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PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DA TRANSFERÊNCIA DE

CALOR TRANSIENTE EM FLUIDOS

SUPERCRÍTICOS

AMANDA FURTADO PINHEIRO

ABRIL DE 2016

AMANDA FURTADO PINHEIRO

ANÁLISE DA TRANSFERÊNCIA DE CALORTRANSIENTE EM FLUIDOS SUPERCRÍTICOS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSENITERÓI, ABRIL DE 2016

ANÁLISE DA TRANSFERÊNCIA DE CALORTRANSIENTE EM FLUIDOS SUPERCRÍTICOS

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Agradecimentos

Agradeço a Deus por ter me dado forças para nunca desistir.

Agradeço principalmente aos meus pais Alfredo e Neusa e à minha irmã Talita

por todo o suporte emocional e amor incondicional que me cederam durante o curso.

Sempre presentes, preocupados, vibrando com as minhas conquistas e me consolando

nos momentos difíceis, sem vocês nada disso seria possível. Obrigada por sempre

colocarem a minha felicidade em primeiro lugar. Vocês sempre foram e sempre serão

a minha inspiração pra viver.

Agradeço à UFF por toda a experiência que vivi nos últimos anos, por me propor-

cionar momentos inesquecíveis e amizades que levarei para o resto da vida.

Aos familiares e amigos, obrigada por terem acreditado na minha capacidade e

por terem me alegrado quando mais precisei. Os momentos felizes que vocês me

proporcionaram foram essenciais para que eu pudesse enfrentar todos os desafios.

Agradeço imensamente ao Ricardo Dias, que com sua generosidade e inteligência

excepcional, se prontificou a me auxiliar e orientar não só na dissertação, mas durante

todo o curso do mestrado.

Ao meu orientador Leonardo Alves, agradeço por todo auxílio. Sua orientação e

seu vasto conhecimento na área foram essenciais para que eu pudesse concretizar o

trabalho.

iv

Resumo

A transferência de calor dentro de uma cavidade contendo um fluido supercrítico a

gravidade zero ocorre de maneira inesperadamente rápida. Esse fenômeno, chamado

de efeito pistão, foi analisado para diferentes casos. Um modelo termodinâmico espe-

cífico para este caso foi usado, que consiste na equação geral do calor com um termo

fonte adicional que contém a derivada da temperatura média em relação ao tempo. No

presente trabalho foi realizada a análise da transferência de calor usando o método

GITT para três tipos diferentes de condições de contorno: Dirichlet, Neumann e Ro-

bin. Primeiro as condições de contorno foram variadas na parede da direita, mantendo

a temperatura da parede da esquerda prescrita e depois as condições foram variadas

na parede da esquerda, mantendo a temperatura da parede da direita prescrita. Após

analisar os resultados obtidos pelo GITT, estes foram comparados com outros resulta-

dos, obtidos a partir do método de aproximação de parâmetros concentrados, apenas

para o comportamento da temperatura média. A análise realizada no trabalho mostrou

que quanto maior o fator ∞, mais compressível o fluido, mais intenso o efeito pistão e

menor o tempo de relaxação da temperatura média. Foi certificada a influência de Biot

na condição de Robin: para maiores valores, a condição se mostrou mais parecida com

Dirichlet e para valores menores, o comportamento foi mais semelhante à condição de

Neumann. Foi evidenciado um superaquecimento inesperado nos casos em que não se

prescreve a temperatura na parede da direita, explicados através da presença do efeito

pistão na parede da esquerda. O método de aproximação dos parâmetros concentrados,

no geral, mostrou tendências similares ao GITT, sendo de grande eficiência nos casos

em que não houve superaquecimento.

Palavras-Chave: GITT, Fluidos Supercríticos, Efeito pistão, Tempo de Relaxação,

Transferência de Calor, Termodinâmica.

v

Abstract

The heat transfer into a one dimensional cavity containing a supercritical fluid at

zero gravity occurs unexpectedly fast. This phenomenon, called as piston effect, was

analyzed for different cases. A thermodynamic model for this specific happening was

used, and it consists in the general heat equation with an addition source term con-

taining the bulk temperature time derivative. In the present work it was intended to

analyze the heat transfer using GITT for three different boundary conditions for both

walls: Dirichlet, Neumann and Robin. First, the boundary conditions were varied in

the right wall while the left wall was prescribed and then the conditions were varied

in the left wall while the right wall stayed prescribed. After analyzing the results for

GITT, these were compared with other results obtained from the approximation method

of improved lumped only to the behavior of the bulk temperature. The work analysis

showed that the higher the factor ∞, more compressible the fluid, more intense the pis-

ton effect and shorter the relaxation time of the >b . It was certified the influence of

Biot at Robin condition: for higher values, the condition was more like Dirichlet and

for lower values, the behavior was more like the Neumann condition. It was shown

an unexpected overheating in the cases where the temperature is not prescribed at the

right wall, explained by the presence of the piston effect at the left wall. The method

of improved lumped, in general, showed similar trends to GITT, and was very efficient

in cases where there is no overheating.

Key-Words: GITT, Supercritical Fluids, Piston Effect, Relaxation Time, Heat Transfer,

Thermodynamics.

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 O Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Estabilidade Termodinâmica e Potenciais Químicos . . . . . . . . . . . 4

1.3 Fenômeno Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Efeito Pistão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Parâmetros Concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 GITT- Método Generalizado da Transformada Integral . . . . . . . . . 29

3.1.1 Verificação numérica do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Caso 1: Dirichlet-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Caso 2: Dirichlet-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.4 Caso 3: Dirichlet-Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Caso 4: Neumann-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.6 Caso 5: Robin-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Parâmetros Concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Caso 1: Dirichlet-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Caso 2: Dirichlet-Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

vii

Sumário viii

3.2.3 Caso 3: Neumann-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.4 Caso 4: Robin-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Lista de Figuras

1.1 Diagrama de Fases de um componente puro [1] . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Curva de Coexistência e Curva Spinodal [1] . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Resultados experimentais de aquecimento quase crítico de SF6

[2]. . . 9

1.4 Efeito Pistão [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Variação numérica do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Perfil de temperatura local para Dirichlet nas duas paredes. ∞= 2 . . . 31




3.6 Variação no tempo da temperatura média para Dirichlet nas duas paredes. 33

3.7 Perfil de temperatura local para Neumann na parede da direita e Diri-

chlet na parede da esquerda. ∞= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34







3.11 Variação no tempo da temperatura média para Neumann na parede da

direita e Dirichlet na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.12 Perfil de temperatura local para Robin na parede da direita e Dirichlet

na parede da esquerda. (Bi = 1), ∞= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


na parede da esquerda. (Bi = 1), ∞= 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


na parede da esquerda. (Bi = 1), ∞= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ix

Lista de Figuras x


na parede da esquerda. (Bi = 1), ∞= 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.16 Variação no tempo da temperatura média para Robin na parede da di-

reita (Bi = 1) e Dirichlet na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . 39







3.20 Perfil de temperatura local para Dirichlet na parede da direita e Neu-

mann na parede da esquerda. ∞= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


mann na parede da esquerda. ∞= 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


mann na parede da esquerda. ∞= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


mann na parede da esquerda. ∞= 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.24 Variação no tempo da temperatura média Dirichlet na parede da direita

e Neumann na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.25 Perfil de temperatura local para Dirichlet na parede da direita e Robin

na parede da esquerda. Bi = 1, ∞= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


na parede da esquerda. Bi = 1, ∞= 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


na parede da esquerda. Bi = 1, ∞= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


na parede da esquerda. Bi = 1, ∞= 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Lista de Figuras xi


e Robin (Bi = 1) na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


e Robin (Bi = 5) na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


e Robin (Bi = 10) na parede da esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.32 Variação no tempo da temperatura média do caso Robin-Dirichlet para

aproximação H1,1

°H1,1

e GITT para diferentes valores de Bi. ∞= 20 . 49

3.33 Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Neumann

para diferentes aproximações. ∞= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50








e aproximação H0,0

°H0,0

para diferentes valores de ∞. . . . . . . . . . 52

3.38 Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Robin

para diferentes aproximações. ∞= 1, Bi = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 53




para diferentes aproximações. ∞= 10, Bi = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 54





°H0,0

para diferentes valores de ∞. Bi = 1 . . . . . 55

Lista de Figuras xii

3.43 Variação no tempo da temperatura média para o caso Neumann-Dirichlet










°H1,1

para diferentes valores de ∞. . . . . . . . . . 58

3.48 Variação no tempo da temperatura média para o caso Robin-Dirichlet










°H1,1

para diferentes valores de ∞. Bi = 1 . . . . . 61

Lista de Tabelas

1.1 Propriedades divergentes perto do ponto crítico e expoentes críticos

associados [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Propriedades termofísicas do N2

supercrítico (unidades em SI) [3] . . . 8

2.1 Condições de contorno para a parede da esquerda com a parede da

direita a temperatura prescrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Condições de contorno para a parede da direita com a parede da es-

querda a temperatura prescrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Expressões de Bi+ para as diferentes aproximações para os casos Dirichlet-

Robin e Robin-Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

xiii

Capítulo 1

Introdução

Apesar dos fluidos supercríticos terem sido usados em várias aplicações industri-

ais nos últimos 60 anos, foi apenas no início dos anos 70 que as suas propriedades

termofísicas foram entendidas. Esse assunto deixou de ser um aspecto particular das

transições de fase descritas em livros sobre termodinâmica, para ser um domínio de

pesquisa ativo envolvendo uma variedade de tópicos fundamentais da física estatís-

tica, dinâmica de fluidos, química, bem como muitas aplicações em diversos processos

industriais.

Lorentzen e Pettersen [4] provaram que CO2

em estado quase crítico é um refrige-

rante alternativo aos poluentes fluorcarbonos para condicionadores de ar em automó-

veis, solucionando problemas ambientais associados com tais sistemas. Outros exem-

plos de aplicações de tais fluidos são armazenamento gás natural liquefeito (GNL) [5],

refrigeração magnética supercondutora [6], extração química e processos de separação

[7], reatores de água supercrítica [8] e propulsores de foguetes de alta performance [9].

Os fluidos supercríticos têm demonstrado efeitos notáveis na física fora de equi-

líbrio e na hidrodinâmica, através de experimentos de laboratório em uma faixa de

parâmetro extrema, normalmente alcançada apenas nos fluxos geofísicos e astrofísi-

cos. São aplicados à engenharia, área que também toma vantagem das propriedades

desses fluidos [10].

As principais descobertas sobre os fenômenos de relaxamento dinâmico nesses flui-

1

1. Introdução 2

dos são ainda muito recentes, por volta de 15 anos, com muitas questões em aberto [1].

Desenvolver um breve resumo desses resultados recentes e realizar novos estudos sobre

a relaxação térmica nos fluidos supercríticos parece útil para um público interessado

em tal assunto. Integrar este conhecimento recente pode de fato ajudar a otimizar os

processos existentes, e possivelmente estimular a concepção de novas abordagens, até

agora não consideradas por falta de uma melhor compreensão do que está acontecendo

perto do ponto crítico .

1.1 O Ponto Crítico

As propriedades dos fluidos foram investigadas por um longo tempo. Um dos ex-

perimentos mais famosos (e mais antigos mencionados na literatura) foi o de Baron

Charles Cagniard de Latour [11], um cientista francês. Ele estava estudando o equi-

líbrio de fases entre volumes iguais de CO2

gasoso e líquido em uma pistola selada.

Ele verificava a presença de duas fases através da agitação da pistola, que produzia um

ruído, realizado pelo espirro da fase líquida. Acima de uma determinada temperatura

ele percebeu que o ruído parou: ele estava atravessando um "ponto crítico", um con-

junto de condições como a temperatura, a pressão e a densidade para além das quais

um limite de fase gás-líquido deixa de existir. Neste caso, o limite de fase entre as fases

gasosa e líquida de CO2

desapareceu à temperatura crítica; e assim a massa específica

do fluido é a mesma que a do líquido [10].

Segundo a regra de fases de Gibbs, um componente puro em equilíbrio termodi-

nâmico pode ser observado na forma de 3 fases diferentes, que são determinadas por

apenas duas variáveis de estado independentes. O conjunto dos possíveis estados de

equilíbrio formam uma superfície tridimensional das variáveis de estado. Um exem-

plo de superfície de estado pode ser observado na Figura 1, com as três variáveis de

estado mais comuns: P , Ω e T . Os componentes mais usuais possuem diagramas de

fase e curvas de coexistência similares. Na figura 1.1 também podem ser observadas

as projeções da superfície de estado nos planos (P,T ) e (P,1/Ω) [12].

1. Introdução 3

Fig. 1.1: Diagrama de Fases de um componente puro [1]

Se um ponto de valores definidos de pressão e temperatura estiver localizado numa

curva de coexistência (figura 1.2), então o componente está sob a forma de duas fases

coexistentes. Pode-se observar que a curva de coexistência líquido-vapor não é infinita,

mas apresenta um máximo ( figura 1.1). Consequentemente, os estados líquido e vapor

não podem ser considerados como dois estados separados, mas sim como os extremos

de uma continuidade. A parte superior da curva de coexistência de vapor-líquido foi

nomeada de ponto crítico, devido à sua natureza singular (projeção (P,T ) da figura 1.2)

[12].

Um fluido cuja temperatura é maior que sua temperatura crítica não é nem um

líquido, nem um gás, é um fluido supercrítico. Tais fluidos apresentam propriedades

únicas, às vezes similares aos gases, às vezes similares aos líquidos. À medida em que

o ponto crítico se aproxima, a diferença entre as fases líquida e gasosa tende a tornar-se

progressivamente menores, até que coincide com o desaparecimento do limite de fases

[1].

1. Introdução 4

Fig. 1.2: Curva de Coexistência e Curva Spinodal [1]

1.2 Estabilidade Termodinâmica e Potenciais Químicos

Alguns resultados clássicos da estabilidade termodinâmica serão lembrados, pois

permitem uma interpretação qualitativa da existência de um ponto crítico e das pro-

priedades peculiares observadas na sua vizinhança. Vamos considerar o Potencial de

Gibbs, definido como:

G =U + PΩ°T S (1.1)

sendo U a Energia Interna e S a Entropia (por unidade de massa) [13].

A Segunda Lei da Termodinâmica implica que é G um potencial termodinâmico

para sistemas com pressão e temperatura constantes. Isto significa que para um dado

conjunto de valores de (P, T), um sistema está num estado de equilíbrio se G é mí-

nimo. Além disso, este equilíbrio é estável se G é uma função convexa de T e P. Em

outras palavras, a estabilidade de um estado de equilíbrio é governada pelas seguintes

desigualdades:

1. Introdução 5

µ@2G@T 2

∂

P< 0 e

µ@2G@P 2

∂

T< 0 (1.2)

mas

dG = °S dT + 1

ΩdP e dS = CP

TdT + 1

Ω2

µ@Ω

@T

∂

P(1.3)

então:

µ@2G@T 2

∂

P= °

µ@S@T

∂

P= °CP

T< 0 (1.4)

µ@2G@P 2

∂

T=

≥@Ω@P

¥

T

Ω2

= °kT

Ω< 0 (1.5)

sendo kT a compressibilidade isotérmica. Consequentemente, um componente puro

está num estado estável se, e somente se, sua compressibilidade isotérmica e capacida-

des térmicas são positivas [1].

Analisemos agora a projeção (P,1/Ω) da superfície do estado representada na fi-

gura 1.2. Várias curvas foram desenhadas abaixo e acima da temperatura crítica e a

linha fina pontilhada representa a extensão contínua das curvas de dentro da curva de

coexistência. Acima do ponto crítico, a inclinação das isotermas é sempre negativa.

Em outras palavras, a compressibilidade isotérmica é sempre positiva, e a condição da

equação (1.5) é sempre satisfeita [1].

Consideremos agora um recipiente contendo um fluido supercrítico a uma massa

específica crítica, cuja temperatura é diminuída lentamente. Na figura 1.2, observa-se

que as curvas tendem a se aproximar de uma reta horizontal quando o ponto crítico se

aproxima; a compressibilidade do fluido aumenta perto do ponto crítico. Se a tempera-

tura for ainda mais diminuída, o fluido entra na zona de duas fases (ex.: ponto b), e uma

separação de fases ocorre; o recipiente agora contém uma proporção de líquido (ponto

a) e de gás (ponto c), ambos à mesma pressão e temperatura. No ponto b, a exten-

são contínua da isoterma (linha pontilhada) apresenta inclinação positiva. Um fluido

Leandro Sphaier

é o beta (coeficiente de expansão térmica)… vale mencionar esta terminologia tb

1. Introdução 6

em uma única fase em condições médias do ponto b exibiria uma compressibilidade

negativa, e seria, portanto, mecanicamente instável [13].

O processo de separação de fases ao longo da isócora crítica pode, assim, ser vista

como uma perda de estabilidade mecânica. No ponto crítico, o fluido supercrítico

monofásico perde a sua estabilidade e separa-se em duas fases estáveis. No entanto,

pode-se observar que parte das isotermas de dentro da curva de coexistência ainda

mantém uma inclinação negativa. O limite deste domínio é materializado por uma

linha contínua na figura nomeada Curva Spinodal [12].

Entre a curva de coexistência e a curva spinodal, o fluido é localmente estável. Po-

rém, o seu potencial de Gibbs não é mínimo para todos os estados possíveis à mesma

pressão e temperatura. Isto se chama estado Metaestável, onde uma única fase pode ser

mantida mesmo quando pequenas perturbações ocorrem. Entretando, se uma grande

perturbação ocorrer, o fluido pode se desestabilizar repentinamente. Em outras pala-

vras, o ponto crítico é definido como o ponto em que a estabilidade mecânica torna-se

neutra [1].

µ@P@Ω

∂

T(Tc , Pc ) = 0 compressibilidade infinita (1.6)

µ@2P@Ω2

∂

T(Tc , Pc ) = 0 ponto de inflexão na isoterma crítica (1.7)

µ@3P@Ω3

∂

T(Tc , Pc ) > 0 estabilidade da isoterma crítica (1.8)

1.3 Fenômeno Crítico

Quando um fluido se aproxima do seu ponto crítico, muitas de suas proprieda-

des divergem, como a compressibilidade isotérmica, a capacidade calorífica a volume

constante e o comprimento de correlação. Este fato é chamado de Fenômeno Crítico e

representa os diferentes mecanismos realizados pelo fluido supercrítico quando este se

prepara para uma mudança de fase [1].

1. Introdução 7

A divergência da compressibilidade perto do ponto crítico pode ser vista como um

caminho para o fluido supercrítico adaptar progressivamente seu comportamento para

um de um sistema de duas fases. Uma analogia pode ser feita para o calor específico,

que também diverge no ponto crítico. A divergência das propriedades do fluido no

ponto crítico pode ser escrita como leis de potência de um parâmetro. Este parâmetro

mede a distância até o ponto crítico. Por exemplo, a divergência da compressibilidade

isotérmica ao longo da isócora crítica pode ser escrita como:

kT = ° |"|°∞ com " = T ° Tc

Tc(1.9)

Neste exemplo, a distância até o ponto crítico é expressa pelo parâmetro ", cha-

mado de Temperatura Reduzida, e as propriedades divergem com o expoente ∞, cha-

mado de Expoente Crítico. Esse expoente assume o mesmo valor para todos os fluidos

puros. ° é o Co-Fator da lei de potência. Na tabela 1.1, a divergência crítica das

propriedades de um fuido puro estão resumidas [1].

Tab. 1.1: Propriedades divergentes perto do ponto crítico e expoentes críticos associa-dos [1]

Propriedade Caminho Termodinâmico Divergência Crítica Expoente Crítico∑T Isocórica Crítica ∑T = °|e|°∞ ∞= 1.239®0.002

Cv Isocórica Crítica Cv = A® |≤|°Æ Æ= 0.110®0.003

Ωl ° Ωg Curva de coexistência Ωl ° Ωg = 2B |≤|Ø Ø= 0.326®0.002

|¢P | Isoterma Crítica |¢P | = D|¢Ω|± ±= 4.80®0.02

A divergência crítica de uma propriedade é definida ao longo de um caminho ter-

modinâmico bem definido. Claro que, uma quantidade divergente irá divergir para

qualquer caminho termodinâmico que a conduza ao ponto crítico [1].

Há uma grande facilidade em encontrar a correspondência entre o expoente crítico

ao longo da isócora crítica e o expoente crítico ao longo da isoterma crítica ou a curva

de coexistência para uma determinada propriedade. No entanto, para caminhos mais

complexos, esta correspondência só pode ser obtida através do conhecimento de uma

equação de estado [1].

O fato da condutividade térmica sofrer divergência não significa que um fluido

1. Introdução 8

Tab. 1.2: Propriedades termofísicas do N2

supercrítico (unidades em SI) [3]"b

(°) Cv ∞(°) ∏) 10

8 x DT ÆP ∑T ¥s vs3.96 x 10

°4

1.871 1001.610 0.198 0.034 2.826 x 10

1

1.718 x 10

°1

18.773 136.411

3.96 x 10

°3

1.693 101.610 0.087 0.161 2.556 x 10

0

1.549 x 10

1

18.800 144.814

3.96 x 10

°2

1.154 11.960 0.048 1.104 1.799 x 10

°1

1.071 x 10

1

19.061 188.794

3.96 x 10

°1

0.854 2.524 0.037 5.541 1.356 x 10

°2

7.941 x 10

1

21.571 318.538

1.58 x 10

0

0.794 1.660 0.048 11.648 3.097 x 10

°3

1.906 x 10

1

28.761 527.156

perto do seu ponto crítico é um melhor condutor. Na verdade, a relaxação térmica

por difusão é extremamente lenta, já que depende da Difusividade Térmica ∏/(ΩCp ),

a qual tende a zero, pois Cp diverge mais rapidamente que ∏.

Os fluidos supercríticos são densos e compressíveis ao mesmo tempo. Isso acon-

tece porque, geralmente, o coeficiente de difusão térmica de tal fluido é muito pequeno

em comparação com o de um gás convencional, enquanto o seu coeficiente de difusão

mássica é geralmente muito maior do que o da maioria dos líquidos. As propriedades

desse fluido podem ser facilmente ajustadas por pequenas variações na temperatura

média e na pressão. Mesmo longe do ponto crítico, a divergência das propriedades

pode ser sentida e pode induzir respostas dinâmicas inesperadas.

1.4 Efeito Pistão

Devido ao desaparecimento da difusividade térmica perto do ponto crítico (como

pode ser visto na tabela 1.2), foi pensado por muito tempo que o relaxamento térmico

de um fluido quase crítico sofreria uma abrandamento crítico ao se aproximar do ponto

crítico.

No entanto, foi relatado um transporte de calor muito rápido em experimentos ca-

lorimétricos terrestres. Os tempos de relaxação térmicos medidos por Dahl e Moldover

em 1972 eram muito menores do que os previstos pelo modelo de difusão térmica [14].

Os autores relacionaram o fracasso do modelo à convecção induzida pela flutuação

turbulenta. Por causa da combinação incomum entre a compressibilidade excepcional-

mente alta e a baixa difusividade térmica dos fluidos supercríticos, as perturbações de

temperatura são, de fato, propensas a causar instabilidades convectivas.Foi amplamente considerado que, em experimentos de microgravidade, onde quase

não há convecção natural, o equilíbrio térmico deveria ser realizado apenas por difusão

1. Introdução 9

térmica, e, consequentemente, deveria ser cada vez mais lento ao se aproximar do

ponto crítico.

Devido às limitações práticas associadas aos experimentos espaciais, apenas em

1985 foi realizada a primeira experiência bem sucedida em microgravidade. Nitsche

e Straub realizaram uma medição da capacidade calorífica a volume fixo de SF6

su-

percrítico sob gravidade reduzida a bordo do foguete balístico TEXAS como parte da

missão alemã D1 [2]. Os resultados conduziram a uma descoberta muito intrigante que

opôs-se totalmente à suposição do abrandamento crítico como mostrado na Fig. 1.3:

a temperatura no centro da célula de fluido contendo SF6

supercrítico acompanhou

a temperatura da parede, aumentando mesmo na ausência de convecção natural. Em

comparação, no mesmo período de microgravidade, a teoria da difusão previu quase

nenhuma mudança de temperatura (linha tracejada, figura 1.3). O relaxamento térmico

foi concluído em questão de segundos, em oposição ao tempo previsto pela difusão

térmica pura, que seria de dias. Em vez de reduzir a velocidade crítica, uma aceleração

crítica foi observada quando o ponto crítico se aproximou.

Fig. 1.3: Resultados experimentais de aquecimento quase crítico de SF6

[2].

Nenhuma explicação teórica sustentável foi proposta até 1990, quando três equipes

descobriram independentemente o mecanismo físico por trás da aceleração inesperada

1. Introdução 10

da relaxação térmica perto do ponto crítico, com base em diferentes abordagens. De

uma perspectiva puramente termodinâmica, Onuki e Ferrell [15] derivaram um modelo

heurístico para explicar o rápido equilíbrio. A análise teórica mostra que as pertur-

bações térmicas impostas geram uma forte expansão da camada limite térmica, que

comprime o resto do fluido como um pistão em movimento. A evolução do campo de

temperatura, conduzida pela convecção induzida, atinge um estado de quase equilíbrio

de uma forma muito mais eficiente do que por difusão térmica pura Onuki et al. [16].

A mudança de temperatura local é espalhada a uma taxa muito mais rápida do que

por difusão por si só, porque a compressão gera um aquecimento adiabático da massa.

Consequentemente, o equilíbrio térmico é facilitado consideravelmente.

Zappoli et al. [17] desenvolveram uma solução numérica para o modelo hidrodi-

nâmico perto do ponto crítico, a qual capturou a essência do efeito pistão. Foi de-

monstrado que a expansão da camada limite térmica gera ondas que se propagam com

uma velocidade ligeiramente inferior do que a velocidade do som na escala de tempo

acústico.

Para completar a descrição física, uma equação de estado é necessária. Por sua

forma simples, a equação de Van der Waals tem sido considerada como uma apro-

ximação aceitável do comportamento termodinâmico singular perto do ponto crítico

[18]. Porém, quantitativamente, a equação de Van der Waals é incapaz de modelar

as singularidades críticas corretamente. Para obter uma visão mais precisa perto do

ponto crítico, pode-se recorrer à uma equação de estado de fluido real que é baseada

na identidade termodinâmica [4].

Zappoli [19] notou que, à medida em que o comprimento de correlação se torna

tão grande quanto a escala física do processo, a descrição macroscópica hidrodinâmica

pode eventualmente falhar. No entanto, a maioria das pesquisas foca em condições que

não são nas vizinhanças do ponto crítico.

Pelo método das assintóticas correspondentes, Zappoli e Carles [20] descobriram

que por trás do efeito pistão encontra-se uma natureza termoacústica proeminente na

escala de tempo acústico. O aquecimento homogêneo da temperatura média é realizado

1. Introdução 11

por um sistema de ondas termoacústicas de amplitudes ínfimas.

Em outras palavras, uma pequena perturbação na temperatura da parede de uma

cavidade contendo um fluido supercrítico gera uma camada limite térmica por meio

de condução. Essa camada limite resulta na expansão do fluido da região aquecida,

pois o fluido possui alta compressibilidade. Tal expansão realiza uma compressão

no resto do fluido, agindo como um pistão, daí o nome do efeito como mostra a fig.

1.4. A compressão realizada gera uma diferença de pressão e massa específica dentro

do fluido. Uma onda termoacústica se forma devido a essas diferenças, e se reflete

ininterruptamente dentro da cavidade na velocidade do som. Quando a onda passa

pela camada limite, ela carrega com ela a energia térmica presente, e distribui para o

resto do fluido na sua propagação. Esse efeito é responsável pelo aumento homogêneo

e rápido da temperatura global do fluido.

Fig. 1.4: Efeito Pistão [1]

A fim de confirmar a rápida relaxação térmica nos fluidos quase-críticos e a exis-

1. Introdução 12

tência do efeito pistão, uma série de experimentos em microgravidade foram realiza-

dos nos anos 90. Um experimento a bordo de um foguete de sondagem foi feito por

Klein et al. [21] para estudar a propagação de uma mudança de temperatura através de

SF6

quase crítico passando por transição de fase. A temperatura no interior do fluido

mostrou uma resposta rápida à temperatura imposta, confirmando o forte aquecimento

adiabático perto do ponto crítico.

Guenoun et al. [22] realizaram um experimento de ciclo térmico visando o trans-

porte de calor em CO2

perto de seu ponto crítico sob gravidade reduzida. As tempe-

raturas medidas mostraram que o efeito pistão, mesmo na fase de separação, acelerou

significantemente a relaxação térmica dentro da célula do experimento. Foi observado

que a falta de homogeneidade da densidade se estabilizou em grande parte por difusão,

depois do efeito pistão ter equilibrado a temperatura.

Um experimento feito por Bonetti et al. [23] estudou a evolução da camada limite

térmica no tempo e a variação de temperatura média correspondente do CO2

crítico na

ausência de gravidade. Foi observada uma diminuição da densidade na camada limite e

um aumento na massa, o que é consistente com a analogia de um pistão em movimento

comprimindo o restante do fluido.

1.5 Objetivos

Analisando a literatura na área de fluidos supercríticos, encontra-se com facilidade

trabalhos e artigos que exploram a parte termodinâmica do assunto. No entanto, não é

tão fácil obter estudos que analisem o comportamento crítico para diferentes condições

de contorno.

As condições de contorno de primeiro, segundo e terceiro tipo, também conheci-

das como condições de Dirichlet, Neumann e Robin são amplamente utilizadas. Tendo

em vista a larga utilização de tais condições, o foco do presente trabalho é analisar

a transferência de calor em um fluido supercrítico confinado em uma cavidade uni-

dimensional submetida a diferentes combinações das condições de contorno citadas

anteriormente.

1. Introdução 13

Depois de realizar a análise, serão gerados resultados para a temperatura média

através da aproximação dos parâmetros concentrados, afim de comparar os resultados

obtidos pelos diferentes métodos.

Capítulo 2

Metodologia

O modelo termodinâmico original desenvolvido para a transferência de calor super-

crítica em condições de microgravidade é, essencialmente, a equação da condução de

calor com um termo proporcional à derivada da temperatura média no tempo [24, 25].

Este termo esboça o mecanismo de compressão adiabática responsável pelo efeito pis-

tão. O comportamento crítico se torna dominante quando ∞>> 1 e desaparece quando

∞ = 1, no limite incompressível. Uma solução pra essa equação, incluindo proprieda-

des variáveis obtidas da literatura, foi gerada pela primeira vez por métodos numéricos

[24]. No entanto, a temperatura média foi obtida pela integração numérica do campo

de temperatura ao longo de todo o volume para cada passo no tempo. Tal abordagem

pode tornar-se onerosa para áreas bi e tridimensional. Para contornar este problema,

foi proposta uma aproximação alternativa, que substitui a integral de volume para a

integral de superfície usando o Método dos Elementos Finitos [26]. Uma outra so-

lução para esta equação, considerando agora propriedades constantes, foi obtida pela

primeira vez por um processo de Transformação de Fourier aproximada [16]. Ape-

sar de os dois estudos [16, 26] considerarem o aquecimento no contorno constante, o

procedimento aproximado de Fourier foi estendido para aquecimento pulsado [27] e

instável [28].

A fim de reproduzir este experimento em microgravidade [29], Onuki e Ferrell [30]

consideraram um fluido inicialmente à T0

, delimitado por paredes sólidas, as quais tive-

14

2. Metodologia 15

ram sua temperatura repentinamente acrescidas para T1

. Fez-se uso da transformação

de Fourier para obter:

Tb(t ) = T0

+¢T

√

1°exp

∑t

tPE

∏erfc

"st

tPE

#!

, (2.1)

para a temperatura média, onde ¢T = T1

°T0

, tPE é a o tempo do efeito pistão, definido

como:

tPE = tD

(∞°1)

2

, (2.2)

sendo ∞=Cp /Cv .

A maioria dos artigos descrevem tPE como uma escala de tempo de equilíbrio,

porém, rigorosamente, o tempo de relaxação significa o tempo característico que leva

uma dada solução à alcançar o estado estacionário. Apesar de ser entendido como

um tempo de relaxação, uma análise recente de uma solução que leva à tPE mostrou

que ele nunca foi pensada para representar um tempo de relaxação de temperatura,

mas apenas um tempo característico. Essa análise estimou numericamente que t§E é o

tempo que leva para a temperatura média atingir o estado estacionário, indicando que

t§E >> tPE . Esse estudo mostrou que essa diferença aumenta à medida em que o ponto

crítico se aproxima e que na verdade, o tempo de relaxação característico do efeito

pistão é t§E = tD /∞ [31].

2.1 Modelo Matemático

O foco desse trabalho é utilizar o mesmo modelo termodinâmico por meio de uma

solução exata. Essa solução é obtida através de uma versão generalizada [32] da téc-

nica da transformada integral clássica [33], junto com uma técnica de filtragem padrão

[34] e uma função exponencial de matriz [35], onde os autovalores são computados

simbolicamente através do software Mathematica.

O perfil de temperatura é obtido a partir da conservação de energia para fluidos

compressíveis:

ΩCp@T@t

° Ω (Cp °Cv )

kT

Æp

dPd t

= k@2T@x2

(2.3)

Leandro Sphaier

Se as propriedades variam perto do ponto crítico, por que não considerar k variável? Outra coisa, é k ou lambda?

2. Metodologia 16

sendo Ω a massa específica, x e t as coordenadas espacial e temporal, Cp e Cv os

calores específicos a pressão e volume constantes e k a condutividade térmica. kT

é a compressibilidade isotérmica e Æp é o coeficiente de expansão térmica isobárica,

definidos como

kT = 1

Ω

@Ω

@P

ØØØØT

e ÆP = ° 1

Ω

@Ω

@T

ØØØØP

(2.4)

respectivamente. As maiores diferenças de temperatura são mantidas pequenas o su-

ficiente para que todas as propriedades termodiâmicas possam ser consideradas cons-

tantes. Estudos anteriores que compararam simulações com propriedades constantes e

variáveis mostraram uma diferença desprezível no comportamento da temperatua mé-

dia, dando suporte para essa suposição [36, 37]. Assim, a massa específica pode ser

obtida a partir da sua derivada total, como pode ser visto a seguir:

@Ω

@t= ΩkT

dPd t

° ΩÆp@T@t

(2.5)

sendo a dependência da pressão na temperatura extraída pela integração da Eq. (2.5)

ao longo do volume da cavidade. Lembrando que a massa de fluido no interior da

cavidade se mantém constante, temos:

dPd t

=Æp

kT

dTb

d t(2.6)

com a temperatura média definida como

Tb(t ) = 1

l

Zl

0

T d x (2.7)

Combinando as equações (2.3) e (2.6), é obtida uma equação na forma

@T@t

°µ1° 1

∞

∂dTb

d t= Æ

@2T@x2

(2.8)

sendo Æ = k/ΩCp a difusividade térmica. Pode se notar que quando ∞= 1, a equação

clássica da condução é recuperada.

As condições inicial e de contorno são:

2. Metodologia 17

T (x,0) = 0 , ° @T@x

ØØØØx=0

+ L§1

T (0, t ) =L§2

e@T@x

ØØØØx=l

+ R§1

T (l , t ) =R§2

, (2.9)

sendo que L1

, L2

, R1

e R2

são parâmetros que definem todas as nove combinações

possíveis entre as condições de contorno de Dirichlet, Neumann e Robin.

Com o intuito de adimensionalizar a equação regente do modelo termodinâmico,

as seguintes transformações são utilizadas:

ø = ttD

, ª = xl

e > = T ° T0

T1

° T0

(2.10)

sendo tD = l 2

/Æ, que é o tempo característico associado a difusão térmica. Assim, a

equação (2.8) pode ser re-escrita na sua forma adimensional:

@>@ø

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø= @2>

@ª2

(2.11)

As condições gerais adimensionalizadas inicial e de contorno para a temperatura

são:

T (ª,0) = 0 , ° @>@ª

ØØØØª=0

+ L1

T (0,ø) =L2

e@>@ª

ØØØØª=1

+ R1

T (1,ø) =R2

, (2.12)

As equações são baseadas em variáveis adimensionais detalhadas a seguir:

T =µL§

1

+R§1

+L§1

R§1

L§2

R§1

°L§1

R§2

∂T °

µL§

2

+R§2

+L§1

R§2

L§2

R§1

°L§1

R§2

∂, (2.13)

sendo que L§1

, R§1

, L§2

e R§2

são relacionadas às versões dimensionais de seus respecti-

vos parâmetros sem asteriscos.

2. Metodologia 18

Tab. 2.1: Condições de contorno para a parede da esquerda com a parede da direita atemperatura prescrita

Tipo de Condição Dirichlet Neumann≥Robin

¥

Condição de Contorno >(0,ø) = 1 ° @>@ª

ØØØ(

ª=0

= 1 ° @>@ª

ØØØª=0

+ Bi >(0,ø) = 1+Bi

Constantes L1

=L2

=1 L1

= 0 & L2

= 1 L1

= Bi & L2

= 1+Bi≥

Tab. 2.2: Condições de contorno para a parede da direita com a parede da esquerda atemperatura prescrita

Tipo de Condição Dirichlet Neumann≥Robin

¥

Condição de Contorno >(1,ø) = 0

@>@ª

ØØØ(

ª=1

=°1

@>@ª

ØØØª=1

+ Bi >(1,ø) =°1

Constantes R1

=1 & R2

= 0 R1

= 0 & R2

=°1 R1

= Bi & R2

=°1

≥

Há uma restrição na escolha dos parâmetros L1

, L2

, R1

e R2

, expostas nas tabelas

2.1 e 2.2, de modo que todas as condições de contorno levem a mesma solução de

estado estacionário, dada por:

>(ª,1) = 1 ° ª , (2.14)

Estas condições são controladas por um único parâmetro chamado Bi , conhecido

como número de Biot.

O primeiro passo para a solução do problema é a aplicação de um filtro. Não so-

mente para separar o estado estacionário do transiente [34], mas também para melhorar

as taxas de convergência e para remover condições de contorno não homogêneas. As-

sim, a definição

>(ª,ø) =£(ª)+µ(ª,ø) , (2.15)

é empregada aqui. O filtro é definido como a equação de estado de distribuição de

2. Metodologia 19

temperatura, como se segue:

£(ª) = >(ª,1) = 1 ° ª , (2.16)

Substituindo a relação (2.16) na equação de governo (2.11), teremos

@µ

@ø°

µ1° 1

∞

∂d

dø

Z1

0

µdª = @2µ

@ª2

, (2.17)

que realiza o comportamento transiente global de µ(ª,ø) do problema modelo (2.11).

2.2 GITT

Nas últimas três décadas, o método clássico da transformada integral [38] foi pro-

gressivamente generalizado em um conceito híbrido numérico-analítico e foi nomeado

como método generalizado da transformada integral (GITT) [39]. Essa abordagem

permite que a precisão seja controlada pelo usário e oferece uma performance compu-

tacional eficiente para uma ampla variedade de problemas, inclusive formulações não

lineares em transferência de calor e escoamento de fluidos. Além de ser um método

computacional alternativo para aplicações diretas, essa abordagem híbrida também é

particularmente adequada para a produção de resultados de referências.

O GITT será resolvido para o caso geral Robin-Robin, ou seja, com a condição

de Robin nas duas paredes. Segundo as tabelas 2.1 e 2.2, isto implica que R1

= Bi2

,

R2

= °1, L1

= Bi1

e L2

= 1+Bi1

, e assim as condições inicial de contorno serão:

>(0,ø) = 1 , ° @>@ª

ØØØØª=0

+Bi1

>(0,ø) = 1+Bi1

e@>@ª

ØØØØª=1

+Bi2

>(1,ø) = °1 .

(2.18)

Aplicando o filtro para as condições do contorno (2.18), tem-se o seguinte resul-

tado:

2. Metodologia 20

µ(ª,0) = ª ° 1 , ° @µ

@ª

ØØØØª=0

+ Bi1

µ(0,ø) = 0 e@µ

@ª

ØØØØª=1

+ Bi2

µ(1,ø) = 0 . (2.19)

A fim de separar as dependências espacial e temporal, é proposta uma solução para

(2.17) e (2.19). A mesma é mostrada abaixo:

µ(ª,ø) =1X

i=1

˜√i (ª)

¯µi (ø) , (2.20)

sendo µ(ª,ø) a transformada, ˜√i (ª) a dependência espacial e ¯µi (ø) a dependência tem-

poral.

O sistema GITT faz uso de autovalores e autofunções para solucionar o problema

em que é aplicado. Nesta solução proposta, tais elementos já aparecem. As autofun-

ções fornecidas pelo autosistema e pelas condições de contorno do sistema podem ser

vistas a seguir:

d 2√i

dª2

+ Ø2

i √i (ª) = 0 , ° @√i

@ª

ØØØØª=0

+ Bi1

√i (0) = 0 ed√i

dª

ØØØØª=1

+ Bi2

√i (1) = 0 .

(2.21)

Como autofunções são ortogonais, os coeficientes da transformada integral da tem-

peratura podem ser definidos. Tal definição é mostrada abaixo:

¯µi (ø) =Z

1

0

˜√i (ª)µ(ª,ø)dª . (2.22)

A norma é dada pela seguinte equação [33], e é usada para normalizar funções

˜√i =√i /

pNi :

Ni =Z

1

0

√i (ª)

2 dª . (2.23)

Com o propósito de gerar um sistema de equações que governam o comporta-

mento dos coeficientes da temperatura, a equação (2.17) é usada. Se multiplicarmos

esta equação por ˜√i , integrarmos o resultado ao longo do comprimento da cavidade

Leandro Sphaier

errado

Leandro Sphaier

2. Metodologia 21

adimensional e aplicarmos a transformação (2.22), teremos:

d ¯µi

dø°¥i

µ1° 1

∞

∂dµb

dø=

Z1

0

˜√i (ª)

@2µ

@ª2

dª , (2.24)

sendo que o coeficiente de transformada integral e temperatura média são, respectiva-

mente:

¥i =Z

1

0

˜√i (ª)dª e µb(ø) =Z

1

0

µ(ª,ø)dª . (2.25)

Agora, se integrarmos por partes o lado direito da equação (2.24), aplicarmos as

condições de contorno em (2.19), substituirmos a equação em (2.21) e então usar a

definição de transformada integral (2.22) no resultado, teremos:

Z1

0

˜√i (ª)

@2µ

@ª2

dª =Z

1

0

d 2

˜√i

dª2

µ(ª,ø)dª =°Ø2

i

Z1

0

˜√i (ª)µ(ª,ø)dª = °Ø2

i¯µi (ø) .

(2.26)

Esta equação acima pode ser substituída no lado direito da equação pela equação

(2.24), usando a definição inversa (2.22) no termo da temperatura média não transfor-

mada. Assim, se obterá:

1X

j=1

Ai , jd ¯µ j

dø+ Ø2

i¯µi (ø) = 0 onde Ai , j = ±i , j °

≥1° 1

∞

¥¥i ¥ j . (2.27)

sendo que i = 1, 2, . . . , 1 e ±i , j representa o delta de Kronecker. É importante notar

que essa equação de transformada integral está sujeita à uma condição inicial transfor-

mada, obtida através de um processo de transformação semelhante à condição inicial

na equação (2.19):

¯µi (0) =Z

1

0

(ª°1)

˜√i (ª)dª . (2.28)

Na equação (2.28), temos duas opções para o número de Biot: Bi ! 0 e Bi !

Leandro Sphaier

2. Metodologia 22

1. Se resolvermos o sistema (2.27) com condições iniciais para os coeficientes da

transformada integral da temperatura, podemos obter a solução exata pela combinação

deles com as relações (2.14) a (2.16) e (2.20):

>(ª,ø) = 1 ° ª +1X

i=1

˜√i (ª)

¯µi (ø) , (2.29)

onde seu valor médio, de acordo com a definição em (2.25), se torna

>b(ø) =Z

1

0

>(ª,ø)dª = 1

2

+1X

i=1

¥i ¯µi (ø) . (2.30)

2.3 Parâmetros Concentrados

O método dos parâmetros concentrados é amplamente utilizado devido às inúmeras

aplicações em engenharia. Níveis diferentes de aproximações podem ser usados. Eles

são feitos a partir da análise clássica dos sistemas concentrados em direção a formu-

lações melhoradas obtidas através de aproximações de integral do tipo Hermite [40].

Hermite desenvolveu uma maneira de aproximar uma integral, baseada em valores do

integrando e suas derivadas nos limites da integral. Nesta seção foram consideradas

duas aproximações, dadas por:

H0,0

!Zh

0

y(x)d x ' 1

2

h(y(0) + y(h)) (2.31)

H1,1

!Zh

0

y(x)d x ' 1

2

h(y(0) + y(h)) + 1

12

h2

(y (1)

(0) ° y (1)

(h)) . (2.32)

As integrais que definem a temperatura média e o fluxo de calor são, respectiva-

mente:

Z1

0

>(ª,ø)dª = >b(ø) eZ

1

0

@>(ª,ø)

@ªdª = >(1,ø) ° >(0,ø) . (2.33)

Essas integrais serão aproximadas pelo método dos parâmetros concentrados. Usando

a aproximação H0,0

(2.31), teremos, para a temperatura média:

Leandro Sphaier

melhorados?

Leandro Sphaier

2. Metodologia 23

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) , (2.34)

e para o fluxo de calor:

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂. (2.35)

Usando a a aproximação H1,1

(2.32), teremos, para a temperatura média:

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) + 1

12

µ@>@ª

ØØØØª=0

° @>@ª

ØØØØª=1

∂, (2.36)

e para o fluxo de calor:

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂+ 1

12

µ@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

∂. (2.37)

As aproximações da temperatura média e do fluxo de calor e as condições de con-

torno de cada caso formam um sistema de 4 equações e 4 incógnitas. As incógnitas a

serem descobertas são as condições de contorno em função de Bi e >b:

>(0,ø), >(1,ø),

@>@ª

ØØØØª=0

e@>@ª

ØØØØª=1

. (2.38)

Assim, a expressão da aproximação H1,1

do fluxo de calor que contém as derivadas

de segunda ordem de > em relação à ª:

µ@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

∂(2.39)

deve ser transformada. Para isso, a equação 2.11 será utilizada:

@2>@ª2

= @>@ø

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø(2.40)

@2>@ª2

ØØØØª=0

= @>@ø

ØØØØª=0

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø(2.41)

2. Metodologia 24

@2>@ª2

ØØØØª=1

= @>@ø

ØØØØª=1

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø(2.42)

Igualando a expressão 2.39 à diferença entre as expressões 2.41 e 2.42, teremos:

@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

=µ@>@ø

ØØØØª=0

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø

∂°

µ@>@ø

ØØØØª=1

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø

∂(2.43)

@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

= @>@ø

ØØØØª=0

° @>@ø

ØØØØª=1

(2.44)

Para a aproximação H0,0

, se derivarmos a equação referente à aproximação H0,0

de

>b (eq. 2.67), em relação à ø, teremos:

2

d>b

dø= @>

@ø

ØØØØª=1

+ @>@ø

ØØØØª=0

. (2.45)

A derivada da temperatura em relação ao tempo no ponto 0 e no ponto 1 equivale

a derivada da condição de contorno nas paredes do problema. Como a condição de

Dirichlet sempre está presente no problema em uma das paredes, uma das derivadas

sempre vai ser igual a zero. Assim, através da eq. 2.45, podemos afirmar que a outra

derivada será sempre igual a 2

d>bdø . Quando a condição de Dirichlet estiver na parede da

esquerda, a diferença @>@ø

ØØØª=0

° @>@ø

ØØØª=1

será igual a °2

d>bdø , e quando estiver na parede

da direita será +2

d>bdø :

@>@ø

ØØØØª=0

° @>@ø

ØØØØª=1

= ±2

d>b

dø. (2.46)

Assim, a expressão 2.39 será, em função de >b:

@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

= ±2

d>b

dø. (2.47)

Substituindo na eq. 2.37, teremos:

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂± 1

6

d>b

dø. (2.48)

2. Metodologia 25

Para a aproximação H1,1

, se derivarmos a equação referente à aproximação H1,1

de

>b (eq. 2.71), em relação à ø, teremos:

d>b

dø= 1

2

µ@>@ø

ØØØØª=0

+ @>@ø

ØØØØª=1

∂+ 1

12

µ@2>@ø@ª

ØØØØª=0

° @2>@ø@ª

ØØØØª=1

∂. (2.49)

Se derivarmos em relação à ø a condição de contorno geral, que é Robin, nas duas

paredes, teremos:

° @>@ª

ØØØØª=0

+ Bi>(0,ø) = 1 + Bi . (2.50)

° @2>@ø@ª

ØØØØª=0

+ Bi@>@ø

ØØØØª=0

= 0 . (2.51)

@2>@ø@ª

ØØØØª=0

= Bi@>@ø

ØØØØª=0

. (2.52)

@>@ª

ØØØØª=1

+ Bi>(1,ø) = °1 . (2.53)

@2>@ø@ª

ØØØØª=1

+ Bi@>@ø

ØØØØª=1

= 0 . (2.54)

@2>@ø@ª

ØØØØª=1

= °Bi@>@ø

ØØØØª=1

. (2.55)

Diminuindo a eq. 2.52 da eq. 2.55, teremos

@2>@ø@ª

ØØØØª=0

° @2>@ø@ª

ØØØØª=1

= Biµ@>@ø

ØØØØª=0

+ @>@ø

ØØØØª=1

∂. (2.56)

Substituindo a eq. 2.56 na eq. 2.49 se obtém:

d>b

dø= 1

2

µ@>@ø

ØØØØª=0

+ @>@ø

ØØØØª=1

∂+ Bi

1

12

µ@>@ø

ØØØØª=0

° @>@ø

ØØØØª=1

∂. (2.57)

2. Metodologia 26

@>@ø

ØØØØª=0

+ @>@ø

ØØØØª=1

= 12

6+Bid>b

dø. (2.58)

Partindo do mesmo princípio utilizado anteriormente para a aproximação H0,0

, a

expressão 2.39 será:

@2>@ª2

ØØØØª=0

° @2>@ª2

ØØØØª=1

= ± 12

6+Bid>b

dø. (2.59)

Substituindo na eq. 2.37, teremos, para a aproximação H1,1

:

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂± 1

6+Bid>b

dø. (2.60)

Para que a equação adimensionalizada 2.11 possa comportar as condições em fun-

ção de >b , é integrada ao longo do comprimento da cavidade, como se observa a

seguir:

Z1

0

µ@>@ø

°µ1° 1

∞

∂d>b

dø= @2>

@ª2

∂dª (2.61)

ddø

Z1

0

>dª °µ1° 1

∞

∂d>b

dø

Z1

0

dª =Z

1

0

@2>@ª2

dª (2.62)

d>b

dø°

µ1° 1

∞

∂d>b

dø= @>

@ª

ØØØØª=1

° @>@ª

ØØØØª=0

(2.63)

1

∞

d>b

dø° @>

@ª

ØØØØª=1

+ @>@ª

ØØØØª=0

= 0 . (2.64)

A equação 2.64 será usada para encontrar a solução em todos os casos. O caso

Dirichlet-Dirichlet não foi realizado para esta aproximação pois não é possível encon-

trar as 4 incógnitas quando não há derivada de > entre as equações das condições de

contorno. Foram realizadas quatro aproximações diferentes: as possíveis combinações

entre as aproximações H0,0

e H1,1

e as integrais que definem a temperatura média e o

fluxo de calor. A seguir serão exibidas as equações utilizadas em cada caso.

Leandro Sphaier

Leandro Sphaier

Fisicamente, faz sentido para dirichlet?

Leandro Sphaier

Mostrar isso antes das aproximações… ficaria melhor

2. Metodologia 27

Aproximação H0,0

°H0,0

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) , (2.65)

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂. (2.66)

Aproximação H0,0

°H1,1

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) , (2.67)

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂± 1

6

d>b

dø. (2.68)

Aproximação H1,1

°H0,0

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) + 1

12

µ@>@ª

ØØØØª=0

° @>@ª

ØØØØª=1

∂, (2.69)

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂. (2.70)

Aproximação H1,1

°H1,1

>b(ø) = 1

2

(>(0,ø) + >(1,ø)) + 1

12

µ@>@ª

ØØØØª=0

° @>@ª

ØØØØª=1

∂, (2.71)

>(1,ø) ° >(0,ø) = 1

2

µ@>@ª

ØØØØª=0

+ @>@ª

ØØØØª=1

∂± 1

6+Bid>b

dø. (2.72)

Ao substituir as condições de contorno 2.38 na eq.2.64 para cada caso, todos resul-

tam na mesma equação, na seguinte forma:

1

∞

d>b

dø+ Bi+(>b ° >b(1)) = 0 . (2.73)

As soluções para >b também seguiram uma mesma forma em todos os casos, mos-

Leandro Sphaier

Seria legal mostra a equação média antes das aproximações

2. Metodologia 28

Tab. 2.3: Expressões de Bi+ para as diferentes aproximações para os casos Dirichlet-Robin e Robin-Dirichlet.

Aproximação Bi+

H0,0

°H0,0

4(1+Bi )

H0,0

°H1,1

12(1+Bi )

3+∞

H1,1

°H0,0

12(1+Bi )

4+Bi

H1,1

°H1,1

12(1+Bi )(6+Bi )

Bi (10+Bi )+6(4+∞)

trada a seguir:

>b = 1

2

(1 ° e°Bi+∞t) . (2.74)

Na tabela 2.3 estão exibidas as expressões de Bi+ para todos os casos. As expres-

sões foram as mesmas para os casos Dirichlet-Robin e Robin-Dirichlet. Para os casos

em que a condição de Neumann aparece, basta considerar Bi = 0, pois a condição de

Robin quando Bi ! 0 tende para a condição de Neumann. É importante esclarecer

que >b(1) = 1

2

para todos os casos, que é o valor da temperatura média no regime

permanente.

Leandro Sphaier

Isso não é consistente. O Bi+ não teria que ir para o valor de Bi quando este fosse para zero?

Leandro Sphaier

Entao porque nao usar Bi desde o inicio da formulação?

Capítulo 3

Resultados e Discussão

Nesta etapa, os resultados serão analisados utilizando o modelo apresentado acima.

Todos os gráficos foram plotados usando Wolfram MATHEMATICA versão 9.0. Como

afirmado anteriormente, no estudo de caso a temperatura é mantida fixa em uma das

paredes. Na outra parede são usadas três condições de contorno. Estas possibilidades

são mostradas nas Tabelas 2.1 e 2.2.

3.1 GITT- Método Generalizado da Transformada Integral

Nesta seção, vários gráficos de > por ª foram plotados, variando apenas o ∞. O úl-

timo fator pode ser considerado como uma forma para determinar a compressibilidade

do fluido, devido à proximidade do ponto crítico, ou em outras palavras, quanto maior

for ∞, mais compressível o fluido e mais perto do ponto crítico ele está. Também foram

realizados gráficos referentes à temperatura média variando com ∞.

3.1.1 Verificação numérica do método

Antes de demonstrar os resultados obtidos, será exibida a análise de convergência

do problema de difusão térmica solucionado pelo método GITT. A variação numérica

do método mostrada na fig. 3.1 é a do caso Dirichlet-Robin, para ∞ = 20 e ø = 0.001.

A análise foi realizada variando o número de termos de 10 até 60, de 10 em 10 termos.

29

3. Resultados e Discussão 30

A partir da fig. 3.1 pode se observar que conforme o número de termos aumenta, o

erro diminui, até se estabilizar quando o número de termos é igual a 50. Para garantir

a eficácia da solução, o número de termos utilizado em todos os casos foi 60.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

10"13

10"10

10"7

10"4

0.1

#T

Fig. 3.1: Variação numérica do método

3.1.2 Caso 1: Dirichlet-Dirichlet

O primeiro caso a ser analisado será feito considerando Dirichlet para os dois lados.

Foi observado que o efeito pistão é mais forte em fluidos mais compressíveis, pois

nesse caso a camada limite térmica se expande mais. Para que a presença do efeito

pistão ficasse mais clara, várias curvas foram feitas no mesmo gráfico, para diferentes

tempos: t/tPE = 10

°3

, 10

°2

, 10

°1 e 1. As linhas pontilhadas representam as curvas

para ∞= 1, ou seja, quando o efeito pistão não está presente. Abaixo estão os gráficos

para estas condições de contorno, para valores de ∞ de 2, 5, 10 e 20.

Pode se notar a partir dos gráficos 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 que há um grande gradiente

de temperatura perto das paredes, o que confirma a presença da camada limite térmica

nestas áreas. Nas outras regiões percebe-se que a temperatura aumentou uniforme-

mente, o que mostra a presença do efeito pistão, uma vez que a expansão da camada

limite térmica gera ondas termoacústicas responsáveis pelo aquecimento uniforme do

fluido.

Leandro Sphaier

o que é DT?

Leandro Sphaier

Só isso? O que é cada curva? legenda?

Leandro Sphaier

O que isso quer dizer? Com quantos termos foi calculado a solução de referencia?

Leandro Sphaier

Legenda na figura.

Leandro Sphaier

Pouco comentário. Gostaria de ver análise individual de cada figura/


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 2

Fig. 3.2: Perfil de temperatura local para Dirichlet nas duas paredes. ∞= 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1 Γ # 5


Pode ser constatado através da comparação entre as linhas tracejadas (difusão tér-

mica pura) e as linhas correspondentes das figuras 3.2 a 3.5, que o efeito pistão gera

um grande aumento de temperatura. Consequentemente, a temperatura média do fluido

atinge o estado estacionário muito mais rapidamente quando o efeito pistão está pre-

sente. A Figura 3.6 mostra este efeito, onde curvas para diferentes ∞ foram feitas.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 10


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 20



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

10

20

Fig. 3.6: Variação no tempo da temperatura média para Dirichlet nas duas paredes.


3.1.3 Caso 2: Dirichlet-Neumann

Os próximos gráficos foram realizados da mesma forma que os anteriores, porém

com a condição de Neumann na parede da direita. Na parede da esquerda a temperatura

continua prescrita.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 2

Fig. 3.7: Perfil de temperatura local para Neumann na parede da direita e Dirichlet naparede da esquerda. ∞= 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 5


Leandro Sphaier

Variação no fluxo (e.g. isolado) foram feitas?


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 10


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 20


Observando os gráficos 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10, percebe-se de imediato que o com-

portamento para este caso é bem diferente do prescrito nas duas paredes. Isso ocorre

porque o resfriamento do fluido na parede da direita (Neumann) é bem mais lento

quando comparado à Dirichlet, pois a transferência de calor através de um fluxo não é

tão eficiente quanto à prescrita.


Com o aumento de ∞, pode se observar que na parede da direita há um aquecimento

além da temperatura média no estado estacionário. Este superaquecimento pode ser

confirmado através da análise do gráfico 3.11. Também é importante notar que o tempo

de relaxação da temperatura média no caso Dirichlet-Neumann foi bem maior do que

o tempo no caso Dirichlet-Dirichlet. Os dois fatos podem ser explicados através da

presença do efeito pistão na parede da esquerda unido ao fato da condição de Neumann

não realizar de maneira tão rápida e eficaz o resfriamento da parede da direita. O efeito

pistão é responsável pelo aquecimento uniforme de todo o fluido. No caso Dirichlet-

Dirichlet, o resfriamento na parede da direita era forte o suficiente para mantê-la com

temperatura constante e realizar de maneira mais rápida a relaxação da >b . Porém,

nesse caso, o resfriamento é lento, o que leva o fluido a um aquecimento uniforme nos

primeiros momentos.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

Γ#12

5

10

20

Fig. 3.11: Variação no tempo da temperatura média para Neumann na parede da direitae Dirichlet na parede da esquerda.


3.1.4 Caso 3: Dirichlet-Robin

Agora, o caso de Dirichlet na parede da esquerda e Robin na parede da direita será

analisado. Os gráficos deste caso foram feitos mantendo Bi = 1, e estão representados

abaixo.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 2

Fig. 3.12: Perfil de temperatura local para Robin na parede da direita e Dirichlet naparede da esquerda. (Bi = 1), ∞= 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 5



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 10


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 20


Pode se notar novamente ao se observar as figuras 3.12, 3.13, 3.14 e 3.15 que há um

superaquecimento da temperatura em relação à >b . Entretando, este foi menor que o

do caso Dirichlet-Neumann, pois Robin resfria a parede da direita mais eficientemente

que Neumann. Outra vez a explicação se deve ao fato do efeito pistão na parede da

esquerda ser responsável pelo aquecimento uniforme do fluido, enquanto a condição


de Robin não oferece um resfriamento tão eficaz na parede da direita. A condição de

Robin é uma combinação das condições de primeiro e segundo tipo. A condição de

Robin pode se comportar como a de Dirichlet ou como a de Neumann, e isto varia de

acordo com o parâmetro adimensional Biot.

Os gráficos 3.16 (Bi = 1), 3.17 (Bi = 5), 3.18 (Bi = 10) e 3.19 (Bi = 50) foram

realizados para mostrar a influência de Bi na temperatura média do fluido. Pode se

observar que, com o aumento do Biot, o superaquecimento da >b diminui, até desapa-

recer, quando Bi = 50. Outro ponto importante é perceber que o tempo de relaxação da

>b também diminuiu com o aumento do Bi . Isso acontece porque na condição de Ro-

bin, quanto maior o valor de Biot, mais perto da condição de Dirichlet ele está. Com a

presença de uma condição mais forte, o resfriamento da parede da direita se torna mais

eficaz, impedindo que ocorra o superaquecimento e diminuindo o tempo de relaxação.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tb

Γ#1

2

5

10

20

Fig. 3.16: Variação no tempo da temperatura média para Robin na parede da direita(Bi = 1) e Dirichlet na parede da esquerda.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

10

20


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

10

20



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Tb

Γ#1

2

5

10

20



3.1.5 Caso 4: Neumann-Dirichlet

Nesta seção serão apresentados os resultados para a temperatura prescrita na parede

da direita. Como o caso Dirichlet-Dirichlet já foi estudado na seção 3.1, o primeiro

caso a ser analisado será Neumann-Dirichlet. Os gráficos foram feitos do mesmo modo

que os da seção anterior.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

0.001 0.01

0.1

Τ # 1

Γ # 2

Fig. 3.20: Perfil de temperatura local para Dirichlet na parede da direita e Neumann naparede da esquerda. ∞= 2

O perfil dos gráficos muda radicalmente com a mudança da condição da parede

da esquerda para Neumann. Pode se observar a partir das figuras 3.20, 3.21, 3.22 e

3.23 que a transferência de calor na parede da esquerda é muito lenta, e ocorre um

ligeiro aumento com o crescimento de ∞. Isso ocorre porque a condição de Neumann

restringe a expansão da camada limite térmica, restringindo também o aumento rápido

de temperatura causado pelo efeito pistão. Mesmo assim, pode se observar a partir do

gráfico 3.24 que o aumento de ∞ facilita a troca de calor. O tempo de relaxação da

temperatura média para este caso foi o maior de todos.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

0.001 0.01

0.1

Τ # 1

Γ # 5


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

0.0010.01

0.1

Τ # 1

Γ # 10



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

0.0010.01

0.1

Τ # 1

Γ # 20


0.5 1.0 1.5 2.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

10

20

Fig. 3.24: Variação no tempo da temperatura média Dirichlet na parede da direita eNeumann na parede da esquerda.


3.1.6 Caso 5: Robin-Dirichlet

O comportamento temperatura do fluido será analisado para o estado intermediário

entre Dirichlet e Neumann, impondo a condição de Robin na parede da esquerda.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.0010.01

0.1

1

Γ # 2

Fig. 3.25: Perfil de temperatura local para Dirichlet na parede da direita e Robin naparede da esquerda. Bi = 1, ∞= 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.0010.01

0.1

1

Γ # 5


As figuras 3.25, 3.26, 3.27 e 3.28 mostram que o gradiente de temperatura da pa-


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 10


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0T

Τ # 0.001

0.01

0.1

1

Γ # 20


rede esquerda é maior neste caso, um pouco mais forte, pois a condição de Robin é um

pouco mais forte que a de Neumann. Um aumento na temperatura média também pode

ser observado. No entanto, ainda não é tão forte como o caso de temperatura prescrita.

Observando as figuras 3.29, 3.30 e 3.31, pode se concluir que um aumento no número

de Biot reduz a restrição imposta pela condição de contorno para a expansão térmica


da camada limite, o que permite uma diminuição no tempo de relaxação da >b .

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

10

20

Fig. 3.29: Variação no tempo da temperatura média Dirichlet na parede da direita eRobin (Bi = 1) na parede da esquerda.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

1020



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

Γ#1

2

5

1020



3.2 Parâmetros Concentrados

Como dito anteriormente, o objetivo desta seção é comparar os resultados com

os obtidos anteriormente através do método GITT para verificar a eficácia do método

de aproximação dos parâmetros concentrados. Para esse tipo de aproximação não é

possível analisar o comportamento do perfil de temperatura local, por isso, apenas

serão exibidos gráficos referentes à temperatura média >b , para diferentes valores de

∞. Para isso, foram utilizadas quatro aproximações diferentes, as quais, além da curva

referente ao GITT, estão expostas nos gráficos das próximas seções. Em todos os

casos em que a condição de Robin está envolvida, o valor do número de Biot usado

foi Bi = 1, pois para grandes valores de Bi a aproximação perde a sua eficácia. Isso

pode ser confirmado ao se observar a fig. 3.32, que compara os métodos GITT e

parâmetros concentrados para diferentes valores de Biot. A fig.3.32 foi realizada para

o caso Robin-Dirichlet com ∞= 20.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITTBi"0.1

GITTBi"1

GITTBi"10

GITTBi"50

H1,1#H1,1 Bi"0.1

H1,1#H1,1 Bi"1

H1,1#H1,1 Bi"10

H1,1#H1,1 Bi"50

Fig. 3.32: Variação no tempo da temperatura média do caso Robin-Dirichlet para apro-ximação H

1,1

°H1,1

e GITT para diferentes valores de Bi. ∞= 20

3.2.1 Caso 1: Dirichlet-Neumann

Nesta seção será feita a análise das diferentes aproximações para o caso Dirichlet-

Neumann.

Analisando as figuras 3.33, 3.34, 3.35 e 3.36 pode ser observado que para menores

valores de ∞, as aproximações foram mais compatíveis com o GITT. Outra observação

Leandro Sphaier

ficou confusa esta comparação

Leandro Sphaier

Bi maiores, indo para Dirichlet?


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1

Fig. 3.33: Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Neumannpara diferentes aproximações. ∞= 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


relevante é a respeito do superaquecimento ocorrido neste caso, o qual o método dos

parâmetros concentrados não exibiu. Pode se perceber que para este caso as curvas

das aproximações H0,0

°H0,0

e H1,1

°H0,0

foram as que mais se aproximaram da curva

referente ao GITT. As curvas das aproximações H1,1

° H1,1

e H0,0

° H1,1

mostraram

comportamento quase idêntico para todos os valores de ∞.

Apesar de, nesse caso, os resultados para maiores valores de ∞ não terem sido

muito compatíveis quando comparados ao GITT, se observou que o tempo de rela-

xação da temperatura média diminuiu com o aumento de ∞, de forma semelhante ao

GITT. Levando em consideração que a aproximação H0,0

°H0,0

foi a melhor para este

Leandro Sphaier

Porque?


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


caso, o gráfico 3.37 foi realizado com a intenção de mostrar como, para este caso, o

aumento do valor de ∞ influencia negativamente na eficácia do método dos parâmetros

concentrados.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT Γ#1

GITT Γ#5

GITT Γ#10

GITT Γ#20

H0,0$H0,0 Γ#1

H0,0$H0,0 Γ#5

H0,0$H0,0 Γ#10

H0,0$H0,0 Γ#20

Fig. 3.37: Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Neumann eaproximação H

0,0

°H0,0

para diferentes valores de ∞.


3.2.2 Caso 2: Dirichlet-Robin

A seguir são apresentados os resultados das aproximações para o caso Dirichlet-

Robin.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1

Fig. 3.38: Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Robin paradiferentes aproximações. ∞= 1, Bi = 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


Analisando as figuras 3.38, 3.39, 3.40 e 3.41, as mesmas observações do caso

anterior também podem ser feitas para este caso. Novamente as aproximações H0,0

°

H0,0

e H1,1

°H0,0

foram as mais semelhantes ao GITT, e as aproximações H1,1

°H1,1

e

H0,0

°H1,1

exibiram resultados muito parecidos. O tempo de relaxação da temperatura

média também diminui com o aumento de ∞ nesse caso. Apesar disso, pode se verificar

Leandro Sphaier

Porque só Bi=1?


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


que novamente o superaquecimento que ocorre não foi representado pela aproximação

dos parâmetros concentrados.

O gráfico 3.42 mostra que nesse caso o aumento de ∞ também interfere negativa-

mente na eficácia do método em questão.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT Γ#1

GITT Γ#5

GITT Γ#10

GITT Γ#20

H0,0$H0,0 Γ#1

H0,0$H0,0 Γ#5

H0,0$H0,0 Γ#10

H0,0$H0,0 Γ#20

Fig. 3.42: Variação no tempo da temperatura média para o caso Dirichlet-Robin e apro-ximação H

0,0

°H0,0

para diferentes valores de ∞. Bi = 1


3.2.3 Caso 3: Neumann-Dirichlet

Nesta seção serão apresentados os resultados das aproximações para o caso Neumann-

Dirichlet.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1

Fig. 3.43: Variação no tempo da temperatura média para o caso Neumann-Dirichletpara diferentes aproximações. ∞= 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


A partir da análise das figuras 3.43, 3.44, 3.45 e 3.46 pode se constatar que para

esse caso, como não há superaquecimento, o método dos parâmetros concentrados foi

mais eficiente. Diferente dos casos anteriores, nota-se que as curvas das aproximações

H1,1

°H1,1

e H0,0

°H1,1

foram bastante similares à curva referente ao GITT. As curvas

das aproximações H0,0

°H0,0

e H1,1

°H0,0

mostraram comportamento quase idêntico


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


para todos os valores de ∞. Nesse caso também se observou que o tempo de relaxação

da temperatura média diminuiu com o aumento de ∞. O gráfico 3.47 mostra que para

este caso o aumento de ∞ não influencia muito na eficiência do método, que se mostra

funcional para todos os valores de ∞.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT Γ#1

GITT Γ#5

GITT Γ#10

GITT Γ#20

H1,1$H1,1 Γ#1

H1,1$H1,1 Γ#5

H1,1$H1,1 Γ#10

H1,1$H1,1 Γ#20

Fig. 3.47: Variação no tempo da temperatura média para o caso Neumann-Dirichlet eaproximação H

1,1

°H1,1

para diferentes valores de ∞.


3.2.4 Caso 4: Robin-Dirichlet

Por último, foram realizados os gráficos para as aproximações do caso Robin-

Dirichlet:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1

Fig. 3.48: Variação no tempo da temperatura média para o caso Robin-Dirichlet paradiferentes aproximações. ∞= 1, Bi = 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


Pode se verificar ao se observar as figuras 3.48, 3.49, 3.50 e 3.51 que, nos dois

últimos casos, como não há superaquecimento na parede da esquerda, o perfil das

curvas do GITT e das aproximações H1,1

°H1,1

e H0,0

°H1,1

foi quase idêntico. A fig.

3.52 mostra que novamente o valor de ∞ não provoca grandes mudanças na eficácia

do método dos parâmetros concentrados, que mostrou grande aplicabilidade nos dois


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT

H0,0"H0,0

H0,0"H1,1

H1,1"H0,0

H1,1"H1,1


últimos casos.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tb

GITT Γ#1

GITT Γ#5

GITT Γ#10

GITT Γ#20

H1,1$H1,1 Γ#1

H1,1$H1,1 Γ#5

H1,1$H1,1 Γ#10

H1,1$H1,1 Γ#20

Fig. 3.52: Variação no tempo da temperatura média para o caso Robin-Dirichlet e apro-ximação H

1,1

°H1,1

para diferentes valores de ∞. Bi = 1

Capítulo 4

Conclusões

Este estudo demonstrou a aplicação de um modelo termodinâmico para analisar o

comportamento da temperatura de um fluido supercrítico confinado em uma cavidade

1D, para diferentes condições de contorno. Foi possível analisar o desenvolvimento da

temperatura média do sistema por meio de gráficos, permitindo uma comparação geral

das opcões de condição.

Foi observado que o efeito pistão é mais forte em fluidos mais compressíveis, pois

nesse caso a camada limite térmica se expande mais. A análise dos gráficos confirmou

que quanto maior o fator ∞, mais compressível o fluido. A expansão da camada limite

térmica responsável pelo efeito pistão se mostrou maior nos gráficos em que o valor de

∞ era mais alto.

Através da análise dos gráficos da temperatura média para vários valores de ∞, pode

se afirmar que o tempo de relaxação da >b diminui com o aumento de ∞, ou seja, com

a presença do efeito pistão, causador do aumento rápido e homogêneo da temperatura

no fluido.

Também foram comprovadas as características das condições de contorno de pri-

meiro, segundo e terceiro tipo, respectivamente Dirichlet, Neumann e Robin. Os gráfi-

cos exibiram que a troca de calor na condição de Dirichlet foi bem mais forte que nas

outras. Analisando as figuras para os casos com Neumann e Robin, verificou-se que a

condição de Robin é mais forte que a de Neumann, assim conclui-se que Dirichlet >

62

Leandro Sphaier

4. Conclusões 63

Robin > Neumann.

Foi certificada a influência de Biot na condição de Robin: para maiores valores,

a condição se mostrou mais parecida com Dirichlet, apresentando menores tempos

de relaxação para >b . Para valores pequenos do número de Biot,o comportamento

foi mais semelhante à Neumann, apresentando uma inibição da expansão da camada

limite em virtude do fraco aquecimento proporcionado por esta condição.

Nos casos Dirichlet-Robin e Dirichlet-Neumann foi evidenciado um superaqueci-

mento na parede da direita. Isso ocorre devido à presença do efeito pistão na parede

da esquerda unido ao fato de que as condições de Neumann e Robin não realizam de

maneira tão rápida e eficaz o resfriamento da parede da direita, o que leva o fluido a

um aquecimento uniforme nos primeiros momentos.

A comparação das curvas de temperatura média >b obtidas através do GITT com

as obtidas através dos parâmetros concentrados mostrou que o perfil dos gráficos foi

o mesmo. Nos casos Dirichlet-Robin e Dirichlet-Neumann foi observado que para

menores valores de ∞ as aproximações foram mais compatíveis com o GITT e que as

aproximações mais eficientes foram H0,0

° H0,0

e H1,1

° H0,0

. Além disso, notou-se

que o método dos parâmetros concentrados não é capaz de exibir o superaquecimento

presente nesses dois casos, o que tornou a técnica pouco eficiente para valores altos

de ∞ nessas condições. Nos casos Neumann-Dirichlet e Robin-Dirichlet, nos quais

não ocorre superaquecimento, as curvas das aproximações H0,0

° H1,1

e H1,1

° H1,1

mostraram comportamento quase idêntico ao da curva referente ao GITT. Também foi

evidenciado que o valor de ∞ não provoca grandes mudanças na eficácia do método

dos parâmetros concentrados, que mostrou grande aplicabilidade nos dois casos em

questão.

Leandro Sphaier

Leandro Sphaier

Porque? O gama atua como um redutor do valor de Biot ou da derivada no tempo

Capítulo 5

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