mate ma tic a 1

MDULO IPrograma Universidade para Todos

CONJUNTOSA Teoria de Conjuntos uma das mais fundamentais da Matemtica, pois, a partir dela, vrios conceitos matemticos podem ser expressos. Os conjuntos mais frequentes estudados na Matemtica so os conjuntos numricos, as guras geomtricas (que so conjuntos de pontos) e os conjuntos que derivam destes, como os conjuntos de funes, matrizes, etc. Antes de abord-los, introduziremos algumas das idias bsicas da teoria dos conjuntos, atravs de suas linguagens. Um conjunto, de forma intuitiva, encarado como um agrupamento ou coleo de objetos de natureza qualquer, os quais se dizem elementos do conjunto. Representa-se simbolicamente por x X , a proposio x um elemento do conjunto X , que tambm se l x pertence a X . A negao desta proposio representada por x X , l-se x no pertence a X . / Os conjuntos podem substituir as propriedades ou condies. Assim, em vez de dizermos que o objeto x goza da propriedade p ou o objeto y satisfaz a condio q , podemos escrever x X e y Y , em que X o conjunto dos objetos que gozam da propriedade p e Y o conjunto dos objetos que satisfazem a condio q . Por exemplo, considere p a propriedade de um nmero inteiro x ser par e q a condio sobre o nmero real y ser expresso por y 2 3y + 2 = 0. Por outro lado, sejam encontrar um objeto x tal que esteja neste conjunto. Por exemplo, o conjunto dos nmeros pares que so primos no vazio, pois, 2 par e primo. Na verdade o nico nmero que par e primo, mais ainda, este conjunto unitrio. O conjunto unitrio (ou singular ) qualquer conjunto com um s elemento. Denotamos por {x }, o conjunto unitrio de elemento x . Assim, observe que x e {x } so diferentes. Por exemplo, = {}, pois {} possui um elemento (tem-se {}). Os conjuntos podem ser nitos ou innitos. Intuitivamente, um conjunto nito se consiste de um nmero especco de elementos diferentes, isto , se ao contarmos os diferentes membros de um conjunto, o processo de contagem chega a um nal. Este nmero chamado de cardinalidade de A, e indicamos por n(A) ou #A. De outro modo, o conjunto innito. Dizemos ainda que o conjunto vazio nito. O conjunto dos dias da semana M nito e n(M ) = 7. O conjunto dos nmeros primos {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .} innito.

A1. Sendo a e b nmeros reais quaisquer, os nmeros possveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b}} so: a 2 ou 5; b 3 ou 6; c 1 ou 5; d 2 ou 6; e 4 ou 5.

X = {. . . , 4, 2, 0, 2, 4, . . .} e Y = {1, 2}.Ento, tanto faz dizer que x par e que y satisfaz a condio q , como armar que x X e y Y . Qual , porm, a vantagem que se obtm quando se prefere dizer que x X e y Y em vez de dizer que x goza da propriedade p e y satisfaz a condio q ? A vantagem de se utilizar a linguagem e a notao da teoria dos conjuntos que entre estes existe uma lgebra montada sobre as operaes de reunio (X Y ) e de interseo (X Y ), alm da relao de incluso (X Y ). Por exemplo,

A RELAO DE INCLUSOSejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A for tambm elemento de B , diz-se que A um subconjunto de B , que A est contido em B ou que A parte de B . Para indicar este fato, usase a notao A B . A relao A B chama-se relao de incluso. Simbolicamente escrevemos:

A B ( x , x A x B ).Quando A no um subconjunto de B , escreve-se A B . Isto signica que nem todo elemento de A pertence a B , ou seja, existe pelo menos um objeto a tal que a A e a B . Por exemplo, considere T o conjunto dos tringulos, Q o conjunto dos quadrilteros e P o conjunto dos polgonos. Como todo tringulo e todo quadriltero um polgono, temos que o conjunto T e o conjunto Q esto contidos no conjunto P , ou seja, T P e Q P , por outro lado, todo tringulo no um quadriltero, assim P Q . Para todo conjunto A, temos: 1. A A (todo elemento de A pertence a A); 2. A. De fato, se quisssemos mostrar que A, teramos que obter um objeto x tal que x , mas x A. Como x impossvel, somos levados a concluir que A, ou seja, que o conjunto vazio subconjunto de qualquer outro. Dados dois conjuntos A e B , com o mesmo signicado de A B , tambm usual escrever B A e dizer que B contm A. A relao de incluso goza de trs propriedades fundamentais e de fceis vericaes. Dados quaisquer conjuntos A, B e C , tem-se: A A (reexiva)

X (Y Z ) = (X Y ) (X Z ) e X (X Y ).so extremamente fceis de manipular e representam um enorme ganho em simplicidade e exatido quando comparadas ao manuseio de propriedades e condies.

NOTAO DE CONJUNTOSOs conjuntos so, geralmente, designados por letras maisculas A, B , X , Y , . . . e seus elementos representados por letras minsculas a, b, x , y , . . . . Ao denirmos um determinado conjunto relacionando seus elementos, devemos dispor-los entre chaves e separados por vrgula. Por exemplo, se considerarmos que A constitudo dos nmeros naturais menores do que 4, escrevemos:

A = {0, 1, 2, 3}.Uma condio impossvel, isto , que no seja vericada por nenhum objeto, se chama conjunto vazio e designado por . Tratase, evidentemente, de um conjunto sem elementos. Ele aceito como conjunto porque cumpre a utilssima funo de simplicar certas proposies, evitando uma longa e tediosa meno de excees. Em muitas questes matemticas importante saber que um determinado conjunto no vazio, para tanto, deve-se simplesmente

Secretaria da Educao do Estado da Bahia

MATEMTICA1


Se A B e B A, ento A = B (anti-simtrica)

MATEMTICA

Se A B e B C , ento A C (transitiva) A2. Seja M = {r , s , t }, atribua valor lgico s armaes: i. r M ii. t M iii. {s } M iv. {r } M .

A relao de igualdade goza de trs propriedades fundamentais e de fceis vericaes. Dados quaisquer conjuntos A, B e C , tem-se: A = A (reexiva) A = B B = A (simtrica) A = B B = C A = C (transitiva)

A sequncia correta de valores lgicos : a VFFV b FVFV c VFVV dVVFV eVVVV

DIAGRAMAS DE VENN-EULERUm meio simples e instrutivo de ilustrar as relaes existentes entre conjuntos por meio dos chamados diagramas de Venn-Euler ou, simplesmente, diagramas de Venn. Aqui, representamos um conjunto por uma rea simples plana, limitada geralmente, mas no somente, por um crculo ou elipse. Suponhamos que: B A e digamos A = B . Deste modo, A e B podem ser representados pelo diagrama de Venn:

A3. Julgue as proposies a seguir: i. A e B so sempre subconjuntos de A B ii. A e B so sempre subconjuntos de A B iii. A = A iv. A B = no implica em A = e B = v. A B = implica em A = e B = A sequncia correta de valores lgicos : a VFFVV b FVFVF c VFVFF dVVVFV eVVVVV

A B

A B , B A e A = B . Deste modo, A e B podem ser representados por qualquer dos diagramas de Venn:

IGUALDADE ENTRE CONJUNTOSConvm notar que o fato de se vericar a relao A B no exclui a possibilidade de se ter, tambm, B A. Quando estas duas relaes so conjuntamente vericadas, os conjuntos A e B tm precisamente os mesmos elementos e diz-se, ento, que so iguais e escrevemos A = B . Em smbolos, temos:

A

B

A

B

A = B ( x ; x A x B ) (A B B A).Por exemplo, seja A = {x Z; 2x = 6} e B = {x N; x 2 x 6 = 0}. Observe que A = B , pois, somente x = 3 satisfaz as equaes 2x = 6 e x 2 x 6 = 0. Quando se tem A B , com A = e A = B , diz-se que A um subconjunto prprio de B , denotado por A B . Assim, para mostrar que A B , devemos mostrar primeiramente que A B e depois apresentar algum elemento x B tal que x A. OBSERVAES 1. A propriedade anti-simtrica constantemente usada quando se deseja mostrar que os conjuntos A e B so iguais, prova-se que A B e B A (todo elemento de A pertence a B e que todo elemento de B pertence a A). 2. A propriedade transitiva da incluso a base do raciocnio dedutivo. Por exemplo: Todo ser humano um animal, todo animal mortal. Logo, todo ser humano mortal. Isso pode ser formulado da seguinte maneira: Sejam H , A e M , respectivamente, os conjuntos dos seres humanos, dos animais e dos mortais. Temos H A e A M . Logo, H M . 3. Se a um elemento do conjunto A, a relao a A pode ser escrita sob forma {a} A. incorreto escrever a A e {a} A.

Seja A = {a, b, c , d } e B = {c , d , e , f }. A ilustrao a seguir uma representao desses conjuntos por diagramas de Venn.

A a b c d e f

B

importante observar que esses diagramas no servem como demonstrao de qualquer resultado, mas so utilizados para ajudar a visualizar melhor os recursos necessrios para efetuar uma demonstrao.

REUNIO, INTERSEO E DIFERENADados dois conjuntos A e B , a reunio (ou simplesmente unio) de A com B o conjunto A B (l-se A unido a B ), formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos; a interseo de A com B o conjunto A B (l-se A inter a B ), formado por todos os elementos que pertencem a A e a B . Em smbolos temos:

A B = {x ; x A x B } = {x ; x A ou x B }; A B = {x ; x A x B } = {x ; x A e x B }.

2



De acordo com essas denies, temos as seguintes equivalncias: x A B x A x B; x A B x A x B. A diferena A B dos conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos de A que no esto em B . Simbolicamente,

So importantes as seguintes propriedades: 1. 2. 3. 4.

A B = {x ; x A e x B }. /Por exemplo, 1. {a, b} {c , d } = {a, b, c , d } 2. {a, b, c , d } {c , d } = {a, b, c , d } 3. {a, b, c } {c , d , e } = {a, b, c , d , e } 4. {a, b} = {a, b} 5. {a, b, c } {b, c , d , e } = {b, c } 6. {a, b, c , d } {c , d } = {c , d } 7. {a, b} {c , d } = 8. {a, b} = 9. {a, b, c } {c , d } = {a, b} 10. {c , d } {a, b, c } = {d } 11. {a, b} {c , d } =

A (B C ) = (A B ) (A C ) (distributiva) A (B C ) = (A B ) (A C ) (distributiva) A (A B ) = A (lei da absoro) A (A B ) = A (lei da absoro)

Para enriquecer e aumentar seu conhecimento procure em referncias bibliogrcas as provas dessas propriedades. Vejamos um problema interessante comum em questes de vestibular. Numa turma de 8a srie de uma escola, constata-se que 27 alunos gostam matemtica, 33 gostam portugus e 15 adoram matemtica e portugus. Qual a quantidade de alunos que tm essa turma? Quantos alunos no gostam de matemtica? E de portugus? Para responder a esta pergunta, designemos por M e P , respectivamente, o conjunto dos alunos que gostam de matemtica e o conjunto dos alunos que gostam de portugus; por T o conjunto representando a turma, ou seja a unio de M com P . Assim, n(M ) = 27, n(P ) = 33, n(M P ) = 15 e T = M P . Como 27 gostam de matemtica, podemos concluir que 27 15 = 12 a quantidade de alunos que s gostam de matemtica, e que 33 15 = 18 a quantidade de alunos que s gostam de portugus. Portanto, 12 + 15 + 18 = 45 a quantidade de alunos nesta turma, 18 alunos no gostam de Matemtica e 12 alunos no gostam de portugus. No diagrama de Venn, temos:

COMPLEMENTARQuando se tem B A, chama-se o complementar de B em relao a A o conjunto A B , isto , o conjunto dos elementos de A que no esto em B . Simbolicamente, B = A B . A Note que B s denido quando B A. A Em geral, conjuntos sob vericao na Teoria dos Conjuntos so subconjuntos de um determinado conjunto tomado como referncia. Chamamos este de Conjunto Universo e o designamos pela letra U . Assim, o complemento do conjunto A, o complementar de A em relao ao universo U , que o conjunto dos elementos do universo que no esto em A, ou seja, a diferena U A. Denotamos por: AC ou A. Claramente, temos que: i. B B C = iii. C = U

M12(27 15)

P18 15(33 15)

T = M P , ento:n(T ) = = = 12 + 18 + 15 = 45 (12 + 15) + (18 + 15) 15 n(M ) + n(P ) n(M P )

Podemos concluir, portanto, que: O nmero de elementos da unio entre dois conjuntos A e B , nitos : n(A B ) = n(A) + n(B ) n(A B ).

ii. B B C = U PROPRIEDADES DA REUNIO

iv. U C =

DIFERENA SIMTRICAChama-se diferena simtrica AB (l-se A delta B) entre dois conjuntos A e B o conjunto formado pela diferena entre a unio e a interseo dos conjuntos A e B . Simbolicamente,

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, temos as seguintes propriedades. 1. 2. 3. 4. 5.

AB = (A B ) (A B ).Pode-se provar que

AU =U A A = A (idempotente) A = A (elemento neutro) A B = B A (comutativa) (A B ) C = A (B C ) (associativa)

AB = (A B ) (B A).Se A = {a, b, c , d } e B = {c , d , e , f , g }, ento A B = {a, b, c , d , e , f , g }, A B = {c , d } e AB = {a, b, e , f , g },


MATEMTICA3

Se A e B no tm elementos comuns (A B = ), diz-se que so conjuntos disjuntos. Nesse caso, a unio entre os conjuntos A e B denominada unio disjunta e denotamos AB ou A B .

PROPRIEDADES DA INTERSEO 1. 2. 3. 4. 5.

A= A A = A (idempotente) A U = A (elemento neutro) A B = B A (comutativa) (A B ) C = A (B C ) (associativa)


A4. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, analise as armaes:

MATEMTICA

ii. 1 B ;

i. 3 A;

iv. B A;

iii. A B ;

v. B = A; vi. 2 A B .

A10. Uma populao consome trs marcas de cervejas: A, B e S . Feita uma pesquisa de mercado nesta populao, colheram-se os dados registrados na tabela. O nmero de pessoas consultadas e o nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas so, respectivamente: Marca #Consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

A sequncia correta de valores lgicos : a VFFVFF b FVFVFF c VFVVFF dVVFVFF eVVVVFF a 61 e 257 b 257 e 84 c 61 e 257 d 500 e 84 e 500 e 257

A5. Atribua valor lgico s armaes: i. {a, a, a, b, b} = {a, b} = {b, a}; ii. {x ; x < 0 x > 0} = ; iii. {x ; x 0 x > 0} = ; iv. {1}; v. {1}; A sequncia correta de valores lgicos : a VFFVV b FVFVF c VFFVF dVVFVF eVVVVV

A B S AB B S AS AB S AB S

A11. Numa certa comunidade s existem indivduos de trs raas: branca, preta ou amarela. Sabendo que 70 so brancos, 350 so no pretos e 50% so amarelas. O nmero de indivduos dessa comunidade : a 60 b 200 c 412 d 500 e 560

A 12. Depois de n dias de frias, um estudante observa que: choveu 7 vezes, de manh ou tarde; quando chove de manh no chove tarde; houve 5 tardes sem chuva; houve 6 manhs sem chuva. O nmero de dias de frias : a6 b9 c 12 d 15 e 56

A 6. A soma dos nmeros de elementos de A B e de A B , dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} : a 10 b 12 c 13 d 42 e 192

A 13. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, So Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram tambm So Paulo. O nmero de estudantes que visitaram Manaus ou So Paulo : a 16 b 19 c 22 d 29 e 30

A7. Considere as armaes: i. n(A B ) = n(A) + n(B ) n(A B ), para quaisquer conjuntos A e B nitos. ii. n(A B C ) = n(A B ) + n(C ), para quaisquer conjuntos A, B e C nitos. iii. A(B C ) = (AB )(AC ) e A(B C ) = (AB )(AC ), para quaisquer que sejam A, B e C . A sequncia correta de valores lgicos : a VFF b FVF c VFF dVVV eVFV

PARTES E PARTIONo difcil de exemplicar conjuntos cujos elementos so tambm conjuntos. Por exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de um certo conjunto A. A m de evitar a expresso conjunto de conjuntos comum denominar-se de famlia de conjuntos (ou classe de conjuntos). Em geometria comum falar em famlia de linhas ou famlia de curvas, pois, as linhas e as curvas so constitudas por conjuntos de pontos. O conjunto {{2, 3}, {2}, {3, 4}} uma famlia de conjuntos. Seus elementos so os conjuntos {2, 3}, {2} e {3, 4}. Um conjunto pode ter alguns elementos que sejam conjuntos e outros no. Por exemplo, A = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}} no uma famlia de conjuntos. Observe que alguns elementos de A no so conjuntos. O conjunto das partes de um conjunto A, que notamos por P(A), o conjunto formado por todos os possveis subconjuntos de A. Em smbolos, P(A) = {X ; X A}. A partio de A, representado por Part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A, que satisfaz, simultaneamente, s seguintes condies: 1. Nenhum dos elementos de Part(A) o conjunto vazio; 2. A interseo de quaisquer dois elementos de Part(A) o conjunto vazio.

A8. Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y . Sabese que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X , 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. O nmero de pessoas que no comeram X e nem Y foi: a0 b1 c2 d3 e4

A 9. Numa escola que tem 415 alunos, 221 so apaixonados por geometria, 163 so apaixonados por lgica e 52 so apaixonados por ambas as disciplinas. O nmero de alunos que so apaixonados por geometria ou lgica e que no so apaixonados por nenhuma dessas disciplinas so, respectivamente: a 10 e 20 b 33 e 12 c 332 e 83 d 332 e 12 e 33 e 83

4



3. A unio de todos os elementos de Part(A) igual ao conjunto A. Sejam os conjuntos A = {a}, B = {m, n} e C = {x , y , z }, ento: 1. P(A) = {, {a}}, n(A) = 1, n(P(A)) = 2 = 21 2. P(B ) = {, {m}, {n}, {m, n}}, n(B ) = 2, n(P(B )) = 4 = 22 3. Part(B ) = {{m}, {n}} 4. Part(C ) = {{x }, {y , z }}. {{y }, {x , z }} Outra partio para C

a {1, 6}

b {1, 2, 5, 6} c {3, 5, 6}

d {1, 6, 7, 8} e {2, 3, 7, 8}

6 (UNEB 2001). Analisando-se a delegao olmpica de um determinado pas nas Olimpadas, em Atlanta-1996 e em Sydney2000, observou-se que, em Atlanta, a delegao tinha 255 atletas, dos quais 20% eram mulheres; em Sydney, a delegao foi reduzida em 1/3 em relao de Atlanta, e o nmero de mulheres dobrou. Assim sendo, pode-se concluir que o percentual de homens na delegao de Sydney correspondeu a: a 30% b 40% c 50% d 60% e 70%

A cardinalidade k do conjunto das partes de A 2k , ou seja, n(A) = k n(P(A)) = 2k . claro que um dado conjunto pode possuir mais de uma partio. A14. Seja A = {r , s , t }. O conjunto P(A) : a {, r , s , t } b {} d {{r }, {s }, {t }, {r , s }, {r , t }, {s , t }, A} e {, {r }, {s }, {t }, {r , s }, {r , t }, {s , t }, A} A15. Julgue as proposies a seguir: i. A B sempre subconjunto de A e de B ii. (A B ) A iii. (A B ) B = iv. A B = B A v. Se um conjunto A possui 1.024 subconjuntos, ento qual a cardinalidade de A 10 A sequncia correta de valores lgicos : a VFFVV b FVFVF c VFFVF dVVVFV eVVVVV

c {, r }

7 (UNEB 2005). Devido concorrncia de casos de raiva, a Secretaria de Sade de um municpio promoveu uma campanha de vacinao de ces e gatos. Em um bairro desse municpio, foram vacinados, durante a campanha, 0, 9 dos ces e 0, 7 dos gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados, 0, 82 dos ces e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o nmero de ces corresponde: a a um tero do nmero de gatos b a metade do nmero de gatos c a dois teros do nmero de gatos d a trs meios do nmero de gatos e ao dobro do nmero de gatos 8 (UFBA 2001). Numa academia de ginstica que oferece vrias opes de atividades fsicas, foi feita uma pesquisa para saber o nmero de pessoas matriculadas em alongamento(A), hidroginstica(H) e musculao(M), chegando-se ao resultado na tabela a seguir:Atividade Nmero de pessoas matriculadas A 109 H 203 M 162 AeH 25 AeM 28 HeM 41 As 3 5 Outras 115

Com base nessas informaes, pode-se concluir: (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento

VESTIBULARES1 (UESB 2000). Sejam os conjuntos A = {x Z; |x 2| 3} e B = {x Z; x 2 4}. Ento A B igual a: a bA cB d {3, 4, 5} e {1, 2, 3, 5} 2 (UESB 2002). Dados os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5} e C = {3, 4, 5, 6, 7}, o nmero de subconjuntos do conjunto (A B ) C : a1 b2 c4 d8 e 16 3 (UESC 2001). Num grupo de estudantes, vericou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B ; 270, o romance B ; 80, os dois romances A e B ; e 340 no leram o romance A. O nmero de estudantes desse grupo igual a: a 380 b 430 c 480 d 540 e 610

(04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculao (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela (16) o nmero de pessoas matriculadas apenas em hidroginstica corresponde a 28, 4 do total de pessoas envolvidas na pesquisa.

4 (UESC 2004-adaptada). Considere os conjuntos A = {n N ; mdc(n, 3) = 1}, B = {n N ; mdc(n, 5) = 5} e C = {n N ; n 60}. O nmero de elementos do conjunto C (A B ) : a8 b 32 c 40 d 52 e 60


MATEMTICA5

5 (UESC 2000). Seja A eB subconjuntos de U = {x (AB ) (AB ) N , x < 9}. Se B = {1, 3, 4, 6}, U = {7, 8} e U = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, ento A igual a:


MATEMTICA

CONJUNTOS NUMRICOSOS NMEROS NATURAISLentamente, medida em que se civilizava, a humanidade apoderou-se desse modelo de contagem (um, dois, trs, quatro, . . . ) que so os nmeros naturais: {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Como esses nmeros surgiram da necessidade de contagem dos elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero (0) no seria um nmero natural. Por volta do ano 458d .C ., o zero foi introduzido pelos hindus, para representar a coluna vazia dos bacos, da sua denominao original de sunya (vazio). No so apenas as condies da vida social que inuem no conhecimento dos nmeros naturais; atuam neles tambm condies humanas individuais. Em primeiro lugar, a maneira como a contagem se faz; para pequenas colees de objetos, habitual contar-se pelos dedos, e este fato teve grande inuncia no aparecimento dos nmeros; no verdade que o nome dgito, que designa os nmeros naturais de 1 a 9, vem do latim digitus que signica dedo? Mas h mais: a base do nosso sistema de numerao 10, nmero de dedos das duas mos. Nos povos primitivos de hoje, essa inuncia to grande que, em certos nomes de nmeros, guram partes do corpo humano; alguns dizem duas mos em vez de 10, um homem completo em vez de 20 (signicando que, depois de esgotar od dedos das mos, se conta com os ps), etc. Praticamente, todos os livros de Matemtica usados nas escolas brasileiras consideram o 0 como um nmero natural, do fato que o zero atende s propriedades bsicas dos nmeros deste conjunto. Adotaremos 0 (zero) como sendo um nmero natural, ou seja, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}, denindo-se um outro conjunto sem o zero: N = N {0} = {1, 2, 3, 4, . . .}, pois, esta forma de abordagem a mais usual. Para todo nmero natural n, denimos o sucessor de n, indicado por suc(n), como sendo suc(n) = n + 1. Por exemplo, suc(30) = 30 + 1 = 31. Para o conjunto dos nmeros naturais, portanto, no h nmero maior que os outros. Este fato exprime-se por qualquer dos seguintes enunciados, equivalentes: 1. a sucesso dos nmeros naturais ilimitada; 2. dado um nmero natural, por maior que seja, existe sempre outro maior; 3. h uma innidade de nmeros naturais. Assim, camos porta do domnio do innito. Duas operaes satisfazem a propriedade de fechamento: a adio (+) e a multiplicao (), ou seja, dados dois nmeros naturais quaisquer, a soma e o produto entre eles outro nmero natural, e uma relao de ordem menor do que ( |b|, a Z, b Z . b 4. Fraes aparentes: so fraes do tipo a , a Z, b Z , c , a = bc . b 5. Fraes decimais: so fraes do tipo a , a Z, n N. 10n 6. Fraes irredutveis: so fraes do tipo a , a Z, b Z , mdc(a, b) = 1. b a ou seja, uma frao irredutvel quando o divisor comum b de a e de b for 1. As fraes irredutveis so a forma mais simples de apresentar uma frao.

Se uma caneta foi comprada por R $20, 00 e revendida por R $25, 00, o lucro obtido foi de R $5, 00. A taxa percentual de lucro 5 500 100% = % = 25. 20 20 A19. A percentagem que representa 360 de 1.500 : a 12% b 15% c 20% d 24% e 30%

A20 (FTC 2005.1). Para atrair clientes, uma loja resolve fazer uma promoo, dando desconto de 15% para compras entre R $900, 00 e R $1.800, 00, o que no aumentou o volume de vendas. Resolveu ento aumentar em 10% o desconto j anunciado. Com base nessa informao, uma compra no valor de R $1.600, 00 teve um desconto, em reais de: a 400 b 424 c 264 d 250 e 240

A 21. Em um ms tpico, 50% dos OVNIS observados nas vizi1 das restantes nhanas de Braslia so atribudos a avies e 3 observaes de OVNIS atribudo a bales atmosfricos. Se durante um ms tpico, 108 OVNIS foram observados, a quantidade destas aparies que so atribudas a bales atmosfricos : a 40 b 42 c 26 d 24 e 18

OPERAES NOS RACIONAISADIO

a Dados dois nmeros racionais, de mesmo denominador, x = e b c y = , ento b c a+c a . x +y = + = b b bSe os dois nmeros x e y no tem o mesmo denominador, podem reduzir-se previamente ao mesmo denominador. Tem-se ento, a c dados x = e y = que b d

FRAES E OS NMEROS DECIMAISSe uma frao tiver denominador igual a um mltiplo de 10, ela pode ser escrita na forma de um nmero decimal exato. Para tanto, devemos deslocar a vrgula do nmero que est no numerador para a esquerda tantas vezes quanto for o nmero de zeros do mltiplo de dez que est no denominador (lembre-se de que a vrgula sempre se situa direita do ltimo algarismo do nmero inicial). Por exemplo: i. 4 100 = 4 = 0, 04 100 ii. 235 = 0, 235 1.000

x=donde

ad cb ey = bd d b a c ad + bc + = . b d bd

x +y =O elemento oposto

a a de , tem a seguinte propriedade: b b

Um nmero, ao ser dividido por 0, 1, 0, 01, 0, 001, 0, 0001, etc., tem sua representao decimal exata obtida ao descolar a vrgula desse nmero para a direita um nmero de casas igual quantidade de zeros no divisor. Por exemplo: i. 4 0, 01 == 400 ii. 23 = 23.000 0, 001

a a a = = , a Z, b Z . b b b

A partir dessa observao podemos denir a subtrao entre dois nmeros racionais:

c a c ad bc a = + = , a, c Z, b, d Z . b d b d bdPor exemplo: 1. 2 3+2 5 3 + = = 7 7 7 7

Para representar um nmero racional dado na sua forma decimal na forma de frao, basta executar o caminho inverso do mencionado em cada caso acima. Por exemplo: i. 0, 07 == 7 100 ii. 1, 325 = 1.325 1.000


MATEMTICA9

a e os nmeros racionais o conjunto: b a ; a, b Z e b = 0 . Q= b

PERCENTUALQuando a representao de um nmero racional for feita por uma frao com denominador igual ao nmero cem, este pode ser expresso na forma percentual que indicado pelo smbolo %, ou 3 3 20 60 b = b%. Por exemplo, = = = seja, a Q, a = 100 5 5 20 100 60%.


2.

3 2 32 1 = = 7 7 7 7 2 35 27 15 + 14 29 3 + = + = = 7 5 75 57 75 35 3 2 35 27 15 14 1 = = = 7 5 75 57 75 35

Por exemplo: 2 3 5 35 15 3 = = = . 7 5 7 2 72 14 Para dividir dois racionais expressos na sua forma decimal, devemos igualar o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor (acrescente zeros se necessrio), e ao abandonar a vrgula, divida normalmente. Por exemplo, 3 0, 015 = 3, 000 0, 015 = 3.000 15 = 200. A22. O valor da expresso a 278 315 139 315 5 3 2 6 7 5 d 175 315 4 : 3

MATEMTICA

3. 4.

Se os nmeros so decimais exatos, expresse-os sob a forma de frao e aplique o que foi visto para a adio de fraes ou iguale a quantidade de casas decimais de todos os nmeros, reescrevendo-os um sob o outro, mantendo a vrgula sob vrgula. Por exemplo, para determinar o valor de 36, 875 132, 6, escrevemos: 132 , 600 36 , 875 95 , 725 Portanto, 36, 875 132, 6 = 95, 725. MULTIPLICAO Para multiplicar uma frao

b

c 139 210

e 175 210

REPRESENTAO DECIMAL Qualquer nmero racional pode ser escrito na forma decimal. Mas existem nmeros decimais que no podem ser escritos em forma de nmeros racionais (veremos isso mais adiante). Para isso, basta dividir o numerador pelo inteiro denominador. Nessa diviso, podem ocorrer dois casos: 1. O nmero decimal tem uma quantidade nita de algarismos diferentes de zero, isto , uma decimal exata. Por exemplo: 3 = 3; 1 1 = 0, 05; 20 13 = 0, 013. 1000

a por um inteiro n, temos: b

a a + a + ... + a a a na a n = + + ... + = = . b b b b b bPara multiplicar duas fraes devemos multiplicar o numerador da primeira frao pelo numerador da segunda e multiplicar o denominador da primeira frao pelo denominador da segunda, como a seguir: a b ab = c d c d desde que c e d sejam diferentes de zero. Por exemplo: 32 6 3 2 = = . 7 5 75 35 Caso os nmeros estejam representados em sua forma decimal, multiplique normalmente os nmeros colocando, em seguida, a vrgula numa posio onde o nmero de casas decimais do produto seja igual a soma do nmero de casas decimais dos fatores. Por exemplo, para calcular 2, 17 1, 3. O produto 217 13 = 2.821. Como a soma do nmero de casas decimais dos fatores 2 + 1 = 3, temos que 2, 17 1, 3 = 2, 821. Lembre-se, tambm, que para efetuar esta operao voc pode representar todos os nmeros envolvidos em forma de frao e operar conforme visto.

n

n

2. O nmero decimal tem uma quantidade innita de algarismos que se repetem periodicamente, isto , uma dzima peridica. Por exemplo: 2 3 6 11 = = 0, 666 . . . = 0, 3 0, 5454 . . . = 0, 54 (perodo 3) (perodo 54)

Assim, dado um nmero, decidimos se ou no racional, se for a possvel representa-lo sob a forma , pois, os nmeros racionais b so caracterizados por poderem ser representados sob a forma de frao. Vejamos alguns exemplos de como fazer isso. 1. Decimal exata 0, 05 2, 24 0, 52 = = = 5 1 = , 100 20 224 56 = , 100 25 13 52 = . 100 25

DIVISO O simtrico multiplicativo ou inverso de uma nmero x = outro y tal que x y = y x = 1 e denotado por x 1

a Q b b = . a

2. Dzima peridica 0, 333 . . . = 1 , pois, 3 = = 0, 33333 . . . 3, 33333 . . . 1 3 = . 9 3

5 2 5 2 52 Se x = , ento x 1 = pois x x 1 = = = 1. 2 5 2 5 25 Para dividir duas fraes devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, como a seguir: Logo,

x 10x

a a d a b ad = c = = , b c d c b cb ddesde que c e d sejam diferentes de zero.

10x x = 3 x = 0, 285714285714 . . . =

2 , pois, 7

x 1.000.000x

= =

0, 285714285714 . . . 285.714, 285714285714 . . .

10



Logo, 1.000.000x x = 285.714 x = 1, 83333 . . . = 11 , pois, 6 = = = 1, 83333 . . . 18, 33333 . . . 183, 33333 . . . 11 165 = . 90 6 285.714 2 = . 999.999 7

Observe que os nmeros racionais tm representao decimal nita ou innita peridica, mas os nmeros irracionais no. Sabemos que os nmeros racionais so fechados em relao s quatro operaes: adio, subtrao, multiplicao e diviso (exceto por zero). No entanto, isso no acontece com os nmeros irracionais. Se x um nmero irracional qualquer e q um nmero racional diferente de zero, ento, a adio, a subtrao, a multiplicao e a diviso de x por q resultam em nmeros irracionais. Tambm, x e x 1 so irracionais. Assim, os nmeros 2 5 1 2, , 2 + 5, 3 2 2, , 7 2 2

x 10x 100xLogo,

100x 10x = 165 x =

so irracionais. Os nmeros 3 e 3 so nmeros irracionais, no entanto, 3 + 3 = 0 no um nmero irracional. Analogamente, podemos exibir exemplos para vericar que os nmeros irracionais no so fechados em relao s outras operaes: subtrao, multiplicao e diviso, como citamos.

OS NMEROS IRRACIONAISOs gregos descobriram que nem todos os segmentos podiam ser medidos por um nmero inteiro positivo ou por uma frao entre nmeros inteiros, fato esse conhecido como a descoberta do 2 pelos pitagricos no sculo V , a.C. Consideremos um tringulo retngulo e issceles, cujos catetos sejam iguais a 1. Segundo o Teorema de Pitgoras, aplica-se a relao: d 2 = 12 + 12 = 2, em que d indica o comprimento da hipotenusa deste tringulo e satisfaz a igualdade d 2 = 2.1

UMA RAZO IMPORTANTE Os egpcios trabalhavam muito com razes especiais e descobriram a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro. Este um fato fundamental, pois, esta razo a mesma para toda circunferncia. O nome desta razo e seu valor , aproximadamente, 3, 1415926535. Em outras palavras, se C o comprimento da circunferncia e D a medida do dimetro da circunferncia, ento: =

d

1

C = 3, 1415926535897932384626433832 . . . D D o raio da 2

O nmero d que satisfaz esta equao denominado raiz qua drada de 2 e o representamos por 2. evidente que a hipotenusa possui um determinado comprimento, conforme se pode observar na gura, mas era simplesmente impossvel achar o nmero que pudesse ser associado 3 grande ao exato comprimento expresso por 2. O valor 2 2 9 3 7 demais, pois, = > 2 e um pouco menor, pois, 2 4 5 2 7 49 < 2. = 5 25 De qualquer maneira que se busque um nmero racional para re presentar 2, encontra-se apenas valores aproximados, que ora excedem o valor real, ora permanecem inferiores a ele, sempre por uma pequena diferena. Pode-se provar que 2 no um nmero racional. Geralmente, a um nmero no racional, se a = b2 , com b Q. Dene-se o conjunto dos nmeros irracionais, denotado por Q , como sendo o conjunto dos nmeros que no podem ser reprea sentados na forma , a Z e b Z . Os nmeros b 2 = 1, 4142135623730950488016887242097 . . . 3 = 1, 7320508075688772935274463415059 . . . 3 11 = 1, 2009369551760027266754653873495 . . . = 3, 1415926535897932384626433832795 . . . e = 2, 718281828 . . . so exemplos de nmeros que no podem ser escritos sob a forma de frao. Dois famosos nmeros irracionais so e e , em que (pi) dado pela diviso entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro e e a base dos logaritmos naturais ou neperianos.

signicando que C = D = 2 r , em que r = circunferncia.

OS NMEROS REAISO conjunto dos nmeros reais R formado pela unio entre os conjuntos dos racionais e o dos irracionais, isto , R = Q Q . Uma das mais importantes propriedades dos nmeros reais poder represent-los numa reta. Assim, na gura a seguir, escolhemos um ponto, chamado de origem, para representar o 0 (zero), e um outro ponto, geralmente direita, para representar 1. 2 |

| 3

| 2

| 1

| 0

| 1

| 2

e | || 3

Estabelece-se, assim, um sistema natural relacionando os pontos na linha e os nmeros reais, isto , cada ponto representar um nico nmero real e cada nmero ser representado por um nico ponto. A esta reta nos referimos como a reta real, ou reta numrica. Consequentemente, podemos usar as palavras ponto e nmero indistintamente. Os nmeros direita de 0 (semi-reta positiva) so chamados de nmeros positivos e os nmeros esquerda de 0 (semi-reta negativa) de nmeros negativos. O nmero 0 no positivo, nem negativo.


11

MATEMTICA


PROPRIEDADES DOS REAIS

2. Transitividade: para quaisquer nmeros reais a, b e c ,

MATEMTICA

Observemos que o conjunto dos nmeros reais R satisfaz a propriedade do fechamento para a adio e para a multiplicao, isto , se a, b R, existe um nico nmero real denotado por a + b (chamado soma), e existe um nico nmero real denotado por a b (ou ab, chamado produto). O conjunto dos nmeros reais possui, em relao s operaes da adio (+) e da multiplicao (), as seguintes propriedades:

a < b e b < c a < c;3. Monotonicidade da adio: para quaisquer nmeros reais a, b e c, a < b a + c < b + c; 4. Monotonicidade da multiplicao: para quaisquer nmeros reais a, b e c ,

P1 . Comutativa: a + b = b + a e a b = b a, a, b R; P2 . Associativa: (a + b) + c = a + (b + c ) e (a b) c = a (b c ), a, b, c R; P3 . Distributiva: (a + b) c = a +b c ) e a (b + c ) = a b + a c , a, b, c R; P4 . Existncia do elemento neutro: existem dois nmeros reais 0 e 1 tais que a + 0 = a e a 1 = a, a R.O nmero 0 o elemento neutro da adio e o 1, o elemento neutro da multiplicao;

a < b ac < bc , c > 0; a < b ac > bc , c < 0;5. Para quaisquer nmeros reais a, b e c ,

a < b e c < d a + c < b + d;6. Para quaisquer nmeros reais a, b e c , 0 < a < b e 0 < c < d a c < b d; Vejamos um breve comentrio a respeito das propriedades vistas acima, bastante teis nas resolues de inequaes. A propriedade (1) nos diz que, para quaisquer dois nmeros reais, sempre possvel relacion-los. Nas propriedades dadas em (2)(4), podemos, tambm, escrever para os sinais >, e . A propriedade (3) nos diz que, somando qualquer nmero positivo, negativo ou zero em ambos os membros, a desigualdade permanece inalterada. Assim, por exemplo, sabemos que 3 < 5 e somando 3 em ambos os membros, temos 3 + 3 < 5 + 3, isto , 0 < 8;. Novamente, se somarmos 4, camos com 3 + (4) < 5 + (4), isto , 7 < 1. A propriedade (4) nos diz que o sinal de desigualdade permanece inalterado quando se multiplicam ambos os membros da desigualdade por um nmero positivo e que muda de menor do que para maior do que ou de maior do que para menor do que quando se multiplica por um nmero negativo. Outras propriedades dos nmeros reais: sejam a, b, c R, ento:

P5 . Existncia do oposto: para qualquer a R, existe um nmero b R, chamado oposto (simtrico ou inverso aditivo) de a, tal que a + b = 0. Denotamos b = a; P6 . Existncia do inverso multiplicativo: para qualquer a R , existe um nmero b R, chamado inverso multiplicativo de 1 a, tal que a b = 1. Denotamos b = a1 = . aUsando as propriedades acima, denimos a subtrao e a diviso entre nmeros reais. Dados a, b R, a subtrao entre a e b, denotada por a b, denida por a b = a + (b), e dados a a R, b R , a diviso entre a e b, denotada por (ou a b), b a 1 denida por = a b1 = a . b b : RR (a, b) : R R R a b := a + (b) (a, b) R

RELAO DE ORDEM

1 a b := a 1. b 2. 3. 4. 5.

ab = 0 a = 0 b = 0; a < 0 b < 0 ab > 0; a > 0 b < 0 ab < 0; ab = ac a = 0 b = c ; a = 0 a2 = a a > 0.

Dados dois nmeros reais a e b, com a = b, dizemos que a A23. A sequncia correta dos valores lgicos para as proposies maior do que b quando a est colocado direita de b na reta real, a seguir : e denotamos a > b. De forma equivalente, podemos dizer que

a > b a b > 0,isto , a diferena entre a e b positiva. Analogamente, dizemos que a menor do que b, se a est colocado esquerda de b na reta real, e denotamos por a < b. De forma equivalente, podemos dizer que

i. 0 N ii. (2 3) N iii. 0, 474747 . . . Q iv. 3 Q a VVVV b VFFF c VFVV d FVFF eFFFV

a < b a b < 0,isto , a diferena entre a e b negativa. A relao de ordem possui propriedades importantes. So elas: 1. Lei da Tricotomia: para quaisquer nmeros reais a e b, vale apenas uma e somente uma:

A24. A sequncia correta dos valores lgicos para as proposies a seguir : 2 QZ 7

aboua = b;i.12Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para Todosii.21 irredutvel 14MDULO DE UM NMERO REALiii. N Z = Z iv. N Z a VVVV b VFFF c VFVV dFVFF eFFFVa b = 3 4 = 5 e b a = 2 (3) = 5.Portanto, a distncia entre 3 e 2 5, mesmo que a diferena entre eles seja 5 ou 5, isto , | 5| = | + 5| = 5. Dizemos, assim, que 5 o valor absoluto ou mdulo de 5 ou 5. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4INTERVALOSSejam a e b nmeros reais com a b. Os subconjuntos abaixo denidos so chamados de intervalos: [a, b] = {x R; a x b} ]a, b[= {x R; a < x < b} [a, b[= {x R; a x < b} ]a, b] = {x R; a < x b} ]a, [= {x R; x > a} [a, [= {x R; x a} ] , b[= {x R; x < b} ] , b] = {x R; x b}a a a a a ab b b b|a | = Em geral, o mdulo ou valor absoluto de qualquer nmero real denido a seguir: Seja a um nmero real. Denimos o mdulo ou valor absoluto de a, denotado por |a|, da seguinte formaa, 0, a ,a>0 a=0 a 0; vi. |x | a x a ou x a, em que a > 0. A propriedade V pode ser interpretada, signicando que a distncia entre x e a origem menor do que a, isto , deve estar entre a e a na reta real. comum encontrar equaes e inequaes modulares, ou seja, que envolvam mdulo. Estudaremos essas mais adiante. No entanto, vale chamar a ateno de dois casos bem simples. Suponha que x 2 = 3. Geometricamente, signica que o nmero x est a uma distncia 3 do nmero 2. Logo, devemos ter x = 5 (se x estiver direita de 2) ou x = 1 (se x estiver esquerda de 2). Se, ao invs da igualdade, tivssemos a desigualdade |x a| < k , com k > 0, ento a distncia de x ao ponto a seria menor do que k . Logo, x deve estar entre a k e a + k . A25. A sequncia correta dos valores lgicos para as proposies a seguir : i. Z Q Q ii. x R; |x | < 0 iii. x {1, 0, 1, 2, 3}, y Z; y = iv. x Q x Q INTERSEO, UNIO E PROPRIEDADES 1. A interseo de dois intervalos no degenerados vazia, ou um outro intervalo, ou um ponto (intervalo degenerado); 2. A unio entre dois intervalos no degenerados e no disjuntos, um outro intervalo contendo cada um desses intervalos; Dado os intervalos A = [0, 3[ e B =]1, 4], observe, pela gura, que A B = [0, 4] e A B =]1, 3[. 0 1 3 4A B AB ABx +1 xSecretaria da Educao do Estado da Bahia13MATEMTICASejam a e b dois nmeros reais distintos, ou seja, a = b. A diferena entre a e b, a b pode ser positiva se a > b, ou negativa se a < b. Em relao reta real, essa diferena a distncia entre a e b, e sempre considerada como positiva, isto , o valor absoluto, mesmo que a diferena entre os nmeros que a representam seja negativa. Mais explicitamente, quando a = 3 e b = 2, temos:MDULO IPrograma Universidade para Todosa VVVVMATEMTICAb VFFF c VFVVdFVFF eFFFVRADICIAOA radiciao a operao inversa da potenciao. Quando es crevemos n a (a o radicando; o smbolo de radical e n o ndice da raiz) estamos interessados em descobrir o nmero b que elevado a n seja igual a a, ou seja, n a = b bn = a, n N. 3 Por exemplo, 64 = 4, pois 43 = 64 e 100 = 10, pois 102 = 100. O ndice da raiz no precisa ser escrito quando for o nmero dois!A 26. A inequao simultnea 7 < 2x + 3 < 5 equivalente a: a3 0. Se = 0 a equao ax 2 + bx + c = 0 tem uma raiz real dupla e se a > 0, temos que ax 2 + bx + c > 0 para valores menores e maiores que o da raiz. se a < 0, temos que ax 2 + bx + c < 0 para valores menores e maiores que o da raiz. Se < 0 a equao ax 2 + bx + c = 0 no tem raiz real e se a > 0, temos que ax 2 + bx + c > 0 para quaisquer valores reais. se a < 0, temos que ax 2 + bx + c < 0 para quaisquer valores reais. Resumidamente, temos:Como x1 + x2 = b c e x1 x2 = , temos: a a= = = =ax 2 + bx + ca[x 2 (x1 + x2 ) x + x1 x2 ] a (x 2 x1 x x2 x + x1 x2 ) a [x (x x1 ) x2 (x x1 )] a (x x1 ) (x x2 )Portanto,ax 2 + bx + c = a (x x1 ) (x x2 ),em que b + x1 =b2 4ac b b2 4ac e x2 = 2a 2aso as razes da equao ax 2 + bx + c = 0. Para a equao 3x 2 + x 14 = 0, temos = 12 4 3 (14) = 169. Portanto,x1 x2= = 1 + 169 =2 2 3 7 1 169 = 23 3Logo, a forma fatorada de 3x 2 + x 14 7 3x 2 + x 14 = 3(x 2) x 3 = (x 2) (3x + 7) .Para ax 2 + bx + c > 0A 70. O valor de p , para que x 2 4x + p 6 = 0 possua duas razes reais iguais : a3 b4 c5 d 10 e 20a>00x R x R {x1 } x {x R; x < x1 ou x > x2 }Para ax 2 + bx + c < 0A71. Os valores de m, para os quais x 2 6x + m 3 = 0 possua duas razes reais distintas so: am 10 e m > 12a x2 }A 72. O valor de k para que o produto das razes da equao 2x 2 3x + k 2 = 0 seja igual a 1 : a4 b5 c 211 d1 e0Para que valores reais temos x 2 2x + 2 > 0? Como = (2)2 4 1 2 = 4 < 0, o trinmio x 2 2x + 2 no possui razes reais. Como a > 0, temos que a soluo S = R. Isto quer dizer, que para qualquer valor de x , o trinmio sempre ser maior do que zero. Para que valores reais temos x 2 2x + 1 0? Como o discriminante = (2)2 4 1 1 = 0, temos uma (2) b raiz dupla, a saber x = = = 1. Neste caso, como 2a 2 a = 1 > 0, temos, conforme o quadro acima, que x 2 2x + 1 0 somente para x = 1, que justamente quando x 2 2x + 1 = 0. Conclumos que S = {1}. Para que valores reais temos 2x 2 + 3x + 2 0?A 73. O valor de m para que a soma das razes da equao 4x 2 mx + 2 = 0 seja 5 : a1 b2 c4 d 10 e 20A74. O conjunto de valores de x para os quais o trinmio x 2 + 3x 4 negativo : a R bR c dx 2Secretaria da Educao do Estado da Bahia23MATEMTICASe a = 0, as inequaesMDULO IPrograma Universidade para TodosComo o discriminante = 32 4 (2) 2 = 25, teremos duas razes reais distintas, que so:VESTIBULARES9 (UFRB 2009). Uma microempresa tem seu quadro de funcionrios composto por vinte e um operrios, dois supervisores e um gerente. Cada supervisor e o gerente tm salrio, respectivamente, 40% e 75% maior que cada operrio. Com base nessas informaes, pode-se armar: (01) O salrio do gerente o dobro do salrio de um supervisor.MATEMTICAx1 x2= = 3 + 25 3 + 5 1 = = 2 (2) 4 2 3 25 3 5 = =2 2 (2) 4Note ainda que a = 2 < 0. Logo, recorrendo ao quadro, temos 1 2x 2 + 3x + 2 0 quando x estiver entre e 2, e inclusive 2 eles, escrevemosS= x R;1 x 2 2.(02) Se, em 4 dias, trabalhando 8 horas por dia, 9 operrios fabricam k peas, ento 8 operrios, trabalhando 6 horas por dia, fabricaro em 6 dias, nas mesmas condies, o mesmo nmero de peas. (04) Aplicando-se 1 do salrio de um operrio a uma taxa de 3 juros simples de 2% ao ms, ao nal de 2 anos, o montante da aplicao equivaler a um salrio de supervisor.Para encontrar a soluo em R da inequao (x x 2) (x + 4x 3) > 0 devemos observar que o produto de dois fatores maior do que zero se so ambos positivos ou ambos negativos. Assim, temos dois casos a analisar: (A) x 2 x 2 > 0 e x 2 + 4x 3 > 0 (B)2 2(08) Dividindo-se R $51.100, 00 entre todos os funcionrios da empresa, na mesma proporo dos salrios, cada supervisor dever receber um valor superior a R $2.500, 00. (16) Para executar um trabalho extra, o gerente precisa formar uma equipe composta por 1 supervisor e 3 operrios quaisquer, escolhidos dentre os funcionrios da empresa e, sendo assim, o nmero mximo de equipes distintas que podem ser formadas igual a 2.660. 10 (UFBA 2005). Sobre nmeros reais, correto armar: (01) Se x e y so positivos, ento x < y , x > 1 e y > 1. x2x 2 0, x1 = 1 e x2 = 2 S1 = (, 1) (2, +)x 2 + 4x 3 > 0x2 x 2 > 0(02) Se x e y so nmeros racionais que representam, respectivamente, a medida do raio da base e a altura de um cilindro circular reto, expressos em u.c., ento o volume do cilindro, expresso em u.v., um nmero irracional. (04) Se x e y so inteiros positivos mpares consecutivos e xy = 1.295, ento x e y so nmeros primos. (08) Para cada n N , 2(n+5) 3 um nmero primo. (16) Se a > 0, ento a equao x 4 a2 = 0 possui, no mximo, duas solues reais distintas. 11 (UFBA 2010). Sobre nmeros reais, correto armar: = 4, a = 1 < 0, x1 = 1 e x2 = 3 S2 = (1, 3)SA = S1 S2 = (2, 3)Caso B: = 9, a = 1 > 0, x1 = 1 e x2 = 2 S3 = (1, 2)x 2 + 4x 3 < 0x2 x 2 < 0(01) Se m um inteiro divisvel por 3 e n um inteiro divisvel por 5, ento m + n divisvel por 15. (02) O quadrado de um inteiro divisvel por 7 tambm divisvel por 7. (04) Se o resto da diviso de um inteiro n por 3 mpar, ento n mpar. (08) Se x e y so nmeros reais positivos, ento existe um nmero natural n tal que n > y /x . (16) Se x um nmero real positivo, ento x 2 > x . (32) O produto de dois nmeros irracionais distintos um nmero irracional. 12 (UFBA 2007). Sobre nmeros reais, correto armar: (01) Se a o maior nmero de trs algarismos divisvel por 7, ento a soma de seus algarismos igual a 22. (02) Se a um mltiplo de 3 e b um mltiplo de 4, ento a b mltiplo de 6. = 4, a = 1 < 0, x1 = 1 e x2 = 3 S4 = (, 1) (3, +)SB = S3 S4 = (1, 1) .Portanto,S = SA SB = {x R; 1 < x < 1 ou 2 < x < 3}.A soluo de uma inequao quociente obtida de forma anloga. No entanto, deve-se tomar muito cuidado com a condio de existncia da razo, uma vez que o divisor, necessariamente, dever ser diferente de zero.24Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para Todos(04) Se c = a + b e b divisor de a, ento c mltiplo de a. (08) Se a e b so nmeros reais tais que |a| b, ento b positivo. (16) Para quaisquer nmeros reais a e b, |a b| |a + b|. (32) Dados quaisquer nmeros reais a, b e c , se a b, ento a c b c. 13 (UFBA 2004-adaptada). Sobre nmeros reais, verdade armar: (01) Se x = 0, 666 . . ., y = 1, 333 . . . e z = 12, 444 . . ., ento z = 6, 222 . . . x ya6b7c 11d 13e 1619 (UESB 2000). H cinco anos a idade do pai era o quntuplo da idade do lho. Se hoje o produto das idades trezentos, ento eles tm, em anos, juntos: a 30 b 40 c 56 d 60 e 68 (02) O valor da expresso 3 (5 2 6)(5 + 2 6) um nmero irracional. (04) Se x < 0, ento x 2 = x .(08) Dividindo-se o nmero 34 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 5, obtm-se os valores x , y e z , respectivamente, tais que 3y z = 5x . (16) A equao (x 1)2 = x 1 possui duas razes distintas. 14 (UFBA 2005-adaptada). Sobre nmeros reais correto armar: (01) Se x e y so positivos, ento x < y , x > 1 e y > 1. 20 (UESB 2003). De uma dvida no valor de D reais, foi paga a quarta parte do total no primeiro ms e a quinta parte do restante, no segundo ms. Do que sobrou, a tera parte foi paga no terceiro ms. No quarto, a dvida foi liquidada com um pagamento de R $800, 00. O valor de D , em reais, era: a 2.200 b 2.000 c 1.800 d 1.600 e 1.40021 (UESB 2001). Se x e y so nmeros reais positivos tais que x 2 xy x +y x = y , ento a expresso 2 igual a: x y x y + xy 2 a0 bx c x +y d xy e x 2y 22 (UESB 2002). Se x = 0, 5 103 e y = 0, 04 102 , o valor da x x (x + y ) um nmero compreendido entre: expresso y y a 10 e 50 b 1e5 c 0, 1 e 0, 5 d 0, 01 e 0, 05 e 0, 001 e 0, 005x 0, ento a equao x 4 = a2 = 0 possui, no mximo, duas solues reais distintas. 15 (UEFS 2010.2). O conjunto X = {4m + 5n; m, n Z+ } contm todos os nmeros inteiros positivos: a pares, a partir de 4. b mpares, a partir de 5. c a partir de 9, inclusive. d a partir de 12, inclusive. e divisores de 20. 16 (UEFS 2011.1). Sabe-se que uma gota de sangue de 1mm3 contm, aproximadamente, 5 milhes de glbulos vermelhos e que uma pessoa de 70kg tem, aproximadamente, 4, 5 litros de sangue. O nmero de glbulos vermelhos que essa pessoa tem em seu sangue expresso por 10k , sendo um nmero pertencente ao intervalo [1, 10[ e k um nmero inteiro. Nessas condies, + k igual a: a 15, 25 b 14, 25 c 13, 25 d 12, 25 e 11, 2523 (UESB 2002). Para todos os nmeros reais x e y , a expresso x 4 x 3 y y 4 + xy 3 equivalente a: x 2 xy + y 2 a x 2 = xy + y 2 b c x2 + y2x2y2d (x y )2 e (x + y )224 (UESB 2003). Na tabela abaixo tem-se, em porcentagem, o consumo mdio mensal de energia dos itens, em certa residncia . Em ms em que o consumo de energia dessa residncia for de 320kw h, estima-se que o consumo de energia: Chuveiro eltrico Geladeira Lmpadas Ferro eltrico Lavadora de roupa Outros Total 30 30 15 7 5 13 100a do chuveiro eltrico seja de 94kw h b da geladeira seja de 92kw h c das lmpadas seja de 48kw h d do ferro eltrico seja de 23, 5kw h e da lavadora de roupa seja de 14, 7kw h 25 (UESB 2003-adaptada). Se A = [0, 2], B =] , 3] e C = [1, 2], ento (B A) C igual a: a [1, 0[ b [1, 0] c ] 1, 0] d ]0, 1[ e [0, 1]17 (UEFS 2004). Dividindo-se um nmero inteiro positivo n por 12, obtm-se um quociente inteiro no nulo q e o resto 2q . Nessas condies, a diferena entre o maior e o menos valor possveis para n : a 22 b 28 c 36 d 48 e 56Secretaria da Educao do Estado da Bahia25MATEMTICA18 (UESB 2002-adaptada). Um comerciante possui dois rolos de os que tm 60m e 72m de comprimentos. Pretende cortar todo o o dos dois rolos e formar rolos, todos com a mesmo comprimento de o. O menor nmero de rolos que ele poder obter :MDULO IPrograma Universidade para TodosMATEMTICA26 (UESB 2004.1-adaptada). Uma prova composta por 40 questes objetivas. Sabendo-se que cada questo correta vale 0, 25 e que cada trs questes erradas anulam uma certa, podese armar que a nota de um aluno que errar 15% das questes ser igual a: e9 d8 2 33 2 27 (UESB 2004.1). Sendo x = pode-se armar que 3+ 6 x um nmero: b6 a inteiro positivo b inteiro negativo c racional no inteiro positivo d racional no inteiro negativo e irracional 28 (UESB 2004.2-adaptada). As embalagens usadas por um restaurante para acondicionar a comida que vende tm 40g de peso unitrio. O restaurante diz cobrar R $22, 00 por kg de alimento, mas, como no desconta o peso da embalagem, pode-se concluir que o preo real cobrado por kg , aproximadamente, igual a: a R $21, 12 d R $23, 10 b R $22, 60 c R $22, 92 e R $23, 30 a5 c733 (UESC 2003). Dois motoristas, A e B , partem de uma mesma cidade em direo a outra e chegam ao mesmo tempo, percorrendo dois caminhos diferentes. O motorista A parte 10 minutos depois do motorista B e percorre um caminho de comprimento igual a 120km, desenvolvendo a velocidade mdia de 80km/h. O motorista B percorre um caminho que possui um trfego mais intenso, e, por isso, desenvolve a velocidade mdia de 60km/h. Com base nessas informaes, pode-se concluir que a diferena, em km, entre o comprimento do caminho percorrido por A e o percorrido por B : a 10 b 20 c 30 d 40 e 6034 (UESC 2003-adaptada). Trs nibus percorrendo um circuito circular partem, simultaneamente, de um mesmo ponto e, tendo todos eles percorrido o circuito mais de uma vez, s voltam a se encontrar nesse ponto aps 72 minutos. Sabendo que o primeiro nibus percorre o circuito em 18 minutos, que o segundo o faz em 12, e em que o terceiro no o mais rpido do que os outros dois, o tempo, em minutos, que esse nibus percorre o circuito : a 24 b 30 c 35 d 40 e 4235 (UESC 2003). Se o nmero a N tal que, ao ser dividido por 8, deixa resto igual a 2, ento, ao dividir (a2 + 12) por 8, o resto ser igual a: a0 b1 c2 d3 e429. [UESB 2004.2] Sabe-se que a distncia percorrida em uma Meia Maratona 24km e que um atleta que corre a uma veloci1 dade mdia de 320 metros por minuto de hora ter percorrido 5 x % do percurso total. Com base nessa armao, pode-se armar que o valor de x : a 30 b 24 c 22 d 16 e 1236 (UESC 2003). Numa via de trfego, a velocidade mxima permitida 80km/h. Para o motorista que desrespeita essa lei, aplica-se o seguinte sistema de penalidades: na primeira infrao, o motorista recebe apenas uma advertncia; na segunda, paga uma multa de R $150, 00 e, a partir da terceira, paga uma multa igual a anterior, acrescida de R $20, 00. Sabendo-se que o motorista tem sua carteira apreendida aps ter infringido dez vezes essa lei, conclui-se que, quando esse fato acontecer, o motorista ter pago pelas multas um total, em reais, igual a: a 2.400, 00 b 2.070, 00 c 1.980, 00 d 1.830, 00 e 1.420, 0030 (UESC 2001). Sejam A e B conjuntos tais que: A = {x ; x = 3n, com x N e x 30} e B = {x ; x N e x mpar}. Se o conjunto X tal que x A B e (A B ) X = {3, 15, 21}, ento X igual a: a b {3, 15, 21} c {9, 27} d {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30} e {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 24, 25, 27, 29, 30} 31 (UESC 2002.1). Para ser aprovado num concurso, um aluno deve alcanar mdia mnima a 7, 0, calculada como metade da soma das notas de duas provas. Um aluno obteve mdia igual a 6, 5 e estima que, se mantida a nota que obteve em uma das duas provas, ento, para ser aprovado, precisaria ter obtido, na outra prova, uma nota, pelo menos, 20% maior do que de fato obteve naquela prova. A partir dessa informao, pode-se concluir que a maior das duas notas obtidas pelo aluno foi igual a: a 5, 0 b 6, 5 c 7, 0 d 8, 0 e 9, 537 (UESC 2004.1). Um grupo de trs amigos, X , Y e Z , acertando suas dvidas entre si, concluem que: 1. Y deve a X e a Z uma quantia que respectivamente igual a metade do que cada um deles possui. 2. Z deve a X a mesma quantia que X possui. Se, aps saudarem as suas dvidas , restarem para X , Y e Z , respectivamente, R $25, 00, R $3, 00 e R $26, 00, conclui-se que a quantia, em reias, que Z possua antes de acertarem as contas era igual a: a 24, 00 b 18, 00 c 16, 00 d 15, 00 e 10, 0038 (UESC 2004.1). Se o conjunto soluo da equao x 2 k2x 1 = k , com k Z , {1, 3}, ento o nmero real x 1 k pertence ao conjunto : a {3} b {2} c {1, 0} d {1, 2} e {3, 4}32 (UESC 2002.1-adaptada). Com suas prprias despesas e da sua loja, um comerciante gasta, em 30 dias, uma quantia igual que ele arrecada com a loja a cada 40 dias. Se, num dado instante, o capital que o comerciante possui igual ao dobro dessa quantia, O tempo, em dias, para que o seu capital seja reduzido zero : a 100 b 200 c 240 d 400 e 60039 (UESC 2004.1). Do total das despesas mensais de uma famlia, o gasto com alimentao e com mensalidades escolares corresponde a 40% e 25%, respectivamente. Se o gasto com alimentao sofrer um aumento de 5%, e as mensalidades escolares aumentarem 10%. Ento o total das despesas mensais, dessa famlia, sofrer um aumento de : a 15% b 8% c 7, 5% d 5, 5% e 4, 5%26Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para Todose zero. 47 (UCSal 2000.1-adaptada). Ao conferir suas respostas s 100 questes de um teste, dois alunos, curiosamente, observaram que os nmeros de questes haviam que acertado eram inversamente proporcionais s suas respectivas idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles acertaram um total de 133 questes, ento qual foi o nmero de questes que o mais velho errou? a 31 b 33 c 35 d 37 e 39a 42b 38c 35d 30e 2841 (UNEB 2000). A soma das idades de dois adolescentes igual a 30 anos. Sendo a idade do moo um divisor de 28, a diferena, em anos, entre a idade de ambos de: a2 b4 c6 d8 e 1042 (UNEB 2000). Para receberem suas mesadas, dois irmos, A e B , deveriam resolver, todo ms, um problema. Este ms, o problema foi o seguinte: se A der R $50, 00 de sua mesada para 1 de sua B , os dois recebero a mesma quantia, e se B der 3 mesada para A, ento A receber R $20, 00 a menos do triplo do que restou da mesada de B . Assim, neste ms, A e B recebero, em reais, juntos: a 500 b 460 c 400 d 320 e 27848 (UCSal 2000.1). Aps a simplicao, o resultado de: 3 2 : ( 6 + 3)2 a 3 24 b 2 34 c 4 23 d 4 22 e543 (UNEB 2002). Uma loja de discos classicou seus CDs em trs tipos A, B e C , unicando o preo para cada tipo. Quatro consumidores zeram compras nessa loja nas seguintes condies: O primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C , gastando R $121, 00. O segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R $112, 00. O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R $79, 00. O quarto comprou um CD de cada tipo. Com base nessa informao, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs foi igual a: a 48, 00 b 54, 00 c 57, 00 d 63, 00 e 72, 0049 (UCSal 2002.2-adaptada). Certa companhia area cobra 2 dlares por quilo bagagem que excede o limite permitido, estipulado em 35kg . Num dia em que o dlar estava cotado a R $1, 82, um passageiro, cuja bagagem pesava 86kg , pagou, aproximadamente, pelo excesso de bagagem, a quantia de: a 190 b 185 c 178 d 163 e 15950 (UCSal 2000.1-adaptada). Um nmero inteiro e positivo constitudo de dois algarismos distintos cuja soma 11. Invertendo-se a posio de seus algarismos obtm-se outro nmero que excede o primeiro em 45 unidades. O menor dos nmeros : a 31 b 33 c 35 d 37 e 3844 (UNEB 2002). Sejam B = {x N ; x multiplo de 3 e x 12}. A B = A e B A = {x B , x par e x < 12}. Nessas condies, o conjunto A igual a: a {x N , x impar e x 12} b B {3, 12} c {x N , x multiplo de 3 e x = 6} d {x N , x par e x 12} e B {6} 45 (UNEB 2002). O fabricante de determinada marca de papel higinico fez uma maquiagem no seu produto, substituindo as embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custava R $1, 80, por embalagem com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R $1, 62. Nessas condies, o preo do papel higinico foi aumentado em: a 10% b 20% c 25% d 10% e 0%51 (UCSal 2000.1). Matematicamente, a sentena dois e dois so cinco falsa; entretanto a sentena dois mais dois so quatro pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do sistema de numerao no qual feita a operao. Por exemplo: no sistema decimal de numerao, 139 = 1102 +310+9100 , enquanto no sistema de base 3, 139 = (12011)3 = 134 +233 +032 +131 +130 . Nessas condies, no sistema de base 2, o nmero 4 ser expresso por: a 10 b 11 c 100 d 101 e 11052 (UCSal 2000.1). Dos 33 msicos que se apresentaram para seleo dos componentes de uma banda, sabe-se que alguns tocavam viola e os demais, instrumentos eletrnicos. Se o quadrado do nmero dos que tocavam viola, acrescido de 15 unidades, era igual ao triplo do nmero dos demais, diminuindo de 30 unidades, ento qual era a diferena entre os nmeros de instrumentos dos dois tipos? a 21 b 19 c 12 d 10 e553 (UCSAL 2000.1). O conjunto soluo da inequao 3 (x 1 9) (2x 1) 7, no universo U = R : 5 175 171 a , d , 13 13 b [13, +[ c [9, +[ e ], 13]46 (UCSal 2000.1). A diferena entre o quadrado da soma de dois inteiros e a soma dos quadrados desses nmeros : a o dobro de um nmero quadrado perfeito. b um nmero quadrado perfeito.54 (ENEM 2010). Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicaes, conforme a gura seguinte:Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxSecretaria da Educao do Estado da Bahia27MATEMTICA40 (UESC 2001-adaptada). Uma pessoa, para revelar a sua idade, comparou-a com a de um garoto de 16 anos, armando o seguinte: quando eu viver mais um sexto do que at agora vivi, se eu dividir minha idade por trs, obterei a sua idade atual mais a dzima peridica 0, 333 . . . Com base nessa informao, a idade em anos, dessa pessoa :c um nmero primo. d um nmero par.MDULO IPrograma Universidade para TodosMATEMTICAAlgum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preench-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espao dela. Uma representao possvel para essa segunda situao :Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxabXxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxcXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxdXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxeXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx XxxxxxxxxXxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxxxx55 (ENEM 2010). No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, car o maior telescpio da superfcie terrestre, o Telescpio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT ter um espelho primrio de 42m de dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu.Disponvel em: http://www.estadao.com.br. Acesso: 27 abr. 2010.Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposio de que o dimetro do olho humano mede aproximadamente 2, 1cm. Qual a razo entre o dimetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o dimetro do espelho primrio do telescpio citado? a 1 : 20 d 1 : 1.000 b 1 : 100 c 1 : 200 e 1 : 2.00028Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para TodosA lgica o ramo da losoa que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto. A aprendizagem da lgica s tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda de forma correta. O principal organizador da lgica clssica foi Aristteles, discpulo de Plato, com sua obra chamada Organon (sculo IV a.C.). Entretanto, foi o matemtico e lsofo alemo Leibnitz (1646-1716) que vislumbrou a lgica formal, aperfeioada, posteriormente, por George Boole (1813-1864).NEGAO DE UMA PROPOSIO SIMPLESA negao de uma proposio p , denotada por p , uma outra proposio com valor lgico contrrio ao valor lgico de p . Podemos resumir este fato na tabela a seguir:p V FpF VVALOR LGICOPodemos observar que determinadas declaraes podem estar corretas (verdadeiras) ou incorretas (falsas). Estas atribuies a certas armaes so chamadas valores lgicos. Chamaremos de proposies ou sentenas lgicas as armaes que possuem valor lgico. Assim, so proposies:A negao de uma proposio p pode ser formulada escrevendose falso que . . . antes de p ou, se possvel, inserindo em p a palavra no. Por exemplo, falso que o pssaro canta, e o pssaro no canta so negaes para a proposio o pssaro canta. Outro exemplo, falso que 2 + 2 = 5, e 2 + 2 = 5 so negaes para 2 + 2 = 5. claro que, a negao da proposio p equivale prpria proposio p , isto : ( p ) p .p : Salvador a capital da Bahia. q : Todo homem imortal. r : O cu cor de rosa. s : A soma de dois nmeros pares par.No so proposies as declaraes:PROPOSIES COMPOSTASSo proposies formadas por mais de uma armativa. Estas armativas so ligadas entre si por expresses denominadas conectivos. Considere as proposies simples:p : Paulo gosta de Matemtica.x + 5 < 2. trs mais cinco. O dia est bonito. x um nmero real. Para as proposies so vlidos os seguintes princpios: O Princpio da identidade: uma proposio igual a si mesma. O Princpio da no-contradio: uma proposio no pode ser verdadeira e falsa. O Princpio do terceiro excludo uma proposio ou verdadeira ou falsa; no existe uma terceira alternativa. As proposies podem ser classicadas pela quantidade de armaes que a compem em: Proposio simples: possui apenas uma armao. Exemplo, p : Os ces latem. q : Os ces so companheiros. Proposio composta: possui duas ou mais armaes. Exemplo, p : Os ces so companheiros e latem. A armao que no possui valor lgico chamada de sentena aberta ou funo proposicional. Geralmente expressa em funo de variveis. Para indicar sentenas abertas de varivel x , utilizamos as indicaes p (x ), q (x ), r (x ), etc. Exemplos: a p (x ) : x + 2 = 5 b q (x ) : x + 3 < x + 1 Propriedade: A conjuno uma proposio verdadeira, se ambas as proposies simples que a compem so verdadeiras. A partir delas podemos formar quatro proposies compostas:q : Paulo gosta de Qumica.r : Paulo gosta de Matemtica e Qumica. s : Paulo gosta de Matemtica ou de Qumica. s : Se Paulo gosta de Matemtica, ento gosta de Qumica. s : Paulo gosta de Matemtica se, e somente se, gosta de Qumica.Cada conectivo dos usados acima produz uma proposio composta distinta, com denominao prpria. Estudaremos, a seguir, mais detalhadamente cada uma dessas proposies.CONJUNOColocando o conectivo e entre duas proposies p e q , obtemos uma nova proposio composta, p q , denominada conjuno das proposies p e q .pV V F FqV F V Fpq V F F FO quadro acima expressa todas as combinaes possveis de valores lgicos entre duas proposies simples.Secretaria da Educao do Estado da Bahia29MATEMTICALGICAMDULO IPrograma Universidade para TodosMATEMTICAO conectivo e pode aparecer de outras maneiras, substitudo por vrgula ou por expresses que sugerem a mesma idia como: mas, porm, todavia, etc. Considere as proposies:O que se pode, com certeza, armar sobre Carol? Vrias opes existem como, por exemplo, que ela est viva. Diremos, ento, neste caso, que a premissa p : Carol corre todos os dias conduz concluso q : Carol est viva. Temos, assim, a seguinte proposio:p : 5 um nmero positivo. q : 5 um nmero inteiro. r : 1 + 2 = 3. s : um nmero inteiro.Observa-se que as proposies p , q e r so verdadeiras e a s falsa. Ento, a proposio p q corresponde proposio 5 um nmero positivo e inteiro, cujo valor lgico verdadeiro. A proposio r s corresponde proposio 1 + 2 = 3 e um nmero inteiro, cujo valor lgico falso.s : Se Carol corre todos os dias, ento est viva.Que podemos representar, esquematicamente, este tipo de proposio da seguinte maneira:pqem que p e q so proposies e a seta indica que a primeira proposio condiciona a segunda. Toda proposio deste tipo chama-se condicional. A proposio que expressa as condies, aquela que vem antes da seta, chamada antecedente do condicional e a proposio que expressa o resultado da condio, aquela que vem depois da seta, chamada consequente do condicional. O smbolo , que introduzimos aqui, um condicionante e, dadas duas proposies p e q , dizemos que se p , ento q . Sejam p e q proposies, a condicional a proposio composta denotada por p q onde se l: se p , ento q . Numa condicional sempre importante identicarmos o antecedente ou o consequente. Portanto, lembre-se que a seta sempre aponta para o consequente do condicional. A proposioDISJUNOColocando o conectivo ou entre duas proposies p e q , obtemos uma nova proposio composta, p q , denominada disjuno das proposies p e q . Propriedade: A disjuno p q verdadeira se ao menos umas das proposies p ou q verdadeira; se p e q so ambas falsas, ento p q falsa. Considere as proposies:pV V F FqV F V Fpq V V V Fs : Carol est viva, se corre todos os dias uma variao estilstica da condicional. Observe que elas dizem o mesmo. As variaes mais comuns para a condicional so:p : 2 um nmero par. q : 2 um nmero primo. r : 2 um nmero irracional.Observa-se que as proposies p e q so verdadeiras e a r falsa. Ento, a proposio p q corresponde proposio 2 um nmero par ou primo, cujo valor lgico verdadeiro. A proposio p r corresponde proposio 2 no um nmero par ou irracional, cujo valor lgico falso. A disjuno que estudamos acima tambm chamada de disjuno inclusiva. Isto porque existe outro tipo de disjuno chamada de disjuno exclusiva. Nesta, uma das armativas ser verdadeira exclui a possibilidade da outra tambm ser. Por exemplo: (a) Andar ou correr; (b) Viver ou morrer; (c) Comer ou beijar. Propriedade: A disjuno exclusiva representada por . Ela verdadeira, se as armativas possuem valores lgicos diferentes.p condiciona q p somente se q q , se pPropriedade: A condicional p q falsa somente quando a antecedente p verdadeira e a consequente q falsa.p V V F Fq V F V FpqV F V VDada uma condicional p q podemos obter variantes ou outras condicionais: Contrria: p q . Recproca: q p . Contra-recproca: q p . A 75. A contra-recproca da proposio Se o tringulo equiltero, ento issceles : a Se o tringulo issceles, ento equilterop V V F Fq V F V FpqF V V FPode-se constituir a conjuno e a disjuno de proposies compostas formadas por mais de duas proposies simples.CONDICIONALSo proposies que condicionam um resultado a certas exigncias. Consideremos a seguinte situao: Carol corre todos os dias.b Se o tringulo escaleno, ento escaleno c o tringulo equiltero ou issceles d Se o tringulo equiltero, ento escaleno e Se o tringulo no issceles, ento no equiltero30Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para TodosBICONDICIONALVimos que a recproca da condicional p q q p . A bicondicional p q uma proposio que condensa estas duas condicionais e se l: p se, e somente se, q . Assim, Carol est viva se, e somente se, corre todos os dias quer dizer que se Carol corre todos os dias, ento est viva e que se Carol est viva, ento corre todos os dias. Propriedade: A bicondicional p q verdadeira quando ambas as proposies simples possuem o mesmo valor lgico.Na coluna de p colocamos a sequncia V V F F de valores lgicos. J em q colocamos a sequncia V F V F. claro que as negaes das sequncias destas duas proposies nos d, respectivamente, F F V V e F V F Vp V V F Fq V F V FpqpV V F FqV F V Fpq V F F VF F V VF V F V p q ( p q )A 76. Considere as proposies p : 2, 52222... Q, q : 23 = 8 e r : 22 = 2. A sequncia correta dos valores lgicos para as proposies a seguir : (B) p r (A) p q (F) q r (G) (p q ) rUtilizando a propriedade para proposies compostas com o conectivo (verdadeira somente quando ambas so verdadeiras) temos a sequncia F F F V. Claro que a ltima coluna possui a sequncia V V V F e a tabela-verdade :p V V F Fq V F V Fpq(E) p q a VVFVVFVFVV b VVFFVVVFVV c VVFFVFVVVV d VVFFVFVFVV e VVVFVFVFVV(D) p r(C) q r(J) ( q p ) (r p )(I) ( p r ) (p q )(H) r (q p )F F V VF V F V p qF F F V ( p q )V V V FTAUTOLOGIA E CONTRADIOUma forma sentencial P (p , q , . . .) uma tautologia se ela assume o valor lgico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lgicos das variveis sentenciais. Caso seja falso o valor lgico da forma sentencial sejam quaisquer os valores lgicos das variveis sentenciais, a forma sentencial P (p , q , . . .) uma contradio. claro que a negao de uma tautologia uma contradio. A78. A sequncia correta de valores lgicos obtida ao construir a tabela-verdade para (p q ) : a VVVV b VVFF c VFVF d FVFF e FVVFA 77. Considere as proposies p : 4, 123123... Q e q : todo nmero inteiro possui simtrico. A nica proposio falsa : a pq d ( q ) e ( p q ) pb p q c pqA79. A sequncia correta de valores lgicos obtida ao construir a tabela-verdade para (p q ) (q p ) : a VVVV b VVFF c VFVF d FVFF e FVVFTABELAS-VERDADEAo formar proposies compostas utilizando os conectivos , , , , obtemos uma forma sentencial, ou seja, uma expresso da forma P (p , q , . . .). As proposies p , q , . . . so denominadas variveis sentenciais. Assim, se temos uma forma sentencial P (p , q , . . .), a forma sentencial P (r , q , . . .) obtida trocando em P (p , q , . . .) a proposio p pela proposio r , em todas as suas ocorrncias. Devemos notar que o valor lgico de uma forma sentencial P (p , q , . . .) depende somente dos valores lgicos das proposies que a compem. A tabela que construmos com a forma sentencial chamada tabela-verdade. O nmero de linhas da tabela-verdade obtido pela potncia de base dois e expoente igual ao nmero de proposies simples que formam a sentena. As suas colunas so formadas a critrio de quem ir constru-la. Para entend-la, daremos alguns exemplos de construo dessas tabelas-verdade. Vamos construir a tabela-verdade para ( p q ).A80. A sequncia correta de valores lgicos obtida ao construir a tabela-verdade para a sentena p r q r : a VFFVVFVF b FVFFFVFF c VFFFVFVV d FVFFVFVF e VVVFVFVFA81. Determine qual das proposies abaixo uma tautologia. a (p p ) c p pb ( p q )d p (p q )IMPLICAOA implicao qualquer tautologia formada por uma sentena condicional. Dizemos que p implica q (p q ), se para a condicional p q nunca ocorrer o caso V F . Em outras palavras,Secretaria da Educao do Estado da Bahia31MATEMTICANeste exemplo, as colunas sero formadas pelas proposies p , q , p , q , p q e pela prpria sentena original. A quantidade de linhas da tabela-verdade 4 (22 ).MDULO IPrograma Universidade para Todosp q se a condicional p q apresentar na sua tabela verdade apenas V na ltima coluna.EQUIVALNCIAS NOTVEISA condicional p q possui, entre outras, duas proposies que lhe so equivalentes: p q q p (contrapositiva) Vejamos tal equivalncia atravs da tabela abaixo:MATEMTICAAo construir a tabela verdade para a sentena (p q ) (p q ) voc poder constatar que se trata de uma tautologia. Assim, temos uma implicao e poderemos representar por (p q ) (p q ) H vrias maneiras de formular uma implicao e, ao l-las, tenha sempre em mente o contedo ou teor das proposies integrantes: Se p verdade, ento q verdade. q segue de p . p uma condio suciente para q . q uma condio necessria para p . q ser verdadeira se p for verdadeira. impossvel termos, ao mesmo tempo, p verdadeira e q falsa. Se q for falsa, ento p tambm ser falsa. A82. Qual das implicaes abaixo verdadeira? a x2 = 9 x = 3 dx 0p V V F Fq V F V Fq F V F Vp F F V Vpq V F V V q p V F V VDessa forma, inferimos que a proposio se estudo, passo no concurso logicamente equivalente s proposies: No estudo ou passo no concurso; Se no passei no concurso, ento no estudei. A 84. Dizer Juarez no alegre ou Carol feliz do ponto de vista lgico, o mesmo dizer que: a se Juarez no alegre, ento Carol feliz. b se Carol feliz, ento Juarez alegre. c se Juarez alegre, ento Carol feliz. d se Juarez alegre, ento Carol no feliz. e se Juarez no alegre, ento Carol infeliz.b x2 > 9 x > 3 c 0 < x < 1 x2 < xe x < 3 x < 3x 1 =1 x 1A83. Qual das armaes abaixo verdadeira? a x 2 = 4 a necessria para que x = 2 b x 2 = 4 a suciente para que x = 2 c x = 2 a necessria para que x 2 = 4 d x = 2 a suciente para que x 2 = 4 e ndaNEGAO DE PROPOSIES COMPOSTASPor meio de tabelas verdade, pode-se comprovar as equivalncias que apresentaremos a seguir. Elas so utilizadas para a negao de proposies compostas.EQUIVALNCIACONJUNO E DISJUNO Anlogo implicao, se a proposio p q uma tautologia ento a chamamos de equivalncia e a podemos representar por p q. H vrias maneiras de formular uma implicao e, ao l-las, tenha sempre em mente o contedo ou teor das proposies integrantes: p e q so equivalentes; Se p , ento q , e reciprocamente; q verdadeira se p for verdadeira, e reciprocamente. p falsa se q for falsa, e reciprocamente. p uma condio necessria e suciente para q . p verdadeira se, e somente se, q verdadeira. Esta ltima, na verdade, uma das expresses mais usadas em Matemtica, quando nos referimos a duas premissas como equivalentes. O teorema seguinte foi creditado a Augustus De Morgan. Com ele, alm de obtermos a negao da conjuno e da disjuno, uma das ferramentas mais utilizadas para relacionar os conectivos e . Para as proposies p e q , temos que: (p q ) ( p q ); (p q ) ( p q ). Portanto, a negao de: a rosa vermelha e bonita a rosa no vermelha ou no bonita. estudo ou trabalho no estudo e no trabalho. A85. A negao da armao 3 mpar e 2 primo : a 3 par ou 2 no primo.32Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para Todosb 3 mpar ou 2 primo. c 3 par e 2 no primo. d 3 par e 2 primo. e 3 primo ou 2 mpar. A 86. A negao da armao Paulo professor ou no mdico. : a Paulo professor e no mdico. b Paulo no professor e mdico. c Paulo no professor e no mdico. d Paulo professor ou mdico. e Paulo no professor ou no mdico.SENTENAS ABERTASA ausncia de referncia ao Universo da varivel nos faz supor que seja ele o mais amplo que a varivel pode admitir. Por exemplo: 1. Seja p (x ) : x + 3 > 7. Assim, p (x ) uma funo proposicional de R, conjunto dos nmeros reais, pois, para qualquer a R, podemos atribuir um valor lgico a p (a). 2. Seja q (x ) : x +3 > 7. Assim, q (x ) no uma funo proposicional de C, conjunto dos nmeros complexos, pois desigualdades no so denidas para todos os nmeros complexos. 3. Seja p (x ) : 2x 1 = 5 uma funo proposicional de N. Ela verdadeira para x = 3 e falsa para x = 3.CONDICIONAL E BICONDICIONAL A negao da condicional p q a proposio p q e a negao da bicondicional a proposio p q ou p q , ou seja, (p q ) p q . (p q ) p q . (p q ) p q . Portanto, a negao de: se sou baiano, ento sou brasileiro sou baiano e no sou brasileiro. 3 > 2 se, e somente se, 2 N pode ser feita de duas formas: 1. 3 2 se, e somente se, 2 N; 2. 3 > 2 se, e somente se, 2 N. A 87. A negao da armao se Ana viajar, Paulo vai festejar : a Ana no est viajando e Paulo vai festejar. b Se Ana no viajar, Paulo vai festejar. c Ana est viajando e Paulo no vai festejar. d Ana no est viajando e Paulo no vai festejar. e Se Ana estiver viajando, Paulo no vai festejar. A88. A negao da armao x 2 = x x 0 : x 2 = x x 0. b x 2 = x x < 0. c x 2 = x x 0. a d e Se p (x ) uma funo proposicional num conjunto A, ento o conjunto dos elementos a A com a propriedade de que p (a) verdadeiro, chamado conjunto verdade Vp de p (x ) ou conjunto soluo Sp . Simbolicamente, escrevemos:Vp = {x ; x A, p (x ) verdadeiro} = {x ; p (x )}. claro que o conjunto verdade depende do conjunto universo. Por exemplo, o conjunto soluo para a funo proposicionalp (x ) : x + 2 > 7, denida em N, Vp = {x ; x N, x + 2 > 7} = {6, 7, 8, 9, . . .}. q (x ) : x < 0, denida em N, o conjunto vazio, pois, no existe nmero natural negativo. r (x ) : x 2 = 25. Se o conjunto universo for Z, ento Vq = {5, 5}. Por outro lado, se o conjunto universo for N, ento Vq = {5}.A 89. O conjunto verdade (Vp ) da sentena p (x ) : x + 7 < 5 em N : a Vp = {2} d Vp = e Vp = {}A 90. O conjunto verdade (Vp ) da sentena p (x ) : x divisor de 10 em Z : a Vp = {10, 20, 30, . . .} d Vp = {} e Vp = b Vp = {5, 7} c Vp = {0}A 91. O conjunto verdade (VP ) da sentena p (x , y ) : x < y em A B , em que A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5} : a Vp = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)} b Vp = {(3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)} c Vp = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 5)} d Vp = {} e Vp = b Vp = {0, 1, 2, 5, 10} c Vp = {1, 2, 5, 10}x 2 = x x 0. x 2 = x x < 0.Secretaria da Educao do Estado da Bahia33MATEMTICAUma funo proposicional ou sentena aberta (ou condio) em A, uma expresso designada por p (x ) apresentando a propriedade de que p (a) verdadeiro ou falso para cada a A. Em outras palavras, p (x ) uma funo proposicional em A se p (x ) se tornar uma proposio sempre que substituirmos a varivel x por qualquer elemento a A. O conjunto A denominado Conjunto Universo.MDULO IPrograma Universidade para TodosQUANTIFICADORESexistencial, e vice-versa, e nega-se a sentena aberta. Formalmente: Seja p (x ) uma proposio com uma varivel x em um universo de discurso, negamos proposies quanticadas da seguinte maneira: ( x ; p (x )) x ; ( p (x )); ( x ; p (x )) x ; ( p (x )). A94. A negao de x R; x 2 = 4 : a x R; x 2 > 4 R; x 2 d x R; x 2 = 4 e x R; x 2 = 4MATEMTICAA uma dada condio p (x ), se atribuirmos varivel x um dos valores do seu conjunto verdade uma proposio obtida. Outra forma extremamente importante de se obter proposies a partir de uma condio p (x ) antepor-lhe um quanticador (quanticador universal e quanticador existencial ). A proposio x A; p (x ) l-se qualquer que seja x pertencente conjunto A, p (x ) ou para todo x de A, tem-se p (x ) e verdadeira se, e somente se, atribuindo a x qualquer valor do conjunto A, p (x ) se converte sempre numa proposio verdadeira. Este o quanticador utilizado para fazer referncia ao total de elementos do universo. A proposio x A; p (x ) l-se existe pelo menos um x em A tal que p (x ) ou simplesmente existe x em A tal que p (x ) ou, ainda, para algum x em A, tem-se p (x ). Este o quanticador utilizado para fazer referncia a parte dos elementos do universo A. Podemos contar ainda com o quanticador no existe e com o quanticador existe somente um !. A92. Considere as proposies: 1. x R; x 2 + 1 > 0; 2. ! x R; x 4 0; 3. x R; x 2 4 = 0. A sequncia correta de valores lgicos : a VFF b FVF c VFV dFVF eVVVb x 0, 1q : 10 =1 102r : 102 = 10034Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para TodosTem valor lgico verdade:b q r c qp58 (UNEB 2001). Considere as seguintes proposies: (x )3 = x 3 , x R (x )6 a b 1 q: = 0, se a > 0, b > 0 e a = b ab a+ bp:r :0, 99999 . . . = 0, 333 . . .Tem o valor lgico verdade: I. p II. q r III. p qMarque a alternativa correta: a Apenas a armativa I verdadeira. b Apenas a armativa II verdadeira. c Apenas a armativa I e III so verdadeiras. d Apenas as armativas II e III so verdadeiras. e Todas as armativas so verdadeiras. 59 (UNEB 2001). suciente o Brasil no se classicar para a copa no Mundo, para o tcnico ser demitido e os torcedores carem infelizes. A negao da proposio em destaque equivalente a: a Se o Brasil se classicar para a Copa do Mundo, nem o tcnico ser demitido nem os torcedores caro infelizes. b O Brasil no se classicou para a Copa do Mundo e o tcnico no foi demitido ou os torcedores no caram infelizes c O Brasil se classicou para a Copa do Mundo e nem o tcnico foi demitido nem os torcedores caram infelizes d suciente o Brasil se classicar para Copa do Mundo para o tcnico no ser demitido e os torcedores caram felizes e O Brasil no se classicou para a Copa do Mundo, o tcnico foi demitido e os torcedores carem infelizes 60 (UCSal 2000.1). A negao da sentena: Se eu corro, ento canso : a Corro e no canso. b Se eu no corro, ento no canso. c Se eu canso, ento no corro. d Corro ou no canso. e No corro e no canso.Secretaria da Educao do Estado da Bahia35MATEMTICAa pqd p r e p (p q )MDULO IPrograma Universidade para TodosMATEMTICAFUNESPAR ORDENADO E PRODUTO CARTESIANOUm par um conjunto com dois elementos. Considere, nesta ordem, os conjuntos A e B , ou seja, A o primeiro conjunto e B , o segundo. Sejam a A e b B , o par (a, b) ordenado pois se leva em considerao a ordem com a qual os elementos aparecem. O produto cartesiano entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento a pertence ao conjunto A (a A) e o segundo elemento b pertence ao conjunto b (b B ). Denota-se o produto cartesiano entre A e B por A B . Simbolicamente, A B = {(a, b); a A e b B } . Deve-se a Ren Descartes (1596 1650), matemtico e lsofo francs, o estabelecer da correspondncia biunvoca entre pontos de um plano e pares de nmeros reais, assim como entre pontos do espao e ternos de nmeros reais. Esse fato deu origem aos que chamamos de Geometria Analtica. Graas a este princpio que podemos, por exemplo, interpretar o comportamento de uma funo atravs do seu grco num sistema de coordenadas cartesianas. Para as denies estabelecidas acima, temos: a Dados (a, b) e (c , d ) em A B , teremos (a, b) = (c , d ) se, e somente se, a = b e c = d . Assim, por exemplo, (1, 2) e (2, 1) so pares ordenados distintos; b A = e = ; c Quando A = B , o cartesiano A B o cartesiano A A denotamos A2 ; d Se A = B , ento A B = B A, ou seja, o produto cartesiano de dois conjuntos no goza da propriedade comutativa; e Se A e B so conjuntos nitos com m e n elementos, respectivamente, ento A B tem m n elementos. Em outras palavras, se n(A) = m e n(B ) = n, ento n(A B ) = n(A) n(B ) = m n; (f) Se A ou B so conjuntos innitos e nenhum deles for vazio, ento A B um conjunto innito. (g) Pode-se provar que: A (B C ) = (A B ) (A C ) A (B C ) = (A B ) (A C ) A 99. Sabendo que A B , n(A B ) {(0, 5), (1, 2), (2, 1)} A B , o conjunto B : a {1, 2} b {1, 0, 2} c {1, 0, 2, 5} d {1, 2, 5} e {1, 0} = 12 eO PLANO CARTESIANOOs primeiros registros da ideia de se localizar pontos datam do sculo III a.C. e sua autoria do gemetra grego Apolnio de Perga. Consideremos duas retas reais x e y perpendiculares que se interceptam em um ponto O (origens de cada reta), uma horizontal, chamado eixo das abscissas (ou eixo-x ), e uma vertical, o eixo das ordenadas (ou eixo-y ). Os nmeros reais positivos correspondem, na reta vertical, aos pontos da semi-reta superior, e na reta horizontal aos pontos da semi-reta direita da origem. Os negativos correspondem, na reta vertical, aos pontos da semi-reta inferior, e na reta horizontal, aos pontos da semi-reta esquerda da origem. O Cartesiano o plano gerado por essas duas retas perpendiculares, ou seja, o produto cartesiano R R = R2 . Sua origem se deu nos estudos de Cartesius, pseudnimo de Descartes, em sua obra intitulada Meteoros, Diptrica e Geometria (1637). y Dado um par ordenado (a, b), localizamos no eixo horizontal o ponto que corresponde ao nmero real a, e no eixo vertical o ponto que corresponde ao nmero real b. Conforme a gura ao lado, localizamos o ponto P de coordenadas a e b.bPaxOs eixos coordenados se cruzam num ponto que chamamos de origem do sistema cartesiano e divide o plano em quatro regies, chamadas quadrantes, conforme a gura: y 2 1Segundo QuadrantePrimeiro QuadranteA96. O valor de x + y de modo que os pares (5x , 9 y ) e (10, 2y ) sejam iguais : a5 c3 e0 b4 d2 A97. O valor de n(P(B )) sabendo que n(A) = x 3, n(B ) = x +3 e n(A B ) = 27 : a3 c9 e 512 b6 d 27 2 e que n(A2 ) = 9, A o A 98. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A conjunto: a {1, 2} b {1, 4} c {2, 4} d {1, 2, 4} e {1}5 4 3 2 1 1 Terceiro Quadrante 2 A100. A opo incorreta :12345xQuarto Quadrantea O ponto (5, 3) pertence ao quarto quadrante b Se a ordenada zero o ponto pertence ao eixo-x c Existe ponto com ordenada positiva pertence ao primeiro quadrante36Secretaria da Educao do Estado da BahiaMDULO IPrograma Universidade para Todosd Todo ponto com abscissa negativa pertencente ao segundo quadrante e Pontos que esto sobre um dos eixos no pertencem a quadrante algumA103. O grco que representa [1, 2[] 2, 3] : (a)REPRESENTAO GRFICAA representao grca do produto cartesiano entre dois conjuntos pode se resumir em trs casos: entre dois conjuntos listveis, um listvel por um no listvel (intervalo) e entre dois no listveis. O caso entre dois listveis resulta num grco de pontos, o do listvel por um no listvel resulta num grco de um segmento de reta ou semi-reta paralelo a um dos eixos coordenados e entre dois no listveis resulta numa regio plana. Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} (ambos listveis). Ento: (d)xxxy(e)yxA104. Gracamente [1, 3]] 2, 2] : a um conjunto de pontosxA B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} B A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} A2= A A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.b um conjunto de segmentos de reta paralelos ao eixo-x c um conjunto de segmentos de reta paralelos ao eixo-y d uma regio retangular do plano e uma semirreta paralela a um dos eixosSuas representaes grcas so:yAByBAyAAA105. Gracamente {1, 2} {x R; 1 x 4} : a um conjunto de pontos b um conjunto de segmentos de reta paralelos ao eixo-x c um conjunto de segmentos de reta paralelos ao eixo-yxxxd uma regio retangular do plano e uma semirreta paralela a um dos eixosUm fato que poder ajudar bastante na construo de grcos de produtos cartesianos entre dois conjuntos no listveis o seguinte: y AB C D Sejam AB e C D segmentos de retas que representam intervalos fechados. O produto cartesiano AB C D interpretado como o retngulo da gura ao lado.DRELAO BINRIAUma relao binria de A em B , por denio, um subconjunto qualquer do produto cartesiano A B . O A chamado conjunto de partida e o B conjunto de chegada da relao. Se A = B , ento a relao de A em A se denominar, simplesmente, relao sobre A ou relao em A. Se R uma relao de A em B , isto , R A B , in

mate ma tic a 1

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