curso de lógica e cálculo numérico · ser capaz de executar cálculo numérico com maior...

Curso de Lógica e Cálculo Numérico

título

Curso de Lógica e Cálculo Numérico

autor

César Moreira

coordenação gráfica e paginação

Rui Miguel Rosa

© Todos os direitos desta edição são reservados à Angola2learn.

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios, sem autorização

escrita da Angola2learn.

Este livro faz parte do Curso de Lógica e Cálculo Numérico da

empresa Angola2learn e não pode ser vendido, copiado ou

divulgado separadamente do curso.

© Luanda, 2017

Urbanização Nova Vida,

Rua 60, Casa 1561

Município de Belas – Luanda

Tel.: 222 722 149 / Telm.: 942 444 486

Email: [email protected]

www.angola2learn.co.ao

Curso de lógiCa e CÁlCulo numériCo

Sinopse

No final deste curso vai possuir conhecimentos que lhe permitam agilizar o processo de

cálculo, seja de uma conta ou operação matemática, seja de um problema. Neste curso são

ensinadas e explicadas as noções básicas dos procedimentos que devem ser realizados

para calcular de forma mais rápida e com sucesso.

Numa primeira instância, realizar-se-á uma introdução à matemática, à sua importância e

aos seus princípios, onde se poderá rever alguns conceitos básicos, seguindo-se uma

série de truques e dicas para agilizar o cálculo, sobretudo, a nível mental. Por fim, abordar-

-se-á o raciocínio lógico e formas de resolução de problemas.

Em suma, esta formação tem como principal objectivo facilitar a aprendizagem de técnicas

úteis, para o dia-a-dia e relembrar e ensinar alguns processos matemáticos.

Principais objectivos

No final deste curso estará apto a:

• Transmitir noções básicas dos conceitos matemáticos.

• Ser capaz de executar cálculo numérico com maior facilidade.

• Ser capaz de responder eficazmente a questões de raciocínio e de lógica.

• Aplicar estratégias que agilizam o cálculo númérico e o raciocínio lógico.

Duração

30h (a gerir de acordo com as competências do formando e a sua autonomia pessoal na

condução do processo de aprendizagem)

Destinatários do curso

Todos aqueles que desejam aprender ou relembrar modos de realizar, rápido, prático e

eficazmente, um conjunto de cálculos e problemas matemáticos. Não existem requisitos

mínimos, o formando pode utilizar este curso para aprender novos conhecimentos, ou

simplesmente para rever e praticar conceitos já adquiridos.


Apresentação 5

Módulo 1Introdução à Matemática 7

1.1. História da Matemática

1.2. Os números

1.3. Princípios do raciocínio matemático

1.4. A ordem das operações

7

9

10

12

Módulo 2Cálculo Mental 16

2.1. A importância do cálculo mental

2.2. Estratégias de cálculo mental

2.2.1. Cálculo mental com números naturais

2.2.2. Cálculo mental com números racionais não negativos

2.3. Estratégias para aproximação de números

2.4. O sentido de número

17

18

19

21

23

25

Módulo 3Estratégias e dicas matemáticas 28

3.1. Adição

3.2. Subtracção

3.3. Multiplicação

3.4. Divisão

3.5. Percentagens

29

34

37

43

49

Módulo 4Introdução ao raciocínio lógico 53

4.1. O problema e a sua resolução

4.2. Técnicas de resolução de problemas

4.3. Problemas: casos práticos e sua resolução

41

56

58

Índice

5


Apresentação

Bem-vindo ao nosso Curso de Lógica e Cálculo Numérico!

A Matemática está presente em diversas situações do nosso quotidiano. Se olharmos ao

nosso redor, podemos notar sua presença nos contornos, nas formas dos objectos, nas

medidas de comprimento, na escola, em casa, no lazer e nas brincadeiras.

O seu desenvolvimento está ligado à pesquisa, ao argumento, ao interesse por descobrir

algo novo, investigar situações. A Matemática é a ciência do raciocínio lógico.

Desde a Antiguidade, a necessidade do homem de relacionar os acontecimentos naturais

ao seu quotidiano despertou o interesse pelos cálculos e números.

O surgimento do sistema de numeração decimal provocou um enorme avanço no

desenvolvimento da Matemática pois assim as teorias e aplicações podiam basear-se nos

números, na procura de teorias e comprovações das mesmas.

Actualmente, a Matemática consiste na ciência mais importante do mundo moderno,

sendo abordada na escola logo no pré-escolar através de jogos e brincadeiras.

A sua relação com o quotidiano exige das pessoas um conhecimento mais amplo da

disciplina, por isso devemos dar uma maior atenção ao seu estudo não só na escola como

na aprendizagem ao longo da vida. Este curso serve para isso mesmo!

Algumas de suas aplicações estão relacionadas com financiamentos, compras parceladas,

operações comerciais de compra e venda, construções, investimentos financeiros,

aplicações bancárias ou cálculos operatórios básicos.

Módulo 1Introdução à Matemática

7


Módulo 1Introdução à Matemática

1.1 Contextualização histórica da Matemática

A Matemática que é dada na escola não faz justiça à

importância que a Matemática tem nas nossas vidas, até

porque apenas é abordada uma pequeníssima parte desta

disciplina. A Matemática é extremamente diversificada.

Começando pelo princípio, a origem da Matemática tem

o seu início na contagem. De facto, contar não é uma

característica unicamente humana. Alguns animais também

são capazes de contar.

É possível remontar à antiga pré-história para verificar

vestígios de formas de contar através de ossos nos quais

se encontraram riscos que dão indícios de alguma espécie

de contagem.

8

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica

Curso de lógICa e CÁlCulo nuMérICo

Ao longo dos anos deram-se várias inovações:

• No período áureo dos egípcios, criou-se

a primeira equação, cerca 3.000 a.C.

(antes de Cristo). Uma equação é

uma igualdade envolvendo uma ou

mais incógnitas (valores desconhecidos,

por exemplo, X + 8 = 15). Resolver uma

equação, consiste em encontrar todos

os possíveis valores para que essa

incógnita se torne verdadeira.

• Na Grécia Antiga, os gregos fizeram

enormes avanços em Geometria (ramo

da Matemática que estuda questões

relacionada com as formas dos objectos, o tamanho ou a sua posição) e Numerologia

(estudo que recorre à simbologia dos números e a operações matemáticas para

interpretar os nomes próprios e predizer as características das pessoas);

• Na China, por volta do ano 200 a.C. criaram-se os números negativos;

• O número zero é utilizado pela primeira vez na Índia, no ano 628 a.C./d.C. ;

• Na idade dourada do Islão, por volta do ano 820 a.C./d.C. , os matemáticos Persas

escreveram o primeiro livro sobre Álgebra;

• No período Renascentista, o estudo da Matemática teve a sua primeira revolução

com um número de estudiosos a inovar como nunca tinha sido feito anteriormente.

Muitas inovações foram criadas dentro da Matemática mas foi, de facto, na época

contemporânea que se deu o salto de gigante.

A Matemática dividiu-se basicamente em dois ramos:

• Matemática Pura, que estuda e verifica novas fórmulas;

• Matemática Aplicada, que é utilizada na resolução de problemas do dia-a-dia

de outras disciplinas como a física ou ciências informáticas;

Figura 1.1.2 Abacáco na Antiguidade.

Figura 1.1.1 Representação de inventário no antigo Egipto.

9

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


1.2 Os números

O Número é o objecto primordial da Matemática usado para descrever quantidade,

ordem ou medida.

O conceito de número foi um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados pela

humanidade, aquando do processo primário de contagem. Existem vários tipos ou

conjuntos de números. Eis alguns exemplos:

• Números naturais: são todos os números inteiros não negativos como, por exemplo,

1, 2, 3, 4, 5..., sendo que «zero» não é considerado um número natural. Em alguns

contextos, também é definido como um número inteiro positivo. O uso mais comum

de um número natural é a contagem ou a ordenação. Com estes números é possível

realizar operações aritméticas como adição ou multiplicação. Os números naturais

são representados pelo símbolo N.

• Números inteiros: são todos os número positivos e todos os números negativos

mais o «zero», por exemplo: −2; −1; 0; 1; 2. Os números inteiros são representados

pelo símbolo R.

• Números racionais: é todo o número que pode ser representado por uma razão ou

fracção entre dois números inteiros, por exemplo, 7,5; 1/2; 3/5. O conjunto dos

números racionais é representado pelo símbolo Q.

• Números reais: são números usados para representar uma quantidade contínua

(incluindo o «zero» e os números negativos). Um Número Real é um valor que

representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua. Um exemplo de um

número real é o π (3,14159265...). Os números reais são representados pelo

símbolo R.

O estudo da estrutura dos números tem como origem o momento em que a representação

de número se tornou complexa. Por exemplo, em equações ou na forma de variáveis

– o «ente» matemático, em regra representado por uma letra, pode corporificar diferentes

valores numéricos. A forma como estas estruturas são organizadas é estudada através da

disciplina matemática Álgebra. Existem ainda outras estruturas de números complexos

como vectores ou matrizes, que são números multidimensionais. A forma como estes são

organizados é estudado pela Álgebra Linear.

10

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


1.3 Os princípios do raciocínio matemático.

A Matemática é, frequentemente, ensinada de uma forma desumanizada. Este problema

observa-se desde logo no tipo de ensino da Matemática que existe em Angola e em

muitos outros países. Há muito tempo que deixámos de relacionar a Matemática com

o meio em que vivemos e esta tornou-se numa disciplina abstracta, ou seja, sem uma

contextualização real..

Mas, se tornarmos a Matemática humana de novo, esta começará a fazer sentido

novamente. Como podemos então torná-la mais real? Eis um exemplo que poderá ser

recreado com uma criança:

• Se somarmos uma maçã + uma maçã, o resultado é duas maçãs.

• Se somarmos, um lápis + três lápis, é fácil perceber que o resultado é cinco lápis.

• A soma de um bilião + um bilião, o resultado é dois biliões.

1 maçã= 2 maçãs

1 maçã

2 lápis= 5 lápis

3 lápis

1 bilião= 2 biliões

1 bilião

Independentemente do número, o princípio é somar a primeira parte e acrescentar a

palavra, seja maçãs, lápis ou biliões. É importante utilizar palavras para descrever, além

dos números, uma vez que a Matemática é uma forma de expressão. Ou seja, basta utilizar

uma abordagem enquanto língua que o cálculo torna-se mais simples e intuitivo.

1 WIGNER, Eugene. A Implausível Eficácia da Matemática nas Ciências Naturais. Communications in Pure and Applied

Mathematics, (1959) New York University. Trad. de Osvaldo Pessoa Jr. (2009).

A Matemática é uma forma de expressão humana, tal como o Português, o Inglês ou

o Chinês, uma vez que permite às pessoas comunicarem umas com as outras.

Na Antiguidade as pessoas recorriam a cálculos matemáticos para efectuar negócios,

trocas comerciais, construir monumentos ou medir terrenos para a agricultura.

Galileu Galilei, uma das mentes mais brilhantes da História, afirmou que «as leis da

natureza são escritas em linguagem matemática.1».

11

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


De acordo com o raciocínio anterior, se fizermos a soma

de 1/3 + 1/3, a resposta será, obviamente, 2/3. Se uma

criança sabe a resposta estas questões matemáticas,

como consegue saber o resultado sem conhecer o que

são numeradores ou denominadores?

Uma resposta a esta questão é que a criança não estará a

pensar em numeradores e denominadores. Ela pensará

no problema como: um terço mais um terço é igual a

dois terços, ou seja, a mesma lógica aplicada tal como

nas contas das maçãs ou dos lápis.

1 → Numerador indica o objecto num todo,

8 → Denomidador indica o número de partes desse objecto

Outro exemplo, de Algebra avançada... a soma de 7 × x2 + 2 × x2 será igual a 9 × x2.

7 × x2

= 9 × x2

2 × x2

Este raciocínio é possível sem sequer saber o que são

expoentes, apenas porque abordámos a questão matemática

como se de uma língua se tratasse. De acordo com este

princípio, é necessário começar por aprender Matemática sob

outro ponto de vista.

Existem elementos fundamentais para a aprendizagem da

matemática como é o conhecimento da tabuada. E também,

este conhecimento pode ser simplificado de modo a ficar a

conhecer todas as tabuadas de cor.

Uma das formas de reaprender a tabuada é soletrando a

própria multiplicação que estamos a fazer. Por exemplo, a

conta 7 × 3, deve ser soletrada como sete vezes três. Ao

verem esta forma, iremos de imediato pensar assim: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Ao perceber isto, perceber-se-á que somar

sete vezes o número três é muito lento e que é necessário

memorizar que «três, sete vezes… são 21».

Em vez de estarmos a contar pelos dedos, estaremos a criar

uma lógica de resolução de um problema.

Figura 1.3.1 Representação da estrutura de uma fracção.

12

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


1.4 A ordem das operações

Em matemática, a ordem de operações refere-se à regra que define a lógica pela

qual as operações devem ser realizadas numa expressão matemática

Uma expressão matemática é a combinação de números, operadores, variáveis

livres ou ligadas e símbolos gráficos (como parêntesis) agrupados de forma

significativa de modo a permitir a verificação de valores, formas, meios ou fins.

A ordem que deve seguir é a seguinte, tal como indicado em baixo mas, para não esquecer,

lembre-se da sigla PEMDAS:

P de parênteses;

E de expoente (potência e radical);

M de multiplicação;

D de divisão;

A de adição; e

S de subtracção.

Para melhor perceber esta ordem das operações, segue-se alguns exemplos que poderá

verificar recorrendo a uma calculadora. O mais importante é que compreenda o porquê da

ordem pela qual as operações têm de ser realizadas.

13

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


1.o exemplo

Se tivermos em conta a operação 3 + 2 × 7, qual será o resultado?

Há duas hipóteses: 35 ou 17, dependendo da forma como realizarmos a conta.

Hipótese 1

Somar 3 + 2 = 5; depois multiplicar 5 × 7; o resultado será 35.

Hipótese 2

Multiplicar 2 × 7 = 14; depois somar 3 + 14; o resultado será 17.

A resposta correcta é a 2.a hipótese, uma vez que, de acordo com a regra

PEMDAS a primeira operação a realizar é a multiplicação e não a adição. Utilizando

esta regra de ordenação das operações, o cálculo já não será feito de forma

aleatória e os resultados serão consistentes.

2.o exemplo

Se tivermos em conta a operação 5 + 42 × 3, qual será o resultado?

Há duas hipóteses: 63 ou 53, dependendo da forma como realizarmos a conta.

Hipótese 1

4 2 é igual a 4 × 4, ou seja 16; Somar 5 + 16 = 21; depois multiplicar 21 × 3; o resultado será 63.

Hipótese 2

42 é igual a 4 × 4, ou seja 16; multiplicar 16 × 3 = 48; depois somar

5 + 48; o resultado será 53.

A resposta correcta é a 2.a hipótese uma vez que, de acordo com a regra

PEMDAS, a primeira operação a realizar é a resolução do expoente (42), depois

segue-se a multiplicação e, por último, a adição.

SoMA SubTRAção MuLTIPLICAção DIvISão

Figura 1.4.1 Simbolos das operações matemáticas.

14

Mó

du

lo 1

In

tro

du

ção

à M

ate

má

tica


A Matemática é uma forma de expressão humana e, tal como a língua portuguesa obedece a determinadas regras e estruturas, também a Matemática não pode ser utilizada de forma aleatória de forma a evitar o erro! Por vezes, o caminho que parece mais fácil, acaba por não o ser!

3.o exemplo

Se tivermos em conta a operação 3 × (6+2)

√16 , qual será o resultado?

A resposta correcta, mais uma vez, terá de coincidir com a ordem PEMDAS:

1.o Resolver o que está entre parêntesis: (6+2) = 8;

2.o Resolver a raiz quadrada de 16 (√16), cujo resultado é igual a 4;

3.o Segue-se a multiplicação, 3 × 8, cujo resultado é 24;

4.o Por fim teremos a fracção 24/4, cujo resultado será 6.

CuRSo DE LóGICA E CÁLCuLo NuMéRICo

Módulo 2Cálculo mental

16


Módulo 2Cálculo mental

O trabalho com números é fundamental na vida quotidiana e a sua importância reflecte-se

nos currículos escolares de todo o mundo. Isso acontece igualmente em Angola onde o

ensino e a aprendizagem da Matemática enfrentam novos desafios com a generalização

de um novo programa. Existem propósitos de educação comuns a todo o ensino da

matemática que requerem uma mudança de práticas, como é o caso do desenvolvimento

do sentido de número, da compreensão dos números e das operações e da capacidade

de cálculo mental e escrito.

O cálculo mental ou cálculo numérico é referido nos currículos de Matemática de qualquer

sistema de educação, há mais de 70 anos e deve ter um lugar de destaque nas orientações

curriculares em Angola embora ao longo do tempo isto nem sempre se tenha verificado.

Em boa verdade, o rápido avanço tecnológico tem contribuído para a desvalorização de

competências básicas de cálculo mental quando deveria ter acontecido o contrário pois o

desenvolvimento de estratégias pessoais de cálculo mental permite a consolidação do

sentido de número e a melhoria da capacidade crítica e de estimação dos alunos.

Com a utilização mais recorrente da calculadora, perdeu-se a prática de fazer contas de

cabeça, remetendo para segundo plano a aprendizagem das competências básicas de

cálculo mental. Os alunos têm cada vez menos capacidade de cálculo mental e mais

dificuldade com as operações básicas. Por isso, de forma a desenvolver nos alunos o

sentido crítico e flexibilidade nas operações com números, é preciso pensar numa

operação aritmética que junte em harmonia o cálculo mental e o uso da calculadora.

17

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.1 O que se entende por cálculo mental?

A expressão cálculo mental refere-se à operação matemática efectuada

exclusivamente «de cabeça». Entende-se por cálculo mental a «operação

aritmética, feita de memória e sem auxílio de sinais escritos».

No entanto, o cálculo mental e escrito podem ser semelhantes uma vez que ambos usam

o mesmo encadeamento de operações mentais elementares.

Será possível recorrer ao registo escrito quando se efectua cálculo mental? Sim. Limitar

o cálculo mental a operações aritméticas efectuadas exclusivamente «de cabeça» poderá

ser errado uma vez que na realização de operações através dos algoritmos por cálculo

escrito o cálculo mental também está presente. De salientar ainda que o cálculo escrito

executado de memória não é mais do que uma forma de cálculo mental adaptado.

Desta forma, o cálculo mental não se restringe às operações de cabeça e a utilização do

papel e lápis para cálculos intermédios pode ser útil. Assim, a definição de cálculo mental

não é linear embora o «calcular com a cabeça» seja uma ideia mais forte do que o «calcular

de cabeça» uma vez que no cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem

rapidez e eficiência na resposta, podendo ser mesmo utilizado papel e lápis para cálculos

intermédios.

O cálculo mental é um importante aspecto a considerar no âmbito do desenvolvimento

do sentido do número. Um dos aspectos do sentido de número é a capacidade que uma

pessoa tem em aplicar conhecimentos e a sua destreza com números e operações em

situações de cálculo. Deste modo, é necessário:

• compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário;

• ter a noção que existem múltiplas estratégias;

• usar uma representação ou um método eficiente; e

• rever os dados e a razoabilidade do resultado.

18

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.2 Estratégias de cálculo mental

Existem múltiplas possibilidades e estratégias que agilizam as operações de cálculo

mental. No decorrer deste módulo iremos incidir em duas estratégias principais1:

1. cálculo mental com números naturais;

2. cálculo mental com números racionais não negativos.

Embora o cálculo mental permita a utilização de estratégias pessoais, existe um conjunto

de estratégias que podem ser aprendidas, treinadas e praticadas por qualquer pessoa.

1 No módulo 3, ir-se-á aplicar algumas destas estratégias em maior pormenor.

As estratégias de cálculo mental, quando conhecidas, compreendidas e aplicadas, permitem a realização eficaz e rápida do cálculo.

19

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.2.1 Cálculo mental com números naturais

Ï Decomposição de número: Estratégia utilizada nas quatro operações em que,

por exemplo: na adição e subtracção, opera-se ordem-a-ordem.

Tenhamos como exemplo a operação 235 + 462. Atente aos seguintes passos:

1. somar os valores maiores, neste caso, as centenas: 200 + 400 = 600;

2. somar os valores intermédios, neste caso, as dezenas: 30 + 60 = 90;

3. somar os valores menores, neste caso, as unidades: 5 + 2 = 7;

4. somar os valores que se encontraram anteriormente: 600 + 90 + 7 = 697;

� na multiplicação, decompõe-se o produto em vários produtos. Tenhamos como

exemplo o número 30:

1. 30 = 2 × 15;

2. 30 = 5 × 6;

3. 30 = 3 × 10;

Estas são algumas formas de factorizar o número 30. Observe que este número foi escrito

como uma multiplicação de outros números.

Tenhamos agora como exemplo, ainda para a multiplicação, a operação 4 × 15. Atente

à seguinte estratégia:

1. em vez de multiplicar o quinze por 4, dividimos o número quatro por dois para

tornar a operação mais fácil, ou seja 2 × (2 × 15 = 30);

2. multiplique por 2 a expressão entre parêntesis, ou seja, 2 × (30) = 60;

� na divisão, factoriza-se o divisor em vários factores iguais. Tenhamos como exemplo

a operação 249 ÷ 3:

1. 249 = 240 + 9;

2. assim, divide-se primeiro 240 ÷ 3 (= 80), e depois 9 ÷ 3 (= 3);

3. somar os dois resultados 80 + 3 = 83.

20

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


Ï Compensação: Estratégia usada para a adição e subtracção em que, por exemplo,

se adiciona ou subtrai um número próximo ao resultado e se subtrai o que se adicionou a

mais ou se adiciona o que se adicionou a menos.

Tenhamos em conta, por exemplo a operação 478 + 98:

1. o número 98 está próximo do 100, assim: 98 + 2 = 100;

2. depois realizamos a conta 478 + 100 = 578;

3. por fim, subtraímos o número que adicionámos anteriormente: 578 − 2 = 576.

Ï Factorização: Estratégia utilizada na divisão em que se factoriza o divisor. Tenhamos

como exemplo a operação 150 ÷ 4:

1. calcula-se 150 ÷ 2 ÷ 2 (= 37,5).

Ï Subtracções sucessivas: Estratégia usada na divisão em que no caso de 20 ÷ 4, se vai

subtraindo sucessivamente o número quatro até obter zero. Depois, contar o número de

vezes que subtraiu, como se mostra no exemplo seguinte:

1. 20 − 4 =16; 16 − 4 = 12; 12 − 4 = 8; 8 − 4 = 4; 4 − 4 = 0.

Ao todo, subtraímos cinco vezes o número 4. Deste modo, 20 ÷ 4 = 5.

21

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.2.2 Cálculo mental com números racionais não negativos

Muito já se discutiu sobre estratégias de cálculo mental com números racionais. Algumas

das estratégias utilizadas passam por usar uma regra anteriormente memorizada e colocar

de forma sequencial uma combinação de estratégias, por exemplo, transformar decimais

em fracções para construir o todo.

É muito importante compreender a relação entre as diferentes representações de um

número racional para que se consiga desenvolver o cálculo mental com números

racionais.

Segue-se uma lista de várias estratégias deste tipo de cálculo:

Ï Mudança de operação: Esta estratégia consiste na transição entre operações inversas.

Ou seja, em todas as acções existe uma acção contrária, quase como um oposto e isto

também acontece na matemática. Existe a ação inversa das operações que entendemos

por operação inversa. (por exemplo, abrir e fechar uma porta).

Vejamos, como exemplo, a operação inversa (2) da adição (1):

1. numa cesta de frutas temos doze maçãs e sete bananas. No total temos 19 frutas na cesta. Em representação numérica temos: 12 + 7 = 19.

2. numa cesta de frutas temos doze maçãs e sete bananas. No total temos 19 frutas na cesta. O Renato comeu sete frutas que estavam na cesta. Com quantas

frutas ficamos no total? Em representação numérica temos: 19 − 7 = 12.

Ï Mudança de representação: Utilização das diferentes representações de um número

racional (fracção, decimal, percentagem) ou de números inteiros referentes a 10∕100 em

que, por exemplo, na operação 0,19 + 0,1 se considera 0,19 como 19 e 0,1 como 10.

1. 0,19 + 0,1 → 19 + 1 = 20;

2. regresso às casas decimais 20 → 0,20;

Ï utilização de equivalências: Utilização de representações equivalentes, por exemplo

na operação 3⁄4 − 1/2, para simplificar, nesta última fracção, utilizar-se-á a equivalência 2/4.

1. Por este princípio, a fracção 2/5 é equivalente a 4/10, que é equivalente a 8/15,

e assim por diante.

22

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


Ï utilização de factos conhecidos: Todos nós fazemos algumas correspondências com

o que já sabemos. Por exemplo, no cálculo de 10% de 45, usa-se o conhecimento que

têm sobre 10% para retirar primeiro 10% de 40 e depois 10% de 50. O resultado de 10% de 45% encontrar-se-á no meio, vejamos:

1. 10% de 45 = ?;

2. 10% de 40 = 4;

3. 10% de 50 = 5;

4. deste modo, 10% de 45 será 4,5.

Ï Repetição de operações: os alunos efectuam adições/multiplicações sucessivas ou

utilizam dobros e metades. Por exemplo, no cálculo de 25% de 80, calcula-se a metade

de 80 e, depois, novamente a metade da metade anterior, vejamos:

1. 80 ÷ 2 = 40

2. 40 ÷ 2 = 20

3. 25% de 80 = 20

Ï Estabelecer ligações: o nosso cérebro estabelece ligações entre números.

Por exemplo, para adicionar 6,4 com 1,9 considere 1,9 como 2.

1. 6,4 + 1,9 = ?

2. 6,4 + 2 (1,9 + 0,1) = 8,4

3. 8,4 − 0,1 = 8,3

Ï Trabalhar da esquerda para a direita: considere primeiro operar com a parte inteira

e só depois com a parte decimal, vejamos:

1. 4,5 − 3,3 = (4 + 0,5) − (3 + 0,3)

2. assim, 4 − 3 = 1 e depois, 0,5 − 0,3 = 0,2

3. 1 + 0,2 = 1,2

23

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.3 Estratégias para aproximação de números

Quando nos interessa mais realizar um cálculo rápido, em detrimento de um mais exacto,

podemos recorrer a algumas técnicas, de cálculo mental, que nos dão valores aproximados.

Importante! Deve-se ter em conta que quanto maior for o arredondamento dos

números, mais nos afastamos dos resultados exactos.

Ï Arredondamento: esta técnica consiste em substituir os dígitos por zeros. Por exemplo:

1. o saldo anual de um trabalhador que recebe 1.207,75 Kz por mês pode ser

calculado multiplicando-se 1.200,00 Kz por 12 meses, ou seja, um resultado

aproximado de 14.400,00 Kz, ainda que o valor exacto seja de 14.493,00 kz.

Ï Truncamento: com esta técnica eliminamos os decimais que dificultam sempre as

operações matemáticas Por exemplo:

1. 48,56 + 6,12 = 49 + 6 = 55 (o valor exacto seria 54,68)

Como arredondar números?

Os números que terminam entre 1 e 4 são arredondados ao menor número anterior

terminado em zero. Por exemplo, o 74 é arredondado para o número inferior mais próximo,

ou seja, 70.

Já os números que terminam com dígito 5 ou maiores devem ser arredondados ao número

superior mais próximo. Por exemplo, o 88 arredonda-se para o número superior mais

próximo, ou seja, o 90.

Ï Arredondamento de decimais: Conservar o número correcto de lugares decimais. Se o

valor posicional do decimal seguinte for 5 ou superior, aumenta-se o valor do último decimal

em 1. Por exemplo:

1. 27,17469 → arredondando ao número inteiro mais próximo → 27;

2. 36,74691 → arredondando ao número inteiro mais próximo → 37;

3. 12,34690 → arredondando ao número decimal mais próximo → 12,3.

24

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


Ï Estimativa pela esquerda: A estimativa pela esquerda produz um resultado mais próximo

das somas ou subtracções que o resultado obtido somando-se ou subtraindo-se números

arredondados.

Como estimar a soma pela esquerda?

1. somam-se os dígitos dos valores posicionais mais altos;

2. colocam-se zeros nos outros valores posicionais. Por exemplo: − 4496 + 3745 é

estimado como 4400 + 3700 = 8100 (valor exacto = 8241).

Como estimar a soma de dois decimais por arredondamento?

1. arredonda-se cada termo decimal que vai ser somado;

2. somam-se os termos arredondados.

Por exemplo, para estimar a soma 0,988 + 0,53:

a. arredonda-se 0,988 → 1 e 0,53 → 0,5;

b. de seguida, somam-se os números arredondados 1 + 0,5 e obtém-se o valor 1,5;

c. note que a soma exacta de 0,988 + 0,53 corresponde a 1,518.

25

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


2.4 O sentido de número

O conhecimento flexível dos números e das suas relações é visível no desenvolvimento

de estratégias de cálculo eficientes bastante úteis para o quotidiano dos cidadãos.

O cálculo mental pode ser considerado uma forma de lidar com os números e com as

suas relações de forma flexível, e isso implica:

1. trabalhar com números e não com dígitos;

2. permite o uso de propriedades e as relações entre os números; e

3. embora se calcule mentalmente, é possível recorrer a registos em papel.

Além disso, vivemos na era da tecnologia, ou seja, deu-se uma enorme generalização da

utilização de novas ferramentas que implicam trabalhar com números nos mais variados

contextos. Nesse sentido, é fundamental agilizar o nosso processo de cálculo. É claro que,

para isso, não basta conhecer as regras, como aquelas que que abordámos anteriormente,

é necessário treinar muito.

O desenvolvimento do sentido de número, até pelas inúmeras componentes que

o caracterizam, é um processo evolutivo e gradual e deve ser transversal a todo o

conhecimento. E não há dúvida que a necessidade de utilização de cálculo mental nos

dias de hoje ajudou a desenvolver o sentido de número.

O conceito de sentido de número é como uma intuição quantitativa e é definido

como uma rede conceptual que permite a relação entre números, operações

e suas propriedades, permitindo também a resolução de problemas de modo

flexível e criativo.

26

Mó

du

lo 2

C

álc

ulo

me

nta

l


O cálculo mental evoluiu através de três formas básicas, analisadas do ponto de vista dos

processos de aprendizagem em que a sua aquisição é acompanhada pelo aumento da

compreensão dos números e das operações:

a. Cálculo mental através de uma estratégia do cálculo em recta, em que os

números são vistos como objectos numa recta numérica e em que as operações

são movimentos ao longo da recta;

b. Cálculo mental através de uma estratégia de decomposição em que os números

são vistos como objectos de uma estrutura decimal e as operações são

executadas a partir das decomposições decimais dos números;

c. Cálculo mental usando estratégias variadas, em que os números são vistos

como objectos que podem ser estruturados de diferentes formas e em que as

operações são efectuadas a partir da escolha de uma estrutura adequada

e usando as propriedades aritméticas.


Módulo 3Estratégias e dicas matemáticas

28


Módulo 3Estratégias e dicas matemáticas

Sabemos que:

1. a Matemática pode ser daquelas disciplinas mal-amadas. Muitas das vezes o

problema está nos primeiros contactos que temos com ela pensando que aquilo

é um bicho-de-sete-cabeças. Com algoritmos complicados e até símbolos

gregos, a matemática é um problema na vida várias pessoas.

2. a Matemática, como já vimos anteriormente é sobejamente utilizada no nosso

quotidiano, e existem alguns «atalhos» que podem agilizar nossas vidas,

parecendo até ser um truque de magia.

3. a Matemática pode aterrorizar as pessoas que não se dão bem com cálculos

mas também é cheia de truques que fazem parecer ser extremamente

simples, deixam qualquer pessoa de boca aberta com a resolução rápida de

alguns problemas que poderia demorar muito tempo para resolver de outra

forma ou sem estes conhecimentos.

Neste módulo iremos exemplificar e praticar alguns truques e estratégias com o objectivo de

agilizar o seu raciocínio ao realizar cálculos matemáticos. Requer apenas conhecimentos

básicos que qualquer um aprende na escola. Iremos dividir estes truques ou estratégias em

algumas das operações básicas da Matemática:

1. adição;

2. subtracção;

3. multiplicação;

4. divisão;

5. percentagens.

E u

Ma t emá t i c a

29

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s

Curso dE lógiCa E CÁlCulo numériCo

3.1 A adição

A adição, ou soma, é uma operação aritmética que tem por fim reunir num só

número dois ou mais da mesma espécie, chamados parcelas.

$ Número referência

Comecemos de forma fácil, os seguintes pares de números têm uma coisa em comum:

1 e 9; 2 e 8; 3 e 7; 4 e 6; 5 e 5. A soma do par é 10!

Isto pode parecer óbvio mas é um passo muito importante. Ir-se-á utilizar estes pares de

números como referência para uma técnica de reagrupamento. Assim, sempre que ler um

destes pares de números, irá automaticamente pensar em… 10, um número (ou os seus

múltiplos: 10, 20, 30, etc.) com o qual é muito mais fácil realizar operações. Ao adicionar um

número único a um outro, a técnica do número de referência é conveniente pois pode ser

utilizado como base de apoio a meio de uma operação que queremos resolver, por norma,

um múltiplo de 10.

1. Imaginemos a operação 15 + 8, como solucionar esta operação?

a. usar como referência o número 20, um número razoavelmente aproximado dos

valores e superior ao 15;

b. partir a operação de modo a que consigamos chegar ao 20 mais facilmente;

c. 15 é múltiplo de 5, o 8 não é. Mas se retirarmos 3 ao 5 já temos a operação

15 + 5 + 3;

d. somamos os múltiplos de 5 (15 + 5 = 20) 20 + 3 = 23.




b. necessitamos acrescentar 7 ao 63 para obter a referência 70. Então, partimos o

9 em 7 + 2 e adicionamos um de cada vez: 63 + 9 é igual a 63 + (7 + 2);

c. somamos o primeiro o número que nos leva à referência (63 + 7 = 70) e depois o

número restante a esta soma anterior (70 + 2 = 72);




b. necessitamos acrescentar 3 ao 117 para obter a referência 120. Então, partimos

o 6 em 3 + 3 e adicionamos um de cada vez: 117 + 6 é igual a 117 + (3 + 3);

c. somamos o primeiro o número que nos leva à referência (117 + 3 = 120) e depois

o número restante a esta soma anterior (120 + 3 = 123).

30

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Desagregação pelo valor de posição

Para resolver uma operação com esta técnica, temos de partir os números pelo valor

de referência (múltiplos de 10, como já foi referenciado).


a. o número 12 é equivalente a uma vez o número dez (1 × 10) e a duas vezes o

número um (2 × 1). Já o 88 é equivalente oito vezes o número dez (8 × 10) e a

oito vezes o número um (8 × 1), ou seja, 12 + 88 é igual a (10 + 2) + (80 + 8);

b. a adição é comutativa, ou seja, podemos reordenar os valores que o resultado

será sempre igual. Assim podemos reordenar os números em nosso proveito,

como por exemplo:

� somar primeiro os múltiplos de dez (10 + 80 = 90) e depois os restantes

números (2 + 8 = 10);

� somar o valor final: 90 + 10 = 100.


a. o número 36 é equivalente a 30 + 6, já o 72 é equivalente 70 + 2, ou seja,

36 + 72 é igual a (30 + 6) + (70 + 2);

b. usar a propriedade comutativa da adição. Assim, podemos reordenar os números

em nosso proveito, como por exemplo:

� somar primeiro os múltiplos do número dez (30 + 70 = 100) e depois os

restantes números (6 + 2 = 8);

� somar o valor final: 100 + 8 = 108.

31

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Roubo de números

Esta técnica utiliza a capacidade de redistribuição de números. É o equivalente matemático a

“roubar os ricos e dar aos pobres”.


a. transformar o 49 em 50 (49 + 1 = 50), roubando 1 ao 86 (86 − 1 = 85), o que vai

transformar esta operação em 50 + 85 (uma conta com múltiplos de 5 muito mais

fácil de realizar);

b. eventualmente, partir os restantes números: 50 + 85 é igual a 50 + (50 + 35);

c. somar os múltiplos de 10: (50 + 50) + 35 é igual a 100 + 35;

d. realizar a soma final: 100 + 35 = 135.

Combinação de técnicas


a. Comecemos por partir as centenas 462: (400 + 62) + 379 (300 + 79);

b. reordenar para somar as centenas: (400 + 300 = 700) + (62 + 79);

c. depois roubar 1 ao 62 (62 − 1 = 61) para somar ao 79 (79 + 1 = 80) e criar

um múltiplo de 10. Temos agora a operação 700 + (61 + 80);

d. Somamos as centenas aos múltiplos de 10, ou seja, 700 + 80 = 780 e partimos

o 61 para obter um múltiplo de 10, ou seja, 61= 60 + 1;

e. voltamos a somar os múltiplos de 10, ou seja 780 + 60 = 240;

f. terminamos a somar o que sobrou, ou seja 240 + 1 = 241.

Todas estas técnicas podem parecer lentas e pesadas em papel, mas com a prática,

vai perceber que conseguirá realizar estas adições mentalmente de forma muito mais fácil.

32

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


A adição feita da esquerda para a direita

Imagine a operação 624 + 107, cujo resultado é 731. Habitualmente o processo para a

realizar é:

524

+ 107

731

Este processo tradicional pode não ser o processo ideal para todas as pessoas, sobretudo

para realizar a operação mentalmente!

Alterar a ordem pela qual realizamos a adição, começando pelos valores maiores pode,

eventualmente, ser um pouco mais intuitivo e fácil de processar. O princípio será sempre o

mesmo, independentemente do valor que tivermos. Vejamos três exemplos:

1. Imaginemos uma operação com dois dígitos 58 + 26, como solucionar esta

operação?

58

+ 26

?

2. Imaginemos agora uma operação com três dígitos 766 + 485, como solucionar

esta operação?

a. começar por somar as centenas: 700 + 400 = 1100;

b. somar as dezenas: 60 + 80 = 140;

c. somar os dois valores já encontrados 1100 + 140 = 1240;

d. somar o dígito da unidade do primeiro valor: 1240 + 6 = 1246;

e. somar o último dígito: 1246 + 5 = 1251.

3. Imaginemos agora uma operação com quatro dígitos 1575 + 2843, como

solucionar esta operação?

a. começar por somar os milhares: 1000 + 2000 = 3000;

b. somar as centenas: 500 + 800 = 1300;

c. somar os dois valores já encontrados 3000 + 1300 = 4300;

d. somar as dezenas: 70 + 40 = 110;

e. somar os dois valores já encontrados 4300 + 110 = 4410;

f. somar o dígito da unidade do primeiro valor: 4410 + 5 = 4415;

g. somar o último dígito: 4415+ 3 = 4418.

a. começar por adicionar os múltiplos de 10: 50 + 20 = 70;

b. somar o dígito da unidade do primeiro valor: 70 + 8 = 78;

c. somar o último dígito: 78 + 6 = 84.

a. colocar um número sobre o outro e somar as casas

decimais uma a uma, da direita para a esquerda.

33

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Estratégia para adicionar uma lista de números

De vez em quando, deparamo-nos com uma lista de números para adicionar que nos leva a

socorrermo-nos da calculadora. Mas… e se não tivermos nem calculadora nem papel e lápis

à mão? Teremos de o realizar mentalmente!

É claro que estas técnicas demoram a ser adquiridas e só com a prática o conseguimos,

mas pode dar muito jeito quando absorvemos a ideia. Além disso, é também uma ajuda

enorme a abordar os números de uma forma estratégica e não linear.

1. Números com um dígito:

Imaginemos uma lista de números com apenas um dígito, por exemplo, 7 + 4 + 9 + 3 + 5 + 6 + 8 + 2 + 7, como realizar a operação?

a. procure, em primeiro lugar, múltiplos de 10 na lista (os pares estão identificados

por cores iguais): 7 + 4 + 9 + 3 + 5 + 6 + 8 + 2 + 7, ou seja, existem 3 pares, o que

perfaz um somatório de 30;

b. sobra-nos os números 9 + 5 + 7 que, somando, perfazem 21;

c. somar os dois valores encontrados: 30 + 21 = 51.

2. Soma de números à volta de um valor comum:

Imaginemos uma lista de 10 números com valores perto do 100: 98 + 88 + 105 + 102 + 99 + 95 + 100 + 101 + 90 + 92, como realizar a operação?

a. Uma forma inteligente de adicionar estes números é contar o valor que falta

(símbolo −), ou sobra (símbolo +), para chegar aos 100 e termos uma lista de 10

números com 100:

98 (−2) + 88 (−12) + 105 (+5) + 102 (+2) + 99 (−1) + 95 (−5) + 100 + 101 (+1) + 90 (−10) + 92 (−8).

b. Riscar os valores que se anulam e somar os que sobram:

98 (−2) + 88 (−12) + 105 (+5) + 102 (+2) + 99 (−1) + 95 (−5) + 100 + 101 (+1) + 90 (−10) + 92 (−8) — ficamos então com (−12) + (−10) + (−8) = −30.

Isto significa que temos 30 valores a menos se os números fossem todos 100.

c. Assim, 10 (lista de números) × 100 = 1000.

d. 1000 − 30 = 970.

34

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


3.2 A subtracção

$ Número referência

Tal como já foi realizado para a adição (ver p. 25), é possível utilizar uma referência para

realizar operações de subtracção. Vejamos os exemplos.

1. Imaginemos a operação 15 − 9, como solucionar esta operação?

Usar como referência o número 10, um número razoavelmente aproximado dos valores

e inferior ao 15:

a. do número 15 para o 10, há um valor de 5 de diferença. Assim, subtraímos 5 ao

9, ou seja, 9 – 5 = 4;

b. deste modo temos a operação 15 – 5 – 4.

c. a nível mental é então mais fácil subtrair primeiro 15 – 5 = 10, e depois subtrair

10 − 4 = 6.

Contar para cima

Esta é outra técnica popular, o contar para cima. Nesta técnica, pode começar com o número

mais pequeno e começar a contar para cima até ao número maior, utilizando sempre a

referência.

1. Imaginemos de novo a operação 15 - 9, como solucionar esta operação?

Usar como referência o número 10, um número razoavelmente aproximado dos valores

e inferior ao 15:

a. vamos então começar com o 9, para chegar ao 10, falta apenas 1, correcto?

9 + 1 = 10;

b. depois utilizemos o 15, do valor referência (10) para 15 temos uma distância de 5,

ou seja, 10 + 5 = 15;

c. para chegar aos valores de referência, contámos um total de + 6 (1 + 5). Então o

resultado da operação indicada, 15 − 9 = 6.

35

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


2. Imaginemos agora a operação 33 − 18, como solucionar esta operação?

Começar pelo valor mais pequeno e usar como referência o número 20, um número

razoavelmente aproximado dos valores e o mais próximo do valor inferior:

a. vamos então começar com o 18 – para chegar ao 20, falta apenas 2, correcto?

18 + 2 = 20;

b. não existem unidades entre o 20 e o 30, portanto, vamos adicionar +10 ao valor

já encontrado para criar um valor de referência próximo do segundo número da

operação (33). Assim, 20 (18 + 2) + 10 = 30;

c. somar os dois valores já contados, ou seja 2 + 10 = 12;

d. depois utilizemos o 33. Do valor referência (30) para 33 temos uma distância de

3, ou seja, 30 + 3 = 33;

e. para chegar aos valores de referência, contámos então um total de + 15 (12 + 5).

Então o resultado da operação indicada, 15 − 9 = 15.


Começar pelo valor mais pequeno. Usar como referência o número 60, um número

razoavelmente aproximado dos valores e o mais próximo do valor inferior:

a. vamos então começar com o 59. Para chegar ao 60, falta apenas 1, correcto?

59 + 1 = 60;

b. agora, contar do 60 até ao 120 (valor de referência para o número maior):

60 + 60 = 120;

c. contar agora do valor de referência 120 para o 127, ou seja, 120 + 7 = 127;

d. por fim, somar todas as contagens: 1 + 60 + 7 = 68. Assim, 127 – 59 = 68.


Começar pelo valor mais pequeno. Usar como referência o número 330, um número

razoavelmente aproximado dos valores e o mais próximo do valor inferior.

a. Vamos então começar com o 328. Para chegar ao 330, falta apenas 2, correcto?

328 + 2 = 330;

b. agora, contar do 330 até ao 400: 330 + 70 = 400;

c. do 400, saltar até à centena seguinte: 400 + 100 = 500;

d. contar depois do 500 até ao valor de referência do número superior:

500 + 70 = 570;

e. resta apenas contar do valor de referência até ao número pretendido:

570 + 2 = 572;

f. por fim, somar todas as contagens: 2 + 70 + 100 + 70 + 2. Para simplificar, somar

primeiro as parcelas iguais, ou seja, 70 + 70 (= 140) + 2 + 2 (= 4) + 100 é igual a

140 + 4 + 100 = 244.

36

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


A subtracção enquanto distância numa linha

Também podemos pensar numa subtracção enquanto uma distância entre dois números.

Mas como podemos fazê-lo?

Iremos ter em conta a operação realizada no exercício anterior (572 − 328):

1. Começar por seccionar a centena do meio;

328 500400

100

572

2. depois, contar do meio para fora para determinar os incrementos. Por exemplo:

� contar do 500 para o 570 e do 570 para o 572, para um total de 72 unidades.

� depois contar do 400 para baixo, até ao 330, e do 330 para o 328, para um total

também de 72.

Em termos visuais, podemos perceber assim:

328

2 270 70

500400

100

572

3. depois, basta contar os números já encontrados, ou seja 100 + 72 + 72 = 244.

Subtrair qualquer número de 1000

Esta é uma técnica muito fácil e até divertida. Para subtrair qualquer número de 1000 use esta

regra básica: subtrair individualmente cada dígito de 9, com excepção do último que você

subtrairá de 10.

Imaginemos agora a operação 1000 − 723, como solucionar esta operação?

a. Subtrair 7 de 9 = 2;

b. subtrair 2 de 9 = 7;

c. subtrair 3 de 10 = 7;

d. temos então o valor de 277, ou seja, 1000 – 723 = 277.

37

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


3.3 A multiplicação

$ Conhecimentos básicos sobre multiplicação

De forma resumida, a multiplicação significa repetição de adições. Imaginemos que juntamos

sete conjuntos de dois:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Na verdade, o que se está a referir é que se quer saber o total de sete vezes um conjunto de

dois, ou, de outro modo, sete cópias de dois: 7 × 2.

Com uma pequena mudança de perspectiva, podemos olhar para a imagem de cima como

uma adição repetida, ou seja 7 + 7.

7

7

Nesta imagem, estamos a perguntar qual é o total de duas cópias de 7, ou duas vezes 7.

Deste modo, estas duas multiplicações são equivalentes, uma vez que pode trocar-se a

ordem dos factores sem que o resultado se altere, ou seja, 2 x 7 = 14 ou 7 x 2 = 14

A esta característica dá-se o nome de propriedade comutativa da multiplicação.

A propriedade comutativa não se reflecte na subtracção nem da divisão.

Por exemplo:

1. 2 − 1 ≠ 1 − 2 ou seja 2 − 1 = 1 e 1 − 2 = −1

2. 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1 ou seja 1 ÷ 2 = 0,5 e 2 ÷ 1 = 2

Importante: qualquer número multiplicado por zero, o resultado é zero. A esta regra dá-se o nome de propriedade de produto zero.

38

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


A tabela de multiplicar clássica: simplificação

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

É claro que, ao olhar para todos estes números, podemo-nos sentir quase desesperados!

No entanto, devido à propriedade comutativa, metade desta tabela consiste em repetições,

tal como podemos ver na tabela seguinte:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

4 16 20 24 28 32 36 40 44 48

5 25 30 35 40 45 50 55 60

6 36 42 48 54 60 66 72

7 49 56 63 70 77 84

8 64 72 80 88 96

9 81 90 99 108

10 100 110 120

11 121 132

12 144

Há poucos padrões na tabela que facilitarão a memorização mais fácil. Vejamos:

39

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


1. a primeira coluna é fácil uma vez que qualquer número multiplicado por

1 o resultado é o próprio número, por exemplo: 9 x 1 = 9;

2. qualquer número multiplicado por 10, o resultado é o próprio número com

o acréscimo do zero, por exemplo, 9 × 10 = 90;

3. os valores da multiplicação por 11 seguem também um padrão simples: para

qualquer número multiplicado por 11, acrescenta-se o próprio número de novo

no resultado. Por exemplo, 2 × 11 = 22, ou, 9 × 9 = 99;

4. o número 5 também tem um padrão interessante pois os múltiplos de 5 também

são fáceis de decorar: 5, 10, 15, 20, etc;

5. por último, temos os múltiplos de 2. Também este tem um padrão fácil uma vez

que apenas temos de pensar no dobro do número em causa e será uma

multiplicação que se verificará naturalmente.

Podemos então riscar os múltiplos de 1, 2, 5, 10 e a maior parte dos de 11, permitindo-nos

focar nos mais difíceis. Assim sendo, temos uma tabela bem menos assustadora:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3 9 12 18 21 24 27 36

4 16 24 28 32 36 48

5 60

6 36 42 48 54 72

7 49 56 63 84

8 64 72 96

9 81 108

10

11 121 132

12 144

Estas são, de facto, as multiplicações mais difíceis. Cabe a si memorizá-las para mais

facilmente realizar operações de cálculo mental com mais facilidade.

40

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


A multiplicação mental com dígitos de um número

Vamos começar com uma técnica de multiplicação de problemas com 2-por-1.

1. Imaginemos a operação 17 × 8, como solucionar esta operação?

a. Começar por dividir o 17 em 10 + 7, ou seja, 17 (10 + 7) × 8. É importante manter

os parêntesis;

b. multiplicar por 8 os dois números partidos, ou seja 8 × 10 (= 80) + 8 × 7 (= 56);

c. somar os resultados simplificando a soma, ou seja: 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136.

Atenção aos parêntesis! Não pode esquecer-se deles. Se se esquecer, a conta terá outro resultado.

Vejamos: 1. 10 + 7 × 8; 2. 10 + 56; 3. = 66.

Este resultado está errado. Retirando o parêntesis teremos de efectuar, em primeiro lugar a

multiplicação 7 × 8 e somar a este resultado o 10 em vez de multiplicar por os dois números.

A este processo de multiplicação através da adição dentro de parêntesis dá-se o nome de

propriedade distributiva.

2. Imaginemos agora a operação 7 × 33, como solucionar esta operação?

a. Começar por dividir o 33 em 30 + 3, ou seja, 17 (30 + 3) x 8;

b. multiplicar por 7 os dois números partidos, ou seja 7 × 30 (= 210) + 7 × 3 (= 21);

c. somar os resultados simplificando a soma, ou seja: 210 + 20 + 1 = 230 + 1 = 231.


a. Começar por expandir o 562, ou seja, 500 + 60 + 2;

b. multiplicar os vários números por 8, seja, 500 × 8 + 60 x 8 + 2 x 8;

c. realizar multiplicações mais pequenas. Para multiplicar, por exemplo, 500 × 8,

simplifique a multiplicação dividindo o valor 500 (100 × 5) e multiplique os dígitos

que não sejam o zero, acrescentando, no fim, o mesmo número de zeros que

tinha o 100. Ou seja: 500 × 8 = 100 × 5 × 8 (= 40); 100 × 40 = 4000;

d. multiplicar 60 × 8, ou seja, 6 × 8 × 10 = 48 × 10 = 480;

e. por último, multiplicar 2 × 8 = 16;

f. agora é só somar todos os elementos: 4000 + 480 + 16 = 4496.

41

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Multiplicação cruzada

Será possível conseguir realizar uma multiplicação em 5.18 segundos? Sim, é possível realizar

o cálculo que se segue mentalmente nesse tempo.


a. Multiplicar os primeiros dígitos e escrever em baixo a resposta;

b. multiplicar as diagonais e juntá-los. Nesta operação temos 2 × 2 = 4 e 1 × 3 = 3

nas diagonais. Somar os resultados para obter 7 e escreva-o em baixo;

c. multiplicar os dígitos das casas decimais e escrever o número ao lado do valor

anterior; e

d. temos o resultado final: 23 × 12 = 276.

23

× 12

?

23

× 12

6

23

× 12

76

23

× 12

276

2 × 2 = 4 1 × 3 = 3


Em primeiro lugar, na operação anterior, os resultados das operações era de um único dígito.

Se os resultados forem de dois dígitos, o método varia ligeiramente, vejamos: multiplica-se os

primeiros dígitos!

a. A operação 7 × 2 = 14, um resultado com dois dígitos. Memorizar o número das

dezenas (a azul) e anotar o das unidades.

b. multiplicar as diagonais e juntá-los. Nesta operação temos três números para

juntar, o produto das diagonais e o 1 da operação anterior.

c. somar os números a verde, ou seja 7 + 2 + 1 = 10.

d. trocar o 1 pelo 10.

e. multiplicar os dígitos das casas decimais e escrever o número ao lado do valor

anterior.

f. somar o 1 da multiplicação com o 1 que estava a azul (1 + 1 = 2). O resultado final

é 204.

17

× 12

14

17

× 12

14

17

× 12

104

17

× 12

204

1 × 1 = 11 × 2 = 2 1 × 7 = 7

42

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s



a. Multiplicar os primeiros dígitos e escrever em baixo a resposta;

b. multiplicar as diagonais e juntá-los. Nesta operação temos três números para

juntar, o produto das diagonais e o 4 da operação anterior:

� somar os números a azul, ou seja 35 + 16 + 4 = 55;

� trocar o 4 pelo 55;

c. multiplicar os dígitos das casas decimais e escrever o número ao lado do valor

anterior;

d. somar o 14 da multiplicação com o 5 que estava a verde (14 + 5 = 19). O resultado

final é 1950.

78

× 25

40

78

× 25

550

78

× 25

550

78

× 25

1950

7 × 2 = 147 × 5 = 35 2 × 8 = 16

Este método pode ser reproduzido com qualquer tipo de multiplicação, seja 3 dígitos ou mais.

43

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


3.4 A divisão

O princípio sobre o qual assenta a divisão é já de si um processo matemático mental. Como

vimos anteriormente com a multiplicação, tendemos a realizar este processo mentalmente de

forma mais fácil da esquerda para a direita.

Felizmente, na divisão, não necessitamos alterar a nossa forma de pensar uma vez que é um

processo que já se realiza da esquerda para a direita. Tudo o que temos de fazer é pensar no

significado de cada passo e praticá-lo mentalmente.

$ Conhecimentos básicos sobre divisão

Por norma, estamos habituados a visualizar uma divisão da seguinte forma:

Dividendo

Resto

Divisor

Resultado

10 2

0 5

1. o dividendo consiste no número que será dividido numa operação de divisão.

Por exemplo, na operação 9 ÷ 3 = 3, o 9 é o dividendo.

2. o divisor é o segundo termo da divisão. É aquele que divide o dividendo. Por exemplo,

na operação 15 ÷ 5 = 3, o 5 é o divisor.

3. o quociente é o resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o quociente é 2.

4. o resto consiste na quantidade que sobra após a divisão de um número inteiro por

outro. Por exemplo, ao dividir 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.

Quociente

Divisor Dividendo

Iremos abordar a divisão com uma outra perspectiva mais à frente:

44

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Divisão mental

1. Imaginemos agora a operação 256 ÷ 8, como solucionar esta operação?

8 256

a. Começar por encontrar um valor aceitável para o número de vezes em que o 8

«cabe» dentro do 256. Uma vez que 8 × 10 = 80 e 8 × 100 = 800, sabemos que

existem pelo menos entre 10 e 100 vezes o 8 dentro do 256. Podemos então

presumir com segurança que a nossa resposta será um número com 2 dígitos.

b. Determinar qual o múltiplo de 10 que, multiplicado por 8, mais se aproxima de

256. Uma vez que 8 × 30 = 240, percebemos que existem cerca de 30 vezes

(para mais) o 8 dentro do 256.

c. Contar o número de vezes que o 8 existe entre 240 e 256. Mais dois 8 chegam

para atingir o 256, o que nos indica que teremos 32 vezes o 8 dentro do 256, ou

seja, 256 ÷ 8 = 32.

Contrapondo a mesma operação com a abordagem tradicional.

2. Imaginemos de novo a operação 256 ÷ 8, como solucionar esta operação?

Vamos fazer uma abordagem a este método mudando apenas a disposição tradicional.

a. Começamos por descobrir quantas vezes o 8 existe em 250 seguido de quantos

oitos existem em 16.

32

8 256

− 240

16

− 16

0

Este processo acaba por ser idêntico ao processo mental utilizado anteriormente.

45

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


3. Imaginemos agora a operação 7 ÷ 1012, como solucionar esta operação?

a. Começar por encontrar um valor aceitável para o número de vezes em que o 8

«cabe» dentro do 256.

• 7 × 10 = 70;

• 7 × 100 = 700;

• 7 × 1000 = 7000.

Uma vez que o 1012 encontra-se entre o 700 e o 7000, existem pelo menos entre 100

e 1000 vezes o 7 dentro do 102. Isto implica que a resposta será um número com três

dígitos.

b. Já que a resposta é um número com três dígitos, questionar quantas vezes o

7 × 100 existe em 1012.

O mais próximo que conseguimos é 7 × 100 = 700. Assim, o 7 existe em 1012, pelo

menos 100 vezes (para mais).

c. Pegar na diferença entre 700 e 1012 (= 312) e questionar quantas vezes existe

o 7 nesse número.

Como 7 × 40 = 280, quatro dezenas é o mais próximo que temos do 312 sem ultrapassá-

lo. Assim, existe pelo menos 140 vezes (para mais) o 7 em 1012.

d. Determinar quantos mais números 7 necessitamos para nos aproximar de 1012.

Até agora já sabemos que 7 × 140 = 980.

7 × 100 = 700

+ 7 × 40 = 280

7 × 140 = 280

Deste modo, necessitamos ainda descobrir quantas vezes existe o 7 na diferença entre

1012 e 980, que é 32. Como 7 × 4 = 28, concluímos que 7 × 144 = 1008.

e. Neste cálculo, ficamos a saber que existem 144 vezes o 7 em 1012, sobrando 4,

isto é: 1012 ÷ 7 = 144 (4⁄7)

Tal como com a maior parte das coisas, à medida que os números se tornam maiores,

torna-se também mais difícil resolver mentalmente estas operações. No entanto, por

maior que seja o número, o princípio da operação é sempre o mesmo. A prática e a

repetição deste género de exercício tornará a técnica mais fácil e rápida.

46

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Divisão por 10 com números inteiros

As divisões perguntam-nos em quantos grupos de um determinado tamanho podemos criar

de um outro grupo.

1. Imaginemos agora que pretendemos saber quantos 10 existem em 850, ou seja,

850 ÷ 10, como solucionar esta operação?

a. De acordo com o sistema decimal, o 8 pertence à casa das centenas, o 5 às

dezenas e o 0 às unidades.

b. Para determinar a quantidade de 10 num número que termine em zero,

simplesmente observe o algarismo das dezenas e inclua todos os valores para a

esquerda, ou seja, anula-se os zeros. Assim, em 850, existem 85 vezes o 10.

c. Também podemos escrever o nosso problema de divisão da seguinte forma:

85 × 10

10

É útil aprender esta anotação por duas razões:

• Demonstra a utilização do factor de um número, por exemplo 85 × 10;

• Demonstra a técnica de anulação. Esta técnica é, no fundo, um método de

simplificar uma expressão excluindo um elemento comum, ou seja:

85 × 10

10

Divisão por 10, 100 ou 1000 com números decimais

1. Imaginemos agora que pretendemos saber quantos 10 existem em 1550, 75, ou

seja 1550,75 ÷ 10, como solucionar esta operação?

a. Para realizar esta operação temos, basicamente de alterar os nossos dígitos,

mudando um número inteiro para a direita da vírgula, dependendo do número de

zeros do divisor.

b. Com o número 10, temos um zero, ou seja, significa que teremos de mudar

apenas um dos números inteiros para a direita da vírgula, ou seja: 1550,75 → 155,075.

c. Se a divisão fosse feita com 1000, isto é, 1550,75 ÷ 1000, teríamos de mudar

três dos números inteiros para a direita da vírgula uma vez que temos três zeros

no 1000, ou seja: 1550,75 → 1,55075.

47

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Dobrar e dividir (para dividir por 5)

1. Imaginemos a operação 625 ÷ 5, como solucionar esta operação?

a. Dobrar o número 625 (625 × 2 = 1250).

b. Dividir o número resultante da operação anterior por 10 (acrescentando um

ponto decimal), ou seja, 1250 ÷ 10 = 125,0.

c. Este truque funciona porque multiplicamos o divisor como o dividendo por 2.

Uma vez que 2 ÷ 2 = 1, basicamente eles anulam-se deixando-nos com 625 ÷ 5

tal como desejado, ou seja:

625 × 2

10

625 × 2

5 × 2

1250

5= =

Divisão estratégica

Esta técnica é incrível uma vez que é bastante versátil, adaptável e capacitante. Irá aumentar

o seu sentido de número e impressionar qualquer pessoa. É sem dúvida um instrumento

muito útil.

Na divisão estratégica utilizamos números que facilitam a operação, como os números 2 e

10, e separamos a divisão por etapas.

1. Imagine a divisão 1840 ÷ 20. Como solucionar esta operação?

a. Em primeiro lugar, imagine a divisão como uma fracção;

b. Partir o 20 em factores acessíveis;

c. Dividir o 1840 pelo 10 e depois pelo número 2, dando o nosso resultado, ou seja:

1840

20

1840

10 × 21840 ÷ 10 = 184 ÷ 2 = 92

a b c

48

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


2. Agora, imagine a divisão 2960 ÷ 80. Como solucionar esta operação?

a. Em primeiro lugar, imagine a divisão como uma fracção e divida o número 80 em

valores mais acessíveis (10 × 4 × 2);

b. Dividir o 2960 pelo 10;

c. Dividir o 296 por 4. Uma vez que 296 está a apenas 4 números de 300 e o 2 é

um divisor mais fácil, iremos dividir 300 por 2 duas vezes; ou seja

d. Isto significa que existem 75 quatros em 300, logo, deduzimos que em 296,

existem apenas 74 (retiramos o valor 4 que acrescentámos para fazer a divisão

por 300);

e. Por último, divida o 74 por 2, o último divisor em que partimos inicialmente o 80.

Para isso, e para simplificar, torna-se mais fácil separar o 74 em 70 + 4 e dividi-los

individualmente por dois e temos o resultado final, 2960 ÷ 80 = 37.

f.

296 ÷ 4 = 7470

2

70 + 4

2

4

235 + 2 = 37= =+

ed

2960 ÷ 10 = 296 300 ÷ 2 = 150 ÷ 2 = 75

ba c

2960

10 × 4 × 2

3. Imaginemos agora a operação 7,380 ÷ 60, como solucionar esta operação?

a. Dividir o 60 em factores acessíveis;

b. começar por dividir por 10;

c. depois, dividir a versão expandida do 738 por 2;

30

2

700

2

8

235 + 2 = 37+ =+

c

7,380 ÷ 10 = 738

ba

7,380

10 × 2 × 3

d. esta soma resultará em 350 + 15 + 4 = 369;

e. por último, é necessário dividir por 3. Felizmente, todos os dígitos são múltiplos

de 3, o que torna a conta mais fácil: 369 ÷ 3 = 123;

f. o resultado final será então 7380 ÷ 60 = 123.

49

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


3.5 Percentagens

As percentagens surgem a toda a hora no nosso dia-a-dia, nos sítios mais variados e comuns:

nas compras, a jantar fora, no café, nas avaliações dos testes, idas ao banco, taxas… é talvez

a competência matemática mais importante de utilização diária.

Uma percentagem, indica uma porção de 100. Por isso, 15% significa 15 por cem.

É claro que na maior parte das vezes não estamos a procurar uma percentagem de

cem mas, por exemplo, de um valor diferente como 10% de 250.

$ o truque dos 10%

1. Para calcular 10% de um número, tem de mover as casas decimais uma posição para

à esquerda. Aqui seguem alguns exemplos:

• 10% de 35 = 3,5;

• 10% de 122 = 12,2;

• 10% de 250 = 25 (neste caso, não precisa colocar a vírgula com um zero – 25,0);

• 10% de 50 = 5 (idem, não é necessário colocar a vírgula com um zero – 5,0);

• 10% de 1 = 0,1.

Com outras percentagens, o princípio de aplicação deste truque é o mesmo.

2. Para calcular mentalmente 15% de um valor, por exemplo 48,50.

a. Combinar as percentagens divididas, 5% de 48,50 e 10% de 48,50 (5% + 10% = 15%);

b. 5% é metade de 10%, logo, 5% de 48,50 será metade do valor de 10%

de 48,50;

c. 10% de 48,50 = 4,85;

d. metade deste valor, os 5% (4,85 ÷ 2) será 2,425 (o que arredondando será 2,43);

e. 2,43 (5%) + 4,85 (10%) = 7,28;

f. 15% de 48,50 = 7,28.

50

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


Calcular descontos

Este é outro cenário bastante normal de utilização das percentagens, o desconto que

determinado produto poderá ter numa loja.

1. Imaginemos que necessitamos saber o desconto de 10% de um produto que

custa 168,75 Kz:

a. calcular os 10%, ou seja, 10% de 168,75 = 16,88 (arredondando);

b. subtrair 16,88 do valor total. Para realizar esta operação será mais fácil arredondar

os números, por exemplo: 169 − 17 = 152;

c. o valor do produto com desconto será (aproximadamente) de 152 Kz.

2. Imagine agora que necessita saber qual o desconto de 25% sobre um produto que

custa 168,75 Kz.

Para elaborarmos este cálculo, apresentamos duas opções: 25% é um 1⁄4 de 100%,

por isso, podemos dividir o total por 4. De outro modo, decompõe-se o 25% em

2 × 10% + 5 %.

opção 1:

a. Como uma estimativa é suficiente, começamos por arredondar o número para

170;

b. dividir 170 por 2 (170 ÷ 2 = 85) e o resultado de novo por dois (85 ÷ 2 = 42,5)

encontrar o valor total dividido por quatro;

c. 25% de 168,75 é 42,5 (valor aproximado).

opção 2:

a. Recorrendo a este método, calcula-se os 25% depois de encontrarmos os 10%

e os 5%;

b. arredondando o valor total para 170,10% de 170 = 17;

c. 5% é igual à metade do valor de 10%, logo 17÷ 2 = 8,5;

d. resta então somar os valores 17 (10% + 17 (10%) + 8,5 (5%) = 45,5.

51

Mó

du

lo 3

E

stra

tég

ias

e d

ica

s m

ate

má

tica

s


o truque do 1%

Calcular com arredondamentos é fácil, mas como descobrir a percentagem exacta?

Este truque irá ajudar nas técnicas que se seguem.

Para calcular 1% de um número, temos de mover a casa decimal duas posições para a

esquerda. Eis alguns exemplos:

• 1% de 35 = 0,35 (não havendo mais números temos de acrescentar um zero);

• 1% de 122 = 1,22

• 1% de 250 = 2,50

• 1% de 50 = 0,5

• 1% de 1 = 0,01 (com um número apenas, tem sempre de acrescentar dois zeros)

Este truque pode ser utilizado para encontrar mentalmente outro tipo de percentagens mais

complicadas, aliando também a decomposição de valores.

1. Imaginemos, por exemplo, um valor de 8,5% de 39,95 Kz

a. comecemos por procurar um valor mais acessível e descobrir 10% de 39,95.

Lembremo-nos do truque dos 10%, movendo a vírgula e as casas decimais uma

casa para a esquerda: 10% de 39,95 = 3,995 (arredondemos para 4);

b. neste momento, sabemos que o valor pretendido é inferior a 4 Kz. Vamos agora

utilizar o truque do 1% para nos aproximar do valor pretendido (8,5%) chegando

aos 9%;

c. calcular então 1% de 39,95 = 0,3995 (arredondemos para 0,40);

d. se subtrairmos este último valor ao encontrado anteriormente, teremos então:

9% de 39,95 = 4 − 0,40 = 3,60 Kz;

e. este valor já é bastante aproximado, mas podemos aproximarmo-nos ainda mais.

Já sabemos que 1% do valor total é 0,40, se acharmos a metade deste valor,

podemos determinar 0,5% de 39,95 → 0,40 ÷ 2 = 0,20;

f. por último, subtraímos 0,20 de 3,60 para obter o valor exacto de 8,5% de 39,95:

3,60 − 0,20 = 3,40;

g. 8,5% de 39,95 Kz = 3,40 Kz


Módulo 4Introdução ao racíonio lógico

53


Módulo 4Introdução ao raciocínio lógico

Este módulo tem como objectivo auxiliar qualquer pessoa na resolução de problemas

lógico-matemáticos simples.

O raciocínio lógico consiste, no entendimento das estruturas coerentes de

relações aleatórias entre pessoas, lugares, coisas e eventos fictícios. É necessário

também deduzir novas informações das relações fornecidas, e avaliar as

condições utilizadas para estabelecer a estrutura dessas relações.

É, por isso, importante usar o raciocínio lógico de forma coerente na aquisição de técnicas

que facilitem a aprendizagem. Desenvolver estas competências será, sem dúvida alguma,

uma mais valia para qualquer pessoa.

O prática e o desenvolvimento do raciocínio lógico tem imensas vantagens, tais como:

• desenvolver as competências para o entendimento das estruturas lógicas;

• explorar novas perspectivas proporcionando outras visões de um problema

prático;

• inserir um conteúdo matemático noutro conteúdo mais

amplo que venha a contemplar outros interesses

académicos e do quotidiano;

• resolver problemas que exigem o uso

do raciocínio lógico e do conhecimento

das ferramentas matemáticas;

• desenvolver a capacidade de raciocinar,

analisar, argumentar criticamente, posicionar-se

e expressar-se com clareza, utilizando a

linguagem matemática;

• explorar novas perspectivas de solução

de um problema ou diagrama lógico;

• trabalhar o desenvolvimento

do raciocínio lógico numa

linguagem não formal.

54

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o

Curso de lógICa e CÁlCulo numérICo

4.1 O problema e a sua resolução

O Homem tem a necessidade de analisar e interpretar a realidade onde se insere em

todos os momentos, procurando entender e compreender os problemas diários que a vida

impõe. Para tal, deve ser capaz de resolver os problemas que ela apresenta, sejam eles

problemas familiares, problemas sociais, problemas económicos ou financeiros.

o que é um problema?

Um problema é uma qualquer questão ou assunto que requer uma explicação e

por isso obrigue a um «raciocino» na sua resolucao. Um problema pode ser do

tipo filosófico ou dogmático que se traduz numa inquietação ou contradição de

ideias.

Na matemática o problema traduz-se numa questão de objectos e estruturas

que requerem uma explicação e demonstração de solução. Dito de outro modo,

um problema matemático consiste na procura de uma representação matemática

que permita satisfazer as condições do problema.

As tarefas de resolução de um problema podem ser analisadas segundo duas dimensões

principais:

1. o nível de estruturação; e

2. o desafio matemático que suscitam.

A primeira dimensão está associada ao grau de explicitação das questões colocadas, o que

conduz a tarefas fechadas e a tarefas abertas. A segunda dimensão está relacionada com

conhecer-se, ou não, o processo de resolução.

Articulando estas duas dimensões, podemos considerar a existência de quatro tipos

essenciais de tarefas:

a. o exercício, uma tarefa de carácter fechado e de desafio reduzido;

b. o problema, também de carácter fechado mas de desafio elevado;

c. a exploração, que é aberta e de desafio reduzido; e

d. a investigação que é uma tarefa aberta e de desafio elevado.

55

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


Um problema é uma situação que não se pode resolver utilizando processos conhecidos

e habituais e implica a utilização de estratégias diversas. Existem vários tipos de problemas,

de acordo com o objectivo que precede a sua resolução:

a. problemas de palavras;

b. problemas para equacionar;

c. problemas para demonstrar;

d. problemas para descobrir;

e. problemas da vida real.

A resolução de problemas é vista por muitos matemáticos como o ponto de partida para

a análise de novos conceitos e ideias matemáticas e o centro de toda a aprendizagem

matemática.

A resolução de problemas proporciona o recurso a diferentes representações e

incentiva a 898888999 temas matemáticos, apresentando a Matemática como uma

disciplina útil na vida quotidiana.

Na resolução de problemas, a ênfase deve ser dada ao processo, permitindo o aparecimen-

to de diferentes resoluções, comparando-as entre si. A resolução de problemas baseia-se

na apresentação de situações abertas e sugestivas que exijam das pessoas uma atitude

activa e um esforço para buscar suas próprias respostas, seu próprio conhecimento.

É importante salientar que o raciocínio refere-se à forma como se chega a conclusões,

com base em informações, ou como se tiram inferências. A resposta a um problema é

aquilo que foi concluído ou inferido.

56

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


4.2 Técnicas de resolução de problemas

A resolução de problemas, enquanto eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem

da Matemática deve ser resumida nos seguintes princípios:

1. a situação «problema» é o ponto de partida e não a definição. No processo de

ensino da aprendizagem, devem ser abordados conceitos, ideias e métodos

matemáticos mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que

uma pessoa precise desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los;

2. o problema certamente não é um exercício em que uma pessoa aplica, de forma

quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se a

pessoa for levada a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar

a situação que lhe é apresentada.

Um problema pode ser entendido como sendo uma situação que carece de uma sequência

de acções ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de

início mas é possível encontrá-la.

Quando se tenta resolver um problema, o ponto de vista, a maneira de encarar o problema,

pode ser modificado várias vezes. Em geral, quando se inicia um trabalho com um problema,

a concepção que se tem dele é muito incompleta. À medida que se vai progredindo,

a perspectiva vai sendo modificada.

57

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


jj Passos para a resolução de problemas:

1. Detalhar as variáveis do problema

O primeiro passo para a solução do problema é buscar os dados relacionados ao mesmo, para que se possa verificar a profundidade do problema. Ao ler o enunciado do problema, procure destacar os dados mais importantes, separando as incógnitas (informações que não possui) e as informações que já foram fornecidas.

2. Encontrar possíveis soluções

Tendo em posse as variáveis internas e externas decorrentes do processo de leitura e interpretação do problema, deve realizar um estudo para encontrar as possíveis soluções. Existem alguns problemas que possuem soluções imediatas, outros apresentam soluções mais trabalhadas, tudo depende do grau de familiaridade que o problema lhe apresentará e dos conhecimentos que possui. Para alguns o problema poderá parecer fácil, para outros poderá apresentar um grau de dificuldade maior e, inclusive, obrigar a algum estudo e/ou pesquisa de processos matemáticos.

3. Escolher a solução adequada

Um problema poderá apresentar várias soluções viáveis e cabe si identificar aquela que melhor se aplique às suas necessidades, aquela que lhe será mais agradável e que lhe traga maior confiança na resolução.

4. Executar a solução escolhida

Nesta etapa, deve concretizar a solução escolhida no passo anterior, seguindo a descrição e as tarefas necessárias. Durante a execução da solução, deve também observar se os resultados que estão a ser obtidos são os esperados.

5. Rever e actualizar os dados da resposta

Depois de terminar a solução do problema, deve realizar sempre uma avaliação sobre o resultado encontrado de modo a rever e a confirmar os dados obtidos.

• Estratégias práticas de resolução de problemas.

• Descobrir um padrão ou regularidade.

• Fazer tentativas ou conjecturas (tentativa e erro).

• Trabalhar do fim para o princípio.

• Fazer dedução lógica ou eliminação de possibilidades.

• Reduzir a situação a um problema mais simples.

• Fazer uma simulação, experimentação ou dramatização.

• Fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema.

• Fazer uma lista organizada ou uma tabela.

Lembre-se: existem multiplas formas de solucionar um mesmo problema. A única

forma de aprender e melhorar o cáculo é, sobretudo, praticando… MUITO!

58

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


4.3 Problemas: casos práticos e sua resolução

jj Problema 1

Pedro, André, Cláudio, Dinis e bernardo estão a ensaiar uma peça de teatro, onde os

personagens são um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro.

Sabe-se que*:

• Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis;

• nos intervalos, o soldado joga às cartas com o Dinis;

• Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda;

• o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o bernardo, mas detesta

ver o soldado.

Qual o papel desempenhado na peça por cada um?

õ Resolução do problema 1

A utilização de uma boa estratégia de resolução permite perceber-se, durante o processo de

resolução e ao fim do mesmo, o tipo de raciocínio empregue, evitando a resolução em círculos

viciosos. Sugere-se, pois, a utilização de uma tabela de dupla entrada, associada a uma

legenda e à escrita minuciosa dos passos que forem sendo dados:

Definimos a seguinte regra: X — é; O — não é

Pedro André Cláudio Dinis bernardo

Rei

Soldado

bobo

Guarda

Prisioneiro

Figura 4.2.1 Tabela de dupla entrada.

*Atenção: a cada um destes tópicos dá-se o nome de premissa. Podemos entender

uma premissa como um ponto de partida para a organização de um raciocínio ou de

uma argumentação.

59

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


Vamos interpretar a 1.a premissa:

a. Se Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis, então

o Pedro e o André não são o prisioneiro:


Rei

Soldado

bobo

Guarda

Prisioneiro O (1) O (1)

b. Após interpretação das restantes premissas (assinaladas com números entre

parêntesis), a tabela assume a seguinte configuração:


Rei

Soldado O (4) O (4) O (2) O (4)

bobo O (4) O (4) O (4)

Guarda O (3) O (3) O (3)


c. Depois de registar os dados provenientes de todas as premissas, resta saber tirar

partido desta tabela pois podemos ver que o soldado já só pode ser o Pedro e

o André já só pode ser o rei. Registemos, então, estas conclusões:


Rei X

Soldado X O (4) O (4) O (2) O (4)

bobo O (4) O (4) O (4)

Guarda O (3) O (3) O (3)


60

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


d. Se o Pedro é o soldado e o André é o Rei, podemos trancar a coluna do Pedro

e a linha do rei, porque cada pessoa só desempenha um papel:


Rei O X O O O

Soldado X O (4) O (4) O (2) O (4)

bobo O (4) O (4) O (4)

Guarda O (3) O (3) O (3)


e. Verifica-se agora que o bobo só pode ser o Dinis e o Cláudio só pode ser o

prisioneiro, pelo que se deve trancar o resto da coluna do Dinis e o resto da linha

do prisioneiro, ficando o bernardo a ser o guarda:


Rei O X O O O

Soldado X O (4) O (4) O (2) O (4)

bobo O O (4) O (4) X O (4)

Guarda O (3) O (3) O (3) O X

Prisioneiro O (1) O (1) X O O

Este desafio tem a seguinte resolução:

• o Rei é o André;

• o soldado é o Pedro;

• o bobo é o Dinis;

• o guarda é o bernardo; e

• o prisioneiro é o Cláudio.

Fica, pois, demonstrado o poder desta estratégia de resolução (tabela de dupla entrada) para

problemas deste tipo.

61

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


jj Problema 2

A Amara é estudante de música e está a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante:

• 5 minutos no 1.o dia:

• 15 minutos no 2.o dia:

• 25 minutos no 3.o dia e assim sucessivamente.

Em que dia começou ela a praticar mais de metade do dia?


Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e

o tempo gasto a treinar piano: 1.º dia – 5 minutos; 2.º dia – 15 minutos; 3.º dia – 25 minutos.

a. Temos então de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto

é, em 12 horas. Ora, 12 (horas) × 60 (minutos) = 720 minutos. É este o tempo de

treino correspondente a metade de um dia.

b. Depois, uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

Dia Tempo gasto (minutos)

1.o 5

2.o 5 + 1 × (2 x 5) = 15

3.o 5 + 2 × (2 x 5) = 25

c. Tendo em conta a tabela anterior, conclui-se, pela sequência apresentada, que

o 4.º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

d. Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que

o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de dias

menos um (d − 1) por dez, isto é: d = 5 + (d − 1) x (2 x 5).

e. Ora, uma estimativa interessante para se chegar ao valor de 720 minutos,

correspondente a 12 horas de treino diário seria o valor do 72.o dia, pois se:

d = 72, então, implica que 5 + (d − 1) × (2 × 5) = 5 + 71 × 10 = 715 minutos.

f. Este valor fica ligeiramente abaixo do valor esperado, pelo que se justifica testar

para o 73.o dia. Assim sendo: 5 + (d − 1) × (2 × 5) = 5 + 72 × 10 = 725 minutos.

Este desafio tem a seguinte resolução: será, pois, a partir do 73.o dia que a Amara treinará

mais do que metade do dia.

62

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


jj Problema 3

A Ana, a bela, o David, e o Ivo terminaram nas primeiras quatro posições numa corrida de

atletismo. Os seus apelidos são Gonçalves, Jarra, Choupina e Pires.

A A Jarra disse que teria terminado mais à frente se não escorregasse no início da

corrida;

B o Ivo terminou à frente do Pires e atrás da bela;

C o irmão da Choupina disse que estava muito orgulhoso de a sua irmã ter

terminado a corrida;

D a Ana terminou atrás do Gonçalves;

E o David não terminou em terceiro.

Com as pistas fornecidas, emparelha os nomes com os apelidos e determina a posição de

cada um deles na corrida.


Como estratégia de resolução, é necessário relacionar três variáveis: os nomes, os apelidos

e as posições ocupadas na prova de atletismo.

Para tal, será de todo conveniente elaborar uma tabela como a que se sugere a seguir:

Ana bela David Ivo 1.o 2.o 3.o 4.o

Gonçalves

Jarra

Choupina

Pires

1.o

2.o

3.o

4.o

Esta tabela permite cruzar duas variáveis de cada vez: (A) nome com apelido; (B) nome com

posição na prova e (C) apelido com posição na prova.

63

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


a. De seguida vamos colocar as indicações provenientes das premissas, começando

pela premissa (A), que diz o seguinte: «A Jarra disse que teria terminado mais à

frente se não escorregasse no início da corrida».

Ora desta premissa podemos tirar, de imediato, duas conclusões:

Ù a Jarra não é homem, por isso não pode ser o David nem o Ivo;

Ù a Jarra não terminou a prova em 1.o lugar.

Vejamos como fica a tabela, deixando a indicação da premissa de onde proveio a informação.

Utilizamos a símbolo X para referir que se exclui a possibilidade:


Gonçalves

Jarra X (A) X (A) X (A)

Choupina

Pires

1.o

2.o

3.o

4.o

b. Passemos à premissa (B): «O Ivo terminou à frente do Pires e atrás da Bela».

Desta premissa concluímos que:

Ù o Ivo não ficou em 4.o lugar;

Ù o Ivo não ficou em 1.o lugar;

Ù a bela não ficou em 4.o lugar;

Ù o Ivo não é Pires;

Ù a bela não é Pires;

Ù o Pires não ficou em 1.o lugar.

64

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


Eis, agora, como fica a tabela:


Gonçalves


Choupina

Pires X (b) X (b) X (b)

1.o X (b)

2.o

3.o

4.o X (b) X (b)

c. A terceira premissa (C): «O irmão da Choupina disse que estava muito orgulhoso

de a sua irmã ter terminado a corrida»

Com esta premissa conclui-se o seguinte:

Ù a Choupina é uma senhora, logo não será o David nem o Ivo:


Gonçalves


Choupina X (C) X (C)

Pires X (B) X (B) X (B)

1.o X (B)

2.o

3.o

4.o X (B) X (B)

65

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


d. Vejamos a premissa seguinte (D): «A Ana terminou atrás do Gonçalves».

Conclui-se:

Ù que, a Ana não tem apelido Gonçalves;

Ù Gonçalves também não é a bela por ser homem;

Ù a Ana não ficou em 1.o lugar;

Ù Gonçalves não ficou em 4.o lugar.

Eis como fica agora a tabela:


Gonçalves X (D) X (D) X (D)




1.o X (D) X (B)

2.o

3.o

4.o X (B) X (B)

e. A premissa seguinte (E): «O David não terminou em terceiro» permite mais uma

sinalização na tabela:


Gonçalves X (D) X (D) X (D)




1.o X (D) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) X (B)

66

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


f. Neste momento esgotaram-se as premissas pelo que a tabela contempla toda a

informação explícita que cada uma pôde transmitir. De seguida, temos de observar

a tabela para vermos se já se poderá concluir algo mais.

Note-se que:

Ù o Ivo já só pode ter o apelido de Gonçalves. Logo, este apelido já não pode ser

o de mais ninguém. Assim, trancamos a negro o espaço em que o Gonçalves

se cruzava com o David.

Ù Por outro lado, pelo facto de sabermos que o Ivo não era o 1.o classificado,

então o Gonçalves, por ser a mesma pessoa, também não o será.

Eis como fica a tabela:


Gonçalves X (D) X (D) o (1) X (1) X (D)




1.o X (D) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) X (B)

Nota: o (1) que deverá aparecer na tabela significa que se prende com o primeiro conjunto de

conclusões ocorridas após se terem colocado na tabela todas as informações provenientes

directamente das premissas.

g. Continuando a observar a tabela, mais conclusões podem ser formuladas:

Ù o David já só pode ter o apelido Pires, logo o Pires já não poderá ser a Ana;

Ù o 1.o lugar já só pode ser ocupado pela Choupina, pelo que esta já não ocupará

as restantes posições;

Ù se a Choupina é a 1.a classificada, o Gonçalves já não o poderá ser;

Ù se o Pires não era o 1.o classificado, então o David também não o será;

Ù se o David não era o 3.o classificado, o Pires também não o será.

67

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


Eis a respectiva tabela:


Gonçalves X (D) X (D) O (1) X (D)


Choupina X (C) X (C) o (2)

Pires X (B) o (2) X (B) X (B) X (2)

1.o X (D) X (2) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) X (B)

Nota: de forma lógica, o (2) representa o segundo conjunto de conclusões possíveis.

h. Tal como está a informação da tabela:

• em 1.o lugar só poderá ter ficado a bela. Logo esta já não pode ficar em 2.o nem em

3.o lugar.

• por sua vez, se já sabemos que o 1.o lugar foi ocupado pela Choupina, então

podemos concluir que a bela tem apelido Choupina.

• logo, a bela já não pode ser Jarra. Eis como fica agora a tabela:




Choupina o / 4 X (C) X (C) O (2)

Pires X (B) O (2) X (B) X (B) X (2)

1.o X (D) o / 3 X (2) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) X (B)

68

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


i. Neste momento já podemos concluir que a Ana tem o apelido Jarra:



Jarra o (5) X (A) X (A) X (A)

Choupina O (4) X (C) X (C) O (2)

Pires X (B) O (2) X (B) X (B) X (2)

1.o X (D) O (3) X (2) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) X (B)

Este desafio tem a seguinte resolução:

Ù Ana Jarra;

Ù bela Choupina;

Ù David Pires;

Ù Ivo Gonçalves.

j. Não há mais evidências explícitas para prosseguir com a resolução. Voltemos à

premissa (B): «O Ivo (Gonçalves) terminou à frente do (David) Pires e atrás da Bela

(Choupina)». Esta informação permite confirmar Pires como o 4.o classificado para

que o Ivo possa ficar à frente dele. Eis a tabela respectiva:



Jarra O (5) X (A) X (A) X (A)


Pires X / B) O (2) X (B) X (B) X (2) o (6)

1.o X (D) O (3) X (2) X (B)

2.o

3.o X (E)

4.o X (B) o (6) X (B)

69

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


k. Por último, e atendendo à premissa (D): «A Ana (Jarra) terminou atrás do (Ivo)

Gonçalves», esta ficou em 3.o lugar e o Ivo Gonçalves em 2.o:


Gonçalves X (D) X (D) O (1) o (6) X (D)

Jarra O (5) X (A) X (A) X (A) o (6)


Pires X (B) O (2) X (B) X (B) X (2) O (6)

1.o X (D) O (3) X (2) X (B)

2.o o (6)

3.o o (6) X (E)

4.o X (B) O (6) X (B)

l. Em síntese, a tabela seguinte evidencia que:

Ù a bela Choupina ficou em 1.o lugar;

Ù o Ivo Gonçalves ficou em 2.o;

Ù a Ana Jarra ficou em 3.o;

Ù o David Pires ficou em 4.o lugar.


Gonçalves X (D) X (D) O O X (D)

Jarra O X (A) X (A) X (A) O

Choupina O X (C) X (C) O

Pires X (B) O X (B) X (B) X (2) O

1.o X (D) O X (2) X (B)

2.o O

3.o O X (E)

4.o X (B) O X (B)

70

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


jj Problema 4

Para cumprir um plano alimentar, uma pessoa necessita de ingerir proteínas e carboidratos.

Durante o mês de Março, esta pessoa ingeriu proteínas por 15 dias, carboidratos por 13 dias e

em 8 dias ingeriu outros tipos de alimentos que não continham nem proteínas nem carboidratos.

Em quantos dias do mês de Março ela ingeriu proteínas e carboidratos simultaneamente?

a. 3;

b. 5;

c. 6;

d. 13;

e. 15.


a. Dos 31 dias de Março, 8 tem consumo de alimento que não contém nem proteínas

nem carboidratos, logo sobram 31 − 8 = 23 dias;

b. temos então 23 dias para distribuir os 15 dias em que a alimentação tem proteínas

e os 13 dias em que a alimentação tem carboidratos;

c. observe que, considerando os dias de consumo de proteína, os dias de consumo

de carboidrato temos um total de 15 + 13 = 28 dias;

d. a diferença de 28 − 23 = 5 dias, mostra que em 5 dias existe o consumo de

proteína e carboidrato, tal como pode observar na tabela em baixo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Quadro Cor verde: outros alimentos; cor azul: carboidratos; cor rosa: proteínas.

71

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


jj Problema 5

Tenha em consideração a sequência de números: 1 9 36 100 225.

Existe algum tipo de regularidade neste conjunto de números?

A existir alguma regularidade, qual será próximo elemento desta sequência?


a. Numa primeira análise aos elementos da sequência leva-nos a concluir que todos

são números quadrados: 12 32 62 102 e 152;

Cada elemento da sequência original, como número quadrado que é, pode

também, ser obtido da seguinte forma:

12 = 1(1 + 2)2 = 9(1 + 2 + 3)2 = 36(1 + 2 + 3 + 4)2 = 100(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 225

b. Logo, o próximo número resultaria de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2, ou seja, 441.

Verificando que estes números quadrados podem ser vistos como potências de expoente 2,

centremo-nos agora nos valores das bases. Assim:

c. podemos perceber que estes valores fazem parte de outra sequência numérica

muito interessante – sequência de números triangulares1. A sequência de

números triangulares é dada pela lei geral (n2 + n) ÷ 2, sendo que «n» pertence

ao conjunto dos números naturais;

d. considerando este facto, a potência de expoente 2 seguinte definirá o próximo

elemento da sequência de números;

(12 + 1) = 12

(22 + 2)2 = 32

(32 + 3)2 = 62

(42 + 4)2 = 102

(52 + 5)2 = 152

(62 + 6)2 = 212

e. assim, 212 é o número triangular seguinte e cujo resultado dá continuidade à

sequência numérica: 1 9 36 100 225 441.

1 Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero.

72

Mó

du

lo 4

In

tro

du

ção

ao

ra

cio

cín

io ló

gic

o


f. Por sua vez, também é interessante observar que a soma de vários números

cúbicos (expoente 3), resulta em:

13 = 113 + 23 = 913 + 23 + 33 = 3613 + 23 + 33 + 43 = 10013 + 23 + 33 + 43 + 53 = 22513 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 441

Em síntese, a resposta às questões apresentadas inicialmente serão:

� Sim, a sequência apresentada é composta por números quadrados, ordenados

sequencialmente.

� Tendo em conta a regularidade sequencial dos números quadrados, o próximo

número será 441, o resultado de 212.

Urbanização Nova Vida,

Rua 60, Casa 1561

Município de Belas – Luanda

Tel.: 222 722 149 / Tlm.: 942 444 486

Email: [email protected]

www.angola2learn.co.ao

curso de lógica e cálculo numérico · ser capaz de executar cálculo numérico com maior...

Documents