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PGMECPROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DEPÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

FLEXÃO EM VIGAS INDUZIDA PORDIFUSÃO

PEDRO HENRIQUE TANCREDO CAMPOS

FEBRUARY 11, 2014

Pedro Henrique Tancredo Campos

Flexão em Vigas Induzida por Difusão

Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama Francisco Eduardo Mourão Saboya dePós-Graduação em Engenharia Mecânica daUFF como parte dos requisitos para obtençãodo título de Mestre em Ciência em EngenhariaMecânica

Universidade Federal Fluminense

Orientadora Angela Cristina C. de Souza

Niterói - RJFebruary 11, 2014

Pedro Henrique Tancredo CamposFlexão em Vigas Induzida por Difusão / Pedro Henrique Tancredo Campos. – Niterói -RJ, February 11, 201465 p.

Dissertação de Mestrado – Universidade Federal Fluminense, February 11, 2014.Orientadora: Angela Cristina C. de Souza1. Difusão; 2. Elementos Finitos; I. Angela Cristina Cardoso de Souza; II. UniversidadeFederal Fluminense; III. Flexão em vigas induzidas por difusão.CDU 02:141:005.7

FLEXÃO EM VIGAS INDUZIDA POR DIFUSÃO

Esta Tese é parte dos pré-requisitos para obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Angela Cristina C. de Souza(D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

Orientador

João Marciano L. dos Reis (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense

Fernando P. Duda (D.Sc.)Universidade Federal do Rio de Janeiro

Niterói - RJFebruary 11, 2014

Este trabalho é dedicado a meus pais,Francisco e Martha, que não pouparam esforços

para que eu me tornasse quem sou hoje.

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a professora Angela, que com toda experiência e sabedoria meorientou de forma segura e precisa. Obrigado pela dedicação, paciência e conversas enriquece-doras.

A todos os professores do Mestrado, que contribuíram com competência para o meu desen-volvimente profissional e pessoal. Aos amigos que fiz durante esta trajetória.

Ao meu irmão Ednardo, que muito me incentivou a prosseguir na vida acadêmica.

A minha esposa, Gabrielle, companheira amorosa, por seu constante apoio moral e motiva-ção.

às crianças adultas que, quando pequenas,sonharam em se tornar cientistas.

Resumo

Este trabalho usa a teoria do contínuo aplicada na interação entre difusão desolutos e deformação de sólidos elásticos. Uma caracterísitca deste modello é a concepçãode uma mistura sólido-soluto na qual o soluto pode se mover de forma independentepela microestrutura do sólido, como também pode deformar o sólido. Especificamente,considerando pequenas deformações o objetivo deste trabalho é duplo:

a) utilizar a mecânica contínua moderna para desenvolver um arcabouço paradescrever a interação da difusão de um soluto com a deformação em sólidos elásticos;

b) especializar o arcabouço geral para obter um conjunto simples de equações quedemonstram que o arcabouço geral é capaz de representar algumas das mais essênciaiscaracterísticasda interação entre difusão e deformação. Como aplicação, consideramos umproblema de flexão induzida por difusão em vigas. Este problema é de particular relevânciapara a compreensão dos sensores microcantiléver, que têm sido utilizados com sucesso paraa detecção de pequenas quantidades de moléculas de soluto, moléculas de hidrogénio,por exemplo, no ar e na solução. Apresentamos a solução analítica do problema, comoutilizada em YANG e uma solução numérica utilizando o software COMSOL Multiphysicsconsiderando o peso próprio. Palavras-chave: difusão, solidos elásticos, transporte de

soluto, flexão induzida por difusão, sensores de hidrogénio.

Abstract

This paper deals with a continuum theory for the interaction between solute diffu-sion and deformation in elastic solids. A salient feature of this continuum model relies onthe conception of the solid-solute mixture as a solid with a microstructure through whichthe solute can move independently. Further, the solute can distort the solid, which other-wise is conserved. Specifically, within a small strain and isothermal setting, the purposeof this work is twofold: a) to use modern continuum mechanics to develop a frameworkfor the description of the interaction of solute diffusion and deformation in elastic solids;b) to specialize the general framework to obtain a simple set of governing equations whichdemonstrate that the general framework is capable of capturing some of the most essen-tial features of the interplay between diffusion and deformation. As an application, weconsider the problem of diffusion-induced bending in beams. This issue is of particularrelevance for the understanding of microcantiléver sensors, which have been used withsuccess for the detection of small amounts of solute molecules, hydrogen molecules forinstance, in air and solution.

Key-words: diffusion, elastic solids, solute transport, diffusion-induced bending, hydro-gen sensors

Lista de Figuras

Figura 1 – Ângulo formado devido a flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 2 – Diagrama de corpo livre de viga infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3 – Gradiente de concentração para o regime estacionário . . . . . . . . . . . . . 32Figura 4 – Gradiente de concentração em regime transitório . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 5 – Condições de contorno para a difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 6 – Distribuição da concentração ao longo do seção transversal em função dotempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 7 – Momento difusivo em função do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 8 – Raio de curvatura em função do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 9 – Evolução da deflexão da viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 10 –Comparação entre a deformação da viga considerando-se o carregamento

mecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 11 –Tensão axial ao logo da seção transversal da viga . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 12 –Comparação entre o tamanho de uma pulga e um dispositivo MEMS . . . . 53Figura 13 –Processo de fabricação de um microcantiléver (I e II) . . . . . . . . . . . . . 57Figura 14 –Processo de fabricação de um microcantiléver (III e IV) . . . . . . . . . . . . 58Figura 15 –Processo de fabricação de um microcantiléver (V e VI) . . . . . . . . . . . . 58Figura 16 –Cálculo da flecha em cantiléveres para carregamentos concentrado e distribuído 59Figura 17 –Nanocantiléver revestido com biomoléculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 18 –Mecanismo de lacunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 19 –Mecanismo intersticial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 20 –Difusão atômica com gradiente de concentração . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 21 –Distribuição estatística dos níveis de energia atômica de átomos . . . . . . . 64

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Propriedades do aço carbono contaminado por hidrogênio . . . . . . . . . . 43Tabela 2 – Malha para simulação da difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Tabela 3 – 𝑀𝐶𝑧 para diversos instantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Tabela 4 – Malha para simulação da deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Conteúdo

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Conteúdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Flexão em Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1 Flexão pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Deflexão em vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Teoria da Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Primeira Lei de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Segunda Lei de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Flexão Induzida por Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Formulação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Formulação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Solução Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A Sistemas Microeletromecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.1 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.2 Microcantiléver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2.2 Fabricação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.2.3 Transdutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B Teoria de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.1 Mecanismos de Movimentos Atômicos em Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B.1.1 Mecanismo Substitucional ou de Vazios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61B.1.2 Mecanismo Intersticial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62B.1.3 Mecanismo de Difusão em Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

B.2 Energia de Ativação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63B.3 Autodifusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63B.4 Gradientes de Concentração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.5 Distribuição de Energia Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.6 Coeficiente de Difusão Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

23

1 Introdução

Estudos de fenômenos mecânicos associados com as mudanças no ambiente químico têmum histórico substancial. Em 1924, Palmer (1924) utilizou um coesor para estudar o contatoinduzido por ondas eletromagnéticas em limalhas na presença de diferentes gases e analisou acorrelação entre as respostas observadas e a absorção de calor pelo gás. Quase que ao mesmotempo, Mehaan (1927) observou a expansão induzida por adsorção de carvão de pinho amareloexposto a vapores de dióxido de carbono e mostrou que este era um processo reversível. Maistarde, Yates (1954) conduziu estudos similares sobre a expansão do vidro poroso exposto agases não-polares, como 𝐴𝑟, 𝑁2, 𝑂2, 𝐻2 e 𝐾𝑟.

Tensões mecânicas e as deformações produzidas em resposta a uma mudança de am-biente químico também chamam atenção como um princípio de alimentação de dispositivosmecânicos em miniatura. Por exemplo, na década de 1950 e 1960, Kuhn et al. (1950), Stein-berg, Oplatka e Katchalsky (1966) desenvolveram o conceito de dispositivos que fornecem aconversão direta de estímulos químicos em energia mecânica. Tais dispositivos passaram a serreferidos como motores mecanoquímicos a partir de Sussman e Katchalsky (1970), mas devidoa dificuldade associada a microfabricação estes dispositivos foram deixados de lado, além dissoas implicações práticas desses dispositivos eram limitadas.

Processos de fabricação capazes de criar mecanismos extremamente pequenos têm sidodesenvolvidos nos últimos anos (Angell, Terry e Barth (1983), Ho e Tai (1998), Garcia e Snie-gowski (1992), Ouellette (2003)) o interesse da Indústria Microeletrônica na manufatura destescomponentes resultou em um enorme avanço das técnicas de fabricação.

Em particular, as microvigas em balanço (microcantiléver) têm tido grande sucessocomo componentes utilizados em sistemas sujeitos a efeitos químicos e térmicos, como porexemplo, para detectar ínfimas concentrações de massa, avaliar a presença de biomoléculas,medir variações de pH e medir tensões superficiais devido à absorção molecular. Em muitasdessas aplicações, os dados desejados (detectados por alguma técnica ótica) são obtidos atravésda deflexão da viga, provocada por tais efeitos físico-químicos.

Este trabalho apresenta uma teoria continua para a descrição da interação entre a di-fusão de um soluto e a deformação elástica em sólidos desenvolvida em Duda et al. (2009b).Nesta teoria é descrito o comportamento de um sólido passando por dois processos mecânicosinterdependentes, um macroscópico ou mecânico devido a deformação do sólido, e um microscó-pico ou químico, devido a migração de espécies através do sólido. De acordo com o formalismoda mecânica dos meios contínuos, considera-se o seguinte: Balanços básicos, desequilíbrio deenergia livre (segunda lei da termodinâmica) e a teoria constitutiva.

A teoria constitutiva baseia-se nos seguintes pressupostos: Decomposição aditiva da

24 Capítulo 1. Introdução

deformação do sólido em suas componentes elásticas e induzida por soluto; a dissipação ocorredevido a difusão; o conjunto de variáveis constitutivas inclui a deformação elástica e a densidadedo soluto. Finalmente, as equações governantes do arcabouço são obtidas através da combinaçãodos componentes acima mencionados.

Como uma aplicação, consideramos o problema da flexão induzida por difusão em vigas.Este problema é de particular relevância para a compreensão dos sensores de microcantiléver,que têm sido usados com sucesso para detecção de pequenas quantidades de moléculas de soluto,moléculas de hidrogênio por exemplo, no ar ou em solução.

Um microssensor cantiléver de hidrogênio detecta a presença de pequenas concentraçõesde hidrogênio em um pequeno volume e mede a tensão superficial associada com a absorçãoou adsorção molecular. A aquisição e interpretação dos dados são baseados na deformação docantiléver. A tensão e deformação induzidas por difusão em sensores e atuadores de microcan-tiléver tem sido objeto de estudos recentes. Com base na teoria da elasticidade linear Yange Li (2003) analisaram a flexão de vigas sob ação da difusão em sensores de hidrogênio sematuação de esforços mecânicos externos. Xuan et al. (2010) analisaram a influência das tensõesresiduais nos sensores tipo microcantiléver bicamada sob ação da difusão, no entanto, tambémsem considerar esforços mecânicos externos.

O propósito deste trabalho é de analisar a flexão de uma viga devido a difusão demoléculas de hidrogênio combinada com carregamentos mecânicos.

25

2 Flexão em Vigas

Na teoria de resistência dos materiais esforço de flexão simples é normalmente resultanteda ação de carregamentos transversais que tendem a curvar o corpo e que geram uma distribui-ção de tensões aproximadamente lineares no seu interior. Essa distribuição alterna entre tensõesde tração e compressão na mesma seção transversal. Isso ocorre quando a seção transversal docorpo é simétrica em relação ao plano de aplicação do carregamento transversal (plano de so-licitação). A resultante dessa distribuição é um binário de forças de igual intensidade, mas desentidos opostos, conhecido como momento fletor.

A flexão pura é um caso particular da flexão simples onde corpos flexionados somenteestão solicitados por um momento fletor, não existindo assim o carregamento transversal. Éuma condição considerada idealizada, mas com a consideração das hipóteses simplificadoras,essa condição pode ser acoplada, aos efeitos de cargas transversais para se obter o estadodeformado e as tensões da flexão simples.

2.1 Flexão pura

Na Mecânica do Contínuo definimos uma função f (p) que representa o mapeamento depontos materiais p pertencentes a um corpo ℬ ao longo de suas diversas configurações, estadosde deformação, translação e rotação. Portanto o deslocamento um ponto material qualqueru (p) pode ser representado por.

𝑢 (p) = f (p) − p (2.1)

Derivando esta relação chegamos a:

∇u = ∇f − I ou ∇u = F − I (2.2)

E = 12(FTF − I

)(2.3)

Se considerarmos deformações muito pequenas, a medida de deformação, utilizada comoo tensor de deformação, pode ser representada como:

E = 12(∇u + ∇uT

)= ∇uS (2.4)

26 Capítulo 2. Flexão em Vigas

A equação constitutiva que relaciona a deformação descrita acima com o tensor dastensões de Cauchy T para um material linear e isotrópico (lei de Hooke generalizada) é dadapor.

T = 2𝜇E + 𝜆 (trE) I (2.5)

Onde, 𝜆 e 𝜇 são conhecidos como o primeiro e segundo parâmetros de Lamé respectivamente.Se reescrevermos a relação acima em função do módulo de Young do material 𝐸 e do coeficientede Poisson 𝜈 teremos:

T = 𝐸

1 + 𝜈

[E + 𝜈 (trE)

1 − 2𝜈I]

(2.6)

Conforme apresentado anteriormente, na flexão pura as solicitações mecânicas são re-presentadas apenas por momentos, não existindo portanto solicitações transversais externas,embora tal acoplamento seja possível por meio de sobreposição de esforços.

Nessa hipótese, vale a teoria de vigas de Euler-Bernoulli que impõe que o estado dedeformação de uma viga sob flexão pura é tal que, as seções transversais consideradas planas,antes de aplicado o carregamento, permanecem planas após a sua aplicação. Na prática issoimplica em dizer que o coeficiente de Poisson é nulo (𝜈 = 0) e que a deformação axial a que estasujeita uma seção transversal desta viga é representada por uma relação linear das coordenadasda mesma. Portanto a equação 2.5, é simplificada para:

E = 1𝐸

T (2.7)

Se considerarmos apenas a direção axial:

𝐸𝑥𝑥 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1

𝐸𝑇𝑥𝑥 (2.8)

E denotando por 𝑥 a coordenada axial da viga, 𝑦 e 𝑧 as coordenadas da seção transversal,podemos escrever a componente axial do mapeamento das configurações da viga 𝑢 (p) como oproduto escalar de f (𝑥) = (𝑓0 (𝑥) , 𝑓1 (𝑥) , 𝑓2 (𝑥)) pelo plano perpendicular a 𝑥, p = (1, 𝑦, 𝑧):

𝑢 = f (𝑥) · p

𝑢 = 𝑓0 (𝑥) + 𝑦𝑓1 (𝑥) + 𝑧𝑓2 (𝑥) (2.9)

Portanto, a deformação axial correspondente.

𝐸𝑥𝑥 = 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑓 ′

0 (𝑥) + 𝑦𝑓 ′1 (𝑥) + 𝑧𝑓 ′

2 (𝑥) (2.10)

2.1. Flexão pura 27

Substituindo-se este resultado na relação constitutiva (2.7) a tensão axial é então

𝑇𝑥𝑥 = 𝐸 (𝑓 ′0 (𝑥) + 𝑦𝑓 ′

1 (𝑥) + 𝑧𝑓 ′2 (𝑥)) (2.11)

Mas funções 𝑓0, 𝑓1 e 𝑓2 ainda precisam ser determinadas de forma a satisfazer as equaçõesde equilíbrio do sistema, portanto. Para uma viga sujeita a momentos 𝑀𝑦 e 𝑀𝑧 as equações deequilíbrio de uma seção transversal qualquer são:

ˆ𝐴

𝑇𝑥𝑥𝑑𝐴 = 0ˆ

𝐴

𝑇𝑥𝑥𝑦𝑑𝐴 = 𝑀𝑧ˆ𝐴

𝑇𝑥𝑥𝑧𝑑𝐴 = 𝑀𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.12)

Com as integrais sendo avaliadas em toda seção transversal 𝐴. Assim, substituindo atensão 2.11 nas equações de equilíbrio (2.12) teremos:

𝑓 ′0

ˆ𝐴

𝑑𝐴 + 𝑓 ′1

ˆ𝐴

𝑦𝑑𝐴 + 𝑓 ′2

ˆ𝐴

𝑧𝑑𝐴 = 0

𝑓 ′0

ˆ𝐴

𝑦𝑑𝐴 + 𝑓 ′1

ˆ𝐴

𝑦2𝑑𝐴 + 𝑓 ′2

ˆ𝐴

𝑦𝑧𝑑𝐴 = 𝑀𝑧

𝐸

𝑓 ′0

ˆ𝐴

𝑧𝑑𝐴 + 𝑓 ′1

ˆ𝐴

𝑦𝑧𝑑𝐴 + 𝑓 ′2

ˆ𝐴

𝑧2𝑑𝐴 = 𝑀𝑦

𝐸

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.13)

No entanto, devido a consideração de eixos centroidais, ou seja,´

𝐴𝑦𝑑𝐴 =

´𝐴

𝑧𝑑𝐴 = 0,as demais integrais representam: a área 𝐴, os momentos de inércia a respeito de 𝑦 e 𝑧, 𝐼𝑦 e 𝐼𝑧,respectivamente, e o produto de inércia 𝐼𝑦𝑧 a respeito destes eixos. Definidos por.

ˆ𝐴

𝑑𝐴 = 𝐴;ˆ

𝐴

𝑧2𝑑𝐴 = 𝐼𝑦;ˆ

𝐴

𝑦2𝑑𝐴 = 𝐼𝑧;ˆ

𝐴

𝑦𝑧𝑑𝐴 = 𝐼𝑦𝑧

Portanto

𝑓 ′0𝐴 = 0

𝑓 ′1𝐼𝑧 + 𝑓 ′

2𝐼𝑦𝑧 = 𝑀𝑧

𝐸

𝑓 ′1𝐼𝑦𝑧 + 𝑓 ′

2𝐼𝑦 = 𝑀𝑦

𝐸

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.14)


Resolvendo o sistema para 𝑓 ′0, 𝑓 ′

1 e 𝑓 ′2.

𝑓 ′0 = 0

𝑓 ′1 = 𝑀𝑧𝐼𝑦 − 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧

𝐸(𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼2

𝑦𝑧

)𝑓 ′

2 = 𝑀𝑦𝐼𝑧 − 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧

𝐸(𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼2

𝑦𝑧

)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.15)

Substituindo-se estes resultados na tensão (2.11) teremos.

𝑇𝑥𝑥 = 𝑀𝑧𝐼𝑦 − 𝑀𝑦𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑦𝐼𝑧 − 𝐼2𝑦𝑧

𝑦 + 𝑀𝑦𝐼𝑧 − 𝑀𝑧𝐼𝑦𝑧


𝑧 (2.16)

A equação (2.16) permite o cálculo direto da componente axial da tensão da viga deseção transversal qualquer, sujeita a momentos em ambos os eixos da mesma. Se, por exemplo,a seção transversal da viga possuir um eixo de simetria conhecido, podemos fazer 𝐼𝑦𝑧 = 0 e,portanto podemos reduzir (2.16) para forma.

𝑇𝑥𝑥 = 𝑀𝑧

𝐼𝑧

𝑦 + 𝑀𝑦

𝐼𝑦

𝑧 (2.17)

2.2 Deflexão em vigas

A deformação de uma seção transversal de coordenada axial 𝑥 pode ser obtida a partirda integração da combinação das equações (2.8) e (2.16), ou seja.

𝑢 = 1𝐸

[(ˆ 𝑥

0

𝑀𝑧

𝐼𝑧

𝑑𝑥

)𝑦 +

(ˆ 𝑥

0

𝑀𝑦

𝐼𝑦

𝑑𝑥

)𝑧

](2.18)

As deflexões 𝑣 e 𝑤 nas direções 𝑦 e 𝑧 respectivamente, podem ser obtidas através daseguinte hipótese: Considere duas seções transversais da viga, afastadas 𝑑𝑥1, inicialmente ospontos que definem estas seções estão sobre os planos definidos por [𝑥1, 𝑦, 𝑧] e [𝑥1 + 𝑑𝑥1, 𝑦, 𝑧]como mostra a Figura 2.2.

Estas seções, por resultado do carregamento externo, inclinam-se uma em relação aoutra mas, como proposto anteriormente, ainda assim são consideradas como se permanecemplanas. A posição final de cada uma delas é descrita respectivamente pelos planos.

𝑥 = 𝑥1 + 𝑢 (𝑥1, 𝑦, 𝑧) (2.19)

2.2. Deflexão em vigas 29

Figura 1 – Ângulo formado devido a flexão

E

𝑥 = 𝑥1 + 𝑑𝑥1 + 𝑢 (𝑥1, 𝑦, 𝑧) + 𝜕𝑢

𝜕𝑥1𝑑𝑥1

= 𝑥1 + 𝑢 (𝑥1, 𝑦, 𝑧) +(

1 + 𝜕𝑢

𝜕𝑥1

)𝑑𝑥1

(2.20)

O ângulo entre os planos definidos por 2.19 e 2.20 será conhecido se os ângulos 𝑑𝛼𝑦e 𝑑𝛼𝑧

forem conhecidos. Sendo 𝑑𝛼𝑦 o ângulo entre os traços destes planos no plano 𝑥𝑦, e de formasemelhante 𝑑𝛼𝑧. Estes ângulos estão diretamente relacionados com os raios de curvatura 𝑅𝑦 e𝑅𝑧. Sob a hipótese de pequenas deformações podemos escrever.

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = 1𝑅𝑦

= −𝑑𝛼𝑦

𝑑𝑥1; 𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 = 1𝑅𝑧

= −𝑑𝛼𝑧

𝑑𝑥1(2.21)

Expressões para os ângulos em questão precisam ser obtidas em termos da deformação𝑢. Para 𝑑𝛼𝑦 a coordenada 𝑧 deve permanecer constante (𝑧 = 𝑧1). Sendo assim em qualquerplano paralelo ao plano 𝑥𝑦 as equações 2.19 e 2.20 levam a:

𝑑𝛼𝑦 =1𝑦

{[𝑥1 + 𝑢 +

(1 + 𝜎𝑥

𝐸

)𝑑𝑥1 − (𝑥1 + 𝑢)

]𝑥=𝑥1; 𝑦=𝑦 𝑧=𝑧1[

𝑥1 + 𝑢 +(

1 + 𝜎𝑥

𝐸

)𝑑𝑥1 − (𝑥1 + 𝑢)

]𝑥=𝑥1; 𝑦=0 𝑧=𝑧1

}

𝑑𝛼𝑦 = 𝑑𝑥1

𝐸𝑦

{[𝜎𝑥]𝑦=𝑦 − [𝜎𝑥]𝑦=0

}𝑥=𝑥1; 𝑧=𝑧1

𝑑𝛼𝑦 = 𝑑𝑥1

𝐸

(𝐼𝑦𝑀𝑧 − 𝐼𝑦𝑧𝑀𝑦


)𝑥=𝑥1; 𝑧=𝑧1

(2.22)


Uma expressão equivalente pode ser escrita para 𝑑𝛼𝑧. Por comparação com a expressãode 𝑑𝛼𝑦, podemos então escrever.

1𝑅𝑦

= 𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = − 1𝐸

(𝐼𝑦𝑀𝑧 − 𝐼𝑦𝑧𝑀𝑦


)1

𝑅𝑧

= 𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 = − 1𝐸

(𝐼𝑧𝑀𝑦 − 𝐼𝑦𝑧𝑀𝑧


)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.23)

Destas equações diferenciais as deformações 𝑣 e 𝑤 podem ser obtidas através de integra-ção para quaisquer momentos 𝑀𝑦 e 𝑀𝑧 dados. Novamente no caso especial de eixos principaispodemos simplificar estes resultados para.

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = − 𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 = − 𝑀𝑦

𝐸𝐼𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (2.24)

Onde as forças e momentos atuantes nas extremidades correspondem aos esforços in-ternos de equilíbrio provocados pela reação do cantiléver e a força distribuída por unidade decomprimento 𝑓 , de natureza qualquer, atua na direção do eixo 𝑦, no caso do material apli-cado na confecção do cantiléver ser piezoresistivo, por exemplo, o carregamento 𝑓 pode ser denatureza elétrica. Sendo o diagrama de corpo livre representado na Figura 2

2Figura 2 – Diagrama de corpo livre de viga infinitesimal

A condição de equilíbrio dos esforços atuantes no cantiléver é tal que:

𝑉 + 𝑓𝑑𝑥 − 𝑉 − 𝑑𝑉 = 0 (2.25)

𝑀𝑧 + 𝑑𝑀𝑧 − 12𝑓𝑑𝑥2 − 𝑀𝑧 − 𝑉 𝑑𝑥 = 0 (2.26)

Para pequenas deformações (desprezando os termos de ordem superior):

𝑓 (𝑥) = 𝑑2𝑀𝑧 (𝑥)𝑑𝑥2 (2.27)

31

3 Teoria da Difusão

Quando uma pessoa usando perfume senta-se a uma certa distância de você, após algumtempo você sente o cheiro do perfume mesmo quando não existem correntes de ar aparente oumovimentos. Este é um exemplo muito conhecido de difusão de um gás. A teoria cinética dosgases descreve este fenômeno como o movimento aleatório oriunda da colisão de moléculas.Em líquidos este movimento aleatório pode ser facilmente demonstrado utilizando movimentosBrownianos de partículas em suspensão. Da mesma forma nos sólidos, as vibrações atômicasde origem térmica permitem que os átomos movam-se através dos materiais. No entanto, existeuma grande diferença na velocidade de deslocamento dos átomos nestes três diferentes estados.Se o deslocamento de uma molécula de gás é de 1 𝑚 em uma certa quantidade de tempo, eleserá aproximadamente 1 𝑐𝑚 em um liquido e da ordem de 10 − 100 𝜇𝑚 em um sólido. Aindaassim, apesar destas pequenas distâncias relativas, a difusão em sólidos desempenha um papelimportante. Por exemplo, a velocidade das reações químicas, a taxa de crescimento de camadasde óxido nos metais, a taxa de sinterização e a fluência a altas temperaturas, são processosdeterminados pela difusão.

A lei de Fick é uma lei quantitativa na forma de equação diferencial que descreve diversoscasos de difusão de matéria ou energia em um meio no qual inicialmente não existe equilíbrioquímico ou térmico. Recebe seu nome de Adolf Eugen Fick, que as derivou em 1855. Nesta seçãonos ateremos aos tópicos de mais relevância para este trabalho, no entanto, mas informaçõessobre a teoria difusão podem ser encontrados no Anexo B.

3.1 Primeira Lei de FickEm situações nas quais existem gradientes de concentração de uma substância, ou de

temperatura, se produz um fluxo de partículas ou de calor que tende a homogenizar a soluçãoe uniformizar a concentração ou a temperatura. O fluxo homogenizador é uma consequênciaestatística do movimento aleatório das partículas que dá lugar ao segundo princípio da termodi-nâmica, conhecido também como movimento térmico casual das partículas. Assim os processosfísicos de difusão podem ser vistos como processos físicos ou termodinâmicos irreversíveis. Nocaso particular do calor a lei de Fick é conhecida como lei de Fourier.

Este fluxo irá no sentido oposto do gradiente e, se desprezível, poderá aproximar-se peloprimeiro termo da série de Taylor, resultando a lei de Fick.

𝐽 = −𝐷∇𝑐, (3.1)

Sendo, 𝐽 o fluxo de átomos do componente químico que atravessa um plano de área unitária

32 Capítulo 3. Teoria da Difusão

Concentração

Distância

Figura 3 – Gradiente de concentração para o regime estacionário

por unidade de tempo, 𝐷 o coeficiente de difusão da espécie de concentração 𝑐.

Se existir produção ou destruição da espécie (por uma reação química, por exemplo), aesta equação deve adicionar-se um termo de fonte no segundo membro.

O gradiente de concentração mostra como a composição do material varia com a dis-tância como ilustrado na Figura 3.

O gradiente de concentração pode ser criado quando dois materiais de diferentes com-posições são colocados em contato; quando um gás ou um líquido está em contato com ummaterial sólido; quando estruturas fora do equilíbrio são produzidas em um material devido aoprocessamento; e por meio de outras fontes.

O fluxo em uma temperatura particular é constante somente se o gradiente de con-centração também é constante, isto é, a composição em cada lado do plano da Figura 3 per-manece inalterada (regime estacionário). Entretanto, em muitos casos práticos a composiçãovaria quando os átomos são redistribuídos e, portanto, o fluxo também muda (regime não-estacionário).

Frequentemente, é encontrado que o fluxo inicialmente é alto e então decresce gradual-mente à medida que o gradiente de concentração é reduzido pela difusão.

3.2 Segunda Lei de Fick

O movimento atômico em condições estacionárias não é comum na engenharia de ma-teriais. Na maioria dos casos, este movimento ocorre em regime transitório ou em situaçõesonde as concentrações variam com o tempo. A Figura 4 mostra a variação da concentração, àmedida que o tempo de processamento aumenta.

A segunda lei de Fick descreve a dinâmica, ou o estado não-estacionário, da difusão de

3.2. Segunda Lei de Fick 33

Distância

Concentração

Figura 4 – Gradiente de concentração em regime transitório

átomos, combinando a primeira lei de Fick com a lei de conservação para a espécie 𝐶 teremos:

𝜕𝑐

𝜕𝑡+ ∇ · 𝐽 = 0 (3.2)

Que resulta na segunda lei de Fick (equação de difusão).

𝜕𝑐

𝜕𝑡− ∇2𝐷𝑐 = 0 (3.3)

Considerando-se o caso unidimensional para a coordenada 𝑦:

𝜕𝑐

𝜕𝑡= 𝜕

𝜕𝑦

(𝐷

𝜕𝑐

𝜕𝑦

)(3.4)

Assumindo-se que o coeficiente de difusão 𝐷 não é função da localização 𝑦 e da concen-tração 𝐶, a equação acima pode ser reescrita na forma da versão simplificada de Fick, como:

𝜕𝑐

𝜕𝑡= 𝐷

𝜕2𝑐

𝜕𝑦2 (3.5)

35

4 Flexão Induzida por Difusão

Nesta seção é apresentada o modelo acoplado para descrição da interação entre a difusãode um soluto em um sólido e a deformação elástica deste sólido originada pelo processo dedifusão. Estes dois processos interdependentes ocorrem em escalas diferentes: A migração dosoluto através do sólido aborda um processo químico que ocorre em escala microscópica, e adeformação do elástica do sólido é um processo mecânico que ocorre em escala macroscópica.

Neste ponto, utilizaremos de um artifício para simplificar o tratamento numérico dasvariáveis de difusão denotando por 𝑐 e 𝑐𝑠 respectivamente a quantidade de soluto e de sólidopor unidade de volume de referência e de 𝜑 a concentração do soluto, onde:

𝜑 = 𝑐

𝑐𝑠

(4.1)

Para representar o efeito da deformação devido ao efeito da difusão assumiremos umadecomposição aditiva para o tensor das deformações E em duas parcelas uma elástica E𝑒 e umainduzida pela presença do soluto E𝑠.

E = E𝑒 + E𝑠, (4.2)

Com,

E𝑠 = 𝜂 (𝜑 − 𝜑0) I, (4.3)

Sendo, 𝜂 um parâmetro escalar positivo e 𝜑0 uma concentração de referência

Em consequência da escolha feita para representação da parcela de deformação devidoao efeito da difusão E𝑠, a teoria apresentada nesta seção é bastante semelhante a teoria dastensões térmicas descritas por Boley e Weiner (1997).

Considere uma viga exposta a um gradiente de concentração de um componente químicoe livre de cargas mecânicas externas. A flexão induzida por difusão, nos planos 𝑥 − 𝑦 e 𝑥 − 𝑧,pode ser avaliada com base no pressuposto de Euler-Bernoulli assim como feito para o caso deflexão pura, ou seja, a componente axial da deformação é a equação de um plano. Sendo assim,o deslocamento axial pode ser escrito como:

𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓0 (𝑥) + 𝑦𝑓1 (𝑥) + 𝑧𝑓2 (𝑥) (4.4)

No entanto, neste caso, a presença da parcela E𝑠 no tensor das deformações, faz com queao combinarmos as equações (4.2) e (4.3) com (2.8) as equações da deformação e tensão axiais

36 Capítulo 4. Flexão Induzida por Difusão

correspondentes difiram das obtidas no caso da flexão pura (2.11) e (2.10) devido a presençado termo 𝜂 (𝜑 − 𝜑0).

𝐸𝑥𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑓 ′

0(𝑥) + 𝑦𝑓 ′1(𝑥) + 𝑧𝑓 ′

2(𝑥) (4.5)

𝑇𝑥𝑥 = 𝐸 (𝐸𝑥𝑥 − 𝜂 (𝜑 − 𝜑0)) (4.6)

Outra diferença está no fato de que sem a presença de carregamentos externos as equa-ções de equilíbrio do sistema são:

ˆ𝐴

𝜎𝑥𝑑𝐴 =ˆ

𝐴

𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴 =ˆ

𝐴

𝜎𝑥𝑧𝑑𝐴 = 0 (4.7)

Portanto,

𝑓 ′0 = 𝜂

1𝐴

ˆ𝐴

𝜑𝑑𝐴

𝑓 ′1 = 𝜂

𝐼𝑦

´𝐴

𝜑𝑦𝑑𝐴 − 𝐼𝑦𝑧

´𝐴

𝜑𝑧𝑑𝐴


𝑓 ′2 = 𝜂

𝐼𝑧

´𝐴

𝜑𝑧𝑑𝐴 − 𝐼𝑦𝑧

´𝐴

𝜑𝑦𝑑𝐴


⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(4.8)

Substituindo-se (4.8) na equação da tensão 4.6 teremos.

𝑇𝑥𝑥 = 𝐼𝑦𝑀𝜑𝑧 − 𝐼𝑦𝑧𝑀𝜑𝑦

𝐼𝑧

𝑦 + 𝐼𝑧𝑀𝜑𝑦 − 𝐼𝑦𝑧𝑀𝜑𝑧


𝑧 − 𝐸𝜂(𝜑 − 𝜑0 − 𝜑

)(4.9)

Onde,

𝜑 = 1𝐴

ˆ𝐴

𝜑𝑑𝐴; 𝑀𝜑𝑦 = 𝐸𝜂

ˆ𝐴

𝜑𝑧𝑑𝐴; 𝑀𝜑𝑧 = 𝐸𝜂

ˆ𝐴

𝜑𝑦𝑑𝐴

Considerando-se os eixos 𝑦 e 𝑧 como centroidais:

𝑇𝑥𝑥 = 𝐸𝜂(𝜑 − 𝜑0 − 𝜑) + 𝑀𝜑𝑧

𝐼𝑧

𝑦 + 𝑀𝜑𝑦

𝐼𝑦

𝑧 (4.10)

Substituindo-se o resultado (4.8) na equação da deformação (4.5) e utilizando as con-venções definidas em (4.9), a deformação de uma seção transversal qualquer é dada por:

𝐸𝑥𝑥 = 𝜂𝜑 + 𝑀𝜑𝑧

𝐸𝐼𝑧

𝑦 + 𝑀𝜑𝑦

𝐸𝐼𝑦

𝑧 (4.11)

4.1. Formulação diferencial 37

Como uma equação similar para a relação de deformação foi obtida na flexão pura,podemos concluir, por semelhança matemática, que os raios de curvatura 𝜌 do plano centroidalno planos 𝑥 − 𝑦 e 𝑥 − 𝑧 são:

1𝜌𝑦

= 𝜕𝐸𝑥𝑥

𝜕𝑦= 𝑀𝜑𝑧

𝐸𝐼𝑧

1𝜌𝑧

= 𝜕𝐸𝑥𝑥

𝜕𝑧= 𝑀𝜑𝑦

𝐸𝐼𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.12)

E que portanto,

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = 𝑀𝜑𝑧

𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 = 𝑀𝜑𝑦

𝐸𝐼𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.13)

Onde 𝑣 e 𝑤 são as deflexões nas direções 𝑦 e 𝑧 respectivamente.

Vale lembrar que as equações obtidas determinam as deflexões de uma viga estatica-mente determinada livre de carregamentos externos. No caso destes existirem, a superposiçãode efeitos deve ser considerada e portanto, se adicionarmos momentos fletores 𝑀𝑧 e 𝑀𝑦 teremos:

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = 𝑀𝜑𝑧 + 𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 = 𝑀𝜑𝑦 + 𝑀𝑦

𝐸𝐼𝑦

(4.14)

4.1 Formulação diferencial

Conforme colocado anteriormente o foco deste trabalho está na simulação do compor-tamento de um sensor MEMS microcantiléver na identificação da presença de um gradientede concentração de hidrogênio atômico no meio através da análise da flexão. Neste cantiléverconsideraremos que haverá apenas flexão no eixo 𝑧, ou seja, 𝑀𝜑𝑦 = 𝑀𝑦 = 0, 𝑣 = 𝑣 (𝑥) e que𝑤 = 0, consideraremos também para as dimensões do sensor um comprimento 𝑙 , uma seçãotransversal reta com altura 2ℎ, largura 𝑏 e que os eixos 𝑦 e 𝑧 são centroidais. Portanto, aequação da tensão axial (4.10) pode ser simplificada para:

𝑇𝑥𝑥 = 𝑀𝜑𝑧𝑦

𝐼𝑧

− 𝐸𝜂(𝜑 − 𝜑0 − 𝜑

)(4.15)


Sendo,

𝜑 = 12ℎ

ˆ ℎ

−ℎ

𝜑 (𝑦) 𝑑𝑦

𝑀𝜑𝑧 = 𝐸𝜂𝑏

ˆ ℎ

−ℎ

𝜑 (𝑦) 𝑦𝑑𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.16)

Combinando este resultado com a equação da deflexão da viga na direção 𝑦 (4.14.1):

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 = 𝑀𝜑𝑧 + 𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧

(4.17)

𝐸𝐼𝑧𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 − 𝑀𝜑𝑧 = 𝑀𝑧 (4.18)

Derivando duas vezes, para obter a formulação diferencial:

𝑑2

𝑑𝑥2

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2 − 𝑀𝜑𝑧

)= 𝑑2𝑀𝑧

𝑑𝑥2 = 𝑓 (4.19)

𝑑2

𝑑𝑥2

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣


)= 𝑓 (4.20)

A equação diferencial 4.20 relaciona a deflexão 𝑣 na direção 𝑦 com os carregamentos𝑀𝜑𝑧 e 𝑓 . Para resolver esta equação com o propósito de se obter o campo de 𝑣 (𝑥) atravésdo método numérico dos elementos finitos, é preciso obter a forma fraca desta equação, queconsiste em uma forma integral, adaptada para o uso no método. Tal procedimento é descritona próxima seção.

4.2 Formulação Integral

Na proposta do método dos elementos finitos o domínio do modelo é particionado emsubdomínios nos quais funções interpoladoras simples (funções de forma) são ajustadas local-mente e na interface entre os subdomínios para que juntas componham o comportamento domodelo como um todo. Para compensar a simplicidade das funções de forma a quantidade desubdomínios é ajustada (refino de malha) sempre com atenção especial nas regiões onde seespera que ocorram os maiores gradientes da variável a ser resolvida.

O ajuste para a formulação integral (fraca) consiste no cálculo da integral do produtoda equação na formulação diferencial com uma função arbitrária 𝜖 (produto interno entre as

4.2. Formulação Integral 39

funções). A função 𝜖 deve ser suficientemente regular para que o produto interno exista nodomínio.

ˆ 𝐿

0

𝑑2

𝑑𝑥2

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣


)𝜖𝑑𝑥 =

ˆ 𝐿

0𝑓𝜖𝑑𝑥 (4.21)

Que após aplicado o método da integração por partes duas vezes é simplificada para:

ˆ 𝐿

0𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2𝑑2𝜖

𝑑𝑥2 𝑑𝑥 =ˆ 𝐿

0𝑀𝜑𝑧

𝑑2𝜖

𝑑𝑥2 𝑑𝑥 +ˆ 𝐿

0𝑓𝜖𝑑𝑥 +

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣


)𝑑𝜖

𝑑𝑥

𝐿

0

− 𝑑

𝑑𝑥

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣


)𝜖

𝐿

0(4.22)

Como, 𝑀𝐶𝑧 (𝑥) = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑀𝐶𝑧 e 𝑑𝑑𝑥

𝑀𝐶𝑧 = 0. E,

ˆ 𝐿

0𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2𝑑2𝜖

𝑑𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑀𝜑𝑧

ˆ 𝐿

0

𝑑2𝜖


0𝑓𝜖𝑑𝑥 +

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣


)𝑑𝜖

𝑑𝑥

𝐿

0

− 𝐸𝐼𝑧𝑑3𝑣

𝑑𝑥3 𝜖

𝐿

0(4.23)

Onde, 𝑑𝑑𝑥

(𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣𝑑𝑥2

)= 𝑉 o cortante e 𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣𝑑𝑥2 −𝑀𝜑𝑧 = 𝑀𝑧 o momento fletor. Evidenciando-

se os carregamentos mecânicos.

ˆ 𝐿

0𝐸𝐼𝑧

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2𝑑2𝜖

𝑑𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑀𝜑𝑧

ˆ 𝐿

0

𝑑2𝜖


0𝑓𝜖𝑑𝑥 + 𝑀𝑧

𝑑𝜖

𝑑𝑥

𝐿

0− 𝑉 𝜖|𝐿0 (4.24)

Utilizando polinômios de Hermite:

n =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2(

𝑥𝐿

)3− 3

(𝑥𝐿

)2+ 1

𝐿[(

𝑥𝐿

)3− 2

(𝑥𝐿

)2+(

𝑥𝐿

)]−2

(𝑥𝐿

)3+ 3

(𝑥𝐿

)2

𝐿[(

𝑥𝐿

)3−(

𝑥𝐿

)2]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.25)

Substituindo-se os polinômios na discretização da equação 4.24 temos:

𝐸𝐼𝑧

[ˆ 𝐿

0n′′ ⊗ n′′𝑑𝑥

]v · 𝜖 = 𝑀𝜑𝑧

[ˆ 𝐿

0n′′𝑑𝑥

]· 𝜖 +

[ˆ 𝐿

0n ⊗ n𝑑𝑥

]f · 𝜖

+ 𝑀𝑧𝑑𝜖

𝑑𝑥

𝐿

0− 𝑉 𝜖|𝐿0 (4.26)


Onde,

ˆ 𝐿

0n′′ ⊗ n′′𝑑𝑥 = 2

𝐿3

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣6 −3𝐿 −6 −3𝐿

2𝐿2 3𝐿 𝐿2

6 3𝐿

𝑠𝑦𝑚 2𝐿2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.27)

ˆ 𝐿

0n ⊗ n𝑑𝑥 = 𝐿

420

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣156𝐿 22𝐿2 54𝐿 −13𝐿2

22𝐿2 4𝐿3 13𝐿2 −3𝐿3

54𝐿 13𝐿2 156𝐿 −22𝐿2

−13𝐿2 −3𝐿3 −22𝐿2 4𝐿3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.28)

ˆ 𝐿

0n′′𝑑𝑥 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0

−101

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.29)

Podemos observar que as equações (4.27) e (4.28)correspondem a matriz de rigidez ea matriz de massa (também usada para definir carregamentos distribuídos) e por se trataremde elementos bastante conhecidos e empregados em problemas tradicionais de flexão em vigascom carregamentos mecânicos, não nos ateremos mais a eles. Restanto apenas a análise dotermo 𝑀𝜑𝑧

[´ 𝐿

0 n′′𝑑𝑥]·𝜖 que preconiza a forma de entrada dos dados referentes ao carregamento

difusivo .

𝑀𝜑𝑧

[ˆ 𝐿

0n′′𝑑𝑥

]= 𝑀𝐶𝑧

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0

−101

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0

−𝑀𝜑𝑧

0𝑀𝜑𝑧

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.30)

Devido ao fato de haver uma troca de sinal no segundo termo da equação (4.30) e deo valor de 𝑀𝜑𝑧 ser constante com 𝑥, é possível afirmar que apos serem consolidados todos oselementos na equação do sistema, o carregamento gerado por 𝑀𝜑𝑧 resultará no cancelamento dascomponentes intermediárias, ou seja, este termo se comporta numericamente como um momentomecânico aplicado nos nós das extremidades. À vista disso as simulações do problema foramrealizadas de maneira independente para a flexão e a difusão, calculando-se primeiro os valorespara 𝑀𝜑𝑧 em diversas etapas do processo de difusão e depois aplicando este carregamento aomodelo tradicional de vigas (Euler-Bernoulli) para elementos finitos.

4.3. Solução Analítica 41

Figura 5 – Condições de contorno para a difusão

4.3 Solução AnalíticaO equacionamento do carregamento difusivo é função da solução da equação da difusão

que por sua vez é função das condições de contorno e de valor inicial utilizadas para definiro gradiente de concentração. Para fins de comparação vamos adotar para as condições doproblema as mesmas empregadas em Yang e Li (2003), ou seja, que no instante inicial nãoexiste gradiente de concentração em toda extensão do cantiléver e que para qualquer 𝑡 > 0a face superior do cantiléver 𝑆1 esteja exposta a um componente químico que mantém umaconcentração constante 𝜑ℎ e que a face inferior do cantiléver 𝑆0 seja considerada impermeável.

Considerando-se um cantiléver de espessura 2ℎ com eixo 𝑦 centrado em 0, uma largurade 𝑏 na direção 𝑧, conforme a Figura 5 e utilizando a equação da difusão para uma dimensão3.5 para determinar a variação na concentração do componente ao longo do tempo 𝑡 e dadireção 𝑦, sob as condições descritas acima e empregando o artifício numérico 𝜑 = 𝑐

𝑐𝑠descrito

anteriormente podemos dizer que:

𝜕𝜑

𝜕𝑡= 𝐷

𝜕2𝜑

𝜕𝑦2

Com condições iniciais e de contorno,

𝜑 (𝑦) = 0 quando 𝑡 = 0 para |𝑦| ≤ ℎ,

𝜑 (ℎ) = 𝜑ℎ e 𝜕𝜑

𝜕𝑦

𝑦=−ℎ

= 0 para 𝑡 > 0

Onde 𝐷 é a constante de difusividade do material.

A solução para a equação da concentração sob essas condições em qualquer instante 𝑡 equalquer posição 𝑦 é dada por:

𝜑 (𝑦, 𝑡) = 𝜑ℎ − 4𝜋

𝜑ℎ

∞∑𝑛=0

(−1)𝑛

(2𝑛 + 1) cos[(2𝑛 + 1

4ℎ𝜋)

(𝑦 + ℎ)]

× exp[−(2𝑛 + 1

4ℎ𝜋)2

𝐷𝑡

]


Substituindo este resultado na equação (4.16), temos:

𝑀𝜑𝑧 (𝑡)𝐸𝜂

= −16𝑏ℎ2𝜑ℎ

𝜋3

∞∑𝑛=0

(2𝑛 + 1) 𝜋 − 4 (−1)𝑛

(2𝑛 + 1)3 × exp[−(2𝑛 + 1

4ℎ𝜋)2

𝐷𝑡

](4.31)

Sendo a equação 4.31 a representação para o valor numérico do momento difusivo 𝑀𝐶𝑧

em qualquer instante de tempo 𝑡. Aplicando-se este resultado na equação 4.12 temos que acurvatura do cantiléver em qualquer instante é:

2ℎ

𝜌𝑦

= 𝑀𝜑𝑧

𝐸𝐼𝑧

= −48𝜂𝜑ℎ

𝜋3

∞∑𝑛=0

(2𝑛 + 1) 𝜋 − 4 (−1)𝑛

(2𝑛 + 1)3 × exp⎡⎣−

((2𝑛 + 1)

4ℎ𝜋

)2

𝐷𝑡

⎤⎦

43

5 Resultados

Nesta seção analisamos um exemplo numérico para o modelo descrito nos capítulosanteriores, os resultados numéricos expostos neste capítulo contaram com o auxílio do softwareCOMSOL Multiphysics® (exceto quando explicitado) e foram comparados com as soluçõesanalíticas apresentadas anteriormente.

As unidades usadas são: A densidade do sólido 𝑐𝑠 medida em quantidade de átomoshospedeiros (Fe) por volume (Fe/m3), a densidade do soluto 𝑐 medida em átomos de hidrogêniopor volume (𝐻/𝑚3). A concentração do soluto, 𝜑 = 𝑐/𝑐𝑠 medida por tanto em átomos dehidrogênio por átomos de ferro H/Fe. As dimensões consideradas para o cantiléver foram: Umcomprimento de 𝑙 = 600 𝜇m, uma espessura de ℎ = 50 𝜇m e uma largura de 𝑏 = 150 𝜇m. Paraa difusão as condições de contorno e de valor inicial consideradas coincidem com as expostasno capítulo anterior onde, a concentração constante é de 𝜑 = 8.5×10−3 H/Fe .

As propriedades do material adotas aqui foram as mesmas que as empregadas em Dudae Souza (2009a) de acordo com a Tabela 1.

Tabela 1 – Propriedades do aço carbono contaminado por hidrogênio

𝜆 119.0 GPa𝜇 79.0 GPa𝐷 1.0x10−8 m2/s𝑐𝑠 8.454x1028 Fe/m3

𝜅𝐵𝑇 4.14x10−21 Joule𝜂 0.9307 Fe/H

No COMSOL, foram realizadas duas simulações. Uma correspondente a evolução dogradiente de concentração pelo efeito de difusão, ao longo da seção transversal do cantiléver. Eoutra correspondente a deformação do cantiléver, ao longo de sua extensão.

Na simulação para o efeito da difusão foi utilizada a interface de solução de equaçõesdiferênciais parciais (PDE Interfaces) com a opção de forma geral de equação (General FormPDE). A forma da equação a ser resolvida neste módulo é:

𝑒𝑎𝜕2𝜑

𝜕𝑡2 + 𝑑𝑎𝜕𝜑

𝜕𝑡+ ∇.Γ = 𝑓 (5.1)

Onde, o coeficiente de massa 𝑒𝑎 = 0, o coeficiente de amortecimento 𝑑𝑎 = 1, o termo defonte 𝑓 = 0 e o fluxo conservativo para uma dimensão Γ = −𝐷 𝜕𝜑

𝜕𝑦.

A geometria utilizada corresponde a um seguimento de reta definido no intervalor[−ℎ; ℎ], as condições de contorno−n · Γ = 0 com sobrescrição no nó do elemento onde 𝑦 = ℎ

44 Capítulo 5. Resultados

para o valor de 𝜑ℎ e as condições de valor inicial 𝜑 = 0 e 𝜕𝜑𝜕𝑡

= 0 para qualquer 𝑦. Por fim, namalha foram utilizados elementos com características conforme mostra a Tabela 2

Tabela 2 – Malha para simulação da difusão

Função de Forma HermiteNúmero de Elementos de Vértice 2Número de Elementos de Aresta 100Tamanho dos Máximo dos Elementos 50 𝜇m

O tempo simulado foi de 𝑡𝑓=0.5 s, e a discretização no tempo 𝛿𝑡 = 𝑡𝑓/104 = 5 × 10−4 s,para capturar os gradientes acentuados no princípio do processo de difusão.

O primeiro gráfico (Figura 6) obtido mostra as distribuições de concentração do soluto𝑐/𝑐ℎ ao longo da seção transversal 𝑦/ℎ em diferentes instantes de tempo 𝑡/𝑡𝑓 . O sentido dadifusão dar-se-á da superfície negativa do eixo 𝑦 do cantiléver a superfície oposta, a evolução écrescente com o tempo até que se alcança o estado de saturação.

Figura 6 – Distribuição da concentração ao longo do seção transversal em função do tempo

A partir deste resultado foi feito o cálculo para os valores de 𝑀𝜑𝑧 em função do tempo.A Figura 7 mostra a evolução para 𝑀𝜑𝑧 e faz uma comparação entre o cálculo do numéricodo momento e o resultado analítico obtido através do uso da equação 4.31. É possível tambémnotar que o valor do momento difusivo 𝑀𝜑𝑧 alcança máximo tão logo os primeiros átomos dehidrogênio difundem, isto ocorre pois no estágio inicial da difusão o gradiente de deformaçãoaxial gerado pelos átomos é máximo e que no estado saturado (regime permanente) o momentotende a zero.

Do resultado numérico obtido na Figura 7 foram extraídos diversos valores para 𝑀𝜑𝑧 ,conforme Tabela 3, estes valores foram empregados como insumo para o cálculo da deformaçãodo cantiléver.

45

Figura 7 – Momento difusivo em função do tempo

Na Figura 8 podemos ver a comparação dos resultados obtidos em Yang e Li (2003)com os encontrados no modelo do COMSOL para o raio de curvatura em função do tempo.

Figura 8 – Raio de curvatura em função do tempo

Os marcadores em azul representam os resultados obtidos pelo COMSOL enquanto queos demais marcadores representam resultados analíticos, teoricos e a função de erro obtidos noartigo.

Na simulação para o efeito da deformação do cantiléver foi empregado o modelo demecânica estrutural (Structural Mechanics) para vigas (Beams). A forma da equação a serresolvida neste módulo é:


Tabela 3 – 𝑀𝐶𝑧 para diversos instantes

𝑡𝑓/𝑡𝑛 𝑀𝜑𝑧

10000 -7.2874e-6 Nm1000 -1.48592e-5 Nm100 -3.52954e-5 Nm10 -4.06611e-5 Nm5 -2.60968e-5 Nm

2.5 -9.21634e-6 Nm

𝜕2𝑀𝑧

𝜕𝑥2 = 𝑓𝑦

A geometria da viga é definida pelo seguimento de reta no intervalo [0; 𝑙] e pela seçãotransversal de dimensões ℎ𝑦 = ℎ e ℎ𝑧 = 𝑏. Com condições iniciais 𝑢 = 0 e 𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0 para todo 𝑥

e condições de contorno u = 0.

Para os carregamentos foram criados diversos cenários um para cada valor do momento𝑀𝜑𝑧 (Tabela 3) e um último cenário com o maior valor de momento composto de um carrega-mento mecânico por unidade de comprimento equivalente a 𝑓 = F𝐿 = 25000𝜌𝑙𝑔. Por fim, namalha foram utilizados elementos com características conforme Tabela 5.

Função de Forma HermiteNúmero de Elementos de Vértice 2Número de Elementos de Aresta 100Tamanho máximo dos Elementos 6 𝜇m

Tabela 4 – Malha para simulação da deformação

Conforme previsto pelo momento difusivo, a deflexão do cantiléver é máxima no inícioda difusão e ao final do processo a deflexão vai a zero, conforme ilustrado na Figura 9.

47

Figura 9 – Evolução da deflexão da viga

A Figura 10 compara a deflexão induzida pelo momento difusivo 𝑣/ℎ no instante 𝑡𝑓/𝑡 =10 com a deflexão induzida pelo mesmo omento acrescida da ação de uma carga externa uni-formemente distribuída de valor 𝑓 = 25000 × peso próprio ao longo do eixo da viga 𝑥/𝑙.

Figura 10 – Comparação entre a deformação da viga considerando-se o carregamento mecânico

Conforme discutido no Anexo A fica bastante claro nesta figura que a ação das forçasde natureza gravitacional pouco afetam o comportamento da flexão da viga pois seus valoresdecaem na ordem de 𝑆4 com a redução da escala. A tensão axial para diferentes instantes émostrada na Figura 11 respectivamente.


Figura 11 – Tensão axial ao logo da seção transversal da viga

49

6 Conclusão

O presente trabalho, em que foi analisada a teoria do contínuo aplicada na interaçãoentre difusão de solutos e deformação de sólidos elásticos com aplicação em um microcantiléverde camada simples, permitiu concluir que um ponto importante a se considerar é que havendoqualquer variação na condição de equilíbrio do cantiléver novas condições de deformação sur-girão, ou seja, considerando-se sensores de cantiléver de camada simples, mesmo que a flexãodeixe de ser notada no regime permanente (trazendo dificuldades na detecção de concentraçõesde componentes químicos 𝜑). Estes sensores mostram-se bastante convenientes quando estamosinteressados em detectar variações de concentração ��.

Uma evolução natural para o modelo seria então o uso de sensores multicamadas, poisatravés deles seria possível, por exemplo, tornar permanente a deflexão do cantiléver o queeliminaria algumas das dificuldades de detecção do sensor de camada simples. No entanto,para que tal modificação seja possível, é necessária a compreensão de um problema muito maiscomplexo que é inerente a condição de contorno adotada na transição entre os materiais, umproblema a ser estudado futuramente.

51

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53

A Sistemas Microeletromecânicos

Sistemas Microeletromecânicos (MEMS) referem-se a dispositivos fabricados com com-ponentes que tenham características de comprimento de 1𝜇𝑚 a 1𝑚𝑚, e que combinam ele-mentos eletromecânicos fabricados com tecnologias integradas de processamento em lote. Afabricação de MEMS utiliza diversos materiais (silício, polímeros, metais e cerâmicas) e evoluiudas técnicas de fabricação de semicondutores (deposição física e química, litografia, gravura eetc).

Processos de fabricação capazes de criar mecanismos extremamente pequenos têm sidodesenvolvidos nos últimos anos, componentes eletrostáticos, magnéticos, eletromagnéticos, pneu-máticos, térmicos, motores, engrenagens, válvulas, cantiléveres e diafragmas com tamanhos me-nores que 100𝜇𝑚 são apenas alguns destes exemplos utilizados como sensores e atuadores nosMEMS.

Segundo Hak (2006) a teoria de escala é imprescindível para entendermos a mudançano comportamento dos fenômenos em relação ao tamanho da escala.

A.1 Escala

O campo dos MEMS é extremamente amplo e abrange toda ciência e engenharia tra-dicionais em uma escala menor. A tentativa de replicar os modelos utilizados na macroescalanem sempre levará aos resultados esperados pois à medida que a escala de um sistema muda osistema tende a comportar-se de maneira diferente e efeitos físicos óbvios para uma determinadaescala são desprezíveis em outras.

Considere, por exemplo, um copo cheio de água, se derramarmos a água em cima deuma mesa, veremos ela escoar pela borda da mesa até o chão. Se diminuirmos a escala do copo

Figura 12 – Comparação entre o tamanho de uma pulga e um dispositivo MEMS

54 Apêndice A. Sistemas Microeletromecânicos

de duas ordens de grandeza, a tensão superficial fará com que a água assuma a forma de umagota e se adira a mesa. Em cada caso, a substância e a mesa são as mesmas, mas a mudançade tamanho na escala da água fez com que ela se comportasse de forma muito diferente.

Conforme a escala de um sistema muda os parâmetros físicos também mudam, muitasvezes de forma dramática Trimmer (1989), Madou (2002). Para entender como estes parâmetrosmudam, considere o fator de escala 𝑆𝑥, onde 𝑥 representa a potência de influência das dimensões.O fator de escala 𝑆 pode ser usado para descrever como um fenômeno físico muda. Todos oscomprimentos mudam conforme o fator 𝑆, mas outros parâmetros como o volume, mudam deforma diferente. O volume 𝑉 é o produto do comprimento 𝐿 pela altura 𝐻 e largura 𝑊 ou seja:

𝑉 = 𝐿 · 𝑊 · 𝐻 (A.1)

Se a escala dos três parâmetros reduzir de 1/100, um centésimo do valor, a escala dovolume reduzirá em (1/100)3, um milionésimo. É dito então que a escala do volume varia com𝑆3.

Conforme a equação de Young-Laplace, é possível mostrar que:

Δ𝑝 = −𝛾∇ · ��

Δ𝑝 = −2𝛾𝐻

onde, Δ𝑝 é a diferença de pressão na interface do fluido, 𝛾 é a tensão superficial (forçapor unidade de comprimento), �� é o vetor unitário normal externo a superfície e 𝐻 é a curvaturamédia. Então,

𝛾 = 𝐹𝑠𝑢𝑝

𝑑= −Δ𝑝

2𝐻

𝐹𝑠𝑢𝑝 = −Δ𝑝 · 𝑑

2𝐻=

𝑆1

𝑆2 · 𝑆1

1𝑆1

= 𝑆1

Portanto, podemos concluir que a força devido a tensão superficial 𝐹𝑠𝑢𝑝 varia com 𝑆1

Segundo a lei de gravitação universal de Newton

𝐹𝑔𝑟𝑎 = 𝐺𝑚1 · 𝑚2

𝑟2

sendo, 𝐹𝑔𝑟𝑎 a força gravitacional entre as massas 𝑚1 e 𝑚2, 𝐺 a constante gravitacionale 𝑟 a distância entre as massas. Então,

A.2. Microcantiléver 55

𝐹𝑔𝑟𝑎 == 𝑆0 𝑆3 · 𝑆3

𝑆2 = 𝑆4

Portanto a força devido a ação da gravidade varia com 𝑆4.

Em prol da brevidade digamos que, forças eletrostáticas variam com 𝑆2 e forças devidoa certos fenômenos magnéticos variam com 𝑆3.

Agrupando essas forças em um vetor de Trimmer vertical:

𝐹 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝐹𝑠𝑢𝑝

𝐹𝑒𝑙𝑒

𝐹𝑚𝑎𝑔

𝐹𝑔𝑟𝑎

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑆1

𝑆2

𝑆3

𝑆4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Fica evidente que a força devido a ação da tensão superficial, que varia com 𝑆1, conforme

o sistema reduz de escala promove um aumento rápido de sua relevância quando comparadaa outras forças, portanto o tamanho de um sistema mecânico determina a importância danatureza das forças que atuam nele. A maioria das forças atualmente utilizadas na composiçãode MEMS variam com 𝑆2 (eletrostáticas, contato, biológicas).

A.2 MicrocantiléverUm cantiléver consiste de uma viga suspensa (com uma extremidade engastada e outra

livre), vemos aplicações diretas em indiretas de cantiléveres diversas vezes em nosso dia a dia,as asas de um avião, marquises, prateleiras e outras. A maioria dessas aplicações demandaque os cantiléveres sejam rígidos. Na microescala os cantiléveres são largamente utilizadas emdispositivos MEMS. Sua flexibilidade e versatilidade o tornam um componente popular parauma variedade de aplicações em vários campos (biomédica, ambiental, ótica, segurança).

A.2.1 Aplicação

No começo do desenvolvimento de MEMS, as microvigas suspensas foram utilizadas emensaios mecânicos na determinação das propriedades mecânicas de materiais Comella e Scanlon(2000), Ruther et al. (1997), Tada et al. (1998), Weihs et al. (1988b), Weihs et al. (1988a). Emnovembro de 2000 o simpósio da ASTM (Ensaios Mecânicos em Filmes Estruturais), foi umdos primeiros passos na direção da padronização para estes métodos de ensaio.

MEMS cantiléveres são utilizados como, sensores, transdutores, sondas, agulhas, meca-nismos de transporte, ressonadores, travas, chaves e relés. Eles são usados para:

• detectar partículas físicas, químicas e biológicas (material alvo) com elevada sensibilidadee seletividade;


• penetrar o tecido em aplicações terapêuticas e de diagnóstico;

• como pinças ou garras para coletar nanopartículas e em cirurgias microscópicas;

• como mecanismos de transporte em sensores para detectar nanopartículas em superfícies.

Na área biomédica são utilizados como sensores de antígenos, anticorpos, DNA, proteínas,vírus e micro-organismos além de medidores de pH, simulação olfativa e outras aplicaçõesterapêuticas.

Microscópios AFM, SFM, dispositivos de leitura e escrita de dados (HDs), espectroscopiafototérmica, monitoramento ambiental, segurança nacional, controle da produção de alimentos,ressonadores de alta frequência.

A.2.2 Fabricação

MEMS microcantiléveres são fabricados a partir de vários materiais. Os mais comunssão a base de silício (mono, policristalinos ou de composição amorfa), nitreto de silício (SiN eSi3N4) e polímeros. O tipo de material e as dimensões físicas utilizadas são determinados emfunção da aplicação do microcantiléver e dos requisitos operacionais.

O ponto de partida na fabricação de MEMS cantiléveres é a lâmina de silício ou substratonão processado. Em temperaturas da ordem de 1000 °C é formada uma camada de óxido desilício sobre sua superfície devido à ação do oxigênio, geralmente misturado com vapor d’águapara catalisar o processo de oxidação (Figura 13.1). Controlando-se o tempo de ação do oxigênioe a temperatura do substrato é possível regular a espessura da camada de óxido. Com oxigênioseco, por exemplo, a temperatura de 1050 °C em uma hora cresce uma camada de 0,1 𝜇𝑚

de espessura. Acrescentando-se vapor d’água e mantendo-se inalteradas as demais condiçõesde crescimento, a espessura da camada de óxido passa a ser de 0,5 𝜇𝑚. Quando o processo érealizado com oxigênio em alta pressão, conseguem-se espessuras semelhantes, para os mesmostempos de processamento, mas em temperaturas menores. O óxido de silício também podeser depositado sobre a lâmina ao invés de produzido quimicamente devido à ação do oxigênio.Neste caso, injeta-se em um reator uma mistura gasosa de silana (SiH4) e oxigênio. Sobre alâmina aquecida os gases reagem quimicamente, e o produto da reação, SiO2, deposita-se sobrea lâmina. Este processo é denominado deposição química da fase vapor ou CVD (ChemicalVapor Deposition). O processo é realizado em temperaturas abaixo de 1000 °C. Este processopermite também a deposição de outros metais.

O oxido de silício é um material quimicamente estável, com boa rigidez mecânica, alémde ótimo isolante elétrico. Na produção de circuitos e dispositivos MEMS utiliza-se a camadade óxido de silício visando-se um isolamento elétrico e também a passivação, ou seja, para seobter estabilidade elétrica e química da superfície do silício, bem como a proteção do substratocontra influências indesejáveis durante as etapas seguintes do processamento.


I II

Substrato não processado

Recobrimento de óxido

FotomáscaraResína fotossensível

Figura 13 – Processo de fabricação de um microcantiléver (I e II)

Uma vez que se tenha a camada de óxido de silício ou outro material, para as próximasetapas do processamento torna-se necessário a demarcação das áreas de interesse na lâminaque é realizada através de um procedimento denominado fotolitografia, ou seja, conforme su-gere a etimologia, mediante a incidência de luz são desenhadas estruturas sobre a camada deóxido. Inicialmente a superfície de óxido é recoberta com uma resina fotossensível denominadafotorresiste (Figura 13.2). Esta resina atua como um filme fotográfico, podendo ser exposta erevelada. Para iluminá-la pode-se usar o princípio de um projetor de apresentações. Cada telada apresentação (lâmina) é chamada de fotomáscara e possuí regiões transparentes nas áreasque serão expostas à luz, e o restante constitui regiões escuras para absorção. Normalmente,coloca-se a fotomáscara diretamente sobre a lâmina. A resina presente nas partes iluminadassofre uma alteração química, podendo então ser removida seletivamente com uma solução or-gânica, expondo a área da camada de silício que estava encoberta. Nas partes não expostas oóxido coberto pela resina é mantido (Figura 14.3 e Figura 14.4). Além da fotorresiste descritaacima, denominada positiva, há também uma fotorresiste negativa em que as partes expostassão mantidas e as não expostas são removidas.

O próximo passo é conhecido como etching (corrosão), nesta etapa o óxido de silícioexposto nas janelas pelo processo fotolitográfico também pode ser removido por um ácido cor-rosivo. Após certo intervalo de tempo, o ácido produz então uma abertura ou janela na camadade óxido, deixando exposta a superfície de silício sobre a qual o processamento subsequente érealizado (Figura 15.5 e Figura 15.6). O ácido utilizado deve atacar seletivamente o óxido, nãoatacando ou atacando muito pouco o silício subjacente. Além do etching descrito no parágrafoanterior induzido por agentes químicos líquidos (etching líquido), é também empregado hojeem dia o chamado etching por plasma. Para isso são usados gases halogênicos.

O gás e o substrato a ser processado encontram-se numa câmara de reação, em cujointerior é produzida uma descarga elétrica. Esta descarga provoca a quebra das ligações do gás,gerando íons halogênicos fortemente reativos, os quais provocam a decomposição do dióxido desilício.


III IV

Substrato reexposto Remoção da fotomáscara

Figura 14 – Processo de fabricação de um microcantiléver (III e IV)

V VI

etiching líquido no substrato

Figura 15 – Processo de fabricação de um microcantiléver (V e VI)

Se na câmara de reação forem introduzidos outros gases, além da camada de dióxido desilício, é possível remover recobrimentos metálicos ou camadas de silício. A remoção da resinaatravés de etching por plasma também é empregada. Para diferentes etapas de processamentoenvolvidas na fabricação do dispositivo MEMS deve-se sempre antes recobrir a superfície comuma nova camada de dióxido de silício.

Estes processos também permitem a fabricação e integração dos circuitos eletrônicos edemais componentes necessários para fazer a interface dos MEMS.

As diferentes aplicações dos microcantiléveres exigem diferentes graus de rigidez e flexi-bilidade. Por exemplo, agulhas e sondas precisam ter rigidez para penetrar nos tecidos sem fle-xão. Ressonadores e mecanismos de transporte microcantiléveres precisam ser firmes o bastantepara não oscilarem ou fletirem por ação das perturbações do ambiente. Alguns microcantiléveresprecisam de características elétricas para exercerem suas funções e outros são fabricados commateriais que se expandem ou contraem devido a reações químicas ou interações de partículas.

Além disso, as vigas podem ser fabricadas como dispositivos únicos ou em matrizes(como na matriz de agulhas nos MEVs), portanto, a aplicação de um cantiléver determina osmateriais utilizados, as características operacionais do material e o método de fabricação.

As relações de tensão deformação e de vibração mecânica são peças chave para o en-


Figura 16 – Cálculo da flecha em cantiléveres para carregamentos concentrado e distribuído

tendimento do comportamento dos microcantiléveres. Métodos ópticos e capacitivo muito sen-síveis são aplicados para medir as variações na deflexão dos microcantiléveres. As variações defrequência são medidas com precisão utilizando-se técnicas de comparação com o auxílio de umoscilador (heteródino).

As principais vantagens no uso de microcantiléveres são o seu baixo custo e a facilidadede fabricação em grandes arrays. No entanto, o desempenho dos microcantiléveres é fortementeafetado pela precisão de fabricação mecânica utilizada, considere apenas para ilustração oseguinte: Dois microcantiléveres de comprimento 𝐿 e seção quadrada ℎ𝑥𝑏, sendo um sujeito a umcarregamento concentrado 𝑃 em sua extremidade e o outro a um carregamento uniformementedistribuído ao longo da direção axial conforme a Figura 16, note que, o desafio para a suaaplicação prática encontra-se nas dependências quadráticas e cúbicas das suas especificaçõespara a dimensão 𝐿. O mesmo acontece se considerarmos a variações na dimensão ℎ da seçãotransversal para o cálculo de 𝐼 = 𝑏ℎ3

12 .

As tensões residuais produzidas no material durante a fabricação afetam diretamenteas propriedades do material em relação à resistência, portanto também são fontes de problemapara a sensibilidade dos sensores.

A.2.3 Transdutores

Microcantiléveres utilizados para detectar a presença de uma determinada partículaou substância possuem sua superfície revestida com um material quimicamente sensível queproporcione um elevado grau de especificidade em detectar certas partículas dentro de umaamostra. Na Figura 17 anticorpos (azul e verde) são utilizadas como revestimento de um nano-cantiléver para capturar vírus (vermelho). À medida que que o cantiléver identifica e capturamais moléculas do vírus, uma ou mais de suas características mecânicas e/ou elétricas varia eé detectada pela interface eletrônica. O tamanho da partícula a ser capturada é um dos fatoresque afeta o tamanho do cantiléver.

Como transdutores, os cantilevéres dependem de sua flexibilidade e elasticidade paracriar algum tipo de mudança mensurável quando expostos a estímulos externos. As propriedadesmais comuns utilizadas para medir essa mudança do cantiléver são:

• frequência de ressonância natural;


Figura 17 – Nanocantiléver revestido com biomoléculas

• deflexão angular;

• resistividade elétrica.

A capacidade de retornar informações rápidas e diretas, a alta sensibilidade ao menor dos estí-mulos, o baixo consumo de energia, a capacidade de fabricação de matrizes de alta densidadepara respostas simultâneas a diferentes estímulos, bem como o histórico de aplicações vem ex-pandindo a participação dos microcantiléveres nas aplicações MEMS tornando-o um dispositivochave para estudo.

61

B Teoria de difusão

Quando uma pessoa usando perfume senta-se a uma certa distância de você, após algumtempo você sente o cheiro do perfume mesmo quando não existem correntes de ar aparente oumovimentos. Este é um exemplo muito conhecido de difusão de um gás. A teoria cinética dosgases descreve este fenômeno como o movimento aleatório oriunda da colisão de moléculas.Em líquidos este movimento aleatório pode ser facilmente demonstrado utilizando movimentosBrownianos de partículas em suspensão. Da mesma forma nos sólidos, as vibrações atômicasde origem térmica permitem que os átomos movam-se através dos materiais. No entanto, existeuma grande diferença na velocidade de deslocamento dos átomos nestes três diferentes estados.Se o deslocamento de uma molécula de gás é de 1 𝑚 em uma certa quantidade de tempo, eleserá aproximadamente 1 𝑐𝑚 em um liquido e da ordem de 10 − 100 𝜇𝑚 em um sólido. Aindaassim, apesar destas pequenas distâncias relativas, a difusão em sólidos desempenha um papelimportante. Por exemplo, a velocidade das reações químicas, a taxa de crescimento de camadasde óxido nos metais, a taxa de sinterização e a fluência a altas temperaturas. São processosdeterminados pela difusão.

B.1 Mecanismos de Movimentos Atômicos em Sólidos

Em um cristal, os átomos somente ficam estáticos no zero absoluto. Nestas condições, osátomos permanecem na posição correspondente ao mínimo de energia. Acima desta temperaturaos átomos começam a vibrar e, à medida que a temperatura se eleva, as vibrações térmicastornam-se mais intensas, fazendo com que os átomos se desloquem ao acaso em torno da posiçãode menor energia.

Movimentos atômicos para novas posições serão observados se a temperatura for sufici-ente para fornecer a energia necessária à retirada do átomo de sua posição original no reticulado.

Existem dois mecanismos básicos de difusão de átomos em um sólido cristalino, e ambosenvolvem defeitos pontuais: mecanismo substitucional ou de vazios e mecanismo intersticial.Além disso, o movimento atômico pode dar-se também por meio do mecanismo de anel, deocorrência mais difícil, pois envolve maior gasto de energia.

B.1.1 Mecanismo Substitucional ou de Vazios

Os átomos podem mover-se no interior do cristal, de uma posição atômica para outra, seapresentarem energia de vibração suficiente e se existirem posições atômicas vazias (lacunas) ououtros defeitos cristalinos na estrutura atômica. A energia de vibração é resultante da energiatérmica dos átomos. Por outro lado, os vazios ou vacâncias em metais e ligas são defeitos de

62 Apêndice B. Teoria de difusão

equilíbrio e, assim, estão sempre presentes para permitir o movimento atômico pelo mecanismosubstitucional. Em metais, com o aumento da temperatura, mais lacunas podem ser observadas(a concentração de vacâncias é termicamente ativada) e mais energia térmica estará disponível.Assim, a taxa de difusão atômica aumentará com a temperatura.

Na Figura 18, se um átomo próximo à lacuna tem energia suficiente, ele poderá mover-seaté essa posição vazia.

Energ

ia p

ote

ncia

l

Direção da difusão

Figura 18 – Mecanismo de lacunas

B.1.2 Mecanismo Intersticial

O mecanismo intersticial em sólidos cristalinos ocorre quando um átomo se move deuma posição intersticial para outra posição intersticial vizinha, sem que exista deslocamentode átomos da matriz cristalina, como mostra a Figura 19.

Energ

ia p

ote

ncia

l

Direção da difusão

Figura 19 – Mecanismo intersticial

Para que o mecanismo de difusão intersticial seja ativo, o tamanho do átomo em difusãodeve ser pequeno comparativamente aos átomos da matriz. Pequenos átomos como o hidrogênio,o carbono, o nitrogênio e o oxigênio podem apresentar difusão intersticial em alguns sólidoscristalinos.

B.2. Energia de Ativação 63

B.1.3 Mecanismo de Difusão em Anel

Podem ocorrer movimentos em cristais não envolvendo defeitos pontuais. A difusão emanel envolve o movimento simultâneo de três ou quatro átomos, como mostra a Figura 19 Estemecanismo é mais raro devido às suas particularidades.

Estrutura e Propriedades dos Materiais Difusão Atômica Uma simples troca entre doisátomos vizinhos é teoricamente possível; entretanto, seria mais difícil que a difusão em anel,em função da necessidade de altos níveis de energia para ocorrer.

B.2 Energia de Ativação

Em condições uniformes, cada um dos átomos adjacentes à lacuna tem a mesma proba-bilidade de se mover para ela. Analogamente, o átomo intersticial tem a mesma probabilidadede se mover em cada um dos interstícios à sua volta.

Se os átomos devem mudar de posições, as barreiras de potencial devem ser superadas.A energia de ativação é a energia requerida para superar tais barreiras, somada à energia deformação do defeito, quando houver.

Portanto, é necessária energia para retirar o átomo dos seus vizinhos originais; na difusãointersticial é necessária energia para forçar o átomo a um maior contato com os átomos vizinhos,conforme o mesmo se move entre eles.

A energia de ativação varia com diversos fatores. Por exemplo:

• Um átomo pequeno tem uma energia de ativação menor que um átomo grande ou molé-cula;

• Os movimentos intersticiais requerem mais energia que os movimentos de vazios;

• São necessárias elevadas energias de ativação para a difusão em materiais fortementeligados e de alto ponto de fusão, como o tungstênio, o carbeto de boro e outros.

B.3 Autodifusão

Normalmente, não se observa difusão em um material puro, monofásico, já que os movi-mentos atômicos são ao acaso e os átomos são todos idênticos; entretanto, por meio do uso deisótopos radiativos, é possível identificar a difusão dos átomos dentro de sua própria estrutura;a esse fenômeno dá-se o nome de autodifusão.

64 Apêndice B. Teoria de difusão

B.4 Gradientes de Concentração

Embora haja a mesma probabilidade de um átomo individual se mover em qualquerdireção, o gradiente de concentração favorece o movimento preferencial dos átomos, conformeilustra a Figura 20.

Concentração

Concentração

Concentração

Figura 20 – Difusão atômica com gradiente de concentração

B.5 Distribuição de Energia Térmica

Os átomos de um material, para uma determinada temperatura, apresentam diferentesníveis de energia, sendo esta uma distribuição estatística como mostra a Figura 21

Nº

de á

tom

os

Energia

Nº

de á

tom

os

Energia

Figura 21 – Distribuição estatística dos níveis de energia atômica de átomos

Assim, em um dado instante, muito poucos átomos têm energia nula, muitos átomospossuem energias próximas à energia média, e alguns átomos têm energias extremamente altas,ou seja, possuem energia de ativação suficiente para saltar de suas posições originais ou mover-sena rede cristalina.

Aumentando-se a temperatura do sistema, a energia de cada átomo aumenta, e algunsátomos que na temperatura anterior não podiam saltar de suas posições, podem agora fazê-lo,pois têm energia maior que a energia de ativação.

Muito frequentemente necessita-se conhecer a probabilidade dos átomos possuírem maisenergia que um dado valor especificado. Por exemplo, a fração dos átomos com energia superiorà energia de ativação.

B.6. Coeficiente de Difusão Atômica 65

A solução do problema foi elaborada por Boltzmann a partir do estudo do efeito datemperatura na energia das moléculas em um gás. Usando os fundamentos estatísticos empre-gados por Boltzmann, pode-se calcular o número de átomos com energia maior que a energiade ativação, como:

𝑛 = 𝑁𝑎 exp(

−𝐸𝐴

𝑘𝑇

), (B.1)

Sendo 𝑛 o número de átomos com energia maior que a de ativação, 𝑁 o número total de átomosdo sólido, 𝑎 a constante típica do sistema, 𝐸𝐴 a energia de ativação, 𝑇 a temperatura absolutae 𝑘 a constante de Boltzmann.

B.6 Coeficiente de Difusão AtômicaA análise estatística de Boltzmann aplicada ao movimento atômico permite estabelecer

a intensidade de difusão atômica em materiais. A difusão de um material 𝐴 (soluto) dentro daestrutura de um material 𝐵 (solvente) é representada pelo coeficiente de difusão 𝐷, definidopela equação de Arrhenius:

𝐷 = 𝐷0 exp(

− 𝑄

𝑅𝑇

),

Onde 𝐷 é o coeficiente de difusão, 𝐷0 a constante do sistema soluto/solvente, 𝑄 a energia deativação, 𝑅 a constante molar dos gases e 𝑇 a temperatura absoluta.

A difusividade atômica depende de diversos fatores, dentre eles os mais importantessão o tipo de mecanismo de difusão (átomos de tamanhos próximos favorecem o mecanismosubstitucional enquanto que átomos com tamanhos muito diferentes favorecem o mecanismointersticial), a temperatura na qual a difusão ocorre (quanto maior a temperatura maior ocoeficiente de difusão), o tipo de estrutura cristalina do solvente (estruturas compactas comoCFC e HC dificultam a difusão atômica) além do tipo e quantidade de imperfeições presentesna rede cristalina (discordâncias e lacunas aumentam a intensidade de difusão).

flexão em vigas induzida por difusão - uff -...

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