Conteúdo da Aula

Geometria analítica

1 – Equação da Reta

2 – Área do triângulo

3 – ponto Médio

4 – Distância entre dois pontos

Professor Gledson Guimarães

Estudo da reta

e

Área do triângulo

Geometria Analítica

PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P

1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA

É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.

Solução:

Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.

Logo, no caso teremos:

2m - 16 = 0,

de onde tiramos m = 8

o ponto ficaria P = ( 0, 8)

Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.

Solução:

Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula.

Logo, no caso teremos:

m = 0,

o ponto ficaria P = ( -16, 0)

Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.

Fonte: http://www.somatematica.com.br

EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:

A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r

se am + bn + c ≠ 0, P não é um ponto da reta r

EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0

Onde o ponto P (1,2) ∈ r

Já o ponto P (2, -5) ∉ r

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

y = ax + b onde,

a = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta (ponto de

intersecção com o eixo Oy.

O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

Coeficiente angular = 1

Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

Coeficiente angular = 3

Coeficiente angular =2

ÂNGULO: 71.56º

ÂNGULO: 63.43º

ÂNGULO: 45º

PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

Y = 4

x = 6

y = 2x – 3

y = – 3x + 6

OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos

X Y

0 1

2 5

X Y

1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0

–4x +2y –2 = 0 2y = 4x +2

Encontrar os coeficientes angular e linear da reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Ou y = 2x +1

RESOLUÇÃO:

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Veja o gráfico de y = 2x +1 a seguir.

EXEMPLO:

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

01. Achar as equações geral e reduzida da reta determinada pelos pontos A(3, 1) e B(4, -2)

X Y

3 1

4 -2

X Y

x.1 – 2.3 + 4y – 3y – 4.1 - x.(-2) = 0

x – 6 + 4y – 3y – 4 + 2x = 0

3x + y – 10 = 0 = 0

COEFICIENTE ANGULAR = – 3

COEFICIENTE LINEAR = 10

Questão 01

αβθ −=

msmr

msmrtg

.1+−=θ

P9) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele

pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1ª bissetriz) y = x.

P10) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele

pertence à bissetriz dos quadrantes pares(2ª bissetriz) y = - x.

.

Colinear (mesma reta)

Podemos escrever assimÁrea do triângulo:

EXERCÍCIO DE REVISÃO 05

Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

2 5

0 3

1 1

2 5

2

1A = 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1

A = 6/2 A = 3 u. a.

Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.

Maneira demonstrada no livro:

Exercícios Resolvidos01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na

figura.

4 6

2 -3

-3 1

4 6

-12 2

-18

-12

-9

-4

A = ½ |-53|

..2

53auA =

Forma abreviada mostrado pelo professor:

Equação Segmentária da RetaConsideremos uma reta r que intercepta os eixos cartesianos

nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com p · q 0:

Dizemos que esta equação é a equação segmentária da reta r.Observação – Os denominadores de x e y, na equação

segmentária, são, respectivamente, a abscissa do ponto onde r intercepta o eixo x e a ordenada do ponto onde r intercepta o eixo y.

05. Determine a equação segmentária da reta cuja equação geral é 5x + 6 y – 30 = 0.

X Y

0 5

6 0

156

=+ yx

X Y

0 5

6 0

06. (MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:

a) y + 2x – 2 = 0

b) y – x – 2 = 0

c) y + 2x + 2 = 0

d) y –2x – 2 = 0

e) y – 2x + 2 = 0

121

=−

+−

yx( Multiplicando toda a equação por –2 )

Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0

Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.

2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

EXERCÍCIO 03: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

SOLUÇÃOSOLUÇÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO

EXERCÍCIO 04: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).

EXERCÍCIO 04: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

Questão 05

As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )

Questão 05

As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )

Questão 06

Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é

a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0e) y = 5x + 24

X Y

1 -7

-4 3

X Y

-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0

– 10x – 5y – 25 = 0

Dividindo toda a equação por (-5):

2x + y + 5 = 0

Questão 09 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?

XA YA

1/2 XB YB

XC YC

XA YA

-2 -1

½ 1 3

4 1

-2 -1

A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |

A = |1/2 [ – 18 ] |

A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)

observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas | | significam módulo