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MATEM

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LIVRO DO ESTUDANTEENSINO FUNDAMENTAL

MATEMTICA

EXAME NACIONAL PARA CERTIFICAODE COMPETNCIA DE JOVENS E ADULTOS

EXAME NACIONAL PARA CERTIFICAODE COMPETNCIA DE JOVENS E ADULTOS

Repblica Federativa do Brasil

Ministrio da Educao

Secretaria Executiva

Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Ansio Teixeira

Diretoria de Avaliao para Certificao de Competncias

Matemtica

Livro do Estudante

Ensino Fundamental

Braslia

MEC/INEP

2006

Matemtica

Livro do Estudante

Ensino Fundamental

Coordenao Geral do Projeto

Maria Ins Fini

Coordenao de Articulao de Textos do Ensino Fundamental

Maria Ceclia Guedes Condeixa

Coordenao de Texto de rea

Ensino Fundamental

Matemtica

Clia Maria Carolino Pires

Leitores Crticos

rea de Psicologia do Desenvolvimento

Mrcia Zampieri TorresMaria da Graa Bompastor Borges DiasLeny Rodrigues Martins TeixeiraLino de Macedo

rea de Matemtica

rea de Matemtica e suas Tecnologias

Eduardo Sebastiani FerreiraMaria Eliza FiniMaria Cristina Souza de Albuquerque Maranho

Diretoria de Avaliao para Certificao de Competncias (DACC)

Equipe Tcnica

Atade Alves DiretorAlessandra Regina Ferreira AbadioClia Maria Rey de CarvalhoCiro Haydn de Barros

Clediston Rodrigo FreireDaniel Verosa AmorimDavid de Lima SimesDorivan Ferreira Gomesrika Mrcia Baptista CaramoriFtima Deyse Sacramento PorcidonioGilberto Edinaldo MouraGislene Silva LimaHelvcio Dourado PachecoHugo Leonardo de Siqueira CardosoJane Hudson AbranchesKelly Cristina Naves PaixoLcia Helena P. MedeirosMaria Cndida Muniz TrigoMaria Vilma Valente de AguiarPedro Henrique de Moura ArajoSheyla Carvalho LiraSuely Alves WanderleyTase Pereira LiocdioTeresa Maria Abath PereiraWeldson dos Santos Batista

Capa

Marcos Hartwich

Ilustraes

Raphael Caron Freitas

Coordenao Editorial

Zuleika de Felice Murrie

O MEC/INEP cede os direitos de reproduo deste material s Secretarias de Educao, que podero reproduzi-lo respeitando a integridade da obra.

M425 Matemtica : livro do estudante : ensino fundamental / Coordenao : Zuleika de

Felice Murrie. 2. ed. Braslia : MEC : INEP, 2006.

214p. ; 28cm.

1. Matemtica (Ensino fundamental). I. Murrie, Zuleika de Felice.

CDD 372.73

Sumrio

Introduo .....................................................................................................................................

Captulo I

Matemtica: uma construo humana ............................................................Vincius de Macedo Santos

Captulo II

A arte de raciocinar ..........................................................................................Clia Maria Carolino Pires

Captulo III

Os nmeros: seus usos e seus significados .....................................................Wanda Silva Rodrigues

Captulo IV

Geometria: leitura e representao da realidade ...........................................Norma Kerches de Oliveira Rogeri

Captulo V

As medidas e a compreenso da realidade.....................................................Dulce Satiko Onaga

Captulo VI

Proporcionalidade: uma idia fundamental ...................................................Ruy Csar Pietropaolo

Captulo VII

A lgebra: suas funes e seus usos ..............................................................Anglica da Fontoura Garcia Silva

Captulo VIII

A Estatstica e sua importncia no mundo da informao ...........................Edda Curi

Captulo IX

Explorando situaes numricas .....................................................................Cludio Saiani

11

31

57

81

103

127

149

171

195

8

8Este material foi desenvolvido pelo Ministrio da Educao com a finalidade de ajud-lo a

preparar-se para a avaliao necessria obteno do certificado de concluso do EnsinoFundamental denominada ENCCEJA Exame Nacional de Certificao de Competncias deJovens e Adultos.

A avaliao proposta pelo Ministrio da Educao para certificao do Ensino Fundamental composta de 4 provas:

1. Lngua Portuguesa, Lngua Estrangeira, Educao Artstica e Educao Fsica

2. Matemtica

3. Histria e Geografia

4. Cincias

Este exemplar contm as orientaes necessrias para apoiar sua preparao para a prova de

Matemtica.A prova composta de 45 questes objetivas de mltipla escolha, valendo 100 pontos.

Este exame diferente dos exames tradicionais, pois buscar verificar se voc capaz de usar

os conhecimentos em situaes reais da sua vida em sociedade.

As competncias e habilidades fundamentais desta rea de conhecimento esto contidas em:

I. Compreender a Matemtica como construo humana, relacionando o seu

desenvolvimento com a transformao da sociedade.

II. Ampliar formas de raciocnio e processos mentais por meio de induo,

deduo, analogia e estimativa, utilizando conceitos e procedimentos

matemticos.

III. Construir significados e ampliar os j existentes para os nmeros naturais,

inteiros e racionais.

IV. Utilizar o conhecimento geomtrico para realizar a leitura e a representao da

realidade, e agir sobre ela.

V. Construir e ampliar noes de grandezas e medidas para a compreenso da

realidade e a soluo de problemas do cotidiano.

VI. Construir e ampliar noes de variao de grandeza para a compreenso da

realidade e a soluo de problemas do cotidiano.

VII. Construir e utilizar conceitos algbricos para modelar e resolver problemas.

Introduo

9VIII. Interpretar informaes de natureza cientfica e social obtidas da leitura de

grficos e tabelas, realizando previso de tendncia, extrapolao, interpolao

e interpretao.

IX. Compreender conceitos, estratgias e situaes matemticas numricas para

aplic-los a situaes diversas no contexto das cincias, da tecnologia e da

atividade cotidiana.

Os textos que se seguem pretendem ajud-lo a compreender melhor cada uma dessas nove

competncias. Cada captulo composto por um texto bsico que discute os conhecimentos

referentes competncia tema do captulo. Esse texto bsico est organizado em duas colunas.

Durante a leitura do texto bsico, voc encontrar dois tipos de boxes: um boxe denominado de

desenvolvendo competncias e outro, de texto explicativo.

O boxe desenvolvendo competncias apresenta atividades para que voc possa ampliar seu

conhecimento. As respostas podem ser encontradas no fim do captulo. O boxe de texto

explicativo indica possibilidades de leitura e reflexo sobre o tema do captulo.

O texto bsico est construdo de forma que voc possa refletir sobre vrias situaes-problema

de seu cotidiano, aplicando o conhecimento tcnico-cientfico construdo historicamente,

organizado e transmitido pelos livros e pela escola.

Voc poder, ainda, complementar seus estudos com outros materiais didticos, freqentando

cursos ou estudando sozinho. Para obter xito na prova de Matemtica do ENCCEJA, essematerial ser fundamental em seus estudos.

Vincio de Macedo Santos

MATEMTICA: UMA CONSTRUO HUMANA

COMPREENDER A MATEMTICA COMO CONSTRUO

HUMANA, RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO

COM A TRANSFORMAO DA SOCIEDADE.

Captulo I

12

Matemtica Ensino Fundamental

Quando um grupo de pessoas se depara com umproblema ou com alguma dificuldade qual , noseu ponto de vista, a atitude que deve sertomada? Ignorar o problema ou encontraruma soluo?

A Matemtica foi sendo inventada pelo homemporque a vida dele foi exigindo que resolvessecertos problemas para compreender a natureza,transform-la e continuar se desenvolvendo. medida que conhece melhor o mundo natural, ohomem vai gerando cincia, tecnologia e arte.

ApresentaoVoc consegue imaginar a sua vida sem usar os

nmeros, sem fazer clculos ou medidas? Como

seria na hora de ir fazer suas compras, pagar suas

contas ou marcar um compromisso?

Voc j se perguntou alguma vez de onde vm e

como so geradas nossas idias, os nossos

conhecimentos matemticos?

So muitas e muitas as informaes disponveis

ao nosso redor. Convivemos a todo instante com

tantas invenes e conquistas que, de algum

modo, mudaram e at facilitaram nossa vida e

nem nos damos conta de que, em outras pocas,

as coisas eram totalmente diferentes.

Voc j tem vrios conhecimentos de Matemticae deve ter curiosidade em saber mais. Nestecaptulo voc ter oportunidade de avaliar o quesabe, de conhecer mais, para responder muitasdas suas perguntas, alm de continuar fazendooutras e enfrentar aquelas situaes quedependem de algum conhecimento matemtico.

Convidamos voc a continuar lendo este captuloe desenvolver as atividades propostas, tendosempre com voc um caderno e um lpis parafazer anotaes.

Alguma vez voc j se perguntou:

de onde vem a Matemtica?Os nmeros que conhecemos e costumamos usar,os clculos escritos ou de cabea que fazemosdiariamente, as formas geomtricas que podemser observadas nos prdios, pontes ouembalagens, os grficos, tabelas, entre muitasoutras coisas, so parte da criao humana. Todaselas so parte da Matemtica.

Captulo I

Matemtica:

uma construo humana

13

Captulo I Matemtica: uma construo humana

As primeiras pistas so dadas pela natureza

O homem j acreditou que a Terra ocupava ocentro do universo e que era um grande discocomposto da Europa e sia que no se movia. Eletambm j pensou que vivia dentro de uma esferacuja parte superior era o cu e que este mesmocu poderia desabar. E, ainda, que muitosfenmenos naturais ocorriam em conseqncia dafria de deuses contrariados. Ainda hoje, hpovos que permanecem acreditando em idiasmais ou menos parecidas. Esse conhecimento,para grande parte da humanidade, foi sendosubstitudo por outro: um conhecimento baseadoem evidncias e fatos comprovados.

Idias relativas aos nmeros, percepo dasformas e suas representaes, tornaram-sepossveis graas a pistas oferecidas pela natureza.

Observando os fenmenos que se repetemregularmente possvel dizer que, olhando para ocu e a sua volta, o homem desenvolveu idiasque levaram criao da Matemtica e de outrosconhecimentos. Por exemplo:

As quatro fases da lua que ocorrem num perodode 28 dias. O ano, num perodo deaproximadamente 365 dias. O nmero de ptalasnuma flor, dos braos de uma estrela-do-mar, aquantidade de pernas nos animais e o modo comoeles se movimentam, serviram de base para odesenvolvimento de muitos conhecimentos e parao desenvolvimento de teorias e tcnicas.

Formas como tringulos, quadrados, hexgonos,crculos, elipses, espirais, esferas, cubos, etc.,podem ser vistas com abundncia em flores,frutos, planetas e noutros fenmenos naturais.Isso tambm ocorre no movimento descrito pelasestrelas e planetas, nas curvas do arco-ris, nasondas formadas pelo vento, na areia dos desertosou na superfcie das guas.

As explicaes para tudo que o homem foiobservando na natureza e tentando entenderdesenvolveram-se lentamente, ao longo demuitos sculos. A Matemtica foi construda aomesmo tempo como uma forma de pensamentoe como uma ferramenta que o homem utilizavapara organizar suas idias e ajudar a entenderas leis que governam o universo e osfenmenos naturais. Foi assim que eledescobriu que a Terra redonda, que faz um giroao redor do Sol, que demora 365 dias, 5 horas,48 minutos e 46 segundos. Determinou tambmque existem nove planetas no nosso sistemasolar e no seis, como se acreditou no sculoXVI. Foi capaz de calcular a rapidez da queda deum corpo e dizer por que ele cai do alto, atradopor uma fora da Terra: a gravidade, a mesmafora que nos segura em cima dela.

A natureza rica em fenmenos que serviramde inspirao para a construo doconhecimento humano.

Leia o texto abaixo, faa observaes noambiente em que vive e registre as situaes emque voc reconhece a presena da Matemtica:

A presena da Matemtica

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Contando e calculando

Olhe a sua volta e verifique onde h nmeros,formas, grficos, tabelas e outros smbolosmatemticos. O que foi possvel observar? Escrevatudo o que voc conseguiu ver. Separe aqueleselementos que voc acha que foram inventadospelo homem e aqueles que esto na natureza.

Tente lembrar-se de algumas maneiras que aspessoas utilizam para contar, indicar quantidades,marcar os pontos de um jogo ou apresentar oresultado de uma partida de futebol. Escreva noseu caderno algumas dessas formas.

Voc j usou os dedos para contar ou calcular? Euma mquina calculadora?

Voc sabia que contar nos dedos uma prticausual e muito antiga? Foi um importante recursoque auxiliou o homem na criao dos nmeros edas operaes. Alguns povos usaram, e outrosainda usam, a mo e o corpo como instrumentospara contar e calcular.

Hoje calculamos muito rapidamente com lpis epapel ou simplesmente apertando a tecla de umacalculadora ou de um computador. No entanto,houve poca em que os nmeros e o clculo noexistiam e foi preciso invent-los. O uso demarcas e entalhes em ossos e pedaos demadeira, os dedos das mos, outras partes docorpo, e os bacos, foram instrumentosindispensveis para isso.

Figura 1 IFRAH, G. Os nmeros: a histria de

uma grande inveno. 2 ed. Traduo de Stella M.

de Freitas Senra. Rio de Janeiro: Globo, 1989.

Traduo de: Les Chiffres, ou Ihistoire d une

grand invention.

15


O baco um instrumento que o homem antigoinventou para contar e fazer clculos. H vriostipos de bacos. O mais comum composto dehastes ou varetas em que se movimentampequenas contas ou pedras furadas que indicamas quantidades. Cada pedra ou conta ter um

O tempo e a velocidadePodemos marcar o tempo consultando um relgio

de ponteiros ou digital, um calendrio impresso

ou eletrnico. Nos ltimos anos, com o uso de

computadores pode-se prever fenmenos

climticos com alguma certeza, para saber se vai

chover ou fazer sol nos prximos dias.

Mas houve poca em que os relgios no

existiam. A posio do sol, a aparncia da lua ou

mesmo uma vela queimando ou uma ampulheta

serviam como meios para o homem marcar e

controlar o tempo e fazer alguma previso.

Hoje tambm podemos planejar nossos horrios e

trajetos, pois possvel nos deslocarmos de

maneira muito rpida, utilizando meios de

transporte (nibus, automvel, bicicleta, barco,

trem ou avio) que aproximam dois bairros, duas

cidades ou pases.

valor que depende da posio da haste em que estcolocada. Por exemplo: na primeira posio direitatem valor de uma unidade, na segunda posio de10, na seguinte de 100 e assim por diante.

Veja dois tipos de bacos nas figuras abaixo:

Graas ao desenvolvimento tecnolgico e engenharia, atualmente as distncias podem serrapidamente percorridas. No passado, o homem sedeslocou entre grandes distncias caminhando,montado em um camelo ou cavalo, ou conduzindoembarcaes lentas empurradas pelo vento.

E voc? Quando vai fazer uma viagem,

quais meios de transporte costuma usar?

Qual voc prefere e por qu?

A tecnologia moderna permite que um fatoocorrido no Japo, no mesmo instante, sejaconhecido em diferentes pontosdo planeta. Isto porque podemos nos comunicar,instantaneamente, usando satlite, telefoneou Internet.

As informaes e mensagens j foramtransmitidas, no passado, de forma oral ou escritapor vrios meios: no boca-a-boca, pormensageiros a cavalo, pombos-correio, telgrafosem fio, a cabo, etc.

Quando voc precisa se comunicar com

uma pessoa que esteja em outro lugar, qual

desses meios voc costuma utilizar?

No passado ou no presente, a Matemtica, juntocom outras cincias (Fsica, Astronomia, Qumicaetc.) ajuda o homem a encontrar soluo paraseus desafios, sejam eles a construo de estradas,pontes, tneis, embarcaes, avies, foguetes esatlites ou, ainda, a melhoria de condiesbsicas de cidadania, que incluem a sade, aeducao, a moradia, entre outros aspectos.

Figura 2 e 3 IFRAH, G. Os nmeros: a histria de uma

grande inveno. 2 ed. Traduo de Stella M. de Freitas

Senra. Rio de Janeiro: Globo, 1989. Traduo de: Les

Chiffres, ou Ihistoire d une grand invention. Figura 2 Figura 3

Figura 4

16


1

A linguagem matemticaSe voc olhar com ateno ver que as notcias

e as informaes que atualmente recebemos

pelos meios de comunicao esto cheias de

idias e smbolos matemticos que precisamos

ler e interpretar.

Desenvolvendo Competncias

I. Quando voc l jornal, revista ou v televiso que tipo de smbolo ou registro matemtico

voc identifica? Escreva alguns no caderno.

II. Leia o texto abaixo e procure interpretar sua mensagem. Identifique e marque todos os

smbolos e termos matemticos que encontrar.

A cidade de So Paulo a maior cidade brasileira, com aproximadamente 10 milhes dehabitantes, o que faz com que esteja no grupo das primeiras cidades mais populosas domundo. O Brasil tem 5.561 municpios e uma populao por volta de 170 milhes dehabitantes e So Paulo, sozinha, tem, portanto, o equivalente a quase 6% da populaobrasileira. Um outro dado significativo a quantidade de veculos dessa cidade, que deaproximadamente cinco milhes. Isto permite concluir que, em mdia, h um veculo paracada dois habitantes. por isso que os moradores dessa cidade enfrentam, diariamente,dezenas e, s vezes, centenas de quilmetros de congestionamento.

Leia agora o texto, pulando as informaes matemticas que voc destacou. Verifique se

possvel compreender a mensagem do autor e escreva algumas das suas concluses.

Entre as diversas maneiras de se registrarinformaes matemticas atualmente, ou emtempos passados h, por exemplo:

Voc conhece algum outro registro matemticodiferente dos que foram apresentados? Vocacha que grficos e tabelas so registrosmatemticos? Se precisar, pesquise em livros,revistas, jornais etc.

Voc est bastante familiarizado com um dossistemas de numerao criados pelo homem, que o sistema indo-arbico. H algum outro sistemade numerao que voc utiliza no seu dia-a-dia?

Possivelmente voc j viu relgios em que ashoras so marcadas com algarismos romanos,assim como j leu ou registrou informaescontendo o sculo em que ocorreu um fatoimportante ou o nome de algum rei usando essesmesmos algarismos romanos.

Figura 5 Uma pgina do Papiro de Rhind.BOYER, C. Histria da Matemtica. Ed. EdgardBLCHER, p. 7

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Voc j viu como so representados os planetasdo nosso sistema solar e suas rbitas? Faa umrascunho no seu caderno. Se achar necessriopesquise em livros e revistas.

Diferentes modelos usando figuras geomtricasforam criados para representar as rbitas dosplanetas. Um deles deve-se ao fsico Kepler, nosculo XVI, que revela o fascnio que a harmoniae perfeio dessas figuras exerciam sobre ohomem naquela poca.

2


Na figura abaixo h smbolos numricos de alguns sistemas de numerao antigos e feita

uma correspondncia com os nmeros indo-arbicos.

I. De acordo com o quadro acima, o sculo em que estamos vivendo representado por:

a) XX b) XIX c) XXI d) CCI

Voc conhece as figuras geomtricas usadasnessas representaes? Sabe o nome de algumasdelas e o que cada uma tem de igual e dediferente em relao s outras?

Figura 6 Adaptado de SOLOMON, C. Matemtica. Srie prisma. Ed. Melhoramentos, 1977, pp. 22 e 23.

Figura 7 KOESTLER, Arthur. Os sonmbulos: histria das

concepes do homem sobre o universo. Traduo de Alberto Denis.

So Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca Histrica; v. 7). Traduo de:

The sleepwalkers: a history of mans changing vision of the universe

Figura 8 KOESTLER, Arthur. Os sonmbulos: histria das

concepes do homem sobre o universo. Traduo de Alberto Denis.

So Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca Histrica; v. 7). Traduo de:

The sleepwalkers: a history of mans changing vision of the universe

18


3


I. Analisando diferentes formas geomtricas, que semelhanas e que diferenas voc

observa entre:

um crculo e uma esfera?

um tringulo e uma pirmide?

um quadrado e um cubo?

Quais dessas so figuras planas?

E quais so figuras no planas?

Voc j observou sua conta de gua? Nelaconstam nmeros que indicam o custo/preo, oconsumo em metros cbicos, a data devencimento e a data em que foi feita a leitura doconsumo, o nmero da casa e o CEP (cdigopostal) no endereo, o cdigo da empresafornecedora de gua etc. Em uma conta de luz, degua ou em um cupom de supermercado tambmaparecem vrios tipos de nmeros. Utilize umcomprovante de compra de supermercado eprocure identificar os diferentes registrosnumricos que h nele. Faa uma listagem dosnmeros que aparecem e escreva ao lado de cadaum o que indicam. Para que serve cada tipo denmero encontrado no cupom?

Nas teclas de uma calculadora e no seu visor,diferentes smbolos matemticos podem serobservados. Pegue uma calculadora e procureidentificar o significado de cada smbolo e aforma de utilizar cada tecla.

4


I. A receita de farofa de carne-de-sol contm lacunas que voc dever preencher. Depois de

preenchida confira sua receita com a apresentada no final do captulo.

Receita de farofa de carne-de-sol:

Ingredientes:

________ de carne-de-sol;

________ azeitonas verdes;

________ de sopa de manteiga;

________ cebola cortada em rodelas;

________ de ch de alho picado;

________ de sobremesa de hortel picada;

________ pitadas de sal;

________ bananas-prata;

________ copos de farinha de mandioca.

Tempo de preparo: _____ hora.

Rendimento: ________ pores.

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Voc j deve ter observado que a Matemticase utiliza de registros, cdigos, smbolos. Enfim, queela tem uma linguagem prpria. Mas o que importante que essa linguagem universal.Praticamente, utilizada em todos os recantos domundo, favorecendo a comunicao entre os povos.

A Matemtica uma s?A atividade matemtica tem sido influenciada

pela cultura e condies sociais e econmicas em

cada poca. As civilizaes egpcia, grega e rabe

tinham necessidades diferentes, relacionadas aos

seus costumes. Por isso, possivelmente, os processos

e conhecimentos matemticos puderam ser mais

desenvolvidos em uma regio do que em outra.

Os babilnios contriburam com uma Aritmticabastante desenvolvida. Os egpcios, alm denoes aritmticas, contriburam comconhecimentos iniciais da Geometria. Os gregoscom a Geometria abstrata e os rabes com anumerao e a lgebra.

Na histria da Matemtica, vrios tipos deproblemas foram servindo de base para o homemconstruir o seu conhecimento matemtico e,dependendo da natureza do problema, suasoluo favoreceu o desenvolvimento daAritmtica, da Geometria, da lgebra, daTrigonometria, da Estatstica, das Probabilidades,da Teoria dos Nmeros, etc.

O homem, em geral, usa seus conhecimentospara resolver problemas concretos. Os problemasque ele no consegue resolver, ou as perguntasque vai fazendo para si mesmo, do origem aoutros conceitos. Os conhecimentos soorganizados em novos campos, ampliando esseuniverso de conhecimentos em um ritmo, cadavez mais intenso.

5


I. Escolha um programa de televiso ou de rdio, de preferncia um noticirio e procure

interpretar as notcias apresentadas anotando no seu caderno todo e qualquer tipo de

informao e idia matemticas que voc for vendo e/ou ouvindo no decorrer do noticirio. Ao

final verifique aquelas que so relacionadas com os diferentes tipos de nmeros que voc

conhece, com figuras ou noes de geometria, com as medidas, com a estatstica, etc.

Como j foi dito, a Matemtica uma construoda inteligncia humana feita ao longo da histriado homem, em decorrncia da sua relao com anatureza e da vida em sociedade.

H certos conhecimentos de Matemtica que amaioria dos cidados precisa utilizar paraentender muitos aspectos das diferentes culturasem que vivem, para se comunicar e enfrentaralgumas situaes do dia-a-dia. Contar, fazermedidas e operaes, ler e interpretar informaesde grficos e tabelas, saber argumentar ou contraargumentar, bem como comunicar um raciocnioaplicado para resolver um determinado problemaso alguns desses usos.

Figura 9 IFRAH, G. Os nmeros: a

histria de uma grande inveno. 2

ed. Traduo de Stella M. de Freitas

Senra. Rio de Janeiro: Globo, 1989.

Traduo de: Les Chiffres, o I

histoire d une grand invention.

Figura 10 IFRAH, G. Os nmeros: a

histria de uma grande inveno. 2

ed. Traduo de Stella M. de Freitas

Senra. Rio de Janeiro: Globo, 1989.

Traduo de: Les Chiffres, o I

histoire d une grand invention.

Figura 11 TOLEDO, M. Didtica de

Matemtica: como dois e dois: a

construo da Matemtica. So

Paulo: FTD, c 1997. (Contedo e

metodologia).

20


H tambm conhecimentos avanados utilizadospor matemticos, cientistas e profissionais deoutras reas e que so aplicados em situaes nemsempre compreendidas pela maioria das pessoas.Por exemplo, o funcionamento de um cartotelefnico, de um carto magntico de banco, deum motor de automvel ou de um computador.

A Matemtica se desenvolve tanto a partir deproblemas do mundo em que os homensvivem, como tambm estimulada porproblemas internos a ela.

Uma das formas de divulgao da Matemtica feita, na escola, pelos professores e livros. onde

os conhecimentos podem ser apresentados demaneira adequada para que sejam utilizados nasdiferentes situaes que fazem parte da vidanuma sociedade moderna.

Da explicao de fenmenos

naturais tecnologiaVejamos alguns exemplos da contribuio daMatemtica na compreenso e anlise defenmenos naturais e da produo tecnolgica.

Leia o texto abaixo:

Uma das formas antigas para se saber a hora erapela posio do sol. medida que a terra gira,durante o dia, observa-se que o sol muda deposio, no cu, modificando o tamanho e aposio da sombra dos objetos na Terra. Orelgio solar baseado nesse princpio paramarcar as horas.

Mas como esses fenmenos ocorrem em perodosde tempo longos, foi necessrio encontrar ummeio para marcar intervalos de tempo de formamais precisa.

O relgio de sol ou mostrador solar constitudode uma vareta colocada verticalmente no solo.Ele reproduz a situao em que o tronco de umarvore projeta sua sombra, marcando omovimento do sol. Os romanos, desde 300 a.C.,consideravam o dia solar dividido em doze partespara o dia e doze para a noite.

Quando o sol estava visvel, era possvel ver ahora pela coincidncia da sombra com uma dasdoze marcas. O problema consiste naimpossibilidade de se saber as horas nos dias emque no h sol, ou durante a noite. Os relgiosque ns utilizamos hoje permitem tambm marcarintervalos de tempos menores.

Entre os relgios que so usados hoje em dia, nopulso, na parede, nas ruas, h os de ponteiros eos digitais. Em qual deles voc tem maiorfacilidade de ler as horas? Por que? Escrevasobre a diferena que eles apresentam ao indicaras horas.

Voc conhece esse tipo de relgio?

Quais so as dificuldades que esse tipo de relgioapresenta?

Fenmenos naturais que se repetem, como o dia,a noite, as fases da lua e estaes do ano so umaespcie de relgio natural. Eles foram usadosinicialmente para marcar intervalos de tempo.

Grfico 1

Figura 12 Disponvel em http://pcdsh01.on.br/figuras/RelSolBsa.jpg.

21


6

Os dois tipos de relgio indicam as horas,minutos e segundos, baseados no princpio de queuma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60segundos. Porm, no relgio digital, a indicaodas horas direta, porque ele tem um mecanismoque conta os nmeros de 60 em 60, apresentando,assim, o resultado da contagem. No relgio de

ponteiros, o visor est dividido em 12 partes e htrs ponteiros sincronizados, mas cada um comuma velocidade diferente, de modo que temos queinterpretar o nmero que cada um est indicando.

provvel que muitas pessoas no consigamdecidir qual relgio mais difcil, pois dependede estarem habituados com um ou com o outro.

Previso

meteorolgicaNo mapa do Brasil est indicada a previso do

tempo para um determinado dia. Indique qual das

informaes abaixo est correta de acordo

com o mapa:

A) O cu est chuvoso na capital cearense.

B) No Estado do Paran est fazendo sol.

C) H chuva em Salvador.

D) 26 a temperatura mxima e 18 a

temperatura mnima na capital do pas.

Confira sua resposta ao p da pgina.

Nesta situao, alm dos conhecimentos que foramnecessrios para fazer as previses do tempo, soutilizadas diferentes formas de representao(mapas, grficos, legendas, nmeros etc.) quepermitem ao leitor verificar o que acontece. Paraisso, necessrio interpretar certos cdigos erepresentaes e utilizar as informaes para tirarconcluses adequadas.


A figura abaixo representa um relgio de ponteiros marcando o horrio em que teve incio a

transmisso de uma partida de futebol. Qual das alternativas abaixo corresponde a esse

mesmo horrio marcado por um relgio digital?

a) 10:12:30

b) 10:14:07

c) 10:10:00

d) 10:11:35Figura 13

Mapa 1Folha de So Paulo, So Paulo, 14 jun. 2002. p. C2, cedido pela Agncia Folha.

2) Resposta (c).

22


7

Tanto no passado como no presente, a Matemticatem sido utilizada pelo homem para resolver osmais variados tipos de problemas. As situaesapresentadas a seguir so alguns exemplos disso.


I. Os estiradores de cordas:

A civilizao egpcia desenvolveu-se na regio em que fica o Rio Nilo. Graas a ele, a regio

muito frtil e favorvel agricultura. Anualmente, de julho a setembro ocorrem as enchentes

e, na Antigidade, essas enchentes derrubavam as cercas e muros de pedras que dividiam os

terrenos dos agricultores. As fronteiras dos terrenos eram remarcadas pelos estiradores de

cordas, ou agrimensores, que usavam cordas marcadas com ns, separados pela mesma

distncia. O intervalo entre os ns servia como unidade de medida. A corda esticada permitia

ver a medida pelo nmero de vezes que a unidade cabia na extenso do terreno. Como nem

sempre os intervalos cabiam um nmero inteiro de vezes nessa extenso, foi necessrio

subdividir a unidade de medida. A prtica dos povos antigos com medidas deu origem s

fraes e nmeros decimais.

Uma corda com treze ns era utilizada para medir ngulos retos, necessrios nas construes

dos muros, das pirmides etc. Eles dobravam a corda formando um tringulo de lados iguais

a trs, quatro e cinco intervalos e prendiam com estacas no cho.

Matemtica: uma ferramenta importante

para resolver problemasLeia cada um dos textos, procurando reconhecer apresena da Matemtica e utilizar seus prpriosconhecimentos para resolver alguns problemasque so propostos a voc:

Figura 14 TOLEDO, M. Didtica de Matemtica: como dois e dois: a construo da Matemtica, So Paulo: FTD, c

1997. (Contedo e metodologia).

23


8


I. Usando escalas

Este mapa do Brasil est representado numa escala 1:50.000.000, o que significa que cada

1cm representado no mapa corresponde a 50.000.000cm ou 500km das distncias reais.

Com o auxlio de uma rgua, verifique qual a distncia real aproximada entre

Cuiab e Natal.

Voc conhece a tcnica utilizada por muitospedreiros quando comeam a construir umacasa? Se for possvel, converse com algumpedreiro sobre isso.

A tcnica dos pedreiros semelhante aquela

utilizada pelos estiradores de cordas nasconstrues que envolviam ngulos retos. Elaconsiste em usar barbante e 3 estacas fincadasno cho formando um tringulo de lados iguaisa 3, 4 e 5 metros.

Mapa 2 LOPES, A.J. Matemtica hoje feita assim: 6 srie.

So Paulo: FTD, 2000. p. 250.

24


Voc j ouviu o ditado popular que diz: Contrafatos no h argumentos. Voc entende o que issoquer dizer? Concorda?

A prtica da argumentao faz parte da nossavida e das situaes que envolvem idiasmatemticas de tal modo que, na histria doconhecimento humano, parece que a fora dosbons argumentos tem prevalecido.

Em um noticirio de TV, o locutor apresentou apreviso do tempo da seguinte maneira:

A probabilidade de chover no sbado de 50% ea probabilidade de chover no domingo tambm de 50%. Logo a probabilidade de chover no fim desemana de 100%Exemplo dado por J. A. Paulos e citado no artigo Linguagem Matemtica:smbolo e significado de Carmem Gmez Granell no livro: Alm da Alfabetizaode Ana Teberosky e Liliana Tolchinski, Ed. tica.

Essa afirmao apresenta um erro. Voc sabeidentific-lo? Em caso afirmativo escreva umaoutra maneira de apresentar a previso do temponesse noticirio.

Resposta ao p da pgina.

Numa aula de Matemtica, o professor pediu aosalunos que analisassem as seguintes afirmaes:

I: A menor distncia entre dois pontos umalinha reta.

II: A menor distncia entre dois pontos nemsempre uma linha reta.

Na sua opinio, qual dessas afirmaes verdadeira? Justifique sua resposta.

Essas duas afirmaes so ambas verdadeiras,dependendo do contexto.

Por isso, necessrio argumentar para esclarec-las e sustent-las.

A primeira afirmao refere-se a dois pontossituados em um plano. Por exemplo, entre doispontos marcados numa lousa, numa folha de papel,numa mesa ou no cho da sua casa, pode-se fazeros mais diferentes caminhos. Mas, um segmento dereta a menor distncia entre os dois pontos.

Argumentando podemos convencerA segunda afirmao pode se referir a uma idiade outro tipo. Na superfcie do globo terrestre oude uma esfera, possvel tambm fazerdiferentes caminhos entre dois pontos oupartindo-se de um ponto e voltando a ele. Masno se pode fazer em linha reta. Sobre asuperfcie esfrica a menor distncia entre doispontos um segmento de circunferncia.

Por exemplo, se voc usar uma laranja s serpossvel ligar dois pontos opostos com uma linhareta perfurando a laranja com um palito ouobjeto semelhante.

Uma outra verso da afirmao A menordistncia entre dois pontos nem sempre umalinha reta pode ser encontrada num dilogo dapea A vida de Galileu, filsofo e astrnomo dosculo XVII, que disse: diante de obstculos, ocaminho mais curto entre dois pontos pode ser acurva. Tal frase procura esclarecer seu gestoquando precisou negar sua descoberta de que aTerra, a Lua e outros planetas se moviam noespao, em torno do sol. Essa sua descobertaconfirmava com maior preciso o modelo desistema solar defendido por Coprnico um sculoantes. Sua teoria no era aceita pelasautoridades da poca.

A vida de Galileu

Escrito por Bertold Brecht na pea teatral

A vida de Galileu.Traduo de Roberto Schwarz.

Figura 15

Figura 16

4.1) A chance de chover no fim de semana de 50%. O erro consiste em

somar as probabilidades.

25


9

Perodo

Sculo I ao sculo XVII

Sculo XVIII

Sculo XIX

Incio do sculo XX

Final do sculo XX

Total de nascimentos/hora

20

210

500

1.300

8.800

Taxa anual de crescimento

17.200

1.839.600

11.366.000

77.088.000


Resolva os seguintes problemas e descreva o raciocnio usado para resolv-los, como se voc

estivesse tentando fazer algum compreender sua soluo:

I. A data de fabricao indicada na embalagem de uma caixa de leite 23/12/2001 e a

validade de 20 dias. Em que dia venceu a validade ? Explique no seu caderno o modo

como voc raciocinou.

II. Um estudo recente feito pela Organizao das Naes Unidas (ONU) mostrou que o

crescimento da populao mundial atual de 77 milhes de pessoas por ano, embora a

tendncia seja de diminuio desse ritmo.

O CRESCIMENTO DA POPULAO MUNDIAL

Observe os dados da tabela e verifique como a informao das taxas de crescimento atual

foram obtidas.

Voc poderia dizer como era a taxa de crescimento no sculo XIX utilizando o mesmo critrio?

Se voc determinou que essa taxa era de aproximadamente 4.380.000, est correto.

Leia a seguinte frase, interprete sua mensagem e utilize seus argumentos para tentar explicar

o que voc entendeu:

Um gro de milho, ao cair no faz barulho; ento como pode um alqueire fazer barulho?

Esta frase conhecida como paradoxo da semente de milho, de Zeno, filsofo grego que

viveu no sculo V a.C.

Um paradoxo um tipo de afirmao que apresenta uma contradio: pode ser

compreendida como uma coisa e tambm como outra coisa oposta primeira idia.

Tabela 1Revista Veja, So Paulo, 7 mar. 2001. p. 36.

26


Escolha um filme para assistir pela TV com aseguinte preocupao, alm de se divertir:

Verificar o pas e cidade em que ocorre ahistria apresentada no filme;

Identificar a poca (sculo ou ano) em que sedesenvolve a histria do filme;

Observar a idade, as relaes de parentesco, onvel scio-econmico dos personagensenvolvidos na histria;

Leia o prximo texto e veja os nmeros indicadosna tabela abaixo.

A ELETRICIDADE EM LITROS

Em fase de racionamento, as pessoas habituaram-se a calcular o consumo de energia pela medidapadro, o quilowatt-hora. Como a eletricidade noBrasil obtida basicamente a partir dashidreltricas, possvel verificar no apenasquantos quilowatts-hora, mas quantos litros de

Voc j chegou a pensar a respeito das finalidadesque deve ter a Matemtica na vida do homem?Escreva no seu caderno uma ou duas finalidadesque lhe paream razoveis.

A idia que o conhecimento matemtico, assimcomo muitos outros, seja um instrumentoutilizado para propor e melhorar as condies devida da humanidade e contribuir para intervir narealidade, promovendo o desenvolvimentohumano.

Ficar atento a toda situao em que considereque h a presena de idias matemticas;

Tomar nota em um caderno de todas essasinformaes que voc observou;

Experimente contar o filme para uma pessoaamiga ou da famlia, com base nas idias quevoc anotou. Na exposio, no esquea dasidias matemticas anotadas, procurandoreconstituir as situaes que as envolviam.

Ajudando a entender e a transformar

Produto

Forno de Microondas

Ferro de Passar

Televiso

Chuveiro

Geladeira

Tempo mdio de

funcionamento dirio

5 minutos

20 minutos

2 horas

15 minutos

24 horas

Quantidade de gua que precisa passar

pelas turbinas para manter o aparelho

funcionando durante esse tempo

190 litros ou 20 baldes

1.100 litros ou 7 banheiras dehidromassagem de tamanho mdio

2.100 litros ou 4 caixas dgua residenciais

4.000 litros ou 2 piscinas infantis

10.000 litros ou um caminho pipa

gua so consumidos para fazer funcionar oseletrodomsticos. Veja quanta gua uma usinacomo a de Xing, na divisa entre Alagoas eSergipe, utiliza para movimentar as turbinas ecolocar em funcionamento os seguintes produtos:

Tabela 2Revista Veja, So Paulo, 7 mar. 2001. p. 63.

27


Pensando na sua participao e de todos osoutros cidados numa campanha de economia deenergia:

a) Verifique qual dos eletrodomsticos o quemais consome energia num mesmo perodo detempo a partir da quantidade de litros que escoampelas turbinas de uma usina como a apresentada.

b) Tendo como base a sua casa e as pessoas dasua famlia veja qual o consumo total (pelaquantidade de litros de gua) por dia. Calculequal o consumo mdio por pessoa.

c) Considerando a populao da sua cidade(pesquise qual ) verifique qual o consumomdio da sua cidade.

d) Vendo a quantidade de gua escoada paraproporcionar energia eltrica para toda apopulao de uma cidade, faa uma previso parao seu Estado e pas. Faa uma pesquisa sobre qual a populao do seu Estado e do Brasil para seter uma idia de qual o consumo.

e) Admitindo que necessria uma quantidade degua muito grande e que h problemas paraarmazenar, permanentemente, todo esse volumede gua, faa um estudo a partir dos dados databela, especificando:

- em quais itens a populao pode economizarmais no tempo de uso dos seus eletrodomsticos;

- os clculos para a sua cidade, por exemplo.

Faa, por escrito, uma previso de racionamento dasua cidade, detalhando todos os pontos, indicando aeconomia em relao aos clculos feitos,anteriormente, da quantidade de litros dgua.

f) Com base nos estudos e clculos feitos encontrealguns argumentos favorveis economia noconsumo por parte da populao.

10


I. Utilizando como base a conta de luz da sua casa, verifique o consumo em kilowatts e o

custo indicado. Raciocine agora sobre a questo do consumo e do racionamento em termos

dessas duas grandezas (kilowatts e dinheiro), faa os clculos de consumo mdio por pessoa e

calcule o consumo para sua cidade. Aproveitando as porcentagens obtidas calcule qual a

economia que pode ser feita por pessoa e pela populao de sua cidade em kilowatt e em

dinheiro.

28


Yann Arthus-Bertand um fotgrafo de origemfrancesa que se interessou por traar umpanorama do planeta, na entrada do novomilnio, por meio de fotografias areas, feitas deum helicptero, em 76 pases. No seu livro,chamado A Terra vista do cu, reuniu muitasdessas fotografias e considera que est fazendoum registro da ao do homem no planeta, queservir de testemunho para as geraes futuras.Sua preocupao expor a beleza do planeta egerar um compromisso para sua preservao.

Observe os traos, formas e detalhes de algumasdas imagens:

Os homens do passado faziam marcas nasrochas, em pedaos de pau e ossos, em placas deargila, figuras geomtricas nas peas de arte.Construram templos e tmulos inspirados naGeometria. Tudo isso num esforo de representarsuas idias, de se comunicar com os outroshomens, ou de permanecerem eternos. No seuentender, qual a diferena entre osprocedimentos adotados pelo homem antigo epelo fotgrafo?

Utilize alguns argumentos para explicar ossignificados das expresses: A Terra vista docu e O cu visto da Terra baseando-se naleitura que voc fez deste captulo.

Considere a forma de registro utilizada pelofotgrafo. Quais elementos da Matemtica vocidentifica nas imagens e no prprio trabalhodo fotgrafo?

Voc considera que a linguagem e os smbolosmatemticos podem auxiliar na preservao doplaneta? Como? Se achar necessrio pesquiseem livros, revistas, jornais e Internet algumasidias que o ajudem a argumentar.

Figura 17 Figura 19

Figura 18

29


Conferindo seu conhecimento

6

3

4

8

9

2

I. Figuras planas: crculo, tringulo, quadrado.

Figuras no planas: esfera, pirmide e cubo.

I. Receita completa: Farofa de carne-de-sol

Ingredientes:

200g de carne-de-sol;

20 azeitonas;

4 colheres (sopa) de manteiga;

1 cebola em rodelas;

2 colheres (ch) de alho;

2 colheres (sobremesa)de hortel picada;

4 pitadas de sal;

2 bananas-prata;

2 copos de farinha de mandioca.

Tempo de preparo: 1 hora. Rendimento: 6 pores.

I. Resposta (d).

I. 2.600 km

I. Em 12/01/2002.

I. Resposta (c).

30


ORIENTAO FINAL

Para saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de:

Identificar e interpretar, a partir da leitura de textos apropriados, diferentes registros do conhecimentomatemtico ao longo do tempo.

Reconhecer a contribuio da Matemtica na compreenso e anlise de fenmenos naturais, e daproduo tecnolgica, ao longo da histria.

Identificar o recurso matemtico utilizado pelo homem, ao longo da histria, para enfrentar e resolverproblemas.

Identificar a Matemtica como importante recurso para a construo de argumentao.

Reconhecer, pela leitura de textos apropriados, a importncia da Matemtica na elaborao deproposta de interveno solidria na realidade.

Clia Maria Carolino Pires

A ARTE DE RACIOCINAR

AMPLIAR FORMAS DE RACIONCNIO E PROCESSOS MENTAIS

POR MEIO DE INDUO, DEDUO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,

UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMTICOS.

Captulo II

32


Apresentao bem provvel que o termo raciocnio seja um

dos mais usados quando se fala em Matemtica.

Raciocinar, usar a razo...o que de fatoisso significa?

A capacidade de raciocinar j nascecom cada um de ns?

Ou o raciocnio vai se desenvolvendo aolongo de nossa vida?

E a escola? Ela tem um papel adesempenhar no desenvolvimento doraciocnio das crianas, dos jovens, dosadultos?

O que voc pensa a respeitodessas questes?

A Matemtica constitui um campo deconhecimentos to diversificado que no simples defini-la. Ela a cincia dos nmeros, doespao, das formas, dos padres e regularidades,das frmulas, das equaes, dos clculos exatos,dos clculos aproximados, do certo e tambm doprovvel... Por isso, em algumas lnguas, ela denominada no plural: as matemticas.

Na construo de seu conhecimento matemtico,cada pessoa se utiliza de diferentes formas deraciocnio; a intuio, a deduo, a analogia soalgumas delas.

O propsito deste captulo o de estimular voc aampliar formas de raciocnio, utilizando conceitose procedimentos matemticos.

Como voc avalia sua capacidadede raciocinar?

No responda ainda. Deixe para faz-lo no finaldesse captulo.

Captulo II

A arte de raciocinar

33

Captulo II A arte de raciocinar

Uma diversidade de maneiras

de fazer e utilizar MatemticaAnalisando uma simples cena do cotidiano possvel identificar a presena de diferentesaspectos da Matemtica. Leia o texto que se segue.

Num dia 01 de abril, o famoso dia da mentira,como faz todos os dias, Sebastio abriu seu jornale ficou desanimado com a primeira notcia queleu. E foi logo lendo a notcia em voz alta parasua mulher Iracema, que estava acabando depassar o caf.

Iracema, escute essa: o botijo de gs vai subir!

Iracema, que ouvia atentamente a leitura deSebastio, de repente interrompeu o marido:

, Sebastio: se as coisas continuarem subindo,vai demorar ainda mais nosso sonho decomprar casa prpria...

Sebastio parou de ler a notcia do aumento dogs e chamou Iracema:

Por falar em casa prpria, Iracema, olhe aquiessa tabela. Veja se voc entende o que querdizer...

Enquanto Iracema decifrava a tabela, Sebastiofoi ler as pginas de esporte, de que tanto gosta.

E comentou:

Olhe s, Iracema... O campeonato est pegandofogo. Uma poro de gols. Veja s. At paraexplicar o que est acontecendo com o futebol, ojornal est usando a Matemtica.

Iracema continuava to atenta leitura da tabelade financiamento de um imvel que no deuouvidos ao comentrio do Sebastio. E nemprestou ateno quando ele disse:

Estou indo! Seno, chego atrasado...

34


1


Agora leia a notcia que desagradou ao Sebastio, analise a tabela de financiamento de um

imvel, que fez Dona Iracema sair fora do ar e observe as informaes sobre o campeonato

de futebol. Depois, responda s questes formuladas. Voc pode usar uma calculadora.

Texto 1

Folha de So Paulo, So Paulo, 1 abr. 2002. p. B3.

Grfico 1

Folha de So Paulo, So Paulo, 1 abr. 2002. p. B3.

35


Com relao ao preo do botijo de gs, se

14,5% significa um aumento de R$1,20 a

R$1,60, dependendo do Estado, razovel

dizer que, antes do aumento, o botijo de

gs custava entre:

a) R$5,25 e R$8,00

b) R$8,27 e R$11,03

c) R$9,50 e R$15,00

d) R$18,25 e R$21,00

Qual das modalidades de financiamento

de imvel voc considera mais vantajosa?

Por qu?

Que vantagem pode ser observada no

Sistema Financeiro de Habitao - SFH?

Que clculo foi feito para chegar ao

percentual de 88,09% apresentado na

ltima linha do grfico?

Dos gols do campeonato, quantos foram

feitos de cabea? E de fora da rea?

Quantas vezes a bola entrou no canto

inferior esquerdo do gol?

Em qual rodada foi atingida a maior

mdia de gols?

Grfico 2

Folha de So Paulo, So Paulo, 1 abr. 2002. p. D9.

36


Para responder s questes formuladas, muitoprovavelmente voc teve que usar conhecimentossobre proporcionalidade e, em particular, sobreporcentagem.

No caso do preo do gs, usando a calculadora possvel verificar que 1% de aumentocorresponderia a R$0,0827 (1,20 : 14,5) e que,portanto, antes do aumento o preo do botijoestava em torno de R$8,27, o que j permitiriaindicar a segunda alternativa. Calculando 1,60:14,5 = 0,1103 voc teria mais um dado paraescolher essa alternativa.

Analisando as informaes apresentadas natabela, certamente voc pde perceber que amodalidade de financiamento de imvel mais

vantajosa a do consrcio; depois vem a do SFHe por ltimo a carteira hipotecria. No SFH, asparcelas finais vo diminuindo.

O clculo para chegar ao percentual de 88,09%,apresentado na ltima linha do grfico, pode serfeito dividindo-se o total pago pela via doconsrcio, que de R$ 131.665,00, pelo o preodo imvel que de R$ 70.000,00, o que d1,8809... Assim, a variao percentual sobre opreo vista de 88,09. Confira as outrasvariaes percentuais apresentadas.

Voc deve ter observado que a organizao dedados em tabelas tambm ajuda a visualizar oque est acontecendo num campeonato defutebol. Essa anlise estatstica uma importantecontribuio da Matemtica.

Como j comentamos, a Matemtica no se ocupaapenas de situaes numricas. Vamos analisaralguns procedimentos de localizao, usando osistema cartesiano de eixos, denominadocartesiano em homenagem ao filsofo ematemtico Ren Descartes (1596-1650).

CONFIRA O QUE VOC RESPONDEU:

Os gols do campeonato feitos decabea foram 70.

Os gols marcados de fora da reaforam 66.

A bola entrou no canto inferioresquerdo do gol 111 vezes.

A maior mdia de gols aconteceu na 7rodada.

37


Observe a folha de um guia da cidade que mostrauma regio da maior cidade brasileira: So Paulo.

A localizao de ruas pode ser dada por um parformado por uma letra e um nmero. Assim,para localizar a rua Edgar Franco podemos usaro cdigo (D,2).

Mesmo que voc no conhea a cidade de SoPaulo, com base na folha de um guiareproduzida acima, destaque ruas que possamser encontradas por meio das coordenadas:(A,3); (B,4); (C,1).

Nas grandes cidades, em que os bairros semultiplicam, as ruas vo formando um traadoemaranhado de curvas e retas que seentrecruzam. Para localiz-las, interessante etil usar guias e mapas. Desse modo, sua leituraacaba fazendo parte da vida dos habitantes evisitantes de uma cidade.

Mapa 1

38


A leitura de guias apoiada num modelomatemtico que o sistema cartesiano de eixos.A localizao de cada ponto nesse sistema dada por um par ordenado de nmeros, que sochamadas coordenadas cartesianas. Assim, porexemplo, na figura abaixo, o ponto Z representado pelo par (3,1), o ponto W pelo par(6,0) e o ponto X pelo par (-5,2). Voc jpercebeu a regra, certo? Certamente tambmpercebeu porque o par de nmeros obedece auma dada ordem (da o nome par ordenado).

Agora responda:

Com base nessas informaes, quais so ascoordenadas dos pontos Y, A, B, C e D?

Confira sua resposta ao p da pgina.

As explicaes para muitos fenmenos danatureza e tambm para a criao de diferentesteorias tomaram como base o estabelecimentode analogias.

Dentre as analogias clssicas na histria dascincias podemos destacar as que compararam:

a estrutura do tomo com o sistema solar;

o brao humano alavanca;

o funcionamento de uma mquina ao do corpohumano.

Outra analogia muito conhecida feita entre umabalana de dois pratos em equilbrio e o processode resoluo de uma equao; uma transformaofeita em um de seus membros deve ser realizadano outro membro para que se mantenha oequilbrio.

AnalogiasPara Aristteles (384-323 a.C.), a analogia

consistia em transportar para uma dada coisa

um nome que designava outra coisa.

A teoria das propores exposta por Euclides

(365-300 a.C.) para quatro grandezas expressas

por a, b, c e d tambm uma forma de

estabelecer analogia. Muito provavelmente voc

YA

B CD

WZ

X

A Matemtica e a compreenso

de fenmenos da naturezaj ouviu falar em regra de trs, quando se diz: aest para b, assim como c est para d e serepresenta a c

b d

Pesquise em seus livros ou numabiblioteca e procure dar exemplos desituaes em que voc usa analogias.

Agora vamos analisar um curioso fato queintegra a histria da Matemtica. Muitoshistoriadores consideram que a Geometria, comocincia, teve seu incio na Grcia, por volta doano 600 a.C., especialmente com Tales de Mileto.

Tales era filsofo, poltico, gemetra, e tambmcomerciante. Acredita-se que ele visitou o Egitoh mais de 2500 anos, deixando os estudiososegpcios boquiabertos: ele teria obtido a altura dapirmide de Quops no Egito, no diretamente,mas por meio de clculos, usando seusconhecimentos sobre Geometria. Sua idia, deto simples, foi genial.

Figura 1

=

1. As coordenadas dos pontos so as seguintes: Y (2,3), A (-2,4), B (-3,-2) C (2, -2) e D (4, -1).

39


2


Com base nas idias de Tales, resolva o problema:

Num dia de muito sol, Jlia fez uma experincia sugerida por sua professora. Mediu sua

sombra e a sombra de um poste de iluminao que fica na frente de sua casa, no mesmo

horrio. A sombra de Jlia era de 80 cm e a do poste era de 1,80m. Se Jlia tem 1,40m, a

altura do poste de aproximadamente:

a) 3,15m.

b) 3,40m.

c) 2,15m.

d) 2,40m.

Tales concluiu que, se em um dado instante, ocomprimento da vareta fosse igual aocomprimento de sua sombra, a altura da pirmidetambm deveria ser igual ao comprimento dasombra dela. Isto , se o comprimento da varetafosse igual ao dobro de sua sombra, a altura dapirmide tambm seria o dobro da respectivasombra e assim por diante.

Observe as ilustraes abaixo:

Intuio matemticaMuitas vezes, achamos a soluo de nossos

problemas de forma intuitiva. Nessas situaes,

comum dizermos que usamos nosso sexto

sentido. Voc sabe o que significa essa expresso?

Alis, a intuio feminina, por exemplo, bastante

conhecida, em especial a de nossas mes. Elas

quase sempre acertam quando nos perguntam se

estamos com algum problema (e escondemos dela)

ou at mesmo quando dizem que vai chover (nesse

caso, o melhor levar o guarda-chuva!).

Mas voc deve estar pensando:

O que intuio tem a ver com Matemtica?

A construo do conhecimento matemticopode ter uma base intuitiva?

Podemos dizer que o raciocnio matemticoapia-se na intuio, mas tambm procurageneralizaes e demonstraes.

40


O raciocnio de Arquimedes descrito a seguir,reproduzindo um possvel dilogo dele com elemesmo:

Pelos deuses! Se meu corpo desloca seuprprio peso do lquido em que estmergulhando, ento meu corpo,mergulhado na gua, perde exatamente opeso lquido que desloca! E isso ... o que? uma balana nova, Arquimedes! Umanova maneira de pesar e medir as coisas,um princpio que poderei usar para medira coroa! Isso mesmo, poderei medir aquelamaldita coroa... Um quilo de ouro, de fato,tem um certo volume, maior do que o doouro, mas tambm imutvel. Um quilo deprata tem outro volume, maior que o doouro, mas tambm imutvel. O volume degua deslocado por um quilo de ouro,portanto, dever ser menor do que odeslocado por um quilo de prata, e umamistura dos dois metais dever deslocarum volume de gua proporcional misturados dois metais! Perfeito, Arquimedes! Noexistem dvidas, voc encontrou ... vocachou... eu achei... achei...

Garozzo, Filippo, Arquimedes. Editora Trs, 1975.

Vamos analisar um outro fato histricointeressante.

Conta-se que Arquimedes (287-215 a.C.) precisouresolver um problema para o rei Hiero II. Esse reide Siracusa, na Itlia, do terceiro sculo antes deCristo, encomendou uma coroa a um ourives,fornecendo-lhe 3kg de ouro e 1kg de prata. Oourives fez a coroa, que pesava 4kg. Hiero,porm, ficou desconfiado, pensando que o ourivespoderia ter usado 2,5kg de ouro e 1,5kg de prata.Por isso pediu ao sbio Arquimedes um meio dedesmascarar a suposta trapaa do ourives semdestruir a coroa.

Conta-se que, ao tomar banho em um banheiropblico, observando a elevao da gua medidaem que mergulhava seu corpo, percebeu quepoderia resolver o problema. Entusiasmado, saiucorrendo para casa, atravessando as ruascompletamente despido e gritando a palavragrega que se tornou famosa: Eureka! Eureka!,isto : Achei! Achei!.

E voc? Aconteceu algum episdio na sua vida ouna sua experincia escolar em que voc sentiuessa sensao de Arquimedes e teve vontade degritar: achei! achei!? Em caso afirmativo,descreva-a.

41


Diferentes formas de raciocnio

e a construo de estratgias para

resolver problemasCertamente voc sabe que nossos antepassadostiveram que enfrentar desafios para garantir aprpria sobrevivncia. Resolvendo problemas,foram produzindo conhecimentos fantsticos quenos deixaram como valiosa herana.

Observando padresOs egpcios precisaram descobrir o padro das

cheias do Nilo de quanto em quanto tempo

elas ocorriam por um motivo importante e

extremamente prtico: planejar suas

plantaes. Conta-se que para isso eles

observaram que o nvel do rio aumentava toda

vez que a estrela Srius se levantava a leste, um

pouco antes do Sol. Verificaram que esse fato

ocorria de 365 em 365 dias.

Tambm foi pela observao de regularidades de

alguns acontecimentos que os astrnomos e fsicos

estabeleceram algumas hipteses para explicar

fenmenos. Um exemplo o das mars. O padro

das mars mar cheia e mar baixa

auxiliou Newton a encontrar a explicao desse

fenmeno: a atrao gravitacional da Lua sobre as

guas do mar.

Foram os gregos que nos legaram uma importante

caracterstica do conhecimento matemtico, que

a observao de regularidades.

Eles tinham um especial interesse pelasseqncias numricas e costumavam represent-las por meio de padres geomtricos.

10631

1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16

Mas no foram s os antigos gregos que seinteressaram pelos nmeros e suas relaes.

Na idade mdia, Leonardo Fibonacci, tambmconhecido como Leonardo de Pisa, em suasviagens ao norte da frica, conheceu o sistema denumerao dos hindus. Ao se convencer dasvantagens desse sistema, passou a ser um dosseus maiores divulgadores na Europa. Mas ele deuoutra grande contribuio Matemtica: em seulivro Liber abaci (livro do baco) ele props umproblema sobre coelhos que se tornou muitoconhecido, pois foi o primeiro modelomatemtico, de que se tem notcia, para descriodo crescimento de populaes.

Na ilustrao abaixo voc pode observar umaseqncia de nmeros triangulares e tambmtentar descobrir quais so os prximos 3 nmerosdessa seqncia.

Esta outra ilustrao representa nmerosquadrangulares. Certamente voc tambm noter dificuldades de descobrir quais so osprximos 3 nmeros dessa seqncia.

42


3

?


I. A seqncia numrica 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... chamada seqncia de Fibonacci. Voc

saberia dizer quais so os prximos 3 nmeros dessa seqncia?

II. Agora, determine o 6, o 7 e o 8 termos de cada uma das seqncias abaixo e faa

anotaes explicando seus procedimentos:

0 3 6 9 12 ? ? ?

1 4 7 10 13 ? ? ?

1 2 4 7 11 ? ? ?

2 6 18 54 162 ? ? ?

1 1 2 6 24 ? ? ?

III. No esquema abaixo, h uma regra de colocao dos nmeros. Descubra-a e preencha os

espaos vazios.

Os coelhos de FibonacciSuponha um casal de coelhos, que s estariam

aptos para reproduo aps um ms. Passado esse

tempo, esse casal daria origem a um novo casal

todo ms. Os coelhinhos que nasciam, formavam

um novo casal e passariam pelo mesmo processo,

ou seja, levariam um ms para crescerem e

amadurecerem sexualmente e, aps esse perodo,

dariam origem a um novo casal a cada ms.

A partir desse problema, Fibonacci construiu sua

seqncia: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... . Esses

nmeros representam a quantidade de casais de

coelhos existentes em cada ms. O 1 termo da

seqncia representa o primeiro casal que dar

origem prole.

??

?14

95

41 65

?11

4

?

1 ms

2 ms

3 ms

4 ms

1 casal

2 casais

1 casal

43


Esse apenas um exemplo de que podemosresolver problemas de formas bem diferentes.George Polya, um conhecido autor que escreveusobre a arte de resolver problemas, nos dalgumas dicas sobre as etapas na resoluo deproblemas:

Total 43

15+28

16+27

17+26

18+25

19+24

Diferena

Carlos escreveu:

43+5=48

482=24

24-5=19

E Slvio registrou em seu caderno:

x+y=43

x-y=5

2x=48; x=24; y=19

13

11

9

7

5

Cada um com seu jeito de raciocinarUma professora props o seguinte problema a seus alunos:

A soma de dois nmeros naturais 43 e a diferena entre eles igual a 5.

Que nmeros so esses?

Como voc resolveria esse problema?

Agora veja as solues de 3 alunos:

Milena fez uma lista de nmeros que adicionados do 43 e, ao lado foi calculando

a diferena entre eles:

Os nmeros so 19 e 24

Procure entender e explicar o que cada um fez.

Na sua opinio h alguma soluo incorreta? Justifique sua resposta.

Compreender o problema.

Conceber um plano de resoluo.

Executar o plano.

Refletir sobre o trabalho realizado.

44


Vamos, ento, analisar a soluo de um problema

O jogo de dardos

Um alvo para um jogo de dardos tem 4 regies,como mostra a figura. A regio delimitada pelocrculo menor vale 11 pontos e as coroassubseqentes valem respectivamente, 7, 3 e 2pontos. Certo dia, trs amigos Andr, Carlos ePaula, estavam jogando e, depois de cada umdeles ter lanado 6 dardos, todos tinham amesma pontuao.

Voc vai descobrir qual foi essa pontuao ecomo cada um deles a obteve, a partir dasseguintes informaes:

Andr foi o que acertou mais dardos nazona central.

Paula foi a mais regular, pois fez sempre omesmo nmero de pontos.

Os dardos de Carlos ficaram espalhadosuniformemente pelas regies que ele acertou.

Em primeiro lugar, precisamos compreender bemo problema: so trs pessoas que atiram cada uma6 dardos e ao final tm a mesma pontuao.

Um plano de resoluo do problemapoderia ser o de organizar uma tabela e,por meio de tentativas, encontrar onmero de pontos.

Feita a tabela, vamos executar o plano,usando nosso raciocnio:

Se Paula fez sempre o mesmo nmero de pontos,ela no deve ter feito sempre 11, nem sempre 2ou 3. mais provvel que ela tenha feito sempre7 pontos, totalizando 42.

Como Andr foi o que mais acertou dados na zonacentral e o total deve ser 42, provvel que eletenha feito 3 vezes 11 pontos ( com 4 j daria 44 esuperaria o total 42). Para completar os 9 pontosem 3 lanamentos, ele no pode ter feito 7 pontosnessas jogadas, mas pode ter feito 3 pontos,3 vezes.

Carlos deve ter feito a mesma quantidadede pontos a cada dois lanamentos.Vamos testar 11,11,7,7. Aqui j temos 36.Portanto nas outras duas ele deve terfeito 3 pontos.

11 7 3 2

Paula

Andr

Carlos

Total

Paula

Andr

Carlos

Total

7

11

11

7

11

11

7

11

7

7

3

7

7

3

3

7

3

3

42

42

42

45


4

5

Pudim de mandioca (para 8 pessoas)

2 xcaras (de ch) de mandioca crua ralada

1 xcara (de ch) de coco ralado

3 xcaras (de ch) de acar

1 xcara (de ch) de leite

6 ovos levemente batidos

3 colheres (de sopa) de manteiga derretida e fria

1 colher (de sopa) de farinha de trigo

Que alteraes voc faria na receita se quisesse ampli-la para 10 pessoas?

E se quisesse reduzi-la para 6 pessoas?

Reescreva a receita para essas duas situaes.


I. Broas e pezinhos

Numa padaria, dona Cida comprou 4 pezinhos e 5 broas e pagou R$3,00. Dona Dalila

comprou 2 pezinhos e 3 broas e pagou R$1,70. Quanto custa cada pozinho e cada broa

nesta padaria?

II. O filatelista

Um colecionador de selos quer aumentar sua coleo. Ele vai a uma loja de filatelia com

R$132,00 e v que pode comprar cartelas de selos de dois tipos: A e B. Conversando com o

vendedor ele descobre o seguinte:

Se ele comprar 7 cartelas do tipo A e uma do tipo B, vai lhe faltar R$1,00.

Se ele comprar 3 cartelas do tipo A e 11 cartelas do tipo B, vai lhe sobrar R$1,00.

Todos os selos da cartela A tm o mesmo preo e todos os selos da cartela B tm o mesmo preo.

Descubra o preo de cada cartela.


Proporo e culinria

A idia de proporcionalidade muito usada para ampliar ou reduzir receitas culinrias. Veja s:

interessante ainda refletir sobre o que foi feito,voltando s informaes dadas, conferir clculose, se possvel, comparar com a soluo deoutra(s) pessoa(s).

Agora com voc: resolva os problemasseguintes e depois confira os resultados obtidoscom as respostas que esto no final destecaptulo.

46


6


Enfim, um aumento!

Paulo um jovem que ganha R$ 380,00 de salrio por ms. Ele vai receber um aumento de

6%. Usando uma calculadora, como Paulo deve proceder para saber quanto receber?

A organizao dos campeonatos

Em Serra Azul um campeonato de voleibol realizado de 3 em 3 anos. O primeiro aconteceu em

1998. Os organizadores pretendem que o campeonato integre o calendrio de eventos da cidade

e que seja realizado por muitos e muitos anos. O que voc responderia a estas perguntas?

Em 2023 deve acontecer esse campeonato?

E em 2031?

Como se pode proceder para saber se em um determinado ano acontecer um campeonato

sem escrever toda a seqncia?

As cidades vizinhas

Quantas so as possibilidades de ir de uma cidade a outra, numa regio constituda por 5

cidades, considerando que h estradas ligando essas cidades, duas a duas?

Neste problema voc pode observar que, alm da

contagem usual 1,2,3,4,... muitas vezes precisamos

usar procedimentos um pouco mais elaborados

para contar. Da cidade A partem 4 estradas que

permitem ir s cidades B,C, D e E. Esse mesmo

clculo pode ser feito para as demais, o que daria

um total de 20 estradas. Mas cada uma das

estradas foi computada duas vezes (por exemplo, a

que vai de A para B e a que vai de B para A).

Assim h 10 possibilidades de ir de uma

cidade a outra.

Compras no supermercado

Suponha que voc est indo ao

supermercado. Voc recebe seu cupom fiscal

e quer conferir.

Calculando mentalmente quanto foi gasto

nessa compra, voc arriscaria dizer se

gastou mais que R$15,00? Ou menos?

Explique seu procedimento.

Supermercado Glorinha

Cupom Fiscal

Canjica

Po francs

Batata

Ovos

Cebola

Alho

Refrigerante

Acar

1,15

1,20

3,86

2,20

1,29

2,68

2,41

1,79

A

B

CD

E

47


Cada um com seu jeito de calcular

Iracema e Severino esto lendo um anncio em queuma loja oferece 15% de desconto sobre o preo deum aparelho eletrodomstico que custa R$120,00.Eles querem saber qual o custo do aparelho, comesse desconto.

Iracema resolveu assim

0,15 x R$120,00 = R$18,00

R$120,00 - R$18,00 = R$102,00

Severino resolveu desse outro modo

100 - 15 = 85

0,85 x R$120,00 = 102,00

Severino e Iracema encontraram o mesmoresultado. Voc acha que os dois procedimentosesto corretos? Explique como foi o raciocniode cada um.

Agora observe este outro problema:

Numa compra de R$240,00, se o pagamento forfeito em prestaes, ter um acrscimo total de9%. Para calcular o valor total a ser pago,considerando esse acrscimo, qual das soluesvoc usaria? Por qu?

Fazendo estimativasNa resoluo de problemas, um procedimento muito

usado fazer estimativas. Esse procedimento interessante quando no precisamos de umresultado com grande exatido, isto , quando suficiente chegar a uma aproximao.

Soluo 1

0,09 x 240,00=21,60

240,00 + 21,60=261,60

Soluo 2

1,09 x R$240,00=261,60

Podemos estimar, por exemplo, o resultado deuma operao, sem efetu-la. Podemos estimar ocomprimento de um conjunto de segmentos, semmedi-los diretamente.

Vamos ver como voc se sai fazendo estimativas?

7


Quanto voc estima que mede a linha poligonal desenhada abaixo? Menos que 1 metro? Mais

que 1 metro? Justifique sua resposta.

48



I. Agora observe o mapa do nosso pas.8

0 360km

Se a distncia da cidade de So Paulo ao Rio de Janeiro de aproximadamente 400km,

quanto voc estima ser a distncia aproximada de:

- Rio de Janeiro a Belo Horizonte?

- Salvador a Natal?

- Porto Alegre a Curitiba?

Alm de estimativas, os procedimentos de medida envolvem clculos com nmeros, alm de

conhecimentos sobre figuras geomtricas.

Carpinteiros, pedreiros, costureiras e tantos outros profissionais utilizam-se das medidas e

dos processos de estimativa com grande freqncia. Responda ento:

II. Para recobrir um piso de uma sala retangular de 4,5m por 5,5m com lajotas de 50cm

de lado, sero necessrias, aproximadamente:

a) 50 lajotas.

b) 100 lajotas.

c) 200 lajotas.

d) 300 lajotas.

Justifique sua escolha.

Rio de Janeiro

Belo

Horizonte

Porto Alegre

Curitiba

Salvador

Natal

Florianpolis

VitriaSo Paulo

Campo Grande

Aracaj

Macei

Recife

Joo Pessoa

So Lus

Teresina

FortalezaBelm

MacapBoa Vista

Manaus

Cuiab

Porto

Velho

Rio Branco

Goinia

Braslia

Palmas

Mapa 2

49


O nibus passa na avenida s8h e 30min. Gasto uns 20minutos a p at o ponto denibus; ento, devo sair s 8horas e 10 minutos ou umpouquinho antes...

Devo chegar ao trabalho lpelas 9h, Comeo adatilografar o texto e l pelas10h e 30min. certamente jterei terminado.

Ao meio-dia combinei deencontrar minha mulher paraalmoar num lugar que ficalonge do meu trabalho... nessauma hora e meia deintervalo...

Na aula de Matemtica, Paulo fez aseguinte afirmao:

Todos os mltiplos de 6 so mltiplosde 2.

Pedro contestou o que Paulo disse,dizendo que no sabia se isso eraverdade, de fato. Paulo ento passou aargumentar:

Sabemos que todos os mltiplos de 2podem ser escritos na forma 2n etodos os mltiplos de 6 podem serescritos na forma 6n, em que n umnmero inteiro. Como 6n pode serescrito na forma 2 X 3n, podemosconcluir que todos os mltiplos de 6so mltiplos de 2.

muito comum as pessoas relacionarem os termosraciocnio e lgica. Elas se referem a raciocinarlogicamente, para falar de uma atividade mentalque est presente em quase todos os momentos donosso dia-a-dia.

Desde o momento em que voc se levanta, jcomea a raciocinar...

Mas que tal conhecer um pouco mais sobre essecampo da Matemtica, chamado Lgica?

De forma simplificada, a Lgica uma rea deestudos que se ocupa em validar se os raciocniosfeitos e os comportamentos que deles decorremso corretos (ou seja, se so lgicos, comodizemos popularmente).

Toda vez que defendemos uma idia, um ponto devista, ou mesmo, a soluo encontrada para umproblema, precisamos construir argumentosconsistentes, usando para isso, nossosconhecimentos matemticos.

Na Grcia antiga, o filfoso Aristteles plantou asbases da chamada lgica formal. A lgicaaristotlica propunha regras para oestabelecimento de um raciocnio bem encadeado.

A deduoA deduo um processo por meio do qual

estabelecemos a verdade de algumas afirmaes a

partir de outras. Acompanhe a situao abaixo:

Matemtica, lgica e argumentao

Na sua opinio a argumentao de Paulo foiconsistente? Por qu?

50


Todos os mltiplos de 4 so pares. Portanto, qualquer nmero par mltiplo de 4.

Cuidado com as falcias!Um dos aspectos interessantes da Lgica so as

chamadas falcias. Mesmo tomando afirmaes

verdadeiras como ponto de partida (as premissas),

podemos tirar concluses no verdadeiras. So as

chamadas falcias. Precisamos estar atentos para

no nos deixarmos enganar pelas falcias.

Analise a afirmao abaixo:

A primeira parte da afirmao (todos os

mltiplos de 4 so pares) uma premissa

verdadeira?

E a concluso (qualquer nmero par mltiplo

de 4) verdadeira?

Voc pode concluir que se trata de uma falcia?

Voc se arriscaria a formular uma outra falcia?

No necessrio que seja uma falcia matemtica

como a do exemplo. Ela pode se referir a uma

situao da sua vida.

Mas isso no tem

lgica alguma!!!Com certeza, voc j disse essa frase em algum

momento da sua vida. Nas conversas com amigos,

quando debatemos um assunto, muitas vezes o que

lgico para uma pessoa, no assim to lgico

para outra. Mas o que importa, de fato, saber

dialogar, saber ouvir, ponderar, argumentar...

De toda forma, vamos brincar um pouco com

algumas situaes.

Em quais delas voc identifica comportamentos

que, para voc, no so lgicos.

Mandei uma carta para minha tia quemora em Recife. Esqueci de escrever oendereo. Mas vai chegar assim mesmo.

Hoje o dia amanheceu azul e o sol estbrilhando; a temperatura est agradvel;vou sair com o guarda-chuva para meproteger dos raios!

Li as duas primeiras pginas do livro quevoc me deu; j vi que uma histria desuspense e j sei como ser o final dahistria.

51


Voc sabe o que

um enunciado?Um enunciado uma afirmao da qual se pode

estabelecer, sem dvida, se verdadeira ou falsa.

Usando a lgica, podemos verificar se o que o

enunciado revela, e o raciocnio feito a partir

dele, esto relacionados de forma adequada.

Analise as frases abaixo. Verifique quais so

enunciados. Depois, classifique esses enunciados em

verdadeiros ou falsos, justificando suas respostas:

Pel foi um tenista famoso.

Todo tringulo tem lados com mesma medida.

Todo quadrado tem lados com mesma medida.

Voc deve ter observado que as trs soenunciados. O primeiro falso, pois sabemos quePel foi jogador de futebol e no tenista famoso.O segundo tambm falso pois apenas ostringulos equilteros tm lados com a mesmamedida. Ou seja, essa no uma caractersticacomum a todos os tringulos. O terceiro verdadeiro.

9

Andr, Belinha, Carlos e Dbora so amigos. Cada um tem seu jeito de ser, suas manias.Na cidade onde moram, acontece todo ano, na primeira semana de junho, um torneio defutebol com os times de toda a regio.- Se chove ou h muita fila para comprar ingresso, Andr no vai ao futebol.- Belinha s vai ao futebol se houver muita fila para comprar ingresso, porque para elaisso sinal de que o jogo promete.- Se chove, Carlos no vai ao futebol.- Dbora vai ao futebol mesmo que chova ou que haja muita fila para comprar ingresso.


Agora leia com ateno esta histria.

I. Prestou ateno? Ento responda:

a) Domingo, dia do 1 jogo do torneio da cidade, estava chovendo e havia muita fila

para comprar ingresso. Quem foi ao jogo?

b) Tera feira choveu. Quem pode ter ido ao jogo?

c) Quinta feira todos os amigos foram ao jogo. O que deve ter acontecido?

d) Sbado fazia sol. Por que Belinha no foi ao futebol?

Justifique suas respostas.

II. Complete as afirmaes de modo que sejam lgicas e no contraditrias.

a) Se eu tivesse mais tempo livre, _________________________________________________.

b) Eu j havia assistido quele filme e _____________________________________________.

c) No sei o que fazer, ento _____________________________________________________.

d) Se hoje terminar o prazo para me inscrever no concurso de msica, __________________.

52


III. Assinale com um X, dentre as trs possibilidades apresentadas, a que tem o mesmo

significado da frase em destaque:

a) Todos os mares so salgados.

( ) Nenhum mar salgado.

( ) Qualquer mar salgado.

( ) Um mar salgado.

b) Nem todos os rapazes gostam de danar.

( ) Nenhum rapaz gosta de danar.

( ) Todos os rapazes gostam de danar.

( ) H rapazes que no gostam de danar.

c) Em minha classe, todos possuem pelo menos um livro.

( ) Qualquer aluno no tem livro.

( ) Todos possuem qualquer livro.

( ) Todos possuem um livro.

Num de seus textos, um importante educadormatemtico brasileiro, o professor UbiratanDAmbrosio, escreve:

As idias apresentadas no texto do professorUbiratan DAmbrosio, que se referem s relaesentre Matemtica e cidadania, vm sendo cadavez mais discutidas ultimamente. Os dadosnumricos e as informaes estatsticas soferramentas importantes para que todas aspessoas exeram a sua cidadania.

Cidadania tem tudo a ver com a capacidade de lidar com situaes novas. Lida-se comsituaes conhecidas e rotineiras a partir de regras que so memorizadas e obedecidas.Mas o grande desafio est em tomar decises sobre situaes imprevistas e inesperadas,que hoje so cada vez mais freqentes. A tomada de decises exige criatividade e tica.A Matemtica um instrumento importantssimo para a tomada de decises, pois apelapara a criatividade. Ao mesmo tempo, a Matemtica fornece os instrumentos necessriospara uma avaliao das conseqncias da deciso escolhida.A essncia do comportamento tico resulta do conhecimento das conseqncias dasdecises que tomamos.

Matemtica, cidadania e propostas

de ao solidria

53


NO O CASO DE COMEMORARO Brasil provavelmente o nico pas do mundo que pode se dar ao luxo decomemorar o desmatamento de uma superfcie equivalente a 2/3 da Siclia. Ou,numa comparao mais palatvel, trs vezes a rea do Distrito Federal, em umnico ano. A destruio acumulada da Amaznia bateu em 551.782 quilmetrosquadrados, 14% da rea que ocupava. Ainda a maior floresta tropical do mundo,mas o Brasil s precisou das duas ltimas dcadas para dizimar 10% dela.No s do ponto de vista absoluto que os 16.926 quilmetros quadradosestimados para 1999 sobressaem. Tambm em termos relativos, o nmero elevado,pois repete o dado de 1998, ou seja, uma consolidao do aumento de mais de 30%com relao ao ano anterior de 1997.O governo pode falar em estancamento e tendncia de queda, apoiado na supostareduo de 2,6%, mas preciso ir devagar com os nmeros. Antes de mais nada,porque o dado de 1999 no passa de uma estimativa, sujeita a reviso. Asprevises anteriores (1997, 1998) sofreram correes de 1,5% e 3,1%,respectivamente. Assim, nem mesmo existe segurana de que houve reduo de1998 para 1999, pois os 2,6% de diminuio estariam dentro do que pode sechamar de margem de erro de estimativa.Alm disso, as cifras em torno de 17 mil quilmetros quadrados dos dois ltimosanos pem o pas num patamar mais prximo da dcada de 80, quando odesmatamento da floresta Amaznica chocou o mundo. Houve desacelerao nocomeo dos anos 90, mas desde ento os nmeros foram sempre superiores.

Adaptado da Folha de So Paulo, So Paulo, 12 de abril de 2000.

Como exemplo, vamos analisar as informaesapresentadas no artigo de Marcelo Leite, que nosoferece uma viso ampla sobre o desmatamentoda floresta amaznica:

Em funo da leitura do texto, responda:

O que o autor do texto quer dizer quandoafirma que o Brasil provavelmente o nicopas do mundo que pode se dar ao luxo decomemorar o desmatamento de uma superfcieequivalente a 2/3 da Siclia. Ou, numacomparao mais palatvel, trs vezes a rea doDistrito Federal, em um nico ano?

Quando o jornalista afirma que o Brasil sprecisou das duas ltimas dcadas para dizimar10% dela, que previses podem ser feitas para a

maior floresta tropical do mundo nos prximos20, 40, 60 anos, se no forem tomadasprovidncias urgentes e eficientes?

No texto, o autor revela preocupao com aanlise que o governo faz dos nmeros. Comovoc interpreta essa preocupao?

Que tipo de interveno voc acha que deveriaser feita pelo governo relativamente florestaamaznica?

E na regio em que voc vive? Que intervenesambientais voc considera mais urgentes?

No incio deste Captulo, perguntamos como voc avalia sua capacidade de raciocinar?E ento?

54



2

xcaras (de ch) de mandioca crua ralada

1

xcara (de ch) de coco ralado

3

xcaras (de ch) de acar

1

xcara (de ch) de leite

7

ovos levemente batidos


1 colher (de sopa) de farinha de trigo


1 xcaras (de ch) de mandioca crua ralada

xcara (de ch) de coco ralado

2 xcaras (de ch) de acar

xcara (de ch) de leite

4 ovos levemente batidos


colher (de sopa) de farinha de trigo

I. Item (a)

I. Os 3 prximos nmeros da seqncia numrica 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... so 34, 55 e 89, pois cada termo

igual soma dos dois que o antecedem.

II. Completando as seqncias, temos:

0 3 6 9 12 15 18 21

1 4 7 10 13 16 19 22

1 2 4 7 11 16 22 29

2 6 18 54 162 486 1.458 4.374

1 1 2 6 24 120 720 5.040

III.

I. Broas e pezinhos = Cada pozinho custa R$0,25 e cada broa custa R$0,40.

II. O filatelista = O preo da cartela A R$18,00 e o da cartela B R$7,00.

2

3

82

4834

2014

95

41 65

1711

4

28

4

5

1

2

1

4

3

4

1

4

1

2

3

4

1

4

1

2

3

4

1

4

3

4

1

2

1

4

3

4

Conferindo seu conhecimento

55


6

7

8

9

Enfim, um aumento!

Ele pode multiplicar R$380,00 por 1,06 o que d R$ 402,80 ou ento pode mulltiplicar R$380,00 por 0,06 e

depois adicionar esse resultado a R$380,00.

A organizao dos campeonatos:

Em 2023 no deve acontecer esse campeonato.

Em 2031 dever haver campeonato.

Para saber se em um determinado ano x acontecer um campeonato basta fazer: x 1998 e dividir o

resultado por 3. Se o resto da diviso for zero haver campeonato.

Compras no supermercado:

Calculando mentalmente quanto foi gasto nessa compra, podemos dizer que se gastou mais de R$15,00.

Cada um com seu jeito de calcular:

Ambos esto corretos. Iracema calculou 15% do valor e depois descontou do total e Severino calculou

diretamente 85% do total, sabendo que 100% - 15% = 85%.

O comprimento da linha maior que 1m.

I. Distncia aproximada:

Do Rio de Janeiro a Belo Horizonte aproximadamente a mesma de Rio de Janeiro a So Paulo,

ou seja, 400km.

De Salvador a Natal de aproximadamente o dobro da distncia entre Rio de Janeiro a So Paulo,

ou seja, 800km.

De Porto Alegre a Curitiba de aproximadamente 530km.

II. Para recobrir um piso de uma sala retangular de 4,5m por 5,5m com lajotas de 50 cm de lado, sero

necessrias, aproximadamente, 100 lajotas, pois em um dos lados cabem 9 lajotas e no outro cabem 11

lajotas, o que totaliza 90 lajotas.

I.

a) Belinha e Dbora.

b) Dbora e Belinha.

c) No chovia nem havia fila muito grande.

d) Porque a fila no era grande.

III.

a) Qualquer mar salgado.

b) H rapazes que no gostam de danar.

c) Todos possuem um livro.

56


ORIENTAO FINAL

Para saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de:

Identificar e interpretar conceitos e procedimentos matemticos expressos em diferentes formas.

Utilizar conceitos e procedimentos matemticos para explicar fenmenos ou fatos do cotidiano.

Utilizar conceitos e procedimentos matemticos para construir formas de raciocnio que permitamaplicar estratgias para a resoluo de problemas.

Identificar e utilizar conceitos e procedimentos matemticos na construo de argumentaoconsistente.

Reconhecer a adequao da proposta de ao solidria, utilizando conceitos e procedimentosmatemticos.

Wanda Silva Rodrigues

OS NMEROS: SEUS USOS E SEUS SIGNIFICADOS

CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS J EXISTENTES

PARA OS NMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS.

Captulo III

58


Figura 1 - Uma contagem digital particular em um momento do Antigo Imprio (V dinastia: sculo XXVI a.C.).IFRAH, Georges, Histria Universal dos algarismos: a inteligncia dos homens contada pelos nmeros e pelo clculo.

ApresentaoOs nmeros fazem parte de nossa vida. Nossa

casa tem um nmero, a roupa que usamos tem

uma numerao, os alimentos tm um preo. Ns

mesmos temos nmeros de identificao: aquele

que est na carteira de identidade, o que est

indicado na carteira do trabalho...

A construo dos nmeros durou milnios.

Estudos de vrias cincias como a Arqueologia,

a Etnologia e a Antropologia mostram que povos

primitivos, mesmo antes de possurem uma

linguagem escrita, faziam registros de suascontagens por meio de marcas. Essas marcaspodiam ser ns em uma corda, cortesnum pedao de madeira ou cortes emossos de animais.

Os povos primitivos tambm faziam uso dosdedos das mos e dos ps para efetuarem acontagem. At hoje usamos a palavra dgito, quesignifica dedo, como sinnimo de algarismo.Alguns usavam tambm outras partes do corpo.

Com o tempo, essas marcas foram substitudaspor smbolos diversos. Ao buscar recensear seushabitantes, seus bens, suas perdas, ao procurardatar a

mate matic a

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