EM34B

Mecânica dos Fluidos 1Prof. Dr. André Damiani Rocha

arocha@utfpr.edu.br

Aula 04: Forças Hidrostáticas em Superfícies

2 Aula 04Forças Hidrostáticas em Superfícies

Aula 04Forças Hidrostáticas em Superfícies

Força hidrostática em Superfície Plana

Importante em projetos de estruturas de contenção;

Envolve superfícies sólidas adjacentes ao fluido;

Essas forças se relacionam com o peso do fluido agindo

sobre a superfície;

Por exemplo: Um recipiente com fundo plano e

horizontal de área Af e profundidade H de água será

submetido a uma força para baixo igual a

6

𝐹fundo = 𝜌𝑔𝐻𝐴𝑓

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

7

Superfície livre

o

y

xF

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

8

Superfície livre

o

y

x

dA

F

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

9

Superfície livre

o

y

x

dA

h

F

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ

𝐹 = 𝐴

𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴

ℎ = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

10

Superfície livre

o

y

x

dA

h

F

𝐹 = 𝐴

𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴

𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴

𝑦𝑑𝐴

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

11

𝑦𝑐 =1

𝐴 𝐴

𝑦𝑑𝐴

Centroide da Área

A coordenada y do centroide é dada por

A força pode então ser rescrita como

𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐𝐴 ℎ𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐

𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴

Aula 04

Forças Hidrostáticas em SuperfíciePlana

12

Centroide da Área

A determinação da

localização do

centroide é simples

para formas

convencionais;

Para formas complexas,

é necessário fazer o

cálculo da integral.

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

13

Localização da Força

Questão importante: Onde a força atua?

Qual é o ponto de aplicação da força?

O ponto de aplicação da força é no centroide?

F

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

14

Localização da Força

Como calcular a localização da força?

Aplicando o balanço de momento

𝑑𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴

𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴

𝑑𝑀 = 𝑦𝑑F

𝑑𝑀 = 𝜌𝑔𝑦2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴

Superfície livre

o

y

x

hdF

Aula 04Localização da Força

15

𝐼𝑥 =1

𝐴 𝐴

𝑦2𝑑𝐴

Momento de Inércia

Momento de inércia de área em relação ao eixo x

O momento então pode ser reescrito como,

𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥

Aula 04Localização da Força

16

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2

Teorema dos Eixos Paralelos

Fornece uma relação do momento de inércia de área

arbitrária em relação ao momento de inércia em

relação ao centroide.

Superfície livre

o

y

x

xc

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Plana

17

Aula 04Localização da Força

18

Localização da Força

Substituindo a definição do momento de inércia na

equação do momento,

𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥

𝑀 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2

Aula 04Localização da Força

19

Localização da Força

O momento da força distribuída deve ser igual ao

momento da força resultante (local) F.

F

𝑦𝑅𝐹 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐2

yR𝑦𝑅𝜌𝑔𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐

2

𝑦𝑅 = 𝑦𝑐 +𝐼𝑥,𝑐𝑦𝑐𝐴

A localização da força

resultante não é no

centroide!

Aula 04Exemplo 01:

20

Considere a parede plana de comprimento b e largura

w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a

força resultante e sua localização

Aula 04Exemplo 02:

21

Considere a parede plana de comprimento b e largura

w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a

força resultante e sua localização

Aula 04Exemplo 03:

22

Considere a parede plana de comprimento b e largura

w mostrada na figura. Obtenha uma expressão para a

força resultante e sua localização

Aula 04Exemplo 04:

23

A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de

A, tem 5m de largura. Determine a força resultante sobre

a superfície inclinada.

Aula 04Exemplo 04: Solução

24

𝐹𝑅 = 𝑃𝑐𝐴

𝐹𝑅 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴

𝐹𝑅 = 𝜌𝑔 𝐷 +𝐿

2𝑠𝑒𝑛30° 𝐿𝑤

ℎ𝑐 = 𝐷 +𝐿

2𝑠𝑒𝑛30°

𝐹𝑅 = 588,4kN

Aula 04Exemplo 04: Solução

25

𝑦𝑅 = 𝑦𝑐 +𝐼𝑥,𝑐𝑦𝑐𝐴

𝑦𝑅 =𝐿

2+𝐷

𝑠𝑒𝑛𝜃+

𝑤𝐿3

12𝐿2+𝐷𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐿𝑤

𝑦𝑅 = 6,22𝑚

𝑥𝑅 =?

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

26

Superfícies Curvas

Como é de se imaginar, nem toda superfície é plana;

Como calcular as forças hidrostáticas em uma

superfície curva?

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

27

Superfície livre

𝐹𝑅 = 𝐹𝐻 𝑖 + 𝐹𝑉 𝑗

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

28

Componente Horizontal da Força

dAdFH

dF

𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴

𝑑𝐹𝐻 = 𝑃𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃

dA

dA cos

𝑑𝐹𝐻 = 𝑃𝑑𝐴𝑉

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

29

𝐹𝐻 = 𝐴

𝑃𝑑𝐴𝑉

Componente Horizontal da Força

A componente horizontal da força que atua na

superfície é a mesma força que atua na superfície

(plana) projetada na vertical;

Ou seja, o resultado é o mesmo obtido para a placa

plana porém, orientada na vertical

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

30

Componente Vertical da Força

A componente horizontal da força que atua na

superfície é

Superfície livre

dFV

𝑑𝐹𝑉 = 𝑃𝑑𝐴

𝑑𝐹𝑉 = 𝑃𝑑𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑𝐹𝑉 = 𝜌𝑔ℎ𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐹𝑉 = 𝜌𝑔𝑑∀

Aula 04

Forças Hidrostáticas em Superfície Curva

31

Componente Vertical da Força

Pode-se então escrever a componente vertical da

força como,

𝐹𝑉 = 𝐴

𝜌𝑔𝑑∀ = peso de fluido

Aula 04Exemplo 05:

32

A comporta BC em forma de um quarto de círculo é

articulada em C. Encontre a força horizontal P

necessária para manter a comporta parada. Despreze o

peso da comporta.

Aula 04Exemplo 05: Solução

33

Componentes da força

𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴

𝐹𝑉 = 𝜌𝑔∀

Força horizontal

Força vertical

FH

FV FR

𝐹𝐻 = 𝐹𝐻 + 𝐹𝑉

2

3𝐻

4𝑅

3𝜋

𝑀𝐶 = 0: 𝑃𝐻 − 𝐹𝐻𝐻

3− 𝐹𝑉4𝑅

3𝜋= 0

Aula 02Leitura Obrigatória

34

Capítulo 03 do Livro-texto: Fox, R. W., McDonald, A. T.,

Pritchard, P. J., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 7ª

Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.

Referências35

Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à

Mecânica dos Fluidos, 7ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2010.

White, F. M., Mecânica dos Fluidos, 6ª Edição, McGraw-Hill,

Porto Alegre, 2011.

MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H., Fundamentos

da Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.