PAR ORDENADO

Sabe-se que os conjuntos {a , b} e {b , a} são iguais porque não importa a

ordem em que seus elementos aparecem dispostos. Contudo na Geometria Analítica, se

o conjunto {3 , 4} define o ponto de abscissa 3 e ordenada 4 e o conjunto {4 , 3} define

outro ponto de abscissa 4 e ordenada 3, a ordem dos elementos nestas condições passa a

ser imprescindível. Assim, quando a ordem dos elementos do conjunto é importante um

conjunto {a , b} passa a ser representado por (a , b) e a receber a denominação de par ordenado. Em resumo.

Dado um par de elementos x e y , chama-se par ordenado ao conjunto formado por x e y, obedecendo a condição que x seja o primeiro elemento e y o segundo e representa-se por ( x , y ).

PROPRIEDADE: ( x , y ) = ( a , b ) x = a e y = b

25. Complete: ( x , y ) = ( 3 , 6 ) x = __ e y = __

26. Calcule a e b sabendo que:

i) ( a + 2b , a – 2b ) = ( 7 , 3) a =__ e b = __

ii) ( a , 2a – b ) = ( b + 2 , 8 ) a = __ e b = __

iii) ( a + b , 5a + 2b ) = ( 20 , 82 ) a = __ e b = __

iv) ( , ) = ( , ) a = __ e b = __

PRODUTO CARTESIANO

1

SEVERINO MIRANDA DE RESENDE - Matemática - 2006 - APOSTILA II

Dados dois conjuntos, A e B, chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto A X B, cujos os elementos são todos os pares ordenados ( x , y ) onde x A e y B

A X B = { ( x , y ) / x A e y B } vale também n( A X B ) = n ( A ) . n ( B ) Ex: Se A = { 1, 2, 3 } e B = { 1 , 2 }, complete.

A X B = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }

B X A = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }

No plano cartesiano, temos:

EXERCÍCIOS:

27. Dado os conjuntos a seguir, obtenha o produto cartesiano entre eles com o auxílio de

uma tabela de dupla entrada e pelo diagrama de árvore.

a) A = { a, b, c} e B = { 1, 2, 3, 4}

b) C = { x, y, z } e D = { a, b, c}

c) E = { 1, 3, 5, 7} e F = { 2, 4, 6 }

28. De quantas modos diferentes, uma pessoa pode chegar ao jardim de uma residência a

partir da sala, se ela pode escolher entre três caminhos que levam a um ambiente o

qual proporciona mais seis passagens para se alcançar o jardim?

( Sugestão: monte uma tabela de dupla entrada ou um diagrama de árvore)

29.Usando o conceito de produto cartesiano, represente o conjunto dos resultados

possíveis para:

a) o lançamento simultâneo de duas moedas;

b) o lançamento simultâneo de dois dados

c) o lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado.

2

x

A X B A X B

y y

x

30.Dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7 } e B = { 0, 2, 4, 6 } monte uma tabela de dupla entrada

de A X B e de B2 = B X B:

31.Observando os pares ordenados de AXB do exercício 04, obtenha:

a) C = { ( x, y ) AXB / y é múltiplo de x } =_______________________________

b) D = { ( x, y ) AXB / x > y } = _______________________________________

c) E = { ( x, y ) AXB / } = ______________________________________

d) F = { ( x, y ) AXB / y = x + 3 } = _____________________________________

32. Define-se diferença simétrica de dois conjuntos, A e B, contidos em E o conjunto :

= ( A B) – ( A B ). Com esta informação pede-se que:

a) dado os conjuntos A = { a, b, c, d} e B = { c, d, e, f, g }, determine

= ________________________________

b) represente o conjunto hachurando o diagrama de Venn abaixo.

33. Represente no plano cartesiano A X B, para os conjuntos:

a) A = {xR / 1 x < 3} e B = { 2 } b) A = [-3 , 5 ] B = [ 1 , 3 ]

c) A X B = { (x , y) R2 / 1 x 5 e 1 y 3 } d) A = ] 1 , 3 ] e B = [ 2 , 4 [

3

A B

RELAÇÕES ( S )

Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A X B, isto é S é uma relação de A em B. Assim, S A XB

S = { ( x ,y ) ( A X B ) / lei de formação }

34. Seja A = {2 ,3 ,4 } e B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Represente a relação S = { (x , y) A X B / x é divisor de y }, no plano cartesiano, por enumeração e pelo diagrama de Vem.

Plano cartesiano Enumeração S = {( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )} Diagrama de Venn.

Deve-se lembrar ainda. D = { , , } Im = { , , , }

- O conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados recebem o nome de DOMÍNIO. ( D )

- O conjunto dos segundos elementos dos pares ordenados recebem o nome de - IMAGEM. ( Im )

35. Idem para A = {1 , 2 , 3 } e B = { 2 , 4 , 3 , 5 } S = { (x , y)AXB | y = 2x }

gráfico por enumeração S = { ( , ) , ( , ) } Diagrama de Venn A B

I = { , } D = { , }

4

APRESENTAÇÃO DO IR2

Seja IR o conjunto dos números reais. Designaremos por IR2 o produto cartesiano IR X IR, isto é, o conjunto de todos os pares (x , y) de números reais.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SUBCONJUNTOS DO IR2

(Fonte: Medeiros, Matemática par os cursos de ECONOMIA ADMINISTRAÇÃO CIÊNCIAS CONTÁBEIS, Volume II - Editora Atlas S.A)

36. Represente graficamente cada um dos conjuntos a seguir, destacando os vértices caso existam.

a) A = {(x , y) IR2 | y = 5 } b) D = {(x , y) IR2 | x 0 , y 0}

c) B = {(x , Y) IR2 | x = 2 } d) E = {(x , y) IR2 | 1 y 2 }

e) C = {(x , y) IR2 | y = x } f ) F = {(x , y) IR2 | x 1 }

g) G = {(x , y) IR2 | x + y 2}

5

g) H = {(x , y) R2 | x 0 , y 0 , x + y 1, x 4 , y 5 }

i) I = {(x , y) R2 | x 0 , y 0 , x + 2y 4 , 4x + 3y 12 }

j) I = {(x , y) R2 | x 0 , y 0 , x + 2y 4 , 4x + 3y 12 }

FUNÇÃO

6

Dados dois conjuntos A e B, denominamos função toda , relação f de A em B, na qual para todo elemento de A, existe um único correspondente em B.

GENERALIZANDO, TEM-SE: x A, y B / (x , y) f

NOTAÇÃO: f A B ( LÊ-SE , função de A em B )

VISUALIZAÇÃO

Consideremos as relações de A em B

Uma função f : A em B, fica bem representada, quando conhecemos os conjuntos A e B e uma lei que associe a todo x A um único y B.

Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e f : AB definida por f(x) = x + 1 ou simplesmente y = x + 1 , tem-se:

f( ) = f( ) = f( ) = ou

NO DIAGRAMA APRESENTADO NA PÁGINA ANTERIOR, PODE-SE DESTACAR:

7

A B

n é f

A B

n é f

A B

é f

BA

é f

A B

f (x)

f (x)

x

- O conjunto de partida das flechas, chamado de DOMÍNIO DA FUNÇÃO Df = {0, 1, 2} domínio da função é também, chamado de campo de definição ou campo de existência

- O conjunto formado pelos elementos onde chegam as flechas, que é um subconjunto de B, é chamado d e CONJUNTO – IMAGEM da função. If = {1 , 2 , 3}

- O conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} é chamado também de CONTRA DOMÍNIO ( C D )

OBS ( I ).

É comum definirmos uma função apenas por uma lei sem especificarmos os conjuntos A e B. Nesse caso A IR e B IR.

OBS ( II ).

Uma função é chamada real de variável real se A IR e B IR

ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Supondo A IR e B IR, pode-se dizer que o DOMÍNIO de uma função é todo SUBCONJUNTO de R, formado por todos os números que tornam possíveis as operações indicadas na lei de associação.

36. Dar o domínio das funções:

a) f (x) = ; só é possível em IR se x 0, então D = IR – {0} = IR*

b) f (x) = ; só é possível em IR se x + 5 0 ou seja se x –5 ou

seja, D = R – {–5} c) f (x) = ; só é possível em IR se x – 2 0 ou seja se x 2 D = { x IR | x 2 } ou D = [ 2 , [

d) f (x ) = ; só é possível se x2 – 9 0 e 0

x2 – 9 0 x 3 e x – 1 > 0 x > 1 D = { x IR | x > 1 e x 3}

37. Ídem para as funções.

8

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

38. Dada a função f(x) = 12x – 5, obtenha.

f(–2) =

f(+2) = f(0) =

f(–1) =

f(+1/4) =

f(–1/3) =

f(x0 + b) =

o valor de x tal que f(x) = 55

o valor de x tal que f(x) = –41

39. Dada a função f(x ) = x2 – h2, obtenha.

a) f(x0) = b) f(x0 + h) = c) f(x0 + h) - f(x0) =

9

40. Dada a função f(x) = x2 – 2x – 10, obter os valores de x cuja a imagem é 5

41. Dada a função f(x) = mx – 6, determine m, se f(2) = 8

42. Faça o gráfico e mostre o conjunto imagem de f(x) = –2x + 8, sendo o domínio da função D = { 0,1,2,3,4 }

FUNÇAÕ DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

Denomina-se função do 1° grau a função f : IR IR, definida pela lei y = a x + b, com a e b reais e a 0. Como y = f(x) a função pode ser escrita por f(x) = a x + b.

- a é chamado de coeficiente angular ou declive da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente angular a, pode ser interpretado como a variação de y, correspondente a variação de uma unidade para x a partir de qualquer ponto da reta.

- b é chamado de coeficiente linear da função. O coeficiente linear b, corresponde à

ordenada ponto onde a reta corta o eixo y ( intercepto y ) isto é ( 0 , b).

- o ponto dado por ( - b/a , 0 ) onde a reta corta o eixo das abscissas é chamado de intercepto x.

- a função é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.

- a pode ser calculado pela expressão e a equação pode ser obtida pela fór

mula y – y0 = a ( x – x0 ) onde a, x0 e y0 devem ser conhecidos. FUNÇÃO CONSTANTE

10

1

y

0-b/a

a

b

x

a > 0 < 90°função crescente

x

1

y

0 -b/a

ab

a < 0 < 90°função decrescente

_

_

__

__

_

_

Se na função y = a x + b, o coeficiente a for zero, teremos y = 0 x + b ou seja a lei da função fica reduzida simplesmente a y = b e sua representação gráfica assume um dos aspectos abaixo.

EXERCÍCIO SOBRE FUNÇÕES DO 1º GRAU

43.Esboce o gráfico das funções, classifique-as determine seus interceptos, estude seus sinais e dê seu domínio e imagem.

a) y = 5 ( função constante ) b) y = x ( função identidade )

gráfico gráfico

c) y = – x

gráfico

d) y = –2x + 3

11

y

b

x

y

bx

Se b > 0 Se b < 0

y

5

x

y

x

y

x

-1

y

x2

3 3/2

Função decrescente pois além de a < 0 observa-se que y decresce quando x aumenta intercepto y ( 0 , 3 ) intercepto x ( 3/2 , 0 ) sinal da função y > 0 se x > 3/2 e y < 0 se x < 3/2 D = IR Im = IR

É constante, pois se a =0, implica numa reta paralela ao eixo horizontal intercepto y ( 0 , 5) intercepto x não existe. sinal da funçãoy > 0 para x IR D = IR Im = { 5 }

É crescente, pois além de se ter a > 0, observa-se que y cresce quando x aumenta. intercepto y ( 0 , 0 ) intercepto x ( 0 , 0 ). sinal da função y > 0 se x > 0 e y < 0 se x < 0 D = IR Im = IR

É decrescente, pois além de se ter a < 0, observa-se que y decresce quando x aumenta. intercepto y ( 0 , 0 ) intercepto x ( 0 , 0 ). sinal da função y > 0 se x > 0 e y < 0 se x < 0 D = IR Im = IR

Se b = 0

y

bx

gráfico

X y0 32 -1

44. Obtenha as funções, a partir dos gráficos.

45. Estude o sinal das funções

12

b)

(1 , 4)

(4 , 1)

a)

(5 , 0)

(0 , 4)

d)

(8 , 8)

(0 , 0)

c)

(8 , 8)

(0 , 3)

a) y = 2x – 6 b) y = –2x + 6 c) y = – 4x

46. Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por : a) A( 1 , 2 ) e B( 2 , 7 ) b) A( –2 , 1 ) e B( 5 , –2 )

47.Usando a equação da reta que passa por dois ponto y – y0 = m (x – x0), obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m.

a) P(0 , 0) e m = 3 b) P(–1 , –2) e m = 2 c) P(–1 , 4) e m = –1

48. Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 2 000,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total das vendas que ele faz durante o mês. Com estas informações

FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU

13

a) escreva a lei que representa o seu salário

b) calcule o salário por ele recebido se neste mês ele vendeu R$ 50 000,00

c) represente o gráfico correspondente e dê o seu domínio e imagem.

FUNÇAO CUSTO TOTAL

A função Custo Total, ou simplesmente função Custo C(x) de um certo produto, é aquela que descreve o relacionamento entre o custo total de produção com o respectivo custos fixo Cf e custo variável Cv(x).

C(x) = Cf + Cv(x)

Entende-se por custo fixo Cf , aquele que não depende da quantidade produzida tais como aluguel, seguros, manutenção do prédio entre outros. O custo fixo Cf , pode ser entendido como uma função constante e desta forma seu gráfico é dado por uma semi-reta paralela ao eixo horizontal.

A parcela correspondente ao Custo Variável, é a que depende dos custos de produção propriamente ditos tais como aquisição de matéria-prima, pagamento de mão de obra, energia gasta, etc.

O Custo variável Cv(x), é assim chamado pelo fato de ser uma função da quantidade produzida. Seu gráfico começa na origem, pois não se tem gastos com a produção quando nada é produzido.

Verifica-se também que para x variando dentro de um certo intervalo, o custo variável Cv(x), é em geral igual a uma constante k que recebe a denominação de custo variável por unidade multiplicada por x e que pode ser escrita por Cv(x) = k.x.

Acompanhe o exercício 49. 49. Na fabricação de um certo tipo de ração, o fabricante constatou que o custo fixo é

de R$30,00 e o custo variável por unidade é de $ 2,00 o kg. Escreva a função custo total com o respectivo gráfico, admitindo a possibilidade o produto ser indivisível ou indivisível.

Desta forma podemos escrever que e que

a) o produto em questão é indivisível. b) o produto é divisível

Obs: Se no enunciado nada for comentado, o produto é considerado divisível. RECEITA O valor recebido pela venda de x unidades de um certo produto ao preço p, pode ser dado pela função receita expressa por:

14

C(x) = Cf + k.x

C(x)

x

C(x) = 30 + 2.x

C(x)

x

R(x) = p . x.

50. Se no problema anterior, a farinha é vendida à razão de R$ 5,00 o kg, represente a função receita e o seu respectivo gráfico, supondo venda a granel.

Solução: gráfico

Função R(x) = 2 x

LUCRO

A função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo. R(x) > Ct(x) teremos lucro positivo L(x) = R(x) – C(x) R(x) < Ct(x) teremos lucro negativo R(x) = Ct(x) teremos lucro nulo

Obs. Denomina-se ponto crítico ou ponto de nivelamento ao ponto em que R(x) se iguala a C(x).

Exemplo ( 3 ).

51. Considerando os exercícios (49 ) e (50), determine o ponto crítico, represente graficamente este ponto e destaque a região de prejuízo e a região de lucro.

Conceito importante: Chama-se margem de contribuição por unidade a diferença entre o preço de venda p e o custo variável por unidade k. ( mc = p – k )

52. Calcule a margem de contribuição por unidade no exemplo proposto.

CUSTO MÉDIO OU CUSTO UNITÁRIO

15

C(x) R(x)

x

R(x)

x

Chama-se custo médio de produção ou custo unitário Cm( x ), o custo total para x unidades, dividido pelo número de unidades x.

Cm( x ) =

PROBLEMAS:

53. Uma casa de materiais de construção vende um certo tipo de torneira por R$ 30,00. Seu custo fixo é R$ 10,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 20,00.

a) Escreva a lei matemática que exprime respectivamente a receita, o custo total e o lucro. a) Qual é o ponto de nivelamento? R ( 1 )b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a R$ 90,00? R ( 10 )c) Qual é a margem de contribuição por unidade vendida deste tipo de torneira? R ( 10 )

54.Para produzir uma engrenagem, uma metalúrgica tem um custo fixo estimado em aproximadamente R$ 900,00 e um custo variável de R$ 25,00 por unidade produzida. Se a peça é vendida por R$ 45,00.

a) Escreva a lei matemática que exprime respectivamente a receita, o custo total e o lucro. b) Qual é o número mínimo de peças que se deve vender para não haver prejuízo? (45) c) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a R$ 5 100,00? (300)d) Qual é a margem de contribuição por unidade vendida deste tipo de torneira? (20)

55.O custo fixo de produção de um produto é R$ 1 500,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 8,00. Se cada unidade for vendida por R$ 10,00:

a) Qual o ponto de nivelamento? (750)b) Qual é a porcentagem que o produtor deve aumentar o preço de venda para que o ponto de equilíbrio fique reduzido em 1/3? (10%)c) Em relação ao item a, se o produtor reduzir o custo variável por unidade em 25%, a custa do aumento do custo fixo em 20% qual o novo ponto de nivelamento? (450)d) Também em relação ao item a, qual é a porcentagem que deve ser aplicada ao custo fixo, para manter inalterado o ponto de nivelamento quando o custo variável por unidade for reduzido de R$ 1,00? ( 50% de 1500,00)

56. Uma empresa, gera um custo fixo de R$ 20.000,00 por mês para produzir certo bem. Sabendo que o imposto de renda é de 27% sobre o lucro bruto e que o custo variável por unidade produzida e o preço de venda, valem respectivamente R$ 5,00 e R$ 7,00.

a) Obtenha a função lucro; ( L(x) = 2x – 20.000)b) Obtenha a função lucro líquido, sabendo que o imposto de renda é 27% do lucro. (LL(x) = 1,46x – 14 600)

57.Para se produzir 2000 unidades de bonecas do tipo A, o custo médio é R$ 4,00 e o custo fixo, R$ 160,00 por dia. Sabendo que o preço de venda por unidade é de R$ 6,00, obtenha:

a) o lucro para 100 unidades vendidas; ( R$ 48,00)b) o ponto crítico. ( 77 unidades )

FUNÇÕES DE DEMANDA E OFERTA DO 1° GRAU

16

FUNÇÃO DEMANDA A função demanda, busca descrever o comportamento do consumidor. Observa-se que durante certo espaço de tempo, e em um certo mercado, que a quantidade procurada de um produto varia de forma a envolver muitas variáveis. Dentre elas pode-se destacar o por exemplo, o preço do produto ou de substitutos, a renda do consumidor, o impacto de uma boa ou má propaganda, o gosto do consumidor e outras influências. Considerando a influência das demais variáveis como constantes , com exceção do preço unitário p como responsável pela demanda de x unidades de um produto, a função demanda pode dada pela relação p = f(x).

Obs (01) . A função demanda pode estar se referindo a um consumidor individual ou a um grupo de consumidores. De um modo geral ao nos referirmos a uma função demanda, estaremos pensando em grupo de consumidores.

Obs (02) . A função demanda, normalmente é expressa por uma função decrescente.

58. Supondo que a procura diária por tainhas, nos meses de pesca liberada, seja dada pela função p = 40 – 0,05x, onde x é a quantidade de tainhas vendida em kg e p o preço em R$, pergunta-se.

a) Quando o preço da tainha for nulo, como estará a demanda?

b) Qual será a procura quando o preço estiver em R$ 10,00?

c) A partir de que preço, a procura por tainha deixa de existir ?

d) Represente graficamente a função demanda apresentada.

FUNÇÃO OFERTA

17

p (R$)

x

A função oferta, busca descrever o comportamento do fornecedor. Da mesma forma que a demanda, quando se considera apenas o preço como determinante da quantidade que é ofertada de uma certo produto, está-se supondo constantes os demais fatores influentes. Considerando que p represente o preço unitário do produto e x a quantidade oferecida ao mercado, tem-se também p = f ( x ). Obs (01) . A função oferta, expressa em função do preço é uma função crescente, pois quando o preço sobe, aumenta a oferta e quando o preço cai, cai também a oferta.

Obs (01) . Entende-se por preço de equilíbrio como o preço que corresponde a iguais quantidades de oferta e demanda.

. Exemplo: voltemos ao problema 58.

59. Suponha que o gráfico abaixo, relacione a oferta de tainhas em função dos preços oferecidos pelo mercado. Com isto, obtenha:

a) a equação da oferta diária de tainhas,

b) o ponto de equilíbrio entre a oferta e a demanda, completando o gráfico abaixo.

c) o preço de oferta correspondente a 300 kg de tainha / dia,

60. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é $20,00. A esse preço, estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for $15,00,

18

5

0p

x0 200

10

0

0p

5x

E

.....

.....

.....

..... .....

p

estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha sua equação.

( p = -0,2x + 30 )

61.Uma doceria produz um tipo de bolo, de tal forma que sua função oferta diária é p0 = 10 + 0,2x.

a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (R$14,00 )

b) Se o preço unitário for $15,00, qual a quantidade ofertada?(25 unidades)

c) Se a curva de demanda diária por esses bolos for p = 30 – 1,8x, qual o preço de equilbrio? ($12,00)

62. O preço unitário p de um produto relaciona-se com a quantidade mensal demandada x e com a renda mensal R das pessoas de uma cidade, através da expressão

p = 50 – 2x + R.

a) Qual a equação da demanda se R = 10 ; R = 20 e R = 30? Faça o gráfico.

b) O que acontece com a equação da demanda à medida que o R aumenta?

(OBS: mais problemas no livro texto adotado pág 72 e 73)

DEPRECIAÇÃO LINEAR .

19

A depreciação é a perda do valor de um bem ao longo do tempo devido ao uso, pelo aparecimento de dispositivos mais atualizados ou por outras razões.

A depreciação é uma função decrescente que pode ser calculada por d = V0 – V, onde:

d = depreciação, V = valor do objeto no tempo t e V0 = valor do objeto na data zero.

Supondo v, função do primeiro grau e expressa por V = mt + V0, A depreciação d em função do tempo será obtida do seguinte modo:

d = V0 – V d = V0 – ( m.t + V0 ) d = V0 – m.t – V0 d = – m.t

63. Compra-se hoje um automóvel de modelo popular novo, por R$19.500,00. Se daqui a 6

anos ele estiver valendo apenas $13 650,00, pede-se:

a) a equação que fornece valor do referido automóvel ao longo do tempo, supondo-a do primeiro grau.

t (anos) 0 ...... 6V ( R$) 19 500,00 ...... 13 650,00

Solução. Cálculo do coeficiente angular da função

Substituindo na fórmula V – V0 = m ( t – t0 ) V – 19 500 = – 975 ( t – 0) V = – 975t + 19 500

b) o preço do automóvel daqui a dez anos é dado por:

V = – 975t + 19 500 v = – 975. 10 +19 500 V = 9 750,00

c) a equação de depreciação

d = – m.t d = – (– 975) t d = 975 t

d) o gráfico do valor ( V ) em função do tempo e da depreciação ( d ) em função do tempo.

64. O valor de um automóvel novo hoje é de $15.000,00. Se daqui a 5 anos seu valor for de apenas $10.000,00, responda:

20

a) qual será a sua equação de depreciação? ( d = 1000 x ) b) quanto valerá o automóvel daqui a 10 anos? (R$ 5000,00)

65.O valor de um dispositivo mecânico para uma certa indústria, custa hoje $7500,00. Se o período de vida útil do mesmo, na linguagem contábil é de 15 anos, escreva com estas informações a função depreciação e elabore um gráfico representativo da situação, admitindo a depreciação linear. ( d = 500x )

66. Um equipamento de informativa é adquirido por $2.500,00 e após 1,5 anos de uso, seu valor estimado é de 2.200,00. Admitindo a depreciação linear .

a) Escreva a equação que dá o valor do equipamento em qualquer tempo.b) Quanto estará valendo o equipamento após 3 anos? ( V = R$ 1 900,00 )c) Daqui a quanto tempo o equipamento não estará valendo mais nada em termos

contábeis? ( t = 12anos e 6 meses )

FUNÇÃO CONSUMO

É a função representada pela expressão C = C0 + m.x, onde.

C0 = (coeficiente linear da reta), representa as despesas fixas ou consumo autônomo;m = (coeficiente angular da reta), é chamado de propensão marginal a consumir;C = representa o consumo propriamente dito;x = representa a renda disponível.

Aplicação.

67. Um indivíduo, possui mensalmente a sua disposição uma certa quantia. Sabe-se que o mesmo tem uma despesa fixa de $ 2.800,00, e, é perseguido por uma tendência de gastar 90% do que está ao seu dispor. Nestas condições:

a) escreva a função consumo deste consumidor.

b) calcule o seu consumo para uma renda disponível R$5.000,00. ( Renda livre do imposto de renda).

c) Represente graficamente a função consumo do indivíduo

FUNÇÃO POUPANÇA

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A função poupança é a função revelada pela diferença entre a renda disponível e o consumo. Representando por S a função poupança, temos:

S = x – C S = x – (C0 + mx) S = x – C0 + x – mx S = – C0 + x – mx

o que colocando x em evidência, resulta em S = – C0 + (1 – m)x

68. Considerando o problema anterior, e obtenha

a) a função poupança,

b) a renda mínima para que o indivíduo não fique devendo ao final do mês.

c) Represente graficamente a função poupança.

I ) O fator (1 – m ) da função poupança, correspondente ao coeficiente angular da função, é chamado de propensão marginal a poupar.II ) A propensão marginal a consumir, é sempre um número compreendido entre 0 e 1.

69.Uma família tem um consumo autônomo de $ 1200,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,7. obtenha:

a) a função consumo:b) a função poupança.

70.Sendo C = 900,00 + 0,7x, a função consumo de uma dentista principiante, pede-se :

a. a função poupança;b. a renda mínima para que a poupança não seja negativa.

71. A poupança de um professor é dada por S = -900 +0,45x, pede-se:

a. função consumob. a renda que induza a um consumo de 1500,00.

72. Suponha que o que é produzido em uma ilha seja consumido nela própria. Não há gastos com investimentos ( visando aumento futuro da capacidade produtiva), nem governo. A função consumo anual é C = 100 + 0,8x. Qual a renda de equilíbrio (aquela para a qual o que é produzido é consumido)?

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APLICAÇÕES

OBSERVAÇÕES