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Sumrio
PORCENTAGEM ......................................................................................................... 2
POTENCIAO ........................................................................................................... 4
POTNCIA DE BASE 10 ............................................................................................. 6
NOTAO CIENTFICA ............................................................................................ 7
FUNO ....................................................................................................................... 8
FUNO DO 1 GRAU ............................................................................................. 10
FUNO LINEAR ..................................................................................................... 11
FUNO CONSTANTE ............................................................................................ 12
FUNO DO 2 GRAU OU QUADRTICA ........................................................... 13
EQUAO EXPONENCIAL .................................................................................... 17
FUNO EXPONENCIAL ........................................................................................ 20
LOGARITMO ............................................................................................................. 23
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PORCENTAGEM
Porcentagem uma maneira de se representar uma razo em que o denominador igual a 100
(Razo Centesimal).
Exemplo:
Denominador
Com frequncia, h usos dessa representao no cotidiano, por isso sua abordagem merece uma
ateno particular. Por exemplo, deixar expresso 5 % (cinco por cento) , na realidade, mostrar a
frao 5/100, que representa cinco sendo dividido por cem, ou 0,05, que representa cinco
centsimos.
Vejamos outros exemplos:
Exemplos Prticos:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, realizou 50 cobranas de falta,
transformando em gols 70%. Quantos gols de falta esse jogador fez?
70% de 50 =
x 50 =
= 35 gols
2) Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa
percentual de lucro obtida?
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Inicialmente, vamos calcular a diferena entre o valor vendido e o valor comprado. Logo temos: R$
300 R$ 250 = R$ 50.
Agora, vamos descobrir quanto representa este valor em porcentagem, atravs da Regra de Trs.
250 100%
50 x
250. x = 50.100 x =
x = 20%
Logo, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
#Dica: Fator de Multiplicao
Se, por exemplo, h um acrscimo de 20% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor
apenas multiplicando esse valor por 1,20, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de
40%, multiplicamos por 1,40, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Para aumentar em: Multiplicar por:
5% 1,05 (1 + 0,05)
20% 1,2 (1 + 0,2)
70% 1,7 (1 + 0,7)
100% 2 (1 + 1)
500% 6 (1 + 5)
Exemplo: Aumentando 30% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,30 = R$ 13,00
No caso de haver um desconto de 35% no valor de uma compra de R$ 500,00, o fator de
multiplicao ser:
Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Vejamos a tabela abaixo:
-
Para Reduzir em: Multiplicar por:
5% 0,95 (1 - 0,05)
12% 0,88 (1 - 0,12)
20% 0,8 (1 - 0,2)
40% 0,6 (1 - 0,4)
100% 0 (1 - 1)
POTENCIAO
Em sua definio, potenciao significa multiplicar um nmero real (base) por ele mesmo n
vezes, no qual n a potncia (nmero natural). Exemplo:
3 = 3 x 3 = 9
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Casos de Potenciao:
a) Todo nmero diferente de zero e elevado a zero um.
= 1
= 1
b) Todo nmero diferente de zero e elevado a um o prprio nmero.
= 45
= 125
c) Base zero e qualquer nmero no expoente, o resultado ser zero.
= 0
= 0
d) Base negativa e expoente mpar, resultado negativo.
= (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = - 3.125 (atentar-se para a regra de sinais)
= (-4) x (-4) x (-4) = - 64 (atentar-se para a regra de sinais)
-
e) Base negativa e expoente par, resultado positivo.
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (atentar-se para a regra de sinais)
= (-7) x (-7) = 49 (atentar-se para a regra de sinais)
f) Base um nmero racional (frao): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o
denominador da frao.
g) Quando o expoente um nmero negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do
expoente para positivo.
h) Quando o expoente uma frao, siga a seguinte regra:
1) A base da potncia ficar dentro do radical, esse nmero ser o radicando;
2) O numerador do expoente ser o expoente do radicando;
3) O denominador do expoente ser o ndice da raiz.
=
= 2
-
=
= 3
=
=
= =
Propriedades da Potenciao:
1) Multiplicao de Bases Iguais: Mantenha a base e some os expoentes.
= =
(
)
. (
)
= (
)
= (
)
2) Diviso de Bases: Mantenha a base e subtraia os expoentes:
= =
= =
3) Potncia de Potncia: Mantenha a base e multiplique os expoentes.
= =
= =
Observao:
= =
= (Primeiro, faz-se a potncia de = 64)
POTNCIA DE BASE 10
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As potncias de base 10 so talvez as potncias mais importantes, pois so muito usadas no estudo
de outras cincias, como o caso da Fsica.
Vamos ver o que acontece quando operamos a base 10:
= 1
= 10
= 100
= 1.000
= 10.000
As potncias de base 10 so formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros da quantidade do nmero
do expoente.
Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado no denominador de uma
potncia cujo numerador o 1. Podemos ainda escrev-lo na forma decimal, sendo que o nmero do
expoente indica a quantidade de dgitos aps a vrgula. Por exemplo:
=
= 0,1
=
= 0,01
=
= 0,001
=
= 0,0001
Exemplos:
30 = 3.
400 = 4.
7.000.000 = 7.
0,0002 = 2.
0,278 = 278.
NOTAO CIENTFICA
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Notao Cientfica uma forma diferente de representar os nmeros reais. Atravs dela podemos
abreviar a apresentao de um nmero muito grande ou pequeno.
a . , tendo-se 1 a < 10; K Z
Exemplos:
a) 16.000.000 = 1,6.
b) 0,0000078 = 7,8.
c) 400 = 4.
d) 500300 = 5,003.
e) 0,0000007 = 7.
f) 0,000000000054 = 5,4.
g) 0,0000812 = 8,12.
h) 1,3 = 1,3.
FUNO
Funo uma relao de dependncia entre duas variveis. Por exemplo: Corrida de Txi (O preo
pago est em funo dos quilmetros rodados).
Exemplo:
Y = 10.x
Domnio: Valores de x que a funo pode assumir.
Contradomnio: Valores de y que a funo pode assumir.
-1
0
2
3
4
-10
0
20
30
40
8
9
6
A B
-
Imagem: Valores de y que a funo de fator assume.
Para se estabelecer uma funo, os valores do Domnio podem assumir apenas uma imagem.
No uma funo (Domnio apresenta duas imagens)
Exemplos:
1) Domnio da Equao:
x 2 0 x 2
Logo, na equao acima, x deve ser diferente de 2 ( j que o denominador (x 2 no pode ser zero,
pois no existe diviso por nmero nulo).
D = { x R | x 2}
2) Domnio da Equao:
3x 9 > 0
3x > 9
x >
x > 3. O denominador, por ser raiz, no pode ser negativo (precisa ser maior do que
zero). Por isso, x deve ser maior do que 3.
D = { x R | x > 3}
1
2
6
5
4
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FUNO DO 1 GRAU
Chama-se funo do 1 grau, ou funo afim, qualquer equao que possa ser reduzida a forma y =
ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.
Na funo y = ax + b, a chamado de coeficiente angular e o b coeficiente linear.
O coeficiente angular indica se a funo crescente ou decrescente (se a > 0, a funo crescente;
se a < 0, decrescente). J o coeficiente linear indica o ponto onde a reta corta o eixo y do grfico.
Exemplo:
y = 2.x + 3
0 = 2.x + 3 x = -
Para montar o grfico, precisamos de dois pontos:
Quando x = 0 e y = 0;
Quando x = 0; tem- se:
y = 2.x + 3
y = 2.0 + 3 y = 3, logo temos o par ordenado (0;3)
Quando y = 0, tem-se
y = 2.x + 3
0 = 2.x + 3 x = -
, logo temos o par ordenado ( -
, 0)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-2 -1,5 -1 -0,5 0
Grfico: y = 2.x + 3
x
y
-
Exemplo Prtico:
Se um estacionamento cobra R$ 5 pela hora inicial e R$ 3 por cada hora adicional. Quanto pagarei
por 5h?
A Equao do 1 Grau formada: y = a.x + b. De acordo com o exemplo, temos:
y = 5 + 3(x - 1)
y = 5 + 3x 3 y = 2 + 3x
Substituindo x por 5, temos:
y = 2 + 3.5 y = 17
FUNO LINEAR
um tipo de funo do 1 Grau cuja lei de formao do tipo f(x) = a.x (a R e 0). No grfico, a
reta sempre passar pela origem (0;0).
Vejamos os exemplos:
1) F(x) = 2x
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-6 -4 -2 0 2 4 6
Funo Linear: y = 2x
-
Como a = 2 e a > 0, Logo, temos uma Funo Linear Crescente.
2) F(x) = -
Como a = -1/2 e a < 0, Logo, temos uma Funo Linear Decrescente.
FUNO CONSTANTE
A funo constante diferencia-se das funes do 1 Grau por no poder ser caracterizada como
crescente ou decrescente, sendo, por isto, constante.
Lei de Formao da Funo Constante: F(x) = c, c R.
O grfico sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x.
Exemplos:
1) f(x) = 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Funo Linear: y = 2x
-
2) f(x) =
FUNO DO 2 GRAU OU QUADRTICA
Toda funo estabelecida pela lei de formao f(x) = ax + bx + c, com a, b e c nmeros reais e a
0, denominada funo do 2 grau.
Vejamos alguns exemplos de funo quadrtica:
a) y = x 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6
b) y = - x + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4
c) y = 3x 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Grfico: y = 2
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
Grfico: y = (-2.x - 8) / (x+4)
y
x
x
y
-
d) y = 2x 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1
No grfico, a funo do 2grau representada por uma parbola. Se a > 0, ento a parbola ter
concavidade para baixo. Quando a < 0, a parbola ter concavidade para baixo.
Ao resolver uma Equao do 2 Grau, encontramos as razes, que so os pontos onde a funo vai
cortar o eixo x do grfico.
Exemplo:
F(x) = x - 4.x + 3
Resolvendo por frmula de Bhaskara:
a = 1; b = -4 e c = 3
= b - 4.a.c
= (-4) - 4.1.3
= 4
0
5
10
15
20
25
-5 0 5
y = x+4
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-5 0 5
y = -2x +4
a > 0 a < 0
-
Logo, as razes so 3 e 1.
#Dica:
Quando > 0, teremos duas solues reais (duas razes);
Quando = 0, teremos apenas uma soluo real (uma raiz);
Quando < 0, teremos nenhuma soluo real (no existe raiz).
Resolvendo por Soma e Produto:
Soma (S) =
S =
S = 4
Produto (P) =
P =
P = 3
______ + ______ = 4
______ X _______ = 3
Logo, as razes so 3 e 1.
Veja o grfico:
1 3
3 1
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
y = x-4x+3
-
Vrtice
O que vrtice de uma parbola? o ponto em que a parbola atinge seu valor mximo ou mnimo.
O vrtice de todas as parbolas tem uma caracterstica prpria, ele sempre se encontra
"equidistante" de ambas as razes, ou seja, a coordenada "x" do vrtice fica exatamente no meio das
coordenadas das duas razes.
Para encontr-lo, precisamos descobrir o par ordenado (x, y) que o relaciona. Vejamos:
Xv =
Yv =
No exemplo anterior, temos: x - 4x + 3, calculemos os pontos do vrtice da parbola:
Xv =
Xv = 2
Yv =
Yv =
Yv = -1
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-5 0 5
0
5
10
15
20
25
-5 0 5
Este o Vrtice (Valor Mnimo)
Este o Vrtice (Valor Mximo)
-
Assim, temos o par ordenado do vrtice (2; 1). Vamos verificar no grfico:
EQUAO EXPONENCIAL
Equao Exponencial aquela em que a incgnita se encontra no expoente de pelos uma potncia.
Regra: Se a base a mesma, os expoentes so iguais, desde que a base seja maior que zero e
diferente de 1
Exemplos de Equaes Exponenciais:
x = 2
X = 3
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5
y = x-4x+3
-
X = 2
X =
X = -5
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
X = 2
-
f) = 1
=
=
x - 5x + 6 = 0
Resolvendo esta equao do 2 grau, encontramos as razes, a saber: 2 e 3.
g) = 0
= 0
Chamando = y, temos:
y - y 2 = 0
Resolvendo esta equao do 2 grau, encontramos as razes, a saber: -1 e 2.
(No convm)
Logo:
X = 1
g) (
x - x = 2
x - x 2 = 0
-
FUNO EXPONENCIAL
f: R R*+, definida por f(x) = com a R*+ e a 1.
f(x) = a (A varivel independente x est no expoente).
Representao da Funo Exponencial no Plano Cartesiano
Exemplo:
f(x) =
Funo Exponencial Crescente
f(x) =
Se a > 1, temos uma funo exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x. Em outras
palavras, medida que x aumenta, tambm aumenta f(x) ou y.
x
-6 0,03
-3 0,17
-1 0,56
0 1,00
1 1,80
2 3,24
-
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
-8 -6 -4 -2 0 2 4
y = 1,8
-
Exemplo de Funo Exponencial Crescente:
Funo Exponencial Decrescente
f(x) =
Se 0 < a < 1, temos uma funo exponencial decrescente, ou seja, medida que x aumenta, y
diminui.
Exemplo de Funo Exponencial Decrescente:
-
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
-8 -6 -4 -2 0 2 4
-
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-
Exemplo 1:
A quantia de R$ 1.200 foi aplicada durante 6 anos em uma instituio bancria a uma taxa de 1,5%
ao ms, no sistema de juros compostos.
a) Qual ser o saldo no final de 12 meses?
M = C.
M = Montante
C = Capital Inicial
n = perodo
M = C.
M = 1200.
M = 1.437, 74
O saldo ser de R$ 1.437,74, aps 12 meses.
b) Qual ser o montante final?
M = C.
M = 1200.
M = 3.505,39
O saldo ser de R$ 1.437,74, aps 6 anos (72 meses).
Exemplo 2:
Sob certas condies, o nmero de bactrias B de uma cultura, em funo do termo t, medido em
horas, dado por B(t) =
. Qual ser o nmero de bactrias 6 dias aps a hora zero?
6 dias = 6 x 24 = 144 horas
B(144) =
B(144) = B(144) = 4.096 bactrias
Exemplo 3:
Suponha que, em 2003, o PIB de um pas seja de US$ 500 bilhes. Se o PIB crescer 3% ao ano, de
forma cumulativa, qual ser o PIB do pas em 2023, dado em bilhes de dlares?
-
P(x) = P0.
P(x) = 500.
P(x) = 900 bilhes de dlares
LOGARITMO
Ao estudarmos a potenciao, aprendemos que, por exemplo, o produto de 4 por 4, que igual a 16,
pode ser representado na forma de uma potncia pela seguinte sentena matemtica:
Utilizando a notao dos logaritmos tambm podemos represent-la assim:
= 2
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentena temos:
2 o logaritmo de 16 na base ;
4 a base do logaritmo;
16 o logaritmando.
Genericamente, de forma simblica, temos a seguinte definio de logaritmo:
= x = a
Para os nmeros reais positivos a e b, com b 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente
real x, tal que = a.
Vejamos as sentenas abaixo:
O expoente desta potncia, no caso 5, o logaritmo de 100000 que podemos representar assim:
= 5
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, ento em vez de
utilizamos , que como voc pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificaes
tm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais smbolos, facilitando assim a
compreenso de tais expresses.
-
Assim sendo a expresso = 5 em geral escrita como = 5.
Propriedades dos Logaritmos
a) Propriedade 1: Logaritmo do produto.
= +
Exemplo:
+
2 + 3 = 5
b) Propriedade 2: Logaritmo do quociente.
=
-
Exemplo:
=
+
= 5 - 6 = -1
c) Propriedade 3: Logaritmo de uma potncia.
= n.
Exemplo:
= 3.
= 3.1 = 3
d) Propriedade 4: Logaritmo de uma raiz.
Essa propriedade uma extenso da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma
de uma potncia.
-
=
=
Exemplo:
=
=
=
=
. 1 =
e) Propriedade 5: Propriedade da mudana de base.
=
Essa propriedade utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os
clculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os
clculos mais simples. A propriedade da mudana de base tambm fundamental para a
simplificao de expresses que envolvem logaritmos com bases diferentes.
Exemplo:
Se desejarmos calcular o valor do logaritmo , nem com uso de uma calculadora cientfica
seria possvel, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria
necessrio fazer a mudana para uma dessas bases. Assim, teremos:
=
=
=
= 1,49