pgmecmec.uff.br/pdfteses/leandromartinsdasilva2010.pdfa técnica da transformada integral...

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

UNIDIMENSIONAIS POR

TRANSFORMADA INTEGRAL

GENERALIZADA UTILIZANDO A

TÉCNICA DE DOMÍNIO ENVOLVENTE

LEANDRO MARTINS DA SILVA

SETEMBRO DE 2010

LEANDRO MARTINS DA SILVA

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAISPOR TRANSFORMADA INTEGRAL

GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DEDOMÍNIO ENVOLVENTE

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em EngenhariaMecânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, SETEMBRO DE 2010

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAISPOR TRANSFORMADA INTEGRAL

GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DEDOMÍNIO ENVOLVENTE

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Renato Machado Cotta (Ph.D.)Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ

Agradecimentos

Gostaria primeiramente de agradecer ao professor Leandro Alcoforado Sphaier por ter

me aceitado como seu orientado, foram as suas recomendações, paciência e dedicação

que me guiaram ate esse ponto.

Gostaria também de agradecer a minha família, em especial a Marilu Martins

Machado, minha mãe, que cuidou e me educou de modo a que eu pudesse estar aqui

hoje. Não esquecendo, ainda, do suporte que me foi dado por ela todos os dias onde,

sem ele, seria impossível estar aqui.

Gostaria, ainda, de agradecer a Tuane da Silva Zardo, pessoa que tanto amo, que

compartilhou comigo todos esses dias, bons e ruins. Acredito que sem o seu apoio e

compreensão, não concluiria este trabalho.

Finalmente, gostaria de agradecer a Deus, por ter me dado esta oportunidade.

iv

Resumo

A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) é um método híbrido analítico-

numérico capaz de resolver uma variedade de problemas de equações diferenciais par-

ciais, e ao longo das últimas décadas se mostrou bastante efetiva para a solução de

diversos problemas de convecção-difusão. Apesar de grandes avanços no desenvolvi-

mento da GITT, a solução de problemas definidos em domínios móveis ainda é prob-

lemática. Atualmente, para lidar com essa classe de problemas, apenas o método da

tranformação integral generalizada onde o problema de autovalor é definido acom-

panhando o dóminio móvel é utilizado. Neste contexto, este trabalho utiliza uma

nova metodologia para abordar problemas em domínios móvel, denominada a Téc-

nica de Domínio Envolvente (TDE). Esta metodologia propõe utilizar uma base de

autofunções auxiliares definidas em um domínio regular fixo, que envolve o domínio

original para escrever a solução do problema estudado. Assim, com esta nova téc-

nica, todas as dificuldades inerentes ao domínio móvel são tratadas dentro da equação

diferencial e não no problema de autovalor. Apesar do potencial avanço associado

a esta nova metodologia, diversas complicações são geradas ao utilizar um problema

de autovalor em um domínio diferente do problema original. Desta forma, o objetivo

deste trabalho é de avaliar a aplicabilidade da TDE em um cenário mais simples, uni-

dimensional. Apesar de domínios móvel não aparecerem em problemas 1D, a TDE

pode ser utilizada para resolver problemas deste tipo para assim verificar inicialmente

se é viável a aplicação desta metodologia. Assim sendo, a solução de problemas de

autovalor unidimensionais e problemas de difusão unidimensionais incluindo proble-

mas em domínio em movimento, são formalmente apresentadas e problemas testes são

implementados e analisados de modo a demonstrar a aplicabilidade da TDE.

Palavras-chave: Transformação Integral, GITT, Domínio Móvel

v

Abstract

The Generalized Integral Transform Technique (GITT) is a hybrid analitical-numerical

method capable of solving a variety of partial differential equations problems, and dur-

ing the last few decades is has been show to be very effective for handling several

convection-diffusion problems. In spite of the advancements in the development of

the GITT, the solution of problems defined within moving boundaries is still problem-

atic. Currently, one main method is employed for tackling these type of problems:

Setting the eigenvalue problem to follow the moving domain. In this context, this

work employs a new methodology for handling problems in irregular domains, called

the Enclosing Domain Approach (EDA). This methodology proposes that an eigen-

function basis defined within a regular fixed domain that encloses the moving one

be used for the solution of the a given problem. As a result all difficulties inherent

to the moving domain are treated within the differential equation itself instead of in

the eigenvalue problem. Despite the potential advancements associated with this new

method, numerous complications are introduced while using an eigenvalue problem

defined within a domain that is different from the original one. Hence, the objective of

this study is to evaluate the applicability of the EDA within a simpler one-dimensional

scenario. Although moving domains are not in fact present in 1D problems, the EDA

can be applied for solving 1D problems in order to initially verify the suitability of

such methodology. Thus, the solution of one-dimensional eigenvalue problems and

diffusion problems, including problems within moving boundaries are formally pre-

sented, test-case problems are implemented and the obtained results are analyzed in

order to demonstrate the applicability of the EDA.

Key-words: Integral transform, Irregular Domains, Diffusion Problem

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Problemas de autovalor unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2.1 Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Problemas de difusão unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Problema de difusão unidimensional generalizado . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Solução através da técnica de domínio envolvente . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Transformação do problema de difusão unidimensional gener-

alizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1.1 Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Problemas unidimensionais em domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel . . . . . . . 28

4.1.1 Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.2 Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Solução tradicional por GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Solução através da Técnica de Domínio Envolvente . . . . . . . . . . . 34

vii

Sumário viii

4.3.1 Transformação do problema de difusão . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Problemas testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Solução de problemas de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.1 Definição do problema teste simplificado . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Solução de problemas de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Problema em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.2 Problema em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Solução de problemas de autovalor em domínio móvel . . . . . . . . . 55

5.3.1 Definição do problema teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1 Problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Problema de difusão em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Problema de difusão em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . 88

6.4 Problema de autovalor com domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A. Resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . 102

B. Resultados do problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . 127

C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . 150

Lista de Tabelas

6.1 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com

a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com

a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.9 Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.10 Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.11 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-

sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 74


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 75


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 76

6.14 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos

3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ix

Lista de Tabelas x


3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 80


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 81


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 82

6.20 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para casos

3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 86


3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


1 com r = 0.5, rb = 0.75 , t∗ = 1 e t∗ = 10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . 89


1 com r = 0.5, rb = 0.75 e t∗ = 10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


1 com r = 0.5, rb = 0.9 , t∗ = 1 e t∗ = 10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . 91


1 com r = 0.5, rb = 0.9 e t∗ = 10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Lista de Tabelas xi


a(t ) = t , b(t ) = 1/2+ t e t = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.1 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com

a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com

a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Lista de Tabelas xii


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

B.1 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-

sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 128


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 129

Lista de Tabelas xiii

B.3 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos

3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 132


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 133


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 134

B.8 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para casos

3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 138


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 139


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 140


3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Lista de Tabelas xiv


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 144


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 145


sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 146

B.20 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para casos

3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C.1 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com

a(t ) = t , b(t ) = 1/2+ t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

C.2 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com

a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Nomenclatura

f (x) Função da condição inicial

T n(t ) Potencial Transformado

Pn(t ) Função termo independente

B, B∗ operador de condição de contorno

a, b contorno no problema original

d parametros do problema de autovalor

k Coeficiente do termo difusivo

N norma das autofunções

J0 Função de Bessel de ordem zero do 1º tipo

Vetores e tensores

Ai , j Matriz coeficientes

Bi , j Matriz coeficientes

Di , j Matriz coeficientes

Si , j Matriz coeficientes

Símbolos Gregos

α∗, β∗ parâmetros da condição de contorno

α, β parâmetros da condição de contorno

δi , j delta de Kronecker

Ψn autofunção original

Ωi autofunção auxiliar

µn autovalores do problema original

γi autovalores do problema auxiliar

ϕ(t ) Parâmetros do problema de difusão generalizado

σ(t ) Parâmetros do problema de difusão generalizado

xv

Nomenclatura xvi

Ω∗i (x) Autofunção auxiliar normalizada

w(x) Função peso

φ(x) Função da condição de contorno

Ψe (x) Autofunção original extendida

Capítulo 1

Introdução

No decorrer dos anos, a solução de problemas de difusão lineares ou não lineares

definidos em domínios regulares ou irregulares vem sendo obtida por meio de métodos

puramente numéricos, que estão se mostrando eficientes e flexíveis ao lidar com esses

tipos de problemas. Paralelamente a isso, um número crescente de esquemas de cont-

role de erro tem sido propostos e testados a fim de aprimorar a exatidão das soluções

para esses métodos. Mesmo assim, quando consideradas as aplicações multidimen-

sionais através de problemas definidos ou não em domínios irregulares, o controle de

erro global automático e as estimativas de erro dentro dos esquemas propostos apresen-

tam sérias dificuldades, que são inerentes a natureza discreta destes tipos de métodos.

No outro extremo, encontra-se a solução de casos simples de problemas de difusão

que é obtida pelos métodos analíticos, que proporcionam soluções melhores e mais

rápidas do ponto de vista computacional.

Neste contexto, diferentes metodologias vêm sendo propostas, que tentam combi-

nar a exatidão dos métodos analíticos com a flexibilidade dos métodos numéricos. Tais

estratégias são chamadas de métodos híbridos, devido sua natureza analítica e solução

numérica.

Neste sentido a Técnica da Transformação Integral Generalizada (GITT1) [1–3] foi

apresentada. Essa técnica, que é uma extensão natural da técnica da transformada inte-

1 A abreviação vem do inglês Generalized Integral Transform Technique

1

1. Introdução 2

gral clássica (CITT 2) [4], é baseada na expansão do potencial estudado em termos de

autofunções ortogonais. Assim, a solução é obtida pela transformação integral de todas

as variáveis independentes menos uma, reduzindo então, a equação diferencial parcial

em um sistema de equações diferenciais ordinárias, que é resolvido numericamente e,

em alguns casos, analiticamente.

Dentre as aplicações bem sucedias do GITT podem ser citados: o trabalho de

Guerrero e Cotta [5], que apresentou a solução e resultados para a validação de prob-

lemas bi-dimensionais de escoamento em regime permanente descritos pela equação

de Navier-Stokes utilizando uma formulação com funções de corrente; o trabalho de

Guerrero e Cotta [6], que apresentou a formulação e a solução de problemas de escoa-

mento turbulento em canais de paredes paralelas; o trabalho de Pereira et al. [7], que

apresentou a formulação e solução de problemas de escoamento turbulento em canais

de geometria cilíndrica; e o trabalho de da Silva J. S. Guerrero et al. [8] que apresen-

tou a formulação e solução de problemas de escoamento de fluidos incompreensíveis

em placas paralelas e comparou a convergência da solução para o método híbrido e o

método numérico das diferenças finitas.

Ainda no campo de escoamento de fluidos, o trabalho de Maia et al. [9] apresentou

a solução dos potenciais de temperatura em um escoamento de um fluido não newto-

niano utilizando o modelo de Power-Law em um duto de perfil de área elíptica. En-

tretanto, para contornar a dificuldade de se lidar com o domínio elíptico, foi proposto

uma mudança de variáveis para tornar o problema cartesiano. Já o trabalho de Ribeiro

et al. [10] apresentou o estudo de escoamento de fluidos não newtonianos sujeitos a

reações químicas dentro de placas paralelas.

No trabalho de Liu et al. [11], o problema de difusão unidimensional em meios

porosos heterogêneos contendo termos de absorção e decaimento lineares ou não lin-

eares foi estudado. Os autores demonstraram que, para o problema selecionado, a

solução obtida é analítica, quando considerados somente os termos lineares. Uma vez

considerados os termos não lineares a solução passa a ser híbrida, com a solução da

2 A abreviação vem do inglês Classical Integral Transform Technique

1. Introdução 3

variável temporal obtida numericamente. A solução numérica foi, então, comparada

quanto aos tipos de termos não lineares e pelo tempo necessário para obter a solução.

Portanto, inúmeras outras aplicações podem ser citadas, como o estudo de disper-

são de poluentes na atmosfera [12], onde um modelo advectivo e difusivo bidimen-

sional transiente que descreve a dispersão de poluentes na atmosfera é apresentado,

o estudo do transporte de contaminantes dentro de mídias porosas heterogênias [13],

onde um modelo advectivo com dispersão e coeficientes de transporte dependentes da

posição é apresentado, etc.

Alguns estudos foram elaborados, também, no campo de domínios infinitos como

o demonstrado em de Almeida et al. [12]. Neste trabalho, o problema de difusão com

efeitos convectivos definidos em domínios semi-infinitos foi estudado, sendo que duas

metodologias de solução foram propostas: A primeira definiu o problema de autovalor

associado à transformação integral em um domínio finito de tamanho ε, truncando,

portanto, o domínio semi-infinito. Já a segunda metodologia utilizou uma função de

mapeamento de modo a transformar o domínio infinito em um domínio finito definido

em uma nova variável. Deste modo, ambos os métodos foram aplicados com sucesso,

demonstrando assim a flexibilidade do GITT.

Ao observar esse crescente número de aplicações, foi necessário desenvolver maneiras

de tornar a solução de problemas multidimensionais mais eficientes quanto ao custo

computacional. Essas soluções são normalmente descritas na forma de somatórios du-

plos ou triplos sendo, portanto, truncadas em cada direção. Assim, com essa prática, o

número de termos calculados da solução aumentava proporcionalmente ao número de

direções, o que torna a solução proibitiva em muitos casos.

Assim, em Almeida e Cotta [14], ao estudar a aplicação do GITT em problemas de

difusão e convecção aplicados a reservatórios de petróleo, a metodologia de ordena-

mento de autovalores foi proposta. Os autores, no caso, perceberam que a maneira mais

eficiente de computar os autovalores em cada direção é, antes, ordená-los de modo a

computar, primeiro, as combinações que exerciam um maior peso para a solução.

Após, em Cotta e Mikhailov [15], duas regras de ordenamento para somatórios du-

1. Introdução 4

plos e triplos, desenvolvidas no programa Mathematica [16], foram propostas. Essas

regras foram elaboradas de modo a promover o reordenamento automático de auto-

valores e a eliminação de equações redundantes na solução de equações diferencias

ordinárias truncadas.

Entretanto, no caso de computar a solução analítica de problemas multi dimension-

ais com autovalores ordenados, se a precisão requerida for aumentada toda a solução

deverá ser recalculada com uma novo valor para a ordem de truncamento. Para con-

tornar esse problema, Corrêa et al. [17] apresentou a idéia de que caso a solução com

N termos não atingisse a precisão requerida, então somente os termos N + 1 seriam

avaliados e somados à solução até que a precisão fosse atingida.

No campo de problemas não lineares, a contribuição de Macêdo et al. [18] foi no

sentido de apresentar uma nova estratégia de filtragem, denominada pelos autores de

filtro instantâneo local. Essa estratégia consiste em definir um filtro que apresenta de-

pendência tanto no tempo quando no espaço, sendo, este, extraída da forma linearizada

ou analítica do problema original. Deste modo, o filtro é resolvido analiticamente pelo

método da transformada integral clássica e, para cada subdomínio de tempo, atual-

izando a informação do potencial de temperatura no termo que traz a não linearidade.

Assim, os efeitos das não linearidades, que são, entre outros, responsáveis pelo efeito

de piora da convergência, são reduzidos e, então, uma melhor convergência é obtida.

Mais recentemente, o trabalho de Gondim et al. [19] traz a solução de problemas

de difusão com efeitos convectivos não linear e transiente utilizando a metodologia

de filtro instantâneo local. Assim, ao apresentar os resultados da solução proposta,

empregando, como caso teste, em um problema de convecção laminar transiente dentro

de um canal de placas paralelas com o escoamento em desenvolvimento térmico, ficou

claro que a utilização do filtro proposto trouxe uma excelente convergência para o

problema.

Assim, uma vez obtido significavos avanços na convergência e eficiência no GITT,

se fez necessário comparar a solução de problemas de difusão e escoamento pelos

métodos híbridos com os métodos puramente numéricos. Neste contexto, em [20] o

1. Introdução 5

problema de escoamento em placas paralelas com escoamento cineticamente desen-

volvido porém em desenvolvimento térmico foi estudado e uma comparação entre o

GITT e o método de volume finitos (MVF) foi realizado. Este estudo foi estendido

em [21], onde foi considerado o problema com fluidos não newtoniano. Conforme a

metodologia apresentada, para ambos os métodos, o problema proposto foi manipu-

lado de modo a obter um sistema de equações diferenciais ordinárias linear, sendo esta

resolvida analiticamente. Assim, ao comparar a convergência dos métodos, os autores

identificaram uma superioridade do GITT em relação ao MVF, uma vez que para o

primeiro são necessárias 25 termos para obter uma convergência de quatro dígitos en-

quanto no segundo método são necessários seiscentas divisões no domínio para obter

a mesma convergência. Apesar desses resultados, este campo de pesquisa esta em de-

senvolvimento e novos estudos são necessários para uma melhor comparação entre os

métodos ser obtida.

Mesmo com os recentes avanços, aplicar a GITT para resolver problemas lin-

eares ou não lineares definidos por equações parciais diferencias pode se tornar prob-

lemático, uma vez que é preciso operar matematicamente as equações antes de aplicar

o método. Esta característica do GITT se torna uma desvantagem quando comparado

aos métodos puramente numéricos, que são compilados em pacotes e possuem in-

terface amigável com o usuário. De modo a contornar esse problema, o trabalho de

Sphaier et al. [22] apresentou um esquema de solução unificado de problemas definidos

por equações diferencias parciais através de métodos híbridos. Tal algoritmo, denomi-

nado pelos autores de "UNIT"3, provê uma plataforma de desenvolvimento para obter

a solução destes tipos de problemas de maneira simplificada, onde o objetivo dos au-

tores é construir uma ferramenta de simulação computacional por métodos híbridos

para problemas físicos e de engenharia.

Paralelamente a estes avanços, o campo de problemas definidos em domínios ir-

regulares começaram a ser desenvolvidos com o estudo de aletas com perfil variável

[23], o estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção triangular [24], o

3 A abreviação vem do inglês Unified Integral Transform

1. Introdução 6

estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção hexagonal [25], o estudo

do escoamento cineticamente desenvolvido porém em deselvolvimento térmico dentro

de dutos com área de seção triangular [26] e com o estudo do escoamento de fluidos

newtonianos em dutos de seção regular porém variável na extensão do duto [27].

Neste contexto, o trabalho de Barbuto e Cotta [28] apresentou a solução de prob-

lemas de difusão bidimensionais elípticos definidos em um domínio irregular, onde o

caso em que uma das coordenadas do domínio estava definida em relação a outra, de

modo a definir, por exemplo, dois problemas de autovalor, um em domínio regular e

a outra mapeado o domínio irregular. Assim, a metodologia foi testada no estudo do

escoamento em dutos de seção isósceles triangular, duto de seção elíptica e em dutos

de seção circular.

Em Sphaier e Cotta [29], uma formulação generalizada para problemas de difusão

multidimensional em domínios irregulares é apresentada. Primeiramente, a metodolo-

gia propôs mapear o contorno irregular de modo a obter funções do tipo: x− > x,

y− > y(x) e z− > z(x, y). Desta forma, os problemas de autovalor foram definidos

com base no contorno mapeado em cada direção, que por sua vez, tornaram possível

definir a transformada integral e a fórmula inversa. Deste modo, o trabalho propôs

resolver um problema de difusão bidimensional em coordenadas cilíndricas, definido

como uma porção de um circulo com o ângulo variável φ, mapeando o contorno em

coordenadas cartesianas. A partir deste teste foi possível verificar que as melhores

taxas de convergência foram obtidas nos casos em que o ângulo φ assumia os valores

de φ= 90 e φ= 180. Nestes casos, as funções de mapeamento eram mais simples que

nos outros casos, portanto, indicando que o tipo de função interfere na performance da

solução.

Entretanto, esta solução, apesar de matematicamente correta, pode levar a um

esforço computacional elevado, quando consideradas funções de mapeamento com-

plexas. Para tanto, em [30], uma extensão dessa metodologia foi proposta: Subdividir

a função de mapeamento em finitas funções lineares de modo a calcular a matriz que

leva as informações de contorno analiticamente. Deste modo, foi possível reduzir o

1. Introdução 7

custo computacional utilizado na solução. Ainda, é importante observar que, nesta

metodologia o domínio não é discretizado, uma vez que a solução final permanece

analítica e explicita em todo o domínio.

Apesar dos avanços passados, a solução de problemas definidos em domínios irreg-

ulares é ainda problemática, uma vez que a metodologia atual é baseada em domínios

utilizando as funções de mapeamento do contorno, como descrito anteriormente. Den-

tre outras dificuldades, tal pratica inviabiliza a solução quando são considerados funções

de mapeamento complexo ou domínios que não podem ser mapeados da maneira pro-

posta. Para contornar esse problema uma nova metodologia é aqui proposta: definir o

problema de autovalor em um domínio regular que envolve o domínio irregular orig-

inal. Assim, todas as dificuldades inerentes ao contorno arbitrário são tratadas dentro

do sistema de equações diferenciais ordinárias e não no problema de autovalor.

Desta maneira e primeiramente, este trabalho visa estudar o caso de escrever o

próprio problema de autovalor definido em um domínio irregular como uma expansão

em termos de um problema de autovalor auxiliar, sendo este ultimo definido em um

domínio regular que envolve o domínio original. Para tanto, quatro problemas teste

de autovalor unidimensional foram selecionados e comparados, que correspondem a

diferentes combinações de condição de contorno para o problema original. Ainda, de

modo a verificar a convergência dos diferentes tipos de combinação de condição de

contorno do problema auxilar, quatro casos testes foram escolhidos e comparados. É

importante lembrar que esse estudo foi apresentado de maneira simplificada em [31],

onde um problema teste e quatro casos testes foram analisados.

Em seguida, a mesma metodololia é aplicada na solução de problemas de difusão

com efeitos convectios unidimensional. Neste caso, quatro problemas teste simplifica-

dos unidimensionais são selecionados, sendo três deles em coordenadas cartesianas e

um em coordenadas cilíndricas. Cada problema teste foi escolhido com uma combi-

nação de condições de contorno e condição inicial única, sendo que para cada prob-

lema teste foram selecionados três casos testes, para os problemas cartesianos, e um

caso teste, para os problemas cilíndricos. Desta forma, será possível analisar os difer-

1. Introdução 8

entes tipos de combinação de condição de contorno para determinar a melhor aplicação

em cada caso. Assim, de maneira similar ao anterior, esse estudo foi apresentado de

maneira simplificada em [32], onde somente um problema teste cartesiano e três casos

testes foram analisados.

Por fim, os problemas de autovalor e difusão com domínio em movimento são estu-

dados e uma solução com base na presente metodologia é apresentada. Tais problemas

foram recentemente resolvidos pelo GITT, conforme apresentado em [3]. Assim, como

teste, um problema simplificado é escolhido e tanto a solução via o método da trans-

formada integral generalizada e o presente método são apresentados e comparados.

Capítulo 2

Problemas de autovalor unidimensionais

O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução

de problemas de autovalor unidimensionais. Utilizando o método da transformação

integral é possível escrever as autofunções dos problemas de autovalor como uma ex-

pansão com base em um problema de autovalor auxiliar, sendo este último definido

em um domínio que envolve o domínio original. Desta forma, será definido o prob-

lema de autovalor original, o problema de autovalor auxiliar, o par de transformação

proposto, a simplificação da matriz que contém as informações de contorno e toda a

análise matemática decorrente da transformação do problema original.

2.1 Problema de autovalor unidimensional

O problema de autovalor unidimensional generalizado é amplamente conhecido como

o problema de Sturm-Liouville [33], e é definido como:

d

dx

(k(x)

dΨ(x)

dx

)+ (µ2 w(x) − d(x))Ψ(x) = 0, para a ≤ x ≤ b, (2.1)

BΨ(x) = 0, para x = a, (2.2)

BΨ(x) = 0, para x = b, (2.3)

9

2. Problemas de autovalor unidimensionais 10

Onde o operador da condição de contorno B é definido como:

B ≡(α(x) + β(x)k(x)

∂

∂x

). (2.4)

Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:

∫ b

aw(x)Ψn(x)Ψm(x) dx = δn,m N (µn), (2.5)

Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores

µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn) é a norma, definida como:

N (µn) ≡∫ b

aw(x)Ψn(x)2 dx. (2.6)

A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de

várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um

problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor orig-

inal. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas

em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica

do domínio envolvente (TDE).

Sendo Ω(x) e γi as autofunções auxiliares e os autovalores correspondentes, re-

spectivamente. Já autofunções normalizadas são obtidas aplicando a seguinte modifi-

cação:

Ω∗(x) = Ω(x)√N (γn)

, (2.7)

o problema de autovalor auxiliar normalizado pode ser escrito como:

d

dx

(k(x)

dΩ∗(x)

dx

)+ (γ2 w(x) − d(x))Ω∗(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (2.8)

B∗Ω∗(x) = 0, para x = 0, (2.9)

B∗Ω∗(x) = 0, para x = 1, (2.10)


Onde a propriedade de ortogonalidade é descrita como:

∫ 1

0w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx = δi , j , (2.11)

Neste caso, as autofunções auxiliares (Ω∗i (x)) são ortogonais no domínio envolvente,

porém não são no intervalo a ≤ x ≤ b , onde é assumido que 0 ≤ a < b ≤ 1, de modo

que o domínio original é envolvido pelo domínio do problema auxiliar.

O operador B∗ é definido como:

B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)

d

dx

), (2.12)

A função peso w(x), o coeficiente difusivo k(x) e a função d(x) são considerados

os mesmos utilizados no problema original. O estudo da utilização destas funções

diferentes do problema original está fora do escopo deste trabalho.

2.1.1 Par de Transformação

O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares

para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:

Ψ(x) =∞∑

i=1Ψi Ω

∗i (x), para a ≤ x ≤ b . (2.13)

A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e

na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para

a transformação integral é obtida:

Ψi =∫ 1

0w(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx . (2.14)

Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no

mesmo domínio do problema original. Aqui, a transformação tradicional será chamada

de transformação integral em domínio coincidente. Na forma descrita pela equação

(2.14) a transformação será chamada de transformação integral em domínio envol-


vente.

Na transformada integral em domínio envolvente (2.14), a autofunção Ψ(x) não é

válida para x > b e x < a. Para contornar esse problema, a função Ψ(x) estendida é

definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração original:

Ψi ,e (x) = Ψ(x), para a ≤ x ≤ b , (2.15)

Ψi ,e (x) = 0, para x < a ou x > b . (2.16)

Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envol-

vente (2.14), a seguinte expressão é obtida:

Ψi =∫ a

0w(x)Ψe (x)Ω∗

i (x) dx +∫ b

aw(x)Ψe (x)Ω∗

i (x) dx +

+∫ 1

bw(x)Ψe (x)Ω∗

i (x) dx (2.17)

Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto, o

termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem perda

da generalidade, como:

Ψi =∫ b

aw(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx . (2.18)

2.1.2 Transformação do problema original

O problema de autovalor original é transformado utilizando a base fornecida pelo prob-

lema de autovalor auxiliar. Para tanto, o operador∫ b

a ( )Ω∗i (x)dx é aplicado à equação

(2.1), obtendo:

∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΨ(x)

dx

)Ω∗

i (x) dx + µ2∫ b

aw(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx+

−∫ b

ad(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx = 0 . (2.19)


O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da esquerda)

pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green. Esta, por conseguinte,

é definida, na forma unidimensional como [34]:

∫ x f

x0

u(x) v ′′(x) dx = (u(x) v ′(x) − v(x)u′(x))∣∣x f

x0+

∫ x f

x0

v(x)u′′(x) dx. (2.20)

Portanto, o termo é transformado de modo a obter a seguinte expressão:

∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΨ(x)

dx

)Ω∗

i (x) dx =∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΩ∗i (x)

dx

)Ψ(x) dx+

+ [k(x) (Ψ(x)′Ω∗

i (x)−Ψ(x)Ω∗i′(x))

]∣∣x=bx=a . (2.21)

Nesta equação, as informações de contorno estão contidas no último termo da direita,

que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta

forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma

vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno

original (x = a e x = b).

No caso do segundo termo do lado da direita, a simplificação pode ser obtida uti-

lizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:

d

dx

(k(x)

dΩ∗i (x)

dx

)= −(γ2

i w(x) − d(x))Ω∗i (x). (2.22)

Entretanto, simplificações deste tipo serão evitadas neste ponto da análise, de modo a

manter a generalidade do estudo.

A fórmula de inversão (2.13) é, então, substituída nas equações (2.19) e (2.21), e

as seguintes expressões são obtidas:

∞∑j=1

[(∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΩ∗j (x)

dx

)Ω∗

i (x) dx + µ2∫ b

aw(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx +

−∫ b

ad(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx

]Ψ j = 0, (2.23)


∞∑j=1

[∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΩ∗j (x)

dx

)Ω∗

i (x) dx −∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΩ∗i (x)

dx

)Ω∗

j (x) dx

]Ψ j =

=∞∑

j=1Ψ j

[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗

i (x)−Ω∗j (x)Ω∗

i′(x))

]∣∣∣x=b

x=a. (2.24)

Então, os seguintes coeficientes podem ser introduzidos:

Ai , j =∫ b

a

d

dx

(k(x)

dΩ∗j (x)

dx

)Ω∗

i (x) dx, (2.25)

Bi , j =∫ b

aw(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (2.26)

Di , j =∫ b

ad(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (2.27)

Si , j =[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗


i′(x))

]∣∣∣x=b

x=a. (2.28)

Portanto, as equações (2.23) e (2.24) podem ser escritas como:

∞∑j=1

(A j ,i + µ2 B j ,i − D j ,i

)Ψ j = 0, (2.29)

∞∑j=1

(A j ,i − Ai , j

)Ψ j =

∞∑j=1

S j ,i Ψ j . (2.30)

Na forma matricial, as equações acima são equivalentes a:

(A + µ2 B − D

)Ψ = 0, (2.31)

(A − AT −S

)Ψ = 0. (2.32)


Entretanto, a segunda equação implica que:

A = AT +S, (2.33)

Desta forma permite que a equação (2.31) seja reescrita como:

(AT +S +µ2 B −D

)Ψ = 0. (2.34)

Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado

para determinar o problema de autovetor original µ e as autofunções transformadas

(dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode ser

definida:

M = B−1 (AT +S −D

), (2.35)

Assim, o sistema (2.34) pode ser reescrito na forma tradicional como:

(M − µ2 I

)Ψ = 0. (2.36)

A equação (2.36) proporciona o cálculo direto dos autovalores µi , que são avaliados

pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψi (x) são determi-

nadas usando a fórmula de inversão (2.13), onde para cada autovalor µi , a correspon-

dente autofunção é reconstruída usando os componentes do autovetor associado Ψ.

2.1.2.1 Simplificação da Matriz S

A matriz S, na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as infor-

mações sobre as condições de contorno do problema original. Se tal informação for

considerada, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:


Primeiro, as condições de contorno, descritas em (2.2) e (2.3) são reescritas como:

Ψ(x) = − β(x)k(x)Ψ′(x)

α(x), (2.37)

Ψ′(x) = − α(x)Ψ(x)

β(x)k(x). (2.38)

Em seguida, as equações são, então, aplicadas na equação (2.28), de modo a obter as

seguintes expressões:

[k(x) (Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗

i′(x))]|x=b

x=a =

= −[

k(x)Ψ(x)

(α(x)

β(x)k(x)Ω∗

i (x) +Ω∗i′(x)

)]∣∣∣∣x=b

x=a. (2.39)

[k(x)(Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗

i′(x)]|x=b

x=a =

=[

k(x)Ψ′(x)

(Ω∗

i (x) + β(x)k(x)

α(x)Ω∗

i′(x)

)]∣∣∣∣x=b

x=a, (2.40)

onde a primeira equação deve ser empregada para β 6= 0 e a segunda equação para α 6=0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,

da seguinte forma:

[k(x)(Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗

i′(x))]|x=b

x=a =

=[

k(x) (Ψ′(x)−Ψ(x))(α(x)Ω∗

i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)α(x) + β(x)k(x)

]∣∣∣∣∣x=b

x=a

, (2.41)

Conforme explicado anteriormente, não é possível utilizar as condições de contorno

do problema de autovalor auxiliar para simplificar a matriz que contém as informações

do contorno, uma vez que o problema de autovalor auxiliar é definido em um contorno

diferente do problema original.


Então, a fórmula de inversão (2.18) é utilizada, obtendo:

∞∑j=1Ψ j (x)

[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗


i′(x))

]∣∣∣x=b

x=a=

=∞∑

j=1Ψ j (x)

[k(x) (Ω∗

j′(x)−Ω∗

j (x))(α(x)Ω∗

i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)α(x) + β(x)k(x)

]∣∣∣∣∣x=b

x=a

. (2.42)

Assim, os coeficientes da matriz Si , j podem ser reescritos como:

Si , j =[

k(x) (Ω∗j′(x)−Ω∗

j (x))(α(x)Ω∗

i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)α(x) + β(x)k(x)

]∣∣∣∣∣x=b

x=a

, (2.43)

Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um

dos contornos, isto é, para α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, as seguintes expressões alternativas

podem ser utilizadas:

Si , j =(k(x)Ω∗

j′(x)

(Ω∗

i (x) + β(x)k(x)

α(x)Ω∗

i′(x)

))∣∣∣∣x=b

x=a, para α(x) 6= 0 , (2.44)

Si , j = −(k(x)Ω∗

j (x)

(α(x)

β(x)k(x)Ω∗

i (x) +Ω∗i′(x)

))∣∣∣∣x=b

x=a, para β(x) 6= 0 . (2.45)

Portanto, como pode ser observado, a formulação matemática para a solução de prob-

lemas de autovalor unidimensinais utilizando a técnica do domínio envolvente foi for-

malmente apresentada, abrindo caminho, então, para o teste da metodologia.

Capítulo 3

Problemas de difusão unidimensionais

Neste capítulo, a técnica do domínio envolvente (TDE) é utilizada para obter a solução

de problemas de difusão unidimensionais generalizados. Para tanto, será definido o

par de transformação aplicado à solução do problema. Tal transformação, tem como

base as autofunções auxiliares, sendo estas, por sua vez, definidas em um domínio

que envolve o domínio original. Deste modo, toda a análise matemática decorrente da

solução do problema de difusão unidimensional, pelo método do domínio envolvente,

é descrita de modo a obter a forma mais simplificada possível.

3.1 Problema de difusão unidimensional generalizado

O problema de difusão linear unidimensional pode ser escrito como:

ϕ(t ) w(x)∂T (x, t )

∂t= ∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)+

+ (σ(t ) w(x) − d(x)

)T (x, t ) + P (x, t ), para a ≤ x ≤ b, (3.1)

BT (x, t ) = φ(a, t ), para x = a, (3.2)

BT (x, t ) = φ(b, t ), para x = b, (3.3)

T (x,0) = f (x), para a ≤ x ≤ b. (3.4)

18

3. Problemas de difusão unidimensionais 19

Onde o operador da condição de contorno é definido como:

B ≡(α(x) + β(x)k(x)

∂

∂x

). (3.5)

A solução exata é obtida pela transformação integral clássica [33] e pode ser escrita

como:

T (x, t ) =∞∑

n=1

1

N (µn)Tn(t )Ψn(x) (3.6)

onde Ψn(x) e µn são autofunções e autovalores do problema de Sturm-Liouville, esse

problema foi definido pela equação (2.1).

Os potenciais transformados (Tn(t )) são obtidos na solução do sistema desacoplado:

ϕ(t )dTn(t )

dt+ (µ2

n −σ(t ))

Tn(t ) = gn(t ), (3.7)

Tn(0) = fn , (3.8)

para n = 1, . . . ,∞. A condição inicial transformada e os termos transformados são

dados por:

fn =∫ b

aw(x) f (x)Ψn(x) dx, (3.9)

gn(t ) =∫ b

aP (x, t )Ψn(x) dx +

[φ(x, t )

(Ψn(x) ± k(x)Ψ′

n(x)

α(x)+β(x)

)]x=b

x=a. (3.10)

A solução do sistema transformado é facilmente obtido por:

Tn(t ) = (fn +

∫ t

0gn(τ)eγn (τ))e−γn (t ) dτ, (3.11)

no qual:

γn(t ) =∫ t

0

µ2n −σ(τ)

ϕ(τ)dτ. (3.12)

Portanto, a solução analítica para o problema de difusão generalizado, dado por (3.1),(3.2),(3.3)


e (3.4)), é obtido diretamente uma vez que o problema de autovalor, definido pelas

equações (2.1),(2.2) e (2.3)), é conhecido.

3.2 Solução através da técnica de domínio envolvente

O objetivo da presente metodologia é utilizar a base de autofunções auxiliares (2.8),

(2.9) e (2.10), definidas em um domínio que envolve o domínio original, para escrever

a forma da solução do problema de difusão unidimensional, como mostrado abaixo:

T (x, t ) =∞∑

i=1Ti (t )Ω∗

i (x), para a ≤ x ≤ b . (3.13)

Esse expressão é chamada de fórmula de inversão.

O problema de autovalor auxiliar normalizado (2.8,2.9 e 2.10) possui a seguinte

propriedade de ortogonalidade:

∫ 1

0w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx = δi , j . (3.14)

Desta forma, a seguinte transformada integral pode ser escrita:

Ti (t ) =∫ 1

0w(x)T (x, t )Ωi (x) dx . (3.15)

Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no

mesmo domínio do problema original. Esta transformação, como apresentada anteri-

ormente, é chamada de transformação integral em domínio coincidente. Novamente,

na forma descrita pela equação (3.15) a transformação será chamada de transformação

integral em domínio envolvente.

Na expressão apresentada acima, a função Ti (t ) não é definida para x > b e x <a. Para contornar esse problema, uma função T (x, t ) estendida é criada, de modo a

permitir a redução do limite de integração, aplicado ao domínio envolvente, para o


domínio original:

Te (x, t ) = T (x, t ), para a ≤ x ≤ b , (3.16)

Te (x, t ) = 0, para x < a ou x > b . (3.17)

Introduzindo a definição acima na fórmula da transformada integral (3.15), a seguinte

expressão pode ser obtida:

Ti (t ) =∫ a

0w(x)Te (x, t )Ω∗

i (x) dx +

+∫ b

aw(x)Te (x, t )Ω∗

i (x) dx +∫ 1

bw(x)Te (x, t )Ω∗

i (x) dx (3.18)

Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto,

o termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem a

perda da generalidade, como:

Ti (t ) =∫ b

aw(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx . (3.19)

3.2.1 Transformação do problema de difusão unidimensional generalizado

Utilizando a base de autofunções auxiliares definida no item anterior, o problema de

difusão unidimensional generalizado, dado pelas equações (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4)), é

transformado aplicando o seguinte operador∫ b

a ( )Ω∗i (x) dx, de forma a obter:

ϕ(t )∫ b

aw(x)

∂T (x, t )

∂tΩ∗

i (x) dx =

=∫ b

aP (x, t )Ω∗

i (x) dx +∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)Ω∗

i (x) dx+

+ σ(t )∫ b

aw(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx −∫ b

ad(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx. (3.20)

O termo que leva em consideração os efeitos de difusão de calor (primeiro termo da

esquerda) pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser


escrita na forma unidimensional como [34]:

∫ x f

x0


x0+

∫ x f

x0

v(x)u′′(x) dx. (3.21)

Assim, a seguinte expressão pode ser obtida:

∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)Ω∗

i (x) dx =∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗i (x)

∂x

)T (x, t ) dx+

+[

k(x)

(∂T (x, t )

∂xΩ∗

i (x)−T (x, t )Ω∗i′(x)

)]x=b

x=a(3.22)

Nesta equação, as informações do contorno estão contidas no último termo à direita,

que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta

forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma

vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno

original (x = a e x = b).

No caso do primeiro termo do lado direito, a simplificação pode ser obtida uti-

lizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:

d

dx

(k(x)

dΩ∗i (x)

dx

)= −(γ2

i w(x) − d(x))Ω∗i (x). (3.23)

Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evi-

tadas neste ponto da análise.

Após, a fórmula de inversão (3.13) é substituída nas equações (3.22) e (3.20), ob-

tendo:

∞∑j=1

ϕ(t )

(∫ b

aw(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx

)T ′

j (t ) =

= Pi (t ) +∞∑

j=1

(∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx+

+σ(t )∫ b

aw(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx −

∫ b

ad(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx

)T j (t ), (3.24)


∞∑j=1

(∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx+

−∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗i (x)

∂x

)Ω∗

j (x) dx

)T j (t ) =

=∞∑

j=1

[k(x)

(Ω∗

j′(x)Ω∗

i (x) −Ω∗j (x)Ω∗

i′(x)

)]∣∣∣x=b

x=aT j (t ), (3.25)

onde

Pi (t ) =∫ b

aP (x, t )Ω∗

i (x) dx. (3.26)

Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:

Ai , j =∫ b

a

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx, (3.27)

Bi , j =∫ b

aw(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (3.28)

Di , j =∫ b

ad(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (3.29)

Si , j =[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗


i′(x))

]∣∣∣x=b

x=a. (3.30)

Então, ao introduzir os coeficientes, dado pelas equações (3.27), (3.28), (3.29) e (3.30),

as equações (3.24) e (3.25) são reescritas como:

ϕ(t )∞∑

j=1Bi , j T ′

j (t ) =∞∑

j=1

(Ai , j + σ(t )Bi , j − Di , j

)T j (t ) + Pi (t ), (3.31)

∞∑j=1

(Ai , j − A j ,i

)T j (t ) =

∞∑j=1

Si , j T j (t ) + bi (t ), (3.32)

onde o termo bi (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Este

termo será explicado mais adiante na análise da matriz que contém as informações de

contorno.


O sistema acima, na forma matricial, é equivalente a:

ϕ(t )B T′(t ) = (

A + σ(t )B − D)

T (t ) + P (t ), (3.33)(A − AT −S

)T (t ) = b(t ). (3.34)

Ainda, a equação (3.34) implica que:

A T (t ) = (AT +S) T (t ) + b(t ). (3.35)

e a equação (3.33) pode ser reescrita como:

ϕ(t )B T′(t ) = (

AT +S + σ(t )B −D)

T (t ) + P (t ) + b(t ). (3.36)

Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:

T (0) = f , (3.37)

onde, os coeficientes de f são obtidos pela seguinte expressão:

fi =∫ b

aw(x) f (x)Ω∗

i (x) dx. (3.38)

Com algumas operações matriciais, a equação (3.36) pode ser reescrita como:

T′(t ) = B−1 M T (t ) + g (t ), (3.39)

onde M e g são definidos como:

M = 1

ϕ(t )

(AT + S + σ(t )B − D

), (3.40)

g (t ) = 1

ϕ(t )B−1 (

P (t ) + b(t )). (3.41)

O sistema, dado pelas equações (3.39) e (3.37), proporciona uma solução analítica em


forma fechada:

T (t ) = C (t )

(f +

∫ t

0C−1(τ) g (t ) dτ

), (3.42)

onde as matrizes envolvidas são descritas na forma de uma matriz exponencial [34]:

C (t ) = exp(−B−1M t

)e C−1(t ) = exp

(B−1M t

)(3.43)

Apesar da solução acima estar apresentada em uma forma analítica fechada, a avali-

ação da matriz exponencial poderá ser problemática para altas ordens de truncamento

1. Portanto, uma solução numérica direta para equações diferenciais (3.36) e (3.37) é

implementada, utilizando a função NDSolve do programa Mathematica [16] e com-

parada com a solução analítica. Uma vez que o potencial transformado é obtido, o

campo de temperatura é avaliado usando a fórmula de inversão (3.13).

3.2.1.1 Simplificação da Matriz S

A matriz S, na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as infor-

mações sobre as condições de contorno do problema de difusão. Se tais informações

forem levadas em consideração, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:

Primeiro, reescrevemos as condições de contorno, descritas em (3.2) e (3.3), como:

T (x, t ) =(φ(x, t ) − β(x)k(x)

∂T (x, t )

∂x

)1

α(x), (3.44)

∂T (x, t )

∂x= (

φ(x, t ) − α(x)T (x, t )) 1

β(x)k(x). (3.45)

Utilizando as equações (3.44) e (3.45), os coeficientes da matriz S podem ser reescritos

como:

k(x)

α(x)

(∂T (x, t )

∂xα(x)Ω∗

i (x) − φ(x, t )Ω∗i′(x)+ β(x)k(x)

∂T (x, t )

∂xΩ∗

i′(x)

)∣∣∣∣x=b

x=a, (3.46)

1 A ordem de truncamento é o número de termos utilizado no cálculo da solução


k(x)

β(x)k(x)

(φ(x, t )α(x)Ω∗

i (x) − α(x)T (x, t )Ω∗i (x)+

−T (x, t )β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)∣∣x=bx=a , (3.47)

onde a primeira equação deve ser empregada para α 6= 0 e a segunda equação para β 6=0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,

da seguinte forma:

k(x)

α(x) + β(x)k(x)

(∂T (x, t )

∂xα(x)Ω∗

i (x) − φ(x, t )Ω∗i′(x)+

+β(x)k(x)∂T (x, t )

∂xΩ∗

i′(x) + φ(x, t )α(x)Ω∗

i (x) − α(x)T (x, t )Ω∗i (x) +

−T (x, t )β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)∣∣x=bx=a . (3.48)

Essa equação pode, ainda, ser reescrita como:

k(x)

α(x) + β(x)k(x)

[(∂T (x, t )

∂x− T (x, t )

)(α(x)Ω∗

i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)]∣∣∣∣x=b

x=a+

+ k(x)

α(x) + β(x)k(x)

[φ(x, t )

(Ω∗

i (x) −Ω∗i′(x)

)]∣∣∣∣x=b

x=a, (3.49)

onde o primeiro termo contém as informações da parte homogênea do contorno e o

segundo termo contém as informações da parte não homogênea. Portanto, a matriz

Si , j e o termo independente bi (t ), são reescritos como:

Si , j = k(x)

α(x) + β(x)k(x)

[(∂Ω∗

j (x)

∂x−Ω∗

j (x)

)(α(x)Ω∗

i (x)

+β(x)k(x)Ω∗i′(x)

)]∣∣x=bx=a , (3.50)

bi (t ) = k(x)

α(x) + β(x)k(x)

[φ(x, t )

(Ω∗

i (x) −Ω∗i′(x)

)]∣∣∣∣x=b

x=a. (3.51)

Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um

dos contornos, isto é α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, pode-se utilizar uma expressão alternativa


da seguinte maneira:

Si , j =(k(x)Ω∗

j′(x)

(Ω∗

i (x) + β(x)k(x)

α(x)Ω∗

i′(x)

))∣∣∣∣x=b

x=a, para α(x) 6= 0 , (3.52)

bi (t ) = −k(x)

α(x)φ(x, t )Ω∗

i′(x)

∣∣∣∣x=b

x=a, para α(x) 6= 0 , (3.53)

Si , j = −(k(x)Ω∗

j (x)

(α(x)

β(x)k(x)Ω∗

i (x) +Ω∗i′(x)

))∣∣∣∣x=b

x=a, para β(x) 6= 0 (3.54)

bi (t ) = k(x)

β(x)k(x)φ(x, t )Ω∗

i (x)

∣∣∣∣x=b

x=a, para β(x) 6= 0. (3.55)

Portanto, a formulação formal da solução de problemas unidimensionais pela téc-

nica do domínio envolvente foi apresentada. Essa formulação envolveu a definição do

par de transformação inerentes à metodologia, a análise matemática da transformação

do problema original e a análise dos coeficientes que compõem a solução. Desta forma

o solução de problemas de difusão pode ser facilmente obtida pela simplificação da

formulação e dos coeficientes apresentados, conforme os requisitos do problema estu-

dado.

Capítulo 4

Problemas unidimensionais em domínio móvel

O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução de

problemas unidimensionais em domínios em movimento. Serão considerados proble-

mas de autovalor assim como problemas de difusão. Assim, conforme a metodologia

apresentada nos capítulos anteriores, o problema a ser estudado, o par de transformação

proposto e análise matemática decorrente da transformação integral serão apresenta-

dos.

4.1 Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel

O problema de autovalor unidimensional generalizado em domínio móvel [3], e é

definido como:

d

dx

(k(x)

dΨ(x, t )

dx

)+ (µ2(t ) w(x) − d(x))Ψ(x, t ) = 0,

em a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.1)

e

BΨ(x, t ) = 0, em x = a(t ), (4.2)

BΨ(x, t ) = 0, em x = b(t ), (4.3)

28

4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 29

onde o operador da condição de contorno B é definido como:

B ≡(α(x) + β(x)k(x)

∂

∂x

). (4.4)

Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:

∫ b(t )

a(t )w(x)Ψn(x, t )Ψm(x, t ) dx = δn,m N (µn), (4.5)

Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores

µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn) é a norma, definida como:

N (µn) ≡∫ b(t )

a(t )w(x)Ψn(x, t )2 dx. (4.6)

A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de

várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um

problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor orig-

inal. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas

em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica

do domínio envolvente (TDE).

É importante observar que, diferentemente das autofunções originais, as autofunções

auxiliares Ω∗(x) não dependem do tempo e, portanto, são definidas pelas equações

(2.8), (2.9) e (2.10).

4.1.1 Par de Transformação

O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares

para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:

Ψ(x, t ) =∞∑

i=1Ψi (t )Ω∗

i (x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ) . (4.7)

A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e

na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para


a transformação integral é obtida:

Ψi (t ) =∫ 1

0w(x)Ψ(x, t )Ω∗

i (x) dx . (4.8)

Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada

no mesmo domínio do problema original. Como mencionado anteriormente, a trans-

formação tradicional é chamada de transformação integral em domínio coincidente.

Na forma descrita pela equação (4.8) a transformação é chamada de transformação

integral em domínio envolvente.

Na transformada integral em domínio envolvente (4.8), a autofunção Ψ(x, t ) não

é definida para x > b(t ) e x < a(t ). Para contornar esse problema, a função Ψ(x, t )

estendida é definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração

original:

Ψe (x, t ) = Ψ(x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ) , (4.9)

Ψe (x, t ) = 0, para x < a(t ) ou x > b(t ) . (4.10)

Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envol-

vente (4.8), a seguinte expressão é obtida:

Ψi (t ) =∫ a(t )

0w(x)Ψe (x, t )Ω∗

i (x) dx +∫ b(t )

a(t )w(x)Ψe (x, t )Ω∗

i (x) dx +

+∫ 1

b(t )w(x)Ψe (x, t )Ω∗

i (x) dx (4.11)

Nesta equação o primeiro e o último termos do lado da direita são nulos. Portanto, o

termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser rescrito, sem perda

da generalidade, como:

Ψi =∫ b(t )

a(t )w(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx . (4.12)


4.1.2 Transformação do problema original

O problema de autovalor original é transformado aplicando o operador∫ b(t )

a(t ) ( )Ω∗i (x)dx

na equação (4.1), obtendo:

∫ b(t )

a(t )

d

dx

(k(x)

dΨ(x)

dx

)Ω∗

i (x) dx + µ2∫ b(t )

a(t )w(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx+

−∫ b(t )

a(t )d(x)Ψ(x)Ω∗

i (x) dx = 0 . (4.13)

Como pode ser observado, a transformação da equação (4.1) é identica ao apre-

sentado anteriormente, salvo o domínio móvel. Portanto, somente os coeficientes,

introduzidos pelas equações (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28), serão modificados, sendo

portanto, rescritos como:

Ai , j =∫ b(t )

a(t )

d

dx

(k(x)

dΩ∗j (x)

dx

)Ω∗

i (x) dx, (4.14)

Bi , j =∫ b(t )

a(t )w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (4.15)

Di , j =∫ b(t )

a(t )d(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (4.16)

Si , j =[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗


i′(x))

]∣∣∣x=b(t )

x=a(t ). (4.17)

Assim, a equação transformada pode ser rescrita na forma vetorial como:

(AT +S +µ2(t )B −D

)Ψ(t ) = 0. (4.18)

Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado

para determinar a solução os autovalores originais µn(t ) e as autofunções transfor-

madas (dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode


ser definida:

M = B−1 (AT +S −D

), (4.19)

Assim, o sistema (4.18) pode ser reescrito na forma tradicional como:

(M − µ2(t ) I

)Ψ(t ) = 0. (4.20)

A equação (4.20) proporciona o cálculo direto dos autovalores µn , que são avalia-

dos pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψn(x, t ) são

determinadas usando a fórmula de inversão (4.7), onde para cada autovalor µn(t ), a

autofunção correspondente é reconstruída usando os componentes do autovetor asso-

ciado Ψn(t ).

4.2 Problema de difusão unidimensional

O problema de difusão unidimensional com domínio em movimento pode ser escrito

como:

ϕ(t ) w(x)∂T (x, t )

∂t= ∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)+

+ (σ(t ) w(x) − d(x)

)T (x, t ) + P (x, t ), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.21)

BT (x, t ) = φ(a, t ), para x = a(t ), (4.22)

BT (x, t ) = φ(b, t ), para x = b(t ), (4.23)

T (x,0) = f (x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ). (4.24)

Onde o operador da condição de contorno é definido como:

B ≡(α(x) + β(x)k(x)

∂

∂x

). (4.25)


4.2.1 Solução tradicional por GITT

Utilizando a base de autofunções definidas pela equação (4.1), o seguinte par de trans-

formação é definido:

T (x, t ) =∞∑

i=1

Ti (t )Ψi (x, t )

N (µi ), (4.26)

Ti (t ) =∫ b(t )

a(t )T (x, t )Ψi (x, t ) dx. (4.27)

Assim, o problema de difusão é transformado levando ao seguinte sistema de equações

diferenciais ordinárias acopladas:

dTi (t )

dt+ µ2

i (t ) Ti (t ) −∞∑

j=1a∗

i , j T j (t ) = gi (t ) (4.28)

Ti (0) = fi =∫ b(0)

a(0)f (x)Ψ(x,0) dx (4.29)

Onde a∗i , j e gi (t ) são definidos como:

a∗i , j =

∫ b(t )

a(t )Ψ j (x, t )

∂Ψi (x, t )

∂tdx, (4.30)

gi (x) = g∗i (t ) + Fb,i (t ) − Fa,i (t ), (4.31)

onde gi∗, Fb,i (t ) e Fa,i (t ) são definidos como:

g∗i (t ) =

∫ b(t )

a(t )P (x, t )Ψi (x, t ) dx +

(∂T (x, t )

∂xΨi (x, t )− ∂Ψi (x, t )

∂xT (x, t )

)∣∣∣∣b(t )

a(t ), (4.32)

Fb,i (t ) = b′(t ) w(b(t ))Ψi (b(t ), t )T (b(t ), t ), (4.33)

Fa,i (t ) = a′(t ) w(a(t ))Ψi (a(t ), t )T (a(t ), t ), (4.34)

A solução da equação (4.28) pode ser obtida numericamente utilizando, por exemplo,

a função NDSolve do Mathematica [16].


4.3 Solução através da Técnica de Domínio Envolvente

O objetivo da presente metodologia é usar as autofunções auxiliares, definidas em um

domínio que envolve o domínio original. Elas são descritas pelo problema de Sturm-

Liouville (eqs. (2.8)–(2.10)). Assim o par de transformação é definido pelas equações

(3.13) e (3.15).

4.3.1 Transformação do problema de difusão

O problema da difusão com domínio móvel, definido pela equação (4.22) é transfor-

mado aplicando o operador∫ b(t )

a(t ) ( )Ω∗(x)d x, obtendo:

ϕ(t )∫ b(t )

a(t )w(x)

∂T (x, t )

∂tΩ∗

i (x) dx =∫ b(t )

a(t )P (x, t )Ω∗

i (x) dx+

+∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)Ω∗

i (x) dx + σ(t )∫ b(t )

a(t )w(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx+

−∫ b(t )

a(t )d(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx, (4.35)

O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da direita)

pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser escrita na

forma unidimensional como [34]:

∫ x f

x0


x0+

∫ x f

x0

v(x)u′′(x) dx (4.36)

Assim temos:

∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)Ω∗

i (x) dx =∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗i (x)

∂x

)T (x, t ) dx+

+[

k(x)

(∂T (x, t )

∂xΩ∗

i (x)−T (x, t )Ω∗i′(x)

)]x=b(t )

x=a(t ). (4.37)

O último termo da direita pode ser simplificado utilizando as condições de contorno

do problema de difusão original, sendo esta análise análoga ao apresentado no capitulo

anterior. Já o segundo termo no lado da direita da equação acima pode ser simplificado


com informações do problema auxiliar escolhido, isto é, fazendo:

d

dx

(k(x)

dΩ∗(x)

dx

)= −(γ2 w(x) − d(x))Ω∗(x). (4.38)

Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evi-

tadas neste ponto da análise.

O primeiro termo da esquerda da equação (4.35) pode ser simplificado utilizando

a regra de Leibniz [34]:

ϕ(t )∫ b(t )

a(t )w(x)

∂T (x, t )

∂tΩ∗

i (x) dx = ϕ(t )∫ b(t )

a(t )

∂

∂t

(w(x)T (x, t )Ω∗

i (x))

dx =

= ϕ(t )∂

∂t

∫ b(t )


i (x) dx − (w(x)T (x, t )Ω∗

i (x))

x=b(t ) b′(t )+

+ (w(x)T (x, t )Ω∗

i (x))

x=a(t ) a′(t ). (4.39)

Substituindo a equação (4.39) em (4.35), a seguinte expressão pode ser obtida:

ϕ(t )∂

∂t

∫ b(t )


i (x) dx =

=∫ b(t )

a(t )P (x, t )Ω∗

i (x) dx +∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂T (x, t )

∂x

)Ω∗

i (x) dx+

+ σ(t )∫ b(t )


i (x) dx −∫ b(t )

a(t )d(x)T (x, t )Ω∗

i (x) dx+

+ (w(x)T (x, t )Ω∗

i (x))

x=b(t ) b′(t ) − (w(x)T (x, t )Ω∗

i (x))

x=a(t ) a′(t ), (4.40)

A formula de inversão, dada pela equação (3.13), é substituída nas equações acima,

obtendo:

∞∑j=1

ϕ(t )

(∫ b(t )

a(t )w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx

)T ′

j (t ) = Pi (t )+∞∑

j=1

(∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx+

+∞∑

j=1T j (t )

[(w(x)Ω∗

j (x)Ω∗i (x)

)x=b(t )

b′(t ) −(w(x)Ω∗

j (x)Ω∗i (x)

)x=a(t )

a′(t )]+

+σ(t )∫ b(t )

a(t )w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx −

∫ b(t )

a(t )d(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx

)T j (t ), (4.41)


∞∑j=1

(∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx −∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k∂Ω∗

i (x)

∂x

)Ω∗

j (x) dx

)T j (t ) =

=∞∑

j=1

[k(x)

(Ω∗

j′(x)Ω∗

i (x) −Ω∗j (x)Ω∗

i′(x)

)]∣∣∣x=b(t )

x=a(t )T j (t ), (4.42)

onde

Pi (t ) =∫ b(t )

a(t )P (x, t )Ω∗

i (x) dx. (4.43)

Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:

Ai , j =∫ b(t )

a(t )

∂

∂x

(k(x)

∂Ω∗j (x)

∂x

)Ω∗

i (x) dx, (4.44)

Bi , j =∫ b(t )

a(t )w(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (4.45)

Di , j =∫ b(t )

a(t )d(x)Ω∗

i (x)Ω∗j (x) dx, (4.46)

Si , j =[k(x) (Ω∗

j′(x)Ω∗


i′(x))

]∣∣∣x=b(t )

x=a(t ). (4.47)

Hi , j =(w(x)Ω∗

j (x)Ω∗i (x)

)x=b(t )

b′(t ) −(w(x)Ω∗

j (x)Ω∗i (x)

)x=a(t )

a′(t ) (4.48)

Então, ao introduzir os coeficientes dado pelas equações (4.44)–(4.48), as equações

(4.41) e (4.42) podem ser reescritas como:

ϕ(t )∞∑

j=1Bi , j T ′

j (t ) =∞∑

j=1

(Ai , j + σ(t )Bi , j − Di , j + Hi , j

)T j (t ) + Pi (t ), (4.49)

∞∑j=1

(Ai , j − A j ,i

)T j (t ) =

∞∑j=1

Si , j T j (t ) + bi (t ), (4.50)

onde o temo bi (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Para

condições homogêneas de primeiro tipo no problema original, o coeficiente Hi , j será

zero porque T (a(t ), t ) = T (b(t ), t ) = 0. Nestas condições, esse acoplamento em t é

nulo.


O sistema acima, na forma vetorial, é equivalente a:

ϕ(t )B T′(t ) = (

A + σ(t )B − D + H)

T (t ) + P (t ), (4.51)(A − AT −S

)T (t ) = b(t ). (4.52)

Ainda, a equação (4.52) implica que:

A T (t ) = (AT +S) T (t ) + b(t ), (4.53)

Assim, a equação (4.51) pode ser reescrita como:

ϕ(t )B T′(t ) = (

AT +S + σ(t )B −D + H)

T (t ) + P (t ) + b(t ), (4.54)

Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:

T (0) = f , (4.55)

Onde os coeficientes de f são dados por:

fi =∫ b(t )

a(t )w(x) f (x)Ω∗

i (x) dx (4.56)

Diferentemente da solução do problema de difusão em domínio fixo pela Técnica do

Domínio Envolvente, todas as matrizes de coeficientes dependem do tempo. Este fato

acaba com a possibilidade de uma solução analítica utilizando exponenciais de ma-

trizes visto que a inversão do matriz B precisaria ser feito de forma simbólica, o que

é inviável até para baixas ordens de truncamento. A solução para este sistema tem

que ser feita numericamente sem utilizar a inversão numérica de B como feito para

domínios fixos. Testes foram feitos utilizando a função NDSolve do programa Mathe-

matica [16], porém devido ao acoplamento na derivada temporal gerado pela matriz B ,

a solução numérica não foi possível, nem para baixas ordens de truncamento. Assim,

o teste da solução do problema de difusão com o domínio móvel não foi realizado,


sendo deixado como trabalho futuro para implementação utilizando uma rotina em

outro sistema operacional, como por exemplo a IVPAG do IMSL.

Capítulo 5

Problemas testes

Uma vez apresentada a solução formal para problemas de autovalor unidimensionais,

problemas de difusão unidimensionais e de problemas de difusão unidimensionais com

o domínio em movimento, os problemas testes utilizados na análise dos resultados

destas soluções são apresentados. Desta forma, para cada formulação proposta, um

conjunto de problemas teste e casos teste será definido.

Para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais, este capítulo

apresenta quatro problemas, que correspondem a um versão simplificada do problema

de autovalor original com diferentes combinações de condições de contorno. Ainda,

dentro de cada problema teste, serão definidos quatro casos particulares que correspon-

dem às diferentes combinações de contorno do problema de autovalor auxiliar.

No caso do teste da solução de problemas de difusão unidimensionais, três proble-

mas escritos em coordenadas cartesianas e um problema escrito em coordenadas cilín-

dricas são escolhidos, sendo que cada problema é proposto com uma combinação única

de condições de contorno e condições iniciais. Para os problemas escritos no sistema

cartesiano, serão definidos três casos particulares que correspondem às diferentes com-

binações de contorno do problema de autovalor auxiliar. Entretanto, para o problema

escrito em coordenadas cilíndricas, será apresentado somente um caso particular.

Por fim, para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais com

o domínio em movimento, somente um problema teste com quatro casos teste serão

39

5. Problemas testes 40

apresentados. Desta forma, as formas matemáticas dos coeficientes e equações serão

definidas de modo à facilitar a implementação dos mesmos no ambiente de desenvolvi-

mento.

5.1 Solução de problemas de autovalor

5.1.1 Definição do problema teste simplificado

De maneira a testar a presente metodologia para a solução de problemas de auto-

valor unidimensionais, uma versão simplificada do problema original (Equação de

Helmholtz) foi selecionado:

Ψ′′(x) + µ2Ψ(x) = 0, para a ≤ x ≤ b, (5.1)

Desta forma, são definidas quatro diferentes combinações de condição de contorno

para o problema de autovalor original, como descrito abaixo.

• Problema teste 1: Condições de contorno de Dirichlet em ambos os lados.

Ψ(x) = 0, para x = a, (5.2)

Ψ(x) = 0, para x = b, (5.3)

• Problema teste 2: Condições de contorno de Dirichlet e Neumann.

Ψ(x) = 0, para x = a, (5.4)

Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.5)

• Problema teste 3: Condições de contorno de Dirichlet e Robin.

Ψ(x) = 0, para x = a, (5.6)

Ψ(x) + Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.7)


• Problema teste 4: Condições de contorno de Neumann e Robin.

Ψ‘(x) = 0, para x = a, (5.8)

Ψ(x) + Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.9)

Os problemas teste 1 e 2 possuem solução analítica bem conhecida, que pode ser escrita

como:

Ψn(x) = sin(µn (x −a)), onde (5.10)

µn = nπ

b −a. (5.11)

Ψn(x) = sin(µn (x −a)), onde (5.12)

µn = (n −1/2)π

b −a. (5.13)

Onde as equações (5.10) e (5.11) deverão ser utilizadas para o problema teste 1 e as

equações (5.12) e (5.13) deverão ser utilizadas para o problema teste 2. No caso do

problema teste 3, a solução pode ser escrita como:

Ψn(x) = sin(µn (x −a)), (5.14)

onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:

sin(µn (b −a)) + µn cos(µn(b −a)) = 0. (5.15)

Para o problema teste 4, a solução pode ser escrita como:

Ψn(x) = cos(µn (x −a)), (5.16)


onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:

cos(µn (b −a)) − µn sin(µn(b −a)) = 0. (5.17)

Assim, o problema de autovalor auxiliar normalizado e similar ao problema original é

escolhido:

Ω∗′′(x) + γ2Ω∗(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.18)

B∗Ω∗(x) = 0, para x = 0, (5.19)

B∗Ω∗(x) = 0, para x = 1, (5.20)

onde o operador B∗ é definido como:

B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)

d

dx

). (5.21)

Para os problemas teste escolhido e independentemente do tipo de condição de con-

torno selecionado, os coeficientes (2.25), (2.26) e (2.27), podem ser simplificados,

obtendo:

Bi , j =∫ b

aΩ∗

j (x)Ω∗i (x) dx, (5.22)

Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.23)

Di , j = 0, (5.24)

Os coeficientes onde estão contidos as informações do contorno (2.43), são reescritos

conforme o contorno do problema teste escolhido:

Si , j =[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))Ω∗i (x)

]x=b

x=a, (5.25)

Si , j =[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))Ω∗i′(x)

]x=b

−[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))Ω∗i (x)

]x=a

, (5.26)


Si , j =[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))(Ω∗i (x) +Ω∗

i′(x))

]x=b

−[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))Ω∗i (x)

]x=a

,

(5.27)

Si , j =[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))(Ω∗i (x) +Ω∗

i′(x))

]x=b

−[

(Ω∗j′(x) −Ω∗

j (x))Ω∗i′(x)

]x=a

,

(5.28)

onde as equações (5.25), (5.26), (5.27) e (5.28), se referem aos problemas teste 1, 2, 3

e 4, respectivamente.

Para os problemas teste propostos, quatro diferentes casos são selecionados, os

quais compreendem quatro combinações diferentes de contorno para o problema de

autovalor auxiliar. Desta forma, as diferentes condições de contorno e as autofunções

auxiliares resultantes, para cada caso selecionado, são descritas abaixo.

• Caso 1: Ω∗(0) =Ω∗(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 sin(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.29)

• Caso 2: Ω∗′(0) =Ω∗(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 cos(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.30)

• Caso 3: Ω∗(0) =Ω∗′(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 sin(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.31)

• Caso 4: Ω∗′(0) =Ω∗′(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 cos(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.32)

Ωi (x) = 1, γi = 0, (para n = 0) (5.33)

Para todos os problemas teste, cada um dos casos selecionados irá produzir valores

diferentes para os coeficientes de Bi , j , como descrito abaixo:


• Casos 1 e 3:

Bi , j = 2∫ b

asin(γi x) sin(γ j x) dx =

=[

sin((γi −γ j )x)

γi −γ j− sin((γi +γ j )x)

γi +γ j

]x=b

x=a

(5.34)

Bi ,i = 2∫ b

asin2(γi x) dx = (b −a)−

[sin(2γi x)

2γi

]x=b

x=a(5.35)

• Casos 2 e 4:

Bi , j = 2∫ b

acos(γi x) cos(γ j x) dx =

=[

sin((γi +γ j )x)

γi +γ j+ sin((γi −γ j )x)

γi −γ j

]x=b

x=a

(5.36)

Bi ,i = 2∫ b

acos2(γi x) dx = (b −a)+

[sin(2γi x)

2γi

]x=b

x=a(5.37)

Bi ,0 = 2∫ b

acos(γi x) dx = 2

[sin(γi x)

γi

]x=b

x=a(5.38)

B0, j = 2∫ b

acos(γ j x) dx = 2

[sin(γ j x)

γ j

]x=b

x=a

(5.39)

B0,0 = (b −a) (5.40)

Já os coeficientes da matriz Si , j variam de acordo com o problema teste e com os casos

selecionados, como descrito abaixo:

• Problema teste 1


1. Casos 1 e 3:

Si , j = 2γ j (sin(γi b)cos(γ j b) − sin(γi a)cos(γ j a))+

− 2(sin(γ j b) sin(γi b) − sin(γ j a) sin(γi a)) (5.41)

Si ,i = 2γi (sin(γi b)cos(γi b)+

− sin(γi a)cos(γi a)) − 2(sin(γi b)2 − sin(γi a)2) (5.42)

2. Casos 2 e 4:

Si , j = −2γ j (cos(γi b)sin(γ j b) − cos(γi a)sin(γ j a))+

− 2(cos(γi b) cos(γ j b) − cos(γi a) cos(γ j a)) (5.43)

Si ,i = −2γi (cos(γi b)sin(γi b)+

− cos(γi a)sin(γi a)) − 2(cos(γi b)2 − cos(γi a)2) (5.44)

Si ,0 = −2(cos(γi b) − cos(γi a)) (5.45)

S0, j = −2γ j (sin(γ j b) − sin(γ j a)) − 2(cos(γi b) − cos(γi a)) (5.46)

S0,0 = 0 (5.47)


1. Casos 1 e 3:

Si , j = +2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+

− 2γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.48)


Si ,i = +2(γi cos(γi b))2+

− 2γi sin(γi b) cos(γi b) − 2γi cos(γi a) sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.49)

2. Casos 2 e 4:

Si , j = +2γ j γi sin(γ j b)sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+

+ 2γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.50)

Si ,i = +2(γi sin(γi b))2 + 2γi cos(γi b) sin(γi b)+

+ 2γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.51)

Si ,0 = +2γi sin(γi b) + 2 cos(γi a) (5.52)

S0, j = +2γ j (sin(γ j a) + 2 cos(γ j a)) (5.53)

S0,0 = 2 (5.54)


1. Casos 1 e 3:

Si , j = 2γ j cos(γ j b)sin(γi b) + 2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b)+

− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+

− 2γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.55)

Si ,i = +2(γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2+

− 2γi cos(γi a)sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.56)


2. Casos 2 e 4:

Si , j = −2γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b)+

+ 2γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+

+ 2γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.57)

Si ,i = −2 cos(γi b)2 + 2γ2i sin(γi b)2+

+ 2γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.58)

Si ,0 = −2 cos(γi b) + 2γi sin(γi b) + 2 cos(γi a) (5.59)

S0, j = −2γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b) + 2γ j sin(γ j a) + 2 cos(γ j a) (5.60)

S0,0 = 0 (5.61)


1. Casos 1 e 3:

Si , j = 2γ j cos(γ j b)sin(γi b) + 2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b)+

− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+

− 2γi γ j cos(γ j a) cos(γi a) + 2γi sin(γ j a) cos(γi a)+ (5.62)

Si ,i = 2(γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2+

− 2(γi cos(γi a))2 + 2γi sin(γi a) cos(γi a) (5.63)


2. Casos 2 e 4:

Si , j = −2γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b)+

+ 2γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+

− 2γ j γi sin(γ j a)sin(γi a) + 2γi cos(γ j a) sin(γi a) (5.64)

Si ,i = −2 cos(γi b)2 + 2γ2i sin(γi b)2+

− 2γ2i sin(γi a)2 + 2γi cos(γi a) sin(γi a) (5.65)

Si ,0 = −2 cos(γi b) + 2γi sin(γi b) + 2γi sin(γi a) (5.66)

S0, j = −2γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b) (5.67)

S0,0 = −2 (5.68)

5.2 Solução de problemas de difusão

5.2.1 Problema em coordenadas cartesianas

De maneira a ilustrar a presente metodologia de solução de problemas de difusão uni-

dimensional, uma versão simplificada do problema de difusão unidimensional gener-

alizado é considerado:

∂T (x∗, t∗)

∂t∗= ∂2T (x∗, t∗)

∂x2, para a ≤ x∗ ≤ b, (5.69)

onde

t∗ = t α

(b −a)2. (5.70)


Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e pode ser escrita como:

T (x∗, t∗) =∞∑

n=1

(∫ 10 f (x∗)Ψn(x∗) dx

)N (µn)

exp(−µ2

n t∗)Ψn(x∗). (5.71)

Uma vez conhecidas as condições de contorno, o problema é resolvido facilmente.

Desta forma, com o intuito de enriquecer o estudo, serão considerados, analisados

e comparados três combinações de contorno e condição inicial diferentes, definidos

como descrito abaixo.


T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.72)

T (1, t∗) = φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.73)

T (x∗,0) = 1, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.74)


T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.75)

∂T (1, t∗)

∂x= φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.76)

T (x∗,0) = 1, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.77)


T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.78)

T (1, t∗) = φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.79)

T (x∗,0) = x∗, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.80)

Onde as autofunções (Ψn(x∗)), os autovalores µn e a norma N (µn), para os problemas

teste 5, 6 e 7, podem ser escritos como:


• Para o problema teste 5 e 7

Ψn(x∗) = sin(µn x∗) (5.81)

N (µn) =∫ 1

0Ψn(x∗)2 dx∗ (5.82)

µn = nπ (5.83)

• Para o problema teste 6

Ψn(x∗) = sin(µn x∗) (5.84)

N (µn) =∫ 1

0Ψn(x∗)2 dx∗ (5.85)

µn = (n − 1

2)π (5.86)

De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de

autovalor auxiliar (com autofunções normalizadas) similar as do problema original é

escolhido:

Ω′′(x) + γ2Ω(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.87)

B∗Ω = 0, para x = 0, (5.88)

B∗Ω = 0, para x = 1, (5.89)

Onde o operador B∗ é definido como:

B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)

d

dx

). (5.90)

Apesar da equação (5.87) ser definida de maneira similar ao problema original, o

domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a ≤ x ≤ b ≤ 1, onde a ≤ x ≤ b é o domínio

do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. Assim, difer-

entes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e comparados,

conforme descrito abaixo:


• Caso 1: Ω(0) =Ω(1) = 0.

Ωi (x) = p2 sin(γi x), γi = nπ, n = 1,2, . . . (5.91)

• Caso 2: Ω′(0) =Ω(1) = 0.

Ωi (x) = p2 cos(γi x), γi = (n −1/2)π, n = 1,2, . . . (5.92)

• Caso 3: Ω(0) =Ω′(1) = 0.

Ωi (x) = p2 sin(γi x), γi = (n −1/2)π, n = 1,2, . . . (5.93)

Neste ponto é interessante observar que, diferentemente da análise da metodologia

proposta na solução de problemas de autovalor unidimensionais generalizado, o caso

4, onde o contorno em ambos os lados são considerados do segundo tipo (Neumann),

não é considerado.

No caso dos coeficientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29), independente

do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:

Bi , j =∫ b

aΩ j Ωi dx, (5.94)

Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.95)

Di , j = 0, (5.96)

Já o coeficiente Si , j , dado pela equação (3.50), varia de acordo com o tipo de con-

torno escolhido para o problema teste. Desta forma, para os problemas teste 5 e 7, o

coeficiente pode ser escrito como:

Si , j =[

(Ω′j −Ω j )Ωi

]x=b

x=a. (5.97)


Já para o problema teste 6, o coeficiente Si , j pode ser escrito como:

Si , j =[

(Ω′j −Ω j )Ω′

i

]x=b

−[


]x=a

. (5.98)

Quando levado em conta o contorno do problema de autofunção auxiliar normalizado,

os coeficientes (3.27, 3.28, 3.29 e 3.50) são simplificados novamente. No caso do

problema teste 5 e 7, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1). Já no

caso do problema teste 6, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1).

5.2.2 Problema em coordenadas cilíndricas

O problema de difusão unidimensional simplificado na forma cilíndrica, pode ser es-

crito como:

∂T (r, t∗)

∂t∗= ∂

∂r

(r∂T (r, t∗)

∂r

), para ra ≤ r ≤ rb , (5.99)

Onde t∗ = t α. Este problema é facilmente obtido fazendo as seguintes transformações

na equação do problema da difusão unidimensional generalizado (3.1) na forma carte-

siana:

w(x) = r k(x) = r x 7→ r (5.100)

d(x) = 0 P (x, t ) = 0 σ(t ) = 0 (5.101)

Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e esta pode ser escrita como:

T (r, t∗) =∞∑

n=1

(∫ rbra

r f (r )Ψn(r ) dr)

N (µn)exp

(−µ2n t∗

)Ψn(r ). (5.102)


Assim, o problema de autovalor correspondente é escrito como:

d

dr

(r

dΨ(r )

dx

)+ µ2 rΨ(r ) = 0, para ra ≤ x ≤ rb , (5.103)

BΨ(r ) = 0, para r = ra , (5.104)

BΨ(r ) = 0, para r = rb , (5.105)

onde o operador B é definido como:

B∗ ≡(α(r ) + β(r )r

d

dr

). (5.106)

Sendo que o operador de contorno é descrito na equação (2.4). Similarmente ao prob-

lema cartesiano, uma vez conhecido as condições de contorno, o problema é resolvido

facilmente. Desta forma, serão apresentados dois problemas testes que compreendem

duas combinações de contorno diferente, definidos como:


T (rb , t∗) = φ(rb , t∗) = 0, para r = rb , (5.107)

T (r,0) = 1, para 0 ≤ r ≤ rb , (5.108)

Sendo que os problemas testes foram definidos considerando a condição de contorno

no centro do cilindro como: ∣∣T (0, t∗)∣∣<∞ (5.109)

que implica que o potencial T no raio zero não pode ser infinito. Assim, as autofunções

(Ψn(r )) e norma (N (µn)) para os problemas teste 8, pode ser escrito como:

Ψn(r ) = J0(µn r ) (5.110)

N (µn) = 1

2r 2 (

J0(µn r )+ J1(µn r ))

(5.111)


Onde Jν(µn r ) é a função de Bessel de ordem ν de primeiro tipo [34]. Os autovalores

µn são obtidos pela solução da seguinte equação:

J0(µn rb) = 0. (5.112)


autofunções auxiliares normalizado e similar ao problema original é escolhido:

r Ω∗′′(r ) +Ω∗′(r ) + γ2 r Ω∗(r ) = 0, para 0 ≤ r ≤ 1, (5.113)

B∗Ω∗(r ) = 0, para r = 0, (5.114)

B∗Ω∗(r ) = 0, para r = 1, (5.115)


B∗ ≡(α∗(r ) + β∗(r )r

d

dr

). (5.116)


domínio é definido de modo a obter 0 ≤ ra ≤ r ≤ rb ≤ 1, onde ra ≤ r ≤ rb é o

domínio do problema original e 0 ≤ r ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. No

caso particular para r = 0 a condição de contorno nas coordenadas cilíndricas deve ser:

|Ω∗(0)| < ∞ (5.117)

Assim, um caso de condições de contorno para Ω∗i (r ) é apresentado:

• Caso 1: Ω∗(1) = 0.

Ω∗i (r ) = Jo(γi r )√

N (γi )Jo(γi ) = 0, i = 1,2, . . . (5.118)


Independente do tipo de condição de contorno utilizado nos problemas teste, os coefi-

cientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29) são simplificados, fornecendo:

Bi , j =∫ rb

0r Ω j (r )Ωi (r ) dr (5.119)

Ai , j = −γ2j Bi , j (5.120)

Di , j = 0, (5.121)

Assim, quando considerado o caso teste, os coeficientes da matriz Bi , j e Si , j podem

ser reescritas como:

Bi , j = 1

N (γi )

∫ rb

0r J0(γi r ) J0(γ j r ) dr, (5.122)

Si , j = (J ′0(γ j rb) − J0(γ j rb))J0(γi rb) − (J ′0(γ j ra) − J0(γ j ra))J0(γi ra) (5.123)

Si ,i = (J ′0(γi rb) − J0(γi rb))J0(γi rb) − (J ′0(γi ra) − J0(γi ra))J0(γi ra) (5.124)

Si ,0 = 0 (5.125)

S0, j = (J ′0(γ j rb) − J0(γ j rb)) − (J ′0(γ j ra) − J0(γ j ra)) (5.126)

S0,0 = 0 (5.127)

5.3 Solução de problemas de autovalor em domínio móvel

5.3.1 Definição do problema teste

De maneira a ilustrar a presente metodologia, uma versão simplificada do problema de

autovalor unidimensional com domínio em movimento generalizado, aqui chamado de


problema teste 9, é considerado:

∂2

∂x2Ψn(x, t ) + µ2

nΨn(x, t ) = 0 para a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (5.128)

Ψ(a(t ), t ) = 0 para x = a(t ), (5.129)

Ψ(b(t ), t ) = 0 para x = b(t ), (5.130)

A solução deste problema é analítica e é escrita da seguinte forma:

Ψn(x, t ) = sin(µn (x − a(t ))), (5.131)

µn = nπ

b(t ) − a(t ). (5.132)


autofunções auxiliares normalizadas e similar ao problema original é escolhido:

Ω′′(x) + γ2Ω(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.133)

B∗Ω = 0, para x = 0, (5.134)

B∗Ω = 0, para x = 1, (5.135)


B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)

d

dx

). (5.136)


domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a(t ) ≤ x ≤ b(t ) ≤ 1, onde a(t ) ≤ x ≤ b(t )

é o domínio do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente.

Assim, diferentes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e

comparados, conforme descrito abaixo:

• Caso 1: Ω∗(0) =Ω∗(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 sin(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.137)


• Caso 2: Ω∗′(0) =Ω∗(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 cos(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.138)

• Caso 3: Ω∗(0) =Ω∗′(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 sin(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.139)

• Caso 4: Ω∗′(0) =Ω∗′(1) = 0.

Ω∗i (x) = p

2 cos(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.140)

Ωi (x) = 1, γi = 0, (para n = 0) (5.141)

No caso dos coeficientes dados pelas equações (4.14), (4.15), (4.16) e (4.17), indepen-

dente do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:

Bi , j =∫ b(t )

a(t )Ω j Ωi dx, (5.142)

Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.143)

Di , j = 0, (5.144)

Si , j =[


]x=b

x=a. (5.145)

Para o casos teste selecionado, cada um dos casos selecionados irão produzir valores

diferentes para os coeficientes de Bi , j , como descrito abaixo:

• Casos 1 e 3:

Bi , j = 2∫ b(t )

a(t )sin(γi x) sin(γ j x) dx (5.146)

Bi ,i = 2∫ b(t )

a(t )sin2(γi x) dx (5.147)


• Casos 2 e 4:

Bi , j = 2∫ b(t )

a(t )cos(γi x) cos(γ j x) dx (5.148)

Bi ,i = 2∫ b(t )

a(t )cos2(γi x) dx (5.149)

Bi ,0 = 2∫ b(t )

a(t )cos(γi x) dx (5.150)

B0, j = 2∫ b(t )

a(t )cos(γ j x) dx (5.151)

B0,0 = (b(t ) − a(t )). (5.152)

Assim, o mesmo ocorre com os coeficientes da matriz Si , j , como descrito abaixo:

• Casos 1 e 3:

Si , j = 2γ j (sin(γi b(t ))cos(γ j b(t )) − sin(γi a(t ))cos(γ j a(t )))+

− 2(sin(γ j b(t )) sin(γi b(t )) − sin(γ j a(t )) sin(γi a(t ))) (5.153)

Si ,i = 2γi (sin(γi b)cos(γi b)+

− sin(γi a(t ))cos(γi a(t ))) − 2(sin(γi b)2 − sin(γi a(t ))2) (5.154)

• Casos 2 e 4:

Si , j = −2γ j (cos(γi b(t ))sin(γ j b(t )) − cos(γi a(t ))sin(γ j a(t )))+

− 2(cos(γi b(t )) cos(γ j b(t )) − cos(γi a(t )) cos(γ j a(t ))) (5.155)

Si ,i = −2γi (cos(γi b(t ))sin(γi b(t ))+

− cos(γi a(t ))sin(γi a(t ))) − 2(cos(γi b(t ))2 − cos(γi a(t ))2) (5.156)


Si ,0 = −2(cos(γi b(t )) − cos(γi a(t ))) (5.157)

S0, j = −2γ j (sin(γ j b(t )) − sin(γ j a(t ))) − 2(cos(γi b(t )) − cos(γi a(t )))

(5.158)

S0,0 = 0 (5.159)

Assim, foram apresentados os problemas testes e casos testes para todas as soluções

apresentadas nos capítulos anteriores, exceto para o caso do problema de difusão

unidimensional com o domínio móvel. Desta forma, soluções para todos os proble-

mas aqui apresentados foram implementadas no ambiente de desenvolvimento Mathe-

matica [16] utilizando computação simbólica e numéricas e os resultados produzidos

foram analisados e comparados, como apresentado no capítulo seguinte.

Capítulo 6

Resultados e discussão

A solução de problemas de autovalor unidimensionais e difusão unidimensionais pela

TDE, apresentada nos capítulos anteriores, foi implementada no programa Mathemat-

ica [16] e é agora apresentada. Assim, de modo a obter uma melhor compreensão dos

resultados, a análise foi realizada levando em conta duas fases: a primeira teve como

objetivo analisar a convergência dos resultados e a segunda, teve como objetivo, uma

análise comparativa entre os problemas testes e os casos selecionados.

Para isso, serão apresentados as seguintes variáveis: A ordem de truncamento, a

precisão de trabalho e o domínio do problema. A ordem de truncamento, aqui repre-

sentada como imax é o numero de autovalores e autovetores utilizado no cálculo da

solução. Já a precisão de trabalho, aqui representada como WP (WorkingPrecision1)

é o número de dígitos decimais usado nos computadores na realização dos cálculos

matemáticos. É sabido que a precisão padrão dos computadores é de aproximadamente

dezesseis casa decimais (para representação em ponto flutuante com 16 bits), entre-

tanto, nem sempre essa precisão foi o suficiente para obter um resultado satisfatório.

Por último, o domínio do problema original é variado para se obter basicamente dois

casos: um domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9) e um

domínio envolvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75). Ainda, devido às

1 Esta variável é definida no Mathematica controlando o número de dígitos decimais utilizados emoperações aritméticas computacional.

60

6. Resultados e discussão 61

características de cada problema estudado, novas variáveis serão definidas e analisadas

e, se for o caso, comparadas.

6.1 Problema de autovalor

Os resultados do problema de autovalor unidimensional serão apresentados na forma

de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calculados e comparados

com a solução exata, obtidas pela equação (5.10) e (5.12), para diferentes ordens de

truncamento (imax) e diferentes valores de precisão (WorkingPrecision – WP).

As Tabelas 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4 apresentam resultados calculados para os casos 1,2,3

e 4, respectivamente, usando o contorno como: a = 0.25 e b = 0.75. Como pode ser

observado, os primeiros autovalores convergem mais rápido que os últimos. Ainda,

é observado que com o aumento da ordem de truncamento, a precisão requerida tam-

bém é aumentada. Portanto, é observada uma convergência com ambas as ordens de

truncamento e precisão.

Em seguida, as tabelas 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam resultados dos cálculos para os

mesmos quatro casos, sendo a = 0.1 e b = 0.9. Analisando esses resultados novamente,

observa-se que para garantir a convergência de grandes ordens de truncamento, uma

maior precisão numérica é requerida. Ainda, conforme a tabela anterior, os primeiros

autovalores convergem mais rápidos que os últimos.

Comparando a taxa de convergência resultante dos quatro problemas teste, é obser-

vado que todos os casos apresentam o mesmo comportamento com respeito à ordem de

truncamento. Entretanto, diferentes valores de precisão são requeridos para cada caso.

Para a = 0.25 e b = 0.75, o caso 4 apresenta a pior taxa de convergência com respeito à

precisão. Isso pode ser visto uma vez que para 40 autovalores calculados, é necessário

uma precisão numérica de cinqüenta casas decimais para obter a convergência dos dez

primeiros autovalores. Já o caso 1, possuiu uma taxa de convergência ruim, entretanto

um pouco melhor que o caso 4. Os casos 2 e 3 apresentam taxas de convergência

similares com respeito à precisão, com o caso 2 tendo a melhor performance.

Repetindo a analise para a = 0.1 e b = 0.9, é observado que menor disparidade


entre os casos, entretanto, pode ser observado que o caso 4, novamente, é a pior opção.

Além disso, comparando os resultados dos dois diferentes domínios (dados por a e b)

é observado que o domínio com a = 0.25 e b = 0.75 necessita de maiores valores de

precisão para se obter a convergência. Isso sugere que usando o domínio envolvente

próximo do domínio do problema real pode levar a uma melhor convergência.

O caso com o domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9)

apresenta uma taxa de convergência que pode ser separada em duas partes. A primeira

é utilizando uma ordem de truncamento baixa, isto é, para imax ≤ 25. Neste caso,

mesmo com uma precisão de vinte casas decimais, não é possível verificar uma con-

vergência para o primeiro autovalor . Agora, analisando uma ordem de truncamento

alta, isto é imax ≥ 25, pode-se observar que a precisão necessária para obter a con-

vergência dos dez primeiros autovalores é baixa (W P = 20) quando comparada com o

caso do domínio envolvente longe do domínio original. Já o caso com o domínio en-

volvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75) é exatamente o contrário do

discorrido acima. Para pequenas ordens de truncamento é possível observar uma con-

vergência relativamente boa para os primeiros autovalores, sendo que utilizando uma

precisão maior. Tal comportamento pode ser observado nas tabelas 6.9, 6.10, onde são

apresentado os erros para dos primeiros dez autovalores, usando o contorno original

afastado do domínio envolvente (a = 0.25 e b = 0.75) e o contorno original próximo

ao domínio envolvente (a = 0.1 e b = 0.9), respectivamente. Portanto, esses dados

sugerem que para um dado problema, uma análise qualitativa pode ser feita com um

pequeno custo computacional se utilizado um domínio envolvente longe do domínio

original. Já no caso de uma analise quantitativa, os dados sugerem que se utilizando

um domínio envolvente próximo ao domínio original obtém-se melhores resultados.

Para os problemas teste 2,3 e 4, que foram definidos anteriormente, não foram

observados grandes discrepâncias ao observado para o problema teste 1, de modo que

não é possível determinar se um problema teste é melhor que outro ou se um caso teste

é sempre melhor que outro, independentemente do problema teste escolhido. Assim,

os resultados desses problemas testes estão apresentados no apêndice A.


Tab.

6.1:

Prob

lem

ate

ste

1-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

1co

ma=

0.25

eb=

0.75

.i m

ax

WP

µ1

µ2

µ3

µ4

µ5

µ6

µ7

µ8

µ9

µ10

1010

45.1

740

157.

914

430.

263

631.

655

791.

499

1428

.35

1870

.17

4131

.51

-102

14.8

-173

95.1

1015

39.4

785

157.

914

355.

307

631.

655

987.

775

1427

.89

2838

.00

4131

.72

-112

82.8

-174

10.3

1020

39.4

785

157.

914

355.

307

631.

655

987.

775

1427

.89

2838

.00

4131

.72

-112

82.8

-174

10.3

1510

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

1515

146.

278

157.

914

399.

829

631.

655

752.

438

1177

.78

1421

.22

1558

.95

2217

.67

2527

.55

1520

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

960

1421

.22

1934

.44

2527

.36

3201

.50

4257

.65

2010

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

0.00

000

2015

157.

914

631.

655

1421

.22

2526

.62

3947

.84

−3.7×1

06−3

.2×1

07−7

.8×1

071.

4×10

84.

4×10

8

2020

39.4

784

157.

914

355.

306

526.

473

631.

655

986.

961

1421

.22

1905

.14

1934

.44

2526

.62

2520

21.0

530

157.

914

171.

012

631.

655

794.

453

1278

.33

1421

.22

1752

.42

Com

plex

oC

ompl

exo

2525

15.5

066

141.

347

157.

914

592.

704

631.

655

1103

.34

1421

.22

1622

.11

2200

.33

2526

.62

2530

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

960

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

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4


Tab.

6.2:

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1934

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97.7

539

47.8

4


Tab.

6.3:

Prob

lem

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4


Tab.

6.4:

Prob

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4


Tab.

6.5:

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443.

473

614.

086

825.

124

1033

.09

1294

.16

1555

.43

4015

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

4020

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

Exa

to15

.421

361

.685

013

8.79

124

6.74

038

5.53

155

5.16

575

5.64

298

6.96

012

49.1

215

42.1

3


Tab.

6.7:

Prob

lem

ate

ste

1-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

3co

ma=

0.1

eb=

0.9.

i ma

xW

Pµ

1µ

2µ

3µ

4µ

5µ

6µ

7µ

8µ

9µ

10

1010

16.6

794

65.0

525

-126

.964

144.

706

253.

481

391.

582

562.

552

759.

530

1095

.61

-231

8.00

1015

16.6

794

65.0

525

-126

.964

144.

706

253.

481

391.

582

562.

552

759.

529

1095

.61

-231

8.00

1020

16.6

794

65.0

525

-126

.964

144.

706

253.

481

391.

582

562.

552

759.

529

1095

.61

-231

8.00

1510

15.4

359

61.7

448

138.

899

246.

896

385.

712

555.

287

755.

760

987.

037

1249

.33

1544

.57

1515

15.4

359

61.7

448

138.

899

246.

896

385.

712

555.

287

755.

760

987.

037

1249

.33

1544

.57

1520

15.4

359

61.7

448

138.

899

246.

896

385.

712

555.

287

755.

760

987.

037

1249

.33

1544

.57

2010

15.4

219

61.6

871

138.

795

246.

746

385.

538

555.

170

755.

642

986.

962

1249

.13

1542

.14

2015

15.4

219

61.6

871

138.

795

246.

746

385.

537

555.

170

755.

643

986.

961

1249

.13

1542

.14

2020

15.4

219

61.6

871

138.

795

246.

746

385.

537

555.

170

755.

643

986.

961

1249

.13

1542

.14

2510

15.4

213

61.6

851

138.

791

246.

740

385.

532

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

2515

15.4

213

61.6

851

138.

791

246.

740

385.

532

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

2520

15.4

213

61.6

851

138.

791

246.

740

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532

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165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

3010

15.4

211

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

534

555.

169

755.

653

986.

954

1249

.11

1542

.13

3015

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

3020

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

3510

50.4

850

108.

667

212.

020

314.

495

477.

974

625.

538

844.

625

1043

.61

1308

.47

1568

.95

3515

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

3520

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

4010

51.0

338

122.

389

Com

plex

oC

ompl

exo

443.

479

614.

080

825.

128

1033

.08

1294

.16

1555

.43

4015

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

4020

15.4

213

61.6

850

138.

791

246.

740

385.

531

555.

165

755.

642

986.

960

1249

.12

1542

.13

Exa

to15

.421

361

.685

013

8.79

124

6.74

038

5.53

155

5.16

575

5.64

298

6.96

012

49.1

215

42.1

3


Tab.

6.8:

Prob

lem

ate

ste

1-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

4co

ma=

0.1

eb=

0.9.

i ma

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Pµ

1µ

2µ

3µ

4µ

5µ

6µ

7µ

8µ

9µ

10

1010

15.4

422

61.7

092

138.

838

246.

7438

5.84

755

6.31

179

4.98

310

72.0

8-1

559.

16-2

388.

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1515

.442

261

.709

213

8.83

824

6.74

385.

847

556.

311

794.

983

1072

.08

-155

9.16

-238

8.64

1020

15.4

422

61.7

092

138.

838

246.

7438

5.84

755

6.31

179

4.98

310

72.0

8-1

559.

16-2

388.

6415

1015

.421

461

.694

413

8.79

224

6.74

385.

533

555.

201

755.

687

987.

295

1249

.41

1543

.94

1515

15.4

214

61.6

8613

8.79

224

6.74

385.

533

555.

194

755.

688

987.

293

1249

.41

1543

.94

1520

15.4

214

61.6

8613

8.79

224

6.74

385.

533

555.

194

755.

688

987.

293

1249

.41

1543

.94

2010

13.1

034

61.6

838

145.

534

246.

7439

0.38

655

5.17

758.

952

986.

963

1250

.615

41.9

320

1515

.421

361

.685

138.

791

246.

7438

5.53

255

5.16

575

5.64

398

6.96

212

49.1

315

42.1

320

2015

.421

361

.685

138.

791

246.

7438

5.53

255

5.16

575

5.64

398

6.96

212

49.1

315

42.1

325

1062

.926

66.5

679

246.

7430

2.31

355

4.05

461

1.35

898

6.57

610

12.9

315

13.1

1535

.59

2515

15.4

213

61.6

8513

8.79

124

6.74

385.

531

555.

165

755.

642

986.

961

1249

.12

1542

.13

2520

15.4

213

61.6

8513

8.79

124

6.74

385.

531

555.

165

755.

642

986.

961

1249

.12

1542

.13

3010

——

——

——

——

——

3015

15.4

213

61.6

847

138.

791

246.

7438

5.53

155

5.16

575

5.64

298

6.96

1249

.12

1542

.13

3020

15.4

213

61.6

8513

8.79

124

6.74

385.

531

555.

165

755.

642

986.

9612

49.1

215

42.1

335

100.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

035

1515

.421

113

8.78

924

6.74

246.

872

385.

532

675.

772

755.

641

1089

.42

1249

.12

1585

.22

3520

15.4

213

61.6

8513

8.79

124

6.74

385.

531

555.

165

755.

642

986.

9612

49.1

215

42.1

340

100.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

00.

0000

040

1513

.666

761

.864

246.

7428

1.68

555.

2260

5.14

898

6.93

610

04.0

515

04.5

315

42.2

4020

15.4

213

61.6

8513

8.79

224

6.74

385.

531

555.

165

755.

642

986.

9612

49.1

215

42.1

340

2515

.421

361

.685

138.

791

246.

7438

5.53

155

5.16

575

5.64

298

6.96

1249

.12

1542

.13

Exa

to15

.421

361

.685

138.

791

246.

7438

5.53

155

5.16

575

5.64

298

6.96

1249

.12

1542

.13


Tab. 6.9: Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75.imax WP µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10

Caso 1 Com a = 0.25 a b = 0.75.10 10 14.42 0 21.09 0 19.8 0.5 3.32 63.51 419.43 540.6210 15 0 0 0 0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.10 20 0 0 0 0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.15 20 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8415 25 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8415 30 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8420 20 0 0 0 16.63 36. 30.55 26.53 24.6 39.5 36.20 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tab. 6.10: Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9.imax WP µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10

Caso 1 Com a = 0.1 a b = 0.9.10 10 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3510 15 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3510 20 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3515 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.2 Problema de difusão em coordenadas cartesianas

A temperatura calculada utilizando a Técnica do Domínio Envolvente é apresentada

em tabelas e comparado com a solução exata, obtida da equação (3.27). O resultado

foi calculado para diferentes ordens de truncamento (imax) e números de dígitos uti-

lizados nos cálculos (WP). Foram ainda utilizado três diferentes valores para o t∗, de

modo a simular as situações de equilíbrio e de regime transiente. Entretanto, o erro

nos autovalores calculados e seus autovetores associados é significativamente maior

para os dois últimos autovalores. Portanto, quando a matriz exponencial é avaliada,

os últimos dois autovalores (e seus autovetores associados) precisam ser descartados.

Quando isso não é feito, o erro é amplificado pelas exponenciais. Portanto, um uma


ordem de truncamento pequena foi usada no cálculo da solução final (envolvendo o

calculo da matriz exponencial), chamado de id . Essas duas ordens de truncamento

diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (imax) e a

ordem de truncamento do problema de difusão (id ).

As tabelas 6.11, 6.12 e 6.13 apresentam os resultados para os casos 1 e 2 do prob-

lema teste 5, usando a = 0.25, b = 0.75 e x = 0.5, sendo que t∗ = 1, t∗ = 0.01 e

t∗ = 10−4 para as tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, respectivamente. Como pode ser observado,

para todas as tabelas, o caso 1 precisa de um número de dígitos de precisão (WP) maior

ou igual que a ordem de truncamento, para obter o potencial de temperatura. Esse fato,

porém, não se mantém quando considerado o caso 2 sugerindo, então, que o este pos-

sui uma melhor convergência que o caso 1. Já nas tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, a mesma

análise feita nas tabelas citadas anteriormente é realizada, porém somente o caso 3 é

representado. Como pode ser observado, em relação à taxa de convergência, o caso 3

possui um comportamento similar ao caso 2.

As tabelas 6.17, 6.20, 6.18, 6.21, 6.19 e 6.22 apresentam os resultados para os

casos 1, 2 e 3, usando a = 0.1, b = 0.9 e x = 0.5, sendo que t∗ = 1 para as tabelas

6.17 e 6.20, t∗ = 0.01 para as tabelas 6.18 e 6.21 e t∗ = 10−4 para as tabelas 6.19 e

6.22. Como pode ser observado, a taxa de convergência para todos os casos são muito

semelhantes, sugerindo, então, que o tipo de caso escolhido não interfere na solução

quando considerado o contorno original próximo ao contorno do domínio envolvente.

Para todos os casos e tipos de contorno analisados ate agora, quando comparado

a variação da variável t∗, como esperado, para valores pequenos, isto é, em regime

transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t∗, isto é, em regime regime

permanente, a solução se comporta de maneira melhor. Os resultados obtidos estão

de acordo com os observados no item anterior, onde a solução com um domínio de

envolve o problema é próximo ao domínio do problema original, apresenta melhor

taxa de convergência.

As tabelas 6.23 e B.9, apresentam os resultados para os casos 1, 2 e 3 do problema

teste 6, usando a = 0.25, b = 0.75, x = 0.5 e t∗ = 1. Como pode ser observados, o prob-


lema teste 6 apresenta o mesmo comportamento apresentado pelo problema teste 5,

exceto na taxa de convergência do caso 1, que agora, é superior ao caso 2 e 3. Este fato

sugere que para o cada tipo de problema teste existe um caso de condições de contorno

que oferece uma taxa de convergência ótima. Desta forma, como o comportamento do

problema teste 6 é similar ao problema teste 5, as demais tabelas referentes ao primeiro

estão apresentadas no apêndice B.

De forma análoga, as tabelas referentes ao problema teste 7, que apresenta um

comportamento idêntico ao apresentado pelo problema teste 5, estão apresentadas no

apêndice B.


Tab.

6.11

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

e2

com

x=0.

5,t∗

=1,

a=0.

25e

b=0.

75I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

2220

Com

plex

o9.

1551

8×10

−18

9.15

518×

10−1

89.

1551

8×10

−18

9.15

518×

10−1

89.

1551

8×10

−18

9.15

518×

10−1

8

2624

—9.

1424

6×10

−18

9.14

246×

10−1

89.

1424

6×10

−18

9.14

246×

10−1

89.

1424

6×10

−18

9.14

246×

10−1

8

3028

—C

ompl

exo

9.13

473×

10−1

89.

1347

3×10

−18

9.13

473×

10−1

89.

1347

3×10

−18

9.13

473×

10−1

8

3432

—C

ompl

exo

9.12

969×

10−1

89.

1296

9×10

−18

9.12

969×

10−1

89.

1296

9×10

−18

9.12

969×

10−1

8

3836

——

1.78

×1014

3059

49.

1262

0×10

−18

9.12

620×

10−1

89.

1262

0×10

−18

9.12

620×

10−1

8

4240

——

Com

plex

o9.

1231

0×10

−18

9.12

369×

10‘−

189.

1236

9×10

−18

9.12

369×

10−1

8

4644

——

—C

ompl

exo

9.12

183×

10−1

89.

1218

3×10

−18

9.12

183×

10−1

8

5048

——

——

9.12

041×

10−1

89.

1204

1×10

−18

9.12

0411

0−18

5452

——

——

Com

plex

o9.

1193

0×10

−18

9.11

930×

10−1

8

5856

——

——

—C

ompl

exo

9.11

841×

10−1

8

6260

——

——

—C

ompl

exo

9.11

769×

10−1

8

Cas

o2

2220

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

8

2624

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

8

3028

—9.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

89.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

89.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

8

3432

—9.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

89.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

89.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

8

3836

—9.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

89.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

89.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

8

4240

——

Com

plex

o9.

1238

8×10

−18

9.12

388×

10−1

89.

1238

8×10

−18

9.12

388×

10−1

8

4644

——

Com

plex

o9.

1219

7×10

−18

9.12

197×

10−1

89.

1219

7×10

−18

9.12

197×

10−1

8

5048

——

Com

plex

o9.

1205

2×10

−18

9.12

052×

10−1

89.

1205

2×10

−18

9.12

052×

10−1

8

5452

——

—9.

1193

8×10

−18

9.11

938×

10−1

89.

1193

8×10

−18

9.11

938×

10−1

8

5856

——

—C

ompl

exo

9.11

848×

10−1

89.

1184

8×10

−18

9.11

848×

10−1

8

6260

——

——

9.11

775×

10−1

89.

1177

5×10

−18

9.11

775×

10−1

8

Sol.

Ana

lític

o9.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18


Tab.

6.12

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

e2

com

x=0.

5,t∗

=10

−2,a

=0.2

5e

b=0.

75I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

2220

Com

plex

o0.

8492

460.

8492

460.

8492

460.

8492

460.

8492

460.

8492

4626

24—

0.84

822

0.84

822

0.84

822

0.84

822

0.84

822

0.84

822

3028

—C

ompl

exo

0.84

7594

0.84

7594

0.84

7594

0.84

7594

0.84

7594

3432

—C

ompl

exo

0.84

7184

0.84

7184

0.84

7184

0.84

7184

0.84

7184

3836

——

6×10

1430

50.

8468

990.

8468

990.

8468

990.

8468

9942

40—

—C

ompl

exo

0.84

6693

0.84

6695

0.84

6695

0.84

6695

4644

——

Com

plex

oC

ompl

exo

Com

plex

o0.

8465

420.

8465

4250

48—

——

Com

plex

oC

ompl

exo

0.84

6426

0.84

6426

5452

——

——

Com

plex

o0.

8463

350.

8463

3558

56—

——

——

Com

plex

o0.

8462

6262

60—

——

——

Com

plex

o0.

8462

04C

aso

222

200.

8493

580.

8493

580.

8493

580.

8493

580.

8493

580.

8493

580.

8493

5826

240.

8482

870.

8482

870.

8482

870.

8482

870.

8482

870.

8482

870.

8482

8730

28—

0.84

7638

0.84

7638

0.84

7638

0.84

7638

0.84

7638

0.84

7638

3432

—0.

8472

130.

8472

130.

8472

130.

8472

130.

8472

130.

8472

1338

36—

0.84

692

0.84

692

0.84

692

0.84

692

0.84

692

0.84

692

4240

——

Com

plex

o0.

8467

10.

8467

10.

8467

10.

8467

146

44—

—C

ompl

exo

0.84

6554

0.84

6554

0.84

6554

0.84

6554

5048

——

Com

plex

o0.

8464

350.

8464

350.

8464

350.

8464

3554

52—

——

0.84

6342

0.84

6342

0.84

6342

0.84

6342

5856

——

—C

ompl

exo

0.84

6268

0.84

6268

0.84

6268

6260

——

—C

ompl

exo

0.84

6208

0.84

6208

0.84

6208

Sol.

Ana

lític

o0.

8458

0.84

580.

8458

0.84

580.

8458

0.84

580.

8458


Tab.

6.13

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

e2

com

x=0.

5,t∗

=10

−4,a

=0.2

5e

b=0.

75I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

2220

Com

plex

o0.

8224

590.

8224

590.

8224

590.

8224

590.

8224

590.

8224

5926

24—

0.61

0171

0.61

0171

0.61

0171

0.61

0171

0.61

0171

0.61

0171

3028

—C

ompl

exo

1.30

226

1.30

226

1.30

226

1.30

226

1.30

226

3432

—C

ompl

exo

1.50

113

1.50

113

1.50

113

1.50

113

1.50

113

3836

——

8×10

142

0.47

731

0.47

731

0.47

731

0.47

731

4240

——

Com

plex

o0.

6211

350.

6207

250.

6207

250.

6207

2546

44—

—C

ompl

exo

Com

plex

oC

ompl

exo

1.76

757

1.76

757

5048

——

—C

ompl

exo

Com

plex

o0.

8783

310.

8783

3154

52—

——

—C

ompl

exo

0.42

5844

0.42

585

5856

——

——

Com

plex

oC

ompl

exo

1.51

656

6260

——

——

Com

plex

o1.

0048

1.00

491

Cas

o2

2220

0.83

5304

0.83

5304

0.83

5304

0.83

5304

0.83

5304

0.83

5304

0.83

5304

2624

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

3028

—1.

2858

31.

2858

31.

2858

31.

2858

31.

2858

31.

2858

334

32—

1.45

228

1.45

229

1.45

229

1.45

229

1.45

229

1.45

229

3836

—0.

5071

010.

5071

130.

5071

130.

5071

130.

5071

130.

5071

1342

40—

—C

ompl

exo

0.66

5836

0.66

5836

0.66

5836

0.66

5836

4644

——

Com

plex

o1.

7149

51.

7149

51.

7149

51.

7149

550

48—

—C

ompl

exo

0.86

6896

0.86

6897

0.86

6897

0.86

6897

5452

——

—0.

4769

160.

4769

130.

4769

130.

4769

1358

56—

——

Com

plex

o1.

4898

91.

4899

21.

4899

262

60—

——

Com

plex

o0.

9890

520.

9890

850.

9890

85So

l.A

nalít

ico

1.1.

1.1.

1.1.

1.


Tab.

6.14

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s3

com

x=0.

5,t∗

=1,

a=0.

25e

b=0.

75I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o3

2220

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

89.

1565

9×10

−18

9.15

659×

10−1

8

2624

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

89.

1432

9×10

−18

9.14

329×

10−1

8

3028

—9.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

89.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

89.

1352

7×10

−18

9.13

527×

10−1

8

3432

—9.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

89.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

89.

1300

5×10

−18

9.13

005×

10−1

8

3836

—9.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

89.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

89.

1264

6×10

−18

9.12

646×

10−1

8

4240

——

Com

plex

o9.

1238

8×10

−18

9.12

388×

10−1

89.

1238

8×10

−18

9.12

388×

10−1

8

4644

——

Com

plex

o9.

1219

7×10

−18

9.12

197×

10−1

89.

1219

7×10

−18

9.12

197×

10−1

8

5048

——

Com

plex

o9.

1205

2×10

−18

9.12

052×

10−1

89.

1205

2×10

−18

9.12

052×

10−1

8

5452

——

—9.

1193

8×10

−18

9.11

938×

10−1

89.

1193

8×10

−18

9.11

938×

10−1

8

5856

——

—9.

1184

8×10

−18

9.11

848×

10−1

89.

1184

8×10

−18

9.11

848×

10−1

8

6260

——

——

9.11

775×

10−1

89.

1177

5×10

−18

9.11

775×

10−1

8

Sol.

Ana

lític

o9.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18

9.11

279×

10−1

89.

1127

9×10

−18


Tab.

6.15

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s3

com

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b=0.

75I m

ax

I ma

xd

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WP=

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Cas

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9358

0.84

9358

0.84

9358

0.84

9358

0.84

9358

0.84

9358

0.84

9358

2624

0.84

8287

0.84

8287

0.84

8287

0.84

8287

0.84

8287

0.84

8287

0.84

8287

3028

—0.

8476

380.

8476

380.

8476

380.

8476

380.

8476

380.

8476

3834

32—

0.84

7213

0.84

7213

0.84

7213

0.84

7213

0.84

7213

0.84

7213

3836

—0.

8469

20.

8469

20.

8469

20.

8469

20.

8469

20.

8469

242

40—

—C

ompl

exo

0.84

671

0.84

671

0.84

671

0.84

671

4644

——

Com

plex

o0.

8465

540.

8465

540.

8465

540.

8465

5450

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—C

ompl

exo

0.84

6435

0.84

6435

0.84

6435

0.84

6435

5452

——

—0.

8463

420.

8463

420.

8463

420.

8463

4258

56—

——

0.84

6268

0.84

6268

0.84

6268

0.84

6268

6260

——

—C

ompl

exo

0.84

6208

0.84

6208

0.84

6208

Sol.

Ana

lític

o0.

8458

0.84

580.

8458

0.84

580.

8458

0.84

580.

8458


Tab.

6.16

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s3

com

x=0.

5,t∗

=10

−4,a

=0.2

5e

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75I m

ax

I ma

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P=20

WP=

30W

P=40

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Cas

o3

2220

0.83

5367

0.83

5367

0.83

5367

0.83

5367

0.83

5367

0.83

5367

0.83

5367

2624

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

0.64

8361

3028

—1.

2857

91.

2857

91.

2857

91.

2857

91.

2857

91.

2857

934

32—

1.45

229

1.45

229

1.45

229

1.45

229

1.45

229

1.45

229

3836

—0.

5070

870.

5071

330.

5071

330.

5071

330.

5071

330.

5071

3342

40—

—C

ompl

exo

0.66

5826

0.66

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0.66

5826

0.66

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——

Com

plex

o1.

7149

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7149

51.

7149

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—C

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0.86

6902

0.86

6902

0.86

6902

0.86

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—0.

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280.

4768

290.

4768

290.

4768

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——

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1.49

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1.49

058

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——

—C

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0.98

8555

0.98

8594

0.98

8594

Sol.

Ana

lític

o1.

1.1.

1.1.

1.1.


Tab.

6.17

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

e2

com

x=0.

5,t∗

=1,

a=0.

1e

b=0.

9I m

ax

I ma

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ifW

P=20

WP=

30W

P=40

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Cas

o1

2220

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2.56

167×

10−7

2624

2.55

978×

10−7

2.55

978×

10−7

2.55

978×

10−7

2.55

978×

10−7

2.55

978×

10−7

2.55

978×

10−7

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978×

10−7

3028

——

——

——

—34

322.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−72.

5578

8×10

−7

3836

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

2.55

743×

10−7

4240

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

2.55

713×

10−7

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2.55

690×

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2.55

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10−7

2.55

691×

10−7

2.55

691×

10−7

2.55

691×

10−7

2.55

691×

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5048

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10−7

——

——

——

5452

0.2.

5566

2×10

−72.

5566

2×10

−72.

5566

2×10

−72.

5566

2×10

−72.

5566

2×10

−72.

5566

2×10

−7

5856

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5565

2×10

−72.

5565

2×10

−72.

5565

2×10

−72.

5565

2×10

−72.

5565

2×10

−72.

5565

2×10

−7

6260

—2.

5564

4×10

−72.

5564

4×10

−72.

5564

4×10

−72.

5564

4×10

−72.

5564

4×10

−72.

5564

4×10

−7

Cas

o2

2220

2.56

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10−7

2.56

194×

10−7

2.56

194×

10−7

2.56

194×

10−7

2.56

194×

10−7

2.56

194×

10−7

2.56

194×

10−7

2624

-3.1

2171

×10−

8-3

.121

71×1

0−8

-3.1

2171

×10−

8-3

.121

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-3.1

2171

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-3.1

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×10−

8

3028

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

2.55

839×

10−7

3432

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

2.55

791×

10−7

3836

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

2.55

738×

10−7

4240

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

2.55

717×

10−7

4644

−1.0

7118

×10−

6−1

.071

18×1

0−6

−1.0

7118

×10−

6−1

.071

18×1

0−6

−1.0

7118

×10−

6−1

.071

18×1

0−6

−1.0

7118

×10−

6

5048

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

2.55

672×

10−7

5452

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

2.55

663×

10−7

5856

2.55

651×

10−7

2.55

651×

10−7

2.55

651×

10−7

2.55

651×

10−7

2.55

651×

10−7

2.55

651×

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2.55

651×

10−7

6260

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10−7

2.55

645×

10−7

2.55

645×

10−7

2.55

645×

10−7

2.55

645×

10−7

2.55

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10−7

2.55

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Sol.

Ana

lític

o2.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−72.

5558

9×10

−7


Tab.

6.18

:Pro

blem

ate

ste

5-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

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com

x=0.

5,t∗

=10

−2,a

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I ma

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9918

920.

9918

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9918

920.

9918

920.

9918

920.

9918

920.

9918

9226

240.

9912

240.

9912

240.

9912

240.

9912

240.

9912

240.

9912

240.

9912

2430

28—

——

——

——

3432

0.99

0866

0.99

0866

0.99

0866

0.99

0866

0.99

0866

0.99

0866

0.99

0866

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0808

0.99

0808

0.99

0808

0.99

0808

0.99

0808

0.99

0808

0.99

0808

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0.99

0774

0.99

0774

0.99

0774

0.99

0774

0.99

0774

0.99

0774

4644

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075

0.99

075

0.99

075

0.99

075

0.99

075

0.99

075

0.99

075

5048

0.99

0733

——

——

——

5452

4.53

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141×1

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072

0.99

072

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072

0.99

072

0.99

072

0.99

072

5856

0.0.

9907

10.

9907

10.

9907

10.

9907

10.

9907

10.

9907

162

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0.99

0701

0.99

0701

0.99

0701

0.99

0701

0.99

0701

0.99

0701

Cas

o2

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1714

0.99

1714

0.99

1714

0.99

1714

0.99

1714

0.99

1714

0.99

1714

2624

0.71

6275

0.71

6275

0.71

6275

0.71

6275

0.71

6275

0.71

6275

0.71

6275

3028

0.99

0939

0.99

0939

0.99

0939

0.99

0939

0.99

0939

0.99

0939

0.99

0939

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0.99

0864

0.99

0864

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0864

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30.

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1.


Tab.

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WP=

70W

P=80

Cas

o1

2220

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

0.00

0045

2043

2624

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

0.00

0045

4162

3028

—0.

0000

4557

10.

0000

4557

10.

0000

4557

10.

0000

4557

10.

0000

4557

10.

0000

4557

134

32—

0.00

0045

6891

0.00

0045

6891

0.00

0045

6891

0.00

0045

6891

0.00

0045

6891

0.00

0045

6891

3836

—0.

0000

4578

220.

0000

4578

220.

0000

4578

220.

0000

4578

220.

0000

4578

220.

0000

4578

2242

40—

—0.

0000

4585

740.

0000

4585

740.

0000

4585

740.

0000

4585

740.

0000

4585

7446

44—

—0.

0000

4591

950.

0000

4591

950.

0000

4591

950.

0000

4591

950.

0000

4591

9550

48—

—0.

0000

4597

160.

0000

4597

160.

0000

4597

160.

0000

4597

160.

0000

4597

1654

52—

—0.

0000

4601

590.

0000

4601

590.

0000

4601

590.

0000

4601

590.

0000

4601

5958

56—

——

0.00

0046

0541

0.00

0046

0541

0.00

0046

0541

0.00

0046

0541

6260

——

—0.

0000

4608

730.

0000

4608

730.

0000

4608

730.

0000

4608

73C

aso

222

200.

0000

4515

380.

0000

4515

380.

0000

4515

380.

0000

4515

380.

0000

4515

380.

0000

4515

380.

0000

4515

3826

246.

50×1

03773

9336

0.00

0045

3804

0.00

0045

3804

0.00

0045

3804

0.00

0045

3804

0.00

0045

3804

0.00

0045

3804

3028

—0.

0000

4554

440.

0000

4554

440.

0000

4554

440.

0000

4554

440.

0000

4554

440.

0000

4554

4434

32—

0.00

0045

6685

0.00

0045

6685

0.00

0045

6685

0.00

0045

6685

0.00

0045

6685

0.00

0045

6685

3836

—C

ompl

exo

0.00

0045

7657

0.00

0045

7657

0.00

0045

7657

0.00

0045

7657

0.00

0045

7657

4240

——

0.00

0045

8439

0.00

0045

8439

0.00

0045

8439

0.00

0045

8439

0.00

0045

8439

4644

——

0.00

0045

9083

0.00

0045

9083

0.00

0045

9083

0.00

0045

9083

0.00

0045

9083

5048

——

0.00

0045

9621

0.00

0045

9621

0.00

0045

9621

0.00

0045

9621

0.00

0045

9621

5452

——

—0.

0000

4600

780.

0000

4600

780.

0000

4600

780.

0000

4600

7858

56—

——

0.00

0046

047

0.00

0046

047

0.00

0046

047

0.00

0046

047

6260

——

—0.

0000

4608

120.

0000

4608

120.

0000

4608

120.

0000

4608

12So

l.A

nalít

ico

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672


Tab.

6.24

:Pro

blem

ate

ste

6-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s3

com

x=0.

5,t∗

=1,

a=0.

25e

b=0.

75I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o3

2220

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

0.00

0045

2588

2624

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

0.00

0045

4542

3028

—0.

0000

4559

910.

0000

4559

910.

0000

4559

910.

0000

4559

910.

0000

4559

910.

0000

4559

9134

32—

0.00

0045

7108

0.00

0045

7108

0.00

0045

7108

0.00

0045

7108

0.00

0045

7108

0.00

0045

7108

3836

—C

ompl

exo

0.00

0045

7994

0.00

0045

7994

0.00

0045

7994

0.00

0045

7994

0.00

0045

7994

4240

——

0.00

0045

8714

0.00

0045

8714

0.00

0045

8714

0.00

0045

8714

0.00

0045

8714

4644

——

0.00

0045

9311

0.00

0045

9311

0.00

0045

9311

0.00

0045

9311

0.00

0045

9311

5048

——

0.00

0045

9813

0.00

0045

9813

0.00

0045

9813

0.00

0045

9813

0.00

0045

9813

5452

——

—0.

0000

4602

420.

0000

4602

420.

0000

4602

420.

0000

4602

4258

56—

——

0.00

0046

0613

0.00

0046

0613

0.00

0046

0613

0.00

0046

0613

6260

——

—0.

0000

4609

360.

0000

4609

360.

0000

4609

360.

0000

4609

36So

l.A

nalít

ico

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672

0.00

0046

5672


6.3 Problema de difusão em coordenadas cilíndricas

A temperatura calculada pela solução do problema cilíndrico utilizando a Técnica

do Domínio Envolvente é apresentada em tabelas e comparado com a solução ex-

ata, obtida da equação (5.102). O resultado foi calculado para diferentes ordens de

truncamento (imax) e números de dígitos utilizados nos cálculos (WP). Foram ainda

utilizados três diferentes valores para o t∗, de modo a simular as situações de equilíbrio

e de regime transiente. Entretanto, as mesmas dificuldades quando ao erro nos auto-

valores calculados e seus autovetores associados são encontrados aqui . Portanto, um

uma ordem de truncamento menor foi usada no cálculo da solução final (envolvendo

o cálculo da matriz exponencial), chamado de id . Essas duas ordens de truncamento

diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (imax) e a

ordem de truncamento do problema de difusão (id ).

As tabelas 6.25, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando rb = 0.75

e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t∗ = 1, t∗ = 0.01 e a

segunda apresenta os valores para t∗ = 10−4. Como pode ser observado, somente foram

apresentados os resultados para trinta (30) termos. Os resultados com uma ordem de

truncamento maior resulta em um custo computacional elevado que impossibilitou a

geração de todos os dados.

As tabelas 6.27, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando rb = 0.9

e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t∗ = 1, t∗ = 0.01 e

a segunda apresenta os valores para t∗ = 10−4. Todas as observações feitas para as

tabelas anteriores são mantidas para estas tabelas. Entretanto, de um modo geral, a

convergência para o caso do domínio original próximo ao domínio envolvente é melhor

que o caso com o domínio original longe do domínio envolvente, o que vai de acordo

com o apresentado até agora.

Para o caso estudado e os tipos de contorno analisados ate agora, quando com-

parado a variação da variável t∗, como esperado, para valores pequenos, isto é, em

regime transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t∗, isto é, em regime

regime permanente, a solução se comporta de maneira melhor.


Tab.

6.25

:Pro

blem

ate

ste

8-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s1

com

r=

0.5,

r b=

0.75

,t∗=

1e

t∗=

10− 2

I ma

xI m

ax

dif

WP=

20W

P=30

WP=

40W

P=50

WP=

60W

P=70

WP=

80C

aso

1co

mt∗

=1

2220

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

0.00

0024

9565

2624

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

0.00

0024

9407

3028

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

0.00

0024

9309

Sol.

Ana

lític

o0.

0000

2490

130.

0000

2490

130.

0000

2490

130.

0000

2490

130.

0000

2490

130.

0000

2490

130.

0000

2490

13C

aso

1co

mt∗

=10

− 222

200.

9089

850.

9089

850.

9089

850.

9089

850.

9089

850.

9089

850.

9089

8526

240.

9078

80.

9078

80.

9078

80.

9078

80.

9078

80.

9078

80.

9078

830

280.

9071

830.

9071

830.

9071

830.

9071

830.

9071

830.

9071

830.

9071

83So

l.A

nalít

ico

0.90

5081

0.90

5081

0.90

5081

0.90

5081

0.90

5081

0.90

5081

0.90

5081


Tab.

6.26

:Pro

blem

ate

ste

8-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s1

com

r=

0.5,

r b=

0.75

et∗

=10

− 4I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

com

t∗=

10− 4

2220

1.03

606

1.03

606

1.03

606

1.03

606

1.03

606

1.03

606

1.03

606

2624

0.97

9155

0.97

9155

0.97

9155

0.97

9155

0.97

9155

0.97

9155

0.97

9155

3028

0.99

7958

0.99

7958

0.99

7958

0.99

7958

0.99

7958

0.99

7958

0.99

7958

Sol.

Ana

lític

o1.

0004

41.

0004

41.

0004

41.

0004

41.

0004

41.

0004

41.

0004

4


Tab.

6.27

:Pro

blem

ate

ste

8-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s1

com

r=

0.5,

r b=

0.9

,t∗=

1e

t∗=

10− 2

I ma

xI m

ax

dif

WP=

20W

P=30

WP=

40W

P=50

WP=

60W

P=70

WP=

80C

aso

1co

mt∗

=1

2220

0.00

0764

787

0.00

0764

787

0.00

0764

787

0.00

0764

787

0.00

0764

787

0.00

0764

787

0.00

0764

787

2624

0.00

0764

432

0.00

0764

432

0.00

0764

432

0.00

0764

432

0.00

0764

432

0.00

0764

432

0.00

0764

432

3028

0.00

0764

223

0.00

0764

223

0.00

0764

223

0.00

0764

223

0.00

0764

223

0.00

0764

223

0.00

0764

223

Sol.

Ana

lític

o0.

0007

6364

0.00

0763

640.

0007

6364

0.00

0763

640.

0007

6364

0.00

0763

640.

0007

6364

Cas

o1

com

t∗=

10− 2

2220

0.99

4746

0.99

4746

0.99

4746

0.99

4746

0.99

4746

0.99

4746

0.99

4746

2624

0.99

4225

0.99

4225

0.99

4225

0.99

4225

0.99

4225

0.99

4225

0.99

4225

3028

0.99

4024

0.99

4024

0.99

4024

0.99

4024

0.99

4024

0.99

4024

0.99

4024

Sol.

Ana

lític

o0.

9936

930.

9936

930.

9936

930.

9936

930.

9936

930.

9936

930.

9936

93


Tab.

6.28

:Pro

blem

ate

ste

8-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

rao

caso

s1

com

r=

0.5,

r b=

0.9

et∗

=10

− 4I m

ax

I ma

xd

ifW

P=20

WP=

30W

P=40

WP=

50W

P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

com

t∗=

10− 4

2220

0.99

0898

0.99

0898

0.99

0898

0.99

0898

0.99

0898

0.99

0898

0.99

0898

2624

1.00

383

1.00

383

1.00

383

1.00

383

1.00

383

1.00

383

1.00

383

3028

1.01

261.

0126

1.01

261.

0126

1.01

261.

0126

1.01

26So

l.A

nalít

ico

0.99

7915

0.99

7915

0.99

7915

0.99

7915

0.99

7915

0.99

7915

0.99

7915


6.4 Problema de autovalor com domínio móvel

Os resultados do problema de autovalor unidimensional com domínio móvel serão ap-

resentados na forma de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calcu-

lados e comparados com a solução exata, obtidas pela equação (5.131), para diferentes

ordens de truncamento (imax), diferentes valores de precisão (WP) e diferentes tempos.

As tabelas 6.29 e C.1 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando

o contorno como a(t ) = t e b(t ) = 1/2+ t , sendo que para a tabela 6.29 t = 0 e para

tabela C.1 t = 0.5. Deste modo, a diferença b(t )−a(t ) é constante para qualquer valor

utilizado no tempo. Assim, pode ser observado que os resultados encontrados estão

de acordo com o apresentado anteriormente na solução de problemas de autovalor

unidimensionais. A única diferença é o número de dígitos necessário para obter a

solução que, neste caso, aumentou significativamente. Tal fato reforça a idéia que o

tamanho do contorno em relação ao contorno envolvente afeta significativamente a

convergência da solução, mas a posição relativa deste contorno original em relação ao

contorno envolvente parece não afetar a taxa convergência.

As tabelas C.2 e 6.30 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando o

contorno como a(t ) = 0 e b(t ) = t , sendo que para a tabela C.2 t = 0.5 e para tabela 6.30

t = 0.9. Mais uma vez os resultados vão de acordo com o apresentado anteriormente,

sendo que no caso representado pela tabela 6.30, a convergência é melhor porque o

domínio original é próximo ao domínio envolvente. Assim, o leitor poderá consultar

as tabelas C.1 e C.2 no apêndice C.


Tab.

6.29

:Pro

blem

ate

ste

9-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

1co

ma

(t)=

t,b

(t)=

1/2+t

et=

0.i m

ax

WP

µ1

µ2

µ3

µ4

µ5

µ6

µ7

µ8

µ9

µ10

1020

39.4

784

131.

636

157.

914

355.

306

476.

232

631.

655

795.

375

986.

96C

ompl

exo

Com

plex

o10

2539

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.71

2003

.18

3518

.913

904.

2-7

0612

.410

3039

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.71

2003

.18

3518

.913

904.

2-7

0612

.415

200.

0.0.

0.0.

0.0.

0.0.

0.15

2539

.478

415

7.91

418

3.50

135

5.30

646

0.60

763

1.65

579

6.87

998

6.96

1189

.214

21.2

215

3039

.478

415

7.91

418

3.74

535

5.30

646

1.24

863

1.65

579

7.38

998

6.96

1189

.24

1421

.22

2040

19.7

992

39.4

784

157.

914

171.

2435

5.30

644

1.42

763

1.65

578

7.5

986.

9614

21.2

220

4539

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

2050

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

9614

21.2

219

34.4

425

26.6

231

97.7

539

47.8

425

5539

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

5C

ompl

exo

Com

plex

o98

6.96

1421

.22

Com

plex

oC

ompl

exo

2560

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

9614

21.2

219

34.4

425

26.6

231

97.7

539

47.8

425

6539

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

3065

39.4

784

148.

928

157.

914

355.

306

404.

346

631.

655

755.

604

986.

9611

78.6

714

21.2

230

7039

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

3075

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

9614

21.2

219

34.4

425

26.6

231

97.7

539

47.8

435

8039

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

5C

ompl

exo

Com

plex

o98

6.96

1421

.22

Com

plex

oC

ompl

exo

3585

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

9614

21.2

219

34.4

425

26.6

231

97.7

539

47.8

435

9039

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

4080

19.6

083

39.4

784

135.

703

157.

914

355.

306

384.

8863

1.65

572

3.83

398

6.96

1159

.07

4085

15.8

206

39.4

784

140.

806

157.

914

355.

306

382.

786

631.

655

726.

8998

6.96

1156

.27

4090

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

9614

21.2

219

34.4

425

26.6

231

97.7

539

47.8

4E

xato

39.4

784

157.

914

355.

306

631.

655

986.

960

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84


Tab.

6.30

:Pro

blem

ate

ste

9-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

1co

ma

(t)=

0,b

(t)=

te

t=

0.9.

i ma

xW

Pµ

1µ

2µ

3µ

4µ

5µ

6µ

7µ

8µ

9µ

10

1010

12.7

682

50.6

991

113.

078

-175

.67

199.

385

309.

384

443.

008

600.

2778

1.29

598

6.96

1015

12.7

682

50.6

991

113.

078

-175

.67

199.

385

309.

384

443.

008

600.

2778

1.29

598

6.96

1020

12.7

682

50.6

991

113.

078

-175

.67

199.

385

309.

384

443.

008

600.

2778

1.29

598

6.96

1510

12.1

933

48.7

712

109.

727

195.

052

304.

735

438.

764

597.

135

779.

855

986.

9612

18.5

615

1512

.193

348

.771

210

9.72

719

5.05

230

4.73

543

8.76

459

7.13

577

9.85

598

6.96

1218

.56

1520

12.1

933

48.7

712

109.

727

195.

052

304.

735

438.

764

597.

135

779.

855

986.

9612

18.5

620

1012

.185

48.7

401

109.

665

194.

959

304.

622

438.

653

597.

053

779.

822

986.

9612

18.4

720

1512

.185

48.7

401

109.

665

194.

959

304.

622

438.

653

597.

053

779.

822

986.

9612

18.4

720

2012

.185

48.7

401

109.

665

194.

959

304.

622

438.

653

597.

053

779.

822

986.

9612

18.4

725

1012

.184

748

.733

710

9.67

519

4.95

630

4.61

843

8.65

159

7.05

677

9.86

298

6.96

1218

.49

2515

12.1

847

48.7

388

109.

662

194.

955

304.

618

438.

649

597.

0577

9.82

198

6.96

1218

.47

2520

12.1

847

48.7

388

109.

662

194.

955

304.

618

438.

649

597.

0577

9.82

198

6.96

1218

.47

3010

12.7

972

43.7

462

104.

809

273.

938

397.

616

543.

737

717.

549

986.

9610

00.4

813

08.6

930

1512

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

730

2012

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

735

1047

6.47

398

6.96

1101

.44

1309

.517

79.7

120

27.7

929

76.7

732

14.0

433

56.8

733

82.5

335

1512

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

735

2012

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

740

100.

0.0.

0.0.

0.0.

0.0.

0.40

1512

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

740

2012

.184

748

.738

810

9.66

219

4.95

530

4.61

743

8.64

959

7.05

779.

821

986.

9612

18.4

7E

xato

12.1

847

48.7

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109.

662

194.

955

304.

617

438.

649

597.

0577

9.82

198

6.96

1218

.47

Capítulo 7

Conclusões

Neste trabalho foi apresentado uma rota alternativa para resolver problemas em domínios

irregulares. O método proprõe escrever o problema estudado na forma de uma expan-

são na base de um problema de autovalor auxiliar definido em um domínio que envolve

o domínio original. Esta metodologia é aqui chamada de Técnica do Domínio Envol-

vente (TDE).

Assim, foram apresentados a formulação da solução de problemas de autovalor

unidimensionais, problemas de difusão unidimensionais e problemas de autovalor e

difusão unidimensionais com domínio móvel. Em cada solução foi definido o prob-

lema geral estudado, a forma da solução analítica ou numérica associada, o par de

transformação proposto, a transformação do problema geral com base na metodologia

proposta e a análise dos coeficientes inerentes à transformação integral.

Com o objetivo de enriquecer a comparação dos resultados, uma série de proble-

mas testes e casos testes foram definidos como uma combinação única de condição de

contorno e condição inicial. Assim, tais problemas e casos foram implementados no

programa Mathematica [16] e foram apresentados na forma de tabelas e gráficos. Os

casos e problemas teste foram comparados com seus valores exatos conhecidos e uma

análise de convergência foi realizada. De modo geral, a taxa de convergência não só

depende da ordem de truncamento, mais também do número de casas decimais usado

no cálculo computacional (WP). Os resultados mostram, também, a tendência natu-

96

7. Conclusões 97

ral em que grandes autovalores ou potencias de temperatura requerem maior ordem

de precisão e de modo geral. Para todos os casos testados, e para ambos domínios, o

comportamento quanto a ordem de truncamento é o mesmo. Apesar disso, um compor-

tamento diferente foi observado quando a precisão (WP), para cada caso e problema

teste. De maneira geral, os resultados sugerem que para cada combinação de condição

de contorno do problema original há um contorno do problema auxiliar, sendo este

de tipo diferente do problema original, onde uma melhor precisão pode ser obtida. O

domínio no qual o contorno foi defino próximo ao contorno envolvente apresenta uma

melhor taxa de convergência com a precisão (WP). Também, as autofunções auxiliares

baseadas em condições de contorno mistas, isto é, condições de Dirichlet em uma das

pontas e Neumann na outra, apresentam melhores resultados no caso da solução do

problema de autovalor. No caso do problema de difusão com domínio móvel apesar da

solução ter sido formalmente apresentada a implementação foi comprometida pois a

função NDSolve do programa Mathematica [16] não foi capaz de resolver a equação.

Assim, uma extensão natural para este trabalho é utilizar uma rotina mais robusta de

solução de equações diferenciais ordinárias.

É importante observar que por esta metodologia ser nova, o teste de sua aplicabili-

dade no problema unidimensional se fez necessária antes de a mesma ser aplicada em

problemas multidimensionais. Assim, um extensão natural deste trabalho é estender

a metodologia a problemas multidimensionais. Ficou evidente também, ao lidar com

o problema em domínio móvel, que uma rotina mais robusta de solução de equações

diferenciais ordinárias é necessária.

Referências

[1] R. M. Cotta. Integral Transforms in Computational Heat and Fluid Flow. CRC

Press, Boca Raton, FL, 1993.

[2] R. M. Cotta e M. D. Mikhailov. Heat Conduction – Lumped Analysis, Integral

Transforms, Symbolic Computation. John Wiley & Sons, England, 1997.

[3] R. M. Cotta, editor. The Integral Transform Method in Thermal and Fluids Sci-

ence and Engineering. Begell House, Inc., New York, 1998.

[4] M. D. Mikhailov e M. N. Özisik. Unified Analysis and Solutions of Heat and

Mass Diffusion. John Wiley & Sons, New York, 1984.

[5] J. S. P. Guerrero e R. M. Cotta. Benkmark integral transform results for flow over

a backward-facing step. Computers and Fluids, 25(5):527–540, 1996.

[6] J. S. P. Guerrero e R. M. Cotta. Hybrid solution of the averaged navier-stokes

equations for turbulent flow. Computational Mechanics, 19:297–307, 1997.

[7] L. M. Pereira, J. S. P. Guerrero, e R. M. Cotta. Integral transformation of the

navier-stokes equations in cylindrical geometry. Computational Mechanics, 21:

60–70, 1998.

[8] E. Figueira da Silva J. S. Guerrero, , e R. M. Cotta. Integral transform solution

of boundary layer equations in stream function-only formulation. International

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[9] C. R. M. Maia, J. B. Aparecido, e L. F. Milanez. Heat transfer in laminar flow

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transform approach in chemically reacting non newtonian flows. Int. Comm. Heat

Mass Transfer, 29(5):601–610, 2002.

98

7. Conclusões 99

[11] C. Liu, J. E. Szecsody, J. M. Zachara, e W. P. Ball. Use of the generalized inte-

gral transform method for solving equations of solute transport in porous media.

Advances in Water Resources, 23:483–492, 2008.

[12] G. L. de Almeida, L. C. G. Pimentel, e R. M. Cotta. Integral transform solutions

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[13] T. H. Skaggs e J. S. P. Guerrero. Analytical solution for one dimensional advec-

tion dispersion transport equation with distance-dependent coefficients. Journal

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Heat and Fluid Flow, (4):299–303.

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(COBEM), Gramado, RS, Brazil, 2008.

[21] D. J. N. M. Chalhub e L. A. Sphaier. Analysis of finite volumes and integral trans-

form solutions for thermally developing non-newtonian fluid flow. In Proc. of the

3rd Southern Conference on Computational Modeling (3MCSUL), Rio Grande,

RS, Brazil, 2009.

[22] L. A. Sphaier, R. M. Cotta, C. P. Naveira Cotta, e J. N. N Quaresma. Unified

integral transform approach in the hybrid solution of multidimensional nonlinear

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Heat & Fluid Flow, 8:778–793, 1997.

[23] R. M. Cotta e R. Ramos. Integral transforms in the two-dimensional nonlinear

formulation of longitudinal fins with variable profile. International Journal of

Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 8(1):27–42, 1998.

[24] J. B. Aparecido, R.M. Cotta, e M.N. Özisik. Analytical solutions to two-

dimensional diffusion type problems in irregular geometries. Journal of the

Franklin Institute, 326:421–434, 1989.

[25] J. B. Aparecido e R. M. Cotta. Laminar flow inside hexagonal ducts. Computa-

tional Mechanics, 6:93–100, 1990.

[26] J. B. Aparecido e R. M. Cotta. Laminar thermally developing flow inside right-

angularly triangular ducts. Applied Scientific Research, 49:355–368, 1992.

[27] J. S. Pérez Guerrero, J. N. N Quaresma, e R. M. Cotta. Simulation of laminar

flow inside ducts of irregular geometry using integral transforms. Computational

Mechanics, 25(4):413–420, 2000.

[28] F. A. A. Barbuto e R. M. Cotta. Integral transformation of elliptic problems

7. Conclusões 101

within irregular domains: Fully developed channel flow. International Journal of

Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 8:778–793, 1997.

[29] L. A. Sphaier e R. M. Cotta. Integral transform analysis of multidimensional

eigenvalue problems within irregular domains. Numerical Heat Transfer – Part

B, 38(2):157–175, 2000.

[30] L. A. Sphaier e R. M. Cotta. Analytical and hybrid solutions of diffusion prob-

lems within arbitrarily shaped regions via integral transforms. Computational

Mechanics, 29(3):265–276, 2002.

[31] L. M. da Silva e L. A. Sphaier. Integral transform solution of one-dimensional

eigenvalue problems using a domain enclosing technique. In Proc. of the 20th

Brazilian Congress of Mechanical Engineering (COBEM), Gramado, RS, Brazil,

2009.

[32] L. M. da Silva e L. A. Sphaier. Integral transform solution of one-dimensional

diffusion problems using ana enclosing domain technique. In VI Congresso Na-

cional de engenharia mecânica (CONEM), Campina Grande, PB, Brazil, 2010.

[33] M. D. Mikhailov e M. N. Özisik. Unified Analysis and Solutions of Heat and

Mass Diffusion. Dover Publications, INC., 31 East 2nd Street, Mineola, N.Y.,

11501, 1st edition, 1984.

[34] M. D. Greenberg. Advanced Engineering Mathematics. Prentice Hall, Upper

Saddle River, NJ, 2nd edition, 1998.

Apêndice A

Resultados do problema de autovalor unidimensional

102

Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 103

Tab.

A.1

:Pro

blem

ate

ste

2-C

onve

rgên

cia

dos

auto

valo

res

para

oca

sos

1co

ma=

0.25

eb=

0.75

.i m

ax

WP

µ1

µ2

µ3

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µ10

1010

9.86

961

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.44

1199

.88

1794

.54

3470

.24

-136

08.

−1.0

6907

×106

1015

9.86

961

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.44

1199

.89

1794

.54

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.23

-136

08.

−1.0

6907

×106

1020

9.86

961

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.44

1199

.89

1794

.54

3470

.23

-136

08.

−1.0

6907

×106

1510

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.68

2855

.55

3623

.07

1515

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.68

2855

.56

3623

.11

1520

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.68

2855

.56

3623

.11

2010

47.4

034

200.

463

350.

653

480.

986

624.

117

987.

903

1327

.04

1830

.92

1972

.01

2560

.97-

736.

416

i20

159.

8696

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.43

811

94.2

216

67.9

622

20.6

628

52.3

235

62.9

320

209.

8696

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.43

811

94.2

216

67.9

622

20.6

628

52.3

235

62.9

325

1085

.957

3C

ompl

exo

Com

plex

oC

ompl

exo

Com

plex

o68

8.20

510

03.4

214

37.7

619

30.6

2C

ompl

exo

2515

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.66

2852

.32

3562

.93

2520

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.66

2852

.32

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.93

3015

46.9

238

210.

301

329.

751

394.

986

644.

047

988.

184

Com

plex

oC

ompl

exo

1937

.19

2469

.41

3020

9.86

9688

.826

424

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483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.66

2852

.32

3562

.93

3025

9.86

9688

.826

424

6.74

483.

611

799.

438

1194

.22

1667

.96

2220

.66

2852

.32

3562

.93

3520

59.9

46C

ompl

exo

Com

plex

o39

8.81

660

1.89

964

4.85

999

7.82

214

42.3

419

30.4

923

54.6

535

259.

8696

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.43

811

94.2

216

67.9

622

20.6

628

52.3

235

62.9

335

309.

8696

88.8

264

246.

7448

3.61

179

9.43

811

94.2

216

67.9

622

20.6

628

52.3

235

62.9

340

2546

.617

227.

6527

7.57

337

3.55

566

0.67

598

4.69

Com

plex

oC

ompl

exo

1936

.51

Com

plex

o40

309.

8751

288

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3.61

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111

94.2

316

67.9

622

20.6

628

52.3

235

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359.

8696

88.8

264

246.

7448

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179

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811

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216

67.9

622

20.6

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409.

8696

88.8

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67.9

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62.9

3E

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9.86

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.826

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438

1194

.22

1667

.96

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.66

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.93


Tab.

A.2

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224.

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88.8

265

246.

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1510

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0646

56.1

343

Com

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oC

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663.

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411

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8696

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264

246.

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20.6

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88.8

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9.23

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

2515

0.97

771

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

175

8.13

898

9.45

812

51.6

225

200.

9777

117

.791

364

.148

141.

274

249.

231

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

3010

0.97

7779

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

175

8.13

998

9.45

812

51.6

230

150.

9777

117

.791

364

.148

141.

274

249.

231

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

3020

0.97

771

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

175

8.13

898

9.45

812

51.6

235

100.

9773

117

.791

764

.148

141.

274

249.

231

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

3515

0.97

771

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

175

8.13

898

9.45

812

51.6

235

200.

9777

117

.791

364

.148

141.

274

249.

231

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

4010

0.97

7659

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

175

8.13

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812

51.6

240

150.

9777

117

.791

364

.148

141.

274

249.

231

388.

025

557.

661

758.

138

989.

458

1251

.62

4020

0.97

771

17.7

913

64.1

4814

1.27

424

9.23

138

8.02

555

7.66

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8.13

898

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51.6

2E

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0.97

771

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7.66

175

8.13

898

9.45

812

51.6

2

Apêndice B

Resultados do problema de difusão unidimensional

127

Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 128

Tab.

B.1

:Pro

blem

ate

ste

6-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

raos

caso

s1

e2

com

x=0.

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=10

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=0.2

5e

b=0.

75I m

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I ma

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P=40

WP=

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P=60

WP=

70W

P=80

Cas

o1

2220

0.91

3334

0.91

3334

0.91

3334

0.91

3334

0.91

3334

0.91

3334

0.91

3334

2624

0.91

4597

0.91

4597

0.91

4597

0.91

4597

0.91

4597

0.91

4597

0.91

4597

3028

—0.

9155

80.

9155

80.

9155

80.

9155

80.

9155

80.

9155

834

32—

0.91

6361

0.91

6361

0.91

6361

0.91

6361

0.91

6361

0.91

6361

3836

—0.

9169

950.

9169

950.

9169

950.

9169

950.

9169

950.

9169

9542

40—

—0.

9175

180.

9175

180.

9175

180.

9175

180.

9175

1846

44—

—0.

9179

580.

9179

580.

9179

580.

9179

580.

9179

5850

48—

—0.

9183

320.

9183

320.

9183

320.

9183

320.

9183

3254

52—

—0.

9186

530.

9186

530.

9186

530.

9186

530.

9186

5358

56—

——

0.91

8933

0.91

8933

0.91

8933

0.91

8933

6260

——

—0.

9191

780.

9191

780.

9191

780.

9191

78C

aso

222

200.

9130

260.

9130

260.

9130

260.

9130

260.

9130

260.

9130

260.

9130

2626

247.

9×10

3773

860.

9143

670.

9143

670.

9143

670.

9143

670.

9143

670.

9143

6730

28—

0.91

5401

0.91

5401

0.91

5401

0.91

5401

0.91

5401

0.91

5401

3432

—0.

9162

180.

9162

180.

9162

180.

9162

180.

9162

180.

9162

1838

36—

Com

plex

o0.

9168

790.

9168

790.

9168

790.

9168

790.

9168

7942

40—

—0.

9174

220.

9174

220.

9174

220.

9174

220.

9174

2246

44—

—0.

9178

770.

9178

770.

9178

770.

9178

770.

9178

7750

48—

—0.

9182

620.

9182

620.

9182

620.

9182

620.

9182

6254

52—

——

0.91

8593

0.91

8593

0.91

8593

0.91

8593

5856

——

—0.

9188

80.

9188

80.

9188

80.

9188

862

60—

——

0.91

9132

0.91

9132

0.91

9132

0.91

9132

Sol.

Ana

lític

o0.

9229

0.92

290.

9229

0.92

290.

9229

0.92

290.

9229


Tab.

B.2

:Pro

blem

ate

ste

6-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

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rapa

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6828

0.91

6828

0.91

6828

0.91

6828

0.91

6828

0.91

6828

0.91

6828

2624

0.83

6274

0.83

6274

0.83

6274

0.83

6274

0.83

6274

0.83

6274

0.83

6274

3028

—1.

1851

31.

1851

31.

1851

31.

1851

31.

1851

31.

1851

334

32—

1.17

826

1.17

826

1.17

826

1.17

826

1.17

826

1.17

826

3836

—0.

7224

390.

7224

390.

7224

390.

7224

390.

7224

390.

7224

3942

40—

—0.

9005

10.

9005

10.

9005

10.

9005

10.

9005

146

44—

—1.

3577

61.

3577

61.

3577

61.

3577

61.

3577

650

48—

—0.

8626

340.

8626

340.

8626

340.

8626

340.

8626

3454

52—

—0.

7907

230.

7907

210.

7907

210.

7907

210.

7907

2158

56—

——

1.26

181

1.26

179

1.26

179

1.26

179

6260

——

—0.

9429

950.

9429

840.

9429

840.

9429

84C

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222

200.

9574

070.

9574

070.

9574

070.

9574

070.

9574

070.

9574

070.

9574

0726

242.

50×1

03767

0.94

5409

0.94

5409

0.94

5409

0.94

5409

0.94

5409

0.94

5409

3028

—1.

1386

51.

1386

51.

1386

51.

1386

51.

1386

51.

1386

534

32—

1.02

793

1.02

793

1.02

793

1.02

793

1.02

793

1.02

793

3836

—C

ompl

exo

0.81

657

0.81

657

0.81

657

0.81

657

0.81

657

4240

——

1.03

978

1.03

978

1.03

978

1.03

978

1.03

978

4644

——

1.18

955

1.18

955

1.18

955

1.18

955

1.18

955

5048

——

0.82

9848

0.82

9848

0.82

9849

0.82

9849

0.82

9849

5452

——

—0.

9554

40.

9554

430.

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430.

9554

4358

56—

——

1.17

064

1.17

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1704

91.

1704

962

60—

——

0.89

6608

0.89

6586

0.89

6526

0.89

6526

Sol.

Ana

lític

o1.

1.1.

1.1.

1.1.


Tab.

B.3

:Pro

blem

ate

ste

6-C

onve

rgên

cia

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mpo

dete

mpe

ratu

rapa

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caso

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3762

0.91

3762

0.91

3762

0.91

3762

0.91

3762

2624

0.91

4898

0.91

4898

0.91

4898

0.91

4898

0.91

4898

0.91

4898

0.91

4898

3028

—0.

9158

040.

9158

040.

9158

040.

9158

040.

9158

040.

9158

0434

32—

0.91

6534

0.91

6534

0.91

6534

0.91

6534

0.91

6534

0.91

6534

3836

—C

ompl

exo

0.91

7133

0.91

7133

0.91

7133

0.91

7133

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——

0.91

7631

0.91

7631

0.91

7631

0.91

7631

0.91

7631

4644

——

0.91

8051

0.91

8051

0.91

8051

0.91

8051

0.91

8051

5048

——

0.91

841

0.91

841

0.91

841

0.91

841

0.91

841

5452

——

—0.

9187

20.

9187

20.

9187

20.

9187

258

56—

——

0.91

8991

0.91

8991

0.91

8991

0.91

8991

6260

——

—0.

9192

290.

9192

290.

9192

290.

9192

29So

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0.92

290.

9229

0.92

290.

9229

0.92

290.

9229

0.92

29


Tab.

B.4

:Pro

blem

ate

ste

6-C

onve

rgên

cia

doca

mpo

dete

mpe

ratu

rapa

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caso

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1645

0.89

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1645

0.89

1645

0.89

1645

0.89

1645

0.89

1645

2624

0.75

9091

0.75

9091

0.75

9091

0.75

9091

0.75

9091

0.75

9091

0.75

9091

3028

—1.

2047

1.20

471.

2047

1.20

471.

2047

1.20

4734

32—

1.29

181

1.29

181

1.29

181

1.29

181

1.29

181

1.29

181

3836

—C

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0.66

7164

0.66

7164

0.66

7164

0.66

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0.66

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——

0.79

0031

0.79

0031

0.79

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0.79

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0.79

0031

4644

——

1.47

111.

4711

1.47

111.

4711

1.47

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48—

—0.

9011

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850.

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52—

——

0.66

7772

0.66

7772

0.66

7772

0.66

7772

5856

——

—1.

3189

41.

3189

51.

3189

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Tab.

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Tab.

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Tab.

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345

0.42

345

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——

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4233

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4233

470.

4233

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—C

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o0.

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4232

710.

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——

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——

Com

plex

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3167

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——

——

—0.

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4231

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——

——

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3102

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3102

Cas

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0.42

4654

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4654

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4654

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4654

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4654

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4654

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4128

0.42

4128

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4128

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4128

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4128

0.42

4128

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4238

090.

4238

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4238

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4238

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4238

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4236

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360.

4236

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550.

4234

550.

4234

550.

4234

550.

4234

550.

4234

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4233

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4233

510.

4233

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44—

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4232

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740.

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740.

4232

740.

4232

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48—

—0.

4232

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4232

150.

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150.

4232

150.

4232

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——

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3169

0.42

3169

0.42

3169

0.42

3169

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——

—0.

4231

330.

4231

330.

4231

330.

4231

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——

0.42

3103

0.42

3103

0.42

3103

0.42

3103

Sol.

Ana

lític

o0.

4229

0.42

290.

4229

0.42

290.

4229

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290.

4229


Tab.

B.1

3:Pr

oble

ma

test

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-Con

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1224

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3050

880.

3050

880.

3050

880.

3050

880.

3050

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2015

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2015

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2015

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2015

0.40

2015

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0.28

3419

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3419

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3419

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3419

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6668

640.

6668

640.

6668

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6668

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6668

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9425

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760.

2109

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2109

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2865

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2865

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44—

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4355

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4355

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7863

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7863

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7863

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7863

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——

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5076

0.50

5139

0.50

5139

0.50

5139

Sol.

Ana

lític

o0.

50.

50.

50.

50.

50.

50.

5


Tab.

B.1

4:Pr

oble

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5677

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——

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——

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5610

2×10

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——

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5597

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——

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Sol.

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Tab.

B.1

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4247

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4247

040.

4247

040.

4247

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4241

590.

4241

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4241

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4241

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4241

590.

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3829

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3829

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3829

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3829

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4236

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4236

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4236

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3465

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328

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328

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328

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322

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4231

730.

4231

730.

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——

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3135

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3135

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3135

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4231

050.

4231

050.

4231

05So

l.A

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290.

4229

0.42

290.

4229

0.42

290.

4229

0.42

29


Tab.

B.1

6:Pr

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-Con

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4333

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4333

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4333

080.

4333

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4333

080.

4333

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3649

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3649

450.

3649

450.

3649

450.

3649

450.

3649

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8951

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8951

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8951

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8951

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8951

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8951

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6728

620.

6728

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6728

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6728

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6728

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6144

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6144

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9265

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9265

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9265

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——

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——

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450.

4823

450.

4823

45So

l.A

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0.5

0.5

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Tab.

B.1

7:Pr

oble

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2808

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10−7

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Tab.

B.1

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——

——

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0.51

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0265

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0.51

0265

0.51

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5479

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Sol.

Ana

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o0.

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4953

220.

4953

22


Tab.

B.1

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4377

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4377

0.50

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3028

——

——

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4980

640.

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4980

640.

4980

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4980

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——

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9994

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4998

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4998

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4998

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4966

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4966

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4966

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4966

720.

4966

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0377

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0377

204

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40.

0377

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9726

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9726

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9726

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9726

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4161

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4161

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4161

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4161

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4161

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4161

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7566

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7566

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7566

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7566

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7566

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6569

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6569

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6569

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3765

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3765

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3765

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9809

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9809

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9809

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9809

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9809

Sol.

Ana

lític

o0.

50.

50.

50.

50.

50.

50.

5


Tab.

B.2

0:Pr

oble

ma

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-Con

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9

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3×10

−71.

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−71.

2808

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×10−

7−4

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6

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Sol.

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4×10

−7


Tab.

B.2

1:Pr

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-Con

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8119

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8119

5-0

.081

195

-0.0

8119

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4954

610.

4954

610.

4954

610.

4954

610.

4954

610.

4954

610.

4954

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4954

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4954

290.

4954

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4954

290.

4954

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4954

290.

4954

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4953

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4953

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4953

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4953

870.

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4953

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4953

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4953

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5-3

.748

5-3

.748

5-3

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5-3

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5-3

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4953

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4953

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660.

4953

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4953

660.

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4953

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4953

610.

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4953

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4953

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4953

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4953

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4953

540.

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4953

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4953

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4953

510.

4953

51So

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0.49

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0.49

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0.49

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0.49

5322

0.49

5322


Tab.

B.2

2:Pr

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-Con

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18.8

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2678

0.50

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0.50

2678

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2678

0.50

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086

0.50

086

0.50

086

0.50

086

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086

0.50

086

0.50

086

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0.49

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1.40

888

1.40

888

1.40

888

1.40

888

1.40

888

1.40

888

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0.50

0275

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0275

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0275

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0275

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0275

0.50

0275

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0151

0.50

0151

0.50

0151

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0151

0.50

0151

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0151

0.50

0151

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9975

0.49

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0.49

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9946

0.49

9946

0.49

9946

Sol.

Ana

lític

o0.

50.

50.

50.

50.

50.

50.

5

Apêndice C

Tabelas de resultados do problema de autovalor

unidimensional

150

Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional 151

Tab.

C.1

:Pro

blem

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9-C

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306

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631.

655

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375

986.

96C

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Com

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6.96

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215

3039

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535

5.30

646

1.24

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1.65

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6.96

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1421

.22

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19.7

992

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784

157.

914

171.

2435

5.30

644

1.42

763

1.65

578

7.5

986.

9614

21.2

220

4539

.478

415

7.91

435

5.30

663

1.65

598

6.96

1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

2050

39.4

784

157.

914

355.

306

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655

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9614

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663

1.65

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Com

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655

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986.

9611

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1421

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1934

.44

2526

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3947

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784

157.

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355.

306

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663

1.65

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26.6

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663

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1421

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1934

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2526

.62

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6.96

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786

631.

655

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6.96

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355.

306

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655

986.

9614

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986.

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1421

.22

1934

.44

2526

.62

3197

.75

3947

.84

Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional 152

Tab.

C.2

:Pro

blem

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ste

9-C

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784

131.

636

157.

914

355.

306

476.

232

631.

655

795.

375

986.

96C

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6.96

1421

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2003

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2-7

0612

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