GRAVITAÇÃO

Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I

Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense

LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃOEstudando o movimento da Lua e dos planetas, Newton descobriu uma lei dagravitação que oferece o caráter fundamental da atração gravitacional entredois corpos de qualquer natureza. Newton publicou a lei da gravitação em1687. Ela pode ser enunciada do seguinte modo, em linguagem moderna:

Cada partícula do universo atrai qualquer outra partícula com uma força diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância

entre as partículas.entre as partículas.

A constante gravitacional G na equação acima é uma constante físicafundamental, que tem o mesmo valor para duas partículas quaisquer.

LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃOAs forças gravitacionais atuam sempre ao longo da linha que uneas duas partículas, constituindo um par de ação e reação. Essasforças sempre possuem módulos iguais, mesmo quando asmassas são diferentes (figura).

gravitação e corpos de simetria esférica Enunciamos a lei da gravitação em termos dainteração entre duas partículas. Verifica-se que ainteração gravitacional entre dois corpos comdistribuições de massa de simetria esférica (comoesferas maciças ou ocas) é igual à interaçãogravitacional entre duas partículas localizadasnos centros das respectivas esferas. Portanto,quando modelamos a terra como um corpoesférico de massa m a força que ela exerceesférico de massa mT a força que ela exercesobre uma partícula ou sobre um corpo comsimetria esférica de massa m, sendo r a distânciaentre seus respectivos centros, é dada por

desde que o corpo esteja situado na parte externada terra.

Determinação do valor de G Para determinar o valor da constante gravitacional G, devemos medir a forçagravitacional entre dois corpos de massas conhecidas, m1 e m2, separados poruma distância r conhecida. Essa força é extremamente pequena para corposexistentes em laboratórios, mas pode ser medida com um instrumentodenominado balança de torção, usado em 1798 por Henry Cavendish paradeterminar o valor de G.

Uma versão moderna da balança de Cavendish

SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS GRAVITACIONAISMuitas estrelas pertencem a sistemas de duas ou mais estrelasmantidas juntas pela atração gravitacional mútua. a Figura mostraum sistema de três estrelas em um instante em que elas estãolocalizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45º.Determine a força gravitacional resultante sobre a estrela menorexercida pela ação das duas estrelas maiores.

PESODefinimos o peso de um corpo como a força de atraçãogravitacional exercida pela terra sobre ele. Podemos agoraestender nossa definição e dizer que o peso de um corpo é aforça gravitacional resultante exercida por todos os corposdo universo sobre esse corpo. Quando o corpo está próximo dasuperfície terrestre, podemos desprezar todas as outras forçasgravitacionais e considerar o peso apenas como a atraçãogravitacional exercida pela terra sobre o corpo.gravitacional exercida pela terra sobre o corpo.

Se modelarmos a terra como um corpo esférico de raio RT emassa mT, o peso p de um corpo pequeno de massa m nasuperfície terrestre (a uma distância RT do seu centro) é dado por

PESOSabemos,que o peso p de um corpo é a força que produz uma

aceleração g quando o corpo está em queda livre; então, pela segundalei de Newton, p=mg. Igualando esta relação com a equação anterior edividindo por m, obtemos

A aceleração da gravidade g é independente da massa m do corpo,A aceleração da gravidade g é independente da massa m do corpo,porque m não aparece nesta equação.Usando a relação anterior podemos determinar a massa da terra.Explicitando mT e usando os valores RT=6.370km=6,37106m eg=9,80m/s2, achamos

Esse resultado é bem próximo do valor de 5,9721024kg atualmenteaceito.

PESO APARENTE E ROTAÇÃO DA TERRAComo a terra gira em torno de seueixo, não podemos considerá-laprecisamente um sistema dereferência inercial. Por essarazão, o peso aparente de umcorpo sobre a terra não éexatamente igual à força deatração gravitacional que a terraexerce sobre esse corpo, a qualchamamos de peso real p do

Supondo que a terra seja esfericamente simétrica, então o peso aparentepossui módulo GmTm/RT

2, onde mT e RT são a massa e o raio da terra. Essevalor é o mesmo para todos os pontos da superfície terrestre.

chamamos de peso real p0 docorpo.

Nossa tarefa consiste emencontrar a relação entre o pesoaparente p e o peso real p0.

PESO APARENTE E LATITUDECaso o centro da terra seja aorigem de um sistema inercial,então um corpo no Pólo Norterealmente está em equilíbrio emum sistema inercial, e a leitura dabalança do observador é igual ap0. No entanto, um corpo noequador terrestre se move em umcírculo de raio RT com velocidadev, e deverá haver uma força

Portanto, o módulo do peso aparente (igual ao módulo de F) é dado por

v, e deverá haver uma forçaresultante para dentro igual àmassa vezes a aceleraçãocentrípeta

PESO APARENTE E LATITUDESe a terra não estivesse girando, quando um corpo fosse liberado ele teria umaaceleração em queda livre dada por g0=p0/m. Visto que a terra está girando, aaceleração real do corpo que cai em relação a um observador no equador ég=p/m. Logo:

Para calcular v2/RT, notamos que um ponto sobre o equador leva 86.164spara percorrer uma distância igual ao comprimento da circunferência da terra,2RT=2(6,3710

6 m). (O dia solar, 86.400s, é 1/365 vezes maior que esse valor,porque em um dia a terra percorre uma fração de sua órbita em torno do sol.)

Logo, considerando a terra esfericamente simétrica, a aceleração da gravidadeno equador é cerca de 0,03 m/s2 menor que a aceleração da gravidade nospólos.

porque em um dia a terra percorre uma fração de sua órbita em torno do sol.)Portanto, achamos

PESO APARENTE E LATITUDENos locais intermediários entre o equador e os pólos, o peso real p0 e a forçacentrípeta não estão alinhados na mesma direção, e devemos escrever umaequação vetorial:

A diferença entre os módulos g e g0 está compreendida entre zero e0,0339m/s2.

PESO APARENTE E ALTITUDENa superfície da Terra, ao nível do mar, dizemos que a gravidade é g0=9,83m/s2.De forma mais geral, imagine um objeto de massa m a uma distância r >R docentro da Terra. A seguir, suponha que a gravidade do planeta seja a únicaforça exercida sobre o objeto. Então sua aceleração, ou seja, a aceleração emqueda livre, é obtida pela segunda lei de Newton:

A figura mostra uma massa a uma altura y acima dasuperfície da Terra, uma montanha por exemplo. Sua

O valor de g a altura y em relação ao nível domar é:

superfície da Terra, uma montanha por exemplo. Suadistância ao centro da Terra, portanto, é r=RT+y. Assim,quando subimos uma montanha, nos distanciamos docentro da terra e a força gravitacional diminui.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Para obter uma expressão geral para a energia potencial gravitacional,consideramos um corpo de massa m fora da terra e, inicialmente, calculamos otrabalho Wgrav realizado pela força gravitacional quando o corpo se move aolongo de uma reta que o une ao centro da terra, desde o ponto r=r1 até o pontor =r2. Esse trabalho é dado por

onde Fr é o componente radial da forçagravitacional, dado por:

Assim, vemos que Wgrav é dado por

A trajetória não precisa ser retilínea; ela tambémpoderia ser uma trajetória curva (ver fig.), pois, comojá vimos, a força gravitacional é conservativa.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Agora definimos a energia potencial gravitacional U correspondente de talmodo que Wgrav=U1U2. Comparando este resultado com a eq. anterior, vemosque a definição apropriada da energia potencial gravitacional é

A energia potencial gravitacional é sempre negativa.Você já encontrou valores negativos para Uanteriormente. Ao usar a relação U=mgy, vocêanteriormente. Ao usar a relação U=mgy, vocêverificou que U se tornava negativa quando o corpose encontrava em uma altura y abaixo do ponto dereferência (y=0), ou seja, sempre que a distânciaentre o corpo e a terra era menor que uma certadistância arbitrária. Ao definir U, escolhemos U=0quando o corpo se encontra em uma distância infinitada terra (r). À medida que o corpo se aproximada terra, a energia potencial gravitacional diminui e,portanto, torna-se negativa.

“A aproximação de terra plana”Que relação tem a equação para energia potencial gravitacional (U=-GmTm/r),

com a equação U=mgy em uma Terra plana? Quando estamos nas vizinhanças da superfície terrestre, o trabalho para levaruma massa m de r1 até r2 é:

Quando o corpo está nas vizinhanças da superfície terrestre, podemos fazerr1 r2 RT no denominador; logo,

Usando que g=GmT/RT e r2r1=y, temos:

Foi reduzido ao trabalho realizado por umaforça gravitacional constante, que é uma boaaproximação para a energia potencialgravitacional quando

y<<RT .

“DA TERRA À LUA”: velocidade de escapeNo livro com esse título, escrito por Júlio Verne em 1865, um projétilcom três homens foi disparado em direção à Lua por um gigantescocanhão semi-enterrando no solo. (a) Calcule a velocidade mínimanecessária na boca do canhão para que o projétil disparadoverticalmente atinja uma altura igual ao raio da terra RT. (b) Calcule avelocidade de escape — ou seja, a velocidade mínima necessária paraque o projétil deixe a terra completamente. Despreze a resistência doar, a rotação da terra e a atração gravitacional da Lua. O raio da terra édado por R =6,37106m e a massa da terra é m =5,971024 kg.dado por RT=6,3710

6m e a massa da terra é mT=5,971024 kg.

MOVIMENTO DE SATÉLITESSatélites artificiais em órbita em torno da terra constituem uma parte familiar datecnologia (Figura). No entanto, quais são os fatores que determinam aspropriedades de suas órbitas e como eles permanecem orbitando? Asrespostas podem ser fornecidas aplicando-se as leis de Newton e a lei dagravitação.

Suponha um canhão quelança um projétil do alto doEverest, descrevendo umatrajetória parabólica quetermina em sua base. Se atermina em sua base. Se aexperiência for realizada comvelocidades crescentes emcada lançamento, elechegará ao solo em pontoscada vez mais afastados do local do lançamento. É possível imaginar umavelocidade grande na qual a curvatura da terra passe a ser um fatorimportante. À medida que ele cai, a terra se encurva embaixo dele. Se avelocidade for suficientemente grande e Everest suficientemente alto, ele podedar a volta na terra sem retornar ao solo.

MOVIMENTO DE SATÉLITESAs trajetórias de (1) até (7) mostram o efeito do aumento da velocidade inicial.Nas trajetórias de (3) até (5), o projétil não volta para o solo e torna-se umsatélite artificial da terra. Caso não exista nenhuma força retardadora, como a

resistência do ar, avelocidade quando eleretorna ao ponto A éigual à velocidade inicial,e o corpo repete essemovimento

indefinidamente.indefinidamente.

Trajetórias de (1) até (5) se fecham sobre si edenominam-se órbitas fechadas. Todas asórbitas fechadas ou são elipses ou segmentosde elipses; a trajetória(4) é uma circunferência(caso particular de elipse). As trajetórias (6) e(7) denominam-se órbitas abertas. Nessastrajetórias, o projétil não retorna ao ponto A,afasta-se cada vez mais da terra.

Satélites: órbitas circulares Uma órbita circular é o caso mais simples. É também um caso importante,porque muitos satélites artificiais possuem órbitas quase circulares, assimcomo as órbitas dos planetas do sistema solar. A única força que atua sobreum satélite artificial em órbita circular é a atração gravitacional, que estáorientada para o centro do planeta e, portanto, para o centro da órbita (Figura).O satélite descreve um movimento circular uniforme.Em sua queda, o satélite não vai em direção à terra;em vez disso, ele segue constantemente ao redordela, e sua velocidade tangencial na órbita circular éexatamente a necessária para manter constante suaexatamente a necessária para manter constante suadistância ao centro da terra.

Vejamos como é possível achar a velocidadeconstante v de um satélite em uma órbita circular. Asegunda lei de Newton permite escrever

Explicitando v, obtemos

Satélites: órbitas circulares

Essa relação mostra que a escolha de v não pode ser feita de modo independente da escolha de r; para um dado valor de r, a velocidade v

de uma órbita circular é determinada por essa relação.Podemos deduzir uma relação entre o raio r de uma órbita circular e

o período T, o tempo de uma revolução. a velocidade v é a distância

T v2r percorrida durante uma revolução, dividida pelo período:

Como um exemplo, a Estação Espacial internacional orbita a 6.800 kmdo centro da terra (400 km acima da superfície da terra) com umavelocidade orbital de 7,7 km/s e um período orbital de 93 minutos.

Satélites: órbitas circulares Uma vez que a velocidade v em uma órbita circular está ligada a um dadoraio r da órbita, a energia mecânica total E =K +U também estádeterminada.

A energia mecânica total em uma órbita circular é negativa e igual àmetade da energia potencial gravitacional. Aumentar o raio r da órbitasignifica aumentar a energia mecânica (isto é, fazer E ficar menosnegativa). Quando o satélite está em uma órbita relativamente baixa nolimiar da atmosfera terrestre, a energia mecânica diminui por causa dotrabalho negativo realizado pela força de resistência do ar; portanto, o raioda órbita deve ir diminuindo até que o satélite queime na atmosfera, ou caiano solo.

UMA ÓRBITA DE SATÉLITESuponha que você deseje colocar um satélite meteorológico de 1.000kgem uma órbita circular 300 km acima da superfície terrestre. (a) Quaisseriam a velocidade, o período e a aceleração radial desse satélite? (b)Qual seria o trabalho necessário para colocar esse satélite em órbita?(c) Qual seria o trabalho adicional necessário para fazer esse satélitedeixar a terra? O raio da terra é dado por RT=6,3710

6 m e a massa daterra é mT=5,9710

24 kg.

AS LEIS DE KEPLER E O MOVIMENTO DE PLANETAS

A determinação das órbitas dos planetas foi realizada entre 1601 e 1619,pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler, usando umconjunto volumoso de dados precisos sobre os movimentos planetários,compilados pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe. Pelo método detentativa e erro, Kepler descobriu três leis empíricas que descrevem comprecisão o movimento dos planetas:

1. Cada planeta se move em uma órbita elíptica, com o Sol ocupandoum dos focos da elipse.

Três gerações mais tarde, quando Newton estudava o movimento dosplanetas, descobriu que todas as leis de Kepler poderiam ser deduzidas;elas decorrem das leis do movimento de Newton e da lei da gravitação.

um dos focos da elipse.2. A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais em intervalosde tempo iguais.3. O período de um planeta é proporcional à potência 3/2 docomprimento do eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta.

Primeira lei de Kepler A Figura mostra a geometria de uma elipse.

A soma das distâncias de S até P e de S’ até Pé a mesma para todos os pontos sobre a curva.Os pontos S e S’ são os focos. O sol está noponto S (não no centro da elipse) e o planeta,no ponto P. Não existe nada no outro foco, S'.

A distância de cada foco até o centro daelipse é igual a ea, onde e é um número semdimensões entre 0 e 1, denominadodimensões entre 0 e 1, denominadoexcentricidade. Quando e=0, os dois focoscoincidem e a elipse é uma circunferência. Asórbitas reais dos planetas são quase circulares;suas excentricidades variam de 0,007 paravênus a 0,206 para Mercúrio (a órbita da terratem e=0,017). O periélio corresponde ao pontomais próximo do sol na órbita do planeta e oafélio corresponde ao ponto mais afastado do

sol na órbita do planeta.

Primeira lei de Kepler

Newton verificou que, quando uma forçade atração proporcional a 1/r2 atua sobreum corpo, as únicas órbitas fechadaspossíveis são a elipse e a circunferência;ele também mostrou que órbitas abertasdevem ser parábolas ou hipérboles.Esses resultados podem ser obtidos deEsses resultados podem ser obtidos deforma direta usando-se as leis domovimento de Newton e a lei dagravitação, com várias outras equaçõesdiferenciais que você ainda não estáapito a desenvolver.

Segunda lei de Kepler A segunda lei de Kepler é mostrada na Figura. Emum pequeno intervalo dt, a linha que liga o sol S aoplaneta P descreve um ângulo d. a área varrida édada pelo triângulo sombreado de altura r, base rde área dA =r2d /2 na figura b. A taxa com a qualessa área é varrida, dA/dt, é denominada velocidadesetorial:

Para ver como a segunda lei de Kepler é deduzida apartir das leis de Newton, escrevemos dA/dt emtermos do vetor velocidade v do planeta P. ocomponente de v perpendicular à linha radial é dadopor v=v sen. Pela figura b, o deslocamento ao longoda direção de v durante um intervalo dt é rd, demodo que obtemos v= rd/dt. Substituindo essarelação na Equação anterior, temos

Segunda lei de Kepler

Agora, rvsen é o módulo do produto vetorial rv, que,por sua vez, é igual a 1/m vezes o momento angularL=rmv do planeta em relação ao sol. Assim,obtemos

Portanto, a segunda lei de Kepler, segundo a qual avelocidade setorial é constante, significa que omomento angular é constante!

A conservação do momento angular tambémexplica por que a órbita deve estar contida em umplano. o vetor L=rmv é sempre perpendicular aoplano formado pelos vetores r e v; como L é um vetorconstante em módulo e direção, r é v devem sempreestar sobre um mesmo plano, que é justamente oplano da órbita do planeta.

Terceira lei de Kepler Já deduzimos a terceira lei de Kepler para o caso particular de órbitascirculares de um satélite. A Equação mostrava que o período de um satéliteou planeta em uma órbita circular é proporcional à potência 3/2 do raio daórbita. Newton mostrou que essa mesma relação também vale no caso deuma órbita elíptica, substituindo-se o raio da órbita r pelo semi-eixo maior a:

Uma vez que o planeta descreve a órbita em torno do sol, e não emtorno da terra, substituímos a massa da terra mT pela massa do sol mS.Note que o período não depende da excentricidade e. Um asteróide emuma órbita elíptica alongada com um semi-eixo maior a terá o mesmoperíodo orbital que um planeta que descreva uma órbita circular com raio a.A diferença principal é que o asteróide se move com velocidades diversasem diferentes pontos da órbita elíptica, enquanto a velocidade do planetase mantém constante ao longo de sua órbita circular.

TERCEIRA LEI DE KEPLERO asteróide Palas tem um período orbital de 4,62 anos e umaexcentricidade orbital de 0,233. Encontre o semi-eixo maior de suaórbita.

O COMETA HALLEYO cometa Halley se move em uma órbita alongada ao redor do Sol(Figura). No periélio, a distância entre o cometa e o Sol é igual a8,75107 km; no afélio, é igual a 5,26109 km. Calcule o semi-eixomaior, a excentricidade e o período orbital.

FIM