livro de matemÁtica bÁsica

8/15/2019 LIVRO DE MATEMÁTICA BÁSICA

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CAPÍTULO 1

RAZÃO, PROPORÇÃO E DIVISÃO PROPORCIONAL.

1.1 RAZÃO

Denomina-se razão entre dois números a e b ( b 0 ), nessa ordem, o quocientea

bou a:b.

1.2.RAZÕES ESPECIAIS

Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas no nosso dia-a-dia e das quais você já deve ter ouvidofalar: escala, velocidade média, e densidade demográfica.

a) ESCALA

Quando queremos representar com um desenho um esboço de objetos (móveis, automóveis, etc.), a planta de

uma casa, a fachada de um prédio, um mapa ou uma carta geográfica, a maquete de um edifício etc., usamosuma escala. Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e ocorrespondente comprimento real, ambos medidos na mesma unidade.

b) VELOCIDADE MÉDIA

c) DENSIDADE DEMOGRÁFICA OU DENSIDADE DA POPULAÇÃO

O cálculo da densidade demográfica de uma região é também uma aplicação de razão entre duas grandezas. Elaexpressa o número de habitantes por quilômetros quadrado dessa região. Assim, densidade demográfica de umaregião é a razão entre o número de seus habitantes ea área ocupada pela região, ou seja:

1.3.PROPORÇÃO

Denominamos de proporção a igualdade de duas ou mais razões.

OBSERVAÇÕES:

· Na proporção:a c

b d ou a:b=c:d, com b 0 e d 0 , tem-se:

a e d são chamados extremos.

b e c são chamados meios

la-percorrêparagastotempo

percorridadistância médiavelocidade

áreahabitantesdenúmero ademográficdensidade

realdoocompriment

desenhodoocompriment escala



2

·Principais propriedades das proporções:

a c

a.d b.cb d

a c a b c d

b d b d

a c a c a

b d b d b

1.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a RAZÃO entre os valores assumidos pelaprimeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandeza se mantêm constante, ou seja,

1 2 3

1 2 3

a a a... k

b b b( k= constante de proporcionalidade)

OBSERVAÇÃO:

Do ponto de vista gráfico quando duas grandezas a e b são diretamenteproporcionais a sua representação gráfica num sistema cartesiano é uma retapassando pela origem

1.5. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando O PRODUTO entre os valores assumidos pelaprimeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandeza se mantém constante, ou seja,

1 1 2 2 3 3a .b a .b a .b ... k ( k= constante de proporcionalidade)

OBSERVAÇÃO:Do ponto de vista gráfico quando duas grandezas a e b são diretamenteproporcionais a sua representação gráfica num sistema cartesiano é umahipérbole.

1.6.DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Os problemas de divisão de uma certa quantidade em partes direta ou inversamente proporcionais adeterminados números dados , aparecem com bastante frequência em situações do nosso cotidiano tais como:

divisão dos lucros entre os sócios de uma empresa, divisão de uma herança entre alguns irmãos, etc. Assim, émais que justificável dar uma atenção especial a resolução de alguns problemas que envolvam tais situações.Para isso, faremos alguns exemplos básicos sobre este tema para clarear as idéias.

a

b0

a

b0



3

1.7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. A razão entre dois números é 9/2 e a diferença entre eles é de 63. Quais são os números?

Resolução: Como a razão entre os dois números é 9/2, podemos chamá-los de 9x e 2x

Usando a outra condição do enunciado, temos que:

9x – 2x = 637x = 63x = 9

Sendo assim, os números procurados são 81 e 28.

02. Se 6 litros de suco forem misturados com água, na proporção de duas partes de suco para quatro de água,qual a quantidade de refresco obtida, em litros?

Resolução: Pelo enunciado, as quantidades de suco e de água podem ser representadas por 2x e 4x. Como aquantidade de suco é de 6 litros, segue-se que 2x = 6, concluindo que x = 3. A quantidade de refresco é 6x, isto é,6.3 = 18, em litros.

03. Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas razões de 3:7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obtemos uma mistura final de álcool e água na razão de:

a) 9:35 b) 3:5 c) 7:13 d) 27:53

Resolução: Seja v o conteúdo de cada uma das jarras. A primeira jarra contém 3v/10 de álcool e 7v/10 de álcool. A segunda, 3v/8 de álcool e 5v/8 de água. Juntando-se o conteúdo das duas jarras, obtemos 2v de uma misturaque conterá as seguintes proporções:

Álcool (3/10+3/8)/2 = 27/80 Água (7/10+5/8)/2 = 53/80

Sendo assim, na nova mistura, a razão entre a quantidade de álcool e água é de 27/53.

04. Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Resolução. Equacionando: 2x + 3x + 5x = 18010x = 180

x = 18 As partes são 36, 54 e 90.

05. Dividir 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Resolução. Equacionando: x/2 + x/3 = 603x + 2x = 360

5x = 360x = 72

As partes são 36 e 24

06. Dividir o número 280 em duas partes, tais que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 8 e 15 einversamente proporcionais a 2 e 5.

Resolução. Equacionando: (8/2)x + (15/5)x = 280

4x + 3x = 2807x = 280x = 40

Os números procurados são: 160 e 120.



07. Dividiu-se certo número de laranjas entre três meninos, em partes diretamente proporcionais às suas idadesque são 1, 4 e 9 anos. Sabendo-se que o mais velho recebeu 16 laranjas a mais do que o mais novo, calcule onúmero de laranjas distribuídas.

Resolução. As partes são x, 4x e 9x. Pelo enunciado, 9x – x = 16, donde se segue facilmente que x = 2. O

número de laranjas distribuídas é x + 4x + 9x = 14x = 14 x 2 = 28.

08. Uma herança foi dividida entre a viúva, a filha, o filho e o segurança da família. A filha e o filho ficaram com ametade da herança, distribuída na proporção de 4 para 3, respectivamente. A viúva ganhou o dobro do que coubeao filho, e o segurança ganhou R$ 500,00. Calcule o valor da herança.

Resolução: A filha e filho receberam 4x e 3x, respectivamente, totalizando 7x que, por sua vez, é a metade daherança 14x. Como a mãe ganhou o dobro do que ganhou o filho, temos que ela ganhou 6x. Então, o segurançaganhou x, já que os outros totalizam 13x. De x = R$ 500,00, concluímos que a herança toda é de 14x =14(R$500,00) = R$ 7000,00.

09. Beatriz tem 12 anos e sua irmã 18. Daqui a quantos anos a razão entre a idade de Beatriz e a de sua irmãserá de ¾?

Resolução: Daqui a x anos, Beatriz e a sua irmã terão, respectivamente, 12+x e 18+x anos. Como a razão entre

as idades será ¾, temos que . Fazendo os cálculos, obtemos x = 6.

10. A razão entre as idades de duas pessoas é, atualmente, de ¾. Há dez anos, essa razão era de 1/3. Qual adiferença das idades?

Resolução: As idades atuais são 3x e 4x e há 10 anos, 3x – 10 e 4x -10. Como a razão será de 1/3, teremos (3x-10)/(4x-10) = 1/3. Resolvendo, obtemos x = 4 que é exatamente a diferença das idades atuais (4x – 3x = x).

1.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. (ENEM) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km 2 deárea. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da águados açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Segundoeste levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de:

a) 250 b) 25 c) 2,5 d) 0,25 e) 0,025

02. (ENEM)Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais dos SUS porcausa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo.(Revista Época)Suponha que nos próximos 5 anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimode internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.

De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximoscinco anos, corresponderia a;

a) 4 mil b) 9 mil c) 21 mil d) 35 mil e) 39 mil

03. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo-se em água um concentradodesta fruta. As proporções são de 1 parte de concentrado para 3 de água, no caso do suco; e de 1 parte doconcentrado para 6 de água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partesde suco em y partes de água, se a razão x/y fosse igual a:

a) ½ b) ¾ c) 1 d) 4/3 e) 2

04. A razão entre as idades de um pai e seu filho é 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, qual aidade do filho?

RESPOSTA: 21 ANOS



05. Um mapa está desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma região assinalada nessemapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa região é de

a) 37,50 km2 b) 56,25 km2 c) 67,50 km2 d) 22,50 km2

06. (ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reaisde uma aeronave que será fabricada para utilizaçãopor companhias de transporte aéreo. Um engenheiroprecisa fazer o desenho desse avião em escala de1:150.

Para o engenheiro fazer esse desenho em umafolha de papel, deixando uma margem de 1 cm emrelação às bordas da folha, quais as dimensõesmínimas, em centímetros, que essa folha deveráter?

RESPOSTA: 26cmx21cm.

07. (ENEM) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em trêsdepósitos e um "hall" de entrada de 20m 2, conforme a figura abaixo. Osdepósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de,respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem serproporcionais a essas capacidades.

A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:

a) 1b) 2

c) 3d) 4e) 5

08. (UFRN-MODIFICADO) Paulinho possui um carro FLEX, isto é, que pode ser abastecido com álcool ougasolina, em qualquer proporção. O tanque de combustível tem capacidade para 45 litros. Ao ser completadocom 15 litros de álcool, a relação entre álcool e gasolina passou a ser de 3 para 2. Com base nessasinformações, determine quantos litros de cada combustível existiam, no tanque, antes do abastecimento?

RESPOSTA: O tanque tinha 12 litros de álcool e 18 litros de gasolina.

09. (UFRN)Marcos, Kátia, Sérgio e Ana foram jantar em uma pizzaria e pediram duas pizzas gigantes, que,cortadas, resultaram em 16 fatias. Marcos e Sérgio comeram quatro fatias cada, enquanto Kátia e Ana

comeram três cada uma. Se o preço de cada pizza era de R$21,00 e a conta do jantar foi divididaproporcionalmente à quantidade de fatias que cada um consumiu, o valor pago por cada homem e cadamulher foi, respectivamente,

A) R$6,00 e R$ 4,50.B) R$12,00 e R$9,00.

C) R$10,50 e R$7,90.D) R$24,00 e R$18,00.

10. A planta de uma cidade está desenhada na escala de 1:20000. O comprimento do desenho que representauma rua de 200m de extensão é igual a:

a) 1cm b) 1,5cm c) 2cm d) 10cm

11. Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres ecrianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é:

a) 5 : 1 b) 16 : 1 c) 12 : 1 d) 40 : 3 e) 13 : 1



12. O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou 5desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão entre o volume de umcopo pequeno e o de um grande?

a)

2

5 b)

3

7 c)

7

10 d)

5

9 e)

3

5

13. Num concurso público onde foram preenchidas as 80 vagasofertadas, 30 foram ocupadas por homens.

A razão entre os números de homens e o número de mulheresaprovados é:

a) 8/3b) 5/3c) 5/8

d) 3/8e) 3/5

14. Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.Podemos concluir que o número de alunos da escola é:

a) 1 000 b) 1 150 c) 1 050 d) 1 200 e) 1 100

15. Em certo município, foram vacinados numa campanha 4/5 das crianças da zona urbana e 3/5 das crianças dazona rural da faixa etária indicada. Tendo sido vacinados, 18/25 da população infantil total dessa faixa etária,determine a relação entre o número de crianças da zona urbana e da zona rural desse município, nessa faixade idade. Resposta: 3/2

16. Em uma rodovia, um motorista acionou o freio de seu carro quando sua velocidade era de 80 km/h,

percorrendo ainda 60 m até parar completamente. Sabe-se que a distância percorrida por esse veículo atéparar é diretamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. Caso a frenagem tivesse ocorrido nummomento em que a velocidade fosse de 120 km/h, antes de parar o veículo teria percorrido

a) 135 metros. b) 124 metros. c) 95 metros. d) 147 metros

17. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José, resolveramconstruir, na saída da mina, uma caixa de água coberta e vão dividir as despesas entre si, em partesinversamente proporcionais às distâncias de suas casas em relação à mina. Se as despesas totalizarem R$5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e do Sr. José distam, respectivamente, 5 km e 3 km da mina, então aparte da despesa que caberá ao Sr. Edson é

a) R$ 1.900,00b) R$ 2.100,00

c) R$ 2.200,00d) R$ 3.100,00

e) R$ 3.500,00

18. Hoje em dia é muito comum pessoas formarem um grupo para juntar mais dinheiro (conhecido como “vaquinha”) e poderem jogar na loteria. Se cada pessoa fornecesse o mesmo valor,bastaria dividir o prêmio em partes iguais. Mas, quando osvalores são diferentes, não seria justo dividir o prêmio empartes iguais, afinal, quem fornece mais, merece mais. Parafazer esta divisão, pode-se utilizar das grandezas diretamenteproporcionais para resolver o assunto.

Veja o problema a seguir: Pedro, Paulo e Ana resolvem fazeruma “vaquinha” para jogar na loteria. Pedro dá R$ 2,00, Paulofornece R$ 5,00 e Ana, R$ 8,00. Se o prêmio total da loteria éde R$ 30.000,00, quanto caberá a Paulo, sabendo-se quecada um receberá uma parte diretamente proporcional ao queforneceu?



a) R$16.000,00b) R$ 4.000,00

c) R$ 2.000,00d) R$ 10.000,00

e) R$12000,00

19. Os prefeitos das cidades A, B e C desejam construir uma ponte sobre um rio que passa pelos três municípios.O custo dessa obra foi orçado em R$ 576.000,00 e será dividido em partes diretamente proporcionais às

distâncias que a separa de cada uma das cidades. Se o local da construção dista 6km de A, 12km de B e18km de C, então a prefeitura de B terá um gasto de :

a) R$ 288 000,00 b) R$ 192 000,00 c) R$ 144 000,00 d) R$ 96 000,00

20. Certa empresa paga parcialmente um plano de saúde para seus funcionários. Ela contribui com uma quantiaque é diretamente proporcional ao tempo de serviço do funcionário e inversamente proporcional a seu salário.Se, para um funcionário que trabalha há 10 anos e recebe R$ 1.200,00 de salário a empresa contribui comR$ 50,00, qual será a contribuição no caso de um funcionário cujo salário é de R$ 960,00 e tem 8 anos deserviço na empresa?

a) R$ 48,00 b) R$ 50,00 c) R$ 64,00 d) R$ 72,00 e) R$ 80,00

CAPÍTULO 2

2.1. REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três ao processo prático destinado a resolver problemas que envolvam grandezas diretaou inversamente proporcionais. Temos a seguinte classificação:

a) Regra de Três Simples e Direta – quando envolve duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja,quando à variação de uma delas corresponder variação semelhante na outra.

b) Regra de Três Simples e Inversa – quando envolve duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja,quando à variação de uma delas corresponder variação contrária na outra.

c) Regra de Três Composta – envolve mais de duas grandezas.


01. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmotipo e preço?

So lução: Como as grandezas número de camisetas e preço são diretamente proporcionais, segue-se que:

=

Resolvendo, obtemos

Logo, Bianca pagaria R$ 200,00.

02. Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças aindapodem entrar?

Resolução: Sabemos que 20A = 24C, isto é, 5A = 6C. Como 20A = 15A + 5A, segue-se que 20A = 15A + 6C.Logo, ainda cabem 6 crianças no elevador.

03. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número dehoras de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Resolução. Como as grandezas número de horas trabalhadas por dia e tempo para terminar o serviço sãoinversamente proporcionais, segue que:



= . Fazendo as continhas, x = 16 funcionários.

08. Um rato está a 45 metros a frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato anda 5 metros, o gato anda 8metros. Que distância deverá percorrer o gato para alcançar o rato?

Resolução. Suponhamos que o gato e o rato estejam nas posições 0 e 48m , respectivamente.Se x é o percurso, em metros , que rato deve andar até o gato pegá-lo, então o gato deve andar 48 + x metros.Sendo assim, a proporção é:

Fazendo as contas, obtemos x = 75m. Concluímos assim que o gato andou 45+x = 45+75 = 120 metros paraalcançar o rato.

O enunciado seguinte refere-se às questões 09 e 10.

Dois automóveis iniciam a passagem sobre uma ponte de 840 m em linha reta e sentidos opostos. Enquanto umpercorreu 30m, o outro percorre 40m.

09. Calcule a quantos metros do meio da ponte eles se cruzam?

Resolução. Digamos que, até o ponto de encontro, o mais lento percorreu 30x e o mais rápido percorre 40x.Como 30x + 40x = 840, segue-se que x = 12m. O mais lento percorreu então30x=30.12m =360m. A distância até omeio da ponte é de 420m – 360m = 60m.

10. Calcule a distância que falta para o mais lento sair da ponte, no instante que o carro mais rápido acaba deultrapassá-la?

Resolução. Vejamos quanto o mais lento rodou (y), já que o mais rápido rodou todo o comprimento da ponte que

é de 840m. Montando a proporção: . Fazendo as continhas, obtemos y = 630m. Falta , então, para o maislento, 840m – 630m = 210m para que ele atravesse toda a ponte.


01. (UFMG) Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes,começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas primeirasvezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m deuma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Considerando-se essas informações, é correto afirmarque o comprimento dessa piscina é

a) 21 m. b) 27 m. c) 33 m. d) 54 m.

02. Se 120 operários constroem 600m de estrada em 30 dias de trabalho, qual o número de operáriosnecessários para construir 300m em 300 dias? R. 6 dias.

03. Um taxista inicia o dia de trabalho com o tanque de combustível de seu carro inteiramente cheio. Percorre325 km e reabastece, sendo necessários 25 litros para completar o tanque. Em seguida percorre 520 km atéesvaziar completamente o tanque. Sendo assim, qual a capacidade do tanque do carro, em litros?

RESPOSTA: 40 litros

04. Paulinho está sempre apressado. Quando usa a escada rolante de uma estação de metrô, costuma subiralguns degraus no percurso para ganhar tempo. Considerando que, quando ela sobe 8 degraus, gasta 50segundos no percurso de toda a escada e, quando sobe 12 degraus, gasta 40 segundos, então, o total dedegraus dessa escada é

a) 22 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32



05. (ESPM) Certo número de funcionários realizava um trabalho em 6 horas. Descobriu-se que, se eles fossem40% mais eficientes, como 2 funcionários a menos, esse trabalho seria feito em 5 horas. Qual o número defuncionários?

RESPOSTA: n=14.

06. (UFMS) Em um determinado mês, o dólar estava sendo cotado a R$ 3,50 no mercado de câmbio, ou seja, U$1,00 = R$ 3,50. Se houver uma valorização do real em relação ao dólar de 25%, então podemos afirmar que:

a) O dólar sofrerá uma desvalorização de 25%.b) O dólar sofrerá uma desvalorização de 20%.c) O dólar sofrerá uma desvalorização de 30%.

d) A cotação do dólar passou a ser de R$ 2,62.e) A cotação do dólar passou a ser de R$ 3,00.

07. (PROFMAT) No dia do aniversário de João em 2010, uma pessoa perguntou a idade dele. João respondeu:“se eu não contasse os sábados e os domingos da minha vida, eu teria 40 anos de idade.” João nasceu noano de:

a) 1946 b) 1954 c) 1962 d) 1964 e) 1968

08. Numa gráfica existem 3 impressoras off set que funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4dias, imprimindo 240 000 folhas. Tendo se quebrado uma das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6dias, 480 000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?

R. 20h/dia.

09. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias e, em seguida, trabalharam 24homens durante 10 dias, tendo terminada a obra. Em quanto tempo teria ficada pronta a estrada, se os 24homens trabalhassem desde o começo? R. 5 dias.

10. Três profissionais fazem 24 peças em 2 horas, e quatro aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Em quantashoras dois profissionais e três aprendizes farão 48 peças?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

11. Jacira consegue datilografar 20 páginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Aindarestam 900 páginas do manuscrito para datilografar. Se as duas começarem a datilografar no mesmo instanteessas páginas, quantas páginas deverá pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas?

RESPOSTA: 400

12. (ENEM) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos:a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias,capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, eR$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a

cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender àsexigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, acooperativa deveria:

a) manter sua proposta.b) oferecer 4 máquinas a mais.c) oferecer 6 trabalhadores a mais.d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

13. (ENEM)Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos nãoperecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o términoda campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentosarrecadados ao final do prazo estipulado seria de



a) 920 kg.b) 800 kg.

c) 720 kg.d) 600 kg.

e) 570 kg

14. (ENEM) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem

competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km deextensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que umpiloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/l, esteja no circuitode Spa-Francorchamps, parado no Box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao serliberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:

a) 617 kg. b) 668 kg. c) 680 kg. d) 689 kg. e) 717 kg.

15. Um automóvel com velocidade de 80km/h gasta 15min em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para60km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso? R. 20min

16. Seis costureiras levam 8 horas para fabricar 12 camisas. Quantas costureiras são necessárias para fabricar20 camisas em 10 horas? R. 8

17. (TTN) 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantosdias a obra estará terminada, sabendo-se que forma dispensados 4 operários e o regime de trabalhodiminuído de uma hora por dia? R. 21 dias.

18. (OBMEP)Para fazer 22 pães, um padeiro utiliza 1 quilo de farinha de trigo, 7 ovos e 200 gramas de manteiga.O maior número de pães que ele conseguirá fazer com 13 quilos de farinha, 56 ovos e 4 quilos de manteiga é

a) 160 b) 176 c) 216 d) 228

19. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come uma galinha em quantos minutos?

R. 100 min.

20. Certo número de funcionários realizava um trabalho em 6 horas. Descobriu-se que, se eles fossem 40% maiseficientes, com 2 funcionários a menos o trabalho seria feito em 5 horas. O número de funcionários emquestão é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

CAPÍTULO 3

3.1. PORCENTAGENS e JUROS

Uma porcentagem é uma fração cujo denominador é igual a 100. Para representar uma porcentagem

x

100 usamosa consagrada notação x%. Na escola básica, é muito comum resolver os problemas de porcentagem através deregras de três, que de longe não são as ferramentas adequadas para atacar os problemas que envolvemporcentagens. Na verdade, os fatores de correção, que apresentaremos a seguir são as ferramentas maiseficientes para atacar problemas que envolvem porcentagens.


01. Calcular 15% de 300.

Resolução: 15% de 300 =

02. Escrever na forma percentual.

Resolução: Como =

vem que 5x = 300 , donde x = 60. Sendo assim, o percentual é de 60%.



03. Escrever 12% na forma unitária.

Resolução: 13% = = 0,13.

04. Um artigo com preço de R$ 120,00 tem esse valor reajustado para R$ 150,00. Qual o percentual de aumento?

Resolução: O percentual de aumento é dado por .

05. Um artigo de preço R$ 150,00 teve uma redução no seu preço, passando a valer R$ 120,00. Qual o percentualrelativo a essa redução?

Resolução: O percentual de desconto é dado por

06. Numa loja, uma caixa com 5 barras de chocolate está à venda com a inscrição: “Leve 5 e pague 4”. Qual odesconto percentual aplicado ao preço de cada barra?

Resolução: Você está levando 5 com o desconto de 1, portanto o desconto percentual é .

07. Uma melancia de massa 10 kg contém 99% de água. Após deixá-la aberta algum tempo, um agricultorverificou que alguma água tinha evaporado deixando-a co 98% de água. Determine a massa evaporada de águaem kg.

Resolução: Em 10kg, temos inicialmente 9,9kg de água. Supondo que a massa de água evaporada é de x kg,temos que a massa final da melancia é de (10-x) kg. Como agora a massa de água é de 98% da mistura, segue-se que: 0,98(10 – x) = 9,9. Fazendo as continhas, concluímos que x = 5kg.

08. Num salão com 100 pessoas, 99% são homens. Quantos homens devem sair para que fiquem 98% dehomens?

Resolução: Supondo que saiam x homens, teremos agora (100 –x pessoas) e (99 –x) homens. Pelas condiçõesdo enunciado teremos que: (99 – x) = 0,98(100 – x). Fazendo as continhas encontramos x = 50.

09. Num jogo de basquete, um torcedor observou que um determinado atleta tinha feito 40 arremessos econvertido 40% deles. Sendo n o número mínimo de arremessos para que o índice de acertos passe para 60%,qual o valor de n?

Resolução: Do total de 40 arremessos, o atleta converteu 16 arremessos. Como ele acertará n arremessos, o

novo percentual será, pelo enunciado, de 60%. Sendo assim, . Fazendo as contas, obtemos

facilmente que n = 20.

10. Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácido puro devemos adicionar a 48g de solução desolução para que a nova solução contenha 76% de ácido puro?

Resolução: Inicialmente, a quantidade de ácido puro é de 75% de 48g, isto é, 36 g. Adicionando x gramas deácido puro, teremos 36 + x de ácido puro e 48 + x de solução. Como, pelo enunciado, o novo percentual de ácidopuro será de 76%, teremos:

=

Fazendo as continhas, obtemos x = 2 g de ácido puro adicionado.




01. Um tanque contém 800 litros de combustível, nos quais 24% são de álcool e 76% de gasolina. Quantos litrosde gasolina devem ser despejados no tanque a fim de que o combustível resultante tenha apenas 20% deálcool?

RESPOSTA: 160 litros

02. (UERJ) O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila com cerveja. No baronde pediu que lhe preparassem esse coquetel, a tequila e a cerveja tinham , respectivamente, 40% e 5% deálcool. Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usados nessa mistura.

Resposta:=

03. Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente estranhos. 10% dos cães pensam que são gatos e10% dos gatos pensam que são cães. Todos os outros cães e gatos são perfeitamente normais. Certo dia,todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo, verificando-se então que 20% deles

pensam que são gatos. Que porcentagem de animais eram realmente gatos?

Resposta: 12,5%

04. Em um tanque, juntam-se 2000 litros de uma mistura de gasolina com 25% de álcool, como 3000 litros deoutra mistura com 15% de álcool. Qual a percentagem de álcool na mistura final?

Resposta: 19%

05. (ENEM)João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cincoparcelas de R$ _ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas dedesconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição,isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociarsuas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João,ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25%sobre o total emprestado, a opção que dá a João o menor gasto seria:

a) A renegociar suas dívidas com o banco.b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do

cartão de crédito.e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do

cheque especial.

06. Numa festa, o número de pessoas que dançam é igual a 25% do número de pessoas que não dançam.Qual é a porcentagem do total de pessoas na festa que não dançam?

a) 50% b) 60% c) 75% d) 80% e) 84%

07. Uma mistura A, de gasolina e álcool, contém 30% de álcool, enquanto uma mistura B, também degasolina e álcool, contém 80% de álcool. Usando as misturas A e B, pretende-se obter 150 litros de umaterceira mistura de álcool e gasolina com 60% de gasolina.

Resposta: 30 litros.

08. Têm-se duas ligas de ouro e cobre; a primeira tem 80% de ouro e a segunda, 88%. Que quantidade decada uma das ligas se deve tomar para obter-se, por fusão, 120g de uma liga com 85% de ouro?

Resposta: 45g e 75g



09. Retiram-se x litros de vinho de um barril de 100 litros e adicionam-se ao mesmo barril, x litros de água.Da mistura resultante no barril, retiram-se outros x litros e adicionam-se outros x litros de água. Agora obarril contém 64 litros de vinho e 36 litros de água. Determine x.

Resposta: x = 20 litros.

10. Em um aquário há 100 peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos. Umamisteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foicontrolada, verificou-se que no aquário, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Que porcentagem dospeixes amarelos que morreram?

Resposta: faça

11. José gasta 30% de seu salário em aluguel. Se o aluguel aumentar 40% e o salário aumentar apenas 20%,que percentagem do salário de José passará a ser gasta em aluguel?

Resposta 35%.

12. Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que funciona com álcool e gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, nesteconjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex”sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos1000 carros desta empresa são bicombustíveis, qual o número de carros que usam três combustíveis?

Resposta: 252

13. Em novembro, uma família pagou R$250,00 de energia elétrica. Ao saber, no começo de dezembro, quehaveria um acréscimo de 20% na tarifa de energia elétrica, a família reduziu de 15% o seu consumo deenergia. Quanto pagará em dezembro?

Resposta: R$255,00.

14. Um minério A tem massa igual a 5 kg e contém 72% de ferro; um minério B, de massa m, contém 58%de ferro. A mistura desses minérios contém 62% de ferro. Qual a massa m?

Resolução. m = 12,5 kg.

15. (ENEM) Nas últimas eleições presidenciais de um determinado país, onde 9% dos eleitores votaram embranco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% dos votos válidos. Não são considerados válidos osvotos brancos e nulos. Pode-se afirmar que o vencedor, de fato, obteve de todos os eleitores um percentualde votos da ordem de:

a) 38% b) 41% c) 44% d) 47% e) 50%

16. (ENEM) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenhofinanceiro anual tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento émenor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor do que 5%; ótimo quando émaior ou igual a 10% e menor do que 20%; e excelente quando é maior ou igual a 20%. Essa empresaapresentou um lucro de R$ 132000,00 em 2008 e de R$145000,00 em 2009. De acordo com esse sistema decontrole de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado:

a) insuficiente b) bom c) regular d) ótimo e) excelente

17. Define-se aproveitamento de uma equipe de futebol num determinado campeonato como o número depontos efetivamente conquistados por essa equipe dividido pelo número de pontos que ela teria obtido setivesse vencido todos os jogos que disputou, sendo essa fração escrita na forma de porcentagem. Em cadapartida, uma equipe ganha3 pontos em caso de vitória, 1 ponto em caso de empate e 0 ponto em caso dederrota. Nos dez primeiros jogos de um campeonato, a equipe ARRANCATOCO obteve 18 pontos, tendo,portanto, um aproveitamento de 60%. Qual o número mínimo de jogos que o ARRANCATOCO ainda deverádisputar nesse campeonato para que seu aproveitamento final possa superar 70%?Resposta: n=4.



18. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço” . Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é

a) "Leve dois e pague um”

b) "Leve três e pague um”

c) "Leve três e pague dois”

d) "Leve quatro e pague três”

e) "Leve cinco e pague quatro”

19. (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total doinvestimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveutirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em açõescorresponde ao valor de

a) R$ 4 222,22b) R$ 4 523,80

c) R$ 5 000,00d) R$ 13 300,00

e) R$ 17 100,00

20. O preço de um produto na loja A é 20% maior do que na loja B, que ainda oferece 10%de desconto parapagamento à vista.. Sérgio deseja comprar esse produto pagando à vista. Nesse caso, para que sejaindiferente para ele optar pela loja A ou pela B, qual o desconto oferecido pela loja A para pagamento à vista?

Resolução: 25%.

3.4. FATORES DE CORREÇÃO

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso de haver acréscimo oudecréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valorpelo fator de correção.

Veja:

Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento.

Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto, ao invés de 30%, tenha 20%de acréscimo então o fator de correção é 1,20.

Exemplo: Aumentando 10% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, teremos, como valor final R$ 20,00 x 1,10 =R$ 22,00.

Veja:

Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor domesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto, ao invés de 30%, tenha 20% de desconto, então o fator decorreção será de 0,80.

Exemplo: Desconto de 10% sobre o valor de um produto de R$ 50,00, temos R$ 50,00 x 0,90 = R$45,00.


01. Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem a um único aumento de quanto?

Resolução: Como 1,1 x 1,2 = 1,32, temos que o aumento único será de 32%.

Qual o desconto único equivalente a descontos sucessivos de 10% e 20%?

Resolução: Como 0,90 x 0,80 = 0,72, temos que o desconto único será de 28%.

02. Em uma semana, as ações de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%.O valor das ações é:

a) O mesmo que o valor inicial.b) Maior em 2% que o valor inicial.c) Menor em 2% que o valor inicial.

d) Maior em 4% que o valor inicial.e) Menor em 4% que o valor inicial.



Resolução. Como 1,2 x 0,8 = 0,96, houve uma perda de 4% em relação ao valor inicial. A alternativa correta é aletra E.

03. Uma mercadoria sofreu um aumento de 25% em seu preço. Um cliente exigiu do vendedor um desconto sobreo novo preço, a fim de pagar por ela o mesmo que antes. Qual o desconto que ele deve pedir?

Resolução: Aumentando o preço inicial x de 25%, o preço passa a ser 1,25x. Agora é só multiplicar este preçopor um fator de correção f de modo a obter x novamente. Assim:

1,25x.f=x

1,25f = 1

f =

f =

f =

Como o fator de correção é , o desconto que faz o preço voltar ao original é de 20%.

04. O preço de um produto sofreu uma redução de 10%. Algum tempo depois, ele sofreu um aumento de 20% e,mais tarde, um novo aumento de 20%. Se o comerciante deseja retornar ao preço inicial, qual o percentual dedesconto a ser aplicado sobre este último preço?

Resolução. Seja p o preço inicial do produto e f o fator de correção que leva, após as alterações de preços, opreço do produto a retornar ao valor inicial.

Equacionando: p .0,9 .1,2 .1,2 . f = x

Fazendo os cálculos: f =

O que nos dá um percentual de desconto igual a 1 – 0,7716 = 0,2284 = 22,84%.

05. As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. Qual adesvalorização total nesses três meses?

Resolução. Como 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,512, segue-se que a desvalorização foi de 1 – 0,512 = 0,488 = 48,8%.

06. Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação,20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros

que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a120.Determine o valor de n.

Resolução. Resolvendo a equação n x 0,8 x 1,2 = 120, obtemos n = 125.

OBS.1) Numa transação financeira onde V=preço de venda e C=preço de custo; P=prejuízo, temos que V=C+Lou V=C – P , com L = lucro e P = prejuízo.

07. Uma mercadoria foi comprada por R$ 1200,00 e vendida por R$ 1500,00. Qual a porcentagem de lucro sobreo preço de compra? E sobre o preço de venda?

Resolução. Sobre o preço de compra teremos:

e sobre o preço de venda será

08. Um comerciante fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de suas mercadorias. Uma delas custou R$1.200,00. Por quanto deverá vendê-la?



Solução:

V = C + LV = C + 0,20CV = 1,2C

V = 1,2 . 1200,00V = R$ 1440,00

09. Uma mercadoria custou R$ 22,50. Pretendo vendê-la com 25% de lucro sobre o preço de venda. A que preçodevo vendê-la?

Solução:

V = C + LV = C + 0,25VV – 0,25V = C0,75V = C0,75V = 22,50

V = R$ 30,00

10. Comprei um aparelho de som por R$ 450,00. Precisando de dinheiro fui obrigado a vendê-lo, com 22% deprejuízo. Por quanto vendi o aparelho?

Solução:

V = C – P

V = C – 0,22C

V = 0,78C

450,00 = 0,78C

C = R$ 396,00

11. Um lucro de 25% sobre o preço de compra de um produto é equivalente a quantos por cento sobre o preço devenda?

Resolução. Sabemos que V = C + L, isto é, V = C + 0,25C , donde V =1,25C. Sendo assim, o percentual de lucrosobre o preço de venda será L/V = 0,25C/1,25C = 25/125 = 1/5 = 0,20 = 20%.

OBS.2) Fator de ganho real = fator de ganho aparente/fator de inflação.

12. Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, determine um valor

aproximado da inflação acumulada nesse trimestre?

Resolução. Como 1,06 x 1,08 x 1,10 = 1,26 aproximadamente, segue-se que a inflação acumulada é de 26%.

13. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de compra?Solução: Como f = 1,56/1,30 = 1,20; segue-se que o poder de compra aumentou em 20%.

14. Certa categoria profissional conseguiu no Tribunal do Trabalho, para junho, reajuste de 62,5% sobre ossalários de janeiro, descontadas as antecipações. Como houve um adiantamento 25% em março, que valorpercentual deve incidir sobre os salários de abril para cumprir as determinações judiciárias?

Resolução. Devemos ter (1+0,25)(1+i) = 1,625, que é equivalente a 1+ i =

. Fazendo as contas em 1+ i =

1,30, segue-se que i = 0,30 = 30%.

15. Se a taxa de inflação acumulada no primeiro semestre for de 9%, e a taxa média mensal de inflaçãopermanecer a mesma no primeiro semestre, qual a taxa anual de inflação?



Resolução. Sabendo que (1+im)6 = 1 + 0,09 vem que:

(1+im)6 = 1,09(1+im)12 = (1,09)2 (1+im)12 = 1,1881

(1+im)12 = 1+0,1881 = 1+iaia = 0,1881

ia = 18,81%

3.6. JUROS SIMPLES

Chamamos de juros J a remuneração recebida pela aplicação de um capital C, a uma taxa de juros i, durante umcerto tempo n. Se essa remuneração incidir somente sobre o capital C , a esses juros, chamaremos de jurossimples. A soma C + J é chamada de montante e será representada por M. É fácil deduzir que no regime de juros simples.


01. Qual o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 9% aosemestre, ao final de 1 ano e 9 meses?

Resolução. Perceba que 1 ano e 9 meses = 21 meses = 3,5 semestres.

Aplicando a fórmula do montante M = C(1+in), teremos: M = 10000(1+0,09.3,5) = R$ 13150,00.

02. Qual o prazo em que se duplica um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% ao mês?

Solução: Sabemos que C(1+in) = M , onde M = 2C e i = 0,04. Sendo assim, teremos:C(1+0,04n) = 2C

1 + 0,04n = 2

0,04n = 1n = 25 meses

03. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada deR$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

Resolução: Como a entrada foi de R$200,00, o saldo devedor é de R$ 800,00 que, será pago 2 meses depoiscom R$ 880,00, pagando, portanto juros de R$ 80,00.

Como os juros são simples, teremos: J = Cin, isto é, 80 = 800.2.iconcluímos que i = 0,05 = 5% ao mês.

3.8. JUROS COMPOSTOS

Chamamos de juros compostos à remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando acada período , a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior.Sendo assim, teremos: M = C(1 + i)n onde M = montante, C = capital , i = taxa e n = tempo. O fator (1 + i)n échamado fator de capitalização.

3.9.EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Qual o montante produzido por R$ 10000, à taxa de juros compostos de 6% ao mês, durante 5 meses?Resolução: Sabendo que M = C(1 + i)n e substituindo os dados do enunciado vem que:

M = 10000(1 + 0,06)5 M = 10000 . 1,065 M = 10000 . 1,338225M = R$ 13382,25



02. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo com 20% de entrada maisuma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos destefinanciamento?

Resolução: Como houve uma entrada de 20% de R$500,00; isto é, de R$ 100,00; o valor financiado será de R$

400,00 que, será pago com R$ 440,00, após dois meses. Sendo assim, teremos:

M = C(1+i)n 440 = 400(1+i)2 (1+i)2 = 1,10

1+i =1+i = 1,048i = 1,048 – 1i = 0,048i = 4,8% a.m.

Observações.I) Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativamente an períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1+i)n.

03. Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 7%.

Resolução. 1+ I = (1+i)n 1 + I = (1+0,07)3 1 + I = 1,073 1 + I = 1,225043I = 0,225043I = 22,5%

04. Qual a taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês?

Resolução. 1 + I = (1+0,12)12 1 + I = 1,1212 1 + I = 3,90I = 2,90I = 290%

II) Um erro muito comum é achar que os juros de 12% ao mês equivalem a juros de 12x12% = 144% ao ano.Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano são ditas proporcionais, pois a razão entre elas é igual à razão dosperíodos aos quais elas se referem.

III) As taxas de 20% ao mês, 60% ao trimestre e 240% ao ano são taxas proporcionais. Um péssimo hábito emMatemática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como se fossem equivalentes. Uma expressão como“12% ao ano com capitalização” significa que a taxa usada na operação não é a taxa de 12% anunciada e sim ataxa mensal que lhe é proporcional. Assim, a tradução da frase “12% ao ano com capitalização mensal” é “1% aomês.”

Reforçando: “24% ao ano com capitalização trimestral” significa “6% ao trimestre”; “6% ao ano com capitalizaçãomensal” significa “0,5% ao mês” e “1% ao mês com capitalização semestral” significa “6% ao semestre.”

05. Qual a taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com capitalização mensal?

Resolução. A taxa mensal é A taxa efetiva semestral é I tal que 1+ I = (1+0,04)6 . Daí, I = 26,5% ao

semestre.




01. Uma mercadoria cujo preço de tabela é de R$ 8000,00, é vendida à vista com desconto de x% ou em duasparcelas iguais de R$ 4000,00; sendo a primeira no ato da compra. Suponha que o comprador dispõe de dinheiropara pagar à vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês.

Nessas condições:

a) Se x = 15, será vantajosa para ele a compra a prazo?b) Qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo?

Resposta: a) não b) x = 10

02. José tem três opções de pagamento na compra de vestuário:

a) À vista com 30% de desconto.b) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.c) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.

Qual a melhor opção para José, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?

Resposta: a melhor alternativa para José é a compra à vista e a pior é a compra em três prestações.

03. (UFRN) Embora o Brasiltenha uma das maiores jazidasde sal do mundo, sua produçãoanual em milhões de toneladasainda é inferior à da Alemanha,à da Austrália, à do Canadá, àda China, à dos EUA, à daFrança, à da Índia e à do

México. O gráfico abaixo mostraa produção de sal nessespaíses, no ano 2000.Considerando esses principaispaíses produtores, a melhoraproximação do percentual departicipação do Brasil naprodução mundial de sal em2000 foi de

a) 4%.b) 5%.c) 6%.

d) 11%.

04. (OBMEP) O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa sobre comoos moradores de um bairro de uma grande cidade vão ao trabalho. Entreos entrevistados que não vão ao trabalho a pé, qual é o percentual dosque vão de carro?

a) 20%b) 25%c) 30%d) 35%



05. Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1200 pessoas sãomostrados no gráfico abaixo.

Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro?

a) 60 b) 320 c) 360 d) 400

06. Veja na tabela o resultado dapesquisa feita em um bairro de umagrande cidade sobre os modos de irao trabalho.

Com base nessa tabela, qual é aalternativa correta?

a) Metade dos entrevistados vai a péao trabalho.b) O meio de transporte mais utilizadopelos entrevistados para ir ao trabalhoé a bicicleta.c) 50% dos entrevistados vão aotrabalho de ônibus.d) A maioria dos entrevistados vai aotrabalho de carro ou de ônibus.e) 15% dos entrevistados vão aotrabalho de carro.

07. Das pessoas presentes em uma festa, sabe-se que a razão entre o número de mulheres e o de homens é de7/13. Nessas condições, qual a porcentagem de mulheres neste grupo de pessoas? R. 35%

08. Um artigo com preço de R$120,00 tem esse valor reajustado para R$150,00. Qual o percentual de aumento?R. 25%

09. Um artigo de preço R$150,00 teve uma redução no seu preço, passando a valer R$120,00. Qual o percentualrelativo a essa redução? R. 20%

10. Sobre o valor de uma mercadoria foram feitos dois aumentos sucessivos de 30%. Qual o valor de um únicoaumento equivalente? R. 69%

11. Qual o desconto único equivalente a descontos sucessivos de 10% e 20%? R. 28%

12. Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflaçãoacumulada nesse trimestre, aproximadamente? R. 26%

13. Numa loja, uma caixa com 5 barras de chocolate está à venda com a inscrição: “Leve 5 e pague 4”. Odesconto aplicado ao preço de cada barra corresponde, em porcentagem, a:

a) 8 b) 10 c) 20 d) 25

14. Uma pessoa investiu 3000 reais em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do total investido e no segundomês ela recuperou 30% do que havia perdido.

a) Com quantos reais ela ficou após os dois meses?b) Qual foi o seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?

R. a) 2160 reais b) 28%

preto 24%castanho 30%

loiro

ruivo 16%



15. Uma mercadoria sofreu um aumento de 25% em seu preço. Um cliente exigiu do vendedor um desconto sobreo novo preço, a fim de pagar por ela o mesmo que antes. Qual é o desconto que ele deve pedir? R. 20%

16. Num salão com 100 pessoas, 99% são homens. Quantas mulheres devem entrar para que 30% dos presentessejam homens? R. 230

17. Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas vezes iguais, “sem juros”, sendo aprimeira prestação no ato e a segunda em 30 dias. Qual a taxa de juros mensais cobrada efetivamente pelovendedor? Resposta: 25% a.m.

18. Um comprador pagou um mercadoria em duas parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e a outra 30 diasdepois. Se o preço à vista era de R$ 430,00 e se lhe foi cobrada uma taxa de juros de 15% ao mês, o valor decada parcela foi de

a) R$ 225,00 b) R$ 230,00 c) R$ 247,25 d) R$ 250,00

19. (ENEM)Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará retorno financeiro em uma aplicação

de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB(certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

a) A poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80b) A poupança, pois totalizará um montante de R$ 500, 56c) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38d) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21e) O CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87

20. (ENEM)Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadastrês possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conformedescritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao anoInvestimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumasaproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá



a) Escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%b) Escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%c) Escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos

investimentos B e C.d) Escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do

investimento A e de 18% do investimento Ce) Escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano

dos investimentos A e B.

CAPÍTULO 3

MÉDIAS

3.1. Médias Aritmética e Geométrica.

Uma média de uma lista de números é um valor que pode substituir todos os números da lista sem alterar umadeterminada característica dessa lista. Se essa característica for a soma dos números da lista essa média édenominada de média aritmética e neste caso teremos: Se , , , ... ,é uma lista de números dados, amédia aritmética é um número A que satisfaz a igualdade

1 2 3 n

nparcelas

x x x ... x A A A ... A n.A

e portanto

1 2 3 nx x x ... x

An

Já se a característica da lista (que agora dever ser constituía apenas de números reais cujo produto é positivo) aser preservada for o produto dos seus elementos chamamos a média de média geométrica o número positivo Gobtido através da igualdade

n

1 2 3 n

n fatores

x x x ... x G.G.G. ... .G G

n1 2 3 n

G x .x .x . ... .x

Quando a lista de números x1, x

2, x

3, ...,x

né constituída de números reais positivos, demonstra-se que G A. Este

fato é conhecido em Matemática como a desigualdade MA - MG.Temos G=A se, e somente se, x

1= x

2= x

3= ...=x

n . Em particular, para dois números x e y,com x 0 e y 0 , temos

que:

x yxy x y

2

Exemplo. Sendo a e b reais positivos, mostre a desigualdade .Demonstração. Sabemos que (√ √ )2 . Desenvolvendo, obtemos:

√ , o que significa √ , isto é, .



3.2. Média Ponderada

Um outro tipo de média que comumente surge um problemas práticos é a média aritmética ponderada que ,emverdade, é uma média aritmética de uma lista de números que não são todos distintos. Assim podemos defini-lada seguinte forma: considere uma lista de números reais tais que existam

números iguais a

,

números

iguais a , números iguais a , ... , números iguais a , a média aritmética ponderada dos elementosdessa lista será dada pela fórmula:

1 1 2 2 3 3 n n

1 2 3 n

p .x p .x p .x ... p .xM

p p p ... p

onde os números , ...., são os pesos dos elementos , , x3, ...,da lista dada.

3.3. Média Harmônica

Há também a média harmônica, além de outras que não mencionaremos aqui, por fugir ao objetivo do texto. Amédia harmônica dos n números positivos

,

, ............,

é dada por:

De modo mais coloquial, a média harmônica de n números reais e positivos é o inverso da média aritmética dosinversos desses números.

Exemplo: Calcule a média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dosinversos dos valores dados:

Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média harmônica de 2, 6 e 8:

3.3. Média Quadrática

Outra média importante é a média quadrática. A medida quadrática dos números , , ....., é definida por:

Q =

Isto é, a média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos números.

Por exemplo, a média quadrática dos números 1 e 7 é:




01. A média aritmética dos elementos de um conjunto de30 números é 57. Se retirarmos desse conjunto 3números, de valores 25, 27 e 38, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é:

a) 57 b) b) 60 c) c) 61 d) d) 59 e) e) 58

Resolução: Sabemos, pelo enunciado, que , ou seja, = . A nova soma será -25-27-

38 = 1710 – 90 = 1620. A nova média será =60.

02. (UEPB) A média aritmética das alturas de cinco edifícios é de 85 metros. Se for acrescentado a apenas umdos edifícios mais um andar de 3metros de altura, a média entre eles passará a ser:

a) 85,6m b) 86m c) 85,5m d) 86,6m e) 86,5m

Resolução. Pelo enunciado , isto é, A nova média será

(em metros).

03. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposentou e foi imediatamente substituído por um professor de23 anos. Por esse motivo, a média das idades dos professores diminuiu 2 anos. Qual a idade do professor que seaposentou? Resposta: 58 anos

Resolução. Sabemos que , onde A é a média aritmética inicial. Sendo x a idade do professor que se

aposentou e com a entrada de um professor de 23 anos, a nova média será igual a: . Resolvendo

o sistema, obtemos x = 58 anos.

04. No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times era de 1,72m. Ainda oprimeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro quemedia 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73m de altura, foi expulso. A

terminar a partida, qual a altura média dos 10 jogadores do time?Resolução. Se 1,72m é a média das alturas dos 11 jogadores, a soma S das alturas de todos eles é S = 1,72x11= 18,92. Quando sai um jogador de1,77m de altura e entra um outro de 1,68m, a nova soma das alturas será18,92-1,77+1,68 = 18,83m. Com a expulsão de um jogador de 1,73m, o valor da soma das alturas passará a ser18,83-1,73.

Logo, a altura média dos jogadores restantes será =

Exemplo. Em um colégio, há duas turmas de oitava série. Aplicada a prova de matemática, a média na primeiraturma 6,4 e a da segunda turma foi 5,8. Se na primeira turma há 30 alunos, e na segunda há 20 alunos, qual foi amédia da oitava série nessa prova?

Resolução. A média procurada é a média ponderada entre 6,4 ( com peso 30) e 5,8(com peso 20):

05. O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2.Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodadapara que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida na primeira rodada? R. 18

Resolução. Seja n o número de gols marcados na segunda rodada. A média obtida na primeira rodada é 15/6 e,

a média na segunda rodada é de (15+n)/11. Usando as condições do enunciado, devemos ter:

Fazendo estas contas obtemos n = 18.



06. Um sistema de radar é programado pararegistrar automaticamente a velocidade detodos os veículos trafegando por umaavenida, onde passam em média 300veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima

velocidade permitida. Um levantamentoestatístico dos registros do radar permitiu aelaboração da distribuição percentual deveículos de acordo com sua velocidadeaproximada.

A média das velocidades dos veículos quetrafegam nessa avenida é de:

a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h

Resolução. Fazendo a média ponderada, obtemos facilmente o resultado:

07. Se x e y são números reais positivos tais que x y 8 , determine o valor máximo de xy .

Resolução. Sabemos pela desigualdade MA-MG que: . Substituindo na desigualdade acima,

vem que , isto é, , donde se conclui que Conclusão: 08. Se x > 0, qual é o menor valor de

9

x x ?

Resolução. Pela desigualdade MA-MG temos que , o que dá facilmente

.

Conclusão: o mínimo valor de 09. Dada a equação , com raízes reais, determine o valor de k de modo que o produto delas sejamáximo.

Resolução. Usando a desigualdade MA-MG e o fato que, sendo as raízes reais da equação dada,

teremos, , vem que:



10. (FGV-2011) A média aritmética de 20 números reais é 30, e a média aritmética de 30 outros números reais é20. Qual a média aritmética desses 50 números?

Resolução. Como S20/20 = 30 e S30/30 = 20, segue-se que S20 = 600 e S30 = 600. Sendo assim, a média dos 50números é dada por (S20 + S30)/50 = 1200/50 = 24.


01. Numa prova para uma sala com 30 alunos, a média aritmética das 10 piores notas é 3 e a média aritméticadas 10 melhores notas é 9.Qual o menor valor possível e o maior valor possível para a média da sala?

Resposta: 5 e 7

02. A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. Se dois números, a saber, 45 e 55, são retirados, amédia do conjunto restante é:

a) 36,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5

03. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposentou e foi imediatamente substituído por um professor de23 anos. Por esse motivo, a média das idades dos professores diminuiu 2 anos. Qual a idade do professorque se aposentou? Resposta: 58 anos

04. Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média da turma foide 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que nãoobtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é:

a) 53. b) 50. c) 51. d) 52.

05. A média das notas de todos os alunos de uma turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a das moças é4,3, a porcentagem de rapazes na turma é:

a) 60 % b) 65 % c) 70 % d) 75 %

06. A média aritmética de 5 números inteiros positivos distintos é 80. Qual o maior valor que um destes númerospode ter? Resposta: 70

07. (UFCG) Em um concurso, dois candidatos participaram de duas etapas, consistindo de uma prova escrita ede uma prova didática. Pelas normas do concurso, os candidatos foram identificados pelas letras A e B. Suasnotas, em cada etapa do concurso, aparecem na tabela abaixo:

Sabendo-se que a nota final é a média ponderada das notas em cada uma das duas etapas e que a somados pesos das duas etapas é 10, os pesos das provas escrita e didática são, respectivamente:

a) 6 e 4 b) 5 e 5 c) 7 e 3 d) 8 e 2 e) 4 e 8

08. A média aritmética das idades de um grupo de médicos e advogados é 40 anos. A média aritmética dasidades dos médicos é 35 anos e a dos advogados é 50 anos. Pode-se, então, afirmar que:

a) O número de advogados é o dobro do número de médicos no grupo.

b) O número de médicos é o dobro do número de advogados no grupo.c) Há um médico a mais no grupo.d) Há um advogado a mais no grupo.e) Existem as mesmas quantidades de médicos e advogados no grupo.



09. A média aritmética de seis números é 4. Quando acrescentamos um sétimo número, a nova média é 5. Onúmero que foi acrescentado é:

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11

10. Considere um grupo de 10 pessoas A, B, C, D, ..., I, J, dentre as quais:

I. A, B e C têm respectivamente 16, 29 e 31 anos;II. H e J nasceram em 1971;III. D, E, F, G e I nasceram, nessa ordem, em anos consecutivos.

Sabe-se ainda que todos já aniversariaram este ano (1998) e que a média aritmética das idades de todo o grupo é23. O ano em que I nasceu foi:

a) 1980. b) 1979. c) 1978. d) 1977. e) 1976.

CAPÍTULO 4

POTÊNCIAS, FATORAÇÕES E RADICAIS

4.1 POTENCIAÇÃO

Sendo a um número real e n um número inteiro positivo, define-se como o produto de n fatores iguais a a.

Exemplos:

a) b)

c) =

4.2. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS PARA EXPOENTES INTEIROS E POSITIVOS

a) = b)

c)

d)

e) (

4.3. POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

4.4. POTÊNCIA DE EXPOENTE FRACIONÁRIO

√

OBSERVAÇÃO: As propriedades (2) são estendidas facilmente para potências de expoentes reais.


01. Mostre que se a Resolução.

.



02. Justifique, usando as propriedades, que

Resolução. .

03. Qual o valor de ?

Resolução. .

04. Determine .

Resolução:

05. Qual é a soma dos algarismos do número que se obtém ao calcular x?

Resolução: Como

, segue-se que o número dado é 125

seguido de 100 zeros, o que nos leva a concluir que a soma dos seus algarismos é 9.

06. Qual o resultado da divisão de ?

Resolução.

07. Se qual o valor de

Resolução. 08. Qual a metade de

Resolução. () 09. O valor de

a) b)

c) d)

e)

Resolução.

10. Se

Resolução. Colocando em evidência no primeiro membro da igualdade acima:

4.6.PRODUTOS NOTÁVEIS.

2 2 2a+b =a +2ab+b

2 2 2a-b =a -2ab+b

2 2 2 2a+b+c =a +b +c +2 ab+ac+bc

3 3 2 2 3a+b = a +3a b+3ab +b

3 3 2 2 3a+b = a -3a b+3ab -b



4.7.FATORAÇÕES USUAIS

a.x+a.y=a. x+y

2 2a -b = a +b . a -b

3 3 2 2a -b = a-b . a +ab+b

3 3 2 2a +b = a+b . a - ab+b

Se e são raízes da equação 2ax +bx+c=0 , então 2ax +bx +c =a. x - . x - .


01. Se e , calcule , sabendo que x e y são positivos.

Resolução.

Sabendo que = , vem que:

√

02. Se determine o valor de Resolução: Quadrando a igualdade , vem que:

03. Se , determine o valor de

Sabemos que:

(I)

De , vem que , isto é, (II)

Substituindo (II) em (I), segue-se que .

x y xy 3 3 3x y



04. Determine x e y naturais de modo que Resolução: De por fatoração de ambos os membros que:

Recaímos no sistema que resolvido nos dá x=10 e y =9.

05. Em 1992, a população de uma certa cidade era um quadrado perfeito. Em 1993, houve um aumento de 99habitantes e, mesmo assim, o número de habitantes ainda era um quadrado perfeito. Em 1994, houve umaumento de 101 habitantes no número de habitantes em relação ao ano anterior e, ainda assim, o número dehabitantes foi dado por um quadrado perfeito. Qual a população dessa cidade em 1992?

Resolução: Sejam populações da cidade em 1992, 1993 e 1994, respectivamente. Pelo enunciado Como 101 é primo, a última equação se torna , donde sechega ao sistema Resolvendo este sistema, obtemos a = 51 e b= 50. Logo, apopulação da cidade em 1992 é de 06. Determine a e b naturais tais que 2a 2b2 -3 =55 .

Resolução. Fatorando convenientemente os dois membros:

(Por que?)

Resolvendo o sistema acima, obtemos a=3 e b=1.

07.

Exemplo 7. Se

Resolução. Como = , isto é, n deve ser 12 para queo número acima seja um quadrado perfeito.

08. Qual o valor de , sabendo que e que

Resolução.

09. Se determine o valor de .



Resolução,

√ , já que

10.Se x y xy 34 , determine o valor de x y sabendo que x e y são inteiros positivos.

Resolução. De adicionando 1 a ambos os membros, vem que:

Fazendo 1+x =7 e 1+y = 5(por que?) , vem que x=6 e y=4. Conclusão: x+y = 10

4.9. RADICAIS

Vamos tratar aqui de raízes de números reais, mais tarde trataremos das raízes num caso mais geral(números complexos). Por hora, seja a um número real e n 2 um número natural definimos a raiz de índice n de

a (quando existir, é claro!) como sendo o número real b tal que bn=a , representaremos esta fato da seguinteforma: . É claro que se a < 0 , a definição só faz sentido se n for ímpar. Assim, por exemplo, o símbolo 1 , nosreais não faz sentido, visto que não existe um número real x tal que .

No radical n a , o número a é denominado radicando, enquanto o n é o índice do radical e, além disso,

lemos n a como sendo raiz de índice n de a.

4.10. PROPRIEDADES DOS RADICAIS Quando estão satisfeitas todas as condições de existência, verificam-se as seguintes propriedades para os

radicais:

n n

n n n

n

nn

a.pn m m.p

n m n.m

* a a

* a.b a. b

a a*

b b

* a a

* a a



Um outro tópico que tradicionalmente abordado quando se estuda radicais é a RACIONALIZAÇÃO DEDENOMINADORES, que consiste na eliminação dos radicais dos denominadores das frações. Neste ponto vamosfazer alguns comentários importantes. Algumas pessoas (e até “livros”) justificam a necessidade da racionalizaçãode denominadores dizendo que os radicais não podem ficar nos denominadores. Isso não tem nada a ver!, afinalque preconceito é este com os radicais?!. Afinal eles são números como quaisquer outros (inclusive, em

Matemática, num certo sentido, eles existem em maior quantidade do que os números racionais).

Na verdade a racionalização surgiu no passado (quando as calculadoras eletrônicas não eram tãodisponíveis quanto hoje) como uma forma de facilitar alguns cálculos. Assim, Por exemplo, para fazer a “conta”

1

2 alguém teria que dividir 1 por 1,41 (que é o valor aproximado de 2 , o que convenhamos não é muito bom

de fazer (apesar de ser fácil, é chato!) . Assim, em lugar de dividir 1 por 1,41 poderíamos fazer uma conta mais

agradável (fácil) procedendo da seguinte forma1 1 2 2 1,41

. 0,7052 22 2 2

. Apesar disso , as pessoas no

últimos tempos têm criado problemas (sem interesse prático, mas às vezes até muito bonitos!) para racionalizardenominadores. Para efetuar as racionalizações mais comuns é bom que lembremos de alguns fatores queracionalizarão os denominadores, vejamos:

n nn m m

* a éo fatorracionalizantede a

* a éofatorracionalizantede a

* a b éofatorracionalizantede a b

* a b éofatorracional izantede a b

* a b éofatorracionalizantede a b

* a b éofatorracional izantede a b

Existem ainda dois casos mais raros, mas que mesmo assim vamos mencioná-los:

3 32 23 3 3

3 32 23 3 3

a b tem como fator racionalizante a - ab b

a b tem como fator racionalizante a ab b

4.11. RADICAIS DUPLOS

Apesar de praticante não aparecem mais em questões dos vestibulares atuais, vamos lembrar a fórmula datransformação de um radical duplo em soma ou diferença de radicais simples, vejamos:

2a c a ca b onde, c a -b

2 2

É importante lembrar que nem todos os radicais duplos se reduz como soma ou diferença de radicais simples. Na

verdade isto só ocorre de a2-b for um quadrado perfeito.


01. Qual o valor de 2123456 123456 123457 ?

Resolução. Fazendo x = 123456, segue-se que √ = √ = = 02. Simplifique √

Resolução.

√ √ √ √ √



03. Determine

Resolução.

√ √

04. Determine x>0 de modo que 2 3 . 2 3 x

Resolução. De √ √ √ ( √ )( √ ) √

√ √ já que ( √ )( √ ) (√ ) 05.

a) √

b)√ √

c)

Sugestão. Multiplique numerador e denominador pelo fator racionalizante conveniente para cada caso.

06.Ordene √ √ √

Sugestão. Comece fazendo o mmc(3,4,12) e, em seguida, reduza os radicais ao mesmo índice.

07. Qual a raiz sétima de

Resolução. .

08. Calcule x em √ .

Sugestão: Eleve ao quadrado ambos os membros da equação.

09. Qual o valor de √

Resolução. √ 10. Determine o valor de √ Resolução. √ √ ( √ ) √




01. Qual o valor da expressão 20012 – 1999.2001 + 999.2? R. 6000 02. Se

qual o valor de

?

03. Racionalize:

a)1

3 b)

1

2 1 c)

3

1

2 d)

3

1

2 1

04. Se a b 1 e 2 2a b 2 , determine o valor de 3 3a b .R. 3

05. Resolva a equação1

2 11

2

2 x

. Resp. 2 1

06. Transforme o radical duplo 7 24 em uma soma de radicais simples. Resp. 6 1

07. Qual é o maior?

a) 3 42 ou 3 .

b) 20 98 ou 19 99 .

Resp.

a) 4 3 b) 20 98

08. Os sinais das operações aritméticas são hoje de fácil identificação e aplicação graças ao grande mestrealemão Michael Stiffel (1487-1567) que, no início do século XVI, começou a empregar os símbolos + e

como sinais das operações usadas atualmente. A fração22

33

baba

ba

, quando 193a e 192 b , é igual a:

a) 0 b) 1932 – 1922 c) 1 d) 101 e) 385

09. Fatore a expressão 3x2 – 2xy – y2 . Sugestão: Faça 3x2 = 2x2 + x2.

10. Qual o valor de 20023 – 2001.2002.2003? R. 2002



CAPÍTULO 5

EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS

5.1.EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

FORMA GERAL: ax b 0 , com a 0 .

Raiz:b

xa


01. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: Chamando de x a idade de Carlos vem que a idade de André será 22 – x. Usando as condições do

enunciado, teremos:

x – 4 = 22 – x2x = 26x = 13

Sendo assim, Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

02. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm umapopulação de 100.000 habitantes, quantos habitantes possui a cidade B?

Resolução: Se a população da cidade B for x, a da cidade A será 3x. Como a soma das populações é 100 000,vem que:

x + 3x = 100 0004x =100 000

x = 250 000

Logo, a população da cidade B é de 250 000 habitantes.

03. (OPM) Bruno e Bernardo foram a um acampamento junto com seus professores. Neste acampamento, haviauma única barraca para todos os professores. Já os alunos ficaram em 10 barracas, cada uma delas com omesmo número de pessoas. Eles sabiam que o total de pessoas no acampamento era igual a 41, e observaramque o total de professores era igual ao total de estudantes de uma das barracas aumentada de 8. Quantosprofessores havia no acampamento?

Resolução: Sendo x o número de estudantes em cada barraca, temos que o número de estudantes será 10x, jáque o número das barracas ocupadas por ele é 10. Além disso, o número de professores, pelo enunciado, é x + 8.Como o total de pessoas acampadas é 41, segue-se que:

10x + x + 8 = 4111x = 33

x = 3

Logo, o número de professores é x + 8 = 3 + 8 = 11.

04. Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes do dia da arrecadação e as despesaspermaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, odiretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Assim podemos afirmar que cada um dos estudantes quepermaneceram na escola pagou uma quantia de :

a)R$ 136,00 b)R$ 138,00 c)R$ 142,00 d)R$ 144,00



Resolução. Sendo n o número inicial de alunos que pagariam a festa. Com 7 deles desistiram, pelo enunciadotemos que:

Como ficaram apenas 41 – 7 = 35 alunos que, sem a ajuda do professor, pagaria cada um R$162,00, devemosabater deste, 630/35 = R$ 18,00, ficando a parcela de cada um em R$144,00.

05. Em uma cesta há 135 laranjas, em outra há 85. Tirando-se quantidades iguais de laranjas de ambas ascestas, a primeira passa a ser o dobro da segunda. O número de laranjas tiradas de cada cesta é:

a) 25 b) 45 c) 35 d) 40

Resolução. Seja x o número de laranjas retiradas de cada cesta. Equacionando os dados, obtemos:

135 – x = 2(85 – x)135 – x = 170 – 2x

x = 35

5.3. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

FORMA GERAL: 2ax bx c 0 , com a 0 .

Denomina-se discr iminante da equação do 2º grau 2ax +bx+c=0ao número 2b 4ac , que representamos pelaletra (leia: delta).

2

b 4ac

A equação do 2º grau tem raízes reais (que são os zeros da função quadrática) se, e somente se, ≥ 0.

As raízes são dadas por:

bx

2a

ou seja,

bx'

2a

bx''

2a

Temos ainda:

• ∆> 0 (as duas raízes são números reais distintos)

• ∆= 0 (raiz dupla)

• ∆< 0 (não existem raízes reais)

OBSERVAÇÕES:

i) Se e são raízes da equação 2ax +bx+c=0 , então 2ax +bx +c = a. x - . x - .

ii) (Relações de Girard).

Se e são raízes da equação 2ax +bx+c=0 , então

b

a

c

a

(Relações de Girard).



5.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. O tempo de vôo de um piloto será, daqui a 3 anos, um quadrado perfeito e, há três anos, era precisamente a

raiz quadrada desse quadrado. Qual o tempo de vôo do piloto?

Resolução.

Seja n2 a idade do piloto daqui a três anos. Assim há três anos esse tempo era 2n 6 , que de acordo com o

enunciado do problema era igual a 2n n . Assim temos que

2 2n n 6 n n 6 0 n 3 ou n 2

Como n deve ser positivo, segue que n = 3

Comon

2

é o tempo de vôo do piloto daqui a três anos, temos que hoje o tempo de vôo do piloto é

2

n 3 e, assim otempo procurado é 23 3 6anos .

02. O quadrado da idade de Carlos menos o seu quádruplo corresponde a 45 anos. Qual a idade de Carlos?

Resolução: Chamando a idade de Carlos de x e equacionando os dados, obtemos a seguinte equação dosegundo grau: x2 – 4x = 45, isto é, x2 – 4x – 45 = 0. Resolvendo, descartando a raiz negativa, obtemos x = 15anos.

03. (TFC) A importância de R$ 2400,00 deve ser distribuída como prêmio a 24 jovens, entre moços e moças, daseguinte maneira: o total recebido pelos moços deve ser igual ao recebido pelas moças e cada moço deve receberR$50,00 a mais que cada moça. Qual a importância que cada moço receberá?

Resolução. A importância de 2400 reais será dividida entre x moços e 20 – x moças. Sendo assim, asquantidades recebidas por cada rapaz e cada moça são, respectivamente,

. Como cada moço recebe

50 reais a mais do que cada moça, segue-se que: . Eliminando os denominadores, usando o fato

de que mdc(x,20-x)= x(20-x) , obtemos a seguinte equação do segundo grau:

Resolvendo, obtemos x = 8.

04. Um grupo de garotos, colegas do mesmo bairro, resolveu se reunir para comprar uma bola no valor deR$120,00, com a participação igual de todos. Após o acordo, dois garotos não puderam contribuir forçando umaumento de R$2,00 na cota de cada um dos demais. Quantos garotos compunham esse grupo inicial. R. 12

Resolução. Se x é quantidade de garotos no grupo inicial, seria o que cada um pagaria. Com a desistência de

dois garotos, cada um irá pagar agora Como, nesta nova situação, cada garoto pagará 2 reais a mais,

temos que: . Eliminando os denominadores, como no exemplo anterior, e resolvendo uma equação

do segundo grau, obtemos x = 12.

05. Qual a diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação 021452 22 x x .

Sugestão: Desenvolva os quadrados ou use a diferença de quadrados.




01. Um pai e seu filho têm, juntos, 96 anos. Tirando-se 22 anos da idade do pai e acrescentando-os à idade dofilho, elas tornam-se iguais. Calcule a idade do pai. R. 70 anos

02. Um pai tem 49 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?

R. 2

03. Mariana entrou na sala e viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, parcialmente apagadas,conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de cima do quadro-negro?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 22

04. Sendo ab e b 0, sabe-se que as raízes da equação 02 bax x são exatamente a e b. Então, a – b é

igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

05. Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor deMatemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar dadivisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Quala percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente?

a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75%

06. Resolva a equação x4 – 13x2 + 36 = 0.

07. Se1

4,5

x

o valor de6

1

x é:

a)5

1 b)

4

1 c)

3

2 d)

5

4 e)1

08. O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:

2

30

a b c

a b c

A) 45 B) 23 C) 24 D) 25 E) 72

09.Resolva a equação 2

x 3 1 .x 3 0 .



Resposta: 1 e

10. Se a e b são raízes da equação x2 – 92x + k = 0 e se ab.ba.aa.bb = 1623, o valor de k é:a) 1 b) 2 c) 4 d) 8

CAPÍTULO 6

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

6.1 - Conceito

É todo conjunto de m (m≥1) equações lineares, que se denota da seguinte forma:

6.2. Classificação

a) Sistema Possível e Determinado (SPD) - possui uma única solução.

b) Sistema Possível e Indeterminado (SPI) - possui infinitas soluções.

c) Sistema Impossível (SI) - não possui solução.

6.3. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA PELA ELIMIMAÇÃO GAUSSIANA (MÉTODO DO ESCALONAMENTO)

6.4. Escalonamento de Gauss (Escalonamento)

Tem-se um sistema escalonado quando, por meio de operações elementares entre equações(multiplicação deuma equação por um número não nulo, troca da posição de duas equações e a substituição de uma equação poroutra que é obtida multiplicando-se uma outra equação do sistema por um número não nulo e somando-se a estaequação original), obtém-se um sistema transformado com o seguinte aspecto:

Assim, pode-se discutir os sistemas através da análise da última equação.

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x .... a x b

a x a x .... a x bS

. . .

a x a x .... a x b



•Se h = 0 e i = 0 temos que o sistema é SPI. •Se h = 0 e i 0 temos que o sistema é SI.•Se h 0 e i qualquer temos que o sistema é SPD.

6.5.EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01.A soma das mesadas de Marta e João é R$ 200,00. No mês passado, Marta gastou R$ 70,00, e João gastouR$ 40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é:

(A) R$ 115,00(B) R$ 120,00(C) R$ 135,00(D) R$ 152,00

Resolução: Equacionando os dados, obtemos: M + J = 200 e M – 70 = J – 40. Adicionando as duas equaçõesencontramos M = 115 reais.

02.Um número formado por dois algarismos, cuja soma dos valores absolutos é igual a 8. se adicionarmos 18 aesse número, o resultado obtido será um número cuja representação decimal está na ordem inversa daquela comque figura o número dado. Calcule o quadrado desse número.

Resolução:

Seja ab o número inicial. De acordo com o enunciado temos então que a b 8 . Além disso, temos que:

ab 18 ba 10a b 18 10b a b a 2 .

Assim temos o sistema

a b 8 a 3 e b 5b a 2

Logo concluímos que o número dado inicialmente é ab = 35 e portanto o seu quadrado é igual a 235 1.225 .

04. Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem 2 pássaros um cada galho ficará um galho sem pássaros.Se pousar um pássaro em cada galho ficará um pássaro sem galho. Calcule o número de pássaros.

Sendo P = n° de pássaros e G =n° de galhos, segue-se:

1°galho 2°galho 3°galho (G-1)°galho

Sem pássaro

G°galho

De acordo com a figura, P 2. G 1

Por outro lado, se pousar um pássaro em cada galho, ficará um pássaro sem galho, veja:



Sem galho

1°galho 2°galho 3°galho G°galho

Assim, P G 1 . Agora temos o seguinte sistema:

P 2G 2P 2. G 12G 2 G 1 G 3 e P 4

P G 1P G 1

04. Achar dois números tais que a sua soma excede de 4 a diferença entre o maior e o menor, e que o seuproduto excede sua soma de 3.

Resolução:

Sejam x e y os números procurados. Assim de acordo com o enunciado temos que:

y 2 y 2x y x y 4

x.2 x 5 x 5xy x y 3

05.Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dosoutros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial?Resolução. Chamemos o número inicial de AB7 e o número final de 7AB. Pelo enunciado temos que: 7AB =2(AB7) + 21. Fazendo os cálculos:

700 + 10A +B = 2(100A + 10B + 7) + 21

700 + 10A + B = 200A + 20B + 35190A + 19B = 700 – 3519(10A + B) = 665

10A + B = 35 AB = 35 AB7 = 357

06.Em uma sala de aula entram n alunos. Se sentarem 2 alunos em cada bancada, 11 ficarão de pé. Porém, seem cada bancada sentarem 3 alunos, haverá quatro bancadas vazias. Qual o valor de n?Resolução. Sejam n o número de alunos e b o número de bancadas. Equacionando os dados, temos: n = 2b + 11e n = 3(b – 4). Resolvendo, obtemos n= 57 e b = 23.

07. Uma pessoa nasceu no século XIX e morreu no século XX com 64 anos. Se o número formado pelos doisúltimos algarismos do ano do seu nascimento é igual ao dobro do número formado pelos dois algarismos do anode sua morte, quantos anos essa pessoa tinha em 1900?Resolução. A pessoa nasceu em 18AB e morreu em 19CD, tendo portanto 19CD – 19AB = 64 anos.Desenvolvendo: 1900 + CD – 1800 – AB = 64, isto é, AB – CD = 36.Como AB = 2CD, resolvendo o sistema formado, obtemos AB = 72. Logo, a pessoa nasceu em 1872 e, em 1900,tinha 28 anos.

08. As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os triângulos têm o mesmopeso; todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim como os círculos. Quantos quadrados devem sercolocados no prato direito da balança (3) para que ela também fique em equilíbrio?



A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

Resolução. Na balança 1: 3T + C = 6QNa balança 2: 2T + 4C = 8Q , simplificando T + 2C = 4Q.

Somando 1 e 2 , obtemos 4T + 3C = 10Q.

09.No sítio do Sr. Agenor, existem porcos e galinhas totalizando vinte e cinco animais. Sabendo-se que todos os

porcos possuem quatro patas e que todas as galinhas possuem duas patas e, também, que o número total depatas é igual a setenta, determine, respectivamente, o número de porcos e de galinhas existentes nesse sítio.(A) 5 e 20(B) 10 e 15(C) 15 e 10(D) 20 e 5(E) 22 e 3

Resolução. Sejam G e P os números de porcos e galinhas, respectivamente. Equacionando: G + P = 25 e 2G +4P = 70. Resolvendo o sistema, obtemos P = 10 e G = 15.

10. (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entreelas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5

novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partesiguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas dogrupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cotacalculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? A) R$ 14,00.B) R$ 17,00.C) R$ 22,00.D) R$ 32,00.E) R$ 57,00.

Resolução. Seja x a cota de cada uma das pessoas do grupo e d a despesa total em reais. Equacionando osdados temos: 50(x-7) = d – 50 e 55x = d. Assim, 55x =50(x-7), donde vem que x= 32.


Exemplo. Um grupo de amigos havia reservado uma chácara para um churrasco de fim de semana e dividiramentre si o aluguel em partes iguais. Por algum motivo, o proprietário resolveu aumentar em 20% o preçocombinado, o que fez com que 4 deles desistissem, ocasionando um acréscimo de 40% para cada um dos outros.Sendo assim, podemos concluir que o número de pessoas do grupo original era:a) 32b) 26c) 24d) 28

02. Dois irmãos têm juntos 21 anos; se a idade do mais moço fosse triplicada, ela excederia de 3 anos a idade do

mais velho. Calcule a idade do mais velho. R. 1503. Um pai disse ao filho: há 7 anos a minha idade era igual a 7 vezes a sua; dentro de 3 anos será o dobro.Calcule a idade do filho. R. 9 anos



04.Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade,a diferença entre nossas idades será de 5 anos. Calcule a minha idade. R. 20 anos.05.Um nutricionista está preparando uma refeição com 2 alimentos A e B. Cada grama do alimento A contém 2unidades de proteína, 3 unidades de carboidrato e 2 unidades de gordura. Cada grama do alimento B contém 4unidades de proteína, 4 unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. Essa refeição deverá fornecerexatamente 400 unidades de proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade de gordura que essa refeição

irá fornecer é:

a) 300 unidades.b) 350 unidades.c) 400 unidades.d) 450 unidades.e) 500 unidades.

06.Um motorista viaja a uma velocidade constante e passa por um marco AB de dois algarismos. Uma horadepois passa por outro marco, contendo os dois algarismos A e B na ordem inversa, isto é, BA. Uma hora depoispassa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos A e B separados por um zero, isto é, A0B. Qual é asua velocidade? R. 45km/h

07.(FUVEST)Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaramconvidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, aseguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente nafesta era igual a:a) 100b) 105c) 115d) 130

e) 135

08.(EN) Ao chegar a uma partida de basquete um torcedor viu sua equipe perdendo por uma diferença de 30pontos. A partir desse momento, essa equipe começou a reagir à razão de 3 pontos para cada ponto da equipeadversária. Sabendo que a partida terminou empatada e o total de pontos marcados pelas duas equipes foi de

120, qual o placar de partida no instante da chegada do torcedor? 45 a 15

09.A figura abaixo é formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um númerointeiro.

O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir é a soma dos números que estão escondidosnos quadrados pintados.

Qual o número do quadradinho central? R. 5

10.(UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2

pessoas, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por 2 pessoas? R. 511.O composto de uma substância A e de uma substância B é vendido por 26 reais o kg. A substância A évendida por 30 reais o kg e a substância B por 20 reais o kg. O preço do composto é calculado em função das



quantidades das substâncias e seus preços. As quantidades de A e de B no kg desse composto deverá ser,respectivamente:a) 200g e 800gb) 500g e 500gc) 600g e 400gd) 800g e 100g

12.Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 litros, de 10 litros e de 2 litros. Ao todo, foramcomprados 94 litros de água, com o custo total de R$ 65,00.Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Nessa compra, o número de embalagens de 10 litros corresponde ao dobro do número de embalagens de 20litros, e a quantidade de embalagens de 2 litros corresponde a n. O valor de n é um divisor de:

a) 32b) 65c) 77d) 8113.(UERJ) Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número depáginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização. O primeirocritério, que consistia na colocação de uma única foto em cada página, foi descartado, uma vez que sobraram 50fotos.Com a adoção do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, nãosobraram fotos nem páginas, e o objetivo da família foi alcançado. O número total de páginas em que foramcolocadas três fotos é igual a:(A) 15(B) 25

(C) 50(D) 75

14. João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar”.Maria acrescentou: “E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos, os dois possuem:

A) 80 reais B) 90 reais C) 100 reais D) 120 reais E) 130 reais

15. Um aluno vai representar seu colégio em uma gincana cultural, devendo responder a um total de 25perguntas. A cada pergunta respondida corretamente, o aluno ganha 10 pontos e, por pergunta não respondida ourespondida incorretamente, ele perde 6 pontos. Se no final da gincana esse aluno obteve um total de 138 pontos,então o número de perguntas que respondeu corretamente éa) 18.

b) 19.c) 17.d) 16e) 15

16.Como se sabe, no jogo de basquete, cada arremesso convertido de dentro do garrafão vale 2 pontos e, de forado garrafão, vale 3 pontos. Um time combinou com seu clube que receberia $50,00 para cada arremessoconvertido de 3 pontos e $30,00 para cada arremesso convertido de 2 pontos. Ao final do jogo, o time fez 113pontos e recebeu $1.760,00. Então, a quantidade de arremessos convertidos de 3 pontos foi:a) 13b) 15c) 16d) 17

e) 18

17.Um fazendeiro comprou vacas de duas raças diferentes, a um custo total de R$ 10.000,00. Se cada vaca deuma das raças custou R$ 250,00 e cada uma de outra raça custou R$ 260,00, o total de vacas compradas pelofazendeiro foi:



a) 25 c) 41b) 30 d) 39

18. Se três empadas mais sete coxinhas custaram R$ 22,78 e duas empadas mais oito coxinhas custaram R$20,22, o valor de uma empada mais três coxinhas será:a) R$ 8,60

b) R$ 7,80c) R$ 10,40d) R$ 5,40e) R$ 13,00

19. Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00,respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a:a) 37.b) 20.c) 13.d) 11.e) 4.

20. Um instituto oferece curso de 80 horas de duração em dois modelos, dependendo da disponibilidade dosparticipantes.Modelo I: são ministradas x aulas, cada uma com y horas de duração.Modelo II: são ministradas (x-24) aulas, cada uma com (y+3) horas de duração.Nessas condições, se for criado um modelo especial desse curso em que cada aula tenha (y+6) horas deduração, deverão ser dadas, no total:a) 5 aulasb) 8 aulasc) 10 aulasd) 16 aulase) 7 aulas

CAPÍTULO 7

NOÇÕES BÁSICAS DE ARITMÉTICA

7.1.NÚMEROS INTEIROS, MÚLTIPLOS, DIVISORES E ALGORITMO DE EUCLIDES.

Como de costume na literatura do assunto, representaremos por Z o conjunto dos números inteiros , istoé, Z= { ...-2, -1, 0 , 1 , 2, 3,...}. Neste conjunto Z , dados dois números inteiros a e b , com b > 0 , demonstra-seque existe um único par de números inteiros q e r, tais que a= b q + r, onde 0 ≤ r < b (Algoritmo da divisão oualgoritmo de Euclides). Nessa igualdade, os elementos, a, b, q e r são chamados respectivamente de div idendo,div isor , quo ciente e resto da divisão de a por b.

Duas outras noções importantes definidas para os números inteiros são as noções de múltiplo e divisor, asaber; dados os números inteiros a e b , dizemos que a é um divisor de b (ou que b é um múltiplo da a) quandoexistir um inteiro c tal que b=ca. Assim, por exemplo, 6 é divisor de 12 (ou equivalentemente 12 é múltiplo de 6),visto que 12=2 . 6. De acordo com essas definições percebe que 1 e –1 são divisores de todo número inteiro ,enquanto que o número 0 é múltiplo de todo número inteiro, mas não é divisor de nenhum número. Com asnoções de múltiplos e de divisores podemos então definir para qualquer número inteiro n o conjunto M(n) dos seusmúltiplos e o conjunto dos seus divisores D(n), assim temos, por exemplo,



M(12) = { 0 , ±12, ±24, ±36, ±48,...} e D(12) = { ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}.7.2. Definição. Quando um número inteiro maior do que 1 só possui dois divisores inteiros e positivos ( 1 e elemesmo) dizemos que ele é um número primo. Assim, por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são númerosprimos. Caso um número inteiro maior do que 1 não seja primo, dizemos que é um número composto.7.3. Teorema (EUCLIDES). Existem infinitos números primos.7.4. Teorema Fundamental da Aritmética. Todo número composto pode ser decomposto num produto de dois ou

mais fatores primos. Assim, temos, como exemplo de aplicação deste teorema, 20=2 .2. 5 e 42= 2 . 3. 7.7.5. Definição. Dados dois números inteiros a e b, chamamos de máximo divisor comum (MDC), ao maior inteiropositivo que divide simultaneamente a e b. Assim, por exemplo, 4 é o maior número inteiro que dividesimultaneamente 8 e 12.Mostraremos agora dois modos de se calcular o MDC de 72 e 20, como exemplo.7.5.1 Método da Decomposição Simultânea72, 20 236, 10 218, 5 29, 5 33, 5 31, 5 51, 1

O MDC(72,20) é dado pelo produto dos fatores comuns em cada linha da decomposição acima, ou seja, 2x2 = 4.

7.5.2. Método das Divisões Sucessivas3 1 1 2

72 20 12 8 412 8 4 0

Quando o resto da última divisão for zero, o último número da coluna do meio será o MDC procurado que, nonosso caso, é o número 4.

7.5.3. Definição. Dois números inteiros e positivos são denominados primos entre si quando o máximo divisorcomum entre eles é o número 1. Assim, por exemplo, 36 e 49 são primos entre si.

7.6. Definição. Dados dois números inteiros a e b chamamos de mínimo múltiplo comum (MMC) o menor inteiropositivo que é simultaneamente múltiplo de a e b. Assim, por exemplo, 24 é o menor número inteiro positivo que ésimultaneamente múltiplo de 8 e 12.Mostraremos como se calcula o MMC(72,20) de dois modos.7.6.1. Método da decomposição Simultânea

72, 20 236, 10 218, 5 29, 5 33, 5 31, 5 51, 1

O MMC(72, 20) é dado pelo produto de todos os fatores que aparecem na decomposição simultânea, isto é,2x2x2x3x3x5 = 360.

7.6.2. Decomposição Separada – quando a decomposição é feita desta forma, o MMC (72,20) será dado peloproduto dos fatores primos não comuns pelos fatores primos comuns elevados aos maiores expoentes.Como e , segue-se que MDC(72,20) = .

7.7. Teorema. Sendo a e b inteiros positivos demonstra-se que MMC a,b .MDC a,b a.b .

7.8. ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

A) Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2 quando for par.Exemplo. 138 e 276 são divisíveis por 2.



B) Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3.Exemplo. 132 e 981 são divisíveis por 3

C) Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4, quando termina em 00 ou os dois últimos algarismos formarem um número múltiplode 4.Exemplo. 1300 é divisível por 4, pois termina em 00 e 13516 é divisível por 4 já que termina em 16, que é múltiplode 4.

D) Divisibilidade por 5Um número é divisível por 5, quando termina em 5 ou 0.Exemplo. 15 e 40 divisíveis por 5.

E) Divisibilidade por 6Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e 3 simultaneamente.756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisívelpor 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é

divisível por 3.

F) Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultarum número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar adivisão por 7.Por exemplo, 154 é divisível por 7, verifique.

G) Divisibilidade por 8Um número é divisível por 8, quando os três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo. 15000 é divisível por 8, pois termina em 000 e 15320 também é, já que 320 é múltiplo de 8.

H) Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9, quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 9.Exemplo. 846 é múltiplo de 9, pois 8+4+6 = 18 é múltiplo de 9.

I) Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 quando termina em 0.Exemplo. 120 é divisível por 10, já que termina em zero.]

J) Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par

menos a soma dos algarismos de ordem

ímpar é um número divisível por 11.1353 é divisível por 11, pois o primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: =1+5=6, osegundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: =3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordempar é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar , logo o número é divisível por 11.

OBSERVAÇÃO.

Para determinarmos a quantidade de divisores naturais de um número, decompomos o número dado em fatoresprimos e, logo em seguida, multiplicamos todos os expoentes nessa decomposição acrescidos de uma unidade.Por exemplo, como 72 pode ser escrito da seguinte maneira: 72 = 2³. 3², temos que a quantidade de seusdivisores de naturais é



7.7. Teorema. Sendo a e b inteiros positivos demonstra-se que MMC a,b .MDC a,b a.b .

Exemplo.(UNICAMP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC(a,b) = 5 e MMC(a,b)=105.a) Determine o valor de b para a= 35.b) Encontre todos os valores possíveis para a e b.Resposta. a) b = 15 b) 5 e 105, 105 e 5, 15 e 35, 35 e 15.


01.Decompor o número 28 em dois fatores tais que a sua soma seja igual a 11.

Resolução:

A decomposição em fatores primos de 28 é 28 2.2.7 . Assim podemos escrever 28 4.7 que evidentementetem soma 11, já que os fatores primos são 4 e 7.

0 2. Dois ciclistas correm sobre uma pista circular e partem, ao mesmo tempo, de uma linha. O primeiro realizauma volta em 60s, e o segundo, em 72s. Depois de quanto tempo, os dois ciclistas sairão juntos novamente domesmo ponto de partida?

Resolução: O primeiro ciclista passa pelo ponto de partida a cada 60s, isto é, nos múltiplos de 60. O segundociclista passa pelo ponto de partida a cada 72s, isto é, nos múltiplos de 72.

Sendo assim, os dois ciclistas passarão juntos pelo ponto de partida nos múltiplos comuns de 60 e 72, e, aprimeira vez que eles passarão juntos novamente corresponde ao MMC(60,72).Fazendo os cálculos, obtemos 360s ou 6min.

03.(UFRN) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará uma caixa de chocolates. O número dechocolates poderá ser dividido (sem fracioná-los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra. Qual o menornúmero de chocolates que essa caixa deverá conter?Resolução: Seja x o número de chocolates da caixa, que deve ser múltiplo comum de 2,3,4,5 e 6 respectivamente.Como x deve ser mínimo, x = MMC(2,3,4,5,6) = 60.

04.O tempo que deve passar até o próximo ano bissexto com revoada deve ser o MMC(4,17) = 68. Logo , opróximo ano deste acontecimento será 2004+68 = 2072.

05. Comprei uma partida de arroz de três qualidades: a primeira veio em sacos de 60kg, a segunda em sacos de48 kg e a terceira em sacas de 72 kg. Desejo embalá-los em sacos menores, de igual peso, sem misturar asqualidades e sem sofrer qualquer perda. Qual o maior peso possível para esses sacos?



Resolução: Cada tipo de arroz deve ser acondicionado em sacos menores, de modo que não haja sobras. Sendoassim, o peso desses sacos, deve ser divisor de 60, 48 e 72, simultaneamente. Para que se tenha a saca demaior peso possível, este peso deve ser o MDC(60,48,72). Calculando, obtemos 12kg.

06 . (UFRN) No piso de uma sala com 3,36m de largura e 4,00m de comprimento, um construtor deseja colocarpeças de granito quadradas, do mesmo tamanho. Qual a menor quantidade de peças que ele pode usar para cobri

completamente o piso?Resolução. Calculando MDC(336, 400), obtemos 16m que é o lado de cada quadrado. Ora, 336/16 = 21 e 400/16= 25. Logo, 25x21 = 525.

07. Qual o valor de n para que o número 24.3n.5 admita 40 divisores naturais?

Resolução: Como o número dado pode ser escrito assim 2 4.3n.51, segue-se que: (4+1)(n+1)(1+1) = 40, isto é,10(n+1) = 40, donde n = 3.

08. Para se tratar de uma doença, Dona Cacilda toma, por dia, os remédios A e B. Esses medicamentos sãovendidos em caixas de 30 e 28 comprimidos, respectivamente. O medicamento A é ingerido de oito em oito horase o B, de doze em doze horas. Ela comprou uma quantidade de caixas de modo que os dois tipos de comprimidosacabassem na mesma data e iniciou o tratamento às 7 horas da manhã do dia 15 de abril, tomando um

comprimido de cada caixa. Qual a quantidade de caixas dos remédios A e B que Dona Cacilda comprou?Resolução: Seja x o número de dias em que termina o tratamento com os dois tipos de remédios, m o número decaixas de A e n o número de caixas de B. O comprimido A será tomado três vezes ao dia e o comprimido B , porsua vez, duas vezes ao dia.Equacionando: x.3 = m.30 e x.2 = n.28. Segue-se então que: x= m.10 e x =14n, isto é, x é múltiplo de 10 e 14simultaneamente. Tome x = MMC (10, 14) = 70. Substituindo, obtemos m= 7 e n = 5.

9. Um elevador pode carregar, no máximo, 450 kg. Devem ser transportadas 50 pessoas de 70 kg. Qual o númeromínimo de viagens?Resolução. Seja n o número de pessoas em cada viagem no elevador. Como cada pessoa tem 70 kg de peso,devemos ter 70n≤450, já que 450 kg é o peso máximo por viagem.Note que o número mínimo de viagens ocorre quando um número máximo de pessoas é transportado por viagem.Como n ≤ 450/70 = 6,43 , o maior valor inteiro de n que satisfaz esta desigualdade é 6. Como são 50 pessoas e 6

serão transportadas em cada viagem, teremos 8 viagens com 6 pessoas e uma viagem com 2 pessoas,totalizando 9 viagens.

10. O resto da divisão de um número n por 18 é igual a 17. Qual o resto da divisão de n por 6?Resolução. Ora, pelo algoritmo da divisão, temos n = 18q + 17 = 6.3q + 12 + 5 =6(3q + 2) + 5. Logo, o resto é 5.


01.Um número natural deixa resto 3 quando dividido por 7 e resto 5 quando dividido por 6. Qual o resto da divisãodesse número por 42?Resolução. Pelo algoritmo da divisão: n = 7q + 3 e n = 6Q + 5. Multiplicando a primeira equação por 6 e a segunda

por 7, obtemos: 6n = 42q + 21 e 7n = 42Q + 35. Fazendo a segunda equação menos a primeira obtemos: n =42(Q-q) + 14. Logo, o resto da divisão de n por 42 é 14.02. (UFRN/2009) As três lâmpadas de sinalização de uma ambulância piscam simultaneamente quandoacionadas. Logo após, piscam, respectivamente, a cada 4, 6 e 9 segundos.

a) Determine quanto tempo depois elas voltam a piscar simultaneamente.b) Considerando que o equipamento de sinalização tenha sido acionado às 12h e desligado às14h, calcule o número de vezes em que as lâmpadas piscaram simultaneamente.

Resolução. A) Como MMC(4,6,9)=36, as luzes voltaram a piscar, simultaneamente, após 36 segundos.B) De 12h até 14h, transcorrem 2 horas e 2h = 120min = 7200s. Logo, 7200/36=200, de modo que, as luzespiscaram simultaneamente, 200 vezes.

03.Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que elaprecisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma paraela?



A) 11 B) 20 C) 21 D) 31 E) 41

Resolução. Ora, 231 dividido por 31 dá como quociente 7 e sobram 20 balas, ou seja, 7 balinhas para cadacriança, mas sobram balas. Sendo assim, para que cada criança receba 8 balas exatamente e sem sobras,devemos ter 8x31= 248 balas. Como a professora só tinha 237 balas, ela precisará de mais 248 – 237 = 11 balas.Fácil, não é?

04. No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. Aprimeira “pisca’ 15 vezes por minuto e a segunda “pisca’ 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzespiscam simultaneamente, após quantos segundos voltarão a piscar simultaneamente? Resposta: 12segundos.

05. Qual é o maior número que divide 262 e 337 deixando, respectivamente, restos 17 e 22?Resolução. Pelo algoritmo da divisão: 262 = qx +17 e 337 = Qx+22. Daí vem que:245 = qx e 315= Qx. Isto implica que x é divisor comum de 245 e 315. Como queremos o maior valor possível dex, devemos ter x = MDC(245,315) = 35.

06 Qual é o menor número que dividido por 9 e por 15, deixa resto 7 em ambos os casos?Resolução: Chamemos este número de x. Pelo algoritmo da divisão: x = 9q+7 e x = 15Q+7, isto é, x-7 = 9q e x-7 =15Q. Logo x-7 = MMC(9,15) = 45, o que leva a x = 52.

07. Quais são os menores números pelos quais se devem multiplicar respectivamente 84 e 105 a fim de seobterem produtos iguais? Resposta: 5 e 4

08. Por segurança, atualmente, os números primos são importantes para criar mensagens por meio de códigos* eenviá-las via Internet. Para isso, usam-se números primos que tenham muitos dígitos. Em relação a números

primos, quantos números naturais n existem de modo quen

10n é primo?

Resolução. Como = , devemos testar os divisores de 10 de modo que a soma anterior seja um

número primo. Neste caso, os valores de n serão 1, 5 e 10, em número de 3.

09.Da igualdade 9.174.532x13=119.268.916 pode-se concluir que um dos números abaixo é divisível por 13. Qualé este número?

A) 119268903 B) 119268907 C) 119268911 D) 119268913 E) 119268923

10.A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra afigura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118 ?

A) B B) D C) E D) G E) H

11. A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Natal para Caicó, Mossoró e Martins obedecem o seguinte horário

Para Caicó, de 2 em 2 horasPara Mossoró, de 3 em 3 horasPara Martins, de 5 em 5 horas



Supondo que exatamente as 7 horas da manhã saíram (simultaneamente) três ônibus para Caicó, Mossoró eMartins, podemos afirmar que o próximo horário em que sairão simultaneamente ônibus para as três cidades será:

a) 15:00 do mesmo diab) 1:00h da manhã do dia seguinte

c) 7:00 da manhã do dia seguinted)11:00 da manhã do dia seguinte

12. Três fios de comprimentos 36m, 48m e 72m devem ser cortados em pedaços menores, cujos comprimentossejam iguais, expressos em um número inteiro de metros, sem que haja perda de material. O menor númeropossível de pedaços de fio é:

a)7b)9c)11d)13

13.Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b por 8 são,

respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da divisão do produto por .

Resp.3

14.Determine números primos x, y e z tais que 2x+4y+5z=202.

Resp . 2, 47 e 2

15. A calculadora de Juliana é bem diferente. Ela tem uma tecla D, que duplica o número escrito no visor e a teclaT, que apaga o algarismo das unidades do número escrito no visor. Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 novisor e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T, teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Seapertamos D depois T, em seguida D, depois T, teremos o número:

A) 96 B) 98 C) 123 D) 79 E) 99

16.Os ônibus da linha 572 passam pelo Largo do Machado de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15h42min, quem chegar ao Largo do Machado às 18h 3min esperará quantos minutos pelo próximo ônibus?a) 1b) 2c) 4d) 5e) 6

17.Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou osazulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardartudo em caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez, ficaram sobrando 4 azulejos. Determinequantos azulejos seu Almeida possuía.

Resp.202

18.A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetasdo sistema solar, em relação ao ano terrestre.



Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um determinado local naTerra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamentodesses planetas possa ser observado do mesmo local.

Resp. 420 anos

19.Os números naturais p = 231 - 1 e q = 261 - 1 são primos. Então, o número de divisores de 2pq é igual a:a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8

20. Uma fábrica armazena sua produção em caixas de mesmo tamanho, que são numeradas na ordem 1, 2, 3, 4,

... e arrumadas em seis colunas: 1a, 2a, 3a, 4a, 5a e 6a, conforme a figura abaixo

A caixa de número 2.007 está na

a) 4a coluna. b) 2a coluna. c) 3a coluna. d) 5a coluna.

CAPÍTULO 88.1.PROBLEMAS COM FRAÇÕES

Suponhamos que um garçom tenha de dividir igualmente uma pizza entre seis pessoas. Assim sendo, a pizza

toda é um inteiro e cada uma das partes em que ficar dividida será representada pelo número fracionário: .O

número é chamado de fração.

Os termos da fração, nesse exemplo 1 e 6 são chamados de numerador e denominador,

respectivamente.

Vamos considerar agora a figura a seguir:

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6a a a a a a



A figura está dividida em 4 partes.

A parte pintada corresponde a da figura.

8.2.Tipos de Frações As frações se classificam em:a) Própria: o numerador é o menor que o denominador:

3

2,4

1,5

3,...

b) Imprópria: o numerador é maior ou igual que o denominador:

3

4 ,5

5 ,4

6 ,...

c) Aparentes: numerador é múltiplo do denominador:

3

6,12

24,4

8,...

8.3. Propriedades das frações

1. Se multiplicarmos (ou dividirmos) o numerador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, ovalor da fração ficará multiplicado (ou dividido) por esse número.Exemplo: Se multiplicarmos o numerador da fração 3/7 por 2, obteremos 6/7, que será duas vezes maior do que3/7. Caso dividamos o numerador por 3, obteremos 1/7, que será três vezes menor do que 3/7

2. Se multiplicarmos (ou dividirmos) o denominador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, ovalor de fração ficará dividido (ou multiplicado) por esse número.Exemplo: Se multiplicarmos o denominador da fração 3/8 por 2, obteremos 3/16 , que é duas vezes menor do que3/8.

3. Se multiplicarmos (ou dividirmos) ambos os membros de uma fração por um mesmo número diferente de zero,o valor da fração não se altera.Exemplo: Se multiplicarmos sucessivamente o numerador e o denominador da fração 1/4 por 2, teremos:

Essas frações são chamadas frações equivalentes.

Vamos conferir na prática?

Podemos observar que a mesma porção da figura foi pintada.

8.4.Extração de inteiros – números mistos

Para extrair os inteiros de uma fração imprópria, basta dividirmos o numerador pelo denominador. O

quociente assim obtido constituirá a parte inteira da fração imprópria, a qual terá para parte fracionária um parformado da seguinte maneira:• para numerador, o resto e • para denominador, o divisor.



Exemplo:

Seja o número

3

17

Efetuando-se a divisão temos:

Portanto,3

17= 5

3

2; o qual é chamado de número misto.

Para transformar um número misto em fração imprópria, devemos formar uma fração que possua, paranumerador, o produto entre a parte inteira e o denominador da parte fracionária, mais o numerador desta; e, para

denominador o denominador, dela.Seja:

Portanto, 53

2=

3

17

8.5. Simplificação de FraçõesSimplificar uma fração significa obter a fração equivalente que seja menor que a fração dada. Quando esta fraçãoé a menor possível, é chamada de fração irredutível.Para simplificar uma fração, basta dividirmos ambos os membros pelo máximo divisor comum entre eles. Assim,

temos:

A fração9

8assim obtida é chamada de fração irredutível.

8.6. Redução de frações ao mesmo denominador

Para reduzir frações ao mesmo denominador, extrai-se o mmc entre os denominadores, o qual será odenominador comum. A seguir, divide-se o mmc obtido pelo denominador de cada uma das frações, e o resultadoobtido multiplica-se pelo numerador – ou seja: constroem-se frações equivalentes às frações dadas.

Exemplificando, temos:

• reduzir as frações abaixo ao mesmo denominador:

• resultando em: 60

40,60

45,60

48



As frações assim obtidas são chamadas de homogêneas, pois possuem os mesmos denominadores.

8.7.Comparação de frações

Para comparar duas ou mais frações, devemos determinar uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas. Assim sendo, devemos considerar os seguintes casos:

• Frações com o mesmo denominador. Será maior a que tiver o maior numerador. Exemplo:

• Frações com numeradores e denominadores diferentes. Exemplo:

O primeiro passo é reduzir as frações ao mesmo denominador.

E então proceder a comparação:

8.8. Operações com frações

1. Adição de frações

Primeiro caso: frações com o mesmo denominador. Neste caso, conserva-se o denominador comum eadicionam-se os numeradores. Assim, temos:

Segundo caso: frações com denominadores diferentes. Neste caso, determina-se o MMC entre osdenominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores, e recai-se no primeiro caso. Assim, temos:

2. Subtração de frações

Primeiro caso: frações com o mesmo denominador. Neste caso, conserva-se o denominador comum e

subtraem-se os numeradores. Assim, temos:

Segundo caso: frações com denominadores diferentes. Neste caso, determina-se o MMC dosdenominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores, e recai-se no primeiro caso. Assim, temos:

3. Multiplicação de fraçõesPara multiplicar várias frações, devemos formar uma nova fração que terá, para numerador, o produto dos

numeradores; para denominador, o produto dos denominadores. Assim, temos:

4. Divisão entre frações



Para dividir uma fração por outra, conservamos a primeira fração e multiplicamos pela inversa da segunda

fração. Assim, temos:

5. Potenciação de fraçõesPara fazer a potenciação de uma fração, devemos elevar tanto o numerador como o denominador à

potência indicada. Assim, temos:

6. Radiciação de fraçõesPara fazer a radiciação de uma fração, devemos extrair a raiz indicada tanto do numerador como do

denominador. Assim, temos:


01.Uma viúva recebeu um terço da herança de seu marido, e cada um de seus três filhos recebeu um terço dorestante. Sabe-se que a soma da parte da viúva com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45 000,00. Qual omontante total da herança?Resolução. A viúva recebeu 1/3 da herança e o restante 2/3 foi dividido igualmente entre os três filhos, ficando,portanto, 2/9 para cada um. Como 1/3 = 3/9, segue-se que: 3/9 + 2/9 = 5/9 ---------------------------45000,00

9/9 --------------------------- xFazendo a proporção, obtemos x = R$ 81000,00.

02.Que horas são, se 2/5 do que falta do dia é igual a 2/3 do tempo já decorrido?Resolução. Supondo que se passaram x horas vem que 24 – x horas faltam para terminar o dia. Usando ascondições do enunciado, segue-se a equação:

São 9h da manhã.

03.Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 dias e por Pedro em 18 dias. Qual onúmero de dias em que os três juntos gastariam para executar esse trabalho?

Resolução. Os três trabalhando juntos fariam do serviço. Lembrando que mdc(9, 12, 18) = 36 ereduzindo as frações ao mesmo denominador, vem que , ou seja, em um dia, os três juntos fariam

do serviço. Logo, os três juntos terminariam o serviço em

4 dias.

04.Um reservatório é alimentado por duas torneiras que o enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche otanque em 10 horas, em quanto tempo a segunda funcionando sozinha, deixará o reservatório cheio?Resolução.

A primeira torneira, em 1h, enche do tanque.

A segunda torneira, em 1h, enche do tanque.

As duas juntas, em 1 h, enchem .

Resolvendo a equação anterior, obtemos x = 15 horas.



05.Um mesmo serviço pode ser feito por A em 8 horas e por B em 12 horas, quando operam separadamente. Sedurante 3 horas trabalharam juntos nesse serviço, executarão uma parte correspondente a:a) 15% b) 24% c) 30% d) 62,5%

Resolução. Em 3 horas, os dois juntos farão

+

do serviço que, corresponde a 62,5% do

serviço.

06.Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18 minutos para enchero mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim dessetempo, fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x+3 minutos. Calcule otempo gasto para encher o tanque.Resolução. Resolvendo a equação:

Fazendo os cálculos, obtemos x = 6 e, por conseguinte, o tempo total é de 2x + 3, isto é, 2.6 +3 = 15 minutos.

07.Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a colheita da produção.

Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita será feita em:a) 180 horasb) 165 horasc) 157 horasd) 192 horas

Resolução. Equacionando:

Fazendo as continhas, obtemos B = 180 horas.08.Quatro vacas negras e três marrons dão tanto leite em cinco dias quanto três vacas negras e cinco marrons emquatro dias. Qual a raça de vaca é melhor leiteira, as negras ou as marrons?

Resolução. Chamemos de:n = produtividade de uma vaca negra (em litros por dia)m = produtividade de uma vaca marrom (em litros por dia).q = quantidade de leite produzida em cada uma das situações.

Dependendo da situação, a quantidade de leite produzida em apenas um dia será:4n + 3m = q/53n + 5m = q/4

Multiplicando a primeira equação por 5 e a segunda por 4, vem que:20n + 15m = Q e 12n + 20m = q. Daí resulta 20n + 15m = 12n + 20m. Concluímos que 8n = 5m, ou seja, em umdia, 8 vagas negras produzem tantos litros de leite quanto 5 vacas marrons.

09.A carga da bateria de uma câmera digital é suficiente para 12 horas desligada ou 2 horas ligada. Sabendo-seque a bateria da câmera descarregou em 8 horas, por quanto tempo ela esteve ligada?Resolução. Se x é o número de horas que a câmera ficou ligada, então ela ficou desligada (8-x) horas, já que eladescarregou em 8 horas. Sendo assim, teremos:

Fazendo as contas, obtemos x = 48 min.

10. Ache as frações geratrizes (frações que geram) as dízimas periódicas a seguir:

a)0,3333...b)0,575757...

c)1,343434...d)0,5467467...e)2,383838...



Resolução:

Existem muitos métodos para a obtenção da fração geratriz de um dizima periódica. Aqui adotaremos aquela quedispensa qualquer necessidade de decorar regras! Vejamos;

a)Você deve multiplicar o número original por potências apropriadas de 10 de modo a poder eliminar a parte

decimal após uma subtração.

10x 3,333..x 0,3333...

x 0,3333...

Subtraindo membro a membro, obtemos

3 110x x 3 9x 3 x x

9 3

b)

10x 57,5757...x 0,575757...

x 0,5757...


57100x x 57 99x 57 x

99

c)

100x 134,3434..x 1,343434....

x 1,3434...


133100x x 133 x

99

d)10000x 5467,467467...

x 0,5467467...10x 5,467467


546210000x 10x 5462 x

9990


01.(ENEM)Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% delacom conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.



Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante aoanterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.Uma representação possível para essa segunda situação é

Resposta letra C

02.Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanquecheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Supondo ambas as vazões constantes, o tanque estará vazioem quanto tempo? R. 12 horas.

03.Trabalhando sozinho, Carlos construiria um muro em 15 dias. Tendo trabalhado apenas um dia, Carlos foisubstituído por Pedro, que trabalhou sozinho 6 dias. Finalmente Carlos juntou-se a Pedro e, em mais dois dias detrabalho conjunto, terminaram o muro. Em quanto tempo Pedro construiria o muro trabalhando sozinho? R. 10dias

04.Duas velas, cada uma com 1m de comprimento, são feitas de modo que uma queime completamente 6 horasdepois de ser acesa e a outra leve 4 horas para queimar. Se as velas forem acesas simultaneamente, o temponecessário para que uma atinja duas vezes o comprimento da outra será

a) 2 horas. b) 3 horas. c) 4 horas d) 1 hora.



05.A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o númerode fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:a) O número de fumantes da cidade.b) O número de habitantes da cidade.Resposta: a) 17600 b) 55000



TÓPICOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA



Conceitos Básicos:

i. A ESTATÍSTICA- é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização,descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

ii. POPULAÇÃO - é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característicacomum.

iii. AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito detirarmos conclusões sobre a essa população.

iv. PARÂMETROS: são valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.Para definirmos um parâmetro, devemos examinar toda a população. Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm emmédia 1,70 metros de estatura.

v. Distribuição de Frequências -é um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme asfrequências (repetições de seus valores).A) Tabela pr imit iva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamenteorganizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dadosnão ordenados.Exemplo: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51B) ROL: é a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).Exemplo : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60C) Dist rib uição de freq uênc ias SEM INTERVA LOS DE CLASSE: é a simples condensação dos dados conformeas repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:

Dados Freqüência

41 3

42 2

43 1

44 1

45 1

46 2

50 2

51 1

52 1

54 1

57 1

58 2

60 2

Total 20

D) Dist rib uição de frequênc ias COM INTERVALOS DE CLASSE: quando o tamanho da amostra é elevado, émais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.

Classes Frequências41 |------- 45 7

45 |------- 49 3

49 |------- 53 4

53 |------- 57 1

57 |------- 61 5

Total 20

VI. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (MÉDIA, MODA E MEDIANA).A) MÉDIA (

̅) - valor médio de um conjunto de dados.

Caso 1:Dado s não-agru pado s: quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas defrequências, determinamos a média aritmética simples.

̅



onde são os valores da variável e o número de valores.Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kg,temos, para venda média diária na semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kg

Caso 2: Dados agrupados:a) Sem intervalos de classeConsideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos dosexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:

Nº de meninos frequência = fi

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

total 34

Como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam comofatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

̅ ..xi. ..fi. ..xi.fi .

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

total 34 78

Sendo assim, com o uso da fórmula acima, a média é 78 / 34 = 2,3 meninos por família.

b) Com intervalos de classeNeste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidemcom o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: ̅ onde é o ponto médio da classe.Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.

Estaturas (cm) frequência = ponto médio = .. . 50 |------------ 54 4 52 208

54 |------------ 58 9 56 504

58 |------------ 62 11 60 660

62 |------------ 66 8 64 512

66 |------------ 70 5 68 340

70 |------------ 74 3 72 216

Total 40 2.440

Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61, logo.

̅= 61 cm

B)MODA - é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores . Desse modo, o salário modaldos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número deempregados dessa fábrica.

Caso 1: A Moda quando os dados não estão agrupados



A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Exemplo:Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.Caso 2: A Moda quando os dados estão agrupadosa) Sem intervalos de classe:Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável demaior frequência.

Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo?

Temperaturas Frequência

0º C 3

1º C 9

2º C 12

3º C 6

Resposta: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequência.b) Com intervalos de classe A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a

moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O métodomais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor adenominação de Moda Bruta.

Moda = ( l* + L* ) / 2

onde l* = limite inferior da classe modal e L* =limite superior da classe modal .

Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes (em cm) Freqüência

54 |------------ 58 9

58 |------------ 62 11

62 |------------ 66 8

66 |------------ 70 5

Resposta: A classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior frequência e linf = 58 e lsup = 62. A moda bruta édada por Moda = (58+62) / 2 = 60 cm.Observação 1: Fórmula de King para a Moda

Onde: = limite inferior da classe modal. = freqüência posterior à freqüência da classe modal. = freqüência anterior à freqüência da classe modal. = amplitude da classe modal.

Observação 2: Fórmula de Czuber para a Moda

Onde:

= limite inferior da classe modal.

= diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe anterior. = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe posterior.Exemplo: Determine pelo método de King, a moda da distribuição abaixo:



Exemplo: Determine, pelo método de Czuber, a moda da distribuição abaixo:

C)MEDIANA A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjuntoque o separa em dois subconjuntos de mesmo número deelementos.Caso 1: A mediana em dados não-agrupadosDada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado éo da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acimaem duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9. Exemplo. Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }Caso 2: A mediana em dados agrupadosa) Sem intervalos de classeNeste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma dasfrequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada. Perceba que amediana na distribuição abaixo é 3. (Why?)

Variável xi Freqüência f i Freqüência acumulada

0 2 2

1 6 82 9 17

3 13 30

4 5 35

total 35

Exemplo. Perceba que a Mediana da distribuição abaixo é 15,5. Por quê?

Variável xiFrequência çã Frequência acumulada

12 1 1

14 2 315 1 4

16 2 6

17 1 7

20 1 8

total 8

b) Com intervalos de classe – será explicado em sala, pelo método do desenho, ou pela fórmula abaixo:

[

]

Onde:→ é o limite inferior da classe mediana;→ é a da classe anterior à classe mediana;→ é a freqüência absoluta simples da classe mediana;



→ é a amplitude da classe mediana.

Exemplo: Qual a mediana da distribuição abaixo?classes freqüência = frequência acumulada

50 |------------ 54 4 4

54 |------------ 58 9 13

58 |------------ 62 11 24

62 |------------ 66 8 32

66 |------------ 70 5 37

70 |------------ 74 3 40

total 40

07.MEDIDAS DE DISPERSÃ OA) Amplitu de Total (H) – é a diferença entre o máximo e o mínimo elemento de uma amostra. É a única medidade dispersão que não tem na média o ponto de referência.Na série (1,1,1,2,333, 1000), a amp li tu de t o tal édada po r H= 1000- 1 = 999.B)Des v io em rel ação à média – é a diferença entre cada elemento njunto de dados e a média mdestes dados.Na distribuição de notas (4,0; 6,0 ;8,0; 10,0), a média m é 7,0 e os desvios em relação a essa média são: Onde .Note que a soma de todos os desvios em relação à média vale zero, por isso, a necessidade de tomarmos

estes desvios em valores absolutos para o calcularmos o desvio médio que será tema do nosso próximotópico.

C) Desv io Médio ( ) – é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação à média.

| ̅|

No n os so ex emp lo an terio r, o des vio médio édado por

D)Variânc ia ( ²) – é a média aritmética dos quadrados dos desvios em relação em relação à média.

No nosso exemplo, a variância é dada por

D) Des vi o Pad rão ( ) ou Dis persão A bsolu ta - é a raiz quadrada da variância

Onde m é a média aritmética dos números No nosso exemplo, o desvio padrão é √ Exemplo. Um professor aplicou a mesma prova em cada uma de suas duas turmas. Depois de corrigir, elecalculou a média e desvio padrão de cada turma, encontrando médias respectivamente iguais a 7,8 e 8,1 edesvios padrões respectivamente iguais a 1,3 e 2,0. O que isto sugere a respeito do rendimento das duas turmas?

Resolução. As estatísticas nos informam que, embora o médio da segunda turma seja ligeiramente superior ao da primeiraturma, ela apresenta maior dispersão em torno da média. Isto sugere que a segunda turma seja maisheterogênea. Em particular, apesar de sua média ser melhor, há indícios de que haja nela um grupo de alunoscom baixo rendimento.loExemplo.



(ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveriaobter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria emfavor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas deMatemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Matemática Português Conhecimentosgerais

Média Mediana Desvio padrão

Marco 14 15 16 15 15 0,32Paulo 8 19 18 15 18 4,97

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é

A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.D) Paulo, pois obteve maior mediana.,E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Resolução. Como as médias são iguais, o desempate será dado pelo menor desvio padrão, o qual denota umapontuação mais regular. Logo, Marco foi melhor classificado.

Exercícios Propostos

01.A Câmara dos Deputados eleita neste ano e que tomará posse em 2011 terá 194 milionários, mais de um terçoda Casa, composta por 513 parlamentares. É o que aponta levantamento feito pelo G1 com base em dados doTribunal Superior Eleitoral (TSE). O número de políticos que declara ter patrimônio superior a R$ 1 milhão crescea cada legislatura. Eram 165 na eleição passada; 116 em 2002.



Entre os partidos, o PMDB é o que mais temdeputados com R$ 1 milhão ou mais (36). O DEM,até então campeão, aparece em segundo, com28. O PSDB conta com 25 parlamentares. O PT, apesarde conquistar a maior bancada da Casa, só figura nosexto lugar, com 11 dos 88. (Citado pelo portal de notícias G1 – GLOBO.COM). Com base no gráfico apresentado,determine:a) O número médio de milionários nos três anos citados.

b) O aumento percentual do número de milionários de 2010 em relação ao ano de 2006.

02.(ENEM) Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a seguir.

Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunosaprovados? A) 18%B) 21%C) 36%D) 72%



03.(ENEM) Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelo sétimo anoseguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007,o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reaisanuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando,assim, "emprego" e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve comocomplementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Revista Conhecimento Prático Geografia, n° 22. (adaptado)

Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo decoleta gira em tomo de:

(A) R$173,00. (C) R$343,00. (E) R$841,00.(B) R$242,00. (D) R$504,00.

04.(ENEM) No quadro seguinte, são informados os turnos em que foram eleitos os prefeitos das capitais de todosos estados brasileiros em 2004.

Na região Norte, a frequência relativa de eleição dos prefeitos no 2o turno foi, aproximadamente,

(A) 42,86%. (C) 50,00%. (E) 57,69%.(B) 44,44%. (D) 57,14%.

05.Observe o quadro de medalhas das Olimpíadas de 2008, realizadas em Pequim (China). Nesse quadro constao número total de medalhas dos 10 países mais bem classificados.

Com base no número total de medalhas de cada país, podemos afirmar que a mediana do número de medalhas éigual a:a) 42,5

b) 43,5c) 39,2d) 30,5e) 41,2



06.A tabela abaixo mostra o número de pontos do grupo E da segunda fase do Campeonato Mundial de Vôlei.Também estão indicadas as vitórias (V) e as derrotas (D) desse grupo.

A média e a mediana dos pontos do grupo E valem, respectivamente:a) 4,4 e 6,1b) 4,5 e 4,5c) 5,3 e 3,2

d) 2,5 e 3,2e) 1,2 e 4,3

06.(ENEM) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezesconsecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição defrequências.

NÚMERO OBTIDO FREQUÊNCIA1 42 14 25 26 1

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente

(A) 3, 2 e 1

(B) 3, 3 e 1(C) 3, 4 e 2(D) 5, 4 e 2(E) 6, 2 e 4



07.(ENEM) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidaspodiam ser 0,1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos. As notas das equipes foram colocadas nográfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E. Mesmo sem

aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores da moda e da mediana são,respectivamente,

(A) 1,5 e 2,0(B) 2,0 e 1,5

(C) 2,0 e 2,0(D) 2,0 e 3,0(E) 3,0 e 2,0

08.Com o objetivo de promover os esportes amadores na América, no dia 25 de fevereiro de 1951, aconteceu aCerimônia de Abertura dos Primeiros Jogos Pan-Americanos, em Buenos Aires, com a presença de 100 000pessoas. Esses jogos acontecem de quatro em quatro anos, sempre um ano antes dos Jogos Olímpicos. Emtermos de quantidades de esportes e de atletas, os Jogos Pan-Americanos são o segundo maior evento esportivono mundo em importância, atrás apenas dos jogos olímpicos. Os últimos jogos olímpicos foram realizados no Riode Janeiro em 2007. No gráfico abaixo, relacionam-se os oito países mais bem posicionados nos Jogos Pan- Americanos de 2003, realizados em Santo Domingo, e a quantidade de medalhas conquistadas por cada umdeles.

A média e a mediana das medalhas dos países que aparecem nesse gráfico, são respectivamente:a) 115 e 100,5b) 105 e 100c) 110 e 105d) 460 e 100

09.O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuiçãosalarial em reais.



Nº de

funcionários

10 2.000,00

12 3.600,00

5 4.000,00

3 6.000,00

Salário

em R$

Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição esalários seja de R$ 2.800,00?a) 8b) 11c) 9

d) 10

10.Um professor de Física aplicou uma prova, valendo 100 pontos, em seus 22 alunos e obteve, como resultado,a distribuição das notas vista no quadro seguinte:

Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados:a) Determine a frequência relativa da moda.b) Esboce um gráfico com as frequências absolutas de todas as notas.c) Determine a mediana dos valores da segunda linha do quadro apresentado.

11.(ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículostrafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade

permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual deveículos de acordo com a velocidade aproximada.

Qual a média das velocidades dos veículos que trafegam nessa avenida?

12. (ENEM) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiõesmetropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).



Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000 e que as

taxas são percentuais, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de:

A) 24 500.B) 25 000.C) 220 500.D) 223 000.E) 227 500.

13.Em um municipio, o número de casos registrados de dengue, mês a mês, no ano de 2009, está representadopelo grafico a seguir.



Com base no gráfico, pode-se afirmar que:

a) o menor número de casos ocorreu no mês de março.b) o total de casos do terceiro trimestre foi maior do que o total de casos do primeiro trimestre.c) o total de casos do quarto trimestre é 45% do total anual.d) entre dois meses consecutivos, a maior diferença de número de casos ocorreu do mês de novembro para o

mês de dezembro.e) a quantidade total de meses em que o número de casos foi maior ou igual a 50 e menor ou igual a 70 é 4.

14.(ENEM)Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura doambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipode procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação detendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas noquadro:



Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais aa) 17 °C, 17 °C e 13,5 °Cb) 17 °C, 18 °C e 13,5 °Cc) 17° C, 13,5 °C e 18 °C

d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °Ce) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C

15. Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa lá existente. Seus salários, em moedalocal, têm a seguinte distribuição de frequências:



a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?b) Qual o desvio médio?c) Qual a variância dos salários?d) Qual o desvio padrão?

14.(UFCG)Certo professor de Estatística aplicou a mesma prova nas Turmas I e II. Após corrigir essas provas, oprofessor calculou a média e o desvio-padrão das notas de cada uma das turmas. O resultado desses dados paraa Turma I e para a Turma II estão na tabela abaixo:

Com essas informações, pode-se afirmar que:

a) As notas das duas turmas apresentam a mesma dispersão.b) A turma com notas mais heterogêneas é a Turma II.c) O desempenho dos alunos nas duas turmas foi o mesmo.d) As notas da Turma II são mais homogêneas que as da Turma I.e) A variância da turma I é maior do que a variância da Turma II.

15. Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoasforam consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo discoe certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a este candidato?

a) 42º b) 168º c) 90º d) 242º e) 84º

16.O vôlei masculino brasileiro perdeu a final olímpica em Pequim para os Estados Unidos e encerrou commedalha de prata um ciclo de glórias. Entre os jogadores que participaram dessa Olimpíada, destacam-se: AndréHeller (32 anos), Bruninho (23 anos), Giba (32 anos), André Nascimento (30 anos), Serginho (33 anos) e Rodrigo(30 anos). Os gráficos seguintes apresentam a altura e a massa de cada um deles.



São apresentadas as quatro afirmações seguintes:

I – A amplitude das idades dos seis jogadores, consideradas como uma classe, é 33.II – O desvio padrão das alturas dos seis jogadores destacados no texto é maior que 6.

III – Escolhido um desses jogadores ao acaso, a probabilidade de que ele tenha mais de 85 quilos ou menos de1,95m é de 2/3.IV – Se colocarmos nesse grupo um jogador com 1,94m, a média das alturas dos jogadores não se altera, poréma variância aumenta.

Interpretando essas afirmações corretamente, pode-se afirmar que:a) Todas são falsas.b) Apenas uma é verdadeira.c) Apenas duas são verdadeiras.d) Apenas três são verdadeiras.e) Todas são verdadeiras.

1

18.Para comparar dois métodos de alfabetização A e B, um professor tomou um conjunto de alunos, dividiu-os aoacaso em dois grupos e alfabetizou um dos grupos pelo método A e o outro pelométodo B. Terminado o período de alfabetização, o professor submeteu os doisgrupos de alunos à mesma prova. Os alunos obtiveram nessa prova, as

notas apresentadas na tabela a seguir:



Nessas condições, julgue os itens a seguir:( ) As médias das notas dos métodos A e B são, respectivamente, 7,0 e 5,0.( ) Na amostra observada, a nota média dos alunos, alfabetizados pelo método B é 40% maior do que a notamédia dos alunos alfabetizados pelo método A.( ) O desvio padrão da estimativa da média pelo método A é maior do que o desvio padrão da estimativa damédia pelo método B.( ) Pode-se concluir, pela análise da variância, que o grupo B é mais homogêneo do que o grupo A.Resposta: FVVV

19. Um radar fotográfico, instalado em uma rodovia na qual o limite de velocidade é 100km/h, registrou em uma

semana x multas por excesso de velocidade, assim distribuídas:

a) Determine o valor de x.b) Calcule a média, a classe modal, a mediana e o desvio padrão das velocidades em que estavam osveículos quando foram multados.c) Se o valor das multas varia de acordo com a faixa de velocidade ultrapassada, começando por 180 reais eaumentando sempre 20% em relação à faixa anterior, determine o valor médio das multas aplicadas.

20.Os duzentos funcionários de uma empresa foram submetidos a exames clínicos para avaliação de saúde. Natabela seguinte, aparece o resultado do exame de dosagem de colesterol.

a) Qual é a taxa mediana de colesterol, em mg, por dl, de sangue?b) O teste sugere que, se a taxa média de colesterol exceder 235 mg/dl de sangue, deve-se iniciar uma campanhade prevenção com os funcionários. Com base nesse exame, verifique se será necessário iniciar a campanhapreventiva.Resposta: a) 238,63 b) sim, a taxa média de colesterolé 240,2mg/dl de sangue.

21. O gráfico a seguir mostra a distribuição das notasobtidas pelos 11 componentes de uma equipe de saltoornamental em uma competição.



a) Calcule a nota média desses atletas.b) Determine a moda dessa amostra de notas.c) Determine a mediana dessa amostra de notas.

23. O Produto Interno Bruto (PIB) de uma cidade, um Estado ou um país é o total de bens e serviços, em valores

financeiros, produzidos durante um determinado período. PIB per capita é a quantia que cada habitante receberiacaso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população. Na tabela seguinte constam os valores do PIB percapita das regiões brasileiras e o PIB per capita geral brasileiro:

a) Calcule a média do PIB per capita das regiões brasileiras. Por que o valor encontrado não coincide com oPIB per capita geral o Brasil?b) A partir dos dados de população por região dispostos na tabela a seguir, explique como é possível chegarao PIB per capita geral brasileiro, efetuando os cálculos necessários.



25. Os dados da tabela seguinte referem-se ao número de jornais diários em circulação nas nove capitais daregião Nordeste:

Calcule o desvio padrão dos dados apresentados.

26. Na tabela seguinte, encontramos os valores correspondentes à taxa de mortalidade infantil (número decrianças que morrem no primeiro ano de vida, entre mil nascidas vivas) nos continentes da Terra.

a) Calcule a média dos valores acima, expressando o resultado com uma casa decimal.b) Calcule o desvio padrão dos valores da tabela.

27. Um corretor de imóveis relacionou, ao longo de dois anos de trabalho, a quantidade de imóveiscomercializados (venda ou locação) mensalmente. Os resultados encontram-se na tabela seguinte:



a) Quais são os valores da média, mediana e moda da variável em questão?b) Se nos próximos cinco meses não for comercializado imóvel algum, qual será a mediana dos 29 valores?

28. Um grupo de funcionários de uma empresa foi hospitalizado por causa de uma intoxicação alimentar contraídano almoço de fim de ano. No gráfico seguinte, está representada a porcentagem de funcionários em função donúmero de dias de internação:

a) Quantos dias, em média, um funcionário ficou internado?b) Se 2 em cada 5 funcionários foram hospitalizados e 90 funcionários não foram hospitalizados, determinequantos funcionários ficaram internados três dias.

30. Os dados dos gráficos a seguir foram extraídos da Pesquisa Nacional por Amostras de Domicílios (PNAD), doIBGE, a respeito da população nas cinco grandes regiões brasileiras. O gráfico da esquerda mostra a distribuiçãoda população brasileira, em milhões de habitantes e, o da direita, mostra o percentual da população que reside emdomicílios urbanos sem saneamento básico adequado.

Considerando as informações dos gráficos, a região que concentra o menor número absoluto de pessoasresidentes em áreas urbanas sem saneamento básico é a região:a) Norteb) Nordestec) Sudested) Sule) Centro Oeste31. Um professor aplicou a mesma prova em cada uma de suas duas turmas. Depois de corrigir, ele calculou amédia e desvio padrão de cada turma, encontrando médias respectivamente iguais a 7,8 e 8,1 e desvios padrõesrespectivamente iguais a 1,3 e 2,0. O que isto sugere a respeito do rendimento das duas turmas?

32. Para calcular a média e o desvio padrão das notas de seus 20 alunos, um professor de matemática calculou asoma das notas e a soma de seus quadrados, encontrando, respectivamente, 110 e 750. Quais são a média e odesvio padrão?33. O gráfico abaixo mostra a distribuição étnica da população de Israel.



Qual é o número aproximado de árabes residentes em Israel?a) 7 282 000b) 5 497 000c) 1 780 000d) 1 460 000e) 320 000

34. (CESPE – UNB)

O gráfico acima ilustra o número de acidentesde trânsito nos estados do Acre, Mato Grosso doSul, Amazonas, Espírito Santo e MinasGerais, no ano de 2001. Com base nessas informações, assinale V ou F:( ) A média aritmética de acidentes de trânsito nos cinco estados citados é superior a 7000.

( ) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito no Acre crescesse 10% ,o do Mato Grosso do Sul diminuísse 20%, o do Amazonas aumentasse 15% e os demais permanecesseminalterados, então a média aritmética da série numérica formada pelo número de acidentes de trânsito em cadaestado, em 2004, seria maior que a mediana dessa mesma série.( ) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito no Acre passasse para2500, o número de acidentes de trânsito no Espírito Santo fosse reduzido para 10 000, o de Minas Grais fossereduzido para 13 000 e os demais permanecessem inalterados, então o desvio padrão da série numérica formadapelo número de acidentes de cada estado , em 2004, seria superior ao desvio padrão da série numérica formadapelo número de acidentes de trânsito em cada estado em 2001.( ) Se, no ano de 2004, com relação ao ano de 2001, o número de acidentes de trânsito em cada um dos estadosconsiderados aumentasse de 150, então o desvio padrão da série numérica formada pelo número de acidentes detrânsito em cada estado, em 2004, seria superior ao desvio padrão da série numérica formada pelo número deacidentes de trânsito em cada estado em 2001.

35.O texto seguinte refere-se às questões 36 e 37

38.Observe o gráfico abaixo:



a)Calcule as três medidas de centralidade (média, mediana e moda)para os percentuais correspondentes à participação brasileiranas exportações mundiais.

Considere dois períodos: o primeiro, de 1995 a 1998, e o segundo, de 2001 a 2005. b)Qual deles representa umconjunto de dados mais homogêneo? Faça os cálculos numéricos.Resposta: a) média = 0,945%; Md = 0,93% e Mo = 0,93%. B) O primeiro período, pois, os desvios padrões são,respectivamente, 0,023% e 0,077%.

39. Numa avenida de trânsito rápido, a velocidade dos veículos em certo trecho e em dado horário foi observadae está representada no quadro abaixo:

Para diminuir o número de acidentes nesse local, a Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) estabeleceu umlimite de velocidade a essa avenida igual à média das velocidades dos carros observadas. Para controle, irá

instalar um radar que é acionado quando a velocidade do veículo chega 10% acima da velocidade-limite. Avelocidade do acionamento do radar será de:

a) 60,5 km/hb) 65 km/hc) 75 km/hd) 82,5 km/he) 85 km/h



41. Uma determinada região apresentou, nos últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em mm) paraa precipitação pluviométrica média:

A média, a mediana e a variância do conjunto de valores acima são, respectivamente:

a) 30, 27 e 6,8b) 27, 30 e 2,4c) 30, 29 e 6,8d) 29, 30 e 7,0e) 30 , 39 e 7,0

42.(ENEM) Na tabela são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, emBrasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra nesse período era igual a:a) 73,10 reais b) 81,50 reais c) 82 reais d) 83,00 reais e) 85,30 reais

43. Uma equipe de futebol realizou um levantamento dos pesos dos seus 40 atletas e chegou à distribuição defrequência dada pela tabela a seguir, cujo histograma correspondente é visto abaixo da tabela.

http://www.infoescola.com/

http://www.infoescola.com/



Com base nesses dados, pode-se afirmar que o valor da mediana dos pesos é igual a:a) 75 b) 72 c) 74 d) 73

44. O professor Paulinho aplicou uma prova de Matemática a 25 alunos, contendo 5 questões, valendo 1 pontocada uma. Após fazer a correção, o professor construiu o gráfico abaixo, que relaciona o número de alunos àsnotas obtidas por eles.

Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a mediana das notas obtidas pelos 25 alunos correspondem,respectivamente, a:a) 2,0 e 3,0



b) 2,0 e 4,0c) 2,0 e 5,0d) 3,0 e 4,0e) 3,0 e 5,045. Um país hipotético é formado por duas regiões A e B, cada uma com cinco cidades de mesma população. Foifeito um levantamento para saber o grau de satisfação da população de cada cidade, em relação à respectiva

administração municipal. Na tabela, constam notas de 0 a 10 para medir a satisfação dos habitantes:

Calcule o desvio médio absoluto para cada região, determinando em qual delas as opiniões são menosdivergentes.

46. Seja x um número positivo menor que 21. Se a mediana dos números 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x é igual a 4, então onúmero de possibilidades para x é:a) 13b) 15c) 17

d) 16

47. O Brasil tem a quinta maior taxa de homicídio juvenil entre 83 países listados no boletim Mapa da Violência: os jovens da América Latina (2008). O estudo analisou a situação e a evolução da letalidade violenta nas unidadesfederativas do país, nas 27 capitais e nas 10 regiões metropolitanas. O gráfico a seguir apresenta o número dehomicídios juvenis entre 2002 e 2006, no Brasil.

No período considerado, a média anual dos homicídios juvenis foi, de:a) 18580b) 18900

c) 19500d) 20600e) 23225

48. Observe os seguintes conjuntos de valores: A: 12 - 8 - 7 e B: 9 – 4 - xExistem dois valores para x tais que as variâncias obtidas nos dois conjuntos são iguais. São eles:a) 4,5 e 9b) 4 e 8c) 4 e 11d) 5 e 8e) 5 e 1149. Um empresa dispensou 20% de seus empregados e concedeu aos que permaneceram, um aumento de que

elevou a folha em 10%. De quanto variou o salário médio da empresa?R. 37,5%



51. (ENEM-2009)Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos.Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pelamediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi aequipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, aqual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notasobtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que

faltou tivesse comparecido, essa equipe: A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

Resolução

Para um melhor entendimento sobre mediana temos que ordenar a lista das notas da Equipe Ômega, assim: 0; 6;6,5; 6,5 ;7 ;7 ; 8 ;8 ; 10 ;10. Teremos que verificar todas as alternativas:(A) Se aluno obtivesse nota zero, então a mediana seria 7 e não 6,5.Então não é a letra a.(B) Se o aluno obtivesse nota 10, a mediana seria 7,5 que por sua vez é menor do que 7,6 e 7,8. Então não é a

letra b.(C) Se o aluno obtivesse nota 8 , a mediana seria 7,5 que por sua vez é menor do que 7,6 e 7,8.Então não é aletra c.(D) Pensaremos no melhor das hipóteses, ou seja, do aluno ter tirado 10 na prova, assim a mediana seria 7,5 quepor sua vez seria menor do que 7,6 e 7,8. Logo a Equipe permaneceria na terceira posição independentemente danota obtida pelo aluno. Portanto é a letra d.

Seria impossível empatar com uma das Equipes de acordo com as alternativas acima. Obviamente não é a letra e.

A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de 500 pacientes que sofrem desta doença,internadas num determinado hospital especializado na doença.

Pergunta-se:a) Qual a média dasidades dos pacientes quepossuem câncer

estomacal?b) Qual a classe modal da distribuição de frequências dos pacientes que possuem outros tipos de doenças?c) Qual a idade mediana dos pacientes com câncer pulmonar?

24. A redução de oferta de milho no mercado internacional permitiu ao Brasil ganhar novos marcados para oproduto. O gráfico seguinte mostra alguns países importadores de milho brasileiro e as respectivas quantidades

desse produto por eles importadas.



A partir do cálculo do valor médio das exportações brasileiras de milho para os países citados no gráfico, é corretodizer que o(s) país(es) cuja importação superam esse valor médio é(são):

a)Irã.

b)Irã e Taiwan.

c)Irã, Taiwan e Argélia.

d) Irã, Taiwan, Argélia e Japão.e) Irã, Taiwan, Argélia, Japão e Marrocos.25. .A Copa do Mundo da África do Sul registrou a pior média de gols numa primeira rodada dentre todos osmundiais que já tiveram a primeira rodada já realizados. Foram marcados apenas 25 gols em16 jogos. O gráfico aseguir mostra a evolução da média de gols, na primeira roda, nos mundiais de 1990 a 2010.

De acordo com o gráfico, para que a média de gols na primeira rodada da Copa do Mundo do Brasil, em 2014,seja aproximadamente a mesma de 2002, a média registrada em 2010 deverá ter um aumento de:

a)30%b)40%c)60%

d)80%e)100%

A tabela abaixo contém os dados referentes ao consumo de energia elétrica de uma residência, em quilowatt-hora, no período de maio a novembro do ano passado.

Por essas informações, é correto afirmar:

a) O valor do consumo mediano supera o valor do



consumo médio em 20 kWh.b) O valor do consumo médio supera o valor do consumo modal em 20 kWh.c) O valor do consumo mediano supera o valor do consumo modal em 20 kWh.d) O valor do consumo modal é igual ao valor do consumo mediano.e) O valor do consumo médio é igual ao valor do consumo mediano.

30. (IBMEC) O gráfico abaixo representa as notas de um grupo de alunos em uma prova de matemática. A alturade cada barra corresponde à quantidade de alunos que obteve a nota indicada na base da respectiva barra.

Numa prova de português, a média dos mesmos alunos foi um ponto maior do que a média nessa prova dematemática. Dos gráficos a seguir, aquele que pode representar as notas de português é

Alternativa B.

(IBMEC) Utilize as informações a seguir para os testes 31 e 32. A tabela a seguir mostra as quantidades de alunos que acertaram e que erraram as 5 questões de uma provaaplicada em duas turmas. Cada questão valia dois pontos.



31. O gráfico que melhor representa o percentual de acerto por questão de todos os alunos é

32. A média dos alunos da turma A e a média dos alunos da turma B nesta prova foram, respectivamente,



a) 6,80 e 6,20.b) 6,60 e 6,40.c) 6,40 e 6,60.d) 6,20 e 6,80.e) 6,00 e 7,00.33.Os gráficos abaixo representam a distribuição das notas dos alunos de duas turmas (A e B) numa prova que

todos realizaram. No eixo horizontal constam as notas e no eixo vertical a quantidade de alunos que tiraram cadanota.

Considere que• m A representa a média de todos os alunos da turma A;• mB representa a media de todos os alunos da turma B• M A representa a média dos 25 alunos de maiores notas da turma A;• MB representa a média dos 25 alunos de maiores notas da turma B.

a) m A = mB e M A = MB

b) m A > mB e M A = MB

c) m A = mB e M A > MB

d) m A < mB e M A = MB

e) m A = mB e M A < MB

34.Os dados dos gráficos a seguir foram extraídos da Pesquisa Nacional por Amostras de Domicílios (PNAD), doIBGE, a respeito da população nas cinco grandes regiões brasileiras. O gráfico da esquerda mostra a distribuiçãoda população brasileira, em milhões de habitantes e, o da direita, mostra o percentual da população que reside emdomicílios urbanos sem saneamento básico adequado.

Considerando as informações dos gráficos, a região que concentra o menor número absoluto de pessoasresidentes em áreas urbanas sem saneamento básico é a região:

a)Norteb)Nordeste



c)Sudeste

d)Sule)Centro Oeste35.A dengue é uma doença de notificação compulsória, ou seja, tem de ser contada. Pacientes com suspeita dedengue devem fazer exames sorológicos. Quando uma região está em epidemia, basta o diagnóstico clínico paraque o caso seja contado como positivo.

Os dados apresentados acima mostram que, nos primeiros seis meses de 2010, considerando apenas os estadosde Minas Gerais, São Paulo, Goiás, Mato Grosso do Sul e Paraná, o valor médio do números de notificações dedengue é:

a)inferior a 85.000 casosb)superior a 85.000 casos, mas inferior a 95.000 casos.c) superior a 95.000 casos, mas inferior a 105.000 casos.d) superior a 105.000 casos, mas inferior a 115.000 casos.e)superior a 115.000 casos.

27.O quadro a seguir, apresenta todas as medalhas ganhas por países da América do Sul , durante os jogosolímpicos de Atenas realizados em 2004.



Com base nas informações apresentadas e considerando-se o quadro de medalhas, é correto afirmar:I. Do total de medalhas conquistadas, 37,5% foram de ouro.II. A média do número de medalhas de prata conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 0,5.III. O desvio-padrão do número de medalhas de bronze conquistadas pelos seis países do quadro é raiz quadradade 5/3.Estão corretas as afirmações:

a)Apenas a I.b)Apenas a IIc)Apenas III.d)Nenhuma está correta.e)Todas estão corretas.

28.O gráfico de setores abaixo mostra os resultados obtidos em uma pesquisa com clientes de um supermercadosobre um de seus produtos.

De acordo com a sua satisfação, cada cliente indicava uma nota de 1 a 5 para o mesmo produto. Esse gráfico, porexemplo, mostra que 5% dos consumidores deram nota 1 para o produto consultado. Considerando o mesmo

gráfico, a moda do conjunto de todas as notas dadas para o produto é igual a.

a)1b)2c)3d)4e)5

“A imaginação é mais importante do que o conhecimento”. (Einstein).

GABARITO:

01. D02. B03. C04. A05. D



06. Faça07. 44km/h08. D09. 6,75 salários mínimos10. E11. D

12. FVVFF13. Faça.14. B15. E16. B17. E18. FVVV19. a) x = 150 b) Faça. C) 250,73 reais20. a) 238,63 reais b) Sim.21. A) 8,45 B) 8,5 C) 8,522. E23. A) R$ 7208,40; não foi levado em consideração que as regiões têm populações diferentes. B)Épreciso calcular a média do PIB per capita de cada região ponderado pela porcentagem de sua população, em

relação à população total do país.24. A) média = 2,1; md = 2,1 e Mo = 1,6; 1,8; 2,0 e 2,1 (Cada um desses valores aparece quatrovezes). B) Por que? C) Aproximadamente 10960 leitos.25. 0,6626. A) 35,3 B) 25,89%27. A) média = 1,2083 ; Md = 1,5 móveis e Mo = 2 B) Md = 128. A) 2,15 dias B) 1229. 18 gols.30. D31. As estatísticas nos informam que, embora o rendimento médio da segunda turma sejaligeiramente superior ao da primeira turma, ela apresenta maior dispersão em torno da média.. Isto sugere que asegunda turma seja mais heterogênea. Em particular, apesar de sua média ser melhor, há indicações de que hajanela um grupo de alunos de baixo rendimento.

32. 5,5 e 2,6933. VFFV34. a) a taxa de agosto é inferior à de julho b) 0,691635. D36. E37. Respostas: a) média = 0,945%; Md = 0,93% e Mo = 0,93%. B) O primeiro período, pois, osdesvios padrões são, respectivamente, 0,023% e 0,077%.38. Faça

livro de matemÁtica bÁsica

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