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Curso de Matemaacutetica Baacutesica ndash RONALDO VILAS BOAS COSTA
CURSO DE MATEMAacuteTICA BAacuteSICA
CONTEUacuteDOS BAacuteSICOS PARA UM MELHOR DESENVOLVIMENTO NA DISCIPLINA DE MATEMAacuteTICA
Prof RONALDO VILAS BOAS COSTA
UBERLAcircNDIA 2017
2
3
IacuteNDICE
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 4
11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) 4
12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) 4
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) 4
14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) 4
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) 4
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO 5
3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO 5
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS 5
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS 6
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 7
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO 8
71 Regras de potenciaccedilatildeo 8
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) O conjunto dos nuacutemeros naturais eacute formado por todos os nuacutemeros inteiros positivos junto com o zero N=012345 12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) No conjunto dos nuacutemeros inteiros representado pela letra (Z) natildeo haacute nuacutemeros ldquoquebradosrdquo ou fraccedilotildees que natildeo representam divisotildees exatas Podemos dizer entatildeo que este conjunto eacute composto por nuacutemeros inteiros negativos e positivos Vejam Z= -2-10123 OBS Observe que todo nuacutemero natural tambeacutem eacute um nuacutemero inteiro por isso dizemos que o conjunto dos
Naturais estaacute contido nos inteiros Em siacutembolos ZN
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) Dizemos que um racional eacute qualquer nuacutemero que pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros ou seja
0int beeirosbab
aQ
OBS
Pela definiccedilatildeo dada vemos que todos decimais exatos satildeo racionais
Todas as diacutezimas perioacutedicas satildeo nuacutemeros racionais
Todo nuacutemero inteiro eacute racional 14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) Apesar de normalmente ser usado a letra I para representar o conjunto dos nuacutemeros irracionais este siacutembolo natildeo eacute o uacutenico utilizado Este conjunto pode ser representado de vaacuterias formas Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os decimais natildeo exatos natildeo perioacutedicos e natildeo negativos Dizemos tambeacutem que um irracional eacute um nuacutemero que natildeo pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros Satildeo exemplos de nuacutemeros irracionais
1020304 4 3172 e
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) Todo tipo de nuacutemero citado anteriormente nos outros conjuntos satildeo nuacutemeros reais Dizemos que o conjunto dos reais eacute a uniatildeo dos Racionais com os Irracionais
)( IQR
O diagrama a seguir ilustra os conjuntos numeacutericos de uma forma que facilita a visualizaccedilatildeo da relaccedilatildeo existente entre eles
Atividade 1 Utilize os siacutembolos de pertence () e
natildeo pertence para relacionar elemento e
conjunto em casa caso
N Z Q I R
244
3
6
1
5
209
7
6
18
21132
24
- 16
9
4
13
-10
7
3
9
25
98706
81
281
6
1
5
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO O moacutedulo ou valor absoluto eacute o valor aritmeacutetico de um nuacutemero relativo isto eacute sem considerar seu sinal Podemos pensar no moacutedulo tambeacutem como a distacircncia do nuacutemero ateacute a origem da reta numeacuterica A representaccedilatildeo do moacutedulo de um nuacutemero eacute feita por meio de barras verticais Veja alguns exemplos
|-9|=9
|-16|=16
|12|=12 3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO Dois nuacutemeros satildeo opostos ou simeacutetricos quanto tem mesmo moacutedulo poreacutem com sinais contraacuterios (um positivo e outro negativo ) Por exemplo
O oposto de -2 eacute 2
O simeacutetrico do 13 eacute o -13
E o oposto do zero
O inverso de um nuacutemero a eacute dado por a
1 sendo a um
nuacutemero diferente de zero OBS O uacutenico nuacutemero real que natildeo tem inverso eacute o zero por quecirc Exerciacutecio 1- Preencha a tabela com o inverso de cada nuacutemero apresentado
Nuacutemero inverso Nuacutemero Inverso
2 5
-2 01
-9 -1112
13 1
-815 3000
4 17
27 23
79 2425
-38 -8
O que acontece quando se multiplica um nuacutemero pelo seu inverso
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS Soacute para lembrar nuacutemero relativo satildeo os nuacutemeros positivos negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operaccedilotildees fundamentais com nuacutemeros relativos
Soma e subtraccedilatildeo Na soma e subtraccedilatildeo de nuacutemeros relativos deve-se observar as seguintes regras Se os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais satildeo diferentes faccedila a diferenccedila dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles OBSERVE
-27-14 Como os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais
podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo Logo - 27 - 14 = - 41
-254+117 Nesse caso os valores tem sinais
diferentes entatildeo devemos fazer a diferenccedila entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles obtendo - 254+117 = - 137
Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Na multiplicaccedilatildeo e divisatildeo podemos seguir o esquema abaixo onde (+) representaraacute um nuacutemero positivo e (-) estaraacute representando um nuacutemero negativo
Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando nuacutemeros com sinais iguais o resultado eacute positivo e multiplicando ou dividindo um nuacutemero com sinais diferentes o resultado eacute negativo Exemplos
20)5()100(
5)7(35
54)9(6
63)21()3(
18)9()2(
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
2
3
IacuteNDICE
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 4
11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) 4
12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) 4
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) 4
14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) 4
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) 4
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO 5
3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO 5
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS 5
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS 6
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 7
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO 8
71 Regras de potenciaccedilatildeo 8
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) O conjunto dos nuacutemeros naturais eacute formado por todos os nuacutemeros inteiros positivos junto com o zero N=012345 12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) No conjunto dos nuacutemeros inteiros representado pela letra (Z) natildeo haacute nuacutemeros ldquoquebradosrdquo ou fraccedilotildees que natildeo representam divisotildees exatas Podemos dizer entatildeo que este conjunto eacute composto por nuacutemeros inteiros negativos e positivos Vejam Z= -2-10123 OBS Observe que todo nuacutemero natural tambeacutem eacute um nuacutemero inteiro por isso dizemos que o conjunto dos
Naturais estaacute contido nos inteiros Em siacutembolos ZN
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) Dizemos que um racional eacute qualquer nuacutemero que pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros ou seja
0int beeirosbab
aQ
OBS
Pela definiccedilatildeo dada vemos que todos decimais exatos satildeo racionais
Todas as diacutezimas perioacutedicas satildeo nuacutemeros racionais
Todo nuacutemero inteiro eacute racional 14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) Apesar de normalmente ser usado a letra I para representar o conjunto dos nuacutemeros irracionais este siacutembolo natildeo eacute o uacutenico utilizado Este conjunto pode ser representado de vaacuterias formas Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os decimais natildeo exatos natildeo perioacutedicos e natildeo negativos Dizemos tambeacutem que um irracional eacute um nuacutemero que natildeo pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros Satildeo exemplos de nuacutemeros irracionais
1020304 4 3172 e
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) Todo tipo de nuacutemero citado anteriormente nos outros conjuntos satildeo nuacutemeros reais Dizemos que o conjunto dos reais eacute a uniatildeo dos Racionais com os Irracionais
)( IQR
O diagrama a seguir ilustra os conjuntos numeacutericos de uma forma que facilita a visualizaccedilatildeo da relaccedilatildeo existente entre eles
Atividade 1 Utilize os siacutembolos de pertence () e
natildeo pertence para relacionar elemento e
conjunto em casa caso
N Z Q I R
244
3
6
1
5
209
7
6
18
21132
24
- 16
9
4
13
-10
7
3
9
25
98706
81
281
6
1
5
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO O moacutedulo ou valor absoluto eacute o valor aritmeacutetico de um nuacutemero relativo isto eacute sem considerar seu sinal Podemos pensar no moacutedulo tambeacutem como a distacircncia do nuacutemero ateacute a origem da reta numeacuterica A representaccedilatildeo do moacutedulo de um nuacutemero eacute feita por meio de barras verticais Veja alguns exemplos
|-9|=9
|-16|=16
|12|=12 3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO Dois nuacutemeros satildeo opostos ou simeacutetricos quanto tem mesmo moacutedulo poreacutem com sinais contraacuterios (um positivo e outro negativo ) Por exemplo
O oposto de -2 eacute 2
O simeacutetrico do 13 eacute o -13
E o oposto do zero
O inverso de um nuacutemero a eacute dado por a
1 sendo a um
nuacutemero diferente de zero OBS O uacutenico nuacutemero real que natildeo tem inverso eacute o zero por quecirc Exerciacutecio 1- Preencha a tabela com o inverso de cada nuacutemero apresentado
Nuacutemero inverso Nuacutemero Inverso
2 5
-2 01
-9 -1112
13 1
-815 3000
4 17
27 23
79 2425
-38 -8
O que acontece quando se multiplica um nuacutemero pelo seu inverso
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS Soacute para lembrar nuacutemero relativo satildeo os nuacutemeros positivos negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operaccedilotildees fundamentais com nuacutemeros relativos
Soma e subtraccedilatildeo Na soma e subtraccedilatildeo de nuacutemeros relativos deve-se observar as seguintes regras Se os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais satildeo diferentes faccedila a diferenccedila dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles OBSERVE
-27-14 Como os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais
podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo Logo - 27 - 14 = - 41
-254+117 Nesse caso os valores tem sinais
diferentes entatildeo devemos fazer a diferenccedila entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles obtendo - 254+117 = - 137
Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Na multiplicaccedilatildeo e divisatildeo podemos seguir o esquema abaixo onde (+) representaraacute um nuacutemero positivo e (-) estaraacute representando um nuacutemero negativo
Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando nuacutemeros com sinais iguais o resultado eacute positivo e multiplicando ou dividindo um nuacutemero com sinais diferentes o resultado eacute negativo Exemplos
20)5()100(
5)7(35
54)9(6
63)21()3(
18)9()2(
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
3
IacuteNDICE
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 4
11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) 4
12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) 4
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) 4
14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) 4
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) 4
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO 5
3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO 5
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS 5
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS 6
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 7
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO 8
71 Regras de potenciaccedilatildeo 8
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) O conjunto dos nuacutemeros naturais eacute formado por todos os nuacutemeros inteiros positivos junto com o zero N=012345 12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) No conjunto dos nuacutemeros inteiros representado pela letra (Z) natildeo haacute nuacutemeros ldquoquebradosrdquo ou fraccedilotildees que natildeo representam divisotildees exatas Podemos dizer entatildeo que este conjunto eacute composto por nuacutemeros inteiros negativos e positivos Vejam Z= -2-10123 OBS Observe que todo nuacutemero natural tambeacutem eacute um nuacutemero inteiro por isso dizemos que o conjunto dos
Naturais estaacute contido nos inteiros Em siacutembolos ZN
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) Dizemos que um racional eacute qualquer nuacutemero que pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros ou seja
0int beeirosbab
aQ
OBS
Pela definiccedilatildeo dada vemos que todos decimais exatos satildeo racionais
Todas as diacutezimas perioacutedicas satildeo nuacutemeros racionais
Todo nuacutemero inteiro eacute racional 14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) Apesar de normalmente ser usado a letra I para representar o conjunto dos nuacutemeros irracionais este siacutembolo natildeo eacute o uacutenico utilizado Este conjunto pode ser representado de vaacuterias formas Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os decimais natildeo exatos natildeo perioacutedicos e natildeo negativos Dizemos tambeacutem que um irracional eacute um nuacutemero que natildeo pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros Satildeo exemplos de nuacutemeros irracionais
1020304 4 3172 e
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) Todo tipo de nuacutemero citado anteriormente nos outros conjuntos satildeo nuacutemeros reais Dizemos que o conjunto dos reais eacute a uniatildeo dos Racionais com os Irracionais
)( IQR
O diagrama a seguir ilustra os conjuntos numeacutericos de uma forma que facilita a visualizaccedilatildeo da relaccedilatildeo existente entre eles
Atividade 1 Utilize os siacutembolos de pertence () e
natildeo pertence para relacionar elemento e
conjunto em casa caso
N Z Q I R
244
3
6
1
5
209
7
6
18
21132
24
- 16
9
4
13
-10
7
3
9
25
98706
81
281
6
1
5
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO O moacutedulo ou valor absoluto eacute o valor aritmeacutetico de um nuacutemero relativo isto eacute sem considerar seu sinal Podemos pensar no moacutedulo tambeacutem como a distacircncia do nuacutemero ateacute a origem da reta numeacuterica A representaccedilatildeo do moacutedulo de um nuacutemero eacute feita por meio de barras verticais Veja alguns exemplos
|-9|=9
|-16|=16
|12|=12 3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO Dois nuacutemeros satildeo opostos ou simeacutetricos quanto tem mesmo moacutedulo poreacutem com sinais contraacuterios (um positivo e outro negativo ) Por exemplo
O oposto de -2 eacute 2
O simeacutetrico do 13 eacute o -13
E o oposto do zero
O inverso de um nuacutemero a eacute dado por a
1 sendo a um
nuacutemero diferente de zero OBS O uacutenico nuacutemero real que natildeo tem inverso eacute o zero por quecirc Exerciacutecio 1- Preencha a tabela com o inverso de cada nuacutemero apresentado
Nuacutemero inverso Nuacutemero Inverso
2 5
-2 01
-9 -1112
13 1
-815 3000
4 17
27 23
79 2425
-38 -8
O que acontece quando se multiplica um nuacutemero pelo seu inverso
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS Soacute para lembrar nuacutemero relativo satildeo os nuacutemeros positivos negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operaccedilotildees fundamentais com nuacutemeros relativos
Soma e subtraccedilatildeo Na soma e subtraccedilatildeo de nuacutemeros relativos deve-se observar as seguintes regras Se os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais satildeo diferentes faccedila a diferenccedila dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles OBSERVE
-27-14 Como os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais
podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo Logo - 27 - 14 = - 41
-254+117 Nesse caso os valores tem sinais
diferentes entatildeo devemos fazer a diferenccedila entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles obtendo - 254+117 = - 137
Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Na multiplicaccedilatildeo e divisatildeo podemos seguir o esquema abaixo onde (+) representaraacute um nuacutemero positivo e (-) estaraacute representando um nuacutemero negativo
Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando nuacutemeros com sinais iguais o resultado eacute positivo e multiplicando ou dividindo um nuacutemero com sinais diferentes o resultado eacute negativo Exemplos
20)5()100(
5)7(35
54)9(6
63)21()3(
18)9()2(
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
1- CONJUNTOS NUacuteMEacuteRICOS 11 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS NATURAIS (N) O conjunto dos nuacutemeros naturais eacute formado por todos os nuacutemeros inteiros positivos junto com o zero N=012345 12 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS INTEIROS (Z) No conjunto dos nuacutemeros inteiros representado pela letra (Z) natildeo haacute nuacutemeros ldquoquebradosrdquo ou fraccedilotildees que natildeo representam divisotildees exatas Podemos dizer entatildeo que este conjunto eacute composto por nuacutemeros inteiros negativos e positivos Vejam Z= -2-10123 OBS Observe que todo nuacutemero natural tambeacutem eacute um nuacutemero inteiro por isso dizemos que o conjunto dos
Naturais estaacute contido nos inteiros Em siacutembolos ZN
13 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) Dizemos que um racional eacute qualquer nuacutemero que pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros ou seja
0int beeirosbab
aQ
OBS
Pela definiccedilatildeo dada vemos que todos decimais exatos satildeo racionais
Todas as diacutezimas perioacutedicas satildeo nuacutemeros racionais
Todo nuacutemero inteiro eacute racional 14 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) Apesar de normalmente ser usado a letra I para representar o conjunto dos nuacutemeros irracionais este siacutembolo natildeo eacute o uacutenico utilizado Este conjunto pode ser representado de vaacuterias formas Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os decimais natildeo exatos natildeo perioacutedicos e natildeo negativos Dizemos tambeacutem que um irracional eacute um nuacutemero que natildeo pode ser escrito na forma de uma fraccedilatildeo de inteiros Satildeo exemplos de nuacutemeros irracionais
1020304 4 3172 e
15 CONJUNTO DOS NUacuteMEROS REAIS (R) Todo tipo de nuacutemero citado anteriormente nos outros conjuntos satildeo nuacutemeros reais Dizemos que o conjunto dos reais eacute a uniatildeo dos Racionais com os Irracionais
)( IQR
O diagrama a seguir ilustra os conjuntos numeacutericos de uma forma que facilita a visualizaccedilatildeo da relaccedilatildeo existente entre eles
Atividade 1 Utilize os siacutembolos de pertence () e
natildeo pertence para relacionar elemento e
conjunto em casa caso
N Z Q I R
244
3
6
1
5
209
7
6
18
21132
24
- 16
9
4
13
-10
7
3
9
25
98706
81
281
6
1
5
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO O moacutedulo ou valor absoluto eacute o valor aritmeacutetico de um nuacutemero relativo isto eacute sem considerar seu sinal Podemos pensar no moacutedulo tambeacutem como a distacircncia do nuacutemero ateacute a origem da reta numeacuterica A representaccedilatildeo do moacutedulo de um nuacutemero eacute feita por meio de barras verticais Veja alguns exemplos
|-9|=9
|-16|=16
|12|=12 3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO Dois nuacutemeros satildeo opostos ou simeacutetricos quanto tem mesmo moacutedulo poreacutem com sinais contraacuterios (um positivo e outro negativo ) Por exemplo
O oposto de -2 eacute 2
O simeacutetrico do 13 eacute o -13
E o oposto do zero
O inverso de um nuacutemero a eacute dado por a
1 sendo a um
nuacutemero diferente de zero OBS O uacutenico nuacutemero real que natildeo tem inverso eacute o zero por quecirc Exerciacutecio 1- Preencha a tabela com o inverso de cada nuacutemero apresentado
Nuacutemero inverso Nuacutemero Inverso
2 5
-2 01
-9 -1112
13 1
-815 3000
4 17
27 23
79 2425
-38 -8
O que acontece quando se multiplica um nuacutemero pelo seu inverso
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS Soacute para lembrar nuacutemero relativo satildeo os nuacutemeros positivos negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operaccedilotildees fundamentais com nuacutemeros relativos
Soma e subtraccedilatildeo Na soma e subtraccedilatildeo de nuacutemeros relativos deve-se observar as seguintes regras Se os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais satildeo diferentes faccedila a diferenccedila dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles OBSERVE
-27-14 Como os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais
podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo Logo - 27 - 14 = - 41
-254+117 Nesse caso os valores tem sinais
diferentes entatildeo devemos fazer a diferenccedila entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles obtendo - 254+117 = - 137
Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Na multiplicaccedilatildeo e divisatildeo podemos seguir o esquema abaixo onde (+) representaraacute um nuacutemero positivo e (-) estaraacute representando um nuacutemero negativo
Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando nuacutemeros com sinais iguais o resultado eacute positivo e multiplicando ou dividindo um nuacutemero com sinais diferentes o resultado eacute negativo Exemplos
20)5()100(
5)7(35
54)9(6
63)21()3(
18)9()2(
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
5
2 ndash MOacuteDULO OU VALOR ABSOLUTO O moacutedulo ou valor absoluto eacute o valor aritmeacutetico de um nuacutemero relativo isto eacute sem considerar seu sinal Podemos pensar no moacutedulo tambeacutem como a distacircncia do nuacutemero ateacute a origem da reta numeacuterica A representaccedilatildeo do moacutedulo de um nuacutemero eacute feita por meio de barras verticais Veja alguns exemplos
|-9|=9
|-16|=16
|12|=12 3 ndash NUacuteMEROS OPOSTOS OU SIMEacuteTRICOS E INVERSO DE UM NUacuteMERO Dois nuacutemeros satildeo opostos ou simeacutetricos quanto tem mesmo moacutedulo poreacutem com sinais contraacuterios (um positivo e outro negativo ) Por exemplo
O oposto de -2 eacute 2
O simeacutetrico do 13 eacute o -13
E o oposto do zero
O inverso de um nuacutemero a eacute dado por a
1 sendo a um
nuacutemero diferente de zero OBS O uacutenico nuacutemero real que natildeo tem inverso eacute o zero por quecirc Exerciacutecio 1- Preencha a tabela com o inverso de cada nuacutemero apresentado
Nuacutemero inverso Nuacutemero Inverso
2 5
-2 01
-9 -1112
13 1
-815 3000
4 17
27 23
79 2425
-38 -8
O que acontece quando se multiplica um nuacutemero pelo seu inverso
4 ndash OPERACcedilOtildeES COM NUacuteMEROS RELATIVOS Soacute para lembrar nuacutemero relativo satildeo os nuacutemeros positivos negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operaccedilotildees fundamentais com nuacutemeros relativos
Soma e subtraccedilatildeo Na soma e subtraccedilatildeo de nuacutemeros relativos deve-se observar as seguintes regras Se os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais satildeo diferentes faccedila a diferenccedila dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles OBSERVE
-27-14 Como os sinais dos nuacutemeros satildeo iguais
podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo Logo - 27 - 14 = - 41
-254+117 Nesse caso os valores tem sinais
diferentes entatildeo devemos fazer a diferenccedila entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles obtendo - 254+117 = - 137
Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo Na multiplicaccedilatildeo e divisatildeo podemos seguir o esquema abaixo onde (+) representaraacute um nuacutemero positivo e (-) estaraacute representando um nuacutemero negativo
Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando nuacutemeros com sinais iguais o resultado eacute positivo e multiplicando ou dividindo um nuacutemero com sinais diferentes o resultado eacute negativo Exemplos
20)5()100(
5)7(35
54)9(6
63)21()3(
18)9()2(
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
6
EXERCIacuteCIOS DE FIXACcedilAtildeO 1- Elimine os parecircnteses e calcule o valor das expressotildees a seguir
)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
2 ndash Encontre o valor das multiplicaccedilotildees e divisotildees a seguir
)8()13()26()9()
)43()7()14()
)9()5()6()
)27()81()3()9()
)6()37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8()1624()
)6()144()
)8()96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5- OPERACcedilOtildeES COM DECIMAIS I ndash Adiccedilatildeo Na adiccedilatildeo as partes somadas satildeo chamadas de parcelas e o resultado eacute a soma
1192
Parcela soma
Com nuacutemeros decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no caacutelculo deixarmos ldquoa viacutergula debaixo da viacutergulardquo Exemplo
83912
11
8709
672
110789762
II ndash Subtraccedilatildeo Na subtraccedilatildeo os nuacutemeros satildeo chamados de minuendo subtraendo a operaccedilatildeo a subtraccedilatildeo e o resultado eacute a diferenccedila subtraccedilatildeo
112536
Minuendo subtraendo diferenccedila Para nuacutemeros decimais deve-se observar a mesma regra para a soma ldquodeixar a viacutergula debaixo da viacutergulardquo Acompanhe
8132
876
8909
7860989
III ndash Multiplicaccedilatildeo Para se multiplicar dois nuacutemeros decimais quaisquer multiplicamos os nuacutemeros como se fossem inteiros e damos ao produto um nuacutemero de casas decimais igual agrave soma de nuacutemero de casas decimais dos fatores Efetue
420720 =
01204923
OBS
Ao se multiplicar um nuacutemero decimal por 10 100 1000 etc basta deslocar a viacutergula para a direita tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do fator multiplicativo
Exemplo
2311000001230
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
7
IV- Divisatildeo de nuacutemeros decimais Para dividir dois nuacutemeros decimais devemos igualar o nuacutemero de casas decimais desses nuacutemeros quando necessaacuterio acrescentamos zeros agrave parte decimal do dividendo ou do divisor ou ambos para que se igualem as casas decimais em seguida eliminamos as viacutergulas e efetuamos a divisatildeo normalmente
1202002420000240200240
Efetue 012505= 601204= OBS Para se dividir um nuacutemero por 10 100 1000 basta deslocar a viacutergula para a esquerda tantas casas decimais conforme o nuacutemero de zeros do divisor Exemplo
003010003
18723010072318
Exerciacutecios
1- Resolva as operaccedilotildees a seguir Quando possiacutevel utilize as regras da multiplicaccedilatildeo e divisatildeo por 10 100 etc
0020782)0
700147)
1207212)
00506250)
00204820)
21423)
243040)
48452)
100067845)
100340)
1000059)
100000020)
1002310)
10056234)
303412)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
6 ndash EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS
Uma expressatildeo numeacuterica eacute uma sequecircncia de operaccedilotildees matemaacuteticas Nas expressotildees numeacutericas primeiro efetuamos os calculamos dentro dos parecircnteses depois dentro dos colchetes e por fim dentro das chaves Dentro dos parecircnteses colchetes ou chaves primeiro as potenciaccedilotildees e as radiciaccedilotildees depois as multiplicaccedilotildees e as divisotildees e finalmente as adiccedilotildees e as subtraccedilotildees As operaccedilotildees satildeo feitas obedecendo agrave ordem em que elas aparecem (da esquerda para direita) Em resumo as operaccedilotildees devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operaccedilotildees
1ordm - Potenciaccedilatildeo e Radiciaccedilatildeo 2ordm - Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo 3ordm - Adiccedilatildeo e Subtraccedilatildeo (Obedecendo sempre agrave ordem em que elas aparecem) Nessas operaccedilotildees satildeo realizadas 1ordm - Parecircnteses ( ) 2ordm - Colchetes [ ] 3ordm - Chaves
EXERCIacuteCIOS 1 ) (UTFPR) O valor da expressatildeo
48]5)28(27[39
2 ) Resolva as expressotildees abaixo
)2004011()30281()
1000280025310000320)
1836020]2)21673)[(
642732254)
403114196154235)
02020)4650(24)
f
e
d
c
b
a
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
8
7 ndash POTENCIACcedilAtildeO Potenciaccedilatildeo com expoente inteiro maior que 1 Potecircncia de grau n de um nuacutemero eacute o produto de n fatores iguais a esse nuacutemero OBS
Quando a base eacute positiva a potecircncia eacute sempre positiva
Quando a base eacute negativa o sinal de potecircncia depende do expoente
- base negativa e expoente parpotecircncia positiva
- base negativa e expoente iacutempar potecircncia
negativa Resumindo
Potecircncia de expoente zero Toda potecircncia de base natildeo-nula e expoente zero eacute igual a 1 Potecircncia de expoente 1 Toda potecircncia de expoente 1 eacute igual agrave base Potecircncia de base 1 Toda potecircncia de base um eacute igual a 1 Potecircncia com expoente inteiro negativo
Toda potecircncia de expoente inteiro negativo e base diferente de zero eacute igual a potecircncia de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado Em outras palavras quando um nuacutemero tem expoente negativo para deixaacute-lo positivo devemos inverter sua base Exemplos
422
1
8
1
2
12
2
2
3
3
71 Regras de potenciaccedilatildeo Produto de potecircncia de mesma base Para alcanccedilar o produto de potecircncia de mesma base basta manter a base e somar os expoentes
mnmn aaa
Divisatildeo de potecircncia de mesma base Um quociente de potecircncias de mesma base eacute igual agrave potecircncia que se obteacutem conservando a base e subtraindo os expoentes
zerodediferentenuacutemeroumeacuteaOnde
aa
aaa nm
n
mnm
Potecircncia de potecircncia Uma potecircncia elevada a um dado expoente eacute igual agrave potecircncia que se obtecircm conservando a base e multiplicando os expoentes
mnnm aa
Dizemos entatildeo que eleva-se a base ao produto dos expoentes Potecircncia de um produto
1
)(
nerealnuacutemeroasendo
fatoresnaaaaa n
)()(
)()(
)()(
iacutempor
par
n
10 nulonatildeonuacutemeroumasendoa
1 realnuacutemeroumasendoaa
11 realxtodoparax
11
zerodediferenteae
reaisnuacutemerosneasendoa
b
b
a
aaa
nn
n
n
n
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
9
Um produto elevado a um expoente qualquer eacute igual ao produto das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado
nnnbaba
Multiplicaccedilatildeo de potecircncia de mesmo expoente Um produto de potecircncia de mesmo expoente eacute uma potecircncia cuja base eacute o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado
nnn abba
Potecircncia de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente eacute igual ao quociente das potecircncias que satildeo obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado
n
nn
b
a
b
a
Potecircncia de base 10 e notaccedilatildeo cientiacutefica Para as potecircncias de base 10 observamos que
01010 zerosnn
1000010
110 decimaiscasasnn
Diz-se que um nuacutemero estaacute escrito em notaccedilatildeo cientiacutefica quando ele estaacute na forma
nk 10
Em que k eacute um nuacutemero tal que 0ltklt10 e n eacute um nuacutemero inteiro A notaccedilatildeo cientiacutefica eacute usada para diminuir a escrita de um nuacutemero tornando mais faacutecil as operaccedilotildees por meio das propriedades de potecircncia Exemplo
6410210321020000230 555
EXERCIacuteCIOS
1 ndash Calcule o valor das expressotildees
0010
100)sup2010(0001)
7000001021
1002800030)
)sup12(89sup339)
)sup212(sup2325048)
]2)3sup15sup23(45[2)
sup3]2)68(sup26[2)
50090105
27050000050)
1600sup2]2)1113(sup214[39)
2
3
3
2
3
2)
)5sup23(]7)sup242(1224[)
])981(2)2[(sup22)sup22(3)
sup3)2sup22(2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
10
8 ndash MUacuteLTIPLOS E DIVISORES DE UM NUacuteMERO NATURAL
Um muacuteltiplo de um nuacutemero a qualquer eacute todo resultado da multiplicaccedilatildeo de um nuacutemero natural por a Entatildeo podemos pensar que o muacuteltiplo de um nuacutemero satildeo aqueles que estatildeo na ldquotabuadardquo desse nuacutemero
Exemplos
685134170)17(
201612840)4(
15129630)3(
M
M
M
O divisor de um nuacutemero eacute aquele que divide o nuacutemero em parte inteiras Sem resto
Exemplo
017351513 restocompoisdedivisoreacute
9- MAacuteXIMO DIVISOR COMUM E MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM Dados dois ou mais nuacutemeros diferentes de zero chamamos de Maacuteximo Divisor comum (mdc) o maior nuacutemero que seja divisor de todos eles Para o caacutelculo do MDC usamos os procedimentos a seguir
Decomponha cada nuacutemero em seus fatores primos
Verifique quais satildeo os fatores comuns a todos os nuacutemeros
Calcule o produto dos fatores comuns de menor expoente
O resultado eacute o MDC procurado
Outra possibilidade eacute decompor os nuacutemeros agrave encontrar o MDC em seus fatores primos e multiplicar aqueles que em um determinado passo dividiram a todos Exemplos Calcule o Maacuteximo Divisor comum dos nuacutemeros MDC(1854)= MDC(2436)= O MIacuteNIMO MUacuteLTIPLO COMUM (MMC) entre dois ou mais nuacutemeros eacute o menor nuacutemero natildeo nulo que seja muacuteltiplo de todos os nuacutemeros em questatildeo Temos basicamente dois processos para encontrar o MMC Processo da Decomposiccedilatildeo em Fatores Primos Nesse processo precede-se assim
Decompotildee-se cada nuacutemero em seus fatores primos
Calcula-se o produto de todos os fatores comuns e natildeo comuns de maior expoente
O resultado obtido eacute o mmc procurado
Processo da Decomposiccedilatildeo Simultacircnea De forma mais praacutetica podemos encontrar o MMC de dois ou mais nuacutemeros fazendo a decomposiccedilatildeo simultacircnea dos mesmos O produto de todos os fatores encontrados seraacute o MMC dos nuacutemeros dados pois todos os fatores primos dos nuacutemeros aparecem nessa decomposiccedilatildeo Exemplo
3131
3193
2296
24912
x
OBSERVACcedilAtildeO Dados dois nuacutemeros naturais temos
mmc (ab)=mdc (ab)
Exerciacutecios 1 ndash O menor nuacutemero divisiacutevel por 18 24 e 36 eacute 2- Num determinado paiacutes o mandato do presidente eacute de 6 anos dos senadores eacute de 8 anos e dos deputados eacute de 5 anos A primeira eleiccedilatildeo para os 3 cargos foi em 1942 Em que ano ocorreraacute uma nova eleiccedilatildeo para os mesmos cargos 3- Selecione o que for correto 01) 5 eacute muacuteltiplo de 15 02) O maacuteximo divisor comum de dois nuacutemeros primos entre si eacute 1 04) O miacutenimo muacuteltiplo comum de 6 e 16 eacute 48 08) 3 e 12 satildeo nuacutemeros primos entre si 4- Trecircs sateacutelites giram em torno da Terra em oacuterbitas constantes O tempo de rotaccedilatildeo do primeiro eacute de 36 dias do segundo 12 dias e do terceiro 48 dias Em um determinado dia eles estatildeo alinhados Depois de quantos dias eles se alinharatildeo novamente
1 36
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
11
5- Dados dois nuacutemeros 42 e 54 entatildeo mdc (4254) + mmc (4254) eacute a)372 b)378 c)384 d)396 6- O valor da expressatildeo
1]3)26(35[3)212(32 eacute
7- O miacutenimo muacuteltiplo comum entre os nuacutemeros 108 36 144 e 180 eacute 8- Os ocircnibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas e para Belo Horizonte de 6 em 6 horas Se num certo instante partem ocircnibus para essas cidades quantas horas apoacutes essa partida haveraacute a proacutexima saiacuteda simultacircnea dos ocircnibus 9- Rafael organizando sua coleccedilatildeo de selos observa que ao contaacute-los de 10 em 10 sobram quatro selos o mesmo acontece quando conta de 8 em 8 e tambeacutem sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12 Quantos selos Rafael possui 10- Uma professora daacute aulas em duas turmas uma de 32 alunos e outra de 24 alunos Em cada sala ela formaraacute grupos e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo nuacutemero de alunos Qual eacute o maior nuacutemero de alunos que cada grupo pode ter 10- FRACcedilOtildeES Definiccedilatildeo Fraccedilatildeo eacute um quociente indicado onde o dividendo eacute o numerador e o divisor eacute o denominador Veja abaixo que podemos representar uma fraccedilatildeo tambeacutem na sua forma decimal Para isso basta como visto na definiccedilatildeo dividir o numerador pelo denominador
A fraccedilatildeo eacute proacutepria quando o numerador eacute menor do que o denominador Exemplos
101
100
16
9
5
3
7
1etc
A fraccedilatildeo e improacutepria quando o numerador eacute maior que o denominador sendo possiacutevel representaacute-la por um nuacutemero misto e reciprocamente Exemplos
Em qualquer fraccedilatildeo ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo nuacutemero o que se altera eacute apenas a escrita do nuacutemero seu valor eacute preservado A fraccedilatildeo resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fraccedilatildeo por um nuacutemero natural diferente de zero eacute chamada de fraccedilatildeo equivalente A partir de uma determinada fraccedilatildeo chamada irredutiacutevel podemos encontrar infinitas fraccedilotildees equivalentes Exemplos
)(5
4
630
624
30
24
6
2
32
31
2
1
lirredutiacuteve
101 OPERACcedilOtildeES COM FRACcedilOtildeES
Soma e Subtraccedilatildeo
Na soma e subtraccedilatildeo algeacutebrica de fraccedilotildees reduzem-se ao menor denominador comum as fraccedilotildees a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das fraccedilotildees equivalentes encontradas OBS O menor denominador comum eacute o mmc dos denominadores
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
12
Exemplos
3
1
5
1
Veja que na soma acima o mmc(35)=15 As fraccedilotildees equivalentes agraves fraccedilotildees citadas que tem denominador 15 satildeo trocadas pelas primeiras Assim obtemos
15
8
15
5
15
3
Na subtraccedilatildeo o processo eacute o mesmo veja
2
1
3
2
O mmc (32)=6 As fraccedilotildees equivalentes a dois terccedilos e um meio que tem denominador seis satildeo respectivamente
6
3
6
4e logo obtemos
6
1
6
3
6
4
Multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees Na multiplicaccedilatildeo de fraccedilotildees ldquomultiplica-se numerador com numerador e denominador com denominadorrdquo Veja
95
45
1
15
5
315
5
3
35
6
7
3
5
2
Obs Ao se fazer uma multiplicaccedilatildeo com vaacuterias fraccedilotildees eacute possiacutevel em alguns casos fazermos algumas simplificaccedilotildees antes de obter o produto final para que o caacutelculo se torne menor
Divisatildeo de fraccedilotildees Na divisatildeo de fraccedilotildees multiplicamos a primeira fraccedilatildeo (dividendo) pelo inverso da segunda fraccedilatildeo a fraccedilatildeo divisora
Exemplos
32
3
64
6
4
1
16
64
16
6)
2
1
8
4
1
4
8
1
4
1
8
1)
b
a
EXERCIacuteCIOS 1- Resolva as operaccedilotildees com fraccedilotildees a seguir
a) 4
3
3
2
b)
5
12
3
c) 5
1
3
2
d)
4
53
4
Resolva as expressotildees
a)
22
3
4
2
32
3
2
b) 3
1
7
3
4
5
c) 24
5
5
33
2
d)
4
5
5
73
7
47
2
3
22
3- (correios)
4- (Correios)
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
13
Radiciaccedilatildeo A operaccedilatildeo para se obter a raiz n-eacutesima eacute denominada de radiciaccedilatildeo Se eacute exata a radiciaccedilatildeo eacute a operaccedilatildeo inversa da potenciaccedilatildeo
1quemaiorenaturalncom
abba nn
Exemplos
42222216
822228
25sup2555525
4
3
pois
pois
pois
e assim por diante Potecircncia com expoente fracionaacuterio Sendo a um nuacutemeo real positivo n um nuacutemero natural positivo e mn um nuacutemero racional na forma irredutiacutevel definimos
n mnm aa
Exemplos
2
1
2
33
3434
Algumas propriedades
pnpm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferentebb
a
b
ab
babaa
)
)
)
)
Obs Na soma de radicais soacute se pode unir os coeficiente das raiacutezes se as mesmas tiverem o mesmo iacutendice e mesmo radicando Exemplo
5242352
Nos casos em que o iacutendice satildeo iguais mas os radicandos satildeo diferentes pode-se tentar uma fatoraccedilatildeo do mesmo para tentar se obter um radicando comum
Racionalizaccedilatildeo de denominadores Racionalizar o denominador de uma expressatildeo significa eliminar a raiz do denominador de uma fraccedilatildeo 1ordm caso O denominador eacute uma raiz quadrada Nesse caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo pelo proacuteprio radical Ex
22
1
2ordm caso o denominador eacute um radical de qualquer grau Neste caso multiplica-se os termos da fraccedilatildeo por um radical de mesmo iacutendice e cujo expoente do radicando eacute a diferenccedila entre o iacutendice do radical e o expoente do radicando Ex
3 3
2=
3ordm caso O denominador eacute uma soma ou diferenccedila de dois termos em que um deles ou ambos satildeo radicais do segundo grau Ex
21
2
=
Exerciacutecios 1- Resolva as operaccedilotildees com radicais indicadas
9
1
4
1)
)]141(sup24[6)
200128162)
8
2)
954)
323502987722)
50452032)
1210
1
31
0
63
g
f
e
d
c
b
a
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
14
752273124)
985632722283)
28
3
7
25
4
8
1
81
49
)
j
i
h
2- Racionalize os denominadores
12108
48375)
22
12)
32
3)
25
1)
1024
9)
8
4)
2
6)
3
2)
22
53)
9
4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
15
SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
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SISTEMA MEacuteTRICO DECIMAL Existem vaacuterias formas de se medir quantidades Basicamente o sistema meacutetrico envolve medidas de comprimentos medidas de superfiacutecie (aacuterea) e medidas de volume ou capacidade Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso Medidas de Comprimento A unidade padratildeo de medida eacute o metro A partir dele temos os muacuteltiplos e submuacuteltiplos do metro Observe no esquema
Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum muacuteltiplo do metro para converter para uma unidade inferior basta multiplicar o resultado por 10 Ao contraacuterio se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passaacute-la para uma maior teremos que dividir por 10 Exemplos
12 hm = 1200 m
300 dm = 3 dam
1000mm = 1 m
3 cm = 003 m
OBS Para efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas com as unidades de medida eacute preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade Unidades de medida de superfiacutecie (aacuterea) Nas medidas de superfiacutecie (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100 seguindo o esquema abaixo
Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume eacute 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior isto eacute as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000
OBS Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os caacutelculos Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade eacute o litro poreacutem existem tambeacutem seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos Veja
Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade Por exemplo
lm
ldm
1000sup31
1sup31
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa eacute o grama A partir dela temos seus muacuteltiplos e submuacuteltiplos veja
Exerciacutecios
Multiplica por 10
Divide por 10
Divide por 100
Multiplica por 100
Multiplica por 1000
Divide por 1000
16
1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
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O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
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1 ndash A soma de 25 dam + 35 km + 72 m + 787 dm equivale a quantos metros 2- Selecione o que for correto 01) 124 mm equivalem a 124 cm 02) 29 4 kg equivalem a 29 500 g 04) 1 ml equivale a 10 cmsup3 08) 10 dias equivalem a 14 400 min 3- Cada golpe de uma bomba de vaacutecuo extrai 50 dmsup3 de ar de um recipiente Se o volume inicial do recipiente eacute de 1 msup3 apoacutes o 5ordm golpe da bomba qual o volume de ar que permanece no recipiente 4 ndash Uma garrafa teacutermica totalmente cheia conteacutem 15072 cmsup3 de cafeacute Sabendo que numa xiacutecara de cafeacute cabem 31 4 cmsup3 de cafeacute quantas xiacutecaras poderatildeo ser servidas EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS As letras na matemaacutetica satildeo usadas para representar nuacutemeros desconhecidos ou para generalizar propriedades e foacutermulas da Geometria As expressotildees que apresentam letras aleacutem de operaccedilotildees e nuacutemeros satildeo denominadas de EXPRESSOtildeES ALGEacuteBRICAS e as letras satildeo chamadas de incoacutegnitas Eis algumas propriedades importantes 1- Todo nuacutemero natural multiplicado pelo nuacutemero 1 eacute igual a ele mesmo
x 1 = x
Onde X representa um nuacutemero qualquer podendo portanto a sentenccedila assumir quaisquer valores Observaccedilotildees importantes sobre expressotildees algeacutebricas 1) Nas expressotildees algeacutebricas natildeo eacute comum se escrever o sinal de multiplicaccedilatildeo observe
3x raquo se representa 3x
5y raquo se representa 5y
2x raquo se representa 2x 2) Eacute possiacutevel ter expressotildees algeacutebricas com mais de uma variaacutevel ou ainda sem variaacutevel
4xy raquo expressatildeo algeacutebrica com duas variaacuteveis x e y
5asup2bcsup2raquo expressatildeo algeacutebrica com trecircs variaacuteveis a b e c
35 raquo expressatildeo algeacutebrica sem variaacutevel O que eacute valor numeacuterico Em expressotildees algeacutebricas quando substituiacutemos variaacuteveis de uma sentenccedila por nuacutemeros e efetuamos as devidas
operaccedilotildees o resultado encontrado eacute o valor numeacuterico da expressatildeo O valor numeacuterico da expressatildeo 4x + 3 para o valor de X = 4 eacute 4x + 3 =44 + 3 = 16 + 3 = 19 Monocircmios As expressotildees algeacutebricas que natildeo representam as operaccedilotildees de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo entre os nuacutemeros e as variaacuteveis satildeo denominadas de monocircmios Observe os exemplos
6x 4x 5y 7y
3xsup2ysup2 4xsup2ysup2
ab 10 12 A parte numeacuterica de uma expressatildeo algeacutebrica chamada de monocircmios eacute denominada coeficiente e a outra parte da sentenccedila formada por letras eacute chamada de parte literal Exemplos para fixaccedilatildeo de conteuacutedo De acordo com a definiccedilatildeo sobre monocircmios vamos destacar nas sentenccedilas abaixo a parte literal e o coeficiente
- 6x Coeficiente 6 Parte Literal x
- 4xsup2ysup2 Coeficiente 4 Parte Literal xsup2ysup2 Operaccedilotildees matemaacuteticas com monocircmios Dois ou mais monocircmios que possuem a mesma parte literal e tambeacutem coeficientes diferentes satildeo denominados de monocircmios parecidos ou monocircmios semelhantes Para se efetuar operaccedilotildees matemaacuteticas de subtraccedilatildeo e soma eles devem ser semelhantes ou seja possuir a mesma parte literal e tambeacutem mesmo coeficientes Caso isto natildeo ocorra a adiccedilatildeo e a subtraccedilatildeo seratildeo apenas indicadas poreacutem natildeo poderaacute ser efetuado nenhum caacutelculo Exemplos para fixaccedilatildeo De acordo com a definiccedilatildeo fornecida acima vamos ver alguns exemplos com caacutelculos envolvendo monocircmios a) 5xy + 12xy + 3xy (5 + 12 + 3)xy 20xy b) 4xy ndash 2xy + 7xy (4 ndash 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy
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(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
17
(Operaccedilatildeo natildeo eacute possiacutevel porque os monocircmios natildeo satildeo semelhantes) Equaccedilotildees do primeiro grau Equaccedilatildeo eacute toda sentenccedila matemaacutetica aberta que exprime uma relaccedilatildeo de igualdade A palavra equaccedilatildeo tem o prefixo equa que em latim quer dizer igual Exemplos
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0 Natildeo satildeo equaccedilotildees
4 + 8 = 7 + 5 (Natildeo eacute uma sentenccedila aberta)
x - 5 lt 3 (Natildeo eacute igualdade)
(natildeo eacute sentenccedila aberta nem igualdade) A equaccedilatildeo geral do primeiro grau ax+b = 0 onde a e b satildeo nuacutemeros conhecidos e a gt 0 se resolve de maneira simples subtraindo b dos dois lados obtemos ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados) temos
Considera a equaccedilatildeo 2x - 8 = 3x -10 A letra eacute a incoacutegnita da equaccedilatildeo A palavra incoacutegnita significa desconhecida Na equaccedilatildeo acima a incoacutegnita eacute x tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1ordm membro e o que sucede 2ordm membro
Qualquer parcela do 1ordm ou do 2ordm membro eacute um termo da
equaccedilatildeo
Quando falamos em resolver uma equaccedilatildeo a intenccedilatildeo eacute sempre descobrir o valor da(s) incoacutegnita(s) envolvida(s) na mesma Nos exerciacutecios a seguir devemos traduzir a situaccedilatildeo na linguagem matemaacutetica e entatildeo utilizando uma equaccedilatildeo resolvecirc-la Experimente Exerciacutecios 1 Comprei 75kg de um produto e recebi um troco de R$ 125 Caso eu tivesse comprado 6kg o troco teria sido de R$ 500 Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria
2- A soma da minha idade com a idade de meu irmatildeo que eacute 7 anos mais velho que eu daacute 37 anos Quantos anos eu tenho de idade 3- Tenho a seguinte escolha Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 3000 Qual o valor unitaacuterio deste produto 4- O volume de chuvas na minha regiatildeo foi de 30 ml nos dois uacuteltimos dias Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje Qual foi o volume de chuva de hoje SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas por exemplo 4x + 3y = 0 os valores de x e de y eacute preciso relacionar essa equaccedilatildeo com outra ou outras equaccedilotildees que tenham as mesmas incoacutegnitas Essa relaccedilatildeo eacute chamada de sistema Um sistema de equaccedilatildeo de 1ordm grau com duas incoacutegnitas eacute formado por duas equaccedilotildees de 1ordm grau com duas incoacutegnitas
Para encontramos o par ordenado que eacute soluccedilatildeo desse sistema podemos utilizar um dos dois meacutetodos Meacutetodo da Substituiccedilatildeo e Meacutetodo da Adiccedilatildeo
Meacutetodo da substituiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em escolher uma das duas equaccedilotildees e isolar uma das incoacutegnitas Em seguida deve-se substituir na outra equaccedilatildeo o valor que foi
isolado veja como
Dado o sistema enumeramos as
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
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O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
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Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
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subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
18
equaccedilotildees
Escolhemos a equaccedilatildeo 1 e isolamos o x
x + y = 20 x = 20 ndash y
Agora na equaccedilatildeo 2 substituiacutemos o valor de x = 20 ndash y
3x + 4 y = 72 3 (20 ndash y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72 -3y + 4y = 72 ndash 60
y = 12
Descobrimos o valor de y para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaccedilatildeo
x = 20 ndash y x = 20 ndash y
x = 20 ndash 12 x = 8
Portanto a soluccedilatildeo do sistema eacute S = (8 12)
Meacutetodo da adiccedilatildeo Esse meacutetodo consiste em adicionar as duas equaccedilotildees de tal forma que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Para que isso aconteccedila seraacute preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equaccedilotildees ou apenas uma equaccedilatildeo por nuacutemeros inteiros para que a soma de uma das incoacutegnitas seja zero Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equaccedilotildees e a soma de uma das incoacutegnitas de zero teremos que multiplicar a primeira equaccedilatildeo por ndash 3
Agora o sistema fica assim
Adicionando as duas equaccedilotildees
- 3x ndash 3y = - 60 + 3x + 4y = 72 y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equaccedilotildees e substituir o valor de y
encontrado x + y = 20
x + 12 = 20 x = 20 ndash 12
x = 8 Portanto a soluccedilatildeo desse sistema eacute S = (8 12)
OBS Se resolver um sistema utilizando qualquer um
dois meacutetodos o valor da soluccedilatildeo seraacute sempre o mesmo
Exerciacutecios 1- Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia 2) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas 3) Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao todo 112 peacutes Quantos satildeo os porcos e quantas satildeo as galinhas 4) No uacuteltimo encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores do ensino meacutedio e fundamental custava R$ 5000 Os professores do ensino superior pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 68 72500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores do ensino fundamental e meacutedio presente RAZAtildeO E PROPORCcedilAtildeO Chamamos de razatildeo entre dois nuacutemeros a e b sendo b natildeo nulo o quociente entre eles Assim a razatildeo de a para b eacute dada por
baoub
a
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
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OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
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valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
20
4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
19
O nuacutemero a eacute chamado de antecedente e o nuacutemero b eacute
chamado de consequumlente da razatildeo b
a
Proporccedilatildeo Uma proporccedilatildeo eacute uma igualdade entre razotildees
dcbaoud
c
b
a
OBS Em toda proporccedilatildeo o produto dos meios eacute igual ao produto dos extremos
bcadd
c
b
a
Numa proporccedilatildeo a soma ou diferenccedila dos antecedentes estaacute para a soma ou diferenccedila dos consequumlentes assim como cada antecedente estaacute para o seu consequumlente Assim na proporccedilatildeo
d
c
b
a
db
catemos
d
c
b
a
valendo o mesmo para a
subtraccedilatildeo
Nuacutemeros diretamente e inversamente proporcionais
Duas sucessotildees de nuacutemeros satildeo diretamente proporcionais se as razotildees entre cada termo da primeira sucessatildeo e o termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais E o valor dessas razotildees eacute chamado de fator de proporcionalidade Por outro lado duas sucessotildees satildeo inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessatildeo pelo termo correspondente da segunda sucessatildeo satildeo iguais Exerciacutecios 1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianccedilas proporcionalmente agraves suas idades sabe-se que Antocircnio tem 9 anos Bruno 7 anos e Carlos 4 Os nuacutemeros de balas que cabe a cada um eacute 2) Divida o nuacutemero 75 em quatro partes inversamente proporcionais a 2 3 4 e 6 3) Uma estrada de 315 km de extensatildeo foi asfaltada por 3 equipes A B e C cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos nuacutemeros 2 3 e 4 respectivamente Quantos quilocircmetros tem o trecho asfaltado pela equipe C
4) Um comerciante precisa pagar trecircs diacutevidas Uma de 30 mil reais outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais Como ele soacute tem 90 mil reais resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada deacutebito Nessas condiccedilotildees quanto receberaacute o maior credor 5) O proprietaacuterio de uma chaacutecara distribuiu 300 laranjas a trecircs famiacutelias em partes proporcionais ao nuacutemero de filhos Sabendo-se que as famiacutelias A B C tem respectivamente 2 3 e 5 filhos quantas laranjas recebeu cada famiacutelia GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TREcircS Duas grandezas satildeo diretamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual agrave razatildeo entre os valores da segunda Duas grandezas satildeo inversamente proporcionais quando a razatildeo entre os valores da primeira eacute igual ao inverso da razatildeo entre os valores da segunda Exerciacutecios 1) Se 6 operaacuterios levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol quantos operaacuterios seriam necessaacuterios para levantar o mesmo muro em 3 dias 2) Em um acampamento 50 pessoas tecircm alimento para 15 dias Tendo chegado mais 25 pessoas o alimento deveraacute ser suficiente para quantos dias 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 satildeo mulheres Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo
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4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
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4) Trinta e seis operaacuterios trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviccedilo Quantas horas por dia 12 operaacuterios faratildeo o mesmo serviccedilo em 14 dias 5) Numa faacutebrica de sapatos trabalham 16 operaacuterios que produzem em oito horas de serviccedilo 120 pares de sapatos Desejando-se produzir 300 pares trabalhando 10 horas a quantidade necessaacuteria de operaacuterios seraacute de a) 31 b) 32 c) 48 d) 49
PORCENTAGEM
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem Numa loja de materiais eleacutetricos um velho cliente entra para comprar cabos e compra o que costuma comprar todo mecircs A conta fica em 80 reais mais cara que a do mecircs passado - Teve aumento- pergunta o cliente - Teve Os cabos aumentaram 20 - responde o dono da loja do outro lado do balcatildeo - Entatildeo em nome da nova velha amizade este mecircs eu quero 20 de desconto O dono da loja concorda Quem ganhou e quem perdeu nessa transaccedilatildeo o velho cliente ou o dono da loja Um trabalhador autocircnomo toda vez que emite uma nota fiscal de serviccedilos paga 8 de impostos Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde - Cobro 750 reais liacutequidos Contudo terminado o trabalho o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana e disso natildeo arreda peacute Por fim o trabalhador se rende emite a nota fiscal no valor de 750 reais paga 8 de impostos e embolsa 690 reais Quanto ele deveria cobrar para durante as negociaccedilotildees dar ao cliente um desconto de 12 pagar os 8 de imposto e ainda assim ficar com 750 reais Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens Definiccedilatildeo PORCENTAGEM pode ser definida como a centeacutesima parte de uma grandeza ou o caacutelculo baseado em 100 unidades Eacute visto com frequumlecircncia as pessoas ou o proacuteprio mercado usar expressotildees de acreacutescimo ou reduccedilatildeo nos preccedilos de produtos ou serviccedilos
Alguns exemplos a)60 de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70 de R$ 12000 de compra = R$ 8400 Como calcular porcentagem Existem vaacuterias formas de se calcular uma porcentagem Podemos por exemplo se basear no fato que
yx
ydex 100
(Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y)) Podemos tambeacutem proceder fazendo uma regra de trecircs simples uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando Efetue o caacutelculo 10 de 50 100 50 10 X Ou 10=01 Logo 10 de 50 =01 50 =5 Exemplo 2 Efetua-se o resgate de um cheque preacute-datado no valor de R$ 15000 e obtecircm-se um desconto de 20 100 R$ 15000 20 X X = R$ 3000 Aumentos porcentuais
Em termos gerais se um valor qualquer ( QV ) aumenta
x podemos calcular o novo valor fazendo
)1(
xV
xVV
Q
Diminuiccedilotildees porcentuais De forma anaacuteloga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x em um valor qualquer (
QV ) calcularmos o valor final fazendo
QV - QV x
= QV (1 - x)
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto
21
Aumento seguido de diminuiccedilatildeo e vice-versa
O preccedilo do tomate ( tP ) aumentou 2985 Vamos supor
que a certa altura ele caia 32 Entatildeo o tomate passaraacute a valor quanto Nos casos em que aumentos e diminuiccedilotildees satildeo
intercaladas sobre um valor qualquer ( QV ) podemos
obter o valor final de forma uacutenica Se um valor aumenta x e depois diminui y temos
QV (1+x)(1-x)
Exerciacutecios 1) Um jogador de basquete ao longo do campeonato fez 250 pontos deste total 10 foram de cestas de 02 pontos Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos 2) Um celular foi comprado por R$ 30000 e revendido posteriormente por R$ 34000 qual a taxa percentual de lucro 3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 55500 e que pretende ter com esta um lucro de 17 4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada mateacuteria Qual o nuacutemero maacuteximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele seraacute reprovado caso tenha faltado a 30 (por cento) das aulas 5) Um imposto foi criado com aliacutequota de 2 sobre cada transaccedilatildeo financeira efetuada pelos consumidores Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 1525000 receberaacute liacutequido quanto