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CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRISEP – LEI – AMATA - 1S. 2009/10

ISEP

–LEI –

AMATA

‐1S. 200

9/10

• Derivada de uma função num ponto

Cálculo Diferencial em IR

As rectas PQ1, PQ2 e PQ3 sãorectas secantes à curva y=f(x).

x

y

P

Q1

Q2

Q3y=f(x)

tA recta t é tangente à curva y=f(x) no ponto P.

Os declives das rectas secantes PQ1, PQ2, PQ3,..., sãocada vez mais próximos do declive da recta tangente t.

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x

y

P

Q

y=f(x)

t

s

x0 x0+Δ x

f(x0)

f(x0+Δ x)

Δ x

Δ y

P(x0 , f(x0))Q(x0+Δ x, f(x0+Δ x))

Δ x ‐ variação ou acréscimo da variável independente

Δ y - variação ou acréscimo da variável dependente ou função: Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)

t ‐ recta tangente à curva y=f(x) no ponto P.

s ‐ recta secante à curva y=f(x) quepassa nos pontos P e Q.

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Declive da recta secante s:

Declive da recta tangente t:

xxfxxf

xyms Δ

−Δ+=

ΔΔ

=)()( 00

xxfxxf

xym

xxsx Δ−Δ+

=ΔΔ

=→Δ→Δ→Δ

)()(limlimlim 00

000

Definição: A função y = f(x) diz‐se diferenciável num ponto x0 , sse existir

e representa‐se por,

f ’(x0) é a derivada da função y=f(x) no ponto x0

xxfxxf

x Δ−Δ+

→Δ

)()(lim 00

0

xxfxxf

xfyxxx Δ

−Δ+==

→Δ=

)()(lim)('' 00

000

Notação: yDdxdf

dxdyxfy y ;;;;)(;' ′ .

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• Interpretação geométrica da derivada


O valor da derivada de uma função num ponto P(x0 , f(x0)) é numericamente igual ao valor do declive da recta t tangente à curva y=f(x) nesse ponto, isto é

θtg)( 0 =′ xf

x

y

P

y=f(x)

t

x0

f(x0)

θ

θ : ângulo formado pela direcçãopositiva do eixo OX e a recta t tangente à curva y=f(x) no ponto P.

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• Recta tangente e recta normal


x

y

P

y=f(x)

T

x0

y0

N T – recta de declive mT, tangente à curva y=f(x) no ponto P.N ‐ recta de declive mN, normal à curva y=f(x) no ponto P.

dxdyxfmT

xx

=′==

)( 00

0

1)(

11

0

xx

TN

dxdyxfm

m

=

−=′

−=−=

As equações das rectas tangente e normal à curva no ponto P(x0, y0 ) são dadas por:

T →

N →

)( 00 xxmyy T −=−

)( 00 xxmyy N −=− Se f’(x)=0 então:a recta tangente é horizontal (y=y0) e a recta normal é vertical (x=x0)

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• Exemplo


Considere a função y=sen(x) definida no intervalo [0, π], e os pontos P e Q de abcissas π/2 e π/4. Escreva as equações das rectas tangente e normal à curva nos pontos dados e represente‐as graficamente.

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• Regras básicas de derivação


Derivada do produto

Derivada do quociente

Derivada da potência

Derivada da função exponencial

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• Regras básicas de derivação


Derivada da função logarítmica

Derivada de funções trigonométricas

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• Exemplos


Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) b)

c) d)

e)

xxy5

43 +=

543 +

=xy

)3(2 xseny = 3)2( xtgy =

[ ] xxegy 42 )(cot=

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• Derivada da função composta


Seja u=g(x) uma função de x diferenciável e y=f(u) uma função de u diferenciável.

Define‐se a função composta y=(fog)(x) como a função y=f [g(x)].

A derivada da função composta é dada por:

e é extensível a um número maior de variáveis.

0x 0u 0y

g f))((

)()(

0000

00 xgfyufyxgu

=∴⎩⎨⎧

==

dxdu

dudy

dxdyxguyxyxgxgfxgf =⇔′′=′⇔′′=′ )()()()())(()()( o

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• Exemplo


Sendo e , determine (das duas formas possíveis).11

+−

=uuy 2xu =

dxdy

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• Função inversa


Recordemos que a condição para uma função admitir inversa é que seja injectiva.

O domínio e contradomínio da função f--1(x) são respectivamente o contradomínio e o domínio da função f(x) .

Os gráficos de f(x) e f--1(x) são simétricos relativamente à recta de equação y=x.

yfxxfy )()( 1−=⇔= )()(1 xfxf DD ′=− )()(1 xfxf DD =′ −

)(1 yfx −=

f

)(xfy =

1−fDomínio de f Domínio de f--1

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• Derivada da função inversa

Seja y=f(x) uma função invertível e diferenciável no intervalo ]a,b[ tal que f ’(x)≠ 0.

A derivada da função inversa x=f--1(y) é dada por:

A derivada da função inversa é igual ao inverso multiplicativo da derivada da função directa.

[ ] [ ] ( ))(1

)(1)( 1

1

yffxfyfx −

−

′=

′=′

=′

xyy

x

yxx

y

dd1

dd

dd1

dd

=⇔=

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• Exemplos


Sendo , calcule directamente e através da regra da derivada da função inversa.)4ln(23 −−= xyxy

dd

Sendo , calcule pela regra da derivada da função inversa.)4ln(23 −−= xyyx

dd

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• Derivada da função trigonométrica inversa arcsen(x)


Seja y=arcsen(x) com -1< x <1, cuja função inversa é x=sen(y) com

Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos

Como cos(y) é positivo no intervalo então teremos e consequentemente:

Assim,

Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:

22ππ

<<− y

)(cos

1

dd1

dd

∗===y

yxx

y

22ππ

<<− y yy 2sen1)cos( −+=

22 11

sen11

dd)(

xyxy

−=

−=∗

( )21

1arcsenx

x−

=′

( ) ( ) ( )222 1

arcsen1

.1

1ddarcsendarcsen

dd

uuu

uuu

uxu

duuu

x −

′=′∴

−

′=′

−==

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• Derivada da função trigonométrica inversa arctg(x)


Seja y=arctg (x) com -∞< x <∞, cuja função inversa é x=tg(y) com

Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos

Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:

22ππ

<<− y

222 11

tg11

sec1

dd1

dd

xyyyxx

y+

=+

===

( ) ( ) ( ) 222 1arctg

1.

11

ddarctgdarctg

dd

uuu

uuu

uxu

duuu

x +′

=′∴+′

=′+

==

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• Derivadas das função trigonométricas inversas


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• Exemplos


Calcule y’ sendo y=f(x)

a) f(x)=arccos(x4)

b) f(x)=arctg(4x+2)

c) f(x)=arcsen(2x2‐3)

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• Derivadas de ordem superior a um

– Derivada de 1ª ordem:



– Derivada de ordem n:


xyy

dd;′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′′

xy

xxyy

dd

dd

dd; 2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′′′

2

2

3

3

dd

dd

dd;

xy

xxyy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −1

1-nn)(

dd

dd

dd; nn

n

xy

xxyy

Exemplo: Calcule a derivada de 2ª ordem da função y=xe‐2x

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• Diferencial

x

y

P

Q

y=f(x)

t

x x+Δx

f(x)

f(x+Δx)

Δ x

Δydy

A variação Δy que uma função y=f(x) sofreem consequência da variação da suavariável independente x tem uma relaçãoestreita com a sua derivada f ’(x).

Seja Δx a variação ou acréscimo davariável independente e Δy=f(x+Δx)-f(x) avariação ou acréscimo da variáveldependente ou função.

Quando a variável independente varia dex para x+Δx a variação exacta da função édada por Δy, no entanto, para valorespequenos de Δx, esta variação pode serestimada por dy.

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Tendo em conta a interpretação geométrica daderivada num ponto podemos verificar que:

a que se dá o nome de diferencial da função:

dy=f’(x) Δx

Através da observação directa da figura anterior podemos verificar que, para valores pequenos de Δx, a variação Δy pode ser aproximada pelo diferencial dy.

xxfyyy ΔΔΔ ′≈⇔≈ )(d

x

y

P

Q

y=f(x)

t

x x+Δx

f(x)

f(x+Δx)

Δ x

Δydy

θ

xxfyxtgyxytg

Δ′=⇔Δ=Δ

==

)(dd

dadjacentecatetocomp.

opostocatetocomp.

θ

θ

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Verifiquemos se o erro cometido quando se toma Δy por dy é efectivamente pequeno quando comparado com Δx.

Considere‐se a diferença

e calcule‐se o limite

Conclui‐se que a aproximação é tanto melhor quanto menor for Δx.

Sendo que Δx=dx, podemos também representar o diferencial dy como dy=f’(x)dx.

[ ] xxfxfxxfyy ΔΔΔ ′−−+=− )()()(d

xxyy

Δ−Δ

→Δ

d

0lim

[ ]

0)()(

)(

0lim

)()(

0lim

)()()(

0lim

d

0lim

=′−′=

=Δ

Δ′

→Δ−

Δ−Δ+

→Δ=

=Δ

Δ′−−Δ+

→Δ=

Δ−Δ

→Δ

xfxfxxxx

xxxxxxfxfxxf

xxfxfxxfyy

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Exemplo

Considere a função , x>0 (área de um quadrado).Escreva as expressões analíticas de Δy e dy , correspondentes a uma variação Δx do lado do quadrado.

2xy =

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