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Calc. Numérico Computacional

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  • CALCULO NUMERICO

    COMPUTACIONAL.

    Tarcisio Praciano-Pereira1

    Universidade Estadual Vale do Acarau

    Sobral, 26 de janeiro de 2008

    1tarcisio@member.ams.org

  • Edicoes Lab. de Matematica ComputacionalUniversidade Estadual Vale do AcarauSobral - Ce

    copyleft by Tarcisio Praciano Pereira

    Praciano-Pereira, TarcisioP496c Calculo Numerico Computacional. Sobral: UeVA, Sobral, 26 de janeiro de2008 133.p Bibliografia ISBN:85-87906-05-4 1 - Linguagem - Computacao -C/C++ 2 - Calculo Numerico. I. Ttulo CDD515.1

  • Sumario

    1 A derivada aproximada 11.1 derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Quocientes de diferencas

    de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2 Razes aproximadas 282.1 Razes por varredura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Metodo computacional basico . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Busca de razes por varredura . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2 A troca de sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 Analise de um programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.3 Raz do tipo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.1 Metodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.4 Quando a derivada e zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 O metodo da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2.5.1 Como funciona o metodo da tangente . . . . . . . . . . . 632.5.2 Quando o metodo nao funciona . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.3 A precisao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.6 Metodo da busca binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.7 Encontrar razes, sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.8 Intersecao de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3 Recursividade 823.1 exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.1.1 raz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2 Fundamentos da convergencia de iteradas . . . . . . . . . . . . . 893.3 O algoritmo babibilonio e convergente . . . . . . . . . . . . . . . 913.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.5 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    ii

  • 4 Splines 1014.1 Aproximacao polinomial classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    4.1.1 Analise de dois casos particulares . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.2 A solucao geral do problema . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.1.3 Interpolacao polinomial de Lagrange . . . . . . . . . . . 124

    4.2 Funcoes polinomiais por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.1 sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2.2 aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    4.3 Quase-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.3.1 polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    4.4 Valor medio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 Splines cubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    4.5.1 convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.5.2 suporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    4.6 Solucao de alguns exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.7 Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    5 Integral aproximada 1695.1 soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    5.1.1 Integracao geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.2 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    5.2 Integral no sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.2.1 propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.2.2 Calculo numerico da integral . . . . . . . . . . . . . . . 183

    5.3 trapesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.4 polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    5.4.1 Apresentacao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4.2 Integral num sub-intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    5.5 quasi-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

    6 E.D.O. 2006.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.2 Metodo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

    6.2.1 segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2.2 grau maior do que dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

    Indice Remissivo Alfabetico 211

    Bibliografia 211

    iii

  • Lista de Figuras

    1 Retangulos para aproximar uma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . ix3 Uma aproximacao spline de uma curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

    1.1 A pedra, quando o cordao se rompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Taxa de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Dados obtidos com um sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Dados obtidos por um sensor mais preciso . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Curva que interpola os dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 interpolacao nao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Qual pode ser o grafico de f ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 grafico de f analisando f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Dados amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Reta tangente ao grafico de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.1 Razes de f no intervalo [, ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Particao do intervalo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Malha sobre uma regiao do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Varios representantes da unica raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 O metodo das secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Fluxograma - metodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7 Num ponto de tangencia, tipo parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.8 Quando a derivada e zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9 Uma sequencia de retas tangentes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.10 Duas tangentes se reproduzindo indefinidamente . . . . . . . . . . . . . 652.11 Intersecao de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.12 Regiao cuja area queremos calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.13 area limitada por duas parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.14 area limitada por duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.1 Determinacao de10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    3.2 Ponto inicial menor do quea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.3 Ponto inicial maior do quea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.1 Uma reta interpola dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 A reta e o fenomeno real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    iv

  • 4.3 Duas solucoes do problema homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.4 O teorema do modulo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5 Aproximacao linear por pedacos - 1-spline . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.6 interpolacao polinomial dos pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.7 Polinomio de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.8 Aproximacao de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.9 Derivada, tangente e Teorema do Valor medio . . . . . . . . . . . . . . 1344.10 Uma funcao positiva cuja integral e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.11 Definicao geometrica - produto de convolucao . . . . . . . . . . . . . . 1444.12 O significado geometrico de tres valores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.13 Correcao pelo valor medio numa vizinhanca de c . . . . . . . . . . . . . 1474.14 Media viciada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.15 Nucleos ou pulsos unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.16 quadrado de convolucao da funcao caracterstica . . . . . . . . . . . . . 1544.17 2-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.18 Comparacao: polinomio de Lagrange e splines . . . . . . . . . . . . . . 1674.19 Comparacao: polinomio de Lagrange e splines - quando os nos ficam unifor-

    mente proximos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.20 Regularizacao por convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    5.1 Trapesios para aproximar area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.2 Soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    5.3 retangulos da soma de Riemann para3R

    3

    x2 + 2x+ 1 . . . . . . . . . . . 185

    5.4 area do trapesio e uma media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5 Grafico do polinomio por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.6 Modelagem com polinomios por pedacos . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    6.1 Uma poligonal-solucao aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.2 O metodo de Euler - uma poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.3 solucao aproxima