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EM34B

Mecânica dos Fluidos 1Prof. Dr. André Damiani Rocha

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Aula 03: Estática dos Fluidos

mailto:[email protected]

Aula 03Estática dos Fluidos

O que é?

Trata do estado de forças atuantes no fluido na

ausência de movimento relativo entre as partículas;

Apenas a tensão normal está presente;

Na ausência de movimento relativo, não há

cisalhamento e as nove componentes se reduzem a

apenas três normais que estão na diagonal principal;

3

𝜎𝑥𝑥 0 00 𝜎𝑦𝑦 0

0 0 𝜎𝑧𝑧


Cunha de Fluido

4


Balanço de Forças:

Na direção x

Na direção z

5

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 → 𝑝𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝𝑛𝑑𝑠𝑑𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑧

2𝑑𝑦𝑎𝑥

𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 → 𝑝𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑝𝑛𝑑𝑠𝑑𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑧

2𝑑𝑦 = 𝜌

𝑑𝑥𝑑𝑧

2𝑑𝑦𝑎𝑧


Balanço de Forças: Fluido em repouso

Na direção x

Na direção z

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se 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑠 → 𝑝𝑥 − 𝑝𝑛 = 0

se 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑠 → 𝑝𝑧 − 𝑝𝑛 − 𝜌𝑔𝑑𝑧

2= 0

𝑝𝑥 = 𝑝𝑛

𝑝𝑧 = 𝑝𝑛 + 𝜌𝑔𝑑𝑧

2


Balanço de Forças: Fluido em repouso

No limite, fazendo dz 0

Como é arbitrário, conclui-se que a pressão p em um

fluido estático é um escalar, independente da

orientação,

7

𝑝𝑥 = 𝑝𝑧 = 𝑝𝑛 = 𝑝


Força de Pressão em um Elemento de Fluido

Elemento de fluido

8



Seja p a pressão no centro O do elemento;

A pressão em cada face na direção y pode ser

determinada usando expansão em série de Taylor em

torno do ponto O.

Na face esquerda e direita, a força é escrita como:

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𝐹𝑒 = 𝑝 −1

2

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐹𝑑 = 𝑝 +

1

2

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧



Balanço de força em y: 2ª Lei de Newton

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𝐹𝑒 − 𝐹𝑑 = 𝜌𝑑∀𝑎𝑦

𝑝 −1

2

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑝 +

1

2

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑦

−𝜕𝑝

𝜕𝑦= 𝜌𝑎𝑦 →

força

volume



Repetindo o mesmo procedimento nas direções x e z:

Na direção x:

Na direção z:

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−𝜕𝑝

𝜕𝑥= 𝜌𝑎𝑥 →

força

volume

−𝜕𝑝

𝜕𝑧= 𝜌𝑎𝑧 →

força

volume


Resumo: Forças devido à pressão

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

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−𝜕𝑝

𝜕𝑥=

força

volume

−𝜕𝑝

𝜕𝑦=

força

volume

−𝜕𝑝

𝜕𝑧=

força

volume


Vetor força/volume devido à pressão

Ou

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−𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑖 −

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑗 −

𝜕𝑝

𝜕𝑧 𝑘

−𝛻𝑝 ≡ −𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧 𝑘


Força de Campo

Decorrentes de potencial elétrico e/ou gravitacional;

Age sobre todo elemento;

Considerando somente o potencial gravitacional,

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𝐹𝑔 = 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐹𝑔 = 𝜌𝑔 →força

volume


Balanço de Forças - Total

Pela 2ª Lei de Newton, a soma total dessas forças por

unidade de volume é igual a massa por unidade de

volume vezes a aceleração do fluido.

Para um fluido em repouso (estático)

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Força

Volume= −∇𝑝 + 𝜌 𝑔 = 𝜌𝑎

−∇𝑝 + 𝜌 𝑔 = 0


Em cada direção

Na direção x:

Na direção y:

Na direção z:

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−𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜌𝑔𝑥 = 0

−𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜌𝑔𝑦 = 0

−𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜌𝑔𝑧 = 0


Considerando a gravidade alinhada com o eixo z,

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𝜕𝑝

𝜕𝑥=

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0 →

𝑑𝑝

𝑑𝑧= −𝜌𝑔 →

A pressão não varia nas direções x e y,

sendo assim, constante nessas direções

A pressão varia linearmente na direção de

z. A pressão diminui a medida que z

aumenta.


Resolvendo problemas em Estática dos Fluidos

Gravidade constante

Massa específica () = constante (Líquidos)

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𝑑𝑝 = −𝑔 𝜌𝑑𝑧

𝑑𝑝 = −𝑔𝜌 𝑑𝑧


Resolvendo problemas em Estática dos Fluidos

Massa específica () constante (Gases)

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𝜌 =𝑝

𝑅𝑇𝑑𝑝

𝑑𝑧= −𝜌𝑔

𝑑𝑝

𝑑𝑧= −

𝑝

𝑅𝑇𝑔

𝑑𝑝

𝑝= −

𝑔

𝑅

1

𝑇𝑑𝑧 →

𝑑𝑝

𝑝= −

𝑔

𝑅

1

𝑇𝑑𝑧

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Troposfera

Estratosfera

Isotérmico: 𝑇 = 𝑇0

𝑇 = 𝑇0 − 𝑚𝑧

Na Troposfera

Na Estratosfera

Atmosfera Padrão EUA



Condições a nível do mar (z = 0)

21



Na Troposfera

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𝑝0

𝑝 𝑑𝑝

𝑝= −

𝑔

𝑅 0

𝑧 𝑑𝑧

𝑇0 − 𝑚𝑧

𝑙𝑛𝑝

𝑝0=

𝑔

𝑚𝑅𝑙𝑛 1 −

𝑚𝑧

𝑇0

𝑝 = 𝑝0

𝑇

𝑇0

𝑔 𝑚𝑅



Na Estratosfera

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𝑝0

𝑝 𝑑𝑝

𝑝= −

𝑔

𝑅𝑇0 0

𝑧

𝑑𝑧

𝑙𝑛𝑝

𝑝0= −

𝑔

𝑅𝑇0𝑧 − 𝑧0

𝑝

𝑝0= 𝑒

−𝑔

𝑅𝑇0𝑧−𝑧0


Pressão Absoluta e Pressão Manométrica

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𝑝𝑚𝑎𝑛 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

𝑝𝑎𝑏𝑠

𝑝𝑚𝑎𝑛


Aplicação em Medidores de Pressão

A aplicação mais simples da estática dos fluidos é o

barômetro, que mede a pressão atmosférica

25 1608-1647

Evangelista

Torricelli

𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔𝑔ℎ + 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟

A pressão de vapor do

mercúrio é muito pequena(0,16Pa a 20°C), então:

𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝐻𝑔𝑔ℎ


Manômetros

Tubo Piezométrico

Consiste em um tubo vertical, aberto no topo e é fixado no

local onde se deseja medir a pressão.

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𝑃𝐴 = 𝛾1ℎ1


Manômetros

Tubo em “U”

O tubo em “U” é também utilizado para medir a “diferença

de pressão”.

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𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝛾3ℎ3 + 𝛾2ℎ2 − 𝛾1ℎ1


Manômetros

Tubo Inclinado

O manômetro de tubo inclinado é utilizando para medir

pequenas variações de pressão. Um lado do manômetro é

inclinado em um ângulo .

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𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝛾2𝑙2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝛾3ℎ3 − 𝛾1ℎ1


Manômetro de Bourdon

29

Aula 02Exemplo 01:

30

O manômetro B serve para medir a pressão no ponto A

em escoamento de água. Se a pressão em B for de

87kPa, calcule a pressão em A em kPa. Considere que

todos os fluidos estejam a 20°C.

Resposta: PA = 96,4kPa

Solução no quadro

Aula 02Leitura Obrigatória

31

Capítulo 03 do Livro-texto: Fox, R. W., McDonald, A. T.,

Pritchard, P. J., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 7ª

Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.

Referências32

Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à

Mecânica dos Fluidos, 7ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.

White, F. M., Mecânica dos Fluidos, 6ª Edição, McGraw-Hill,

Porto Alegre, 2011.

MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H., Fundamentos

da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.

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