tÓpico fundamentos da matemática ii · 10.6 integrais triplas ... 10.9 integrais em coordenadas...

TÓPI

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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a II

Gil da Costa Marques

INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10

10.1 Introdução10.2 Integrais Duplas10.3 Propriedades das Integrais Duplas10.4 Cálculo de Integrais Duplas10.5 Integrais duplas em regiões não retangulares10.6 Integrais triplas10.7 Mudança de variáveis de Integração10.8 Integrais em coordenadas polares10.9 Integrais em coordenadas esféricas

165

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

10.1 IntroduçãoO problema de calcular a área de uma região do plano nos levou ao conceito de integral

definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um

procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como

trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas.

10.2 Integrais DuplasTais integrais são as mais simples dentre as integrais múltiplas, pois nesse caso estamos falan-

do de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função

f (x,y) definida sobre um retângulo

10.1

no plano xy será representada pela expressão

10.2

No que segue, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto

é, tal que existe um retângulo que contém L .

A integral dupla apresentada em (10.2) é definida de uma forma análoga, em certo sentido,

àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso o conceito chave é o de subdividir

um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de

cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma – denominada

Soma de Riemann – quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os

subintervalos, tende a zero (se tal limite existir).

A fim de definir a integral dupla de uma função f definida num subconjunto L li-

mitado do plano, e, portanto, contido num retângulo R, consideramos uma partição

( ){ }2, : ,R x y a x b c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

( ),R

f x y dxdy∫∫

166

TÓPICO 10 Integração Múltipla


( ){ }, : 0,1, , , 0,1, ,i jP x y i n j m= = = de R e, para cada par (i, j), seja (xi , yj ), um ponto

escolhido arbitrariamente no sub-retângulo Rij resultante da partição considerada.

O número

10.3

é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj ). Observemos

que f (xi , yj )deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada L

considerada inicialmente.

Notemos ainda que se f (xi , yj ) > 0, f (xi , yj ).∆xi ∆yj será o volume do paralelepípedo cuja

base tem área ∆Aij = ∆xi ∆yj e cuja altura é f (xi , yj ).

Dada a partição P do retângulo R, indicamos por ∆ o maior dos números ∆xi ,..., ∆xn , ∆yj ,..., ∆ym e definimos então

10.4

( )1 1

, ,n m

i j i ji j

f x y x y= =

∆ ∆∑∑

Figura 10.1: A região L subdividida em retângulos.

Figura 10.2: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(xi ,yj ).∆xi ∆yj

( ) ( ) ( )0 01 1 1 1

, lim . lim .n m n m

i j i j i j iji j i jL

f x y dxdy f x y x y f x y A∆→ ∆→

= = = =

= ∆ ∆ = ∆∑∑ ∑∑∫∫

167



onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo Riemann da

função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.

Definimos também a

10.5

e, sendo f integrável em L, com

10.6

em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z = 0, isto é,

10.7

definimos o

10.8

área de L

L dxdy= ∫∫

( ), 0f x y ≥

( ) ( ){ }3, , : 0 ,A x y z z f x y= ∈ ≤ ≤

( )volume de ,L

A f x y dxdy= ∫∫

Figura 10.3: A área de L é igual numericamente ao volume do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a 1.

168



10.3 Propriedades das Integrais DuplasSão válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas:

Se f e g são funções integráveis em R e c é uma constante, então:

Propriedade 1

10.9

Propriedade 2

10.10

Propriedade 3

Se f (x , y) ≤ g (x,y), então

10.11

Propriedade 4

Se 1 2R R R= ∪ , e R1 e R2 não se sobrepõem, então:

10.12

( ) ( ), ,R R

cf x y dxdy c f x y dxdy=∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) ( ), ,R R

f x y dxdy g x y dxdy≤∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( )1 2

, , ,R R R

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫

Figura 10.4: A região R=R1 ∪ R2.

169



10.4 Cálculo de Integrais DuplasTendo em vista o fato de que normalmente não se recorre à definição de integral dupla (10.4)

para efetuar o cálculo da mesma, é importante desenvolver métodos simples de efetuá-las. A seguir

daremos alguns exemplos.

Exemplos

• ExEmplo 1Consideremos o caso simples no qual a região fechada R é o retângulo de lados x = a, x = b, y = c e y = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1.

→ Solução:

Nosso objetivo é encontrar

10.13

ou alternativamente:

10.14

A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no retângulo ( ){ }2, : ,R x y a x b c x d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ e que existam ( ),

b

af x y dx∫ e ( ),

d

cf x y dy∫ ,

para todo y∈[c,d ] e para todo x∈[a,b ], respectivamente. No presente caso, consideramos a função f constante e igual a 1 sobre o retângulo R, isto é,f (x,y) = 1 e a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d:

10.15

Figura 10.5: O retângulo [a,b]× [c,d].

( ) ( ) ( )( ), , , , ,b d b d

a c a cI a b c d f x y dxdy f x y dy dx= =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( ), , , , ,b d d b

a c c aI a b c d f x y dxdy f x y dx dy= =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,b d b d b

a c a c aI a b c d dxdy dy dx d c dx d c b a= = = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

170



ou

10.16

Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1 são numericamente iguais a (b − a).(d − c).No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações simples sucessivas que são denominadas integrais iteradas.

• ExEmplo 2Calcule a integral:

10.17

onde D é o retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.

→ Solução:

10.18

Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [0,2], enquanto que, na segunda, a variável de integração é y no intervalo [0,1].Poderíamos também ter encontrado o valor de

10.19

fazendo

10.20

e, neste caso, na primeira integral, a variável de integração é y no intervalo [0,1], enquanto que, na segunda, a variável de integração é x no intervalo [0,2].

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,b d d b d

a c c a cI a b c d dxdy dx dy b a dy b a d c= = = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )5 2D

I x y dxdy= +∫∫

Figura 10.6: O retângulo D.

( ) [ ]221 2 1 1 12

00 0 0 00

55 2 2 10 4 10 2 122xI x y dx dy xy dy y dy y y

= + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

( )5 2D

I x y dxdy= +∫∫

( ) [ ]222 1 2 212

00 0 0 00

55 2 5 5 1 122xI x y dy dx xy y dx x dx x

= + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

171



• ExEmplo 3Vamos verificar que são iguais:

10.21

10.22

→ Solução:De fato,

10.23

e

10.24

Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser escrita como

um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma variável e a outra depen-

dendo apenas de outra variável, então a integral dupla de f é mais simples.

De fato, sendo

10.25

onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b] e h, que depende apenas de

y, está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação

a y, e podemos escrever:

10.26

Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais

de uma variável.

2 3 3 2

2 1x y dx dy

−

∫ ∫a.

3 2 3 2

1 2x y dy dx

−

∫ ∫b.

3 34 32 3 2 2 2 23 2 2 2 2 222 1 2 2 2

11

81 1 32020 204 4 4 3 3x yx y dx dy y dy y y dy y dy

−− − − −

= = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 23 43 2 3 3 33 2 3 311 2 1 1

22

16 16 16 320203 3 3 4 3 3y xx y dy dx x dx x dx

−−−

= = = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ,

,b d b d

a c a ca b c d

f x y dxdy g x h y dxdy g x h y dy dx×

= ⋅ = ⋅ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b d b d b d

a c a c a cg x h y dy dx g x h y dy dx g x dx h y dy ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

172



10.5 Integrais duplas em regiões não retangulares

Integrais sucessivas como aquelas apresentadas anteriormente, podem ser utilizadas quando

as curvas que delimitam a região R sobre a qual a função é definida não são tão simples como

no caso das regiões retangulares.

Consideremos uma função f definida na seguinte região:

10.27

Nesse caso definimos a integral I(a,b) como sendo dada por

10.28

Definindo a função I(x) como

10.29

concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação

de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja:

10.30

( ) ( ) ( ){ }21 2, : ,D x y a x b g x y g x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

Figura 10.7: A região onde f está definida.

( ) ( )( )

( ) ( )2

1

, , ,b g x

a g xD

I a b f x y dxdy f x y dy dx = = ∫∫ ∫ ∫

( )( )

( ) ( )2

1

,g x

g xI x f x y dy= ∫

( ) ( ),b

aI a b I x dx= ∫

173



Exemplos

• ExEmplo 4Vamos calcular

10.31

onde

10.32

→ Solução:Em primeiro lugar, observamos que D é um semi-círculo centrado na origem e de raio unitário, para o qual 0 ≤ x ≤ 1.

Consideremos

10.33

função essa que depende apenas da variável x.Sendo assim,

10.34

Agora,

10.35

( )2D

x y dxdy+∫∫

( ){ }2 2 2, : 1, 0D x y x y x= ∈ + ≤ ≥

Figura 10.8: A região D.

( ) ( )2

2

1

12

x

xI x x y dy

−

− −= +∫

( ) ( )2

2

22

121 1 1 1 2

0 1 0 01

2 2 2 4 12

xx

xD x

yx y dxdy x y dy dx xy dx x x dx−

−

− −− −

+ = + = + = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 2

0

44 13

x x dx − = ∫

174



Logo,

10.36

Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região do seguinte tipo:

10.37

Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como sendo dada por

10.38

Definindo a função J (y) como

10.39

concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após

a determinação de J (y), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma

variável apenas, ou seja:

10.40

( ) ( )2

2

1 1

0 1

42 23

x

xD

x y dxdy x y dy dx−

− −

+ = + =

∫∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ){ }21 2, : ,D x y h y x h y c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

Figura 10.9: A região onde f está definida.

( ) ( )( )

( ) ( )2

1

, , ,d h y

c h yD

J c d f x y dxdy f x y dx dy = = ∫∫ ∫ ∫

( )( )

( ) ( )2

1

,h y

h yJ y f x y dx= ∫

( ) ( ),d

cJ c d J y dy= ∫

175



Exemplos

• ExEmplo 5Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular

10.41

onde,

10.42

considerando agora,

10.43

uma vez que a região D pode ser considerada como a região delimitada pelas curvas dadas por x = 0 e 21x y= − , para −1 ≤ y ≤ 1.

→ Solução:Neste caso, temos

10.44

Então,

10.45

(Verifique! Uma observação importante que facilita os cálculos: 1 2

11 0y y dy

− − = ∫ pois o

integrando é uma função ímpar).

( )2D

x y dxdy+∫∫

( ){ }2 2 2, : 1, 0D x y x y x= ∈ + ≤ ≥

( ) ( )21

0,

yJ y f x y dx

−= ∫

Figura 10.10: A região D.

( ) ( )21 1

1 02 ,

y

D

x y dxdy f x y dx dy−

−

+ =

∫∫ ∫ ∫

( )2 21 1 1 112 2 2

01 0 1 1

42 1 13

y yx y dx dy x xy dy y y y dy

− −

− − −

+ = + = − + − = ∫ ∫ ∫ ∫

176



10.6 Integrais triplasUma integral tripla de uma função f (x,y,z) definida sobre um paralelepípedo

10.46

no espaço xyz será representada pela expressão

10.47

Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é,

tal que existe um paralelepípedo que contém L.

O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L

limitado do espaço, e, portanto, contido num paralelepípedo R, é, em certo sentido análogo ao

que foi realizado para a definição da integral dupla.

Consideremos uma partição ( ){ }, , : 0,1, , , 0,1, , , 0,1, ,i j kP x y z i n j m k p= = = =

do paralelepípedo R e, para cada terna (i, j, k), seja (xi , yj , zk) um ponto escolhido arbitraria-

mente no sub-paralelepípedo Rijk resultante da partição considerada.

O número

10.48

é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj , zk). Observemos

que f (xi , yj , zk) deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada

L considerada inicialmente.

Dada então a partição P do paralelepípedo R que contém L, indicamos por ∆ o maior dos

números ∆x1,..., ∆xn, ∆y1,..., ∆ym, ∆z1,..., ∆zp, e definimos então

10.49

( ){ }3, , : , ,R x y z a x b c y d e z f= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

( ), ,R

f x y z dxdydz∫∫∫

( )1 1 1

, ,pn m

i j k i j ki j k

f x y z x y z= = =

∆ ∆ ∆∑ ∑ ∑

( ) ( )0 1 1 1

, , lim , ,pn m

i j k i j ki j kL

f x y z dxdydz f x y z x y z∆→

= = =

= ∆ ∆ ∆∑ ∑ ∑∫∫∫

177



onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla segundo Riemann da

função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.

Definimos também o

10.50

A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que se a

função f é contínua em L então

10.51

sendo ( ) ( ) ( ){ }, , : , ,L x y z g x y z h x y= ≤ ≤ onde g e h são funções contínuas em K.

Analogamente,

10.52

sendo ( ) ( ) ( ){ }1 1 1, , : , ,L x y z g x z z h x z= ≤ ≤ onde g1 e h1 são funções contínuas em K1 e

10.53

sendo ( ) ( ) ( ){ }2 2 2, , : , ,L x y z g y z z h y z= ≤ ≤ onde g2 e h2 são funções contínuas em K2.

Exemplos

• ExEmplo 6Vamos determinar

10.54

onde

10.55

volume de L

L dxdydz= ∫∫∫

( )( )

( ) ( ),

,, , , ,

h x y

g x yL K

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy = ∫∫∫ ∫∫ ∫

( )( )

( ) ( )1

11 1

,

,, , , ,

h x z

g x zL K

f x y z dxdydz f x y z dy dxdz = ∫∫∫ ∫∫ ∫

( )( )

( ) ( )2

22 2

,

,, , , ,

h x y

g x yL K

f x y z dxdydz f x y z dx dydz = ∫∫∫ ∫∫ ∫

L

ydxdydz∫∫∫

( ){ }, , : 0 2,0 3 ,0L x y z x y x z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ −

178



→ Solução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:

10.56

onde

10.57

Então,

10.58

Mas,

10.59

Logo

10.60

Como

10.61

segue que

10.62


10.63

onde

10.64

( ) ( ){ }, , : 0 , ,L x y z z x y x y K= ≤ ≤ − ∈

( ){ }, : 0 2,0 3K x y x y x= ≤ ≤ ≤ ≤

0

x y

L K

ydxdydz ydz dxdy− = ∫∫∫ ∫∫ ∫

[ ] ( )00

x y x yydz yz y x y− −= = ⋅ −∫

( ) ( )2 3

0 0. .

x

L K

ydxdydz y x y dxdy y x y dy dx = − = − ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫

( ) ( )32 3 3 33 3 2 3

0 00

9 9. 92 3 2 2

xx x xy y x xy x y dy xy y dy x

− = − = − = − = −

∫ ∫

23 42

00

9 9 182 8L

x xydxdydz dx

= = − = −

∫∫∫ ∫

2

L

x yzdxdydz∫∫∫

( ){ }, , : 0 1,0 1, 1L x y z x y x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + +

179



→ Solução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:

10.65

onde

10.66

Então,

10.67

Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um

número maior de variáveis.

10.7 Mudança de variáveis de IntegraçãoEm muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples me-

diante uma mudança de variáveis de integração.

A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da região

R sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo, a

escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto,

a melhor escolha são as coordenadas polares. A análise feita a seguir considera um conjunto

arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla.

( ) ( ){ }, , : 1, ,L x y z x y z x y x y K= + ≤ ≤ + + ∈

( ){ }, , : 0 1,0 1K x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤

( ) ( ) ( )

1212 2 2

2 22 2

2 4 3 31 1 13 2 2 2

0 0 0

2

1 2 12 2

2 4 3 6

x yx y

x yL K K x y

K K

zx yzdxdydz x yzdz dxdy x y dxdy

x y x yx y x y dxdy x y dxdy

x y x x xx y x y dx dy y y y

+ ++ +

++

= = =

= + + − + = + + =

= + + = + +

∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫ ∫1 21

00

12 3

0

4 3 6

5 1 5 1 2312 2 3 3 24 9 72

y y ydy dy

y y

= + + =

= + = + =

∫

180



Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas

cartesianas: u = u(x,y) e v = v(x,y). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas

x = x(u,v) e y = y(u,v).Para o que segue, é importante definir uma função denominada “jacobiano de uma

transformação”.

Seja T uma transformação, 2 2:T A ⊂ → , que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto

A, associa o par (x,y) tal que

10.68

A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz

10.69

e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz

10.70

ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais.

Mediante uma mudança de variáveis da forma (10.68), uma integral dupla se escreve, em

termos das novas variáveis (u,v) como:

10.71

x = x(u,v) e y = y(u,v), isto é, T(u,v) = (x,y)

Figura 10.11: A transformação 2 2:T A ⊂ → .

( )( )

,,

x xx y u v

y yu vu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂∂ ∂ ∂

( )( )

,det

,

x xx y u vJ

y yu vu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂∂ ∂ ∂

( ) ( )( ) ( )( )

,, ,

,R S

x yf x y dxdy f T u v dudv

u v∂

=∂∫∫ ∫∫

181



onde ( )( )

,det

,x yu v

∂ ∂

é o módulo do jacobiano da transformação T, com ( )( )

,det

,x yu v

∂ ∂

,

sendo R a imagem de S pela transformação T.

Exemplos


10.72

onde

10.73

isto é, o trapézio ABDE na figura abaixo.

→ Solução:Vamos fazer a mudança de variáveis:

10.74

de onde obtemos

10.75

que define a transformação T.Daí, o jacobiano da transformação é:

( )( )

sencosR

x ydxdy

x y+

−∫∫

( ){ }2, :1 2, 0, 0R x y x y x y= ∈ ≤ − ≤ ≥ ≤

Figura 10.12: A região R é o trapézio ABDE.

u x yv x y

= + = −

2

2

u vx

u vy

+ = − =

182



10.76

Como

10.77

temos, uma vez que

10.78

10.79

isto é,

10.80

ou seja

10.81

que é o trapézio LMNO.Então

10.82

( )( )

1 1, 12 2det det det

1 1, 22 2

x xx y u v

y yu vu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = − ∂ ∂∂ − ∂ ∂

( ){ }2, :1 2, 0, 0R x y x y x y= ∈ ≤ − ≤ ≥ ≤

u x yv x y

= + = −

2

2

u vx

u vy

+ = − =

e

1 2, 0 e 0v u v u v≤ ≤ + ≥ − ≤

1 2, e v v u v u≤ ≤ ≥ − ≥

Figura 10.13: A região S é o trapézio LMNO.

( ){ }2, :1 2, ,S u v v v u v u= ∈ ≤ ≤ ≥ − ≥

( )( )

( )

2

1

2 2

1 1

sen sen 1 1 sencos cos 2 2 cos

cos1 cos 1 cos 02 cos 2 cos cos

v

vR S

vv

x y u udxdy dudv du dvx y v v

vu vdv dvv v v

−

−

+ = − = = −

− − − = = + =

∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

183



Logo

10.83


10.84

sabendo que R é o trapézio de vértices (1,0), (3,0), (0,−1), (0,−3).

→ Solução:Vamos fazer a mudança de variáveis

10.85

pois não sabemos calcular facilmente a integral dada.Obtemos então:

10.86

que define a transformação T.Daí, o jacobiano da transformação é:

10.87

A fim de determinar S, observamos que a região R, pela transformação dada, é levada num outro trapézio.

( )( )

sen0

cosR

x ydxdy

x y+

=−∫∫

( ) ( )/x y x y

R

e dxdy+ −∫∫

u x yv x y

= + = −

2

2

u vx

u vy

+ = − =

( )( )

1 1, 12 2det det det

1 1, 22 2

x xx y u v

y yu vu v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = − ∂ ∂∂ − ∂ ∂

184



De fato:

Como

10.88

O lado AB tem y = 0 logo u = v.O lado CD tem x = 0 logo u = −v.O lado AD tem y = x − 1 logo v = 1.O lado BC tem y = x − 3 logo v = 3.

Então,

10.89

Figura 10.14: R é o trapézio ABCD.

eu x yv x y

= + = −

2

2

u vx

u vy

+ = − =

Figura 10.15: S é o trapézio ABDE.

( ) ( ) 3/ / /

1

3 3/ 1

1 1

21 3 1

1

1 12 2

1 12 21 22 2

vx y x y u v u v

vR S

vu v

v

e dxdy e dudv e du dv

ve du ve ve dv

ve e e e

+ −

−

−

−

− −

= − = =

= = − =

= − = −

∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

185



10.8 Integrais em coordenadas polaresUm exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das

coordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (ρ,ϕ), por meio da transformação

definida pelas equações:

10.90

O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço xy, for da forma

mostrada na Figura 10.16, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρϕ:

10.91

Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,y) é transformada numa função

F(ρ,ϕ), isto é,

10.92

A fim de determinar

10.93

cossen

xy

= ρ ϕ = ρ ϕ

( ){ }1 2 1 2, : ,R = ρ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ

Figura 10.16: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas num retângulo.

( ) ( ), ,f x y F→ ρ ϕ

( ),f x y dxdy∫∫

186



usando a transformação

10.94

temos

10.95

Logo

10.96

Exemplos

• ExEmplo 10Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla

10.97

sabendo que, com a mudança de coordenadas, S é transformado em

10.98

→ Solução:A fim de determinar

10.99

usando as coordenadas polares

10.100

cossen

xy

= ρ ϕ = ρ ϕ

2 2cos sencos sen

sen cos

x x

Jy y

∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ρ ∂ϕ

= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ρ ∂ϕ

( ) ( ) ( )( )

,, ,

,R S

x yf x y dxdy F d d

∂= ρ ϕ ρ ϕ

∂ ρ ϕ∫∫ ∫∫

2

S

yx dxdy∫∫

( ), : 0 ,04

D R π = ρ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ ϕ ≤

( ),S

f x y dxdy∫∫

cossen

xy

= ρ ϕ = ρ ϕ

187



temos

10.101

Logo

10.102

Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como:

10.103

• ExEmplo 11Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares.

→ Solução:Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão

10.104

onde a região R é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja,

10.105

Usando coordenadas polares

10.106

temos

10.107

2 2cos sencos sen

sen cos

x x

Jy y

∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ρ ∂ϕ

= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ρ ∂ϕ

( ) ( ) ( )( )

,, ,

,S D

x yf x y dxdy F d d

∂= ρ ϕ ρ ϕ

∂ ρ ϕ∫∫ ∫∫

( ) 42 2 2 4 2

0 0

3 544 4

0 00 0

5

sen . cos sen .cos

cos 2 1 2 13 12 3 5 12 3

4 25 12

R

S DR

R R

yx dxdy d d d d

d d

R

π

π

= ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ = ρ ϕ ϕ ϕ ρ =

ϕ ρ= −ρ ρ = −ρ − ρ = − − =

−=

∫∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

R

A dxdy= ∫∫

( ){ }2 2 2, :R x y x y r= + =

cossen

xy

= ρ ϕ = ρ ϕ

2 2cos sencos sen

sen cos

x xp

Jy yp

∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ ∂ϕ

= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ ∂ϕ

188



e R é transformado no retângulo

10.108

isto é

10.109

Logo,

10.110

10.9 Integrais em coordenadas esféricasOutro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas

esféricas definidas por

10.111

onde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π.

É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo cal-

culada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e ϕ isto é

10.112

[0,r] × [0,2π]

( ){ }, : 0 ,0 2S r= ρ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ ϕ ≤ π

2 2 22 2 2 2 2`00 0 0 0

02 2 2

rr

R S

r rdxdy rd d d d d d rπ π π π ρ = ρ ϕ = ρ ρ ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = π

∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sen cossen sencos

xyz

= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ = ρ ϕ

( ){ }1 2 1 2 1 2, , : , ,D = ρ θ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ θ ≤ θ ≤ θ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ

189



O determinante jacobiano da transformação é:

10.113

Logo,

10.114

Convém notar que, como 0 ≤ ϕ ≤ π, senϕ ≥ 0 e, no interior do domínio D, o jacobiano da

transformação é diferente de zero, ou seja a transformação é inversível.

Figura 10.17

2

sen cos sen sen cos cossen sen sen cos cos sencos 0 - sen

sen cos sen cos cossen sen sen cos cos sen

cos

x x x

y y yJ

z z z

∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ ϕ θ − ρ ϕ θ ρ ϕ θ∂ ∂ ∂

= = ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ =∂ρ ∂θ ∂ϕ

ϕ ρ ϕ∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ

ϕ θ − θ ϕ θ= ρ ϕ ϕ θ θ ϕ θ

ϕ

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

0 -sen

sen sen cos cos sen cos cos sen sen

sen

=ϕ

= ρ ϕ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ =

= −ρ ϕ

( )( )

2 2, ,sen sen

, ,x y z

J∂

= = −ρ ϕ = ρ ϕ∂ ρ θ ϕ

190



Exemplos

• ExEmplo 12O volume de uma esfera de raio R, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a seguinte integral tripla:

10.115

Mais geralmente, se g for uma função de três variáveis (x, y, z), então a integral tridimensional sobre uma região limitada L pode ser escrita, no domínio ( ){ }1 2 1 2 1 2, , : , ,D = ρ θ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ θ ≤ θ ≤ θ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ , como:

10.116

Onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas:

10.117

• ExEmplo 13Vamos calcular o volume do elipsóide

10.118

Figura 10.18

2 22

0 0 0 0 0 0

33

sen

42 23 3

R RV J d d d d d d

R R

π π π π= ρ θ ϕ = ρ ρ θ ϕ ϕ =

= ⋅ π ⋅ = π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( )2 2 2

1 1 1

2

2

, , sen cos , sen sen , cos sen

, , sen

L D

g x y z dxdydz g d d d

G d d dρ θ ϕ

ρ θ ϕ

= ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ⋅ ρ ϕ ρ θ ϕ =

= ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ

∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫

( ) ( ), , , ,G g x y zρ θ ϕ =

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + ≤

191



Seja

10.119

Utilizando coordenadas esféricas

10.120

isto é,

10.121

em

10.122

temos:

10.123

Logo,

10.124

( )2 2 2

2 2 2, , : 1x y zE x y za b c

= + + ≤

sen cos

sen sen

cos

xaybzc

= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ

= ρ ϕ

sen cossen sencos

x ay bz c

= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ = ρ ϕ

( ){ }, , : 0 1,0 2 ,0D = ρ θ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ π

2

sen cos sen sen cos cossen sen sen cos cos sencos 0 - sen

sen cos sen cos cossen sen sen cos c

x x x

a a ay y yJ b b b

c cz z z

abc

∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ ϕ θ − ρ ϕ θ ρ ϕ θ∂ ∂ ∂

= = ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ =∂ρ ∂θ ∂ϕ

ϕ ρ ϕ∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ

ϕ θ − θ ϕ θ= ρ ϕ ϕ θ θ

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

os sencos 0 -sen

sen sen cos cos sen cos cos sen sen

sen

abc

abc

ϕ θ =ϕ ϕ

= ρ ϕ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ =

= − ρ ϕ

( )( )

2, ,sen

, ,x y z

dxdydz abc d d d∂

= = ρ ϕ ρ θ ϕ∂ ρ θ ϕ

192



e o volume do elipsóide é:

10.125

É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo após o Exemplo 3.

[ ] [ ] [ ]

2 12 2

0 0 0

132

0 00

sen sen

1 4cos 2 1 13 3 3

E D

dxdydz abc d d d abc d d d

abc abc abc

π π

π π

= ρ ϕ ρ θ ϕ = θ ϕ ϕ ρ ρ =

ρ= θ ⋅ − ϕ ⋅ = ⋅ π + = π

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

tÓpico fundamentos da matemática ii · 10.6 integrais triplas ... 10.9 integrais em coordenadas...

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