matemática básica - clase 3

5/27/2018 Matem tica B sica - Clase 3

1/3408/04/2014


2/34

RELACIONES BINARIAS

08/04/2014


3/34

Par ordenado:

Llamaremos par ordenado a un ente matemtico que consiste de unpar de elementos que estn ordenados.

a es la primera componente y b es la segunda componente .

Observacin: , ,a b b a

, ,a b c d a c b d

Igualdad de pares ordenados:

08/04/2014


4/34

Producto CartesianoSean A y B dos conjuntos diferentes del vaco.

, /A B a b a A b B

Ejemplos:

Sean A ={1,2,3} y B={3,4}, hallar

a) AB

b) BA

c) AA

Solucin

1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4A B 08/04/2014


5/34

Propiedades

1. En general AB BA.2.

A B C A B A C

A B C A B A C

3. Si

En particular:

yA B D E A D B E

Si A B B BA BA A A B

4. A B C A B A C

Nota:

veces veces

Si entonces

A ... ...

n n

n n

A

A A A

08/04/2014


6/34

R es una relacin(binaria) de A en B

; ,R A B A B

Ejemplo:

Dados los conjuntos:

2/ . 4 0A x x / . 4 3B x x

Hallar todas las relaciones de A en B

08/04/2014


7/34

Para B: 4 3 4 3 4 3

7 1

como 1,7

x x x

x x

x B

Solucin:

2Para : 4 0 2 2

pero 2

A x x x

x A

Luego 2,1 , 2,7A B 08/04/2014


8/34

Ahora como la relacin R es un subconjunto cualquiera de AB, tendremosque todas las relaciones R de A en B son:

1 2,1R 2 2,7R 3 2,1 , 2,7R 4R

Observaciones:

1. AB tiene elementos.

#

2

A B

2. Si un elemento (x,y) pertenece a una relacin R, entonces lo

simbolizaremos

, R R R x y x y y x 3. Si el conjunto de partida A fuese igual al conjunto de llegada B,

entonces decimos que R es una relacin de A en A o simplemente R

es una relacin en A.

08/04/2014


9/34

Dominio y Rango de una Relacin

Dominio de R:Llamaremos dominio de una relacin R al conjunto formado por todas lasprimeras componentes de los pares ordenados de R.

Dom R / , R x x y

Rango de R:

Llamaremos rango de una relacin R al conjuntoformado por todas las segundas componentes de lospares ordenados de R.

Rang R / , R y x y 08/04/2014


10/34

Relacin inversa

Toda relacin R de A en B tiene una relacin inversa (recproca) de B a A,que se define por

1 , / ,R b a a b R

Es decir, la relacin inversa consta de los pares ordenados queal ser invertidos, es decir, permutados, pertenecen a R.

1

R

Ejemplo:Sean A=1,2,3 y B= a, b entonces

1, , 1, , 3,R a b aLa relacin inversa es

1 ,1 , ,1 , ,3R a b a 08/04/2014


11/34

Propiedades

Dadas las relaciones y de A en B, decimos que:1R 2R

1). 1 1 1

1 2 1 2R R R R

2). 1 1 11 2 1 2R R R R

3). 1 1 1

1 2 1 2R R R R

08/04/2014


12/34

COMPOSICIN DE RELACIONES

Dadas las relaciones RAB y SBC, se define la relacin entre A y C,

llamada composicin entre R y S, mediante

08/04/2014

SoR={(x,z)/ yB (x,y)R (y,z)S}

Propiedadesi) Asociatividad (ToS)oR = To(SoR)

ii) Inversa de la composicin

(SoR)-1=R-1o S-1


13/34

08/04/2014

Ejemplo:

Consideremos los siguientes conjuntos y relaciones: A={-1,0,1} B={1,3} y

C={3/2,5/2,0}

RAB est definida por: la imagen de x es su cuadrado.

SBCcaracterizada por: el correspondiente de y es su mitad aumentada

en 1

Se tiene:

R={(-1,1), (1,1)}

S={(1,3/2), (3, 5/2)}

SoR={(-1,3/2), (1,3/2)}

La relacin compuesta SoR AC est determinada as:

(x,z)SoR z= x2/2 +1


14/34

Diremos que R es reflexiva si aA, a Ra (a,a)R

1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y

es reflexiva ya que x , x Rx porque x divide a x.

2) En la relacin Rdefinida por:

a Rb a es el doble de b.

no es reflexiva ya que (1, 1) Rpuesto que 1 no es el doble de 1

Definicin:

Sea Runa relacin binaria en A, (A ).

Ejemplo:

Relacin reflexiva

08/04/2014


15/34

Relacin reflexiva

Representacin Cartesiana

A

ASi la relacin R es reflexiva

entonces la diagonal pertenece

a la relacin.

Representacin Sagital:

ASi la relacin R es reflexiva entonces todo

elemento tiene una flecha que comienza y

termina en s mismo (un bucle).

08/04/2014


16/34

Diremos que Res simtrica si a, b A: a Rb b Ra

1) En la relacin Rdefinida por: a Rb ab es mltiplo de 2.

es simtrica ya que si a Rb hay p tal que ab = 2p

ba = 2(-p) con -p b Ra

2)En la relacin R definida por: x Ry x divide a y

no es simtrica ya que 2 R4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2

por lo tanto (4,2) R.

Definicin:

Ejemplo:

Relacin simtrica

08/04/2014


17/34

relacin simtrica

Representacin Cartesiana

Si la relacin R es simtrica

sobre A entonces los pares

relacionados se reflejan

respecto a la diagonal principal.


A

Si la relacin R es simtrica entonces todo par

de elementos que tiene una flecha la tiene en

las dos direcciones

A

A

08/04/2014


18/34

Diremos que Res antisimtrica si a, b A: [a Rb b Ra] a = b

Otra manera de expresarlo:Si ab[ (a,b) R(b,a) R]

1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y es antisimtrica

Ya que si a R b y b R aentonces existen n, m tales que:

b = an y a = bm. Combinndolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1

n = m = 1 a = b.

2) En la relacin Rdefinida por: a Rb ab es mltiplo de 2.

no es antisimtrica ya que 2R4 y 4R2, pero 24

Definicin:

Ejemplo:

Relacin anti simtrica

08/04/2014


19/34

Relacin antisimtrica

A

ARepresentacin Cartesiana

Si la relacin R es antisimtrica pueden

existir pares por encima o por debajo de la

diagonal pero ningn par tiene reflejo

respecto a la diagonal principal excepto ladiagonal misma.


A

La relacin R es antisimtrica si para cada par

de elementos distintos relacionados la flecha

est solo en un sentido

08/04/2014


20/34

Definicin:

Ejemplo:

Diremos que Res transitiva si a, b, c A: [a Rb b Rc] a Rc

Relacin Tansitiva

1) En la relacin Rdefinida por: x Ry x divide a y

es transitiva ya que si a Rb y b Rcentonces existen n, m tales que:

b = an y c = bm. Combinndolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m

b Rc.

2) En la relacin Rdefinida por: a Rb a es el doble de b.

no es transitiva ya que (4, 2) Ry (2, 1) Rpuesto que 4 es el doble de 2y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)R

08/04/2014


21/34

Relacin Transitiva


A

La relacin Res transitiva si cada vez que hay

un camino entre tres elementos, tambin est

la flecha que comienza en el principio del

camino y va al elemento que es final del

camino.

08/04/2014


22/34

Cuadro Resumen

PropiedadR

Se satisface sii No se satisface sii

Reflexiva aA a Ra

Simtrica a, b A:

a Rb b Ra

Antisimtrica a, b A:

[a Rb b Ra] a = b

Transitiva a, b, c A:

[a Rb b Rc] a R c

Completa la siguiente tabla:

08/04/2014


23/34

Cuadro Resumen

PropiedadR

Se satisface sii No se satisface sii

Reflexiva aA a Ra aA (a,a)R

Simtrica a, b A:

a Rb b Ra

a, b A:

(a, b) R (b, a) R

Antisimtrica a, b A:

[a Rb b Ra] a = b

a, b A:

(a, b) R(b, a) R a b

Transitiva a, b, c A:

[a Rb b Rc] a R c

a, b, c A:

(a, b) R(b, c) R(a, c) R

Verifique:

08/04/2014


24/34

Ejercicios

Ejercicio 1:

Sea A = {1, 2, 3, 4}.

i) Represente grficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital.

ii) Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A yverifquelas (demustrelas)

a) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3)}.

b) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) ,(2,1), (3,2) , (4,3) }.c) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}.

d) R= { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }.e) R= { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.

08/04/2014


25/34

Ejercicios

Ejercicio 2:

Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientespropiedades:

i) Reflexiva, simtrica y no transitiva

ii) Reflexiva, no simtrica y transitiva

iii) No reflexiva, simtrica y transitiva

08/04/2014


26/34

Ejercicios

Ejercicio 3:

Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:

A1 2

3 4

A1 2

3 4

(a) (b)

a) Exprese las relaciones anteriores por extensin

b) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y

prubelas!

08/04/2014


27/34

Ejercicios

Ejercicio 4:

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:

(c) (d)

i) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y

prubelas!

A1 2

5 3

4

A1 2

5 3

4

08/04/2014


28/34

Ejercicios

Ejercicio 5:

Definimos en R, el conjunto de los nmeros reales, la relacin R:

x Ry xyDetermina las propiedades que cumple R y demuestra, usando la definicin, que

efectivamente las verifica!

08/04/2014


29/34

Tipos de relaciones

Relacin de equivalencia

Diremos que una relacin binaria sobre A, es una relacin de equivalenciasi

satisface las tres propiedades:

Res reflexiva

Res simtrica

Res transitiva

Ejemplos:

1) En , la relacin Rdefinida por: a Rb a

b es mltiplo de 3.

2) Dado un conjunto DU, la relacin:

A RB AD = B D

Demuestra que estas son relaciones de equivalencia

08/04/2014


30/34

Tipos de relaciones

Relacin de

ordenR es una relacin de orden en A, si y slo si

Res reflexiva

Res antisimtrica

Res transitiva

Sea2

R A

, Ra A a a

, ,a b R b a R a b

, , ,a b R b c R a c R

Relacin de orden parcial

Sea R una relacin de orden en A

Res de orden parcial si y slo si existen pares de elementos

incomparables

, / , ,a b a b R b a R 08/04/2014


31/34

Relacin de orden total

Sea R una relacin de orden en A

Res de orden total si

, ,a b a b R b a R

08/04/2014


32/34

Ejemplo:

En definimos la relacin de divisor, es decir

/n a k a nk Esta relacin es de orden y parcial .

En efecto:

i) Reflexiva: : .1a a a a a

ii) Antisimtrica: Sean a b b a

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

y /

. 1 1

luego

n k k b ak a bk

ab ak bk k k k k

a b

08/04/2014


33/34

iii) Transitiva: Sean

1 2 1 2 , ,a b b c b ak c bk k k

1 2 1 2

1 2

entonces . . .

.

b c ak bk c a k k c ak

k k k

a c

Tambin es una relacin de orden parcial, pues

2 y 3:

08/04/2014


34/34

08/04/2014

matemática básica - clase 3

Documents