matemática básica - teoria

64
Matemática 1 Matemática Básica

Upload: everton-moraes

Post on 14-Jan-2017

58 views

Category:

Education


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matemática Básica - Teoria

����������

����������� ��

Page 2: Matemática Básica - Teoria
Page 3: Matemática Básica - Teoria

��������� ��

��������������������������

Page 4: Matemática Básica - Teoria
Page 5: Matemática Básica - Teoria

������������� �

����

����

����

��������� ������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

��������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ��

��������� ������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

�������� ����������� ������������!�"#!��� ���������������������������������������������������������� ��

������$�������!��%������������& ������������������������������������������������������������������������� �'

��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� �'

'����!�&������������������� ������������������������������������������������������������������������������������ �(

)������������������������*��!��+���� ������������������������������������������������������������������ �(

(��������&������������!������� ������������������������������������������������������������������������ �,

��������� ���������������� �������������!����������-��!�� ���������������������������������������������������������������������� ��

��� ���������������������������-��!������������������������������������������������������������������� ��

����������������!����&������������������-��!�� ��������������������������������������������������� ��

���.�/�������!����������-��!�� ���������������������������������������������������������������������������� ��

'��.�/���������������������-��!�� ����������������������������������������������������������������������� ��

��������� ����������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���� ����� ���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� � ����������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� ��������� ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ���� ���������������� �������� �������������������������������������������������������������������������������������

���-��0!��� �����������1��!����%��2�/%�2�� ����������������������������������������������������������� ��

�����!���������������.�/�� ��������������������������������������������������������������������������������� ��

�������� �������!�"���3������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���1��!������!�& ��������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���.4&��&������!���������5�! ������������������������������������������������������������������������������� ��

'��6���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)

)��7�!������������& �������������������������������������������������������������������������������������������� �(

Page 6: Matemática Básica - Teoria

������������� �

(������������������& �������������������������������������������������������������������������������������������� �(

,��7�!�����������������������8�� ������������������������������������������������������������������������ �,

��������# $%�������&����������.��������94����� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���� � ������������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� � � ����� !������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ��"��������� ����!������ ���������������������������������������������������������������������������������� ������ # $���$������� ����!������ ������������������������������������������������������������������������������� � ��%� �������� ��� ����� !������� ���������������������������������������������������������������������������������� � ��&� � ����� ������ ��������� ���������������������������������������������������������������������������������� � ��'� ��"���(�$����������)��*� ��������������������������������������������������������������������������������������������� ����+� �������,����)��*� ������������������������������������������������������������������������������������������������� ����-� � ��������"����������� ����������$ ������������������������������������������������������������ �����.� /��������"����������� ����������$ ������������������������������������������������������������� �%����� ����������,������"����������� ����������$ ������������������������������������������������ �&

��������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� �)

���*4%�!����8�����.�!�! ��������������������������������������������������������������������������������������� �,

���*:�!��*#&���&��.�!�! �������������������������������������������������������������������������������������� �,

'��*�.���**.���&��*;������������!�������3��&��� ������������������������������������������������ �,

)��**.���*�.���&��*;��������1����������!�&�<�� ������������������������������������������������� �

(��*�.���&��*;�����������8�������������8�� ������������������������������������������������������������� �

,������������������*�.������**.��������������������������������������������������������������������������� ��

��������' (��������)�������3������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

����"������������������� ����������������������������������������������������������������������������������� �� ��� 0������� ��� 1$������� ������������������������������������������������������������������������������������������� � � �2��������������� ����1$������� ������������������������������������������������������������������������ � ��� �������� �� 1�$��34��� ������������������������������������������������������������������������������������������� �

��� ��&������������$��� �������������������������������������������������������������������������������������� ��

�� ��&�������3�&���� ������������������������������������������������������������������������������������������� ��

'��.�=�������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ��

)��.�=����>�8���� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��

(��.�=������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �''��� ����������,� �� ��5���� �� ������ ����������������������������������������������������������������������� �%'� � � ���� �� 1$������� �� ��5���� �� ������ ���������������������������������������������������������� �%

,��35��&��������.�=���� ��������������������������������������������������������������������������������������� �'

Page 7: Matemática Básica - Teoria

����

����

����

������������� �

��?����������!�.�=���� ����������������������������������������������������������������������������������� �)-��� 2��,� �� ��5����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� �&-� � !������*�,� �� ��5����� ���������������������������������������������������������������������������������������� �&-��� ��������� �� ��5����� ������������������������������������������������������������������������������������������� �'-��� ��5���� ���$������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �'-�%� ����*���6�� ���7�����6�� �������������������������������������������������������������������������������������� �+

����"#!��������&�!��������>���������3������������.�=���� ������������������������������ �

����.�=�����"�!;����� ���������������������������������������������������������������������������������������� '�

��� ?����������!�3���8�&����!���@�����A �������������������������������������������������������������� '�

��������* +,���-���� 3������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� '�

�� ����&��������!���B���� �������������������������������������������������������������������������������� '�

����B�����������C��� �������������������������������������������������������������������������������������������� ''

�� ���/&�!���������C��� ���������������������������������������������������������������������������������������� ')

'� �B�����������C��� ������������������������������������������������������������������������������������������� ')%��� 8���$��,����9���,��� ����� ���������������������������������������������������������������������������� %'%� � �:���$���;<��=��� ������������������������������������������������������������������������������������������������ %'%������*���,���� ������/�$��6����19���,��� �>��� ���������������������������������������� %+

)����&����������.���������������:��� �������������������������������������������������������������������� '

(������&��������B��������!�*��������D���48�& �������������������������������������������������� )�

,���B������3��������� ������������������������������������������������������������������������������������������� )�

��*��������D���48�& ������������������������������������������������������������������������������������������� )�

+.������������� #

Page 8: Matemática Básica - Teoria
Page 9: Matemática Básica - Teoria

������� ��������

��������� ��������� �������������

��������� ����������� ������������������������� �����������������

������������������������������������������������������������

� �� ������������������������������������������������������������������������

�� �������� ��� ������ ������� � ���� !� ������������������������������������

"����

� � � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������������

��������# $ �%�$�&�$�&�$�%�'$�# ���%���&���&���&���&���%���# ()*#��%�()*#�&�()*#�&�()*#�&�()*#�%��'

�#−���� = −���� ⋅

−���� =�

���

��

���

� �� ������������ �+���������������������������� ���!�����"����

���%��

��������# ,��%�,

�#��

��

����� =

� �� ������������ ����+�����������������������-������� ������"����

���%��

.���������/� 0���0�%��1����1��%��1��%��

��2�����������34� ��≠ 5 ���%��

��������# ,��%��

�# −���� =�

��

� �� ������������ ����� ������+��������������������������������� ��6

/���������7�6������� ���!���������������� �������/�������������������������� ���������������������������

"����

��

− = ����

��������

# �

��

���

������

−= ������ =

�#−������

−=

−������ =

−�

��

��

��

�# − = −���� =−

−� �

����

��

� �����������8����������9����������� ������

�: ��%�5�����;�5��⇒�����%�5*: ��%�5�����<�5��⇒�������∈��1: ��;�5��⇒�����;�5$: ��<�5���������⇒�����;�5,: ��<�5�����=����⇒�����<�5

Page 10: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

�� �����������>���������������9��������������� �����

�9����������������������7���7��/?�������� �������������������

� �������� � �� ��!���� �� ����� ���������������������������������

��� ����������� ������������������ ������������

���&����%��������

" ��#������

� � � � �

� � � � �� �

� �

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

����

���

⋅ =

�� ��� ���

�� ��� ���

������

������

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � � � � � � �� �

�� ��� ��� �� �� �������� ������

"������

� � � � � �

� � �

� �

� �

� � � �

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

+

+

�� ��� ���� �������

��������# * �&�*��%�* �����%�*�

�# $��&�$�������%�$�������������%�$�

�# 1�&�1��&�1��%�1����������%�1�

� ����$ ����� �� ��!���� �� ��������������/�������������������������

������������������� ���%��� �������������

��

� ��

� �= ≠− � �

" ��#������

� � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅�� �� ��������

������� � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅�� �� ��������

��& 8�������;�� �����

��

� � � �� � � �

� � � ��

� �

� �=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =

−�� ��� ���

�� ��� ���� �� �

������

������

������� �

��& 8����%�� � ��

� ��

� �= = = =−� ��� �

��& 8����<�� � ��

�� � � �

� �

=⋅ ⋅ ⋅

=�

�� �� ���

� �������

= ���� =

−−@

��

� �

� �

� � � �

��������

#��

��%�*������%�*�

�#����

�%�,�����

�#��

+

− = $��������������� ��%�$�

� � � ���� � �� ��!���� �� ����� ��'����������������������������������

�������� ������������� �������������6��������������

���&����%�(��&��#�

" ��#������

��

� � � �

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���

� ��������������� � � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������

� � � � � � � � � �� �

� �

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =�� ��� ��� �� ��� ��������� ������

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� �� �� ���

�� ���� ����������

Page 11: Matemática Básica - Teoria

��������� ��������� ��

$���"�����/�����

������������

"��������&����%�(��#�

��������# *��&�A��%�(*�&�A#��%��'�

�# �&� �&�� �%�(�&��&��#

� ����$ ����� �� ��!���� �� ����� ��'���������/�������������������������6

������ ����������� � �����������/������������

��

��

��

= ���� ≠� �

" ��#������

� � � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������

�������� � � � ��

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ���������

��

� � � �� � � �

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=�

� ��� ���

�� ��� ��

������

������

��

��

��

��

��

= ������������ ⋅ ⋅��

���

� ����� ����������

"�������

��

= ����

��������

#��

��

= ����

�#� ��

� ��

� �

�⋅=

⋅������

� ������!��� �� �� ��!���������/�������������������/�

�������� ����������� �������� �������'�����������������

(��#��%�������

" ��#������

� � � ���

� � �

� � = ⋅ ⋅ ⋅�� ��� ��������

� ���

� � �

� � = ⇒+ + +�� ��� ��������

(��#��%�������

��������# (* #��%�* �����%�*�

�# � � ���

�� � � ��� ���

�� = =⋅ ⋅

����������"��������������������������������

��������������������������� �� �������

��������# * �&�*���%�* ��������%�*����(��#

�#��

� � ��

� � � � �

�−− − += = =� � � ��

�# ,� �&�*� �%�(,�&�*#� �%��5� �(� #

�#��

��

��

���

� �−

−= ���� = ��

�� = �(��#

�# � � � ��

��

��

� � ��

� � � �− ⋅ − −= = = ��� = �(��#

Page 12: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

+.���������������5���>��������/������� �%�$��B�(5 *,#���)�(5 ,#��

��������

����������������� �����

��

��

= = = ����

�������������

��

= =

����������������� � ��

��

��

��

= + ���������� − ��

��

− −

������

� � ��

��

� � �� �

� �= + ���� − ��

�� = + −

− −

����� ��!�"�#�⇒ =� ��

5*��8������%�(*�# C��%�����������%���

� ������������������&��&���

�����������$%�&����%�

���������%�

����%�����%

�������'��'�����%��'�%��'�%���%��

������� �%��

51��8�������������������D���

#� �����

� �

�#�� � � �

�� ��

� � �⋅ − ⋅⋅

+� �

���������������������(& ()��#������)���

"����������� ()�#�� ��)�� � �� ��� � ���6������������������������� ������

− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −� � � � ��

� � � � � � � � � ��� ����� �����������

− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � � � ��

� ��� ��� ���������

��������# �()*#��%�()*#�&�()*#�&�()*#�&�()*#�%��'�# )*��%�)�(*�&�*�&�*�&�*#�%�)�'�# ()*# �%�()*#�&�()*#�&�()*#�%�)A�# )* �%�)�(*�&�*�&�*#�%�)A

)& � ���

��� � �

"����������� � ���

��� � � ��� ��� ����6

�����������������#����� ������

� � � � ���

� � � �

� � � � � � � � � �= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� ������ ������

�����

� ���

� � �

= ⋅ ⋅ ⋅�� �� �������

��������

# ���� � %�(1�#�&�(1�#�&�(1�#�%�1���� �%�1�

�# ����%�1����������%�1�

Page 13: Matemática Básica - Teoria

��������� ��������� ��

$���"�����/�����

������������

��������

�&� �����

� �

������������(���)� %*���)� %#)���)

���7���������

��

���

����

��

��

��

��

��

���

⋅=�� �� ⋅ �� ���� ��

=⋅

=

�� ��

� ����

��

�= =

������� �%*

�&

�� � � ��� ��

�� � � � �

�� �

�� � ��

�� ��

��

⋅ − ⋅⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅

⋅=

+

� �

������� �����

5$��8���5��%�'$ ����7�����������/�������@E �

���������

������� �#

Page 14: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

�������������������������� �� ����-��6������

� �����-��������������%���� ����-����������������&

�������� �������F����������9�������6

�� � �� ������� ������������

�� ���� * +���� � ��� ��' �� � ����'���� ��'������

8����������9���������7�6�� ��/�� �� ≥ G �������9���������� �7�6����

� �� ≠ G , ��-�������� �� ����9������9������ �� ≥ � , �������� �� = &

� � � �� �= ⇔ =

��������

# �� � � ��� �= =���� (��-����������'#

�# �� � � ��� �= =���� � (��-� ����� ��A�#

�# � � �� �= =� ����� �(��-��9�������A#

�# � � � �� �= =����� �(��-����/����5#

�# � � � �� �= =����� (��-�����������,#

�����������������/��H7� ���������=����������-��

* ��������������������H7��

"���� � � �� = = &

��������� ���������

�� ���� * +���� � ��� %���� � ������'�� ������

8��������9���������� ��/��(��<�5#�������9����������=�� ���-�������

�� �����9������9������(��<�5# ���������� �� = &

� � � �� �= ⇔ =

��������

#� − = − − = −�� � � ����- �IJK � �

(��-��9�������)�'$#

�#� − = − − = −�� � � ��� �� ���� � �(��-����������)�1*#

������������������������������������ !����

8����������9������� ���-�������

�� ������9�����7�6�� ��/���������/��������������������������F�

� � �� �� �

���

= =≥

− <���

�������K�K�

LL

��������

# − = − = − − =� � � ��� � � �

�# � � �� = =

�# � � � � � ��

− = − = −� �

����������� � �� >

�# � � � � � � � ��

� � � � �� � � �= = =

�������������� � �� <

Page 15: Matemática Básica - Teoria

��������� ��������� ��

$���"�����/�����

������������

����������

��/���� �7�� ���������� � �= � ��� �= ± �������������������������������6

H7��

���7���� � � �= − = −�

8������������������H7����%�$ � ����6�����������H7�����=-���*���6* ������

� � �� � � �= ⇒ = ± ⇒ = ±

��� ��"�����������#�������������$

.�#�����

�������� ��� ���� �� (�� ;� 5#� �� ��������

���������� � � �∈ ∈� �� �������9����

� ��

���=

��������

# � � ��

� �� �= =

�# � � ��

���= =

�# � � ��

��

���−

= = =−

�# @E�� @E�� @@E��

@�

� � ��

��− = = =−

����������+������������������������������

���������������������� ��������� �7��/?�������������������������

%�� �����������>����������������9����� ����� �����

�7�6�� ��/��� �� ��� �9����� ������� �7�6�������������+,����7��

��� ���� � �� �������� �� ����� %����

��� ������������ ������� ��� ����� =����� � ������/����� =������ ������������������������

� � ��� � �⋅ =

" ��#������

� � � � � � � �� � �� �

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅� �

� �

��������# � � � � �� �⋅ = ⋅ = =

�# � ��� � ��� �⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � ��

��� .������ �� �������� �� ����� %����

�����/������� ������� ��������=����� �������/�����=����������/�����������������

��

��

�= ������������ � ≠ �� �

" ��#������

��

��

��

��

= = ���� =

��������

# 6

2

6

23

3

33 3= =

Page 16: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

�#25

4

25

4

5

2= =

��� ��!��� �� �� ����

������/��������-������������ ���� ���/���� �� �������� � �������������

� ���

��� � =

" ��#������

� � � ��� �

���

�� � � �= = =�

����������"�������������� ������/?�������6

���������������������������� ��/��

��������

# � ��

�� � =

�# @� @���

��� �− −=

�# @E @E @E��

��� � = =

��� /��� �� � �� ����

������������ ��-����������� ��- ���� ������/���� �� �������� ����6�������������=�������

� ��� ��= ⋅

" ��#������

� � � � ���� � �

� �

= = = =⋅ ⋅�

� �

��������

# � � ��� � � �= =⋅

�# � � �� � � �= =⋅ ⋅

��� 0�����#������ �� ��������

2���������������� �����/������ �=����������� ��-� �� �� ������������ ����������������������9����������7�6���� ���/��������-��7�������

� � ��� � �� �

= ≠⋅⋅�� �

" ��#������

� � � ��� � �� ���

� �

� �

= = =

⋅⋅ ⋅⋅

��������

# �� �� ���� � �� � ��= =⋅⋅

�# � � �� � �� � ���= =⋅⋅

�# � � � ��� �� ��= = =

����������>���������������/������������� ��

/�����������-��7������������������/�6�������=��������������������������������6������������� ����� �����������7�6�����

� ��� � �� �

= ��

��������

# @E @E @E�� � �� � ��= =��

Page 17: Matemática Básica - Teoria

��������� ��������� ��

$���"�����/�����

������������

�# � � ���� �� �� � �= =��

�# � � ��� ��= =

&������$������������������8��������� �� ������ �� �����

�������?6��������������7������/���6��� �� ��������� ���������������� ������ ��������M������ ���� �������H7���/���������H7��������������������6���������/�����

��������

# �� �

� �

� �

� �

� � �� � � � ��

� � � � ��

�� �� �� �� ��

� ��

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

�� � � �

�# � � � � � � � � � ��� �� � �� ��⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

�# ��� � � � � �

� � � � ��

� � �� � ��

�� �

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ =

'����������������������(�����)������������-�����������������������

������=����� ���������������������NN>������������� =������ ��������������=�������������������������������� ��� ��/����������/��=�������������������=��������������� ��������������� ����������������������������������������������/����������

��������

# � � � �⋅ �� ��� �

NN>�(1 �$ �*#�%��* ����7��

�� � � � � � ��� � ��� �� ��� ���= = =� �

�# � � �� �� �

NN>�(* �1 �$#%�* ����7��

� � � � � ���� � ��� � ���= = =� �

��������1���#�>�������/��������������������� �

�� ���������H7���� ���/��7����� �=-��� �O��/����������������������������/����=���6����� ��� ����7����������H7���������-�������������������=����������������6��������������������

�������

� � � � � � � � �� � ��� ��� ��� � � ���⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

*#���� ����������� ������ �=-�� ������/������6���������=�������� ��� �����7���������-����?������������/�������� ��������

�������

� � �

� � �� �

� �� �

�� �

�= =

= =

�����

⇒ >

+.���������������5����������������HD���������������-��6

������9����������������������������6�������=/���

#� � �� � �� � �⋅ ⋅��������

#� � �� � � � � �� �

� �� � � � � ��

� � � �

� ��

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= = = ⋅ =��

Page 18: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

� � � � � � � �

� � � � � � ��

� �� � ��

�� �

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= = ⋅ = ⋅ =

������� ��%

�&�� ���� �

⋅⋅

��������

� ���� �

� ���� �

����

����

�⋅⋅

=⋅

⋅= = =

���������� �

5*��>������

#� ���� �

��������

� � � ��� �� �� � = = =

������� �(

�#� ��

��������

� �� �=

������� � ��

51��>�����������������#�1'�

��������

�� �� � � �� � ���

� ��

= = = =� ����������!

�#�A��������

��������

� � � �� � ��������� �� � ��

�= = = = =��

� � � � ��

���

��

�� �= = = =⋅

� �������� �#

5$��>��������/�������

� � � ���

− − +� ���������

� � � �− − + = − + =

+ + =

� � � �

� � � � �

� � �

�������� �*

*���������$�����������������������������-�������������� �� �����

�������?6���������9���� ��������� ��� �9���� ������� � ��� ��� �������� ��?������ �� ��/��7��� �� ������ ��?����� �������-�������������� �� ������ ���6�������������������������

"��������-H7�����������������������6����6������������������������������H7���������������� �������� ���� ����H7������/������!����������������������P���#��� �� ���������������� #��������������&

�� �������������������������� ���

M����/��������

��� �&�������� �%� � �� ���� ⋅ �%

������� �%� � ��� =

"��� ���� ��HD������� ���������

������������������ ��� � ���������6����������������������������������6

���������� ������� �(������������-���#

��������������������(�9������������#�������������

Page 19: Matemática Básica - Teoria

��������� ��������� ��

$���"�����/�����

������������

���������������-�����������������

#���

��� � �

�� � ��

� ���� �

��

��

��

= =

�#���

��� �

�� � �

� ��

��

= = =

�#��

� ��

� �� �

�� � �

� �

� �� �

� ���

=⋅

=⋅

=

Q��������� ��������������������6���������� 2 ������ ���������������-������������-� � ���!��������������������6��������H7��

�� �������������������������� � �±Q�������� �/��������������������

���?/��� ��� � ������� � ���� �� � � ��� � �Q��6�����������������������?/�� ������������������������������� ������-�������6����������

M����F�

� � � �� � � � �+ − = − =� � � �� � � � �� �

������� ������/����������������-���������������� ����� � �± � � ����������������������������������6���������H7���������3 ������������6����� ����������������������(�96������������#��������������"����

���������� � �+ →���F� ��� � �−

���������� � �− → ���F� �� � �+

���������������-�����������������

#� �� �

�� ��

�� ��� �

�+

=+

−−�

�� �

������= −−

= −� � � � � �� � � �� � �

�#��

��

�� �

� ��

−=

−++� ��

� �� �� �

�� �+�

�#���

��

� ��

�� � � �

� �� �+

=+

−−� �

� �� �

�����= −−

= − = −� � � �� �� ��� �

� ��

��������1��

#���� ������� ��� ��/������/����� 1

���� � =� ����� ���� ������� � �� ����������-����/�������� � �����1 ���� ��/�6��������� �������������

�#����������� ���

���/������/�����*

���� �� %� � R500��� � �� ���� �������-�� ���

�� ��/�������� � ��� � ���� , � ���� ���

�����������������

�#���� ������� �� �+

���/������/�6

���� $� ���� � %� * *1'5���� ���� ��� %� $�$*���C��������������-��/��

��/�����$���������������� � �� �����1C��������������������

��������� �� ���5����������-��������������

#� ���

�#� ����

��������

�&�-�.�������/�0+/01��� �� �+��� ��� ��+�0�

� � � �� �� ��⋅ = = ��/����

��

�� �

� �

���

��

� ��

=⋅

=

�������� ��

Page 20: Matemática Básica - Teoria

��������� �����������

$���"�����/�����

������������

�&�2�010�/������.������0�+/0301��

�� � � � � �� � �� �= = ⋅ =�

4������10���/0�����.�������/�0+/01�����������5

6�������6����0��6���+��� �� � ��+�0�

� � � �� �� ��⋅ = = ��/����

2

32

2

2 2

1

2

1 2

2 2

8

24 4 4

34

4 34

4

� � �

������� � ��

5*���������-��������������

#��

� �+ �#�

�� − ���������

�&�7���������� �� �� �� � � �+ ⋅ − = − = ��/���6�.�������/�0+/01�����������6�������6����0��6��+���� �− �

�� �

� �� ���� ���� ��+

= ⋅ −+ −

=��� ����� � ��

−−� �

= −−

= − = −��� ��� �

��� ���

� ��

������� �� �

�&�8�������/�0+/01���$������6�����6����0��6��&+��� �� �+ ���+�0��� �� ��� � �� �− + =

= − = − =� �� � ��� ���� � �� � �� �

��� �

� � ��� �� ��� �� ��−

= ⋅ +− +

=��

= +

−= +

−=�� � �

� �9 :� ��:�; � ��9 ;

= + = +��� ����

� ��

��������� � ��

+

51��>������

��

� ��

� �−−

+

��������

��

�� �−

−+

=⋅ +

⋅ +=

�� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � �

� �� �

��

+ +−

=−

=�

�� � � � �

������� �− � �

Page 21: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ����� !�"#�� ������������

��������� �������������M��������������?/�����������������

������������ ���H7�� � � ���� ���� � �7�� �7����������������� ������������������6�H7����������S�����"�������6����� ��6����9�������7����� ��������F��������������������� ���������H7��

>�����������������������D������ ������6�������������S������������ � �������6������ �������������������?/����

�� ������������������������+�����(�� ��#��%�(�� ��#�(�� ��#�%����B�*���B���

(�� ��#��%����B�*���B���

�������������������������������+�����

(��"��#��%�(��"��#�(��"��#�%����)�*���B���

(��"��#��%����)�*���B���

�� �����������������$������������������+�����

(�� ��&�(��"��#�%����)����B����)���

(�� ��#�(��"��#�%���"���

%� ,�-�����������������+�����

(�� ��#��%�(�� ��#�(�� ��#��%�(�� ��#�(���B�*���B���#

(�� ��#��%����B�*����B�����B�����B�*����B���

(�� ��#��%����B�1����B�)����B���

&� ,�-���������������������+�����

(��"��#��%�$��)��&�(���)*���B���#(��"��#��%����)�%����B�����)������B�%����)���

(��"��#��%����)�1����� �1�����)���

+.��������������������/��/������������������?/���������5�� (1�B�*#��%�(1#��B�*(1#(*#�B�(*#�

���������(�� ��%� �#

5*�� � � �� �

� � �� �+��

�� = ��

�� + ��

�� +�

������� �� ��

��+ +

51��(1�)�*#��%�(1#��)�*(1#�(*#�B�(*#�

������� �(��"��%� �#�

5$��� � � � � ��

��

�� �

� � ��

� � �� �

���

��� =���������������� +����

������� ��� � ��� �

� � ��� +

M����/����� ������������/��/�������������� ���������������H��������S�� ������-������ ����S��� �P6�������S�������������������

5,� (1�B�,#�(1�)�,#�%�(1#��)�(,#�

������� �(���"�%<

5'�� �� � ���� � � �� � � ��

�+ = −� � � ����������#<�"�#���#�

5R� (�B�*#��%�(#��B�1(#��(*#�B�1(#(*#��B�(*#�

����������� �'�� ��*� �A

5A��(*�)�*#��%�(*#��)�1(*#��(*#�B�1�(*#(*#�)(*#�

���������=��"�%#�� �%#�"�=

Page 22: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� $������������������

��������� �����������������T��������������7��� ���������6

��������������������� ������������6����C� �������� �������7�� �� ������ �����������7�����

# ��F�����/������!��������7����C�# ����F�������������������Q��6

������������ ���������������������H7����������������?/���

U?���/����� ����������� ����H7������������������� ��� ���������� �� �����������D����7������?/����

� � �����"�"��/���� �����P����� �� ����� ���

��F������������ ���������������C����� ��6�������������/�������������������� �������������������7�������������6�������������� ������

M����/������������������# ��B���%���(�B�#

�# �� � � �� � �� � �� �� � �+ = +� �

� � 0!����"�����/����������������������������S��

����������� ���������������� �������������������PF����������� �����6 ��� ����������������������/�������

M����/��

� � � � � � � �

� � � � � �

� � � �

+ + + =

= + + + =

= + +

� � � �

� �� �

� � &�1��������2�������V����-��������H7���������������

�������H������������ ���������������6���������������H� �������������S�����F�� �������� ���P� ���������� ������"����H7��� ��������������������D���������6���������� �������������

�:# ����=������=-�������������������������������������S��C

*:# ��/�������������������������������������C

1:# �����/������������7���������6����� �� ��� ���� �������H� ���� ��/����S����������������

���� ������ � � �������7����� )���� �������������� ����������

� � � � � �� �� � �� � �= +

� � (���3"�2���������1���V� �������7�� � ������ ����� ���

�������������������S����������������6���������������������������������������������H��������������S����

���������� ��� ����S�����B�$��B�$����������������� ���/�-������������������ ��� ��+ �

87� �������� �����S���������������6������� ����� �� �������D��� �� ���� �� �� ��± + � ����?/������� ����� �� ���6����

� �� � � �

� �� � � �

� � �

� � �

+ + = +

+ =

� �

� � � �

Page 23: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� $������ ������������

+.���������������T��������������D��������

5�� � � �

� � � � �

� �

�� � �� �

� � � �

+ + + =

+ + +

� �� �� ��� ��

� � � �

������� ��� ������ �� + +

5*� � �� ��� ��

� � � �� � �

� �� � �

� � �

� �

� � � � � �

��� �� � �� ��+ =

+ =

������� ��� ������ � ��+

51� �� � ��� �� ��� � ��

= −� � � ��

������� �$%� �#�&�$%�"�#�&

5$� � � � � � � �� � � � �� � �

�� � �� � �

� � �

� � �� � � �

�� �

+ = =

=

������� ��� ���� � ���� � ��+

5,� � �� � �� ���� ��� ��+ + = + +

������� ��� ���+

5'��� � � � � � ��� � � � �� � � � � �� � �� = + +

������� ���� ���� �+

�� +���.���������������/�������#��0�-#�0��8���������F����������=-����������

����S�� ����B���B�1�(��≠ �5# ���-��������

���B���B�1�%���(�)��#�(�)��#

W����6�������������=-�����������6H7����� �� ����� ������������ ���������/������O�������XP�Y��

(� ��

� ��= − ± = −Δ Δ�

��� ����� #

���������������������,�-��8���������������������������S����B��

���������S�����)���B��� ������������ ����������/��/������

(��B��#�(���)����B���#�%%����)�����B�����B�����)�����B����⇒

(��B��#�(���)����B���#�%����B���

"��� ���� ��������������������6��������)����������B����B��� �����������)����

M������������������/��/������������������?/������������������������������ ���������������������������H�������� ����6���� ��/������������������6���������������������

"��� ���-�������

���B����%�(��B��#�(���)����B���#

��������������������������

���)����%�(��)��#�(���B����B���#

+.���������������T��������������D����� �������5�� *��)��5�B��*�%�*�(��)�,�B�'#������� �%�$�"�)&�$�"�%&

5*� ��)�$�)�*�������� �$� �)&�$�"�*&

51� ��B�A�%���B�*�

������� �$� �%&�$��"�%� �#&

5$� ���)�A���%����)�(*�#�

������� �$��"�%�&�$��� �%��� �#��&

Page 24: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�&��

$���"�����/�����

������������

�������� �������!�"�� 1������������/���������� � ���������-�

>������/����/����0��?@�%AA�AA,

���/��������������������� �������������� �������������������������6���� ������/����������������� ����� Z���������������������������������������������������/������

"��� ������/��������� ��������[���555 55

�����-7�����EE�EEE �������������������6

������������������������������H7�� �����55�

���������

�EE�EEE

�E�EE

=

Z������������ �-7�� �E�EE

���-��������

������� �����������[��55 55 ����������������������[�*5 55���������������������������9��������������55��������7� �����-������������������\]ZZ�������������������� ��������������������� ����

�� �������������� ��������H7�����������6

������������ ������F �������H7�������6�������� �55�� ������������ �������6 ��������=�����^�����6����3���������4�

��������� ����H7�� �E�EE

�����������6

� ����������������������������*5^�

�� /�����������$_���������������������������6

������������� ����������� �R,^���������������������������������5 R,�

��� �����

� ��= = �

�� ��������� ���������� ��������������������� ��+^���

8 ��������������������H7�� �@EE

�����8�

p Vp

V� �� = ⋅���

�������

��� ��� �����

��� �� �`a = ⋅ = b

+.���������������5�������/����������������9��������6

������ �������������� ����# *1^ �#���15^��������

�� ��� �����

���= =

�� ���� ������

���= =

������� ��&��A�%)���&����)

5*� (T�/���68�#��(�5^#��%# �55^ �#���^�# *5^ �#��5 �^�# ,^

Page 25: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�& ��

$���"�����/�����

������������

��������

������� �-

51�2�������������������������������c�����������6��B�������+��1�����/��������+�/��6�30�05

C�����������

��

� ���= ⇒ =

���6��������3�����

����� ��

������= = =

������� �=AB

5$�2�������*1^����*55 555c��������

��� �� ������ �����

������ D���= ⋅ =

�������� �#! AAA

5,��������������������� ������6���6�������'R^����������������������������� �����+]��8��������H7������,'�555�P������� ������������������6����������� �c

��������

��� �� ����� ����

����� � �E�= ⋅ =

������� �)*�<%A�+������,

5'�2�������*5^����R5^c��������

��� �� 9�� �����

9����

��� F ��= ⋅ =

������� ��#B

5R� (]�����#���M� �?��������������������6/����8�G������*AdRd00 �����������7����/�6����������AA����PD����������������H������V��7����������������������89�� �����6H7� ����/����������������

8�����$'����PD����������� ������������6/������� ������ ��������� �����������������������������������,5^����������6�������!��9�� �$5^�!�����H7��������5^��������� ��������������������������������89��������# ������C�# ��������� � ������H7��!�������6

H7�������� ��������������������

�& �����

�� ��⋅ = ��0/HI���6�����0�

�&����

����≅

5A� (V����68�#�>��������� ����01�������7������������������� ������������������6������ �������������������������������6�����8����P����������������������01������������������Ad0��������/�����������������/�������������7��������������1,�555� �

# >��������/�������������01�������# >������ �� /�������� ���� ����� ��

01������������������*^��������/�������������������=������3�����-�4 � ���������� e��� ������������

��������8���.�/��������/�6��������

�& � ����� ���− = ⇒�� ���

�� ����)<�AAA

⇒��8���(�'��)<�AAA��⇒��8�����%�<�AAA���

�& 8��� ��������%B�6��8���A�A%�'���%�<�AAA����%#�)AA���

8������ �������8�"�8��� ������������%�<��AAA��"��%#�)AA���

�������(A�*AA���

Page 26: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�&��

$���"�����/�����

������������

&��2����>P������ ������ ���� ����H7�

������������������/������������H���6���������H�����/�����������H�����������

W�����%����H�����/����)����H�����������>��������������H���F��� ��/ �������?

�P���� ���3 %��&"��� �������������/���

4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�,4��C��6��1�����"�+��G�J�����+��C��6��.��6�,

������������������ �������� ������������� ��������������

������������������ � ����

������������&�55^

�������������� �� ������

�������� �� &�55^

���������� *�"�����?���������������������������������F�=-��

�������V������������������������[�,55 55

��/�����������[�A55 55������6���# ���������������������H7�C�# �������� ����������������������H�

��������C�# �������� ����������������������H�

���/����/���� ���# W�����%�A55�)�,55�⇒�W�����%��[�155 55

�# LC = = =�EE�EE

E �E �E��

�# LV = = =�EE�EE

E ��� �� ��L L

+.���������������5���V���F����������[�R, 55�����/������

�����[��55 55�����������

# �������� ����������������H7������H����������C

�# �������� ����������������H7������H�����/����

��������4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�*<� �/�1�����AA��1�����?@�%<�AA

�&�����

���� � �����KLLM NNONNM⋅ ≅

�&�����

���� � �� � ���

enda⋅ =

5*� (�V>68�#�M����H�����/������������������������[��55 55��M��������������� �P�����*,^������������H��������������������M�/����������H�������������

# �[�*, 55 �#����[�A5 55�# �[�R5 ,5 �#����[��*, 55�# �[�R, 55

��������P��H����/�1��

��������� � �����

KLLM ��M⋅ = �⇒

⇒ /�1�����A�%<�'�$+��C��6��1����&4��C��6��1����� �/�1�����+��C��6��.��6�4��C��6��1����� �A�%<�$+��C��6��1����&���+��C��6�

.��6���%<�'�$+��C��6��1����&����AA4��C��6��1�������?@�=A�AA������� �-

Page 27: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�& ��

$���"�����/�����

������������

51� (>�� �����6�.#� .�7��/����������� �?6������������H���� �����V�����������/������������������*5^������������H��������������������������F�=-�����*5^������������H�����������Q������ ������H7������������/����6�� �.�7��

#��������$^��#��������*^��#��������$^��#��������*^��#��7���������������������������QH����6������R60���6������%�������4.����4.����4S���/�����1�6�6����%4

���

���� ����

⋅ =

�����A�%�41�

4��� ������4.�

41�� �A�%�41����4

41��������

��������

�� �

=

4��G����%AB�41�

41��"�4��G�J������4.�

41��"�A�%�41����4

41��������

Q�+0��/�0�.���06�����41�� �41��������

����

�����+ =

Q�+0��/�0�.���06��������� T

Q�+0��/�����1�6�6����%+��������

Q�+0��/�����1�6�6��U�1�+0��/�0�.���06��∴���.��+��5

G�J���$+��6��&�����

��������� ��� ����� �

����

����

�����

���

��= = = =

������� �Q

'� 3������� ��������$>�������������/�����������8�������/�

������������������+^��������/�����>P6������� ���/���������������8����/����O��������������7�

�%�+^����8�%� �@EE

�&�8

8��%�8�B� �%�8�B��

@EE�&�8

8��%� @ @EE+������

��&�8

������ @@EE

+������

� �������������������

��������

Valor

inicial

50

40

70

Aumento

percentual

24%

5%

250%

Fator de

aumento

1,24

1,05

3,50

Valor

aumentado

1,24 · 50

1,05 · 40

3,50 · 70

*� ��������� ��������$>�������������/�����������8�������/�

���������������������+^��������/�����>P6�������-���/������������������8����/����O�����������������7�

-�%�+^����8�%��@EE

�&�8

8��%�8�)�-�%�8�)��@EE

�&�8

Vp

VD = −������ ⋅@

@EE

������ @@EE

−������

� ����������������������

Page 28: Matemática Básica - Teoria

Capítulo 05. Porcentagem28

Matemática Básica

PV2D-08-MAT-11

Exemplos

Valorinicial50

40

70

Descontopercentual

24%

5%

1,5%

Fator dedesconto

0,76

0,95

0,985

Valordescontado

0,76 · 50

0,95 · 40

0,985 · 70

Exercícios Resolvidos01. Dado o valor V, exprimir em função de V:a) o valor de um aumento de 20%;b) o valor após um aumento de 20%;c) o valor de um desconto de 30%;d) o valor após um desconto de 30%.

Respostaa) 0,2 V c) 0,3 Vb) 1,20 V d) 0,7 V

02. (Fuvest-SP) Aumentando-se os lados ae b de um retângulo de 15% e 20%, respectiva-mente, a área do retângulo é aumentada de:

a) 35%b) 30%c) 3,5%d) 3,8%e) 38%

ResoluçãoÁrea inicial: a · bÁrea final: 1,15 · a · 1,20 · b = 1,38 · a · b = 1,38 · área

inicial ⇒ aumento de 38%.Resposta: E

03. Uma empresa admite um funcionáriono mês de janeiro sabendo que, já em março,ele terá 40% de aumento. Se a empresa desejaque o salário desse funcionário, a partir demarço, seja R$ 3 500,00, com que salário deveadmiti-lo?

ResoluçãoVA = 1,4 · V3 500 = 1,4 · V

V = 35001 4,

= 2 500

Resposta: R$ 2 500,00

04. (Vunesp) O dono de um supermercadocomprou de seu fornecedor um produto porx reais (preço de custo) e passou a revendê-locom lucro de 50%. Ao fazer um dia de promo-ções, ele deu aos clientes do supermercadoum desconto de 20% sobre o preço de vendadeste produto. Pode-se afirmar que, no dia depromoções, o dono do supermercado teve,sobre o preço de custo:

a) prejuízo de 10%.b) prejuízo de 5%.c) lucro de 20%.d) lucro de 25%.e) lucro de 30%.Resolução

V x x

V x x

A

A

= +FHIK ⋅ −FH

IK =

= = +FHIK

1 50100

1 20100

1 2

1 2 1 20100

,

,

Então, lucro de 20%Resposta: C

8. Aumentos e DescontosSucessivosConsideremos um valor inicial V, e vamos

considerar que ele irá sofrer dois aumentossucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor apóso primeiro aumento, temos:

V Vp

111

100= ⋅ +FHG

IKJ

Sendo V2 o valor após o segundo aumen-to, temos:

V Vp

2 121

100= ⋅ +FHG

IKJ

V Vp p

21 21

1001

100= ⋅ +FHG

IKJ ⋅ +FHG

IKJ

Page 29: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�& ��

$���"�����/�����

������������

8�����8���/���������� �/����������6�������������?������������������������������6/������+�^���+�^�

8�����8����/�����O������������������6�� ������

� ��

�@@EE

� � �������

8�����8����/�����O������ �����������6�� ������

� ��

� �

�@@EE

= ⋅ −������

� �� �

� �@@EE

@@EE

= ⋅ −������ ⋅ −���

���

8�����8���/���������� �/����������6�������������?�������������������+�^�� �������/���� ���������������+�^�

8�����8����/������O��������� ������

� ��

�@@EE

= ⋅ +������

8�����8����/�����O������������ ������

� ��

� �

�@@EE

= ⋅ −������

� �� �

� �@@EE

@@EE

= ⋅ +������ ⋅ −���

���

+.���������������5�� (N�Y��-��)8�#�V�����������/���

�����������������H�����'�^���/������*������� �������/���

8�����f���������������,^ ����7����*:��������# 1A^ �# $$^�# $5^ �# $'^�# $*^

���������W� ������

� � ��

= +���� =@ @�

@GG@ @��

%W� ������

� � ����

����� ������

= +���� ⋅ =

� ����

��+ =

� ���=

������� �X

5*� (T�/���68�# �X��������P�����?��������������F������������������������A5^�������A5^�����/������8�����?����������

# * ,' �# * '�# � ' �# 1 *$�# �B��'5��������

� � �����

� �����

��

= +���� ⋅ +��

�� ⋅

�������=�'���=�����)�%#������� �Q

51� (]�����# V� ��������H7�� ���?��������������������������,^�����������O������ �����������������������������H7������������V�����������������������������555���������������H7���"�������������� �����������������������������?������ ������/�����������O���� ���

# ��555�B�5 �,� ���# ��555�B�� �,�

�# ��555�&�5 �,� ���# ��555�&�� �,�

�# ��555�&�5 �,�

��������

� ��

���� = +���

��� ⋅ = ⋅

= +������ ⋅

� �

���� � ��

���

�������

��

������� ��

Page 30: Matemática Básica - Teoria

��������� �������%�&��

$���"�����/�����

������������

5$� (�V>68�#�������������������/������*5^��15^��7������/����������9�����������������

# *,^�# *'^�# $$^�# $,^�# ,5^��������

� � �����

� �����

��

= −���� ⋅ −��

�� ⋅

8����A�=�'�A�*�'�8���A�<!�'�8

8����A�<!�8��� ������

−���� ⋅�

��0�����.�/���6��6��1�����Y�##�B,������� �Q

5,�� (T�/���)8�#�"����������������/�����������������������15^������6H7��������/�������������������8��8������/������������������������� �������/���������/��������?�

# (5 R#��8 �# (5 1#��8�# (5 1#��8 �# (5 1#��8�# (5 R#��8��������?�/�10����6����.�/���6��1�������Y����0��.������

����������W������8���%W������A�*�8�$60�0��0C���6��)AB&���)W������A�*�'�$A�*�8&���$A�*&��8

���#W������A�*�'�Z$A�*&��8[���$A�*&��8���<W������$A�*&��8���!W������$A�*&�8���*W������$A�*&��8���=W������$A�*&��8������� �

5'��(]�����#�M�����������������������������������������������������������������(���H����������#������������/����6��������������,5^��"���-���������������6HD�� � ����������� ������������ ������������������������*5^������������H�����/����������������������6����������� �������������HD�� � ���������� ����������� ��/� �����������H�����������

# ���F�=-������5^��# ���F�=-�����,^��# ���������*5^��# ���������*,^��# ���������15^�

��������

� � �����

� �����

� ����

� ���� � �����

= +���� ⋅ −��

�� =

= = ����

�������/�1���6��%AB���������Q

Page 31: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

��������# $%�������&����������,���������67��������� �%"�����������M���9�����5 �� �* �1 ��������������F��6

��������9�����������������������������������=�����Q�

"����������

Q�%�g5 �� �* �1 ����h

�������������� ���F����������9������������7�6����������Q��

"����������

Q��%�g� �* �1 ����h�%�Q�)�g5h

� � �%"���4������M���9����� ��� �)�1 �)�* �)�� �5 �� �* �1 � ���

���������F����������9�������������������������������������=�����i��"����������

i��%�g��� �)�1 �)�* �)�� �* �1 ����h

�������������� ���F����������9��������������7�6����������i��

"����������

i���%�g��� �)�1 �)�* �)�� �� �* �1 ����h

M����/����� ������������HD���

� i������F�������������������7�6�� ��/���

i��%�g5 �� �* �1 ����h�%�Q

� i������F�������������������7�6������/���

i��%�g��� �)�1 �)�* �)�� �5h

� i�������F������������������������/���

i��%�g� �* �1 ����h�%�Qj

� i��������F�������������������� ��/���

i����g��� �)�1 �)�* �)��h�

� � &��������"�%"��4�����8�F������ ������9����������������-��������� ��������� ����� �������������9����\ �������� ��������

��&�\�%��

��-��������1�����/�����������������, ���������������9������������\�(���������\�%�,#��������

1�&�\�%��,

��-��������$�����/����������������)�*$ ���������������9������������\�(���������\�%�)�'#��������

$�&�\�%�)�*$

��-��������5�(-���#�����/����������������5(-���# ����������������9������������\� (���������\�������������������9�����������# ��������

5�&�\�%�5

Q�������� �5� (-���#��7������/��������, ������7�������������������\ ��������

5�&�\�%�,

M����/��������������/����������������9������������\ ������������/������������9������������\��������

��&�\�%�\

Z���������������(�#������������������������������9��������������

M����/����� ������������HD���

� D+* �(�#����/����������������������/���(����6

�����#�����9��������������

� D–* �(�#����/������������������ ��/�������96

��������������

������������8��������7�6����D+

* �(�#�%����(�#���D–* (�#�%���(�#

Page 32: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

� � $%���������"�%"��4�����8�F�������������9�����������������-�6������������4�������������������������9����\ �������� ��������

��%�\�&��

��-���������*���9����������1 ���������������9������������\�(����������\�%�$��������

1�&�\�%��*

��-��������)�*����9����������R ���������������9������������Y�(����������\�%�)�1# ��������

)�*��%�R�&�\

M����/����������5�(-���#���9����������9���� ��������\ � ������������ ��F�\ �����������������������/���

5�&�\�%�5

Z�������������N(�# ����������9��������������������9��������������

M����/����� ������������HD���� N��(�#��9�������� ����������7�6�� ��/��

(���������#�����9��������������� N�� (�#��9�������� ����������7�6������/��

����9��������������

� M –* � (�#��9�������� ���������������/�����

�9��������������

� M –* � (�#��9�������� ����������� ��/�����

�9��������������

� �����������%"���4��������-�����������9����������������������

����������� ���∈�N(*#��8���� ����7� ����9����������* � ���������� ���� ��������������������9���������

��%�*\ �������\�∈�5

��-�����������9����������������%������ ������������ ���∉�N(*#��"����� ��������������������9����=�����

��%�*\�B�� �������\��∈�i

� # �%"������"���"����V��9�������������������4���� �����,

��������������H7�������/�����������������/���������� 2 ��� ���������&

+��������⇔���k�(+#l�%�$

V��9�������������������4���� ���'�������������������H7�������/���������6���������/��������� 2 � 2 ��� ����������

������������⇔���k��(�#l�;�$

��������P�������������9���������6� ���/������/����� ������9��� � �������6/���� ��������9������������* �1 �, �R ��� �1 ��R �������������������������������������� �������/������8��������7���7����/�������������/��7����� ���-�����������9����������

��������#������P�����������9����'R1��������

Q�9������/��7� �������������F?���������������/������������7������/������/��7���� �����������'R1������9���������

Page 33: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

�#������P�����������9����10���������

Q�9��������H7� �����/��������6/��7����� ���������10������ �����9��������

��������1�� 6��������#�M���9�����)� �5������7���7����������6������������������������9�����������*#�+�����9�������������������������6������������������������������������������

� ' &�����5�������0���"6�����������/�����������������9��������6

/��=/������������ ���������������H7�������6/��7��������� ����� �����������������������6��������P��������/�����������������������96�������������H������/��7���+��������������� ����� ��� ���������� ����� �������/������ ����������/�������� ����

� �������������� ��� ������9��������/��=/������*��������������

� �������������� ��� �� ���9��������/��=/������1 ���������������� �������������������9����������1�

��������#�A�$*������/��=/�������1 ������A�B�$�B�*�B���%

�,�����9����������1�

� �������������� ��� ������9��������/��=/������$ ����������9�������������������������9������� ���������������������/�6�=/�������$�

�#�*�R*$�����/=��/�������$ ���������9����*$����/��=/�������$�

� �������������� ��� 7� ���9��������/��=/������, �������������� �����������������-�������������

� �������������� ��� 8� ���9��������/��=/������' �������������/��=/�� ��������6�� �����*�������1�

� �������������� ��� 9� ���9��������/��=/������A ����������9��������������������9������� ���������������������/��=/������A�

�#�**�:�������/��=/�������A ���������9���R�*�����/��=/�������A�

� �������������� ��� ;� ���9��������/��=6/�������0 ���������������� �������������������9����������0�

�#��A�R�������/��=/�������0 ��������B�A�B�R�B��%��A���9����������0�

� �������������� ��� �<� ���9��������/��=6/��������5 �������������� ����������6��������-����

� �������������� ��� ��� ���9��������/��=6/��������� ���������������H�����������6������/�������������������� ������������H7��=����������� �����������6��H7�����������/��=/����������

�#�A1�R',�����/��=/��������� ��������������H���������� �������������H7��=���(,�B�RB�A�%�*5#������������ �������������H7����(1�B�'�%�0#������9������/��=/����������

Page 34: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

� �������������� ��� �������9��������/�6�=/��������* �������������/��=/�� �����6����� �����1�������$�

� * ���������"6����+�������9�������������������������6

�������������������������������9�����������"��� ����� ������ ����9����05 �����7�������� ������������������������

05�%�*�&�$,

M��9����$, ��������/�- ������������6�� �����������������������

$,�%�1�&��,

����� ���� �����=��� ��������� ��9����05����������H7��

05�%�*�&�1�&��,

8��������9�����,��������9���������� ���������������?6�����/������� ��������������

�,�%�1�&�,

+����� ��������� ������H7�������6������9����05�

05�%�*�&�1�&�1�&�,

>��������������� ��� �����������6������������ �������������H7�������9�������������������������

/��������������������9����������������������� �������/����������96������������������������/���������C��/�����������������������������������6������/���������C�������������������� ��������������������������6��������P� ������������������ ������M��������������������������������������������������������������9�������6����

��������

05�%�*�&�1��&�,�������155�%�*��&�1�&�,��������R*�%�* �&�1�

� 7 �%"����&����������"�%"���������>�������������9�����*���������

���������������������D����� ����

�*�%�*��&�1�

��/�����������*�*��&�1��%��*��&�1��%�1*��&�1��%�**��&�1��%�'*��&�1��%�$*��&�1��%��*

�(�*#�%�g� * 1 $ ' �*hM����/������������9��������������7�

��/������������������9���������� �*� ���������������������������-H7�����������������������*���1��M�����������* ������6���������������H7����������������* ������/���������������������������������5 �����* ���������������������HD�����������������=����/��������������� ����������1 ��������������������H7�������������6���� ����������������� �������/������ ������������5����� ��������������������HD���Q�������������������HD��������������6�����������*���������HD�����������1�� ���������=��������������/���� �� ����� ����6 ������ �������� ������

Page 35: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

����������'���/������������������9�6�����������*�

��/���������/� ���� ��������9�6��������HD�����������������������/������������������������

"������������������/��/��������������������������� ������������H7�����9���������/��������������������9���������

/����� 4���� �� ��������� � ���� �����9������������� �������������������6����������������������������������6�� ������������ �����9������

"��� ���� � � �α β γ⋅ ⋅ ����� �����1������ �����

��k����(Q#l�%�(α�B��#�(β�B��#�(γ�B��#

>��������/H7��������� �����������������9���������/������� ��������������9���� ������ �� �� ������ ��� �9���� ����/������������� ��������������/������6�������������������/��������������������������������/���������������������� ��/��

"����

�k�(Q#l�%�*�&��k���(Q#l

�������>������������'5�%�*��&�1��&�,�

+�����������9���������/����������6�������'5���

�k���('5#l�%�(*�B��#(��B��#(��B��#�%��*

+������� ���������������������� ����96���������/�������������������'5���

�k��('5#l�%�*�&���k���('5#l�%�*�&��*�%�*$

� �� 8"���&����������"�%"���������]�� � �����/�- � �������������9���

�*��������������� ������F ��*�%�*��&�1��M����/��� ���� �����������/��������6���������������������������

*��&�1��%�� *��&�1��%�* *���&�1��%�$*��&�1��%�1 *��&�1��%�' *��&�1��%��*

]��������/��/�������������

(*��B�*��B�*�#(1��B�1�#�%�*��&�1���B�*��&�1��B�*��&�1��BB�*��&�1��B�*��&�1��B�*��&�1�

Q7�� ���� ���=���� �����/���� ���� ��������������������������/����������6��������9�����*�������������������������� �� ������������H7���� ��������/������� ������� ��� ���9���� ������������PF�������������������P��������������/�������

/����( ���� ��� ��������� � ���� ������96���� �� � ��� ���������� ������ �� ��������������� ����������� ����� ���������������������������������������/6������-��������������������������������� ��� �������� �� ��������H7�����9����������

"��� ����Q�%� � � �α β γ⋅ ⋅ ����� �����1����6�� ������

���k���(Q#l�%

(���B����B�����B��α#(���B����B�����B��β#(1��B�1��B�����B�1γ#

>��������/H7��������� ������������������������/����������������������96������������������-��� �������������/�������������������/������������������6������/����� ���������������/��� ������� ��/� ������� �������������

���k��(Q#�%�5l

Page 36: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

�������>������������'5�%�*��&�1��&�,��&"����������/�����������������'5���

���k���('5#l�%

%�(*��B�*��B�*�#(1��B�1�#(,��B�,�#�%��'A�

"����������/�������������������'5���

���k��('5#l�%�5

� �� &����"�������&����������"�%"�������������������H7��������������� � ����

�� � 4���� � ��� ���/�����������96���������������������-���������������������������������������������������/��6�����-��������������������������������������� ���������������������H7���������6������ ����� �� ����HD�� � ������� ����������/������������������9���� �������������������������������������������6����� ����������������������� ��

/������� ������������������/������������9���� ����� � ����������� ��/��������������9���������������������!������������ ����H7������������6H��/��������"��� ��� �����������������6�����������H���������������������� ���9�������M���������/�����������9��������7������������������������� ���6���������6�������������������������������7��!��������������H���������9�6�������� ���7�� !�������� �� �������� ������ ��/�����6�����������HD���

���������������������/������������������96

����������'5�

��� �����������M��9��������������/������������9����

������� ��������� �����������������������7�������9����������������������������� ����

= ����������� �

8�����9����������4���/������������9����������6������������� ����7��(4�)��#��9����������6�

" ��#������

��������(4�)��#���9����������6�

�������

= ����������� �

8�����9����������4���/������������9����������6������������� ����7��4�B�(6�)��#����9����������6�

" ��#������

"���������6���(6�)��#����������������� ������Z ��������

4�B�(6�)���#�%�6�&���B���B�(6�)��#

4�B�(6�)��#�%�6�&���B�6

"����4�B�(6�)��#�%�6�&�(��B��#

������� �4�B�(6�)��#�����9����������6�

Page 37: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

�������

= ����������� �

8�����9����"���9�������������9���X ����7�����9����"����?�9������������6���������/����������X�

" ��#������8�����"���9����������X ����������

"�%�\�&�X ������\�∈�i�(Z#�

8�����������/����������������X ���������

X�%�\��&�� �������\��∈��i���(ZZ#

8������������(ZZ#���(Z# ������

"�%�Y�&�Y��&� �������Y�&�Y��∈�i

������� �"�����9�������������������M��9����1'� ��9�����������9�����*

�����1'�%�1�&��*���1������9�������������M���/������������������*��7���� * 1 $ '����*�

������������/����� ������� �1'���9�6��������������������/�����������*�

= ����������� �

��������F����� ������9��������6���� �7�6������ ���������/�� � �������� �9������������

" ��#������>������������ ���m����������9����

��������7�6������

� * � $ , 8 R A ; �5 �� �� �1 �$ �7 �' ���

M����/�����������9������������9���1������������������������������m��������� �������� � �������� ���F����� ��� �����9��������������/���/���������� ������6������� ���9����������1�

����������������� �������� ���������9����������� �����������������������

+.���������������5���(T�/���68�#�M��9���������/���������6

����/�������9����$5���# A �#��*�# ' �#��*5�# $��������] -�1��+���#A����3�������+�0���

] 6010����6������1�6���+������)� �� �� ��

������# %] �3�����6������/�0+/01�C��

#�'�%���=������� � #A�����=�60.0�����,5*��N��������� �������/��7��������9�6

���������� ������������/� �����,��?�������� ���7��(��)��#(��B�$#���9����������*,�

�����������������������

4�/���4��+�0�6�6���6���-0.0������] ��"���Y��^/�0+/��6��<�������������"�����<�_����$�&] �� �$<�"�&�Y��^/�0+/��6��<������� �#���<�_�����$%&`�/�0+/01��6����+�����

$��"��&$�� �#&���<�_��'�<�_�

$��"��&�$�� �#&���%<�_��'�_�

_��'�_����_�����$��"��&$�� �#&���%<�_

��0���$��"��&$�� �#&�Y��^/�0+/��6��%<,

Page 38: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

�� (7#������5�����,����M�?������/���������(N�>#���������������9��������������9�����������/������������ ����������9������6����

������� ������������� ���m����������������������������/�������?��6����/������������������������9��������/��������� ��� �����������

>������������� M��9�����A�������������/��������������

���(�A#�%�g� �* �1 �' �0 ��Ah�

*� M��9����*$�������������/��������������

���(*$#�%�g� �* �1 �$ �' �A ��* �*$h�

��������������/�� � �� ������/��������������A���*$�

���(�A#�∩����(*$#�%�g� �* �1 �'h

M����/���������/������� ����� �����6����������������������/�������������9������A���*$ ������F�

N�>�(�A �*$#�%�'�

%� (8�����(!$���$��,����M�=����9�����������(NN>#���������������9���������������9��������6��/������ ��9������� ������� ���������9����������

������� ������������� ���m����������������������������/�������=��6��9��������������������������9�6��� �����/��������� ��� �����������

>������������� M��9����'�����������9��������������/���

�+� �('#�%�g' ��* ��A �*$ �15 �1' �$* �$A �,$ ����h

*� M��9����A�����������9��������������/���

�+� �(A#�%�gA ��' �*$ �1* �$5 �$A �,' �'$ ���h

�������������/�� � �� � ���9�������������/���������

�+� ('#�∩ �+

� �(A#�%�g*$ �$A �R* ����h

M����/�������9������������� �����6��� �������������=����9������� ��������9�����'���A ������F�

NN>�(' �A#�%�*$�

&� (�,���((,���$��(9������������������1��$�������������������N�>�����NN>���

/?����� ��9���� ���/����������� ���������9������������������"�O����������6�������� �����������������������

�# M�?������/���������(N�>#�����9������������������������������������������!������HD������������������6�������������������������������������������������/����������HD���*# M�=����9������������(NN>#�����9���������������������������������������������������������HD�� ����������7� � ������������ ������������ ����6�����������������������������������������������/����������HD���

��������>���������������9����� �X���Q �F?��6

�������"�%�* �&�1�&�,�

X�%�*��&�,�&�R>�%�*��&�1��&�,

+����������N�>�( �X �Q#�%�*��&�,���NN>�( �X �Q#�%�*��&�1��&�, �&�R�

Page 39: Matemática Básica - Teoria

Capítulo 06. Múltiplos e Divisores 39

Matemática Básica

PV2D-08-MAT-11

6. MMC e MDC pelo Métododa Fatoração Simultânea

Podemos determinar o MDC e o MMC dedois ou mais números pelo uso de um pro-cedimento que prevê a fatoração simultâ-nea de todos os números dados.Para este procedimento, inicialmente, de-compomos, simultaneamente, os números,dividindo sucessivamente pelo menor fa-tor primo e, no caso de algum número ouquociente não ser divisível pelo fator pri-mo, o número deve ser repetido noalgoritmo. Obtemos o MMC multiplicandotodos os fatores primos da decomposição.Podemos, à medida que efetuamosfatoração simultânea, ir assinalando quaissão os fatores primos que dividem, ao mes-mo tempo, todos os números ou quocien-tes. Obtemos o MDC multiplicando todosestes fatores assinalados.

Exemplo

Consideremos os números 2 520 e 2 700:

Teremos que:

MDC (2 700, 2 520) = 22 · 32 · 5 e

MMC (2 700, 2 520) = 23 · 33 · 52 · 7.

7. MDC pelo Método dasDivisões Sucessivas

A determinação do MDC pelo método das di-visões sucessivas é um processo desenvolvi-do por Euclides e consiste, basicamente, emdividir o número maior pelo número menor.Se a divisão for exata, o MDC será o menornúmero. Porém, caso a divisão apresentarresto diferente de zero, devemos dividir o me-nor número pelo resto e, assim, sucessivamen-te até chegarmos a uma divisão exata. O últi-mo divisor será o MDC dos números.

Exemplosa) Determinar o MDC dos números 252 e

140.

MDC (252, 140) = 28

b) Determinar o MDC dos números 330,210 e 165.

Tomemos, inicialmente, os dois maioresnúmeros:

MDC (330, 210) = 30

Posteriormente, tomamos o terceiro nú-mero com o MDC dos dois primeiros:

MDC (330, 210, 165) = 15

Page 40: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

4� ���������������(�,�����((,]��������/� � � �� ��� ����������6

�������N�>���NN>��������������������������-H7��

����������� �

N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X#�%�"�&�X

" ��#������>���������������9�����"���X�����6

����������������������

� � � � � �

� � � � �

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

α β γ δ

α β γ δ

� � � �

� � � �

������?���������N�>�(" �X# �������������������������������������������C������?���������NN>�( �X# �������������������� ����������7������� ��������6����������������]����������������������������

α��< α� ��������α�����N�>���α�����NN>�α��;�α� ��������α�����NN>���α�����N�>�

Q����������"�&�X �������������?���������(α��B�α�#��Q����������N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X# ����������������?����������(α��B�α�#�

T-�����������������H7����� ��6�������������� ������������ �/���������������������������� ����������������6����� ��������D�����������������9����"���X ����D� ���� ��������������N�>����NN>���������9������ ���������

N�>�(" �X#�&�NN>�(" �X#�%�"�&�X

����������� �

N�>�(Y�&�" �Y�&�X#�%�Y�&�N�>�(" �X#

����������� �

NN>�(Y�&�" �Y�&�X#�%�Y�&�NN>�(" �X#

����������� �M����/����������������������������96

�������������7�������/����������N�>����6�����9�����

����������� 7M��9�����������������������������96

������������ �7�� ���9�����������NN>��������9�����

����������� 8������9����� �7�� ������������������

��� ��������N�>������������ ������M���9�����,���R��7���������������� ���

����$���0 ������N�>�(, �R#�%�����N�>�($ �0#�%��Q��������� � ��� ��������9����� ��F�������������� ��7����������?���������������6F�������

����������� :������9���������������������/����7�

����� ��������������������������� 9

������������9������������������� ��NN>�������������������

+.���������������5�������������HD���������S��������6

������������������� ������� �6-����� ������?����� ������������V� ����� ��������������������A5�������C����������P����������������������������6������������������������������e�������6������/������������

����������G��� ���X����1��+��0CI��, �+��������0������������������^/�0+/���6��=A�X�+��������0������������������^/�0+/���6��(A,8�����������̀ `Q�$=A��(A&

``Q�$=A�(A&���*%A��0�

4�����6��+����H�������G�G

��= ���n

Page 41: Matemática Básica - Teoria

��������� '(����� �)�#� �� ��

$���"�����/�����

������������

������� ��+���06����0��/�a������1����������1�6���%�H����,

5*��8�F�"���X���?������/������������=����9������� �������1'5��� 155 ��������/���������7������������"X�/��

# *��1��, �# *���1 �,�

�# *��1��,� �# *��1���,�

�# *��1 ��,

��������

��� � � �

��� � � �

� � �

� � �

� � �

� �

� �

� � �

� � �

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

� �������� �Q

Page 42: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

��������' (��������)�������1�������>������������������������������6

�� ��N��?����������� ������� �6 ����������������������/��/������

"������ ��� ?�3 �������������������6�������� ��������������������/��������6���/��/���������N��?��� ��������������������������������=�������P����

��/��������� ����������� ���������6������ � ���� ����������������/��� (��HD���������������������H7�#��������������6���� ��� � ����� ��������� ����� ���?�3 ���

"������������������������������������������/���������� ���3 ��������!����"�������������������������� ����������O�����������������3 ���������������������� ������P�� ����������O���������������������������3 �����P��6������������� ����������7�����P����������������������F���� �������������������������������������

���� ������������������"����H7���������F�������������������

������-H7�������������9�������������������� �� � ���������H7����������F��������� ���� ����������/���������� � ���/��������� ����

� � 9����!�"��+��"����"���������������F��������������

���� �������������������������������6���������������������������������������F��������������������/��/�����������6���������������P/����M������������������F���� ������������������������������ � ���/������ ������������/=� ��������������6�6/=� �� ��������P�������6���H�����9������������

�������# 8�F� ������F����������������������

�������� � ���7��

�%�g/���� ����� �-�� ������h�# 8�F�X������F��������/� �������������6

����� ����7��X�%�g �� �� �� ��h

�# 8�F��Q��������F���������� ������������6����������������H7� ����7��Q�%�g5 �� �* �1 �$ �, �' �R �A �0h

� � :"�����������������+��"����"��������H7����������F������������

������ ���������������������-��������6/�������� ��� �7�� ���� �� ���H7�� ��?�������������������������F�����������������������������������������������6��HD�� � ������� �-��� � �������H7�������F�����������������������������������/��������������������������F���������6���������������������

�� �%�g�d�����������������������6��������4h

��������# 8�F�X������F��������/� �������������6

����� ����7��X�%�g�d����/� �����������������h

�# 8�F�Q������F���������� ��������������6��������������H7� ����7��Q�%� gd� ��� ��������������������������H7�h

� � &��!��"���+����;<���"��������H7����������F������������

����� ����������6]������ �?����� ����6���� ��������?�����M������������7�������6������������������� �������������� ���P���P���7��������H����������� �������6���������������!����P������������������������7����������������F����������������

�������

Page 43: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

��� ��$������ �����"����2�������������������������������6

���������������-��������������F���� ���-�������������������������������6F����� �����������

��� ���������=�����������/���7��������

�� ����=���������?����� ������������6?���������=����� �������/�������������6������� ��������������������������������������F����� ���������

������������>����������������F������� �%�g5 �* �$ �' �Ah�M�� �����*�������������F����� �

*����� M�� �����R��� ������������F����� �

R�����

%� ��$������1��$�����-�������������F����� ����?�����������

���F�����X������������������������������ �� ���������� �����X�� Z���������������F����� ����?�����������X�������������6 �������=���� ��

���X (��6���� �����������X#M����)�������������������� �����6

����HD�������������H7������ ���H7����������7��

� �⊃ ���(��6����X�������"#

M����F����� ��7�����?�����������X����6��������������������������������� �����7������������X��Z����������������F����� �7�����?�����������X�����������

��X ��(��6���� ��7�����?�����������X#

8�������F����� ����?���������������F����X����-�������� � ����� ���3 �����X�>����������������������F����� ��������������F����� ���-�������� ���������F������� � � � ���� ������7� � ����� ���F����� �������F��������������

6������ *�"����H7������������������6����������������������F�����������6H7�����������7��������6�� ������ ����������6F������

������� *���g5 * �$ �' �Ahg*h���g5 �* �$ �' �Ah

?������ *���g5 �* �$ �' �Ahg*h���g5 �* �$ �' �Ahg*h���g5 �g*h �$ �' �Ahg*h��g5 �g*h �$ �' �Ah

��������������������������������H������*���g*h��M���������������������* ������ ������������F�����������������������*��V��������������������������������������7�����������������������������/������������

����������� � ��� ���� ���������������F���� ������������F����������������6����������������������������]�F�������������� ����

g� �*h��������F���� ������������F���� �%� g� �1 � g� �*h �$h��������?�������������������� ������F �g� �*h��� �

V��������������F���������������������������������������������� �������������������������������F������������������������������

Page 44: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

&��,��;�����������������������F��������������H����������3���6

��7�4������������ ������������������������F����� ��������� ��������������O����������� ��������������������� ��

>P��������3 � �@���� ������������������O���������

��������# >��F����������9���������� �����

��������/���

g*h

�# >��F���������������������������+��6��

gW�h

�# >��F����� ��� �=-��� �� ���H7��B�,�%����

g'h

>P��������3 � ���������������6����������P�����������M����������F����� /-��� �������������� ���F�������������� ������������� ����������������������=/���

��������# >��F���������=-�������������H7��

��B���%�5

�# >��F�������g�d���hM����F�����/-������������������������

���� ������∅� ��� g� � h� (∅ � � ���� ���������� ������� ���#��Q7���������������������������HD��� ��������������� ���F����/-�������g∅h ����������=������������������F���������?������F��������������∅�

M� ���F�����/-��� ���?� �������� �����6����� ���F����� � � ���� ���� � �� ����������������F�������������������F���� ��������/����������

.���������]������������������F�����/-����7�

����F�������������������F����� ��Q����

��� ������������������������������������F�����/-����������7����������������F��6��� �������������� ��� �����������F�����/6-����7�� ������������ ���?��� ���������F�����/-��� ���?� ����������� ���F����� ��������������F� ,

'��,��;�����<��5����2����������/��/���������������

������������������?��� ��������������������F���������������������������������������F��������-�����������6F��������P��������3 � �������������6��������������������9�����b,

V���������� ���H7������� ������6/������ ���F������ ����H7����� ������ �������F��������/�������������������������

��������# "����H7���* �)�,��)�$�B�1�%�5����������

���%�� ���

� �� �−������ �������b���?

���%��g)� ��1h��������b���c���%��g1h��������b���7

�# M����F�����������������2A�������������������������������������) �������������������� ���������F��������6

/�������������������������������������C

) ���������������������������������������6�� ���������F��������/�������������������������������������C

Page 45: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

) ������ ����������������������������=���������� ���������F��������/�������������6�H����������������������������

��� ������������������������������?���� ���������������������������F��������/�����/�������

*��,��;�������� ��������������F����� ���-�������������

���F������������� �����������������4 $ &��������F������������������������������F�����������F����� �

' � &����"��������)�����������]��������/� ���������������� ���

�����������������������/�������������6�����H7��������F�������������������������F����� ��8�F������F����� �%�g* �1 �,h�������������� ���F����������������� ���F���� � ���� �����/����� ������ ��� ����������F������

# 8�����F�����/-����∅ �����������F�����/6-�����������F�������������������F�����

�# 8�����F��������������������g*h �g1h �g,h��# 8�����F������������������������g* �1h

g* �,h���g1 �,h��# 8�����F������������������������ �%�g* �1 �,h

�������������F�������������F��������������"��� ������F��������������������F����

������������������������ ������ ����4$ &��%��g∅ �g*h �g1h �g,h �g* �1h �g* �,h �g1 �,h �g* �1 �,hh

' � �%"����+��"�������)������������������������������9������������6

����������F����������������������F����� ��� ������F ����9�������������F��������������������F���� ��������PF�����������

��������/�����������������������������6F�����4 $ &,�������� �������������������������������������������F����� ���������HD��������H7������������F���������������6����������������������F�������������7�����6��������������F������ ������������������=�������������/������� ���������� � ����������������������������HD�� ��������

� � � � �� � �� � �= �

M����/���������������������������F��6��� �%�g* �1 �,h������������������������ ����6���� �������������� ���������������H7�����6����� �������k4�$ &l�%�* �%�A ���������������������

4� 1=��$��������,��;�������������F�������7��� ������ ������������

����������=������������������� ������6���������������������������������9�6������/�-�����������������������������]�F��������������

g� �1 �Rh��%��g� �� �� �1 �R �R �R �Rh��%��gR �1 ��h����������8�������F����� ����?�����������X�( ���X#��

X����?����������� �(X��� # ���������������� ���X�

+.���������������5������������F�����̀ �%�g� �1 �, �Rh �����6���# 2����������������������4(`#c�# �����/����������������4(`#����������& `���d���)��<��*e���������$`&���#��+�������

�Z4$`&[���%�����!,�&�4$`&��d�d�e��d)e��d<e��d*e��d��)e��d��<e��d��*e�

d)�<e��d)�*e��d<�*e��d��)�<e��d���)��*e��d���<��*e��d)��<��*e�d���)��<��*e����e

5*��8�������F�����4(?#������5*$������6��� ���������7�����������������?c

��������-�1��+��6����A%#����3�������+�0�����������������A%#���%�����������$�&����A,

Page 46: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

51�>�����������b�%�g)* �)� �5 �� �* �1 �$h�������F��������/���� ���������������6F���������H7�����

# g�∈ �� �B�$�%�*h

�# g�∈ �� �1�%�,h���������& � �#���%

���"%����d"%e

�& )���<

��� ��

����b

�����

5$� �M������������������F������������7��9������������� �����/� ������ ���F�����������������������������������������6��-��

# ��%�g� �1 �, �R �0 ��� ����h�# "�%�g5 �1 �' �0�����'5h

��������

�& -���d�∈7f�Y��^�����J�+��e

�& ���d�∈ �7f�Y��^/�0+/��6��)����0������0���/������������������0���/���!Ae

>��?������������,��;�����7 � :�������)���������������F������ ���X ���-��������

���7���������F������"���X �������H7�� �∪�X(��6���� ����7��X# ��������F��������������������������������������� �� �X������������������� ����7���������� ���F����������� ������������H�

�∪�X��%��g�f���∈� ���������∈��Xh

o�������� ������

������������������F������"�%�g� �* �1 �$ �, �' �Rh��

X�%�g* �$ �' �A ��5h ��������� �∪ ���������� �∪ ���d���%��)��#��<��!��*��=���AeP��301���������������

M����/�������������������������7���7�����������

7 � 4�������������)���������������F������ ���X ���-��������

��������H7���������F������ ���X �������H7�� �∩ �(��6���� ���������H7��X# ��������F��������6�������������������������������� ���X�����������������������������H7������������F������������ ������������H�

�∩�X��%��g�f���∈� ������∈��Xh

Page 47: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

o�������� ������

��������#�8����� �%�g* �1 �, �' �Ah���X�%�g1 �, �A �0h

��������� � �∩ ���������� �∩ ���d)��<��=e���+���������/��������1�������

���X,P��301�������

�#�>������� �∩ ������̀ �%�g* �1 �,h���7�%�g$ �'h�

� � �∩ ∅Q7��P?��������������� �������������6

-��������������F�������7�����3 ���

7 � &�1����������)���������������F������ ���X ���-��������

�������H��������F������ ���X ������������������H7�� �)�X�(��6���� ������X# ��������6F����� �������������������������������6���� ����7������������X��������������6��������������H������������F����������������� ������������H�

�)�X��%��g�f���∈� ������∉�Xh

o�������� ������

7 � ��)����"���"�����2���������� ���F������ � ��X� �7����� ��

���������X����?����������� �(X�⊂� # ���6-����������������H� �)�X�������3 � ���'������� �� � �� ������� � � ���F������6����H7���������/������ ����

��

� �%�"�)�X

o�������� ������

��������#�>������"�)��X �����������"�%�g1 �$ �' �A �0h���X�%�g* �$ �, �' �R ��5h�������� �"�X���d)��=��(e����������������7���� ����7�����7����X�P��301�������

����������

Page 48: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

�#�8�����"�%�g� �1 �,h���X�%�g5 �� �1 �, �'h �������

# "�)�X�# X�)�"?���/�C��

�& �"�X���∅�������0�����/�������6�� ��������+�����C����X,

�&

P��301������

����������8�� � ����������F�����������F��������6/�����b ���������������� ������H7��b�������������������������� p������ ����6����� �������

7 0������-�����=�����-��"������HD����������������������

����������������/����������������������

5������� �%�g5 �� �1 �$h �X�%�g* �1 �$ �,h Q�%�g$ �,h���-�%�g, �' �Rh ��������

# � � �∪ ∩� �

�# � � �∩ ∪� �

�# � � �− ∩� �

�#

��������#

�#

�#

�#

+.���������������5��>���������������(T#����/�������

(]#����������� ����������HD���# � �∈� �

�# �� � � �� �⊂ ∅� � � �� � � �� � � �

�# � �� �� �� � � �� �∈

�# ∅ = ∅� ����������& 8�g�A�Y����/�������6��1��G����,�& h�"�+�0��d<e�Y�����/�������6��1��G����,1& h�"�+�0��de��������R����1��G����,6& h�"�>��W�Y�1��G�����.��0�������%W����1��G����

�����������/�������∅,

Page 49: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

5*� 87�������������F�����

� � �= ∈� �������� ���� � �= ∈ <� � �� �_������������������# � �∩ ������������������# � �∪ ������-����������# � � �⊂ ∩�# � �∈�# � �⊂��������� � � � ����= ∈ � ���� ���d%��)��<��*�������)��ie

� � � �= ∈ <� �� ���dA�����%��)��#e� �∩ � ���� ���/����� �∩ �����6�0���/�������,

51������������F������ �%�g� �� �1h��X�%�g� �1 �6h����Q�%�g� �1 �6 ��h>������ � � � � � � �− ∪ − ∪ ∩ ∩� � � � � ��������� �"�Q���d�eQ�"�X���d����e� � � �∩ ∩ � � �� � � � � � � �� � � � � � � �∪ ∪ =� � � �?��+������d������1���e

�@�� !���������$����������<���������1�����������,��;������������������F������ ���X �����/�����

�� ������� ������������������������H7������������������/����9�����������������

� � � � � � � � � �� � � � � � � � �∪ = + ∩

Q���� ���� �� ���������� ��� �������������� � � �∩� �� � � �/��������� ����� ��F������������/�-���

��������1��# 8��������F������"���X���������F�����������

����������������/������������������� ������������H7��������?�/��������

�# ����������������H7������9��������������� ��� ����� ������ ���F����������������������M����/������ ���������/��

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

∪ ∪ = + + − ∩ −∩ − ∩ + ∩ ∩

� � � � � � � � � �� � � � � ��

+.���������������5���(T����6�8�#M����F�����"����*5��������� �A B???? ���

�*� ��������� �� A B???? � ���'5� ����������M�9����������������������F�����X���

#�*A �#�$A�#�1' �#�,*�#�$5��������S������ $ &���%A �T�� � �∩ =� � ���T�� � �∪ =� � ��� $X&���� � � � � � � � � �∪ = + − ∩� � � � � � � �!A���%A� ��"��%���!A�"�%A� ��%���<%������� ��

Page 50: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

5*,� � ��X��7������� ���F������ ���������1������������������� ����7�����������XC��1��������������������X����7��������6���� ���10�������������������� ����X��M�9������������������������������ ���X���

#�5 �#�*'�#��1 �#�*1�#�10��������h����6�������������

� $ &����)� � � � � � � � � � � �∪ = + − ∩� � � � � � � �� $X&����)� �� � �∪ =� � �� )(���%!� �

���)(�5�%!����)

������� �X

51�� (T]o68�#�V������� �����/�����155����������������?������������������������6�� ����� �X���Q��������H�����������/�����������M������������������ ��������'5����������� �� C��*5����������6�� ��XC�05� ����������� ��QC�15����������� �� ���XC�$5������������ ���� ���QC�,5������������� ���X���QC����5����������1���� ����

��� ���6���#� ������ ������� ������������

��� �� C�#��������������������������6

���� ����XC�#��������7������������� ��QC�#���������7�����P������������������6

�P������������� ���c��������b�����������60��������+��������/.��,8�����1���C���+���A B C???? ???? ����������A��/�������,

4����� � �� �∩ = �� ���GR�1�/�1������A��������%A��/��������+����1��+/����������0���A B???? T�+���1��+/�����A C???? �3�/����)A���+����1��+/�����B C????3�/����#A,

-��������3�����1��+/����������1��G������ ��X��QT�.�G������#A�+���������������+��3��j�10���/����,

������1����/���6����60�������30��/�+�6�������+��6���k�������I��,

�&��AA�+�������0�601������+�����������/����� T�&��AA� �)A� ��A� �%A� �<A� �#A���%<A�0�601����

�������/������ ����XT1&��AA� �%A� �<A� �#A���%�A�����0�601������

����/�����QT6&�#A�+������������0�H���+��3��j�10��+������H�5

�������/����,

Page 51: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

����,��;������ ��9������/���������� �����N��?��� ���� ���6F������������������e�����7���������F��6������������ ��������������������9�6����������� �� �����7������������������ ��6��������-H7��� ��������� ����������������6/�������� �����/��������� ����� >��F����������9�������������Q

Q�%�g5 �� �* �1 �$ ����h

� >��F����������9���������������i

i�%�g��� �)1 �)* �)� �5 �� �* �1 ����h

Q�����F����������9��������������(i#���6���������/�����-�������������F������� >��F����������9���������������7���� 6

��/����i�

i��%�g5 �� �* �1 �$ ����h�%�Q

� >��F����������9���������������7������6��/����i�

i��%�g��� �)1 �)* �)� �5h

]��� ���/�������������������� ���6F���������������� � ����� ���������H7� ��/�����������������=�����B�(��������#���6��?��������������5�(-���#��"����

Qj�%�g� �* �1 �$ ����h

ij�%�g��� �)1 �)* �)� �� �* �1 ����h

� >��F����������9��������������2

� ���� � � �= = ∈ ∈���

���� �

��

� ��

>�����H7������9����� ������� � ����������������������������������������96����������������9�������������������96��������������O�����(�=-�������O����#�

M���9����������7������������������������������H7�����������������������������������������7�6������7���P�������9���������������

���������� � ��� �π� >��F����������9������������

��%�g�d�������������������������h

M���9����� ���������������������������/������� ��� ��� ������ ��� ���� ���������������������O���P���������� ������������ �����

"���������������������H7�� �?��� ����6��������/��� �������������������6�����������9����������

M�������������������������H7������9�����������������������������9�6�����������!����������������������?�������������������

Q�� ����H7�� �������9����� ���������������������������� �������������6������ ������F��������� ������ �����e������������7���P��������������� ����� ���F���������H7��/������������� ����

�������3�������4�������������������F�����������������/��������������������N��?����������/���������6��� ����������������� ���F�������������������������������7���7�����������"�������������F�����������9������ ���� �����6HD������ ����������� �������H7��,�)�A��O��������������������������������6���������������F����������9������������"���/��7������9����A�����1��O������������6

Page 52: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

�������������������������F����������9�6��������������M��?����������-����������9�����R ����������� �����������������6�=/������������������������F����������9�6��������������& ���������7��������F���������9��������������������9����� ������6��������/���������F����������9�������'�������������������������������������6F����������9����� ���� ��7�� ���� ������������� ������� ����� �� ��� ������������ �� �����������������������������������=6/�������������N��?�����"� �������6HD�����?����� �O� ������ �������������������������������3 � ��� 4��������������&

��� ?�����������1����5�$��������A�����B]�F��������������

# �����"�%�k5 �1l���X�%�k� �,k ��������# "�∪�X�# "�∩�X�# "�)�X��������

� � �∪ = = ∈ ≤ <� � � �� �� �� �� � �∩ = = ∈ ≤ ≤� � � �� �� �� �� � �� � �= = ∈ ≤ <� � � �� �� �

�# �����"%l)� �$l���X�%�k$ �'l ����������# "�∪�X�# "�∩�X�# X�)�"��������

� � � � �∪ = = ∈ < ≤� � �� � � �� �� �∩ = �� �� � � � �� �= = ∈ < ≤� � � �� �

+.���������������5���(T�/����6�8�#��/��������9��������5 5�*,�����/���

��������?6�������

#@@��

�#��* ,

�#@�

�#�A5

�# A

��������

7��������A�A�%<������

�� ����������0�+/0301�6��+��

�%<��6��R����

,���G�������^������������

������

���

��= ⋅ = ⋅� �

?��+�������

Page 53: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� *����� ��+��� ������������

5*��(V���6�8#V� ������ ���?����� ��,������

� ��������������� ���������8������������?�������H7���R5 1������������H7��*1� A ������-H7����������i���

# *5R *��# 1' 0��# �0$ 0��# �A* '��# �����=/������������

�������������������0�����<�0����.�/���0���0��6��1��+�05

���������*A�)� �����%)��=

������������!��<Q�6��0����.�/�����R�!��<�<��%�)���06�6��-����+�����������6������06�6����%�)�'�%��%#�!���06�6�� �+��0C���6��c����R�6�6��+���%)��=�"�%#�!���%A*��%���06�6��������� �

Page 54: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

��������* +,���-���� 1�������>������������������� �������������q#�*�B�1�%�,*q#�*�B���%�,1q#�*�B���%�,��-���������������������� � ��6

������7�������� ����@���� #��C���� ����� �7����������/����� ����������������6/�����/����������Q����� ����������������/������������� ����������������

��-������������������ �������������� ����@��� ����� ����������� ���/�������� ��� ��� ���������������/��������=��� !� �������Q�� ��� � �� /������������������=�������/����1����������6�����/���������=��������������������1��8��6���H����?�����������������7���P������2 ��1��C�����������/��?/��������6H7� ����9����1������-��������H7�������6H7���������F�����8�%�g1h��������F���������H7������H7� � �����P������ ���F����/������

��������#�*�B���%�R1����9������- ����7��8�%�g1h�#�1�)�,�%�)*�����9������- ����7��8�%�g�h

�� ���������� ������������/��������H7���������������6

������=-��������H7��������������������F��������/������ ����������� � �P6������F��������/�����

��������#������/�������H7��

��%�$����

"���=-�������������H7���7��)*���B* ����

8�%�g)* �B*h

�#������/�������H7��

��%�$���Q

"�9���� ��-� ������ �� ���H7�� �� * ����

8�%�g*h

Q� ������H7����� ���HD�� �����������/�������� �������HD������������?6��� �� ���HD��� ����/������ � ����� � � ��������������������F����� ����H7� ����������/�����

]�F���� ������������������������#�2����������������������=��

�������9����������������������� ����� �������������/��������

� � � � � �

� � � � � �

= ⇔ + = +

= ⇔ − = −��

?���2A!���M����/��������H7��

�B�*�%�1

8��������� *� ���� ����������� �� ����� ������

�B�*�%�1�⇔ ��B�*�)�*�%�1�)�*

"����

�B�*�%�1�⇔ ��%��

Page 55: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

��#�2���������������������/������������������������� ������������9�����������������-��� ��� ���������6�����/��������

� � � � � �

� � ��

��

= ⇔ ⋅ = ⋅

= ⇔ =

��

?���2A!���M����/���������H7��

)*�%�'

��/�����������)*����������������� ����� ������

− = ⇔ −−

=−

� � ��

��

� �

"����

− = ⇔ = −� � �� �

����C��������D�E���>P�����r���H7����� �:� ��� �

���HD�����������

��B���%�5

������������7���9��������P�����������≠ �5�

�������

1�)�,�%�5�(��%�1�����%�),#

��� �����/����� �� ���H7�� ���:� �� ���/�������������D�������������������� ����� ������������6����������� ��������������������

������������/�����������H7��1�)�,�%�5

� � � � � � � �����− = ⇔ − + = +

� � � � �����− = ⇔ =

� � ��

��

��� �= ⇔ =

� � ��

����= ⇔ =

"������ � � ��

� �− = ⇔ =

����������/��� ��-����

� � � � ���

� �

��

���− = ⇔ = ⇔ =

"����

� = ������

��

���������������������O�����������/�����������H7��

�� � �+ = ≠� �� �"����

�� ���� �

�� �

�+ = ⇒ = − ⇒ = −�� �

� ��

= −������

������������/�����������H7��

*��B�,�%�5

��

� ��

==���⇒ = − = −�

���

� = −������

��

Page 56: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

%� ��-$���������D�E���������������������H7��������/��

�������� ���������������P������������6������������P������ ��P��������� ������6������������P������ ��P��� ��D�����

�����/�������������������������/������������O ��������������-��!�����6��HD������������������������

"�������H7������������������������������

�#�>��������������������H7�C*#������/�������H7��������HD�����

������C1#� Z���������� ��� ���������� ��� �-��

���������7�������������

+.��������������������/��������HD���5�� 1�)�,�%�*�B�'��������)�"�%���!� �<���������d��e

5*� *�(�B�1#�B�1�(�)��#�%�R�(�B�*#��������%� �!� �)�"�)���*� ��#%� �)�"�*����#� �)�"�!"%�����

���

�= − � = −���

������

51� ��/����������9�����������9��� � ����6��� ���������� �� �� ������ ,�� 8�� ���?���������s���/�������������?�����������*��������A ����7��

#��B��%�1* �#��&��%�R'�#��)��%�, �#��%�*�#��)��%�,

��������

�����0��0�6�������%��#���%�$� �<&� �=#���%� ��=%����=�→ ����(�����0��0�6�����(���������(� �<����#������� �Q

5$� V�/������P��������������3���41*,� ��8��F� ���������������������� ����3�����3�������-���A5� ��M�3����4����/�6����/-�����

#�*5� �#�$,� �#�*,� �#����#�1,� ��������.� �?���)%<?���)%<�"�.

��

����+ =

���� �

����+ − =

�� ��� � ���+ − =.���)<������� �Q

&� �C����������E���>P������ ���H7����� *:� ��� �

���HD�����������

��� ��� �1���5

��������� �����1��7���9��������P���6���������≠�5�

Page 57: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

��������#�*��)�1�B�,�%�5�(��%�* ���%�)1���1�%�,#�#�,��B�R�%�5��(��%�, ���%�R���1�%�5#�#�$��)����%�5�(����$ ���%�5���1�%�)��#

� ����������,�������!������������#������/�����?�����H7��

��)��'�%�5

Q�����������������H7�����*:� ��������������������� ����-����� ��������� ������P��������H7�����*:� ������������]�������P������������H7��

��)��'�%�5��⇔ ���%��'

��)��'�%�5��⇔ ���%�)�$�������%�B$

"����

8�%�g)�$ �B$h

�#������/�����?�����H7��

��B����%�5

Q�������� ���������H7�����*:� �� ������������������� ����-����� ��������� ������P� ���� �������H7�����*:� �����6��������]�������P������������H7��

��B����%�5��⇔��(�B���#�%�5��B����%�5��⇔���%�5��������B����%�5��B������5��⇔����%�5������%�)��"����

8�%�g)�� �5h

�#������/�����?�����H7����B�$�B�$�%��'

M����/��������� B�$� B� $� � ��� ����������� �� ����(�B�*#� ����7��

��B�$�B�$�%��'����������(�B�*#��%��'"������B�$�B�$�%��'�⇔�(�B�*#��%��'��B�$�B�$�%��'�⇔��B�*�%�)�$��������B�*�%�$��B�$�B�$�%��'�⇔��%�)�'�������%�*

"������%�g)�' �*h

�#������/�����?�����H7��

��)�'�B�,�%�5

�M����/���������)�'�B�,��� ������������������ ���������������������������6��������������-����������������������7������?������������� ������������H����6 ���������HD��������H7� �����/���6������ ����

�� �� 3�� �����������������4 � '� �3� �� ����� � ���������(�������#����� ��� '��4 ��� � ����� ������O������?��������9���1�� ���� �3� 2 ������ �� ��� �� ���@ �� ��� ;4��>����������������������O�������?�����/�������)�'�B�0 ������������������������������ ���������9����0�

"������)�'�B�,�%�5�⇔ ���)�'�B�,�B�0�%�0��)�'�B�,�%�5�⇔ �����)�'�B�0�%�$��)�'�B�,�%�5��⇔ ��(�)�1#��%�$��)�'�B�,�%�5��⇔ ����)�1�%�)*�������)�1�%�*��)�'��B�,�%�5��⇔ ����%����������%�,"����

8�%�g� �,h

� �>�"�����/?��@���]��������/�������H7������B���B�1�%�5

����������� ���������H7�����*:� ���Z��������� ������������ ��� ����

��������� �������������+������

���� ���� ��1���5

Page 58: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

Q�����������������7��

� � ��� �� �

�+ +

��������������������� ���� �����6������������������������������ ��6

�������9������

��

� � ��� �� � �� �

� �

� �+ + + =

W� ����� ��� �1�%�5��⇔

⇔ + + = −� � ��� � � ��� �� �

� ����B��� �1�%�5���⇔

⇔ +������ =

−�� � � ��

��

� �

>P�������)�$�1�������������������H7�����*:� �� � ���� ���?� �������������������� �� � Δ �(����# ��������

�� �� � �� �� �� �

+ + = ⇔ + = ±Δ

�� �� � � ��

��

�+ + = ⇔ =

− − Δ����

� ��� �

= − + Δ

�������� ������/��������H7����*:� �������������������������������������1��������������������������������O����F?����� ���P���� � �P�� 3�O���� ��XP�Y�4 ������ �����/��?������������6H7������*:� �� ���������������������������6���������������9����������H7��������/���

� ��

= − ± Δ�

�������Δ = −� ��� �

������������/�����?�����H7��,��)��*�B�$�%�5+��� ���%�, ���%�)�*�����1�%�$�8���������������O�������XP�Y��

� =− − ± − −

⋅�� �� � � �

� �

�� � � � � �� �

� =± −

=±�� ��� ��

���� ��

��

� = ±@� �@�

�%�*�������� = ��

"������ = ������

��

��

���������� )�8������H7���7������/�����������B���B�1�%�5 ���/��������������/����������HD������P����� �������� �����H7���������������� � ������������������ ��������������

� &���������%"����8���-����+,������AB���2����������/���������H7�� ���

*:� �� � F?� ������������ ������������������������/������ ����� ������������ ��������H7�����?���������������������M����/��

�� ������ Δ �;�5�→�"����H7�����?�����=-�������������������

������� ' ������/�����?����)�'�)�*R�%�5��%�� ����%�)�'���1�%�)�*R

Δ �%�()'#��)�$(�#�()�*R#�%��$$�;�5

� ��

=− ±

⋅=

±Δ�

� ���� �

� ���

��%�0����������%�)1M����/��������≠���"�����8�%�g)1 �0h

Page 59: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

�� ������ Δ �%�5�⇒�"����H7�����?�����=-����������� ����

�������������/�����?�$��)�$�B���%�5��%�$ ����%�)�$�����1�%��

Δ �%����)�$�1�%��'�)��'�%�5

� ��

= − ± = ±Δ�

� ��

��

@�

= ����������@�

=

M����/��������%���

"������ = ������

@�

�� ����� Δ <�5�⇒�"� ���H7���7�� ���?�=-��� �����

�������������/�����?�1��B�*�B�$�%�5��%�1 ��%�* 1�%�$

Δ �%����)�$�1�%�$�)�$A�%�)�$$�<�5

� ��

= − ± = − ± −Δ�

� ���

−�� �∉�?����7���7��P?��=-��������"����

8�%�∅

+.��������������������/�����?������HD��������

5�� � �� ��

��

−= −

��������-�.�����+��+�����������C���%$��"�#&���)�$�"�)&?��0���������+��j�������%��"�=���)�"�(��1��.��������3�����+�6����%��"�)� �����A����%�������")��1����

Δ �����"�#�1���$")&��"�#$%&�$�&����

� ���

� �� �

� ��

= − ± =− − ±

⋅= ±Δ � �

���������������

� ����= ������

5*��*�(�)��#�(1�)�R#�B��*�(�B�1#�%�15�(1�)�R#'��)�*5�B��$�B��*�B�1'�%�05�)�*�5'��)�0A�B�*'5�%�5

��������-0.060�6��������C���+���%�)��"�#(� ��)A���A����)������"�#(��1����)A

Δ ��=#�

� �� ���

= ±

����)��������� ����

=

� ������= ������

'� ��$�����������,�����������������8���"�����HD������*:� �� ����B���B�1�%�5

� ≠ �� � ���������������?/�������HD�����6�������=-���������������������������� �����1�

87���P���������HD������8�������6�����������HD������E������

>���������������H7�����*:� ���

���B���B�1�%�5 ������≠�5���������=-���

� ��

� � ��� �� �

= − − = − +Δ Δ� �

Page 60: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

�������������������:# "������� �=-��������H7�����*:

����������������H7��

���%�−��

*:# M�������������=-��������H7����*:� �����/��������H7��

� � � ��

��

= ⋅ = − −���

��� ⋅ − +���

���� � � �

� �Δ Δ

� � � � ��

= ⋅ = − − − +� � ��

� �� �� Δ Δ

�� ��

= � �

"������� ������� /������ � � ��/������� ���H7�����B���B�1�%�5����������������(���6�������������# ������������H7���������6������� ������

��)����B��4��%��5

����������������������=-�����4�����������������

�����������������/��������H7������H7�����*:� ������������-HD�����?�����

�:# ��������������H7�����*:� ����F���=-�����F�����9�����*���R�

�+��������=-�� �����������������

����%�*�B�R�%�0���������4�%�*�&�R�%��$

�>�������� /����� � ������������ ���H7��

����)�0�B��$�%�5

��������������HD������*:� �����F��=-����7��*���R�

*:# �����/�������H7�����*:� ���

���)�R�B��*�%�5�

���������/H7���� ������H����� �����6���������H7� ������

�����R�����4�%��*�

X�� � �� � �����3�������P�4��������/���� � �����P�����������9����� ��F�����R����������������*�

>��������F?�������������������9�����7��1���$����������

����8�%�g1 �$h

*� ����$�������C���������(���������F���75�$T���m��������� ���� ������� ��

���HD������ ������7�����������*:� �� ��������������/�����������=���������Q��6�������HD�� ���/��������/����������6H�����/��?/���������H7������������������ ��� �������� � ����������� � �����H7�����*:� �� ��������������������/��������� ����

��������#������/�������H7��

��)�1��)�$�%�5

Q���������������������H7��������6��� �� �����������������=�������6��������������������������������� �����

8����-�����

��%�

�������

��)�1�)�$�%�5

�����/������������H7� ��������

��%�)����������%�$

Page 61: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

>�������������������?�������������6 ������ ��������

��%�)�����������%�$

>�������������∈�?���������

�%�) *���������%�*

"����������

���%��g)* �*h

�#������/�������H7��

(��B�#��)��$ (��B�#�B�*$��%��5

�/���������� ������������������������6�������������������������/��/�������� �6����������H7����������� ����������������������������������H7���M����6/��� � ���� ������ ��� � ���� � �������7�(��B�#�����������������H7���������/�-��������� ���� � �������/���� ������6��=6��������9�������O ����

8����-�����

��B�����

�������

���)��$��B�*$�%�5

"�������H7����������H7��������/������/������������*����* ������7� �������� ����/6�����������B�,

W� ��

��B��%�*����������B��%��*

"��� ��������������������HD�����*:� ���

��B��)�*��%��5

��B��)��*��%��5

��F������HD�������������7��������HD�������H7����� �����"��������� �������������6H7�����������HD�� ��������

��%�g) $ �) * �� �1h

+.���������������5���8�F����������=-��������H7�1��)�\�)���%�5�

8��� ��

� @+ = ����7��\����� ����

# * �# $�# 1 �# ,��������

������������� � �� � �

+ = ���� �� �

@�

⋅ = −

� � �� �

��

�+ = ���

���� �

� � � � ��

� � �

��

+ + =

� � � � ��

� �

��

+ + =��� �� ���

� � �� �

+ −���� = �

� �� �

− =�

�� �

��

�= ⇒ =� �

������� �X

5*�������/�� ���? �����H7����)�*A �B�*R�%�5

��������h����6�������������������������/������"�%=�� �%*���AΔ = − =��� ��� ���

���������������

������� �8�%�g� �1h

Page 62: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

51���������������������/� ���������������=-��������H7����)�1��B�,��%�5�����������������

�������� ����J�����������������%������������

� � ��

�� �

�+ = − =

�� �%����)�)����)�

� ��

=%����%��������

� ��

�=

Q����� � ��� �

⋅ = ���������

��'�%����<�%�����<�%���"�<����A

����J���������� ��

� �= =�����%����<

������� �� = ��

4� �C������1�������������H7��Z���������������H7�������

P?� ���O ���� ���������� �������� 87����HD��� ����������

�# � + =� ��

*# � �+ = −� �

1# � � � �� �+ + − =

"���=-��������������������=����� �������������������������������������6HD����������������������������=-�����6������Q7����������O������������/�����6

������HD�� ������������������������6����H7����?����� �� �� ������������ �����-����HD�����F�������H7��F?����P������

]�������P�����������������������������

�����/�������H7��

� �+ + =� �

�� ������� Z������ �� ������ �����������������H7���8���������������������� ������P�������������������

� �+ = −� �

�� ����������/������������������������������H7��

� �+ = −� ��

�� � � ���B�1�%�0�)�'�B��

���)�R�B�'�%�5

�� ������������/��������H7��8�����������/�-��������/��������6

H7�� �������� � ��������� � �������� � ��-����� � �����/�� ���� �������� � ���H7����?���/��������/���������������/�-��� �����������?���� ��������7�� �����������P��������

��)�R�B�'�%�5

���������/�������%�������%�'�

�� ������ ��������� � ����������������H7�������7���� ������������� ���������F�����/�����������H7�����6������2��������� ��9�������H7����6�����������=-������������������ ���=-�� ��P��������%��� ����C��,������7��7���=-���������������H7��

����������������������� ����������6������/������H7���������������=-�������P���������������F���������H7�������������� /������H7�� ��������� �� ����������� ����H7������ �������/������������������

Page 63: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

M����/��

����%���� � � � �+ + =

�� � � �+ =

���*�B���%�1�(]#

����%�'�� � � � �+ + =

��� � � �+ =

����1�B�'�%�1�����0�%�1�(T#

Q�����������������H7�������H7���'��7��� �����������

8�%�g�h

>� (���������F���75�$>���F?�/��������H����/��?/�����

����F���/����� �������� � ������H7����� ���6HD���������������� ��������������������6�����?/����]������� �������������������6��H7����� ����

��������#������/�����?�����H7�

��)�,��B�$�%�5

N�����/��?/�����%�� (�#�/��������������%��� ����������

���)�,��B�$�%�5

]�������������%�$ ��%��

� = ± � � = ± �

�%�t�* �%�t��

�= ��������

8�%�g)* �)� �� �*h

�#������/�����?�����H7�

� �� �

��

�� � � � � �− + − + = ≠� �

������� �����������H7��

��

��

� � � � �+ − − + =

��

��

@ � @ � �+���� − +��

�� + = (�#

T�������� �����������

���+ =@

���/������������ ��������

��

� ��

��

� �

�� � � �+ + = ⇒ + = −

8��������������(�#�(���)�*#�)�$��B�,�%�5���)�$��B�1�%�5

]�������!����H�/��?/���

��

� �

+ =

− + =

= ±

� �

� � �

� ��

������

��

� �

+ =

− + =

= ± −

� �

� �

� ��

��� ��

�= ��������

� =− +���

���� �

�� �

��

Page 64: Matemática Básica - Teoria

��

$���"�����/�����

��������� ,-���.� ������������

+.���������������5�������/�����?�����H7��

� � �− + − =� ����

/���� ���] 2��/�������601�/����0��/�6��$+�6�������������&,

� �− = −� �

] �/�.���������6��6��

� �� �

− = −� �� � � �� � �− = − +� � �

] 2��/�����.�����������601�/�

� � �� � �= + + −

� � �� �= +

] �/�.���������6��6����.�������)!����#��� ��!�� ��!

#���"�%A�� ��!���A ÷� � ����"�<�� �#���A����#�������������

] h����6����.��0301�C���

+��������#�� � � � � �− + − =

�� � � � �+ − =

������� �%�"�)���A $8&

+����������� � � � � �− + − =

��� � � � �+ − =

�����%� ���"�)���A $8&

�������#�����������J�����/��������d���#e

5*������/�����?�����H7�

��

� ��

��+ +

+=

��������8�����3������������0��0C���

� �� �+ = $�&

S�������

��

+ =@� �

��� ��<���=����"�=�� ��<���A

8�/���6����$�&�

��

� �

� ��

���

+ =

+ =

== ±

��

� �

� �

��

+ =

+ =

==

-�J����������

8�%�g)$ �5 �$h F���#�2 �G