recuperação 9o. ano 2009

Recuperaçãode Geometria

9º ano - Escola NovaProf. Andréa Thees

Teorema de Tales

Retas paralelas (r, s e t) Retas transversais (m e n) Segmentos proporcionais

EF

DE

BC

AB

EF

DF

BC

ACou ou

EF

BC

DE

AB

EF

BC

DF

ACou

É possível estabelecer outras proporções?

90 m

180 m

1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore?

2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x.

3.

Exercícios

12185,1

1 x

x

2114420

)32(7)15(47

15

4

32

xx

xx

xx

6

25

256

4211420

x

x

xx

40

60

804090

18040203040

180

z

y

x

x

x

Teorema de Tales nos triângulos

Teorema de Tales nos triângulos

Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso...

O que mais é proporcional?

CF

AC

BE

AB

Exercício4. Qual a medida de no

lago da figura?AB

245

120120

1

5120

15

75

Teorema da bissetriz interna


NC

AM

BN

BA

ACAM

Traçamos CM // NA.Pelo Teorema de Tales,

Como o ΔACM é isósceles,

Logo,

NC

AC

BN

BA

Exercício5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m.

Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado.


27 m18 m

30 m

x 30 - x

xx 30

2718

)30.(1827 xx

xx 1830.1827

30.181827 xx

30.1845 x

122.63

2.1845

30.18

x

x

x

Resposta: 12 m e 18 m.

)(2

3

2

3

18

27

12

18V

Conferindo:

Teorema da bissetriz externa


Exercício6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm.

Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â.

BC

CA

CD

BA

BD

ou

b

n

c

m


5 cm4 cm

6 cmA B

C

x

46

5 xx

)5(46 xx

2046 xx

202 x

10x

Resposta: 10 m.

)(4

10

6

15

4

10

6

510V

Conferindo:

Figuras e polígonos semelhantes

Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Essas figuras são semelhantes? Por que?

Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).

Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).

Exercício7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm

aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores?

3

5k k

p

P

P

p

3

5

15

25

2

2

252

152

Triângulos semelhantesTeorema fundamental de semelhançaToda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.

Exercício8. Determine x e y, sendo .MNBC //

6

122

12330

12

10

x

x

xx

xx

24

12

2

1

12

12

6

y

y

y

Casos de semelhança

Caso AA: (Ângulo – Ângulo)

Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado)

Caso LLL: (Lado – Lado – Lado)

Exercício9. Ver livro página .......

Relações métricas (Δ Retângulo)


Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ?

Maior lado ?

Lado médio ?

Menor lado?


Triângulo ABC

Hipotenusa aCatetão bCatetinho c


Triângulo ABC Triângulo ADC

Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h


Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n




ambmabbm

b

b

a 2..




ancnaccn

c

c

a 2..




mnhnmhhn

h

h

m 2..




cbhah

b

c

a..

Relações métricas - RESUMO

Teorema de Pitágoras

Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa.

Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos.

O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.

Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas!

Exercícios10. Determine as incógnitas indicadas na figura:

11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída.

AC BC

80

100

(3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km.a . h = b . c => 100.h = 80.60Logo h = 48A estrada medirá 48 km.

TrigonometriaEla está em todo lugar!

Trigonometria – seno, cosseno e tangente

Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego)

Exercícios14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.

...923,013

12ˆ h

cobsen

...384,013

5ˆcos h

cab

...384,013

5ˆ

h

cocsen

...923,013

12ˆcos

h

cac

4,25

12ˆ ca

cobtg ...416,0

12

5ˆ

ca

coctg

Exercícios15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e

determine a medida dos ângulos em graus.

16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m.

º67ˆ...923,0ˆ bbsen

º67ˆ...384,0ˆcos bb

º67ˆ4,2ˆ bbtg º23ˆc

º10ˆ18,0200

36ˆ

ca

cotg

17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta?

18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada?

4

5,0.88

5,0

8º30

x

x

x

xsen

Resposta: O foguete está a 4 km de altura.

1616,1

242,0.8,4

8,4242,0

8,4º76cos

x

x

x

x

Resposta: Aproximadamente 1 m.

6,5

07,0.8080

07,0

80º4

x

x

x

xtg

2,52

48,3.1515

48,3

15º74

x

x

x

xtg

Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km.

Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo.

19.

20.

x

Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°

x sen x cos x tg x

30°

45°

60°

2

1

2

2

2

3

2

3

3

3

1

32

1

2

2

21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre?

22. Qual a altura do prédio da figura ao lado?

Exercícios

xh

x

hx

htg

T

T

T

3

3

º60

x

20 + x3,2710310)13(

)13(.)13(

20

20)13(

203

320

x

x

xx

xx

3,473,272020 xhT

30602

160

º30

P

P

P

h

h

htg

Resposta: A altura da torre é 47,3 maproximadamente.

Resposta: A altura do prédio é 30 m.

Circunferência e arcos

rCdCd

C..2.

dCd

C.14,3...14,3 rd .2 ...14,3

a

r

a

C º3602º360

Relações métricas na circunferência

Exercícios23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big

Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas?

4,5

7,2..2

.2

H

H

HH

C

C

rC

6,8

3,4..2

.2

M

M

MM

C

C

rC

5,87,22

4,5

HP 1626,516.6,8 MP

Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.

Exercícios24. Calcule o valor de x nas figuras.

4

4

334

3).1().14(

2

22

x

xx

xxxx

xxxx

2

80)2).(8(

0166

032122

8.4)122(

)44.(4)12.(

2

2

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

4

80)4).(8(

0324

06482

64)82(

8)8.(

2

2

2

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

Relações métricas polígonos regulares

Apótema Lado

Triângulo

Quadrado

Hexágono

23

ra

224

ra

326

ra

33 r

24 r

r6

Exercícios25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma

circunferência de raio 5 cm. Determine:

a medida do lado do quadrado inscrito;

a medida do lado do quadrado circunscrito;

o apótema do quadrado inscrito;

o apótema do quadrado circunscrito.

254

104 L

22

54 a

54 A

10 cm

Área das figuras planas

Polígono regular: S = p.a

Exercícioso lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm.

26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que:

Reptiles – M.C. Escher

2568,2.20

20

405.82

cmS

p

p

1- Pentágono regular

2- Losango

21082

12.18cmS

3- Triângulo isósceles

2

222

122

4.6

453

cmS

hh

4- Retângulo2303.10 cmS

5- Paralelogramo

2

22222

2

230

2

23.10

2

23

2

33

cmS

xxxx

6- Círculo22 93. cmS

27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados?

28. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm?

04,1134

4.36.14,3)26.(14,3.

4

1.

º360

º90 22 rSSC

56,124.14,3222 rSC

26

212

2

d

362

26.26

2

.

hbS ABD

04,773604,113 ABDSCT SSS

Resposta: 12,56 m2

Resposta: 77,04 m2

FIM

Feliz 2010!

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