Sumrio

PORCENTAGEM ......................................................................................................... 2

POTENCIAO ........................................................................................................... 4

POTNCIA DE BASE 10 ............................................................................................. 6

NOTAO CIENTFICA ............................................................................................ 7

FUNO ....................................................................................................................... 8

FUNO DO 1 GRAU ............................................................................................. 10

FUNO LINEAR ..................................................................................................... 11

FUNO CONSTANTE ............................................................................................ 12

FUNO DO 2 GRAU OU QUADRTICA ........................................................... 13

EQUAO EXPONENCIAL .................................................................................... 17

FUNO EXPONENCIAL ........................................................................................ 20

LOGARITMO ............................................................................................................. 23

PORCENTAGEM

Porcentagem uma maneira de se representar uma razo em que o denominador igual a 100

(Razo Centesimal).

Exemplo:

Denominador

Com frequncia, h usos dessa representao no cotidiano, por isso sua abordagem merece uma

ateno particular. Por exemplo, deixar expresso 5 % (cinco por cento) , na realidade, mostrar a

frao 5/100, que representa cinco sendo dividido por cem, ou 0,05, que representa cinco

centsimos.

Vejamos outros exemplos:

Exemplos Prticos:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, realizou 50 cobranas de falta,

transformando em gols 70%. Quantos gols de falta esse jogador fez?

70% de 50 =

x 50 =

= 35 gols

2) Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa

percentual de lucro obtida?

Inicialmente, vamos calcular a diferena entre o valor vendido e o valor comprado. Logo temos: R$

300 R$ 250 = R$ 50.

Agora, vamos descobrir quanto representa este valor em porcentagem, atravs da Regra de Trs.

250 100%

50 x

250. x = 50.100 x =

x = 20%

Logo, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

#Dica: Fator de Multiplicao

Se, por exemplo, h um acrscimo de 20% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor

apenas multiplicando esse valor por 1,20, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de

40%, multiplicamos por 1,40, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Para aumentar em: Multiplicar por:

5% 1,05 (1 + 0,05)

20% 1,2 (1 + 0,2)

70% 1,7 (1 + 0,7)

100% 2 (1 + 1)

500% 6 (1 + 5)

Exemplo: Aumentando 30% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,30 = R$ 13,00

No caso de haver um desconto de 35% no valor de uma compra de R$ 500,00, o fator de

multiplicao ser:

Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Vejamos a tabela abaixo:

Para Reduzir em: Multiplicar por:

5% 0,95 (1 - 0,05)

12% 0,88 (1 - 0,12)

20% 0,8 (1 - 0,2)

40% 0,6 (1 - 0,4)

100% 0 (1 - 1)

POTENCIAO

Em sua definio, potenciao significa multiplicar um nmero real (base) por ele mesmo n

vezes, no qual n a potncia (nmero natural). Exemplo:

3 = 3 x 3 = 9

= 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Casos de Potenciao:

a) Todo nmero diferente de zero e elevado a zero um.

= 1

= 1

b) Todo nmero diferente de zero e elevado a um o prprio nmero.

= 45

= 125

c) Base zero e qualquer nmero no expoente, o resultado ser zero.

= 0

= 0

d) Base negativa e expoente mpar, resultado negativo.

= (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = - 3.125 (atentar-se para a regra de sinais)

= (-4) x (-4) x (-4) = - 64 (atentar-se para a regra de sinais)

e) Base negativa e expoente par, resultado positivo.

= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (atentar-se para a regra de sinais)

= (-7) x (-7) = 49 (atentar-se para a regra de sinais)

f) Base um nmero racional (frao): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o

denominador da frao.

g) Quando o expoente um nmero negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do

expoente para positivo.

h) Quando o expoente uma frao, siga a seguinte regra:

1) A base da potncia ficar dentro do radical, esse nmero ser o radicando;

2) O numerador do expoente ser o expoente do radicando;

3) O denominador do expoente ser o ndice da raiz.

=

= 2

=

= 3

=

=

= =

Propriedades da Potenciao:

1) Multiplicao de Bases Iguais: Mantenha a base e some os expoentes.

= =

(

)

. (

)

= (

)

= (

)

2) Diviso de Bases: Mantenha a base e subtraia os expoentes:

= =

= =

3) Potncia de Potncia: Mantenha a base e multiplique os expoentes.

= =

= =

Observao:

= =

= (Primeiro, faz-se a potncia de = 64)

POTNCIA DE BASE 10

As potncias de base 10 so talvez as potncias mais importantes, pois so muito usadas no estudo

de outras cincias, como o caso da Fsica.

Vamos ver o que acontece quando operamos a base 10:

= 1

= 10

= 100

= 1.000

= 10.000

As potncias de base 10 so formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros da quantidade do nmero

do expoente.

Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado no denominador de uma

potncia cujo numerador o 1. Podemos ainda escrev-lo na forma decimal, sendo que o nmero do

expoente indica a quantidade de dgitos aps a vrgula. Por exemplo:

=

= 0,1

=

= 0,01

=

= 0,001

=

= 0,0001

Exemplos:

30 = 3.

400 = 4.

7.000.000 = 7.

0,0002 = 2.

0,278 = 278.

NOTAO CIENTFICA

Notao Cientfica uma forma diferente de representar os nmeros reais. Atravs dela podemos

abreviar a apresentao de um nmero muito grande ou pequeno.

a . , tendo-se 1 a < 10; K Z

Exemplos:

a) 16.000.000 = 1,6.

b) 0,0000078 = 7,8.

c) 400 = 4.

d) 500300 = 5,003.

e) 0,0000007 = 7.

f) 0,000000000054 = 5,4.

g) 0,0000812 = 8,12.

h) 1,3 = 1,3.

FUNO

Funo uma relao de dependncia entre duas variveis. Por exemplo: Corrida de Txi (O preo

pago est em funo dos quilmetros rodados).

Exemplo:

Y = 10.x

Domnio: Valores de x que a funo pode assumir.

Contradomnio: Valores de y que a funo pode assumir.

-1

0

2

3

4

-10

0

20

30

40

8

9

6

A B

Imagem: Valores de y que a funo de fator assume.

Para se estabelecer uma funo, os valores do Domnio podem assumir apenas uma imagem.

No uma funo (Domnio apresenta duas imagens)

Exemplos:

1) Domnio da Equao:

x 2 0 x 2

Logo, na equao acima, x deve ser diferente de 2 ( j que o denominador (x 2 no pode ser zero,

pois no existe diviso por nmero nulo).

D = { x R | x 2}

2) Domnio da Equao:

3x 9 > 0

3x > 9

x >

x > 3. O denominador, por ser raiz, no pode ser negativo (precisa ser maior do que

zero). Por isso, x deve ser maior do que 3.

D = { x R | x > 3}

1

2

6

5

4

FUNO DO 1 GRAU

Chama-se funo do 1 grau, ou funo afim, qualquer equao que possa ser reduzida a forma y =

ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.

Na funo y = ax + b, a chamado de coeficiente angular e o b coeficiente linear.

O coeficiente angular indica se a funo crescente ou decrescente (se a > 0, a funo crescente;

se a < 0, decrescente). J o coeficiente linear indica o ponto onde a reta corta o eixo y do grfico.

Exemplo:

y = 2.x + 3

0 = 2.x + 3 x = -

Para montar o grfico, precisamos de dois pontos:

Quando x = 0 e y = 0;

Quando x = 0; tem- se:

y = 2.x + 3

y = 2.0 + 3 y = 3, logo temos o par ordenado (0;3)

Quando y = 0, tem-se

y = 2.x + 3

0 = 2.x + 3 x = -

, logo temos o par ordenado ( -

, 0)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-2 -1,5 -1 -0,5 0

Grfico: y = 2.x + 3

x

y

Exemplo Prtico:

Se um estacionamento cobra R$ 5 pela hora inicial e R$ 3 por cada hora adicional. Quanto pagarei

por 5h?

A Equao do 1 Grau formada: y = a.x + b. De acordo com o exemplo, temos:

y = 5 + 3(x - 1)

y = 5 + 3x 3 y = 2 + 3x

Substituindo x por 5, temos:

y = 2 + 3.5 y = 17

FUNO LINEAR

um tipo de funo do 1 Grau cuja lei de formao do tipo f(x) = a.x (a R e 0). No grfico, a

reta sempre passar pela origem (0;0).

Vejamos os exemplos:

1) F(x) = 2x

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-6 -4 -2 0 2 4 6

Funo Linear: y = 2x

Como a = 2 e a > 0, Logo, temos uma Funo Linear Crescente.

2) F(x) = -

Como a = -1/2 e a < 0, Logo, temos uma Funo Linear Decrescente.

FUNO CONSTANTE

A funo constante diferencia-se das funes do 1 Grau por no poder ser caracterizada como

crescente ou decrescente, sendo, por isto, constante.

Lei de Formao da Funo Constante: F(x) = c, c R.

O grfico sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x.

Exemplos:

1) f(x) = 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6 -4 -2 0 2 4 6

Funo Linear: y = 2x

2) f(x) =

FUNO DO 2 GRAU OU QUADRTICA

Toda funo estabelecida pela lei de formao f(x) = ax + bx + c, com a, b e c nmeros reais e a

0, denominada funo do 2 grau.

Vejamos alguns exemplos de funo quadrtica:

a) y = x 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6

b) y = - x + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4

c) y = 3x 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grfico: y = 2

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

Grfico: y = (-2.x - 8) / (x+4)

y

x

x

y

d) y = 2x 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1

No grfico, a funo do 2grau representada por uma parbola. Se a > 0, ento a parbola ter

concavidade para baixo. Quando a < 0, a parbola ter concavidade para baixo.

Ao resolver uma Equao do 2 Grau, encontramos as razes, que so os pontos onde a funo vai

cortar o eixo x do grfico.

Exemplo:

F(x) = x - 4.x + 3

Resolvendo por frmula de Bhaskara:

a = 1; b = -4 e c = 3

= b - 4.a.c

= (-4) - 4.1.3

= 4

0

5

10

15

20

25

-5 0 5

y = x+4

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-5 0 5

y = -2x +4

a > 0 a < 0

Logo, as razes so 3 e 1.

#Dica:

Quando > 0, teremos duas solues reais (duas razes);

Quando = 0, teremos apenas uma soluo real (uma raiz);

Quando < 0, teremos nenhuma soluo real (no existe raiz).

Resolvendo por Soma e Produto:

Soma (S) =

S =

S = 4

Produto (P) =

P =

P = 3

______ + ______ = 4

______ X _______ = 3

Logo, as razes so 3 e 1.

Veja o grfico:

1 3

3 1

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

y = x-4x+3

Vrtice

O que vrtice de uma parbola? o ponto em que a parbola atinge seu valor mximo ou mnimo.

O vrtice de todas as parbolas tem uma caracterstica prpria, ele sempre se encontra

"equidistante" de ambas as razes, ou seja, a coordenada "x" do vrtice fica exatamente no meio das

coordenadas das duas razes.

Para encontr-lo, precisamos descobrir o par ordenado (x, y) que o relaciona. Vejamos:

Xv =

Yv =

No exemplo anterior, temos: x - 4x + 3, calculemos os pontos do vrtice da parbola:

Xv =

Xv = 2

Yv =

Yv =

Yv = -1

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-5 0 5

0

5

10

15

20

25

-5 0 5

Este o Vrtice (Valor Mnimo)

Este o Vrtice (Valor Mximo)

Assim, temos o par ordenado do vrtice (2; 1). Vamos verificar no grfico:

EQUAO EXPONENCIAL

Equao Exponencial aquela em que a incgnita se encontra no expoente de pelos uma potncia.

Regra: Se a base a mesma, os expoentes so iguais, desde que a base seja maior que zero e

diferente de 1

Exemplos de Equaes Exponenciais:

x = 2

X = 3

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5

y = x-4x+3

X = 2

X =

X = -5

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

X = 2

f) = 1

=

=

x - 5x + 6 = 0

Resolvendo esta equao do 2 grau, encontramos as razes, a saber: 2 e 3.

g) = 0

= 0

Chamando = y, temos:

y - y 2 = 0

Resolvendo esta equao do 2 grau, encontramos as razes, a saber: -1 e 2.

(No convm)

Logo:

X = 1

g) (

x - x = 2

x - x 2 = 0

FUNO EXPONENCIAL

f: R R*+, definida por f(x) = com a R*+ e a 1.

f(x) = a (A varivel independente x est no expoente).

Representao da Funo Exponencial no Plano Cartesiano

Exemplo:

f(x) =

Funo Exponencial Crescente

f(x) =

Se a > 1, temos uma funo exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x. Em outras

palavras, medida que x aumenta, tambm aumenta f(x) ou y.

x

-6 0,03

-3 0,17

-1 0,56

0 1,00

1 1,80

2 3,24

-

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

-8 -6 -4 -2 0 2 4

y = 1,8

Exemplo de Funo Exponencial Crescente:

Funo Exponencial Decrescente

f(x) =

Se 0 < a < 1, temos uma funo exponencial decrescente, ou seja, medida que x aumenta, y

diminui.

Exemplo de Funo Exponencial Decrescente:

-

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

-8 -6 -4 -2 0 2 4

-

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Exemplo 1:

A quantia de R$ 1.200 foi aplicada durante 6 anos em uma instituio bancria a uma taxa de 1,5%

ao ms, no sistema de juros compostos.

a) Qual ser o saldo no final de 12 meses?

M = C.

M = Montante

C = Capital Inicial

n = perodo

M = C.

M = 1200.

M = 1.437, 74

O saldo ser de R$ 1.437,74, aps 12 meses.

b) Qual ser o montante final?

M = C.

M = 1200.

M = 3.505,39

O saldo ser de R$ 1.437,74, aps 6 anos (72 meses).

Exemplo 2:

Sob certas condies, o nmero de bactrias B de uma cultura, em funo do termo t, medido em

horas, dado por B(t) =

. Qual ser o nmero de bactrias 6 dias aps a hora zero?

6 dias = 6 x 24 = 144 horas

B(144) =

B(144) = B(144) = 4.096 bactrias

Exemplo 3:

Suponha que, em 2003, o PIB de um pas seja de US$ 500 bilhes. Se o PIB crescer 3% ao ano, de

forma cumulativa, qual ser o PIB do pas em 2023, dado em bilhes de dlares?

P(x) = P0.

P(x) = 500.

P(x) = 900 bilhes de dlares

LOGARITMO

Ao estudarmos a potenciao, aprendemos que, por exemplo, o produto de 4 por 4, que igual a 16,

pode ser representado na forma de uma potncia pela seguinte sentena matemtica:

Utilizando a notao dos logaritmos tambm podemos represent-la assim:

= 2

Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentena temos:

2 o logaritmo de 16 na base ;

4 a base do logaritmo;

16 o logaritmando.

Genericamente, de forma simblica, temos a seguinte definio de logaritmo:

= x = a

Para os nmeros reais positivos a e b, com b 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente

real x, tal que = a.

Vejamos as sentenas abaixo:

O expoente desta potncia, no caso 5, o logaritmo de 100000 que podemos representar assim:

= 5

Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, ento em vez de

utilizamos , que como voc pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificaes

tm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais smbolos, facilitando assim a

compreenso de tais expresses.

Assim sendo a expresso = 5 em geral escrita como = 5.

Propriedades dos Logaritmos

a) Propriedade 1: Logaritmo do produto.

= +

Exemplo:

+

2 + 3 = 5

b) Propriedade 2: Logaritmo do quociente.

=

-

Exemplo:

=

+

= 5 - 6 = -1

c) Propriedade 3: Logaritmo de uma potncia.

= n.

Exemplo:

= 3.

= 3.1 = 3

d) Propriedade 4: Logaritmo de uma raiz.

Essa propriedade uma extenso da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma

de uma potncia.

=

=

Exemplo:

=

=

=

=

. 1 =

e) Propriedade 5: Propriedade da mudana de base.

=

Essa propriedade utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os

clculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os

clculos mais simples. A propriedade da mudana de base tambm fundamental para a

simplificao de expresses que envolvem logaritmos com bases diferentes.

Exemplo:

Se desejarmos calcular o valor do logaritmo , nem com uso de uma calculadora cientfica

seria possvel, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria

necessrio fazer a mudana para uma dessas bases. Assim, teremos:

=

=

=

= 1,49