apostila integrais

Professor Emerson 1

INTEGRAIS

1. FUNÇÃO PRIMITIVA Dada uma função f(x), chama-se função primitiva f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é,

F’(x) = f(x)

Ex.: f(x) = 2x F(x) = x2

2. INTEGRAL INDEFINIDA

2.1. CONCEITO Chama-se integral indefinida de uma função f(x), a toda expressão do tipo F(x) + c, onde F(x) é uma

primitiva de f(x). Indica-se por cxFdxxf )()(

Ex.: cxdxx 22

Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação

Ex.: cxxFdxxxdFdxxxdFxdx

xdF 2)(2)(2)(2)(

2.2. PROPRIEDADES

(i) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

(ii) dxxfkdxxfk )()(

3. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

3.1. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Dada dxxf )( , não imediata, o método da substituição consiste em fazer uma mudança de variável

x = g(t) e dx = g’(t) dt, de maneira que a nova integral dttgtgf )('))(( seja mais fácil de calcular que a

original

Ex.:

cxxkttt

dtdtdt

t

tdx

x

x|1|ln||ln

1

1

3.2. INTEGRAÇÃO ENVOLVENDO TRINÔMIO QUADRADO

(i)

dxcbxax2

1

(ii)

dx

cbxax

qmx2

(iii)

dxcbxax2

1

(iv)

dx

cbxax

qmx

2

Ex.:

dxx

dxx

dxxx

dxxx 22222

)5(5

1

5)5(

1

52510

1

3010

1

= cx

5

5arctan

5

1

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Apostila 15 2

Ex.:

dx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

84

642

2

1

84

22

2

1

84

1222

=

dx

xxxxdx

xxdx

xx

x

84

6

2

1|84|ln

2

1

84

6

84

42

2

12

2

22

=

dxx

xxdxxx

xx22

2

2

2

)2(2

1384|ln

444

13|84|ln

= cx

xx

2

2arctan

2

3|84|ln 2

3.3. INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam u e v duas funções diferenciais de x. Diferenciando o produto u . v, temos:

duvdvuvud )( duvdvuvud )( duvdvuvu

duvvudvu

Ex.: I = dxxx sen

dxxduxu cossen

2

2xvdxxdv

I = dxxxxx

2

cos

2

sen 22

(não convém)

nova tentativa:

dxduxu

xvdxxdv cossen

I = – cxxxdxxxxdxxxx sencoscoscoscoscos

4. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS

4.1. CÁLCULO DE ÁREAS

4.1.1. CONCEITO Consideremos a curva que representa a função y = f(x), positiva e contínua no intervalo

a x b. Indicamos por baS , a área limitada por essa curva, e o eixo do x entre os pontos de abscissa a e b

Obs.: (i) 0aaS

(ii) se a c b bc

ca

ba SSS

a b

baS

y = f(x)

Professor Emerson 3

4.1.2. TEOREMA DO VALOR MÉDIO Seja y = f(x) uma função positiva e contínua no intervalo [a, b]. Então existe pelo menos um número c

entre a e b tal que )()( abcfSba

demonstração:

com efeito,

suponhamos que m e M sejam ,respectivamente, os valores mínimos e máximos da função y = f(x) no

intervalo considerado

)()( abMSabm ba M

ab

Sm

ba

ab

Scfbac

ba

)(|],[

Obs.: o teorema do valor médio nos mostra que existe um retângulo de base b – a e altura f(c) cuja área é

igual a baS

4.1.3. ÁREA PELO CÁLCULO INTEGRAL

pelo TVM; xcfS )( )(cfx

S

)(limlim 0 cfx

Sxcx

)(xf

dx

dS dxxfdS )(

dxxfdS )( x

a

xa dxxfS )( kxFS x

a )(

fazendo x = a; kaFS aa )( 0 = F(a) + k k = -F(a) )()( aFxFS x

a

fazendo x = b; )()( aFbFSba

logo: )()()]([)( aFbFxFdxxfS ba

b

a

ba

Obs.:

n

kkn

b

axcfdxxf

1

)(lim)( (integral definida)

a b

baS

y = f(x)

m

M

c

f(c)

a b

y = f(x)

x x+xc

S


Apostila 15 4

4.2. CÁCULO DE VOLUME Consideremos uma curva de equação y = f(x), onde f(x) é uma função contínua, que delimita com o eixo dos

x uma superfície plana ABCD. Fazendo-se a rotação com revolução desta superfície em torno do eixo dos x,

será gerado um corpo de revolução cujo volume queremos calcular

dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos, vamos inscrever n cilindros de revolução no corpo

considerado;

calculando-se o volume desses cilindros e somando-os, teremos um valor aproximado do volume procurado, ou

seja:

V1 = .f 2(x1).x1

V2 = .f 2(x2).x2

__ __ __ __ __ __

Vn = .f 2(xn).xn

fazendo n tender ao infinito, teremos o volume exato do corpo de revolução, ou seja:

n

kkn xxfV

1

2 )(lim b

adxxfV )(2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calcule as integrais abaixo:

a) dx

b) 3 2x

dx

c) x

dx

d) dxxx)1(

e) dxx6

f) 2

. dxex x

g) dxxx 2173 )2(

h) dxx3sen

i) 2)32( x

dx

j) dxxx 5tan5sec

k) dxexx x2cos3cossen

l) 24 x

dx

m) 29 x

dx

n) 211 x

dx

o) 21625 x

dx

p) 94 2xx

dx

A B

C

Dy = f(x)

Professor Emerson 5

2) Determine as integrais das funções abaixo:

a)

dxxx 98

12

b)

dx

xx

x

174

352

c)

dxxx 21228

1

d)

dxxx 1

1

2

e) dxex x

f) dxex x2

g) dxxx ln2

h) dxxx 1

i) dxxarcsen

j) dxx2sen

k) dxxnsen

l)

dx

x

x

2

13

m)

dx

xxx

xx

6116

12221223

2

n)

dx

xxxx

x234

3

33

1

o)

dx

xxx

x

243

123

2

p)

dx

xx

xx22

2

)32(

2

q)

dxx

x

14 3

3) Calcular a área limitada pela curva y = x3 e o eixo dos x entre os pontos de abscissa

1 e 2.


-2 e -1.


-1 e 2.

6) Calcular a área limitada pela curva y = sen x e o eixo dos x entre os pontos de abscissa 0 e 2.

7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 e y = x

8) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 4x – x2 e y = x

9) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela elipse 1916

22

yx

10) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela função 3xy ,

x 0 no intervalo [0, 1]

11) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = 4 – x2 e

y = x2


Apostila 15 6

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES


a) 6

2

1 x

dxx

b) 2)tan1( x

c) xx ee

dx

d)

3 2 22

)1(

xx

dxx

e) dxx

xln

f) dxxx 25 sectan

g) 41 x

dxx

h)

dxx

x24

3

)1(

i)

dxx

e x

2

2arctan

41

j)

dxx

x

2

3

1

)(arcsen

k) x

dxx

2cot1

2csc2

l)

dx

x

x

1

1

m) 46xe

dx

n) x

dx2cos1

o) dxx

x4sen

2cos

p)

dx

x

xxx x

6

63arctan2

1

)1)1ln(2(3


a) dxx

x

3 2

31

b) dxaxx 223

c)

dxxx 1)1(

1

3 2

d)

dxeee xxx 6/3/2/1

1

e)

dxxx cossen1

1

f)

dxxcos23

1

g)

dxx

x

cos2

sen3

h) dxxx 54 cossen

i) dxxx 23 cossen

j) dxxx 42 cossen k)

k) dxxx 62 cossen

l) dxxx 5cos3sen

m) dxxxx 3cos2coscos

n)

dxx

x

2

2

9

o)

dxxx 249

1

p)

dxx

x

42

2

q)

dx

x

x

1

1

3) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 e y = x

2

4) Determinar a área delimitada pelas curvas y = 16 – x4 e y = x

4 – 5x

2 + 4

5) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 – 2x e y = x

2

6) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x

7) Determinar a área delimitada pelas curvas y = x2 + 1 , y = x

2 / 2 e y = 5

Professor Emerson 7

8) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela elipse 12

2

2

2

b

y

a

x

9) Calcular o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela função y = sen x

no intervalo [0, 2]

10) Achar o volume gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pela curva y = x2 e y =

x

11) Um barril de vinho tem a forma de um elipsóide de revolução com as extremidades cortadas. Mais

especificamente ,ele é formado geometricamente pela revolução da

semi- elipse truncada da figura abaixo. Calcule o volume do barril.

RESPOSTAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

3) 15 / 4 u.a.

4) 15 / 4 u.a.

5) 1 / 4 u.a.

6) 4 u.a.

7) 1 / 6 u.a.

8) 9 / 2 u.a.

9) 64 u.v.

10) ..7

4vu

11) 3

264 u.v.

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

3) 1 / 12 u.a.

4) 736 / 15 u.a.

5) 37 /12 u.a.

6) 3 / 2 u.a.

7) 10,42 u.a.

8) 2

3

4ab

u.v.

9) 2

2 u.v.

10) 10

3 u.v.

11) 2

39 u.v.

4-4 3-3

apostila integrais

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