apostila de matemática básica
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MATEMTICA BSICAProf. Dr Rogrio de AguiarChefe do Departamento de Matemtica CCT - UDESC - JOINVILLE Email: [email protected] Home Page: www.joinville.udesc.br/dmat/rogerio Fevereiro de 2008
Sumrio1 Teoria dos Conjuntos 1.1 Denio de conjunto . . 1.2 Operaes entre conjuntos 1.3 Propriedades . . . . . . . 1.4 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 12 12 12 12 13 13 14 14 15 15 15 16
2 Nmeros 2.1 Conjuntos Numricos . . . . . . . . . . 2.1.1 Naturais . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Inteiros . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Racionais . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Irracionais . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Reais . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ordenao dos nmeros reais . . . . . 2.2.1 Propriedades das desigualdades 2.2.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Exercicios Resolvidos . . . . . . 2.3 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . 3 Mdulo 3.1 Introduo . . . . . . . . . . 3.2 Propriedades do mdulo . . 3.3 Inequaes modulares . . . 3.3.1 Exerccios resolvidos 3.4 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Expresses Algbricas 4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Exerccios Resolvidos 1 4.2 Produtos Notveis: . . . . . . . 4.2.1 Exerccios Resolvidos 2 4.3 Exerccios de Fixao . . . . .
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5 Funes 5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Sistema Cartesiano Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Funo Am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Exercicio Resolvido Funo Am . . . . . . . . 5.4 Funo Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Funo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Exercicios Resolvidos Funo Quadrtica . . . 5.6 Funo Raiz n-sima de x . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Exercicios Resolvido Funo Raiz n-sima de x 5.7 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Exerccios Resolvidos Funo Exponencial . . . 5.8 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1 Exercicio Resolvido Funo Logaritmica . . . . 5.9 Funo Hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Exerccios Resolvidos Funes Hiperblicas . . 5.10 Tipos importantes de funes . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Construo de Grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Geometria Plana 6.1 Reta . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Exercicios Resolvidos 1 6.2 Distncia . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Exercicios Resolvidos 2 6.3 Circunferncia . . . . . . . . . . 6.3.1 Exerccios Resolvidos 3 6.4 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18 18 20 21 24 25 26 29 29 31 32 34 34 36 37 39 39 41 44 47 47 49 49 49 49 50 50 52 52 54 54 56 57 57 60 61 63 66
7 Trigonometria 7.1 ngulos e Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Trigonometria Bsica no Tringulo Retngulo 7.3 Relaes Trigonomtricas: . . . . . . . . . . . 7.4 Trigonometria Bsica no Tringulo Qualquer 7.4.1 Exercicio Resolvido . . . . . . . . . . . 7.5 Ciclo Trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . 7.7 Identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . 7.8 Exerccios de Fixao . . . . . . . . . . . . . 8 Reviso Geral
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9 Respostas 9.1 Do Captulo 1, Teoria de Conjuntos . 9.2 Do Captulo 2, Nmeros . . . . . . . . 9.3 Do Captulo 3, Mdulo . . . . . . . . . 9.4 Do Captulo 4, Expresses Algbricas . 9.5 Do Captulo 5, Funes . . . . . . . . 9.6 Do Captulo 6, Geometria Plana . . . 9.7 Do Capitulo 7, Trigonometria . . . . . 9.8 Exercicio Resolvido . . . . . . . . . . . 9.9 Do Captulo 8, Reviso Geral . . . . .
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70 70 71 72 73 75 85 87 87 94
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Captulo 1
Teoria dos Conjuntos1.1 Denio de conjunto
Conjunto: representa uma coleo de objetos: Ex. 1: O conjunto de todos os brasileiros. Ex. 2 : O conjunto de todos os nmeros reais tal que x2 -4=0. Notao: Em geral, um conjunto denotado por uma letra maiscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Elemento: um dos componentes de um conjunto. Em geral, um elemento de um conjunto denotado por uma letra minscula do alfabeto: a, b, c, ..,z Pertinncia: a caracterstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Smbolo de pertinncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o smbolo que se l: "pertence". Se um elemento no pertence a um conjunto utilizamos o simbolo que se l "no pertence". Exemplo 1 N e 1 N / / Algumas notaes para conjuntos Apresentao: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves {} A = {a, e, i, o, u} , M = {Joo, M aria, Jos} a e Descrio: O conjunto descrito por uma ou mais propriedades. A = {x x uma vogal}, M = {x x uma pessoa da famlia de Maria} Diagrama de Venn-Euler: Os conjuntos so mostrados gracamente.
Alguns conjuntos especiais Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. representado por {} ou por . 4
Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tambm contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U. Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A est contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A tambm esto em B. O conjunto A denominado subconjunto de B. Se A B ento dizemos que B contm A e escrevemos B A O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos.
1.2
Operaes entre conjuntos
Unio de conjuntos A unio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A B = {xx A ou x B} Exemplo: Se A = {a, e, i, o} e B = {3, 4} ento A B = {a, e, i, o, 3, 4}. Propriedades a) A A = A b) A = A c) A B = B A d) A U = U ( onde U o conjunto universo) Interseo de conjuntos A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = {xx A e x B} Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4} ento A B = . Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos. Propriedades a) A A = A b) A = c) A B = B A d) A U = A ( onde U o conjunto universo) Diferena de conjuntos A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. A B = {xx A e x B} / Do ponto de vista grco, a diferena pode ser vista como:
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Propriedades a) A = A c) A A = b) A = d) A B 6= B A, se A 6= B (a diferena no comutativa). Complemento de um conjunto O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CA B, a diferena entre os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. CA B = A B = {x x A e x B} /
1.3a) b) c) d)
Propriedades
A (B C) = (A B) (A C) Propriedade distributiva A (B C) = (A B) (A C) Propriedade distributiva A (A B) = A Lei da absoro A (A B) = A Lei da absoro
1.4
Exercicios Resolvidos
a) Em uma cidade existem dois clubes A e B, que tm juntos 6000 scios. O e clube A tem 4000 scios e os dois clubes tm 500 scios comuns. Quantos scios tm o clube B? Quantos so os scios do clube B que no so scios do clube e A? b) Seja A = {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {d, e, f, 3, 7, 8} . Determinar A B, A B, A B, B A c) Em uma cidade existem tres cavalos X, Y, Z que participam de um preo em uma corrida de cavalos. X e Y tm 400 apostadores em comum. Os cavalos e Y e Z tm 300 apostadores em comum. Os cavalos X e Z no tm apostadores em comum. X e Y tm juntos 9000 apostadores e Y e Z tm juntos 8000 apostadores. Sabendo que Z tem 3000 apostadores determinar o nmero de apostadores dos cavalos X e Y. d) Uma cidade possui 10000 habitantes, que freqentam trs clubes recreativos, divididos da seguinte forma: 45% freqentam o club A; 29% freqentam o clube B; 53% freqentam o clube C; 25% freqentam somente o clube A; 10% freqentam somente o clube B; 30% freqentam somente o clube C; 9% freqentam os clubes A e C. Sabendo que A, B e C possuem freqentadores em comum, e que sempre existem freqentadores em comum a dois clubes, determine o nmero de habitantes que freqentam mais de um clube. 6
Captulo 2
Nmeros2.12.1.1
Conjuntos NumricosNaturais
Denimos o conjunto do nmeros naturais por, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} Convm destacar um subconjunto: N = N {0} = {1, 2, 3, 4, 5...}
2.1.2
Inteiros
Denimos o conjunto do nmeros inteiros por, Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos: Z = Z {0} = {... 3, 2, 1, 1, 2, 3...} Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} (inteiros no negativos) Z = {0, 1, 2, 3, 4...} (inteiros no positivos) Z = {1, 2, 3, 4...}(inteiros positivos) + Z = {1, 2, 3, 4...}(inteiros negativos)
2.1.3
RacionaisQ = {x x = p , p Z, q Z, q 6= 0}. q
Obs: Um nmero racional pode aparecer em forma de dzima peridica, isto , um numeral decimal, com a parte decimal formada por innitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4, 5555 (perodo 5) , 10, 878787 (perodo 87) e 9, 8545454... (perodo 54, parte no peridica 8) No conjunto dos racionais adotamos as seguintes denies: c a) a = d ad = bc b a c b) b + d = ad+bc bd c c) a d = ac b bd No conjunto dos racionais destacamos os seguintes subconjuntos: Q+ = {x Qx 0}(racionais no negativos) 7
Q = {x Qx 0}(racionais no negativos) Q = Q {0}(racionais no nulos)
2.1.4
Irracionais
todo nmero decimal no-exato e no peridico, bem como toda raiz noexata. Ou seja todo nmero que no pode ser expresso como o quociente de dois nmeros racionais. - raiz quadrada de dois = 1, 414...; - raiz quadrada de trs= 1, 73...; - nmero pi= 3, 141516 Notao: Denotaremos o conjunto dos irracionais por I
2.1.5
Reais
Denimos o conjunto dos nmeros reais como a unio entre os conjuntos dos racionais e irracionais.: R = Q I Diante do exposto acima conclumos que N Z Q R, I R e Q I = No conjunto dos reais destacamos os seguintes subconjuntos: R = R {0} (reais no nulos) R = {x R x > 0} (reais positivos) + R = {x R x < 0} ( reais negativos) Existe uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais e os pontos de um eixo ordenado
2.2
Ordenao dos nmeros reais
Na reta real os nmeros esto ordenados, um nmero a menor que qualquer nmero colocado sua direita.
Exprimimos este fato da seguinte maneira: a menor que b, ou equivalentemente, que b maior que a. Se a e b so nmeros reais ento dizemos que a > b (a maior que b), se a b um nmero positivo. A este fato damos o nome de desigualdade. Outros tipos de desigualdade so a < b, a b, a b.
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2.2.1
Propriedades das desigualdades
a) Se a > b e b > c ento a > c, Ex: 10 > 0 > 10 10 > 10 b) Se a > b ento a c > b c, Ex: 10 5 > 10 5 15 > 5 e 5 > 15 c) Se a > b e c > 0 ento ac > bc, Ex: 10.5 > 10.5 50 > 50 d) Se a > b e c < 0 ento ac < bc, Ex: 10. 3 < 10. 3 30 < 30 1 e) Se a > b ento a < 1 , se a 6= 0 e b 6= 0 b
2.2.2
Intervalos
Sendo a e b dois nmeros reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo aberto: (a, b) = {x R a < x < b} Intervalo fechado: [a, b] = {x R a x b} Intervalo semi-aberto direita: [a, b) = {x R a x < b} Intervalo semi-aberto esqueda: (a, b] = {x R a < x b} Intervalo innitos (, +) = {x R < x < +} = R
[a, +) = {x R a x < +}
(a, +) = {x R a < x < +}
9
(, a] = {x R < x a}
(, a) = {x R < x < a}
2.2.3
Exercicios Resolvidos
1) Usando a notao de conjunto escrever os intervalos a) (3, 6) b) (, 6] c) 2, 3 d) [1, 0) e) (, 0) 2) Se A = {x R 2 < x < 5} e B = {x R3 x < 8} determinar a) A B b) A B c) B A 3) Representar os seguintes intervalos: a) [1, 1] b) [0, 10) c) (3, 1] d) (4, 6) e) (5, +) 4) Resolver gracamente 1 a) (, 6] [1, 1) b) 2, 3 2 , 3 5) Resolver as inequaes a) 3 + 7x 2x + 9 b) 7 2 5x < 9 c) 2x5 < 1 d) x1 4 x2 x
2.3
Exerccios de Fixao
01) Quais das alternativas abaixo falsa a) {} um conjunto unitrio b) {} o conjunto vazio c) Se A = {1, 2, 3} ento {3} A d) {x Nx = 2n , onde n N} o conjunto dos nmeros naturais mpares e) 1 , 1 2 2 f) 1 , 1 {} 2 2 h) B A A B i) Q R Z 02) Escrever usando o sinal de desigualdade a) a um nmero positivo b) b um nmero negativo c) a maior que b 03) Representar na reta real os seguintes intervalos a) [10, 11] b) [0, 3) c) (3, 0] d) (3, 7) e) (0, +) 04) Representar gracamente os intervalos dados pelas desigualdades a) 2 x 7 b) 3 x 5 c) 0 x < 2 d) < x < 1 05) Deternimar gracamente a) (5, 7] [6, 9] b) (, 7] [8, 10] c) (3, 0] (0, 8) d) (0, 7] (5, 7) 06) Sejam M = {x R2 x < 10}, N = {x R 3 < x < 8} e P = {x R2 x 9} . Determinar o conjunto P (M N ). 10
07) Resolva as inequaes e exprima a soluo em termos de intervalos quando possvel: a) 2x + 5 < 3x 7 b) x 8 < 5x + 3 x+1 c) 2 2x3 < 7 d) 2x3 > 2 5
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Captulo 3
Mdulo3.1 Introduo
Denio: O mdulo , ou valor absoluto, de um nmero real x denotado por |x| e denido por x, se x 0 |x| = x, se x < 0 1 1 = , |0| = 0 Exemplos |9| = 9, 5 5 Da denio de mdulo podemos concluir que o mdulo de um nmero sempre um nmero no negativo, ou seja, |x| 0.
3.2
Propriedades do mdulo
i) |x| = |x| ; ii) |x.y| = |x| |y| ; iii) x = |x| iv) |x| 0 y |y| v) |x + y| |x| + |y| vi) |x| = |y| y = x ou y = x
3.3
Inequaes modulares
Notemos que se a > 0 valem as seguintes concluses |x| > a se e somente se x < a ou x > a
|x| < a se e somente se a < x < a
12
3.3.1
Exerccios resolvidos
1) Completar as implicaes abaixo a) Se |x| = 5 ento x = b) Se |x| = 0 ento x = c) Se |x| < 3 ento < x 7 ento x> ou x < 2) Representar na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relaes a) |x| = 3 b) |x| < 3 c) |x| > 1 |x 3| = 5 3) Resolver as inequaes 1 a) |x 3| < 4 b) |2x3| > 5 c) |3x 4| > 2 d) |3x 2| = |5x + 4| e) |x + 4| 2
3.4
Exerccios de Fixao
1 ) Reescreva sem usar o smbolo de valor absoluto a) (5) |3 6| b) |6| c) |7| + |4| d) |4 | 2 2) Complete as armaes a) se x < 3 ento |x + 3| = b) se x > 5 ento |5 x| = 3) Resolver as equaes em R a) |5x 3| = 12 b) 3| = |7x 5| |2x x+2 c) x2 = 5 d) |3x + 2| = 5 x e) 2x 7 = |x| + 1 4) Resolva a desigualdade e exprima a soluo em termos de intervalos, quando possvel a) |x + 3| < 0, 01 b) |2x + 5| < 4 c) |3x 7| 5 d) |11 7x| > 6 e) 3 |x 2| 7 2 f) |x+3| < 1 g) |x + 4| |2x 6| h) 72x 1 5+3x 2 i) |x 1| + |x + 2| 4 5 1 j) 2x1 x2 k)1 |x+1||x3|
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13
Captulo 4
Expresses Algbricas4.1 Introduo
As expresses algbricas so expresses matemticas que apresentam letras e podem conter nmeros. So tambm denominadas expresses literais. As letras nas expresses so chamadas variveis o que signica que o valor de cada letra pode ser substituda por um valor numrico. Para resolver ou simplicar uma expresso algbrica devemos utilizar as propriedades da potenciao e radiciao, fatorao e os produtos notveis. Como as propriedades mais utilizadas so as propriedades da potenciao damos a seguir a lista dessas propriedades P ropriedades Alguns Exemplos xo = 1(x no nulo) a 5o = 1 m n m+n x x =x 62 63 = 62+3 = 65 = 7776 m m m 73 53 = (35)3 = 42 875 x y = (xy) m x 76 mn 4 xn = x 72 = 7 = 2401 (x ) = xm
xm ym = m n
x y
m
mn1
x n = (xm ) n xm = x1 m m x n = 1 = m nx1
1 (xm ) n1
52 32 = ( 5 )2 3 (53 )2 = 56 = 15625 1 3 6 2 = 63 2 = 216 = 6 6 1 1 34 = 34 = 81 1 1 3 = 6 662m 1
Podemos escrever a potenciao como uma radiciao da seguinte forma xn = n x e x n = (xm ) n = n xm
Dada uma expresso algbrica qualquer, podemos transform-la, se possvel, no produto de duas ou mais outras expresses algbricas. A este procedimento damos o nome de fatorao. Fator comum: A expresso ax + bx tem como fator comum o x, neste caso podemos colocar o x em evidncia e obter ax + bx = (a + b)x 14
Agrupamento: Podemos utilizar a fatorao diversas vezes na mesma expresso: Exemplo ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y = (a + b) (x + y)
4.1.1
Exerccios Resolvidos 1
Fatorar as seguintes expresses: 1) 10m + 10n 2) 6xy 5 + 12x2 y 2 3) 4bx 32b + 4by 4) 4x + 4z bx bz 5) x + x2 + x3 + 1
4.2
Produtos Notveis:
Os produtos notveis so aqueles produtos entre expresses algbrica que so freqentemente usados e para evitar a multiplicao de termo a termo, existem algumas frmulas que convm serem memorizadas: 1) Soma pela diferena: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. (a + b).(a b) = a2 b2 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3) Quadrado da diferena: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a b)2 = a2 2ab + b2 Existem outras outras frmulas como por exemplo (a + b)3 (a b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = a3 3a2 b + 3ab2 b3
4.2.1
Exerccios Resolvidos 2
1) Reescreva usando produtos notveis: a) (a + 2)(a 2) b) (xy + 3z)(xy 3z) c) (x2 4y)(x2 + 4y) e) (x + 3)2 f) (2a 5)2 15
g) (2xy + 4)2 i) (x + 4)3 j) (2a + b)3 l) (a 1)3 m) Calcule 41.39 usando um produto notvel. n) Calcule 101.99 usando um produto notvel.
4.3
Exerccios de Fixao
1 ) A soma de dois nmeros igual a 10 e a soma dos seus cubos igual a 100. Qual o valor do produto desses nmeros? 2) Calcule o valor de M na expresso abaixo, para: a = 700, b = 33, x = 23, 48 e y = 9, 14345. M= (ax + by)2 + (ay bx)2 (ay + bx)2 + (ax by)2
3) Desenvolva: a) (3x + y)2 b) ( 1 + x2 )2 2 c) (( 2x ) + 4y 3 )2 3 d) (2x + 3y)3 1 e) (x4 + ( x2 ))3 4) Efetue as multiplicaes: a) (x 2)(x 3) b) (x + 5)(x 4) 5) Simplique as expresses: a) (x + y)2 x2 y 2 b) (x + 2)(x 7) + (x 5)(x + 3) c) (2x y)2 4x(x y) 6) Simplique as fraes algbricas 2 a) x x x1 x+2 b) x2 +4x+4 c) d) e) f) g) h)a2 9 a3 xy x2 y2 2 x +6x+9 3x+9 6xy3x2 4y2 2xy ax+ay x2 +2xy+y2 x2 4 x+2 ax2 ay2 x2 2xy+y2
i) 7) Simplique a expresso y+z x+z x+y + + (x y)(x z) (y x)((y z) (z x)(z y) 16
8) Desenvolver as expresses e simplicar se possvel a) (2a 3b)2 = b) (a b)2 + (a + b)2 = c) (a b)2 (a + b)2 = d) (3z y)2 (z 2y)2 = e) (a b)(a + b)(a2 + b2 ) = 9) Calcular 6789592 6789582 10) Simplicar a expresso, considerando que a 6= b a2 + 2ab + b2 a b a2 b2 a+b 11) Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 1 ento o valor de m2 + n2 + p2 mnp : 12) Calcule o valor da expresso 1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz quando xyz = 1 13) Dados dois nmeros a e b positivos, mostre que a mdia geomtrica sempre menor ou igual mdia aritmtica dos nmeros a e b. a 1 1 1 14) Mostre que det a b c = (a b)(b c)(c a) a2 b2 c2
17
Captulo 5
Funes5.1 Introduo
Denio: Dados dois conjuntos A e B e uma relao f de A em B, dizemos que f uma funo ou aplicao se, e somente se, para todo elemento x de A existe, em correspondncia, um nico elemento y de B tal que o par (x,y) pertena a relao f. Uma funo geralmente dada por uma expresso que estabelece a correspondncia entre os conjuntos A e B. Qualquer funo possui sempre os seguintes trs elementos bsicos: a) Um conjunto de "sada"chamado Domnio b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomno c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domnio com o s elementos do contradomnio Notao: Se A o domno, B o contradomnio e f uma funo de A em B, denotamos f : AB x f (x)
Domnio: O Domnio da funo o conjunto dos pontos para os quais faz sentido a aplicao da regra de correspondncia entre os conjuntos A e B. Nesse estudo inicial de funes usaremos sempre como domnio um subconjunto A R e o contradomnio ser sempre B = R. Notao: O domnio de uma funao f ser denotado por Dom(f ) Imagem: A imagem de uma funo f : A R, A R, denida como sendo o conjunto dos pontos y R tais que existe x A tal que f (x) = y. Observe que a imagem de uma funo f est contida no contradmnio da funo f. Denotamos o conjunto imagem da funo f por Im(f ).
18
Grco: O grco de uma funo um subconjunto do produto cartesiano R R. Denimos o grco de uma funo, denotado por Graf(f), o seguinte conjunto Graf (f ) = {(x, y) R R y = f (x)} . O grco de uma funo f pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema cartesiano ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (x, f (x)) Funo Crescente e Decrescente: Uma funo chamada de funo crescente se x1 < x2 f (x1 ) f (x2 ). Uma funo chamada de funo decrescente se x1 < x2 f (x1 ) f (x2 ). Exemplo: Considere a funo f cuja regra dada por f (x) = x 1. Neste caso a expresso x 1 s tem sentido para x 1, portando o domnio da funo, denotado por D(f ), D(f ) = {x Rx 1} . Logo podemos escrever f : [1, +) R x f (x) = x 1
Como x 1 f (x) = x 1 0 Im(f ) = R+ . Como x1 < x2 x1 1 < x2 1 = x1 1 < x2 1 (Note que isto vale porque x1 1 0 e x2 1 0) portanto f (x1 ) < f (x2 ). Logo f uma funo crescente. Grco de f (x) = x 1y 3
2
1
0
0
1
2
3
4 x
5
19
5.2
Sistema Cartesiano Ortogonal
Na conceituao de abcissa de um ponto, baseamo-nos na correspondncia biunvoca entre os pontos de um eixo e os nmeros reais. Analogamente, o conceito de sistema cartesiano surgiu para estabelecer-se uma correspondncia biunvoca entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de nmeros reais
20
5.3
Funo Am
Funo am: Sejam a e b nmeros reais, sendo a no nulo. Uma funo am uma funo f : R R que a cada x R associa f (x) = ax + b. O grco de uma funo am uma reta. O nmero a representa o coeciente angular da reta e o nmero b representa o coeciente linear (b a ordenada do ponto de interseo da reta com o eixo Oy). Se a > 0 a funo am crecente e se a < 0 a funo am decrescente. f (x) = ax + b
Exemplo : f (x) = 4x + 5
21
Funo linear: Sejam a um nmero real, sendo a no nulo. Uma funo linear uma funo f : R R que para cada x R associa f (x) = ax. Este um caso particular da funo am, neste caso o coeciente linear zero, ou seja, o grco da funo linear sempre passa pela origem Exemplo: f (x) = x
22
Funo constante: Sejam a um nmero real, sendo a no nulo. Uma funo linear uma funo f : R R que para cada x R associa f (x) = b. Neste caso o coeciente angular zero, ou seja, o grco da funo constate sempre paralelo ao eixo x e cruza o eixo y no ponto (0, b). Exemplo: f (x) = 2
RESUMO: Funo Am f (x) = ax + b, a o coeciente angular e b
23
5.3.1
Exercicio Resolvido Funo Am
1) A gura abaixo mostra os grcos das funes custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita so iguais, o lucro pela venda de 2000 CDs
24
Figura 5.1:
5.4
Funo Modular
Funo Modular: Denimos funo modular a f : R R denida por f (x) = |x| Da denio de mdulo a funo modular pode ser escrita como x, x 0 f (x) = x, x < 0 Observe que a funo modular s assume valores positivos, ou seja, f (x) = |x| 0, para todo x R. Grco: y = |x|
25
Exercicio Resolvido Funo Modular 1) Dada a funo denida por f (x) = Determine|: a) A imagem de f (x) b) O Domnio de f (x) c) o grco de f (x)|x| x se
x 6= 0 e f (x) = 0 se x = 0,
5.5
Funo quadrtica
Funo quadrtica: Sejam a,b e c nmeros reais, sendo a no nulo. Uma funo quadrtica uma funo f : R R que para cada x R associa f (x) = ax2 + bx + c. O grco de uma funo quadrtica uma parbola. Exemplo: f (x) = x2 3x + 2
26
Concavidade: No grco da prabola f (x) = ax2 + bx + c : i) Se a > 0 a parbola tem concavidade voltada para cima e ii) Se a < 0 a concavidade voltada para baixo. Zeros: Os valores de x para os quais temos f (x) = 0 so chamados os zeros da funo quadrtica. Os zeros so as abcissas dos pontos onde o grco da parbola intercepta o eixo dos x. Para encontrarmos os zeros da funo quadrtica devemos resolver a equao ax2 + bx + c = 0. Uma das formas mais comuns de resolver essa equao usando a famosa frmula de Baskara: b b2 4ac x= 2a Fazendo = b2 4ac, chamado de discriminante, podemos escrever a frmula de Baskara da seguinte forma: b x= 2a Se > 0 os zeros so reais e ddistintos. Se < 0 a equao no possui zeros reais e se = 0 a equao possui zeros reais e iguais Vrtices da parbola: As coordenadas dos vrtices da parbola so dados por b xv = e yv = 2a 4a 27
Grcos: Portanto Dependendo do valor de e do sinal de a temos os seguintes casos:
28
5.5.1
Exercicios Resolvidos Funo Quadrtica
1) Encontre os zeros da seguintes funes: a) f (x) = 2x2 3x 5 b) f (x) = 3x2 + 2x c) f (x) = (7x 1)(2x 3) 2) Resolver as inequaes: a) x2 4x + 3 > 0 b) 3x2 4x < 0 c) 2x2 + 7x 3 0 d) x2 + x + 1 > 0 e) 2x2 + 5x 4 0
5.6
Funo Raiz n-sima de x
Denimos funo raiz n-sima de x a funo f : Domf (f ) R denida por 1 f (x) = n x = x n . Se n um nmero par ento Dom(f ) = [0, +) e Im(f ) = [0, +) Se n um nmero impar ento Dom(f ) = R e Im(f ) = R Exemplos Funo raiz quadrada de x , f (x) = xy 3
2
1
0
0
1
2
3
4 x
5
29
Funo quarta de x raiz f (x) = 4 xy 3
2
1
0
0
1
2
3
4 x
5
Funo cbica de x raiz f (x) = 3 xy
2
0 -4 -2 0 2 4 x
-2
30
Funo quinta de x raiz f (x) = 5 xy 3
2
1 0 -4 -2 -1 0 2 4 x
-2
-3
5.6.11 2
Exercicios Resolvido Funo Raiz n-sima de x1
1) Se x + x 2 = 3, calcule a) x + x1 b) x2 + x2 2) Resolva as seguintes equaes: 3 a) x + 4 = 2 b) x + 2 = x 4 c) x2 + 4x + 3 = 4 x + 1 d) x + 1 = 2x + 1 3) Calcule a) rq 1 2 3 1 3. 27 b) 20 + 22n+2 p 4) Determine o domnio da funo f (x) = 5 ln(x + 2) 3 5) Faa o grco das funes f (x) = 7 x e g(x) = x 2n
r
4n+2
31
5.7
Funo Exponencial
Funo Exponencial: Dado um nmero real a > 0, a 6= 1, denimos funo exponencial de base a funo f : R R denida por f (x) = ax . Se a > 1 a funo f (x) = ax uma funo crescente, ou seja, x1 < x2 se e somente se f (x1 ) < f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 ento ax1 < ax2 .Se a < 1 a funo f (x) = ax uma funo decrescente, ou seja, x1 < x2 se e somente se f (x1 ) > f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 ento ax1 > ax2 . Observe que: a) O domnio da funo exponencial R b) A funo exponencial s assume valores positivos, isto , f (x) = ax > 0 para todo x R c) O grco da funo exponencial sempre passa pelo ponto (0, 1). Grcos: Dependendo do valor de a temos as seguintes situaes
Um caso particular da funo exponencial e que muito usado em aplicaes prticas a funo exponencial de base e = 2. 718 3.. denida por f (x) = ex . O grco de y = ex tem a seguinte forma:
32
33
5.7.1
Exerccios Resolvidos Funo Exponencial
1) Resolver as inequaes exponenciais a) 4x > 1 2x4 1 3x1 b) 1 < 2 2 2 c) 3x > 3x 2) Determinar o domnio da funo denida por y = 3x+2 3x
5.8
Funo Logartmica
Logartmo: Dado a > 0, a 6= 1, e um nmero real positivo b denominamos de logartmo de b na base a ao expoente que se deve elevar base a de modo que o resultado obtido seja igual a b. Matematicamente escrevemos loga b = x ax = b Propriedades dos logartmos: a) loga 1 = 0 b) loga a = 1 c) loga am = m d) loga b = loga c b = c e) aloga b = b f) loga (b.c) = loga b + loga c b g) loga c = loga b loga c h) loga bm = m. loga b log b i) loga b = log c a c Funo Logartmica: Dado um nmero real a, a > 0 e a 6= 1, denimos funo logartmica funo f : R R denida por f (x) = loga x. + Se a > 1 a funo f (x) = loga x uma funo crescente, ou seja, x1 < x2 se e somente se f (x1 ) < f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 ento loga x1 < loga x2 . Se 0 < a < 1 a funo f (x) = loga x uma funo decrescente, ou seja, x1 < x2 se e somente se f (x1 ) > f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 ento loga x1 > loga x2 . Observe que: a) O domnio da funo logartmica R + b) A funo logartmica assume todos os valores reais c) O grco da funo logartmica sempre passa pelo ponto (1, 0). Grcos: Dependendo do valor de a temos as seguintes situaes:
34
Um caso particular da funo logartmica e que muito usado em aplicaes prticas a funo logartmica de base e = 2. 718 3 denida por f (x) = loge x.Para loge x usamos a notao ln x. Portanto f (x) = ln x = loge x. Quando a base do logartmo 10 no precisamos escrever a base, ou seja, para log10 x usamos a notao log x. Portanto f (x) = log x = log10 x 35
O grco de y = ln x tem a seguinte forma:
O grco de y = log x tem a seguinte forma:
5.8.1
Exercicio Resolvido Funo Logaritmica
1) Resolver as inequaes logaritmicas a) log3 (x2 x + 3) > 2 b) 0 < log2 (2x 1) 1 c) log 1 (x + 2) + log 1 (x 3) > 2 2 2 36
5.9
Funo Hiperblica
Seno Hiperblico: Denimos a funo seno hiperblico, denotada por senh, funo sinh : R R denida por sinh(x) = ex ex 2
Observe que: a) O domnio da funo seno hiperblico R b) A funo funo seno hiperblico assume todos os valores reais c) .A funo funo seno hiperblico passa na origem do sistema cartsiano Grcos: O grco da funo seno hiperblico tem a seguinte forma
y
10 8 6 4 2 0
-10
-8
-6
-4
-2 -2 -4 -6 -8 -10
0
2
4
6
8 x
10
Cosseno Hiperblico:Denimos a funo cosseno hiperblico, denotada por senh, funo cosh : R R denida por cosh(x) = ex + ex 2
37
Observe que: a) O domnio da funo cosseno hiperblico R b) A funo funo cosseno hiperblico assume somente valores positivos c) .A funo funo cosseno hiperblico passa no ponto P (0, 1) do sistema cartesiano Grcos: O grco da funo cosseno hiperblico tem a seguinte forma x x cosh(x) = e +e 2y 10 8 6 4 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 0 2 4 6 8 x 10
Aplicao: Ao observar um o usado para transporte de energia eltrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele que meio arredondado, dando a impresso que o grco formado pela curva representa uma parbola, mas na verdade, tal curva o grco da funo cosseno hiperblico, conhecida como a catenria (do Latim catena=cadeia) pois foi atravs de uma corrente metlica formada por elos (cadeias) que se observou primeiramente tal curva. Outras funes Hiperblicas Tangente Hiperblica: sinh(x) tanh(x) = cosh(x)
38
Contangente Hiperblica: coth(x) = Secante Hiperblica: sech(x) = Cossecante Hiperblica: csch(x) = 1 sinh(x) 1 cosh(x) cosh(x) sinh(x)
As funes acima estaro denidas onde os respectivos denominadores no se anularem.
5.9.1
Exerccios Resolvidos Funes Hiperblicascosh 2 (x) sinh 2 (t) = 1
1) Mostre que 2) Determine os domnios das seguintes funes: tanh(x), coth(x),sech(x),csch(x).
5.10
Tipos importantes de funes
Funo par: Se f (x) = f (x), para todo x Dom(f ) ento dizemos que a funo f uma funo par. (note que o grco uma curva simtrica pelo eixo y). Exemplos: f (x) = x2 uma funo par pois f (x) = (x)2 = x2 = f (x) g(x) = cos(x) uma funo par, j que f (x) = cos(x) = cos x = f (x) Funo mpar: Se f (x) = f (x), para todo x Dom(f ) ento dizemos que a funo f uma funo mpar. (note que o grco uma curva simtrica pela origem). Exemplos: f (x) = x3 uma funo impar pois f (x) = (x)3 = x3 = f (x). Funo injetora: Se para quaisquer x1 e x2 no domnio de f, x1 6= x2 = f (x1 ) 6= f (x2 ), ento dizemos que f uma funo injetora. Exemplos: f (x) = x3 uma funo injetora j que x1 6= x2 x3 6= x3 1 2 f (x1 ) 6= f (x2 ) f (x) = x2 no injetora pois tomando x1 = 3 e x2 = 3 temos x1 6= x2 mas f (x1 ) = 9 e f (x2 ) = 9 f (x1 ) = f (x2 ) Geometricamente, para uma funo f : R R, se qualquer reta paralela ao eixo dos x cortar o grco de f em apenas um ponto a funo f uma funo injetora. 39
Funo sobrejetora: aquela em que sua imagem coincide com seu contradomnio. Funo bijetora: aquela que ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora. Funo composta: Sejam g : A B e f : Im(g) C. A funo f g : A C dada por (f g) (x) = f (g(x)) a funo composta da funo f com a funo g. Exemplos: g(x) = x3 e f (x) = |x| ento (f g) (x) = f (g(x)) = f (x3) = |x 3| h(x) = ex e v(x) = sin x ento (v h) (x) = v(h(x)) = v(ex ) = x sin(e ) Observao: Note que em geral (f g) (x) 6= (g f ) (x).No exemplo acima (g f ) (x) = g(f (x)) = g(|x|) = |x| 3 (g f ) (x) = |x| 3 6= |x 3| = (f g) (x) Funo inversa: Seja y = f (x) uma funo onde f : A B. Se, para cada y B, existir exatamente um valor de x A tal que y = f (x), ento podemos denir uma funo g : B A tal que x = g(y). A funo g denida desta maneira chamada funo inversa de f e denotada por f 1 . Observao :a) Pela denio podemos concluir que para existir a funo inversa a funo f deve ser bijetora. 1 ento b) Se a funo f possui uma inversa f 1 1 f f (y) = y e f f (x) = x Exemplos: A funo f : [0, +) [0, +) , denida por f (x) x2 tem = como inversa a funo f 1 : [0, +) [0, +) dada por f 1 (x) = x A funo f : R R, denida por f (x) = x3 tem como inversa 1 a funo f : R R dada por f 1 (x) = 3 x Geometricamente o grco da funo inversa f 1 e o grco da funo f so simtricos em relao ao eixo Ox : f (x) = x2
40
y
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5 x
2
5.11
Construo de Grcos
Se c um nmero real positivo ento: O grco de f (x+c) o grco de f (x) deslocado c unidades para a esquerda. O grco de f (x c) o grco de f (x) deslocado c unidades para a direita.
41
O grco de f (x) + c o grco de f (x) deslocado c unidades para cima. O grco de f (x) c o grco de f (x) deslocado c unidades para baixo.
42
O grco de |f (x)| igual ao grco de f (x) se x positivo e o grco de f (x) reetido atravs do eixo Ox se x negativo Exemplo: Grco de f (x) = x3 2x + 4 (linha contnua) Grco de h(x) = |f (x)| = x3 2x + 4 (linha tracejada)y 10
5
0 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 x
-5
-10
O grco de f (x) o grco de f (x) reetido atravs do eixo Ox Exemplo: Grco de f (x) = x3 2x + 4 (linha contnua) Grco de g(x) = f (x) = x3 + 2x 4 (Linha Tracejada)
43
y
10
5
0 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 x
-5
-10
4) Resolver as inequaes logaritmicas a) log3 (x2 x + 3) > 2 b) 0 < log2 (2x 1) 1 c) log 1 (x + 2) + log 1 (x 3) > 2 2 2 5) Determinar o domnio da funo denida por y = 3x+2 3x
5.12
Exerccios de Fixao
1) Sendo f (x) = 3x 1 a) Calcular f (0) b) Calcular f ( 1 ) 3 c) Para que valor de x, temos f (x) = 0. d) Sendo f (x) = ax + b uma funo am e sendo p e q nmeros reais e distintos, calcular f (p), f (q) e mostrar que f (p)f (q) = a pq 2) Resolver as inequaes a) (2x 3)(x 1) > 0 b) (x 2)(3x + 1) < 0 c) x2 5 d) x2 + 1 < 2x2 3 5x e) 0 < x2 + x + 1 < 1 f) 4 < x2 12 4x g) 2x + 1 x2 < 2x + 3 h) 1 x2 3 1 i) x2 + 4x + 3 (2x + 5) < 0 j) 2x2 + 3x + 3 3 44
b)
k) x3 x2 x 2 > 0 3) Resolver as inequaes quocientes x2 a) 2x2 +x6 0 +3x2(x2)4 x2 2x15 0 6x2 x+2 6x2 5x+1 > 0 x 2 x1 x+1 0 x1 x3 x2 < x4 2 2 2x+3 x5 x2 3x+5 4 x+1 2x3 > 2 x+1 x 2x < 3+x
c) x(loga x)+1 > a2 x para 0 < a < 1. p d) Dar o domnio da funo f (x) = log(x2 2x) 7) Se uma bola atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 m/s, ento, aps t segundos, a distncia s acima do ponto de partida, em metros, dada por s = 32t 16t2 . Em que instante a bola estar no ponto mais alto e qual ser esta altura? (Faa um esboo do grco da equao). 8) A energia potencial elstica W armazenada numa mola esticada dada pela expresso W = 1 kx2 onde k a constante elstica da mola e x o quanto 2 a mola est alongada Para uma constante elstica igual a 10 unidades i) Qual o nmero que exprime o valor de sua energia potencial W , para um alongamento de 2 unidades ii) De quanto est esticada a mola quando sua energia potencial de 80 unidades. 9) Desenhar o grco das seguintes funes i) f (x) = |x + 1| ii) f (x) = 1 x iii) f (x) = 3 x| | iv) f (x) = x2 + x 6 10) Especique o domnio e faa um esboo do grco de cada uma das funes: 45
c) d) e) f) g) h) i) 4) Resolver as equaes exponenciais a) 2x3 + 2x1 + 2x = 52 x2 3 b) 2x+4 =1 5) Resolver as inequaes exponenciais 2x+4 3x a) 3 > 3 2 b) 5x 8x20 < 1 2 c) (0, 3)4x 2x2 (0, 3)2x3 6) Resolver as inequaes logartmicas a) log2 (x 2) log 1 (x 3) < 1 = S = {x R3 < x < 4} 2 q q n o b) log 1 (x2 3 ) 1 = S = x R 2 x < 3 ou 3 < x < 2 2 2 2 2
a) y = log10 (x + 5) b) y = ln x c) y = ln(x) d) y = ln |x| 11) Resolva cada equao em x a) ln x = 1 b) ln(2x 1) = 3 c) e3x4 = 2 d) eax = Cebx , onde C uma constante e a 6= b ln(ln x) = 1 12) Se a populao de bactrias comea com 100 e dobra a cada trs horas, t ento o nmero de bactrias aps t horas n = f (t) = 100.2 3 : a) Encontre a funo inversa de f e explique seu signicado. b) Quando a populao atingir 50.000 bactrias? 13) Aps acionado o Flash de uma cmera, a bateria imediatamente comea a recarregar o capacitor do ash, o qual armazena uma carga eltrica dada por t Q(t) = Q0 (1 e a ) (A capacidade mxima de carga Q0 , e t medido em segundos.) a) Encontre a funo inversa de Q e explique seu signicado. b) Quanto tempo levar para o capacitor recarregar 90% da capacidade se a = 2? 14) Se f (x) = ln x e g(x) = x2 9, encontre as funes f g, g f, f f, g g 15) Expresse a funo F (x) = 1 como uma composta de trs funes. 16) Faa o grco da funo y =x+ x 1 x
0, se t < 0 . Essa 1, se t 0 funo usada no estudo de circuitos eltricos para representar o surgimento repentino de corrente eltrica, ou voltagem, quando uma chave instantaneamente ligada: a) Faa o grco da funo de heaviside b) Faa um esboo da funo rampa y = tH(t) 18) Seja f : R R uma funo qualquer, encontre duas funes g, h : R R, g(x) uma funo par e h(x) uma funo impar, tal que 17) A funo de Heaviside H denida por H(t) = f (x) = g(x) + h(x) 19) Uma funo f : R R chamada de funo convexa se f (tx+(1t)y) tf (x) + (1 t)f (y), t [0, 1]. a) Mostre que a funo f (x) = x2 uma funo convexa b) Mostre que a funo f (x) = ex uma funao convexa c) Mostre que a funo f (x) = |x| uma funao convexa d) O que signica geometricamente a desigualdade f (tx+(1t)y) tf (x)+ (1 t)f (y), t [0, 1]?
46
Captulo 6
Geometria Plana6.1 Reta
A toda reta r do plano cartesiano est associada uma equao da forma ax + by + c = 0, onde a, b, c so nmeros reais, a 6= 0 ou b 6= 0 e o ponto (x, y) representa um ponto genrico de r A equao da reta pode se apresentar de vrias outras formas 1) Sejam Q(x1 , y1 ), R(x2 , y2 ), Q 6= R e r a reta denida por Q e R ( gracamente isto quer dizer que a reta passa pelos pontos Q e R). Se P (x, y) um ponto pertencente a reta r, ento os pontos P, Q e R so colineares. A condio de colinearidade dos tres pontos no plano dada por: x y 1 x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 Calculando o determinante obtemos x(y1 y2 ) + y(x2 x1 ) + (x1 y2 x2 y1 ) = 0 y(x2 x1 ) = x(y1 y2 ) (x1 y2 x2 y1 ) y= (y2 y1 ) x2 y1 x1 y2 x+ (x2 x1 ) (x2 x1 )
(y 2) Fazendo m = (x2 y1 ) (m o coeciente angular da reta) e q = x2 y1 x1 y2 (x2 x1 ) 2 x1 ) (q o coeciente linear da reta) podemos escrever a equao da reta na forma
y = mx + q 3) Se m o coeciente angular da reta e a reta passa pelo ponto R(x2 , y2 ) temos
47
y y y
x2 y1 x1 y2 (x2 x1 ) x2 y1 x1 y2 y2 x2 + y2 x2 = mx + (x2 x1 ) (y2 y1 ) x2 + (x2 x1 )y2 = mx + (x2 x1 ) = mx + y y2 = m(x x2 )
4) Considere uma reta r que intercepta os eixos nos pontos Q(0, q) e P (p, 0) distintos. A equao dessa reta x y 1 0 q 1 = 0 = qx + py pq = 0 p 0 1 x y + =1 p q 5) Se na equao y = mx + q fazemos x = f (t), onde f uma funo am, ento y = mf (t) + q, onde t R um parmetro. Chamando g(t) = mf (t) + q temos que y = g(t). Portanto as coordenadas x e y de um ponto da reta podem ser dadas em funo de parmetro real t : x = f (t) , t R, f (t) e g(t) so funes ans y = g(t) Resumo: ax + by + c = 0 x y 1 Se a reta passa por Q(x1 , y1 ), R(x2 , y2 ), Q 6= R : x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 Forma reduzida : y = mx + q Equao da reta dados um ponto e uma direo: y y0 = m(x x0 ) x y Forma Segmentria : + =1 p q Forma Geral:
Forma Paramtrica :
x = f (t) t R, , y = g(t) f (t) e g(t) so funes ans
Condio de Paralelismo: Duas retas so paralelas quando m1 = m2 Condio de perpendicularismo: Duas retas so perpendiculares quando: 1 m1 = m2 48
6.1.1
Exercicios Resolvidos 1
1) Encontre a equao reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(1, 5). 2) Trace a reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(2, 2). 3) Obter a reta que s passa por P (3, 2) e perpendicular a reta r: 3x + 14y 17 = 0.
6.2
Distncia
Distncia entre dois pontos no plano: A distncia entre os pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) em um plano cartesiano dada por: p d(P1 , P2 ) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2
Frmula do ponto mdio: Dados os pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) no plano seja M (x, y) o ponto mdio do segmento que une os pontos P1 e P2 ento x = 1 (x1 +x2 ) e y = 1 (y1 +y2 ), ou seja, o ponto mdio M ( 1 (x1 + x2 ), 1 (y1 + y2 ) . 2 2 2 2 A distncia d do ponto P (x0 , y0 ) reta Ax + By + c = 0 dada por: d= |Ax0 + By0 + C| A2 + B 2
6.2.1
Exercicios Resolvidos 2
1) Calcular a distncia entre os pontos A(3, 7) e B(5, 1). 2) Determinar as coordenadas do ponto mdio do segmento que une os pontos A(1, 2) e B(9, 14).
6.3
Circunferncia
Forma Padro Se C(x0 , y0 ) um ponto xo do plano, ento a circunferncia de raio r e centro em C o conjunto dos pontos P (x, y) do plano cuja distncia de C(x0 , y0 ) r. Assim um ponto P (x, y) estar situado nesta circunferncia se d(P, C) = r, ou seja q 2 (x x0 ) + (y y0 )2 = r ou (x x0 ) + (y y0 )2 = r2 que a forma padro da equao da circunferncia de raio r e centro C(x0 , y0 ). Se o centro da circunferncia for a origem do sistema cartesiano temos: x2 + y 2 = r2 492
Forma geral Uma equao completa do segundo grau do tipo Ax2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Ela representa uma circunferncia se tivermos: 1o ) A = B 6= 0 2o ) C = 0 3o ) D2 + E 2 4AF > 0. Neste caso r D E D2 + E 2 4AF O centro C = , e o raio r = 2A 2A 4A2 Se D2 + E 2 4AF Se D2 + E 2 4AF = 0 temos um ponto < 0 temos uma circunferncia imaginria
Concluso: A forma geral da circuferncia Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 com D2 + E 2 4AF > 0.
6.3.1
Exerccios Resolvidos 3
1) Obter a equao da circunferncia de centro C(1, 2) que passa pelo ponto P (4, 2). 2) Quais das equaes abaixo representam uma circunferncia: a) 2x2 + 2y 2 + xy 1. b) x2 + y 2 + 2x + 3y + 4 = 0. c) 2x2 + 2y 2 3x 3y + 2 = 0. d) x2 + y 2 2x 2y + 2 = 0. 3) Representar gracamente os conjuntos: a) A = n(x, y) x2 + y 2 2x 2y + 1 0 . o p b) B = (x, y) x = 2 9 y 2 .
6.4
Exerccios de Fixao
1) Encontre a distncia entre A e B e determine o ponto mdio deste segmento de reta a) A(2, 5) e B(1, 1). b) A(7, 1) e B(1, 9). 2) Prove que issceles o tringulo de vrtices V1 (5, 2), V2 (6, 5) e V3 (2, 2). 3) Prove que os pontos P (0, 2), Q(4, 8) e R(3, 1) esto sobre um crculo de centro C(2, 3). 4) Obter o ponto de interseo das retas 3x + 4y 12 = 0 e 2x 4y + 7 = 0. 5) Mostrar que as retas r: 2x + 3 = 0 e s: y 11 = 0 so perpendiculares. 5) Calcular a distncia entre as retas r: 7x+24y1 = 0 e s: 7x+24y+49 = 0. 7) Encontre o centro e o raio de cada circunferncia a) x2 + y 2 + 8x 6y + 20 = 0. b) 4x2 + 4y 2 8x + 12y + 1 = 0. c) x2 + y 2 4x + 3 = 0. d) 3x2 + 3y 2 7y = 0. 8) Obter a interseo das circunferncias: x2 + y 2 2x 2y + 1 = 0 e 2 x + y 2 8x 2y + 13 = 0. 50
9) Obter a equao da reta que passa pelas intersees das circunferncias x2 + y 2 + 3x y = 0 e 3x2 + 3y 2 + 2x + y = 0. 10) Considere a funo cujo grco dado pela gura a seguiry 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 x 5
a) Determine a expresso anlitica da funo f b) Seja g(x) = |f (x)| , desenhe o grco de g(x) c) Seja h(x) = g(x 1), desenhe o grco de h(x) d) Seja l(x) = (h g)(x), desenhe o grco de l(x)
51
Captulo 7
Trigonometria7.1 ngulos e Arcos
ngulo: ngulo o espao contido entre dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.
O Grau Denimos como 1 grau, que denotamos por 1 , o arco equivalente a 1/360 da circunferncia, isto , em uma circunferncia cabem 360 . Exemplos:
O grau comporta ainda os submltiplos, minuto() e segundo(), de forma que: 1o =60 e 1=60" 52
O Grado a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferncia na qual estamos medindo o arco. O Radiano Denimos 1 radiano como o arco cujo comprimento igual ao raio da circunferncia onde tal arco foi determinado.
Lembramos que o comprimento de uma circunferncia de raio r dado por 2r. Utilizando a relao apresentada acima, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos: Dado um arco cujo comprimento L unidades de comprimento, dizemos que sua medida, em radianos, igual a L . Assim, se a circunferncia do arco r considerado tem raio unitrio, a medida do arco, em radianos, numericamente igual ao comprimento do arco. Comprimento de um arco Sabemos que a medida de um arco em radianos o nmero que indica quantas vezes um arco, de comprimento igual ao raio, cabe no arco medido, isto : = L = L = .r r
rea do setor circular A rea sombreada abaixo e chamada de setor circular. evidente qaue as razes das reas do crculo e do setor circular so as mesmas que as razes entre os respectivos ngulos centrais. Assim, se os ngulos centrais estiverem em radianos, temos
53
r2 A = = A = r2 2 2
7.2
Trigonometria Bsica no Tringulo Retngulo
1) 2) 3)
a=m+n h2 = m.n a.h = b.c
4) b2 = a.m 5) c2 = a.n 2 6) a = b2 + c2
Exemplo: Em um tringulo retngulo as medidas dos catetos so 8 cm e 6 cm. Determine a altura do tringulo relativamente hipotenusa.
7.3
Relaes Trigonomtricas:
54
Razo seno: O seno de um ngulo agudo em um tringulo retngulo denido por: cateto oposto seno = hipotenusa Razo cosseno: O seno de um ngulo agudo em um tringulo retngulo denido por: cosseno = cateto adjacente hipotenusa
Razo tangente: A tangente de um ngulo agudo em um tringulo retngulo denido por: tangente = cateto oposto cateto adjacente
A partir destas denies so denidas tambm cotangente = 1 tangente
secante =
1 cosseno
1 seno Sejam e ngulos tais que + = 90 conforme a gura cossecante =
55
ento valem as relaesb sin = a c cos = a b tan = c c sin = a b cos = a tan = c b
Exemplo: Mostre que vale a relao sin2 x + cos2 x = 1,qualquer x R. Exemplo: Obtenha o comprimento d da diagonal do quadrado em funo do lado L. Exemplo: Calcule a rea de um exgono inscrito em circunferncia de raio r.
7.4
Trigonometria Bsica no Tringulo Qualquer
Considere o tringulo qualquer conforme a gura:
Lei dos senos Se os lados de um tringulo tiverem comprimentos a, b e c e se for o ngulo entre os lados b e c, entre os lados c e a, entre os lados a e b ento vale a relao a b c = = sin sin sin Observao: Usa-se a lei dos senos quando so conhecidos dois ngulos e um lado 56
Figura 7.1: Lei dos Cossenos Se os lados de um tringulo tiverem comprimentos a, b e c e se for o ngulo entre os lados com comprimento a e b, ento c2 = a2 + b2 2.a.b. cos Observao: Usa-se a lei dos cossenos quando so so conhecidos dois lados e o ngulo formado por eles.
7.4.1
Exercicio Resolvido
1) Na gura, a circunferncia de centro O tangente reta AB no ponto P. Se AC = 2, determine o comprimento do raio da circunferncia 2) Mostre que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180
7.5
Ciclo Trigonomtrico
As razes seno, cosseno, tangente e as demais razes dependem apenas do ngulo que considerado pois no tringulo retngulo existe a proporcionalidade
57
entre os seus lados quando consideramos um ngulo xo. Como o clculo das razes trigonomtricas no depende do tamamho da hipotenusa podemos determinar todas as razes considerando o comprimento da hipotenusa igual a 1 ( claro que para cada ngulo e tringulo retngulo com hipotenusa igual a um teremos catetos diferentes) e isto pode ser visualizado mais facilmente no ciclo trigonomtrico, que uma circunferncia de raio um, onde para cada ngulo medido no sentido anti-horrio determinamos as razes para cada tringulo retngulo com hipotenusa de comprimento igual a um.
58
59
7.6
Funes Trigonomtricasf : R R, f (x) = sen(x), Dom(f ) = R, Im(f ) = [1, 1]
Funo Seno:
Funo Cosseno: f : R R, [1, 1]
f (x) = cos(x), Dom(f ) = R, Im(f ) =
n Funo tangente:f : R 2 n Z R, x Rx 6= n , n Z , Im(f ) = R 2
f (x) = tan(x), Dom(f ) =
60
7.7
Identidades trigonomtricassin2 x + cos2 x = 1 sec2 x = 1 + tan2 x csc2 x = 1 + cot2 xsin tan x = cos x x cos x cot x = sin x 1 cot x = tan x 1 sec x = cos x 1 csc x = sin x sec x csc x = tan x
Identidades fundamentais:
Valores das razes mais empregados em aplicaes prticas 0 sin cos tan 0 1 0 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 90 1 0 @
Outras Identidades Trigonomtricas
61
a) sin( ) = sin . b) cos( ) = cos . c) tan( ) = tan .
sin( + ) = sin cos( + ) = cos . tan( + ) = tan
sin() = sin . cos() = cos tan() = tan .
d) sin = sin( + 2) sin = sin( 2). e) cos = cos( + 2) cos = cos( 2). f ) tan = tan( + 2) = tan( 2) = tan( + ) g) sin = sin( 2n), n = 0, 1, 2, h) cos = cos( 2n), n = 0, 1, 2, i) tan = tan( n), n = 0, 1, 2, ... ngulos Complementares j) sin = cos( ) 2 k) cos = sin( ) 2 cos( 2 ) l) tan = sin( ) = = cot( ) 2 2 m) cot = tan( ) 2
sin( + 2) = sin( 2) cos( + 2) = cos( 2). tan = tan( ).
Frmulas de adio e subtrao:
a) sin( + ) = sin . cos + sin . cos b) sin( ) = sin . cos sin . cos c) cos( + ) = cos . cos sin . sin d) cos( ) = cos . cos + sin . sin tan +tan e) tan( + ) = 1tan . tan tan tan f) tan( ) = 1+tan . tan Frmulas de ngulo duplo: a) sin 2 = 2. sin . cos b) cos 2 = cos2 sin2 2. tan c) tan 2 = 1tan2 Frmulas do ngulo metade: a) sin2 = 2 b) cos2 = 2 Formulas de produto em soma: a) sin . cos = 1 [sin( ) + sin( + )] 2 b) sin . sin = 1 [cos( ) cos( + )] 2 c) cos . cos = 1 [cos( ) + cos( + )] 2 621cos 2 1+cos 2
Frmulas de soma em produto: a) b) c) d) sin + sin = 2. sin + . cos 2 2 cos + cos = 2. cos + . cos 2 2 sin sin = 2. cos + . sin 2 2 cos cos = 2. sin + . sin 2 2 Trigonometria hiperblica x2 y 2 = 1 2 cosh (x) sinh 2 (x) = 1 sinh(x) tanh(x) = cosh(x)
Trigonometria circular versus Trigonometria hiperblica Trigonometria circular x2 + y 2 = 1 2 cos (x) + sin 2 (x) = 1 sin(x) tan(x) = cos(x)
cot(x) = cos(x) coth(x) = cosh(x) sin(x) sinh(x) 1 1 sec(x) = cos(x) sech(x) = cosh(x) 1 csc(x) csch(x) = sinh(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) cos(2x) = cos 2 (t) sin 2 (t) cosh(2x) = cosh 2 (t) + sinh 2 (t) 2 tan(x) 2 tanh(x) tanh(2x) = (1+tanh 2 (x)) tg(2x) = (1tan 2 (x)
7.8
Exerccios de Fixao
1) Exprimir em radianos a) 36 b) 135 c) 300 2) Exprimir em graus a) rad b) rad c) rad d) 7 rad 6 4 3 4 3) Quanto mede, em radianos, a) um arco de 22 30 b) um arco de 56 15 4) Mostre que um arco de 1 rad mede aproximadamente 57 5) Um mvel faz um percurso de meio quilmetro sobre uma circunferncia de dimetro 200 metros. Qual a medida do ngulo central correspondente ao percurso? 6) Calcular o menor ngulo entre os ponteiros de um relgio nos seguintes instantes a) 10h 30min b) 2h 15 min c) 13h 35 min 7) Determine a frmula para a rea A de um setor circular em termos de seu raio e do comprimento de arco L 8) Determine a rea lateral S de um cone circular reto de raio r e de geratriz L 9) Encontre os valores de x e y na gura abaixo:
63
Dados: P Q = 10m, T R = 2, 3m, P T = x, QS = y 10) Um carro sobe uma via em forma de plano inclindado, com inclinao de 20 em relao horizontal. Em que altura, em relao horizontal, o carro estar se percorrer 1 km na via. Dado: sin 20 = 0, 34 11) Se um ngulo agudo, use identidades fundamentais para escrever a primeira expresso em funo da segunda: a) cot ; sin b) sec ; sin c) tan ; cos d) csc ; cos e) tan ; sec 12) Fazendo a substituio trigonomtrica x = a sin para - , 2 2 escreva a2 x2 em termos de uma funo trigonomtrica de . 13) Usando a substituio indicada simplique os radicais: a) 16 x2 ; x = 4 sin para - 2 2 x2 b) 9x2 ; x = 3 sin para - 2 2 x c) 25+x2 ; x = 5 tan para - 2 2 d) x 2+4 ; x = 2 tan para - 2 2 x 2 e) xx9 ; x = 3 sec para 0 2 14) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para a funo f (x) = cos x denida para x [0, 2] 1 1 1 15) 1+sin2 + 1+cos2 x + 1+sec2 x + 1+cos1sec2 x igual a: 16) Os valores que m pode assumir para que exista um arco x satisfazendo a igualdade sin x = m 4 so: 17) A expresso cos2 x + cos2 x tan2 x + tan2 x igual a: 18) Determine as solues das equaes em [0, 2) a) 2 sin2 u = 1 sin u b) cos sin = 1 c) 2 tan sec2 = 0 d) sin x + cos x cot x = csc x e) sin 2t + sin t = 0 f) cos + cos 2 = 0 642
g) tan 2x = tan x h) sin u + cos u = 1 2 19) Mostre que o comprimento da diagonal maior de um paralelogramo d = a2 + b2 + 2ab cos
20) Desenhe o grco das seguintes funes: a) y = sin(3x) b) y = 1 x sin c) y = |cos x| d) y = cos x 2
65
Captulo 8
Reviso GeralLista de Exerccios de Matemtica Bsica 1. Resolva as inequaes em R (a) 1 x 2x2 01 3 3x 4 1x 3
(b) 2x 5 < (c)x+1 2x
+
+
0 0 b) b um nmero negativo b < 0 c) a maior que b a > b 03) Representar na reta real os seguintes intervalos a) [10, 11] b) [0, 3) c) (3, 0] d) (3, 7) e) (0, +) 04) Representar gracamente os intervalos dados pelas desigualdades a) 2 x 7 b) 3 x 5 c) 0 x < 2 d) < x < 1 05) Deternimar gracamente a) (5, 7] [6, 9] b) (, 7] [8, 10] c) (3, 0] (0, 8) d) (0, 7] (5, 7)
71
06) Sejam M = {x R2 x < 10}, N = {x R 3 < x < 8} e P = {x R2 x 9} . Determinar o conjunto P (M N ). Soluo: P (M N ) = (3, 8) 07) Resolva as inequaes e exprima a soluo em termos de intervalos quando possvel: a) 2x + 5 < 3x 7 S = (12, +) b) x 8 < 5x + 3 S = 11 , 4 c) 2 2x3 < 7 S = [ 7 , 19) 5 2 x+1 d) 2x3 > 2 S = ( 3 , 7 ) 2 3
9.3
Do Captulo 3, Mdulo
Exerccios resolvidos do Captulo 3 1) Completar as implicaes abaixo a) Se |x| = 5 ento x = 5 ou x = 5 b) Se |x| = 0 ento x = 0 c) Se |x| < 3 ento 3 < x < 3 d) Se |x| > 7 ento x > 7 ou x < 7 2) Representar na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relaes a) |x| = 3 b) |x| < 3 c) |x| > 1 |x 3| = 5 3) Resolver a) |x 3| < 4 S = (1, 7) 1 b) |2x3| > 5 S = 7 , 8 3 = x R 7 < x < 8 e x 6= 3 5 5 2 5 5 2 c) |3x 4| > 2 S = x Rx < 2 ou x > 2 3 d) |3x 2| = |5x + 4| x = 3 ou x = 1 4 e) |x + 4| 2 S = (, 6] [2, +) Exerccios de Fixao do Captulo 3 1) Reescreva sem usar o smbolo de valor absoluto a) (5) |3 6| = 15 b) |6| = 3 2 c) |7| + |4| = 11 d) |4 | = 4 2) Use a denio de mdulo para reescrever sem usar o smbolo de mdulo a) se x < 3 ento |x + 3| = x 3 b) se x > 5 ento |5 x| = x 5 3) Resolver as equaes em R a) |5x 3| = 12 x = 3; x = 9 5 b) 3| = |7x 5| x = 2 ; x = 8 |2x 5 9 x+2 4 c) x2 = 5 x = 3; x = 3 d) |3x + 2| = 5 x x = 3 ; x = 7 4 2 e) 2x 7 = |x| + 1 x = 8 4) Resolva a desigualdade e exprima a soluo em termos de intervalos, quando possvel a) |x + 3| < 0, 01 S = (3.01, 2.99) 72
b) |2x + 5| < 4 S = 9 , 1 2 2 c) |3x 7| 5 S = , 2 ] [4, + 3 d) |11 7x| > 6 S = , 17 ) [ 5 , + 7 7 e) 3 |x 2| 7 S = [5, 1] [5, 9] 2 f) |x+3| < 1 S = (, 5) (1, +) g) |x + 4| |2x 6| S = (, 2 ] [10, +) 3 h) 72x 1 S = 9 , 19 5+3x 2 7 k)1 |x+1||x3|
i) |x 1| + |x + 2| 4 S = (, 5 ) ( 3 , +) 2 2 5 1 j) 2x1 x2 S = (, 11 ) (3, +) 1 7 2 1 5
S = [2, 4] {1, 3}
9.4
Do Captulo 4, Expresses Algbricas
Exercicios Resolvidos 1 do Captulo 4 1) 10m + 10n = 10(m + n) 2) 6xy 5 + 12x2 y 2 = 6xy 2 (2x + y 3 ) 3) 4bx 32b + 4by = 4b(x + y 8) 4) 4x + 4z bx bz 4(x + z) b(x + z) = 5) x + x2 + x3 + 1 = x2 + 1 (x + 1) Exercicios Resolvidos 2 do Captulo 4 1) Reescreva usando produtos notveis: a) (a + 2)(a 2) = a2 4 b) (xy + 3z)(xy 3z) = x2 y 2 9z 2 c) (x2 4y)(x2 + 4y) = x4 16y 2 e) (x + 3)2 = 6x + x2 + 9 f) (2a 5)2 = 4a2 20a + 25 g) (2xy + 4)2 = 16xy + 4x2 y 2 + 16 i) (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64 j) (2a + b)3 = 8a3 + b3 + 6ab2 + 12a2 b l) (a 1)3 = 3a 3a2 + a3 1 m) Calcule 41.39 usando um produto notvel: (40 + 1)(40 1) = 402 12 = 1.599 n) Calcule 101.99 usando um produto notvel: (100 + 1) (100 1) = 1002 1 = 9999. Exerccios de Fixao do Captulo 4 1 ) A soma de dois nmeros igual a 10 e a soma dos seus cubos igual a 100. Qual o valor do produto desses nmeros? Sugesto Expandir (a+b)3 . Efetuar a multiplicao de ab (a + b) . Comparar os dois resultados e usar os dados do problema para calcular o valor de ab. Soluo: ab = 30
73
2) Calcule o valor de M na expresso abaixo, para: a = 700, b = 33, x = 23, 48ey = 9, 14345. M= (ax + by)2 + (ay bx)2 (ay + bx)2 + (ax by)2
Sugesto: usar produtos notveis para desenvolver os quadrados. Se voc observar CUIDADOSAMENTE a expresso acima, ver que o numerador e o denominador da frao so IGUAIS, e, portanto, M = 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y. 1) Desenvolva: a) (3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y 2 b) ( 1 + x2 )2 = ( 1 ) + x2 + x4 2 4 c) (( 2x ) + 4y 3 )2 = ( 4 )x2 ( 16 )xy 3 + 16y 6 3 9 3 d) (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2 y + 54xy 2 + 27y 3 1 1 e) (x4 + ( x2 ))3 = x12 + 3x6 + 3 + x6 2) Efetue as multiplicaes: a) (x 2)(x 3) = x2 5x + 6 b) (x + 5)(x 4) = x2 + x 20 3) Simplique as expresses: a) (x + y)2 x2 y 2 = 2xy b) (x + 2)(x 7) + (x 5)(x + 3) = 2x2 7x 29 c) (2x y)2 4x(x y) = y 2 4) Simplique as fraes algbricas x2 x a) x1 = x x+2 1 b) x2 +4x+4 = x+2 c) d) e) f) g) h)a2 9 a3 = a + 3d xy xy 1 x2 y 2 = (x+y)(xy) = x+y 2 x +6x+9 = x + 1 = 1x + 1 3x+9 3 3 2 6xy3x 3x 2 2xy = 2y 4y ax+ay a x2 +2xy+y 2 = x+y x2 4 x+2 = x 2 a(x+y) ax2 ay2 x2 2xy+y2 = (xy)
i) 5) Simplicando a expresso
x+z x+y y+z + + =0 (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) 6) Desenvolver as expresses e simplicar se possvel a) (2a 3b)2 = 4a2 12ab + 9b2 b) (a b)2 + (a + b)2 = 2a2 + 2b2 c) (a b)2 (a + b)2 = 4ab d) (3z y)2 (z 2y)2 = 8z 2 3y 2 2yz e) (a b)(a + b)(a2 + b2 ) = a4 b4 74
7) Calcular 6789592 6789582 = 1357 917. Sugestao : Faa x = 678959 e use produtos notveis. 8) Simplicar a expresso, considerando que a 6= b a2 + 2ab + b2 a b = a2 b2 a+b m2 + n2 + p2 mnp : 17 10) Calcule o valor da expresso 1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz quando xyz = 1. Soluo: O valor da expresso 1. 11) Dados dois nmeros a e b positivos, mostre que a mdia geomtrica sempre menor ou igual a mdia aritmtica dos nmeros a e b. Sugesto: Comece pela desigualdade (a 2 0 b) 1 1 1 12) Mostre que det a b c = (a b)(b c)(c a).Sugesto: Desela2 b2 c2 volva os dois lados separadamente e compare-os a+b ab 2
9) Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 1 ento o valor de
9.5
Do Captulo 5, Funes
Exerccio Resolvido Funo Am 1) A gura abaixo mostra os grcos das funes custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita so iguais, o lucro pela venda de 2000 CDs Soluo: O lucro de R$ 2600, 00 Exercicios Resolvidos Funo Modular 1) Dada a funo denida por f (x) = |x| se x 6= 0 e f (x) = 0 se x = 0, x Determine|: a) Sugesto: use a denio de mdulo para estimar |x| , supondo x 6= 0. A x imagem de f (x) Im(f ) = {1, 0, 1} . b) O Domnio de f (x) D(f ) = R c) O grco de f (x) . Utilize a dinio f (x) e os itens a) e b) para fazer o grco. Exerccios Resolvidos Funo Quadrtica 1) Encontre os zeros da seguintes funes: a) f (x) = 2x2 3x 5 2x2 3x 5 = 0, Soluo : 1, 5 2 b) f (x) = 3x2 + 2x 3x2 + 2x = 0, Soluo : 0, 2 3 75
Figura 9.1: c) f (x) = (7x 1)(2x 3) (7x 1)(2x 3) = 0, Soluo : 2) Resolver as inequaes: a) x2 4x + 3 > 0 S= {x Rx < 1 ou x > 3} b) 3x2 4x < 0 S = x R 0 < x < 4 3 c) 2x2 + 7x 3 0 S = x R x 1 ou x 3 2 d) x2 + x + 1 > 0 S = R e) 2x2 + 5x 4 0 S = Exercicios Resolvidos Funo Raiz n-sima de x 1 1 1) Se x 2 + x 2 = 3, calcule 1 a) x + x b) x2 + x2 2) Resolva as seguintes equaes: 3 a) x + 4 = 2 b) x + 2 = x 4 c) x2 + 4x + 3 = 4 x + 1 d) x + 1 = 2x + 1 3) Calcule a) rq 1 2 3 1 3. 273 1 2, 7
resolver
76
b)
c) log 1 (x + 2) + log 1 (x 3) > 2 S = x R3 < x < 1+2 26 2 2 Exerccios de Fixao do Captulo 5 1) Sendo f (x) = 3x 1 = f (0) = 1; f ( 1 ) = 2 3 c) para que valor de x, temos f (x) = 0. Soluo: x = 1 3 d) Sendo f (x) = ax + b uma funo am e sendo p e q nmeros reais e distintos, calcular f (p), f (q) e mostrar que f (p)f (q) = a pq Soluo: Basta substituir p e q na funo ( no lugar de x) e efetuar os clculos 2) Resolver as inequaes a) (2x 3)(x 1) > 0 S = Rx < 1 ou x > 3 x 2 b) (x 2)(3x + 1) < 0 S = x R 1 < x < 2 3 c) x2 5 S = x Rx 5 ou x 5 d) x2 + 1 < 2x2 3 5x S = {x R 3 x < 2} e) 0 < x2 + x + 1 < 1 S = {x R 1 < x < 0} f) 4 < x2 12 4x S = {x R4 < x 6} g) 2x+1 x2 < 2x+3 S = x R 1 < x 1 2 ou 1 + 2 x < 3 h) 1 x2 3 1 S = x R 2 x 2 ou 2 x 2 i) x2 + 4x + 3 (2x + 5) < 0 S = (, 1) 5 , 3 2 j) 2x2 + 3x + 3 3 S = 3 , 0 2 k) x3 x2 x 2 > 0 S = (2, +) 3) Resolver as inequaes quocientes x2 a) 2x2 +x6 0 S = x Rx 3 ou 2 < x < +3x2 b) c)(x2)4 x2 2x15 0 6x2 x+2 6x2 5x+1 > 0 1 2
20 + 22n+2 p 4) Determine o domnio da funo f (x) = 5 ln(x + 2) 3 5) Faa o grco das funes f (x) = 7 x e g(x) = x 2 RESOLV ER OS EXERCICIOS ACIMA Exerccios Resolvidos Funo Exponencial 1) Resolver as inequaes exponenciais a) 4x > 1 S = (1, +) 2x4 1 3x1 b) 1 < 2 S = (, 1) 2 x2 x c) 3 > 3 S = (, 0) (1, +) 2) Determinar o domnio da funo denida por y = 3x+2 3x Soluo: Dom(y) = {x Rx 1} Exercicios Resolvidos Funo Logaritmica 4) Resolver as inequaes logaritmicas a) log3 (x2 x + 3) > 2 S = Rx < 2 ou x > 3} {x b) 0 < log2 (2x 1) 1 S = x R1 < x < 3 2 n on
r
4n+2
S = {x R 3 < x < 5} S = x R 2 < x < 1 3 3 77
ou x 2
d) e) f) g) h) i)
x 2 x1 x+1 0 S = {x R 1 < x < 1} x1 x3 2 x2 < x4 S = {x Rx < ou x > 4} 2 2 x5 S = (, 8] 3 , 5 2x+3 5 2 x2 3x+5 4 S = (, 2] 3 , + 3 7 x+1 2x3 > 2 S = 2 , 3 x+1 x 2x < 3+x S = (, 3) (2, +)
4) Resolver as equaes exponenciais a) 2x3 + 2x1 + 2x = 52 x = 5 x2 3 b) 2x+4 = 1 x = 4 e x = 2 5) Resolver as inequaes exponenciais 2x+4 3x a) 3 > 3 S = (, 4) 2 b) 5x 8x20 < 1 S = (2, 10) 2 c) (0, 3)4x 2x2 (0, 3)2x3 S = 1 2 6) Resolver as inequaes logartmicas a) log2 (x 2) log 1 (x 3) < 1 = S = {x R3 < x < 4} 2 q q n o b) log 1 (x2 3 ) 1 = S = x R 2 x < 3 ou 3 < x < 2 2 2 2 2 n o c) x(loga x)+1 > a2 x para 0 < a < 1 = S = x Ra 2 < x < a 2 p d) Dar o domnio da funo f (x) = log(x2 2x) Soluo: D (f ) = x Rx 1 2 ou x 1 + 2 7) Se uma bola atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 m/s, ento, aps t segundos, a distncia s acima do ponto de partida, em metros, dada por s = 32t 16t2 . Em que instante a bola estar no ponto mais alto e qual ser esta altura? Faa um esboo do grco da equao. Soluo t = 1s e s = 16m 8) A energia potencial elstica W armazenada numa mola esticada dada pela expresso W = 1 kx2 onde k a constante elstica da mola e x o quanto 2 a mola est alongada Para uma constante elstica igual a 10 unidades a) Qual o nmero que exprime o valor de sua energia potencial W , para um alongamento de 2 unidades b) De quanto est esticada a mola quando sua energia potencial de 80 unidades Soluo a) W = 20 b) x = 4 unidades. 9) Desenhar o grco das seguintes funes i) f (x) = |x + 1|
78
y
5
3.75
2.5
1.25
-5
-2.5
0
2.5 x
5
ii) f (x) =y
x13
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
iii) f (x) = | 3 x|
79
y 2.5
1.25
0 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 x -1.25
-2.5
iv) f (x) = x2 + x 6
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-5
-2.5
0
2.5 x
5
10) Especique o domnio e faa um esboo do grco de cada uma das funes: a) y = log10 (x + 5) Dom(y) = {x Rx > 5} = (5, +]
80
y
5
2.5
0 -5 -2.5 0 2.5 x 5
-2.5
-5
b) y = ln x Dom(y) = {x Rx > 0} = (0, +]y
4
2
0 0 2 4 x
-2
c) y = ln(x) Dom(y) = {x Rx < 0} = (, 0) y = ln(x)
81
5
y
2.5
0 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 x 5
-2.5
-5
d) y = ln |x| Dom(y) = {x Rx 6= 0} = R {0} = Ry 4
2
0 -5 -2.5 0 2.5 x -2 5
-4
11) Resolva cada equao em x a) ln x = 1 x = 1 e 82
+1 b) ln(2x 1) = 3 x = e 2 c) e3x4 = 2 x = ln 2+4 3 d) eax = Cebx , onde C uma constante e a 6= b x = ln C ab e) ln(ln x) = 1 x = ee 12) Se a populao de bactrias comea com 100 e dobra a cada trs horas, t ento o nmero de bactrias aps t horas n = f (t) = 100.2 3 a) Encontre a funo inversa e explique seu signicado b) Quando a populao atingir 50.000 bactrias? Soluo: x 3 a) t = f 1 (x) = log2 100 . A funo f 1 (x) indica o tempo necessrio para que haja um crescimento de x bactrias. b) Conforma item a) t = f 1 (50000) = 26. 897 35 hs 13) Aps acionado o Flash de uma cmera, a bateria imediatamente comea a recarregar o capacitor do ash, o qual armazena uma carga eltrica dada por t Q(t) = Q0 (1 e a ) (A capacidade mxima de carga Q0 , e t medido em segundos.) a) Encontre a funo inversa e explique seu signicado. b) Quanto tempo levar para o capacitor recarregar 90% da capacidade se a = 2? Soluo: a q a) t = f 1 (q) = ln 1 Q0 . A funo inversa indica o tempo necessrio, em segundos, para que o capacitor adquira uma carga q b) Observe que 90% da carga quer dizer uma carga de q = 0.9Q0 .Conforme 2 item a), t = f 1 (0.9Q0 ) = ln 1 0,9Q0 , Q0 t = ln(0.1) = 2. 302 585 segundos. 14) Se f (x) = ln x e g(x) = x2 9, encontre as funes f g, g f, f f, g g (f g) (x) = f (g(x)) = ln x2 9 (g f ) (x) = g(f (x) = (ln x)2 9 (f f ) (x) = f (f (x)) = ln (ln x) 2 (g g) (x) = g(g(x) = x2 9 9 = x4 18x2 + 72 15) Expresse a funo F (x) = 1 como uma composta de trs funes. x+ x 1 Soluo F (x) = (f g h) (x), onde f (x) = x , g(x) = x2 + x e h(x) = x 1 16) Faa o grco da funo y = x
3
83
y
5
2.5
0 -5 -2.5 0 2.5 x 5
-2.5
-5
0, se t < 0 . Essa 1, se t 0 funo usada no estudo de circuitos eltricos para representar o surgimento repentino de corrente eltrica, ou voltagem, quando uma chave instantaneamente ligada: a) Faa o grco da funo de heaviside b) Faa um esboo da funo rampa y = tH(t) Soluo a) 17) A funo de Heaviside H denida por H(t) =
84
y
2
1
0 -2 -1 0 1 x 2
-1
-2
b)y 2
1
0 -2 -1 0 1 x 2
-1
-2
9.6
Do Captulo 6, Geometria Plana
Exerccios Resolvidos 1 do Captulo 6 85
1) Encontre a equao reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(1, 5). Soluo: y = 3x + 2 2) Trace a reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(2, 2).Soluo: y = x + 4 3 3 3) Obter a reta que s que passa por P (3, 2) e perpendicular reta r: 3x + 14y 17 = 0. Soluo 14x 3y 48 = 0. Exercicios Resolvidos 2 do Captulo 6 1) Calcular a distncia entre os pontos A(3, 7) e B(5, 1). Soluo d (A, B) = 10 2) Determinar as coordenadas do ponto mdio do segmento que une os pontos A(1, 2) e B(9, 14). Soluo M (5, 8) Exerccios Resolvidos 3 do Captulo 3 1) Obter a equao da circunferncia de centro C(1, 2) que passa pelo ponto P (4, 2). Soluo (x 1)2 + (y + 2)2 = 25 2) Quais das equaes abaixo representam uma circunferncia: a) 2x2 + 2y 2 + xy 1. Soluo: No b) x2 + y 2 + 2x + 3y + 4 = 0. Soluo: Circuferncia imaginria c) 2x2 + 2y 2 3x 3y + 2 = 0. Soluo: Sim d) x2 + y 2 2x 2y + 2 = 0. Soluo: Um ponto 3) Representar gracamente os conjuntos: a) A = (x, y) x2 + y 2 2x 2y + 1 0 . Soluo: A o crculo de centro C(1, 1) ne raio 1 o p b) B = (x, y) x = 2 9 y 2 . Soluo: C o arco da circunferncia de centro C(2, 0) e raio 3 onde guram os pontos de abcissas x 2. Exerccios de Fixao do captulo 6 1) Encontre a distncia entre A e B e determine o ponto mdio deste segmento de reta a) A(2, 5) e B(1, 1). Soluo: d = 5, M = 1 , 3 2 b) A(7, 1) e B(1, 9). Soluo: d = 10; M (4, 5) 2) Prove que issceles o tringulo de vrtices V1 (5, 2), V2 (6, 5) e V3 (2, 2). Sugesto: Calcular distncias entre vrtices e comparar 3) Prove que os pontos P (0, 2), Q(4, 8) e R(3, 1) esto sobre um crculo de centro C(2, 3).Sugesto: Com um dos pontos e o centro encontre o raio. 6) Obter o ponto de interseo das retas 3x + 4y 12 = 0 e 2x 4y + 7 = 0. Soluo: P (1, 9 ) 4 7) Mostrar que as retas r: 2x + 3 = 0 e s: y 11 = 0 so perpendiculares. Soluo r k y e s k x r s 8) Calcular a distncia entre as retas r: 7x+24y1 = 0 e s: 7x+24y+49 = 0. Soluo: d = 2 9) Encontre o centro e o raio de cada circunferncia a) x2 + y 2 + 8x 6y + 20 = 0. Soluo C(4, 3), r = 5 b) 4x2 + 4y 2 8x + 12y + 1 = 0. Soluo C(1, 3 ), r = 3 2 c) x2 + y 2 4x + 3 = 0. Soluo C(2, 0), r = 1 d) 3x2 + 3y 2 7y = 0. Soluo C(0, 7 ), r = 7 6 6 10) Obter a interseo das circunferncias: x2 + y 2 2x 2y + 1 = 0 e x2 + y 2 8x 2y + 13 = 0. Soluo: P (2, 1) 86
Figura 9.2: 11) Obter a equao da reta que passa pelas intersees das circunferncias x2 + y 2 + 3x y = 0 e 3x2 + 3y 2 + 2x + y = 0. Soluo:7x 4y = 0.
9.7
Do Capitulo 7, Trigonometria
Exercicio Resolvido 2) Na gura, a circunferncia de centro O tangente reta AB no ponto P. Se AC = 2, determine o comprimento do raio da circunferncia 2) Mostre que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180 Primeira sugesto Segunda sugesto
RESOLVER ESTE PROBLEMA
9.8
Exercicio Resolvido
Exercicios de Fixao do Capitulo 7 1) Exprimir em radianos 87
D
C
E
A
B
Figura 9.3:
C
E
A
B
D
Figura 9.4:
88
a) 36 = b) 135 = 3 c) 300 = 5 5 4 3 2) Exprimir em graus a) rad 30 b) rad 45 c) rad 60 d) 7 rad 315 6 4 3 4 3) Quanto mede, em radianos, a) um arco de 22 30 rad b) um arco de 56 15 5 rad 8 16 4) Mostre que um arco de 1 rad mede aproximadamente 57 5) Um mvel faz um percurso de meio quilmetro sobre uma circunferncia de dimetro 200 metros. Qual a medida do ngulo central correspondente ao percurso? Soluo: 5 rad 6) Calcular o menor ngulo entre os ponteiros de um relgio nos seguintes instantes a) 10h 30min 135 b) 2h 15 min 22 c) 13h 35 min 162 30 7) Determine a frmula para a rea A de um setor circular em termos de seu raio e do comprimento de arco L. Soluo A = 1 Lr 2 8) Determine a rea lateral S de um cone circular reto de raio r e de geratriz L. Soluo: S = rL 9) Encontre os valores de x e y na gura abaixo:
Dados: P Q = 10m, T R = 2, 3m, P T = x, QS = y Soluo: x = 4,6m y = 2,7m 10) Um carro numa via plana inclindada de 20 em relao horizontal quanto sobe verticalmente ao percorrer 1 km. Dado: sin 20 = 0, 34 Soluo:340m 11) Se um ngulo agudo, use identidades fundamentais para escrever a primeira expresso em funo da segunda:1sin2 sin 1 1sin2 2 c) tan ; cos = tan = 1cos cos 1 d) csc ; cos = csc = 1cos2 e) tan ; sec = tan = sec2 1
a) cot ; sin = cot = b) sec ; sin = sec =
89
12) Fazendo a substituio trigonomtrica x = a sin para - 2 a2 x2 em termos de uma funo trigonomtrica de . Soluo: 2 , escreva a2 x2 = a cos 13) Usando a substituio indicada simplique os radicais: Soluo: Em caso de dvida chame o professor 14) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para a funo f (x) = cos x denida para x [0, 2] 1 1 1 15) 1+sin2 x + 1+cos2 x + 1+sec2 x + 1+cos1sec2 x igual a: 2 16) Os valores que m pode assumir para que exista um arco x satisfazendo a igualdade sin x = m 4 so: 3 m 5 17) A expresso cos2 x + cos2 x tan2 x + tan2 x igual a: sec2 x 18) Determine as solues das equaes em [0, 2) a) 2 sin2 u = 1 sin u u = , 5 , 3 6 6 2 b) cos sin = 1 = 0, 3 2 c) 2 tan sec2 = 0 = , 5 4 4 d) sin x + cos x cot x = csc x x R e) sin 2t + sin t = 0 = t = 0, 2 , , 4 3 3 f) cos + cos 2 = 0 = = , , 5 3 3 g) tan 2x = tan x = x = 0 e x = h) sin u + cos u = 1 = u = 0, , 5 . 2 3 3 19) Sugesto: Use a lei dos cossenos ou calcule diretamente usando relaes trigonomtricas 20) Desenhe o grco das seguintes funes: a) y = sin(3x)
90
3.0
2.0
1.0
3/4
/2
/4
/4
/2
3/4
1.0
2.0
b) y = 1 sin x
91
3.0
2.0
1.0
3/4
/2
/4
/4
/2
3/4
1.0
2.0
3.0
c) y = |cos x|
92
3.0
2.0
1.0
3/4
/2
/4
/4
/2
3/4
1.0
2.0
3.0
d) y = cos
x2
93
3.0
2.0
1.0
3/4
/2
/4
/4
/2
3/4
1.0
2.0
3.0
9.9
Do Captulo 8, Reviso GeralLista de Exerccios- Matemtica Bsica
1. Resolva as inequaes em R (a) 1 x 2x2 01 3
= S = {x Rx < 3 ou x > 2} 2 (d) |5 6x| 9 = S = x Rx 3 ou x 7 3 1 x 2 (e) x+ 1 < 1 = S = {x Rx > 0} (c)2
(b) 2x 5 2 ou x < 1 } {4} < 0 = S = {x Rx > 2 }
(g)
x +x x1 x2 +x2
2. Resolva as equaes em R (a) |5x 3| = 12 x = 3 e x = 9 5 94
(b) (x 3)(x + 1)(x + 4) = 0 x = 3 , x = 1 e x = 4 3x+8 4 (c) 2x3 = 4 x = 4 e x = 11 (d) 2x 7 = |x| + 1 x = 8 3. Dados os conjuntos: A = {x R | 10 < x < 8}, B = (3, 5] C = {x R | x 2} determine: (b) B (A C) = (3, 5] (a) A B C = (10, +) (c) A (B C) = (10, 8) e
(d) A B = (10, 3] (5, 8) (e) C (A C) = [8, +) 4. O consumo C de gua em m3 , pela populao de uma cidade em funo do tempo t, em segundos, dado pela equao C = 2000t. (a) Qual o consumo de gua dessa populao em 10 segundos? C = 2.104 m3 (b) Qual o consumo de gua dessa populao em 10 horas? C = 72.106 m3 (c) Em quantos segundos essa populao consome 48.000m3 de gua? t = 24s 5. Dada a funo f (x) = 3x + 4 determine: (a) f (1) = 1 (b) o valor de x tal que f (x) = 10 x = 2y
(c) Faa a representao grca dessa funo
15
10
5
0 -5 -2.5 0 2.5 x -5 5
-10
95
6. Determine os zeros das funes reais: (a) f (x) = x2 4x + 3 x = 1; x = 3 (c) y =x+1 2
(b) f (x) = x3 6x2 + 8x x = 0; x = 2; x = 4 5x+3 4
x = 1 3
7. Determine o domnio das funes: D = R {2} (b) g(x) = (x + 1) x 4 D = {x Rx 4} = [4, +) (c) h(x) = x+2 x3
(a) f (x) =
x+1 x2
(d) l(x) = ln(x + 5) D = {x Rx > 5 } = (5, +) 8. Sabe-se que, sob um certo ngulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em funo do tempo, em segundos, dada por h(t) = 20t2 + 200t. (a) Qual a altura mxima atingida pela bala? h = 500m (b) Em quanto tempo, aps o tiro, a bala atinge a altura mxima? t = 5s (c) faa uma representao grca dessa situao.y 500
D = {x Rx 2 e x 6= 3}
375
250
125
0
0
2.5
5
7.5 x
10
9. Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferncia at o meio da primeira raia (onde o atleta corre) 100 metros e a distncia entre cada raia de 2 metros. Se todos os atletas corressem at completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria? A1 = 2100m, A2 = 210m, A3 = 2104m, A4 = 2106m 96
10. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, xa um ponto A na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta. A seguir desloca-se 40m perpendicularmente reta AB at o ponto C e mede o ngulo ACB, obtendo 44o . Qual a largura do rio? (dados: sin 44 = 0, 69, cos 44 = 0, 71 ). Soluo: l = 38, 87m 11. Calcule o valor da expresso: E =sin( 11 )sin( 9 ) 2 2 cos 48cos 33
= 1
12. Resolver a equao sec2 x + tan x = 1 para 0 x 2 x = 0, 3 , , 7 . 4 4 13. Determine o valor de x sabendo que( logx b) (logb c) (logc d) (logd 729) = 6. Resposta x = 3 2 log2 x + log2 y = 5 14. Resolva o sistema de equaes . Resposta: log2 x 2 log2 y = 1 9 7 x5 e y = 25 2x+y 2 =4 15. Determine o conjunto soluo do sistema de equaes . 1 2xy = 2 2 Resposta:x = 1 e y = 1 2 16. Determinar a soluo da equao exponencial : 5x+2 95x = 2x+9 +1132x . Resposta: x = 4 17. Determine a equao da reta que tangente parbola de equao y = 2x2 + 3 e que paralela reta de equao y = 8x + 3. Resposta: y = 8x 5 18. Para que valores de a e b a parbola y = ax2 + b tangencia a reta y = x. Resposta: ab = 1 . 4 19. Resolva cada equao em x (a) ln x + ln x2 = 1 x = (c) e3x2 = 4 x =2+ln 4 3
3 e
(b) ln(2x 1) ln( x+2 ) = 3 x = 3 e3 (d) eax = Cebx , onde C uma constante e a 6= b x = (e) ln( ln(ln x2 ) = 1 x = e(e2 )ln C ab
20. Se a populao de bactrias comea com 200 e dobra a cada 4 horas, t ento o nmero de bactrias aps t horas n = f (t) = 200.2 4 : (a) Encontre a funo inversa e explique seu signicado. A funo in x 4 versa f 1 (x) = log2 200 , ela indica o tempo necessrio para se ter x bactrias
(b) Quando a populao atingir 200.000 bactrias? Soluo: t = log2 10004 97
21. Aps acionado o Flash de uma cmera, a bateria imediatamente comea a recarregar o capacitor do ash, o qual armazena uma carga eltrica dada t por Q(t) = 10(1 e 4 ) (a) Encontre a funo inversa e explique seu signicado. (b) Quanto tempo levar para o capacitor recarregar 50% da sua capacidade? 22. Se f (x) = ln x e g(x) = x, encontre as funes f g, g f, f f, g g.1 23. Expresse a funo F (x) = x+ex como uma composta de trs funes. 1 Soluo: Considere f (x) = x , g(x) = x, h(x) = x + ex F (x) = (f g h) (x)
24. Faa o grco da funo y =y
1 x2
4
2
0 -4 -2 0 2 4 6 x -2
-4
25. A funo de Heaviside H denida por H(t) =
0, se t < 0 . Essa 1, se t 0 funo usada no estudo de circuitos eltricos para representar o surgimento repentino de corrente eltrica, ou voltagem, quando uma chave instantaneamente ligada: (a) Faa o grco g(x) = |H(x)| . Soluo g(x) = |H(x)| = H(x) e veja Ex 17 da lista Exerccios de Fixao do Captulo 5 (b) Faa um esboo da funo y = t2 H(t)
98
y
25
20
15
10
5
0 -5 -2.5 0 2.5 x 5
26. Mostre que a funo f (x) = cos(x) uma funo par e que g(x) = sin(x) uma funo impar. 27. Soluo: cos(x) = cos(0 x) = cos 0 cos x + sin 0 sin x = cos x f e par; sin(x) = sin(0 x) = cos x sin 0 cos 0 sin x = sin x gpar. e 28. Mostre que h(x) = tan x uma funo impar. Soluo tan(x) = sin(x) cos(x) sin(x) cos(x)
=
= tan(x)
29. Dada uma funo f : R R determine duas funes g, h : R R onde g par e h impar tais que f (x) = g(x) + h(x). Soluo: g(x) = f (x) + f (x) 2 e h(x) = f (x) f (x) 2
30. Se f uma funo par e g uma funo impar o que podemos dizer a respeito das funes (a) (b) (c) (d) l(x) = f (x) + g(x) nada se pode armar sobre a paridade de l h(x) = (f g) (x) h uma funo par m(x) = f (x).g(x) h uma funo impar v(x) = |f (x)| |g(x)| h uma funo par 99