integrais triplas por coordenadas esféricas

7/26/2019 Integrais Triplas Por Coordenadas Esfricas

1/33

Coordenadas Esfricas

Trata se de um sistema decoordenadas tridimensionais com

coordenadas correspondente huma cunha esfrica . Ele simplica oclculo de integrais triplas emregies limitadas por esferas e

cones.


2/33



3/33


O sistema de coordenadas esfricas til em problemas nos quais eista

simetria em torno de um ponto e aorigem este!a colocada neste ponto.


4/33

Eemplo

,

uma esf

era

c=


5/33

Eemplo

,

um sem

iplano

c=


6/33

Eemplo

, um semiconec=


7/33

"ela#$o entre Coordenadas

esfricas e retangulares

cos

sen

cos

sen

z

r

x r

y r

=

==

=


8/33

Con%ers$o&ara con%erter de coordenadas esfricas pararetangulares' usamos as equa#es

&ara con%erter de coordenadas retangulares paraesfricas' usamos a equa#$o

sen cos sen sen cosx y z = = =


9/33

Eemplo (

O ponto dado em coordenadas esfricas.)arque o ponto e encontre suas coordenadasretangulares.

*olu#$o+


10/33

Eemplo (

,ogo' o ponto em Coordenadasretangulares

3 1 3sen cos 2 sen cos 2

3 4 2 22x

= = = =

3 1 3sen sen 2 sen sen 2

3 4 2 22y = = = =

1cos 2cos 2 1

3 2z

= = = =


11/33

Eemplo -

O ponto est dado em coordenadasretangulares. Encontre coordenadas esfricas paraeste ponto.


12/33

Eemplo -

a equa#$o

temos

logo


13/33

Eemplo -

Obs+

,ogo' as coordenadas esfricas do ponto

dado s$o

cos 0sen 2

x

= = =

3 , pois 2 3 0.2

y = >


14/33

/ntegrais Triplas em

coordenadas esfricas0esse sistema de coordenadas 1 caia retangular uma cunha esfrica

onde

( ){ }, , | , ,E a b c d =

0, 2 ea d c


15/33

/ntegrais Triplas em CoordenadasEsfricas

*uponha que dese!amos calcular a integral triplaem que f uma fun#$o cont2nua e E uma cunha esfrica.

&rimeiramente di%idimos E em pequenas cunhas esfricas Ei!3 'igualmente espa#adas' com %olume 4ijk .O %olume Vijkpode ser aproimado pelo %olume de uma caiaretangular com dimenses

ijk ijk sen ijk

pois ijk representa o arco de circunfer5ncia de raio ijke

6nguloenquanto que ijk sen ijk corresponde ao arco decircunfer5ncia de raio rijk = ijk sen ijk e ngulo .


16/33

e fato' com o au2lio do Teorema do 4alor

)dio' pode8se mostrar que

4i!3 9 : ; i!3 sen < ; i!3=:=>=; i!3 '


17/33

/ntegrais Triplas em

coordenadas esfricas

seni k

seni i k

r =

seni i kr =


18/33

o con%ertemos uma integral tripla decoordenadas retangulares para coordenadasesfricas escre%endo

9

D9

9

Ftiliando o limite de integra#$o apropriada esubstituindo dV por ! sen ddd.


19/33

BGrmula para /ntegra#$o Tripla

em coordenadas cil2ndricas

onde um cunha esfrica dada por

( ) 2

( , , )

sen cos , sen sen , cos sen d d d

E

d b

c a

f x y z dV

f

=

E

( ){ }, , | , ,E a b c d =


20/33

Etens$o da fGrmula

fGrmula anterior pode ser estendida para incluirregies esfricas mais gerais' como


21/33

Eemplo H

Calcule onde

a bola unitria+

Exemplo :

( )3/2

2 2 2

,x y z

Be dV

+ +B

( ){ }2 2 2, , | 1B x y z x y z= + +


22/33

Eemplo H

*olu#$o+ como a fronteira de uma esfera'utiliaremos coordenadas esfricas+

lm disso' as coordenadas esfricas s$ocon%enientes' pois

B


23/33

Eemplo H

( )

( )

[ ] ( )

3/22 2 2

3/22

3

3

2 12

0 0 0

2 12

0 0 01

00

sen d d d

sen d d

1 4cos 2 ( 1)

3 3

x y z

Be dV

e

d e

e e

+ +

=

=

= =


24/33

Eemplo H

*eria etremamente complicado calcular a integralsem coordenadas esfricas. Com coordenadasretangulares' a integral seria


25/33

Eemplo I

Ftilie coordenadas esfricas para determinar o%olume do sGlido delimitado pelo cone epela esfera

?%e!a a gura@.


26/33

Eemplo I


27/33

Eemplo I


28/33

*olu#$o

0ote que a esfera passa pela origem e tem

centro em

Escre%emos a equa#$o da esfera em coordenadasesfricas como

ou

10,0, .

2


29/33

Soluo

A equao do cone pode ser escrita como

Isto d ou

Logo, a descrio do slido em coordenadas

esfricas

2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen sen . = + =

sen cos =


30/33

*olu#$o


31/33

*olu#$o

2 /4 cos2

0 0 0

cos3

2 /4

0 00

/44/43

00

( )

sen d d d

sen d3

2 2 cossen cos d

3 3 4

E

V E dV

d

=

=

=

= =


32/33

"eferencias+

*terJart' Kames? %olume // L Kames *terJart8 *$o &auloMpioneira Thomsonlerarning'-NN IP Edi#$o@

QO0R,4E*' ). S. e B,E))/0Q' . ).' Clculo S+ Bun#es de 4rias 4ari%eis'

/ntegrais uplas e Triplas' Editora )a3ron Soo3s do Srasil' *$o &aulo' (.

QF/O"/UU/' Vamilton ,ui. Fm Curso de Clculo+ 4olume H. P edi#$o. *$o &aulo+,TC' -N(N.


33/33

Componentes+

Cinthia Sepulveda

,ariana *antana)ai3e )atias

0Delson rgolo

ThaisD Vanmiller

4anessa uarte

integrais triplas por coordenadas esféricas

Documents