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EM34B

Transferência de Calor 2Prof. Dr. André Damiani Rocha

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Aula 12 – Convecção Natural – Parte I

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Aula 12Convecção Natural

Introdução

Até o momento, consideramos a transferência de calor

por convecção sob a condição de escoamento

forçado;

Será considerado agora situações nas quais não há

velocidade forçada, porém existem correntes de

convecção no interior do fluido;

Tais situações são conhecidas por convecção natural

ou livre e surgem quando uma força de corpo atua

sobre um fluido no qual existem gradientes de massa

específica.

2

Aula 12Convecção Natural - Introdução

O efeito líquido é uma força de empuxo, que induz

correntes de convecção natural;

No caso mais comum, o gradiente de massa específica

é devido a um gradiente de temperatura e a força de

campo é devida ao campo gravitacional;

Como as velocidade em escoamento de convecção

natural são muito menores do que aquelas associadas

à convecção forçada, as taxas de transferência de

calor por convecção correspondentes serão menores;

Entretanto, os processos de convecção natural não

devem ser subestimados.

3

Aula 12Convecção Natural - Introdução

Em muitos sistemas envolvendo diversos tipos de

transferência de calor, a convecção natural fornece a

maior resistência à transferência de calor e,

consequentemente, assume um papel importante no

projeto ou no desempenho do sistema;

Além disso, quando é desejável minimizar taxas de

transferência de calor ou custos operacionais, a

convecção natural é usualmente preferida em

detrimento à convecção forçada.

4

Aula 12Convecção Natural - Aplicações

Existem, obviamente, muitas aplicações

A convecção natural influencia significativamente as

temperaturas de operação em dispositivos de geração

de potência e eletrônicos;

Ela desempenha papel importante em aplicações de

processamento térmico;

Na distribuição de temperatura no interior de

edificações;

Nas perdas de calor e cargas térmicas em sistemas de

aquecimento, ventilação e condicionamento de

ambientes.

5


Considerações Físicas

Na convecção natural, o movimento do fluido é devido

às forças de empuxo no sei interior, enquanto que na

convecção forçada este movimento é imposto

externamente;

O empuxo é devido à presença combinada de um

gradiente de massa específica no fluido e de uma força

de campo que é proporcional à massa específica.

6

Aula 12

Convecção Natural – Considerações Físicas

Na transferência de calor por convecção natural, a

força de campo é a gravitacional e o gradiente de

massa específica é devido à presença de um gradiente

de temperatura;

A presença de um gradiente de massa específica em

um fluido em um campo gravitacional não garante a

existência de correntes de convecção natural.

7

Aula 12


Considere o fluido confinado entre duas grandes placas

horizontais a diferentes temperaturas

8

Aula 12


Instável: a temperatura da placa inferior é maior do que a

temperatura da placa superior, e a massa específica

diminui no sentido da força gravitacional

9

Se a diferença de

temperaturas é superior a

um valor crítico, as

condições são instáveis e

as forças de empuxo são

capazes de superar a

influência retardadora das

forças viscosas

Aula 12


A força gravitacional no fluido mais denso nas camadas

superiores excede aquela que atua no fluido mais leve

nas camadas inferiores;

10

Irá ocorrer um certo

padrão de circulação: o

fluido mais pesado irá

descer, sendo aquecido

durante o processo,

enquanto o fluido mais leve

irá subir, resfriando-se à

medida que se desloca.

Aula 12


A transferência de calor ocorre então por convecção

natural da superfície inferior para a superfície superior

11

Aula 12


Estável: T1 > T2, este padrão de circulação não irá

acontecer, e a massa específica não diminui no sentido

da força gravitacional;

12

As condições são estáveis e

não há movimento global

no fluido.

A transferência de calor (do

topo para a base) irá

ocorrer por condução.

Aula 12


Escoamento de convecção natural podem ser

classificados conforme o fato de estarem ou não

limitados por uma superfície;

Na ausência de uma superfície adjacente, podem

ocorrer escoamento de fronteiras livres na forma de

uma pluma ou de jato livre;

A diferença entre uma pluma e um jato livre é feita

geralmente com base na velocidade inicial do fluido;

13

Aula 12


14

Aula 12


Nossa atenção será voltada aos escoamentos de

convecção natural limitados por uma superfície;

15

A placa encontra-se

imersa em um fluido

extenso e quiescente

e, com Ts > T, o fluido

próximo à placa é

menos denso do que

o fluido dela afastado;

Aula 12


Consequentemente, as forças de

empuxo induzem uma camada-

limite de convecção natural na

qual o fluido aquecido ascende

verticalmente, arrastando o fluido

da região quiescente.

16

Aula 12


A distribuição de velocidades resultante é diferente da

associada às camadas-limite de convecção forçada.

17

Em particular, a velocidade é zero

quando y = 0 e y .

Uma camada-limite de convecção

natural também se desenvolve se Ts < T.

Neste caso, entretanto, o movimento será

descendente.


Equações

Como para a convecção forçada, as equações que

governam as transferências de momentum e de

energia na convecção natural são originadas nos

princípios de conservação correspondentes;

A diferença entre os dois escoamentos é que, na

convecção natural, as forças de empuxo

desempenham um papel importante São essas forças

que, na realidade, sustentam o escoamento.

18

Aula 12Convecção Natural - Equações

Considere um escoamento de camada-limite laminar

que seja movido por forças de empuxo;

Admite-se condições bidimensionais, em regime

permanente e com propriedades constantes, nas quais

a força da gravidade atua no sentido negativo da

direção x;

Além disso, com uma exceção, considere o fluido

incompressível

19


A Equação de Quantidade de Movimento na direção x

é expressa por,

A exceção envolve levar em conta o efeito da massa

específica variável naa força de empuxo, uma vez que

é essa variação que induz o movimento do fluido;

20

𝜌 𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝜌𝑔 + 𝜇

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2


Suponha que as aproximações de camada-limite sejam

válidas,

A equação de Quantidade de Movimento na direção

x, pode ser reescrita como,

21

𝑢 ≫ 𝑣𝜕2𝑢

𝜕𝑥2≪

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2𝜕𝑝

𝜕𝑥≈𝜕𝑝∞𝜕𝑥

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

1

𝜌

𝜕𝑝∞𝜕𝑥

− 𝑔 + 𝜈𝜕2𝑢

𝜕𝑦2


onde 𝑑𝑝∞ 𝑑𝑥 é o gradiente de pressão na corrente livre

na região quiescente fora da camada-limite;

Nessa região, u = 0 e a Equação de Quantidade de

Movimento se reduz a,

22

𝜕𝑝∞𝜕𝑥

= −𝜌∞𝑔


E então,

onde ∆𝜌 = 𝜌∞ − 𝜌. Essa expressão é válida a cada ponto

na camada-limite de convecção natural

23

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑔

∆𝜌

𝜌+ 𝜈

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2


O 1º termo do lado direito é a força de empuxo e o

escoamento é gerado em função de a massa

específica ser variável

Se a variação de massa específica for somente devida

à variação de temperatura, essa parcela pode ser

relacionado a uma propriedade do fluido conhecida

como coeficiente de expansão térmica;

24

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑔

∆𝜌

𝜌+ 𝜈

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2


Coeficiente de Expansão Térmica

Essa propriedade termodinâmica do fluido fornece uma

medida da variação da massa específica em resposta

a uma mudança na temperatura, a pressão constante;

Pode ser aproximada por,

25

𝛽 = −1

𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑇𝑝

𝛽 ≈ −1

𝜌

∆𝜌

∆𝑇= −

1

𝜌

𝜌∞ − 𝜌

𝑇∞ − 𝑇


ou ainda,

Essa simplificação é conhecida como Aproximação de

Boussinesq;

Substituindo essa definição na equação de quantidade

de movimento,

26

∆𝜌 = 𝜌∞ − 𝜌 = 𝜌𝛽 𝑇∞ − 𝑇

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑔𝛽 𝑇∞ − 𝑇 + 𝜈

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2


Como os efeitos do empuxo estão restritos à equação

de Quantidade de Movimento, as equações de

Conservação de Massa e de Energia, permanecem

sem alterações em relação à convecção forçada;

O conjunto de equações governantes da convecção

natural é, então, expressa por:

Conservação da Massa:

27

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0


Quantidade de Movimento (direção x)

Energia

28

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑔𝛽 𝑇∞ − 𝑇 + 𝜈

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2


Note que a dissipação viscosa foi desprezada na

Equação da Energia – uma hipótese certamente

razoável para as baixas velocidades associadas à

convecção natural;

Matematicamente, o surgimento do termo relacionado

ao empuxo na equação de Quantidade de Movimento

complica a questão: não é mais possível que o

problema fluidodinâmico seja desacoplado e resolvido

sem o problema térmico

29


A solução da equação de Quantidade de Movimento

depende do conhecimento de T, e assim da solução

da equação da Energia;

Consequentemente, as equações governantes da

convecção natural são fortemente acopladas e devem

ser resolvidas simultaneamente

30


Os efeitos de convecção natural dependem,

logicamente, do coeficiente de expansão . A forma

pela qual é obtido depende do fluido.

Para um gás ideal 𝜌 = 𝑃/𝑅𝑇, tem-se que,

Sendo T a temperatura termodinâmica absoluta

31

𝛽 = −1

𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑇𝑝

=1

𝜌

𝑝

𝑅𝑇2=1

𝑇


Para líquidos e gases não-ideais, o coeficiente de

expansão deve ser obtido em tabelas de

propriedades apropriadas (Apêndice A);

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Condições de Similaridade

Nesta seção, os parâmetros adimensionais que

governam o escoamento e a transferência de calor por

convecção natural serão analisados;

Como para a convecção forçada, os parâmetros

podem ser obtidos pela adimensionalização das

equações que governam o processo

33

Aula 12

Convecção Natural – Condições de

Similaridade

Para tal, define-se que

onde L é um comprimento característico e 𝑢0 é uma

velocidade de referência arbitrária

34

𝑋 ≡𝑥

𝐿𝑌 ≡

𝑦

𝐿𝑈 ≡

𝑢

𝑢0𝑉 ≡

𝑣

𝑢0𝜃 ≡

𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑠 − 𝑇∞

Aula 12


Similaridade

Aplicando as definições, as equações de quantidade

de movimento e energia ficam,

35

𝑈𝜕𝑈

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑈

𝜕𝑌=𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿

𝑢02 𝜃 +

1

𝑅𝑒𝐿

𝜕2𝑈

𝜕𝑌2

𝑈𝜕𝜃

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝜃

𝜕𝑌=

1

𝑅𝑒𝐿𝑃𝑟

𝜕2𝜃

𝜕𝑌2

Aula 12


Similaridade

Como a velocidade de referência, 𝑢0, é arbitrária, ela

pode ser definida para simplificar a forma da equação

de Quantidade de Movimento. Para tal, define-se 𝑢0como,

de tal forma que,

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𝑢02 ≡ 𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿

𝑅𝑒𝐿 =𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿3

𝜈2

Aula 12


Similaridade

A quantidade dentro da raiz é conhecida como número

de Grashof (Gr),

O número de Grashof, Gr, é uma medida da razão entre

a força de empuxo e as forças viscosas que atuam no

fluido.

37

𝐺𝑟𝐿 =𝑔𝛽 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝐿3

𝜈2

Aula 12


Similaridade

As equações de Quantidade de Movimento e Energia

pode então ser reescritas como,

38

𝑈𝜕𝑈

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑈

𝜕𝑌= 𝜃 +

1

𝐺𝑟𝐿1/2

𝜕2𝑈

𝜕𝑌2

𝑈𝜕𝜃

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝜃

𝜕𝑌=

1

𝐺𝑟𝐿1/2

𝑃𝑟

𝜕2𝜃

𝜕𝑌2

Aula 12


Similaridade

Portanto, o número de Grashof (ou, mais precisamente,

𝐺𝑟𝐿1/2

) desempenha na convecção natural o mesmo

papel que o número de Reynolds desempenha na

convecção forçada;

Com base na forma das equações anteriores, espera-se

correlações para transferência de calor por convecção

natural na forma,

39

𝑁𝑢𝐿 = 𝑓 𝐺𝑟𝐿 , 𝑃𝑟

Aula 12

Convecção Natural, Laminar, Superfície

Vertical

Numerosas soluções para as equações de camada-limite

da convecção natural em regime laminar foram obtidas;

Um caso especial que recebeu muita atenção dos

pesquisadores envolveu a convecção natural em uma

superfície vertical isotérmica em meio extenso e

quiescente.

40

Aula 12


Vertical

Nessa geometria, as equações governantes do processo

de convecção natural devem ser resolvidas sujeitas a

condições de contorno;

41

Em y = 0:

u = v = 0, T = Ts

Em y 0

u 0 e T T

Aula 12


Vertical

Uma solução por similaridade para este problema foi

obtida por Ostrach (1952)

A solução envolve uma transformação de variáveis com

a introdução de um parâmetro de similaridade que tem

a forma

42

𝜂 ≡𝑦

𝑥

𝐺𝑟𝑥4

1/4

Aula 12


Vertical

E a representação das componentes da velocidade em

termos de uma função corrente definida como

E a componente da velocidade na direção x pode ser

escrita como,

43

𝜓 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑓 𝜂 4𝜈𝐺𝑟𝑥4

1/4

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦=𝜕𝜓

𝜕𝜂

𝜕𝜂

𝜕𝑦=2𝜈

𝑥𝐺𝑟𝑥

1/2𝑓′ 𝜂

Aula 12


Vertical

Componente da velocidade na direção y

As 03 EDP’s originais podem, então, ser reduzidas a duas

EDO’s nas formas

44

𝑓′′′ + 3𝑓𝑓′′ − 2 𝑓′ 2 + 𝜃

𝑣 =𝜕𝜓

𝜕𝑥

𝜃′′ + 3𝑃𝑟𝑓𝜃′ = 0

Aula 12


Vertical

Condições de contorno

45

Aula 12


Vertical

46

Aula 12


Vertical

O número de Nusselt local pode ser representado por

47

Aula 12


Vertical

O número de Nusselt médio pode ser representado por

48

Aula 12

Convecção Natural – Efeitos da Turbulência

É importante ressaltar que as camadas-limite de

convecção natural não estão restritas ao escoamento

laminar;

Como na convecção forçada, instabilidades

fluidodinâmicas podem aparecer. Isto é, distúrbios no

escoamento podem ser amplificados, levando à

transição de escoamento laminar para turbulento;

49

Aula 12


50

Aula 12


A transição na camada-limite de convecção natural

depende da magnitude relativa das forças de empuxo e

das forças viscosas no fluido;

´Comum correlacionar a sua ocorrência em termos do

número de Rayleigh, Ra = Gr Pr;

Para placas verticais:

51

Aula 12


Como na convecção forçada, a transição para o regime

turbulento tem um grande efeito sobre a transferência de

calor;

Dessa forma, os resultados anteriores se aplicam somente

se RaL 109.

Para obtenção de correlações apropriadas para o

escoamento turbulento, a ênfase será voltada para os

resultados experimentais.

52

Referências INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P., BERGMAN, T. L., LAVINE, A.,

Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6ª Edição,

Rio de Janeiro, Editora LTC, 2008.

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