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MATEMÁTICA

ENSINO FUNDAMENTAL – 9º- ANO 269 SISTEMA ANGLO DE ENSINO

Matemática 1A NOTAÇÃO CIENTÍFICA

UNIDADES DE MEDIDA MACRO E MICRO

Retomando idéiasVocê estudou unidades de medida para grandes extensões – medidas macroscópicas – utilizadas

principalmente para medir distâncias astronômicas. Da mesma forma conheceu unidades de medida para grandezas muito pequenas – microscópicas.

Os números que expressam essas medidas, por possuírem muitas ordens inteiras ou decimais, são representados por um produto em que um dos fatores é uma potência de base 10. Por exemplo:1) Um ano-luz tem 9.500.000.000.000 km ou 95 ⋅⋅ 1011 km.

2) Um micrômetro tem 0,000001 m ou 1 µm = 11.000.000

m = 1106

m = 10–6 m.

Neste ano vamos retomar essas unidades de medida e aprender uma nova notação utilizada pelos cientistas e astrônomos para facilitar cálculos. Esse tipo de representação é chamado notação cien-tífi ca. Antes de conhecer essa nova representação, vamos retomar alguns conceitos e propriedades já estudados com relação à potenciação.

1. Determine as potências:

a) 34 f ) 23

5

b) 2–3 g) 34

–2

c) 50 h) 103

d) 18 i ) 10–5

e) 3–2 j ) 110

–4

2. Escreva os números utilizando potências de base 10. a) 1.000 f ) 0,01 b) 100.000 g) um milionésimo c) 2.300 h) um bilionésimo d) 4.500.000 i ) 0,0015 e) 27 milhões j ) 0,00006

9ANO_APOST-1_Matematica.indd 2699ANO_APOST-1_Matematica.indd 269 01.12.07 16:31:5301.12.07 16:31:53

MATEMÁTICA


3. Aplicando as regras da potenciação, simplifi que as expressões:

a) 22 ⋅ 25 ⋅⋅ 23 = f ) 25 ⋅ 24 ⋅ 2(22)3

=

b) 56 :: 53 = g) 75 ⋅ 7–3 =

c) (–3)4 ⋅⋅ (–3)5 = h) 82

8–3 =

d) (–10)8(–10)2

= i ) 4–5 ⋅ (42)2 ⋅⋅ 4–1 =

e) (54)2 = j ) 10–5 ⋅ 10–3

(10–1)5 =

4. Transforme os números dados em potências e simplifi que as expressões.

a) 256 ⋅⋅ 1.0242

=

b) 729 ⋅ 35

243 ⋅⋅ 32 =

c) 64 ⋅⋅ 4.096(45)2

=

d) 1.000.000 ⋅ 10–5

10.000 ⋅ 10–3 =

A NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Trocando idéias 1. Você já deve ter ouvido falar em nanotecnologia. É uma nova tecnologia com capacidade de mani-

pular, criar e avaliar materiais um bilionésimo de vezes menores que o metro. Nessa dimensão, os materiais têm comportamento especial e têm melhor desempenho.

A nanotecnologia baseia-se na utilização de átomos como blocos de construção. A utilização de átomos como unidade básica permite, em teoria, a produção de nanomáquinas capazes de realizar tarefas até agora inimagináveis.

Essa tecnologia permite, por exemplo, a criação de nanolâmpadas, que consistem em minúsculas fi bras orgânicas emissoras de luz, com apenas 200 nanômetros de largura cada uma. Com elas é possível utilizar dispositivos eletrônicos como sensores.

Arte computadorizada, mostrando a relação de tamanho entre um nano-robô, medindo aproximadamente 1 na-nô metro, ou 10–9 metros, com uma cabeça de alfi nete (A) e uma célula sangüínea (B).

© F

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BA


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a) Se um nanômetro é 1 bilionésimo de metro, qual é a largura de uma nanolâmpada?

b) Escreva o número obtido no item anterior sob a forma de uma única potência de base 10.

2. Não parece, mas o olho humano tem quase o tamanho de uma bola de pingue-pongue. É uma sofi sticadíssima câmara, capaz de traduzir 1.500.000 mensagens simultaneamente, que o cérebro processa sem parar. Graças a isso, enxergamos o mundo com milhares de nuances coloridas. Escreva o número acima utilizando potência de base 10.

3. A massa do átomo de hidrogênio é de cerca de 0,00000000000000000000000166 grama. Escreva essa medida utilizando potência de base 10.

4. Um ano-luz tem 9.500.000.000.000 km. Escreva essa medida utilizando potência de base 10.

5. Observe os produtos obtidos nos quatro itens anteriores, nos quais o primeiro fator é um número natural e o segundo, uma potência de base 10.

a) Em quais desses produtos o primeiro fator é um número compreendido entre 1 e 10?

b) Os demais números que não atendem a essa condição podem ser transformados de modo que o primeiro fator seja um número compreendido entre 1 e 10? Se possível, como proceder?

Organizando idéiasNa seção anterior você explorou representações numéricas na notação científi ca.Escrever um número na notação científi ca é expressá-lo como um produto, em que o primeiro fator

é um número maior ou igual a 1 e menor que 10 (na maioria das vezes, escrito na forma decimal) e o segundo fator é uma potência de 10, com expoente positivo ou negativo.

Por exemplo:1) Transformando um ano-luz na notação científi ca, temos: 9.500.000.000.000 km = 95 ⋅ 1011 km = 9,5 ⋅ 1012 km2) Escrevendo o número 0,000026 na notação científi ca, temos: 0,000026 = 26 ⋅ 10–6 = 2,6 ⋅ 10–5

© A

cerv

o A

nglo

Foto de um olho humano.


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Observando os dois exemplos anteriores, escreva como você deve proceder para escrever um número dado em notação científi ca, considerando os dois casos possíveis:

a) O número dado é inteiro.

b) O número dado é decimal.

Exercícios 1. Quilo (ou kilo) é uma palavra grega que signifi ca mil. É empregada como prefi xo em quilômetro,

que signifi ca mil metros, e em quilograma, que signifi ca mil gramas. No entanto, quando entra na composição da palavra kilobyte, não tem o signifi cado de mil. É que o processamento dos dados no computador é realizado na base 2. Assim, como já tivemos oportunidade de ver no 6º- ano:

1 byte = 8 bits ou 1 byte = 23 bits

1 kilobyte = 1.024 bytes ou 1 KB = 210 bytes

1 megabyte = 1.024 kilobytes ou 1 MB = 210 KB

1 gigabyte = 1.024 megabytes ou 1 GB = 210 MB

Além dessas unidades, com o aumento de recursos para os computadores e a crescente necessidade de maior número de informações (memória), novas unidades vêm sendo criadas. Em 2001, já exis-tiam três novas medidas de informação (quantidade de informações contidas em textos, imagens e fi lmes):

1 terabyte = 1.024 gigabytes ou 1 TB = 210 GB

1 petabyte = 1.024 terabytes ou 1 PB = 210 TB

1 exabyte = 1.024 petabytes ou 1 EB = 210 PB

Para você ter idéia dessas novas medidas, saiba que: em 1 terabyte é possível armazenar todos os livros impressos com papel obtido de 50.000 árvores e, em 10 terabytes, todas as obras de uma grande biblioteca como a do Congresso americano; 1 petabyte armazena o total de informação que passa por um satélite de telecomunicações ao longo de três anos; e 1 exabyte armazena um quinto de todas as palavras pronunciadas desde o início da humanidade.

Utilizando as propriedades de potências de mesma base, faça as transformações indicadas, dando o resultado em potência de base 2.

a) 1 GB = KB Cálculos:


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b) 1 TB = MB = KB Cálculos:

c) 1 PB = GB = MB Cálculos:

d) 1 EB = TB = GB = MB Cálculos:

e) Quantos bits há em 1 exabyte?

2. A possibilidade de produção de armas nucleares, desde o fi nal da Segunda Guerra Mundial, é preo-cupação de todos os povos. Vez ou outra o mundo é surpreendido por testes nucleares realizados por algum país. Por exemplo, em 1954, os Estados Unidos realizaram nas Ilhas Marshall, no Pacífi co Sul, um desastroso teste, ao detonar uma bomba nuclear mil vezes mais potente que a de Hiroshima. Essa bomba com previsão de 6 megatons de potência atingiu 15 megatons, destruindo por completo o Atol de Bikini, contaminando várias pessoas (militares, tripulantes de um pesqueiro japonês que se encontrava nas imediações e os nativos).

1 quiloton tem 1.000 toneladas.

1 megaton tem 1.000.000 toneladas.

a) Transforme na notação científi ca, deixando as unidades em toneladas. a1) 6 megatons

a2) 15 megatons

b) A bomba lançada sobre Hiroshima, em agosto de 1945, pelos EUA, tinha 12 quilotons. Transforme essa unidade em quilogramas e escreva-a na notação científi ca.


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c) A maior bomba nuclear foi detonada em 1961 pelos soviéticos, na Ilha de Novaya Zemlya, Rússia. Foi planejada para ter 100 megatons, mas explodiu com a metade disso. Ainda assim destruiu casas e causou queimaduras em moradores num raio de 100 km.

Escreva na notação científi ca o total, em toneladas, explodido por essa bomba.

3. Em abril de 2007 os astrônomos des-cobriram o GL 581c, um novo planeta, fora do sistema solar, que pode ser considerado irmão da Terra. Fica na Constelação de Libra, no Sistema Glie-se 581, no qual existem outros dois planetas: GL 581b e GL 581d. A tem-peratura desse novo planeta vai de 0° a 40°C, o que favorece a hipótese de haver água em estado líquido. A Gliese 581 é uma estrela-anã vermelha que

ilumina o GL 581c; tem 13

da massa do

Sol e emite 50 vezes menos energia.

Escreva as distâncias abaixo na notação científi ca; as que estiverem em anos-luz, transforme em quilômetros.

a) O GL 581c está a 11 milhões de quilômetros da Gliese 581.

b) O GL 581c está a 20,5 anos-luz da Terra.

c) A Terra está a 150 milhões de quilômetros de distância do Sol.

4. Complete a tabela que contém as distâncias dos planetas ao Sol.

Planeta Distância (em km) Distância (em ano-luz)

Escrita simplifi cada Notação científi ca

Mercúrio 58 milhões

Vênus 108 milhões

Marte 228 milhões

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Arte computadorizada mostrando o Planeta extra-solar Gliese 581c (em primeiro plano na foto), descoberto em 24 de abril de 2007, orbi-tando a estrela-anã vermelha Gliese 581 (no alto da foto, à direita).


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5. Na época da descoberta do GL 581c, os cientistas afi rmaram que a Terra está a 0,000015 ano-luz do Sol. Verifi que a veracidade dessa afi rmação. Deixe registrado como pensou.

6. Os nervos são um sistema de comunicação de mão dupla: levam informações de todas as partes do corpo para o cérebro e vice-versa. Essas informações correm a 320 km/h – mais ou menos a veloci-dade de um carro de Fórmula 1. Se ainda assim você acha que não é muito, pense bem: o impulso nervoso tem de viajar no máximo 2 metros. Isso ele faz no fantástico tempo de 0,0000062 segun-do. Para perceber tudo que uma delicada fl or tem de bonito, milhões de impulsos são transmitidos das mãos, do nariz, dos olhos para o cérebro, e do cérebro para as mãos, os olhos, o nariz. Tudo ao mesmo tempo. O ato de pegar a fl or e a aproximar do rosto é como dar o sinal de largada para um Grande Prêmio de Fórmula 1 em que milhares de concorrentes correm velozmente em todas as direções, no limite máximo – sem que um arranhe sequer o outro.

a) Escreva a medida de tempo do texto em forma de potência de 10.

b) Transforme o produto em notação científi ca.

Em casa 1. Em junho de 2000, quando foi publicado o mapeamento do genoma humano, foi possível transcrever

a maioria dos 3 bilhões de letras do código genético humano. Escreva esse dado utilizando potência de base 10.

2. Outra questão bastante polêmica nos avanços genéticos está relacionada à produção de plantas transgênicas. As empresas de biotecnologia estimaram no ano 2000 que os transgênicos poderiam atingir 30% das lavouras de milho (3,7 milhões de hectares) e 20% da área plantada de soja (2,6 mi-lhões de hectares) no Brasil, num prazo de três safras, a partir da chegada dos produtos ao mercado.

a) Escreva as medidas de área em potências de base 10. b) Transforme essas medidas em m2. Caso não se lembre do valor de um hectare, consulte seu glos-

sário.

3. Em 2004, o Brasil foi o segundo maior produtor mundial de soja, com produção de 50 milhões de toneladas ou 25% da safra mundial, estimada em 200 milhões de toneladas. Esse montante foi menor que a produção de 2003, quando o país produziu 52 milhões de toneladas e participou com quase 27% da safra mundial.

Escreva as medidas acima utilizando potência de base 10.

4. Resolva as expressões:

a) 13

3 –

34

2 = b) (–5)2 ⋅⋅ (–5)4

[(–5)2]6 = c) (10–2)–3 ⋅ 10–4

10–5 ⋅ 10–8 =

5. Considere as potências: (0,5)3 (0,5)–2 (0,5)–1 (0,5)2 (0,5)0 (0,5)1

Escreva essas potências na ordem crescente de seus valores.


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6. Desvendar os segredos do corpo humano tem sido a preocupação dos cientistas há longa data. A cada nova descoberta, os dados são surpreendentes. Por exemplo, o mapeamento do genoma pos-sibilitou estimar que no corpo humano há:• 10 trilhões de células• 1.000 tipos de células• 100 genes• 6 bilhões de bases por célula (as letras A, B, C, G e T são as bases nitrogenadas que funcionam

como unidades do código genético)• 1.000 bases por gene• 10.000 proteínas em cada tipo de célula

Escreva cada um desses valores utilizando potências de base 10.

7. O sangue que cai de um ferimento está escapando de uma incrível rede de canais que passa por todo o corpo. Com diâmetros que variam de 2,5 centímetros nas grandes artérias como a aorta, até centésimos de milímetros nos vasos capilares, a malha sangüínea estende-se por inacreditáveis 96.000 quilômetros. Alinhada, ela daria 2,5 voltas em torno da Terra.

a) No texto aparecem duas unidades de medida. Transforme seus valores em metros, escrevendo-os na forma de potência de 10.

b) Escreva, em metros, “um centésimo de milímetro” na forma de potência de 10. c) Pelas informações, qual seria o tamanho da circunferência da Terra – a linha do Equador – em km?

8. Escreva, utilizando potência de 10, os dados das seguintes informações: a) O corpo humano tem mais de 220 bilhões de células. b) O corpo humano possui cerca de 5 milhões de pêlos. c) O corpo humano possui 96.000 quilômetros de veias, artérias e vasos capilares.

9. A massa da Terra é de 6.000.000.000.000.000.000.000.000.000 gramas. Se a Terra fosse feita exclusivamente de átomos de hidrogênio, quantos átomos de hidrogênio ela conteria? Para resolver esse problema, siga as etapas propostas.

a) Transforme a medida da massa da Terra em notação científi ca. b) Utilizando a medida da massa de um átomo de hidrogênio (trabalhada em classe), na notação

científi ca, faça a divisão da massa da Terra pela massa do átomo de hidrogênio. Mantenha a resposta em notação científi ca.

10. As células humanas são feitas de moléculas, compostas de átomos constituídos de partículas cha-madas quarks e léptons. Existem seis quarks e seis léptons. A diferença entre eles está na massa.

Léptons Massa

Elétron 0,000000000000000000000000002 g

Neutrino elétron 0,03 vezes a massa do elétron

Múon 200 vezes a massa do elétron

Neutrino múon 0,35 vezes a massa do elétron

Tau 3.600 vezes a massa do elétron

Neutrino tau 48 vezes a massa do elétron

Quarks Massa

Em cima 0,00000000000000000000000002 g

Embaixo 20 vezes a massa do em cima

Estranho 400 vezes a massa do em cima

Charmoso 2.600 vezes a massa do em cima

Fundo 8.000 vezes a massa do em cima

Topo 36.000 vezes a massa do em cima

a) Calcule a massa de cada tipo de lépton em função da massa do elétron, utilizando a notação científi ca. b) Calcule a massa de cada tipo de quark em função da massa do “em cima”, utilizando a notação científi ca.

11. Anote no seu glossário: a) o que é notação científi ca; b) os procedimentos para transformar um número dado na notação científi ca.

Font

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p. 6

9.


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Nas aulas anteriores você resolveu várias situações envolvendo notação científi ca. Em todas es-sas situações, o universo numérico no qual trabalhamos é o dos números racionais. Mas quando um número é racional? Todos os números que conhecemos são racionais? Se existem outros números, de que natureza eles são?

É o objetivo das próximas aulas responder a essas perguntas. Para isso, vamos “navegar” no mundo dos números, uma história tão antiga quanto a do próprio homem.

OS NÚMEROS E A MATEMÁTICA

Matemática 2OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Quando ouvimos a palavra “matemática”, a primeira coisa que nos vem à mente são números. Os números são o coração da Matemática, uma infl uência que está em todas as partes, a matéria-prima com que grande parte da Matemática é forjada. Mas os próprios números constituem apenas uma pequena parte da Matemática. [...] Vivemos em um mundo intensamente matemá-tico, mas sempre que possível, a Matemática é escon-dida, com sensatez, embaixo do tapete para tornar o nosso mundo “amigo do usuário”. Entretanto, algumas idéias matemáticas são tão básicas para o nosso mundo que não podem permanecer escondidas, e os números são particularmente proeminentes. Sem a habilidade de contar ovos e subtrair o troco, por exemplo, não poderíamos nem mesmo comprar comida. Assim ensi-namos Aritmética. Para todos. Como ler e escrever, sua ignorância é grande obstáculo. E isto cria a impressão de que a Matemática é principalmente uma questão de números – o que não é verdade. [...] Os números são apenas um dos tipos de objetos sobre os quais os matemáticos pensam.

STEWART, Ian. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de Janeiro: Rocco, 1996, p. 33.

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Alegoria da Aritmética, gravura em que vemos Pitágoras (580-500 a.C.) calculando com contado-res e, à esquerda, Boethius (480-524 d.C.) com nú-meros. Gregos Reisch, 1504.

Ao longo do Ensino Fundamental, você já pôde constatar que a Matemática é muito mais que números, embora a maioria das pessoas – como o próprio texto afi rma – associe Matemática com Aritmética. No entanto, historicamente, os campos numéricos só se tornaram objeto de estudo no século XIX. Na Antigüidade grega, embora os números permeassem a Geometria, o seu estudo era considerado de menor importância. Neste Caderno, você compreenderá em parte porque os gregos desprezaram a Aritmética e como esta se desenvolveu a partir do século XIX, quando houve a criação de um novo conjunto numérico, possibilitando grandes avanços na teoria dos números.

Para acompanhar parte dessa evolução, vamos retomar inicialmente os conjuntos numéricos já estudados.


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Retomando idéiasCONJUNTOS IN, ZZ E IQ 1. Considere os dois números representados na notação científi ca: 1,5 ⋅ 107 e 1,5 ⋅ 10–7. Esses dois números pertencem a um mesmo conjunto numérico? Justifi que.

2. Em séries anteriores você já trabalhou com o seguinte diagrama:

a) Escreva o nome de cada um dos conjuntos:

IN

ZZ

IQ

IQ

ZZ

IN

b) Quais desses conjuntos podem ter seus elementos escritos em seqüência? Escreva tais conjuntos com seus elementos.

c) O que caracteriza um número racional?

3. Escreva:

a) 3 números naturais distintos compreendidos entre 4 e 9;

b) 3 números inteiros distintos compreendidos entre –2 e 2;

c) 3 números inteiros distintos menores que –5;

d) 3 números inteiros distintos maiores que –1;

e) 3 números racionais distintos compreendidos entre 0 e 1;

f ) 3 números racionais distintos compreendidos entre –0,1 e –0,2;

g) 3 números racionais distintos compreendidos entre 0,15 e 0,151;

h) 3 números racionais distintos compreendidos entre 12

e 34

;

i ) 3 números racionais distintos compreendidos entre –25

e –34

;

j ) 3 números racionais distintos compreendidos entre 0,5 e 0,5555...


MATEMÁTICA


4. Do ponto de vista da Aritmética, a criação de novos conjuntos numéricos se deu pela impossibilida-de da realização das operações inversas em alguns dos conjuntos estudados. Vamos lembrar essas impossibilidades.

a) Destaque as operações que você já estudou e a sua respectiva operação inversa.

b) No conjunto dos números naturais, quais operações inversas nem sempre são possíveis? Dê exemplos para cada uma delas.

c) Proceda do mesmo modo para o conjunto dos números inteiros relativos.

Organizando idéias IUMA PRIMEIRA AMPLIAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Ao realizar a questão 4 da seção anterior, você constatou que, num dado conjunto numérico, há ope-rações inversas que nem sempre são possíveis.

A partir do momento em que o número natural deixou de estar ligado às coisas de que as pessoas se serviam para contar, ou seja, foi considerado um ser puramente aritmético, desligado das coisas reais e independente delas, o homem teve de ampliar esse conjunto numérico de modo que todas as operações inversas fossem possíveis.

Com base nas conclusões que você tirou da questão 4 da seção anterior, complete o quadro.

Operações diretas Operações inversas Conjuntos numéricos nos quais nem sempre as operações inversas são possíveis

Adição

Multiplicação

Potenciação

Então:

• com a criação do conjunto ZZ, a operação inversa da adição passou a ser sempre possível;

• com a criação do conjunto IQ, a operação inversa da multiplicação passou a ser sempre possível com divisor diferente de zero.

Resta, então, verifi car se o conjunto IQ é sufi ciente para a operação inversa da potenciação. É o que você aprenderá nas próximas seções.


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Exercícios 1. Escreva os números A, B, C e D em ordem crescente. A = 33 B = (–2)3 C = 3–2 D = (–2)–3

2. Classifi que as afi rmações em verdadeira (V) ou falsa (F) em relação ao conjunto dos números naturais. Para as afi rmações falsas, dê um contra-exemplo.

a) ( ) Todo número divisível pelo produto de dois outros é divisível por qualquer um deles.

b) ( ) Se um número divide o produto de dois outros, ele divide um deles.

c) ( ) Um divisor comum de dois números divide a soma deles.

d) ( ) Se um número divide dois outros, ele divide o máximo divisor comum deles.

e) ( ) Se um número é múltiplo de dois outros, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum deles.

Organizando idéias IIA TEORIA DOS CONJUNTOS

A todo momento lidamos com a formação de conjuntos. Essa operação mental está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles comuns do cotidiano, sejam culturais ou científi cos. Desde o iní-cio de sua escolarização, você vem trabalhando com conjuntos – numéricos ou não. Quando agrupa objetos com a mesma característica, você organiza um conjunto. Por exemplo, os alunos de sua classe formam um conjunto; sua coleção de CDs também.


MATEMÁTICA


A teoria dos conjuntos foi criada pelo matemático Georg Cantor (1845-1918). Essa teoria tornou-se fundamental para a organização do conhecimen-to matemático que marcou os séculos XIX e XX. A linguagem dessa teoria tem facilitado a comunicação matemática. Algumas representações de con-juntos já foram estudadas em anos anteriores. Vamos ampliar essas noções.

Um conjunto é considerado bem defi nido quando se pode dizer se cada objeto pertence ou não a ele. Isto é, um conjunto está perfeitamente determinado pelos objetos que pertencem a ele. Se um conjunto M está formado pelos objetos a, b, c, ..., z, não outros, escrevemos:

M = {a, b, c, ..., z}Os objetos que formam determinado conjunto são denominados seus

elementos. O fato de um objeto g ser um elemento de M permite que se escreva:

g � M (lê-se: g pertence a M ou g é um elemento de M). Se um objeto φ não pertence a M, escreve-se:

φ � M (lê-se: φ não pertence a M, ou φ não é um elemento de M). Cada objeto pode ser somente um elemento de um conjunto dado, ou seja, todos os elementos de

um conjunto são distintos uns dos outros.Se para dois conjuntos N e M, cada elemento de N é também elemento de M, dizemos que N é parte

de M e que N é subconjunto de M ou que N está contido em M. Isso se escreve da seguinte forma:N � M (lê-se: N está contido em M ou N é um subconjunto de M).

Por exemplo: considerando M = {a, b, c, ..., z} e N = {a, e, i, o, u}, pode-se afi rmar que N � M.Decorrente desse fato, pode-se também dizer que M contém N ou M � N (lê-se: M contém N).Por outro lado, se existir pelo menos um elemento de um conjunto P qualquer que não pertence

ao conjunto M, dizemos que:P � M (lê-se: P não está contido em M ou P não é subconjunto de M).

© A

KG

/Lat

inSt

ock

No 8º- ano vimos que, em alguns casos, há equações que não possuem solução, ou o conjunto-so-lução é vazio. São as equações impossíveis. Escreve-se S = �.

Sempre que não houver elementos num conjunto, este é denominado conjunto vazio. Por estra-nho que possa parecer, o vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Por exemplo, dado o conjunto W = {1, 2, 3}, seus subconjuntos são:

{1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} �

Georg Cantor, foto de 1910.

AH, ENTÃO ENTENDI. SE SEPARAR OS MEUS CDS POR TIPOS DE MÚSICA,

EU VOU TER SUBCONJUNTOS DO CONJUNTO DE CDS.


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Exercícios 1. Retome o diagrama dos conjuntos numéricos.

Usando os símbolos �, � ou �, complete as sentenças:

a) IN ZZ c) IQ IN

b) ZZ IQ d) IN IQ

IQ

ZZ

IN

2. Usando os símbolos � ou �, complete as sentenças:

a) 5 IN d) –3,2 IQ g) –3 IQ

b) 3 ZZ e) 255

IN h) 0,222… IQ

c) –5 IN f ) 0,25 ZZ

3. Considere os conjuntos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {0, 2, 4, 6, 8} C = {1, 3, 5, 7, 9} Coloque o símbolo adequado em cada uma das sentenças:

a) A B c) C A

b) B C d) A C

Organizando idéias IIIFORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

É possível representar um conjunto de três maneiras diferentes. Por exemplo, seja o conjunto S dos números naturais menores que 10.

1. Pela enumeração de seus elementos: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Lembre-se de que estamos considerando o zero número natural.

2. Por meio de diagrama:

0 2 6 1 5 4 3 7 9 8

S

3. Por meio da linguagem simbólica, de forma a traduzir as propriedades que caracterizam todos os seus elementos:

S = {x � IN | x � 10} (lê-se: x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é um número menor que 10). P = {x � IN | 3 � x � 10} (lê-se: x pertence ao conjunto dos números naturais, tal que x é um número maior que 3 e menor

que 10).


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Quando nos referimos a um conjunto no qual o número zero deve ser excluído (não pertence ao conjunto), utilizamos o asterisco (*). Assim, por exemplo:

IN*: é o conjunto dos números naturais sem o zero;

ZZ*: é o conjunto dos números inteiros relativos sem o zero;

IQ*: é o conjunto dos números racionais sem o zero.

Exercícios 1. Enumere os elementos de cada um dos conjuntos.

a) A = {x � IN | x � 5} e) E = {m � IN | m � 0}

b) B = {x � IN | 3 � x � 10} f ) F = {m � ZZ | m � 0}

c) C = {x � IN* | x � 7} g) G = {k � ZZ* | –2 � k � 2}

d) D = {x � IN | x � 4} h) H = {y � ZZ | y � –1}

2. Escreva, com linguagem simbólica, a propriedade que caracteriza cada um dos conjuntos abaixo:

a) A = {2, 3, 4, 5, 6}

b) P: conjunto dos números naturais compreendidos entre 15 e 20.

c) J: conjunto dos números naturais compreendidos entre 13 (inclusive) e 20.

d) W: conjunto dos números racionais compreendidos entre 12

e 34

.

e) Y: conjunto dos números racionais menores ou iguais a –1,5.

f ) V =

–12

, …, 12

Trocando idéiasDÍZIMA PERIÓDICA

Você deve ter observado que a divisão entre dois números inteiros pode ser um decimal exato (núme-ro fi nito de ordens decimais) ou um decimal infi nito (também chamado periódico). Esse decimal infi nito tem uma característica peculiar: há um algarismo ou um grupo de algarismos que se repete periódica e indefi nidamente na representação decimal.


MATEMÁTICA


Você deve ter observado também que é possível transformar números decimais em frações. Até o momento você realizou essas transformações com decimais exatos. O problema ainda pendente é como transformar uma dízima periódica em fração. Ao realizar as próximas questões você conhecerá um proce-dimento para calcular a fração geratriz de uma dízima periódica, ou seja, a fração cujo quociente é um decimal infi nito periódico.

1. Considere a dízima periódica 0,333… Ela é chamada dízima periódica simples, pois o período (menor seqüência de algarismos que se

repete indefi nidamente na representação decimal) aparece imediatamente após a vírgula.

a) Qual é o período dessa dízima? b) Denomine x a dízima dada e monte uma equação.

c) Essa equação deve ser multiplicada por uma potência de 10, de tal forma que o período se des-loque para a parte inteira do número. Por quanto você a multiplicaria? Escreva a nova equação.

d) Organize as duas equações anteriores, escrevendo a maior na primeira linha e a menor, na segun-da, de forma que seja possível realizar a subtração entre elas. Efetue a subtração, encontrando o valor de x.

Lembre-se de que no 8º- ano você aprendeu, ao resolver sistemas de equações de 1º- grau com duas incógnitas, que é possível somar ou subtrair duas equações.

e) Qual o valor encontrado para x?

Então, complete: 0,333… =

Compare esse valor com o da tarefa em casa 9b.

2. Considere a dízima 0,252525…

a) Qual é o período dessa dízima? b) Chame de x a dízima periódica dada e monte uma equação.

c) Essa equação deve ser multiplicada por uma potência de 10, de tal forma que o período se des-loque para a parte inteira do número. Por quanto você a multiplicaria? Escreva a nova equação.


amostra 9o ano ca 01 mate (1)

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