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PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE

AUTOVALOR EM MEIOS

HETEROGÊNEOS VIA

TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

GENERALIZADA

NELSON RODRIGUES BRAGA JUNIOR

MARÇO DE 2015

NELSON RODRIGUES BRAGA JUNIOR

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE AUTOVALOR EMMEIOS HETEROGÊNEOS VIA

TRANSFORMAÇÃO INTEGRALGENERALIZADA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, MARÇO DE 2015

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE AUTOVALOR EMMEIOS HETEROGÊNEOS VIA

TRANSFORMAÇÃO INTEGRALGENERALIZADA

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Diego Campos Knupp (D.Sc.)Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Agradecimentos

iv

Resumo

O presente trabalho apresenta uma solução para o problema de Sturm-Liouville

bidimensional com variação de propriedades no domínio. A solução foi desenvol-

vida utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), um método

analítico-numérico baseado na expansão de autofunções ortogonais geradas através da

solução do problema de Sturm-Liouville. Além das autofunções auxiliares convenci-

onais, utilizou-se uma metodologia de modo a separar estas autofunções em camadas

buscando melhorar a convergência do método. O problema de Sturm-Liouville é de

grande importância para resolução de problemas de condução, convecção e problemas

conjugados de transferência de calor, quando utiliza-se a GITT. Três casos foram anali-

sados, cada um contendo diferentes variações para a condutividade térmica do material.

O método foi validado utilizando os resultados para o caso que possui solução analí-

tica, através da analise do erro dos autovalores e autovetores obtidos. Alem disto uma

comparação entre a GITT e o método de diferenças finitas é realizada mostrando que

o método proposto alcança melhores resultados com um menor custo computacional.

A formulação com autofunções separadas por partes apresentou menor magnitudes do

erro em relação ao caso com autofunções simples, entretanto , exigindo maior tempo

computacional.

Palavras-Chave: GITT, Problema de autovalor, Difusão, Propriedades variáveis.

v

Abstract

The present paper shows the solution for the Sturm-Liouville two-dimensional pro-

blem with variation of proprieties in the domain. The solution was developed using the

Generalized Integral Transform Technic (GITT), a hybrid analytic-numerical method

based in orthogonal eigenfunctions expansions, beside conventional eigenfunctions, it

was proposed a solution with layer eigenfunctions to achieve better convergence ra-

tes for the method. This formulation is very important for the solution of conduction,

convection and conjugated heat problems, when the GITT is used. Three different ca-

ses were study, each one with different thermal conductivity variation in the material.

The method were validated for case with analytical solution, through the analysis of

the eigenvalues and eigenvectors error. A comparison between the GITT and the Finite

Difference Method were made, this comparison shows that the proposed method obtain

better results with lower computational cost. The formulation using layers eigenvalues

present lower magnitude of the error, however it demand a higher computational cost.

Key-Words: GITT, Eigenvalues Problem, Diffusion, Variable properties.

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Revisão Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Solução Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Métodos híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Solução por métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Bibliografia Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Equação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Solução do problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Escolha das autofunção auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Casos teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Autofunção auxiliar simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Autofunção auxiliar simples com condutividade térmica contínua . . . 18

3.4 Autofunção auxiliar por camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Método das Diferencas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

vii

Sumário viii

4. Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Caso Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Erro dos autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Resultados utilizando a GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1.1 Caso 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2 Resultados utilizando o MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3 Comparação entre as soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Análise das autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B. Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo . . . . . . . . . . . . . . . 61

Lista de Figuras

3.1 Geometria do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Diferentes casos testes considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Geometria do caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Variação da condutividade térmica com a coordenada η, k∗ = 2 e δ =

1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Separação por partes das autofunções X e Y . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6 Equação transcendental para os autovalores ωm , para δ= 1/2 e k∗ = 2 . 23

3.7 Malhas Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.8 Malha uniforme δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.9 Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2. . . . . . . 26

4.1 Erro absoluto do MDF em função do número de pontos na malha. . . . 29

4.2 Erro absoluto do MDF em função do numero de pontos da malha para

µ3 com k∗ = 1,2 e K=p

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Comparação entre os métodos com condições de Dirichlet . . . . . . . 35

4.4 Comparação entre os métodos com condições de Neumann e Dirichilet 36

4.5 Domínio da Autofunção Y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.6 Exemplo de outra distribuição para k∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7 Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p

2 . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.8 Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p

2 . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.9 Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, K=p

2 . . . . 43

4.10 Gráfico do erro RMS dasΨp , Caso 1 - Autofunções Simples - δ = 1/4,

k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.11 Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 2 . . . . . . . . . 45

4.12 Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 3 . . . . . . . . . 45

A.1 Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK=21/2 . . 54

ix

Lista de Tabelas

4.1 Autovalores para a GITT com autofunções simples . . . . . . . . . . . 28

4.2 Autovalores para o MDF com malha uniforme . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Caso 1 - Autofunções simples - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Caso 1 - Autofunções Ym por camadas - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . 31

4.5 Caso 1- Solução contínua - δ = 1/4, k∗ = 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6 Resultados para o Caso 1 usando o MDF , δ = 1/4 . . . . . . . . . . . . 33

4.7 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p

2 37

4.8 Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p

2 40

A.1 Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1 . 53

A.2 Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1 . . 53






A.8 Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =21/2 . 58





B.1 Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1 61

B.2 Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1 . . . . . . . . . . . . . . 61

B.3 Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK

=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B.4 Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1 . . . . . . . . . . . . . 62

x

Nomenclatura

T temperatura

xi

Capítulo 1

Introdução

O estudo da difusão de calor em meios heterogêneos tem vasta aplicação para

diferentes tipos de problemas físicos interessantes do ponto de vista da engenharia.

Como meios heterogêneos representativos da engenharia podemos destacar os materi-

ais compósitos, meios porosos, suspensões de partículas, entre outros. Diversos tipos

de soluções utilizando métodos numéricos foram apresentadas para este tipo de pro-

blema. Soluções analítica, baseadas em expansões de autofunções ortogonais, podem

ser usadas como alternativa aos métodos numéricos. Ao utilizar este tipo de solução

é necessário resolver o problema de Sturm-Liouville para a obtenção das autofunções.

A dificuldade do problema de difusão pode ser transferir para a resolução do problema

de Sturm-Liouville. Com isso o problema de difusão é resolvido facilmente através

de uma transformação simples, fazendo com que o problema fique desacoplado. Além

disso, este tipo de solução também pode ser utilizada para resolver problemas de con-

vecção e problemas conjugados onde ocorre difusão e convecção.

Materiais não homogêneos podem apresentar diferentes tipos de combinações e

arranjos Para estes tipos de materiais, desenvolvidos para aplicações especificas, a ca-

racterização de suas propriedades tem que ser feita caso a caso. O uso de materiais

multifásicos em grande parte da industria faz com que, cada vez mais, se tenha incen-

tivos e grandes esforços em pesquisas para estes novos materiais. Do ponto de vista da

engenharia, muitas vezes estamos interessados no comportamento macroscópico dos

1

1. Introdução 2

meios heterogêneos, que pode ser em parte descrito por suas propriedades mecânicas

e térmicas efetivas.

Outros tipos de materiais compósitos que podem ser citados são: Materiais com

gradação funcional1 (FGM), onde a fração volumétrica dos constituintes varia gradu-

almente, gerando uma microestrutura não uniforme com propriedades macroscópicas

continuamente graduadas; materiais compósitos em camadas com variação abrupta das

propriedade; Variação aleatória das propriedades.

1.1 Revisão Bibliografica

Métodos numéricos vem sendo amplamente utilizados para resolver diversos tipos

de problemas físicos. Muitos estudos na literatura tem como principal motivação o

desenvolvimento de novos métodos ou modificação de métodos existentes, visando a

diminuição do custo computacional e um menor erro em seus resultados. Em con-

trapartida aos métodos numéricos, os métodos analíticos continuam sendo estudados

paralelamente em artigos recentes, mostrando que ainda existe um grande numero de

problemas importantes, do ponto de vista da engenharia, que podem ser abordados

analiticamente. Atualmente, os métodos híbridos analíticos-numéricos, impulsionado

pelo desenvolvimento da computação simbólica, tem sido cada vez mais utilizados em

novas pesquisas para resolução de diversos problemas. Esses métodos tem como sua

principal vantagem uma maior compreensão para os parâmetros e também benchmark

para a validação dos problemas resolvidos por métodos numéricos.

1.1.1 Solução Analítica

Na literatura, muitas soluções analíticas foram apresentadas para a condução de ca-

lor em meios anisotrópicos. Mikhailov et al. [1] apresentaram a solução analítica para

o problema unidimensional transiente de condução de calor em um material composto

por camadas, utilizando autofunções ortogonais. A autofunção utilizada é uma auto-

função por partes separada para cada camada, respeitando as condições de contorno e

1 Functionally Graded Materials

1. Introdução 3

sua ortogonalidade no domínio completo. Um procedimento para o calculo do auto-

valores é apresentado de modo a tentar evitar a perda de autovalores, pois as soluções

convencionais da época não o garantiam tendo em vista que o problema de autovalor

não era o de Sturm-Liouville convencional devido a descontinuidade dos coeficientes

da função.

Mikhailov e Ozisik [2], observando a necessidade de uma solução analítica mais

abrangente do que os trabalhos publicados na época, que frequentemente eram desen-

volvidos somente para casos específicos, apresentam em seu livro a solução para sete

classes de problemas lineares transientes de difusão de calor e massa. Utilizando a

Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT) para o desenvolvimento desta solu-

ção geral com o objetivo de apresentar um método unificado para a analise da solução

das sete classes de problemas estudadas pelo autor. As soluções formais obtidas são

aplicáveis a uma ampla faixa de problemas de transferência de calor e massa, incluindo

alguns exemplos de difusão em meios heterogêneos e problemas de transferência de

calor conjugado.

Yan et al. [3] formularam uma solução por series, utilizando o método da sepa-

ração de variáveis, em um material com geometria tridimensional composto por duas

camadas. A solução proposta tem a limitação de não pode ser utilizada para condições

que não sejam de primeiro ou segundo tipo na direção das camadas. Aviles-Ramos

et al. [4], utilizando uma formulação similar a Yan et al. [3], analisando um caso es-

pecífico de um material bidimensional composto por uma camada isotrópica e outra

ortotrópica, com condições de contorno de segundo tipo. O trabalho experimental de-

senvolvido por Dowding e Beck [5] foi utilizado para validação da solução proposta.

1.1.2 Métodos híbridos

A metodologia utilizada para o problema de condução de calor é a Técnica da

Transformação Integral Generalizada (GITT), apresentada inicialmente em [6]. Poste-

riormente sendo aplicada em muitos estudos, dos quais podemos destacar [7–10]. O

método é uma extensão da técnica da transformada integral clássica [2], citada anteri-

1. Introdução 4

ormente. Desenvolvido para resolver uma maior classe de problemas que não podiam

ser resolvidos pela Transformada Clássica. Esta técnica é baseada na expansão de

autofunções ortogonais onde a solução é obtida através da transformação da equação

diferencial parcial em um sistema de equações diferenciais ordinárias. Recentemente

este método foi empregado na analise direta e inversa em problemas de difusão de

calor em meios heterogêneos [11–16]

Na literatura são encontrados diversos estudos que abordam a solução do problema

de Sturm-Liouville de diferentes formas. Pode-se citar como exemplo o método de

Runge Kutta com transformação de Prufer [17, 18], o método da contagem de sinal [19,

20], e a própria GITT [21, 22], usada também para resolver o problema de autovalor

para domínios irregulares [23].

Deve ser mencionado o trabalho recente de Cotta et al. [11] que analisaram o pro-

blema de difusão transiente em meio heterogêneo também utilizando a GITT para

resolver o problema de autovalor, três diferentes problemas de difusão unidmensional

foram analisados. O caso em que ocorre variação abrupta da condutividade térmica foi

representado através de uma função continua.

Naveira-Cotta et al. [15] combinaram o método da transformada integral para o

problema direto, com o problema de autovalor resolvido por GITT, e a inferência

Bayesiana para a solução do problema inverso. O trabalho experimental realizado

por Knupp et al. [24] demostra a validade do método, utilizando a termografia infra-

vermelha para aquisição dos dados experimentais.

Outro método analítico baseado em transformadas integrais é o método quadru-

polo2. Sendo este um método exato pra prever a temperatura transiente em sistemas

lineares [25]. Também bastante utilizado para problemas de difusão de calor unidi-

mensional para materiais com variação de propriedades termofísicas por camadas. A

transformada de Laplace ou de Fourier é utilizada dependendo do regime transiente.

Formulado através deste método Fudym et al. [26] desenvolveram uma abordagem

numérica-analítica com o objetivo de resolver problemas heterogêneos. Segundo o au-

2 Quadrupole Method

1. Introdução 5

tor, esta abordagem é de grande interesse quando lidamos com problemas com meio

semi-infinito ou multicamadas, tendo como vantagem modelar materiais heterogêneos

complexos simplesmente como produto de matrizes, como permitido para o método

quadrupolo para materiais homogêneos.

1.1.3 Solução por métodos numéricos

Recentemente muitos trabalhos utilizaram métodos numéricos para resolução deste

tipo de problema, podemos destacar: Rocha e Cruz [27] que apresentaram um modelo

computacional para calcular numericamente a condutividade térmica efetiva de um

material composto por fibras unidirecionais, considerando uma resistência térmica in-

terfacial entra a partícula e o meio. Matt e Cruz [28], utilizando o método de elementos

finitos, calcularam a condutividade térmica efetiva de um material compósito com mi-

croestrutura 3-D, também levando em consideração a resistência térmica interfacial.

1.1.4 Bibliografia Conjugado

A Técnica da Transformada Integral também tem sido bastante utilizada para re-

solução de problemas de convecção e problemas conjugados de condução-convecção.

Nesta seção serão apresentados alguns trabalhos relevantes para estes casos.

Entre as recentes aplicações da GITT para transferência de calor por convecção em

dutos, deve-se mencionar o trabalho de Nascimento et al. [29] que estudou o escoa-

mento de um fluido não-Newtoniano em dutos de secção circular. Maia et al. [30],

apresentou a solução para escoamentos de fluidos não-newtonianos com seção trans-

versal elíptica.

Cotta et al. [31] analisou o problemas de transferência de calor conjugado de

condução-convecção, propondo um modelo de solução com domínio único, conside-

rando um escoamento desenvolvido dinamicamente e termicamente em desenvolvi-

mento, sem difusão axial. A formulação para domínio único foi estendida em [32],

onde os efeitos de difusão axial foram considerados.

Mikhailov e Cotta [33] aplicaram esta metodologia hibrida para problemas de esco-

1. Introdução 6

amentos em micro-canais para escoamentos em placas paralelas. Além destes estudos

o o problema de Graetz com difusão axial foi investigado por Sphaier [34, 35].

Em aplicações recentes para problemas de conjugados transientes em micro-canais

deve-se mencionar o trabalho de Knupp et al. [36] que, considerando efeitos de difusão

axial, que utilizam a GITT aplicadas a uma formulação com domínio único.

1.2 Objetivos

O presente trabalho tem como principal objetivo a análise do problema de auto-

valor que carrega as informações da variação das propriedades do meio heterogêneo.

Utilizando a Técnica da Transformada Integral Generalizada, buscando novas alterna-

tivas para resolução e escolha de suas autofunção auxiliares. Além dos autovalores

obtidos através do problema de autovalor simples, utilizou-se uma base de autovalores

separados por camadas.

Capítulo 2

Formulação do Problema

Neste capítulo será apresentada uma solução para a equação geral da difusão de

calor utilizando a Técnica da Transformada Integral Clássica. Em seguida a Técnica

da Transformada Generalizada é aplicada na solução do problema de Sturm-Liouville

multidimensional para meios heterogêneos:

2.1 Equação Geral

Uma formulação geral pra o problema de condução de calor transiente, definido

em uma região V com superfície de contorno S, temos:

w(x)∂T (x , t )

∂t= ∇· [k ∇T (x , t )] − d(x)T (x , t ) + P (x , t ) (2.1a)

α(x)T (x , t )+β(x)k∂T (x , t )

∂n= Φ(x , t ) x ∈ S, (2.1b)

T (x ,0) = f (x) (2.1c)

onde n é um vetor unitário, normal a superfície de contorno S, e:

∂

∂n= ∇( ) · n (2.2)

Os coeficientes w(x), k(x) e d(x) carregam as informações do meio heterogêneo e

P (x , t ) representa um termo fonte linear.

7

2. Formulação do Problema 8

A solução do potencial T (x , t ) consiste em transformar o problema de condução

(2.1), utilizando autofunções multidimensionais Ψp , aplicando a Técnica da Transfor-

mada Integral Clássica [2]. O par transformada inversa é definido da seguinte forma:

Tp (t ) =∫V

w(x)T (x , t )Ψp (x)dV, (2.3)

T (x , t ) =∞∑

p=1

Tp (t )Ψp (x)

Np, (2.4)

onde a solução da inversa é obtida através da expansão das autofunções ortogonais

multidimensionais Ψp . A norma Np é calculada da seguinte forma:

Np =∫

w(x)Ψ2p (x)dV (2.5)

As autofunções Ψp são obtidas através do problema de Sturm-Liouville, que con-

tem as informações do meio heterogêneo:

∇· [k(x)∇Ψ(x)] + [µ2 w(x)−d(x)]Ψ(x) = 0 (2.6a)

α(x)Ψ(x)+β(x)k(x)∂Ψ(x)

∂n= 0 x ∈ S, (2.6b)

O problema de condução é transformado aplicando o operador∫

( )Ψp dV na equ-

ção (2.1a). Assim o seguinte sistema diferencial ordinário é obtido:

dTp (t )

dt+ µ2

p Tp (t ) = gp (t ) (2.7a)

O operador∫

( )w(x)Ψp dV é aplicado na equação (2.1c) para transformar a condi-

ção inicial:

Tp (0) = fp =∫V

w(x)Ψp (x) f (x)dV (2.7b)


Resolvendo a sistema (2.7b) obtém-se a equação para a transformada:

Tp (t ) = fp e−µ2p t +

∫ t

0gp (τ)e−µ

2p (t−τ)dτ (2.8)

sendo gp o termo fonte transformado:

gp (t ) =∫V

P (x , t )Ψp (x)dV +∫SΦ(x , t )

[Ψp (x)− (k ∇Ψp (x)).n

α(x) + β(x)

](2.9)

2.2 Solução do problema de autovalor

Nesta seção será apresentado uma solução geral para o problema de autovalor mul-

tidimensional contendo as informações do meio heterogêneo, considerando condições

de contorno gerais, em uma superfície S. O problema de Sturm-Liouville foi definido

na seção anterior, equação (2.6).

A solução do problema (2.6) é alcançada utilizando a Técnica da Transformada

Integral Generalizada [7–10]. O primeiro passo para resolução é a definição do par

transformada inversa:

Ψp,k =∫V

w(x)Ωk (x)Ψp (x)dV (2.10a)

Ψp (x) =∞∑

k=1Ωk (x)Ψp,k (2.10b)

Baseado nas expansões das autofunções ortogonais normalizadas Ωk (x), a equação

(2.10b) é a formula de inversão que reconstrói o potencial original Ψp (x).

A transformação integral do problema de autovalor (2.6) é alcançada operando a

equação (2.6a) com∫V( )Ωk (x)dV.

∫V∇· [k(x)∇Ψp (x)]Ωk (x)dV +

∫V

[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.11)


Empregando a segunda formula de Green no primeiro termo da equação temos:

∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ψp (x)dV +

∫S

k(x)

(Ψp (x)

∂Ωk (x)

∂n− Ωk (x)

∂Ψp (x)

∂n

)dS+

+∫V

[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.12)

Como as autofunções Ψ e Ω satisfazem as mesmas condições de contorno (2.6b), te-

mos:

∫S

k(x)

(Ψp (x)

∂Ωk (x)

∂n− Ωk (x)

∂Ψp (x)

∂n

)dS= 0, (2.13)

e a equação fica resumida à seguinte forma:

∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ψp (x)dV +

∫V

[µ2p w(x)−d(x)]Ψp (x)Ωk (x)dV = 0 (2.14)

No proximo passo, a fórmula da inversa (2.10b) é substituída na equação e as au-

tofunções transformadas Ψp,l são colocadas em evidência:

∞∑l=1Ψp,l

(∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ωl (x) dV +

+∫V

[µ2p w(x)−d(x)]Ωl (x) Ωk (x)dV

)= 0 (2.15)

Observe que o índice l foi introduzido no lugar do índice k ao substituir a inversa de

modo a não repetir o índice k. Desta forma ficamos então com um sistema algébrico

para o problema de autovalor:

∞∑l=0

(Ak,l − µ2p Bk,l )Ψp,l = 0 (2.16)

após o truncamento da expressão (2.16) pode-se escrever o sistema na forma matricial:

(A − µ2p B )Ψp = 0 (2.17)


Onde as matrizes Ak,l e Bk,l são dadas por::

Ak,l = −∫V∇· [k(x)∇Ωk (x)]Ωl (x) dV +

∫V

d(x)Ωl (x) Ωk (x)dV (2.18a)

Bk,l =∫V

w(x)Ωl (x) Ωk (x)dV (2.18b)

Este sistema pode ser numericamente resolvido para obtermos os resultados dos

autovalores µ2 e autovetores Ψp que, combinado com a inversa (2.10b), permite obter

as autofunções de Ψ desejadas:

Para o caso bidimensional os coeficientes ficam da seguinte forma:

Ak,l = −∫ y1

y0

∫ x1

x0

∂

∂x

(k(x, y)

∂

∂xΩk (x, y)

)Ωl (x, y) dx dy +

−∫ y1

y0

∫ x1

x0

∂

∂y

(k(x, y)

∂

∂yΩk (x, y)

)Ωl (x, y) dx dy

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.19a)

Bk,l =∫ y1

y0

∫ x1

x0

w(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.19b)

A equação do calculo dos coeficientes da matriz A é integrada por partes de modo

a evitar a diferenciação da função descontínua (k).

Ak,l = −k(x, y)∂

∂xΩk (x, y)Ωl (x, y)

∣∣∣x=x1

x=x0− k(x, y)

∂

∂yΩk (x, y)Ωl (x, y)

∣∣∣y=y1

y=y0+

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

k(x, y)∂

∂xΩk (x, y)

∂

∂xΩl (x, y) dx dy +

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

k(x, y)∂

∂yΩk (x, y)

∂

∂yΩl (x, y) dx dy +

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy, (2.20)

isto equivale a usar a primeira fórmula de Green ao invés da equação (2.12). Como

neste trabalho foram resolvidos somente casos com condições de contorno de primeiro


(Dirichilet) e segundo (Neumann) tipo, os coeficientes Ak,l simplificados ficam:

Ak,l =∫ y1

y0

∫ x1

x0

k(x, y)∂

∂xΩk (x, y)

∂

∂xΩl (x, y) dx dy +

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

k(x, y)∂

∂yΩk (x, y)

∂

∂yΩl (x, y) dx dy +

+∫ y1

y0

∫ x1

x0

d(x, y)Ωl (x, y) Ωk (x, y)dx dy (2.21)

2.3 Escolha das autofunção auxiliares

A autofunção ortogonal Ω é definida com um produtos de duas autofunções simples

auxiliares Y (y) e X (x):

Ωk (x, y) = Xi (x)Ym(y)pNi Nm

(2.22)

cujo índice k é associado a um para (i ,m) através do reordenamento, fazendo com que

um somatório duplo seja transformado em um somatório simples. A forma como este

reordenamento foi implementado será explicado no proximo capítulo. O símbolo "˜"

indica que a autofunção Ωh(x, y) é uma autofunção normalizada. As normas Ni e Nm

são definidas como:

Ni =∫ x1

x0

X 2i (x)dx, Nm =

∫ y1

y0

Y 2m(y)dy, (2.23)

As autofunções auxiliares são soluções ortogonais do problema unidimensional de

Sturm-Liouville, para as autofunções na direção x temos:

d

dx

[kx(x)

dXi

dx

]+ [ω2 wx(x)−dx(x)] Xi = 0, (2.24a)

αx(x) Xi (x) + βx(x)kx(x)dXi

dx= 0 em x = x0, (2.24b)

αx(x) Xi (x) − βx(x)kx(x)dXi

dx= 0 em x = x1, (2.24c)


Analogamente para a direção y temos:

d

dy

[ky (y)

dYm

dy

]+ [γ2 wy (y)−dy (y)]Ym = 0, (2.24d)

αy (y)Ym(y) + βy (y)ky (y)dYm

dy= 0 em y = y0, (2.24e)

αy (y)Ym(y) − βy (y)ky (y)dYm

dy= 0 em y = y1, (2.24f)

onde as propriedades e as autofunções podem ser definidas por partes para diferentes

camadas do material estudado, como será mostrado no próximo capítulo.

Capítulo 3

Casos teste

Neste capítulo serão apresentadas os tipos de geometrias e as diferentes autofun-

ções utilizadas para a resolução do problema. Nos casos estudados, os parâmetros w e

d são um e zero, respctivamente. Uma mudança de variável é feita de modo a norma-

lizar as variáveis x e y assim, a equação para o calculo dos coeficientes da matriz A,

formulada no capítulo anterior, pode ser reescrita:

Ak,l = K 2∫ 1

−1

∫ 1

−1k(ξ,η)

∂Ωk

∂ξ

∂Ωl

∂ξdξdη +

∫ 1

−1

∫ 1

−1k(ξ,η)

∂Ωk

∂η

∂Ωl

∂ηdξdη (3.1)

Onde a razão de aspecto K e as variáveis ξ e η são definidas da seguinte forma:

K = L2

H 2, (3.2a)

ξ= x

L, −L ≤ x ≤ L (3.2b)

η= y

H, −H ≤ y ≤ H (3.2c)

Para estes casos, devido a ortognolidade das autofunções Ω, podemos mostrar que

a matriz B é a matriz identidade:

Bk,l =∫ 1

−1

∫ 1

−1Ωl Ωk dξdη = δk,l (3.3a)

B = I (3.3b)

14

3. Casos teste 15

sendo δk,l o delta de Kronecker, definido da seguinte forma:

δk,l =

1, k = l

0, k 6= l, (3.4)

Assim, o sistema linear (2.17) que precisa ser resolvido é:

(A − µ2 I )Ψ = 0 (3.5)

Onde o maior "esforço"computacional será montar a matriz A, a partir da equação para

seus coeficientes. A resolução do sistema linear é feita numericamente, sem grandes

custos computacionais, e com isso achamos seus autovalores µ e autovetores Ψ .

3.1 Geometria

A figura 3.1 apresenta a geometria bidimensional utilizada. O problema foi divi-

dido em nove regiões, como visto na figura 3.1, onde a condutividade térmica de cada

região é constante.

−δ

δ

−δ δ

Fig. 3.1: Geometria do problema.

O domínio é dado por −1 ≤ ξ ≤ 1 e −1 ≤ η ≤ 1, e a letra grega δ é utilizada para

a separação entre as regiões . Os parametros ki estão associados a áreas Ai . Assim,

podemos reescrever a equação (3.1) separando as integrais de acordo com a variação

3. Casos teste 16

da condutividade térmica em cada região, e a equação (3.1) fica da seguinte forma:

Ak,l = k1

∫A1

(K 2∂Ωk

∂ξ

∂Ωl

∂ξ+ ∂Ωk

∂η

∂Ωl

∂η

)dA + k2

∫A2

(K 2∂Ωk

∂ξ

∂Ωl

∂ξ+ ∂Ωk

∂η

∂Ωl

∂η

)dA

+ . . . + k9

∫A9

(K 2∂Ωk

∂ξ

∂Ωl

∂ξ+ ∂Ωk

∂η

∂Ωl

∂η

)dA (3.6)

Partindo da figura 3.1 definimos os tipos de geometria que foram utilizados para

avaliação do método proposto. Na figura 3.2 estão representados estes três casos onde,

nas próximas seções, teremos dois valores admensionais para a condutividade térmica,

k∗ para a área hachurada e 1 para as outras regiões. O parâmetro k∗ representa a razão

de aumento da condutividade térmica entre as áreas. O caso 1, no qual a condutivi-

dade térmica varia somente em uma direção, possui solução analítica. onde, após a

Fig. 3.2: Diferentes casos testes considerados.

adimensionalização da condutividade térmica, os valores para a região hachurada são

3. Casos teste 17

(ki = k∗) e para as outras regiões (k j = 1).

3.2 Autofunção auxiliar simples

As autofunções auxiliares são encontradas utilizando problemas de autovalor au-

xiliares simples, como mostrado no capitulo anterior pelas equações (2.24a) - (2.24f).

Após as simplificações feitas neste capítulo, o problema de Sturm-Liouville para as

autofunções X e Y é dado por:

X ′′i (ξ)+ω2

i Xi (ξ) = 0, (3.7a)

Y ′′m(η)+γ2

mYm(η) = 0, (3.7b)

Aplicando as condições de Dirichlet e de Neumann temos, respectivamente, as seguin-

tes soluções para a autofunção Xi :

Xi (ξ) = sin(γi (ξ + 1)) γi = i π/2 (3.7c)

Xi (ξ) = cos(γi (ξ + 1)) γi = i π/2 (3.7d)

Analogamente para as autofunções Ym temos:

Ym(η) = sin(ωm (η + 1)) ωm = mπ/2 (3.7e)

Ym(η) = cos(ωm (η + 1)) ωm = mπ/2 (3.7f)

A autofunção Ω é reescrita normalizando as autofunções unidimensionais de modo

a facilitar a apresentação das equações:

Ωk (ξ,η) = Xi (ξ) Ym(η) (3.8a)

Xi (ξ) = Xi (ξ)pNi

Ni =∫ 1

−1X 2

i (ξ)dξ (3.8b)

Ym(η) = Ym(η)pNm

Nm =∫ 1

−1Y 2

m(η)dη (3.8c)

3. Casos teste 18

Aplicando a equação (3.8a) ao caso 1 temos:

Ai ,m, j ,n =∫ 1

−1

∫ −δ

−1

(K 2 X ′

i X ′j Ym Yn + Xi X j Y ′

m Y ′n

)dξdη+

+ k∗∫ 1

−1

∫ δ

−δ

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη+

+∫ 1

−1

∫ 1

δ

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη (3.9)

O reordenamento dos autovalores é necessário para a construção da matriz A, deste

modo associamos ao par de índices (i ,m) um respectivo índice k. Esta associação é

feita utilizando uma função para o reordenamento, para este trabalho os índices foram

reordenados através dos menores valores gerados pela expressão γ2i +ω2

m . Esta forma

de reordenamento é justificada na medida que pequenos valors de expressão γ2i +ω2

m

implicam em valores mais significativos para os coeficientes da matriz A. Outra forma

que também é utilizada neste trabalho é o reordenamento através da expressão para os

coeficientes na diagonal principal da matriz A , não foi observado diferença nos re-

sultados dos dois métodos. Assim, após o reordenamento transforma-se um somatório

duplo em um simples:

∞∑i=1

∞∑m=1

=∞∑

k=1(3.10a)

(i ,m) → k (3.10b)

( j ,n) → l (3.10c)

3.3 Autofunção auxiliar simples com condutividade térmica

contínua

O objetivo desta formulação é fazer com que a condutividade térmica varia con-

tinuamente em uma das direções do material, assim poderemos observar o efeito da

variação abrupta de propriedade para a convergência do método. A região que deli-

mita a transição entre as fases é definida entre −∆ e ∆, mostrada na figura 3.3 para o

caso 1. As mesmas autofunções simples, escolhidas na secção anterior (3.7c)-(3.7f)

3. Casos teste 19

são utilizadas para este método.

−∆

∆

−δ

−∆

∆δ

Fig. 3.3: Geometria do caso 1

A figura 3.4 e a equação (3.11) apresentam a função cúbica escolhida para repre-

sentar a variação da condutividade térmica. Uma informação relevante é que, quando

o valor do parametro ∆ aumenta a variação da condutividade térmica se torna mais

suave.

h(η) =

1, −1 ≤ η≤−δ−∆1 − (1−k∗)

(1

4∆2 − δ−∆+η4∆3

)(∆+δ+η)2, −δ−∆< η<−δ+∆

k∗, −δ+∆≤ η≤ δ−∆k∗− (k∗−1)

(1

4∆2 − −δ−∆+η4∆3

)(∆−δ+η)2, δ−∆< η< δ+∆

1, δ+∆≤ η≤ 1

, (3.11)

Aplicando esta metodologia ao caso 1, utilizando a função definida para a conduti-

3. Casos teste 20

- -

η

Δ = 1/5

Δ = 1/8

Δ = 1/16

Δ = 1/80

Fig. 3.4: Variação da condutividade térmica com a coordenada η, k∗ = 2 e δ = 1/4 .

vidade térmica para a região tracejada mostrada na figura 3.3, temos:

Ai ,m, j ,n =∫ 1

−1

∫ −δ−∆

−1

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη+

+∫ 1

−1

∫ −δ+∆

−δ−∆h(η)

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη+

+ k∗∫ 1

−1

∫ δ−∆

−δ+∆

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη+

+∫ 1

−1

∫ δ+∆

δ−∆h(η)

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη+

+∫ 1

−1

∫ 1

δ+∆

(K 2 X ′


m Y ′n

)dξdη (3.12)

3.4 Autofunção auxiliar por camadas

Muitos estudos utilizaram autofunções por partes para resolver problemas em meios

compostos por varias camadas homogêneas, como mencionado na revisão bibliográ-

fica desta dissertação, utilizando a CITT para resolução do problema. Nesta seção a

autofunção bidimensional Ω, usada para resolução do problema de autovalor, será re-

escrita de modo que uma ou duas de suas autofunções auxiliares sejam definidas por

partes, isto faz com que estas autofunções "carreguem"mais informações sobre as pro-

priedades do meio. Neste caso mais informações para a condutividade térmica e, com

isso, esperamos melhorar a convergência do método.

Partindo da figura 3.1 separamos as autofunções X e Y em três partes como mostra

a figura 3.5.

3. Casos teste 21

Fig. 3.5: Separação por partes das autofunções X e Y

Temos agora uma equação de Sturm-Liouville unidimensional para cada camada,

onde os indices sobrescritos r e l indicam esta separação.

kld2

dξ2(X l

i ) + ω2i X l

i = 0 (3.13a)

krd2

dη2(Y r

m) + γ2m Y r

m = 0 (3.13b)

Devemos ressaltar que as autofunções separada por partes continuam sendo orto-

gonais para o domínio completo:

n∑r=1

⟨Y rm , Y r

n ⟩ = δmn Nm (3.14a)

Nm =n∑

k=1⟨Y r

m , Y rm⟩ (3.14b)

O índice n indica o numero de camadas do problema, e a operação ⟨,⟩ indica um

produto interno entre as funções, para este caso n = 3.

Novamente, utiliza-se funções trigonométricas como base para a solução das auto-

funções. Tomando as autofunções Y r como exemplo para introdução da resolução do

3. Casos teste 22

problema temos:

Y 1(η) = C1 cos

((η+1)ω√

k1

)+ C2 sin

((η+1)ω√

k1

), (3.15a)

Y 2(η) = C3 cos

(ηω√

k2

)+ C4 sin

(ηω√

k2

), (3.15b)

Y 3(η) = C5 cos

((1−η)ω√

k3

)+ C6 sin

((1−η)ω√

k3

)(3.15c)

Além das condições de contorno, são necessárias mais informações para a obtenção

das autofunções, para isso são utilizadas condições de contorno nas interfaces entre as

camadas:

kr ∂Y r

∂ηr s= k s ∂Y s

∂ηr s(3.16a)

Y k = Y p (3.16b)

A condição (3.16b) só é valida para contato perfeito entre as camadas. Aplicando estas

condições de contorno na equação (4.2c) ficamos com o seguinte sistema algébrico:

sin

((1−δ)ωp

k1

)−cos

(δωp

k2

)sin

(δωp

k2

)0

pk1ωcos

((δ−1)ωp

k1

)−

√k2ωsin

(δωp

k2

)−

√k2ωcos

(δωp

k2

)0

0 cos

(δωp

k2

)sin

(δωp

k2

)−sin

((1−δ)ωp

k3

)0 −

√k2ωsin

(δωp

k2

) √k2ωcos

(δωp

k2

) √k3ωcos

((δ−1)ωp

k3

)

C2

C3

C4

C6

=

0

0

0

0

Utilizamos condições de primeiro tipo como exemplo, para o qual C1 e C5 são nulos.

Resolvendo este sistema descobrimos os valores das constantes e consequentemente

as autofunções Y r . Calculando o determinante desta matriz encontramos a equação

transcendental para o calculo dos autovalores ωm , apresentada na figura 3.6, onde

através dos zeros desta curva obtemos os respectivos autovalores.

Analogamente podemos encontrara as autofunções X l seguindo os mesmo passos

anteriores, onde os valores dos coeficientes serão os mesmos para mesmas condições

de contorno. Os resultados destas constantes com condições de Dirichlet e Newmann

3. Casos teste 23

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

Fig. 3.6: Equação transcendental para os autovalores ωm , para δ= 1/2 e k∗ = 2

estão apresentados no anexo (??). A autofunção bidimensional Ω será novamente um

produto das autofunções X Y , da mesma forma feita nas seções anteriores.

Ωrk = Xi Y r

m (3.17a)

Ωpk = X l

i Y rm (3.17b)

Dois tipos de autofunções Ω por partes foram utilizadas nesse trabalho, uma onde só

há separação das camadas em uma direção (3.17a) e outra onde as duas autofunções

unidimensionais são separadas por camadas (3.17b). As integrais para o calculo dos

coeficientes da matriz A devem ser separadas de acordo com as camadas, teremos

por tanto nove combinações de integrais para serem resolvidas para o caso (3.17b),

seguindo a separação das regiões mostrada na figura 3.1, temos:

Ai ,m, j ,n = k1

∫A1

(K 2 X 1′

i X 1′j Y 1

m Y 1n + X 1

i X 1j Y 1′

m Y 1′n

)dA+

k2

∫A2

(K 2 X 2′

i X 2′j Y 1

m Y 1n + X 2

i X 2j Y 1′

m Y 1′n

)dA

+ . . . + k9

∫A9

(K 2 X 3′

i X 3′j Y 3

m Y 3n + X 3

i X 3j Y 3′

m Y 3′n

)dA (3.18)

Onde os parâmetros k1,k2, . . . ,k9 são determinados através dos casos escolhidos como

mostrado no começo deste capítulo.

3. Casos teste 24

3.5 Implementação Computacional

Toda a implementação desta tese é feita utilizando o software de computação sim-

bólica Wolfram Mathematica [37], embora sua linguagem de programação faça com

que o calculo consuma mais tempo que linguagens de baixo nível, como por exem-

plo C e FORTRAN, escrever o programa nesta plataforma se faz de forma muito mais

rápida e intuitiva. Além disso tem-se a vantagem de poder trabalhar com expressões

analíticas. Cada método de solução foi implementado em um notebook, separando em

seções a parte puramente analítica da parte númerica.

A resolução do problema foi separada da seguinte forma: Primeiramente foram fei-

tos todos os cálculos simbólicos gerando as expressões para os coeficientes da matriz,

os cálculos para as Normas e as expressões para as autofunções auxiliares. Todas as in-

tegrações para os coeficiente da matriz A são feitas analiticamente utilizando a função

Integrate, depois os coeficientes são simplificados e armazenados para cada caso. A

implementação deve seguir uma ordem lógica de utilização onde, por exemplo, antes

da geração das matrizes devem ser utilizadas as funções de reordenamento. Após a

geração da matriz seus autovetores e autovalores são obtidos numericamente através

da função Eigensystem.

Para o calculo do erro das autofunções Ψp foi feita uma integração numérica uti-

lizando a função NIntegrate, onde foi escolhido o método de integração de Gaus-

Kronod (GaussKronod), pois este foi o método que melhor se adaptou a natureza

altamente oscilatória dos integrandos. Pode ser escolhido o número de divisões inici-

ais para este método, dadas por GaussPoints, foram utilizadas GaussPoints = 20.

3.6 Método das Diferencas Finitas

O método das diferenças finitas (MDF) foi utilizado para resolver o problema de

Sturm-Liouville bidimensional, com o objetivo de comparar o método híbrido analítico-

numérico formulado com um método puramente numérico. Foram utilizados o MDF

de segunda e de quarta ordem.

3. Casos teste 25

A mesma função cubica apresentada anteriormente, figura 3.4, é utilizada para

simular a descontinuidade da condutividade térmica para o caso 1. Na discretização de

segunda ordem a primeira e a segunda derivada são, respectivamente:

d f

dx= f (i +1, j )− f (i −1, j )

2∆x(3.19a)

d2 f

dx2= f (i −1, j )

∆x2− 2 f (i , j )

∆x2+ f (i +1, j )

∆x2(3.19b)

cujo f e x representam uma função e uma variável genérica.

A primeira e a segunda derivada para a discretização de quarta ordem são, respec-

tivamente:

d f

dx= f (i −2, j )

12∆x− 2 f (i −1, j )

3∆x+ 2 f (i +1, j )

3∆x− f (i +2, j )

12∆x(3.20a)

d2 f

dx2= − f (i −2, j )

12∆x2+ 4 f (i −1, j )

3∆x2− 5 f (i , j )

2∆x2+ 4 f (i +1, j )

3∆x2− f (i +2, j )

12∆x2(3.20b)

sendo utilizada uma discretização avançada e outra atrasada nos contornos sem perda

de ordem.

Um ponto importante que deve-se dar atenção quando utilizamos métodos numé-

ricos é a discretização que deve ser aplicada. Três diferentes malhas foram implemen-

tadas para este problema: A malha uniforme, figura 3.7(a), a malha de Chebyshev,

figura 3.7(b), onde refina-se os contornos, e uma malha de Chebyshev modificada,

figura 3.7(c), onde além de refinar-se os contornos também é refinada a região de tran-

sição da condutividade térmica.

As figuras 3.8 e 3.9 mostram respectivamente a malha uniforme e a malha de

Chebyshev modificadas para a função da condutividade térmica utilizada, cada ma-

lha da figura possui 51 pontos. Percebe-se um maior número de pontos entre a região

de transição na malha modificada.

3. Casos teste 26

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

(a) Malha uniforme

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

(b) Malha de Chebyshev

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

(c) Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4.

Fig. 3.7: Malhas Utilizadas

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

Fig. 3.8: Malha uniforme δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

Fig. 3.9: Malha de Chebyshev Modificada δ= 1/4, ∆= 1/8 e k∗ = 1.2.

Capítulo 4

Resultados e Discussões

Neste capítulo serão apresentados os resultados para os três casos estudados, com

condições de contorno de Dirichlet e de Neumann. Primeiramente, serão avaliados

resultados dos autovalores para o caso onde não há variação da condutividade térmica.

Em seguida, o capítulo é separado em três seções, divididas para os diferentes casos,

onde o comportamento dos autovalores é avaliado para cada metodologia. Na última

seção é feita uma análise para o comportamento das autofunções originais (Ψp).

Após a análise do caso homogêneo a técnica da transformada integral é então com-

parada com o método das diferenças finitas, através do tempo e do número de termos

necessários para valores satisfatórios do erro dos autovalores.

4.1 Caso Homogêneo

Nesta seção são apresentados os resultados para o caso onde a condutividade tér-

mica é constante (k∗ = 1) em todas as regiões do domínio, figura 3.1, com condições

de contorno de primeiro tipo, visando analisar o comportamento da solução pela GITT

e também pelo Método das Diferenças Finitas (MDF).

Na tabela 4.1 estão presentes os resultados utilizando a GITT com autofunções

auxiliares simples. A palavra Ana representa o resultado dos autovalores para o caso

analítico, que pode ser resolvido facilmente utilizando a CITT ou o método da separa-

27

4. Resultados e Discussões 28

Tab. 4.1: Autovalores para a GITT com autofunções simples

nmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10

10 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953020 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953030 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.6953040 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530

Ana 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530

ção de variáveis. Como pode ser visto, o caso resolvido pela GITT converge rapida-

mente para o valor analítico. Isto pode ser explicado pois neste caso a solução analítica

para os autovalores µ é facilmente encontrada através dos autovalores γ e ω, mesmos

autovalores utilizados na solução do método híbrido:

γ2 +K 2ω2 =µ2 (4.1a)

γi = i π

2ωm = mπ

2(4.1b)

A tabela 4.2 apresenta os resultados para o MDF de segunda e quarta ordem, res-

pectivamente, considerando malha uniforme. Pode se observar que o método de quarta

ordem apresenta resultados significativamente melhores do que o método de segunda

ordem.

Tab. 4.2: Autovalores para o MDF com malha uniforme


Diferenças finitas de segunda ordem26 2.71891 3.84006 4.70103 5.18393 5.42709 6.44828 6.60170 6.80837 7.32854 7.6347751 2.72025 3.84575 4.70955 5.20328 5.43782 6.46948 6.64863 6.83728 7.35789 7.68012101 2.72059 3.84717 4.71168 5.20813 5.44050 6.47479 6.66040 6.84453 7.36524 7.69150201 2.72067 3.84753 4.71221 5.20934 5.44117 6.47612 6.66334 6.84634 7.36708 7.69435

Diferenças finitas de quarta ordem26 2.72070 3.84760 4.71231 5.20946 5.44130 6.47628 6.66359 6.84651 7.36726 7.6946151 2.72070 3.84765 4.71238 5.20971 5.44139 6.47653 6.66421 6.84690 7.36765 7.69519101 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69529Ana 2.72070 3.84765 4.71239 5.20974 5.44140 6.47656 6.66432 6.84694 7.36769 7.69530


4.1.1 Erro dos autovalores

Nos resultados mostrados a seguir o erro absoluto dos autovalores para as diferentes

ordens e malhas utilizadas é apresentado. A figura 4.1 apresenta o erro absoluto para os

autovalores em relação ao número de elementos da malha para o método de diferenças

finitas, a letra s na legenda do gráfico indica o caso em que foi utilizada a malha de

Chebyshev. Como era esperado, conforme a ordem do método é aumentada a taxa de

decaimento do erro também aumenta.

Para os dez autovalores analisados deve-se ressaltar que o primeiro autovalor foi

o único que apresentou resultados melhores para a malha de Chebyshev, os outros

seguiram comportamento semelhante ao do autovalor µ3, mostrado na figura 4.1(b),

onde a malha com espaçamento uniforme apresenta valores melhores independente da

ordem utilizada na discretização.

40 60 80 100

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

DF-O2

DF-O2 s

DF-O4

DF-O4 s

(a) µ1

40 60 80 100

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

DF-O2

DF-O2 s

DF-O4

DF-O4 s

(b) µ3

Fig. 4.1: Erro absoluto do MDF em função do número de pontos na malha.


Após análise dos resultados desta seção, observa-se que as duas soluções apresen-

tadas convergem para o resultado esperado. Nas próximas seções serão analisados os

casos com variação de condutividade térmica.

4.2 Caso 1

Nesta seção são apresentados os resultados para o caso 1 com condições de

contorno de primeiro tipo em ξ e η. Neste caso, só a variação da condutividade térmica

em uma direção. Dos três casos estudados, este é o único que possui solução analítica,

sendo utilizado para a validação do método. A solução analítica é obtida utilizando a

Transformada Clássica, de forma similar ao realizado por Mikhailov e Ozisik [2], na

resolução do problema de autovalor de classe 2.

4.2.1 Resultados utilizando a GITT

Os próximos resultados apresentados serão aqueles gerados pela GITT com os dois

tipos de autofunções auxiliares escolhidas, simples e por partes. As autofunções auxi-

liares por partes em X não serão utilizadas para este caso, pois a condutividade térmica

é constante nesta direção (ξ). Todos os resultados apresentados neste trabalho foram

calculados com razão de aspecto com valorp

2, o motivo para este valor será explicado

na seção referente às autofunções Ψp .

A tabela 4.3 apresenta o resultado dos autovalores com a GITT, utilizando autofun-

ções auxiliares simples, para o caso com variação abrupta da propriedade. A palavra

Descont indica os autovalores obtidos através da solução exata do caso 1. Pode-se

observar que com cem termos já se obtém uma precisão entre dois e três dígitos, en-

quanto para precisão com quatro ou mais dígitos são necessários nove mil termos ou

mais para alguns autovalores.

Os resultados para o caso em que foram utilizadas autofunções auxiliares por partes

estão ilustrados na tabela 4.4. Como pode ser observado na tabela, são necessários

poucos termos para apresentar autovalores satisfatórios, e uma precisão de 3 dígitos ou

mais é obtida com apenas 50 termos. Este resultado pode ser explicado pelo fato das


Tab. 4.3: Caso 1 - Autofunções simples - δ = 1/4, k∗ = 1.2


10 2.76724 3.96793 4.88536 5.41073 5.60387 6.63058 6.94182 6.97129 7.51671 7.8453950 2.76672 3.96717 4.87344 5.40129 5.59147 6.61694 6.92106 6.95599 7.50020 7.82961

100 2.76668 3.96716 4.87311 5.40119 5.59141 6.61684 6.92095 6.95444 7.49878 7.82943500 2.76662 3.96711 4.87215 5.40111 5.59030 6.61586 6.92080 6.95293 7.49738 7.828551000 2.76660 3.96710 4.87192 5.40110 5.59009 6.61567 6.92080 6.95245 7.49694 7.828381500 2.76658 3.96709 4.87184 5.40110 5.59002 6.61561 6.92080 6.95219 7.49669 7.828322000 2.76658 3.96709 4.87180 5.40110 5.58998 6.61558 6.92080 6.95204 7.49656 7.828303000 2.76657 3.96709 4.87171 5.40110 5.58990 6.61551 6.92080 6.95192 7.49645 7.828245000 2.76657 3.96708 4.87166 5.40110 5.58986 6.61547 6.92080 6.95176 7.49630 7.828207000 2.76656 3.96708 4.87161 5.40110 5.58982 6.61544 6.92080 6.95168 7.49623 7.828179000 2.76656 3.96708 4.87159 5.40110 5.58980 6.61542 6.92080 6.95163 7.49618 7.82816

Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803

autofunções por camadas (Y rm) serem semelhantes às autofunções da solução analítica.

Tab. 4.4: Caso 1 - Autofunções Ym por camadas - δ = 1/4, k∗ = 1.2


10 2.76657 3.96733 4.87142 5.40839 5.58980 6.61597 6.93882 6.95126 7.49602 9.2385030 2.76655 3.96711 4.87141 5.40122 5.58966 6.61536 6.92108 6.95125 7.49586 7.8287250 2.76655 3.96709 4.87141 5.40115 5.58964 6.61536 6.92092 6.95125 7.49584 7.82824

100 2.76655 3.96708 4.87141 5.40112 5.58964 6.61529 6.92087 6.95125 7.49584 7.82806200 2.76655 3.96708 4.87141 5.40110 5.58964 6.61529 6.92081 6.95125 7.49584 7.82805300 2.76655 3.96708 4.87141 5.40110 5.58964 6.61528 6.92081 6.95125 7.49584 7.82804

Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803

4.2.1.1 Caso 1b

Para os próximos resultados será analisada a convergência para o caso em que a

transição da condutividade térmica entre as regiões não acontece de forma abrupta. O

caso 1b utiliza uma função contínua cúbica para simular a descontinuidade da condu-

tividade térmica, como mostrado anteriormente na figura 3.4. Autofunções auxiliares

simples são utilizadas na GITT nessa formulação. É importante ressaltar que o pa-

râmetro ∆ é utilizado para "suavizar" a função contínua usada para a condutividade

térmica, de modo que maiores valores de ∆ resultam em funções mais "suave". Os

resultados para as autofunções deste caso são apresentados na tabela e 4.5.


Tab. 4.5: Caso 1- Solução contínua - δ = 1/4, k∗ = 1.2


∆= 1/8100 2.76703 3.96687 4.87097 5.4006 5.59071 6.6181 6.92052 6.96262 7.5054 7.83268200 2.76701 3.96686 4.8708 5.40057 5.59046 6.61788 6.92047 6.96246 7.50525 7.83248300 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96234 7.50513 7.83243400 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96232 7.50511 7.83243500 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242600 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242700 2.76701 3.96685 4.87075 5.40057 5.59041 6.61783 6.92047 6.96231 7.50510 7.83242

∆= 1/40500 2.76663 3.96710 4.87213 5.40109 5.59033 6.61597 6.92079 6.95339 7.49776 7.828731000 2.76662 3.96709 4.87194 5.40108 5.59016 6.61582 6.92079 6.95299 7.49739 7.828591500 2.76661 3.96709 4.87189 5.40108 5.59011 6.61577 6.92079 6.95280 7.49721 7.828552000 2.76661 3.96709 4.87186 5.40108 5.59009 6.61575 6.92079 6.95271 7.49713 7.828543000 2.76660 3.96708 4.87182 5.40108 5.59006 6.61572 6.92079 6.95265 7.49708 7.828515000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59004 6.61571 6.92079 6.95260 7.49703 7.828507000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59004 6.61570 6.92079 6.95258 7.49702 7.828499000 2.76660 3.96708 4.87180 5.40108 5.59003 6.61570 6.92079 6.95258 7.49702 7.82849

Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803

Na solução em que se utilizou a função contínua, constatou-se ao longo do estudo

que casos com valores mais elevados do parâmetro ∆ convergem com menos termos,

entretanto, como era esperado valores menores de ∆ fazem com que o resultado dos

autovalores fiquem mais próximos do caso com variação abrupta da propriedade.

4.2.2 Resultados utilizando o MDF

Após a apresentação dos resultados da GITT, serão analisados os resultados gera-

dos pelo MDF para o caso 1. A mesma função cúbica do caso 1b foi utilizada para

a variação da condutividade térmica, porém os resultados do MDF foram gerados so-

mente com ∆ igual a 1/40.

A tabela 4.6 apresenta os resultados para o MDF de segunda e quarta ordem com

malha de Chebyshev modificada. Percebe-se que o método com discretização de quarta

ordem apresenta melhores resultados para os dez primeiros autovalores analisados.

Deve-se mencionar que em uma malha Nx por Ny , onde Ni representa o número de

pontos da malha na direção i , é necessário resolver uma matriz quadrada com aproxi-


madamente Nx ×N y linhas. Logo, o caso com 101 termos gera uma matriz da ordem

de grandeza de 10000×10000, mesma ordem de grandeza do caso da GITT com dez

mil termos.

Tab. 4.6: Resultados para o Caso 1 usando o MDF , δ = 1/4


Diferenças finitas de segunda ordem26 2.72095 3.92876 4.92157 5.34341 5.62863 6.62513 6.80859 6.89442 7.43573 7.7797451 2.75440 3.95725 4.88782 5.38686 5.60273 6.62054 6.89337 6.93432 7.47821 7.81831

101 2.76191 3.96374 4.87905 5.39719 5.59604 6.61931 6.91400 6.94508 7.48955 7.82798201 2.76619 3.96669 4.87230 5.40033 5.59039 6.61563 6.91915 6.95155 7.49597 7.82754

Diferenças finitas de quarta ordem26 2.79757 3.98596 4.83983 5.41045 5.56271 6.59240 6.91939 7.04334 7.58164 7.8051451 2.76640 3.96691 4.87244 5.40084 5.59061 6.61616 6.92023 6.95493 7.49914 7.82862

101 2.76447 3.96587 4.87576 5.40052 5.59349 6.61863 6.92068 6.94950 7.49409 7.83095201 2.76684 3.96723 4.87146 5.40116 5.58973 6.61544 6.92082 6.95266 7.49710 7.82826

Descont 2.76655 3.96707 4.87141 5.40109 5.58964 6.61528 6.92080 6.95125 7.49584 7.82803

Na figura 4.2 estão presentes os resultados do erro absoluto para o autovalor µ3

com MDF com as diferentes discretizações implementadas, onde sM indica a malha

de Chebyshev modificada, apresentada no capítulo anterior. Nesta figura observa-se

que o erro não possui mais a forma linear presente na figura 4.1, possuindo um com-

portamento oscilatório, principalmente para as malhas não uniformes, com a malha

de Chebyshev modificada apresentando melhores resultados na maior parte dos casos.

Este resultado pode ser explicado tendo em vista que, quando a malha é refinada em

sua faixa de transição captura-se mais informações sobre a variação da condutividade

térmica.

4.2.3 Comparação entre as soluções

Esta seção apresenta uma comparação entre os resultados da GITT e do MDF, onde

além do erro absoluto dos autovalores também será comparado o tempo computacional

gasto para cada solução. Além dos casos com condições de primeiro tipo, também será

apresentada uma comparação para o caso 1 com condições de segundo tipo em ξ.

A figura 4.3 apresenta uma comparação entre as soluções implementadas para o


50 100 200

10-4

10-3

10-2

10-1

DF-O2

DF-O2 s

DF-O2 sM

DF-O4

DF-O4 s

DF-O4 sM

Fig. 4.2: Erro absoluto do MDF em função do numero de pontos da malha para µ3 comk∗ = 1,2 e K=

p2

caso 1 com condições contorno de primeiro tipo, que é feita em função do erro e do

tempo computacional necessário para montar a matriz e resolver o prolema de autova-

lor. A GITT apresenta menor magnitude do erro se comparada ao MDF. Esta técnica

também possui, com exceção do autovalor µ3, melhor taxa para a diminuição do erro.

O tempo computacional é significativamente menor para a Transformada Integral, não

há diferença relevante entre as soluções contínua e com salto de propriedade. Contudo,

sabe-se que a matriz do MDF utilizada é uma matriz esparsa, de modo que o problema

de autovalor pode ser resolvido de forma mais eficiente utilizando o método iterativo

de Arnoldi. Este método também pode melhorar a convergência do MDF, devido à

menor contaminação de erro, pois ele necessita de menos operações para encontrar os

autovalores e autovetores da matriz esparsa, diferente do método utilizado no Mathe-

matica que pode ser utilizado em matrizes genéricas.

A figura 4.4 apresenta a comparação do erro dos autovalores, para o caso com

condições de contorno de segundo tipo em ξ e primeiro tipo em η, observa-se que o

comportamento do erro é semelhante ao da figura 4.3, onde novamente a GITT apre-

senta melhores taxas para queda do erro em um menor tempo computacional.


0.1 1 10 100 1000 10410-6

10-5

10-4

0.001

0.010

tempo (s)

ErroAbsoluto

(a) µ1

0.1 1 10 100 1000 10410-6

10-5

10-4

0.001

0.010

tempo (s)

ErroAbsoluto

(b) µ2

0.1 1 10 100 1000 10410-6

10-5

10-4

0.001

0.010

tempo (s)

ErroAbsoluto

(c) µ3

0.1 1 10 100 1000 10410-6

10-5

10-4

0.001

0.010

tempo (s)

ErroAbsoluto

(d) µ4

Fig. 4.3: Comparação entre os métodos com condições de Dirichlet

4.3 Caso 2

Nesta seção serão apresentados os resultados com condições de primeiro tipo para

o caso 2, onde a condutividade térmica varia somente na região central, utilizando a

GITT com autofunções auxiliares simples e por partes. No caso em que se separa a

autofunção Ym em três camadas, a condutividade térmica usada para a autofunção Y 2m

é da condutividade térmica da região central (k∗), assim temos:

Y (η) = C1 sen((η+1)ω

), −1 ≤ η≤−δ (4.2a)

Y (η) = C3 cos

(ηωp

k∗

)+ C4 sen

(ηωp

k∗

), −δ≤ η≤ δ (4.2b)

Y (η) = C5 sen((1−η)ω

)δ≤ η≤ 1 (4.2c)

A tabela 4.7 apresenta os resultados dos autovalores deste este caso para as duas


-

-

-

-

-

()

(a) µ1

-

-

-

-

-

()

(b) µ2

-

-

-

-

-

()

(c) µ3

-

-

-

-

-

()

(d) µ4

Fig. 4.4: Comparação entre os métodos com condições de Neumann e Dirichilet

autofunções utilizadas. Pode-se observar que para o caso 2, a solução por camadas em

Ym apresenta um comportamento de convergência pior do que a solução que utiliza

autofunções auxiliares simples, o que pode ser explicado pelas informações da condu-

tividade térmica k∗ presentes na autofunão por partes Y2 sendo que este valor não é o

mais predominante nesta região, como mostra a figura 4.5. A solução por camadas se

torna mais eficiente quando a propriedade "carregada"pela autofunção é a mais predo-

minante na região, figura 4.6 por exemplo, como veremos na próxima seção. Não faz

sentido usar autofunções por partes nas duas direções para este caso, pois o problema

é simétrico.

O erro relativo dos autovalores é apresentado na figura 4.7. Este erro foi calcu-

lado fixando o resultado gerado com dez mil termos como solução exata para cada

método, isso possibilita avaliar o comportamento dos autovalores à medida que o nú-

mero de termos aumenta. Os primeiros cinco autovalores possuem comportamentos


Tab. 4.7: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p

2


Solução com autofunções auxiliares simples1000 2.72344 3.89434 4.78610 5.24080 5.46004 6.51882 6.72950 6.89214 7.39375 7.729732000 2.72343 3.89430 4.78604 5.24072 5.46002 6.51878 6.72950 6.89195 7.39370 7.729713000 2.72342 3.89429 4.78600 5.24069 5.46001 6.51875 6.72950 6.89189 7.39368 7.729694000 2.72342 3.89428 4.78598 5.24067 5.46001 6.51874 6.72950 6.89185 7.39367 7.729695000 2.72342 3.89428 4.78598 5.24065 5.46000 6.51873 6.72950 6.89182 7.39366 7.729696000 2.72342 3.89427 4.78596 5.24064 5.46000 6.51872 6.72950 6.89179 7.39366 7.729687000 2.72342 3.89427 4.78596 5.24063 5.46000 6.51872 6.72950 6.89178 7.39365 7.729688000 2.72341 3.89427 4.78595 5.24063 5.46000 6.51871 6.72950 6.89177 7.39365 7.729689000 2.72341 3.89426 4.78595 5.24062 5.46000 6.51871 6.72950 6.89175 7.39365 7.72967

10000 2.72341 3.89426 4.78594 5.24062 5.46000 6.51871 6.72950 6.89174 7.39365 7.72967Solução com autofunções por camadas em Y

1000 2.72344 3.89438 4.78609 5.24086 5.46033 6.51889 6.72952 6.89213 7.39451 7.729842000 2.72343 3.89434 4.78602 5.24076 5.46021 6.51881 6.72951 6.89200 7.39430 7.729783000 2.72342 3.89432 4.78600 5.24072 5.46018 6.51879 6.72951 6.89190 7.39414 7.729764000 2.72342 3.89431 4.78598 5.24070 5.46015 6.51877 6.72951 6.89186 7.39407 7.729745000 2.72342 3.89430 4.78597 5.24068 5.46013 6.51876 6.72951 6.89183 7.39402 7.729736000 2.72342 3.89429 4.78596 5.24066 5.46012 6.51875 6.72951 6.89181 7.39398 7.729727000 2.72342 3.89429 4.78595 5.24066 5.46011 6.51874 6.72951 6.89180 7.39396 7.729728000 2.72342 3.89428 4.78594 5.24065 5.46010 6.51873 6.72951 6.89178 7.39394 7.729719000 2.72341 3.89428 4.78594 5.24064 5.46009 6.51873 6.72951 6.89177 7.39392 7.72971

10000 2.72341 3.89428 4.78594 5.24064 5.46009 6.51873 6.72951 6.89176 7.39390 7.72971

semelhantes para as duas metodologias, enquanto os outros cinco autovalores analisa-

dos confirmam que a magnitude do erro neste caso é sempre menor para o caso com

autofunções simples.

Fig. 4.5: Domínio da Autofunção Y2


Fig. 4.6: Exemplo de outra distribuição para k∗

-

-

-

-

(a) µ5

-

-

-

-

(b) µ6

-

-

-

-

(c) µ7

-

-

-

-

(d) µ8

-

-

-

-

(e) µ9

-

-

-

-

(f) µ10

Fig. 4.7: Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p

2

4.4 Caso 3

Nesta secção apresentam-se os resultados para o Caso 3 com condições de contorno

de Dirichlet, neste caso a condutividade térmica varia com geometria no formato de


uma cruz central. A tabela 4.8 mostra os resultados obtidos utilizando a GITT para os

casos com autofunções simples, por partes na direção η e por partes nas direções ξ e η.

Pode-se perceber pelas tabelas que os autovalores gerados pela solução por camadas

resultam em melhores taxas de convergência do que aqueles gerados com autofunções

simples.

O erro relativo para os autovalores, mostrado na figura 4.8, é calculado da mesma

forma feita para o caso 2. Para este caso, a magnitude do erro relativo é sempre menor

para as soluções com autofunções por camadas, e para alguns autovalores a solução

por camadas nas duas direções apresenta resultados significativamente maiores do que

as outras duas, mostrando que para determinadas distribuições de propriedade esta

metodologia é uma boa alternativa para abordar problema em meios heterogêneos.

Um ponto negativo que deve ser mencionado é o alto custo computacional para este

tipo de solução.


Tab. 4.8: Caso 3 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =p

2


1000 2.84788 4.02878 4.98667 5.46500 5.66834 6.72131 7.01565 7.17605 7.57122 7.977562000 2.84787 4.02873 4.98660 5.46492 5.66819 6.72115 7.01565 7.17579 7.57084 7.977493000 2.84786 4.02871 4.98655 5.46488 5.66810 6.72105 7.01564 7.17571 7.57072 7.977444000 2.84786 4.02870 4.98653 5.46486 5.66805 6.72101 7.01564 7.17565 7.57063 7.977425000 2.84786 4.02869 4.98652 5.46484 5.66803 6.72098 7.01564 7.17561 7.57057 7.977416000 2.84786 4.02869 4.98651 5.46483 5.66801 6.72095 7.01564 7.17557 7.57052 7.977407000 2.84786 4.02868 4.98650 5.46482 5.66799 6.72093 7.01564 7.17556 7.57050 7.977398000 2.84786 4.02868 4.98649 5.46481 5.66797 6.72092 7.01564 7.17554 7.57048 7.977389000 2.84785 4.02868 4.98648 5.46481 5.66796 6.72090 7.01564 7.17552 7.57045 7.97738

10000 2.84785 4.02867 4.98648 5.46480 5.66795 6.72089 7.01564 7.17551 7.57043 7.97737Solução por camadas em Y

1000 2.84788 4.02877 4.98659 5.46506 5.66798 6.72125 7.01565 7.17570 7.57029 7.977372000 2.84787 4.02874 4.98652 5.46495 5.66792 6.72107 7.01565 7.17560 7.57024 7.977343000 2.84786 4.02871 4.98650 5.46491 5.66789 6.72100 7.01564 7.17553 7.57021 7.977334000 2.84786 4.02870 4.98649 5.46488 5.66787 6.72097 7.01564 7.17549 7.57020 7.977325000 2.84786 4.02870 4.98648 5.46486 5.66786 6.72093 7.01564 7.17547 7.57019 7.977326000 2.84786 4.02869 4.98647 5.46485 5.66785 6.72092 7.01564 7.17546 7.57018 7.977317000 2.84786 4.02869 4.98646 5.46484 5.66785 6.72090 7.01564 7.17545 7.57017 7.977318000 2.84786 4.02868 4.98645 5.46483 5.66784 6.72089 7.01564 7.17544 7.57017 7.977319000 2.84785 4.02868 4.98645 5.46483 5.66784 6.72088 7.01564 7.17543 7.57016 7.97731

10000 2.84785 4.02868 4.98645 5.46482 5.66783 6.72086 7.01564 7.17542 7.57016 7.97731Solução por camadas em X Y

1000 2.84788 4.02877 4.98659 5.46503 5.66781 6.72086 7.01565 7.17570 7.57022 7.977352000 2.84787 4.02872 4.98652 5.46495 5.66779 6.72081 7.01564 7.17559 7.57019 7.977333000 2.84786 4.02871 4.98650 5.46490 5.66779 6.72079 7.01564 7.17553 7.57017 7.977324000 2.84786 4.02870 4.98649 5.46487 5.66779 6.72078 7.01564 7.17549 7.57016 7.977315000 2.84786 4.02869 4.98647 5.46486 5.66778 6.72077 7.01564 7.17547 7.57015 7.977316000 2.84786 4.02868 4.98647 5.46484 5.66778 6.72076 7.01564 7.17545 7.57015 7.977317000 2.84786 4.02868 4.98646 5.46484 5.66778 6.72076 7.01564 7.17544 7.57015 7.977308000 2.84786 4.02868 4.98645 5.46483 5.66778 6.72075 7.01564 7.17544 7.57014 7.977309000 2.84786 4.02867 4.98645 5.46482 5.66778 6.72075 7.01564 7.17543 7.57014 7.97730

10000 2.84785 4.02867 4.98645 5.46481 5.66778 6.72075 7.01564 7.17542 7.57014 7.97730


10 50 100 500 100010-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(a) µ5

10 50 100 500 100010-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(b) µ6

10 50 100 500 1000

10-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(c) µ7

10 50 100 500 100010-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(d) µ8

10 50 100 500 100010-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(e) µ9

10 50 100 500 100010-5

10-4

0.001

0.010

Numero de termos

ErroRelativo

(f) µ10

Fig. 4.8: Comparação entre os métodos, k∗ = 1, K=p

2


4.5 Análise das autofunções

Nesta seção os resultados para as autofunçõesΨp são mostrados, para os três casos

estudados com condições de contorno de primeiro tipo, utilizando a GITT com auto-

funções auxiliares simples. Na figura 4.9 estão presentes as oito primeiras autofunções

Ψp . Como as condições de contorno são iguais nas duas direções, os respectivos auto-

valores das autofunções auxiliares Xi e Ym são iguais, o que pode gerar um problema

quando o reordenamento é feito. De modo a evitar que isto aconteça utiliza-se uma

razão de aspecto (K ) com valor irracional (p

2) de modo que os autovalores auxiliares

não sejam proporcionais.

A seguinte equação é utilizada para o cálculo do erro das autofunções Ψp :

εRMS =√

1

A

∫ (|Ψp |− |Ψp,ana |)2 dA (4.3)

onde Ψana é a autofunção bidimensional da solução análitica, e nos casos em que não

há solução analítica foi fixado um valor para o índice kmax sendo considerado como a

autofunção convergida, lembrando que:

Ψp =kmax∑k=1

Ωk Ψp,k (4.4)

A figura 4.10 apresenta o resultado para o erro das autofunçõs εRMS para o caso 1,

utilizando a autofunção analítica e a autofunção com dez mil termos. Observa-se um

comportamento semelhante para as autofunções, com resultados interessantes, che-

gando a um erro menor que 10−4 para valores de truncamento acima de 5×103. Como

os resultados com autofunçõesΨp,ana eΨp,1000 apresentam o mesmo comportamento,

será esta a ordem de truncamento para analisar o erro para os casos onde não há solução

analítica. Estes casos serão mostrados a seguir para os casos 2 e 3.

A figura 4.11 apresenta os valores para o erro relativo das primeiras cinco auto-

funções para o caso 2, utilizando a autofunção com dez mil termos como comparação.

A figura 4.12 apresenta o erro da autofunção para o caso 3. Os gráficos apresentam


comportamento semelhantes para as cinco primeiras autofunções analisadas.

= =

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

Fig. 4.9: Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, K=p

2


-

-

-

-

ϵ

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

Ψ5

(a) Utilizando a autofunção analítica.

-

-

-

-

ϵ

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

Ψ5

(b) Utilizando a autofunção com dez mil termos.

Fig. 4.10: Gráfico do erro RMS das Ψp , Caso 1 - Autofunções Simples - δ = 1/4, k∗ =1.2


-

-

-

-

ϵ

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

Ψ5

Fig. 4.11: Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 2

-

-

-

-

ϵ

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

Ψ5

Fig. 4.12: Gráfico do erro RMS em relação a kmax de Ψp , Caso 3

Capítulo 5

Considerações Finais

5.1 Conclusões

Neste trabalho desenvolveu-se uma solução analítica-numérica para o problema de

autovalor bidimensional utilizando a Técnica da transformada Integral Generalizada

(GITT). Diferentes autofunções auxiliares, foram utilizados para resolver o problema

de Sturm-Liouville original, buscando com isso obter melhores taxas de convergência.

O método foi validado através do caso com solução exata conhecida e também com o

Método das Diferenças Finitas (MDF).

A técnica híbrida apresentou resultados satisfatórios para os casos estudados. A

comparação da GITT, com autofunções auxiliares simples, com o MDF mostrou que o

método híbrido possui melhores taxas de convergência com um menor tempo compu-

tacional. Os resultados para técnica utilizando autovalores auxiliares por partes apre-

sentaram melhores taxas de convergência quando comparado com autofunções auxili-

ares simples, mostrando que a solução proposta é uma boa alternativa para resolver o

problema de autovalor com variação abrupta de propriedade.

Em uma primeira análise pode-se concluir que esta formulação melhorada futu-

ramente pode ser competitiva com métodos numéricos tradicionalmente utilizados

para resolver este tipo de problema. Contudo, esta formulação possui um elevado

custo computacional se comparado a solução utilizando autovalores auxiliares sim-

46

5. Considerações Finais 47

ples, sendo necessário buscar alternativas para diminuição deste tempo.

5.2 Trabalhos Futuros

Nesta seção serão mencionadas ideias para dar prosseguimento a pesquisa reali-

zada, considerando novas formas de solução e outros tipos de problemas que podem

ser resolvidos com a técnica apresentada.

Um dos grande problemas encontrados quando utilizou-se autofunções por cama-

das é o tempo computacional necessário para obtenção de resultados satisfatórios.

Como uma forma de reduzir este tempo pode-se transformar o problema em apenas

uma direção de modo a tentar melhorar a convergência da GITT. Outra proposta é

buscar novas funções para o reordenamento do problema.

Como problemas que podem ser resolvidos futuramente temos: Casos para meios

com geometrias irregulares; contato imperfeito entre os meios; considerar estrutura

ordenada, aleatória e periódica, e aleatória e não periódica para a partícula.

Capítulo 6

BIBLIOGRAFIA

[1] M.D. Mikhailov, M.N. Özisik, e N.L. Vulchanov. Diffusion in composite layers

with automatic solution of the eigenvalue problem. International Journal of Heat

and Mass Transfer, 26(8):1131 – 1141, 1983. ISSN 0017-9310.

[2] M. D. Mikhailov e M. N. Ozisik. Unified Analysis and Solutions of Heat and

Mass Diffusion. Wiley, 1984.

[3] Ling Yan, A. Haji-Sheikh, e J. V. Beck. Thermal characteristics of two-layered

bodies with embedded thin-film heat source. ASME J. Electron, 115(3):276–283,

1993.

[4] C. Aviles-Ramos, A. Haji-Sheikh, e J. V. Beck. Exact solution of heat conduc-

tion in composite materials and application to inverse problems. ASME J. Heat

Transfer, 120:592–599, 1998.

[5] K. J. Dowding e J. V. Beck. Estimation of directional-dependent thermal pro-

perties in a carbon-carbon composite. International journal of heat and mass

Transfer, 39(15):3157–3164, 1995.

[6] M. N. Özisik e R. L. Murray. On the solution of linear diffusion problems with

variable boundary condition parameters. Journal of Heat Transfer (ASME), 96:

48–51, 1974.

48

6. BIBLIOGRAFIA 49

[7] R. M. Cotta. Integral Transforms in Computational Heat and Fluid Flow. CRC

Press, 1993.

[8] R. M. Cotta. Benchmark results in computational heat and fluid flow: – The

Integral Transform Method. International Journal of Heat and Mass Transfer,

37(1):381–394, March 1994.

[9] R. M. Cotta. e M. D. Mikhailov. Heat Conduction – Lumped Analysis, Integral

Transforms, Symbolic Computation. Wiley, 1997.

[10] R. M. Cotta. The Integral Transform Method in Thermal and Fluids Science and

Engineering. Begell House, 1998.

[11] Renato M. Cotta, Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, e Olivier

Fudym. Eigenfunction expansions for transient diffusion in heterogeneous me-

dia. International Journal of Heat and Mass Transfer, 52(21–22):5029 – 5039,

2009.

[12] Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, e R. M. Cotta. Integral trans-

forms and bayesian inference in the identification of variable thermal conducti-

vity in two-phase dispersed systems. Numerical Heat Transfer, Part B Funda-

mentals, 3(57):173–203, 2010.

[13] Carolina P. Naveira-Cotta, Helcio R.B. Orlande, Renato M. Cotta, e J. S. Nu-

nes. Integral transforms, bayesian inference, and infrared thermography in the

simultaneous identification of variable thermal conductivity and diffusivity in

heterogeneous media. International Heat Transfer Conference, 2010.

[14] R. M. Cotta, Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, J. V. C. Ayres, e Hel-

cio R.B. Orlande. Experimental-theoretical analysis of a transient heat conduc-

tion setup via infrared thermography and unified integral transforms. Int. Rev.

Chem. Eng. 2, (736-747), 2010.

[15] Carolina P. Naveira-Cotta, Renato M. Cotta, e Helcio R.B. Orlande. Inverse

6. BIBLIOGRAFIA 50

analysis with integral transformed temperature fields: Identification of ther-

mophysical properties in heterogeneous media. International Journal of Heat

and Mass Transfer, 2011.

[16] Renato M. Cotta, Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, João V.C. Ayres,

e Helcio R.B. Orlande. Theoretical-experimental analysis of heat transfer in no-

nhomogeneous solids via improved lumped formulation, integral transforms and

infrared thermography. International Journal of Thermal Sciences, 62:71 – 84,

2012.

[17] P. B. Bailey, M. k. Gordon, e L. F. Shampine. Automatic solution of the sturm-

liouville problem. ACM Transactions on Mathematical Software, 1978.

[18] P. B. Bailey, B. S. Garbow, H. G. Kaper, e A. Zettl. Eigenvalue and eigenfunction

computation for surm-liouville problems. ACM Transactions on Mathematical

Software, 1991.

[19] M. D. Mikhailov. e N. L. Vulchanov. Computational procedure for sturm-liouville

problems. Journal of computational physics, 1983.

[20] R. M. Cotta e E. Nogueira and. On the eigenvalues basic to diffusion through

composite media. Computation and Applied Mathematics, 1988.

[21] M. D. Mikhailov e R. M. Cotta. Integral transform solution of eigenvalue pro-

blems. Communications in Numerical Methods in Engineering, 10:827–835,

1994.

[22] M.C. Oliveira, R. Ramos, e R. M. Cotta. On the eigenvalues basic to the analytical

solution of convective heat transfer with axial diffusion effects. Communications

in Numerical Methods in Engineering, 11:287–1995, 1995.

[23] L. A. Sphaier e R. M. Cotta. Integral transform analysis of multidimensional

eigenvalue problems within irregular domains. Numerical Heat Transfer, Part B:

Fundamentals, 38(2):157–175, 2000.

6. BIBLIOGRAFIA 51

[24] Diego C. Knupp, Carolina P. Naveira-Cotta, e Renato M. Cotta. Experimental

identification of thermophysical properties in heterogeneous materials with in-

tegral transformation of temperature measurements from infrared thermography.

Experimental Heat Transfer, 26, 2013.

[25] Thermal Quadrupoles: Solving the Heat Equation through Integral Transforms.

John Wiley and Sons, 2000.

[26] Olivier Fudym, Bruno Ladevie, e Jean-Christophe Batsale. A seminumerical

approach for heat diffusion in heterogeneous media: One extension of the ana-

litycal quadrupole method. Numerical Heat Transfer, Part B Fundamentals, 42:

325–348, 2002.

[27] Rodrigo P. A. Rocha e Manuel E. Cruz. Computation of the effective conductivity

of unidirectional fibrous composites with an interfacial thermal resistance. An

International Journal of Computation and Methodology, 2001.

[28] Carlos F. Matt e Manuel E. Cruz. Effective thermal conductivity of composite

materials with 3-d microstructures and interfacial thermal resistance. An Interna-

tional Journal of Computation and Methodology, pages 287–301, 2008.

[29] S. C. C. Nascimento, J. N. N. Quaresma, e E. N. Macêdo. Generalized inte-

gral transform solution for hydrodynamically developing non-newtonian flows

in circular tubes. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and

Engineering, 28(1):125–130, 2006.

[30] C. R. M. Maia, J. B. Aparecido, e L. F. Milanez. Heat transfer in laminar flow

of non-newtonian fluids in ducts of elliptical section. International Journal of

Thermal Sciences, 45:1066–1072, 2006.

[31] R. M. Cotta, C. P. Naveira-Cotta, e D.C. Knupp. Theoretical analysis of con-

jugated heat transfer with a single domain formulation and integral transforms.

International Communications in Heat and Mass Transfer, 39:355–362, 2012.

6. BIBLIOGRAFIA 52

[32] R. M. Cotta, C. P. Naveira-Cotta, e D.C. Knupp. Conjugated convection-

conduction analysis in microchannels with axial diffusion effects and a single

domain formulation. Journal of Heat Transfer (ASME), 135, 2013.

[33] M. D. Mikhailov e R. M. Cotta. Mixed symbolic-numerical computation of con-

vective heat transfer with slip flow in microchannels. International Communica-

tions in Heat and Mass Transfer, 32(3-4):341–348, 2005.

[34] L. A. Sphaier. Analytical and hybrid solutions for heat transfer in combined

electroosmotic and pressure- driven flows. In ASME 2012 10th International

Conference on Nanochannels, Microchannels, and Minichannels collocated with

the ASME 2012 Heat Transfer Summer Conference and the ASME 2012 Fluids

Engineering Division Summer Meeting, pages 317–326, 2012.

[35] L. A. Sphaier. Integral transform solution for heat transfer in parallel-plates

micro-channels: Combined electroosmotic and pressure driven flows with

isothermal walls. International Communications in Heat and Mass Transfer, 39

(6):769–775, 2012.

[36] Diego C. Knupp, Renato M. Cotta, Carolina P. Naveira-Cotta, e Sadik Kakaç.

Transient conjugated heat transfer in microchannels: Integral transforms with

single domain formulation. International Journal of Thermal Sciences, 88:248 –

257, 2014.

[37] S. Wolfram. The Mathematica Book, version 5.2. Cambridge-Wolfram Media,

2005.

Apêndice A

Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo

Tab. A.1: Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 1.5, KK =1


100 2.34935 3.75446 3.80445 4.66066 5.13953 5.38103 5.86294 5.91626 6.83799 6.95784125 2.34929 3.75446 3.80441 4.65901 5.13812 5.38103 5.86143 5.91489 6.83799 6.95784150 2.34929 3.75393 3.80441 4.65848 5.13812 5.38099 5.86087 5.91489 6.83731 6.95782175 2.34924 3.75393 3.80441 4.65848 5.13604 5.38096 5.86087 5.91317 6.83731 6.95768200 2.34924 3.75391 3.80441 4.65848 5.13604 5.38096 5.86087 5.91317 6.83717 6.95768225 2.34923 3.75391 3.80440 4.65848 5.13519 5.38087 5.86087 5.91256 6.83717 6.95744250 2.34923 3.75340 3.80440 4.65807 5.13519 5.38087 5.86054 5.91256 6.83715 6.95744275 2.34923 3.75340 3.80438 4.65807 5.13519 5.38082 5.86054 5.91256 6.83715 6.95744300 2.34923 3.75279 3.80438 4.65753 5.13519 5.38082 5.86054 5.91256 6.83698 6.95735350 2.34922 3.75279 3.80438 4.65753 5.13473 5.38082 5.86006 5.91215 6.83698 6.95735400 2.34920 3.75262 3.80438 4.65737 5.13392 5.38081 5.85990 5.91150 6.83684 6.95735450 2.34920 3.75260 3.80438 4.65736 5.13392 5.38081 5.85990 5.91150 6.83683 6.95728500 2.34919 3.75260 3.80437 4.65736 5.13354 5.38077 5.85990 5.91122 6.83683 6.95720

1000 2.34917 3.75161 3.80437 4.65652 5.13266 5.38073 5.85917 5.91052 6.83661 6.95708

Tab. A.2: Caso 1 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =1


100 2.46214 3.91414 4.03090 4.80081 5.24647 5.63424 5.98177 6.10978 7.13018 7.16884125 2.46202 3.91414 4.03090 4.79580 5.24163 5.63424 5.97714 6.10556 7.13018 7.16884150 2.46202 3.91317 4.03090 4.79483 5.24163 5.63416 5.97614 6.10556 7.12787 7.16855175 2.46197 3.91317 4.03079 4.79483 5.23661 5.63341 5.97614 6.10210 7.12787 7.16709200 2.46197 3.91283 4.03079 4.79459 5.23661 5.63341 5.97598 6.10210 7.12784 7.16709225 2.46197 3.91283 4.03064 4.79459 5.23524 5.63280 5.97598 6.10140 7.12784 7.16607250 2.46197 3.91074 4.03064 4.79282 5.23524 5.63280 5.97448 6.10140 7.12712 7.16607275 2.46196 3.91074 4.03061 4.79282 5.23517 5.63274 5.97448 6.10127 7.12712 7.16607300 2.46196 3.90894 4.03061 4.79123 5.23517 5.63274 5.97448 6.10127 7.12588 7.16600350 2.46193 3.90894 4.03060 4.79123 5.23356 5.63265 5.97306 6.10002 7.12588 7.16578400 2.46191 3.90868 4.03055 4.79097 5.23160 5.63231 5.97280 6.09872 7.12542 7.16578450 2.46191 3.90846 4.03055 4.79081 5.23160 5.63231 5.97268 6.09872 7.12541 7.16516500 2.46191 3.90846 4.03050 4.79081 5.23101 5.63209 5.97268 6.09840 7.12541 7.16479

1000 2.46188 3.90516 4.03042 4.78795 5.22877 5.63171 5.97020 6.09686 7.12365 7.16410

53

Apêndice A. Tabelas - Condições de contorno de 1 tipo 54

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

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= =

-

-

-

-

-

-

= =

-

-

-

-

-

-

Fig. A.1: Autofunção Ψp , Caso 1 - CC Dirichlet δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK=21/2




500 2.27493 3.62229 3.63930 4.54234 5.04770 5.15898 5.75709 5.77554 6.63069 6.721011000 2.27492 3.62212 3.63930 4.54220 5.04750 5.15898 5.75697 5.77537 6.63068 6.721002000 2.27492 3.62205 3.63930 4.54214 5.04729 5.15897 5.75692 5.77520 6.63067 6.721003000 2.27491 3.62200 3.63930 4.54210 5.04722 5.15897 5.75689 5.77514 6.63067 6.721004000 2.27491 3.62199 3.63930 4.54209 5.04716 5.15897 5.75688 5.77508 6.63067 6.721005000 2.27491 3.62197 3.63929 4.54207 5.04713 5.15897 5.75687 5.77506 6.63067 6.721006000 2.27491 3.62196 3.63929 4.54206 5.04710 5.15897 5.75686 5.77503 6.63066 6.721007000 2.27491 3.62195 3.63929 4.54206 5.04708 5.15897 5.75685 5.77502 6.63066 6.721008000 2.27491 3.62194 3.63929 4.54205 5.04707 5.15897 5.75685 5.77501 6.63066 6.721009000 2.27491 3.62194 3.63929 4.54205 5.04705 5.15897 5.75684 5.77500 6.63066 6.7210010000 2.27491 3.62193 3.63929 4.54204 5.04704 5.15897 5.75684 5.77498 6.63066 6.7210011000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54204 5.04703 5.15897 5.75684 5.77498 6.63066 6.7210012000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54203 5.04703 5.15897 5.75683 5.77497 6.63066 6.7210013000 2.27491 3.62192 3.63929 4.54203 5.04701 5.15897 5.75683 5.77496 6.63066 6.7209914000 2.27491 3.62191 3.63929 4.54203 5.04701 5.15897 5.75683 5.77496 6.63066 6.7209915000 2.27491 3.62191 3.63929 4.54203 5.04700 5.15897 5.75683 5.77495 6.63066 6.7209920000 2.27491 3.62190 3.63929 4.54202 5.04698 5.15897 5.75682 5.77493 6.63066 6.7209925000 2.27491 3.62189 3.63929 4.54201 5.04697 5.15897 5.75682 5.77492 6.63066 6.7209930000 2.27491 3.62189 3.63929 4.54201 5.04696 5.15897 5.75681 5.77491 6.63066 6.72099

Analítico 2.27490 3.62183 3.63929 4.54196 5.04684 - 5.75677 5.77481 6.63066 -




100 2.22374 3.56313 3.56320 4.45832 4.99420 5.00552 5.68947 5.68950 6.54510 6.54510125 2.22373 3.56306 3.56306 4.45830 4.99414 5.00545 5.68942 5.68942 6.54508 6.54508150 2.22372 3.56301 3.56301 4.45828 4.99412 5.00536 5.68938 5.68938 6.54504 6.54504175 2.22371 3.56300 3.56300 4.45825 4.99398 5.00514 5.68935 5.68935 6.54503 6.54503200 2.22371 3.56300 3.56300 4.45825 4.99396 5.00511 5.68934 5.68934 6.54501 6.54501225 2.22370 3.56300 3.56300 4.45825 4.99387 5.00500 5.68933 5.68933 6.54501 6.54501250 2.22370 3.56297 3.56297 4.45825 4.99385 5.00499 5.68931 5.68931 6.54501 6.54501275 2.22370 3.56296 3.56296 4.45824 4.99384 5.00498 5.68930 5.68930 6.54501 6.54501300 2.22370 3.56294 3.56294 4.45824 4.99384 5.00498 5.68929 5.68929 6.54500 6.54500350 2.22370 3.56291 3.56291 4.45823 4.99382 5.00493 5.68927 5.68927 6.54500 6.54500400 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99376 5.00485 5.68926 5.68926 6.54499 6.54499450 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99375 5.00483 5.68925 5.68925 6.54499 6.54499500 2.22369 3.56289 3.56289 4.45822 4.99370 5.00477 5.68924 5.68924 6.54499 6.54499600 2.22369 3.56286 3.56286 4.45821 4.99369 5.00477 5.68922 5.68922 6.54499 6.54499

1000 2.22368 3.56282 3.56282 4.45820 4.99362 5.00465 5.68919 5.68919 6.54498 6.54498

100 2.22374 3.56316 3.56323 4.45899 4.99441 5.00538 5.68968 5.69095 6.54509 6.54510200 2.22372 3.56298 3.56303 4.45861 4.99421 5.00510 5.68942 5.69066 6.54502 6.54502300 2.22370 3.56294 3.56297 4.45860 4.99397 5.00491 5.68939 5.69016 6.54500 6.54501400 2.22370 3.56290 3.56292 4.45848 4.99392 5.00484 5.68932 5.69013 6.54499 6.54500500 2.22369 3.56288 3.56290 4.45845 4.99383 5.00476 5.68929 5.68997 6.54499 6.54499600 2.22369 3.56287 3.56288 4.45845 4.99379 5.00472 5.68929 5.68986 6.54498 6.54499700 2.22369 3.56285 3.56286 4.45840 4.99378 5.00471 5.68926 5.68983 6.54498 6.54499800 2.22368 3.56284 3.56286 4.45838 4.99376 5.00468 5.68925 5.68982 6.54498 6.54499900 2.22368 3.56283 3.56285 4.45838 4.99372 5.00465 5.68924 5.68976 6.54498 6.54498

1000 2.22368 3.56283 3.56283 4.45838 4.99370 5.00463 5.68924 5.68969 6.54498 6.54498



100 2.22631 3.62677 3.62719 4.47821 5.02590 5.04581 5.71861 5.71880 6.63481 6.63488125 2.22627 3.62643 3.62643 4.47806 5.02556 5.04532 5.71836 5.71836 6.63466 6.63466150 2.22624 3.62621 3.62621 4.47794 5.02542 5.04488 5.71818 5.71818 6.63440 6.63440175 2.22617 3.62618 3.62618 4.47781 5.02466 5.04393 5.71807 5.71807 6.63437 6.63437200 2.22616 3.62616 3.62616 4.47779 5.02456 5.04381 5.71800 5.71800 6.63432 6.63432225 2.22614 3.62616 3.62616 4.47779 5.02419 5.04342 5.71795 5.71795 6.63431 6.63431250 2.22614 3.62597 3.62597 4.47778 5.02412 5.04338 5.71783 5.71783 6.63430 6.63430275 2.22613 3.62594 3.62594 4.47775 5.02410 5.04335 5.71781 5.71781 6.63429 6.63429300 2.22613 3.62579 3.62579 4.47772 5.02409 5.04333 5.71774 5.71774 6.63425 6.63425350 2.22611 3.62567 3.62567 4.47765 5.02392 5.04306 5.71763 5.71764 6.63422 6.63422400 2.22609 3.62559 3.62559 4.47761 5.02361 5.04269 5.71757 5.71757 6.63417 6.63417450 2.22608 3.62558 3.62558 4.47760 5.02357 5.04264 5.71752 5.71752 6.63416 6.63416500 2.22607 3.62558 3.62558 4.47760 5.02338 5.04243 5.71750 5.71750 6.63416 6.63416600 2.22607 3.62535 3.62535 4.47755 5.02336 5.04240 5.71738 5.71738 6.63413 6.63413

1000 2.22603 3.62515 3.62515 4.47747 5.02297 5.04192 5.71721 5.71721 6.63408 6.63408




100 2.22931 3.70966 3.71099 4.50521 5.06485 5.09004 5.75210 5.75272 6.75562 6.75710125 2.22918 3.70870 3.70870 4.50460 5.06362 5.08827 5.75137 5.75137 6.75438 6.75638150 2.22909 3.70825 3.70825 4.50422 5.06300 5.08702 5.75094 5.75094 6.75329 6.75568175 2.22893 3.70818 3.70818 4.50387 5.06076 5.08473 5.75067 5.75067 6.75140 6.75561200 2.22891 3.70804 3.70804 4.50385 5.06051 5.08453 5.75045 5.75045 6.75108 6.75555225 2.22886 3.70799 3.70799 4.50384 5.05969 5.08382 5.75035 5.75035 6.75058 6.75547250 2.22886 3.70723 3.70723 4.50377 5.05955 5.08373 5.74989 5.74989 6.75051 6.75530275 2.22885 3.70713 3.70713 4.50362 5.05952 5.08359 5.74981 5.74981 6.75047 6.75525300 2.22884 3.70667 3.70667 4.50352 5.05951 5.08353 5.74959 5.74959 6.75044 6.75502350 2.22878 3.70634 3.70634 4.50327 5.05883 5.08267 5.74928 5.74931 6.74974 6.75488400 2.22871 3.70618 3.70618 4.50318 5.05792 5.08177 5.74917 5.74917 6.74901 6.75473450 2.22870 3.70608 3.70608 4.50315 5.05780 5.08165 5.74902 5.74902 6.74888 6.75470500 2.22867 3.70607 3.70607 4.50312 5.05741 5.08127 5.74897 5.74897 6.74863 6.75466

1000 2.22857 3.70464 3.70464 4.50264 5.05623 5.07994 5.74805 5.74805 6.74764 6.75416



100 2.31171 3.99373 3.99376 4.86859 5.65550 5.76131 6.17344 6.17351 7.19728 7.20054125 2.31151 3.99370 3.99370 4.86837 5.65335 5.75948 6.17242 6.17242 7.19675 7.19675150 2.31147 3.99328 3.99328 4.86785 5.65286 5.75907 6.17092 6.17092 7.18992 7.18992175 2.31042 3.99319 3.99319 4.86761 5.64845 5.75458 6.16879 6.16879 7.18950 7.18950200 2.31037 3.99318 3.99318 4.86754 5.64833 5.75428 6.16867 6.16867 7.18769 7.18769225 2.31029 3.99317 3.99317 4.86753 5.64731 5.75363 6.16809 6.16809 7.18738 7.18738250 2.31028 3.99294 3.99294 4.86719 5.64729 5.75345 6.16753 6.16753 7.18405 7.18405275 2.30963 3.99291 3.99291 4.86710 5.64451 5.75064 6.16657 6.16657 7.18378 7.18378300 2.30960 3.99289 3.99289 4.86708 5.64444 5.75053 6.16610 6.16610 7.18273 7.18273350 2.30954 3.99289 3.99289 4.86706 5.64390 5.75003 6.16577 6.16578 7.18249 7.18253400 2.30910 3.99272 3.99272 4.86680 5.64195 5.74812 6.16476 6.16476 7.18024 7.18024450 2.30907 3.99271 3.99271 4.86678 5.64189 5.74798 6.16438 6.16438 7.17947 7.17947500 2.30903 3.99271 3.99271 4.86677 5.64158 5.74770 6.16420 6.16420 7.17935 7.17935

1000 2.30819 3.99242 3.99242 4.86631 5.63775 5.74386 6.16167 6.16167 7.17441 7.17441


Tab. A.8: Caso 2 - Condições de contorno de 1 tipo, δ = 1/4, k∗ = 2, KK =21/2


100 2.73026 4.03566 4.98846 5.31868 5.51601 6.64564 6.91398 6.99674 7.48900 7.82835125 2.73015 4.03547 4.98708 5.31608 5.51531 6.64411 6.91371 6.99631 7.48854 7.82714150 2.73011 4.03531 4.98438 5.31521 5.51501 6.64182 6.91345 6.99610 7.48840 7.82652175 2.73003 4.03481 4.98400 5.31488 5.51459 6.64126 6.91342 6.99447 7.48801 7.82549200 2.72995 4.03443 4.98389 5.31481 5.51449 6.64122 6.91339 6.99327 7.48748 7.82524225 2.72995 4.03376 4.98324 5.31478 5.51419 6.64075 6.91327 6.99322 7.48693 7.82486250 2.72977 4.03368 4.98320 5.31408 5.51408 6.64066 6.91319 6.98992 7.48651 7.82474275 2.72976 4.03356 4.98305 5.31398 5.51401 6.64049 6.91309 6.98983 7.48634 7.82468300 2.72973 4.03350 4.98299 5.31305 5.51396 6.64041 6.91307 6.98974 7.48627 7.82461350 2.72968 4.03344 4.98186 5.31262 5.51386 6.63943 6.91296 6.98869 7.48613 7.82438400 2.72967 4.03301 4.98181 5.31256 5.51372 6.63939 6.91291 6.98859 7.48584 7.82413450 2.72966 4.03265 4.98081 5.31229 5.51347 6.63855 6.91285 6.98853 7.48555 7.82372500 2.72960 4.03258 4.98077 5.31209 5.51339 6.63851 6.91282 6.98755 7.48537 7.82359

1000 2.72943 4.03178 4.97924 5.31055 5.51292 6.63721 6.91263 6.98506 7.48453 7.82284



100 2.32572 3.70254 3.70263 4.62963 5.19980 5.22804 5.84480 5.84482 6.82207 6.82207125 2.32571 3.70245 3.70245 4.62914 5.19972 5.22794 5.84448 5.84448 6.82204 6.82204150 2.32570 3.70239 3.70239 4.62893 5.19969 5.22780 5.84438 5.84438 6.82194 6.82194175 2.32569 3.70237 3.70237 4.62890 5.19949 5.22754 5.84402 5.84402 6.82193 6.82193200 2.32569 3.70237 3.70237 4.62890 5.19946 5.22752 5.84399 5.84399 6.82191 6.82191225 2.32568 3.70236 3.70236 4.62890 5.19932 5.22741 5.84381 5.84381 6.82190 6.82190250 2.32568 3.70233 3.70233 4.62881 5.19931 5.22739 5.84378 5.84378 6.82189 6.82189275 2.32568 3.70233 3.70233 4.62881 5.19929 5.22738 5.84377 5.84377 6.82189 6.82189300 2.32568 3.70230 3.70230 4.62865 5.19929 5.22737 5.84376 5.84376 6.82188 6.82188350 2.32568 3.70227 3.70227 4.62864 5.19926 5.22731 5.84365 5.84366 6.82187 6.82187400 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19918 5.22722 5.84350 5.84350 6.82186 6.82186450 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19917 5.22720 5.84348 5.84348 6.82185 6.82185500 2.32567 3.70224 3.70224 4.62856 5.19910 5.22714 5.84340 5.84340 6.82185 6.82185

1000 2.32566 3.70215 3.70215 4.62831 5.19899 5.22701 5.84316 5.84316 6.82183 6.82183




100 2.40168 3.79477 3.79478 4.75872 5.35323 5.41456 6.07208 6.07210 7.01838 7.01838125 2.40168 3.79477 3.79477 4.75868 5.35321 5.41451 6.07195 6.07195 7.01833 7.01833150 2.40167 3.79476 3.79476 4.75868 5.35316 5.41445 6.07187 6.07187 7.01813 7.01813175 2.40166 3.79475 3.79475 4.75867 5.35316 5.41438 6.07180 6.07180 7.01809 7.01809200 2.40165 3.79475 3.79475 4.75866 5.35316 5.41436 6.07179 6.07179 7.01806 7.01806225 2.40165 3.79474 3.79474 4.75866 5.35314 5.41433 6.07170 6.07170 7.01806 7.01806250 2.40165 3.79474 3.79474 4.75866 5.35313 5.41432 6.07170 6.07170 7.01795 7.01795275 2.40164 3.79474 3.79474 4.75866 5.35313 5.41428 6.07167 6.07167 7.01794 7.01794300 2.40164 3.79473 3.79473 4.75865 5.35313 5.41427 6.07165 6.07165 7.01792 7.01792350 2.40164 3.79473 3.79473 4.75865 5.35311 5.41424 6.07160 6.07160 7.01791 7.01791400 2.40163 3.79473 3.79473 4.75865 5.35311 5.41421 6.07157 6.07157 7.01784 7.01784450 2.40163 3.79473 3.79473 4.75864 5.35311 5.41420 6.07156 6.07156 7.01782 7.01783500 2.40163 3.79472 3.79472 4.75864 5.35310 5.41419 6.07153 6.07153 7.01782 7.01782

1000 2.40162 3.79471 3.79471 4.75864 5.35309 5.41410 6.07142 6.07142 7.01768 7.01768



100 2.46953 3.95140 3.95188 4.85262 5.45907 5.56941 6.05888 6.05896 7.23877 7.23891125 2.46948 3.95090 3.95090 4.84984 5.45855 5.56887 6.05698 6.05698 7.23834 7.23834150 2.46945 3.95060 3.95060 4.84895 5.45825 5.56815 6.05651 6.05651 7.23775 7.23775175 2.46940 3.95055 3.95055 4.84880 5.45691 5.56717 6.05489 6.05489 7.23770 7.23770200 2.46940 3.95053 3.95053 4.84878 5.45684 5.56700 6.05481 6.05481 7.23758 7.23758225 2.46939 3.95052 3.95052 4.84877 5.45611 5.56670 6.05420 6.05420 7.23746 7.23746250 2.46939 3.95029 3.95029 4.84809 5.45609 5.56656 6.05400 6.05400 7.23741 7.23741275 2.46938 3.95026 3.95026 4.84805 5.45604 5.56651 6.05396 6.05396 7.23740 7.23740300 2.46938 3.95008 3.95008 4.84720 5.45603 5.56649 6.05392 6.05392 7.23728 7.23728350 2.46936 3.94991 3.94991 4.84709 5.45577 5.56616 6.05328 6.05330 7.23719 7.23719400 2.46935 3.94980 3.94980 4.84680 5.45522 5.56578 6.05262 6.05262 7.23708 7.23708450 2.46934 3.94979 3.94979 4.84678 5.45519 5.56571 6.05254 6.05254 7.23704 7.23704500 2.46934 3.94979 3.94979 4.84678 5.45487 5.56551 6.05227 6.05227 7.23699 7.23699




100 2.68513 4.29455 4.29593 5.12106 5.74356 6.05091 6.33188 6.33198 7.75422 7.75534125 2.68503 4.29276 4.29276 5.11232 5.74166 6.04943 6.32605 6.32605 7.75082 7.75082150 2.68496 4.29212 4.29212 5.11061 5.73979 6.04745 6.32487 6.32487 7.74850 7.74850175 2.68492 4.29195 4.29195 5.11023 5.73494 6.04586 6.32131 6.32131 7.74793 7.74793200 2.68491 4.29177 4.29177 5.10982 5.73491 6.04511 6.32102 6.32102 7.74755 7.74755225 2.68490 4.29165 4.29165 5.10980 5.73307 6.04474 6.32022 6.32022 7.74697 7.74697250 2.68490 4.29059 4.29059 5.10691 5.73304 6.04426 6.31952 6.31952 7.74609 7.74609275 2.68489 4.29050 4.29050 5.10664 5.73300 6.04396 6.31923 6.31923 7.74604 7.74604300 2.68488 4.29000 4.29000 5.10420 5.73297 6.04391 6.31913 6.31913 7.74559 7.74559350 2.68485 4.28940 4.28940 5.10374 5.73164 6.04301 6.31714 6.31719 7.74468 7.74472400 2.68483 4.28917 4.28917 5.10327 5.72969 6.04238 6.31580 6.31580 7.74423 7.74423450 2.68483 4.28904 4.28904 5.10297 5.72967 6.04207 6.31554 6.31554 7.74381 7.74382500 2.68483 4.28899 4.28899 5.10296 5.72891 6.04172 6.31518 6.31518 7.74355 7.74355600 2.68482 4.28793 4.28793 5.10011 5.72888 6.04156 6.31439 6.31439 7.74260 7.74260

1000 2.68479 4.28704 4.28704 5.09782 5.72668 6.04038 6.31219 6.31219 7.74143 7.741432000 2.68477 4.28616 4.28616 5.09572 5.72437 6.03919 6.30998 6.30998 7.74029 7.740293000 2.68476 4.28571 4.28571 5.09458 5.72350 6.03874 6.30906 6.30906 7.73973 7.73973

Apêndice B

Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo

Tab. B.1: Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1

kmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10

100 1.64900 2.65917 3.78893 4.21966 4.44326 5.27589 5.69588 5.97094 6.26032 6.603361000 1.64583 2.65789 3.78733 4.21745 4.44290 5.27162 5.66974 5.94514 6.25721 6.595562000 1.64542 2.65773 3.78711 4.21714 4.44289 5.27102 5.66657 5.94202 6.25695 6.594483000 1.64517 2.65764 3.78703 4.21704 4.44289 5.27082 5.66471 5.94019 6.25681 6.594124000 1.64501 2.65758 3.78697 4.21694 4.44288 5.27064 5.66347 5.93898 6.25672 6.593805000 1.64493 2.65755 3.78693 4.21689 4.44288 5.27055 5.66284 5.93836 6.25667 6.593636000 1.64486 2.65752 3.78690 4.21685 4.44288 5.27046 5.66232 5.93785 6.25663 6.593487000 1.64483 2.65751 3.78687 4.21681 4.44288 5.27040 5.66209 5.93763 6.25662 6.593368000 1.64478 2.65749 3.78686 4.21679 4.44288 5.27036 5.66170 5.93724 6.25659 6.593299000 1.64473 2.65747 3.78684 4.21677 4.44288 5.27031 5.66136 5.93691 6.25656 6.5932210000 1.64471 2.65746 3.78683 4.21676 4.44288 5.27028 5.66121 5.93676 6.25655 6.5931615000 1.64462 2.65743 3.78679 4.21669 4.44288 5.27016 5.66049 5.93605 6.25649 6.59295

Analítico 1.64418 2.65726 3.78659 4.21642 4.44288 5.26965 5.65710 5.93273 - -

Tab. B.2: Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/2, k∗ = 2, KK =1T (0,−0.8) T (0,−0.5)

kmax \ pmax 100 500 1000 3000 100 500 1000500 0.13263 0.13343 - - 0.32658 0.33077 -1000 0.13252 0.13385 0.13364 - 0.32644 0.33055 0.331572000 0.13243 0.13369 0.13355 - 0.32637 0.33050 0.331373000 0.13240 0.13365 0.13351 0.13355 0.32635 0.33049 0.331364000 0.13238 0.13361 0.13348 0.32633 0.33047 0.331335000 0.13236 0.13360 0.13347 0.13352 0.32632 0.33046 0.3313210000 0.13233 0.13355 0.13342 0.13348 0.32629 0.33043 0.33129

Analítico 0.13333 0.33333

61

Apêndice B. Tabelas - Condições de contorno de 2 e 1 tipo 62

Tab. B.3: Caso 1 - Condições de contorno de 2 e 1 tipo , δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1

kmax µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10

100 1.57417 2.27498 3.25899 3.62299 3.63934 4.54295 4.78246 5.04900 5.15910 5.75765500 1.57410 2.27493 3.25824 3.62229 3.63930 4.54234 4.78109 5.04770 5.15898 5.757091000 1.57409 2.27492 3.25809 3.62215 3.63930 4.54223 4.78088 5.04750 5.15898 5.757001500 1.57408 2.27492 3.25803 3.62209 3.63930 4.54218 4.78074 5.04738 5.15897 5.756952000 1.57407 2.27492 3.25798 3.62205 3.63930 4.54214 4.78066 5.04729 5.15897 5.756923000 1.57407 2.27491 3.25793 3.62201 3.63930 4.54211 4.78058 5.04722 5.15897 5.756894000 1.57407 2.27491 3.25791 3.62199 3.63930 4.54209 4.78052 5.04716 5.15897 5.756885000 1.57406 2.27491 3.25789 3.62197 3.63929 4.54207 4.78048 5.04713 5.15897 5.756876000 1.57406 2.27491 3.25788 3.62196 3.63929 4.54206 4.78045 5.04710 5.15897 5.756867000 1.57406 2.27491 3.25787 3.62195 3.63929 4.54206 4.78044 5.04709 5.15897 5.756858000 1.57406 2.27491 3.25786 3.62194 3.63929 4.54205 4.78042 5.04707 5.15897 5.756859000 1.57406 2.27491 3.25785 3.62194 3.63929 4.54205 4.78040 5.04705 5.15897 5.7568410000 1.57406 2.27491 3.25785 3.62193 3.63929 4.54204 4.78039 5.04704 5.15897 5.7568420000 1.57406 2.27491 3.25781 3.62190 3.63929 4.54202 4.78033 5.04698 5.15897 5.7568230000 1.57405 2.27491 3.25780 3.62189 3.63929 4.54201 4.78030 5.04696 5.15897 5.7568150000 1.57405 2.27490 3.25779 3.62188 3.63929 4.54200 4.78027 5.04693 5.15897 5.75680

Analítico 1.57405 2.27490 3.25774 3.62183 3.63929 4.54196 4.78017 5.04684 - 5.75677

Tab. B.4: Caso 1 TH = 1, T0 = 0, δ = 1/4, k∗ = 1.2, KK =1T (0,−0.8) T(0,-0.5)

kmax \ pmax 100 500 1000100 0.10453 - - 0.26073 - -500 0.10448 0.10441 - 0.26069 0.26096 -1000 0.10448 0.10436 0.10433 0.26066 0.26089 0.260962000 0.10447 0.10435 0.10435 0.26065 0.26088 0.260923000 0.10447 0.10435 0.10435 0.26065 0.26087 0.260924000 0.10446 0.10435 0.10435 0.26064 0.26087 0.26092

Analítico 0.10435 0.26087

pgmec · conjugados de transferência de calor, quando utiliza-se a gitt. três casos foram...

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