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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 6

Parte 6 Matemática Básica 1

A reta numérica


A reta numérica

(Ir para o GeoGebra)


Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?


Folha 1


4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

0 1



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Folha 2


4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4


Folha 3


4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38


Folha 4


4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38



0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·[

110

+

(1

10

)2

+

(1

10

)3

+ · · ·]

(∗)= 3 ·

[1/10

1 − (1/10)

]

=13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·


Folha 5


0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1


Folha 6


0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4


Folha 7


0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34


Folha 8


0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·E assim por diante. . .

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34



0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·[

110

+

(1

10

)2

+

(1

10

)3

+ · · ·]

(∗)= 9 ·

[1/10

1 − (1/10)

]

= 1.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.



0.9 = 1

Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!


Expansões decimais

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Folha 9

Expansões decimais

Exploraremos mais esse assunto posteriormente!


Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo


Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.


R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a, b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃ 0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃ 1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.


Folha 10

Observações

� A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

� O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

� Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

�a =

[1 11 0

], �b =

[1 10 1

], �a · �b �= �b · �a.


Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpoTodas as proposições abaixo são verdadeiras!

� O elemento neutro da adição é único. [PA01]� O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]� 0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]� 1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]� Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]� Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]� −a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07]� (1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]� −(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]� 1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10]� (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R. [PA11]� a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12]� (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]� −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R. [PA14]� (−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]



�a · b

c= a · b

c=

ac· b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

� −1a=

−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

�1

a · b=

1a· 1

b, ∀a, b ∈ R− {0}. [PA18]

�a · bc · d

=ac· b

d, ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R− {0}. [PA19]

�a + b

c=

ac+

bc

, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

� −(a + b) = −a − b, ∀a, b ∈ R. [PA21]

� −a + bc

=−a − b

c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]



�1

a/b=

ba

, ∀a, b ∈ R− {0}. [PA23]

�a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R− {0}. [PA24]


Folha 11

[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).


[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).


[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



Folha 12

[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).


[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a �= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].


[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.


[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.



Folha 13

[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0 − a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0 − a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.


Folha 14

[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.


[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).


[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].


[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.


Folha 15

[PA17]

−1a=

−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=

−1a

,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).


[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a, b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·

(a · 1

a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).


[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a, b,∈ R, ∀c, d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.


[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



Folha 16

[PA21]

−(a + b) = −a − b, ∀a, b,∈ R.



[PA22]

−a + bc

=−a − b

c, ∀a, b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA23]

1ab

=ba

, ∀a, b ∈ R− {0}.



[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R− {0}.



Folha 17

[PA25]

∀a, b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.


[PA26]

∀a, b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c �= 0 ⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c �= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).


Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c �= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c �= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!


[PA27]

∀a, b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].


Folha 18

[PA28]

∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].


[PA29]

∀a, b ∈ R, a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a, b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a �= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a �= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.


[PA30]

∀a, b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c �= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.


[PA31]

ab=

cd

⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R− {0}.



Folha 19

[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R− {0}.



Usando os axiomas e as propriedadesde números reais para resolver

equações


Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!

2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]⇐⇒ 12· (2 · x) =

12· 14

(C3)⇐⇒(

12· 2

)· x =

12· 14

[PA08]⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]⇐⇒ x = 7.


Resolvendo equações. . .

x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x(C6)⇐⇒ x · x − x = 0(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1


Folha 20

O que está errado neste argumento?

x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0

É verdade que x = 1 ⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.

Apenas para x �= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

�

�


Resolvendo equações. . .

Verdadeiro ou falso?

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 �= 0

�

�

�

�


Cuidado com as implicações e equivalências!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

Toda solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,

mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas

nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.


Folha 21

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

É preciso tirar a “prova real”!

x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 �= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1 − x2) �= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1 − x) · (1 + x) �= 0

⇐⇒[x = 0 ou x =

52

]e

[x �= 0 e x �= 1 e x �= −1

]

⇐⇒ x =52


Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado


R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.

Escrevemos a 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.


Folha 22

Números reais positivos e a reta numérica

−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5

números reais positivosnúmeros reais negativos


Observações

� Fato: a > 0 ⇔ −a < 0. Prova:

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,

onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].

� Fato: a a. Prova:

a 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a − b < 0 ⇔ b > a.

Exercício: justifique cada umas das equivalências.

� Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a − b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.


Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

� ∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]� ∀a, b, c ∈ R, a 0, a b · c. [PO04]� ∀a, b, c ∈ R, a b. [PO06]� ∀a, b, c ∈ R, a 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0. [PO08]� ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a b · c. [PO10]� ∀a, b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]� ∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]� ∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]� ∀a ∈ R, a �= 0 ⇔ a2 > 0. [PO16]


[PO01]

∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).

Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.


Folha 23

[PO02]

∀a, b, c ∈ R, a 0 (2)

=⇒ b + 0 − a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0

(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)

=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c 0, a 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)

=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)

=⇒ a · c b · c.


a 0 e c < 0 (2)

=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)

=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)

=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.


[PO05]

∀a, b, c ∈ R, a 0 e c − b > 0 (2)

=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)

=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0 − a > 0 (6)

=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.


Folha 24

[PO06]

∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.

Demonstração. Sejam a, b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.


[PO07]

∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.

Demonstração.

(⇒) Verdadeira por [PO02].

(⇐) Sejam a, b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que

a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.

(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.


[PO09]

∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a 0 tais que a ·c 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que

a · c < b · c(1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)

=⇒ a < b,

onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).


Folha 25

[PO10]

∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a b · c.



[PO11]

∀a, b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.

Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.

(⇒) Temos que

a < b(1)=⇒ b − a > 0 (2)

=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0

(4)=⇒ − a > −b,

onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.

(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.


[PO12]: Parte 1

∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).

Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a �= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo −(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).

(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.


[PO12]: Parte 2

∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).



Folha 26

[PO13]

Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).


[PO14]

A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!

Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.


[PO15]

Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).


[PO16]

a �= 0 ⇔ a2 > 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: para a �= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.


Folha 27

[PO17]

(i) a > 0 ⇔ a3 > 0, (ii) a < 0 ⇔ a3 < 0.

Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.


Observações� A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lida

da seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.

� A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.

� Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.

� Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+∗ para indicar os reais positivos.

� O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.


Observações

� O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.

De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei �= 0. O número i não é maior do que 0, pois

i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).

O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,

−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).


Resolvendo inequações. . .

2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4

[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4

(C5)⇐⇒ 2 · x > 4

[PO09]⇐⇒ 12· (2 · x) >

12· 4

(C3)⇐⇒(

12· 2

)· x >

12· 4

[PA08]⇐⇒ 1 · x >12· 4

[PA04]⇐⇒ x >12· 4 = 2


Folha 28

(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)

[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)

⇐⇒ x > 5 ou x < 1


Intervalos

Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},

(−∞,+∞) = R.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado


Folha 29

Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados


Folha 30

Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.


Intervalos



(−∞,+∞) = R.

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.


Observações

� Outras notações para intervalos:

]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),

[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.

� −∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.


Folha 31

Intervalos

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b


Intervalos

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

a b


Intervalos

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b


Intervalos

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b


Folha 32

Intervalos

(−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}

b


Intervalos

(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}

b


Intervalos

[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

a


Intervalos

(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}

a


Folha 33

CUIDADO!

1 − 2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1

⇔ 2 x − 6x − 1

< 1

⇔ 2 x − 6 < x − 1

⇔ 2 x − x < −1 + 6

⇔ x < 5.

Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!

�



2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6 − (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:

x − 5x − 1

< 0

(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)

Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!



2 x − 6x − 1

< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6 − (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

S = {x ∈ R | 1 < x < 5} =]1, 5[.


Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é completo


Folha 34

Q é completo?

x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.9 = 1.


Q é completo?

x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333

...

Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).

Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.


Q é completo?

Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?

Resposta: não!


Q é completo?

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...


Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!


Folha 35

R é completo!

x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).

Em R, xn converge para o número√

2 ∈ R!


Q é completo?

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...


Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!


R é completo!

x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001

...

Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).

Em R, xn converge para um número em R!


R é completo!

Q não é completo.

R é completo.

C é completo

(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)


Folha 36

R é completo!

O que é 3√

5?


Construção dos números reais

Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.








Folha 37

parte 6 matemática básica 1 parte 6 matemática básica 2 · matemática básica humberto josé...

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