apostila matemática básica 2011 2012

GESTOR DA QUALIDADE

MATEMTICA

BSICA

Matemtica Bsica para Metrologia

CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOS

NOME: _______________________________________________________________ PROFESSOR: __________________________

GESTOR DA QUALIDADE

MATEMTICA

BSICA

Matemtica Bsica para Metrologia

CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOSSOROCABA

_______________________________________________________________

PROFESSOR: __________________________

GESTOR DA QUALIDADE

MATEMTICA

Matemtica Bsica para

CENTRO CULTURAL BRASIL ESTADOS UNIDOS

_______________________________________________________________

Centro Cultural Brasil Estados Unidos

Gestor da Qualidade

2

APRESENTAO

Nos anos mais recentes as organizaes brasileiras vm sofrendo profundas mudanas que se fazem notar por

modificaes nas relaes sociais polticas, entre os agentes envolvidos com as vidas nas empresas nas mais variadas

tecnologias que surgem e que se tornam disponveis nas e para as organizaes quase de que modo repentino e

inusitado nas organizaes nas modificaes extremamente profundas, das relaes de trabalho.

O conceito de Qualidade foi primeiramente associado definio de conformidade s especificaes.

Posteriormente o conceito evoluiu para a viso de Satisfao do Cliente.

Obviamente a satisfao do cliente no resultado apenas e to somente do grau de conformidade com as

especificaes tcnicas, mas, tambm de fatores como prazo e pontualidade de entrega, condies de pagamento,

atendimento pr e ps-venda, flexibilidade, etc. Paralelamente a esta evoluo do conceito de Qualidade, surgiu a

viso de que o mesmo era fundamental no posicionamento estratgico da empresa perante o Mercado. Pouco tempo

depois percebeu-se que o planejamento estratgico da empresa enfatizando a Qualidade no era suficiente para seu

sucesso. O conceito de satisfao do cliente foi ento estendido para outras entidades envolvidas com as atividades da

Empresa.

O termo Qualidade Total representa a busca da satisfao, no s do cliente, mas de todos os "stakeholders"

(entidades significativas na existncia da empresa) e tambm da excelncia organizacional da empresa.

Princpios da Qualidade Total

1. Total satisfao dos clientes

2. Desenvolvimento de recursos humanos

3. Constncia de propsitos

4. Gerncia participativa

5. Aperfeioamento contnuo

6. Garantia da qualidade

7. Delegao

8. No aceitao de erros

9. Gerncia de processos

10. Disseminao de informaes

Para que um profissional na rea de qualidade esteja preparado para enfrentar os desafios do mundo

globalizado, deve ter aperfeioamento constante e muito conhecimento em Matemtica.

A cincia Matemtica est em todo lugar, na casa, no trabalho, nos objetos, na vida, apontada de vrias maneiras e atravs de descobertas fascinantes ela sempre ser exata.

Aproveite, pois informao existe em qualquer lugar, conhecimento se adquire estudando.

CCBEU Sorocaba


Gestor da Qualidade

3

CAPTULO I MDIA ARITMTICA SIMPLES E PONDERADA A mdia aritmtica simples determina-se com a soma dos valores do conjunto, dividindo pelo total de elementos, utilizando a frmula abaixo:

Onde: x = mdia aritmtica x = soma dos valores do conjunto n = total de elementos

Exemplos: Um grupo de pessoas tem as seguintes idades: Idade: 10 anos, 15 anos, 20 anos, 25 anos e 30 anos. Assim: Somam-se todas as idades: 10+15+20+25+30 = 100 Como possuem 5 idades: n = 5, aplica-se a formula:

Mdia aritmtica ponderada Definio A mdia aritmtica ponderada a mdia dos elementos do conjunto numrico A em relao adio, onde todos os elementos tm o seu determinado peso. Calculo da mdia aritmtica ponderada Sendo x a mdia aritmtica ponderada dos elementos do conjunto numrico A = {x1, x2, x3; ...; xn}, com seus respectivos pesos p1; p2; p3; ...; pn, nesse caso, temos, por definio:

Note que quando p1 = p2 = p3 = ... = pn = 1, nesse caso, temos:

x = x / n

x = x / n x = 100 / 5 x = 20


Gestor da Qualidade

4

como a mdia aritmtica simples. Concluso Para se obter a mdia aritmtica ponderada dos n elementos do conjunto numrico A, necessrio determinar a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, e dividi-la pela soma dos pesos. Mdia Aritmtica Ponderada.

Exemplo: 1. Um colgio resolveu inovar a forma de calcular a mdia final de seu alunos. 1 bimestre teve peso 2. 2 bimestre teve peso 2. 3 bimestre teve peso 3. 4 bimestre teve peso 3. Vamos calcular a mdia anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1 bim = 3, 2 bim = 2,5, 3 bim = 3,5 e 4 bim = 3

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

1. Calcule a mdia em cada grupo de nmeros. a) 23, 16 e 24. b) 8, 18, 16, 9, 10, 11, 12.

2. Adriana obteve nas duas avaliaes de Qualidade as notas 6 e 10. Qual ser sua mdia nas avaliaes. 3. Obtenha a media da idade dos contratados para estagiar na rea de metrologia, conforme tabela abaixo:

Alunos Idades (anos) Aline 17

Amanda 16 Adriana 15 Joaquim 18 Marcelo 14


Gestor da Qualidade

5

4. Numa grande empresa, em trs setores pesquisados num determinado dia, foram constatadas faltas de funcionrios, assim distribudos:

* 4% no setor administrativo;

* 8% no setor de produo;

* 12% no setor comercial.

Calcule a mdia de faltas desse dia, considerando que, no setor de produo, h 200 funcionrios, o setor administrativo tem 50 funcionrios e o setor comercial tem 75 funcionrios. X = (16 + 2 + 9) / 325 = 8,3%

5. Calcule a Mdia Aritmtica Ponderada entre :

a) 6 e 8 para os respectivos pesos 1,5 e 3,5

b) 8,5; 7,0 e 9 para os respectivos pesos 2, 3, e 5

c) 7, 6, 10 e 8 para os respectivos pesos 3, 3, 2, e 2

CAPTULO II OPERAES COM NMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS ADIO E SUBTRAO 1 Caso: As fraes tm o mesmo denominador

a) Vamos calcular: 5

2 +

5

1

5

2 +

5

1 =

5

3 Somamos os numeradores e conservamos os denominadores.

b) Vamos calcular: 7

5 -

7

2

7

5 -

7

2 =

7

3 Subtramos os numeradores e conservamos o denominador comum.

2 Caso: Reduzimos as fraes ao menor denominador comum (MMC Mnimo Mltiplo Comum) e procedemos como no primeiro caso. (Divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima) Exemplos:

a) 3

2 +

2

1 =

6

4 +

6

3 =

6

7


Gestor da Qualidade

6

b) 3

2 -

4

1 =

12

8 -

12

3 =

12

5

MULTIPLICAO

Vamos calcular 3

2 x

5

4.

Consideremos 3

2 de um lado.

Consideremos 5

4 do outro lado.

Cada quadradinho representa 15

1.

A parte grifada representa 15

8

Pela figura: 3

2 x

5

4 =

15

8

Concluso: Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. SIMPLIFICAO Em alguns casos, podemos efetuar simplificaes, antes de multiplicar. A simplificao feita com numerador e denominador da mesma frao ou ento com numerador de uma frao e denominador de outra. Exemplo:

a) 7

5 x

5

2 =

7

1 x

1

2 =

7

2

b) 8

6 x

5

7 =

4

3 x

5

7 =

20

21

FRAO DE FRAO A preposio de , quando colocada entre duas fraes, significa multiplicao por. Exemplos:

a) 5

4 de

5

3 =

5

4 x

3

2 =

15

8


Gestor da Qualidade

7

b) 7

3 de

2

1 =

7

3 x

2

1 =

14

3

DIVISO

Vamos calcular: 2

1 :

6

1.

2

1

6

1

Dividindo a parte riscada )2

1( por

6

1 observamos que o resultado 3.

(3 partes), ou seja: a) 2

1 :

6

1 = 3

Agora observe a operao abaixo:

b) 2

1 :

6

1 =

2

1 x

1

6 = 3

Comparando a e b, conclumos que: para dividir uma frao por outra, basta multiplicar a primeira frao pela inversa da segunda. Exemplos:

a) 3

2 :

2

5 =

3

2 x

5

2 =

15

4

b) 9

7 :

5

1 =

9

7 x

1

5 =

9

35

c) 7

3 : 4 =

7

3 x

4

1 =

28

3

EXERCCIOS COMPLEMENTARES 1. Efetue as adies:


Gestor da Qualidade

8

a) 3

1 +

5

1 =

b) 5

4 +

3

1 +

6

7=

2. Efetue as subtraes:

a) 4

5 -

2

1=

b) 8

7 -

6

1=

3. Efetue:

Resolvido 3 + 4

1 =

4

12 +

4

1 =

4

13

a) 2 + 3

5=

b) 2

11 - 3 =

4. Efetue:

Resolvido 6

5 +2

3

1 =

6

5 +

3

7 =

6

5 +

6

14 =

6

19

a) 5

4 + 3

4

1=

b) 2

11 - 2

3

1 =

5. Efetua as multiplicaes:

a) 2

1 x

8

5 =

b) 5

3 x

2

1 =

6. Efetue:


Gestor da Qualidade

9

Resolvido 3 x 2

1 =

1

3 x

2

1 =

2

3

a) 8

1 x 5 =

b) 3 x 5

2 =

7. Simplifique antes de efetuar as operaes:

a) 7

3 x

3

2 =

b) 8

5 x

7

8 =

8. Calcule:

a) 2

1 de

5

3 =

b) 4

5 de 12 =

9. Efetue as Divises:

a) 0 : 6

5 =

b) 9

2 :

7

4=

10. Calcule:

Resolvido:

1

32

5

= 3

1 :

5

2 =

3

1 x

2

5 =

6

5

a)

3

54

7

= b)

523

=


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CAPTULO III

NMEROS DECIMAIS Frao Decimal Chama-se frao decimal toda frao cujo denominador 10 ou potncia de 10 (100, 1000, ...) . Exemplos:

a) 10

7 =

b) 100

3 =

c) 1000

27 =

Nmeros Decimais As fraes Decimais podem ser escritas sob a forma de nmeros decimais. Assim:

Fraes Decimais Nmeros Decimais

10

7

0,7

100

3

0,03

1000

27

0,027

Nos nmeros decimais, a vrgula separa a parte inteira da parte decimal. Exemplos: Parte inteira 0,7 Parte decimal Parte inteira 15,431 Parte decimal Leitura de um nmero decimal Para ler um nmero decimal, procedemos do seguinte modo: 1 Lem-se os inteiros. 2 L-se a parte decimal, seguida da palavra:

dcimos se houver uma casa decimal; centsimos se houver duas casas decimais; milsimos se houver trs casas decimais.


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Exemplos:

a) 5,3 - l-se: cinco inteiros e trs dcimos. b) 1,34 - l-se: um inteiro e trinta e quatro centsimos. c) 12,007 - l-se: doze inteiros e sete milsimos.

Quando a parte inteira for zero, l-se apenas a parte decimal. Exemplos:

a) 0,4 quatro dcimos b) 0,38 trinta e oito centsimos

Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal Para transformar uma frao decimal em nmero decimal, escrevemos o numerador e separamos, direita da vrgula, tantas casas quantos so os zeros do denominador. Exemplos:

a) 10

42 = 4,2 = denominador 10 = um algarismo depois da vrgula.

b) 100

135 = 1,35 = denominador 100 = dois algarismos depois da vrgula.

c) 1000

135 = 0,135 = denominador 1000 = trs algarismos depois da vrgula.

Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal Procedimento:

O numerador o nmero decimal sem a vrgula. O denominador o nmero 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do nmero decimal

depois da vrgula. Exemplos:

a) 0,7 = 10

7 um algarismo depois da vrgula = um zero.

b) 8,34 = 100

834 dois algarismos depois da vrgula = dois zeros.

c) 0,005 = 1000

5 trs algarismos depois da vrgula = trs zeros.


1. Quais das fraes abaixo so decimais?

a) 20

7


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b) 5

3

c) 100

9

d) 10000

3

2. Transforme as fraes decimais em nmeros decimais:

a) 10

7 =

b) 10

517=

c) 10000

15238 =

3. Transforme os nmeros decimais em fraes decimais:

a) 0,4

b) 7,3

c) 4,29

d) 8,436

e) 68,37

f) 0,08

g) 7,016

h) 138,11


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CAPTULO IV

SISTEMA MTRICO DECIMAL

Definio

O SISTEMA MTRICO DECIMAL parte integrante do Sistema de Medidas. adotado no Brasil tendo

como unidade fundamental de medida o metro.

O Sistema de Medidas um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as

formas de medio.

Deste os tempos passados os povos criavam seu mtodo prprio de unidades de medidas. Cada um, desta

forma, tinha seus prprios mtodos de medio.

Com o comrcio crescente e em expanso na poca, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha

diversidade de sistemas de medidas e a troca de informaes entre os povos era confusa.

Assim foi necessrio que se adotasse um sistema padro de medidas em suas respectivas grandezas.

Ento no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos pases reuniu-se para discutir a forma de

adotar um sistema de medidas nico que facilitasse a troca de informaes entre os povos. Foi desenvolvido o sistema

mtrico decimal.

O metro

O termo metro oriundo da palavra grega mtron e tem como significado o que mede. Estabeleceu-se

no princpio que a medida do metro seria a dcima milionsima parte da distncia entre o Plo Norte e Equador,

medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padro foi criado no de 1799 e hoje baseado

no espao percorrido pela luz no vcuo em um determinado perodo de tempo.

As primeiras medies

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir

comprimentos. Porm nem sempre foi desta forma, h 3.000 anos, quando no se existia os recursos atuais, como o

homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?

Esta necessidade de medir espaos to antiga quanto necessidade de contar. Quando o homem comeou a

construir suas habitaes e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivncia e desenvolvimento

econmico, que se fazia necessrio medir espaos, ento houve ai a necessidade de se medir espaos.

Desta forma, para medir espaos o homem antigo, tinha como base seu prprio corpo, por isto que surgiram:

polegadas, a braa, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda so usadas at hoje, como o caso da polegada.

H algum tempo, o povo egpcio usava como padro para comprimento, o cbito, que a distncia do

cotovelo a ponta do dedo mdio.

Como as pessoas, claro, tem tamanhos diferentes, o cbito variava de uma pessoa para outra, fazendo com

que houvesse muita divergncia nos resultados finais de medidas.


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14

Ento, vendo este problema de variao de medidas, o povo egpcio resolveu adotar outra forma de medir o

cbito, passaram ento ao invs de usar seu prprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo

comprimento, assim deu-se origem ento o cbito padro.

Como era impossvel realizar medies em extenses grandes, o povo egpcio ento comeou a usar cordas,

para medir grandes reas. Tnhamos ns que eram igualmente colocados em espaos iguais, e o intervalo entre estes

ns, poderia medir x cbitos fixos. Desta forma de medio com cordas, originou-se o que chamamos hoje de

trena.

Mltiplos e submltiplos do Metro

Como o metro a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos mltiplos

e submltiplos.

Os nomes pr-fixos destes mltiplos e submltiplos so: quilo, hecto, deca, centi e mili.

Veja o quadro:

Os mltiplos do metro so usados para realizar medio em grandes reas/distncias, enquanto os submltiplos para

realizar medio em pequenas distncias.

Leitura das Medidas de comprimento Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado quadro de unidades. Exemplo: Leia 16,072 m

Aps ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, l-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu ltimo algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o ltimo algarismo. Veja outros exemplos de leitura: 8,05 km = L-se assim: Oito quilmetros e cinco decmetros


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72,207 dam = L-se assim: Setenta e dois decmetros e duzentos e sete centmetros 0,004 m = L-se assim: quatro milmetros * Transformar unidades Este um item que muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemtica, e justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. Observe a tabela abaixo:

Agora observe os exemplos de transformaes 1) Transforme 17,475hm em m

Para transformar hm (hectmetro) em m (metro) - observe que so duas casas direita - multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10). 17,475 x 100 = 1747,50 Ou seja 17,475 hm = 1747,50m 2) Transforme 2,462 dam em cm


Gestor da Qualidade

16

Para transformar dam (Decmetro) em cm (Centmetro) observe que so trs casas direita multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10). 2,462 x 1000 = 2462 Ou seja 2,462dam = 2462cm 3) Transforme 186,8m em dam.

Para transformar m (metro) em dam (decmetro) observe que uma casa esquerda dividimos por 10. 186,8 10 = 18,68 Ou seja 186,8m = 18,68dam 4) Transforme 864m em km. Para transformar m (metro) em km (Kilmetro) observe que so trs casas esquerda dividimos por 1000. 864 1000 = 0,864 Ou seja 864m = 0,864km Obs. Os quadros das medidas foram colocados em cada operao repetidamente, de propsito, para que haja uma fixao, pois fundamental conhecer decoradamente estas posies. EXERCCIOS COMPLEMENTARES

1 - Transforme em m:

a) 1,23 km b) 1003 mm

c) 0,02 km d) 51 cm


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e) 17 mm f) 206cm

g) 200 km h) 2,69 dm

i) 4,12 hm j) 511 dam

CAPTULO V

PORCENTAGEM A porcentagem de grande importncia no desenvolvimento de noes matemticas aplicadas ao mercado financeiro. Normalmente, a taxa representada pela letra i, onde a notao i% (i por cento) usada para representar a frao i/100 = i%. Assim: 20% de 200 = 20/100 * 200 = 0,2 * 200 = 40 P= i * p onde: P porcentagem e p o preo, valor ou quantidade Utilizando regra de trs:

100X = 200*20 100X = 4000 X = 4000/100 X = 40

Razo centesimal

Toda a razo que tem para consequente o nmero 100 denomina-se razo centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

200 = 100% X 20%


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18

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos seguinte definio:

Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.


1) Calcule:

a) 10% de 50 b) 5% de 50 c) 29% de 290

2) Numa empresa de 50 funcionrios, 20 so mulheres. Qual a porcentagem dos homens na empresa?

3) O Salrio de Jair igual a 50% do que ganha Carlos. A diferena dos salrios de R$350,00. Qual o salrio do Jair? 4) Uma fbrica possui 800 funcionrios dos quais 400 so homens, 320 mulheres e 80 menores. Qual a porcentagem de cada um? 5) O preo que consta na etiqueta de uma cala jeans de R$85,00. Essa cala entrou em promoo com desconto de 8%. Aps uma semana sem vend-la, novamente voltaram a acrescentar outro desconto de 8 %. Qual o preo atual da cala? 6) Numa loja, um carro que custa R$48.000,00 sofreu desconto de 10% no saldo de final de semana, como no foi vendido, o proprietrio aumentou o preo em 8% sobre o valor do saldo. Quanto custa o carro agora? 7) Dobro de x quantos % dele mesmo (x)

8) Uma pessoa investiu R$ 8.000,00 em aes. No primeiro ms, ela perdeu 40% do total investido e, no segundo ms, ela recuperou 50% do que havia perdido. Logo aps os dois meses, a quantia com que ela ficou igual a: (Questo 33 concurso Secretrio Escola 2002).


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CAPTULO VI

Grandezas Diretamente ou Inversamente Proporcionais Uma grandeza pode ser proporcional ou inversamente proporcional, a duas ou mais grandezas. Ser proporcional quando a variao da primeira grandeza levar a segunda a variar no mesmo sentido ou caso seja sentido diferente ser inversamente. Representa-se diretamente proporcional as setas no mesmo sentido: e, representa-se inversamente proporcional as setas no sentido contrrio Exemplos:

Quantidade de metros de fio e preo diretamente proporcional Velocidade e tempo inversamente proporcional

Salrio e nmero de horas de trabalho diretamente proporcional

Tempo de construo e operrios inversamente proporcional

Utiliza-se regra de trs simples ou composta, multiplicando em X quando for diretamente proporcional ou multiplica-se reto ou multiplica-se em x aps inverter a segunda frao. Problemas: a) Um funcionrio recebe R$ 850,00 por ms de trabalho. Quanto receber por 3 meses?

1X = 850*3 X = 2550

1 X= 2550 Resposta: R$ 2.550,00

b) Dois pedreiros levam 6 dias para realizar um determinado trabalho, quantos dias levariam para fazer o mesmo trabalho se tivessem mais 2 pedreiros.

4X = 2*6 4X = 12 X = 12/4 X = 3 Resposta: 3 dias

c) Na fabricao de 20 camisas, 8 mquinas gastam 4 horas. Para 4 mquinas produzirem 15 camisas, quantas horas gastam?

R$ Ms 850 1 = X 3

Pedreiros Dias 2 6 = 4 X

Camisas Mquinas Horas 20 8 4 15 4 X

X * 4 * 20 = 4 * 8 * 15

80 X = 480

X = 480 / 80

X = 6


Gestor da Qualidade

20


a) Se 8 metros de tecido custam R$ 156, 00, qual o preo de 12 m de tecidos?

b) Viajando de automvel velocidade de 60 Km/h, eu gastaria 4 horas para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 Km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

c) Um operrio ganha R$ 396,00 por 12 dias de trabalho. Quanto receber por 25 dias de trabalho?

d) Uma obra construda em 90 dias por 12 operrios. Em quanto tempo essa obra seria construda por 15 operrios?

e) Uma torneira despeja num tanque 50 litros de gua em 20 minutos. Quantas horas levar para despejar 600 litros?

f) Se para imprimir 87.500 exemplares, 5 mquinas gastam 56 minutos, em quanto tempo 7 mquinas imprimiro 350.000 exemplares?

g) Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo 150 km por dia. Quantos dias sero necessrios para fazer a mesma viagem, percorrendo 200 km por dia?

BIBLIOGRAFIA

ANDRINI, lvaro. Praticando Matemtica, 3 edio So Paulo: Editora do Brasil, 1989.

Consultas nos seguintes sites:

http://www.matematicamuitofacil.com/medias.html

http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/media-aritmetica

http://www.mundovestibular.com.br/articles/60/1/MEDIA-ARITMETICA/Paacutegina1.html

http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx

http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp

2 edio 2012

Coordenao e Orientao Pedaggica: rica Simoni Pereira Divino

apostila matemática básica 2011 2012

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