matemática efii 9o ano 2011 escola viva

2011

Prof Rocco

Escola Viva

Caderno Virtual de Matemática

Aula 1 de Matemática – 9os Anos –

2011

07 de fevereiro – 2ª. feira

Cap 13 – Conjuntos Numéricos

Em grupos de 3 alunos(A,B e C):

A – internet: www.gregosetroianos.mat.br/Reports/EM.htm

B – leitura das páginas 249 a 251 (Livro Didático)

C – Responder (1ª.escrita) às questões desta comanda

Nos espaços abaixo, ou usando o verso da folha, responda

com suas palavras às questões abaixo. Atenção: seus colegas

vão ler suas respostas para poder discuti-las logo após,

portanto, escreva algo que se alguém ler possa entender o

quê você está tentando dizer.

O que é, no seu modo de pensar, algo infinito?

Quantos pontos você pode contar em uma reta? Ou,

quantos grãos de areia você pode contar em uma

praia comum?

Nos filmes de ficção científica é comum se fazer

referência à Física Quântica. Esta palavra

“quanta” significa pacote (quantidade) e esta é a

forma atual de se ver o mundo: quânticamente.

Tudo em unidades (pequenas) que são “quantas” de

energia, ou de luz (fótons), ou pontos na reta,

ou grãos de areia. Você continua mantendo as duas

respostas dadas anteriormente? Caso mude de idéia

escreva aqui a nova resposta, ou basta dizer que

sim (continua com a mesma resposta anterior).

O que significa dizer que a Matemática é EXATA?

Agora cada um de vocês vai escrever no seu Caderno de

Matemática uma síntese do que vimos nesta aula. Não esqueça

de registrar o nome de seus colegas que participaram de seu

grupo, o que cada um fez (A,B ou C), e o que eles acharam

importante (ou não), e a que conclusão você(s)

chegou(aram)a cerca do que é o infinito? Isto fará parte de um Trabalho futuro a ser entregue no 1º. Bimestre, mas

este resumo faz parte de suas Lições que deverão ser

apresentadas na próxima aula.

LL01 (1º Bim) Cap 13 p. 242 ex. 1 a 7.

Entrega em 14-fev-2011 (2ª. feira) no Caderno de

Matemática.

[email protected]

http://www.gregosetroianos.mat.br/Reports/EM.htm

mailto:[email protected]

2

Com poucos traços e algumas poucas curvas um universo se abre. Você já sabe fazer uma conta

de dividir:

7 2

6 3

1

ou

7 2

1 3

Nesta aula aprendemos a extrair raiz quadrada por um processo muito parecido e que

esquematizado abaixo parace o rascunho do mapa do inferno. Mas é fácil.

212 34 56 78 12

... 2 ... ... ...

.... 34 2( )... ... ...

...

..... 56

a b c

a b x b

a b c x c

x

x

Para treinar: 207936-427716-622521-974169-25281-904401

O porquê da divisão é que dividir significa fazer subtrações sucessivas e ver quanto sobra. Já o

porquê da extração da raiz quadrada virá quando passarmos pelas fatorações. Mas com isto

podemos verificar que raiz de 2 é uma dízima não periódica. É o mundo novo dos Irracionais. O

primeiro a vislumbrar este novo mundo foi Hipaso de Metaponto (filósofo pré-socrático –

pertencente aos pitagóricos - aprox. 500 aC).

ref: http://www.adorofisica.com.br/trabalhos/alkimia/mat2/TRAB1.htm

Os critérios de divisibilidade dos números nos ajudam a ver um pouco melhor os múltiplos,

divisores, e então os números primos. Toda raiz quadrada de um número primo é irracional, ou

lembrando da tabuada no Excel, toda raiz quadrada de um número que não for um quadrado

perfeito (a diagonal), é um número irracional.

LL2 (1º Bim) Cap 13 p. 243 e 244 ex. 8 a 16. Entrega em 21-fev-2010 (2ª. feira) no Caderno de Matemática.

Prof Rocco - [email protected]

http://www.adorofisica.com.br/trabalhos/alkimia/mat2/TRAB1.htm



2011


Símbolos Matemáticos.

Nos textos de Matemática, principalmente nos enunciados,

aparece muitas vezes uma porção de símbolos que sem saber

seu significado ficamos meio que tateando no escuro, em

busca do significado.

Pieter Bruegel - A parábola dos cegos

[email protected]



2011


Intervalos Matemáticos.

Nos problemas de Matemática, principalmente as inequações,

serão cobradas três formas de ler e escrever intervalos

matemáticos, a saber:

A – 3 7 Ou

B – / 3 7S x R x

C – 3;7

Observe a diferença entre intervalo fechado (“bolota” cheia

e acompanhando do sinal de igual na desigualdade) e

intervalo aberto (“bolota” vazia e sem o sinal de igual da

desigualdade).

Observe também que infinito não é um número e portanto

sempre será intervalo aberto.

Agora eu vou fornecer um dos 3 e você lendo este um

escreverá os outros dois correspondentes, é fácil, muito

fácil mesmo.

Ex.1

A – -3

8 16 Ou

B – / ..............................................S x R

C – .................................................................... Ex.2

A – Ou

B – / 2 4 10S x R x ou x

C – .................................................................... Ex.3

A – Ou

B – / ..............................................S x R

C – 7

; 5 2; 30;2

LL03 (1º Bim) Cap 13 p. 247 a 249 ex. 17 a 30.

Entrega em 28-fev-2010 (2ª. feira) no Caderno de

Matemática. [email protected]



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Cap 02 – Revisão de Potenciação

Resumo de Potenciação

Potência an = a.a.a.a……a ( n fatores)

a base e n expoente

Propriedades básicas:

a1 = a

a0 = 1 desde que a base não seja igual a

zero.

a n.a

m = a

m+n

a n:a

m = a

m-n

(a

n)

m = a

m.n = (a

m)

n

(a.b)

n = a

n.b

n ou ainda (a

p.b

q)

n = a

p.n . b

q.n

a

- n = 1/a

n (expoente negativo) ou ainda

(1/a)

–n = a

n

Obs: na forma de fração o expoente negativo

inverte a fração (a/b) - n

= (b/a) n.

Potência de 10 10 -2

= 1/102 = 1/100 = 0,01

o 102 = 100

Notação Científica N . 10 e 1 ≤ N < 10

Exercícios Extras de Potenciação.

1. Escreva na forma de potência de 2 cada um dos seguintes

números:

a) 32 = 25

b) 1/256 = (½)8 = 2

-8

c) 1/16 = (½)4 = 2

-4

2. Escreva na forma de potência de 3 cada um dos seguintes números:

a) 1/27 = (1/3)3 = 3

-3

b) 243 = 35

c) 1/81 = (1/3)4 = 3

-4

3. Escreva o número 253 na forma de potência de 5. 56

4. Escreva na forma de potência de 10 cada um dos

seguintes números:

a) 100 000 = 105

b) 1 000 000 = 106

c) 0,0001 = 10-4

d) 0,1 = 10-1

5. Simplifique cada uma das expressões:

a) (92.27

3)/(243

2) = 3

4+9-10 = 3

3

b) (1024)/(2-3.16

3) = 2

10-(-3)-12 = 2

c) (81-5)/(9

-11) = 3

-20-(-22) = 3

2

d) (642)/(32

-1) = 2

12-(-5) = 2

17

6. Qual é a forma mais simples (potência de 10) de

escrever a expressão:

[(0,0001)3.100

4]2 : (0,1)

7 ?

10(-12+8).2-(-7)

= 10-1

7. Qual é o valor numérico da expressão a2.b/c

2 quando

a = 25-2 , b = 625 e c = 5

-3 ? 5

-8+4-(-6) = 5

2

LL04 (1º Bim) Refazer as questões erradas da Prova P 01.

Entrega em 14-mar-2011 (2ª. feira)

no Caderno de Matemática.

[email protected]



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Cap 02 – Potenciação e Radiciação

Procurando um expoente para a raiz Vamos rever algumas propriedades que você já conhece.

Aproveite para entendê-las e não apenas decorá-las. Fique

atento aos operadores que vão aparecer, é muito fácil

confundi-los se você apenas tentar decorar as propriedades.

A multiplicação é a soma de iguais. 4 + 4 + 4 = 3 x 4

A potenciação é a multiplicação de iguais. 4 . 4 . 4 = 43

Forma geral (definição):

Potência an = a.a.a.a……a ( n fatores)

a base e n expoente


a1 = a

a0 = 1 desde que a base não seja igual a zero.

an.a

m = a

m+n

an:a

m = a

m-n

(an)m = a

m.n = (a

m)n

(a.b)n = a

n.b

n ou ainda (a

p.b

q)n = a

p.n . b

q.n

(a)- n

= (1/a)n (expoente negativo)

ou ainda (1/a)–n = a

n

na forma de fração o expoente negativo inverte a

fração (a/b)- n

= (b/a)n.

Potência de 10

10 -2

= 1/102 = 1/100 = 0,01

102 = 100

Notação Científica N . 10 e 1 ≤ N < 10

Agora vamos pesquisar com a calculadora do computador

(acessórios-calculadora-exibir-científica-botão x^y =

xy ) qual seria o expoente que representaria a raiz

quadrada. Ora sabemos que a raiz de 4 é 2. Então 4 elevado

a que expoente daria 2? Seria uma coincidência o valor que

você achou? Que tal tentar outros valores que conhece? Raiz

de 81 ou de 49, que tal? Com o quê você conhece de

potenciação você conseguiria justificar algebricamente a

resposta que você encontrou?

LL 07 Cap 02 p. 53 a 54 ex.32 a 38.

Entrega em 30-mar-2011 (4ª. feira)

no Caderno de Matemática.

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Expoente fracionário é radical! ref: http://2.bp.blogspot.com/_oB1PXcKdHNA/SCjDyjwBzYI/AAAAAAAAAHs/F-sApv1j70A/s400/Esportes-radicais1.jpg

n

m

n m aa

Generalizando o que vimos de expoente fracionário termos que:

Radiciação n a n é o índice e a é o radiciando.

Para n par a deve ser positivo.


n na a

.n m n ma a ou

nm

pn m pa a ou . .n n na b a b ou

n

nn

a a

b b

Para extrair do radical temos:

.

.

.

n nm q ra a a

m n

r q

Dividimos m por n e verificamos quantos fatores conseguem sair (q) e

quantos (resto r ) ficam.

Se você tiver 2 124 2 2

O que você fez foi dividir o expoente 2 pelo índice 2 e obter o

resultado 1 e resto zero (que não aparece).

Ou neste exemplo

1 12328 2 2 . 2 2 2

O que você fez agora foi dividir o expoente 3 pelo índice 2 e obter o

resultado 1 que sai do radical e resto 1 que permanece lá dentro.

Aquelas letrinhas tentam explicar isto m dividido por n dá q e resto

r.

Entendeu!

Sempre ficará n

m

n m aa que transforma quase toda radiciação em

potenciação novamente!

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.a a b

bb

Racionalizando alguns denominadores! Vimos até agora um pouquinho da Teoria dos Conjuntos. Apreendemos

algumas formas de representar estes conjuntos na reta numérica e, de

escrevê-los, utilizando simbologia matemática. Isto foi o nosso Cap 13

do Livro Didático e também o tempo necessário para nos adaptarmos um

pouco. Então fomos ao Cap 2 e estamos revendo todas as regras de

potenciação, na forma de raiz (que é uma potência de expoente

fracionário). Já devemos ter em nosso caderno cerca de 50 exercícios

sobre estes assuntos.

Nesta aula, fechando temporariamente o capítulo 2 (pois após

revermos as fatorações voltaremos um pouquinho por aqui), veremos o

que é racionalização.

Pretende a matemática que saibamos em quantas partes foi divido o

inteiro, e então não quer que o denominador seja um número irracional.

Assim cria uma série de artifícios matemáticos para expressar a mesma

quantidade (fração) mas com denominador não irracional (inteiro).

Entendendo artifício como uma forma (até artística) de expressar

algo com algum efeito desejado. No nosso caso o que queremos é tirar a

raiz do denominador. Para tanto multiplicamos os dois (numerador e

denominador) pelo que está faltando para o denominador conseguir sair

da raiz. Veja:

3

2é pegar 3 partes de algo que foi dividido em raiz de 2

pedaços. Ora, sabemos já que raiz de 2 não é um número muito

preciso. Então qual é o artifício?

Ao multiplicar numerador e denominador por um mesmo número não

alteramos a quantidade correspondente àquela fração. Vamos então

multiplicar ambos por 2 e ficará assim:

3 2 3 2.

22 2

e agora sabemos que foi dividido em duas partes

(denominador igual a 2).

Lógico que resolve pouca coisa, pois antes sabíamos ter pego 3

partes e agora pegamos 3 raiz de dois (quanto é isto

exatamente?) partes. É um recurso (até) artístico, mas que

desenvolve uma porção de habilidades matemáticas que serão muito

úteis lá para frente. “Aquerdite!!!”

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ref: joaokepler.blog.br/?m=200907

Primeiro de tudo: a notação que usamos para % (porcento) nada mais é

que exatamente isso por cento: 1/100 ou ainda 100

1. Assim quando

escrevemos 20% estamos dizendo 20/100 ou ainda 100

20, ou ainda 20 vezes

a fração 1/100, que alguns ainda sofrem para entender que é a mesma

coisa.

Agora o segundo ponto interessante: os porcentos sempre estão

acompanhados de algum valor que lhes dê algum sentido além do

meramente numérico. Apesar de poderem aparecer sozinhos e até mesmo

porcentos de porcentos. Assim 20% de 30, ou 20% de R$ 30,00 ou 20% de

30 títulos, ou em química 20% de 30 g, ou em física 20% da quantidade

de mols do gás que escaparam pelo orifício, etc. Para calcularmos

este(s) valore(s) basta multiplicar a fração dos porcentos (20/100)

pelo valor em questão, no nosso caso 30, e teríamos que 20% de 30 =

20/100 . 30 = 100

20 . 30 = 600/100 = 6, então teríamos nas questões

acima R$ 6,00, ou 6 títulos, ou 6 g ou 0,20n de gás que escapou.

Bom! Visto isso deveríamos avançar um passo e verificar que houve

acréscimo (aumento) de 20% ou decréscimo (diminuição – desconto) de

20%, pois assim somaríamos ou então diminuiríamos este valor do que

tínhamos. Como vamos somar ou diminuir no todo, e este todo é 1= 100%

= 100

100,

ficaríamos com 1,20 = 1 + 0,20 no caso do aumento ou 0,80 = 1 – 0,20

no caso do desconto.

Assim quando recebemos um aumento de 20% passamos a receber 0,20 vezes

o salário a mais e 1,20 vezes o salário no total. Ganhávamos R$ 100,00

e recebemos 20% de aumento, então ganhamos R$ 20,00 a mais (=

0,20.100) e passamos a receber R$ 120,00 (=1,20.100). O mesmo

acontecendo com o desconto. Assim se aquele aparelho que gostaríamos

de comprar custava R$ 1000,00 e o lojista nos deu 20% de desconto,

vamos pagar R$ 200,00 a menos (=20%.1000), ou seja, vamos pagar R$

800,00 (= 0,80.1000) . Observe que no desconto fica 1 – 20% = 80%, já

que este 1 é o então 100%.

Visto isto vamos ao mercado financeiro. Existem dois tipos de juros,

embora de fato só o segundo seja utilizado hoje em dia; o simples em

que a taxa é multiplicada pelo tempo, e o composto em que a taxa é

elevada ao tempo, mais conhecido como juro sobre juro.

Se você aplicar a 20% ao mês durante dois meses a juro simples teria

2.20% = 40%, mas quando você aplica a 20% ao mês durante dois meses a

http://joaokepler.blog.br/?m=200907

juro composto, teria 1,20x1,20= 1,44, ou seja 44%. Não precisa dizer

porque esta é a utilizada normalmente.

As fórmulas que regem isto são relativamente simples, assim:

Ct = C0 (1 + i.t) para juro simples e

Ct = C0 (1 + i.) t para juro composto.

Sendo Ct o capital (valor) depois do período

de tempo t, C0 o capital inicial, t o tempo em questão (sempre

acompanhando a unidade da taxa) e finalmente o i é a taxa em %. Alguns

livros o colocam sobre 100, assim i/100, mas isto está errado, pois um

i=20% já por si só corresponde a 20/100 = 0,20.

Agora para avançar no tempo você usa da forma que está escrita, e para

voltar no tempo você as inverte, como se calculasse o valor que seria

no passado correspondente ao valor de hoje. Criando para o juro

composto esta fórmula que nada mais é que a inversão daquela:

ti

C

)1(

0

= C , observe as duas, veja que é a mesma coisa lida de

trás para frente.

Bom como se usa isto?

Assim:

Exemplo 1 – Queremos liquidar uma dívida de R$ 300,00 a taxa de 15% ao

mês daqui a 3 meses, quanto deveríamos pagar?

Ct = 300 (1 + 15%) 3 = 300 (1+15/100)3 = 300 (1+0,15)3 =

300 (1,15)3 =

300.1,520875 = 456,26 (os quebradinhos foram

arredondados).

Resposta: Deveríamos pagar R$ 456,26.

Exemplo 2 – Temos uma fatura de R$ 450,00 que vence daqui a quatro

meses, por quanto deve ser descontada hoje a taxa de 12% ao mês?

ti

C

)1(

0

= Ct

4%)121(

450

=

4)12,01(

450

=

4)12,1(

450=

1,57351936

450 =

285,98 (os quebradinhos foram arredondados).

Resposta: Este boleto vale hoje R$ 285,98. Este valor aplicado durante

4 meses a taxa de 12% nos devolveria o valor dele de R$ 450,00.

EXERCÍCIOS EXTRAS DE PORCENTOS

1. (CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina.

a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura.

b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura.

2. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a

porcentagem de lâmpadas defeituosas.

3. Num lote de 75 calculadoras eletrônicas, 3 apresentaram defeito.

Escolhendo ao acaso uma calculadora deste lote, qual a probabilidade

da calculadora sorteada ser defeituosa?

4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380

candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%.

Calcule o número de reprovados.

5. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma

floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta, é

constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem,

calcule o percentual da área destruída pelo fogo.

6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em

20%, quanto passaria a custar?

7. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em

20%, quanto passaria a custar?

http://br.geocities.com/silvandabr/cbmerj.html

8. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas

compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa

sua máquina calculadora do seguinte modo:

Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o

preço total das mercadorias por:

(A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05

9. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00.

Calcule a taxa percentual do aumento.

10. Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve

diminuir para voltar ao preço antigo?

11. Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o

aumento final?

12. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$100,00 após dois

aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente?

13. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos

sucessivos, de 30% e de 20%.

14. Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00 ,

comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples

de 5% a. m. (ao mês). Calcule o valor que o comerciante deverá pagar

(montante).

15. À taxa de 30% a. a. (ao ano), certo capital, em 8 meses, produziu,

a juros simples, um montante de R$1.500,00. Qual foi o capital

aplicado?

16. Oliveira aplicou R$400,00 num investimento que rende 20% a. m., a

juros compostos. Calcule o montante ao final de 3 meses.

17. Maria dispõe de R$800,00 para investimento. Se a taxa de

rendimento for de 20% a. m. e o prazo for de 4 meses, calcule o

montante obtido em regime de:

a) juros simples. b) juros compostos.

18. Silva aplicou R$ 600,00 numa caderneta de poupança que rende 10%

ao mês. Como os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros

compostos, calcule o montante ao final de 4 meses?

19. Duas lojas vendem determinado tipo de peça de reposição para

automóveis pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções:

LOJA A: Compre 4 peças e leve 5. LOJA B: Compre 4 peças e pague 3.

Qual deles oferece o maior desconto?

20. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em

80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%,

resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do preço

original P .

21. Depois de um aumento de 20%, uma bolsa passou a custar R$ 38,40.

Qual era o preço da bolsa antes do aumento?

22. A taxa de inflação de um certo país é de 40% a. a.. Calcule a taxa

acumulada após 2 anos.

23. "Prefeito autoriza o aumento da passagem de ônibus, que custava R$

1,90 , para R$ 2,00" , diz a notícia. Calcule a taxa percentual do

aumento.

24. (UFAM) Se a área da base de um prisma diminui 20% e a altura

aumenta 30%, o seu volume:

(A) aumenta 8%. (B) diminui 4%. (C) aumenta 104%. (D) diminui 8%. (E) aumenta 4%.

25. Em uma época na qual a inflação era de 15% ao mês, uma rede de

lojas oferecia duas opções de pagamento: I) À vista, com 30% de

desconto. II) A prazo, em duas prestações mensais iguais, sem

desconto, a primeira sendo paga no ato da compra.

Qual a taxa dos juros embutidos nas vendas a prazo?

26. Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$

688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento?

27. (FUVEST-V04-2007) - Alguns problemas de saúde, como bócio endêmico

e retardo mental, são causados pela ingestão de quantidades

insuficientes de iodo. Uma maneira simples de suprir o organismo desse

elemento químico é consumir o sal de cozinha que contenha de 20 a 60

mg de iodo por quilograma do produto. No entanto, em algumas regiões

do País, o problema persiste, pois o sal utilizado ou não foi

produzido para consumo humano, ou não apresenta a quantidade mínima de

iodo recomendada.

A fonte de iodo utilizada na indústria do sal é o iodato de potássio,

KIO3, cujo custo é de R$ 20,00/kg. Considerando que o iodo representa

aproximadamente 60% da massa de KIO3 e que 1 kg do sal de cozinha é

comercializado ao preço médio de R$ 1,00, a presença

da quantidade máxima de iodo permitida por lei (60 miligramas de iodo

por quilograma de sal) representa, no preço, a porcentagem de:

a) 0,10 % b) 0,20 % c) 1,20 % d) 2,0 % e) 12 %

28. (FUVEST-V14-2007) - Uma equipe tenta resgatar um barco naufragado

que está a 90 m de profundidade. O porão do barco tem tamanho

suficiente para que um balão seja inflado dentro dele, expulse parte

da água e permita que o barco seja içado até uma profundidade de 10 m.

O balão dispõe de uma válvula que libera o ar, à medida que o barco

sobe, para manter seu volume inalterado. No início da operação, a 90 m

de profundidade, são injetados 20.000 mols de ar no balão. Ao

alcançar a profundidade de 10 m, a porcentagem do ar injetado que

ainda permanece no balão é:

a) 20 % b) 30 % c) 50 % d) 80 % e) 90 %

Pressão na superfície do mar = 1 atm. No mar, a pressão da água

aumenta de 1 atm a cada 10 m de profundidade. A pressão do ar no balão

é sempre igual à pressão externa da água.

Qualquer dúvida e-mail-me:

[email protected]

ref: http://www.scrapsdaweb.com/pt/ovos-da-pascoa/2


http://www.scrapsdaweb.com/pt/ovos-da-pascoa/2


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ref: joaokepler.blog.br/?m=200907

Gabarito dos 10 primeiros exercícios da

Aula 09 (Moodle)

1. (CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura.

A porcentagem é apenas uma maneira mais conveniente de representar uma razão ou fração com denominador 100. Como a mistura tem 20 + 30 = 50 litros, então: a) A razão entre o volume de álcool e o total é 30/50 = 60/100 = 0,6 = 60% b) A razão entre o volume de gasolina e o total é: 20/50 = 40/100 = 0,4 = 40% Observe que a soma destas (per) ou porcentagens deve dar o total de 100% = 100/100 = 1.

http://joaokepler.blog.br/?m=200907

2. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas defeituosas.

A razão entre o número de lâmpadas com defeito e o total é : 13/50 = 26/100 = 0,26 = 26%, o que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeito. Dizemos, então, que a taxa percentual de lâmpadas defeituosas é 26%.

3. Num lote de 75 calculadoras eletrônicas, 3 apresentaram defeito. Escolhendo ao acaso uma calculadora deste lote, qual a probabilidade da calculadora sorteada ser defeituosa?

A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis (número de calculadoras com defeito) e o número de casos possíveis (número total de calculadoras) em eventos considerados aleatórios (sorteios, jogos de azar etc). Assim, a probabilidade procurada é: 3/75 = 0,04 = 4% .

4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados.

Temos que de cada 100 candidatos, 15 foram reprovados, ou seja, 15% = 15/100 = 3/20 = 0,15. Seja N o número de reprovados em um total de 380 candidatos. Assim, podemos ter a proporção: N/380 = 15/100 = 0,15. Logo, o número de reprovados N = 380 . 0,15 = 57. 15% de 380 = 15/100 . 380 = 57.

http://br.geocities.com/silvandabr/proporcional.html

http://br.geocities.com/silvandabr/probabilidade.html

5. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo.

A mata virgem corresponde a 100% - 20% = 80% da área total da floresta. Assim, o incêndio destruiu 30% de 80% = (30/100).(80/100) = 0,3 . 0,8 = 0,24 = 24% da floresta. 6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?

Temos que 20% de 32 = 32.20/100 = 32 . 0,2 = 6,40. Logo o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40. Em outras palavras, como 32 + 0,2 . 32 = 32.(1 + 0,2), então podemos fazer simplesmente: 32 . 1,2 = R$ 38,40. Note que calcular um valor com aumento de 20% é o mesmo

que calcular 120% do valor, ou seja, multiplicar por 1,20.

Logo: aumentar 17% é o mesmo que multiplicar por 1,17;

aumentar 1,5% é o mesmo que multiplicar por 1,015;

aumentar 55% é o mesmo que multiplicar por 1,55; e assim

por diante.

7. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a custar?

Temos que 20% de 32 = 32 . 0,2 = 6,40. Logo a bolsa passaria a custar: 32 - 6,40 = R$25,60. Este problema pode ser resolvido de outra maneira. Como 32 - 0,2 . 32 = 32.(1 - 0,2), então podemos simplesmente fazer: 32 . 0,8 = R$ 25,60. Observe que calcular um valor com desconto de 20% é o

mesmo que calcular 80% do valor, isto é, multiplicar por 0,80.

Logo: diminuir 17% é o mesmo que multiplicar por 0,83;

descontar 55% é o mesmo que multiplicar por 0,45; descontar

60% é o mesmo que multiplicar por 0,40; e assim

sucessivamente. 8. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo:

http://br.geocities.com/silvandabr/cbmerj.html

Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por:

(A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05

Calcular um desconto de 5% é o mesmo que calcular 95%. Se P é o preço total, então o preço com desconto de 5% é P - 0,05P = 0,95P. Logo, para calcular o valor com desconto de 5%, basta fazer

P . 0,95. Assim, a alternativa correta é a opção (C).

9. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento.

Chamando de i a taxa percentual do aumento, segue que 24 + 24i = 30. Então, i = (30-24)/ 24 = 6/24 = 0,25 = 25%. Em outras palavras, o aumento foi de 30 - 24 = 6, sobre o valor inicial de 24, ou seja: 6/24 = 1/4 = 0,25 = 25%. 10. Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo?

Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de desconto. Assim, P . 1,25 . (1 - i) = P. Então, 1,25 . (1 - i) = 1. Daí vem que: 1 - i = 1 /1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8. Logo, a taxa i = 1 - 0,8 = 0,2 = 20%. Em outras palavras, se o preço era 100, o preço com aumento é 125. Para retornar ao preço antigo, ele deve sofrer um desconto de 25 em relação a 125, isto é, 25/125 = 0,2 = 20%. Sempre

podemos tomar o preço igual a100; basta tomar como unidade de

preço um centésimo do preço do produto.


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2011

Revendo Equações – Operações

Inversas - Cap 03

Caminhamos para resolver equações de 2º. Grau, usando

fatoração e um pouquinho das equações de 1º. Grau. Por isso

esta pequena revisão. Olhe como faríamos algumas continhas.

3 4 7

3 7

3....... 3

3 3 7 3

4

então

x

x

x

Normalmente se pensa no trocar de sinal, quando de fato

o que fazemos é inverter a operação. Quantidades iguais

subtraídas ou somadas nos dois membros continuam fazendo

iguais.

2 10

10

2

5

x

x

x

ou

82

8.2

16

x

x

x

ou

2 4 10

2 10 4

2 6

6

2

3

x

x

x

x

x

ou ainda

3 12

2 4

6 1 4 8

4 4 4 4

6 1 4 8

6 4 8 1

2 9

94,5

2

x x

xx

x x

x x

x

x x

Fizemos um pequeno trabalho em duplas, onde o principal

objetivo era verificar como nossos colegas estão operando.

32 4 8

4

62 4 8

4

62 4 8

4

32 62

4 4

382

4

38 194,75

8 4

x x

x x

x x

x

x

x x x


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ref: bloogle-incrivel.blogspot.com/2009/10/arte-co

Aula 12 de Matemática – 9os Anos – 2011

Revisão de Fatoração

Fatorar é transformar

em fatores. Principais casos:

2 2 2

2 2

3 2 2 3 3

3 3 2 2

2

2

. . .( )

. . . . .( ) .( ) ( ).( )

2. . ( )

( ).( )

3. . 3. . ( )

( ).( . )

. . .( ).( ´ )

4

2

a x a y a x y

a x a y b x b y a x y b x y x y a b

a a b b a b

a b a b a b

a a b a b b a b

a b a b a a b b

a x b x c a x x x x

onde

b b acx

a

ref: matematicaoitava.blogspot.com/2006_04

Observe que as parcelas, ou minuendos e subtraendos, da esquerda

se transformam (entre parênteses) em fatores.

http://bloogle-incrivel.blogspot.com/2009/10/arte-com-cubos-magicos.html

http://matematicaoitava.blogspot.com/2006_04_14_archive.html

Alguns exemplos práticos:

22

2 2

20.15 20. 10 5 200 100 300

49 50 1 2500 100 1 2401

5 3 5 3 . 5 3 8.2 16

Em particular usaremos esta expressão:

2 2 2 2 2 22 2. . 4 4ax b primeiro primeiro segundo segundo a x abx b

Qualquer dúvida e-mail-me!

Prof Rocco.

[email protected]


Aula 13 de Matemática – 9os Anos

– 2011

Equações e Fatoração

I Nas próximas aulas estaremos resolvendo equações e

discutindo fatoração nos casos em que forem aparecendo e

sendo necessário. Caminhamos para demonstrar Bhàskara.

Livro Didático – Cap3 – p.59 23 7 82y

Subtraindo 7 de ambos os lados continuará igual. Isto já

era conhecido (na forma escrita desde Euclides em suas

noções básicas (Axiomas ou - atualmente - Postulados de

Euclides) desde 300 aC. Postulado é algo que se pede que

seja acreditado. Ora subtrair 7 dos dois lados é o mesmo

que passar o +7 para o lado direito como – 7. Invertendo a

operação. Então não são dois métodos diferentes, mas duas

formas de se ver (e empregar) o mesmo método. 2

2

3 7 82

7 7

3 82 7

y

y

E fica então: 2

2

3 82 7

3 75

y

y

Seguindo o mesmo raciocínio, agora dividiremos os dois

lados por 3, observe: 2

2

2

2

3 75

3 3

3 75

3 3

1 25

25

y

y

y

ou

y

Agora basta descobrir que números vezes ele mesmo pode dar

25. São dois:

Então fazemos a extração da raiz levando em conta estas

duas possibilidades:

25 5

25 25 55 5

negativo

positivo

y yy y y ou

y y ´

O fato de serem dois possíveis valores é que nos abriga a

usar índices para a incógnita, pois em uma mesma sentença

não poderíamos ter uma única letra valendo ao mesmo tempo

dois números diferentes. Entenderam?

Aqui está um bom exemplo de como vamos trabalhar as

equações!

Prof Rocco

ref: http://www.librosmaravillosos.com/matematicalife/imagenes/078b.gif


– 2011


II A anterior foi uma equação do 2º. grau, porque tinha o

expoente 2 como maior potência. Vamos ver uma equação que

não tem grau.

Ainda Livro Didático – Cap3 – p.59

2 3 11x

Vamos tirar 3 dos dois lados, ou então passar o + 3 para a

direita como – 3. Lembre-se isto é a mesma coisa feita de

formas diferentes.

2 3 11 3

2 3 8

E agora dividimos os dois lados por 2:

2 8

2 2

81

2

4

x

. x

x

Observe que passar o 2 dividindo, ou seja pula a 1ª. linha

daria na mesma. Agora sobra a pergunta: “a raiz quadrada de

que número daria 4?”

24 4 16x x x

Olhe! Aqui não existem duas possibilidades. A raiz de – 16,

você já viu que não existe no conjunto dos Números Reais.

Entenderam? Aqui está outro bom exemplo de como vamos

trabalhar as equações!

Prof Rocco

ref: http://images.uncyc.org/pt/thumb/d/d4/Pitagoras_grafite.jpg/160px-

Pitagoras_grafite.jpg


2011


III Pode acontecer de termos equações com mais de uma letra.

Descartes sugeriu que usassem as últimas (x, y, z ... )

para os valores a serem determinados e as primeiras (a,b,c

...) para expressar valores conhecidos. Mas isto não é

obrigatório.


2 25 7 2 2ax a a ax

Em x é do primeiro grau, mas em a é do 2º grau.

Interessante! Vamos resolver em x!

2 2

2

2

5 2 2 7

3 9

9 3 3 33

3 3 1

ax ax a a

ax a

a . .a.a ax x a

a .a

Aqui cabe uma porção de considerações, mas faremos isto

mais adiante. Agora temos que treinar a solução da equação,

para depois discuti-la em suas exceções.

Neste instante você pode estar adquirindo uma liberdade

IMENSA em relação às estas letras e seus significados. Seja

bem vindo às maravilhas da Matemática.

Prof Rocco

ref: http://connections.smsd.org/nieman/descartes.jpg


2011


IV Estamos ao longo do Capítulo 3 treinando formas de isolar a

incógnita para determinar o seu valor. A idéia é sempre

chegar em um x igual a tanto. Pode parecer que é MUITO

fácil e, apesar de ser, o que queremos é desenvolver algo

que nos permita resolver equações de grau 2. Onde existe o

x ao quadrado.


3 1x

Em x elevado a meio (lembra que raiz quadrada é expoente

meio?), este tipo de equação não é polinomial. Mais para

frente vai receber o nome de irracional. Mas esta é das

fáceis, observe:

De que quantidade tirando 3 sobraria apenas 1? Resposta: 4.

Este 4 aparece quando você soma 3 nos dois membros da

equação, ou quando passa o 3 que está subtraindo na

esquerda, agora somando na direita. Veja:

3 1

3 3

4

x

x

O inverso da soma é a subtração e da subtração é a soma.

Acabamos de usar isto!

O inverso da multiplicação é a divisão e vice-versa ao

contrário.

Mas e da raiz? Qual é o inverso da raiz? Resposta: é a

potência. Observe:

25 a pergunta é: que número vezes ele

mesmo dá 25? Resposta: 5! Porque 5 vezes 5 dá 25. Então que

número é aquele lá dentro da casinha em que 4 vezes ele

mesmo dá ele. Ora é o 4 vezes o 4, é o 16. Certo? Então

inverter a operação de extrair uma raiz quadrada é elevar

ao quadrado. De uma raiz cúbica é elevar ao cubo.


Prof Rocco.

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– 2011

Lendo os coeficientes a, b e c

2

2

2

2

2

2

2 7 10 0 _____ _______ ______

2 7 10 0 _____ _______ ______

5 1 0 _____ _______ ______

1 73 0 _____ _______ ______

2 8

2 3 0 _____ _______ ______

1 0 _

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a

2

2

2

2 4

____ _______ ______

110 0 _____ _______ ______

2

2 7 20 _____ _______ ______

3 4 5

5 4 13 0 _____ _______ ______

23 17 5 0 _____ _______ ______

b c

x x a b c

x xa b c

x x a b c

x x a b c

2

2

2

2

2

2

2

2

2 7 10 0 2 7 10

2 7 10 0 2 7 10

5 1 0 1 5 1

1 7 1 73 0 3

2 8 2 8

2 3 0 2 1 3

1 0 1 1 1

1 110 0 1 10

2 2

2 7 2 2 70

3 4 5 3 4

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x x a b c

x xa b c

2

2 4 4

2

5

5 4 13 0 5 4 13

23 17 5 0 23 17 5

x x a b c

x x a b c

Gabarito aqui! Verifique.


[email protected] ref: http://denisealves.files.wordpress.com/2008/03/genio.jpg e dança indiana.com...


http://denisealves.files.wordpress.com/2008/03/genio.jpg


2011

Alguns exercícios

resolvidos Livro Didático – Cap 06 – p.110 ex 6 e ex 8 e p. 117 ex 27

2 2

22

6

12

3

1 2 3 1 6

6 6 0

11 1 4 1 64

12 2 1

6

1 5 42

1 1 24 1 25 1 5 2 2

2 2 2 1 5 63

2 2

ex

x xa )

x x . x x

x x x x

a. .b b ac

b x xa .

c

x x x

x x x

x ´ x ´ x ´

2 2

2 2

6

14 2

4 122 4 4

4 4 4

2 4 1 3 4 4 4 0

44 1 1 4 4 0

12 2 4

0

1 1 00

1 1 0 1 1 1 1 8 8

8 8 8 1 1 2 1

8 8 4

ex

x xb ) x x

x xx xmmc ;

x x x x x x x x x

ab b ac . .

b x xa .

c

x x x

x x x

x ´ x ´ x ´

2

2

2

2 2

22

6

6 1

3 2 6

2 3 6 16 2 3 6 1

6 6 6

6 1 5 0 6 5 1 0

65 5 4 6 14

52 2 6

1

5 1 4 1

5 25 24 5 1 5 1 12 12 3

12 12 12 5 1 6 1

12 12 2

ex

x x xc )

x x xmmc x x x

x x x x

a. .b b ac

b x xa .

c

x x x

x x x

x ´ x ´ x ´

2

2 2

2

6

6 40 90 8

6 40 90 8 0 6 48 90 0

648 48 4 6 90 48 2304 2160

482 6 12

90

12 4 31 4 3148 4464 48 12 31

12 12 12 4 31

ex

d ) x x x

x x x x x

a. .

b x x.

c

xx x x

x ´

2

2

6

0 1 1 5 5 6 0

0 11 5 1 5 4 0 1 5 6 1 5 2 25 2 24

1 52 0 1 0 2

5 6

1 5 0 1 1 47

0 2 0 21 5 0 01 1 5 0 1

0 2 0 2 1 5 0 1 1 68

0 2 0 2

ex

e ) , x , x ,

a ,, , . , . , , , ,

b , x x. , ,

c ,

, , ,x x x

, ,, , , ,x x

, , , , ,x ´ x ´ x ´

, ,

2 2

2 2 2

22

8

13 13 4 4 201 5

4 4 4 4 4

13 4 4 20 13 4 4 20 0 4 3 0

14 4 4 1 34

42 2 1

3

4 2 21

4 16 12 4 4 4 2 2 2

2 2 2 4 2 63

2 2

ex

x x xa ) x

x x x x x x

a. .b b ac

b x xa .

c

x x x

x x x

x ´ x ´ x ´

2 2

2

22

8

5 1 2 5 5 2

5 2 5 0

52 2 4 5 54

22 2 5

5

1 262 1 262 4 100 2 104 2 2 26 5

10 10 10 10 1 26

5

ex

b ) x x x x

x x

a. .b b ac

b x xa .

c

x.x x x x

x ´

8

2 3 2 3 32 44

8 2 8 8 8

32 3 32 4 34 3

34

ex

x x x x xc ) x

x x x x x

2 2

2 2 2

22

8

3 2 1

6 9 4 4 1 3 2 8 0

32 2 4 3 84

22 2 3

8

2 10 8 4

2 4 96 2 100 2 10 6 6 3

6 6 6 2 10 122

6 6

ex

d ) x x

x x x x x x

a. .b b ac

b x xa .

c

x x x

x x x

x ´ x ´ x ´

27ex

2

2

2

22

2

14 2 10 2 14.10

140 28 10 4 140

4 48

4 48 112

44

4 48 112 0 482

112

48 48 4.4.( 112) 48 2304 1792 48 4096

2.4 8 8

calçada maior casa

calçada

calçada

calçada

A A A

A x x

A x x x

A x x

x x

ab b ac

x x b xa

c

x

48 64

8

48 64 112 56´ 14

8 8 4

48 64 16´ 2

8 8

x

x

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Relações Métricas do Triângulo Retângulo –

Cap 1

Os triângulos ABC , ABH e ACH são semelhantes, então dois a dois

teremos:

Destas proporções estabelecemos as relações:

Sendo as duas primeiras conhecidas como relações de Euclides.

(Mas Euclides era um compilador, lembram-se).

Ainda:

2 2 2

2 2 2

. . ( ) .

a m n

então

b c a m a n a m n a a a

a b c

Esta última conhecida por relação (Teorema) de Pitágoras.


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Relações Métricas do Triângulo Retângulo –

Cap 1

Exercício Resolvido em Aula

Calcular os valores de m, n, h e c.

Os triângulos ABC , ABH e ACH são semelhantes, então dois a dois

teremos:

Destas proporções podemos da do meio encontrar o valor de “n”.

25 1525. 15.15 5.5. 3.5.3.5 3.3 9

15n n n

n

Se n = 9 e n + m = 25 então m = 25 – 9 m = 16.

Então na 1ª. Linha usando a 1ª e a 3ª. Frações teremos:

2 22525.16 . 5.5.2.2.2.2 400

16

400 20

5.5.2.2.2.2 5.2.2 5.4 20

cc c c c

c

c

ou

c

Na 3ª. Linha com as duas últimas frações:

2 2. 16.9 16.9 16. 9 4.3 12h m n h h h LL11 – (para 2ª. feira 15 de agosto)

Cap 1 . p 31 e 32 ex 27 a 38,


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2011

Áreas e Volumes – Cap 4

Devemos ter em mente que área é medida de superfície e corresponde ao

produto de duas dimensões. Ao fazermos um empilhamento de “barrinhas”

de 10 cm até ocupar 4 cm teríamos ocupado uma superfície de 4cm de

10cm, ou seja 4cm . 10 cm = 40 cm2.

As áreas mais comuns são:

.retânguloA b h h

b

2.quadradoA L L L h L

b L

1 .. .

2 2triângulo

b hA b h

.( ).( ).( )

2

HerãoA p p a p b p c

a b cp

No triângulo acima entenda como meio retângulo. Já no trapézio abaixo

repare nos cortes da sua tesourinha virtual.

. .2

trapézio média

B bA h B h

Ainda é o retângulo: observe que recortando os bicos e encaixando

volta a ser um retângulo!

1 .. .

2 2losângulo

D dA D d

Divida em quatro triângulos cujas bases e alturas medem metade de cada

diagonal e some estas quatro áreas para demonstrar a metade do produto

das diagonais.

B

b

h

½.(B+b)

B

b

h

D

d

R

2 22 21

. . . . .2 4 4

círculo

D DA R D

π (pi) Obs: veja na internet

http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm

O volume corresponde ao produto das três dimensões. Em geral faremos

igual a área da base vezes a altura.

ref: http://revistaescola.abril.com.br

.baseV A H


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ref: http://vilamulher.terra.com.br/bela104113

http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm



– 2011

Medidas – Cap 4

ref: http://mecatutordeprimaria.blogspot.com/2009/03/sistema-metrico-decimal.html

Ao subirmos esta escadinha estamos indo para unidades

maiores e portanto o número deve ficar menor. Observe que

1000 metros ficará apenas 1 ( e ,000) quilômetro. O número

passa de 1000 para 1. E o inverso é óbvio demais! Ao descer

o número deve aumentar pois estamos indo para unidades de

medidas menores. Assim 1 metro possui 100 centímetros. Olhe

o 1 e o 100.

Podemos fazer isto com qualquer unidade de medida. Veja:


[email protected]

ref: http://vilamulher.terra.com.br/bela104113

http://mecatutordeprimaria.blogspot.com/2009/03/sistema-metrico-decimal.html



Como resolver os

Exercícios de Produto e Soma

das

Raízes de Equações de 2º Grau

Vamos pegar um exemplo:

01892 xx

Eles todos são do tipo

2 0x xS P

soma (S) e produto (P) com a=1, aquele que multiplica o x quadrado, caso contrário

temos que dividir a equação inteira por a para ficar desta forma.

1- Bom começamos pelo produto P = 18.

Pegando só números inteiros e positivos (a princípio) verificamos todas as

possibilidades de o produto de dois deles darem 18.

Assim:

1 e 18

2 e 9

3 e 6

4 não tem

5 não tem

6 e 3 (pode parar, pois começamos a voltar, olhe a terceira linha).

2 – Agora vemos o sinal do produto que neste caso é positivo (+) então eles tem que ter

o mesmo sinal. Se fosse negativo teriam sinais contrários. Ou seja:

+ 1 e + 18

Ou

- 1 e – 18

+ 2 e + 9

- 2 e – 9

+ 3 e + 6

- 3 e – 6

3 – Agora destas possibilidades verificamos qual é que somando dá o valor de S = 9

(atenção observe que trocou de sinal, a soma troca de sinal o produto não).


[email protected]

ref: http://blogdaanne.loveblog.com.br


http://blogdaanne.loveblog.com.br/


2011

O vértice da

parábola.

ref: http://matematicanocvp.blogspot.com/2008/05/coordenadas-do-vrtice-da-parbola.html

Hoje vimos mais estas propriedades da parábola e de seus pontos mais

famosos. Veja:

2

2

2 2

2

2 2

4

4 4

vértice

vértice

vértice vértice

vértice

x x ´ Somax

bx

a

e

b by f ( x ) a. b. c

a a

b .a.cy

.a .a

ref: ribamarpolivalente.blogspot.com

Estas imagens nos resumem o que vimos em aula na última semana de

setembro. Lembre-se sempre do eixo de simetria que é a mediatriz entre

x´e x´´.


[email protected] ref: http://blogs.sapo.cv/userinfo.bml?user=beforethestorm



2011

Trigonometria

Cap 9

Hoje na aula definimos as relações (funções)

trigonométricas para o Triângulo Retângulo.

cos

CatetoOpostosen

Hipotenusa

CatetoAdjacente

Hipotenusa

CatetoOpostotg

CatetoAdjacente

Pegamos os cinco ângulos mais famosos e fizemos a

seguinte Tabela de valores. (Que devemos saber montar e não

decorar os valores).

0 0 0 0 00 30 45 60 90

2 2 2 2 2

cos2 2 2 2 2

sen

tg

Os valores de seno vão de 0 a 4 e os de cosseno de 4 a

0.

Olhe:

0 0 0 0 00 30 45 60 90

0 1 2 3 4

2 2 2 2 2

4 3 2 1 0cos

2 2 2 2 2

sen

tg

Fazendo as continhas, que são elementares, teremos:

0 0 0 0 00 30 45 60 90

1 2 30 1

2 2 2

3 2 1cos 1 0

2 2 2

sen

tg

Para obter as tangentes dividimos o seno pelo cosseno.

Olhe:

0 0 0 0 0

cos

0 30 45 60 90

1 2 30 1

2 2 2

3 2 1cos 1 0

2 2 2

1 30 1 3

33

CO

sen CO H COHtg

CA H CA CA

H

sen

tg

Usaremos estas relações para obter novamente as relações

métricas do Triângulo Retângulo e verificar que estão todas

intimamente relacionadas. Isto passa a ser mais uma

ferramenta para suas atividades matemáticas.

Observe:

Relações Métricas e Trigonométricas do Triângulo Retângulo.

Os triângulos ABC , ABH e ACH são semelhantes, então dois a

dois teremos:

(já vimos isto, e estamos recapitulando)

a b cABC ABH

c h m

a b cABC ACH

b n h

c h mABH ACH

b n h

Destas proporções estabelecemos as relações:

2

2

2

.

.

.

. .

. .

. .

b a n

c a m

h m n

a h b c

b h c n

c h a m

Sendo as duas primeiras conhecidas como relações de

Euclides. (Mas Euclides era um compilador, lembram-se).

Ainda:

2 2 2

2 2 2

. . ( ) .

a m n

então

b c a m a n a m n a a a

a b c

Esta última conhecida por relação (Teorema) de Pitágoras.

Agora as trigonométricas são:

cos

CatetoOposto b h nsen

Hipotenusa a c b

CatetoAdjacente c m h

Hipotenusa a c b

CatetoOposto b h ntg

CatetoAdjacente c m h

De onde as relações métricas deduzidas anteriormente acima

podem novamente ser obtidas.

Os ângulos α e β são complementares (somam 90 graus), e valem as relações:

cos

cos

1

sen

sen

tgtg

Relação Fundamental da

Trigonometria: 2 2 2cos 1sen

Trigonometria - Javas

Neste site da Unesp existem várias aplicações das funções

trigonométricas. Não deixe de ver.

http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gpimem/AppletsAntigo/index

.htm

LL18 – Cap 9 – p 167 e 168 exs. de 14 a 20.

No Caderno de Matemática.

Para 2ª. feira (10 de outubro).


[email protected] ref: http://moniquecristinadesouza.blogspot.com/2010/10/horario-de-verao-2010.html

http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gpimem/AppletsAntigo/index.htm

http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gpimem/AppletsAntigo/index.htm



2011

Ângulos na circunferência

ref:

http://geometrias.blogspot.com/2006_06_01_archive.html

Vamos ver dois casos importantes.

CASO 1(interno não central)

CASO 2 (externo)

Nos dois casos não sabemos ler ângulos que não sejam centrais ou

periféricos. Então devemos transformar os dados nestes que sabemos

ler. No primeiro caso a saída é traçar ou o segmento AD ou o segmento

BE. Vamos escolher AD.

Agora conseguimos ler os periféricos:

DAEque é metade do arco DE

e

ADBque é metade do arco AB

e

no triângulo ADF temos que

x (externo) é a soma dos internos opostos.

CASO 1

Ê no caso 2, podemos traçar AE ou BD. Vamos fazer AE.

Agora conseguimos ler os periféricos:

DAEque é metade do arco DE

e

AEBque é metade do arco AB

e

no triângulo ADEF temos que

AEB é a soma dos internos opostos.

ou, como é mais conhecida

CASO 2


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2011

Radianos

Ref: http://profbiriba.blogspot.com/2011/01/aula-unidade-de-medida-de-angulo.html

Consiste simplesmente em uma outra forma de medir ângulos.

Usando o comprimento (perímetro) da circunferência

2c p R

podemos expressar os ângulos em função de seus perímetros. Para tanto

fazemos o raio ser unitário (R=1) e teremos que uma volta inteira que

corresponde a 360 graus também poderia ser dita ter dois pi radianos.

0360 2 2radianos rad

Assim, uma abertura de meia volta teria 180 graus ou apenas um pi

radianos.

0180 rad

Ou todo o circulo trigonométrico:


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2011

Fazendo gráficos

ref: http://www.imagensdeposito.com/tags/1/halloween.html

Hoje vamos desenhar muitos gráficos.

Nós já apreendemos a representar pontos no plano cartesiano.

P(x;y)

Podemos desenhar muitas relações entre os valores de x e y.

Estas relações serão vistas melhor na 1ª. série do Ensino Médio, no

ano que vem. Elas receberão o nome de funções e o y vai ganhar uma

nova forma f(x) – função de x. Primeiro vamos ao programa que vai nos auxiliar durante os

próximos 3 anos em nossos estudos de matemática. Existem outros

similares na internet, este é apenas um deles.

Na pasta de Resumo e Treinos encontre o graphmat.exe e o seu

manual resumido: “Como usar o graphmat”.

Abra o programa e siga as instruções do pequeno manual.

Qualquer dúvida e-mail-me: [email protected]



2011

Estatística

Lendo Histogramas

ref: http://www.cbpf.br/cat/pdsi/gauss.html

No capítulo 5 de nosso Livro Didático, vários termos que irão se

juntando para formar uma idéia do que é esta matéria tão comentada nos

dias de hoje.

O termo estatística surgiu da palavra alemã Statistik, sendo

traduzido pela primeira vez para o inglês em 1770, no livro

Bielfield´s Elementary Universal Education, que afirmava que “ a

ciência chamada estatística nos ensina o arranjo político de

todos os Estados modernos do mundo conhecido”. Em 1828, o tema

já evoluíra de tal modo que o dicionário Webster definia a

estatística como “uma coleção de fatos a respeito do estado da

sociedade, a condição da população numa nação ou país, sua

saúde, longevidade, economia doméstica, artes, propriedade e

força política, o estado de seu país, etc.”.

Ao português, o termo teria chegado, segundo o filósofo lusitano

José Pedro Machado, em 1815, a partir do francês, língua que já

registrava o termo desde 1785.

Trecho do Livro O andar do bêbado de Leonard Mlodinow p.163.

ref: http://www.abinee.org.br/abinee/decon/decon10.htm

Mesmo sem estudar isto, você convive com estas formas de se expressar

medidas, seja lá do que forem. Observe os gráficos e leia o texto:

“ ... As exportações de produtos eletroeletrônicos

continuaram sem mostrar sinais de recuperação. No mês

de junho/2010 totalizaram US$ 616,6 milhões, resultado

5,0% inferior ao do mesmo período do ano passado (US$

649,0 milhões). É importante ressaltar que o ano de

2009 é considerado uma base fraca de comparação, uma

vez que os negócios estavam retraídos em consequência

da crise internacional, fato que agrava ainda mais

este resultado. Ao comparar este mesmo montante com o

apontado em junho de 2008 (US$ 933,9 milhões), a queda

chega a 34%. ... No sentido inverso das exportações,

as importações continuam em expansão, superando o

resultado de 2009, ultrapassando, também, os níveis

realizados em 2008. No mês de junho de 2010, somaram

US$ 2,80 bilhões, 46,0% acima do mesmo período do ano

passado, com crescimento nas importações de todas as

áreas do setor, com taxas que variaram entre 16,6%,

para Automação Industrial, e 72,7%, para Material

Elétrico de Instalação.... “

BIG MAC INDEX 2011

Apr 25th, 2011 by themoneymonkey in Economics, Interesting, Strategy, Tools

http://www.themoneymonkey.org/category/economics/

http://www.themoneymonkey.org/category/interesting/

http://www.themoneymonkey.org/category/strategy/

http://www.themoneymonkey.org/category/tools/

Trabalhando a Informação – Histogramas e

porcentagens.

Para a confecção de um climograma, o primordial é ter uma tabela

anual de precipitação (medida em milímetros de chuva) e

temperatura anual (medida em graus Celsius) de uma região. Ela

deve ser estruturada de maneira que nas colunas, coloque os

meses e na primeira linha marcamos os dados de precipitação e na

segunda, os de temperatura. Veja o exemplo da tabela:

Essa tabela deve ser feita de maneira que a precipitação seja

expressa em um gráfico em barras (colunas ou histogramas) e a

temperatura em linha. Eis o exemplo:

ref: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=531

Leia o climograma e procure descrever as variações de

temperatura e precipitação, por exemplo:

a) Quais meses choveram mais?

b) Quais choveram menos?

c) Em que mês a temperatura foi mais baixa?

d) E mais alta?

ref: http://www.inmet.gov.br/sim/graf_chuv_acu_

Observe como lemos dados dos dois lados, temperatura à

esquerda e umidade relativa à direita, para cada hora do

dia.

Qualquer dúvida e-mail-me: [email protected]


matemática efii 9o ano 2011 escola viva

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