Trabalho realizado por: - Inês Lino 10ºA Nº11

Introdução........................................................................................................................3

Referenciais cartesianos no espaço........................................................................4

Retas e Planos...............................................................................................................6

Referencial e coordenadas ........................................................................11

Conclusão.......................................................................................................................12

Bibliografia......................................................................................................................13

Nesta tarefa matemática são referidos dois tópicos da matéria dada em sala de aula. Estes dois tópicos são, primeiro, os referenciais cartesianos no espaço, onde temos de construir um referencial Oxyz e colar uma imagem nesse mesmo referencial e de seguida identificar as coordenadas de cada um dos vértices da imagem escolhida.E segundo, são as posições relativas entre duas retas, entre dois planos e entre planos e retas identificando-as através das respetivas equações.Existem várias posições relativas, estas são, entre duas retas, as retas complanares, das quais fazem parte as retas concorrentes, as retas estritamente paralelas e as retas coincidentes, e também as retas não complanares e as retas perpendiculares. Entre dois planos, os planos coincidentes, os planos estritamente paralelos e os planos secantes. E entre retas e planos, uma reta paralela ao plano, reta secante ao plano e reta aposta ao plano.

No espaço a posição de um ponto fica definida por um terno ordenado de números.Para localizar um ponto no espaço, são necessárias três dimensões.Considera-se para isso um referencial cartesiano tridimensional, composto por três eixos:- Eixo Ox – Eixo das Abcissas- Eixo Oy – Eixo das Ordenadas- Eixo Oz – Eixo das Cotas

Um referencial no espaço é constituído por um ponto O (origem do referencial) e pelos três eixos (Ox, Oy e Oz - retas orientadas), perpendiculares dois a dois (referencial ortogonal), não complanares e concorrentes em O, onde são fixadas as mesmas unidades de comprimento (referencial monométrico).

Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem três planos, perpendiculares entre si:

- plano xOy- plano yOz- plano xOz

Os planos dividem o espaço em oito octantes.

Coordenadas de pontos dos eixos (A,B e C) :

As retas, segmentos de retas, os planos, são conjuntos de pontos do espaço que se podem definir sem ser necessário explicitar todos os pontos que o constituem.

Como por exemplo com uma reta, podem ser utilizados dois pontos distintos na mesma reta.

reta AB

Para nomear um plano pode utilizar-se 3 pontos não colineares do mesmo, isto é, 3 pontos que não pertencem à mesma reta.

plano ABC

Resumindo, dois pontos definem uma reta e três pontos definem um plano.

B

A

C

A

B

Posições relativas de retas:

Retas complanares : pertencem ao mesmo plano.

- Retas concorrentes : têm um ponto em comum.

Ex.:

- Retas estritamente paralelas: não se intersectam.

Ex.:

- Retas coincidentes: têm todos os pontos em comum.

Ex.:

Retas não - complanares: não pertencem ao mesmo plano.

Retas perpendiculares: são perpendiculares se existe uma terceira reta que é paralela a uma e concorrente à outra, fazendo assim um ângulo recto.

Posições relativas de planos:

- Planos Coincidentes: planos com os pontos todos em comum.Ex.:

- Planos estritamente paralelos: planos paralelos, não se intersectam.

Ex.:

- Planos secantes: quando têm pelo menos dois pontos em comum.Ex.:

Posições relativas entre retas e planos:

- Reta paralela ao plano: não se intersetam.Ex.:

- Reta secante ou concorrente ao plano: existe um ponto comum à reta e ao plano.

Ex.:

- Reta aposta ou contida ao plano: todos os pontos da reta pertencem ao plano.

Ex.:

Critérios do paralelismo:

Reta e plano: uma reta é paralela a um plano se for paralela uma reta do plano.

Planos: dois planos são paralelos se um dos planos contém duas retas concorrentes paralelas ao outro.

O critério do paralelismo permite garantir, que um pavimento é horizontal, utilizando um “nível de bolha”, colocando-o sobre o pavimento, em duas direcções distintas.

Critérios da perpendicularidade:

Reta e Plano: uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas concorrentes do plano.

Planos: dois planos são perpendiculares se um deles contém um reta perpendicular ao outro.

Com este trabalho pude concluir as equações das retas e as posições relativas de dois planos, de duas retas e de retas e planos com um objeto num referencial cartesiano no espaço. Embora com algumas dificuldades o trabalho correu bem e foi uma forma de estudar esta matéria mais uma vez, para tirar as dúvidas.

NEGRA, Cristina; MARTINHO, Emanuel. Matemática 10ºano.Carnaxide. Santillana Constância.2010

http://profs.ccems.pt/RosaFerreira/matA_10_2009_2010/geometria/ plano04_02_01/Espaco_2.pdf

http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-1.htm