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EM34B

Transferência de Calor 2Prof. Dr. André Damiani Rocha

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Aula 04 – Convecção Forçada

Escoamento Externo

mailto:[email protected]

Aula 04

Convecção Forçada: Escoamento Externo

Escoamento Externo

É definido como um escoamento não-confinado por

paredes;

As camadas-limite se desenvolvem livremente, sem

restrições impostas por superfícies adjacentes;

Concentraremos a atenção em problemas de

convecção forçada, com baixas velocidades e sem

mudança de fase no fluido;

2

Aula 04


Escoamento Externo

O principal objetivo é determinar os coeficientes

convectivos em diferentes geometrias do escoamento.

3

𝑁𝑢𝑥 = 𝑓 𝑥∗, 𝑅𝑒𝑥 , 𝑃𝑟

𝑁𝑢 = 𝑓 𝑅𝑒𝑥 , 𝑃𝑟

Aula 04


02 Abordagens – Empírica e Teórica

Empírica ou Experimental: envolve a execução de

medidas de transferência de calor sob condições

controladas de laboratório e a correlação de dados

através de parâmetros adimensionais apropriados;

Teórica: envolve a resolução das equações da

camada-limite para uma determinada geometria

4

Aula 04


Método Empírico

5

𝑁𝑢𝐿 = 𝐶𝑅𝑒𝐿𝑚𝑃𝑟𝑛

Correlação Empírica

Aula 04


Método Empírico

Os valores específicos do coeficiente C e dos expoentes

m e n variam com a natureza da geometria dasuperfície e com o tipo de escoamento.

6

Aula 04


Avaliando as Propriedades

A hipótese de propriedades do fluido constantes está

frequentemente explícita nos resultados;

Porém, a temperatura não é constante dentro da camada

limite;

02 abordagens:

o Temperatura de Filme:

7

𝑇𝑓 ≡𝑇𝑠 + 𝑇∞

2

𝑃𝑟∞ 𝑃𝑟𝑠𝑟

𝜇∞ 𝜇𝑠𝑟

o Termo de correção: as propriedades são

avaliadas em T e um parâmetro adicional é

utilizado na forma:

Aula 04


Placa Plana em Escoamento Paralelo

Apesar de ser simples, o escoamento paralelo sobre

uma placa plana ocorre em numerosas aplicações da

engenharia.

8

Aula 04


Placa Plana em Escoamento Paralelo: Laminar

Considerações:

o Laminar

o Incompressível

o Regime permanente

o Propriedades constantes

o Dissipação viscosa desprezível

9

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝜈

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2

Aula 04Placa Plana Isotérmica: Laminar

Solução: Camada-limite fluidodinâmica

A solução fluidodinâmica segue o método de Blasius;

A primeira etapa é definir uma função corrente:

Essas definições satisfazem a equação de conservação

da massa

10

𝑢 ≡𝜕𝜓

𝜕𝑦𝑣 ≡ −

𝜕𝜓

𝜕𝑥

Aula 04Placa Plana Isotérmica Laminar


As novas variáveis dependente e independente, f e ,são então definidas de modo que

O uso dessas variáveis simplifica a questão através da

redução da EDP para uma EDO.

11

𝑓 𝜂 ≡𝜓

𝑢∞ 𝜈𝑥/𝑢∞𝜂 ≡ 𝑦 𝑢∞/𝜈𝑥



A solução de Blasius é dita uma solução por

similaridade, e é uma variável similar.

É similar porque o perfil de velocidades 𝑢 𝑢∞

permanece geometricamente similar.

Essa similaridade possui a seguinte forma funcional

Onde 𝛿~ 𝜈𝑥/𝑢∞1/2 →

12

𝑢

𝑢∞= 𝜙

𝑦

𝛿𝑢

𝑢∞= 𝜙 𝜂



Assim, as componentes da velocidade são escritas da

seguinte forma

13

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦=

𝜕𝜓

𝜕𝜂

𝜕𝜂

𝜕𝑦= 𝑢∞

𝜈𝑥

𝑢∞

𝑑𝑓

𝑑𝜂𝑢∞ =

𝑑𝑓

𝑑𝜂

𝑣 = −𝜕𝜓

𝜕𝑥= − 𝑢∞

𝜈𝑥

𝑢∞

𝑑𝑓

𝑑𝑥+

𝑢∞

2

𝜈

𝑢∞𝑥𝑓 =

1

2

𝜈𝑢∞

𝑥𝜂

𝑑𝑓

𝑑𝜂− 𝑓



Diferenciando as componentes da velocidade

14

𝜕𝑢

𝜕𝑥= −

𝑢∞

2𝑥𝜂

𝑑2𝑓

𝑑𝜂2

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑢∞

𝑢∞

𝜈𝑥

𝑑2𝑓

𝑑𝜂2

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2=

𝑢∞2

𝜈𝑥

𝑑3𝑓

𝑑𝜂3

2𝑑3𝑓

𝑑𝜂3+ 𝑓

𝑑2𝑓

𝑑𝜂2= 0

EDO, não-linear, de 3ª ordem.



As condições de contorno apropriadas são

ou ainda,

15

𝑢 𝑥, 0 = 𝑣 𝑥, 0 = 0

𝑑𝑓

𝑑𝜂𝜂=0

= 𝑓 0 = 0

𝑢 𝑥, ∞ = 𝑢∞

𝑑𝑓

𝑑𝜂𝜂→∞

= 1


Solução: Camada-limite

fluidodinâmica

A solução da equação

resultante, submetida às

condições de contorno já

discutidas, pode ser

obtida por expansão em

série ou por integração

numérica.

16



17

𝑢 𝑢∞ = 0,99 → 𝜂 = 5,0

𝛿 =5,0

𝑢∞/𝜈𝑥=

5𝑥

𝑅𝑒𝑥



Tensão de cisalhamento

Coeficiente de atrito local

18

𝜏𝑠 = 𝜇 𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑦=0

= 𝜇𝑢∞ 𝑢∞/𝜈𝑥 𝑑2𝑓

𝑑𝜂2

𝜂=0

𝜏𝑠 = 0,332𝑢∞ 𝜌𝜇𝑢∞/𝑥

𝐶𝑓,𝑥 ≡𝜏𝑠,𝑥

𝜌𝑢∞2

2

= 0,664𝑅𝑒𝑥−1/2


Solução: Camada-limite térmica

A partir do conhecimento das condições da camada-

limite de velocidades, a equação da energia pode ser

resolvida;

Temperatura adimensional e forma funcional

19

𝑇∗ ≡𝑇 − 𝑇𝑠

𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑇∗ = 𝑇∗ 𝜂



Efetuando as substituições necessárias, a equação da

energia fica da seguinte forma,

Observe a dependência da solução térmica em

relação às condições fluidodinâmicas, através da

variável f.

20

𝑑2𝑇∗

𝑑𝜂2+

𝑃𝑟

2𝑓

𝑑𝑇∗

𝑑𝜂= 0



As condições de contorno apropriadas são

21

𝑇∗ 0 = 0 𝑇∗ ∞ = 1

A solução pode ser obtida por

integração numérica



Uma consequência importante dessa solução é que,

Para Pr ≥ 0,6, os resultados podem ser correlacionados

por,

Representando o coeficiente convectivo local como,

22

𝑑𝑇∗

𝑑𝜂𝜂=0

= 0,332𝑃𝑟1/3

ℎ𝑥 = 𝑘𝑢∞

𝜈𝑥

1/2

𝑑𝑇∗

𝑑𝜂𝜂=0



Assim, o Nusselt local tem a forma

A partir dessa solução, tem-se que, para Pr ≥ 0,6, a

razão entre as espessuras das camadas-limite de

velocidade e térmica é,

23

𝑁𝑢𝑥 ≡ℎ𝑥𝑥

𝑘= 0,332𝑅𝑒𝑥

1 2𝑃𝑟 1 3 → 𝑃𝑟 ≥ 0,6

𝛿

𝛿𝑡≈ 𝑃𝑟 1 3


Parâmetros da camada-limite médios

Coeficiente de atrito médio

24

𝐶𝑓,𝑥 ≡𝜏𝑠,𝑥

𝜌𝑢∞2 2

𝜏𝑠,𝑥 ≡1

𝑥 0

𝑥

𝜏𝑠,𝑥 𝑑𝑥

𝐶𝑓,𝑥 = 1,328𝑅𝑒𝑥−1/2



Coeficiente de transferência de calor médio

25

ℎ𝑥 =1

𝑥 0

𝑥

ℎ𝑥 ℎ𝑥 =

𝑘

𝑥𝑃𝑟1/3

𝑢∞

𝜈 0

𝑥 𝑑𝑥

𝑥1/2

𝑁𝑢𝑥 ≡ ℎ𝑥𝑥

𝑘= 0,664𝑅𝑒𝑥

1 2𝑃𝑟1/3



Se o escoamento for laminar ao longo de toda a

superfície, o subscrito x pode ser substituído por L;

Nas expressões anteriores vemos que, para o

escoamento laminar sobre uma placa plana, os

coeficientes de atrito e convectivos médios são o dobro

dos coeficientes locais.

Observa-se também que, ao usarmos essas expressões,

o efeito de propriedades variáveis pode ser tratado

pela avaliação das propriedades usando Tf.

26


Metais líquidos

Para fluidos como os metais líquidos (Pr pequeno) o

desenvolvimento da camada-limite térmica é muito

mais rápido.

27

𝑁𝑢𝑥 = 0,564𝑃𝑒𝑥1/2

→ 𝑃𝑟 ≤ 0,05; 𝑃𝑒𝑥 ≥ 100

𝑃𝑒𝑥 ≡ 𝑅𝑒𝑥𝑃𝑟


Correlação de Churchill e Ozoe

Correlação que se aplica a todos os números de

Prandtl, considerando escoamento laminar sobre uma

placa isotérmica.

28

𝑁𝑢𝑥 =0,3387𝑅𝑒𝑥

1/2𝑃𝑟1/3

1 +0,0468

𝑃𝑟

2/3 1/4→ 𝑃𝑒𝑥 ≥ 100

𝑁𝑢𝑥 = 2𝑁𝑢𝑥

Aula 04Placa Plana Isotérmica: Turbulento

Correlações

Não é possível a obtenção de soluções analíticas

exatas para camadas-limite turbulentas – instáveis;

Correlações obtidas a partir de dados experimentais;

Schlichting mostrou que para Re ~ 108, o coeficiente de

atrito local é correlacionado como,

29

𝐶𝑓,𝑥 = 0,0592𝑅𝑒𝑥−1/5

→ 𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 108


Correlações

A camada-limite de velocidade pode ser representadacomo,

Note que o crescimento da camada-limite turbulenta émuito mais rápido quando comparado com a camada-limite laminar.

30

𝛿 = 0,37𝑅𝑒𝑥−1/5


Correlações

Nusselt local para escoamento turbulento

A melhor mistura causa um crescimento mais rápido da

camada-limite turbulenta, quando comparado ao da

camada-limite laminar, e faz com que os coeficientes

de atrito e convectivo sejam maiores.

31

𝑁𝑢𝑥 = 0,0296𝑅𝑒𝑥4/5

𝑃𝑟1/3

Aula 04Placa Plana Isotérmica: Mista

Camada-limite mista

A camada-limite turbulenta é, geralmente, precedida

por uma camada-limite laminar;

Se a transição ocorrer próximo à aresta de saída da

placa (0,95 xc/L 1), os coeficientes de atrito e

convectivos médios podem ser utilizados;

Se a transição ocorrer próximo à aresta de entrada

(xc/L 0,95), então os coeficientes médios serão

influenciados pelas condições tanto da camada-limite

laminar quanto pela camada-limite turbulenta.

32


Camada-limite mista

O coeficiente convectivo médio no caso de camada-

limite mista é dado por,

33

ℎ𝐿 =1

𝐿 0

𝑥𝑐

ℎ𝑙𝑎𝑚𝑑𝑥 + 𝑥𝑐

𝐿

ℎ𝑡𝑢𝑟𝑏𝑑𝑥

ℎ𝐿 =𝑘

𝐿0,332

𝑢∞

𝜈

1/2

0

𝑥𝑐 𝑑𝑥

𝑥1/2+ 0,0296

𝑢∞

𝜈

4/5

𝑥𝑐

𝐿 𝑑𝑥

𝑥1/5


Camada-limite mista

O número de Nusselt médio, é dado por,

34

𝑁𝑢𝐿 = 0,037𝑅𝑒𝐿4/5

− 𝐴 𝑃𝑟1/3

𝑁𝑢𝐿 =0,6 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 600

𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝐿 < 108

𝐴 = 0,037𝑅𝑒𝑥,𝑐4/5

− 0,664𝑅𝑒𝑥,𝑐1/2


Camada-limite mista

O coeficiente de atrito médio, é dado por,

35

𝐶𝑓,𝐿 =1

𝐿 0

𝑥𝑐

𝐶𝑓,𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑐

𝐿

𝐶𝑓,𝑥𝑑𝑥

𝐶𝑓,𝐿 = 0,074𝑅𝑒𝐿−1/5

−2𝐴

𝑅𝑒𝐿→ 𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 𝑅𝑒𝐿 ≤ 108

Aula 04

Placa Plana: Comprimento Não-Aquecido

Comprimento inicial não-aquecido

Existem casos que envolve a existência de um

comprimento inicial não aquecido (Ts = T) a montante

da seção aquecida (Ts T);

36

Aula 04

Placa Plana: Comprimento Não-Aquecido

Nusselt – Laminar

Nusselt - Turbulento

37

𝑁𝑢𝑥 = 𝑁𝑢𝑥 𝜉=0

1 − 𝜉/𝑥 3/4 1/3

𝑁𝑢𝑥 = 𝑁𝑢𝑥 𝜉=0

1 − 𝜉/𝑥 9/10 1/9

Aula 04Placa Plana: Fluxo Constante

Placa plana com fluxo de calor constante

Quando a superfícies estiver sob a condição de fluxo de

calor constante, o número de Nusselt para escoamento

laminar é dado por,

Para escoamento turbulento,

38

𝑁𝑢𝑥 = 0,453𝑅𝑒𝑥1/2

𝑃𝑟1/3

𝑁𝑢𝑥 = 0,0308𝑅𝑒𝑥4/5

𝑃𝑟1/3

Aula 04Exemplo 01

Considere os fluidos a seguir a uma temperatura de filme de

300K, em escoamento paralelo sobre uma placa plana com

uma velocidade de 1m/s: ar atmosférico, água, óleo motor e

mercúrio.

a) Para cada fluido, determine as espessuras das camadas-

limite de velocidade e térmica a uma distância de 40mm

da aresta frontal.

b) Para cada um dos fluidos especificados e nas mesmas

coordenadas, represente em um gráfico as espessuras

das camadas-limite em função da distância da aresta

frontal.

39

Aula 04Exemplo 01 (Solução)



da aresta frontal.

40

𝑢∞ = 1𝑚/𝑠

𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 1𝑚/𝑠

Propriedades do Ar – Tabela A.4

𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 15,89𝑥10−6 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 0,707

Propriedades da Água – Tabela A.6

𝑇 = 300𝐾 → 𝜇 = 855𝑥10−6𝑃𝑎. 𝑠; 𝜌 = 997 𝑘𝑔 𝑚3 𝑃𝑟 = 5,83




da aresta frontal.

41

𝑢∞ = 1𝑚/𝑠


Propriedades do Óleo – Tabela A.5

𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 550𝑥10−6 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 6400

Propriedades do Mercúrio – Tabela A.5

𝑇 = 300𝐾 → 𝜈 = 0,113 𝑚2 𝑠 ; 𝑃𝑟 = 0,0248




da aresta frontal.

42

𝑢∞ = 1𝑚/𝑠


Espessuras das camadas-limite

𝛿 =5𝑥

𝑅𝑒𝑥

𝛿𝑡 =𝛿

𝑃𝑟1/3𝑅𝑒𝑥 =

𝑢∞𝑥

𝜈

b) Camada-limite hidrodinâmica43

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040

0,0025

0,005

0,0075

0,01

0,0125

0,015

0,0175

0,02

0,0225

0,025

x [m]

d [

m]

ÓleoÓleo

MercúrioMercúrio

ÁguaÁgua

ArAr

b) Camada-limite térmica44

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0,0045

0,005

x [m]

dt [m

]

ÓleoÓleo

ArAr

ÁguaÁgua

MercúrioMercúrio

b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Óleo)45

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040

0,0025

0,005

0,0075

0,01

0,0125

0,015

0,0175

0,02

0,0225

0,025

x [m]

d [

m]

dhdh

dtdt

b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Ar)46

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0,0045

0,005

x [m]

d [

m]

dhdh

dtdt

b) Camada-limite hidrodinâmica x térmica (Mercúrio)47

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

0,001

0,0011

0,0012

x [m]

d [

m]

dhdh

dtdt

Aula 04Exemplo 02

Óleo motor a 100°C e a uma velocidade de 0,1m/s escoa

sobre as duas superfícies de uma placa plana com 1m de

comprimento mantida a 20°C. Determine:

a) As espessuras das camadas-limite de velocidade e

térmica na aresta de saída da placa;

b) O fluxo de calor e a tensão de cisalhamento na superfície

na aresta de saída da placa;

c) Represente graficamente as espessuras das camadas-

limite e os valores locais da tensão de cisalhamento na

superfície, do coeficiente convectivo e do fluxo de calor

como uma função de x, para 0 x 1m.

48

Aula 04Exemplo 03

Uma placa plana de largura 1m e comprimento 0,2m é

mantida a temperatura de 32°C. Fluido ambiente a 22°C

escoa através da superfície superior da placa em

escoamento paralelo. Determine o coeficiente de

transferência de calor médio e a taxa de transferência de

calor nas seguintes condições:

a) O fluido é água escoando a uma velocidade de 0,5m/s;

b) O fluido é água escoando a uma velocidade de 2,5m/s;

49

Aula 04Leitura Obrigatória

50

Capítulo 07 do Livro-texto: INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P.,

BERGMAN, T. L., LAVINE, A., Fundamentos de Transferência de

Calor e de Massa. 6ª Edição, Rio de Janeiro, Editora LTC,

2008.

Referências INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P., BERGMAN, T. L., LAVINE, A.,

Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6ª Edição,

Rio de Janeiro, Editora LTC, 2008.

51

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