calc. numérico computacional

CALCULO NUMERICO

COMPUTACIONAL.

Tarcisio Praciano-Pereira1

Universidade Estadual Vale do Acarau

Sobral, 26 de janeiro de 2008

[email protected]

Edicoes Lab. de Matematica ComputacionalUniversidade Estadual Vale do AcarauSobral - Ce

copyleft by Tarcisio Praciano Pereira

Praciano-Pereira, TarcisioP496c Calculo Numerico Computacional. Sobral: UeVA, Sobral, 26 de janeiro de2008 133.p Bibliografia ISBN:85-87906-05-4 1 - Linguagem - Computacao -C/C++ 2 - Calculo Numerico. I. Ttulo CDD515.1

Sumario

1 A derivada aproximada 11.1 derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Quocientes de diferencas

de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Razes aproximadas 282.1 Razes por varredura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Metodo computacional basico . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Busca de razes por varredura . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 A troca de sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 Analise de um programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Raz do tipo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Metodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Quando a derivada e zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 O metodo da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.1 Como funciona o metodo da tangente . . . . . . . . . . . 632.5.2 Quando o metodo nao funciona . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.3 A precisao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6 Metodo da busca binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.7 Encontrar razes, sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.8 Intersecao de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Recursividade 823.1 exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.1.1 raz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2 Fundamentos da convergencia de iteradas . . . . . . . . . . . . . 893.3 O algoritmo babibilonio e convergente . . . . . . . . . . . . . . . 913.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.5 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

ii

4 Splines 1014.1 Aproximacao polinomial classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.1.1 Analise de dois casos particulares . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.2 A solucao geral do problema . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.1.3 Interpolacao polinomial de Lagrange . . . . . . . . . . . 124

4.2 Funcoes polinomiais por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.1 sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2.2 aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3 Quase-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3.1 polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.4 Valor medio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 Splines cubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.5.1 convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5.2 suporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.6 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.7 Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5 Integral aproximada 1695.1 soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.1.1 Integracao geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.2 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2 Integral no sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.2.1 propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.2.2 Calculo numerico da integral . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.3 trapesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4 polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.4.1 Apresentacao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.2 Integral num sub-intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.5 quasi-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6 E.D.O. 2006.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.2 Metodo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.2.1 segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2.2 grau maior do que dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Indice Remissivo Alfabetico 211

Bibliografia 211

iii

Lista de Figuras

1 Retangulos para aproximar uma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . ix3 Uma aproximacao spline de uma curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1.1 A pedra, quando o cordao se rompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Taxa de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Dados obtidos com um sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Dados obtidos por um sensor mais preciso . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Curva que interpola os dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 interpolacao nao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Qual pode ser o grafico de f ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 grafico de f analisando f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Dados amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Reta tangente ao grafico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Razes de f no intervalo [, ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Particao do intervalo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Malha sobre uma regiao do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Varios representantes da unica raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 O metodo das secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Fluxograma - metodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7 Num ponto de tangencia, tipo parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.8 Quando a derivada e zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9 Uma sequencia de retas tangentes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.10 Duas tangentes se reproduzindo indefinidamente . . . . . . . . . . . . . 652.11 Intersecao de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.12 Regiao cuja area queremos calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.13 area limitada por duas parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.14 area limitada por duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1 Determinacao de10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2 Ponto inicial menor do quea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Ponto inicial maior do quea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 Uma reta interpola dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 A reta e o fenomeno real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv

4.3 Duas solucoes do problema homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4 O teorema do modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5 Aproximacao linear por pedacos - 1-spline . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.6 interpolacao polinomial dos pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.7 Polinomio de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.8 Aproximacao de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.9 Derivada, tangente e Teorema do Valor medio . . . . . . . . . . . . . . 1344.10 Uma funcao positiva cuja integral e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.11 Definicao geometrica - produto de convolucao . . . . . . . . . . . . . . 1444.12 O significado geometrico de tres valores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.13 Correcao pelo valor medio numa vizinhanca de c . . . . . . . . . . . . . 1474.14 Media viciada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.15 Nucleos ou pulsos unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.16 quadrado de convolucao da funcao caracterstica . . . . . . . . . . . . . 1544.17 2-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.18 Comparacao: polinomio de Lagrange e splines . . . . . . . . . . . . . . 1674.19 Comparacao: polinomio de Lagrange e splines - quando os nos ficam unifor-

mente proximos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.20 Regularizacao por convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.1 Trapesios para aproximar area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.2 Soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.3 retangulos da soma de Riemann para3R

3

x2 + 2x+ 1 . . . . . . . . . . . 185

5.4 area do trapesio e uma media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5 Grafico do polinomio por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.6 Modelagem com polinomios por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1 Uma poligonal-solucao aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2 O metodo de Euler - uma poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.3 solucao aproximada de y = x

y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

v

Introducao

Faca apenas uma leitura superficial desta introducao como primeira leitura.Volte a le-la depois mais algumas vezes ate que ela lhe pareca mais clara. Noincio sera difcil entende-la por completo, porque ela fala de assuntos que seraoobjeto do trabalho do livro. Mas, ainda assim, o seu lugar e aqui mesmo, noincio....

O autor deste livro sente responsabilidade com @ leitor@ e quer disponibi-lizar material complementar que incluir no texto o deixaria demasiado longo.Para isto ha uma pagina na Internet em que o material complementar do livropode ser encontrado, entretanto os links para paginas na Internet podem mu-dar e o endereco do autor e mais estavel, havendo dificuldade com algum link,me envie um e-mail para [email protected], mas nao se esqueca de queeu nao posso lhe dar cursos particulares via e-mail, use este recurso de formacuidadosa.

Ha duas areas muito produtivas e com objetivos e metodos diferentes em quese utiliza o computador para fazer Matematica ou para aplicar Matematica:

Matematica aplicada e computacional, e a terminologia brasileira, que aindase chama de computacao cientfica; Um ramo da matematica aplicada ecomputacional e analise numerica que e onde se encontra a nossa disci-plina, o calculo numerico.

O nosso trabalho se enquadra, portanto, nesta area, computacao cientficae neste caso os programas que usamos como auxiliares, neste livro saoscilab, gnuplot, calc, e algumas linguagens de programacao como C,C++, Python. Todos estes itens podem ser, em geral, encontrados nasdistribuicoes Linux.

Computacao algebrica que tenta, com razoavel sucesso, substituir o calculoaproximado pelo calculo formal. Representantes deste trabalho sao

Maxima um pacote de computacao algebrica de domnio publico queem geral e encontrado nas distribuicoes de GNU/Linux ;

Pari um pacote de computacao algebrica voltado para Algebra, dedomnio publico;

MuPad um pacote de computacao algebrica publicado por um grupode matematicos da Universidade Paderborne (Alemanha) que e dis-tribuido com uma licenca amigavel para usuarios individuais, masnormalmente vendido;

Maple um pacote de computacao algebrica publicado por um grupode universidades do Canada e Estados Unidos, que e vendido por umpreco nao muito acessvel;

Reduce que e semelhantes ao MuPad, do ponto de vista de distribuicao;

vi

e ha outros que sao francamente comerciais e nao vemos razao para cita-losaqui. A sintaxe usada no Maxima, MuPad, Maple e muito semelhantes,de modo que quem ja usou algum deles, facilmente migra para outro, enaturalmente, sugerimos que se migre para Maxima que e distribuido sobGPL.

Metodologia de comunicacaoO texto e completado com observacoes de dois tipos. Um dos tipos se chama

claramente observacao, o outro sao as notas de rodape.Voce deve ler as observacoes na ordem em que elas aparecerem, mas sem lhes

dar muita importancia numa primeira leitura. Em geral elas sao apresentadascom letra pequena, para salientar o fato de que voce lhe deve dar pouca atencao,numa primeira leitura.

Para lhe permitir uma busca mais acurada de informacoes, o livro tem umndice remissivo alfabetico, ao final, em que todos os conceitos que surgem nasobservacoes se encontram indexados, de forma que voce podera facilmente re-tornar a eles quando achar necessario. Tambem se encontram indexadas todasas palavras-chave do texto.

Quando falamos usamos encenacao para completar o sentido das palavrasusadas no discurso: mexemos as maos, o corpo e alteramos a entonacao davoz. Para suprir um pouco deste teatro usaremos uma convencao tipografica:texto em italico representa material que voce deve olhar com cuidado, possivel-mente nao esta definido ainda e estamos usando a concepcao intuitiva do termo.Quando usarmos texto tipografico estaremos fazendo referencia a um termotecnico ja definido anteriormente ou considerado bem conhecido como tal. Aspalavras da linguagem C serao escritas no estilo tipografico. Quan-do usar-mos letra pequena estamos lhe querendo dizer que o assunto e polemico e que hamuito mais coisa para ser dito do que estamos conseguindo dizer naquele mo-mento. Usamos texto sublinhado para chamar sua atencao de um detalhe quepoderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto em negrito.

O que e Calculo NumericoAcima dissemos que este livro e sobre Calculo Numerico e queremos agora

dizer-lhe qual e o planejamento do nosso trabalho, porque ha muitas formas dedesenvolver esta disciplina e nos vamos escolher uma que nao precisa ser melhordo que qualquer outra, apenas traduz a nossa preferencia. Se voce gostar donosso trabalho, insistiremos em que leia outros autores para completar a suavisao.

De uma forma simplificada e repetir o Calculo Diferencial e Integral cal-culando, aproximadamente, aquilo que e obtido formalmente na outradisciplina;

Resolver, numericamente, algumas questoes que o Calculo consegue ape-nas mostrar que tem solucao; Por exemplo;

determinacoes de valores, numeros, raizes de equacoes para os quaiso calculo formal pode ser longo ou muito complexo, isto e feito aquino captulo 0.

vii

criacao de modelos semi-formais para representar dados de um fenomeno,este e o objeto do captulo 0 mas o captulo 0 tambem representa esteitem.

calculo de algumas integrais para as quais nao existem formulas, estee objeto do captulo 0.

solucoes aproximadas de equacoes diferenciais, isto e feito aqui, muitomoderadamente, no captulo 0, e somente uma introducao.

Associar uma linguagem de programacao, ou pacotes computacionais pararealizar o projeto acima descrito.

Vamos discutir detalhadamente cada um dos topicos que levantamos an-teriormente. E preciso lembrar que nao e facil explicar o desconhecido e atepoderiamos questionar a validade de uma introducao como esta.

A ideia de tentar explicar o que faremos tem sentido ainda assim, porqueem parte estamos falando de topicos que os leitores deste livro ja estudaram,no Calculo Diferencial e Integral e cujos aspectos esta disciplina ira desenvolvercom outro objetivo. Mas estamos nos referindo a itens novos tambem e a razaoe lhe oferecer um plano do trabalho.

Suas perguntas, entretanto, podem fornecer ao expositor ganchos valiososna tentativa de deixar as coisas mais claras. O autor tambem se sentira agra-decido se os leitores tiverem a bondade de lhe mostrar o que nao gostaram notexto.

Razes de uma funcaoEste e o assunto do captulo 0.Para a determinacao das razes de uma funcao vamos fazer uso de progra-

mas que apresentaremos resumidamente no texto. Os programas se encontramdisponveis em endereco citado na biliografia.

A busca de razes e um assunto que nao e diretamente discutido nos Cursosde Calculo.

Calculo de integraisO calculo de integrais e um dos itens mais importantes do Calculo Diferencial

e Integral. Sua importancia supera a propria conceituacao da integral, comocaculo de area ou volume.

A integral e um metodo que se insere em outras definicoes, um exemplo bemsimples disto sao os conceitos qualificados com quantidade de, como e o casode

quantidade de movimento; quantidade de exposicao a` irradiacao; numero de moleculas ou virus em determinado vetor.Aqui ha duas versoes do problema:

ha integrais que nao sabemos calcular formalmente,

viii

ou, mesmo sabendo, o calculo formal e muito complexo ou longo paracertas aplicacoes, como nas telecomunicacoes, por exemplo.

e o resultado e que se torna mais pratico calcular estas integrais aproximada-mente.

Um dos instrumentos para o calculo aproximado de integrais e a Soma deRiemann. Como instrumento, esta longe de ser o melhor, mas os metodosmelhores usam-na como metodo auxiliar. Porisso comecaremos por discut-la.

Veja na figura (fig. 1), o que e uma soma de Riemann.

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Soma de Riemann para f; passo=0.2

data

Figura 1: Retangulos para aproximar uma integral

Nela voce pode ver o domnio de integracao subdividido em diversos inter-valos e um retangulo associado a cada um destes sub-intervalos.

A soma das areas dos retangulos e uma aproximacao para a integral desejada.Que precisamos para fazer este calculo ? Quais sao as tecnicas envolvidas nocalculo de uma integral usando Somas de Riemann ?

Uma colecao de retangulos, devidamente dimensionados, representam umaarea que aproxima a area de uma determinada funcao.

Um programa de computador permite o calculo rapido de somas e portantocria as condicoes para que usemos retangulos com bases nfimas o que nosconduz a uma grande aproximacao.

Analise e controle de variacaoUm exemplo tpico, e bem atual, e o da qualidade da corrente eletrica que

uma determinada instituicao, um hospital, por exemplo, recebe da rede publica(manipulada por empresas privadas...) Veja o grafico na figura (fig. ??),

Como se poderia tratar este problema ? Qual e o problema ? quais sao asferramentas ?

Surpreendemente, ha uma superposicao de tecnicas a serem usadas aqui eno problema que discutimos anteriormente. Mas ha tecnicas novas tambem.Vamos rapidamente analisar o que precisamos.

Deixando de lado a coleta de dados, que deveria ser feita por uma placaapropriada instalada em um computador, vamos resolver o problema a partir

ix

dos dados colhidos. Estamos indicando ao lado de cada uma das etapas odepartamento cientfico responsavel pela mesma. Chamamos isto de divisao dotrabalho.

1. Leitura e digitalizacao de dados analogicos recebidos da placa coletora dedados (a digitalizacao pode ser trabalho da placa); (Computacao, Enge-nharia Eletrica )

2. Calculo da variacao da tensao criando uma serie temporal com estes dados;(Calculo Numerico e Estatstica)

3. Comparacao dos piques de tensao com valores maximais selecionados comosuportaveis. (Calculo Numerico Engenharia eletrica)

4. Decisao, em tempo real, sobre conexao ou desconexao de aparelhos, comdesvio para nobreakes ou outro tipo de alimentacao de seguranca. (Com-putacao e Engenharia Eletrica);

5. O calculo de uma integral faz o registro do consumo da energia eletricarecebida... (quantidade de energia que passou pela placa controladora),calcula medias, desvios. (Calculo Numerico

Tangente, derivadas.Para que servem.Examine a figura (fig. 1.1), pagina 2. Tangentes e derivada servem pelo

menos para colher mangas maduras de arvores. Mas podemos, partindo desteexemplo, atingir um uso mais sofisticado. Como poderiamos colher mangasmaduras usando derivada ? Indiretamente, e claro.

A figura (fig. 1.1) sugere alguma coisa. Queremos lancar uma pedra, amar-rada a um cordao, de modo que o cordao fique preso proximo a um conjuntode mangas. Rodamos a pedra preza ao cordao ate que ela atinja uma veloci-dade angular razoavel. Quando a pedra, em seu caminho sobre o crculoseencontrar na posicao adequada, soltamos o cordao que ira acompanhar a pedrase alojando entre as mangas. Usamos o coeficiente angular instaneo da pedrapercorrendo o crculopara escolher a direcao certa.

O mecanismo e o mesmo quando um computador vai dirigir a trajetoria deum foguete. Com as informacoes guardadas na memoria do computador sobre omapa da Terra em sua orbita, o computador calcula a cada milesimo de segundoqual deve ser o coeficiente angular relativo do eixo do foguete e desta forma vaicorrigindo a rota que levara a nave ao seu destino.

O piloto automatico dos grandes avioes comerciais fazem algo parecido. Aopartir o piloto humano coloca o aviao na direcao do aeroporto de destino. Opiloto automatico vai medindo o erros de rota impostos pelo fluxo do ar e cal-culando a direcao para corrigir o erro.

Aproximacao polinomial de curvasAs funcoes nos fornecem dados dinamicos sobre diversos fenomenos. Mas

nem sempre a natureza se conforma a` matematica como nos gostariamos...

x

A solucao e fazermos aproximacoes para os fenomenos naturais. Ha diversostipos de aproximacoes vamos analisar uma delas aqui, splines.

Splines sao uma melhora consideravel dos polinomios de Taylor. Precisare-mos deste assunto de Calculo para desenvolver esta forma de aproximacao queuma aproximacao polinomial por pedacos. A figura (fig. 3) ilustra este tipo deaproximacao usando polinomios do primeiro grau o que resulta numa poligonal.

O objetivo do cursoDiscutir os problemas

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

data

Figura 3: Uma aproximacao spline de uma curva.

do Calculo Diferencial eIntegral de modo a en-contrar solucoes aproxi-madas para este proble-mas.

Questionar a validadedestas aproximacoes.

Criar a sensacao deque a solucao exata podeser um mito.

Linguagem de programacaoVimos que metodos com-

putacionais sao essenci-ais para desenvolvermos as aproximacoes.

Os alunos, seja do curso de Computacao, ou do curso de Matematica oudas Engenharias, ja deveriam conhecer uma linguagem de programacao, a estaaltura.

Infelizmente isto raramente e verdade.Mas achamos que e preciso forcar a barra, como temos feito com os nossos

alunos de Calculo Numerico, com resultados positivos: ao final do segundo mesde aula a maioria deles ja sabe fazer programas e inclusive planejar um pequenopacote, claro, isto pressupoe que eles tenham acesso a computadores.

Na metologia que temos empregado os programas crescem de nvel de modoque, se o aluno se empenhar em entende-los, ficara gradualmente no nvel dosmesmos.

Nas duas ou tres primeiras semanas temos mantido a preocupacao de explicardetalhadamente os programas.

Mas aos poucos vamos deixando que o leitor comece a voar sozinho...obviamente,na companhia de um bom livro sobre uma linguagem de programacao, e tambemsob a hipotese de que ele ira encontrar sempre um hackera sua volta no la-boratorio de computacao de modo a lhe tirar algumas duvidas (e lhe implantarmais uma dezena...).

Vamos adotar a linguagem C, mas ninguem deve se sentir obrigado a nosacompanhar nesta escolha. Use o que houver a` sua mao, aquilo que ficar maisfacil, mas que os alunos aprendam a programar.

As linguagens de programacao de um certo tipo todas se parecem de for-mas que quando apresentarmos um programa em C facilmente ele podera sertransformado para a linguagem preferida do leitor.

xi

Como e que se aprende uma linguagem ?Primeiro que tudo metendo a cara, depois perguntando muito a quem ja sabe

um pouco mais, e sem dar muita importancia ao semblante de incomodado quealgumas pessoas possam fazer... quem sabe um pouco mais, aprendeu pergun-tando aos outros. Pergunte! incomode inclusive o professor! use o seu enderecoeletronico para tirar suas duvidas, mas nao se esqueca de que sera o seu esforcopessoal que sera decisivo.

Procure economizar a paciencia dos outros, tente descobrir voce sozinhocomo fazer as coisas. Este e seguramente o melhor aprendizado: quando vocemesmo descobre.

Estamos convencido de que o uso de computacao no ensino de Matematicaenriquece fortemente a experiencia do aluno porque permite introduzir umadinamica que giz e quadro na conseguem mais gerar ante uma nova mentalidadegrafica que esta presente em nos todos.

Isto vale para qualquer outra profissao e nos nao tentariamos convencer osalunos de computacao desta verdade.

Vamos listar algumas linguagens de programacao parecidas com C

1. Pascal, e voce certamente vai encontrar [18] na biblioteca que lhe podeconduzir a dominar esta linguagem.

2. Python, e uma linguagem de domnio publico que se encontra disponvelem todo sistema Gnu/Linux. Nestes sistemas voce encontra um tutorialsobre esta linguagem no diretorio /usr/doc/python/tutorial.

3. Java, praticamente de domnio publico, se encontra disponvel em todosistema Gnu/Linux

4. Computacao Algebrica.

Domnio publico ou relativamente livresMuPad,Reduce,Maxima Comerciais - nao aconselhamos! Maple, Derive

5. Calculo Numerico, domnio publico SciLab Octave

6. Calculo Numerico, comercial MatLab. Scilab, Octave fazem tudo queMatLab faz.

Os programas distribuidos sob o GPL, General Public License, sao de exce-lente qualidade. Ninguem mais precisa, hoje, pagar, para ter um computadorfuncionando, alem do preco da maquina... Este livro, todos os programas que oacompanham, todo o trabalho de pesquisa do autor, se desenvolve inteiramentecom programas de domnio publico rodando em ambiente Linux.

xii

Captulo 1

A derivada aproximada

A taxa de variacao de f e uma das informacoes mais importantesque podemos ter sobre um fenomeno descrito por f . O CalculoDiferencial e Integral define a derivada, usando o limite da taxade variacao ou a taxa de variacao instantaneaA taxa de variacao e definida por um quociente de diferencas eesta e a definicao basica que iremos usar neste captulo.

1.1 Quociente de diferencas

Uma funcao f e diferenciavel se em cada ponto do domnio o graficograf(f) tiver uma reta tangenteA reta tangente no ponto (a, f(a) tem um coeficiente angular m e nos diremosque f (a) = m. A funcao derivada, f e uma outra funcao que descreve asderivadas de f e portanto as taxas de variacao instantaneas de f . No Calculodizemos que a derivada define a reta tangente ao grafico, aqui preferimosinverter a forma de falar porque vamos criar modelos, funcoes, a partir dedados amostrais e a taxa de variacao sera frequentemente um desses dadosamostrais.

Este primeiro captulo e dedicado a uma revisao do Calculo Diferencial eIntegral e de programacao como um alerta daquilo que voce precisa saber para

o desenvolvimento dos demais captulos.

Observe a figura (fig. 1.1) em que estamos simulando o que acontece comuma pedra que alguem esteja rodando presa a um cordao e que, num certomomento, o cordao (provavelmente podre) se rompa. A pedra memoriza oultimo coeficiente angular que o seu movimento tinha sobre o crculo e segueem movimento uniforme nao acelerado1 pela reta tangente.

Assim o coeficiente angular da reta tangente e o coeficiente angular ins-tantaneo da trajetoria da pedra no crculo.

1falso, obviamente, porque a aceleracao da gravidade esta presente

1

CAPITULO 1. A DERIVADA APROXIMADA 2

Aqui se quebrou o cordo

Ao se quebrar o cordo, a pedra sai pela tangente

Figura 1.1: A pedra, quando o cordao se rompe

Se f representar a parte da equacao do crculo onde vemos a pedra aindapresa ao cordao, e t1 for o valor do parametro no ponto em que o cordao serompeu, entao

f (t1) e a derivada de f no ponto (t1, f(t1))) (1.1)

Para dizer o mesmo que dissemos acima, o professor de Calculo consideraa seguinte figura (fig. 1.2) em que podemos ver uma reta tangente e tres retas

a a+h

(f(a+h)f(a))/h

Taxa de variao

Tangente e uma sucesso de secantes

Figura 1.2: Taxa de variacao

secantes. As retas secantes sao aproximacoes da tangente.Na figura (fig. 1.2) estao indicados apenas dois valores para o parametro

a, a+ h mas temos al as secantes correspondentes a tres valores: a1, a2, a3 e oo calculo do coeficiente angular, das secantes, e feito assim:

m1 =f(a1)f(a)

a1a (1.2)

m2 =f(a2)f(a)

a2a (1.3)


m3 =f(a3)f(a)

a3a (1.4)

Quanto mais proximo estiver ai de a mas preciso sera o valor do coeficienteangular da secante, relativamente ao desejado coeficiente angular da tangente.

Veja mais abaixo onde estamos explicando um metodo pratico para cortarum crculo em um folha de papel como um exemplo do que e aproximacao.

O coeficiente angular da tangente e o limite das taxas de variacao. Comonem sempre podemos calcular o limite, seja recortando crculos em papel (oucolocando foguetes em orbita), muita vezes temos que nos contentar com o coefi-ciente angular de uma reta secante, tentando minimizar o erro disto decorrente,ou tentando corrigir o erro ao longo do processo.

Relembrando a equacao da reta tangente

f(x1)f(a)x1a f (a) (1.5)

f(x1)f(a)x1a = m =

fx

= a(f) (1.6)

y1 y0 = f(x1) f(a) = m(x1 a) (1.7)f(x) f(a) = f (a)(x a) + o(x a) (1.8)

f(x) f(a) f (a)(x a) (1.9)y f(a) = f (a)(x a) (1.10)

Vamos parar um pouquinho nas ultimas equacoes.

A equacao 7 representa a relacao entre os lados de um triangulo sobre areta secante que passa nos pontos (a, f(a)), (x1, y1).

As equacoes 8 e 9 sao equivalentes, representam a aproximacao que areta tangente fornece para os valores de f . Na equacao 8 o erro estarepresentado com a notacao o(x a), o o pequeno de Landau2

Na equacao 8 estamos indicando com o termo corretor o(x a) que aequacao da reta fornece o valor de f(x) com este erro: o(x a)

A ultima equacao, 10, e simplesmente a equacao da reta tangente:y b = m(x a) ; b = f(a), m = f (a)

Escrevemos a equacao 8 com o termo corretor, o(x a) porque a expressaoy f(a) = f (a)(x a) (1.11)

e a equacao de uma reta e o grafico da funcao nao precisa ser uma reta3entao aigualdade representada pela reta esta errada e e isto que estamos representandocom o termo de correcao o(x a). E uma forma pratica de indicar que existeum erro sem precisar entrar no detalhe do valor do erro.

2A notacao dos o s de Landau nos ajudam a falar de aproximacao de uma forma praticaescondendo a precisao, veja mais a respeito no ndice remissivo

3compare as equacoes 8 e 10


Observacao 1 Porque falar em aproximacaoFalaremos seguidamente de aproximacao, neste livro. Podemos dizer que

Calculo Numerico faz de forma aproximada o que o Calculo Diferencial e Inte-gral diz que faz exatamente.

Porque falar que as secantes sao aproximacoes da tangente?Veja a seguinte experiencia que voce certamente ja fez4.Suponha que voce deseje recortar um crculo em papel. A geometria nos

ensina que as tangentes a um crculo sao perpendiculares ao raio. Assim, se

Posio da tesoura, perpendicularmente, ao raio do crculo

quisermos recortar um crculo em papel, devemos marcar o centro e ir mantendoa tesoura a distancia constante do centro e sempre perpendicular a uma reta(imaginaria...) que parte do centro.

Mas, quando voce aciona a tesoura, voce corta um pequeno segmento dereta, que dizer que voce esta na verdade recortando um polgono com um numerode lados tao grande que lhe parece que o resultado e um crculo.

Voce nao esta cortando tangentes, mas sim secantes. Mas voce queria quefossem tangentes.

O resultado e uma aproximacao e voce, em geral, ficara satisfeito com ela.Mas nao e apenas uma situacao tao simples quanto recortar crculos em papel

que nos interessam. Ha situacoes bem mais importantes, como como colocarum satelite em orbita para tornar possvel as comunicacacoes. O metodo e bemparecido com o da construcao de crculos em papel com tesoura. No captulofinal, quando discutirmos equacoes diferenciais, estaremos mostrando como eparecido, recortar crculos em papel, e colocar um foquete em orbita em que umcomputador, substituindo a tesoura, estara corrigindo a trajetoria do foquetee fazendo-o percorrer pequenos segmentos de reta de algumas centenas dekilometros. Corrigindo assim a trajetoria para que o foguete atinja uma orbita(elptica ) desejada. Portanto, para aprender a colocar foguetes em orbita noultimo captulo, va logo treinando com papel, tesoura e crculos...

O Calculo Diferencial e Integral algumas vezes deixa uma sensacao de quederivadas e integrais podem ser sempre calculadas exatamente. O Calculo tem asua funcao e aqui nos temos a nossa de corrigir o otimismo do Calculo. Vejamos

4e se nao tiver feito, use a primeira oportunidade para executar a experiencia que estamosaqui relatando...


no seguinte exemplo como podemos usar derivadas aproximadas como a unicaopcao disponvel.

Exemplo 1 Sensor e levantamento de dadosVeja na figura (fig. 1.3) pagina 5,

x xx x x 54321

Dados amostrais

Figura 1.3: Dados obtidos com um sensor

Lendo a figura podemos dizer, sobre o fenomeno descrito, que

houve um descrescimento de x1 para x2; de x2 em diante o fenomeno apenas cresceu; houve um crescimento consideravel entre x3 para x4; o crescimento entre x4 para x5 foi relativamente reduzido.Mas esta impresao visual poderia ser tornada efetiva se usassemos um sensor

de geracao mais recente que fosse capaz de fazer micro medicoes ao redor de cadaponto, veja na figura (fig. 1.4) pagina 6,

Na figura (fig. 1.4) estamos indicando que, em cada um dos pontos que osensor mediu, ele tambem fez tres medicoes a pequenos intervalos de tempo.

Estas micro-medicoes nos permitem calcular a taxa de variacao do fenomenoem cada um dos pontos:

f(x12)f(x11)x12x11 ;

f(x13)f(x12)x13x12 (1.12)

f(x22)f(x21)x22x21 ;

f(x23)f(x22)x23x22 (1.13)


x xx x x 54321

medidas em cada umdos pontos:

i1 i3x x x

x x x51 52 53

i2

foram tomadas trs medidas

Dados amostrais refinados

Figura 1.4: Dados obtidos por um sensor mais preciso

f(x32)f(x31)x32x31 ;

f(x33)f(x32)x33x32 (1.14)

f(x42)f(x41)x42x41 ;

f(x43)f(x42)x43x42 (1.15)

f(x52)f(x51)x52x51 ;

f(x53)f(x52)x53x52 (1.16)

Alem de sabermos o valor no ponto, podemos calcular a derivada aproximadada funcao que descreve o fenomeno.

O Calculo nos ensina que tudo pode ser descrito por alguma funcao, e isto ecertssimo, apenas nem sempre as funcoes tem equacoes algebricas que possamosderivar. Algumas vezes tudo que sabemos sobre estas funcoes sao valores colidospor um sistema de amostragem, como as figuras que acabamos de comentarindicam.

Para terminar o exemplo, vejamos mais duas figuras. A figura (fig. 1.5)pagina 7, nos apresenta uma interpolacao linear dos dados, quer dizer, tudoque sabiamos eram os valores obtidos em cada ponto, e os segmentos de retaal desenhados nos sugerem qual poderia ser o valor do fenomeno em pontosintermediarios entre aqueles em que foram tomados medidas.

Veja agora na proxima figura, (fig. 1.6) pagina 8, em que, usando as ta-xas de variacao obtidas em cada um dos pontos, pudemos tracar uma curvanao poligonal5interpolante descrevendo melhor o que acontece nos pontos inter-mediarios.

5retas, sao curvas, poligonais, sao curvas, e tem curvas que nao retas...


x xx x x 54321

Interpolao linear dos dados

Figura 1.5: Curva que interpola os dados

Vamos ver como fazer isto no captulo 0, esta curvas interpolantes seraopedacos de polinomios.

Agora, com as taxas de variacao podemos descrever melhor o fenomeno me-dido. Lendo o grafico contido na figura (fig. 1.6), podemos dizer

Ha um ponto de mnimo do fenomeno entre os pontos x1 e x2; o crescimento abrupto que parecia acontecer entre x3 e x4 de fato acontecenum pequeno pedaco deste intervalo, a partir do ponto medio.

tambem houve um crescimento abrupto proximo do ponto x5.Observe que a interpolacao linear nao nos permitia tecer nenhuma dessas consi-deracoes. Sem o conhecimento da taxa de variacao em cada um dos pontos, tudoque podemos fazer e uma interpolacao linear que descreve um comportamentouniforme entre os pontos em que as medicoes foram feitas.

Este exemplo nos mostra uma situacao bem concreta do dia-a-dia em que aderivada formal seria inutil6. A derivada tem que ser obtida aproximadamentea partir de algumas medicoes finas tomadas em alguns pontos escolhidos.

O exemplo tambem nos mostra a importancia da derivada como informacaocomplementar.

6mas se voce estiver deduzindo que o estudo do Calculo e inutil, engana-se. Precisamosde teorias formais, para produzir a tecnica e as aproximacoes, mas isto e uma historia maislonga, envolva o professor nesta discussao...


x xx x x 54321

medidas em cada umdos pontos:

i1 i3x x x

i2

foram tomadas trs

Interpolao no linear dos dados

Figura 1.6: interpolacao nao linear

E o qual seria a taxa de variacao a ser considerada em cada um dos pontos?Temos tres medidas, logo duas taxas de variacao.

Aqui entra em cena uma decisao tpica de quem cria modelos para fenomenos.A media e uma melhor opcao, ela corrige possveis erros de medidas. Umbom sensor tomaria nao tres medicoes mas certamente uma dezena de micro-medicoes o que permitiria uma boa media.

Voltaremos a discutir interpolacao mais a frente.Resumindo,

a(f) = fx representa o coeficiente angular de uma reta secante quedesejamos que seja uma aproximacao da reta tangente;

f (a) e o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto(a, f(a)).

Usaremos, quando a tecnica nos permitir, o valor medio de uma colecaode taxas de variacao, obtidas com micro medicoes, para representar (apro-ximar) f (a).

Nos exerccios seguintes, voce sera solicitado a calcular a derivada aproxi-mada de funcoes cuja derivada voce sabe calcular exatamente. Desta forma vocepodera comprender melhor a derivada aproximada, comparando-a em casos emque temos a derivada exata disponvel.


Exerccios 1 Derivada aproximada

Notacao a(f) =f(a+x)f(a)

x

1. micro medicoes Considere a funcao f(x) = (x + 3) (x 4) e no pontox = 3 considere as micro-medicoes

(3, f(3)), (3.01, f(3.01)), (3.02, f(3.02)).

Calcule 3(f) =f(3.01)f(3)

0.01 e 3.01(f) =f(3.02)f(3.01)

0.01 e a media aritmetica3(f)+3.01(f)

2. Compare o resultado com f (3)

2. micro medicoes Repita a questao anterior com o ponto x = 4 com x =0.001

3. Sabendo que f(1) = 3, f (1) = 1 qual dos graficos na figura (fig. 1.7)pagina 9, corresponde ao grafico de f . Justifique sua resposta.

1

f

1

f

Figura 1.7: Qual pode ser o grafico de f ?

4. Calcule a(f) =fx com f(x) = x

2 + 3x + 2 no ponto x = a e com osvalores de x indicados

x = a x x x1 0.1 0.01 0.0012 0.1 0.01 0.0011.5 0.1 0.01 0.001

5. Complete a tabela, calculando a diferenca (o erro) D = |f (a)a(f)| =|f (a) fx |x=a| com f(x) = x2 + 3x+ 2.


x = a x |f (a)a(f)|1 0.0012 0.0011.5 0.001

6. A seguinte listagem de valores foi obtido por um sensor para os valores dea(f) =

fx

na vizinhanca de um ponto. Calcule a derivada media.

0.99884447020655558927

0.99945892356272536761

0.99976592143543602562

0.99991936316018971376

7. Um sensor apresenta a seguinte sada de dados em que o primeiro valore f(a) e os quatro seguintes sao a(f) =

fx na proximidades do ponto

x=a.

(a) Construa, grafica e algebricamente, a interpolacao linear dos dados.

(b) Construa, grafica e algebricamente, uma interpolacao nao linear daamostragem com quatro dados obtidos pelo sensor em cada ponto.

a a(f)(1) a(f)(2) a(f)(3) a(f)(4) f(a)1 0.667 0.701 0.719 0.728 30 0.002 0.001 0.000 0.000 -51 0.812 0.774 0.755 0.746 -72 2.926 2.861 2.828 2.812 -143 5.895 5.816 5.776 5.756 -20

8. Faca um programa que liste os valores de a(f) de de f(a) para alguns

valores de um um intervalo. Use um while() para controlar uma lista devalores.

solucao derivadas.c, [20].

1.2 Quocientes de diferencas

de ordem superior

Se calcularmos a diferenca entre dois quocientes de diferencas sucessivos

2a(f) =a+x(f)a(f)

x

estaremos obtendo uma aproximacao da segunda derivada.Este e um quociente de diferencas de segunda ordem.

Como nao podemos calcular a derivada formal, em nossos programas decalculo numerico, resta-nos a tentativa com os quocientes de diferencas. Aqui


vamos discutir os quocientes de diferenca de segunda ordem

2a(f) =a+x(f)a(f)

x = (1.17)

( f(a+2x)f(a+x)x

f(a+x)f(a)x

=)/x (1.18)

= f(a+2x)2f(a+x)+f(a)x2

(1.19)

Nao havendo duvida7nos usaremos uma notacao mais simples para os quocientesde diferenca de segunda ordem:

2(f) = 2a(f) (1.20)

Enquanto que os quocientes de diferencas de primeira ordem sao razoavel-mente precisos, quando passamos aos de segunda ordem, e preciso ter muitocuidado com os resultados porque a precisao cai.

Veja seguinte listagem obtida com a funcao:

f(x) = (1 x2)sin(x/4)Usamos um programa feito em calc que tem uma sintaxe semelhante a da

linguagem C, e o programa deriva02.calc que voce pode encontrar em [20,programas.tgz]. A listagem foi editada e resumida, voce pode rodar e alterar oprograma para ganhar mais experiencia. Nao tema extragar os programas, elesestarao na pagina a` sua diposicao quando voce cometer erros e nao souber comocorrig-los, aprenda, tranquilamente, a alterar os programas.

O programa derivada02.calc produz uma sada de dados pronta para usarem um texto com LATEX. Experimente a versao derivada03.calc que produzo resultado no terminal.

As funcoes d2f() e ddf() sao idendticas.ddf() calcula o quociente de primeira ordem da funcao df(), que calcula o

quociente de primeira ordem de f(), corresponde a equacao (17), d2f() calculadiretamente o quociente de segunda ordem usando f(), corresponde a equacao(19).

Intervalo [0, 10], passo 1, Delta = 0.000001

x d2f ddf exata0 -0.000001520000 -0.000001520000 -0.51 -1.463721700812 -1.463721700812 -1.4637203402202 -2.624124797793 -2.624124797793 -2.1853326315563 -3.217524857357 -3.217524857357 -2.4858358777834 -3.055271491335 -3.055271491335 -2.2448186860295 -2.051102544324 -2.051102544324 -1.4204593968646 -0.237390644956 -0.237390644956 -0.0605498958497 2.231711106131 2.231711106131 1.6969701694728 5.090941230838 5.090941230838 3.6344245289379 7.987785378986 7.987785378986 5.475087704277

7(f), um quociente de diferencas, e f = f(x2) f(x1), uma diferenca, como x =x2 x1


Podemos ver nesta listagem erros da ordem de 300% no calculo aproximadoda derivada segunda, e o caso quando x = 6 ou de 3289% quando x = 0 o quemostra que nao podemos confiar em calculos aproximados da segunda derivadausando quocientes de diferenca. Mas veremos no captulo 0 que conseguimosmodelar com boa precisao dados discretos (obtidos com sensores) usando ape-nas aproximacoes da primeira derivada, esta sim, calculada com quociente dediferencas.

No captulo 0 vamos usar do quociente de segunda ordem, apenas o nume-rador, quando estudarmos o problema,

f(x) = 0

veremos que assim e possvel contornar o problema deste erro, ao evitar o quo-ciente, No momento certo voltaremos a discutir esta questao.

Exerccios 2 Revisao de Calculo e computacaoobjetivo adquirir familiaridade com questoes de Calculo e de computacao,

necessarias ao Calculo Numerico Computacional. Conscientemente, ignore asquestoes que voce domina, o objetivo nao e perder tempo, mas ao mesmo tempo,aprofunde e procure outras questoes parecidas com as que voce nao dominar paraaumentar a sua pratica.

O programa gnuplot e um pacote computacional para fazer graficos, temtambem uma versao que roda em windows que pode ser encontrada aqui, [13].

Nas revisoes de programacao, voce pode usar em programas em Pascal, [18],mas os programas que associados a este livro, que estao aqui, [20], foram escritosem C ou em calc.

Voce quiser rodar programas em Pascal existe um compilador, gpc, paraLinux.

1. Equacao da reta que passa num ponto

(a) teorica Escreva a equacao da reta que passa no (a, b) e tem coeficienteangular m.

(b) aplicacao Escreva as equacoes das retas que passam no (a, b) como coeficiente angular indicado, em cada item abaixo. Faca graficosprocurando ser preciso. Voce pode usar gnuplot ou xfig para fazerestes graficos, mas deve indicar por escrito como fez.

no ponto coef. angular(a, b) m(1, 3) 3(1, 3) 1

no ponto coef. angular(a, b) m(1, 3) 1(1, 3) 2

(c) teorica Escreva a equacao da reta que passa nos pontos (a1, b1), (a2, b2).

(d) aplicacao Escreva as equacoes das retas que passam nos pontos in-dicados em cada um dos itens abaixo. Para cada caso faca graficosprecisos. Voce pode usar gnuplot ou xfig para fazer estes graficos,mas deve indicar por escrito como fez.


P1 P1(a1, b1) (a2, b2)(1, 3) (1,3)(1, 3) (3, 3)

P1 P1(a1, b1) (a2, b2)(1,3) (3, 1)(1, 3) (2, 5)

2. teoria Reta tangente ao grafico de uma funcao Formula de Taylor. A de-rivada de uma funcao nos fornece o coeficiente angular instantaneo damesma no ponto:

f (a) e o coeficiente angular instantaneo de f em (a, f(a))

(a) teorica Formula de Taylor - equacao da reta Escreva a equacao dareta que passa no (a, f(a)) e e tangente ao grafico da funcao nesteponto. Observe que voce deseja a equacao da reta que passa no ponto(a, f(a)), com coeficiente angular f (a). Faca um grafico genericomostrando o que acontece.

(b) Aplicacao - derivada algortmica Derivar algortmicamente significa, paraeste exerccio, evitar de fazer todas as contas, represente as contas, nao as faca

totalmente, deixe que a linguagem de programacao calcule por voce. Para cadaitem abaixo faca o grafico da funcao e da reta tangente no ponto(a, f(a)) indicado. Voce pode usar gnuplot ou xfig para fazer estesgraficos, mas deve indicar por escrito como fez.

f(x) = (x+ 3)(x 4) a = 3f(x) = (x+ 3)(x 4) a = 4f(x) = (x+ 3)(x 4) a = 0.5f(x) = sin(x)(x+ 1) a = 4f(x) = sin(x)(x 1)(x 5) a = 2f(x) = cos(x)(x+ 3)(x 4) a = 0.5

3. Altere o programa ex01.c para imprimir alguns numeros. Voce encontraeste programa aqui, [20, programas.tgz].

4. Altere o programa ex01.c para que ele escreva quatro termos de umaprogressao artimetica cujo primeiro termo seja 3 a raao 4.

solucao: ex02.c

5. Faca um programa que escreva de 0 a 10, use um while().

solucao: ex03.c

6. Altere ex03.c para escrever os 10 termos de uma progressao aritmeticade razao 3.

solucao: ex04.c

7. Altere ex04.c para escrever os 10 termos de uma progressao geometricade razao 2.

solucao: ex05.c


8. Altere ex05.c para escrever os 100 termos de uma progressao geometricade razao 1.0005, os juros da simploria cadernete de poupanca.

solucao: ex06.c

9. Altere o programa ex06.c colocando um if() dentro do while() controlandoum contador para permitir a visualizacao do sagrado capital sendo trans-formado na poupanca.

solucao: ex07.c

10. Escreva um programa que

(a) Produza uma progressao artimetica de razao 0.5, primeiro termo 3 eo numero de termos 10;

solucao: altere ex04.c

(b) Produza uma progressao artimetica de razao 5, primeiro termo -3 eo numero de termos 10;


(c) uma progressao geometrica de razao 7% com primeiro termo 1000e com 12 termos. Obtenha outra cuja razao seja 0.5%. Uma delas(qual ?) mostra como cresce sua dvida se voce usar cheque especialou cartao de credito.


11. Derivada aproximada O quociente

f

x=

f(a+x) f(a)x

f (a) (1.21)

e uma aproximacao do valor da derivada de f no ponto x = a quandox for pequeno. Os proximos itens servem para que voce desenvolva asua intuicao com respeito a esta aproximacao, faca graficos bem feitosque permitam voce se convencer do seu significado, a precisao com queos graficos serao feitos e parte essencial da questao, um grafico mal feitonao lhe indicara nada, use papel quadriculado (ou milimetrado). Se voceusar gnuplot, ele lhe permite um zoom usando o botao direito do ratinhoe voce podera ver assim o detalhe entre as duas retas.

(a) Considere f(x) = x2 2x 3 e encontre a reta tangente ao graficode f no ponto (1, f(1)). Faca o grafico.solucao: derivada02 01.gnuplot, [20].

(b) Use x = 0.2, calcule o valor aproximado da derivada com este erro,e obtenha a equacao da reta tangente no ponto (1, f(1)). Facao grafico.

solucao: derivada02 02.gnuplot


(c) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com esteerro, e obtenha a equacao da reta tangente no ponto (1, f(1)).Faca o grafico.

solucao: altere derivada02 02.gnuplot

(d) Com f(x) = x2 2x 3 e encontre a reta tangente ao grafico de fno ponto (3, f(3)). Complete o grafico anterior.solucao: altere derivada02 02.gnuplot

(e) Use x = 0.2, calcule o valor aproximado da derivada com esteerro, e obtenha a equacao da reta tangente no ponto (3, f(3)).Complete os graficos anteriores.


(f) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com esteerro, e obtenha a equacao da reta tangente no ponto (3, f(3)).Complete os graficos anteriores.


12. Faca um programa que imprima a derivada aproximada, por quociente dediferencas, do item anterior. Aprenda a usar funcao, em C,

solucao: derivadas.c

13. Para f(x) = x2 9(a) Encontre as retas tangentes ao grafico de f nos pontos

(4, f(4)), (3, f(3)), (0, f(0))

Faca os graficos.


(b) Use x = 0.05, calcule o valor aproximado da derivada com esteerro, e obtenha a equacao da reta tangente nos pontos

(4, f(4)), (3, f(3)), (0, f(0))

Complete os graficos anteriores.


14. Significado da derivada Considere a funcao f(x) = x3 3x2 9x+ 2

(a) Calcule a derivada f .

(b) Encontre as razes de f e deduza os pontos extremos relativos f

(c) objetivo: Algumas vezes e mais facil fazer o grafico de f que o graficode f . Deduza um esboco do grafico de f do grafico usando o graficoda derivada.


Solucao 1 A derivada da funcao f(x) = x33x29x+2 e uma funcaodo segundo grau, cujos zeros sabemos calcular.

f(x) = x3 3x2 9x+ 2 (1.22)f (x) = 3x2 6x 9 = 0 = x2 2x 3 (1.23)

x = 24+122 (1.24)

x1 =2+42

= 3 = (1.25)

x2 = 1 = (1.26)As razes, x1, x2 da derivada sao pontos de extremos de f , neste caso comcerteza porque sao zeros isolados de um polinomio.

Temos duas maneiras de determinar se sao maximo ou mnimos. Umaconsiste em calcular a segunda derivada e verificar o sinal. Outra consisteem verificar a variacao em volta do ponto.

Vamos usar o teste da segunda derivada. Lembrando a formula de Taylor,a segunda derivada representa a concavidade da funcao e portanto mos-tra uma parabola que lhe e semelhante no ponto. Se f (xi) for positiva,entao f neste ponto lembra uma parabola com com o vertice para baixo,passando por um mnimo. Se for negativa passara por um maximo.

ponto 2a. derivada no ponto diagnostico valor no pontof (x1) 12 passa por um mnimo f(x1) = 25f (x2) -12 passa por um maximo f(x2) = 7

O esboco grafico de f pode ser visto na figura (1.8) pagina 17,

Comandos do gnuplot usados na resolucao desta questao

f(x) = x**3 - 3*x**2 - 9*x + 2

df(x) = 3*x**2 - 6*x - 9 ## x**2 - 2*x - 3 = 0

a1 = (2 + sqrt(4+12))/2.0

a2 = (2 - sqrt(4+12))/2.0

print df(a1)

print df(a2)

plot df(x),0

ddf(x) = 6*x - 6

print ddf(a1)

print ddf(a2)

set xrange [a2-2:a1+2]

plot f(x),df(x),0

plot f(x),df(x),0

set terminal post enhanced portrait

set output derivada_funcao01.eps

plot f(x),df(x),0


-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)df(x)

0

Figura 1.8: grafico de f analisando f

15. Modelo Encontre a equacao de uma reta (um tipo de modelo) que melhorrepresente os dados da tabela na figura (1.9) pagina 18. Justifique suasolucao;

Calcule o valor deste modelo no ponto x = 2. Calcule o valor medioque estes dados representam usando a reta como modelo, e admita que ointervalo de observacoes e [10, 10].solucao: calcule o valor medio das taxas de variacao e use este valor paraa equacao da reta.

16. Teste do modelo Faca o grafico do conjunto de pontos da tabela (1.9) e dareta que voce encontrou para modelar os dados com gnuplot e verifiqueassim se o modelo esta adequado. Justifique a sua conclusao.


10 28.6 6 15.4 2 2.2 0 4.4 3 11.7 7 22.5 9 27.9

Figura 1.9: Dados amostrais

1.3 Polinomios de Taylor

Estudamos a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) e naverdade quando comecamos a estudar esta questao o nosso exemplo, na figura(fig. 1.1), pagina 2, nos dizia que nao era a reta tangente que nos deveriainteressar e sim a parabola tangente. Vamos agora ver como podemos obteruma parabola tangente ao grafico graf(f) no ponto (a, f(a)).

O metodo se parece com o que ja usamos para a reta tangente, foi porissomesmo que comecamos com este caso mais simples. Revendo o caso da retatangente,

y f(a) = f (a)(x a) (1.27)y = f(a) + f (a)(x a) (1.28)

seriamos facilmente conduzidos ao erro de imaginar que a equacao da parabolatangente seria (esta errado)8

y f(a) = f (a)(x a) + f (a)(x a)2 (1.29)y = f(a) + f (a)(x a) + f (a)(x a)2 (1.30)

Para encontrar a formula correta, vamos inicialmente considerar um polinomiodo segundo grau

P (x) = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 (1.31)desenvolvido no ponto x = a e vamos impor as condicoes que nos interessam,para encontrar9 os coeficientes

a0, a1, a2 (1.32)

P (a) = f(a) a0 = f(a) (1.33)P (x) = a1 + 2a2(x a) (1.34)

P (a) = f (a) a1 = f (a) (1.35)P (x) = 2a2 (1.36)

P (a) = f (a) a2 = f(a)2 (1.37)

8esta formula esta errada!9os coeficientes e que sao as incognitas deste problema....


Na equacao (33) estamos impondo a condicao de que o polinomio P passeno ponto (a, f(a)). Na equacao (34) calculamos a derivada do polinomio Ppara impor a condicao, na equacao (35), que o polinomio P tivesse a mesmaderivada que f no ponto (a, f(a)). Derivamos, na equacao (36), o polinomio Ppara impor na equacao (37) que o polinomio tivesse a mesma derivada segunda(curvatura) que a funcao f tem no ponto (a, f(a)).

Vemos assim que a formula correta para a equacao da parabola tangente aografico graf(f) no ponto (a, f(a)) e

y = P (x) = f(a) + f (a)(x a) + f(a)2

(x a)2 (1.38)Compare a equacao errada 33 com a equacao correta 38 e veja que a diferencase encontra no metodo do calculo para o coeficiente do segundo grau:

a2 =f (a)2

Este exemplo tambem lhe mostra a razao pela qual a equacao do movimentoacelerado (caso da gravidade) e

v = s0 + v0(t a) + g2(t a)2 (1.39)

em que t = a e o ponto considerado como incio do movimento.Nos cursos de Calculo este topico aparece sob o nome de formula de Taylor

e vai bem alem na construcao de um polinomio de grau n tangente ao graficode f no ponto (a, f(a)). A metodologia para obter esta formula e exatamente amesma que apresentamos acima, entretanto partindo do polinomio

P (x) = a0 + a1(x a) + . . .+ an(x a)n (1.40)ao qual se impoem, sucessivamente, as condicoes de tangencia. A conclusao eque

an =f (n)(a)

n!(1.41)

e a voce deve observar que

2 = 2!, 1 = 1!, 1 = 0! (1.42)

sao os denominadores dos termos em x2, x, x0.Fizemos mencao ao erro existente entre a equacao da reta tangente ao

graf(f) e os valores de f numa vizinhanca do ponto de tangencia, chamando-ode o(x a).

Aqui usaremos a mesma notacao, porem o erro e, teoricamente, menor.Infelizmente, quando passarmos aos calculos numericos este erro tende a

ser bem maior, desta maneira ha que ser prudente com o uso da aproximacaopolinomial do grau elevado. O fato e que em geral nos damos muito bem comas aproximacoes do primeiro grau. No captulo 0 vamos ver que o grau idealpara as aproximacoes polinomiais e o terceiro grau.


Aqui voce pode observar a crtica diferenca entre o calculo feito manual-mente (e formalmente) e os calculos automaticos. Podemos atingir precisoesmuito maiores com o calculo manual, mas possivelmente com um grande lapsode tempo, nao esquecendo que nele estamos sujeitos a erros diversos. No en-tanto, no calculo automatico os computadores incluem outros tipos de erroscom a inevitavel aproximacao com que tem que trabalhar. A conclusao, nosa repetiremos com frequencia, e temos que fazer os calculos com programas decomputador, mas temos que monitorar os resultados e saber analisa-los critica-mente para tirar o bom proveito que eles nos podem trazer.

No penultimo captulo 0 iremos estudar aproximacao polinomial quandonecessitaremos que voce tenha uma boa pratica com do uso do polinomio deTaylor e de programacao, eis uma boa razao para lhe oferecermos logo umalista de exerccios.

Exerccios 3 Polinomios de Taylor

1. Reta tangente ao grafico de uma funcao Formula de Taylor. A derivadade uma funcao nos fornece o coeficiente angular instantaneo da mesma noponto:

f (a) e o coeficiente angular instantaneo de f em (a, f(a))

Veja na figura (fig. 1.10),

300

200

100

0

100

200

300

400

500

600

4 2 0 2 4

f(x)reta(x)

0

Figura 1.10: Reta tangente ao grafico de f

(a) Considere f(x) = x22x3 calcule f (2) e encontre a reta tangenteao grafico de f no ponto (2, f(2)).solucao: altere derivada02.02.gnuplot, voce o encontra aqui, [?]

(b) Considere f(x) = x2 9 calcule f (4) e encontre a reta tangenteao grafico de f no ponto (4, f(4)).solucao: altere derivada02.02.gnuplot


(c) Escreva a expressao da reta tangente ao grafico de uma funcao qual-quer, f no ponto (a, f(a)). Observe que voce deseja a equacao dareta que passa no onto (a, f(a)), com coeficiente angular f (a).solucao: altere derivada02.02.gnuplot

2. Analise do grafico de f

(a) parabola tangente Encontre a parabola tangente ao grafico de

f(x) = (1 x2)sin(x/4)

no ponto (4, f(4)) e deduza como e o grafico de f nas vizinhancasdeste ponto.

solucao: altere derivada02.03.gnuplot

(b) parabola tangente Encontre a parabola tangente ao grafico de f noponto (2, f(2)) e deduza como e o grafico de f nas vizinhancasdeste ponto.

solucao: altere derivada02.03.gnuplot

(c) Deducao do grafico de f Com base nas duas informacoes10 obtidasanteriormente, simule o grafico de f numa vizinhanca do intervalo[1, 1].

3. Polinomio desenvolvido em um ponto A expressao usual dos polinomios edesenvolvida no ponto x = 0

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + a0x

3 + + anxn (1.43)

Usando polinomio de Taylor podemos desenvolver um polinomio em qual-quer outro ponto.

Desenvolva o polinomio

P (x) = 3 x+ 2x2 3x3 + 5x4 (1.44)

no ponto x = 3 e faca os graficos dos dois polinomios com gnuplot.Comente o resultado obtido.

solucao:11num terminal, rode calc < poltay2.calc

1.4 Derivadas parciais

Vamos generalizar a formula de Taylor para o caso multivariado. Aqui a res-tricao sera mais forte, nao passaremos do primeiro grau e a consideracao feitaanteriormente sobre erros nas aproximacoes de derivadas de ordem maior se

10este exerccio tem o defeito de sugerir que podemos fazer uma simulacao destas em qual-quer intervalo sabendo o que acontece nos extremos. Isto e falso!11Todos os programas do livro se encontram aqui, [20]


aplica, fora que a otencao de dados amostrais com taxas de variacao parcialmaior do que um e bem mais difcil de ser obtida.

Se considerarmos uma expressao dependendo de varias variaveis

F (x, y, x) = d (1.45)

e lhe aplicarmos derivacao implcita, vamos obter um modelo que nos permitirachegar a` equacao de um objeto linear tangente:

dw = dF (x, y, z) =F

xdx+

F

ydy +

F

zdz = 0 (1.46)

Vamos agora admitir a hipotese de que conhecemos um ponto

P = (a, b, c)

onde passa a variedade12.

F (x, y, z) = d

Uma outra forma de dizermos a mesma coisa e

P = (a, b, c)

e uma solucao da equacao (45). Nesta forma de falar a hipotese e que existeuma solucao para esta equacao, que e P .

Se substituirmos, neste modelo,

dx := x a ; dy := y b ; dz := z c (1.47)vem a equacao da variedade13 linear tangente:

F

x(x a) + F

y(y b) + F

z(z c) = 0 (1.48)

Podemos explicitar z nesta expressao

Fx (x a) + Fy (y b) + Fz (z c) = 0 (1.49)

Fz |(a, b, c) 6= 0 z c =

FxFz

(x a)FyFz

(y b) (1.50)

o que nos conduz, com auxlio do Teorema da Funcao Implcita14 a garantir queexiste uma funcao

z = f(x, y) ; fx = FxFz

; fy = FyFz

(1.51)

z c = fx(x a) + f

y(y b) ; c = f(a, b) (1.52)

z = f(a, b) + fx (x a) + fy (y b) ; c = f(a, b) (1.53)12variedade e o conceito que nos livra da prisao tridimensional veja no ndice remissivo mais

informacoes a respeito neste caso esta e variedade de dimensao dois, uma superfcie13esta variedade tangente e um plano, planos sao variedades lineares de dimensao dois14voce encontra este teorema em qualquer bom livro de Calculo. Estamos tambem admi-

tindo a hipotese de a derivada parcial que aparece no denominador seja diferente de zero


e assim temos duas formulas que podemos adaptar para fazer aproximacoesde funcoes com duas ou tres variaveis sendo imediato (basta considerar maisderivadas parciais) estender estas formulas para um numero qualquer que seprecise de variaveis15

O smbolo := que utilizamos, apareceu com a linguagem de programacaoPascal para evitar a confusao com a igualdade matematica. Queremos dizerque os dois objetos que se encontram de cada lado do smbolo := tem naturezadistinta, mas que e possvel fazer uma deducao de um, a partir do outro.

Observe que a equacao (53 ) e a formula de Taylor multivariada, de grau 1para a funcao = f(x, y).

Existe tambem uma formula de Taylor multivariada de grau 2, de grau3, etc... mas em geral nao passamos da formula do primeiro grau, devido asimprecisoes que o calculo numerico joga nas derivadas de ordem superior.

Exerccios 4 Polinomio de TaylorVoce deve usar gnuplot para obter todos os graficos, mas deve apresentar

toda a justificacao das equacoes que usar.O comando do gnuplot para fazer graficos de funcoes de duas variaveis e

splot f(x,y)

1. Teorica - polinomio do segundo grau tangente Expanda as equacoes (53),(44) para encontrar aw equacoes de uma parabola (polinomio do segundograu) tangente ao grafico de f memorizando tambem a curvatura (segundaderivada)

y = A+B(x a) + C(x a)2 (1.54)Um polinomio desenvolvido16 no ponto x = a.

solucao: polinomio de Taylor do segundo grau no ponto x = a

2. Teorica - polinomio do terceiro grau tangente Expanda as equacoes (53),(44) para obter as condicoes que facam de

P (x) = A+B(x a) + C(x a)2 +D(x a)3 (1.55)

um polinomio do terceiro grau, tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)).

Descreva as equacoes para determinarmos os coeficientes A,B,C,D.

solucao: polinomio de Taylor do terceiro grau no ponto x = a

3. Formula de Taylor

(a) Ache o desenvolvimento de Taylor para f(x) = sen(x) no ponto x = 0de ordem 7 (grau 7) (um polinomio de grau 7).

15os problemas economicos lidam com espacos de dimensao de alguns milhares, o que jus-tifica a grande dificuldade no planejamento economico, por outro lado justifica trabalharmoscom dimensoes altas.16novamente, um polinomio desenvolvidono ponto x = a


(b) Ache o desenvolvimento de Taylor para g(x) = cos(x) no ponto x = 0de ordem 8 (grau 8), (um polinomio de grau 8). Analise porque adiferenca de grau entre esta questao e anterior.

solucao: derivada02 ex02.calc

(c) Calcule a derivada de g(x) + if(x), com os polinomios encontradosno item anterior. Sera que o resultado poderia ser interpretado comosendo

(g(x) + if(x)) = i(g(x) + if(x))

4. Aplicacoes

(a) Calcule o valor aproximado de sen(0.1) usando a formula de Taylorde ordem 7. Compare o resultado, indicando o erro ocorrido usandouma calculadora.


(b) Calcule o valor aproximado de cos(0.1). Compare o resultado, indi-cando o erro ocorrido usando uma calculadora.


5. Derivadas parciais introducao teorica A equacao de plano que passa noponto (a, b, c) e por comparacao com a equacao da reta

z c+ A(x a) +B(y b) = 0 (1.56)z = c A(x a)B(y b) (1.57)

(a) Calcule as derivadas parciais de z = f(x, y) na equacao (57).

resposta: A,B

(b) Justifique a afirmacao seguinte usando os conceitos tangente, co-eficiente angular dentro de uma pequena redacao. Se o plano cujaequacao esta em (56), for tangente ao grafico de uma funcao no ponto(a, b, f(a, b)) entao a equacao do plano seria, atualizando os valoresde c, A,B na equacoes (56), (57):

z f(a, b) +A(x a) +B(y b) = 0 (1.58)z = f(a, b) + fx (x a) + fy (y b) (1.59)

(c) Considere uma funcaoz = f(x, y) (1.60)

que seja derivavel numa vizinhanca do ponto (a, b, f(a, b)). Entaoela tem um plano tangente no ponto (a, b, f(a, b)), semelhante aocaso da funcao univariada com a reta tangente. Identifique entre asequacoes abaixo a equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(a, b, f(a, b)) e justifique sua escolha.


z a = f(a, b) (x a) + fy (y b) (1.61)fzz a = f(a, b) (x a) + f

y(y b) (1.62)

z a = f(a, b) (x a) + fx (x a) + fy (y b) (1.63)

solucao: z = 5 + 2(x 1) + 3(y 2); f(1.1, 2.1) 4.5(d) Sabendo que as taxas de variacao parciais de z = f(x, y) no ponto

(1, 2) saof

x= 2;

f

y= 3

e que f(1, 2) = 5i. Escreva a equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto

(1, 2, f(1, 2))

ii. calcule aproximadamente

f(1.1, 2.1)

(e) Formula de Taylor multivariada de grau 1 Observe que a equacao doplano tangente pode ser escrita de forma semelhante a equacao dareta tangente. Encontre as semelhancas e escreva a formula de Taylormultivariada de grau 1. Voce vai precisar de um produto de matrizes(estas matrizes se chamam de gradiente ou Jacobiana).

6. Polinomio Esta e uma variante do metodo polinomio de Taylor. Podemosencontrar um polinomio que memoriza as informacoes de uma funcao deforma parecida com o polinomio de Taylor, mas usando informacoes emdois pontos. Encontre um polinomio P desenvolvido no ponto x = a talque

P (a) = f(a);P (a) = f (a) P (b) = f(b);P (b) = f (b)

em que [a, b] e um intervalo em que f esta definida e e derivavel. Sugestao:escreva a expressao de um polinomio desenvolvido no ponto x = a.

7. Aplicacao Encontre um polinomio tal que

a) P (3) = 3 P (3) = 1P (3) = 1 P (3) = 1

b) P (3) = 3 P (3) = 1P (3) = 3 P (3) = 1

Faca os graficos destes polinomios usando gnuplot


1.5 Solucao de alguns exercicios

1.6 Vocabulario

gnuplot, Landau, variedade

Nesta secao vamos incluir alguns conceitos que epreciso discutir mas cujo desenvolvimento dentro dotexto seria prejudicial. Mesmo assim sera uma pe-quena amostra de cada assunto.

gnuplot e um programa para fazer graficos, uma especie de maquinade calcular eletronica com capacidade para fazer graficos, que roda numterminal do computador, com alguma habilidade sintatica. Voce podeescrever pequenos algoritmos no terminal do gnuplot ou com um editorde textos e chamar gnuplot para ler e executar o algoritmo.

gnuplot pode ser chamado de dentro de um programa, logicamente fa-lando e o mesmo que ja dissemos acima a respeito de chamar gnuplot nalinha de comandos passando-lhe um arquivo: isto pode ser feito de dentrode um programa e inclusive o programa pode construir o arquivo de co-mandos do gnuplot, veja, por exemplo raizq graf.c, rode apenas, estee um programa relativamente avancado que sera discutido no captulo 0.O proprio programa lhe dira que construiu um arquivo de comandos dognuplot que voce podera ler como um exemplo.

Landau Para representar que uma variavel tem uma relacao multiplica-tiva com outra, usamos uma das notacoes

x = O(y) limx=0

y

x= K 6= 0 (1.64)

x = o(y) limx=0

y

x= 0 (1.65)

No primeiro caso, equacao (64), o significado e que para valores cada vezmenores de x as variaveis x, y se encontram numa proporcao e podemosdizer que sao comparaveis.

Este e o casof

x=

f(x) f(a)x a (1.66)

quando a funcao for diferenciavel no ponto a com derivada diferente dezero. Neste ponto a funcao tem uma tangente paralela a reta

x 7 Kx (1.67)


em que K e o que aparece na equacao (64).

No segundo caso, equacao (65), a variavel y e infinitamente menor do quea variavel x, e o caso em que a funcao derivavel f tangencia o eixo dos X ,a derivada e nula, portanto f e infinitamente pequeno relativamente ax.

Esta linguagem, infinitamente pequeno, traduzida com a palavra infi-nitesimo, gerou uma confusao e um mito grande durante toda a primeirametade do seculo 20 em que varios autores procuraram apresentar infi-nitesimos como um tipo de numero.

Observe o salto violento que existe entre as duas notacoes, nao ha nadaentre elas. A melhor forma de entender a notacao de Landau, que foi umatentativa de evitar os infinitesimos, e usa-la para aos poucos compreenderquando usar uma ou a outra, e talvez admitir o que Courant dizia, que olimite se encontra no limiar da Matematica superior. . .

Se voce quiser ver alguma coisa experimental nesta linha, considere y =f(x) e compare

x com f(x) quando x V(0), uma vizinhanca de zero, e o casodo o pequeno de Landau, faca um programa que liste x, f(x) com xdecrescendo para zero.

xa com f(x)f(a) quando x V(a), uma vizinhanca de um pontoa 6= zero, e o caso do O grande de Landau, faca um programa queliste xa, f(x) f(a) com xa decrescendo para zero, voce vai verque neste caso K = f (a).

Variedade e uma palavra que nos livra da prisao tridimensional em quea geometria do mundo fsica em que vivemos nos confina.

Diremos variedade de dimensao 1 para fazer referencia as curvas, umareta, um crculo sao variedades de dimensao 1.

Diremos variedade de dimensao 0 para fazer referencia aos pontos.

As superfcies sao as variedades de dimensao 2, como um plano que e umavariedade linear de dimensao 2.

Depois da dimensao 2 a geometria nao tem mais palavras e nos conti-nuamos a denominar os objetos de variedades lineares ou nao-linearesacrescentando a dimensao que eles tenham. Podemos entao falar de umavariedade linear de dimensao 4 que seria uma generalizacao dos planos oudas retas.

Enfim, agora nao temos mais as limitacoes da geometria.

Captulo 2

Razes aproximadas de

funcoes contnuas

Neste captulo vou estudar o problema determinacao das razes de uma funcao: queremosdescobrir quando f(x) = 0. Este e um velho problema e a justificacao de sua inclusao nocurrculo se deve a que ele e ilustrativo de tecnicas importantes que tem valor por s proprias,como o metodo da tangente, a procura binaria, e o metodo da secante e a recursividade.O problema e velho e atual, como veremos na discussao, e atual no sentido que nos naosabemos resolve-lo.Resolver esta equacao computacionalmente, e bastante difcil, e iremos, no momento apropri-ado, indicar quais os problemas envolvidos. A sada, computacional, e resolver a desigualdade

|f(x)| < para um valor adequado para . Veremos que isto e insuficiente e irrealista, apesar de sernaturalmente a sada matematica.Iremos salientar como os metodos computacionais, associados a estas antigas metodologias,as tornam mais ageis.

O plano do trabalho e:

mostrar e exemplificar o problema; apresentar uma primeira solucao computacional, simples, ingenua mesmo,usando varredura eliminando parte do problema;

mostrar uma solucao mais efetiva; apresentar os metodos, metodo da secante e o metodo da tangente e imergirestes metodos em metodos computacionais;

vamos estudar dois metodos matematicos importantes, busca binaria esucessoes recursivas;

28

CAPITULO 2. RAIZES APROXIMADAS 29

apresentar ao final o problema completo, mas, obviamente, nao, a solucao.E interessante observar que a primeira parte, a solucao ingenua e simples

fara parte integrante da solucao final. Tambem faremos uma afirmacao: esteproblema, a determinacao das razes, nos ensina uma licao, que os humanos saocompanheiros dos computadores na busca de solucoes. . .

2.1 Razes de uma funcao por varredura

Queremos determinar todos os pontos a tal que

f(a) = 0 ; a [, ]

isto e, todas as razes de f no intervalo [, ].Veja a figura (fig. 2.1) que mostra uma funcao que tem diversas razes, mas

apenas uma no intervalo que nos interessa.

f

Estamos interessados nesta raz

Figura 2.1: Razes de f no intervalo [, ]

Claro, e voce deveria comecar se perguntando: e porque nos interessaria umdeteminado intervalo, e nao o conjunto mais amplo em que uma funcao tivesserazes ?

A resposta para esta pergunta, absolutamente logica, e que existem conjun-tos que sao os domnios naturais para uma funcao dentro de um problema emque ela aparece. Neste caso seria uma perda tempo procurarmos propriedadesdesta funcao num conjunto mais amplo.


Uma outra forma de responder, seria, quando definimos uma funcao, ne-cessariamente estipulamos um domnio de validade para a mesma.

Sera neste domnio que iremos procurar as razes da funcao.

2.1.1 Um metodo computacional: varredura

Um metodo computacional basico, para resolver esta questao, e varias outrasque voce vai encontrar neste livro, e varredura.

Existe um paradoxo muito conhecido, de Zenon, resolvido por Aristoteles,em que Aquiles persegue uma tartaruga. Aquiles corre a um metro por segundoenquanto que a tartaruga corre a 0.1 metro por segundo, mas a tartaruga partede um ponto mais avancado, a 0.9 m mais a frente.

O paradoxo estabelece que Aquiles somente pode atingir a tataruga depoisde percorrer o espaco percorrido por esta (e aqui esta o paradoxo):

Aquiles parte do ponto 0 e a tartaruga parte do ponto 0.9; quando Achile atingir o ponto 0.9 a tartaruga ja nao esta mais la; nova corrida comeca, agora com Aquiles no ponto 0.9 e a tartaruga noponto 0.91 e quando ele atingir o ponto 0.91 a tartaruga ja nao esta maisla . . . e assim nova corrida comeca, [14, logica, Stanford].

Podemos inventar outra forma equivalente deste paradoxo com uma tarta-ruga que aos poucos fosse ficando cansada com a corrida.

A tartaruga comeca uma corrida e no primeiro dia corre a metade do per-curso oficial, no segundo dia corre a metade do que ficou faltando e assim,sucessivamente, segue correndo sempre a metade do que estiver faltando nosdias seguintes. Serve para ilustrar que nunca a tartaruga terminaria a corrida...

Aqui vamos usar a ideia para convence-lo de que por menor que for o passo,nao sera possvel percorrer todos os pontos de um intervalo.

Em vez de falar em percorrer, coisa impossvel, vamos falar em varrer. Aqui-les pode varrer o espaco a sua frente e passara pela tartaruga em algum ponto nocaminho, mas pode sempre acontecer, dependo do passo escolhido, que nuncaAquiles encontre a tartaruga.

E nao ha nenhum paradoxo nesta questao, assim como o paradoxo de Aquilesnada mais e do que uma forma enganosa de colocar a questao. Nao existenenhum paradoxo de Aquiles.

Problema 1 Nunca encontrar o zero de fEste e o problema basico, sem nenhum paradoxo, e simplesmente pouco

provavel que encontremos x tal que f(x) = 0.

Para fazer uma varredura de uma regiao vamos colocar uma malha de nossobre esta regiao.

Pense numa rede de pesca, mas nos interessam apenas os nos da rede . . .A regiao (pode ser uma regiao da reta, do plano ou do espaco), e quere-

mos escolher um conjunto de nos, definindo a malha, associada a esta regiao.Existe um conceito vizinho a este denominado de particao.


Malha associada a um intervalo

Vamos comecar com o caso unidimensional.Acompanhe a descricao do metodo com a figura (fig. 2.2) pagina 32.

1. Malha uniforme associada a um intervalo I = [, ]

(a) A precisao da malha - a norma

Considere um intervalo I = [, ]

A medida deste intervalo e

m([, ]) =

e a dividimos por um inteiro n que representa a precisao com quefaremos os calculos.

A norma da malha1 e

x = n

. (2.1)

Quando a malha for uniforme este conceito perde sentido, e a me-dida de qualquer sub-intervalo. Ele e importante quando as malhasnao sao uniformes porque serve para controlar a distribuicao quase-uniforme dos nos, impedindo que uma grande de quantidade de nosse concentre em uma pequena sub-regiao.

(b) nos da malha Podemos agora definir os nos como os elementos deuma progressao aritmetica

= x0, x1, , xn = (2.2)x0 = , (2.3)

x1 = +x, (2.4)

x2 = + 2x, , (2.5)xk = + kx, , (2.6)

, xn1 = + (n 1)x, (2.7)xn = + nx = (2.8)

Em geral desprezamos um dos extremos, deste conjunto de nos,

desprezamos o ultimo no

(xk)n1k=0 = x0, x1, , xn1 = x (2.9)

x0 = , x1 = +x, x2 = + 2x, , (2.10)xk = + kx, , (2.11)

xn1 = + (n 1)x (2.12)

ou

1ou norma da particao


desprezamos o primeiro no

(xk)nk=1 = x1 = +x, , xn = (2.13)

x1 = +x, x2 = + 2x, , (2.14)xk = + kx, , xn1 = + (n 1)x, (2.15)

xn = + nx = (2.16)

Veja na figura (fig. 2.2) pagina 32,

x

x

0

n

1x

Ik

intervalo I Partio do

Figura 2.2: Particao do intervalo I

Algumas vezes preferimos salientar que este processo criou uma colecaode sub-intervalos

I0 = [x0, x1), (2.17)

I1 = [x1, x2), . . . , (2.18)

In1 = [xn1, xn] (2.19)

I0 I1 In1 = I (2.20)

cuja uni~ao e o intervalo I sendo estes sub-intervalo disjuntos. Estacolecao de sub-intervalos e o que chamamos uma partic~ao de I

Em Matematica gostamos de pensar que escolhemos uma colecaoarbitraria de pontos

x0, x1, x2, . . . , xn1, xn I (2.21)


mas, para tornar computacional uma particao e preciso estabeleceruma equacao, para o elemento generico coisa que os computadoresentendem.

Se a sucessao (xk)nk=1 formar uma progressao aritmetica, dizemos que

temos uma malha uniforme (ou uma particao uniforme). Esta sera anossa preferencia neste livro: particoes uniformes.

Usamos, entao, x como a razao de uma progressao aritmetica cujoprimeiro termo e x0 =

xk = + kx (2.22)

como ja descrevemos.

Esta expressao aparecera com frequencia neste livro.

Observacao 2 Aprendendo a ler ou a programar

O programa raizes01.c, [20, programas.tgz], e um implementacao destemetodo, mas ele faz um pouco mais do que isto, procura algumas razes.Leia o programa sem stress.

E lendo programas que a gente aprende a programar, assim como e lendoos autores classicos que a gente aprende a escrever.

Mas nem aprendemos a escrever apenas lendo como nao aprenderemosa programar apenas lendo programas. E preciso aprender a alterar osprogramas.

Nao tenha medo de faze-lo. Nao se preocupe com estragar o programa, ooriginal se encontrara, sempre, a` sua disposicao na pagina ou no CD.

2. Malha nao uniforme Vamos descrever o que seria construir uma malhanao uniforme, mas nao faremos nenhum uso para este tipo de malha nestelivro, imediatamente.

A construcao de malhas uniformes conduz a selecao de uma razao comoa que se encontra na equacao (1), e de uma progressao aritmetica que seencontra na sucessao de equacoes que iniciando em (2), ou do conjunto deintervalos, todos com mesma medida que apresentamos nas equacoes quecomecam com (17).

No captulo 0 e no captulo 0 vamos usar malhas nao uniformes, elas apare-cerem naturalmente quando pensamos em aplicacoes do tipo coleta de da-dos feitas por sensores distribuidos ao longo do percurso de um fenomeno.Neste momento seria artificial dividir este percurso em partes iguais, es-tabelecendo um passo x porque tais caminhos tem pontos crticos quemerecem atencao especial onde havera uma concentracao de sensores. Umexemplo tpico seria a analise do trafego numa rodovia em que eventoscomo curvas, cidades ou vilarejos, acidentes geograficos exigiriam um le-vantamento especial de dados.


A resposta para este tipo de necessidade vem com um arquivo de dadosem que os nos estao definidos pela posicao dos sensores.

A esta altura do texto e tambem um pouco artificial esta discussao quepreferimos relegar para o momento certo, apenas declarando aqui teremosnecessidade de malhas nao uniformes. Se o leitor precisar de imediata-mente ver este ponto, recorra aos captulos 0 ou 0 ou procure no ndiceremissivo ao final do livro.

Descrevemos assim malhas unidimensionais. Vamos descrever, na proximaseccao, como construir malhas bidimensionais.

Malhas bidimensionais

1. Malha associada a uma regiao do plano Selecionar malhas para regioes dedimensao maior que 1 geralmente e mais trabalhoso. No caso unidimen-sional nao ha muitas escolhas mas nos casos pluridimensionais ha variosproblemas a serem considerados.

Analise um caso simples, representado pela figura (fig. 2.3) pagina 35, eacompanhe com a figura, as definicoes que faremos.

Comecaremos supondo que se trata de uma regiao limitada.

Quer dizer que existem quatro numeros reais: 1, 2, 1, 2 tal que eum subconjunto do produto cartesiano de dois intervalos:

[1, 1] x [1, 1] (2.23)

e entao criamos uma malha em cada um dos intervalos:

x =1 1

n; y =

2 2n

(2.24)

Agora o produto cartesiano dos dois conjuntos de nos em cada inter-valo, define um conjunto de nos no plano, uma malha no plano;

temos que selecionar um sub-conjunto desta malha que fique no in-terior de , veja a figura (fig. 2.3).

Se for definido por uma expressao algebrica, pode ser simples a selecaoautomatica dos nos que esteja no seu interior.

Frequentemente este e um outro problema a ser resolvido, mas este livrovai lhe apresentar, no captulo 0 uma tecnica, aproximacao polinomial,que pode fornecer a equacao algebrica determinando o contorno de umafigura como (fig. 2.3) a partir de uma coleta de dados como uma fotografiaaerea, por exemplo, ou um conjunto de medicoes tomadas no proprio local.

Veja na figura (fig. 2.3), um domnio, , do plano, em que colocamos umamalha e fizemos a selecao dos pontos da malha que se encontram dentrodo domnio.


regio do plano Malha sobre uma

1

21

2

Figura 2.3: Malha sobre uma regiao do plano

Um elemento generico da malha tem por equacao

xi,j = (xi, yj) ; i = 0, . . . , n 1 ; j = 0, . . . , n 1em que estamos ignorando os pontos que se encontram na ultima linha damalha (tanto na horizontal como na vertical).

Se usarmos o mesmo metodo da progressao aritmetica, que ja usamos commalhas sobre um intervalo, (eq.1) teremos

xi,j = (1 + ix1, 2 + jx2); (2.25)

x1 =11

n ; (2.26)

x2 =21

n ; (2.27)

Tambem podiamos considerar numeros de pontos diferentes na horizontale na vertical, neste caso, usariamos as variaveis n,m para designar estasquantidade e nos denominadores, das fracoes nas equacoes (26), (27).

Estamos usando a hipotese de que e possvel selecionar os pontos comuma decisao algebrica, realmente isto pode ser complicado de fazer e naoconhecemos um algoritmo generico para tratar deste caso, mas os metodosdo captulo 0 podem resolver esta questao.

Neste livro usaremos malhas em dimensao maior do que um apenas no calculode integrais multivariadas no captulo 0. E entretanto conveniente, pelo menos


mostrar ao leitor, onde ele pode fazer uso de malhas multidimensionais e umapista de como encontrar a solucao para os problemas envolvidos.

Tais situacoes podem ser facilmente encontradas como aplicacoes do calculoaproximado de integrais.

Exemplo 2 Uso de malhas multidimensionais

1. Populacao de microrganismos numa lamina. Sabendo que os microrganis-mos a serem estudados sao capazes de um certo tipo de reacao, e possvelpinta-los com uma solucao qumica que fara com que eles respondam areacao qumica com um comprimento de onda, que habitualmente chama-mos de cor. Cada um dos pontos da figura (2.3) pode ser descrito comoaquele que o sensor captou como estando na faixa de comprimento de ondaque identifique a presenca dos microrganismos que interessa.

Depois podemos contar a quantidade de microrganismos calculando a areada regiao que eles ocupam. O biologo deve, experimentalmente, descobriruma constante especfica que permita transformar esta area na quantidademicrorganismos presentes na lamina.

2. Fotografia de satelite de regiao urbana. A figura (2.3) pode representaruma regiao fotografada por um satelite e novamente, via comprimento deonda, se pode detectar intensidade construcoes urbanas, florestas etc...Neste caso a fotografia pode ser feita sob emissao de uma onda com umacomprimento particular, ver [14, onda], objetivando obter um determinadoresultado: florestas, construcoes urbanas, determinados tipos de poluicao.

Novamente o calculo da area da regiao determinada vai permitir uma ava-liacao da regiao urbana, da floresta, ou da quantidade de poluicao que seestiver observando. Aqui tambem constantes especficas permitem a trans-formacao da area nas quantidades que seja deseja determinar.

No captulo 0 vamos estudar o calculo aproximado das integrais.

Estes exemplos sao bastante genericos e mostram a amplitude do uso deintegrais multivariadas.

Estas aplicacoes fogem ao planejamento deste livro mas se o leitor preci-sar, encontrara aqui meios para fazer estas aplicacoes, se puder contar cominformacoes sobre as constantes mencionadas nos exemplos, na literatura espe-cializada.

calc. numérico computacional

Documents