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MATEMÁTICA – 9o ANOPROF – PADRÃO – VOL II

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia:D. Geométrico:Espanhol:Física:Geografia:História:Inglês:Matemática:Português:Química:Redação:

Autores:

Bruno ZeitoneThiago SantosVerônica LouroCollyerJoão Paulo PradoMichelle Trugilho Maria Izadora ZarroLuanna RamosLuiza MarçalWendel MedeirosCláudia Pires

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01: Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto por um personagem ficcional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplificar uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma reflexão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplificar uma oração subordinada adverbial.


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.


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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO9º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT906: Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração• Produtos Notáveis• Fatoração

EF2MAT908: Potenciação e radiciação• Potenciação• Radiciação• Racionalização

2º bimestre

EF2MAT911: Estruturando e aplicando equações do 2o grau• Equações do 2o Grau com Uma Variável• Resolução de Equações do 2o Grau Completas• Discussão das Raízes e Relação Entre Raízes e Coeficientes• Problemas e Sistemas do 2o Grau• Equações Biquadradas• Equações Irracionais

3º bimestre

EF2MAT913: Estabelecendo conceitos básicos sobre funções• Relações Entre Conjuntos• Funções

EF2MAT914: As funções de 1o grau e suas aplicações• Função Polinomial de 1o Grau• Gráfico da Função do 1o Grau


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4º bimestre

EF2MAT915: As funções de 2o grau• Função Polinomial de 2o Grau• Gráfico da Função do 2o Grau• Problemas de Máximo e Mínimo

EF2MAT916: Análise combinatória e probabilidade• Introdução à Análise Combinatória• Probabilidade

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MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT918: Introduzindo os conceitos de polígonos• Polígonos Regulares

EF2MAT919: Aprendendo um pouco mais sobre triângulos • Triângulos• Cevianas de um Triângulo• Congruência de Triângulos

EF2MAT920: Observando os conceitos e as propiedades dos quadriláteros• Quadriláteros: Trapézios• Quadriláteros: Paralelogramos

2º bimestre

EF2MAT921: Linhas proporcionais e semelhanças• Feixe de Retas Paralelas• Aplicação do Teorema de Tales• Semelhança

EF2MAT922: Relações entre as medidas de um triângulo retângulo• Relações Métricas no Triângulo Retângulo

3º bimestre

EF2MAT923: Estudando a matemática de circunferências e círculos• Circunferência e Círculo• Ângulos na Circunferência


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EF2MAT925: Aprendendo sobre polígonos regulares inscritos e circunscritos• Polígonos Regulares Inscritos à Circunferência• Polígonos Regulares Circunscritos à Circunferência

4º bimestre

EF2MAT926: Medindo áreas de figuras planas e estudando sólidos• Área de Quadriláteros• Área de Triângulos• Área do Círculo e Suas Partes• Área de Polígonos Inscritos e Circunscritos• Área de Figuras Semelhantes e Cálculo de Áreas por Exclusão• Sólidos

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MATEMÁTICA III

1º bimestre

EF2MAT907: Múltiplos e divisores: suas características e aplicações• Múltiplos e Divisores• Números Primos• Máximo Divisor Comum• Mínimo Múltiplo Comum

2º bimestre

EF2MAT901: O universo da matemática das frações• Números Fracionários• Problemas Envolvendo Frações• Números Decimais• Dízimas Periódicas

EF2MAT902: Razões e proporções• Razões e Proporções• Números Proporcionais• Divisão Proporcional• Regra de Três Simples e Composta

3º bimestre

EF2MAT903: Mergulhando no universo da Matemática Financeira• Porcentagem• Operações com Lucro e Prejuízo• Acréscimos e Descontos Sucessivos• Juros Simples e Compostos


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4º bimestre

EF2MAT904: Noções de Estatística• Noções de Estatística• Estatística• Médias


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/20179º ano

MATEMÁTICA I

2o bimestre:

Aula: 11Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Identificar uma equação do 2o grau; Determinar as raízes das equações do 2o grau, através da formula de BhaskaraSubtópicos: Equações do 2o grau com uma incognita; Equações incompletasExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 4

Aula: 12Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Identificar uma equação do 2o grau; Determinar as raízes das equações do 2o grau, através da formula de BhaskaraSubtópicos: Equações incompletas Exercícios: xPara casa: Praticando 5 ao 6

Aula: 13Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Identificar uma equação do 2o grau; Determinar as raízes das equações do 2o grau, através da formula de BhaskaraSubtópicos: Resolução de Equações completasExercícios: xPara casa: Praticando 7

Aula: 14Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Analisar os coeficientes de uma equação do 2o grauSubtópicos: Discussão das raízes e relação entre coeficientes e raízesExercícios: xPara casa: Praticando 8 ao 11

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Aula: 15Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Analisar os coeficientes de uma equação do 2o grauSubtópicos: Soma e produto de raízesExercícios: xPara casa: Praticando 12 ao 18

Aula: 16Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Aplicar o conhecimento de equações de 2o grau para resolver problemas e sistemas de equaçõesSubtópicos: Resolvendo problemas e sistemas do 2o grauExercícios: xPara casa: Praticando 19 ao 22

Aula: 17Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Aplicar o conhecimento de equações de 2o grau para resolver problemas e sistemas de equações biquadradas, fracionárias e irracionaisSubtópicos: Equações biquadradasExercícios: xPara casa: Praticando 23 ao 26

Aula: 18Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Aplicar o conhecimento de equações de 2o grau para resolver problemas e sistemas de equações biquadradas, fracionárias e irracionaisSubtópicos: Equações fracionáriasExercícios: xPara casa: Praticando 27 ao 28

Aula: 19Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos: Aplicar o conhecimento de equações de 2o grau para resolver problemas e sistemas de equações biquadradas, fracionárias e irracionaisSubtópicos: Equações irracionaisExercícios: xPara casa: Praticando 29 ao 32

Aula: 20Tópico: Estruturando e aplicando Equações do 2o grauObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando


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MATEMÁTICA II

2o bimestre:

Aula: 11Tópico: Linhas proporcionais e semelhançasObjetivos: Identificar e relacionar segmentos determinados pela interseção entre diferentes retas transversais e um feixe de retas paralelas; Subtópicos: Feixe de retas paralelas;Exercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 3

Aula: 12Tópico: Linhas proporcionais e semelhançasObjetivos: Aplicar o teorema na construção de segmentos determinados pelas bissetrizes internas de um ânguloSubtópicos: Teorema da bissetriz internaExercícios: xPara casa: Praticando 4 ao 8

Aula: 13Tópico: Linhas proporcionais e semelhançasObjetivos: Estabelecer condições de semelhança entre polígonos;Subtópicos: Semelhança de polígonosExercícios: xPara casa: Praticando 9 ao 11

Aula: 14Tópico: Linhas proporcionais e semelhançasObjetivos: Estabelecer condições de semelhança entre triângulos;Subtópicos: Semelhança de triângulosExercícios: Praticando 12 ao 15Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 15Tópico: Linhas proporcionais e semelhançasObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

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Aula: 16Tópico: Relações entre medidas de um triângulo retânguloObjetivos: Identificar as principais medidas existentes em um triângulo retângulo; Deduzir as principais relações métricas, incluindo o Teorema de PitágorasSubtópicos: Relações métricas no triângulo retânguloExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 3

Aula: 17Tópico: Relações entre medidas de um triângulo retânguloObjetivos: Aplicar o Teorema de Pitagoras para determinar novas relações geométricas notáveisSubtópicos: Aplicações do Teorema de PitágorasExercícios: xPara casa: Praticando 4 ao 6

Aula: 18Tópico: Relações entre medidas de um triângulo retânguloObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: AprofundandoPara casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 19Tópico: Relações entre medidas de um triângulo retânguloObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 20Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral


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MATEMÁTICA III

2o bimestre:

Aula: 11Tópico: O universo da Matemática das fraçõesObjetivos: Aprender o que é, como representar, como calssificar uma fração e conhecer suas principais propriedades e operações Subtópicos: Representação; Classificação; Comparação de frações; PropriedadeExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 4

Aula: 12Tópico: O universo da Matemática das fraçõesObjetivos: Aprender o que é, como representar, como calssificar uma fração e conhecer suas principais propriedades e operaçõesSubtópicos: Operações com frações; Problemas envolvendo fraçõesExercícios: xPara casa: Praticando 5 ao 11

Aula: 13Tópico: O universo da Matemática das fraçõesObjetivos: Realizar operações com frações decimais e compreender os conceitos de notação científica e ordem de grandezaSubtópicos: Fração decimal; Operações com decimais; Notação científica; Ordem de grandezaExercícios: xPara casa: Praticando 12 ao 21

Aula: 14Tópico: O universo da Matemática das fraçõesObjetivos: Compreender e saber calcular a origem de uma dízima periódicaSubtópicos: Dízimas periódicas; Origem da dízima periódicaExercícios: Praticando 22 ao 25Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 15Tópico: O universo da Matemática das fraçõesObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

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Aula: 16Tópico: Razões e porporçõesObjetivos: Aprender o que são razões e proporções, seus elementos e propriedades; Aplicar as noções de proporção para compreender o conceito de escala.Subtópicos: Razão; Proporção; Propriedades; Razão entre duas grandezas; Escala; Quarta proporcional; Terceira proporcionalExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 6

Aula: 17Tópico: Razões e porporçõesObjetivos: Compreender o significado de números/grandezas diretamente ou inversamente proporcionaisSubtópicos: Números diretamente proporcionais; Grandezas diretamente proporcionais; Números inversamente proporcionais; Grandezas inersamente proporcionais; Divisão em partes diretamente proporcionais; Divisão em partes inversamente proporcionais; Divisão em partes simultaneamente proporcionais a vários outros;Exercícios: xPara casa: Praticando 7 ao 17

Aula: 18Tópico: Razões e porporçõesObjetivos: Aprender a realizar os processos de regra de três simples e compostaSubtópicos: Regra de três simples e direta; Regra de três compostaExercícios: Praticando 18 ao 30Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 19Tópico: Razões e porporçõesObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 20Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestral

EF2M

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ESTRUTURANDO E APLICANDO EQUAÇÕES DE 2o GRAU

1

Praticando:1) a) a = 10

b = 3c = -1

b) a = -4b = 6c =0

c) a = -3b = 0c =27

d) a = 1b = 2c = -8

e) a = 1b = 0c = -16

f) a = 5b = -10c = 0

g) a = 5 b = -10c = 3

2) a) x² - 7 = x + 5 => x² - x -7 - 5 = 0 => x² - x - 12 = 0b) x² + 11x = 16x - 6 => x² + 11x - 16x + 6 = 0 => x² - 5x + 6 = 0c) x.(x - 6) + x² = (x - 5).(x + 2)

x² - 6x + x² = x² + 2x -5x -102x² - 6x = x² -3x - 102x² - 6x - x² + 3x + 10 = 0x² -3x + 10 = 0

d) (x - 10)² + x.(x + 17) = 104x² - 2.10.x + 100 + x² + 17x = 1042x² - 3x +100 - 104 = 02x² - 3x - 4 = 0

e) x² - 1/3 = 1/6 . x²x² - 1/3 - x²/6 = 06.x² - 2.1 - 1.x² = 05x² - 2 = 0

f) x²/4 + 1/10 = x²/5 + x/25.x² + 2.1 = 4.x² + 10.x5x² + 2 - 4x² - 10x = 0x² - 10x + 2 = 0

3) a) a = 1b = 13c = 36

b) a = -3b = 6c =0

c) a = 3b = 0c =-12

d) a = 1b = -10c = 25

e) a = 1b = 4c = 0

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Estruturando e aplicando equações de 2o grau

Objetivos de aprendizagem:• Identificar uma equação do 2o grau, sua

condição de existência e seus coeficientes e di-ferenciar equações completas e incompletas;

• Determinar as raízes das equações de 2o grau e aprender a e utilizar a fórmula de Bhas-kara para determinar as sua raízes;

• Analisar os coeficientes de uma equação do 2o grau e relacioná--los às raízes;

• Aplicar o conhecimento de equações de 2o grau para resolver problemas e sistemas de equações;

• Utilizar as equações de 2o grau como ferra-mentas para resolução de equações biquadra-das, fracionárias e irracionais.

EF2M

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11ESTRUTURANDO E APLICANDO EQUAÇÕES DE 2o GRAU

2

f) a = k + 1b = -2kc = 0

4) a) Completab) Incompletac) Incompletad) Completae) Incompletaf) Incompleta

5) a) x² - 12x = 0x.(x - 12) = 0x = 0 ou x - 12 = 0x = 0 ou x = 12S = {0,12}

b) x² - 16 = 0x² = 16x = ±√16S = {-4,+4}

c) 5x² - 3x = 0x.(5x - 3) = 0x = 0 ou 5x - 3 = 0x = 0 ou 5x = 3x = 0 ou x = 3/5S = {0,3/5}

d) x² + 16 = 0x² = -16S = ∅

e) 9x² = 25x² = 25/9x = ±√(25/9)x = ±5/3S = {-5/3,5/3}

f) x² = 20x = ±√20x = ±2√5S = {-2√5, 2√5}

g) -4x² + 28x = 04x² - 28x = 0x² - 7x = 0x.(x - 7) = 0x = 0 ou x - 7 = 0x = 0 ou x = 7S = {0,7}

6) a) 2x² + x = 0x.(2x + 1) = 0x = 0 ou 2x + 1 = 0x = 0 ou 2x = -1x = 0 ou x = -1/2S = {-1/2,0}

b) 3x² - 27 = 03x² = 27x² = 9x = ±3S = {-,3,3}

c) 3x² + 27 = 03x² = -27x² = -9S = ∅

d) 4y² - 9 = 04y² =9y² = 9/4y = ±√(9/4)y = ± 3/2S = {-3/2,3/2}

e) 9x² - 5•(x - x²) = 2x9x² - 5x + 5x² = 2x14x² -7x = 02x² - x = 0x.(2x - 1) = 0x = 0 ou 2x - 1 = 0x = 0 ou 2x = 1x = 0 ou x = 1/2S = {0,1/2}

f) x² - 3•(x + 1) = 6 - 3xx² - 3x - 3 = 6 - 3xx² - 3x - 3 - 6 + 3x = 0x² - 9 = 0x² = 9x = ±3S = {-,3,3}

g) a4m²x² - a6 m4 = 0a^4m²x² = a6 m4

x² = (a6 m4)/(a4 m²)x² = a²m²x = ±√a²m²x = ±a.m

h) ax² + 2ax - px = 0x.(ax + 2a - p) = 0

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AT9-

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3

x = 0 ou ax + 2a - p = 0x = 0 ou ax = p - 2ax = 0 ou x = (p-2a)/a

7) a) (x + 2)² = 4x + 5x² + 2.2.x + 4 - 4x - 5 = 0x² + 4x -4x -1 = 0x² - 1 = 0x² = 1x = ±√1x = ±1

b) (2x + 3)² = (x - 3)²4x² + 2.2x.3 + 9 = x² - 2.x.3 + 94x² + 12x - x² + 6x = 03x² + 18x = 03x (x + 6) = 0x = 0 ou x = -6

c) (x² +1)/2 - (x² + 6)/3 = 03(x² + 1) - 2.(x² + 6) = 03x² + 3 - 2x² - 12 = 0x² - 9 = 0x² = 9x = ±3

d) (x² - x)/2 = x - (x - x²)/33.(x² - x) = 6.x - 2.(x - x²)3x² - 3x = 6x - 2x + 2x²3x² - 3x = 4x + 2x²3x² - 3x - 4x - 2x² = 0x² - 7x = 0x.(x - 7) = 0x = 0 ou x - 7 = 0x = 0 ou x = 7x = 0 ou x = 7

e) y² - 5y + 4 = 0Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16Δ = 9y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2y’ = 4 y’’ = 1

f) (x + 2)² + x = 0x² + 2.x.2 + 4 + x = 0x² + 4x + 4 + x = 0x² + 5x + 4 = 0Δ = b2 - 4.a.c Δ = 52 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9x’ = (-5 + √9)/2.1 x’’ = (-5 - √9)/2.1x’ = -2 / 2 x’’ = -8 / 2x’ = -1 x’’ = -4

g) 3x² - 2.(x - 1)² = 33x² - 2.(x² - 2x + 1) - 3 = 03x² - 2x² + 4x - 2 - 3 = 0x² + 4x - 5 = 0Δ = b2 - 4.a.c Δ = 42 - 4 .1.(-5)Δ = 16 + 20 Δ = 36x’ = (-4 + √36)/2.1 x’’ = (-4 - √36)/2.1x’ = 2 / 2 x’’ = -10 / 2x’ = 1 x’’ = -5

h) (x² + 2)/2 - (x - 1)/3 = 11/2(x² + 2)/2 - (x - 1)/3 = (2.1+1)/23.(x² + 2) - 2.(x - 1) = 3.33x² + 6 - 2x + 2 = 93x² - 2x + 8 - 9 = 03x² - 2x - 1 = 0Δ = (-2)2 - 4.3.(-1) Δ = 4 + 12 Δ = 16x’ = (-(-2) + √16)/2.3 x’’ = (-(-2) - √16)/2.3x’ = 6 / 6 x’’ = -2 / 6x’ = 1

i) x²/2-(x-12)/3=2x3x² - 2.(x - 12) = 6.2x3x² - 2x + 24 = 12x3x² - 2x + 24 - 12x = 03x² - 14x + 24 = 0Δ = (-14)2 - 4.3.24 Δ = 196 - 288Δ = -92Não há raízes reais.

j) (x² - 4)/3-(x-2)/2=02.(x² - 4) - 2.(x - 2) = 0

EF2M

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4

2x² - 8 - 2x + 4 = 02x² - 2x - 4 = 0x² - x - 2 = 0Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-1)2 - 4.1.(-2) Δ = 9x’ = (-(-1) + √9)/2.1 x’’ = (-(-1) - √9)/2.1x’ = 2 x’’ = -4

8) 5mx² - 5x - 1 = 05m(-3/5)² - 5.(-3/5) - 1 = 0(5m.9)/25+15/5-1=0 1.45m + 5.15 - 25.1 = 25.045m + 75 - 25 = 045m + 50 = 09m + 10 = 09m = -10m = -10/9

9) x² - 6x + k² - 3k - 4 = 00² - 6.0 + k² - 3k - 4 = 0k² - 3k - 4 = 0Δ = b2 - 4.a.c Δ = (-3)2 - 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25k’ = (-(-3) + √25)/2.1 k’’ = (-(-3) - √25)/2.1k’ = 8 / 2 k’’ = -2 / 2k’ = 4 k’’ = -1

10) 9x² - 6ax + a² - 4 = 09.((a-2)/3)2- 6.a.((a-2)/3)+a²-4=0 9.((a²-2.a.2+4)/9) - (6a²-12a)/3+a²-4=0 a² - 4a + 4 - (2a² - 4a) + a² - 4 = 0a² - 4a + 4 - 2a² + 4a + a² - 4 = 00 = 0Logo, (a-2)/3 é raiz da equação

11) a) Para admitir 2 raízes reais diferentes, Δ > 0.x² - 3x + m = 0Δ = (-3)2 - 4.1.m Δ = 9 - 4m 9 - 4m > 04m < 9m < 9/4

b) Para admitir uma única raiz real, Δ = 03x² + mx + 3 = 0Δ = m² - 4.3.3Δ = m² - 36m² - 36 = 0m² = 36m = ±6

c) Para que não admita raízes reais, Δ < 0.5x² + 4x + m = 0Δ = 4² - 4.5.mΔ = 16 - 20m16 - 20m < 020m > 16m > 16/20m > 4/5

d) Para admitir 2 raízes reais diferentes, Δ > 0.mx² + 7x - 4 = 0 Δ = 72 - 4.m.(-4) Δ = 49 + 16m 49 - 16m > 016m < 49m < 49/16

12) a) S = -6/2 = -3 P = -1/2b) S = (-3√2)/4 P = (-12√2)/4 = -3√2c) x² - (a + 1).x + a = 0

S = -(-(a + 1)) = (a + 1) P = ad) S = (-(m+2))/(m-2) P = (-m²+4)/(m-2)

13) a) (2m-1)/6=12m - 1 = 62m = 7m = 7/2

b) (-(-3k - 1))/4 = 4(3k+ 1)/4 = 43k + 1 = 163k = 16 - 1k = 15/3k = 5

c) -(m-1)/2)/8 = -15/8-(m-1)/2 = -15 (m-1)/2 = 15 m - 1 = 30m = 31

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11


5

d) -(-(3k-5)/4/4 = -123k-5/4/4 = -123k-5/4= -48 3k - 5 = -1923k = -187k = -187/3

14) a) -3/10b) -4/10 = -2/5c) 1/x1+1/x2 = x2+x1/x2.x1 = -3)/10/-2/5 = -3/10.5/-2 = 3/2.1/2 = 3/4

15) Sendo x uma das raízes, a outra será 1/x.x. 1/x = p-5/21 = p-5/2p - 5 = 2p = 7

16) Sendo uma das raízes igual a x, a outra será -x. -x + x = -(-(m-1))/20 = m-1/2m - 1 = 0m = 1

17) a) S = 6 + 8 = 14P = 6.8 = 48x² - 14x + 48 = 0

b) S = -1 + (-2) = -1 - 2 = -3P = -1.(-2) = 2x² + 3x + 2 = 0

c) S = -3/2 + (-1/4) = -3/2-1/4= 2.(-3)-1/4 = -6-1/4 0 = -7/4 = -2

P = -3/2.(-1/4) = 3/8x² - 7/4x - 3/8 = 0

d) S = 1 + √2 + 1 - √2 = 2P = (1 + √2).(1 - √2) = 1 - √2 + √2 - 2 = -1x² - 2x - 1 = 0

e) S = -a + bP = -abx² - (-a + b).x - ab = 0

f) S = -9 + 0 = -9P = -9.0 = 0x² + 9x = 0

g) S = -8 + 8 = 0P = -8.8 = -64x² - 64 = 0

18) 2x + 2y = 3 3xy = 1 → x = 1/3y

2.(1/3y) + 2y = 3 2/3y + 2y = 31.2 + 3y.2y = 3y.32 + 6y² = 9y6y² - 9y + 2 = 0Δ = (-9)2 - 4.6.2 Δ = 81 - 4.6.2 Δ = 33y’ = (-(-9) + √33)/2.6 y’’ = (-(-9) - √33)/2.6y’ = (9 + √33)/12 y’’ = (9 - √33)/12

19) x² + 3xy = 0 x - y = 2 → x = 2 + y(2 + y)² + 3.(2 + y).y = 04 + 4y + y² + 6y + 3y² = 04y² + 10y + 4 = 02y² + 5y + 2 = 0Δ = 52 - 4.2.2 Δ = 25 - 16 Δ = 9y = (-5 + √9)/2.2 y = (-5 - √9)/2.2y = -2 / 4 y = -8 / 4y = -0,5 y = -2y - y = -0,5 - (-2) = -0,5 + 2 = 1,5 = 3/2Letra C.

20) Sendo um deles igual a x, o outro será (x + 1).x² + (x + 1)² = 41x² + x² + 2x + 1 - 41 = 02x² + 2x - 40 = 0x² + x - 20 = 0Δ = 12 - 4.1.(-20) Δ = 1 + 80 Δ = 81x’ = (-1 + √81)/2.1 x’’ = (-1 - √81)/2.1x’ = 8 / 2 x’’ = -10 / 2x’ = 4 x’’ = -5

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6

21) Substituindo a segunda equação na primeira:7x - 1 = mx² +3x + 1mx² + 3x - 7x + 1 + 1 = 0mx² - 4x + 2 = 0Δ = (-4)2 - 4.m.2Δ = 16 - 8mPara que tenha uma única solução, Δ = 0.16 - 8m = 08m = 16m = 2Letra C.

22) x = nº de bolas y = preço de uma bola xy = 400y = 400/x (x+5) . (y-4)= 400xy - 4x + 5y - 20 = 400 400 - 4x + 5y - 20 = 400 400 - 4x + 5y - 20 - 400 = 0 -4x + 5y - 20 = 0 -4x + 5(400/x) - 20 = 0 -4x + 2000/x - 20 = 0 -4x² + 2000 - 20x = 0 ÷(-4)x² + 5x - 500 = 0 Δ = 52 - 4.1.(-500) Δ = 25 + 2000 Δ = 2025x’ = (-5 + √2025)/2.1 x’’ = (-5 - √2025)/2.1 x’ = 40 / 2 x’’ = -50 / 2x’ = 20 x’’ = -25

23) a) x4 - 16x² = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 16y = 0y.(y - 16) = 0 y = 0 ou y - 16 = 0y = 0 ou y = 16x² = 0 ou x² = 16x = 0 ou x = ±4S = {-4,0,4}]

b) x4 + x² - 2 = 0 Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:

y² + y - 2 = 0Δ = 12 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9y = (-1 + √9)/2.1 y = (-1 - √9)/2.1 y = 2 / 2 y = -4 / 2y = 1 y= -2x² = 1 ou x² = -2x = ±1S = {-1,1}

c) 6x4 + (2x² - 3)² = (2x² + 1)² + 14 6x4 + 4x4 - 2.2x².3 + 9 = 4x4 + 4x² + 1 + 146x4 - 12x² + 9 = 4x² + 15 6x4 - 12x² + 9 - 4x² - 15 = 06x4 - 16x² - 6 = 0 (÷2)3x4 - 8x² - 3 = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:3y² - 8y - 3 = 0Δ = (-8)2 - 4.3.(-3) Δ = 64 + 36 Δ = 100y = (-(-8) + √100)/2.3 y = (-(-8) - √100)/2.3y = 18 / 6 y = -2 / 6y= 3 y = -2 / 6x² = 3 ou x² = -2/6x = ±√3 S = {-√3, √3}

d) (x² - 2)² = x² + 180x4 - 4x² + 4 = x² + 180x4 - 4x² + 4 - x² - 180 = 0x4 - 5x² - 176 = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 5y - 176 = 0Δ = (-5)2 - 4.1.(-176) Δ = 25 + 704 Δ = 729y = (-(-5) + √729)/2.1 y = (-(-5) - √729)/2.1 y = 32 / 2 y = -22 / 2y = 16 y = -11x² = 16 ou x² = -2/6x = ±4 S = {-4,4}

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7

24) a) x4 - 9x² = 0 Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 9y = 0y.(y - 9) = 0 y = 0 ou y - 9 = 0y = 0 ou y = 9x² = 0 ou x² = 9x = 0 ou x = ±3S = {-3,0,3}

b) 4x44 - 13x² + 9 = 0 Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:4y² - 13y + 9 = 0Δ = (-13)2 - 4.4.9 Δ = 169 - 144 Δ = 25y = (-(-13) + √25)/2.4 y = (-(-13) - √25)/2.4y = 18 / 8 y = 8 / 8y = 9/4 y = 1x² = 9/4 ou x² = 1x = ±3/2 ou x = ±1S = {-3/2,-1,1,3/2}

c) (x² - 4)² + (x² + 1)² = 13 x4 - 8x² + 16 + x^4 + 2x² + 1 = 132x4 - 6x² + 17 - 13 = 02x4 - 6x² + 4 = 0 (÷2)x4 - 3x² + 2 = 0 Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 3y + 2 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.2 Δ = 9 - 8Δ = 1y = (-(-3) + √1)/2.1 y = (-(-3) - √1)/2.1 y = 4 / 2 y = 2 / 2y = 2 y = 1x² = 2 ou x² = 1x = ±√2 ou x = ±1S = {-√2,-1,1, √2}

d) 2x² + 6/2x² = 5, onde x ≠ 02x² + 3/x² = 52x².x² + 3.1 = 5.x²2x^4 + 3 - 5x² = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:

2y² - 5y + 3 = 0Δ = (-5)2 - 4.2.3 Δ = 25 - 24Δ = 1y = (-(-5) + √1)/2.2 y = (-(-5) - √1)/2.2 y = 6 / 4 y = 4 / 4y = 3/2 y = 1x² = 3/2 ou x² = 1x = ±√(3/2) ou x = ±1

25) x4 - 8x² + 9 = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 8y + 9 = 0 Δ = (-8)2 - 4.1.9 Δ = 64 - 36 Δ = 28y = (-(-8) + √28)/2.1 y = (-(-8) - √28)/2.1 y = (8 + 2√7) / 2 y = (8 - 2√7) / 2y = 4 + √7 y = 4 - √7x² = 4 + √7 ou x² = 4 - √7x = ±√(4 +√7) ou x = ±√(4-√7)

26) x4 - bx² + 36 = 0Como uma das raízes é 3, então:34 - b.3² + 36 = 081 - 9b + 36 = 09b = 117b = 13 x4 - 13x² + 36 = 0Vamos usar uma variável auxiliar x² = y. Rees-

crevendo a equação:y² - 13y + 36 = 0Δ = (-13)2 - 4.1.36 Δ = 169 - 144Δ = 25y = (-(-13) + √25)/2.1 y = (-(-13) - √25)/2.1y = 18 / 2 y = 8 / 2y = 9 y = 4x² = 9 ou x² = 4x = ±3 ou x = ±2

27) a) x/x+1 - x/1-x = 8/3x.(1-x)-x.(x+1)/(x+1)(1-x) = 8/3 x-x²-x²-x/x-x²+1-x=8/3

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8

-2x²/1-x²=8/3 -6x² = 8 - 8x²2x² = 8x² = 4x = ±2

b) 2x-4/x²-1+x/x-1=1/x+1 2x-4/(x-1)(x+1)+x/x-1=1/x+1 1.(2x-4)+(x+1).x=(x-1).1 2x - 4 + x² + x = x - 1x² + 3x - 4 - x + 1 = 0x² + 2x - 3 = 0Δ = 22 - 4.1.(-3) Δ = 4 +12 Δ = 16x’ = (-2 + √16)/2.1 x’’ = (-2 - √16)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -6 / 2x’ = 1 x’’ = -3

c) 2x/x-1-3/3-x = x+3/x²-4x+3Vamos primeiro resolver a equação x² - 4x +

3 = 0.S = 4 , P = 3x’ = 1 ou x’’ = 3Então podemos escrever x² - 4x + 3 como (x

- 1)(x - 3)Reescrevendo a equação:2x/x-1-3/3-x = x+3/(x - 1)(x - 3)Multiplicando o numerador e o denomina-

dor de uma fração pelo mesmo valor, não altera essa fração.

2x/x-1-3/3-x.(-1)/(-1) = (x+3)/(x - 1)(x - 3) 2x/(x-1)-(-3)/(x-3) = x+3/(x - 1)(x - 3) 2x/(x-1)+3/(x-3)=(x+3)/(x - 1)(x - 3) 2x.x - 3 + 3.(x - 1) = (x + 3)2x² - 6x + 3x - 3 = x + 32x² - 3x - 3 - x - 3 = 02x² - 4x - 6 = 0 (÷2)x² - 2x - 3 = 0Δ = (-2)2 - 4.1.(-3) Δ = 4 + 12 Δ = 16x’ = (-(-2) + √16)/2.1 x’’ = (-(-2) - √16)/2.1x’ = 6 / 2 x’’ = -2 / 2x’ = 3 x’’ = -1

d) x+2/2+2/x-2 = -1/2(x + 2).(x - 2) + 2.2 = -1.(x - 2)x² - 4 + 4 = -x + 2

x² + x - 2 = 0Δ = 12 - 4.1.(-2)Δ = 1 + 8 Δ = 9x’ = (-1 + √9)/2.1 x’’ = (-1 - √9)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -4 / 2x’ = 1 x’’ = -2

e) 7/x-1=6x+1/x+1-3.(1+2x2/x²-1) 7/x-1=6x+1/x+1-3.(1+2x2)/(x-1)(x+1) 7.(x + 1) = (6x + 1).(x - 1) - 3.(1 + 2x²)7x + 7 = 6x² - 6x + x - 1 - 3 - 6x²7x + 7 = -5x - 412x = -11x = -11/12

28) a) Da segunda equação temos que x = 2 + y. Substituindo na primeira equação:

10/2+y+y=1 10/2+2y=1 10/2.(1+y)=1 5/(1+y)=1 1+y = 5y = 4x = 2 + 4 = 6

b) Da primeira equação temos que y = x + 5. Substituindo na segunda:

2/1-(x+5)=1/1+x 2/1-x-5=1/1+x 2/-x-4=1/1+x2 + 2x = -x - 43x = -6x = -2y = -2 + 5 = 3

c) Substituindo a segunda equação na primeira:4y+3-1/y=5 4y + 2 = 5yy = 2x = 4.2 + 3 = 11

d) Da primeira equação temos que x = 8 - y. Substituindo na segunda:

4/8-y-2y=2 4/8-3y=2 4 = 16 - 6y6y = 12y = 2x = 8 - 2 = 6

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11


9

29) 3 √ 7+√x-1=2Elevando ambos os lados por 3:7+√x-1=8 √x-1=1 Elevando ambos os lados por 2:x - 1 = 1x = 2

30) a) √(2x²+x-6)=x+2Elevando ambos os lados por 2:2x² + x - 6 = x² + 4x + 4x² - 3x - 10 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.(-10) Δ = 9 + 40 Δ = 49x’ = (-(-3) + √49)/2.1 x’’ = (-(-3) - √49)/2.1 x’ = 10 / 2 x’’ = -4 / 2x’ = 5 x’’ = -2

b) x+√(x-1)=13√(x-1)=13-x x - 1 = 169 - 26x + x²x² - 27x + 170 = 0Δ = (-27)2 - 4.1.170 Δ = 729 - 680Δ = 49x’ = (-(-27) + √49)/2.1 x’’ = (-(-27) - √49)/2.1x’ = 34 / 2 x’’ = 20 / 2x’ = 17 x’’ = 10

c) √(1+x)+√(1-x)=2Elevando ambos os lados por 2:(√(1+x)+√(1-x))²=2² (1 + x) + 2. √(1+x). √(1-x) + (1 - x) = 41 + x + 2 √((1+x)(1-x)) + 1 - x = 42√(1²-x²) + 2 = 42√(1-x²) = 2√(1-x²) = 1Elevando ambos os lados por 2:1 - x² = 1x² = 1 - 1x² = 0x = 0

31) 1-√(1+x²)=x²1 - x² = √(1+x²)

Elevando ambos os lados por 2:1 - 2x² + x4 = 1+x²x4 - 2x² + 1 - 1 - x² = 0x4 - 3x² = 0x².(x² - 3) = 0x² = 0 ou x² - 3 = 0x = 0 ou x² = 3x = 0 ou x = ±√3

32) √(x-1+√(2x-2)) =2Elevando ambos os lados por 2:x - 1 + √(2x-2) = 4√(2x-2) = 5 - xElevando ambos os lados por 2:2x - 2 = 25 - 10x + x²x² -12x + 27 = 0Δ = (-12)2 - 4.1.27 Δ = 144 - 108Δ = 36x’ = (-(-12) + √36)/2.1 x’’ = (-(-12) - √36)/2.1 x’ = 18 / 2 x’’ = 6 / 2x’ = 9 x’’ = 3Letra D.

Aprofundando:1) A = 2p

y² = 4yy² - 4y = 0y.(y - 4) = 0y = 0 ou y - 4 = 0y = 0 ou y = 4

2) a) a = 1b = 13c = 36

b) a = -3b = 6c = 0

c) a = 3b = 0c = -12

d) a = 1b = -10c = 25

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10

e) a = 1b = 4c = 0

f) a = k + 1 b = -2kc = 0

3) a) completab) incompletac) incompletad) completae) incompletaf) incompleta

4) a) a) 2x² + x = 0x.(2x + 1) = 0x = 0 ou 2x + 1 = 0x = 0 ou 2x = -1x = 0 ou x = -1/2S = {-1/2,0}

b) 3x² - 27 = 03x² = 27x² = 9x = ±3S = {-,3,3}

c) 3x² + 27 = 03x² = -27x² = -9S = ∅

d) x² - 7x + 10 = 0Δ = (-7)2 - 4.1.10 Δ = 49 - 40Δ = 9x’ = (-(-7) + √9)/2.1 x’’ = (-(-7) - √9)/2.1x’ = 10 / 2 x’’ = 4 / 2x’ = 5 x’’ = 2V = {2,5}

e) x² + 9x + 8 = 0 Δ = 92 - 4.1.8 Δ = 81 - 32 Δ = 49x’ = (-9 + √49)/2.1 x’’ = (-9 - √49)/2.1x’ = -2 / 2 x’’ = -16 / 2x’ = -1 x’’ = -8V = {-8,-1}

f) x² - x - 2 = 0 Δ = (-1)2 - 4.1.(-2)Δ = 1 + 8Δ = 9x’ = (-(-1) + √9)/2.1 x’’ = (-(-1) - √9)/2.1x’ = 4 / 2 x’’ = -2 / 2x’ = 2 x’’ = -1V = {-1,2}

g) x² + x - 6 = 0Δ = 12 - 4.1.(-6) Δ = 1 + 24 Δ = 25x’ = (-1 + √25)/2.1 x’’ = (-1 - √25)/2.1x’ = 4 / 2 x’’ = -6 / 2x’ = 2 x’’ = -3V = {-3,2}

h) 15x² + 7x - 12 = 0Δ = 72 - 4.15.(-12) Δ = 49 + 720Δ = 769x’ = (-7 + √769)/2.15 x’’ = (-7 - √769)/2.15x’ = (-7 + √769)/30 x’’ = (-7 - √769)/30V = {(-7 - √769)/30, (-7 + √769)/30}

i) (x-1)/(x+2)+2/(x-2)=4x/(x²-4)(x-1)/(x+2)+2/(x-2)=4x/((x+2)(x-2)) (x - 1).(x - 2) + 2.(x + 2) = 4x.1x² - 2x - x + 2 +2x + 4 - 4x = 0x² - 5x + 6 = 0Δ = (-5)2 - 4.1.6 Δ = 25 - 4. 1 . 6 Δ = 1x’ = (-(-5) + √1)/2.1 x’’ = (-(-5) - √1)/2.1x’ = 6 / 2 x’’ = 4 / 2x’ = 3 x’’ = 2V = {2,3}

j) x² - 2mx + m² - 1 = 0Δ = (-2m) - 4.1.(m² - 1)Δ = 4m² - 4m² - 4Δ = -4Não possui raízes reais.V = ∅

5) (x+1/x)2 -2 . (x+1/x) = 5/4(x.x+1.1)/x)2 - 2 . (x.x+1.1)/x = 5/4 (x²+1/x)2 - 2 . (x²+1)/x = 5/4

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(x4+2x²+1)/x² - (2x2+2)/x = 5/4 1.(x4+2x²+1-x).(2x2+2/x²) = 5/4 x4+2x²+1-2x3-2x/x² = 5/4 4x4 + 8x² + 4 - 8x³ - 8x = 5x²4x4 - 8x³ + 3x² - 8x + 4 = 0Fatorando este polinômio temos:(4x³ + 3x - 2).(x - 2) = 0(4x² + 2x + 4).(x - 1/2).(x - 2) = 04x² + 2x + 4 = 0 ou x - 1/2 = 0 ou x - 2 = 02x² + x + 2 = 0 ou x = 1/2 ou x = 2Δ = 12 - 4 . 2 . 2 Δ = 1 - 4. 2 . 2 Δ = -15Não há raízes reais.S = {1/2,2}

6) n/2.(n+1)=210n²/2+n/2=210 (n²+n)/2=210 n² + n = 420n² + n - 420 = 0Δ = 12 - 4.1.(-420) Δ = 1 + 1680 Δ = 1681n’ = (-1 + √1681)/2.1 n’’ = (-1 - √1681)/2.1n’ = 40 / 2 n’’ = -42 / 2n’ = 20 n’’ = -21Soma de inteiros positivos não pode dar nú-

mero negativo portanto, n = 20

7) x² = ((x + 8).x)/22x² = x² + 8xx² - 8x = 0x.(x - 8) = 0x = 0 ou x - 8 = 0x = 0 ou x = 8Medida de lado não pode ser nula portanto,

x = 8A = 64

8) Chamando o primeiro numero de x, o segun-do será x + 1

x² + (x + 1)² = 481x² + x² + 2x + 1 = 4812x² + 2x - 480 = 0

x² + x - 240= 0Δ = 12 - 4.1.(-240) Δ = 1 + 960 Δ = 961x’ = (-1 + √961)/2.1 x’’ = (-1 - √961)/2.1x’ = 30 / 2 x’’ = -32 / 2x’ = 15 x’’ = -16Como o exercício fala em inteiros positivos,

então x = 15 e (x + 1) = 16.

9) Um retângulo tem 2m de altura e 5m de com-primento. Sua área vale 10m².

Aumentando a altura e o comprimento em x, teremos:

altura = 2 + x comprimento = 5 + x Com isso, a área do novo retângulo se torna

7 vezes a original:(2 + x).(5 + x) = 7.10 10 + 2x + 5x + x² = 70 x² + 7x - 60 = 0 a = 1, b = 7, c = -60 ∆ = 49 + 240 = 289 √∆ = 17 x = (-7 ± 17)/2 x’ = -12 x” = 5 Como estamos tratando de medidas de um

retângulo, não pode ser negativo, logo, x = 5m a) Dimensões do novo retângulo:

altura = 2 + 5 = 7m comprimento = 5 + 5 = 10m

b)Perímetro do novo retângulo:2p = 7 + 7 + 10 + 10 = 34m

10) x² - 3x - m - 5 = 0 Para que a equação não tenha raízes reais,

∆ < 0.∆ = (-3)² - 4.1.(-m - 5)∆ = 9 + 4m + 20∆ = 4m + 294m + 29 < 04m < -29m < -29/4m < -7,25Maior valor inteiro que satisfaz a inequação:

-8.

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11) (1 - m).x² - 2x + 1 = 0Para que a equação tenha raízes reais dife-

rentes, ∆ > 0.∆ = (-2)² - 4.(1 - m).1∆ = 4 - 4 + 4m∆ = 4m4m > 0m > 0Menor valor inteiro que satisfaz a inequação:

1.

12) 4x² + (m + 1).x + m + 6 = 0Para que a equação tenha raízes reais iguais,

∆ = 0.∆ = (m + 1)² - 4.4.(m + 6)∆ = m² + 2m + 1 - 16m - 96∆ = m² - 14m - 95m² - 14m - 95 = 0Δ = (-14)2 - 4.1.(-95) Δ = 196 + 380 Δ = 576x’ = (-(-14) + √576)/2.1 x’’ = (-(-14) - √576)/2.1 x’ = 38 / 2 x’’ = -10 / 2x’ = 19 x’’ = -5

13) (2m + 1).x² + 4mx + 2.(m - 1) = 0Para que a equação tenha raízes reais dife-

rentes, ∆ > 0.∆ = (4m)² - 4.(2m + 1).(m - 1)∆ = 16m² - 4.(2m² - m - 1)∆ = 16m² - 8m² + 4m + 4∆ = 8m² + 4m + 48m² + 4m + 4 > 02m² + m + 1 > 0Esta equação não possui raízes reais, ou seja,

é uma parábola que não corta o eito das abs-cissas. Seu coeficiente angular é maior do que zero, portanto, sua concavidade é voltada pra baixo. Desse modo, a parábola inteira está com-preendida na parte positiva do eixo das ordena-das (imagem), logo, para qualquer valor de m, a equação

14) 4x² - 4x + 2m - 1 = 0Para que a equação não tenha raízes reais,

∆ < 0.∆ = (-4)² - 4.4.(2m - 1)

∆ = 16 - 32m + 16∆ = 32 - 32m32 - 32m < 032m > 32m > 1

15) a) x² - mx + 15 = 03² - m.3 + 15 = 09 - 3m + 15 = 03m = 24m = 8

b) x² - 9x + m = 0∆ = (-9)² - 4.1.m∆ = 81 - 4mx = (-(-9)±√(81-4m))/2.1x = (9±√(81-4m))/29+√(81-4m)/2 = 2 . (9-√(81-4m/2) 9+√81-4m/2 = 9 - √81-4m 9+√81-4m = 18-2√81-4m√81-4m+2√81-4m = 18-9 3√81-4m = 9 √81-4m = 3 Elevando ao quadrado em ambos os lados da

equação:81 - 4m = 94m = 81 - 94m = 72m = 18

c) 2mx² + 9x - 5 = 02m(1/2)² + 9.(1/2) - 5 = 02m.(1/4) + 9/2 - 5 = 0m/2 + 9/2 - 5 = 01.m + 1.9 - 2.5 = 0m + 9 - 10 = 0m - 1 = 0m = 1

d) x² - mx + 3 = 0∆ = (-m)² - 4.1.3∆ = m² - 12x = (-(-m)±√(m²-12))/2.1x = (m±√(m²-12))/2m+√m²-12/2 = 3 . (m-√m2-12/2) m+√m²-12 = 3 . (m-√m2-12) m+√m²-12 = 3m-3√m2-12 √m²-12+3√m2-12 = 3m-m

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4√m2-12 = 2m √m2-12 = m/2 Elevando ambos os lados ao quadrado:m² - 12 = m²/44m² - 48 = m²3m³ - 48 = 03m² = 48m² = 16m = ±4

16) a) O produto das raízes dessa equação será 5/2, que é um número positivo. Daí, podemos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é -(-8/2) = 4, que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos.b) O produto das raízes dessa equação será 1/3, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -(5/3), que é um número negativo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos negativos.c) O produto das raízes dessa equação será 8/5, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -(-2/5) = 2/5, que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos.d) O produto das raízes dessa equação será -3/2, que é um número negativo. Daí, podemos con-cluir que as raízes têm sinais opostos, uma é ne-gativa e a outra é positiva.e) O produto das raízes dessa equação será -12, que é um número negativo. Daí, podemos con-cluir que as raízes têm sinais opostos, uma é ne-gativa e a outra é positiva.f) O produto das raízes dessa equação será 1/m², que é um número positivo (podemos garan-tir isso pois independente do valor de m, m² será sempre positivo). Daí, podemos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é -(-2/m²) = 2/m², que é um número positivo. Concluí-se, portanto, que o si-nal das raízes são ambos positivos.g) O produto das raízes dessa equação será 1, que é um número positivo. Daí, podemos con-cluir que as raízes são ambas positivas, ou am-bas negativa. A soma dessas raízes é -m², que é um número negativo (podemos garantir isso pois independente do valor de m, m² será sem-pre positivo, acompanhado de um sinal negati-vo, ficará negativo). Concluí-se, portanto, que o sinal das raízes são ambos negativos.

h) O produto das raízes dessa equação será (-4)/(-5) = 4/5, que é um número positivo. Daí, pode-mos concluir que as raízes são ambas positivas, ou ambas negativa. A soma dessas raízes é (-9)/(-5) = 9/5, que é um número positivo. Concluí--se, portanto, que o sinal das raízes são ambos positivos.

17) a) Não. O produto das raízes dessa equação será -15/5 = -3, que é um número negativo. Daí, podemos concluir que as raízes têm sinais opos-tos, uma é negativa e a outra é positiva.b) A soma dessas raízes é -22/5, que é um núme-ro negativo. Daí, podemos concluir que o sinal da raiz de maior módulo é negativo.

18) x² - 6x + m - 1 = 0∆ = (-6)² - 4.1.(m - 1)∆ = 36 - 4m + 4∆ = 40 - 4m∆ = 4.(10 - m)x = (-(-6)±√4.(10-m/2.1)x = (6±2√10-m/2x = 3±√10-m3+√10-m/3-√10-m=2 3+√10-m=6-2√10-m √10-m+2√10-m=6-3 3√(10-m)=3 √(10-m)=1 Elevando ao quadrado em ambos os lados da

equação:10 - m = 1m = 9

19) (m - p).x² + (m - 2).x - 4 = 0 , m ≠ p(-4)/(m-p)=x.(-x) (-4)/(m-p)=-x² 4/(m-p)=x² (-(m-2))/(m-p)=x+(-x) (-m+2)/(m-p)=0 -m + 2 = 0m = 2

20) 1/x2 + 1/x1 = 1/31.x2 + 1.x1)/x2.x1 = 1/3 x1 +x2/x1.x2=1/3 -(-2.(h+1)/h+3/h-10/h+3 = 1/3

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2h+2/h+3. h+3/h-10 = 1/3 2h+2/h-10=1/3 6h + 6 = h - 105h = -16h = -16/5

21) x + x = -(-15/4)x + x = 15/4x - x = 9/4x + x = 15/42x = 24/4x = 6/2x = 3x = 15/4 - 3x = (15 - 12)/4x = 3/4x. x = p/43 . 3/4 = p/4p = 9

22) x² - 5x + 6 = 0S = 5 e P = 6x’ = 2 ou x’’ = 3x² - ax + 8 = 0S = a e P = 8Números cujo produto resulta em 8 são:1 e 8-1 e -82 e 4-2 e -4Para que as duas equações possuam uma

raiz em comum, a deve ser igual a 2 ou 4.

23) x² - 6x + m = x² - 11x + 6m - 6x + 11x = 6m - m 5x = 5m x = m x² - 6x + m = 0 m² - 6m + m = 0 m² - 5m = 0m.(m - 5) = 0m = 0 ou m’ - 5 = 0m’ = 0 ou m’’ = 5

24) m/m = x’.x’’x’.x’’ = 1x’’ = 1/x’x’/x’’ = 1/4x’ / (1/x’) = 1/4x’ . x’ = 1/4x’² = 1/4x’ = ±1/2x’’ = 1/(1/2) ou x’’ = 1/(-1/2) x’’ = 1.2 ou x’’ = 1.(-2)x’’ = 2 ou x’’ = -2x’ + x’’ = (3m - 1)/m1/2 + 2 = (3m - 1)/m(1 + 2.2)/2 = (3m - 1)/m5/2 = (3m - 1)/m5m = 6m - 2m = 2

25) x= 1/xP = x.1/x = 1(2m - 3)/2 = 12m - 3 = 22m = 5m = 5/2m = 2.5

26) q².r + q.r² = 6q.r . (q + r) = 6c/a . (-b/a) = 6-bc/a² = 6Fazendo por tentativas vemos que a letra D

satisfaz a condição acima.GABARITO: letra D.

27) (x’ + x’’)/2 = 7,5(-b/a) / 2 = 7,5-b/a = 15√(x’.x’’)=1,5 √(c/a)=1,5 c/a = 2,25x² - Sx + P = 0x² - 15x + 2,25 = 0 (x4)4x² - 60x + 9 = 0Letra B.

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28) x² - Sx + P = 0a) P = -10

S = -3x² + 3x - 10 = 0b) P = -0,2S = -0,1x² + 0,1x - 0,2 = 0

c) P = -2/3.9/16 = -1/1.3/8 = -3/8S = -2/3+9/16 = -2.16+9.3/48 = -5/48x² + 5/48.x - 3/8 = 0

d) P = 0S = 2mx² - 2mx = 0

e) P = -k²S = 0x² - k² = 0

f) P =(3+√5/2).(3-√5/2) = 9-5/4 = 1S = (3+√5/2)+(3-√5/2) = 6/2 = 3x² - 3x + 1 = 0

g) P = (2+√3).(2-√3) = 4 - 3 = 1S = 2+√3+2-√3 = 4x² - 4x + 1 = 0

29) Questão com erro!

30) P = (3+√2).(3-√2) = 9 - 2 = 7S = 3+√2+3-√2 = 6x² - 6x + 7 = 0∆ = (-6)² - 4.1.7∆ = 36 - 28∆ = 8

31) x² - y² = 32

3y = 2x + 3 → y = (2x+3)/3x²- (2x+3/3)² = 32 x²-(4y2+ 12y + 9/9) = 32 9x² - (4y² + 12y + 9) = 32.99x² - 4y² - 12y - 9 = 2885x² - 12y - 297 = 0Δ = (-12)2 - 4.5.(-297) Δ = 144 + 5940Δ = 6084x’ = (-(-12) + √6084)/2.5 x’’ = (-(-12) - √6084)/2.5x’ = 90 / 10 x’’ = -66 / 10x’ = 9 x’’ = -6,6

Como o exercício fala que os números são in-teiros, vamos considerar apenas x = 9.

3y= 2.9 + 3y = 7

32) a) Da segunda equação temos que y = 2x - 3. Substituindo na primeira equação:

2x² + 3.(2x - 3)² = 112x² + 3.(4x² - 12x + 9) = 112x² + 12x² - 36x + 27 - 11 = 014x² - 36x + 16 = 0 (÷2)7x² - 18x + 8 = 0Δ = (-18)2 - 4.7.8 Δ = 324 - 224Δ = 100x’ = (-(-18) + √100)/2.7 x’’ = (-(-18) - √100)/2.7x’ = 28 / 14 x’’ = 8 / 14x’ = 2 x’’ = 4 / 7y’ = 2.2 - 3 y’’ = 2.(4/7) - 3y’ = 1 y’’ = 8/7 - 3y’ = 1 y’’ = (8 - 3.7)/7y’ = 1 y’’ = -13/7

b) Da segunda equação temos que b = 7 - c. Substituindo na primeira equação:

(7 - c)² + c² = 2549 - 14c + c² + c² = 252c² - 14c - 24 = 0c² - 7c + 12 = 0Δ = (-7)2 - 4.1.12 Δ = 49 - 48 Δ = 1c’ = (-(-7) + √1)/2.1 c’’ = (-(-7) - √1)/2.1 c’ = 8 / 2 c’’ = 6 / 2c’ = 4 c’’ = 3b’ = 7 - 4 = 3 b’’ = 7 - 3 = 4

c) Da segunda equação temos que b = 7 - c. Subs-tituindo na primeira equação:

(7 - c)² + (7 - c).c + c² = 3749 - 14c + c² + 7c - c² + c² = 37c² - 7c + 12 = 0Δ = (-7)2 - 4.1.12 Δ = 49 - 48 Δ = 1c’ = (-(-7) + √1)/2.1 c’’ = (-(-7) - √1)/2.1c’ = 8 / 2 c’’ = 6 / 2c’ = 4 c’’ = 3b’ = 7 - 4 = 3 b’’ = 7 - 3 = 4

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d) Substituindo a segunda equação na primeira:

e) Da primeira equação temos que x = √(16+y²). Substituindo na segunda equação:

(√16+y2)2-y²+(√16+y2).y=31 16+y2-y²+(√16+y2).y=31 (√16+y2).y=15 Elevando ambos os lados ao quadrado:(16+y2).y²=225 y4+16y²-225=0 Vamos usar uma variável auxiliar z = y². Rees-

crevendo a equação:z² + 16z - 225 = 0Δ = 162 - 4.1.(-225)Δ = 256 + 900Δ = 1156z’ = (-16 + √1156)/2.1 z’’ = (-16 - √1156)/2.1z’ = 18 / 2 z’’ = -50 / 2z’ = 9 z’’ = -25y² = 9 y² = -25y = ±3x = √(16+(±3)²) = √(16+9) = ±5

33) a) Somando as duas equações obtemos:2x² = 6x² = 3x = ±√3

Substituindo na primeira equação:(±√3)² + y² = 53 + y² = 5y² = 2y = ±√2

b) Da segunda equação temos que x = 6/y. Subs-tituindo na primeira, teremos:

(6/y)² + y² = 1336/y² + y² = 1336 + y^4 = 13y²y^4 - 13y² + 36 = 0Δ = (-13)2 - 4.1.36 Δ = 169 - 144Δ = 25y’ = (-(-13) + √25)/2.1 y’’ = (-(-13) - √25)/2.1 y’ = 18 / 2 y’’ = 8 / 2y’ = 9 y’’ = 4

x’ = 6/9 = 2/3 x’’ = 6/4 = 3/2

34) Da segunda equação temos que x = -2/y. Substituindo na primeira, teremos:

(-2/y)² + y² = 54/y² + y² = 54 + y^4 = 5y²y^4 - 5y² + 4 = 0Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2y’ = 4 y’’ = 1x’ = -2/4 = -1/2 x’’ = -2/1 = -2(x’ + y’)² = (7/2)² = 49/4 (x’’ + y’’)² = (-1)² = 1Letra B.

35) Da primeira equação tiramos que x = m - y. Substituindo na segunda equação:

(m - y)² + y² = 4m² - 2my + y² + y² = 42y² - 2my + m² - 4 = 0∆ = (-2m)² - 4.2.(m² - 4)∆ = 4m² - 8m² + 32∆ = -4m² + 32Para que o sistema tenha solução única, ∆ = 0.

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-4m² + 32 = 04m² = 32m² = 8m = ±2√22√2+(-2√2)=0 Letra C.

36) Da primeira equação tiramos que a = 4 + 2b. Substituindo na segunda equação:

2.(4 + 2b - 3) - 3.(b + 1) = -22 + 4b - 3b - 3 = -2b - 1 = -2b = -1a = 4 + 2.(-1)a = 2S = 1 e P = -2x² - x - 2 = 0Letra B.

37) a) x.n = 504 → x = 504/n(x - 8).(n + 4) = 504

(504/n - 8).(n + 4) = 504(504 - 8n)/n).(n + 4) = 504(504n + 2016 - 8n² - 32n)/n = 504504n - 8n² - 32n + 2016 = 504n -8n² - 32n + 2016 = 0 ÷(-8)n² + 4n - 252 = 0Δ = 42 - 4.1.(-252)Δ = 16 + 1008 Δ = 1024n’ = (-4 + √1024)/2.1 n’’ = (-4 - √1024)/2.1n’ = 28 / 2 n’’ = -36 / 2n’ = 14 n’’ = -18n + n + 4 = 14 + 14 + 4 = 32 dias

b) x - 8 = 504/14 - 8 = 36 - 8 = 28km

38) x4+8=9x²x4-9x²+8=0 Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-

vendo a equação:y² - 9y + 8 = 0Δ = (-9)2 - 4.1.8 Δ = 81 - 32 Δ = 49

y’ = (-(-9) + √49)/2.1 y’’ = (-(-9) - √49)/2.1

y’ = 16 / 2 y’’ = 2 / 2y’ = 8 y’’ = 1x’² = 8 x’’² = 1x’ = ±2√2 x’’ = ±1

39) x4 - 5x² + 4 = 0Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-

vendo a equação:y² - 5y + 4 = 0Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16Δ = 9y’ = (-(-5) + √9)/2.1 y’’ = (-(-5) - √9)/2.1y’ = 8 / 2 y’’ = 2 / 2y’ = 4 y’’ = 1x’² = 4 x’’² = 1x’ = ±2 x’’ = ±1média aritmética: (2 - 2 + 1 - 1)/4 = 0

40) (x + 2).(x - 2).(x + 1).(x - 1) + 5x² = 20(x² - 4).(x² - 1) + 5x² = 20x4 - x² - 4x² + 4 + 5x² = 20x4 = 16x = ±2S = {-2,2}

41) Questão com erro!

42) x4 + ax² + 4 = 0Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-

vendo a equação:y² + ay + 4 = 0Para que a equação possua raízes, ∆ ≥ 0∆ = a² - 4.1.4∆ = a² - 16a² - 16 ≥ 0a² ≥ 16a ≥ ±4

43) a) (x - √2).(x + √2).(x - 3).(x + 3) = 0(x² - 2).(x² - 9) = 0x4 - 9x² - 2x² + 18 = 0x4 - 11x² + 18 = 0

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b) (x - √5).(x + √5).(x - 0).(x + 0) = 0(x² - 5).x² = 0x^4 - 5x² = 0

44) a) (x - √3).(x + √3).(x - 2).(x + 2) = 0(x² - 3).(x² - 4) = 0x4 - 4x² - 3x² + 12 = 0x4 7x² + 12 = 0

b) (x - √2a).(x + √2a).(x - 1/2a).(x + 1/2a) = 0(x² - 2a).(x² - 1/4a²) = 0x^4 - x²/4a² - 2ax² - 2a/4a² = 0x^4 - (1/4a² + 2a).x² - 1/2a = 0

c) (x - 2m).(x + 2m).(x - m).(x + m) = 0(x² - 4m²).(x² - m²) = 0x4 - m²x² - 4m²x² + 4m^4 = 0x4 - 5m²x² + 4m^4= 0

d) (x - √(3+√5) ).(x + √(3+√5) ).(x - √(3-√5) ).(x + √(3-√5) ) = 0

[x² - (3 + √5)].[x² - (3 - √5)] = 0(x² - 3 - √5).(x² - 3 + √5) = 0x4 - 3x² + √5.x² - 3x² + 9 - 3√5 - √5.x² + 3√5 - 5 = 0x4 - 6x² + 4 = 0

45) (x/x+1)2+(x/x-1)2 = 10/9x²/(x+1²)+x²/(x-1²) = 10/9 x2.(x-1)2+x².(x+1)²/(x+1)2.(x-1)² = 10/9 x2.(x2-2x+1)+x².(x2+2x+1)/(x2+2x+1).(x2-2x+1) =

10/9 x4-2x³+x²+x4+2x³+x² / x4-2x³+x²+2x³-4x²+2x+x²-

2x+1 = 10/9 2x4+2x²/x4-2x²+)=10/9 18x4 + 18x² = 10x4 - 20x² + 108x4 + 38x² - 10 = 04x4 + 19x² - 5 = 0Usando uma variável auxiliar y = x² e reescre-

vendo a equação:4y² + 19y - 5 = 0Δ = 192 - 4.4.(-5) Δ = 361 - 4. 4 . -5 Δ = 441y’ = (-19 + √441)/2.4 y’’ = (-19 - √441)/2.4y’ = 2 / 8 y’’ = -40 / 8y’ = 1/4 y’’ = -5x’² = 1/4 x’’² = -5x’ = ±1/2

46) (x - √2).(x + √2).(x - 3).(x + 3) = 0(x² - 2).(x² - 9) = 0x4 - 9x² - 2x² + 18 = 0x4 - 11x² + 18 = 0Letra D.

47) (x - 2).(x + 2).(x - 0).(x + 0) = 0(x² - 4).x² = 0x4 - 4x² = 0

48) (x - 2).(x + 2).(x - 3).(x + 3) = 0(x² - 4).(x² - 9)= 0x4 - 9x² - 4x² + 36 = 0x4 - 13x² + 36 = 0

49) a) x-)/2+1/x=-3x.(x-3)+1.2/2x=-3 x²-3x+2=-6x x² + 3x + 2 = 0Δ = 32 - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1x’ = (-3 + √1)/2.1 x’’ = (-3 - √1)/2.1x’ = -2 / 2 x’’ = -4 / 2x’ = -1 x’’ = -2

b) 8/x-10/x²=3/2 (8x-10)/x²=3/2 16x - 20 = 3x²3x² - 16x + 20 = 0Δ = (-16)2 - 4.3.20 Δ = 256 - 240Δ = 16x’ = (-(-16) + √16)/2.3 x’’ = (-(-16) - √16)/2.3x’ = 20 / 6 x’’ = 12 / 6x’ = 10 / 3 x’’ = 2

c) 1/3-x+6/x²-9=2/x 1/3-x.-1/-1+6/(x-3)(x+3)=2/x-1/x-3+6/(x-3)(x+3)=2/x -1.(x+3).x+6.x=2.(x-3)(x+3) -x² - 3x + 6x = 2x² - 18-x² + 3x = 2x² - 18x² - 3x - 18 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.(-18) Δ = 9 + 72 Δ = 81

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x’ = (-(-3) + √81)/2.1 x’’ = (-(-3) - √81)/2.1x’ = 12 / 2 x’’ = -6 / 2x’ = 6 x’’ = -3

d) 2x²+2/x²-1-2/x-1 = x-2/x+1 2x²+2/(x-1)(x+1)-2/x-1 = (x-2)/(x+1) 1.(2x² + 2) - (x + 1).2 = (x - 1)(x - 2)2x² + 2 - 2x - 2 = x² - 2x - x + 22x² = x² - x + 2x² + x - 2 = 0Δ = 12 - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8Δ = 9x’ = (-1 + √9)/2.1 x’’ = (-1 - √9)/2.1x’ = 2 / 2 x’’ = -4 / 2x’ = 1 x’’ = -2

e) a/(x-b)-b/(x-a)=2a.(x - a) - b.(x - b) = 2.(x - a)(x - b)ax - a² - bx + b² = 2.(x² - bx - ax + ab)ax - a² - bx + b² = 2x² - 2bx - 2ax + 2ab2x² - bx - 3ax + a² - b² + 2ab = 02x² - (b + 3a).x + a² - b² + 2ab = 0Δ = (-b - 3a)² - 4.2.(a² - b² + 2ab)Δ = b² + 6ab + 9a² - 8a² + 8b² - 16abΔ = 9b² - 10ab - a²x = -[-(a+b)±√(9b² - 10ab - a²x = (+b±√9b² - 10ab - a²/4

50) a) Substituindo a primeira equação na se-gunda:

3/2y+y = 1/3 3/3y = 1/3 1/y = 1/3 y = 3x = 2.3 = 6

b) Trabalhando coma segunda equação:2(x + y) = 10x + y = 5x = 5 - ySubstituindo na primeira equação:5-y/5-y+y = 3/5 5-y/5 = 3/5 5 - y = 3y = 2x = 5 - 2 = 3

c) Trabalhando coma primeira equação:9x - 3y = 21y - 7x16x = 24yx = 24y/16x = 3y/2Substituindo na segunda equação:9/4.3y/2-3 = 5/4y-3 9/6y-3 = 5/4y-3 30y - 15 = 36y - 276y = 12y = 2x = 3.2 / 2 = 3

d) Trabalhando com a primeira equação:1/x-5/6 =1/y Substituindo na segunda equação:3/x+2.1/y=2 3/x+2.(1/x-5/6)=2 3/x+2.(6-5x/6x)=2 3/x+(6-5x)/3x=2 3.3 + (6 - 5x).1 = 2.3x9 + 6 - 5x = 6x11x = 15x = 15/11

1/15/11 - 5/6 = 1/y 11/15 - 5/6 = 1/y 11.2-5.5/30 = 1/y-3/30 = 1/y-1/10 = 1/y-y = 10y = -10

51) √3x-20-√2x-5=0√3x-20=√2x-5 Elevando ambos os lados ao quadrao:3x - 20 = 2x - 5x = 15Letra A.

52) a) √(2x²-1)=x 2x² - 1 = x²x² = 1x = ±1

b) (3x-1)=1Elevando ambos os lados ao cubo:

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3x - 1 = 13x = 2x = 2/3

c) 1+√(3x-1)=1 √(3x-1)=0 3x - 1 = 03x = 1x = 1/3

d) x - √x = 2√x = 2 - xElevando ao quadrado dos dois lados:x = 4 - 4x + x²x² - 5x + 4 = 0Δ = (-5)2 - 4.1.4 Δ = 25 - 16 Δ = 9x’ = (-(-5) + √9)/2.1 x’’ = (-(-5) - √9)/2.1x’ = 8 / 2 x’’ = 2 / 2x’ = 4 x’’ = 1

e) √(x+7)+1=2x√(x+7)=2x-1 x + 7 = 4x² - 4x + 14x² - 5x - 6 = 0Δ = (-5)2 - 4.4.(-6)Δ = 25 + 96 Δ = 121x’ = (-(-5) + √121)/2.4 x’’ = (-(-5) - √121)/2.4x’ = 16 / 8 x’’ = -6 / 8x’ = 2 x’’ = -0,75

f) 1 + √(x²-1)=x√(x²-1)=x-1 x² - 1 = x² - 2x + 12x = 2x = 1

g) 2x = 3 + √(x-1)√(x-1)=2x-3 x - 1 = 4x² - 12x + 94x² - 13x + 10 = 0Δ = (-13)2 - 4.4.10 Δ = 169 - 160Δ = 9x’ = (-(-13) + √9)/2.4 x’’ = (-(-13) - √9)/2.4 x’ = 16 / 8 x’’ = 10 / 8x’ = 2 x’’ = 5/4

h) √(4x+7)-√(2x+8)=0√(4x+7)=√(2x+8) 4x + 7 = 2x + 82x = 1x = 1/2

i) √(x+7)=5-√(x+2)√(x+7)+√(x+2)=5 x + 7 + 2√((x+7)(x+2))+x+2=5 2x + 9 + 2√(x²+2x+7x+14) = 52√(x²+9x+14)=2x-4 √(x²+9x+14)=x-2 x² + 9x + 14 = x² - 4x + 413x = -10x = -10/13

j) √(6+x)+√(2x+10)=16 + x + 2√((6+x)(2x+10))+2x+10=13x + 16 + 2√(12x+60+2x²+10x)=12√(2x²+22x+60)=-3x-15 √(2x²+22x+60)=(-3x-15)/2 2x²+22x+60=(9x²+90x+225)/4 8x² + 88x + 240 = 9x² + 90x + 225x² + 2x - 15 = 0Δ = 22 - 4.1.(-15)Δ = 4 + 60Δ = 64x’ = (-2 + √64)/2.1 x’’ = (-2 - √64)/2.1x’ = 6 / 2 x’’ = -10 / 2x’ = 3 x’’ = -5

k)√(2+√(2x-2)) =22 + √(2x-2) = 4√(2x-2) = 22x - 2 = 42x = 6x = 3

l) Desconsiderarm) Desconsiderar

53) x - 3 = 2.√xx² - 6x + 9 = 4xx² - 10x + 9 = 0Δ = (-10)2 - 4.1.9 Δ = 100 - 36 Δ = 64x’ = (-(-10) + √64)/2.1 x’’ = (-(-10) - √64)/2.1

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x’ = 18 / 2 x’’ = 2 / 2x’ = 9 x’’ = 1Letra D.

54) x + √(x-1)=1√(x-1) = 1 - xx - 1 = 1 - 2x + x²x² - 3x + 2 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1x’ = (-(-3) + √1)/2.1 x’’ = (-(-3) - √1)/2.1x’ = 4 / 2 x’’ = 2 / 2x’ = 2 x’’ = 1x’x’=2²=4 x’’^x’’=1¹=1

55) √x+√(x-12)=6√(x-12)=6 - √xx - 12 = 36 - 24√x + 4x24√x = 36 + 4x - x + 12√x = (48+3x)/24x = 2304+288x+9x²/576576x = 2304 + 288x + 9x²9x² - 288x + 2304 = 0x² - 32x + 256 = 0Δ = (-32)2 - 4.1.256 Δ = 1024 - 1024Δ = 0x’ = -(-32) + √0)/2.1 x’’ = -(-32) - √0)/2.1x’ = 32 / 2 x’’ = 32 / 2x’ = 16 x’’ = 16

56) √(x+11)-√(14-x)=1x + 11 - 2√((x+11)(14-x))+14-x=125 - 2√(14x-x²+154-11x) = 1-2√(-x²+3x+154)=-24 √(-x²+3x+154)=12 -x² + 3x + 154 = 144x² - 3x - 10 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.(-10)Δ = 9 + 40 Δ = 49x’ = (-(-3) + √49)/2.1 x’’ = (-(-3) - √49)/2.1

x’ = 10 / 2 x’’ = -4 / 2x’ = 5 x’’ = -2

57) a) √7x = 27x = 4x = 4/7

b) (4x-3)=14x - 3 = 14x = 4x = 1

c) 2x=(x-6)2x = x - 6x = -6

d) √(x²+√(2x+1)) =2-x x² + √(2x+1) = 4 - 4x + x²√(2x+1) = 4 - 4x2x + 1 = 16 - 32x + 16x²16x² - 34x + 15 = 0Δ = (-34)2 - 4.16.15 Δ = 1156 - 960Δ = 196x’ = (-(-34) + √196)/2.16 x’’ = (-(-34) - √196)/2.16x’ = 48 / 32 x’’ = 20 / 32x’ = 1,5 x’’ = 0,625

e) √(x+√(x+1)) =√5 x + √(x+1) = 5√(x+1) = 5 - xx + 1 = 25 - 10x + x²x² - 11x + 24 = 0Δ = (-11)2 - 4.1.24 Δ = 121 - 96Δ = 25x’ = (-(-11) + √25)/2.1 x’’ = (-(-11) -

√25)/2.1x’ = 16 / 2 x’’ = 6 / 2x’ = 8 x’’ = 3

Desafiando:1) Comprimento do quadro completo = x + 50 + x = 50 + 2x

Largura do quadro completo = x + 30 + x = 30 + 2x

Área do quadro completo:(50 + 2x)(30 + 2x) = 24001500 + 160x + 4x² = 2400

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4x² + 160x + 1500 - 2400 = 04x² + 160x - 900 = 0 (÷4)x² + 40x - 225 = 0Δ = 40² - 4(-225)Δ = 1600 + 900Δ = 2500√Δ = √2500 = ±50x = (-40 ± 50)/2x’ = (-40 + 50)/2 = 10/2 = 5 cmx” (negativa, não serve)Largura da moldura = 5 cm.

2) a) ax² - 3ax + a² = 0Δ = (-3a)² - 4.a.a²Δ = 9a² - 4a³Δ = a².(9 - 4a)x = (-(-3a) ±√(a².(9-4a)))/(2.a)x = (3a±a√(9-4a))/2ax = (3±√(9-4a))/2

b) abx² - (a + b).x + 1 = 0Δ = (-a - b)² - 4.ab.1Δ = a² + 2ab + b² - 4abΔ = a² - 2ab + b²Δ = (a - b)²x = (-(-a-b) ±√((a+b)²))/(2.ab)x = (a+b±(a+b))/2abx’ = (a+b+a+b)/2ab ou x’’ = (a+b-(a+b))/2abx’ = (2a+2b)/2ab ou x’’ = (a+b-a-b)/2abx’ = (a+b)/ab ou x’’ = 0/2abx’ = (a+b)/ab ou x’’ = 0

c) Igual ao item b, mas ao invés de a é m, e ao invés de b é k.d) x² - 2ax + a² - b² = 0

Δ = (-2a)² - 4.1.(a² - b²)Δ = 4a² - 4a² + 4b²Δ = 4b²x = (-(-2a) ±√4b²)/2.1x = (2a ±2b)/2x = a ± b

3) x² - 4x + k = 0 a.a.b.b.a.b.b.a = 16a.b.a.b.a.b.a.b = 16(ab)4 = 2^4ab = 2

c/a = 2 (este a é o a que acompanha x², e não a raiz a trabalhada até então)

c/1 = 2c = 2Como k = c, então k = 2. Logo, k² = 4.Letra C.Dica: não usar a e b como sendo as raízes

pois isso confunde com os coeficientes a e b da equação.

4) 5 . 1/a = -(2 . 1/b)5/a = -2/b-2a = 5ba = -5b/210x² + 3x + 10ab = 0Como b é raiz, faremos:10b² + 3b + 10ab = 010b² + 3b + 10.(-5b/2).b = 010b² + 3b - 50b²/2 = 010b² + 3b - 25b² = 0-15b² + 3b = 0 ÷(-3)5b² - b = 0b.(5b - 1) = 0b = 0 ou 5b - 1 = 0b = 0 ou 5b = 1b = 0 ou b = 1/5Se b = 0, então a = 0.Se b = 1/5, então a = (5.1/5/2 = -1/2.

5) x² - 4x + k = 0Δ = (-4)² - 4.1.kΔ = 16 - 4kΔ = 4.(4 - k)x = -(-4)±√4.(4 - k)/2.1x = 4±2√(4 - k)/2x = 2±√(4 - k)Sem perda de generalidade chamaremos:R = 2+√(4 - k) e S = 2-√(4 - k) SR.RS.SR.RS=256S2R.R2S=256 (SR.RS )2=16² SR.RS=16

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6) 2x² - x - 16 = 0 Δ = (-1)2 - 4.2.(-16) Δ = 1 + 128 Δ = 129x’ = (-(-1) + √129)/2.2 x’’ = (-(-1) - √129)/2.2x’ = (1 + √129)/4 x’’ = (1 - √129)/4r = 1+√129/4 e s = 1-√129/4r4-s4/r3+r2.s+r.s²+s³ (r2+s2)(r2-s2)/r2.(r+s)+s².(r+s) (r2+s2 )(r+s)(r-s))/(r2+s²)(r+s) r - s1+√12)/4-1-√129/4 1+√129-1+√129/4 2√129/4 √129/2 Letra A.

7) 4x² - 4x + 2m - 1 = 0Para que a equação não tenha raízes reais,

∆ < 0.∆ = (-4)² - 4.4.(2m - 1)∆ = 16 - 32m + 16∆ = 32 - 32m32 - 32m < 032m > 32m > 1

8) c4 x4 + c².(a² - b²).x² - a²b² = 0Usando uma variável auxiliar x² = y teremos:c4 y² + c².(a² - b²).y - a²b² = 0Δ = [c².(a² - b²)}² - 4. c4.(-a²b²)Δ = c4.(a² - b²)² + 4c4a²b²Δ = c4.(a4-2a²b²+b4) + 4c4a²b²Δ = c4 a4-2c4 a²b²+c4 b4 + 4c4a²b²Δ = c4 a4+2c4 a²b²+c4 b4

Δ = c4.( a4+2a2 b2+b4)Δ = c4.( a2+b2)²y = -[c2.(a2- b2)]±√(c4.( a2+b22)²)/2.c4

y = (-c2.(a2- b^2 )±[c2.(a2+b2 )])/2c4

y = (-c2 a²+c²b²±(c2 a2+c2 b2))/2c4

y’ = -c2 a²+c²b²+c2 a2+c²b²/2c4 ou y’’ = -c2 a²+c²b²-(c2 a2+c2 b2)/2c4

y’ = -a²+b²+a2+b²/2c2 ou y’’ = -c2 a²+c²b²-c2 a2-c2 b2)/2c4

y’ = 2b²/2c2 ou y’’ = -a²+b²-a2-b2/2c2

y’ = b²/c2 ou y’’ = -2a²/2c2

y’ = b²/c2 ou y’’ = -a²/c2 x’ ² = b²/c2 ou x’’ ² = (-a²)/c2 x’ = b/c

9) (x+m)/(x-m)+2=(x+n)/(x-n)(x + m).(x - n) + 2.(x - m).(x - n) = (x + n).(x - m)x² - nx+ mx - mn + 2.(x² - nx - mx + mn) = x² -

mx + nx - mn-nx + mx + 2x² - 2nx - 2mx + 2mn + mx - nx = 02x² - 4nx + 2mn = 0 x² - 2nx + 2mn = 0Δ = (-2n)² - 4.1.2mnΔ = 4n² - 8mnΔ = 4.(n² - 2mn)x = -(-2n)±√4.(n² - 2mn)/2.1x = 2n±2√n² - 2mn/2x = n±√n² - 2mn

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LINHAS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇAS

25

Praticando:1) a) x/14 = 9/12

12x = 126x = 126/12x = 10,5

b) 3x/6 = 2/(x + 3)x/2 = 2/(x + 3)x.(x + 3) = 4x² + 3x - 4 = 0Δ = 32 - 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25x’ = (-3 + √25)/2.1 x’’ = (-3 - √25)/2.1 x’ = 2 / 2 x’’ = -8 / 2x’ = 1 x’’ = -4y - 1 = 3.1 + 6y = 10

c) 5/x = 2/32x = 15x = 15/2 = 7,52/x = 6/y2/(15/2) = 6/y2.(2/15) = 6/y4/15 = 6/y4y = 90y = 22,5

d) 28/x = 14/102/x = 1/10x = 20y/15 = 24/1010y = 360y = 36

2) a - b = 4a = 4 + ba/b = 12/8(4 + b)/b = 3/28 + 2b = 3bb = 8a = 4 + 8 = 12

3) x/12 = (2 + x - 7)/(x - 7)x/12 = (x - 5)/(x - 7)12.(x - 5) = x.(x - 7)12x - 60 = x² - 7xx² - 7x - 12x + 60 = 0x² - 19x + 60 = 0Δ = (-19)2 - 4.1.60 Δ = 361 - 240 Δ = 121x’ = (-(-19) + √121)/2.1 x’’ = (-(-19) - √121)/2.1x’ = 30 / 2 x’’ = 8 / 2x’ = 15 x’’ = 415/12 = 20/y15y = 240y = 16

4) (2x+6)/12=3x/1632x + 96 = 36x4x = 96x = 24cm

5) x + y = 13y = 13 - x15/x=24/y 15/x=24/(13-x)


Linhas proporcionais e semelhanças

Objetivos de aprendizagem:• Identificar e relacionar segmentos deter-

minados pela interseção entre diferentes retas transversais e um feixe de retas paralelas, reco-nhecendo o Teorema de Tales;

• Aplicar o teorema na construção de seg-mentos determinados pelas bissetrizes internas de um triângulo;

• Estabelecer condições de semelhança en-tre polígonos e seus parâmetros algébricos;

• Estabelecer relações de semelhança entre triângulos.

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21LINHAS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇAS

26

195 - 15x = 24x39x = 195x = 5y = 13 - 5y = 8

6) x + y = 15y = 15 - x8/x=12/y 8/x=12/15-x 120 - 8x = 12x20x = 120x = 6cm y = 15 - 6 = 9cmy - x = 9 - 6 = 3cm

7) 2x/12=(x+8)/1020x = 12x + 968x = 96x = 12cm

8) a) 4/3=x/23x = 8x = 8/3

b) 6/x-1 = x+4/x6x = (x - 1).(x + 4)6x = x² + 4x - x - 4x² + 3x - 4 - 6x = 0x² - 3x - 4 = 0Δ = (-3)2 - 4.1.(-4) Δ = 9 + 16 Δ = 25x’ = (-(-3) + √25)/2.1 x’’ = (-(-3) - √25)/2.1x’ = 8 / 2 x’’ = -2 / 2x’ = 4 x’’ = -1

9) a) CD/C’D’ = 3/2b) 3/2 = 2,1/x

3x = 4,2x = 1,4cm

c) 105º

10) x + y + z + w = 3726/w = 28/z28w = 26z

w = 26z/28w = 13z/14

34/y = 28/z28y = 34zy = 34z/28y = 17z/14

60/x = 28/z28x = 60zx = 60z/28x = 15z/7

15z/7 + 17z/14 + z + 13z/14 = 372.15z + 1.17z + 14.z + 1.13z = 14.3730z + 17z + 14z + 13z = 51874z = 518z = 7cmw = 13.7/14 = 6,5cmy = 17.7/14 = 8,5cmx = 15.7/7 = 15cm

11) a/a’ = b/b’ = 2/5 , onde a e b são as dimensões do triangulo menos e a’ e b’ são as dimensões do triangulo maior (pois a razão tem o maior núme-ro no denominador).a) a/50 = 2/5

a = 100/5a = 20cm2.50 + 2b’ = 4002b’ = 400 - 100b’ = 300/2b’ = 150cmb/150 = 2/5b = 300/5b = 60cm

b) 2a + 2b = 2.20 + 2.60 = 40 + 120 = 160cm

12) a) Note que os triângulos ABC e ADC são se-melhantes. Então:

9/x = x/4 x² = 36x = 6

9/6 = 5/y9y = 30y = 30/9 = 10/3

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b) Note que os triângulos ABC e BDC são seme-lhantes.

x/5 = 6/4 4x = 30x = 7,5

6/4 = (4 + y)/616 + 4y = 364y = 20y = 5

13) 8/6 = 6,4/x8x = 38,4x = 4,8cm

8/6 = 4,8/y8y = 28,8y = 3,6cmx + y = 4,8 + 3,6 = 8,4cm

14) 45/20 = r/1020r = 450r = 22,5cmLetra A.

15) 80/30 = 16/x8/3 = 16/x1/3 = 2/xx = 6mr = x/2 = 3mLetra A.

Aprofundando:1) 60/x = 20/5

60/x = 4/115/x = 1/1x = 15cm

60/y = 20/63/y = 1/6y = 18cm

60/z = 20/93/z = 1/9z = 27cm

2) 60/x = 40/560/x = 8/18x = 60x = 7,5cm

60/y = 40/860/y = 5/112/y = 1/1y = 12cm

60/z = 40/113/z = 2/112z = 33z = 16,5cm

60/w = 40/163/w = 2/163/w = 1/8w = 24cm

3) x/40=180/90x/40=2 x = 80m

y/30=180/90 y/30=2 y = 60m

z/20=180/90 z/20=2 z = 40m

x+ y + z = 80 + 60 + 40 = 180m

4) 250 . 12 = 3000 m = 3km => túnel 1AX/AC = BX/BD3/1 = BX/1,5BX = 4,5km

4,5km = 4500m4500 ÷ 12 = 375 dias375 - 250 = 125 dias

O túnel 2 deverá começar sua construção 75 dias antes do túnel 1.

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5) Note que os triangulos RQS e RPT são seme-lhantes.

6/4 = TP/33/2 = TP/32TP = 9TP = 4,5 km4 / 2 = SR / 3 → SR = 6Percurso = 19,5 km

6) Usando o Teorema da bissetriz interna:7,5/(x - 2) = 10/x10x - 20 = 7,5x2,5x = 20x = 8cmBC = x - 2 + x = 8 - 2 + 8 = 14cmLetra C.

7) BC + CA = 27BC = 27 - CABC/5 = CA/4(27 - CA)/5 = CA/45CA = 108 - 4CA9CA = 108CA = 12cmBC = 27 - 12 = 15cm

8)

8/x = 6/(10 - x)6x = 80 - 8x14x = 80x = 80/14 ≅ 5,7cm10 - x ≅ 4,3cm

9)

7/(12 - x) = 8/x 96 - 8x = 7x15x = 96x = 96/15 = 6,4m12 - x = 5,6m

10) 4/(5 - x) = 6/x30 - 6x = 4x10x = 30x = 3cm = DC5 - x = 2cm = AD

11) Seja o menor lado igual a x. Desse modo, os outros dois serão (x + 1) e (x + 2), onde (x + 2) é o maior lado.

x + x + 1 + x + 2 = 123x + 3 = 123x = 9x = 3cmPortanto, os lados são 3cm, 4cm e 5cm. A

bissetriz interna sobre o lado que mede 5cm irá dividi-lo em duas partes de medidas y e (5 - y). Usando o Teorema da Bissetriz Interna:

3/y = 4/(5 - y)4y = 15 - 3y7y = 15y = 15/7cm5 - y = 5 - 15/7 = (7.5 - 1.15)/7 = 20/7cm

12) Usando o Teorema da Bissetriz Interna:(2x + 6)/24 = 3x/30(2x + 6)/24 = x/1024x = 20x + 604x = 60x = 15cmAB = 2.15 + 6 = 36cmAC = 3.30 = 90cm

13) Chamemos o lado MP de x e o segmento CP de y.

NC/y = 2/3NC = 2y/3Usando o Teorema da Bissetriz Interna:x/y=12/(2y/3) x/y=12.3/2y x/y=6.3/y x/y=18/y x = 18cm = MPLetra B.

14) a) 1/200 = 5/aa = 1000cm = 10m1/200 = 6/bb = 1200cm = 12m

b) Ap = 5.6 = 30cm²c) Ar = 10.12 = 120m²

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15) Como BC e DE são paralelas, os triângulos ABC e ADE serão semelhantes.

70/DE = 50/3070/DE = 5/35DE = 210DE = 42km

16) Note que os triângulos ABC e ADE são seme-lhantes, pois possuem o angulo Â em comum, e os ângulos

^C e ^D são iguais, logo, os ângulos

^E e ^B também são iguais.

28/y = 20/1028/y = 22y = 28y = 14cm20/10 = 16/x2 = 16/x2x = 16x = 8cm

17) Fazendo Pitágoras no triangulo ABC:AC² + 12² = 20²AC² + 144 = 400AC² = 256AC = 16cmOs triângulos ABC e BDE são iguais pois pos-

suem os 3 ângulos congruentes. AC/AB = DE/EB16/12 = DE/312DE = 48DE = 4cm

18) Os triângulos ABC e CDE são iguais pois pos-suem os 3 ângulos congruentes.

AC/DC = AB/DE15/5 = 8/x3 = 8/x3x = 8x = 8/3 cm

19) Como AO e BC são paralelos, os triângulos POA e PBC são semelhantes, pois possuem 3 ân-gulos congruentes.

AO/BC = PO/PB25/40 = x/(x + 30)40x = 25x + 750

15x = 750x = 50mLetra E.

20) Seja x a profundidade do poço.1,6 / x = 0,5 / 1,10,5x = 1,76x = 3,52m

21) Temos um caso de Semelhança de Triângulos

x / 1,8 = 9 / 2,7 2,7x = 16,2x = 6mLetra B.

22) Temos um caso de Semelhança de Triângulos

(12,3 + x)/12,3 = 4/1,518,45 + 1,5x = 49,21,5x = 30,75x = 20,5mGABARITO: letra A.

23) Note que os triangulos ABC, FBD e CED são semelhantes. Assim:

4/(4 - x) = 6/x 24 - 6x = 4x10x = 24x = 2,4

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24) Temos ∆ABC ~ ∆CED, pois ^B ≡

^D ≡ 90º B^AC ≡ D

^CE Então: AB/CD = BC/DE → (9 − 6)/(6 − x) = 6/x → 3x =

6.(6 − x) → 3x = 36 − 6x → 9x = 36 → x = 4 períme-tro = 4.x = 4.4 = 16

25) Os triângulos ABC e AMP são semelhantes pois possuem o ângulo Â em comum, e como BQMP é um losango, BQ // MP, logo, A

^MP ≡ A^B

C e A^P M ≡ A

^CB.20/(20 - x) = 5/x2x = 100 - 5x7x = 100x = 100/7cmperímetro = 4 . 100/7 = 400/7cm

26) Semelhança entre os triângulos DAB e EFB:EF/AD = FB/ABEF/12 = FB/20Semelhança entre os triângulos CMB e EMF:EF/BC = MF/MBEF/12 = MF/1010EF/12 = MFMas temos que MF + FB = 10 → FB = 10 – MF.

Substituindo na primeira equação:EF/12 = (10 – MF)/20Substituindo a segunda equação nesta últi-

ma:EF/12 = 10-10EF/12/20 EF/12 = 120-10EF/12/20 EF/12 = 120-10EF/240 240EF = 1440 - 120EF360EF = 1440EF = 4cmOs retangulos ABCD e AFEG são semelhan-

tes, portanto:DC/EG = AD/EF20/EG = 12/420/EG = 33EG = 20EG = 20/3 cm

27) Igual à questão anterior.

28) A base é o dobro da altura, então vamos cha-mar de x a altura do retângulo e 2x sua base.

Repare agora que o triângulo ABC é seme-

lhante do triângulo ADG, ou seja o segmento de um deles sobre o segmento correspondente no outro é uma constante. Assim podemos montar uma relação entre a altura do triângulo ABC e do ADG e também de suas bases.

Altura do triângulo ABC = hAltura do triângulo ADG = h - xBase do triângulo ABC = bBase do triângulo ADG = b - 2x Assim, podemos montar e resolver a seguin-

te equivalência:(h-x)/h=2x/b 2hx = b.(h - x)2hx = bh - bx2hx + bx = bhx.(2h + b) = bhx = bh/(2h+b)Letra D.

Desafiando:1) Com os valores dados no enunciado, chega-mos à conclusão que GE = 8cm. E vamos chamar BE = x.

Começamos fazendo uma semelhança de triângulos nos triângulos ABF e DGF

AB/DG = BF/GFAB/DG = (32 + x)/24Agora aplicamos uma semelhança de triân-

gulos nos triângulos ABE e CGEAB/BE = CG/GESendo um paralelogramo, sabemos que CD

= AB.Substituindo os valores conhecidos e trocan-

do CG = CD - DG = AB - DG:AB/x=(AB-DG)/8 8AB = AB.x - DG.xDG.x = AB.x - 8AG

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DG.x = AB.(x - 8)x/(x-8)=AB/DG Veja que agora podemos substituir o primei-

ro valor encontrado nessa equação:x/(x-8)=(32+x)/24 24x = 32x + x² - 256 - 8xx² + 24x - 256 - 24x = 0x² - 256 = 0x² = 256x = 16cm

2) Como MN // AC, então os triângulos ABC e BMN são semelhantes, pois possuem 3 ângulos congruentes. Chamando BN de x

24/6 = 20/(20 - x)4 = 20/(20 - x)4.(20 - x) = 2020 - x = 5x = 20 - 5x = 15cm

3) Como AB // MN, temos que os triângulos ABC e MNC são congruentes, por possuírem 3 ângu-los congruentes.

32/36 = 10/x32x = 360x = 11,25cm

4) No enunciado acrescentar:

“A bissetriz externa AS de = um triângulo (...)”Como AB e AC são o triplo e o dobro, respec-

tivamente, do menor segmento determinado pela bissetrix interna AP, então podemos con-cluir (por lógica, usando o Teorema da bissetriz interna como base) que PC= x é o menor dos segmentos.

Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:3x/(20-x)=2x/x 3x/(20-x)=2/1 3x = 40 - 2x5x = 40x = 8cm

(20+y)/3x=y/2x (20+y)/24=y/16 320 + 16y = 24y8y = 320y = 40cm

5) Observando o desenho podemos notar que os triângulos POD e PO’C são semelhantes, e os triângulos POD e PAE também. Então:

(4+x)/4=(14+x)/6 24 + 6x = 56 + 4x2x = 32x = 16cm(x+4)/4=(x+8)/h 20/4=24/h5 = 24/h5h = 24h = 4,8cm

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6) Com as informações do enunciado podemos chegar ao desenho ao lado. Temos então dois triângulos retângulos semelhantes, cujas suas hipotenusas são:

(3 + x) e (11 - x), e seus catetos são, respecti-vamente, 3 e 4. Portanto:

(3+x)/(11-x)=3/4 12 + 4x = 33 - 3x7x = 21x = 3Os segmentos que procuro são:3 + x = 6 me11 - x = 8 m

7) 24/x = 18/6 24/x = 33x = 24x = 8cm

8) Trace uma reta CF, onde F é um ponto em ED, tal que CF // AB. Então os triângulos BMD e CFD são semelhantes.

BM/CF=BD/CD 5/CF=16/6 16CF = 30CF = 30/16CF = 15/8

Os triângulos AMF e CEF são semelhantes pois possuem 3 ângulos congruentes.

AE/EC=AM/CF (10-x)/x=5/(15/8)40 x = 150 – 15x55 x = 150x = 30 / 11

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RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

33

Praticando:1) O muro faz um ângulo de 90º com o solo, as-sim, teremos um triangulo retângulo onde a es-cada é a hipotenusa.

4² = (2,4)² + x²16 = 5,76 + x²x² = 10,24x² = 1024/100x = 32/10x = 3,2 mLetra D.

2) Num triangulo isósceles, a altura divide a base em duas partes iguais. Portanto, faremos Pitá-goras no triangulo AHC onde a hipotenusa é o lado que queremos descobrir e AH e HC são os catetos.

HC = 8/2 = 4cmAC² = AH² + HC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = 5cmLetra B.

3) 10² = x² + (2x)²100 = x² + 4x²5x² = 100x² = 20x = √20 = 2√5 cmx + 2x = 2√5+ 4√5=6√5 cmLetra C.

4) h = (l√3)/2 = (6√3 √3)/2 = 3.3 = 9m

5) d = l√26√2 = l√2l = 6mperímetro = 4.6 = 24m

6) h = l√3/22√3 = l√3/2 4√3=l√3 l = 4m perímetro = 3.4 = 12m

Aprofundando:1) Note que temos um triangulo retângulo de catetos iguais a 90cm e 5.24 = 120cm, e a hipote-nusa é a parte do corrimão que falta descobrir. Fazendo Pitágoras:

x² = 90² + 120²x² = 8100 + 14400x² = 22500x = 150cm30 + 150 + 30 = 210cm

2) O maior lado de um triangulo retângulo é sempre a hipotenusa. Chamemos AC de x e apli-camos pitágoras:

(2x)² = x² + (4√3)²4x² - x² = 16.33x² = 48x² = 16x = 4m2x = 2.4 = 8m

3) Pelas medidas é um triângulo retângulo, veja:15² = 9² + 12²225 = 81 + 144225 = 225Então vamos calcular altura do triângulo re-

tânguloah = bc15.h = 9.1215.h = 108


Relações entre as medidas de um triângulo retângulo

Objetivos de aprendizagem:• Identificar as principais medidas existentes

em um triângulo retângulo;

• Deduzir suas principais relações métricas, incluindo o Teorema de Pitágoras;

• Aplicar o Teorema de Pitágoras para deter-minar novas relações geométricas notáveis.

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22RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

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h = 108 ÷ 15h=7,2cm

4)

2² + y² = 10²4 + y² = 100y² = 96

x² = (2 + 8)² + y²x² = 10² + 96x² = 100 + 96x² = 196x = 14Letra A.

5) a = 2 + 4 = 6cmm = 4cmn = 2cmx = cx = b

b² = amb² = 6.4b² = 24b = 2√6 cm

c² = anc² = 6.2c² = 12c = 2√3 cm

x.x = 2√6 . 2√3 = 4√18 = 4.3√2 = 12√2 cmLetra B

6) Aplicando Pitágoras no triangulo ABD:DB² = 3³ + 4³DB² = 9 + 16DB² = 25DB = 5

AD² = DB.DE3² = 5.DEDE = 9/5Note que FB = DE, portantoDB - DE - FB = EFEF = 5 - 9/5 - 9/5EF = 5 - 18/5EF = (25 - 18)/5EF = 7/5

7) A primeira hipotenusa tem valor2² + 2² = a²a = 2√2cmA segunda hipotenusa tem valor 2² + (2√2)² = a²a = 2√3cmRepetindo a construção para o terceiro, tere-

mos(2√3)²+2²= a²a = 2√4 = 4cmTemos, assim, um padrão: se estivermos na

-ésima construção, a hipotenusa será 2√(n+1).Primeira construção, hipotenusa: 2√(1+1)=

2√2cm.Segunda construção, hipotenusa: 2√(2+1) =

2√3 cm.Terceira construção, hipotenusa: 2√(3+1) =

2√4 = 2.2 = 4cm.Décima quinta construção, hipotenusa:

2√(15+1)=2√16=2.4=8cm.Letra D.

8) Como o exercício pede o valor de BP, vamos chamar este valor de x. Para melhorar os cálcu-los, marcaremos o ponto P e o comprimento x na folha ainda não dobrada.

Sabemos que o lado vale 1, portanto, o com-primento de CP irá valer (1 - x) e o comprimento de MB irá valer a metade do lado (pois é o ponto médio), ou seja, valerá 1/2. Marcando na figura, teremos:

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35

Agora, quando dobrarmos, devemos manter

estes valores, como mostra a figura abaixo:

No triângulo retângulo MBP podemos aplicar

Pitágoras e achar o valor de x:(1 - x)² = x² + (1/2)²1 - 2x + x² = x² + 1/42x = 1 - 1/42x = (4 - 1)/42x = 3/4x = 0,75 / 2x = 0,375Letra C.

9) A altura do trapézio faz um ângulo de 90º com a base, o lado não paralelo adjacente ao ângulo de 45º é a hipotenusa de um triangulo retângulo onde o cateto oposto ao angulo de 45º é a altura do triangulo (e altura do trapézio). O outro angu-lo deste triangulo também irá medir 45º, portan-to, trata-se de um triangulo isósceles retângulo, logo, seus catetos são iguais. Assim,

h² + h² = (√2)²2h² = 2h² = 1h = 1 m

10)

x² = n.(n + m)(2x)² = m.(n + m)4x² = m.(n + m)x² = (m.(n + m))/4

n.(n + m) = (m.(n + m))/44n.(n + m) = m.(n + m)4(n + m)/(n + m) = m/nm/n = 4

11) a) Um triangulo retângulo isósceles possui seus dois catetos iguais. Desse modo

x² + x² = a²2x² = a²a = √2x²a = x.√2

b) a = x.√2a/√2=x x = (a.√2)/(√2.√2)x = (a.√2)/2

12) Como o triangulo é retângulo isósceles então seus catetos são iguais. Chamando de x a medi-da de um dos catetos, então:

A = 3x(x.x)/2 = 3xx² = 6xx² - 6x = 0x.(x - 6) = 0x = 0 ou x - 6 = 0x = 0 ou x = 6cmx + x = 12cm6² + 6² = h²h² = 72h = 6√212 . √2/2 = 6√2(x + x) . √2/2 = h

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x + x = 2h/√2x + x = (2h.√2)/(√2.√2) = (2h.√2)/2 = h√2GABARITO: letra C.

13) Note que os triângulos são semelhantes, portanto:

k2/4 = 3/2k2 = 6(k2 + RQ)² = (NP + PQ)² + MN²(6 + 3)² = (4 + 2)² + k1²9² = 6² + k1²81 = 36 + k1²k1² = 45k1 = 3√5k1 + k2 = 3√5 + 6 = 3√5 + 3.2 = 3.(√5 + 2)Letra C.

14) (2,25)² + AB² = (10,25)²5,0625 + AB² = 105,0625AB² = 100AB = 10mLetra B.

Desafiando:1) O maior lado será (x + y), portanto, esta é a hipotenusa.

(x + y)² = (x - y)² + x²x² + 2xy + y² = x² - 2xy + y² + x²x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y² - x² = 0-x² + 4xy = 0x² - 4xy = 0x.(x - 4y) = 0x = 0 ou x - 4y = 0x = 0 ou x = 4yx = 0 ou x/y = 4

2) Sejam a e b as medidas dos lados do retân-gulo.

2a + 2b = 18a.b = 14 → a = 14/b

2.(14/b) + 2b = 1828/b + 2b = 181.28 + b.2b = b.1828 + 2b² -18b = 0b² - 9b + 14 = 0Δ = (-9)2 - 4.1.14

Δ = 81 - 16 Δ = 25b’ = (-(-9) + √25)/2.1 b’’ = (-(-9) - √25)/2.1b’ = 14 / 2 b’’ = 4 / 2b’ = 7 b’’ = 2a’ = 14/7 = 2m a’’ = 14/2 = 7mLogo, as medidas dos lados do retângulo são

7m e 2m. Seja um dos triângulos retângulos for-mado por cada um dos lados do retângulo e sua diagonal D. Assim:

D² = 2² + 7²D² = 4 + 49D² = 53D = √53mLetra E.

3) Vamos deslocar o circulo da extremidade inferior para o lado direito conforme mostra a figura. Assim, ligando os centros dos círculos te-remos um triangulo retângulo isósceles de lados 4cm, 4cm, e x. Então:

4² + 4² = x² 16 + 16 = x² x² = 32 x = 4√2cm

Note que o lado do quadrado é l = r + x + r = 2 + 4√2 + 2 = 4√2 + 4 cm.

Sabe-se que a diagonal de um quadrado é d = l.√2. Então:

d = (4√2 + 4).√2 = 4.2 + 4√2 = 8 + 4√2 cm

4) 9² + y² = 15² y² = 225 - 81y² = 144y = 12 milhas

15² = y.x225 = 12.xx = 18,75 milhas

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5) a)

AB² = 10² + (10√3)²AB² = 100 + 100.3AB² = 400AB = 20cm

AB² = AO.AC400 = AO.10AO = 40cmAO - AC = COCO = 40 - 10 = 30cm

b) 20π / 3 cm

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01

MATEMÁTICA DAS FRAÇÕES

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Praticando:1) Para chegar a 100 no denominador, precisa-mos multiplicar 75 por 1,3, portanto, multiplica-remos em cima e em baixo por 1,3.

18/75 x (1,3)/(1,3) = 24/100

2) 312/455 ÷ 13/13 = 24/35Portanto, a = 24 e b = 35, logo, a + b = 24 + 35

= 59

3) a.1/32/b.1/16 = a/32/b/16 = a/32 . 16/b = a/2b = a/b . 1/2 = a/b/2

Letra D.

4) A fração que preciso encontrar é a/b = 15/20, onde a + b = 84, então a = 84 - b.

a/b = 15/2020a = 15b20.(84 - b) = 15b1680 - 20b = 15b35b = 1680b = 48a = 84 - 48 = 36Então a fração que se procura é 36/48

5) 3/5 . 5/9.600 = 3/5 . 5/3 . 200 = 200 reaisLetra A

6) 2/7 + 1/3 + 1/5 = 15.2+ 35.1+21.1/105 = 86/105 105/105 - 86/105 = 19/105Portanto, Pitágoras, Sócrates, Diofanto e Eu-

clides comera, respectivamente, 19/105, 30/105, 35/105 e 21/105. O mais guloso é Diofanto e o menos guloso é Sócrates.

7) Digamos que Paulo possuísse x, então ao gas-tar 3/4 restam:

x - (3/4).x = (4x - 3x)/4 = x/4 Depois gatous 1/2 do resto, sobram então:x/4 - (1/2). x/4 = x/4 - x/8 = (2x-x)/8 = x/8x/8 = 7x = 56 reais

8) Seja a/b a fraçãoa + b = 16 → a = 16 - b(a+5)/(b+5) = 6/7 → 6b + 30 = 7a + 35 → 6b - 7a = 56b - 7.(16 - b) = 56b - 112 + 7b = 513b = 117b = 9a = 16 - 9 = 7Portanto, a fração é 7/9

9) Seja x a quantidade inicial, ao tirar 1/6 sobramx - 1/6.x = (6x - x)/6 = 5x/6 Ao serem retiradas mais 1/5, sobram:5x/6 - 1/5 5x/6 = 5x/6 - x/6 = 4x/6 = 2x/3Retira-se mais 1/4, sobram:2x/3-1/4.2x/3 = 2x/3 - x/6 = 4x-x/6 = 3x/6Retira-se mais 1/3, sobram:3x/6 - 1/3.3x/6 = 3x/6-x/6 = 2x/6Retira-se mais 1/2, sobram:2x/6 - 1/2.2x/6 = 2x/6 - x/6 = x/6x/6 = 3x = 18 mangas


Matemática das frações

Objetivos de aprendizagem:• Aprender o que é, como representar, como

classificar uma fração e conhecer suas princi-pais propriedades e operações;

• Aplicar os conceitos de frações em proble-mas contextualizados;

• Identificar o caso particular de números for-mados por frações decimais, representando-os

adequadamente, realizar operações envolvendo números decimais e compreender os conceitos de notação científica e ordem de grandeza;

• Compreender e saber calcular a origem de uma dízima periódica.

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01MATEMÁTICA DAS FRAÇÕES

40

10) Ainda falta para terminar o dia é 2/3 do que já passou, que chamarei de x.

x = tempo que já passou2/7.x = tempo que ainda vai passar24 horas = tempo passado + tempo que vai

passarx + 2/7.x = 24x.(1 + 2/7) = 24 x.((7+2)/7) = 24 x.(9/7) = 24 x = 24/(9/7)x = 24 . 7/9 x ≅ 18,7 h1 hora ------------- 60 min0,7 hora ------------- y miny = 60.0,7y = 40 minutosLetra B.

11) 52/3.t = 15652.t = 468t = 9 minLetra E

12) a) 0,9b) 0,0017c) 0,547d) 30,6

13) a) 78/100b) 10005/10000c) 8765/10000d) 5006/100

14) a) >b) <c) =

15) 8/10000 = 4/5000 = 2/2500 = 1/1250

16) a) 0,0068

+ 6,35006,3568- 3,9999 2,3569

b) 1,08+ 3,00 4,08 - 2,76 1,32

c) 0,378- 0,060 0,318- 0,245 0,073

17) 2 . 1,6 + 3 . 0,25 = 3,2 + 0,75 = 3,95Letra B.

18) Letra D.

19) (0,2 .0,7 -4 .0,01)/(0,5 .0,2) = (0,14 -0,04)/0,1 = 0,1/0,1 = 1

Letra C.

20) Seja x a quantidade de água que existia na cisterna.

x - (40/100).x = 1200x - (2/5).x = 1200x.(1 - 2/5) = 1200x.((5-2)/5) = 1200 x.(3/5) = 1200x = 1200/(3/5) = 1200.5/3 = 400.5 = 2000

21) a) 7 x 104

b) 8 x 10-3

c) (2 + 3) x 10-3 = 5 x 10-3

d) (1,4-0,2).10-4/10-3 = 1,2 x 10-7

e) 5,67 x 10-4

f) (10-10.10³)/(0,5 .10) = 10-7/5 = 10-7/5 g) 3 x 1023

h) 2 x10-5 + 10-6 = 20 x 10-6 + 1 x 10-6 = (20 + 1) x 10-6 = 21 x 10-6 = 2,1 x 10-5

i) 2 x 10-1 + 3 x10-2 = 20 x 10-2 + 3 x 10-2 = (20 + 3) x 10-2 = 23 x 10-2 = 2,3 x 10-1

22) II, V e VI

23) a) 12 = 3 x 2² → o 2 aparece, então essa fra-ção dará origem a uma dízima composta

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b) 40 = 2³ x 5 → o 2 e o 5 aparecem, então essa fração dará origem a uma dízima compostac) 21 = 3 x 7 → nem o 2, nem o 5 aparecem, então essa fração dará origem a uma dízima simplesd) 27 = 3³ → nem o 2, nem o 5 aparecem, então essa fração dará origem a uma dízima simples

24) Letra C.

25) a) -2,0313131... = -(2031-20)/990 = -2011/990b) 5,121212... = 5 + 0,121212... = 5 + 12/99 = (495 + 12)/99 = 507/99

Aprofundando:1) A fração que preciso encontrar é a/b = 5/7, onde a + b = 60, então a = 60 - b.

a/b = 5/77a = 5b7.(60 - b) = 5b420 - 7b = 5b420 = 12bb = 35a = 60 - 35 = 25Então a fração que se procura é 25/35.





4) A fração que preciso encontrar é a/b = 36/12 = 3/1, onde a - b = 4, então a = 4 + b.

a/b = 3/1a = 3b4 + b = 3b4 = 2bb = 2a = 4 + 2 = 6Então a fração que se procura é 6/2.

5) 60/45, 42/60, 60/50

6) 1/84, 3/28, 4/21 e 7/12.

7) Seja x a fração que procuramosx + x² = 82/27.x27x + 27x² = 82x 27x² - 55x = 0 x.(27x - 55) = 0 x = 0 ou 27x = 55 x = 55/27

8) x/yx.y=60Para que o produto dê 60, temos:1/602/303/204/155/126/1060/130/220/315/412/5Mas a fração tem que ser própria, portanto:1/602/303/204/155/126/10Mas a fração também tem que ser irredutí-

vel, logo:

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1/603/204/155/12Dentre essas, a maior é 5/12.5 + 12 = 17Letra A.

9) Chamemos de x a quantidade que o segundo recebe.

2º → x 1º → 2/3 de x → 2x/3 3º → 2x/3 + x x + 2x/3 + 2x/3 + x = 240 3x+2x + 2x + 3x = 720 10x = 720 x = 72 cabeças 2/3 . 72 = 48 cabeças Letra D

10) Vende-se 2/5 de T (onde T é a peça de tecido original) então, sobram 3/5 de T.

Agora, temos que retirar 5/12 de 3/5 de T:3T/5 - (5/12).(3T/5) = 3T/5 - T/4 = (4.3T - 5.T)/20

= 7T/207/20 da peça foi vendido por 1400 reais, en-

tão7T/20 m ---------- 1400 reias1 m -------------- 5 reias5.7T/20 = 14007T/4 = 14007T = 5600T = 800 mLetra B.

11) Devemos lembrar que, ao receber um sorve-te, recebemos também um palito. Logo o sorve-te “custa” 9 palitos. Portanto, um palito vale 1/9 do preço do sorvete.

12) Torneira 1:1 tanque ----- 20 horasx tanque ----- 1 horax = 1/20 tanque/horaTorneira 2:1 tanque ---- 30 horas

y tanque ---- 1 horay = 1/30 tanque/horaComo para encher o tanque utilizamos as

duas torneiras juntas, a vazão ou velocidade que a água sai das duas torneiras juntas é x + y. Logo:

T = litros H = horaV = vazão (T/H)1/20 + 1/30 = 1 tanque/H3/60 + 2/60 = 1 tanque/H5/60 = 1 tanque/H1/12 = 1/HH = 12 horas

13) Seja o rendimento de um guindaste 1/x (des-carrega 1 navio em x horas) e do outro 1/(x-5) (descarrega 1 navio em x - 5 horas). Somando os rendimentos dos 2 guindastes, temos que 1 navio é descarregado em 6 horas, ou seja:

1/x + 1/(x - 5) = 1/6 (x - 5).1 + x.1/x.(x - 5) = 1/6(x - 5 + x)/x.(x - 5) = 1/6 (2x - 5)/x.(x - 5) = 1/66.(2.x - 5) = x.(x - 5) x² - 17x + 30 = 0 S = 17 e P = 30x’ = 15 ou x” = -2Logo uma descarrega em x = 15 horas e o ou-

tro em x - 5 = 15 - 5 = 10 horas. Letra C.

14) Com 2 homens: 1 obra ------ 12 diasx obra ------- 4 dias 12x = 4x = 4/12x = 1/3 da obra foi executada Então, falta fazer 2/3 da obra.Com Paulo sozinho:2/3 obra ------10 diasy obra --------- 1 dia 10y = 2/3y = 2/3.10 y = 2/30y = 1/15 (produtividade diária de Paulo)

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Nos primeiros 4 dias Paulo executou 4*(1/15) = 4/15 da obra

Nos outros 10 dias Paulo executou 10*(1/15) = 10/15 da obra

Total executado por Paulo = 4/15 + 10/15 = 14/15 → Paulo = 14/15

Total executado por Pedro = 1 - 14/15= 1/15 → Pedro = 1/15

15) 1ª torneira: 1 Tanque a cada 5 horas (1T/5h) 2ª torneira: 1 Tanque a cada 4 horas (1T/4h) É dado que em um mesmo tempo t, resta 4

vezes mais de volume a ser preenchido no pri-meiro tanque em relação ao segundo:

V1 = T - 4x V2 = T - x (onde x seria o volume que falta

para encher um tanque por completo)Encontremos esse tempo t para cada caso: Torneira 1: 1T ------- 5h T - 4x ---- t ht = 5.(T - 4x)/TTorneira 2: 1T ------- 4h T - x ------ t ht = 4.(T - x)/T5.(T - 4x)/T = 4.(T - x)/T 5T - 20x = 4T - 4x 16x = T x = T/16 t = 4.(T - T/16)/T = 4.(15/16) = 15/4 t=3,75h = 3h e 45min

16) 12

17) 9

18) 7 1/5 = 5.7 + 1 = 36/5 . 2/2 = 72/10 Portanto, setenta e dois décimos

19) x/0,0625 = x/(625/10000) = x . 10000/625 = x . 16

Letra D.

20) (3 - 1,2 .2)/(1- 0,06/0,15) = (3 - 2,4)/(1- 0,4) = 0,6/0,6 = 1

21) 104119 = 1,04119 x 105

Letra B.

22) (84 × 106)/8 = 10,5 x 106 = 1,05 x 107

Letra E.

23) (1,7 × 10027)/1800 = (1,7 × 10-27)/(1,8 .10³) ≅ 0,9 x 10-30

Letra B.

24) 0,323232... = 32/99p = 32q = 99q - p = 99 - 32 = 67Letra B.

25) 1,333... + 0,1666... = 1 + 0,333... + (16 - 1)/90 = 1+ 3/9 + 15/90 = 90.1 + 3.10 + 15.1/90 = 135/90 = 3/2

Letra E.

26) √(2,777…) = √(2+0,777…) = √(2+7/9) = √((18+7)/9) = √(25/9)=5/3≅1,666…

GABARITO: letra B.

27) √(1+0,777…)/√(0,111…) = √(1+7/9)/√(1/9) = √((9+7)/9)/(1/3) = √(16/9)/(1/3) = (4/3)/(1/3) = 4/3 . 3/1 = 4

Letra B.

28) Letra D

29) 13/41 = 0,3170731707A cada cinco números, eles vão se repetindo.

Até o quinto, a soma deles é: 3 + 1 + 7 + 0 + 7 = 18 Para chegar em 530 teremos: 530/18 = 29 repetições e sobra 8 29.5 = 145, porém precisamos somar 3 pois

são os que faltam para completar 8 (3 + 1 + 7 = 11 é o número imediatamente maior)

145 + 3 = 148Letra E.

30) Perceba que 7 ou qualquer um de seus múl-tiplos não é divisível por 1. O mesmo acontece com o 3. Dessa forma, os termos 3^y e 7^z de-

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vem ser neutros (ou seja, iguais a 1).Assim,3y = 1 → y = 07z = 1 → z = 0Então o número será da forma:1/2x Vamos atribuindo valores a x e efetuando as

divisões:para x = 1 → 1/2¹ = 0,5 que só tem 1 casa de-

cimalpara x = 2 → 1/2² = 0,25 que só tem 2 casas

decimaispara x = 3 → 1/2³ = 0,125 que tem 3 casas de-

cimais, portanto, é o número procurado.Então, temos que x = 3, y = z =0.

Desafiando:1) 16/3/32 = 16/3. 1/32 = 1/6

16-14/3 = 2/32/(3/X) = 1/63/X = 2.63 = 12.xx = 3/12 = 1/4letra A.

2) 8

Letra E.

5) Chamemos as filhas do rajá, de F1, F2, F3, ... Segundo o enunciado do problema, a filha

mais velha F1 retirou uma pérola e 1/7 do res-tante. Então, como existiam n pérolas, ao retirar uma, ficaram n – 1 pérolas.

Desse restante, pela regra estabelecida pelo rajá, ela retirou 1/7 delas, ou seja: (1/7)(n – 1).

Chamando de n(F1) o número de pérolas reti-radas pela filha F1, é óbvio que

n(F1) = 1 + [(1/7)(n – 1)] = 1 + (n – 1)/7 = 7/7 + (n – 1)/7 = (n + 6)/7

Restaram n – n(F1) = n – [(n + 6)/7] = (7n/7) – [(n + 6)/7] = n – [(n + 6)/7] = (6n – 6)/7

Agora, a filha F2 vem e retira duas pérolas, conforme o enunciado.

Resta então, a seguinte quantidade de pérolas:[(6n – 6)/7] – 2 = [(6n – 6)/7] – 14/7 = [(6n –

6)/7] – 2 = (6n - 6 - 14)/7 = (6n - 20)/7Destas, ela retira (1/7), ou seja: (1/7).[(6n –

20)/7] = (6n – 20)/49Portanto, o número de pérolas da filha F2

será igual a:n(F2) = 2 + [(6n – 20)/49] = 98/49 + [(6n –

20)/49] = (6n + 78)/49Poderíamos agora, achar a expressão que

define o número de pérolas da terceira filha F3, mas não precisa, porque o problema diz que cada filha recebeu o mesmo número de pérolas que a outra. Portanto, n(F1) = n(F2) = n(F3) = ...

Então, como n(F1) = n(F2), usando os resulta-dos obtidos anteriormente, vem:

(n + 6)/7 = (6n + 78)/49Para eliminar o denominador 49, vamos mul-

tiplicar ambos os membros da igualdade acima por 49, o que não altera a igualdade. Fica:

49.[(n + 6)/7] = 49.[(6n + 78)/49] 7(n + 6) = 6n + 78 7n + 42 = 6n + 78 7n – 6n = 78 - 42n = 36

6) t = (V/2)/6 → t = V/12 mint = (V/2)/4 → t = V/8 min

t + t = V/12 + V/8 → t + t = 20.V/96 minQ = V/T => Q = V/(20.V/96) => Q = 96/20 => Q

= 4,8 L/minLetra B.

7) x = percurso totalVoou no 1º dia: (3/5).x = 3x/5 → falta voar:

(2/5).x = 2x/5Voou no 2º dia: (2/3).(2x/5) = (4x/15)Total voado em dois dias = 3x/5 + 4x/15 = (9x

+ 4x)/15 = 13x/15Falta voar no 3º dia: x - 13x/15 = (15x - 13x)/15

= 2x/15

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2/15.x = 800 x = 6000 km Letra A.

8) (0,5)2.(0,1-0,01)+(2,8)÷(0,14))/(200,225 . 0,1) = (0,25.0,09+20)/20,0225 = (0,0225+20)/20,0225 = 20,0225/20,0225 = 1

Letra A.

9) Letra D

11) x/y = 7,36363...Assim temos z = 7, parte inteira da divisão.Vamos escrever de uma forma diferente,0,36363... = 36/99 = 4/117,36363... = 7 + 0,36363... = 7 + 4/11 = (11.7 +

4.1)/11 = 81/11Logo,x/y = 81/11Assim temos x = y.z + 8(y.z + 8)/y = 81/1181y = 11yz + 8881y = 77y + 884y = 88y = 22x = 22.7 + 8x = 162x + y + z = 162 + 22 + 7 = 191Letra C.

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RAZÕES E PROPORÇÕES

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Praticando:1) a) 1/3/x = 2/3

1/3.3 = x.22x = 1x = 1/2

b) x+2/5 = x+1/44.(x + 2) = 5.(x + 1)4x + 8 = 5x + 58 - 5 = 5x - 4x3 = xx = 3

2) x + y = 50 => x = 50 - y50-y/2 = y/82.y = 8.(50 - y)2y = 400 - 8y10y = 400y = 40x = 50 - 40 = 10

3) a/b = 3/4a.b = 192 → a = 192/b192/b/b = 3/4192/b.1/b= 3/4192/b² = 3/43b² = 768b² = 256b = ±16a = 192/16 = 12 ou a = 192/(-16) = -12

4) 22 m = 2200 cm1/200 = x/2200200x = 2200x = 11 cm

5) 1600 km = 160 000 000 cm1200 km = 120 000 000

16/160000000 = x/12000000016/16 = x/121/1 = x/12x = 12 cm

6) √2/8 = √75/x(√2/8)² = (√75/x)²2/64 = 75/x²1/32 = 75/x²x² = 2400x = √2400x = 20√6Letra D

7) 2000/3.4²= 3000/3.x²2/3.16 = 3/3.x²1/3.8 = 1/1.x²1/24 = 1/x² x² = 24x = √24x = 2√6

8) 9/72= 1/x1/8= 1/x x = 8 gLetra C.

9) x = ouro, y = prata, z = bronze; 3x + 4y + 7z = 70 Mas precisa-se de um outro parâmetro: imagi-

ne se tivessem 140 jogos, seguindo as proporções: 30 ouros + 40 pratas + 70 bronzes = 140 Agora basta você dividir a primeira equação

pela segunda:3x + 4y + 7z = 70 ____ _____ _____ ____30 + 40 + 70 = 140


Razões e proporções

Objetivos de aprendizagem:• Aprender o que são razões e proporções,

seus elementos e propriedades;

• Aplicar as noções de proporção para com-preender o conceito de escala;

• Compreender o significado de números / grandezas diretamente ou inversamente pro-porcionais;

• Utilizar os conceitos de grandezas propor-cionais para a divisão de números em partes proporcionais e realizar o processo matemático da regra de três (simples e composta).

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02RAZÕES E PROPORÇÕES

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Fazendo um por um: 3x/30 = 70/140x/10 = 1/2x = 10/2x = 5

4y/40 = 70/140y/10 = 1/2y = 10/2y = 5

7z/70 = 70/140z/10 = 1/2z = 10/2x = 5Resolvendo, vai dar 3.5 = 15 ouros, 4.5 = 20

pratas e 7.5 = 35 bronzes.Letra D.

10) 2x + 3x + 4x + 6x = 36015x = 360x = 360/15 = 24a = 2x = 48°b = 3x = 72°c = 4x = 96°d = 6x = 144°144º - 48º = 96º

11) Letra C.

12) 2 + 3 + 5 = 1070/10 = 77.2 = 147.3 = 217.5 = 3514 + 35 = 49Letra B.

13) 30000/(12+15+23)= x/1530000/50= x/15 600/1= x/15 x = 9000Letra A.

14) A primeira pessoa recebe x, a segunda rece-be 2x, e a terceira recebe 6x.

x + 2x + 6x = 45009x = 4500x = 500A primeira pessoa recebe 500, a segunda re-

cebe 1000, e a terceira recebe 3000.Letra D.

15) x.1/6 + x.1/3 + x.1/4 = 360x.2+x.4+x.3/12=360 2x + 4x + 3x = 43209x = 4320x = 480

480/6 = 80º480/3 = 160º480/4 = 120ºLetra A.

16) x.1/2 = y.2 = z.6x/2 = 2y => x = 4y x/2 = 6z => x = 12z2y = 6z => y = 3z

x + y + z = 12812z + 3z + z = 12816z = 128z = 8x = 12.8 = 96y = 3.8 = 24Letra E.

17) a + b + c = 1055a = 3b = 6ca = 3b/5a = 6c/5b = 6c/3 = 2c

6c/5 + 2c + c = 1056c + 10c + 5c = 52521c = 525c = 25a = 6.25/5 = 30b = 2.25 = 50Letra B.

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18) 330/30 = x/511/1 = x/5x = 55km

19) 3/240 = x/3601/80 = x/3601/1 = x/4,5x = 4,5 h = 4h e 30min

20) 4000/1 = x/3,5x = 4000.3,5x = 1400 unidades

21) 2 m = 200 cm12 m = 1200 cm200/80 = x/1200200/1 = x/15x = 200.15 = 3000 cm = 30 m

22) 30/144 = x/240144x = 7200x = 50 litros de gasolina

23) 8/15= x/5 => 8.15 = 5.x => x = 24 Letra C.

24) 400/45,5 = 650/x400.45,5 = 650xx = 28Letra B

25) 75.900 = 1500.xx = 67500/1500x = 45 cmLetra D

26) 60.3,5 = x.5x = 210/5x = 42Letra C

27) 15 minutos equivale a 1/4 da hora, ou seja, 0,25 da hora. Então

280.1,25 = 840.xx = 350/840 = 5/12

60 min ------- 1hy min ------- 5/12hy = 60 . 5/12y = 25 min

28) Operários: 16 e xPares de calçados: 240 e 600Horas: 8 e 10Vamos pegar a parte dos operário e vamos

interpretar o problema. Se com 16 operários fa-zem o trabalho em 8 horas, com 10 horas, vai precisar de menos operários. Aumentou um lado e diminuiu o outro, então é inversamente proporcional (de 8/10 passa a ser 10/8).

Agora vamos ver os pares de calçados. Se com 16 operários produzem 240 pares de cal-çados, para produzir 600 pares vai precisar de mais operários. Aumentou um lado e aumentou também o outro, então será diretamente pro-porcional.

Então:16/x = 10/8 . 600/240x = (16.8.600)/(10.240)x =76800/2400x = 32Letra B

29) 300 + 50 = 350120.000 + 6.000 = 126.000

homens litros dias 300 120.000 20 350 126.000 x

homens dias 300 20 350 x

Aumentou homem e diminuiu dias então in-verte. Fica:

350 20300 x

litros dias120.000 20126.000 x

Aumentou litros e aumentou dias então mantém.

homens litros dias350 120.000 20300 126.000 x

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350/300 . 120000/126000 = 20/x42000000/37800000 = 20/x 21/378 = 1/x21x = 378x = 18Letra B.

30) Operários/ horas / dias / metros 20 8 18 300 16 9 x 225Analisando:MENOS operários, MAIS dias => inversamen-

te proporcional => 16/20 = 8/10 = 4/5MAIS horas, MENOS dias => inversamente

proporcional => 9/8MENOR metragem, MENOS dias => direta-

mente proporcional => 300/225 = 4/318/x = 4/5 . 9/8 . 4/318/x = 144/120144x = 120. 18144x = 2160x = 15 diasLetra E

Aprofundando:1) a.b = 8960 → a = 8960/b

a/b = 5/7(8960/b)/b = 5/75b = 7.8960/b5b² = 62720b² = 12544b = 112a = 8960/112 = 8080 é o menor dos dois números

2) a) a = 25 + b(25+b)/b= 7/2 (25+b)/b= 7/2 50 + 2b = 7b5b = 50b = 10a = 25 + 10 = 35

b) a = 96/b96/b/2= b/3 96.3/b= 2b

2b² = 288b² = 144b = 12a = 8

c) a = 70+2b/370+2b/3/b = 8/58b = 350+10b/324b = 350 + 10b14b = 350b = 25

d) a = 34-2b/334-2b/3/3 = b/4136-8b/3 = 3b136 - 8b = 9b17b = 136b = 8a = (34-2 . 8)/3 = 6

3) 1 professor = 6 alunos → professor = (6 alu-nos)/1

3 funcionários = 10 professores → professor = (3 funcionários)/10

(6 alunos)/1= (3 funcionários)/10 3 funcionários = 60 alunosfuncionário = (60 alunos)/3funcionário = 20 alunosOu seja, 1 funcionário pra 20 alunos

4) a/18 = b/1,5 = x/y (a+b /18+1,5) / (a/18) (13 /19,5) / (a/18) a = (13.18) / (19,5) = 12

a/18 = b/1,5 12/18 = b/1,5 b= (12 . 1,5) / 18 = 1

12/18 = x/y x = 12.y /18 x = 12.(x + 1) / 18 x = 12.x + 12 / 18 18x = 12.x + 12 6x = 12 x = 2

y = 2 + 1y = 3

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5) 4,5/0,5 = 99.0,3 = 2,7Letra E

6) x + 75/x = 8/55.(x + 75) = 8x 5x + 375 = 8x 3x = 375 x = 125Se x = 125cm, o lado maior é: 125 + 75 = 200cm Perímetro = 125 + 125 + 200 = 450cm

7) 5xy = 2yz => x = 2z/55xy = 8xz => y = 8z/52yz = 8xz => y = 4x

x + y + z = 1502z/5 + 8z/5 + z = 1502z + 8z + 5z = 75015z = 750z = 50

y = 8.50/5 = 80

80 = 4.xx = 20Letra A

8) Sa = 1,2.SbPa = 2.Pbb = Pb/Sb → Ia = Pa/Sa → a = 2*Pb/1,2*b → a = (2/1,2).

(Pb/Sb) → a = (5/3).b => a = 5b/3

9) 2/x = 4/36 = y/54 = 8/z = t/1082/x = 1/9 = y/54 = 8/z = t/1082/x = 1/9x = 181/9 = y/549y = 54y = 61/9 = 8/zz = 721/9 = t/1089t = 108t = 12

x + y + z + t = 18 + 6 + 72 + 12 = 108Letra E.

10) Sabe-se que em uma hora temos 3600 se-gundos. Então:

7 vezes __________ 20 segundos N ___________ 3600 segundosN = 1260 vezes.Se cada gota tem volume de 0,2 mL teremos:1 gota ________ 0,2ml1260 gotas_____ VV = 252 ml

11) Letra A.

12) x.275 = (x - 7).660 275x = 660x - 4620 4620 = 660x - 275x 4620 = 385x 4620/385 = x x = 12 x.275 = 12.275 = 3300 km 3.300 km é a distância entre São Paulo e Boa

Vista.

13) A + B = 121mil200 + 350 = 550A/200 = B/350 = 121/550A/200 = 121/550 → 550A = 121.200 → 550A

= 24200 → A = 44 milB/350 = 121/550 → 550B = 121.350 → 550B

= 42350 → B = 77 milGABARITO: letra C

14) Seja a, b e c as idades dos três irmãos, sendo a > b > c

a + b + c = 40 O primeiro recebeu 200000.a/a+b+cO segundo recebeu 200000.b/a+b+cO terceiro recebeu 200000.c/a+b+c

200000.a/a+b+c + 200000.b/a+b+c = 150000 20.a/40 + 20.b/40 = 15 a/2 + b/2 = 15 a + b = 30 a + b + c = 40

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30 + c = 40 c = 10Letra E.

15) Sejam os sócios A, B e C. Em um ano A → 5 000 000 . 1,8 = 9 000 000B → 6 000 000 . 1,8 = 10 800 000C → 10 000 000 . 0,6 = 6 000 000A + B + C = 25 800 00012900000/25800000 = 0,5C → 6 000 000 . 0,5 = 3 000 000Logo, o sócio C recebeu R$ 3.000.000,00Letra E.

16) Vm = S/t80 = 480/tt = 480/80t = 6h

60 = S/6S = 360km

17) 2/3 --------- 0,954/5 --------- x2x/3 = 4.0,95/52x = 3,8.3/5x = 11,4/5.2x = 1,14Resposta: R$ 1,14

18) Letra E.

19) Usemos regra de três para passar tudo pra hora

60s ---------- 1min 3s ----------- x20s ----------- 1min 1s ----------- x20x = 1x = 1/20 = 0,05min10 + 0,05 = 10,05 min60 min --------- 1 h10,05 min -------- y

60y = 10,05y = 0,1675 h2 + 0,1675 = 2,1675 horas2,1675 . 400 = 867 litros.

20) 360º = (360.60)’ = 21600’21.600’ ----- 40.000km 1’ ----------- x21600x = 40000x = 40000/21600 = 50/27 ≅ 1,851 m

21) 2m = 200 cmV = 200 . 60 . 2 = 24000 cm³60/24000 = 0,0025 kg por cm³1m = 100 cmV = 100 . 100 . 3 = 30000 cm³30000 . 0,0025 = 75 kg

22) 1 dia --------- 24 h z --------- 4 h

1 -------- 6z -------- 16z = 1z = 1/64 + 1/6 = (24 + 1)/6 = 25/6 dias1 dia --------- 24 h y --------- 6 h

1 -------- 4y -------- 14y = 1y = 1/46 + 1/4 = (24 + 1)/4 = 25/4 diasComo a relação é inversamente proporcio-

nal:12 --------- 25/4 x --------- 25/625.x/4 = 12.25/625.x/4 = 2.25x = 8 operários.

23) 2h 37 min 30 s

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24) 4.x = 3.204x = 60 x = 60/4x = 15m

25) Se a roda maior tem 50cm de raio, então seu comprimento é de

C = 2.π.R = 2.π.50 = 100π cmSe essa roda da 120 voltas para percorrer

certa distancia, então esta distancia é de:120. 100π = 12000π cm80/100.12000π = 9600π cmO comprimento da roda menor é deC = 2.π.r = 2.π.40 = 80π cmPara percorrer 960π cm serão necessárias:9600π/80π = 120 voltasLetra C.

26) 12º . 60 = 720’720’ + 48’ = 768’Perceba que quanto maior for o raio, menor

será o ângulo percorrido. Então, a regra de três ficará:

3 cm --------- 4 cm768’ --------- x3.x = 4 . 768x = 3072 / 3x = 1024’1024/60 = 256/15 =17,06256/15 - 17 = (256 - 15.17)/15 = (256 - 255)/15

= 1/151º ----- 60’1/15 ----- yy = 60/15 = 4’Resposta: 17º 4’

27) Quanto mais ovelhas, menos dias se leva para comer todo pasto, portanto é inversamen-te proporcional. Assim:

x ovelhas ------ 3 diasx + 3 ovelhas ----- 2 dias 3x = 2x + 6x = 6 ovelhas6.3 = 1.yy = 18 diasLetra A.

28) Operários Muro Dias Horas 20 M 45 6 x M/3 15 8Quanto mais operários, maior é a parte do

muro construída → diretamente proporcionalQuanto mais operários, menos dias para

construir o muro → inversamente proporcionalQuanto mais operários, menos horas para

construiu o muro → inversamente proporcional20/x = M/M/3 . 15/45 . 8/620/x = M/M/3 . 15/45 . 8/620/x = M . 3/M . 1/3 . 4/320/x = 4/34x = 60x = 15 operários

29) Antônio:20 cadeiras em 3.4 = 12 horas 20/12 = 5/3 de cadeiras por hora Severino: 15 cadeiras em 2.8 = 16 horas 15/16 de cadeiras por hora 5/3 + 15/16 = 250/x80x + 45x = 12000 125x = 12000 x = 96 horas 96/6 = 16 dias Produtividade cadeiras dias h/d x 20 3 4 y 15 8 2 x + y 250 d 6 Mais produtividade, mais cadeiras → direta Menor produtividade, mais dias levará para

terminar → inversa Menor produtividade, mais horas por dia le-

vará para terminar → inversa.x/y = 20/15.8/3.2/4x/y = 4/3.4/3.1/1x/y = 16/9x = 16y/9Produtividade cadeiras dias h/d y 15 8 2 x + y 250 d 6 y/x+y = 15/250.d/8.6/2y/16y/9+y = 3/50.d/8.3/1y/16y+9y/9 = 9d/400

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y/25y/9 = 9d/400y. 9/25y = 9d/4001/1= d/16d = 16 diasLetra B.

30) Horas Máquinas Dias Produção 10 3 4 60.000 x 2 6 120.000Quanto mais horas trabalhando, menos má-

quinas são necessárias → inversaQuanto mais horas trabalhando, menos dias

são necessários → inversaQuanto mais horas trabalhando, maior a pro-

dução → direta10 /x = 2/3.6/4.60000/12000010 /x = 1/1.1/1.1/210 /x = 1/2x = 20h/dLetra C.

31) 20 min = 1/3 h = 0,33hVm = S/t60 = S/1,33S = 80 km3/5 . 80 = 48 km25/100 . 60 = 25.60 / 100 = 15 km/h15 = 48 / tt = 3h 12 min

32) x ração y galinhas 30 dias Ficou com:x/3 de ração (2/3 foram consumidos) 2y/3 de galinhas (1/3 foram vendidas) Então:Ração Dias Galinhas x 30 y x/3 t 2y/3 Quanto mais ração, mais dias consumindo →

diretamente proporcionais Quanto mais galinhas, menos tempo dura a

ração → inversamente proporcionais 30/t = x/(x/3).(2y/3)/y 30/t = x. 3/x. 2y/3.1/y 30/t = 1. 1/1. 2/1.1/1

30/t = 2t = 30/2t = 15 diasLetra D.

33) Operários Serviço Dias h/d 24 2/5 10 7 20 3/5 x 6Quando diminui operários aumenta número

de dias → INVERSAQuando aumenta trabalho aumenta número

de dias → DIRETAQuando diminui horas por dia aumenta nú-

mero de dias → INVERSAEntão: 10 20 2/5 6 x 24 3/5 7 10/x = 20/24.2/5/3/5.6/710/x = 20/4.2/5.5/3.1/710/x = 1/1.2/1.5/3.1/710/x = 10/211/x = 1/21x = 21 diasLetra D.

Desafiando:1) 12/M = (0,25)–0,5/1,06666…

12/M = 1/(0,25)0,5/106-10/9012/M = 1/(25/100)1/2/96/9012/M = 1/√25/100/(16/15 12/M = 1/5/10/16/15 12/M = 1/1/2/16/15 12/M = 1.2/1/16/1512/M = 2/16/15 12/M = 2.15/16 12/M =15/8 15M = 96M = 96/15M = 6,4Letra B.

2) Retirando x da cada reservatório:No reservatório A existirá (300 - x) do vinho A

e x do vinho B → A/B = (300 - x)/x

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No reservatório B existirá (200 - x) do vinho B e x do vinho A → A/B = x/(200 - x)

(300 - x)/x = x/(200 - x)x² = (300 - x).(200 - x)x² = x² + 60 000 - 500x500 x = 60 000 x = 120 L

3) Inicialmente existem 100L de vinho no barrilSão retirados x litros de vinho, sobram 100 - x

litros de vinho.São retirados x litros da misturaNa mistura, tínhamos (100-x)/100 litros de

vinho e, portanto, ao retirarmos x litros da mis-tura, retiramos (100-x)/100 de x litros de vinho.

Então, a quantidade de litros de vinho na mistura é de (100 - x) - (100-x/100).x

Nesse ponto, temos 64 litros de vinho. Logo,(100 - x) - (100-x/100).x = 64100 - x - (100x-x²/100) = 64100.100 - 100.x - (100x - x²) = 100.6410000 - 100x - 100x + x² = 6400x² - 200x + 3600 = 0 Δ = b2 - 4.a.c Δ = -2002 - 4 . 1 . 3600 Δ = 40000 - 4. 1 . 3600 Δ = 25600x’ = 180 ou x’’ = 20 Como o barril tem capacidade de 100L então

x não pode ser 180, logo, x = 20L

4) Vamos supor que utilizemos uma quantidade x do minério X. De x, sabemos que 0,72x é de ferro. Vamos misturar a isso uma quantidade y do minério Y. De y, sabemos que 0,58y é de ferro. O total de ferro na mistura final é 0,72x + 0,58y. Mas o enunciado diz que esse valor cor-responde a 62% da massa total da mistura, ou seja, 0,62.(x + y). Logo:

0,72x + 0,58y = 0,62.(x + y)0,72x + 0,58y = 0,62x + 0,62y0,72x - 0,62x = 0,62y - 0,58y0,1x = 0,04yx/y = 0,04/0,1x/y = 0,4

5) Como o maior é a soma dos outros dois, faze-mos: z = x + y

Como o menor é um quinto do maior, faze-mos: x = z/5 → z = 5x

Como, z = x + y e, z = 5x, vamos substituir:5x = x + y y = 5x - x y = 4x Temos, portanto: x = 1x y = 4x z = 5x Letra B.

6) 1ª torneira : 1/12 da capacidade do tanque em 1 minuto 2ª torneira: 1/18 da capacidade do tanque em 1 minuto 1/12 + 1/18 = (3 + 2)/36 = 5/36 Portanto, o tanque cheio tem capacidade

36/36 1/12 . x = x/12 36/36 - x/12 = (x + 3)/18 36 - 3x = 2x +6 36 - 3x - 2x - 6 = 0 -5x + 30 = 0 -5x = -30 5x = 30 x = 6min 2ª torneira: 6 + 3 = 9min As duas juntas enchem em : 6 + 9 = 15min

7) A + B + C = 48000 B = 16000 A + 16000 + C = 48000 A + C = 32000 C = 1/3 . AC = A/3 3C = A 3C + C = 32000 4C = 32000 C = 8000

Se a, b e c os capitais de A, B e C, respectiva-mente. Então:

c + 24000 = bb ----------------------- 16000 c ----------------------- 8000

EF2M

AT9-


56

c + 24000 ----------- 2 c ------------------------1

2c = c + 24000 c = 24000

b = 24000 + 24000 b = 48000

Calculando o capital total: b --------------------------------- 16000 T --------------------------------- 48000

48000 -------------------------- 1 T --------------------------------- 3 T = R$ 144.000,00

8) A e B estão na empresa há 2 anos, ou seja, 24 meses.

C está na empresa há 1 ano e 9 meses, ou seja, 21 meses.

D está na empresa há 1 ano e 2 meses. ou seja, 14 meses.

Como A e B receberão a mesma quantia, cha-maremos de x, e as quantias de C e D chamare-mos de y e z, respectivamente.

2x + y + z = 227835Temos as relações:24 meses ------- x21 meses ------- y14 meses ------- z

24 ------- x21 ------- y

8 ------- x7 ------- y7x = 8yy = 7x/8

24 ------- x14 ------- z12 ------- x7 ------- z7x = 12zz = 7x/12

2x + 7x/8 + 7x/12 = 22783524.2x + 3.7x + 2.7x = 24 . 22783548x + 21x + 14x = 546804083x = 5468040x = 65880

z = 7 . 65880 / 12z = 38430 reaisLetra B.

matemÁtica – 9o ano prof – padrÃo – vol ii · exercícios, pois são mais fáceis para esse...

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