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TÓPI
CO
Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
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atem
átic
a II
Gil da Costa Marques
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10
10.1 Introdução10.2 Integrais Duplas10.3 Propriedades das Integrais Duplas10.4 Cálculo de Integrais Duplas10.5 Integrais duplas em regiões não retangulares10.6 Integrais triplas10.7 Mudança de variáveis de Integração10.8 Integrais em coordenadas polares10.9 Integrais em coordenadas esféricas
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10.1 IntroduçãoO problema de calcular a área de uma região do plano nos levou ao conceito de integral
definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um
procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como
trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas.
10.2 Integrais DuplasTais integrais são as mais simples dentre as integrais múltiplas, pois nesse caso estamos falan-
do de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função
f (x,y) definida sobre um retângulo
10.1
no plano xy será representada pela expressão
10.2
No que segue, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto
é, tal que existe um retângulo que contém L .
A integral dupla apresentada em (10.2) é definida de uma forma análoga, em certo sentido,
àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso o conceito chave é o de subdividir
um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de
cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma – denominada
Soma de Riemann – quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os
subintervalos, tende a zero (se tal limite existir).
A fim de definir a integral dupla de uma função f definida num subconjunto L li-
mitado do plano, e, portanto, contido num retângulo R, consideramos uma partição
( ){ }2, : ,R x y a x b c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
( ),R
f x y dxdy∫∫
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( ){ }, : 0,1, , , 0,1, ,i jP x y i n j m= = = de R e, para cada par (i, j), seja (xi , yj ), um ponto
escolhido arbitrariamente no sub-retângulo Rij resultante da partição considerada.
O número
10.3
é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj ). Observemos
que f (xi , yj )deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada L
considerada inicialmente.
Notemos ainda que se f (xi , yj ) > 0, f (xi , yj ).∆xi ∆yj será o volume do paralelepípedo cuja
base tem área ∆Aij = ∆xi ∆yj e cuja altura é f (xi , yj ).
Dada a partição P do retângulo R, indicamos por ∆ o maior dos números ∆xi ,..., ∆xn , ∆yj ,..., ∆ym e definimos então
10.4
( )1 1
, ,n m
i j i ji j
f x y x y= =
∆ ∆∑∑
Figura 10.1: A região L subdividida em retângulos.
Figura 10.2: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(xi ,yj ).∆xi ∆yj
( ) ( ) ( )0 01 1 1 1
, lim . lim .n m n m
i j i j i j iji j i jL
f x y dxdy f x y x y f x y A∆→ ∆→
= = = =
= ∆ ∆ = ∆∑∑ ∑∑∫∫
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onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo Riemann da
função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.
Definimos também a
10.5
e, sendo f integrável em L, com
10.6
em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z = 0, isto é,
10.7
definimos o
10.8
área de L
L dxdy= ∫∫
( ), 0f x y ≥
( ) ( ){ }3, , : 0 ,A x y z z f x y= ∈ ≤ ≤
( )volume de ,L
A f x y dxdy= ∫∫
Figura 10.3: A área de L é igual numericamente ao volume do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a 1.
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10.3 Propriedades das Integrais DuplasSão válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas:
Se f e g são funções integráveis em R e c é uma constante, então:
Propriedade 1
10.9
Propriedade 2
10.10
Propriedade 3
Se f (x , y) ≤ g (x,y), então
10.11
Propriedade 4
Se 1 2R R R= ∪ , e R1 e R2 não se sobrepõem, então:
10.12
( ) ( ), ,R R
cf x y dxdy c f x y dxdy=∫∫ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫
( ) ( ), ,R R
f x y dxdy g x y dxdy≤∫∫ ∫∫
( ) ( ) ( )1 2
, , ,R R R
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
Figura 10.4: A região R=R1 ∪ R2.
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10.4 Cálculo de Integrais DuplasTendo em vista o fato de que normalmente não se recorre à definição de integral dupla (10.4)
para efetuar o cálculo da mesma, é importante desenvolver métodos simples de efetuá-las. A seguir
daremos alguns exemplos.
Exemplos
• ExEmplo 1Consideremos o caso simples no qual a região fechada R é o retângulo de lados x = a, x = b, y = c e y = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1.
→ Solução:
Nosso objetivo é encontrar
10.13
ou alternativamente:
10.14
A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no retângulo ( ){ }2, : ,R x y a x b c x d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ e que existam ( ),
b
af x y dx∫ e ( ),
d
cf x y dy∫ ,
para todo y∈[c,d ] e para todo x∈[a,b ], respectivamente. No presente caso, consideramos a função f constante e igual a 1 sobre o retângulo R, isto é,f (x,y) = 1 e a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d:
10.15
Figura 10.5: O retângulo [a,b]× [c,d].
( ) ( ) ( )( ), , , , ,b d b d
a c a cI a b c d f x y dxdy f x y dy dx= =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )( ), , , , ,b d d b
a c c aI a b c d f x y dxdy f x y dx dy= =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,b d b d b
a c a c aI a b c d dxdy dy dx d c dx d c b a= = = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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ou
10.16
Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura igual a 1 são numericamente iguais a (b − a).(d − c).No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações simples sucessivas que são denominadas integrais iteradas.
• ExEmplo 2Calcule a integral:
10.17
onde D é o retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.
→ Solução:
10.18
Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [0,2], enquanto que, na segunda, a variável de integração é y no intervalo [0,1].Poderíamos também ter encontrado o valor de
10.19
fazendo
10.20
e, neste caso, na primeira integral, a variável de integração é y no intervalo [0,1], enquanto que, na segunda, a variável de integração é x no intervalo [0,2].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,b d d b d
a c c a cI a b c d dxdy dx dy b a dy b a d c= = = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )5 2D
I x y dxdy= +∫∫
Figura 10.6: O retângulo D.
( ) [ ]221 2 1 1 12
00 0 0 00
55 2 2 10 4 10 2 122xI x y dx dy xy dy y dy y y
= + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
( )5 2D
I x y dxdy= +∫∫
( ) [ ]222 1 2 212
00 0 0 00
55 2 5 5 1 122xI x y dy dx xy y dx x dx x
= + = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
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• ExEmplo 3Vamos verificar que são iguais:
10.21
10.22
→ Solução:De fato,
10.23
e
10.24
Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser escrita como
um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma variável e a outra depen-
dendo apenas de outra variável, então a integral dupla de f é mais simples.
De fato, sendo
10.25
onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b] e h, que depende apenas de
y, está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação
a y, e podemos escrever:
10.26
Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais
de uma variável.
2 3 3 2
2 1x y dx dy
−
∫ ∫a.
3 2 3 2
1 2x y dy dx
−
∫ ∫b.
3 34 32 3 2 2 2 23 2 2 2 2 222 1 2 2 2
11
81 1 32020 204 4 4 3 3x yx y dx dy y dy y y dy y dy
−− − − −
= = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 23 43 2 3 3 33 2 3 311 2 1 1
22
16 16 16 320203 3 3 4 3 3y xx y dy dx x dx x dx
−−−
= = = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
,b d b d
a c a ca b c d
f x y dxdy g x h y dxdy g x h y dy dx×
= ⋅ = ⋅ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b d b d b d
a c a c a cg x h y dy dx g x h y dy dx g x dx h y dy ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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10.5 Integrais duplas em regiões não retangulares
Integrais sucessivas como aquelas apresentadas anteriormente, podem ser utilizadas quando
as curvas que delimitam a região R sobre a qual a função é definida não são tão simples como
no caso das regiões retangulares.
Consideremos uma função f definida na seguinte região:
10.27
Nesse caso definimos a integral I(a,b) como sendo dada por
10.28
Definindo a função I(x) como
10.29
concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação
de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja:
10.30
( ) ( ) ( ){ }21 2, : ,D x y a x b g x y g x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Figura 10.7: A região onde f está definida.
( ) ( )( )
( ) ( )2
1
, , ,b g x
a g xD
I a b f x y dxdy f x y dy dx = = ∫∫ ∫ ∫
( )( )
( ) ( )2
1
,g x
g xI x f x y dy= ∫
( ) ( ),b
aI a b I x dx= ∫
173
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Exemplos
• ExEmplo 4Vamos calcular
10.31
onde
10.32
→ Solução:Em primeiro lugar, observamos que D é um semi-círculo centrado na origem e de raio unitário, para o qual 0 ≤ x ≤ 1.
Consideremos
10.33
função essa que depende apenas da variável x.Sendo assim,
10.34
Agora,
10.35
( )2D
x y dxdy+∫∫
( ){ }2 2 2, : 1, 0D x y x y x= ∈ + ≤ ≥
Figura 10.8: A região D.
( ) ( )2
2
1
12
x
xI x x y dy
−
− −= +∫
( ) ( )2
2
22
121 1 1 1 2
0 1 0 01
2 2 2 4 12
xx
xD x
yx y dxdy x y dy dx xy dx x x dx−
−
− −− −
+ = + = + = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 2
0
44 13
x x dx − = ∫
174
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Logo,
10.36
Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região do seguinte tipo:
10.37
Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como sendo dada por
10.38
Definindo a função J (y) como
10.39
concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após
a determinação de J (y), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma
variável apenas, ou seja:
10.40
( ) ( )2
2
1 1
0 1
42 23
x
xD
x y dxdy x y dy dx−
− −
+ = + =
∫∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ){ }21 2, : ,D x y h y x h y c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Figura 10.9: A região onde f está definida.
( ) ( )( )
( ) ( )2
1
, , ,d h y
c h yD
J c d f x y dxdy f x y dx dy = = ∫∫ ∫ ∫
( )( )
( ) ( )2
1
,h y
h yJ y f x y dx= ∫
( ) ( ),d
cJ c d J y dy= ∫
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Exemplos
• ExEmplo 5Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular
10.41
onde,
10.42
considerando agora,
10.43
uma vez que a região D pode ser considerada como a região delimitada pelas curvas dadas por x = 0 e 21x y= − , para −1 ≤ y ≤ 1.
→ Solução:Neste caso, temos
10.44
Então,
10.45
(Verifique! Uma observação importante que facilita os cálculos: 1 2
11 0y y dy
− − = ∫ pois o
integrando é uma função ímpar).
( )2D
x y dxdy+∫∫
( ){ }2 2 2, : 1, 0D x y x y x= ∈ + ≤ ≥
( ) ( )21
0,
yJ y f x y dx
−= ∫
Figura 10.10: A região D.
( ) ( )21 1
1 02 ,
y
D
x y dxdy f x y dx dy−
−
+ =
∫∫ ∫ ∫
( )2 21 1 1 112 2 2
01 0 1 1
42 1 13
y yx y dx dy x xy dy y y y dy
− −
− − −
+ = + = − + − = ∫ ∫ ∫ ∫
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10.6 Integrais triplasUma integral tripla de uma função f (x,y,z) definida sobre um paralelepípedo
10.46
no espaço xyz será representada pela expressão
10.47
Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é,
tal que existe um paralelepípedo que contém L.
O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L
limitado do espaço, e, portanto, contido num paralelepípedo R, é, em certo sentido análogo ao
que foi realizado para a definição da integral dupla.
Consideremos uma partição ( ){ }, , : 0,1, , , 0,1, , , 0,1, ,i j kP x y z i n j m k p= = = =
do paralelepípedo R e, para cada terna (i, j, k), seja (xi , yj , zk) um ponto escolhido arbitraria-
mente no sub-paralelepípedo Rijk resultante da partição considerada.
O número
10.48
é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi , yj , zk). Observemos
que f (xi , yj , zk) deve ser substituído por zero se o particular ponto não está na região limitada
L considerada inicialmente.
Dada então a partição P do paralelepípedo R que contém L, indicamos por ∆ o maior dos
números ∆x1,..., ∆xn, ∆y1,..., ∆ym, ∆z1,..., ∆zp, e definimos então
10.49
( ){ }3, , : , ,R x y z a x b c y d e z f= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
( ), ,R
f x y z dxdydz∫∫∫
( )1 1 1
, ,pn m
i j k i j ki j k
f x y z x y z= = =
∆ ∆ ∆∑ ∑ ∑
( ) ( )0 1 1 1
, , lim , ,pn m
i j k i j ki j kL
f x y z dxdydz f x y z x y z∆→
= = =
= ∆ ∆ ∆∑ ∑ ∑∫∫∫
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onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla segundo Riemann da
função f. Quando o limite existe dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.
Definimos também o
10.50
A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que se a
função f é contínua em L então
10.51
sendo ( ) ( ) ( ){ }, , : , ,L x y z g x y z h x y= ≤ ≤ onde g e h são funções contínuas em K.
Analogamente,
10.52
sendo ( ) ( ) ( ){ }1 1 1, , : , ,L x y z g x z z h x z= ≤ ≤ onde g1 e h1 são funções contínuas em K1 e
10.53
sendo ( ) ( ) ( ){ }2 2 2, , : , ,L x y z g y z z h y z= ≤ ≤ onde g2 e h2 são funções contínuas em K2.
Exemplos
• ExEmplo 6Vamos determinar
10.54
onde
10.55
volume de L
L dxdydz= ∫∫∫
( )( )
( ) ( ),
,, , , ,
h x y
g x yL K
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy = ∫∫∫ ∫∫ ∫
( )( )
( ) ( )1
11 1
,
,, , , ,
h x z
g x zL K
f x y z dxdydz f x y z dy dxdz = ∫∫∫ ∫∫ ∫
( )( )
( ) ( )2
22 2
,
,, , , ,
h x y
g x yL K
f x y z dxdydz f x y z dx dydz = ∫∫∫ ∫∫ ∫
L
ydxdydz∫∫∫
( ){ }, , : 0 2,0 3 ,0L x y z x y x z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ −
178
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→ Solução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:
10.56
onde
10.57
Então,
10.58
Mas,
10.59
Logo
10.60
Como
10.61
segue que
10.62
• ExEmplo 7Vamos calcular
10.63
onde
10.64
( ) ( ){ }, , : 0 , ,L x y z z x y x y K= ≤ ≤ − ∈
( ){ }, : 0 2,0 3K x y x y x= ≤ ≤ ≤ ≤
0
x y
L K
ydxdydz ydz dxdy− = ∫∫∫ ∫∫ ∫
[ ] ( )00
x y x yydz yz y x y− −= = ⋅ −∫
( ) ( )2 3
0 0. .
x
L K
ydxdydz y x y dxdy y x y dy dx = − = − ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫
( ) ( )32 3 3 33 3 2 3
0 00
9 9. 92 3 2 2
xx x xy y x xy x y dy xy y dy x
− = − = − = − = −
∫ ∫
23 42
00
9 9 182 8L
x xydxdydz dx
= = − = −
∫∫∫ ∫
2
L
x yzdxdydz∫∫∫
( ){ }, , : 0 1,0 1, 1L x y z x y x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + +
179
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→ Solução:Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:
10.65
onde
10.66
Então,
10.67
Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um
número maior de variáveis.
10.7 Mudança de variáveis de IntegraçãoEm muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples me-
diante uma mudança de variáveis de integração.
A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da região
R sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo, a
escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto,
a melhor escolha são as coordenadas polares. A análise feita a seguir considera um conjunto
arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla.
( ) ( ){ }, , : 1, ,L x y z x y z x y x y K= + ≤ ≤ + + ∈
( ){ }, , : 0 1,0 1K x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤
( ) ( ) ( )
1212 2 2
2 22 2
2 4 3 31 1 13 2 2 2
0 0 0
2
1 2 12 2
2 4 3 6
x yx y
x yL K K x y
K K
zx yzdxdydz x yzdz dxdy x y dxdy
x y x yx y x y dxdy x y dxdy
x y x x xx y x y dx dy y y y
+ ++ +
++
= = =
= + + − + = + + =
= + + = + +
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫ ∫1 21
00
12 3
0
4 3 6
5 1 5 1 2312 2 3 3 24 9 72
y y ydy dy
y y
= + + =
= + = + =
∫
180
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Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas
cartesianas: u = u(x,y) e v = v(x,y). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas
x = x(u,v) e y = y(u,v).Para o que segue, é importante definir uma função denominada “jacobiano de uma
transformação”.
Seja T uma transformação, 2 2:T A ⊂ → , que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto
A, associa o par (x,y) tal que
10.68
A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz
10.69
e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz
10.70
ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais.
Mediante uma mudança de variáveis da forma (10.68), uma integral dupla se escreve, em
termos das novas variáveis (u,v) como:
10.71
x = x(u,v) e y = y(u,v), isto é, T(u,v) = (x,y)
Figura 10.11: A transformação 2 2:T A ⊂ → .
( )( )
,,
x xx y u v
y yu vu v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂=
∂ ∂∂ ∂ ∂
( )( )
,det
,
x xx y u vJ
y yu vu v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ∂ ∂∂ ∂ ∂
( ) ( )( ) ( )( )
,, ,
,R S
x yf x y dxdy f T u v dudv
u v∂
=∂∫∫ ∫∫
181
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onde ( )( )
,det
,x yu v
∂ ∂
é o módulo do jacobiano da transformação T, com ( )( )
,det
,x yu v
∂ ∂
,
sendo R a imagem de S pela transformação T.
Exemplos
• ExEmplo 8Vamos calcular
10.72
onde
10.73
isto é, o trapézio ABDE na figura abaixo.
→ Solução:Vamos fazer a mudança de variáveis:
10.74
de onde obtemos
10.75
que define a transformação T.Daí, o jacobiano da transformação é:
( )( )
sencosR
x ydxdy
x y+
−∫∫
( ){ }2, :1 2, 0, 0R x y x y x y= ∈ ≤ − ≤ ≥ ≤
Figura 10.12: A região R é o trapézio ABDE.
u x yv x y
= + = −
2
2
u vx
u vy
+ = − =
182
TÓPICO 10 Integração Múltipla
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10.76
Como
10.77
temos, uma vez que
10.78
10.79
isto é,
10.80
ou seja
10.81
que é o trapézio LMNO.Então
10.82
( )( )
1 1, 12 2det det det
1 1, 22 2
x xx y u v
y yu vu v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = − ∂ ∂∂ − ∂ ∂
( ){ }2, :1 2, 0, 0R x y x y x y= ∈ ≤ − ≤ ≥ ≤
u x yv x y
= + = −
2
2
u vx
u vy
+ = − =
e
1 2, 0 e 0v u v u v≤ ≤ + ≥ − ≤
1 2, e v v u v u≤ ≤ ≥ − ≥
Figura 10.13: A região S é o trapézio LMNO.
( ){ }2, :1 2, ,S u v v v u v u= ∈ ≤ ≤ ≥ − ≥
( )( )
( )
2
1
2 2
1 1
sen sen 1 1 sencos cos 2 2 cos
cos1 cos 1 cos 02 cos 2 cos cos
v
vR S
vv
x y u udxdy dudv du dvx y v v
vu vdv dvv v v
−
−
+ = − = = −
− − − = = + =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
183
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Logo
10.83
• ExEmplo 9Vamos calcular
10.84
sabendo que R é o trapézio de vértices (1,0), (3,0), (0,−1), (0,−3).
→ Solução:Vamos fazer a mudança de variáveis
10.85
pois não sabemos calcular facilmente a integral dada.Obtemos então:
10.86
que define a transformação T.Daí, o jacobiano da transformação é:
10.87
A fim de determinar S, observamos que a região R, pela transformação dada, é levada num outro trapézio.
( )( )
sen0
cosR
x ydxdy
x y+
=−∫∫
( ) ( )/x y x y
R
e dxdy+ −∫∫
u x yv x y
= + = −
2
2
u vx
u vy
+ = − =
( )( )
1 1, 12 2det det det
1 1, 22 2
x xx y u v
y yu vu v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = − ∂ ∂∂ − ∂ ∂
184
TÓPICO 10 Integração Múltipla
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De fato:
Como
10.88
O lado AB tem y = 0 logo u = v.O lado CD tem x = 0 logo u = −v.O lado AD tem y = x − 1 logo v = 1.O lado BC tem y = x − 3 logo v = 3.
Então,
10.89
Figura 10.14: R é o trapézio ABCD.
eu x yv x y
= + = −
2
2
u vx
u vy
+ = − =
Figura 10.15: S é o trapézio ABDE.
( ) ( ) 3/ / /
1
3 3/ 1
1 1
21 3 1
1
1 12 2
1 12 21 22 2
vx y x y u v u v
vR S
vu v
v
e dxdy e dudv e du dv
ve du ve ve dv
ve e e e
+ −
−
−
−
− −
= − = =
= = − =
= − = −
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
185
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10.8 Integrais em coordenadas polaresUm exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das
coordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (ρ,ϕ), por meio da transformação
definida pelas equações:
10.90
O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço xy, for da forma
mostrada na Figura 10.16, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρϕ:
10.91
Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,y) é transformada numa função
F(ρ,ϕ), isto é,
10.92
A fim de determinar
10.93
cossen
xy
= ρ ϕ = ρ ϕ
( ){ }1 2 1 2, : ,R = ρ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ
Figura 10.16: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas num retângulo.
( ) ( ), ,f x y F→ ρ ϕ
( ),f x y dxdy∫∫
186
TÓPICO 10 Integração Múltipla
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usando a transformação
10.94
temos
10.95
Logo
10.96
Exemplos
• ExEmplo 10Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla
10.97
sabendo que, com a mudança de coordenadas, S é transformado em
10.98
→ Solução:A fim de determinar
10.99
usando as coordenadas polares
10.100
cossen
xy
= ρ ϕ = ρ ϕ
2 2cos sencos sen
sen cos
x x
Jy y
∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ρ ∂ϕ
= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ρ ∂ϕ
( ) ( ) ( )( )
,, ,
,R S
x yf x y dxdy F d d
∂= ρ ϕ ρ ϕ
∂ ρ ϕ∫∫ ∫∫
2
S
yx dxdy∫∫
( ), : 0 ,04
D R π = ρ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ ϕ ≤
( ),S
f x y dxdy∫∫
cossen
xy
= ρ ϕ = ρ ϕ
187
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temos
10.101
Logo
10.102
Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como:
10.103
• ExEmplo 11Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares.
→ Solução:Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão
10.104
onde a região R é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja,
10.105
Usando coordenadas polares
10.106
temos
10.107
2 2cos sencos sen
sen cos
x x
Jy y
∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ρ ∂ϕ
= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ρ ∂ϕ
( ) ( ) ( )( )
,, ,
,S D
x yf x y dxdy F d d
∂= ρ ϕ ρ ϕ
∂ ρ ϕ∫∫ ∫∫
( ) 42 2 2 4 2
0 0
3 544 4
0 00 0
5
sen . cos sen .cos
cos 2 1 2 13 12 3 5 12 3
4 25 12
R
S DR
R R
yx dxdy d d d d
d d
R
π
π
= ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ = ρ ϕ ϕ ϕ ρ =
ϕ ρ= −ρ ρ = −ρ − ρ = − − =
−=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
R
A dxdy= ∫∫
( ){ }2 2 2, :R x y x y r= + =
cossen
xy
= ρ ϕ = ρ ϕ
2 2cos sencos sen
sen cos
x xp
Jy yp
∂ ∂ϕ − ρ ϕ∂ ∂ϕ
= = = ρ ϕ + ρ ϕ = ρ∂ ∂ ϕ ρ ϕ∂ ∂ϕ
188
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e R é transformado no retângulo
10.108
isto é
10.109
Logo,
10.110
10.9 Integrais em coordenadas esféricasOutro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas
esféricas definidas por
10.111
onde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π.
É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo cal-
culada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e ϕ isto é
10.112
[0,r] × [0,2π]
( ){ }, : 0 ,0 2S r= ρ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ ϕ ≤ π
2 2 22 2 2 2 2`00 0 0 0
02 2 2
rr
R S
r rdxdy rd d d d d d rπ π π π ρ = ρ ϕ = ρ ρ ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = π
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
sen cossen sencos
xyz
= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ = ρ ϕ
( ){ }1 2 1 2 1 2, , : , ,D = ρ θ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ θ ≤ θ ≤ θ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ
189
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O determinante jacobiano da transformação é:
10.113
Logo,
10.114
Convém notar que, como 0 ≤ ϕ ≤ π, senϕ ≥ 0 e, no interior do domínio D, o jacobiano da
transformação é diferente de zero, ou seja a transformação é inversível.
Figura 10.17
2
sen cos sen sen cos cossen sen sen cos cos sencos 0 - sen
sen cos sen cos cossen sen sen cos cos sen
cos
x x x
y y yJ
z z z
∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ ϕ θ − ρ ϕ θ ρ ϕ θ∂ ∂ ∂
= = ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ =∂ρ ∂θ ∂ϕ
ϕ ρ ϕ∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ
ϕ θ − θ ϕ θ= ρ ϕ ϕ θ θ ϕ θ
ϕ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
0 -sen
sen sen cos cos sen cos cos sen sen
sen
=ϕ
= ρ ϕ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ =
= −ρ ϕ
( )( )
2 2, ,sen sen
, ,x y z
J∂
= = −ρ ϕ = ρ ϕ∂ ρ θ ϕ
190
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Exemplos
• ExEmplo 12O volume de uma esfera de raio R, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a seguinte integral tripla:
10.115
Mais geralmente, se g for uma função de três variáveis (x, y, z), então a integral tridimensional sobre uma região limitada L pode ser escrita, no domínio ( ){ }1 2 1 2 1 2, , : , ,D = ρ θ ϕ ρ ≤ ρ ≤ ρ θ ≤ θ ≤ θ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ , como:
10.116
Onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas:
10.117
• ExEmplo 13Vamos calcular o volume do elipsóide
10.118
Figura 10.18
2 22
0 0 0 0 0 0
33
sen
42 23 3
R RV J d d d d d d
R R
π π π π= ρ θ ϕ = ρ ρ θ ϕ ϕ =
= ⋅ π ⋅ = π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )2 2 2
1 1 1
2
2
, , sen cos , sen sen , cos sen
, , sen
L D
g x y z dxdydz g d d d
G d d dρ θ ϕ
ρ θ ϕ
= ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ⋅ ρ ϕ ρ θ ϕ =
= ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ
∫∫∫ ∫∫∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ), , , ,G g x y zρ θ ϕ =
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ + ≤
191
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Seja
10.119
Utilizando coordenadas esféricas
10.120
isto é,
10.121
em
10.122
temos:
10.123
Logo,
10.124
( )2 2 2
2 2 2, , : 1x y zE x y za b c
= + + ≤
sen cos
sen sen
cos
xaybzc
= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ
= ρ ϕ
sen cossen sencos
x ay bz c
= ρ ϕ θ = ρ ϕ θ = ρ ϕ
( ){ }, , : 0 1,0 2 ,0D = ρ θ ϕ ≤ ρ ≤ ≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ π
2
sen cos sen sen cos cossen sen sen cos cos sencos 0 - sen
sen cos sen cos cossen sen sen cos c
x x x
a a ay y yJ b b b
c cz z z
abc
∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ ϕ θ − ρ ϕ θ ρ ϕ θ∂ ∂ ∂
= = ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ =∂ρ ∂θ ∂ϕ
ϕ ρ ϕ∂ ∂ ∂∂ρ ∂θ ∂ϕ
ϕ θ − θ ϕ θ= ρ ϕ ϕ θ θ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
os sencos 0 -sen
sen sen cos cos sen cos cos sen sen
sen
abc
abc
ϕ θ =ϕ ϕ
= ρ ϕ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ − ϕ θ =
= − ρ ϕ
( )( )
2, ,sen
, ,x y z
dxdydz abc d d d∂
= = ρ ϕ ρ θ ϕ∂ ρ θ ϕ
192
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e o volume do elipsóide é:
10.125
É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo após o Exemplo 3.
[ ] [ ] [ ]
2 12 2
0 0 0
132
0 00
sen sen
1 4cos 2 1 13 3 3
E D
dxdydz abc d d d abc d d d
abc abc abc
π π
π π
= ρ ϕ ρ θ ϕ = θ ϕ ϕ ρ ρ =
ρ= θ ⋅ − ϕ ⋅ = ⋅ π + = π
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫