LOGARITMOSLOGARITMOSDEFINIÇÃODEFINIÇÃO

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

FUNÇÃO FUNÇÃO LOGARÍTMICALOGARÍTMICA

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

bx ba ax log=⇔=

sendo b>0 , a>0 e a≠1OU SEJA PODEMOS VER CLARAMENTE QUE LOGARITMO É O MESMO QUE EXPOENTE.

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO:obtemos bx igualdade Na alog=

a= base do logaritmob= logaritmando ou antilogaritmox= logaritmo

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

101log

16216log

322532log

05

24

52

==

==

==

5pois 3)

4pois 2)

pois 1)

:Exemplos

Consequências da Consequências da definiçãodefinição

Sendo Sendo b>0 ,a>0 b>0 ,a>0 ee a a ≠≠ 11 e m um número real e m um número real qualquer, temos a qualquer, temos a seguir algumas seguir algumas consequências da consequências da definição de definição de logaritmo:logaritmo:

Consequências da Consequências da definiçãodefinição

01log =a 1log =aa

mama =log ba ba =log

cbcb aa =⇔= loglog

Propriedades dos Propriedades dos LogaritmosLogaritmos

yxyx aaa loglog).(log +=

yxy

xaaa logloglog −=

xmx am

a log.log =

Propriedades dos Propriedades dos LogaritmosLogaritmos

xn

mxx an

m

an m

a log.loglog ==

n

mn m xx =

CologaritmoCologaritmo Chamamos de Chamamos de cologaritmocologaritmo

de um número positivo de um número positivo bb numa numa base base aa ( (a>0, aa>0, a≠≠11) e indicamos ) e indicamos cologcologaa b b o logaritmo inverso o logaritmo inverso desse número desse número bb na base na base aa

bb aa

1logcolog =

CologaritmoCologaritmo Desenvolvendo a propriedade Desenvolvendo a propriedade

da divisão entre os da divisão entre os logaritmandos chegamos logaritmandos chegamos também a seguinte igualdadetambém a seguinte igualdade

bb aa logcolog −=

Mudança de baseMudança de base Como as propriedades Como as propriedades

logarítmicas só valem para logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única bases diferentes para uma única base conveniente.base conveniente.

a

xx

b

ba log

loglog =

LOGARITMO LOGARITMO NATURALNATURAL

O logaritmo natural é o O logaritmo natural é o  logaritmologaritmo  de  de base base  ee , onde e é um , onde e é um  número irracionalnúmero irracional aproximadamente igual a  aproximadamente igual a 2,718281828459045... (chamado 2,718281828459045... (chamado Número de EulerNúmero de Euler ). É, portanto, a ). É, portanto, a função inversafunção inversa  da  da  função exponencialfunção exponencial . .

lnlne e aa = = ln aln a (log natural ou (log natural ou

neperiano)neperiano)

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função A função f:IRf:IR++IRIR definida definida por por f(x)=logf(x)=logaaxx, com , com aa≠≠11 e e a>0a>0, é , é chamada chamada função função logarítmica de base alogarítmica de base a . O . O domíniodomínio dessa função é o dessa função é o conjunto conjunto IRIR++ (reais positivos, (reais positivos, maiores que zero) e o maiores que zero) e o contradomíniocontradomínio é é IRIR (reais). (reais).

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

f(x)=logf(x)=logaaxx Temos 2 casos a considerar:Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;quando a>1;

quando 0<a<1.quando 0<a<1.

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO

LOGARÍTMICA Y = logY = log 22 x x a>1a>1 CrescenteCrescente

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO

LOGARÍTMICA Y = logY = log ( 1 / 2 )( 1 / 2 ) xx 0<a<1 0<a<1

DecrescenteDecrescente

Características Características GráficasGráficas

o gráfico o gráfico nuncanunca intercepta o intercepta o eixo vertical;eixo vertical;

o gráfico corta o eixo horizontal o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1;x = 1;

yy assume todos os valores reais, assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é portanto o conjunto imagem é Im=IR.Im=IR.

EQUAÇÕES EQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

Chamamos de equações Chamamos de equações logarítmicas toda equação que logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a envolve logaritmos com a incógnita incógnita aparecendo no aparecendo no logaritmandologaritmando, na , na basebase ou em ou em ambosambos..

EQUAÇÕES EQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

Exemplos:Exemplos: loglog33x =5x =5 (a solução é x=243)(a solução é x=243)

log(xlog(x22-1) = log 3-1) = log 3 (as soluções (as soluções são x’ = -2 e x’’= 2)são x’ = -2 e x’’= 2)

loglog22(x+3) + log(x+3) + log22(x-3) = log(x-3) = log2277 (a solução é x=4)(a solução é x=4)

loglogx+1x+1(x(x22- x) = 2- x) = 2 (a solução é x=- (a solução é x=-

1/3)1/3)

EQUAÇÕES EQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

loglog33(x+5) = 2(x+5) = 2condição de existência: x+5>0 condição de existência: x+5>0 => x>-5=> x>-5

loglog33(x+5) = 2 (x+5) = 2

x+5 = 3x+5 = 322 x=9-5 => x=4 x=9-5 => x=4 S={4}.S={4}.

EQUAÇÕES EQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

log2(log4 x) = 1log2(log4 x) = 1 Resolução: condição de existência: Resolução: condição de existência:

x>0x>0 e e loglog44x>0x>0 loglog22(log(log44 x) = 1 x) = 1; sabemos que ; sabemos que

1 = log1 = log22(2)(2), então, então loglog22(log(log44x) = logx) = log22(2) => log(2) => log44x = 2 x = 2 => 4=> 422 = x => x = 16 = x => x = 16 Como Como x=16x=16 satisfaz as condições de satisfaz as condições de

existência, então o conjunto solução é existência, então o conjunto solução é S={16}.S={16}.

INEQUAÇÕES INEQUAÇÕES LOGARÍTMICASLOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.