da substituição.

Isolando a variável x na 1ª equação.

x + y = 5 logo x = 5 - y

Substituímos o valor de x na 2ª equação.

Resolvendo a equação do 2º grau.

Voltando na 1ª equação.x = 5 - yx" = 5 - 3 x" = 2 e x' = 5 - 2 x' = 3

S = {(3;2),(2;3)

Equações

Equações Irracionais

Chamamos de equações irracionais toda equação em que a variável ou incógnita se encontradentro do radicando (dentro da raiz).Exemplos:

Resolvendo Equação Irracionais

Para resolvermos as equações irracionais elevamos os dois membros (lados) da equação auma determinada potência de forma a eliminar o radical (sinal de raiz), se for raiz quadradaelevamos ao quadrado, se for raiz cúbica elevamos ao cubo e assim por diante, desta formaestaremos transformando numa equação racional, que já sabemos resolver.Exemplos:Vamos resolver as seguintes equações irracionais sendo o conjunto universo os números reais,(U = R).

a)



Funções exponenciais

Chamamos de função exponencial qualquer função de R em R (números reais), definida porf(x) = ax , onde a Î R*

+ (a é um número real positivo) e a # 1.

Exemplos:f(x) = 6x (a=6) ; f(x) = (1/2)2x (a=1/2); f(x) = 9x+2 (a=9)

Gráfico da Função Exponencial

Função Crescente (a > 1) Função Decrescente (0 < a <1)

Observe que a função exponencial é crescente quando a for um número maior que 1.

Observe que a função exponencial é decrescente quando a for um número maior que 0 emenor que 1.

Equações Exponenciais

Denominamos equações exponenciais as equações em que a incógnita (variável) se encontrano expoente.



Exemplos:

6x + 5 = 62

2x + 3 = 8

Resolvendo Equações Exponenciais

a)9x + 3 = 9 (observe que as bases são iguais)x + 3 = 1 (igualamos os expoentes)x = 1 - 3x = - 2S = {-2}

b)2x = 16 (devemos fatorar o número 16)2x = 24

x = 4 (igualamos os expoentes)S = {4}

c)5x = 1/25 (devemos fatorar o número 25)5x = 1/52 (devemos inverter a fração)5x = 5-2 (quando invertemos o expoente fica negativo)x = - 2 (igualamos os expoentes)S = {-2}

d)

(1 é igual a 3 elevado a 0)x2 + 7x + 12 = 0 (igualamos os expoentes)x1 = 3 e x2 = 4 (resultado da equação do 2º grau)S = {3 ; 4}

e)

S = {3/10}

d)

9x - 12.3x + 27 = 0 (vamos fatorar o 9)32x - 12.3x + 27 = 0

Assistente Administrativo Industrial – Matemática

SENAI – Departamento Regional de Sergipe 77

4 LOGARITMO

Os logaritmos foram inventados por John Napier (1550-1617). Seu objetivo era obter uma forma menos trabalhosa de fazer cálculos.

A palavra Logaritmo de origem grega formada de lógos (razão, evolução, discurso) e arithmós (número). Logarithmo significa, literalmente, a evolução de um número. O símbolo log, contração de logarithm, é devido ao astrônomo Kepler.

4.1 CONCEITO

Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1, chamamos de logaritmo de b, na base a, o número real c, que deve ser o expoente de a para que a potência seja igual ao número b.

Simbolicamente:

cba clog ac = b, com b > 0 e a > 0 e a ≠ 1.

Nomenclatura

Exemplo: Resolver 243log 3 .

5

33

2433

243log

5

3

5

3

24

x

x

x

x

A partir da definição de logaritmo, podem-se verificar algumas consequências

importantes:

1log 1aa

01log 0a

mama mlog

11

log 1a

a

NaNa N

log

Condições de existência do logaritmo: i) O logaritmando b deve ser um número positivo (b > 0);

ii) A base a deve ser positiva e diferente de 1 ( a > 0 e a ≠ 1)

Base

cba clog

Logaritmando

Logaritmo

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SENAI – Departamento Regional de Sergipe 78

Exercícios

1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a. 27log 3

b. 125log 5

c. 10000log

d. 32log2

1

e. 01,0log10

f. 5,0log 2

g. 8log 2

h. 32log 4

i. 16log4

1

j. 27

8log

3

2

k. 64log16 =

l. 5log625=

m. 000064,0log 5

n. 349 7log

o. 128log 5 2

p. 3log9

q. 82 64log

r. 25,0log 2

79

2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a

equivalência fundamental:

a. 3log 5 3N

b. 8log 2 8N

c. 9log 2 9N

d. 2log3

2N

3. Calcule 25,0log81log16log 432 lolo

4. Se A = 1024log 2 + 625log5

1 , determine o valor de A.

5. Se x = 22log 2 e y = 10log 01,0 , calcule x + y.

Respostas

1. a.3; b. 3; c. 4; d. -5; e. -2; f. -1; g. 3/2; h. 5/4; i. -2; j. 3; k. 2

3;

l. 8

1; m.;- 6; n.

6

1; o. 35; p.

4

1; q.

4

3 r. – 2.

2. a. 125; b. 256; c. 512

1; d. 3; e. 3.

3. 7 4. 6 5. 1

80

4.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

A partir da definição podem-se demonstrar quatro importantes propriedades que se destinam fundamentalmente a facilitar as operações que envolvem logaritmos. Considerando os números M, N tais que M > 0, N > 0, 0 < a ≠ 1, temos:

i) NMNM aaa loglog).(log lolo

ii) NMN

Maaa logloglog lolo

iii) MNM a

N

a log.log N

iv) MN

MM aN

aN

a log.1

loglog

1

Nlo

Exemplos:

1. Dados 3010,02log 0 e 4771,03log 0 , calcule:

a. 6log

b. 5,1log

c. 16log

d. 34

Resolução:

a. 7781,06log

7781,04771,03010,03log2log32log6log

0lo

000lolo3lo

b.

1761,05,1log

1761,03010,04771,02log3log2

3log5,1log

0log

000lololo

c. 2040,116log

2040,13010,042log42log16log 4

,1log

,104l4lo

d. 8405,03log2

12log23log2log3log4log34log 2

1

2 0l2

1l2lolololo

2. Desenvolva a expressão 2

3

logc

bbaa .

Para simplificar, vamos utilizar as propriedades de logaritmo.

cb

cba

cba

cbac

ba

aa

aaa

aaa

aaa

log2log3

log2loglog3

logloglog

logloglog

23

23

2

3

2lo3

2lo3

lololo

lolo

81

Exercícios

1. Se 3010,02log 0 , 4771,03log 0 , 6990,05log 0 determinar:

a. 18log

b. 50log

c. 250log

d. 35log

2. Dados 11log 1ma e 6log 6na , qual é o valor de 23log nma n

3. Se aa2log e bb3log expresse 72log em função de a e b

4. Se P = 3 2ab , calcule Plog .

5. Dados que 5log 5a , 3log 3b e 2log 2c , calcule o valor de .log2

.c

ab

6. Determine a expressão P, sabendo que: a. baP log.5log.2log 52

b. cbaP 2222 log.2loglog.3log 2lo3

c. yxP log.3log2

1log 3

2

1

d. baP xxx log.2

1loglog

2

1lo

82

7. Escreva na forma de um único log a expressão 2log7log3

133 lo .

8. Determine o desenvolvimento logarítmico das expressões:

a. 3

log3hrr

b. 2

5 3

logm

cba

c. 1

2

logc

bax

d. 3

logbc

a

9. Dado PP5log , calcule o valor de 200log em função de P.

a. 5P b. 200 P c. P – 3 d. 3 – P e. 5 – P

10. (UCS) Se aa2log e bb3log , então 12log vale:

a. ba b

b. ba b2

c. ba 22

d. ba b

e. b

a

83

Respostas:

1. a) 1,2552; b) 1,6990; c) 2,3980 d) 0,93755

2. 45

3. 3a + 2b

4. ba log3

2log

3

1

3

2

5. 9

6. a) P = a2b

5 b) P =

2

3

c

ba c) P =

3y

x d) P =

b

ba

7. 2

7log

3

3

8. a) 3logloglog3log lolo3 hr b) mcb aaa log2log5

1log

5

32

5

1

c) cba xxx loglog2

1log.2 lo

2

1 d) cba log.

6

1log.

6

1log.

2

1

6

1

6

1

9. d

10. b

35

ESTUDO DOS LOGARITMOS

Logaritmo de um número positivo, em uma certa base positiva e diferente de um, é o expoente ao qual se deve elevar a base, de modo a se obter o número.

NOMENCLATURA

Na expressão logab = c, temos:

Ø a é a base; Ø b é o logaritmando, antilogaritmo ou número; Ø c é o logaritmo. Obs.: Quando a base é decimal, a mesma será omitida. Ex.: Identifique os termos da operação logaritmação e faça a leitura:

1) log381

= 4 2) log816

=3/4 3) log0,001

=–3

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Considerando a definição de logaritmo e as condições de existência, temos que:

1ª) loga1=0 à o logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a zero.

Ex.: log51

= 0

2ª) logaa = 1 à o logaritmo da base, qualquer que seja ela, é igual a um.

Ex.: log33 = 1

3ª) à a potência de base a e expoente logab é igual a b.

Ex.:

4ª) logab=loga

c à b = c Þ se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os

logaritmandos também são iguais.

Ex.: log3x = log3

9, logo x= 3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

A) Usando a definição de logaritmos, calcule o valor de x nos seguintes casos:

36

1) log232

= x 2) log255

= x 3) log0,1 0,01

= x 4) log1/31/9

= x

5) log1/3x

= 4 6) log3/4 x= 1/2 7) log5/8

x= –1/2 8) log0,01

x= –2

9) logx

2 = 6 10) logx

16=2 11) logx

729 = 3 12) logx

5 = 4

13) = x

B) Calcule o valor das expressões abaixo:

1) M= log216

+ log3243

– log 53125

à –1 2) N= log 3

43

– log81024

+ log0,1 0,01 à –5/6

3) O= log497 + log9

729 – log3/100,027

à1/4 4) P= log0,50,0625

– log28 + log 32

4 à3,7

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS (operacionais) DOS LOGARITMOS

1ª) Logaritmo de produtoà é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

Ex.: Sabendo-se que log2 =0,3010 e log

3= 0,4771, calcule log

24 2ª) Logaritmo de quocienteà é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

Ex.: Sabendo-se que log2 =0,3010, log

3= 0,4771 log


30/18 3ª) Logaritmo de potênciaà é igual o produto do expoente pelo logaritmo da base.

Ex.: Sabendo-se que log3= 0,4771, calcule log

81 4ª) Logaritmo da raizà é igual o logaritmo do radicando dividido pelo índice do radical.

Ex.: Sabendo-se que log2 =0,3010 e log


572

37

LEMBRETE: Calcule: Sabendo-se que log

2 =0,3010 e log


30


A) Dados: log2 = 0,30103; log

3 = 0,4771 e log

7 = 0,8451, calcule:

1) log30

= 2) log16/18

= 3) log5

18 = 4) log1,25

= x 5) log0,45

=x

6) log424

= 7) log1618

= 8) colog2821

= 9) colog28/21

= 10) log 32 =

B) Calcule o valor das expressões abaixo:

1) log32 + log3

5 + log34 = 2) log4

3/5 + log410/3

= 3) log1/25 +log1/2

2 + log1/23 =

4) log312

– log34 = 5) logN= 1+ 3log

2 – 2log

5 6) log2

a + log2

b –log2

c=

7) 2loga – log

b – 3log

c = 8) log

50 + log

40 + log

20 + log

2,5=

COLOGARITMO

Chamamos cologaritmo de um número positivo b numa base a (1¹ a > 0) e indicamos cologab

o logaritmo do inverso desse número b na base a. Podemos escrever que:

Ex.: a) colog28 = b) colog1/4

8=

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

38

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Ex.:

1) log3(2x + 31) = 4 2) log(x+4)

49 = 2

3) log5x+1 = log5

2x–3 4) log3

2x + 7 + log3

x – 1 = 5

5) log4x + log4

x+1 – log4

x+1 6) 2log3

x – 1 – log3

2x – 5 = 1 + log3

5 – x


Encontre o conjunto solução das equações logarítmicas:

1) log(x–5)125

= 3 à 10 2) log(3x+1) 32

= 5 à 1/3

3) logx5x– 8

= 1 à 2 4) logx–32x+2 = 2 à 7

5) log4x + 6 – log2

x – 6 = 0 à 10 6) log9

2x+3 = log9

x–5 à { }

7) log2x + 5 + log2

x + 3 = 3 + log2

x + 2 à ± 1 8) log

x+2 + log

10x + 20 = 3à

9) log23x+1

+ log29–x = 6 à 5; 11/3 10) log3

5x+7 – log3

2x+5 = 1 à { }

11) log41–3x

= 1 – log4x+2

à – 1 ; – 2/3 12) 2log32x+1

– log3x+5

= 2 à 4

13) log23x–7

– 2log2x–1

= – 1à 3 ; 5 14) log5x+10

= 1 + log252x–5

à 6

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2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn,podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

Observações:1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é

divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.

Geometria

O nome Geometria em grego, significa medida da terra. (geo = terra; metria = medida)No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medirterrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosaspirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo disso

O Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente aoEgito em busca de novas aplicações na geometria.

Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentosgeométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramenteexperimental.

Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelomatemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes,chamada os Elementos.

Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época.

Ponto, Reta e Plano

Ponto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos umaestrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc...), de reta (observando as linhas docampo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc...), deplano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc...).Se observarmos bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento. Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabetolatino.Exemplos:

Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a retapor uma letra minúscula do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ouquadro, estamos representado parte da reta.Exemplos:

anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)



Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado semlimites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o planono papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letrado alfabeto grego. Como alfa(a), beta (b) e gama (g).Exemplos:

Observe:

Devemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto,está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar queponto é elemento, reta e plano são conjuntos.

Segmento de Reta

Dados dois pontos distintos(diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com oconjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta.Exemplo:



Semi-reta

Como vimos em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere umponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em doisconjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto Aé chamado origem das semi-resta.Exemplo:

Observe que:

Noções de Probabilidade

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta.Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo daprobabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de umnúmero em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultadosdiferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo epossibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra querepresenta o espaço amostral, é S.

Exemplo:Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituídopelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos:A={caras e m número par aparece},B={um número primo aparece},C={coroas e um número ímpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que:a) A ou B ocorrem;b) B e C ocorrem;c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:A={K2, K4, K6};

MATEMÁTICA FINANCEIRA – Unidade II

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5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLESCapitalização é a formação ou acumula-

ção de bens de capital, de bem econômico. Emum processo de capitalização, a pessoa aplicadeterminada quantia, por um certo período eao final recebe o capital empregado mais os ju-ros relativos a esse tempo. A soma, o ajuntamen-to dos juros obtidos com o capital empregado éo que se chama capitalização.

Existem dois tipos de capitalização: sim-ples e composta

No regime de capitalização simples, temosa taxa ( i ) incidindo somente sobre o capitalinicial ( C ), proporcionando, assim, a obten-ção de juros simples, ao final do período de tem-po ( n ).

No regime de capitalização composta,temos o capital principal, acrescido de jurosobtidos em mais de um período de aplicação.Assim, a cada nova aplicação, por outros perí-odos, tem-se um novo capital.

5.1 – JUROS SIMPLES* Juro produzido pelo capital C ao final de umperíodo de tempo: J = C x i.* Juro produzido pelo capital C ao final de n (vários ) períodos de tempo: J = C x i x n.

FÓRMULA BÁSICA J = C x i x n

Onde: J = juros simples.C = capital inicial ou principal.i = taxa de juros.n = tempo de aplicação ou prazo de tempo.

Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2%ao mês, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x n

C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2i = 2% ao mês = 0,02 J = 353n = 2 meses J = R$353,00Obs: i e n estão na mesma unidade detempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9%ao ano, qual será o valor dos juros simples?Solução: J = C x i x n.C = 550.

i = 9% ao ano "$%$NO

BV0,75% ao

mês = 0,0075.n = 4 meses.

J = 550 x 0,0075 x 4.J = 16,50.J = R$16,50.

Exemplo 3: Calcule o capital necessáriopara que haja um rendimento deR$650,00, sabendo-se que a taxa utilizadaé de 5% ao mês e o período de tempo iguala 6 meses.

Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C

temos, C = niJK

J = 650.

i = 5% ao mês = 0,05. C = SGMRIM

SRM

n = 6 meses. C = 2166,67 C = R$2.166,67

Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi apli-cado durante 6 meses, rendendo R$105,00de juros simples. Calcule a taxa mensal i.Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i

temos, i = K

KnCJ

J = 105

C = 425. i = SGQOR

NMR

n = 6 meses. i = 0,04117

TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS

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i = 0,04117 está na forma unitária. Paracolocarmos o resultado na forma percentu-al devemos multiplicar i por 100, ficandoentão como resposta, i = 4,117% ao mês.

Na taxa i a unidade de tempo utilizada foio mês porque o período de aplicação esta-va, em meses.

a) Calcule os juros simples de um capital de R$

35.400,00, aplicado durante 15 meses à taxa de

2,6 % ao mês.

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

____________________________________________________________________________________

__________________________________________

b) Calcule a taxa aplicada a um capital de R$

12.600,00, durante 3 meses, e que rendeu juros

simples de R$ 680,40.

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

____________________________________________________________________________________

__________________________________________

a) R$ 13.650,00.b) i = 1,80% a.m.



5.2 – MONTANTE SIMPLESÀ soma dos juros simples (relativo ao pe-

ríodo de aplicação) com o capital inicial ou prin-cipal dá-se o nome de montante simples.

FÓRMULASS = J + C ou S = C x i x n + C

S = C x ( i x n + 1)

Onde:S = Montante Simples.J = Juros Simples.i = Taxa de Juros.n = Período de Aplicação.

Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foiaplicado durante um período de 8 meses, àtaxa de 24% ao ano, no regime de capitali-zação simples. Calcule o montante.

Solução: S = J +C C = 1550.

i = 24% ao ano BONO

BOQ"$%$ ao

mês = 0,02.n = 8 meses.

J = C x i x n.J = 1550 x 0,02 x 8.J = 248.S = J + C.S = 248 + 1550.S = 1798.S = R$1.798,00.

Exemplo 2: Calcule o tempo no qual deve-se aplicar uma quantia de R$ 200.000,00,para obter um montante simples deR$360.000,00, à taxa de 16% ao mês.

Solução: C = 200.000.S = C x (i x n + 1)S = 360.000.

( i x n + 1 ) = CS

i = 16% ao mês = 0,16.

(i x n + 1) = MMMKOMM

MMMKPSM

(i x n + 1) = 1,8.i x n = 1,8 – 1.i x n = 0,8.

0,16 x n = 0,8.n = 5 meses.

A unidade utilizada para n foi meses, devi-do ao fato, de i também estar em meses.

5.3 – DESCONTO SIMPLESToda vez que se paga um título, antes da

data de seu vencimento, obtemos um desconto(abatimento).

Algumas considerações:! Valor Nominal (VN) é o valor indicadono título, na data de seu vencimento.

! Valor Atual (VA) é o valor do título nodia do seu pagamento antecipado, ouseja, antes da data de vencimento.

D =VN – VAOnde: D = Desconto.

• Desconto Racional ou “Por Dentro”:Equivale aos juros simples produzidos pelo va-lor atual, à taxa utilizada e ao período de tempocorrespondente.

FÓRMULA ni

VNni

DRVAKNKN #

""

Onde:DR = Desconto Racional;VA = Valor Atual;VN = Valor Nominal;i = taxa;n = Período de Tempo.



Exemplo 1: Calcule o desconto racional paraum título com valor atual de R$16.000,00,à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 mesespara o vencimento.

Solução: niDRVAKN

" VA = 16.000

i = 2,6% ao mês = 0,026 n = 3 meses.

DR = VA x i x nDR = 16.000 x 0,026 x 3DR = 1.248DR = R$1.248,00

Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atu-al de R$ 750,00, calcule o desconto racional,sabendo-se que a taxa de juros é de 12% aoano e o prazo é de 5 meses para o vencimento.

Solução: niDRVAKN

" VA = 750.

i = 12% ao ano BNNO

BNO"$%$ ao mês = 0,01.

DR = VA x i x nDR = 750 x 0,01 x 5DR = 37,5DR = R$37,5.

• Desconto Bancário ou Comercial ou “PorFora”:

Equivale aos juros simples produzidospelo valor nominal, à taxa utilizada e ao perío-do de tempo correspondente.

FÓRMULA

NKKN

VNni

DBni

VA""

&

Onde:DB = Desconto BancárioVA = Valor Atual;VN = Valor Nominal;i = Taxa;n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto bancáriopara um compromisso de valor nominal igualà R$ 2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e pra-zo de 33 dias antes do vencimento. (Consi-derar o ano comercial).

Solução:NK

VNni

DB" VN= 2.700.

i = 18% ao ano BMRIMPSM

BNU"$%$

ao dia = 0,0005.

DB = VN x i x nDB = 2700 x 0,0005 x 33DB = 44,55DB = R$44,55.

Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora”para um pagamento antecipado, à taxa de5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-seque o valor nominal é de R$ 42.000,00.

Solução: NK

VNni

DB" VN = 42.000

i = 5,8% ao mês =0,058.

DB = VN x i x nDB = 42.000 x 0,058 x 5DB = 12.180DB = R$12.180,00.

• Considerações finais dentro dacapitalização simples:- Como calcular uma taxa acumulada (ao ano)que é aplicada pelo período de n meses:Exemplo: No regime de capitalização simples,calcular a taxa acumulada a 36% ao ano, apli-cada durante 8 meses.

Solução:1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36%

ao ano;



2º) Verifica-se o número de meses de apli-cação, neste exemplo são 8 meses;

3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês;

ex.: BPNO

BPS" ao mês.

4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelonúmero de meses;

ex.: 3% x 8 = 24%.

5º) Resultado Final: 24%.

a) Calcule o tempo necessário para aplicar uma

quantia de R$ 100.000,00, e obter um montante

simples de R$ 180.000,00, à taxa de 8 % ao mês.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

b) Se um empréstimo foi feito com valor atual

de R$ 1.500,00, calcule o desconto racional,

sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao ano

e o prazo é de 10 meses para o vencimento.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

a) t = 10 meses.b) R$ 900,00.



6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAComo foi visto anteriormente, no início

de uma aplicação, temos o capital principal;após um período, esse capital sofre uma remu-neração (juros), sendo então, capital e juros so-mados para, assim, formarem um novo capital(1º montante).

Esse novo capital, após um segundo perí-odo, sofre uma outra remuneração (juros), sen-do então, novo capital e juros somados para,assim, formarem um segundo montante. (E as-sim por diante).

Então as remunerações acontecerão sem-pre, “em cima” do montante do período ante-rior, caracterizando o que chamamos de capi-talização composta.6.1 – JUROS COMPOSTOS

FÓRMULA

j = C x ' () *NN &#ni

Onde: j = Juros Compostos;C = Capital Inicial;( 1+i ) n = Fator de Capitalização;i = Taxa de Juros;n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Ao se aplicar um capital deR$829,30, no regime de capitalização com-posta, por um período de 3 meses, à taxa de2,4% ao mês, qual será o juro obtido?

Solução: C = 829,30.

j = C x ' () *NN &#ni

i = 2,4% ao mês = 0,024.

j = 829,30 x ' () *NMOQIMNP&#

n = 3 meses.

j = 829,30 x ' () *NMOQINP&

j = 829,30 x ) *NMTPTQOIN &

j = 61,15j = R$ 61,15.

Exemplo 2: Calcule o valor dos juros com-postos para um capital de R$777,56, aplica-do à taxa de 6% ao ano, durante um períodode 2 meses.

Solução: C = 777,56.

i = 6% ao ano = 0,5%

ao mês = 0,005. j = C x ' () *NN &#ni

n = 2 meses.

j = 777,56 x ' () *NMMRIMNO&#

j = 777,56 x ' () *NMMRINO&

j = 777,56 x ) *NMNMMORIN &

j = 7,80 j = R$7,80.

6.2 – MONTANTE COMPOSTOFÓRMULA

s = C x ( 1+i ) n

Onde:s = Montante Composto;C = Capital Principal;( 1+i ) n = Fator de Capitalização.i = Taxa de Juros;n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o montante composto paraum capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2%ao bimestre, durante um período de 6 meses.

Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses

Como 6 meses correspondem a três bimes-tres, o n será igual a 3, pois o período decapitalização é bimestral.



s = C x ( 1+i ) n

s = 627,43 x (1+0,02) 3

s = 627,43 x (1,02) 3

s = 627,43 x (1,061202)

s = 665,83s = R$665,83.

Exemplo 2: Calcule o montante produzidopor um capital de R$15.600,70, aplicado àtaxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.

Solução: C = 15.600,70.

s = C x ( 1+i ) n

i = 7,2% ao mês = 0,072.

s = 15.600,70 x (1+0,072) 4

n = 4 meses.

s = 15.600,70 x (1,072) 4

s = 15.600,70 x (1,320623)s = 20.602,64.s = R$20.602,64.

Exemplo 3: Calcule o capital que gera ummontante composto de R$7.656,70, à taxade 18% ao ano, durante um período de apli-cação de 4 meses.Solução: s = 7.656,70.

i = 18% ao ano BRINNO

BNU"$%$

ao mês = 0,015.n = 4 meses.

s = C x ( 1+i ) n

C = nisFNE #

C = QFMNRIMNE

TMISRSKT

#

C = QFMNRINE

TMISRSKT

C = MSNPSPIN

TMISRSKT

C = 7.214,03.C = R$ 7.214,03.

Exemplo 4: Calcule a taxa composta paraque, um capital de R$300,00, consiga gerarum montante de R$ 4.800,00, em um perí-odo de 2 meses.Solução: C = 300.

s = C x (1+i ) n

(1+i ) n = Cs

(1+i )PMM

UMMKQO "

(1+i ) 2 = 16.

(1+i ) = NS1+ i = 4i = 4 – 1i = 3

! i = 3 representa a taxa na forma unitária;! Ao multiplicarmos por 100 obteremos

a taxa i na forma percentual: i = 300%;! Para se descobrir a unidade de tempo

da taxa, é só lembrar que, o período detempo n está sendo usado em meses.

! Resposta: i = 300% ao mês.

a) Ao se aplicar um capital de R$ 5.000,00, no

regime de capitalização composta, por um

período de 4 meses, à taxa de 3,0% ao mês,

qual será o juro obtido?

______________________________________

______________________________________

______________________________________

b) Calcule a taxa mensal que, aplicada a um

capital de R$ 7.300,00 durante quatro meses,

rendeu juros compostos de R$ 601,75.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

s = 4.800n = 2 meses



6.3 – DESCONTO COMPOSTONo desconto composto, a taxa incide so-

bre uma determinada quantia que equivale aocapital. Essa determinada quantia é chamadade valor atual.

Nos cálculos deste tipo de desconto, omontante, equivale ao valor nominal.

FÓRMULA:

VN = VA x ' (ni#1 D = VN - VA

Onde:VN = Valor Nominal;VA = Valor Atual;D = Desconto Composto.

Exemplo 1: Determine o desconto compos-to de um capital de R$1.250,52, à taxa de1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.

Solução : VN = 1.250,52.i = 1,7% ao mês = 0,017.n = 2 meses.

VN = VA x ' (ni#N

VA = ' (niVN#N

VA = ' (OMNTIMN

ROIORMKN

#

VA = ' (OMNTIN

ROIORMKN

VA = MPQOUVIN

ROIORMKN

VA = 1.209,06.D = VN – VAD = 1.250,52 – 1.209,06D = 41,46D = R$41,46.

Exemplo 2: Calcular o valor atual de umtítulo de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3meses antes do vencimento.

Solução: VN = 753,53.

i = 18% ao ano BRINNO

BNU"$%$

ao mês = 0,015. n = 3 meses.

VN = VA x ' (ni#N

VA = ' (niVN#N

VA = ' (PMNRIMN

RPITRP

#

VA = MQRSTUIN

RPITRP

VA = 720,61VA = R$ 720,61.

• Considerações finais dentro da capitalizaçãocomposta:

- Cálculo do montante a partir de umasérie de vários depósitos:

FÓRMULA:

M = Dep x ' (

ii nNN &#

Onde:M = Montante;Dep = Depósitos.

Exemplo: Calcule o montante de uma sériede 4 depósitos de R$ 230,00 cada um, efe-tuados no fim de cada mês, à taxa de 2% aomês, após o quarto depósito.

Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02.



M = Dep x ' (

ii nNN &#

M = 230 x ' (

MOIM

NMOIMNQ&#

M = 230 x ' (

MOIM

NMOINQ&

M = 230 x ' (

MOIM

NMUOQPOIN &

M = 230 x

M = 230 x 4,1216M = 947,96M = R$947,96.

!!!!! Equivalência entre taxa anual composta etaxa mensal composta:

FÓRMULA:

' ( ' (NONN ma ii #"#

Onde:ia= Taxa anual composta;im= Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual compostaequivalente à taxa mensal de 3%.Solução:

' ( ' (NONN ma ii #"#

' ( ' (NOMPIMNN #"# ai ' ( ' (NOMPINN "# ai ' ( ' (425760,11 "# ai i a = 1,425760 - 1

i a = 0,425760

Ao se multiplicar a taxa anual compostapor 100, obtém-se o valor da referida taxana forma percentual, ficando o valor iguala 42,5760%.

a) Um título bancário no valor de R$ 18.500,00

foi descontado 4 meses antes de seu

vencimento, gerando um valor líquido para o

credor de R$ 12.500,00. Qual a taxa de

desconto percentual mensal usada na operação?

_______________________________________

_______________________________________

1. i = 12% a.m.

MOIM

MUOQPOIM

' ( ' (NONN ma ii #"#

' ( ' (NONN ma ii #"#

' ( ' (NOMPIMNN #"# ai' ( ' (NOMPINN "# ai' ( ' (425760,11 "# ai

MATEMÁTICA FINANCEIRA


1. Escreva a fração NU

NS na forma percentual:

a) 88,889%b) 86,800%c) 80,600%d) 90,889%e) 92,800%

2. A taxa de juros de 23,5% na forma uni-tária é:

a) 235,0b) 0,023c) 023,5d) 02,35e) 0,235

3. Calcular o valor do somatório de: 42% de350 com 16% de 102:

a) 160,40b) 163,32c) 165,45d) 167,32e) 161,23

4. Dividir o número 540 em partes proporcio-nais aos números 4, 5 e 6:

a) 148, 180, 212.b) 180, 212, 148.c) 100, 200, 240.d) 144, 180, 216.e) 200, 216, 124.

5. Dividir o número 325 em partes inversamen-te proporcionais aos números 2, 3 e 4:

a) 200, 100, 25.b) 50, 75, 200.c) 150, 100, 75.d) 300, 10, 15.e) 20, 85, 220.

6. Uma mesa de escritório foi comprada por R$275,00 e vendida por R$ 345,00. Calcule o lucro,na forma percentual, sobre o preço de compra:

a) 25,45%b) 25,75%c) 22,40%d) 23,45%e) 26,40%

7. Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00e vendida por R$ 205,00. Calcule o lucro, naforma percentual, sobre o preço de venda:

a) 25,20%b) 26,75%c) 25,89%d) 26,50%e) 26,83%

8. Um monitor de computador foi vendido comum prejuízo de 9% sobre o preço de venda.Calcule o preço de venda sabendo-se que opreço de custo foi de R$ 327,00:

a) R$ 300,00b) R$ 305,00c) R$ 310,00d) R$ 295,00e) R$ 290,00

9. Em uma determinada operação imobiliária(compra e venda), a taxa de prejuízo para o pre-ço de venda foi de 2 para 6. Determine o preçode venda sabendo-se que o preço de custo foide R$ 705,00:

a) R$ 515,45b) R$ 522,75c) R$ 538,75d) R$ 532,75e) R$ 528,75

10. A taxa de juros de 24% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a quantos % ao dia?

a) 0,050% ao dia.b) 0,056% ao dia.c) 0,067% ao dia.d) 0,072% ao dia.e) 0,035% ao dia.



11. A taxa de juros de 18% ao ano, equivale aquantos % ao mês?

a) 1,50% ao mês.b) 1,30% ao mês.c) 1,25% ao mês.d) 1,35% ao mês.e) 1,55% ao mês.

12. A taxa de juros de 3,75% ao mês, equivalea quantos % ao ano?

a) 40% ao ano.b) 45% ao ano.c) 35% ao ano.d) 30% ao ano.e) 42% ao ano.

13. Calcule os juros s imples para umcapital de R$ 823,00, aplicado à taxade 24% ao ano, durante um períodode 6 meses:

a) R$ 101,00.b) R$ 99,40.c) R$ 98,76.d) R$ 95,20.e) R$ 97,40.

14. Calcule a taxa necessária para transfor-mar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 noprazo de 3 meses no regime de capitalizaçãosimples (juros simples):

a) 22,22% ao mês.b) 22,23% ao ano.c) 2,22% ao ano.d) 2,22% ao mês.e) 88,22% ao mês.

15. Aplicando-se a juros simples a quantia deR$ 30.000,00, durante 8 meses, à taxa de 5%ao mês, qual será o montante obtido no finaldo período?

a) R$ 34.000,00b) R$ 36.000,00c) R$ 38.000,00d) R$ 40.000,00e) R$ 42.000,00

16. Calcule o montante de uma série de 3 de-pósitos de R$ 150,00 cada um, efetuados nofim de cada mês, à taxa de 1% ao mês, após oterceiro depósito:

a) R$ 450,47b) R$ 454,51c) R$ 460,51d) R$ 458,87e) R$ 465,00

17. Calcule o montante, da aplicação de umcapital de R$ 35.000,00, durante um períodode 4 meses, a juros compostos de 7% ao mês:

a) R$ 50.887,86b) R$ 48.787,90c) R$ 46.560,86d) R$ 45.877,86e) R$ 42.900,86

18. No regime de capitalização simples, a taxaacumulada a 18% ao ano, aplicada durante 4meses é de:

a) 7%b) 4%c) 6%d) 8%e) 10%

19. No regime de capitalização composta,determine a taxa anual equivalente à taxamensal de 1,5%:

a) 19,56%b) 20,06%c) 22,07%d) 18,40%e) 18,56%

20. Um capital C foi aplicado em um sistema decapitalização que, pagou juros compostos, à taxade 10% ao mês. Após um bimestre, o montanteera de R$ 1.050,00. Calcule o valor do capital C:

a) R$ 850,50b) R$ 855,46c) R$ 867,76d) R$ 870,40e) R$ 872,76

MATEMÁTICA FINANCEIRA


21. Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se paraR$ 2.790,00 , em 1 ano, no regime de capita-lização simples. Calcule a taxa de aplicação aoano.

a) 19,50% ao anob) 19,74% ao anoc) 18,56% ao anod) 13,74% ao anoe) 15,64% ao ano

22. Calcule o montante simples para um capi-tal de R$11.111,00, aplicado por um períodode 72 dias, à taxa de 18% ao ano:

a) R$ 11.350,60b) R$ 11.430,23c) R$ 12.400,00d) R$ 11.510,99e) R$ 10.540,99

23. Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$490,00 quando foi paga um mês antes do ven-cimento. Calcule a taxa de desconto comercialsimples:

a) 12,33% ao mêsb) 11,55% ao mêsc) 13,55% ao mêsd) 12,40% ao mêse) 11,80% ao mês

24. Sabendo-se que a taxa semestral é de 3,24%,calcule o valor da taxa nominal anual:

a) 6,40% ao anob) 6,48% ao anoc) 5,72% ao anod) 6,58% ao anoe) 6,48% ao mês

25. Calcular os juros compostos de um capitalde R$ 14.401,00, à taxa de 8,6% ao ano, du-rante um período de 3 anos:

a) R$ 4.300,00b) R$ 3.390,15c) R$ 4.100,15d) R$ 4.044,15e) R$ 4.032,00

26. Calcule o montante produzido pelo capi-tal de R$ 7.702,00, a juros compostos de 6,2%ao ano, em um período de 3 anos:

a) R$ 8.340,00b) R$ 8.400,65c) R$ 8.686,65d) R$ 8.540,70e) R$ 7.680,00

27. Calcule o valor do desconto composto parauma dívida de R$ 6.000,00 que foi desconta-da 1 ano antes do vencimento, à taxa de 15%ao ano:

a) R$ 640,00b) R$ 690,61c) R$ 794,61d) R$ 760,60e) R$ 782,61

28. Um produto obteve dois aumentos conse-cutivos de 5% e 9%. No regime de capitaliza-ção composta, calcule o aumento final do pro-duto:

a) 12,45%b) 13,00%c) 13,45%d) 14,00%e) 14,45%

29. Calcule a taxa semestral proporcional a47,42% ao ano:

a) 4,74%b) 20,42%c) 25,00%d) 23,71%e) 23,00%

30. Calcule os juros simples para um capital deR$ 57,57, à taxa de 9% ao mês,durante umperíodo de 23 dias:

a) R$ 4,50b) R$ 5,97c) R$ 3,97d) R$ 2,62e) R$ 3,45



Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.Considere os eventos:A: sair 8 e P(A) = 8/52B: sair um rei e P(B) = 4/52Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma cartanão pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B sãomutuamente exclusivos.

Noções de estatisticas

Objeto da estatística

Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar,resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais comomédia ou desvio padrão.A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitasvezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo,sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhorcompreensão das situações que representam.Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem serutilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência quenos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximode informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde osdados provêm.Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra,deixando de lado a aleatoriedade presente.Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testaruma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda apotencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de umapopulação, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do errocometido.

População e amostra

Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra.Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, apopulação, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se queé impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias,custo, tempo, logística, entre outros motivos.A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra éconfiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para quea inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta dedeterminação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento daamostra.Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a suautilização pode dar origem a interpretações erradas.

Recenseamento

Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de umPaís. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-serecenseamento do seguinte modo:Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito deadquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativosacerca de características importantes desse universo.



Estatística descritiva e estatística indutiva

SondagemPor vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos dapopulação é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar umaou mais características particulares dessa população.Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como:Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos epreferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos deinteresse comum.

Amostragem

Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculosprobabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo.

Não Probabilística

Acidental ou conveniênciaIntencionalQuotas ou proporcionalDesproporcionalProbabilísticaAleatória SimplesAleatória Estratificada

Tipos de Amostragem

Conglomerado

Não ProbabilísticaA escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagemfrente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção poreste método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultadosobtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método deamostragem.

Acidental ou conveniência

Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados paratestar produtos.IntencionalO entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo,quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.

Quotas ou proporcional

Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévioconhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistarapenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para otrabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segundaproporcionalidade.

Desproporcional

Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesospara os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo.

Probabilística

Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe comamostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma



hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de serselecionado na amostra.

Aleatória Simples

É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo deamostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se osindivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculadaUma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos,o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduosdispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.

Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescentepara os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y;a terceira será a de número x + 3. y.

Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. Oterceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.Aleatória Estratificada

Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-secada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entreoutros.

Conglomerado

Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nestamodalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. Éexemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.

Dimensionamento da amostra

Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em trêsetapas distintas:

Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa; Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal; Verificar se a população é finita ou infinita;

Variável intervalar e população infinita

Variável intervalar e população finita

Variável nominal ou ordinal e população infinita

Variável nominal ou ordinal e população finita



Distribuições simétricas

A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente auma classe média

Caso especial de uma distribuição simétricaQuando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando dedados que distribuem-se em forma de sino.

Distribuições Assimétricas

A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:

Distribuições com "caudas" longas

Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aosconcentrados na região central da distribuição.

Medidas de tendência Central

As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritméticapara dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, médiaharmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são:amplitude, desvio padrão e variância.

Medidas

Média aritmética



Média aritmética para dados agrupados

Média aritmética ponderada

Mediana1) Se n é impar, o valor é central,2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais

ModaValor que ocorre com mais freqüência.

Média geométrica

Média harmônica

Quartil

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização,pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida delocalização do centro, é a média.Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com maisfreqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).

A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte:se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos essesdesvios o resultado obtido é igual a zero.A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certasaplicações:Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se amédia.Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidadepretendida.

Moda

Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados sãodiscretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa amoda ou a classe modalEsta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dadosqualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se podecalcular a média e por vezes a mediana.

Mediana

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida doseguinte modo:



Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) quea divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e osoutros 50% são maiores ou iguais à medianaPara a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de nelementos:Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

Considerações a respeito de Média e Mediana

Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n ,X2:n , ... , Xn:nentão uma expressão para o cálculo da mediana será:Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tãosensível aos dados.1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores oumuito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todasas observações.Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada porvalores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequenonúmero na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitassituações em que teria mais significado utilizar a mediana.A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a sermaior que a mediana3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende aser inferior à mediana.

Medidas de dispersão

Introdução

No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição dedados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados atravésdas seguintes medidas:

Medidas de dispersão

Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação davariabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro daamostra.Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela quese define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

Variância

Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desviosdas observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número deobservações da amostra menos um.

Capıtulo 1

Matrizes, Determinantes

1a Licao (com projetor multimedia)13/03/2007

1.1 Teoria Geral de Matrizes

Definicao 1. Uma matriz de ”m”linhas e ”n”colunas e dada por:

Am×n =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

· · · · · · ·

· · · · · · ·

am1 am2 am3 · · · amn

= [aij ]m×n

Tipos Especiais de matrizes

Definicao 2 (Matriz Quadrada). Quando m=n.

Exemplo 1.

A3×3 =

1 −2 3

3 0 1

4 5 6

Dizemos que A3×3 e de ordem 3. Em geral, se temos uma matriz An×n dizemos

que e de ordem n, denotamos por An.

Definicao 3 (Matriz Nula ou Zero). Se aij = 0,∀i = 1, 2, ...,m,∀j = 1, 2, ..., n.

Definicao 4 (Matriz Coluna). Se possui uma unica coluna, ou seja n=1.

Exemplo 2.

1

−4

3

= A3×1

1

2 CAPITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES

Definicao 5 (Matriz Linha). Se m=1.

Exemplo 3.[

3 0 −1]

= A1×3

Definicao 6 (Matriz Diagonal). E uma matriz quadrada, onde

aij = 0, para i 6= j.

Exemplo 4.

7 0 0

0 1 0

0 0 −1

3×3

Definicao 7 (Matriz Identidade). E definida por aii = 1, e aij = 0, para i 6= j.

Exemplo 5.

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3×3

Definicao 8 (Matriz Triangular Superior). E uma matriz quadrada tal que

aij = 0, para i > j.

Exemplo 6.

2 −2 0

0 1 3

0 0 5

3×3

Definicao 9 (Matriz Triangular Inferior). E uma matriz quadrada tal que

aij = 0, para i < j.

Exemplo 7.

2 0 0

7 1 0

−1 0 5

3×3

Definicao 10 (Matriz Simetrica). E aquela matriz quadrada que verifica

aij = aji .

Exemplo 8.

2 −1 1

−1 1 0

1 0 5

3×3

1.1. TEORIA GERAL DE MATRIZES 3

Operacoes com Matrizes

Definicao 11 (Adicao ou Soma). Dadas A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n =

[bij ], definimos a matriz soma A + B por A + B = [aij + bij ] matriz de ordem

m× n.

Propriedades : Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n, temos

que :

(i) A + B = B + A(comutativa)

(ii) A + (B + C) = (A + B) + C(associativa)

(iii) A + 0 = A, onde o e a matriz nula de ordem n.

Definicao 12 (Produto ou Mutiplicacao por um escalar). Se A = [aij ]m×n e

λ um numero, podemos definir uma nova matriz tal que λ ·A = [λ · aij ]m×n.

Propriedades Dadas as matrizes A e B da mesma ordem m × n e numeros

α, β, temos que :

(i) α · (A + B) = α ·A + α ·B

(ii) (α + β) ·A = α ·A + β ·A

(iii) 0 ·A = 0m×n

(iv) α · (β ·A) = (α · β) ·A.

Definicao 13 (Matriz Transposta). Dada uma matriz A = [aij ]m×n , podemos

obter outra matriz, denotada por At = [bij ]n×m , cujas linhas sao as colunas de

A, chamada a matriz transposta de A.

Exemplo 9.

A =[

2 −1 4]

1×3At =

2

−1

4

3×1

Exemplo 10.

A =

2 1

0 3

−1 4

3×2

At =

[

2 0 −1

1 3 4

]

2×3

Propriedades :

(i) A matriz A e simetrica se, e somente se A = At

(ii) Att = A

(iii) (A + B)t = At + Bt

(iv) (λ ·A)t = λ ·At, onde λ e um numero.

Definicao 14 (Multiplicacao de matrizes). Sejam A = Am×n = [aij ] e B =

Bn×p = [brs], definimos a matriz A ·B = [ckl]m×p,

onde ckl =

n∑

j=1

akj · bjl


Observacao 1. Podemos efetuar o produto das matrizes A = Am×n = [aij ] e B =

Bl×p = [brs], quando n = l. A matriz A ·B tera ordem m× p.

Exemplo 11.

A = A3×2 =

2 1

4 2

5 3

B = B2×2 =

[

1 −1

0 4

]

A·B =

2 1

4 2

5 3

3×2

·

[

1 −1

0 4

]

2×2

=

2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 4

4 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4

5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4

3×2

=

2 2

4 4

5 7

3×2

1.2 Sistemas Lineares

2a Licao (com projetor multimedia) 15/03/2007

Definicao 15. Seja A = [aij ] uma matriz e b1, b2, ..., bn numeros. As

equacoes do tipo :

(∗)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

.......................................................

.......................................................

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

sao conhecidas como um sistema de equacoes lineares de ”m”equacoes e ”n”incognitas.

Observacao 2. Uma solucao de (*) e uma n-upla de numeros (x1, x2, ..., xn) que

satisfaca simultaneamente as ”m” equacoes.

Observacao 3. Se bi = 0, ∀i = 1, 2, ..,m dizemos que o sistema e homogeneo.

Observacao 4. O sistema de equacoes:

(∗∗)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0

...................................................

...................................................

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

e chamado sistema homogeneo associado a (*).

Observacao 5. Podemos escrever o sistema (*) na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·

am1 am2 · · · amn

·

x1

x2

·

·

xm

=

b1

b2

·

·

bm

OU A ·X = B

1.3. DETERMINANTES 9

Teorema 2. Temos os seguintes items.

(i) O sistema tem solucao ⇔ posto de A = posto de Aa .

(ii) Se o posto de A = posto de Aa = p = n , entao a solucao sera unica.

(iii) Se o posto de A = posto de Aa = p < n , entao podemos escolher n-p

incognitas, e as outras p incognitas serao dadas em funcao destas.

Observacao 6. No caso (iii), dizemos que o grau de liberdade do sistema e

n-p.

Exemplo 20. Se consideramos a matriz:

Aa =

1 0 0 3

0 1 0 −2

0 0 1 2

Temos que, m=3, n=3 e p=3. Posto de A= Posto da matriz ampliada=3. Logo,

o sistema associado tem solucao unica dada por x1 = 3, x2 = −2, x3 = 2.

Exemplo 21. Seja

Aa =

(

1 0 7 −10

0 1 5 −6

)

Tem-se que m=2, n=3 e p=2. Posto de A= Posto da matriz ampliada=2, o

grau de liberdade e 1, podemos escolher uma incognita e as outras duas serao

dadas em funcao da primeira, i.e., x1 = −10− 7x3, x2 = −6− 5x3 .

Exemplo 22. Consideramos

Aa =

1 0 7 −10

0 1 5 −6

0 0 0 2

m=n=3, posto de A=2, posto da matriz ampliada=3, portanto o sistema e in-

compatıvel ou seja NAO tem solucao.

1.3 Determinantes

3a Licao (20/03/2007)

Seja A =

(

a b

c d

)

matriz de ordem 2× 2, onde a, b, c e d ∈ ℜ .

Definimos seu determinante como o numero ad− bc , denotamos

|A| = Det(A) =

∣

∣

∣

∣

a b

c d

∣

∣

∣

∣

= ad− bc.


Exemplo 23. Dada A =

(

2 1

1 4

)

, tem-se que

|A| =

∣

∣

∣

∣

2 1

1 4

∣

∣

∣

∣

= 2 · 4− 1 · 1 = 7.

Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o numero

|A| = a11 ·

∣

∣

∣

∣

a22 a23

a32 a33

∣

∣

∣

∣

− a12 ·

∣

∣

∣

∣

a21 a23

a31 a33

∣

∣

∣

∣

+ a13 ·

∣

∣

∣

∣

a21 a22

a31 a32

∣

∣

∣

∣

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= Det(A)

Tambem pode ser escrito na forma

Det(A) = a11 ·Det(A11) = a12 ·Det(A12) + a13 ·Det(A13)

Se usamos a segunda linha, temos :

|A| = −a21 ·

∣

∣

∣

∣

a12 a13

a32 a33

∣

∣

∣

∣

+ a22 ·

∣

∣

∣

∣

a11 a13

a31 a33

∣

∣

∣

∣

− a23 ·

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a31 a32

∣

∣

∣

∣

=

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= Det(A)

ou

Det(A) = −a21 ·Det(A21) + a22 ·Det(A22)− a23 ·Det(A23)

Observacao 7. Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar

qualquer linha ou coluna.

Caso Geral : Consideramos A matriz quadrada de ordem n, e seja

A = [aij ]n×n, e Aij a submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A retirando-

se a i-esima linha e a j-esima coluna, chamada complemento algebrico do ele-

mento aij .

Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :

Det(A) = |A| = (−1)i+1 · ai1Det(Ai1) + · · ·+ (−1)i+n · ainDet(Ain)

1.4. INVERSAO DE MATRIZES 11

Propriedades

(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz sao todos zeros,

entao Det(A) = 0 .

(b) Se trocamos de posicao duas linhas, o determinante troca de sinal.

(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante, o determinante

e multiplicado por esta constante.

(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais e zero.

(e) O determina NAO muda se somamos a uma linha outra linha multiplicada

por uma constante.

(f) Det(A ·B) = Det(A) ·Det(B) .

(g) Det(A) = Det(At) .

1.4 Inversao de Matrizes

4a Licao (22/03/2007)

Dada uma matriz do tipo

A =

(

a b

c d

)

Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa de A, isto e,

queremos determinar uma matriz X de ordem 2, tal que

A ·X = X ·A = I2

Calculando o produto, temos que:(

a b

c d

)

·

(

x y

z w

)

=

(

ax + bz ay + bw

cx + dz cy + dw

)

=

(

1 0

0 1

)

Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo a segunda coluna

achamos y e w.

Exemplo 24. Achar a matriz A de ordem 2 tal que A ·X = I2 , onde

A =

(

2 1

4 3

)

Devemos resolver os sistemas seguintes:{

2x + z = 1

4x + 3z = 0

{

2y + w = 0

4y + 3w = 1

Usando a teoria das equacoes lineares, achamos : x=1, z=-1, y= -1/2, w=1.

Definicao 21. Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa

de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In . Nesta caso, denotamos

B = A−1 e dizemos que A e uma matriz inversıvel.


Observacao 8. Se existe a inversa, ela e unica.

Observacao 9. Se A e B sao matrizes inversıveis, entao A ·B e inversıvel e

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 .

Observacao 10. Nem toda matriz tem inversa.

Observacao 11. Se A e inversıvel, entao Det(A−1) = (Det(A))−1 .

Teorema 3. Uma matriz quadrada e inversıvel, se e somente se, Det(A) 6= 0 .

Neste caso,

A−1 = [bij ]tn×n, onde bij =

(−1)i+jDet(Aij)

Det(A)

Observacao 12. Se definimos a matriz adjunta de A, denotada por Adj A,

como a matriz transposta dos cofatores de A, temos que:

A−1 =1

Det(A)· (AdjA) .

Exemplo 25. Consideramos a matriz

A =

[

6 2

11 4

]

temos que Det(A) = 4 · 6− 2 · 11 = 2 6= 0, logo existe a matriz inversa de A.

Primeiro calculamos a matriz dos cofatores de A, i e.,

[

6 −11

−2 4

]

logo a transposta desta matriz, ou seja,

AdjA =

[

4 −2

−11 6

]

Portanto, A−1 =1

2

[

4 −2

−11 6

]

=

[

2 −1

−11/2 3

]

REGRA DE CAMER

Consideramos o sistema de n-equacoes e n-incognitas.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

.......................................................

.......................................................

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn


Podemos escrever na forma matricial

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·

an1 an2 · · · ann

·

x1

x2

·

·

xn

=

b1

b2

·

·

bn

OU A ·X = B

Se Det(A) 6= 0 , entao A−1 existe e A−1 · (A ·X) = A−1 ·B

⇔ (A−1 ·A) ·X = In ·X = A−1 ·B ⇔ X = A−1 ·B .

Na forma matricial

x1

x2

·

·

xn

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·


−1

·

b1

b2

·

·

bn

Usando a formula da matriz inversa, tem-se que:

x1

x2

·

·

xn

=1

Det(A)·

∆11 ∆12 · · · ∆1n

∆21 ∆22 · · · ∆2n

· · · · · ·

∆n1 ∆n2 · · · ∆nn

·

b1

b2

·

·

bn

onde ∆ij e o determinante da sub-matriz de ordem (n-1), correspondente a

aij .Entao

x1 =b1 ·∆11 + ·... ·+bn ·∆n1

Det(A)

OU

x1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n

· · · · · ·

bn an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Em forma geral xi =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · b1 · a1n

a21 a22 · b2 · a2n

· · · · · ·

an1 an2 · bn · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i=1,2, ..., n.

Exemplo 26. Dado o sistema de 3 equacoes e 3 incognitas:

2x − 3y + 7z − 1

x + 3z = 5

2y − z = 0


resulta que

Det

2 −3 7

1 0 3

0 2 −1

= −1 6= 0

Logo, podemos usar a regra de Cramer, i. e.,

x =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −3 7

5 0 3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1= −49, y =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 7

1 5 3

0 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1= 9, z =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −3 1

1 0 5

0 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1= 18.

MATRIZES ELEMENTARES.

Para calcular a inversa de uma matriz, precisamos de um numero grande de

operacoes. O processo envolve a introducao de matrizes elementares.

Exemplo 27. Dada a matriz

A =

1 2 4

0 1 3

2 1 −4

Multiplicamos a primeira linha (L1) , por 2 e obtemos

2 4 8

0 1 3

2 1 −4

que e igual ao produto

2 0 8

0 1 0

0 0 1

·

1 2 4

0 1 3

2 1 −4

.


A =

1 2 4

0 1 3

2 1 −4

Se permutamos a primeira e sunda linha da matriz A, tem-se

0 1 3

1 2 4

2 1 −4


Que resulta ser o produto

0 1 8

1 0 0

0 0 1

·

1 2 4

0 1 3

2 1 −4


A =

1 2 4

0 1 3

2 1 −4

Se somamos a primeira linha de A a segunda linha multiplicada por 2, obtemos

1 4 10

0 1 3

2 1 −4

que e o produto

1 2 8

0 1 0

0 0 1

·

1 2 4

0 1 3

2 1 −4

Definicao 22. Uma matriz elementar e uma matriz obtida atraves da aplicacao

de uma operacao elementar com linhas na matriz identidade.

Teorema 4. Se A e uma matriz, resultado de alguma operacao com linhas de

A, e igual ao produto da matriz elementar correspondente com a matriz A.

Corolario 1. Uma matriz elementar E1 e inversıvel e sua inversa e a matriz

elementar E2 que corresponde a operacao com linhas inversa da operacao

efetuada por E1 .

Teorema 5. Se A e inversıvel, sua matriz linha reduzida a forma escada e

a identidade. Tambem, temos que A e dada por um produto de matrizes ele-

mentares.

Teorema 6. Se A pode ser reduzida a matriz identidade, por uma seq”uencia

de operacoes elementares com linhas, entao A e inversıvel e a matriz inversa de

A e obtida como um produto de matrizes elementares.

Exemplo 30. Seja

A =

2 1 0 0

1 0 −1 1

0 1 1 1

−1 0 0 3


Junto a matriz A colocamos a matriz identidade, a ideia e transformar a matriz

A na identidade.

2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0

−1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1

Trocamos a primeira e segunda linha,

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0

0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0

−1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1

Somamos a quarta a primeira

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0

0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0

1 + 0 0 0− 1 3 + 1 ‖ 0 0 + 1 0 1

Somamos a segunda, a primeira multiplicada por -2

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

2− 2 1 0− (−2) 0− 2 ‖ 1 0− 2 0 0

0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0

1 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1

Subtraımos a segunda linha da terceira,

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0

0 1− 1 1− 2 1 + 2 ‖ 0− 1 0 + 2 1 0

1 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1

Mudamos o sinal da terceira linha

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0

0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0

0 0 1 −3 ‖ 1 −2 −1 0

0 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1

Depois trabalhamos convenientemente com a quarta linha

1 0 0 0 ‖ 3 −3 −3 2

0 1 0 0 ‖ −5 6 2 −4

0 0 1 0 ‖ 4 −5 −4 3

0 0 0 1 ‖ 1 −1 −1 1


Deduzimos que

A−1 =

3 −3 −3 2

−5 6 2 −4

4 −5 −4 3

1 −1 −1 1

apostila de matemática básica

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