Coordenadas Esféricas

Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.

Coordenadas Esféricas

Coordenadas Esféricas

O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

Exemplo

,

uma esfera

c

Exemplo

,

um semiplano

c

Exemplo

, um semiconec

Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares

cos

sen

cos

sen

z

r

x r

y r

Conversão

Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações

Para converter de coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação

sen cos sen sen cosx y z

Exemplo 1

O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares.

Solução:

Exemplo 1

Logo, o ponto em

Coordenadas retangulares é

3 1 3sen cos 2 sen cos 2

3 4 2 22x

3 1 3sen sen 2 sen sen 2

3 4 2 22y

1cos 2cos 2 1

3 2z

Exemplo 2

O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.

Exemplo 2

Da equaçãotemos

logo

Exemplo 2

Obs:

Logo, as coordenadas esféricas do ponto

dado são

cos 0sen 2

x

3, pois 2 3 0.

2y

Integrais Triplas em coordenadas esféricas

Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica

onde

, , | , ,E a b c d

0, 2 ea d c

Integrais Triplas em coordenadas esféricas

seni k

seni i kr seni i kr

Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas

onde é um cunha esférica dada por

2

( , , )

sen cos , sen sen , cos sen d d d

E

d b

c a

f x y z dV

f

E

, , | , ,E a b c d

Extensão da fórmula

A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como

Calcule onde

é a bola unitária:

Exemplo 3

3/22 2 2

,x y z

Be dV

B

2 2 2, , | 1B x y z x y z

Exemplo 3

Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas:

Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois

B

Exemplo 3

3/22 2 2

3/22

3

3

2 1 2

0 0 0

2 1 2

0 0 0

1

00

sen d d d

sen d d

1 4cos 2 ( 1)

3 3

x y z

Be dV

e

d e

e e

Exemplo 3

Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria

Exemplo 4

Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera

(veja a figura).

Exemplo 4

Exemplo 4

Solução

Note que a esfera passa pela origem e tem

centro em

Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como

ou

10,0, .

2

Solução

A equação do cone pode ser escrita como

Isto dá ou

Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é

2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen sen .

sen cos

Solução

Solução

2 /4 cos 2

0 0 0

cos32 /4

0 00

/44/4 3

00

( )

sen d d d

sen d3

2 2 cossen cos d

3 3 4

E

V E dV

d