IntroduçãoMatemática Financeira:

É o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.

Objetivos:1. Quantificar as transações que ocorrem no universo

financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money).

2. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo.

Juros Remuneração de um capital aplicado a uma certa

taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) preço do crédito.

A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais

destacam-se:

1 - Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.

2 - Risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.

3 – Aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro!

Principais siglas da Matemática Financeira

Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.

Juros Simples

Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples).

Este sistema não é muito utilizado na prática das operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma bastante interessante.

Ilustração

A título introdutório, vejamos o seguinte exemplo:

Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante 3 meses; teríamos neste caso:

Juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1 = 100.(1/100) . 1 = R$1,00

Juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2 = 100.(1/100) . 2 = R$2,00

Juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 = 100.(1/100) . 3 = R$3,00

Comparando com a fórmula de Juros Simples normalmente

conhecida como:J = C * i * t J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00sendo a taxa (i) dividida por 100

Ou

J= P * i * nJ = 100 * 0,01 * 3 = 3,00sendo a taxa (i) dividida por 100

Algumas fórmulas derivadas de Juros simples

P = J / i*n P = 3,00 / 0,01 * 3 = 100

i = J / P*n i = 3,00/100*3 = 0,01*100 = 1 %

n = J / P* i n = 3,00 / 100*0,01 = 3 meses

Notas:

(a) observe que os juros - neste caso de juros simples - são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00.

(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.

Conclusão Então, se um capital inicial P for aplicado

a juros simples de taxa i por período, durante n períodos e lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial P, podemos escrever:

J = P* i * n onde J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma

taxa de juros por período, igual a i.

No final de n períodos, é claro que o total será igual ao capital inicial, adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado

MONTANTE (M).

Logo, teremos: M = P + J (Como J= P*i*n) M = P + P*i*n (colocando P em

evidência) M = P(1 + i*n)

Portanto, M = P(1+ i*n)

Algumas fórmulas derivadas do Montante

P = M / 1 + i*n

i = M – P/ P * n

N = M – P/P * i

Exemplos práticos

1 - A quantia de R$3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.

Solução:Temos: P = 3000;i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.

Portanto:M = 3000(1 + 0,05.60) = 3000(1+3) = 12000

Resposta: R$12000,00

2 - Determine o montante produzido por um capital de R$3000,00 aplicado por 1 mês e dez dias, à taxa de 6% a.b.

Solução

Temos: P = 3000; i = 6% a.b(ao bimestre) e n = 1 mês e dez dias.

Teremos que expressar n  e  i  na mesma unidade de tempo. Vamos referir tudo ao

intervalo de tempo em dias, lembrando que nos cálculos comerciais, considera-se 1 mês = 30 dias:

a) 1 bimestre = 2 meses = 2.30 = 60 dias. b) 6% a.b = 6% em 60 dias = 6% / 60 =

0,06/60) a.d (ao dia). c) 1 mês e 10 dias = 30 + 10 = 40 dias Agora que está tudo expresso em relação ao

mesmo intervalo de tempo, basta aplicar diretamente a fórmula M = P(1 + in), ou seja:

M = 3000(1 + (0,06/60).40) M = 3000(1 + 0,04) M = 3000.1,04 = 3120 Resposta: R$3120,00

3 – (Fiscal-MS-2000) Um banco oferece a seus clientes um tipo de aplicação financeira com as seguintes características:

Prazo: 4 meses; Remuneração: juros simples à taxa de

1,5% ao mês; Imposto de renda: 20% do juro

produzido, pago no final da aplicação. Um cliente pagou R$36,00 de imposto

de renda. Seu montante líquido (após o pagamento do imposto de renda) foi:

Solução Temos: i = 1,5 % a.m Imposto de renda = R$36,00 relativo a 20% dos juros produzidos

pelo Principal; Pelo enunciado, o cliente pagou 20% do juro, relativo ao imposto

de renda = R$36,00; regra de três Simples :

R$ % 36 ----------- 20 j ----------- 100

Ou seja 20% de j = 36 Então 0,20 * j = 36

Logo, j = 36/0,20 = 180.

Portanto, os juros da aplicação foram de R$180,00.

Como j = P* i * n, substituindo:

180 = P.(1,5/100).4,

de onde tiramos P = 3000

Aplicando a fórmula do Montante, vem:

M = P(1 + in) = M = 3000(1 + (1,5/100).4) M = 3000.1,06 = 3180

Mas, deste montante, R$36,00 foram pagos de imposto de renda; logo, o montante procurado é igual a

3180 - 36 = 3144, ou seja, R$3144,00.

4 – (CEF - Técnico Bancário) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 do seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:

Seja P o capital aplicado durante 1 ano e 4 meses = 12 + 4 = 16 meses,

resultando no montante M = (7/5).P Substituindo os valores conhecidos na

fórmula de montante M = P(1 + i*n), vem: (7/5)*P = P(1 + i*16)

Simplificando P, fica: 1,4 = 1 + 16i ,

Solução:

de onde vem: 0,4 = 16i e finalmente, i = 0,4/16 = 0,025. Para expressar em porcentagem, basta

multiplicar por 100 ou seja: i = 0,025.100 = 2,5% a.m.

Gráficos das funções envolvendo Montantes

As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas. As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade. No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente. Os gráficos representativos das funções citadas servem de análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período. Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida.

Situação – Juros Simples

Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês no período de 4 meses, nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses. 

Juros simples 

M = C + j J = C * i * t

O Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00. 

Na calculadora financeira HP 12C

Digite:

500 enter

2 enter

100 :

Enter

4 X Enter

500 X

+ $ 540,00

Gráficos – Juros Simples – Função do 1º grau

Juros Compostos

Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).

Aplicando a mesma situação para juros compostos temos:

Juros compostos  n

M = P * (1 + i) 

Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22

NA HP 12 C PELO MÉTODO NORMAL

2 enter100 :

enter1 +

enter4

X

yenter

500 x

Na calculadora Financeira HP 12C

Digite:500 PV2 i4 nFV $541,22

Gráfico – Juros compostos – Função Exponencial

Comparando JS e JC

5 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Vem:

2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).

Simplificando P, fica:2 = 1 + 0,05n (2 -1 = 0,05n), então

1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 1/0,05 n = 20 meses (1 ano e oito meses).

Respostas dos exercícios propostos 1 a 6

1 – Resposta $ 46.000,00

2 - Resposta: 12,5% a.a

3 - Resposta: N = 100 dias 4 - Resposta: R$ 36.000,00

5- Resposta: 20 anos 6 - Resposta: R$6000,00

Preparem-se

Os exercícios a seguir estão de acordo com os apresentados na aula de hoje, no verso você encontrará as fórmulas para aplicá-las.

Tente fazer alguns e nos 10 minutos restantes serão mostrados seus resultados!!!

Boa SORTE

JUROS SIMPLES1- Qual o valor do juro correspondente a

um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

2- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

3- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?

4- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?

5- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00.  Qual foi esse capital?

6- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00.  Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

7- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?

8- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?

9- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.

10- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?

11- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

12- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00.  Qual é o valor desse capital?

13- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.

RESPOSTAS 1) 1.728,00 2) 4.380,00 3) 40% aa

4) 0,75% am 5) 27.000,00

6) 30% aa

7) 10 anos 8) 2 anos

9) 7.400,00 10) 12,5% aa

11) indiferente 12) 32.400,00

13) 313.600,00

JUROS COMPOSTOS – CALCULE NA HP 12C QUE NA OUTRA AULA

RESOLVEREMOS EM LOUSA

1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:

a) 4% am   e  6 meses b) 8% at   e   18 meses    c) 12% aa   e   18 meses

2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?

3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira.  Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:

a) 13% at       b) 18% aa        c) 14% as      d) 12% am

RESPOSTAS1) a) 4.428,62    b) 5.554,06    c) 4.148,542) 11 meses3) a) 14.149,62    b) 51.578,89    c) 35.055,91

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