apostila matemática básica 1 º grau

8/14/2019 Apostila Matemtica Bsica 1 Grau

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MATEMTICA - 1GRAU

CONJUNTOSRELAES

- pertinncia:Os conjuntos so representados por letras maisculas e os elementos por

letras minsculas. Para indicarmos que um elemento x pertence a um conjunto A,escrevemos: x E A (l-se: x pertence a A). Para indicarmos que o elemento nopertence, apenas riscamos o sinal de pertence com uma barra.

- incluso:Observe os conjuntos A = {2,3,4} e B = {0,1,2,3,4,5}. Notamos que

qualquer elemento de conjunto A tambm elemento do conjunto B. Dizemos ento

que A est contido em B ou A um subconjunto de B. Indica-se A C B. Se existirpelo menos um elemento de A que no elemento de B, dizemos que A no estcontido em B e se indica por A B.

A relao de pertinncia (E) e a relao de incluso (C) so diferentes, pois: apertinncia relacionam um elemento com um conjunto, enquanto a inclusorelaciona um conjunto com outro conjunto.

OPERAES:- unio:Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um

conjunto C, formado pelos elementos que pertemcem a A ou pertencem a B, temos:

C = {0,1,2,3,4,5,6}. O conjunto C, assim formado, denomina-se reunio ou uniode A e B, que se indica A U B (l-se: A unio B). Assim:

A = {0,1,2,3}B = {2,3,4,5,6}C = {0,1,2,3,4,5,6}Quando se trata de 3 ou mais conjuntos, o conjunto reunio obtido do

mesmo jeito. Ex:A = {0,2}B = {1,2,7,10}C = {0,5,10}A U B U C = {0,1,2,5,7,10}

- interseco:Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um

conjunto C, formado por todos os elementos comuns a estes dois conjuntos (quepertencem a A e a B), temos: C = {2,3}. O conjunto C, assim formado, denomina-se a interseco de A e B. Assim:

A = {0,1,2,3}B = {2,3,4,5,6}A inter B = {2,3}Para 3 ou mais conjuntos, o conjunto interseco formado pelos elementos

comuns a todos os conjuntos. Ex:A = {2,3,5,7}B = {3,6,7,9}


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C = {1,3,5,7,9}A inter B inter C = {3,7}

- complementar:

Sejam os conjuntos A = {2,3,5} e B = {0,2,3,4,5,8}. Notamos que A C B (A um subconjunto de B). Vamos formar um novo conjunto, considerando oselementos de B que no pertencem ao conjunto A, o qual indicaremos juntamentecom um trao acima da letra. = {0,4,8}. Esse conjunto denominadocomplementar de A em B.

Dados dois conjuntos A e B, de modo que A C B, denomina-se complementarde A em B o conjunto formado pelos elementos de B que no pertencem a A.Ento:

A = {1,6}B = {1,2,3,6,8} = {2,3,8}

- diferena:Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um

conjunto C, formado por todos os elementos de A que no pertencem a B, temos C= {0,1}. O conjunto C, assim formado, denomina-se diferena entre A e B, que seindica A - B. Assim:

A = {0,1,2,3}B = {2,3,4,5,6}A - B = {0,1}

CONJUNTOS NUMRICOS (N,Z,Q,R)

CONJUNTO N (NMEROS NATURAIS)-

adio:Adio a operao que faz corresponder a um par ordenado de nmeros

dados um nico nmero, que a soma do primeiro com o segundo. Os nmerossomados so denominados parcelas e o resultado denominado soma. Para somar-se 3 ou mais nmeros deve-se somar primeiro dois, depois soma-se o resultadocom o terceiro. Ex: 12+34+41 = 46+41 = 87.

As propriedades estruturais da adio so:a)fechamento: a soma de dois nmeros naturais sempre um nmero

natural. Ex: 8+4=12 se 8 E N, 4 E N, (8+4) E N;b)comutativa: a ordem das parcelas no altera a soma. Ex: 7+5=12,5+7=12.

c)elemento neutro: o elemento neutro da adio o zero. Adicionando 0 aum nmero natural, o seu resultado sempre o prprio nmero natural. Ex:7+0=7;

d)associativa: a adio de 3 parcelas pode ser feita, associando-se as duasprimeiras ou as duas ltimas parcelas, indiferentemente. Ex: 6+4+10 = 10+10 =20, 6+4+10 = 6+14 = 20;

As outras propriedades da adio so:e)cancelamento: se a+10 = b+10, ento a=b. Se x+4 = 5+4, ento x=5;f)aditiva: se a=b, ento a+10 = b+10. Se a=10 e b=5, ento a+b = 10+5


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- subtrao: a operao que determina a diferena entre dois nmeros. A diferena

entre dois nmeros naturais s existe quando o primeiro nmero maior ou igualao segundo. Assim, o 1 nmero o minuendo, o 2 o subtraendo eo resultado

chamado de diferena;

- multiplicao: a operao que consiste em adicionar parcelas iguais. Ex: na soma

5+5+5+5 existem 4 parcelas iguais, nesse caso o nmero 5. Na multiplicao, asentena ficaria 5.4. Tanto a soma quanto a multiplicao do o mesmo resultado(20), mas a multiplicao torna-se muito mais rpida quanto maior for o nmero deparcelas. Os nmeros que se multiplicam chamam-se fatores e o resultado damultiplicao o produto.

Convm notar que a multiplicao de qualquer nmero por 0 d 0 mesmo,pois significa que o nmero no foi somado nenhuma vez.

As propriedades estruturais da multiplicao so:a)fechamento: o produto de dois nmeros naturais sempre um nmeronatural. Ex: 5.2=10, 5 E N, 2 E N e (5.2) E N;

b)comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto. Ex: 5.3=15,3.5=15;

c)elemento neutro: o nmero 1 o elemento neutro da multiplicao porquequalquer nmero multiplicado por 1 d como resultado o prprio nmero. Ex:6.1=6, 19991.1=19991;

d)associativa: numa multiplicao de 3 fatores, pode-se associar os doisprimeiros ou os dois ltimos, indiferentemente. Ex: 5.2.3=10.3=30, 5.2.3=5.6=30;

e)distributiva da multiplicao em relao adio (ou subtrao): oproduto de um nmero por uma soma (ou diferena) pode ser obtido multiplicando-

se o nmero por cada um dos termos da soma (ou diferena) e adicionando-se (ousubtraindo-se) os produtos parciais. Ex: (3+5).2=3.2+5.2, 4.(7-3)= 4.7-4.3;

Outras propriedades:f)cancelamento: se a.5 = 4.5, ento a=4. Se x.2=y.2, ento x=y. Se o fator

que aparece nos dois membros 0, no vale o cancelamento: 2.0=5.0, ento 2=5,o que falso.

g)multiplicativa: se a=b, ento a.5=b.5. Se a=3 e b=2, ento a.b=3.2;

- diviso: a operao que divide exatamente ou aproximadamente dois um nmero

pelo outro. O nmero que dividido o dividendo. O nmero pelo qual o dividendo

dividido o divisor. O resultado o quociente e o que sobra o resto.A diviso exata quando o resto igual a zero. Ex: 20 : 5 = 4. Nem semprepodemos realizar a diviso exata em N e no existe a diviso por zero. Ex: nadiviso 10 : 0, vemos que no h nmero que multiplicado por 0 d 10, poisqualquer nmero multiplicado por zero igual a zero mesmo.

A diviso aproximada ou inexata quando o resto diferente de zero. Deve-senotar que o resto deve ser sempre menor que o divisor, do contrrio a conta esterrada. Ex: 43 : 8 = 5 e sobram 3.

A nica propriedade estrutural que vale na diviso a distributiva da divisoexata em relao adio (ou subtrao). Ex: (20+12):4=20:4+12:4, (18-6):6=18:6-6:6.

- potenciao:


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um produto de fatores iguais: 3.3.3.3.3 = 3 elevado a 5 = 243. O fatorque se repete denomina-se base, o nmero que indica quantas vezes o fator serepete o expoente e o resultado chama-se potncia.

Veja algumas convenes e casos particulares da potenciao:

a)toda potncia de expoente 1 igual base (a elevado a 1 = a);b)toda potncia de expoente 0 igual a 1 (a elevado a 0 = 1);c)uma potncia de base zero e expoente diferente de zero igual a zero

(0=0);d)uma potncia de base 1 e expoente diferente de zero igual a 1 (1=1);e)qualquer potncia de base 10 igual ao algarismo 1 seguido de tantos

zeros quantas forem as unidades do expoente (10 elevado a 2 = 100, 10 elevado a4 = 10000);

- raiz quadrada:Para se achar a raiz quadrada de um nmero natural, basta achar um

segundo nmero natural que elevado ao quadrado seja igual o nmero dado. Ex:raiz de 9 = 3, pois 3=9, raiz de 144=12, pois 12=144. Nem todo nmero natural quadrado de outro; por exemplo, 7 no quadrado de nenhum nmero natural.

Os nmeros naturais que so quadrados de outros denominam-se nmerosquadrados perfeitos e somente eles possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, osnmeros 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 so quadrados perfeitos.

- expresses numricas:Toda expresso numrica pode ser expressada por um nico nmero. Basta

efetuar as operaes indicadas na expresso. Essas operaes devem serexecutadas em uma determinada ordem:

1) efetuamos as potenciaes e as radiciaes;

2) efetuamos as multiplicaes e as divises, obedecendo a ordem em queaparecem (da esquerda para a direita);

3) efetuamos as adies e as subtraes, obedecendo a ordem em queaparecem;

Se na expresso houver parnteses, colchetes ou chaves, a simplificaodeve comear pelas expresses contidas no interior de cada sinal de associao, apartir do mais interno para o mais externo e s depois de eliminarmos todos eles que comeamos a simplificar a expresso.

Calcular o valor das expresses numricas:1) 2^5 +2.(3:9-1) == 32+2.(27:9-1) = 32+2.(3-1) =

= 32+2.2 = 32+4 = 36

2) 5 -4.[16+(2 -3).2] == 125-4.[16+(8-3).2] == 125-4.[16+5.2] = 125-4.[16+10] == 125-4.26 = 125-104 = 21

CONJUNTO Z(Ns INTEIROS POSITIVOS E NEGATIVOS)

No conjunto Z a adio feita normalmente, somente h o acrscimo de maisuma propriedade, a do elemento oposto o simtrico, pela qual 7+(-7)=0, -5+5=0.


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Quando numa adio, acontecer casos desse tipo, podemos eliminarmos essasparcelas. Ex: -10+3-8-3 = -10-8 = -18.

A subtrao feita invertendo-se o sinal do subtraendo. Ex: 5-(+4) = 5-4=1,5-(-2) = 5+2=7. No conjunto N, se o minuendo fosse menor que o subtraendo, a

subtrao era impossvel (4-6=?), mas no conjunto Z possvel (4-(+6)=4-6=-2).Assim, a subtrao e a adio podem ser consideradas uma nica operao, a

adio algbrica, cujo resultado chama-se soma algbrica.Numa soma algbrica, os parnteses que contem uma soma de nmeros

inteiros e que so precedidos pelo sinal +, podem ser eliminados juntamente com osinal que o precedem. Ex: 6+(-3+1) = 6-3+1=7-3=4. Se forem precedidos pelosinal - , podem ser eliminados juntamente com o sinal que o precedem e trocando-se os sinais dos nmeros que esto em seu interior. Ex: 6-(-3+1) = 6+3-1=9-1=8.

Na muliplicao e na diviso, a nica diferena o jogo de sinais. Se os sinaisforem iguais, o sinal do resultado vai ser positivo, se forem diferentes, o sinal doresultado vai ser negativo. Numa multiplicao de 3 ou mais fatores, o jogo de

sinais e a multiplicao vo sendo feitos de dois em dois. Ex: +6.+3=+18, -6.-3=+18, 5.-4.+2=-20.+2=-40.As propriedades estruturais da multiplicao permanecem as mesmas.Na potenciao, as regras so as mesmas que no conjunto N, exceto no jogo

se sinais. Quando o expoente for par, qualquer que seja o sinal da base, o sinal doresultado sempre positivo. Se o expoente for mpar, o sinal do resultado sersempre igual ao da base. Ex: -2=+4, -2=-8.

No conjunto Z, a potenciao apresenta 4 propriedades:a)produto de potncias de mesma base: conserva-se a base e soma-se os

expoentes: (-2).(-2)^4 = (-2)^6;b)quociente de potncias de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os

expoentes: (6)^5 : (6) =6;

c)potncia de uma potncia: conserva-se a base e multiplicam-se osexpoentes: [(10)]^5 = (10)^10;

d)potncia de um produto (ou de um quociente): eleva-se cada fator potncia considerada: [(6).(-5)] = (6).(-5);

As raizes quadradas no conjunto Z s so possveis quando o radicando forpositivo, pois nenhum nmero elevado ao quadrado resulta num nmero negativo.Ex: raiz de 9 = 3, raiz de -9 = ?. As razes possuem duas respostas (3=9 e -3=9), mas consideramos geralmente somente a resposta positiva.

CONJUNTO Q

(Ns RACIONAIS POSITIVOS E NEGATIVOS)Todas as operaes so idnticas as do conjunto Z. Para representar-sedecimalmente um nmero fracionrio, s dividir o numerador pelo denominador.Quando a diviso apresenta resto e algum algarismo ou grupo de algarismos serepetem indefinidamente no quociente, temos uma dzima peridica.

A dzima peridica representada por algumas repeties do perodo e depoisreticncias. Um nmero decimal no se altera quando se acrescentam ou sesuprimem um ou mais zeros direita de sua parte decimal.

Para escrever-se um nmero decimal em forma fracionria s seguir oesquema:

- o numerador o nmero decimal sem a vrgula;- o denominador o algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as

ordens decimais do nmero.


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A nica diferena na multiplicao a incluso da propriedade do elementoinverso, segundo a qual multiplicando-se um nmero (x) pelo seu inverso (1/x) oresulatdo 1.

A nica diferena em relao potenciao o caso em que o expoente um

nmero inteiro negativo. Nesse caso, a potncia igual ao inverso do nmero dado,elevado ao mesmo expoente, agora positivo. Ex: 10-= 1/10=1/100, 5^-3 = 1/5= 1/125.

CONJUNTO R(Ns REAIS (RACIONAIS E IRRACIONAIS))

As operaes do conjunto Q so todas vlidas no conjunto R.

EQUAES E PROBLEMAS DO 1 GRAU COM UMA VARIVEL

Denomina-se equao toda sentena matemtica aberta (desconhecimentode um ou mais termos) expressa por uma igualdade. Toda letra que representa umelemento desconhecido de uma equao denominada varivel ou incgnita daequao. Conjunto universo um conjunto formado por todos os valores pelosquais a varivel pode ser substituda e conjunto soluo ou verdade o conjuntoconstitudo por todos os elementos do conjunto universo dado, que tornamverdadeira a equao.

Todos os elementos do conjunto soluo so as razes da equao. A equaopode no ter razes num determinado conjunto universo. Ex: x+1/3=0 U=Z S=,porque a equao no tem raiz no conjunto Z, pois o nmero que torna verdadeiraa equao -1/3 e -1/3 no pertence a Z.

Numa equao, pode-se mudar qualquer termo de um membro para o outro,

desde que se troque o sinal desse termo. Ex: x+5=3; x=3-5; x=-2. Dividindo-se osdois membros da equao pelo coeficiente da varivel (n que acompanha avarivel e quando esta diferente de zero), obtm-se uma equao mais simplesque a primeira. Ex: 3x=12; x=4.

Quando todos os termos de uma equao tem o mesmo denominador, estepoder ser cancelado. Quando a varivel apresenta um sinal negativo, aconselhvel trocar esse sinal. Para fazer isso, s multiplicar por -1 ambos osmembros da equao. Ex: -x=7; x=-7.

Para se resolver uma equao do 1 grau, devemos antes eliminar todos osparnteses, colchetes e chaves. Depois, se a equao contiver nmerosfracionrios, reduzir as fraes a termos semelhantes. Depois reduzir os termos

semelhantes at chegar equao reduzida a forma ax=b. A dividem-se os doismembros por a e descobre-se o valor de x.Resolver a equao:1/2(x+3)-1/5(x-1)=2, sendo U=Qel. par. x/2+3/2-x/5+1/5=2red. fr. 5x/10+15/10-2x/10+2/10=20/10crt. dn. 5x+15-2x+2=20rd. trm. 3x=3simp. x=1 , ento S={1}

Alguns casos particulares:


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1) quando a equao chega a 0x=n (n=nmero qualquer dif. de 0), e oconjunto universo Q, o conjunto S vazio, pois no existe valor racional de x quetorne a igualdade verdadeira;

2) quando a equao chega a 0x=0, sendo U=Q, S=Q, pois qualquer valor

racional de x torna a equao verdadeira.

Alguns problemas:1) A soma do dobro de um nmero com 17 igual a 45. Calcular esse

nmero.nmero procurado - xequao - 2x+17=45resoluo - 2x=45-17 - 2x=28 - x=14

2) A metade de um nmero aumentada de 15 igual ao dobro do mesmonmero menos 45. Determinar esse nmero.

nmero procurado - xequao - x/2+15=2x-45resoluo - x/2+30/2=4x/2-90/2 - x+30=4x-90 - x-4x=-90-30 - (-1).-3x=-

120.(-1) - 3x=120 - x=40

3) A soma de dois nmeros 420. O maior deles igual ao menor mais 60.Determinar esses dois nmeros.

nmero menor - x n maior - x+60equao - x+(x+60)=420resoluo - x+x+60=420 - 2x=360 - x=180 - x+60=240n menor = 180 n maior = 240

4) A soma de dois nmeros 56. O maior deles igual ao triplo do menor.Determine os dois nmeros.

n menor - x n maior = 3xequao - x+3x=56resoluo - 4x=56 - x=14n menor = 14 n maior = 42

5) A soma de dois nmeros 97, e a diferena entre eles 31. Quais so osdois nmeros ?

n maior - x n menor - x-31equao - x+(x-31)=97

resoluo - x+x-31=97 - 2x=97+31 - 2x=128 - x=64n maior = 64 n menor = 33

6) A soma de 3 nmeros 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em7 unidades, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar os 3nmeros.

1n - x 2n - x+7 3n - x+7+3equao - x+(x+7)+(x+10)=47resoluo - x+x+7+x+10=47 - 3x=47-17 - 3x=30 - x=101n = 10 2n = 17 3n = 20

INEQUAES DO 1 GRAU COM 1 VARIVEL


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Toda sentena matemtica aberta, expressa por uma desigualdade, umainequao. O processo de resoluo muito parecido com o da equao do 1 grau,exceto quando multiplicamos ambos os termos por -1 o sinal da equao inverte-se.

Exs:

Resolver a inequao:3(2x-1)+10>7(x+2), sendo U=Qel. par. 6x-3+10>7x+14rd. trm. 6x-7x>14+3-10-x>+7mult. -1 x


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isol. x - x+y=4 - x=4-ysubs. out. eq. - 2x+y=72(4-y)+y=7

8-2y+y=7-y=-1 - y=1determ. x - x+y=4 - x+1=4 - x=3S = {(3,1)}Notamos que o conjunto soluo formado pelo par ordenado x e y.

c)mtodo da comparao:Em primeiro lugar, determinamos o valor de x na primeira e na segunda

equaes. Depois, formamos outra equao igualando os dois valores.Determinamos o valor de y. Com o valor de y, determinamos o valor de x emqualquer equao.

Resolver o mesmo sistema:da 1, vlr de y - x+y=4 - y=4-xda 2, vlr de y - 2x+y=7 - y=7-2xigual. vlrs - 4-x=7-2xdeterm x - -x+2x=7-4+x=3determ y - x+y=4 - 3+y=4 - y=1S = {(3,1)}

- resoluo grfica:A resoluo grfica assim: pega-se a primeira equao, substitui-se nela

valores de x achando-se valores de y, formando pares ordenados. Faz-se o mesmo

com a 2 equao.Colocam-se os pontos da 1 equao no plano cartesiano e ligam-nos

formando uma reta. O mesmo com a 2 equao. O ponto onde as duas retas secruzaram a soluo do sistema.

RAZES, PROPORES E GRANDEZAS PROPORCIONAISPROPRIEDADES DAS PROPORES

Estudemos primeiro alguns elementos das propores. Tomemos por base aproporo 6/9=12/18. Os nmeros 9 e 12 so os meios da proporo e os nmeros6 e 18 so os extremos. O 6 e o 12 so os antecedentes da proporo e os nmeros

9 e 18 os consequentes.A propriedade fundamental das propores tem tudo a ver com esseselementos. Diz o seguinte: o produto dos extremos igual ao produto dos meios, evice-versa. Isso vale para qualquer proporo. Na proporo estudadaanteriormente, 6/9=12/18, o produto dos extremos (6 e 18) igual a 108 e oproduto dos meios (9 e 12) tambm igual a 108. A proporo est correta.

Essa propriedade extremamente til em certos casos, como no teorema deTales, como veremos mais adiante, e na procura de um elemento desconhecido. Ex:Seja a proporo 10/5 = 8/x. Para determinarmos x aplicamos a propriedadefundamental: 10x=40 - x=4.

As propores apresentam muitas outras propriedades, tais como:a)1 propriedade: diz que em toda proporo, a soma (ou a diferena) dos

dois primeiros termos est para o primeiro (ou para o segundo), assim como a


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soma (ou a diferena) dos dois ltimos termos est para o terceiro (ou para oquarto). Ex: seja a proporo 5/4=10/8 - 5+4/4=10+8/8 - 9/4=18/8 - 72=72.

b)2 propriedade: diz que em toda a proporo, a soma (ou a diferena) dosantecedentes est para a soma (ou a diferena) dos consequentes, assim como

cada antecedente est para seu consequente. Ex: 10/8=5/4 - 10+5/8+4=5/4 -15/12=5/4 - 60=60.

Vejamos algumas aplicaes das propriedades:1) Determinar x e y na proporo x/y=3/4, sabendo-se que x+y=28.resoluo: x+y/y=3+4/4 - 28/y=7/4 - 7y = 112 - y=16 - x+16=28 - x=12

2) A razo entre dois nmeros de 5 para 2, e a diferena entre eles 60.Determine-os.

representao: x/y=5/2x-y=60

resoluo: x-y/x=5-2/5 - 60/x=3/5 - 3x=300 - x=100 - 100-y=60 - y=403) Sabendo-se que a/3 e b/2 e a+b=30, determinar a e b.resoluo: a/3=b/2 - a+b/3+2=b/2 - 30/5=b/2 - 5b=60 - b=12 - a+12=30

a=18

Para resolver-se propores mltiplas (com 3 ou mais razes) aplica-se a 2propriedade.

Ex: Seja a proporo x/3=y/5=z/2 sabendo que x+y+z=200. Determinar x, ye z:

resoluo de x: x+y+z/3+5+2=x/3 - 200/10=x/3 - 10x=600 - x=60.resoluo de y: x+y+z/3+5+2=y/5 - 200/10=y/5 - 10y=1000 - y=100

resoluo de z: 60+100+z=200 - z=40

REGRA DE TRS SIMPLESAntes de aprendermos a regra de trs simples, convm aprendermos algo

sobre grandezas proporcionais:- grandezas diretamente proporcionais: so diretamente proporcionais

quando ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde o dobro, o triplo ... da outra. Arazo entre os dois valores de uma igual razo entre os dois valorescorrespondentes da outra;

Ex: quant (kg) preo (R$)

1 102 203 30

1/2=10/20, 2/3=20/30, etc.

- grandezas inversamente proporcionais: so inversamente proporcionaisquando ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde a metade, a tera parte ... daoutra. A razo dos dois valores de uma igual ao inverso da razo dos dois valorescorrespondentes da outra;

Ex: veloc (km/h) tempo (h)40 680 3120 2


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40/80 e 6/3,40/120 e 6/2,80/120 e 3/2Vemos que uma razo igual ao inverso da outra:40/80=3/6, 40/120=2/6, 80/120=2/3

Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam dois valores deuma grandeza A com dois valores de uma grandeza B, chamados problemas deregra de trs simples. Resolver esses problemas significa determinar um dessesquatro valores, conhecendo os outros 3.

Representaremos por a1 e a2 os dois valores da grandeza A e por b1 e b2 osdois valores da grandeza B. Quando as grandezas so diretamente proporcionais,escrevemos a proporo: a1/a2=b1/b2. Quando as grandezas so inversamenteproporcionais, escrevemos a proporo a1/a2=b2/b1. Vejamos alguns exemplos:

1) Uma mquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peas.Quantas peas iguais a essas sero produzidas pela mquina em 2h30min ?

tempo produo40 100150 x

As grandezas so diretamente proporcionais, pois, dobrando-se o tempo defuncionamento, o nmero de peas produzidas tambm dobrar. Ento:

resoluo: 40/150=100/x - 40x-15000 - x=375.

2) Para realizar um servio de terraplanagem, 4 mquinas levam 15 dias. Emquantos dias 6 mquinas iguais s primeiras fariam o mesmo servio ?

n maq tempo4 156 x

As grandezas so inversamente proporcionais, pois, dobrando-se o nmerode mquinas, o tempo gasto para fazer o mesmo servio fica reduzido metade.Ento:

resoluo: 4/6=x/15 - 6x=60 - x=10

PORCENTAGEMDenomina-se razo centesimal ou porcentual toda razo cujo consequente

igual a 100. Uma razo comum, como por exemplo 3/4, pode ser transformada emrazo porcentual, procedendo-se da seguinte maneira: 3/4 - 0,75 - 75/100 - 75%.Vamos ver agora alguns exemplos de problemas relacionados com porcentagem.

1) Calcular 12% de R$ 500,00.12% = 12/100 = 0,1212% de 500 - 0,12.500 = 60R$ 60,00

2) O preo de uma mercadoria de R$ 65.000,00. Para pagamento a vista,h um desconto de 15%. Calcular a quantia referente ao desconto e o preo damercadoria para pagamento a vista.

15% de 65000 - 0,15.65000 = 975065000-9750 = 55250O desconto de R$ 9.750,00.O preo de R$ 55.250,00.


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3) O salrio de uma pessoa de R$ 800,00 e sofreu um reajuste de 52,5%.Qual o novo salrio da pessoa ?

52,5% de 800 + 800800.1,525 = R$ 1220,00

4) 324 alunos representam quantos % de 1200 alunos ?324/1200=x/100 - 1200x=32400 - 12x=324 - x=324/12 - x=27 - 27%

5) Ao comprar um aparelho, cujo preo era de R$ 1500,00, obtive umdesconto de R$ 180,00. De quantos % foi o ndice de desconto ?

180/1500=x/100 - 15x=180 - x=180/15 - x=12 - 12%

6) Em outubro de 1984, o litro de gasolina custava R$ 1,12. Em novembro domesmo ano, houve um aumento e o litro de gasolina passou a custar R$ 1,38. Qualfoi a porcentagem do aumento ?

aumento = 1,38-1,12 = 0,260,26/1,12=x/100 - 1,12x=26 - x=26/1,12 = x=23,2 (aprox) - 23,2%

7) R$ 7200,00 representam 8% de uma quantia x. Quan o valor de x?7200/x=8/100 - 8x=720000 - x=90000 - R$ 90.000,00.

8) Na compra de um livro obtive desconto de R$ 30,00, o que representa15% do preo total do livro. Qual o preo total do livro ?

30/x=15/100 - 15x=3000 - x=200 - R$ 200,00

FRAES EQUIVALENTES

Duas ou mais fraes que representam a mesma parte de um todo soequivalentes. A propriedade fundamental das fraes equivalentes a que diz quemultiplicando (ou dividindo, se possvel), os termos de uma frao por um mesmonmero natural, diferente de zero, obtemos uma frao equivalente a frao dada.

Seja a frao 1/3. aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever oconjunto das fraes equivalentes a 1/3: C (1/3) = {1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15,6/18, 7/21 ...}.

O conjunto de fraes equivalentes a uma frao dada denomina-se classe deequivalncia dessa frao. Cada classe de equivalncia chamada nmero racional,cujo numeral qualquer frao da classe.

REGRA DE TRS COMPOSTAEstudaremos agora problemas que relacionam 3 ou mais grandezas:1) 4 operrios produze, em 10 dias, 320 peas de certo produto. Quantas

peas desse mesmo produto sero produzidas por 10 operrios em 16 dias ? op. n dias n peas

4 10 32010 16 x

Para verificar a proporcionalidade, consideremos separadamente a grandezaque possui a varivel com cada uma das outras grandezas. Assim:

- nmero de operrios e nmero de peas so grandezas diretamenteproporcionais.


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- nmero de dias e nmero de peas so grandezas diretamenteproporcionais.

Escrevemos a proporo igualando a razo que contem o termo desconhecidocom o produto das outras razes:

320/x=10/16.4/10 - 320/x=1/4 x=1280 - sero produzidas 1280peas.

2) 18 operrios, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado servio em12 dias. Em quantos dias, 12 operrios que trabalham 9 horas por dia faro servioidntico ?

n op n horas n dias18 7 1212 9 x

- nmero de operrios e nmero de dias so grandezas inversamenteproporcionais, ento invertemos a razo.

- nmero de horas e nmero de dias so grandezas inversamenteproporcionais, ento invertemos a razo.12/x=12/18.9/7 - 12/x=6/7 6x=84 - x=14 - Em 14 dias.

EXPRESSES ALGBRICASMONMIOS E POLINMIOS

- monmios;Todo produto de nmeros reais, expresso ou no por variveis (letras),

denominado monmio. Num monmio, destacamos:a)a parte numrica, denominada coeficiente numrico;b)a varivel ou produto das variveis (inclusive, seus expoentes) denominada

parte literal.Ex: 2x (2-coef.num. x-parte lit), -2/5mn (-2/5-coef.num mn-literal).Quando existe apenas a parte literal (x, y...), o seu coeficiente numrico 1,

se for positiva, e -1, se for negativa. Isso porque o nmero 1 o elemento neutroda multiplicao. Quando o coeficiente de um monmio zero, o monmiorepresenta sempre o nmero real zero e chamado monmio nulo (0x=0, 0ab=0).Todo nmero real um monmio sem parte literal (-1/3, 5, -8).

Dois ou mais monmios so denominados semelhantes quando tem a mesmaparte literal, ou no tem parte literal. O grau de um monmio, com coeficiente nonulo, dada pela soma dos expoentes da parte literal.

Vejamos algumas operaes com monmios:

a)soma algbrica:Numa expresso algbrica, se todos os monmios ou termos sosemelhantes, podemos simplificar a expresso, somando algebricamente oscoeficientes e mantendo a parte literal. Ex: 6a+7a-10a-13a = -10a, -4mn+9mn-5mn=0mn=0

Quando somamos algebricamente os monmios semelhantes que existemnuma expresso, simplificando-a, dizemos que estamos reduzindo os termossemelhantes.

b)multiplicao, diviso e potenciao:Calculamos o produto (ou o quociente, ou a potncia) dos coeficientes

numricos. Depois calculamos o produto (ou o quociente, ou a potncia) das partesliterais, aplicando, quando possvel, a propriedade do produto (ou do quociente, ouda potncia) de potncias de mesma base.


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- polinmios:Polinmios so somas algbricas de monmios. Cada monmio que compe o

polinmio chama-se termo do polinmio. Quando temos um polinmios em que haja

termos semelhantes, podemos reduzi-lo, para torn-lo menor: x+5xy-y-xy+4y =x+4xy+3y.

O grau do polinmio reduzido no nulo dado pelo seu termo de maior grau,no nulo. Vejamos algumas operaes com polinmios:

a)soma algbrica:Eliminam-se os parnteses e reduz-se os termos semelhantes;b)multiplicao:Para multiplicarmos um polinmio por outro polinmio, devemos multiplicar

cada termo de um deles por todos os termos dos outros e reduzir os termossemelhantes, se for possvel.

c)diviso:

Para dividirmos um polinmio por um monmio, no nulo, devemos dividircada termo do polinmio por esse monmio.Para dividirmos um polinmio por outro polinmio, devemos fazer o seguinte:

seja determinar (3x+2x-4):(x-1)1) dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor,

obtendo o primeiro termo do quociente.2) multiplicamos o 1 termo do quociente pelo divisor inteiro e escrevemos

com sinal invertido abaixo do dividendo, da esquerda para a direita.3) fazemos a reduo dos termos semelhantes, no dividendo.4) repetimos a operao, considerando como dividendo o primeiro resto

parcial.5) prosseguimos da mesma forma at o primeiro termo do resto no ser

divisvel pelo 1 termo do divisor.Quando os polinmios no forem completos, devemos escrev-los na forma

geral: x^4-1 fica x^4 + 0x + 0x + 0x - 1

OPERAES COM EXPRESSES ALGBRICASAs operaes com expresses algbricas resumem-se em determinar o seu

valor numrico e determinar o valor numrico para o qual a expresso algbricafracionria no representa nmero real:

- determinar o valor numrico:Para determinar o valor numrico, devemos substituir a varivel pelo valor

que o exercico declara. Ex:Determinar o valor numrico da expresso a-2b, quando a=-3 e b=-2:(-3)-2(-2) = 9+4 - V.N. = 13

- determinar o valor para o qual a expresso algbrica fracionria no retornanmero real:

Do modo prtico, igualamos o seu denominador a zero, e resolvemos aequao obtida. Ex:

Qual o valor real de x para o qual a expresso algbrica x-3/2x-1 norepresenta nmero real ?

2x-1=0 - 2x=1 - x=1/2


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PRODUTOS NOTVEISOs principais produtos notveis so:a)quadrado da soma de dois termos: igual ao quadrado do primeiro termo,

mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo

termo: (a+b) = a+2ab+b;b)quadrado da diferena de dois termos: igual ao quadrado do primeiro

termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado dosegundo: (a-b) = a-2ab+b;

c)produto da soma de dois termos pela sua diferena: igual ao quadrado doprimeiro termo menos o quadrado do segundo: (a+b).(a-b) = a-b;

d)cubo da soma de dois termos: igual ao cubo do primeiro termo, mais 3vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais 3 vezes o produto doprimeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo: (a+b) = a +3ab + 3ab + b;

e)cubo da diferena de dois termos: igual ao cubo do primeiro termo,

menos 3 vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais 3 vezes oproduto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:(a-b) = a - 3ab + 3ab - b;

FATORAOFatorar um nmero ou uma expresso significa decompor o nmero ou a

expresso num produto indicado. Existem muitos casos de fatorao de polinmios,sendo que o primeiro caso deve ter prioridade de resoluo sobre os outros.

a)1 caso: colocao de um fator comum em evidncia:Coloca-se em evidncia o MDC entre os termos do polinmio, abre-se os

parnteses, divide-se cada termo do polinmio pelo MDC e vai-se colocando dentro

dos parnteses. Ex:5x+10y = 5(x+2y)a-a = a(a-1)

b)2 caso: agrupamento: possvel quando o polinmio tem 4 termos e no existe um fator comum

aos quatro, mas existem um fator comum para dois termos e outro fator comumdiferente do primeiro para os outros dois termos. Ex:

ab-ac+2b-2c = a(b-c)+2(b-c) = (a+2)(b-c)Note que os parnteses tem que ser iguais nos dois fatores comuns, para

podermos reunirmos os fatores comuns em um parntese e multiplicarmos pelo

outro.

c)3 caso: diferena de dois quadrados:Quando h uma diferena de dois quadrados, a fatorao d-se multiplicando

a soma das razes pela diferena das razes: a-b = (a+b)(a-b)

d)4 caso: trinmio do quadrado perfeito: possvel quando o produto entre as razes dos quadrados da expresso

vezes 2 for igual ao termo no quadrado. Essa fatorao feita elevando-se aoquadrado a soma (ou a diferena) entre as razes. Ex:

a+10ab+25b = (a+5b)x-4xy+4y = (x-2y)


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MMC E MDC DE POLINMIOS

O mmc dos nmeros dados o produto dos fatores comuns e no comuns,tomados cada um com o seu maior expoente. O mdc dos nmeros dados o

produto dos fatores comuns, tomados cada um com o seu menor expoente.O mmc e o mdc de polinmios determina-se fatorando ambos os polinmios e

do jeito explicado acima. Ex:Determinar o mdc e o mmc dos polinmios 4x e 6x-12x4x = 2.x6x-12x = 6x(x-2) = 2.3.x(x-2)mdc (4x, 6x-12x) = 2xmmc (4x, 6x-12x) = 2.3.x(x-2) = 12x(x-12)

Determinar o mmc e o mdc dos polinmios x-4 e x+2xx-4 = (x+2)(x-2)

x+2x = x(x+2)mdc (x-4, x+2x) = x+2mmc (x-4, x+2x) = x(x+2)(x-2)

Determinar o mdc e o mmc das expresses x-a, x-a e x-2ax+ax-a = (x-a)x-a = (x-a)(x+a)x-2ax+a = (x-a)mdc = x-ammc = (x-a).(x+a)

RADICAISCLCULOS COM RADICAIS

- simplificao de radicais:Simplificar um radical significa transform-lo em uma expresso mais simples

e equivalente ao radical dado. Existem vrios casos de simplificao de radicais.Vejamos alguns:

a)1 caso:Podemos dividir o ndice do radical e os expoentes de todos os fatores do

radicando por um mesmo nmero diferente de zero. Ex: 6raiz de10 = 6:2raizde10:2 = 3raiz de10, 12raiz de2^6.x^9 = 4raiz de2.x.

Existem casos em que devemos fatorar o radicando para, em seguida, efetuar

a diviso. Ex: 8raiz de16 = 8raiz de2^4 = raiz de2, 10raiz de36.x^4 = 10raizde2.3.x^4 = 5raiz de6.x

b)2 caso:Se um ou mais fatores do radicando tem o expoente igual ao ndice do radical

dado, podemos retirar esse ou esses fatores do radicando, escrevendo-os comofatores externos, sem o expoente. Ex: raiz de2.3 = 2.raiz de3, 3raiz de2.x.y =2.y.3raiz dex.

Em alguns casos, precisamos transformar, convenientemente, o radicandonum produto (usando produto de potncias de mesma base) para poder retirarfatores desse mesmo radicando. Ex: raiz dex = raiz dex.x = x.raiz dex, raizde3^5 = raiz de3^4.3 = 9.raiz de3. Em outros casos, devemos fatorar o radicando


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e transform-lo de modo conveniente para simplificar o radical. Ex: raiz de18 = raizde2.3 = 3.raiz de2.

Convm observar que a simplificao de radicais s pode ocorrer quando setrata de fatores no radicando. Ex: raiz dea+b no igual a a+b.

- introduo de um fator dentro do radical:Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando bastando,

para isso, multiplicar seu expoente pelo ndice do radical. Ex: 3.raiz de5 = raizde3.5 = raiz de45, a.3raiz dex = 3raiz dea^6.x.

- adio e subtrao de radicais:Se numa expresso houver radicais semelhantes (com o mesmo ndice e

mesmo radicando), podemos reduzi-los a um s radical das seguintes maneiras:a)1 caso: Todos os termos so radicais semelhantes.Neste caso, podemos reduzir todos os termos a um s radical, somando

algebricamente os fatores externos dos radicais: 2.raiz de3 + 3.raiz de3 - 8.raiz de3+ 5.raiz de3 = 2.raiz de3.b)2 caso: Os radicais tornam-se semelhantes, retirando-se um ou mais

fatores do radicando: raiz de3 + raiz de12 = raiz de3 + raiz de2.3 = raiz de3 +2.raiz de3 = 3.raiz de3.

c)3 caso: Existem apenas alguns termos semelhantes entre si:Neste caso, efetuamos a reduo dos termos semelhantes e mantemos

indicada a soma algbrica entre os termos que no so semelhantes: raiz de10 +raiz de10 + raiz de3 = 2.raiz de10 + raiz de3.

- reduo de radicais ao mesmo ndice:Na prtica, para reduzirmos dois ou mais radicais ao mesmo ndice, devemos

calcular o mmc dos ndices, que ser o ndice comum e depis dividir o ndice comumpelo ndice de cada radical e multiplicar o resultado da diviso pelos expoentes dosrespectivos radicandos. Ex:

Calcular o mmc entre 3raiz dex e 4raiz dey: mmc (4,3)=12, 12raiz dex^8,12raiz dey^9.

- comparao de radicais:Comparar dois radicais significa dizer qual dentre eles o maior.

Estudaremos dois casos;a)quando os radicais tem o mesmo ndice, o maior aquele que possui o

maior radicando: raiz de25 > raiz de9.

b)quando os radicandos tem ndices diferentes, reduzimos os radicais aomesmo ndice e recamos no 1 caso.

- multiplicao ou diviso de radicais:O produto (ou o quociente) de dois ou mais radicais de mesmo ndice um

radical que tem o mesmo ndice dos fatores e cujo radicando igual ao produto (ouquociente) dos radicandos dos fatores: raiz de2 . raiz de3 = raiz de6.

Quando os radicais tem ndices diferentes, devemos reduzi-los ao mesmondice antes de realizar a multiplicao (ou a diviso).

- potenciao:


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Para obtermos a potncia de um radical, devemos elevar os radicandos aoresultado do produto de seus expoentes com o expoente da potncia e depoissimplificar o radical, se possvel. Ex: (raiz de2) = raiz de2^6 = 2 = 8.

- potncias com expoente fracionrio (de nmeros positivos):Todo radical pode ser escrito em forma de potncia com expoente fracionrio,

bastando-se para isso eliminar o radical e elevar o radicando a uma potncia cujonumerador seja o expoente do radicando e o denominador seja o ndice do radical:5raiz de10 = 10/5.

Toda potncia com expoente fracionrio pode ser escrita em forma de radical,bastando-se para isso criar uma raiz cujo radicando a base da potncia, o ndiceseja o denominador e o numerador seja o expoente do radicando: 2^5/6 = 6raizde2^5.

Valem para as potncias fracionrias as mesmas propriedades estudadas paraas potncias com expoente inteiro. Assim, para calcularmos o valor de uma

potenciao com expoente fracionrio, podemos escrev-la na forma de radical e osimplificarmos. Ex:Determinar 16/44raiz de16 = 4raiz de2^4 = 4raiz de2^12 = 2 = 8.

- radiciao:Para fazermos a raiz de uma raiz, devemos multiplicar os seus ndices,

conservando o radicando. Em alguns casos, conveniente introduzir todos osfatores no radicando mais interno, antes de aplicar a regra acima. Ex:

raiz dex3raiz dey = raiz de3raiz dex.y = 6raiz dex.y

RAIZ DE UM NMERO REALPara acharmos a raiz de um nmero real, o mtodo mais fcil o da

simplificao de radicais. Primeiro fatoramos o radicando em fatores primos. Depois,retiramos esses fatores do radical. Esse mtodo funciona para qualquer ndice:

Raiz cbica de 729;3raiz de729 = 3raiz de3^6 = 3 = 9raiz de729 = raiz de3^6 = 3 = 27Apenas a raiz quadrada apresenta um mtodo especial de resoluo, embora

no possamos resolv-la pelo mtodo da simplificao.Em primeiro lugar, separam-se os algarismos em grupos de dois da direita

para a esquerda. Extrai-se a raiz quadrada (exata ou aproximada) do nmero

formado pelo primeiro grupo formado esquerda. Eleva-se essa raiz ao quadrado esubtrai-se o resultado do primeiro grupo.Escreve-se o segundo grupo ao lado do resto. Dobra-se o nmero escrito na

raiz. Nesse resto, separam-se dois algarismos e divide-os pela raiz dobrada.Escreve-se o resultado ao lado da raiz dobrada e multiplica-se o nmero obtido peloresultado. Subtrai-se o nmero obtido do dividendo, obtendo zero ou resto.

Se der zero, a raiz exata. Se der resto, deve-se ver se a operao pode sercontinuada. Caso contrrio, a raiz aproximada. Podemos aproximar a raizdecimalmente, com uma, duas casas decimais. Para isso coloca-se uma vrgula naraiz e dois zeros direita do resto, continuando o processo.

Quando o nmero que se quer descobrir a raiz decimal, extramos a raizcomo se fosse nmero inteiro e colocamos a vrgula na raiz logo depois de abaixar oprimeiro grupo de decimais. Porm, se o nmero tem quantidade mpar de casas


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decimais, ento devemos colocar um zero no fim do nmero, e resolver a raiz comono 1 caso.

RACIONALIZAO DE DENOMINADORES IRRACIONAISAntes de passarmos racionalizao de denominadores irracionais, devemos

falar brevemente sobre fatores racionalizantes. Examinaremos 3 casos:a)numa raiz quadrada, o fator racionalizante a prpria raiz quadrada: raiz

dea . raiz dea = raiz dea = a;b)numa raiz no quadrada, o fator racionalizante a raiz de mesmo ndice,

mesmo radicando mas com o expoente do radicando sendo igual diferena entre ondice e o expoente do radicando: 5raiz dea . 5raiz dea = 5raiz dea^5 = a;

c)numa expresso que contenha razes, o fator racionalizante a mesmaexpresso mas com o sinal invertido:

raiz dea - raiz deb FR de raiz dea + raiz deb

raiz dea + raiz deb FR de raiz dea - raiz deba + raiz deb FR de a - raiz deb

Quando temos uma expresso fracionria com denominador irracional, costume simplificar a expresso, racionalizando-se o denominador. Para isso,devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo fator racionalizante dodenominador. Veremos alguns exemplos de casos simples:

1) Racionalizar o denominador da expresso 10/raiz de2:10.raiz de2 / raiz de2.raiz de2 = 10.raiz de2 /2 = 5.raiz de2

2) Racionalizar o denominador da expresso x/2.raiz dex:x.raiz dex / 2.raiz dex.raiz dex = x.raiz dex / 2x = raiz dex /2

3) Racionalizar o denominador da expresso 1/5raiz de10:1.5raiz de10 / 5raiz de10 . 5raiz de10 = = 5raiz de10 / 5raiz

de10^5 = 5raiz de10 / 10

4) Racionalizar o denominador da expresso 2/raiz de7 + raiz de32 . (raiz de7 - raiz de3) / (raiz de7+raiz de3).(raiz de7-raiz de3) = =

2(raiz de7-raiz de3) / raiz de7 - raiz de3 = = 2(raiz de7-raiz de3) / 4 =raiz de7-raiz de3 / 2

EQUAES E PROBLEMAS DO 2 GRAUExistem 3 casos de resoluo de equao do 2 grau;a)o primeiro caso quando a equao no possui o coeficiente que

acomoanha x, ou seja, do tipo ax+c=0:Nesse caso, a resoluo feita passando-se o termo c para o outro membro

da equao. Depois passamos a potenciao para o outro membro em forma deradiciao e resolvemos:

Ex: resolver a equao x-16=0:x=16 - x=+-raiz de16 - x'=4 - x''=-4S={4,-4}

b)o segundo caso quando a equao incompleta no possuindo ocoeficiente independente, ou seja, uma equao do tipo ax+bx=0.


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Nesse caso, fatoramos a equao pelo primeiro caso, o fator comum. Depois,igualamos ambos os dois fatores a 0, resolvemos as equaes obtidas e achamos x'e x''.

Ex: resolver a equao x-4x=0:

x(x-4)=0 - x'=0 - x-4=0 - x''=4S={4,0}

c)o terceiro caso quando a equao completa, ou seja, tem os coeficientesa, b e c e do tipo ax+bx+c=0. Nesse caso procedemos assim:

1) redizimos os termos semelhantes at chegar forma ax+bx+c=0;2) a seguir, calculamos o delta com a frmula b-4ac;3) depois calculamos x' e x'', com a frmula -b+-raiz dedelta / 2a.Ex: resolver x-5x+6=0:delta = 25-24 = 1-b+-raiz dedelta/2a = 5+-1/2

x' = 6/2 = 3 x'' = 4/2 = 2S={2,3}

Agora vejamos alguns exemplos de problemas resolvidos por equaes do 2grau:

1) A soma do quadrado com o dobro de um mesmo nmero real igual a 48.Calcular esse nmero:

nmero = xequao: x+2x=48resoluo: x+2x-48=0

delta = 4+192 = 196x = -2+-14/2

x' = -16/2 = -8x'' = 12/2 = 6

Como 6 e -8 so nmeros reais, ambos valem para a resposta.

2) A diferena entre certo nmero natural e o seu inverso igual a 15/4.Calcular esse nmero:

nmero = xequao: x-1/x=15/4resoluo: 4x-4=15x

4x-15x-4=0delta = 225 + 64 = 289

x = 15+-17/8x' = 32/8 = 4x'' = -2/8 = -1/4

Como o nmero -1/4 no um nmero natural, s vale para a resposta onmero 4.

3) Dados dois nmeros naturais, o maior supera o menor em 5 unidades.Sabendo-se que o produto entre eles 14, determine os dois nmeros:

nm. menor = xnm. maior = x+5equao: x(x+5)=14resoluo: x+5x-14=0

delta = 25+56 = 81


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x = -5+-9/2x' = -14/2 = -7x'' = 4/2 = 2

O nmero -7 no natural, ento no vale para a resposta. Logo, devemos

ter: x=2 (nmero menor) e x+5=2+5=7 (maior). Os nmeros so 2 e 7.

REPRESENTAO GRFICAA funo do 2 grau representada no plano cartesiano por uma parbola e

so necessrios pelo menos 5 pontos para determin-la.O primeiro de todo achar os zeros da funo, ou seja, os pontos onde a

funo corta o eixo x. Isso se faz igualando-se a funo a zero e achando as razesda equao obtida. Em seguida, achamos o vrtice da funo, ou seja, o pontomximo ou mnimo que a funo pode atingir.

Para determinar a coordenada x desse ponto usa-se a frmula -b/2a.

Achando-se esse valor, substituimos ele na funo no valor de x e achamos acoordenada y.A seguir, determinamos dois valores para x esquerda e outros dois valores

para x direita do vrtice. Para isso, pegamos esses valores, substitumos nafuno e achamos os valores de y correspondentes. A, s ligar os pontos e se osclculos estiverem certos, eles formaro uma parbola.

INEQUAES DO 2 GRAUResolver uma inequao do 2 grau com uma varivel determinar o seu

conjunto soluo, isto , o conjunto dos valores reais de x para os quais a funoy=ax+bx+c positiva ou negativa. Vejamos alguns exemplos de resoluo, onde

aplicaremos o estudo da variao do sinal da funo quadrtica:Resolver a inequao x-3x+2>0 (significa determinar para que valores reais

de x a funo positiva)x-3x+2=0delta = 9-8 = 1x = 3+-1/2 x'=2 x''=1Pelo estudo dos sinais, verificamos:

++ +++++ +++++++ ++++

---------------1--------------2----------------> x------------

-

Para os valores positivos de y (pois a inequao >0), os valores de x temque ser menores que 1 ou maiores que 2, ento: S={xER , x2}

SISTEMAS DE EQUAES DO 2 GRAUPara resolvermos sistemas de equaes do 2 grau, empregamos o mtodo

da substituio, idntico ao empregado quando estudamos sistemas de 1 grau. O


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conjunto soluo formado por dois pares ordenados, j que as equaes do 2grau tem duas solues.

apostila matemática básica 1 º grau

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