dinÂmica ii - apostila

1

Prof. DSc. Valtency F. Guimarães

Dinâmica II

2

Dinâmica II

Bibliografia Recomendada

Bibliografia BBibliografia Báásica:sica:HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010.BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc Graw Hill, 2006.MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e JoséRodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989.

Bibliografia Complementar:Bibliografia Complementar:SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982.KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. 496p.NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.

Prof. DSc. Valtency F. Guimarães

3

Cinemática plana de corpos rígidos

1. Introdução2. Corpos Rígidos

2.1 - Movimento de translação2.2 - Movimento de rotação

i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular

i i - Aceleração Angular

i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante

iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares

3. Atividades Introdutórias

Dinâmica II

Introdução - Dinâmica

4

1 - Introdução

O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o

movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como

origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se

em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do

centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão

lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem

corrente elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão

origem à pressão e aos processos de difusão.

Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é

influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com

eles. Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação,

por exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma

imagem na tela.


5

Introdução

Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação

existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor

as coisas de modo a produzir movimentos úteis.

Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos)

resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais

como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão

importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-

lo em termos destes conceitos.


6

A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do

movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton

é a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em

que estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de

partículas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos

puntiformes.

As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um

sistema constitusistema constituíído de partdo de partíículasculas (átomos, por exemplo) agregadas de agregadas de

um modo tal que a distância entre as vum modo tal que a distância entre as váárias partes que constituem o rias partes que constituem o

corpocorpo (ou o sistema) não varia com o temponão varia com o tempo (não mudam), ou seja, as

distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são

rigorosamente constantes.


2 - Corpos Rígidos

7

Pode-se dizer então que um Corpo RCorpo Ríígidogido pode ser definido como um

corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si,

mesmo sob aplicação de um esforço externo.

Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento:

movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias

paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos

percorrem trajetórias circulares, como em (B).


Corpos Rígidos

8

Destaca-se, porém, que o caso mais genérico do movimento de um corpo

rígido é dado no exemplo (C); ou seja, uma combinação de translação e

rotação.

Corpos Rígidos

A figura abaixo mostra o movimento parabólico do centro de massa de

um objeto lançado ao ar, enquanto o objeto gira em torno do seu centro

de massa.


9

O movimento de translação pode ser analisado observando-se

exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento

de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo

passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado

ao movimento do centro de massa.

O que provoca o movimento de translação são as forças externas

agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que

tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro

de massa.

“Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a

conservação da quantidade de movimento”.

2.1 - Movimento de translação


10

Movimento de translação

Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer

no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se:

Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se:

Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os

pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a

mesma aceleração.


11

Movimento de translação

Para um corpo que se move uma distância Δs durante um intervalo de tempo Δt sua velocidade média é definida como:

A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta razão quando Δt se aproxima de zero:

Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt, ele tem uma aceleração média definida como:

e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δttende a zero:

t

svm Δ

Δ=

dt

ds

t

sv

t=

ΔΔ

=→Δ 0

lim

t

v

tt

vvam Δ

Δ=

−−

=12

12

dt

dv

t

va

t=

ΔΔ

=→Δ 0

lim


12

O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se

observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por

exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente

se vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos

na horizontal.

2.2 - Movimento de rotação

Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular

aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço

afeta a rotação.


13

No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos

de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no

movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos

idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se

acelerações angulares diferentes.

Então, não é a massamassa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a

distribuidistribuiçção da massaão da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa

através de uma quantidade denominada momento de inércia.

Movimento de rotação


14

Vamos relembrar o movimento dos corpos extensos (corpos sólidos),

aqueles corpos que não podem ser tratados como tendo toda a massa

concentrada em ponto. Que pode mudar tanto a sua posição quanto a sua

direção. Objetos que apresentem movimento de rotação em torno de um

eixo próprio.

A descrição do movimento de um corpo extenso requer, em geral, três

ângulos de orientação assim como as três coordenadas do seu centro de

massa.


φx

y

z


15

Quando um corpo sólido gira em torno de um eixo próprio, as

coordenadas x, y e z de cada ponto no corpo aumentam e diminuem

continuamente à medida que o objeto percorre uma trajetória circular.


z

x 2ϕ ϕΔ

y1ϕ

r

r


16

Como o uso de coordenadas x, y e z é, em geral, uma forma sofisticada

de descrever as rotações,

e sendo elas confinadas em um único

plano facilmente descritas por um

ângulo, isto será considerado nesta

revisão.

Lembrando que nos é familiar a utilização de medidas envolvendo

ângulos (graus e radianos).


x

y

ˆˆ ≡z n

)(tϕ

r

ρ

)( tt Δ+ϕ )(tϕΔ

ω r


17

Considere o comprimento S do segmento de um círculo contido em um

ângulo θ, como indicado na figura (a). Se o círculo tem um raio r, o

comprimento de sua circunferência é dado por rC π2=

Então, , com θ em graus.Vemos que, para um dado ângulo θ, s e r são proporcionais. Devido ao frequente uso da relação de proporcionalidade entre r e s na dinâmica das rotações, é bastante conveniente definir: , com θ em radianos.

rs πθ2

360°=

θrS =



18

Na figura (b), a linha de referência OP de um corpo em rotação faz um

ângulo θ1 com a linha de referência fixa OX, em um instante t1. Num

instante posterior t2 o ângulo cresceu para θ2. A velocidade angular média

( ) do corpo, no intervalo entre t1 e t2, é definida como a razão entre o

deslocamento angular Δθ = θ2-θ1 e o intervalo de tempo Δt = t2 - t1:

ϖ

tΔΔ

=θϖ



19

A velocidade angular instantânea é definida como o limite para o qual

tende esta razão quando Δt aproxima de zero:

Como o corpo rígido, a velocidade angular é uma característica do corpo

como um todo e não somente de uma linha nele situada. Se o ângulo for

medido em radianos, a unidade de velocidade angular é o radiano por

segundo (rad/s). Outras unidades como, por exemplo, rotações por

minuto (r.p.m.), são de uso comum.



20

Se a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma

aceleração. Se ω1 e ω2 forem as velocidades angulares instantâneas, no

tempo t1 e t2 a aceleração angular média é definida como:

e a aceleração angular instantânea α é definida como limite desta razão

quando Δt tende a zero:

A unidade de aceleração angular é o rad/s2 = 1/s2.

A velocidade angular e a aceleração angular são exatamente análogas à

velocidade e à aceleração lineares. Sendo ω = dθ/dt, a aceleração pode

ser escrita como:

i i - Aceleração Angular


21

O caso mais simples de movimento de rotação acelerado é aquele no

qual a aceleração é constante. Neste caso, as expressões da velocidade e

do deslocamento angulares são facilmente encontradas por integração.

Tem-se:

Se ωo é a velocidade angular quando t = 0, segue-se que C1 = ωo e pode-

se escrever:

Como ω = dθ/dt, temos:

cuja solução é

Ou, de outra forma:


→ →


22

A Tabela mostra a analogia entre as equações do movimento com

aceleraaceleraçção angular constanteão angular constante e as do movimento com aceleraaceleraçção linear ão linear

constanteconstante.


Movimento com aceleração linear constante

Movimento com aceleração angular constante

a = constante α = constante


23

Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo

fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o

eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas

relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do

corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos.



24

Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre

uma circunferência de raio “r”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o

eixo de referência, a distância “s” percorrida pelo ponto P é

Derivando ambos os membros desta equação em relação a t e tendo em

vista que r é constante, vem:

Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo

temos: , onde r é constante.

A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser

expressa em termos da velocidade angular:


θrs =

θrdds =dt

dr

dt

ds θ= ωrv =

αωr

dt

dr

dt

dva ===


25

Isto é verdade mesmo quando ω e v não são constantes. As equações

radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de um corpo em

movimento de rotação são representadas na figura a seguir.


x

y

z

θ

ϕ

r

ρ

s

ω

v

taNa

α


26

o Rotação

1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É possível

que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua

velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente

linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos.

2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua

borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com velocidade

angular constante? Tem aceleração tangencial?

3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens

acopladas, de raios diferentes?

3. Atividades Introdut3. Atividades Introdutóóriasrias


27

4. Uma roda gira com uma aceleração angular α dada por:

α = 4at3 – 3bt2, onde t é o tempo, e a e b são constantes. Se ω0 é a

velocidade angular inicial e θ0 a posição angular inicial da roda, deduza

as equações para:

(a) a velocidade angular, e

(b) o deslocamento angular em função do tempo.

oo As variAs variááveis de Rotaveis de Rotaççãoão


28

5. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e

gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de

comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a

flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os

raios sejam muito finos; veja a figura.

(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter?

(b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda,

tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?


29

6. Um pino rosqueado com 12 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado

horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se

ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a figura. A barra gira a

237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao

longo do pino?


30

7. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com

aceleração angular constante até alcançar a rotação de 10 rev/s. Depois

de completar 60 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule:

(a) a aceleração angular,

(b) o tempo necessário para completar as 60 revoluções;

(c) o tempo necessário para alcançar a velocidade angular de 10 rev/s;

(d) o número de revoluções desde o repouso ate a velocidade de10 rev/s.


31

8. Uma turbina com 1,20 m de diâmetro está girando a 200 rev/min.

(a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s?

(b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda?

(c) Que aceleração angular constante (rev/min2) aumentará a sua

velocidade para 1000 rev/min em 60 s?

(d) Quantas revoluções completará durante esse intervalo de 60 s?


oo As variAs variááveis Lineares e Angularesveis Lineares e Angulares

32

9. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda

dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda,

como na figura, propaga-se até um espelho distante e retorna à roda no

tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma destas

rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas

tomadas quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda

indicaram uma velocidade de 3,0.105 Km/s.

(a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda?

(b) Qual era o módulo da velocidade linear em um ponto em sua borda?


33

10. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com

aceleração angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa até que um ponto

da lâmina assuma os mesmo valores para os módulos da aceleração

centrípeta e da aceleração tangencial?


34

11. Um corpo rígido se move no plano de xy de forma que x = R.cosωt e

y = R.senωt, sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω

constantes.

(a) Elimine t entre estas equações para encontre a equação da curva na

qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante

ω?

(b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as

componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para

encontrar o módulo, a direção e o sentido de v.Descreva o movimento do

objeto.

(c) Derive vx e vy com relação ao tempo para obter o módulo, a direção e o

sentido da aceleração resultante.


35

Cinemática plana de corpos rígidos

Movimento de Corpos Rígidos

1 - Movimento Absoluto

2 - Movimento Relativo: Velocidade

2.1 - Posição

2.2 – Deslocamento

2.3 – Velocidade

3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula

3.1 – Definição

3.2 - Localização

4 - Movimento Relativo: Aceleração

Dinâmica

Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica

36

Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. Como veremos, os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser relacionados:

1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante o movimento. Pode-se observar também que na translação todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se segundo trajetórias paralelas. Se estas trajetórias são retas, diz-se que o movimento é uma translação retilínea; se as trajetórias são curvas, o movimento uma translação curvilínea.

Movimento de Corpos Rígidos


37

2. Rotação em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos

materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao

longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa,

como mostrado na figura abaixo.

Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os

pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas.


38

Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de

translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na Figura (a) está

em translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais

deslocando-se segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa

ilustrada na Figura (b) está em rotação, já que todos os pontos materiais

descrevem circunferências concêntricas.

No primeiro caso, qualquer reta da placa conserva a mesma

orientação, enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo.


39

3. Movimento Plano Geral. Há outros tipos de movimento plano, isto é,

movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em

planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao

redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento

plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na

Figura abaixo.


40

4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento

tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo

típico é o movimento de um pião sobre o solo.

5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rígido que não

esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado

movimento geral.


41

Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo

rígido em torno de um eixo fixo.

Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e

relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do

corpo com seu vetor de posição e as quantidades angulares

mencionadas.

Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e

articulações; bem como o método de análise das velocidades no

movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de

rotação.


42

“O movimento absoluto O movimento absoluto éé completamente definido pelo conhecimento completamente definido pelo conhecimento da rotada rotaçção de uma linha fixa do corpo e do movimento ão de uma linha fixa do corpo e do movimento

de um ponto desse corpode um ponto desse corpo””..Uma maneira de definir esses movimentos é utilizar uma coordenada de posição retilínea s para situar o ponto em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θ para especificar a rotação da linha. A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de uma linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações diferenciais:

“relacionar o movimento de um corpo com o de outro a ele conectado; e estudar o movimento de um corpo sujeito a uma rotação em torno de um eixo fixo.”

MOVIMENTO ABSOLUTO

dt

dsv =

dt

dva =

dt

dθω =dt

dωα =


43

Exemplo 1:

A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a aceleração da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente.

MOVIMENTO ABSOLUTO

B


44

MOVIMENTO ABSOLUTO

B

)..(cos.cos 2θθθθθθθ &&&&&&& senlaylvylseny yy −==⇒==⇒=

Solução:Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y

podemos escrever:

Como vAB = vy , aAB = ay , = ω e = α = 0;Temos:

θ& θ&&

θωωθ cos...cos llvy == θω senlay ..2−=


45

Exemplo 2:

O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos.

MOVIMENTO ABSOLUTO


46

MOVIMENTO ABSOLUTO

Solução:Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever:

Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/sPara encontrar a velocidade do ponto C:

Como vA = 200 mm/s → vC = 600 mm/s

Para o ponto D:

Então → vD = - 200 mm/s

3

22323 B

ABA

BA

vv

dt

dx

dt

dxctexx =⇒=⇒=−

ACCA

CA vvdt

dx

dt

dxctexx 333 =⇒=⇒=−

ADDA

DA vvdt

dx

dt

dxctexx −=⇒−=⇒=+


47

Atividades

1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar.

Determinar (a) o movimento angular da roda, em função do movimento

linear do seu centro O e (b) a aceleração de um ponto na extremidade da

roda, quando o ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda

rola. R: (a) s = r.θ; v0 = r.ω ; a0 = r.α; (b) ay = r.ω2


MOVIMENTO ABSOLUTO

48

2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a superfície

de acionamento da haste mostrada na figura, determine a aceleração da

haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma velocidade angular de

2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa posição.

R: -37,1 mm/s2


49

3. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a direita,

partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade

angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a.

R:


224

2

xb

ax

−=ω

50

4. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade

angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e

move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva

as expressões para a velocidade vB e para a aceleração aB do bloco

deslizante em função de θ.

R: vB = bω sec2 θ, aB = 2bω2 sec2 θ tg θ


51

5. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em contato

com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo

pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular ω,

determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma

posição arbitrária θ. R: vR = -2rωsen θ; aR = -2r(αsen θ + ω2cos2 θ)


52

6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com

velocidade angular constante ω = 4 rad/s da barra AB, de comprimento

l = 50 cm, em movimento de translação da barra CD. Determine a

velocidade e a aceleração de CD para um ângulo θ = 45º.

R: vx = - 4,41 m/s; ax = - 5,66 m/s2


53

7. A carga L é içada pela combinação polia-cabo. Se o sistema parte do

repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com

aceleração constante quando a carga está a 6 m acima da sua posição de

partida, calcular a aceleração da carga e determinar a sua velocidade neste

instante.

R: a = 0,0208 m/s2


54

Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente

utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos

de eixos coordenados:

. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B

por exemplo.

. outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referência A (que

tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, eles

poderão apenas transladar em relação ao sistema fixo.

MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade


55

- Posição

rA: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A.

rB/A: posição relativa que localiza B em relação à A.

A posição de B é escrita:



56

- DeslocamentoNum pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de modo que o ponto da base se move para posição final, e B se move para

B'. O corpo então gira de um ângulo dθ em torno de A, de modo que B'sofre um deslocamento relativo drB/A, movendo para sua posição final B.


O deslocamento se escreve:


57

- Velocidade

Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se:

vB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos

fixos x, y, z).

vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos

fixos x, y, z).

vB/A: Velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A.

Devido a rotação em torno de A, escreve-se:



58

A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o

módulo da velocidade é v = ωrB/A e sua direção é perpendicular a rB/A.

Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um

movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo

produto vetorial:

Então:



59

Exemplo 1

Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante

considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda.

Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante

mostrado.



60

Resolução:

A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de

referência da equação:

onde

Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade nula no instante

do contato com o solo e é, consequentemente, o centro instantâneo de

velocidade nula.

00

0/0

0/0

.rvv

rvv

vvv

A

AA

AA

ωω

+=×+=

+=rrrr

rrr ω00/ rv A =


61

Exemplo 2

A conectora OB do mecanismo oscila em torno de O formando um

arco limitado, o que faz com que a conectora AC passe a oscilar em

torno de C. Quando o mecanismo passa pela posição mostrada com OB

normal ao eixo x e CA normal ao eixo y, a velocidade angular de OB é

2 rad/s no sentido horário e constante. Para este instante, calcular as

velocidades angulares de CA e AB.



62

Resolução:

Os movimentos das três barras podem ser descritos, igualando-se o movimento de A, em sua trajetória circular absoluta em torno de C, ao movimento de A determinado a partir do seu movimento relativo a B. A equação correspondente é:

Que pode ser escrita como:

onde

BABA vvv /

rrr+=

BAABBOBACA rrr /

rrrrrr×+×=× ωωω

mmjirmmjrmmirksradkk BABAABABOBCACAˆ100ˆ175;ˆ100;ˆ75;ˆ;/ˆ2;ˆ / +−======

rrrrrrωωωωω


63

A substituição fornece:

Igualando-se os respectivos coeficientes dos termos i e j e temos:0 = – 200 – 100 ωAB e 75 ωCA = – 175 ωAB

Cujas soluções:ωAB = – 2 rad/s e ωCA = 4,67 rad/s

Como o vetor unitComo o vetor unitáário aponta para dentro do papel na direrio aponta para dentro do papel na direçção de z positivo, ão de z positivo, vêvê--se que a velocidade angular de AB se que a velocidade angular de AB éé no sentido antino sentido anti--horhoráário e que a de CA rio e que a de CA éé no sentido horno sentido horááriorio.

ijij

jikjkik

ABABCA

ABCA

ˆ100ˆ175ˆ200ˆ75

)ˆ100ˆ175(ˆ)ˆ100ˆ2()ˆ75(

ωωω

ωω

−−−=

+−×+×=×


64

Atividades

1. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma correia

transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A.

O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário ω = 15 rad/s

no instante mostrado.

R: v = 12,5 m/s



65

2. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira

inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita

e sua velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido horário. Determine

os módulos das velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da

engrenagem.

R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s


66

3. O carrinho mostrado na figura tem uma velocidade de 1,2 m/s para a

direita. Determine a velocidade angular ω da roda de modo que o ponto A

no topo de sua borda tenha uma velocidade (a) igual a 1,2 m/s para a

esquerda, (b) igual a zero e (c) igual a 2,4 m/s para a direita.

R: (a) 91,7 rpm, (b) 45,8 rpm, (c) 45,8 rpm


67

4. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a

velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o módulos

das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura.

R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s


68

5. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação específica é

submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado

instante, a velocidade do pino B em relação ao pino A tem um módulo de

0,926 m/s, qual é o módulo correspondente da velocidade do pino C

relativamente ao pino D?

R: vC/D = 0,579 m/s


69

- Definição

A expressão da velocidade relativa permite calcular a

velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto

base. Esta determinação se simplifica quando a velocidade do ponto base

é nula. O ponto base se torna o Centro Instantâneo de velocidade nula

(CI) – Centro Instantâneo de Rotação (C.I.R.).

Então:

O eixo de velocidade nula é perpendicular ao plano do movimento.

Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI.

CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA


70

A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os

pontos em contato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0,

este ponto é o CI e todos os outros pontos têm naquele instante uma

trajetória circular em relação ao CI.


Em geral, um novo centro instantâneo CI existirá para cada nova posição

do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no

espaço é conhecido como centrodo espacial, e o lugar geométrico sobre o

corpo (ou prolongamento do corpo) é conhecido como centrodo de corpo.


71

- Localização

Em função das grandezas conhecidas, podemos distinguir três casos:

1. A velocidade instantânea vA e a velocidade angular ω são

conhecidas.

Então rA/CI = vA / ω.



72

- Localização

2. As direções das velocidades de dois pontos A e B são conhecidas.

Neste caso o CI localiza-se no ponto de encontro das perpendiculares

às direções das velocidades nos pontos A e B.



73

- Localização

3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas.


Tem-se: rA/CI + rB/CI = d ou rB/CI – rA/CI = d

Obs.: O CI só vale para um determinado instante. Não significa que a

aceleração é nula.


74

Exemplo

Para o mecanismo da conectora-manivela, a manivela OB tem uma

velocidade angular constante, no sentido horário, de 1200 rpm. Para

o instante no qual o ângulo da manivela é θ = 30º, determinar as

velocidades do pistão A e do centro de massa G da barra conectora.



75

Resolução:

O centro instantâneo de velocidade nula C de AB está localizado na

interseção das normais às direções conhecidas das velocidades de dois

pontos A e B sobre a barra. As distâncias radiais A, G e B estão em escala.

A velocidade de B em seu movimento circular em torno de O pode ser

calculado:smvrv BOBOBB /1,25

60

2)1200(2,0 ==⇒×=

πωrrr


76

A velocidade angular de AB é a mesma que a velocidade angular do

triângulo CBA considerado como prolongamento do corpo rígido AB e

pode ser determinada:

no sentido anti-horário.

As velocidades lineares de A e G são, então:

sradr

vCB

CB

BCBCBAB /4,44

566,0

1,25==⇒=⇒= ωωωω

smvrv AABACA /0,17)4,44).(383,0( ==⇒×= ωrrr

smvrv GABGCG /5,17)4,44).(395,0( ==⇒×= ωrrr


77

Atividades

1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais

movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se

vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula

para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante

representado.

R: vD = 3,16 m/s



78

2. O módulo da velocidade absoluta do ponto A sobre o pneu de um

automóvel é de 12 m/s quando ocupa a posição mostrada. Quais são as

correspondentes velocidades v0 do veículo e a velocidade angular ω da

roda? (A roda rola sem deslizar)

R: 8,49 m/s, 28,3 rad/s


79

3. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira

inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita.

Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da

engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação.

R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s


80

4. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s para baixo

durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição em que

θ = 30º, determine, pelo método do centro instantâneo de rotação, a

velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do centróide G da

barra.

R: ω = 11,55 rad/s vG = 1,155 m/s,


81

5. O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a

superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s

para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades

dos pontos A, B, C e D.

R: vA = 4,8 m/s, vB = 3,2 m/s, vC = 4,08 m/s, vD = 3,92 m/s


82

6. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-horário a uma

velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é um círculo com

0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira.

R: 0,1414 m/s


83

Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo

rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela

derivação da equação de velocidade em relação ao tempo:

MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração

e são acelerações absolutas medidas no sistema de coordenadas fixo.

é medido por um observador fixo ao sistema móvel em translação. O movimento relativo tem uma trajetória circular com raio rB/A.

Então:


84

Voltando à expressão da aceleração relativa:


Pode-se escrever:

Em que os módulos são:: com direção perpendicular a rB/A

: com direção igual a BA e o sentido de B para A.

Estas componentes representam um movimento circular observado num referencial em translação.Podemos escrever, utilizando a noção de produto vetorial:

Resultando:


85

Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados:

- pontos coincidentes na rpontos coincidentes na róótula têm a mesma aceleratula têm a mesma aceleraççãoão. Descrevem

a mesma trajetória;

- se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a

mesma aceleração tangencial (at); porém as acelerações totais não

serão iguais pois an é diferente para cada trajetória.



86

Exemplo

No exemplo do cálculo da velocidade relativa, vimos a determinação

das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que rola

para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora

determinar as acelerações destes mesmos pontos da roda no instante

considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para

a esquerda.



87

Resolução:

A aceleração de A é dada por: aA = aO + aA/O,

onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(aA/O)n = r0ω2,

dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0α dirigida ao longo de t.

A adição dos vetores dá aA.

A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C, considerado

um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O,

em que as componentes da aceleração relativa são:

(aC/O)n = rω2, dirigida de C para O, e

(aC/O)t = rα, dirigida para a direita,

para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de

linha CO em torno de O.

Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = rω2.


88

Então:aA = aO + aA/O

aA = aO + (aA/O)t + (aA/O)naA = aO + r0α + r0ω

2

aC = aO + aC/O

aC = rω2



Assim sendo, a aceleração de C é independente de α e é dirigida para o centro

do círculo. Essa conclusão é um resultado útil para se guardar.

89

Atividades

1. O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem

uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na

mesma direção e sentido. Determine: (a) a aceleração angular da

engrenagem; (b) as acelerações dos pontos B, C e D da engrenagem.

R: (a) α = -20 rad/s2; (b) aB = 8,1 m/s2

ac = 9,6 m/s2

aD = 13 m/s2



90

2. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm e gira

aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que coincide

com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com

θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por . Para esse instante, determine

a velocidade angular ω e a aceleração angular α do volante.

R: 6 rad/s2; 4 rad/s2


91

3. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horário

com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O

montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é aO = 3 m/s2.

Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando (a) θ = 0º, (b)

θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω influenciam o

cálculo?

R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2


92

4. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que possui uma

aceleração aO = 8 m/s2 para a direita. Determine os módulos das

acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, ω = 3 rad/s,

α = - 8 rad/s2.

R: aA = 12,8 m/s2, aB = 3,21 m/s2


93

5. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa retangular

possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa

possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que diminui

de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A nesse

instante.

R: aA = 11,18 m/s2


94

6. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e

aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola

sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da

aceleração de B para esse instante.

R: aB = 16,44 m/s2


95

7. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar.

Determine as acelerações vetoriais dos pontos B e A.

R: aA = (–20 i + 2 j) m/s2; aB = (–4 i – 18 j) m/s2


96

Cinética Planar de Corpos Rígidos: Força e Aceleração

1. Introdução

2. Momento de inércia de uma massa

3. Equações Cinéticas Planares do Movimento

4. Equação do movimento de translação

5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo

6. Equações do movimento: movimento plano geral

CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS

Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica

97

A cinética de corpos rígidos trata das relações entre as solicitações (forças

e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento

(translação e rotação) desse corpo. As relações cinemáticas para o

movimento plano de corpos rígidos foram anteriormente desenvolvidas,

sendo agora necessárias neste estudo do movimento planar de corpos

rígidos.

Este estudo é aplicado a movimentos planares de corpos rígidos que, tal

como as solicitações aplicadas, são considerados simétricos relativamente

a um plano de referência fixo. Este plano de referência contém o centro de

massa e todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser

projetados para esse plano de referência.

1. Introdução


98

Um corpo que tenha dimensões apreciáveis na direção normal ao plano de

referência pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas

idealizações incluem claramente um vasto número de movimentos de

corpo rígido.

Uma forma básica de abordar a Cinética é pelo isolamento do corpo ou

sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relações

instantâneas entre força, massa e aceleração ou quantidade de movimento,

o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo

com o seu diagrama de corpo livre.


Introdução

99

Quando forem empregados os princípios do trabalho e energia, um

diagrama de forças que mostra somente aquelas forças externas que

realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de

corpo livre. Nenhuma solução de um problema deve ser tentada sem

primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e

identificar todas as forças externas que atuam sobre ele.


Introdução

100

Uma vez que um corpo rígido tem uma forma e tamanho definidos, um

sistema de forças aplicadas ao corpo poderá não ser concorrente,

provocando momentos que irão resultar numa aceleração angular do

corpo. O movimento de rotação é descrito por uma equação do tipo

onde o termo IG é a quantidade designada por momento de inércia.

2. Momento de Inércia

∑ = αrr

.GG IM


101

Por comparaPor comparaçção, podeão, pode--se afirmar que o momento de inse afirmar que o momento de inéércia rcia éé uma medida uma medida

da resistência do corpo da resistência do corpo àà aceleraaceleraçção angular, da mesma forma que a ão angular, da mesma forma que a

massa massa éé uma medida da resistência do corpo uma medida da resistência do corpo àà aceleraaceleraçção, ão,

“Propriedade de um objeto em resistir às mudanças no seu movimento

angular”.

É afetado pela massa do objeto e como esta está distribuída em relação ao

eixo de rotação.

Cada partícula fornece alguma resistência à mudança no movimento

angular. Essa resistência é igual á massa da partícula vezes o quadrado da

distância da partícula ao eixo de rotação:

I = m.r2


Momento de Inércia

102

Como calcular o momento de inComo calcular o momento de inéércia? rcia?

Para o corpo representado na Figura 1 abaixo, o momento de inércia

relativamente ao eixo z é definido como

A distância r é medida na perpendicular a partir do eixo z até ao elemento

de massa dm.


∫=m

dmrI .2

Momento de Inércia

103

No estudo da cinética planar, o eixo em torno do qual normalmente se calcula o momento de inércia passa no centro de massa G do corpo, sendo designado por IG . A unidade mais comum desta grandeza é kg.m2.

Se o corpo for constituído por um material de massa volúmica variável, ρ=ρ(x,y,z), o elemento de massa elementar dm do corpo pode ser expresso em termos do seu volume e massa volúmica

dm = ρ dV

Substituindo dm, o momento de inércia do corpo pode ser calculado por integração usando elementos de volume,

No caso de ρ = Cte , este termo pode ser colocado fora do integral, sendo a integração função apenas da geometria do corpo,


∫=V

dVrI ..2 ρ

∫=V

dVrI .2ρ

Momento de Inércia

104

Quando o elemento de volume escolhido para integração tem dimensões

infinitesimais nas três direções, dV = dx.dy.dz, o momento de inércia tem

de ser determinado por integração tripla (Figura A).

Este processo de integração pode ser simplificado se o elemento de

volume utilizado tiver dimensão ou espessura diferencial apenas numa

direção. Elementos de volume do tipo casca (Figura B), ou do tipo disco

(Figura C) são usados com frequência para este fim.


A B C

Momento de Inércia

105

- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia


106

- Exemplo do cálculo do Momento de Inércia


107

Desde que o momento de inércia do corpo calculado relativamente a um

eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, então o momento

de inércia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser

determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este

teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura:

- Teorema dos eixos paralelos


108

O eixo z’ passa através do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se

encontra afastado a uma distância d. Escolhendo o elemento de massa dm,

localizado no ponto (x’, y’), e usando o teorema de Pitágoras,

r2 = (d + x’)2 + y’2

Podemos expressar o momento de inércia do corpo relativamente ao eixo

z como



( )[ ] ( )∫ ∫ ∫∫∫ +++=++==m m mmm

dmddmxddmyxdmyxddmrI 222222 '2''''

109



Sendo:

IG - momento de inércia relativamente ao eixo z´ que passa no centro de

gravidade G. m - massa do corpo d - distância medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos.

( )[ ] ( )∫ ∫ ∫∫∫ +++=++==m m mmm

dmddmxddmyxdmyxddmrI 222222 '2''''

Como r’2 = x’2 + y’2, o primeiro integral representa IG . O segundo integral é nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, isto é, , uma vez que x' = 0.

Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. Assim, o momento de inércia relativamente ao eixo z pode ser escrito como:

∫ ∫ ==m m

dmxdmx 0''

2mdII G +=

110

O momento de inércia relativamente a um determinado eixo é

frequentemente referido em termos do raio de giração, k. Esta grandeza

tem unidades de comprimento, e quando é conhecida juntamente com a

massa, o momento de inércia do corpo é determinado a partir da equação

ou

Assim, k é uma medida da distribuição da massa de um corpo em torno do

eixo em questão e a sua definição é análoga à definição de raio de giração

para o momento de inércia de área. Se toda a massa m pudesse ser

concentrada a uma distância k do eixo, o momento de inércia

permaneceria inalterado.

- Raio de giração


2mdI =m

Ik =

111

É a distância teórica do eixo de rotação onde toda a massa do objeto deveria estar concentrada para criar a mesma resistência à mudança no movimento angular que o objeto oferece no seu formato original.

- Definições Raio de giração

“A distribuição da massa de um objeto é mais significativa para o

momento de inércia do que a própria massa”.

Para uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotaPara uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotaçção ela ão ela

estiver distribuestiver distribuíída (ou concentrada), maior o momento de inda (ou concentrada), maior o momento de inéércia.rcia.

Dependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de

inércia varia, apesar da massa ser a mesma.

O momento de inércia sempre é relativo a um eixo de rotação.

I = mh2


112

O momento de inércia de massa de um corpo composto é a soma dos

momentos de inércia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar

o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inércia de

cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de

inércia no centro de massa do corpo.

É muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo

definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de

inércia de um elemento negativo, como o material que é removido para

formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa.

- Corpos Compostos


113

A tabela apresenta algumas das fórmulas mais úteis para os momentos de inércia de corpos com as formas mais comuns.

- Corpos Compostos


114

- Corpos Compostos


115

- Corpos Compostos


116

“Princípio da conservação do momento angular”

O momento angular de um objeto permanece constante

a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele.

A 1ª lei de Newton não requer que a velocidade angular seja constante,

mas sim que o produto do momento de inércia pela velocidade angular

seja constante, se não houver torques externos atuando.

- INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 11ªª LEI DE NEWTONLEI DE NEWTON


↑ momento de inércia

↓ velocidade angularmomento angular

constante

117

“Mudança no momento angular”

Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este irá sofrer uma

aceleração angular no sentido deste torque e essa aceleração angular será

diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao

momento de inércia do objeto.


α = T / I ou T = Iα

- aumento ou diminuição da velocidade angular

- mudança na direção do eixo de rotação

- mudança no momento e inércia

Obs.: A aceleração angular do objeto ou uma mudança no seu momento

de inércia não necessariamente indica a presença de um torque externo

resultante.


118

Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce

sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto.

Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inércia dos objetos.



119

Devemos ter sempre em mente que este estudo é limitado a movimentos

planares de corpos rígidos que são considerados simétricos relativamente

a um plano de referência fixo.

Neste caso a trajetória de cada partícula é uma curva plana paralela ao

plano de referência.

Uma vez que o movimento do corpo pode ser visto sob o plano de

referência, todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser

projetados para o plano de referência.

3. Equações Cinéticas Planares do Movimento


120

Um exemplo do movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em

que o sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente

com o ponto arbitrário P do corpo. Por definição de sistema inercial, estes

eixos não rodam e, ou estão fixos, ou transladam com velocidade

constante.


Equações Cinéticas Planares do Movimento

121

As forças representadas na figura anterior são forças externas, que

representam o efeito de forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de

contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de forças foi já

estudado na análise de um sistema de partículas, a equação que daí

resultou pode ser aqui usada:

4. Equação do movimento de translatranslaççãoão

Soma de todas as forças externas que atuam no corpo

aceleração do seu centro de massa

= massa do corpo x

GamF∑ =rr

.


122


Para o movimento do corpo no plano x-y, a equação do movimento

pode ser escrita sob a forma de duas equações escalares independentes,

uma vez que não existe nenhum movimento angular de translação do

corpo; e assim, a aceleração angular é igual a zero.

Então as equações do movimento que se aplicam neste caso são:

( )∑ = xGx amF

( )∑ = yGy amF

0∑ =GM

GamF∑ =rr

.

0. ==∑ αrr

GG IM

Equação do movimento de translatranslaççãoão

123

- Observação


Para a translação retilínea, se a direção de x é escolhida como sendo a da

aceleração, então as duas equações escalares para as forças são:

Para a translação curvilínea, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t, as

duas equações escalares para as forças ficam:

Em ambos os casos: 0∑ =GM

( )∑ = nGn amF

( )∑ = tGt amF

( )∑ = xGx amF ( )∑ == 0yGy amF

124

Pode-se empregar uma equação alternativa de momentos com o auxílio

do diagrama cinético.

Então, para a translação retilínea tem-se

e para translação curvilínea o diagrama cinético permite escrever

no sentido horário

e

no sentido anti-horário.

“Assim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relação ao qual

os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que

for mais adequado”.

madM P∑ = 0∑ =AM

AnA dmaM∑ =

BtB dmaM∑ =


125

Exemplo 1

Uma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir do

repouso, em uma distância de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de

inclinação, com aceleração constante. Calcule a força normal exercida pela

pista sobre cada par de rodas e a força de atrito atuante nas rodas motoras na

traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista é

de no mínimo 0,8, e que a aceleração gravitacional é 9,81 m/s2.

- Movimento de translação


126

Resolução:Admite-se que as massas das rodas sejam desprezíveis se comparadas com a massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um único corpo rígido em translação retilínea com uma aceleração de

O diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as forças normais N1 e N2, a força de atrito F no sentido contrário ao deslizamento das rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes.

Com θ = tg-1 1/10 = 5,71º, essas componentes são:W.cos θ = 1500.9,81.cos 5,71º = 14,64.103 N W.sen θ = 1500.9,81.sen 5,71º = 1464 N

( ) 22

20

2 /608,160.2

6,3/502 smaSavv ==→Δ+=


127

O diagrama cinético mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e possui a orientação da aceleração do veículo. Seu módulo é:

FR = m.a = 1500.1,608 = 2410 NAplicando as três equações de movimento para as três incógnitas, tem-se

→ F – 1464 = 2410 → F = 3880 N

→ N1 + N2 – 14,64.103 = 0

→ 1,5N1 + 3880.0,6 – 1,5N2 = 0

Resolvendo as duas últimas equações simultaneamente, obtém-seN1 = 6550 N N2 = 8100 N

Comentário: Para suportar uma força de atrito de 3880 N é necessário um coeficiente de atrito de no mínimo F/N2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o coeficiente de atrito é de pelo menos 0,8, as superfícies são suficientemente rugosas para suportar o valor calculado de F.

∑ = xx maF

∑ == 0yy maF

0. ==∑ αIM G


128

Exemplo 2

Para que aceleração a da estrutura a barra delgada uniforme mantém a

orientação mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos

roletes em A e B.

- Movimento de translação


129

Resolução:

Considerando as forças que agem na barra AB representadas na figura abaixo, pode-se escrever para as equações de movimento:

→ NA = ma

→ NB = mg

→ NA(lsen 30º) - mg(l/2cos 30º) = ma(l/2sen 30º)

Resolvendo a última expressão com as devidas substituições e simplificações, temos: a = g√3

∑ = xx maF

∑ == 0yy maF

madM B∑ =


130

Atividades

1. Observa-se que, quando engrenadas ainda em repouso, as rodas

traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o

cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado

são μe = 0,70 e μd = 0,50, determinar a aceleração a do cortador para a

frente. A massa do cortador com o saco preso a ele é de 50 Kg com o

centro de massa em G. Admita que o operador não empurre a

empunhadeira, de modo que P = 0.

R: a = 4,14 m/s2


131

2. Um caixote homogêneo de massa m é montado sobre pequenas rodas,

conforme mostrado na figura. Determinar a força máxima P que pode ser

aplicada sem tombar o caixote em relação (a) a seu bordo frontal mais

baixo com h = b e (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0.

R: (a) P = mg(c/b); (b) P = mg(c/b)


132

3. O carro mostrado na figura tem 2 t e centro de massa G. Determine a

aceleração do carro se as rodas traseiras, de “tração”, estão deslizando, e

as dianteiras estão livres. Despreze as massas das rodas. O coeficiente de

atrito cinético entre as rodas e o pavimento é μc = 0,25.

R: aG = 1,59 m/s2


133

4. A barra uniforme OB, de 30 Kg, é fixada a uma estrutura acelerada na

posição de 30º com a horizontal, através da rótula O e do rolete A. Se a

aceleração horizontal da estrutura é a = 20 m/s2, calcule a força FA sobre o

rolete e as componentes x e y da força suportada pelo pino em O.

R: FA = 1,11 kN; OX = 45 N; OY = 667 N


134

5. Um carro esporte tem massa de 1,5 t e centro de massa em G.

Determine o tempo mínimo que ele leva para atingir uma velocidade de

80 Km/h, partindo do repouso, se a tração é traseira e as rodas dianteiras

rolam livremente. O coeficiente de atrito estático entre as rodas e o

pavimento é µe = 0,2. Despreze a massa das rodas.

R: 17,5 s


135

6. O veículo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de

massa é posicionado no ponto G. As massas das rodas são pequenas, se

comparadas com a massa total do veículo. Considere o coeficiente de

atrito estático entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. Calcule

as forças normais NA e NB entre a pista e os pares de rodas dianteiras e

traseiras na condição de aceleração máxima.

R: NA = 6,85 kN; NB = 9,34 kN


136

7. Quando a velocidade do veículo de massa m = 1500 Kg mostrado na

figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com

que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo

derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o módulo da força de atrito em

cada roda enquanto o veículo derrapava.

R: FA = 3,58 kN; FB = 6,54 kN


137

Considere um corpo rígido que se desloca no plano vertical, em torno de

um eixo fixo que passa no ponto O, sujeito à ação de forças e momentos.

Para esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem

trajetórias circulares em torno do eixo de rotação, e todas as linhas

traçadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, têm a mesma

velocidade angular ω e a mesma aceleração angular α.

5. Equações do movimento de rotarotaçção ão em torno de um eixo fixo


138

As componentes da aceleração do centro de massa para o caso do

movimento circular são mais facilmente expressas em termos das

coordenadas n-t, e assim tem-se an = rω2 e at = rα, para a rotação do corpo

rígido em relação ao eixo fixo que passa por O.

Equações do movimento de rotarotaççãoão em torno de um eixo fixo


139

Os diagramas de corpo livre e o correspondente diagrama cinético deste

corpo estão representados na figura abaixo, e mostram a forforçça resultantea resultante

ΣF em função de suas componentes n e t, e também o momento resultante momento resultante

ΣMG.

As equações do movimento que se aplicam neste caso são: ( )∑ == GnGn rmamF 2ω ( ) GtGt rmamF .α==∑ αGG IM∑ =



140

Ao se aplicar a equação de momentos em relação a G deve-se considerar

o momento da força aplicada ao corpo em O, logo essa força não deve ser

omitida do diagrama de corpo livre. Para os problemas de rotação em

relação a um eixo fixo, geralmente é interessante aplicar uma equação de

momento diretamente em relação ao eixo de rotação O. Então, a equação

resultante para os momentos pode ser escrita:

Com base no diagrama cinético pode-se obter a equação dos momentos

das resultantes em relação a O, tomando que:

Como (aG)t = rG.α, substituindo na equação anterior, obtém-se:

αOO IM∑ =


αGtGGO IamrM +=∑ )(

α)( 2GGO mrIM +=∑


141


Pelo teorema dos eixos paralelos, IO = IG + m rG2, conclui-se que:

Assim, as equações do movimento para o caso de rotação em torno de um

eixo fixo que passe no ponto O podem-se também escrever da seguinte

forma:

ObservaObservaççãoão: Para o caso comum de rota: Para o caso comum de rotaçção de um corpo rão de um corpo ríígido em torno de gido em torno de

um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa GG, evidentemente e, , evidentemente e,

portanto, . O resultado das forportanto, . O resultado das forçças aplicadas as aplicadas éé, então, o momento ., então, o momento .

α.OO IM∑ =

( )∑ == GnGn rmamF 2ω

( ) GtGt rmamF .α==∑αOO IM∑ =

0rr

=a0rr

=∑F αIr


142

Exemplo 1

O bloco de concreto de 300 Kg é elevado pelo mecanismo de içamento

mostrado na figura, onde os cabos são enrolados sem folga em torno dos

respectivos tambores. Os tambores, que são unidos e giram como um

conjunto único em torno do seu centro de massa em O, possuem uma massa

combinada de 150 Kg e um raio de giração de 450 mm em relação a O. Se

uma força de tração constante P de 1800 N é mantida pela unidade de

potência em A, determine a aceleração vertical do bloco.

- Movimento de rotação


143

Resolução:

Os diagramas de corpo livre e cinético dos tambores e do bloco de concreto

são desenhados mostrando todas as forças atuantes, incluindo as componentes

Ox e Oy da reação normal em O.

Como neste caso a rotação se faz em torno de um eixo fixo (O) que passa

pelo seu centro de massa, a resultante do sistema de forças sobre os tambores

é o momento , e sendo I = r2m faz-se:

I = (0,450)2.150 = 30,4 Kg.m2

αα OII =r


144

O cálculo dos momentos em relação ao centro de massa O da polia no sentido

da aceleração angular α fornece:

→ 1800.0,6 – T.0,3 = 30,4.α

A aceleração do bloco é descrita por:

→ T – 300.9,81 = 300.ay

Pela relação at = rα, tem-se a = 0,3.α. Com essa substituição, as equações

anteriores combinadas fornecem:

T = 3250 N α = 3,44 rad/s2 ay = 1,031 m/s2

αOO IM∑ =

yy maF∑ =


145

Exemplo 2

A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura é pivotada em O, e oscila

livremente no plano vertical. Se a barra é liberada a partir do repouso na

posição horizontal, calcule o valor inicial da força exercida pelo mancal

sobre a barra no instante imediatamente após ela ser liberada.

- Movimento de rotação


146

Resolução:

Considerando as forças que agem sobre a barra, representadas na figura

abaixo, podemos escrever as equações do momento em relação a O ,

e sendo o momento de inércia da barra IO = 1/3ml2, temos:

mgr =

20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)2α → α = 9,2 rad/s2

Utilizando a relação a = αr e a expressão da força resultante em y, calculamos

R:

→ 20.9,81 – R = 20.0,8.9,2 → R = 49 N

αOO IM∑ =

α23

1ml

αOO IM∑ =

αmrmaF tt ==∑


147

Atividades

1. Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio

possui uma massa de 100 Kg e um raio de giração em relação a seu centro de

375 mm. Calcule a aceleração angular de cada tambor. O atrito em cada

mancal é desprezível.

R: αa = 3,20 rad/s2 ; αb = 3,49 rad/s2


148

2. Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir

do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular

α adquirida pelo disco. O momento de inércia do disco em relação ao

ponto A vale.

R: 4,36 rad/s2


149

3. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e

oscila no plano vertical em torno do pivô A. Se ω = 2 rad/s quando

θ = 30º, calcule a força suportada pelo pino em A nesse instante.

R: FA = 56,3 N


150

4. A barra fina de 20 Kg mostrada na figura gira num plano vertical e,

num dado instante, tem velocidade angular ω = 5 rad/s. Determine a

aceleração angular da barra e os componentes horizontal e vertical da

reação no pino nesse instante.

R: α = 5,90 rad/s2; On = 750 N; Ot = 19 N


151

5. O disco uniforme de 30 Kg mostrado na figura é suportado por um pino

em seu centro. Se ele parte do repouso, determine o número de voltas que ele

deve dar para atingir uma velocidade angular de 20 rad/s. Qual é a reação no

pino? O disco está sob a ação de uma força constante F = 10 N, que é

aplicada a uma corda enrolada na sua borda, e um momento de binário

M = 5 N.m. Despreze a massa da corda.

R: θ = 2,73 rev; OX = 0 N; OY = 304 N


152

6. A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relação a um eixo

horizontal que passa pelo mancal O. Ela é liberada da posição horizontal a

partir do repouso. Determine a distância b do centro de massa até o mancal O

para a qual se tem uma aceleração angular inicial de 16 rad/s2, e obtenha a

força R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante

imediatamente após a barra ser liberada.

Adote IO = (1/12)mL2 + mb2

R: b = 53,6 mm e R = 71,6 N


153

A dinâmica de um corpo rígido em movimento plano geral combina os

movimentos de translação e rotação.

Como nos casos anteriores é necessário apenas estabelecer-se a

equivalência entre o sistema de forças externas, como no diagrama de

corpo livre, e as resultantes das forças para resolver-se o problema de

movimento plano.

Podemos considerar novamente um corpo rígido que se desloca no plano

vertical, em movimento plano geral, sujeito à ação de forças e momentos.

6. Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral


154

Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral


Os diagramas de corpo livre e diagrama cinético deste corpo estão

representados nas figuras abaixo:

Para o movimento plano geral de um corpo simétrico rígido, podem-se

escrever 3 equações escalares:

( )∑ = xGx amF ( )∑ = yGy amF α.GG IM∑ =

155

Equações do movimento: movimento plano geralmovimento plano geral


Para aplicação destas equações, deve-se sempre desenhar os diagramas de

corpo livre e diagrama cinético, para o instante considerado.

Representar graficamente os termos envolvendo

∑∑∑ Gyx MFF ,,Diagrama de corpo livre

Representar graficamente os termos envolvendo m(aG)x, m(aG)y, IG.α

Diagrama cinético

Os dois diagramas são igualados, como na figura anterior, já que as forças e

momentos no diagrama de corpo livre causam o movimento acelerado

indicado pelos 3 vetores mostrados no diagrama cinético.

156

- Notas:


- aplica-se somente no ponto G.

- Para outros pontos, devem-se considerar também os momentos “cinéticos”

provocados pelas componentes de m(aG) em relação a esse ponto e por IG.α.

- IG.α tem as mesmas propriedades de um binário e pode atuar em qualquer

ponto no diagrama cinético.

- m(aG)x e m(aG)y são tratados da mesma maneira que uma força, isto é,

podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ação.

α.GG IM∑ =

157

- Equações do movimento: movimento plano geral


Especial atenção deve ser dada a certos casos do movimento plano; casos

que ocorrem com frequência suficiente para precisarem atenção.

O primeiro ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo

ou da extensão deste, não tem aceleranão tem aceleraççãoão! A equação de momentos em

relação a O torna-se , que satisfaz às mesmas condições que

para um corpo que gira em relação a um eixo fixo em O. O ponto O não

precisa necessariamente ser fixo; pode ter uma velocidade constante.

α.OO IM∑ =

158

O segundo caso de frequência corrente existe, quando o centro de

momento O é escolhido de tal modo que tem uma aceleração dirigida

diretamente para G, figura (a).

A aceleração de G, escrita em função da aceleração O, tem as

componentes a0, rω2 e rα de tal modo que a força resultante tenha as

componentes ma0, mrω2 e mrα, como é mostrado na parte (b) figura.

A soma dos momentos em relação a O torna-se .

A substituição de , dá

Equações do movimento: movimento plano geral


amr

αα 2. mrIM P +=∑rr

2mrIIO +=rr

α.OO IM∑ =

159


A figura (c) mostra o exemplo frequentemente encontrado da situação

descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no

centro geométrico. O centro instantâneo de rotação C tem uma aceleração

dirigida para o centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de

massa não fosse o centro geométrico, então a aceleração do ponto de

contato C não passaria em G.

160

Observação:

Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua

representação através de correto diagrama de corpo livre. Somente após

esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a

equivalência entre as forças externas e suas resultantes. De igual

importância na análise do movimento plano, é a compreensão da

Cinemática envolvida.

Muito frequentemente as dificuldades experimentadas no estudo do

movimento planar estão relacionadas diretamente com cinemática. Deve

ser reconhecido, na formulação da solução de um problema, que as

direções de certas forças ou acelerações não sejam conhecidas no começo;

de tal modo que seja necessário fazer hipóteses iniciais cujas validades

serão aprovadas ou desaprovadas, quando a solução é efetuada.



161

É essencial, entretanto, que todas as hipóteses feitas sejam coerentes com

o princprincíípio da apio da açção e reaão e reaççãoão e com quaisquer requisitos cinemáticos, que

também são chamados de condições de construção. Assim, se uma roda

está girando em superfície horizontal, seu centro está limitado a mover-se

em linha horizontal. Além do mais, se a aceleração linear desconhecida a

do centro da roda é suposta positiva para a direita, a aceleração angular

desconhecida α deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que

a = + rα, supondo-se que a roda não deslize.

Deve ser notado também que para uma roda que gira sem deslizamento

a = rα, a força de atrito F entre a roda e sua superfície de apoio é

geralmente menor que o seu valor máximo, de modo que F ≠ fN. Se a

roda desliza quando gira a ≠ rα, embora a força de atrito tenha atingido o

seu valor limite, tem-se que F = fN. Pode ser necessPode ser necessáário testar a validade rio testar a validade

de uma ou outra hipde uma ou outra hipóótese em dado problematese em dado problema.


162

Exemplo 1

A bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de giração

kG = 0,35 (SI). Se as cordas de massas desprezíveis estão enroladas no

cilindro central e na periferia, como mostrado na figura, determine a

aceleração angular da bobina.



163


Resolução:

Analisando as forças que agem na bobina de acordo com a figura abaixo,

pode-se perceber que a força de 100 N causa uma aceleração aG para cima.

Além disso, α corresponde a um movimento de rotação no sentido horário,

pois a bobina enrola a corda em sua periferia.

Há três incógnitas: T, aG e α. O momento de inércia da bobina em relação ao

seu centro de massa é: IG = m.kG2= 8Kg.(0,35m)2 = 0,980 Kg.m2

164


Aplicando as equações do Movimento:

( )∑ = yGy amF → T + 100 – 78.48 = 8.aG

α.GG IM∑ = → 100.(0,2) – T .0,5 = (0,980).α

Utilizando a cinemática para relacionar as acelerações aG com α, uma vez que

a bobina rola sem escorregar na corda em A: aG = 0,5.α

Resolvendo o sistema de equações, encontra-se:

α = 10,3 rad/s2

aG = 5,16 m/s2

T = 19,8 N

165

Exemplo 2

Um aro metálico com raio r = 150 mm é liberado do repouso sobre a

ladeira com 20º de inclinação. Determine a aceleração angular α do aro e

o tempo t para que ele se mova de uma distância de 3 m ladeira abaixo.



166

Resolução:

O diagrama de corpo livre mostra o peso mg, a força normal N e a força de

atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama

cinético mostra a força resultante ma que passa por G no sentido de sua

aceleração e o Momento Iα. A aceleração angular no sentido anti-horário

requer um momento também no sentido anti-horário em relação a G, logo a

força F deve ser orientada ladeira acima.

Admitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = rα, e ainda

que o momento de inércia do aro é I = mr2. A aplicação das componentes das

forças nas direções x e y fornece:


167

( )∑ = xGx amF → m.g.sen 20º - F = m.a

( )∑ = yGy amF → N – m.g.cos 20º = 0

α.GG IM∑ = → F.r = m.r2.α

Eliminando F entre a primeira e a terceira equação e substituindo a hipótese cinemática a = rα encontra-se:

a = (g/2)sen 20º = 1,678 m/s2

→ O tempo necessário para o centro G do aro mover-se 3 m a partir do repouso com aceleração constante é:

x = ½ a.t2 → t = 1,633 s


168

Atividades

1. A roda de 10 Kg com raio de giração de 180 mm em relação ao seu centro

O é liberada a partir do repouso sobre a rampa de 60º e desliza enquanto rola.

Se o coeficiente de atrito dinâmico é μd = 0,30, calcule a aceleração aO do

centro O da roda e sua aceleração angular α.

R: aO = 7,02 m/s2; α = 9,08 rad/s2



169

2. Uma esfera homogênea de massa m e raio R é abandonada a partir do

repouso sobre uma rampa que está inclinada de um ângulo θ em relação à

horizontal e, a partir desse instante, desce a rampa rolando sem deslizar

como indica a figura. O momento de inércia da esfera em relação a um

eixo que passa pelo seu centro de massa é I = (2/5)mR2. Calcule o módulo

da força de atrito que a superfície inclinada exerce sobre a esfera.

R: fat = (2/7)m.g.senθ


170

3. O disco circular de massa m e raio r mostrado na figura está rolando ao

longo da parte mais baixa da superfície circular de raio R. Se o disco

possui uma velocidade angular ω, determine a força N exercida pela

superfície sobre o disco.

R: N = m.[g + (r2.ω2/R – r)]


171

4. No sistema da figura os blocos A e B possuem massas 7,0 Kg e 5,0 Kg,

respectivamente. A roldana é um disco homogêneo de raio r e massa

1,0 Kg e gira devido ao atrito com a corda. Considerando que o atrito

entre o plano inclinado e o bloco A é desprezível, que não há deslizamento

entre a corda e a roldana determine a aceleração do bloco A.

Deixe claro se este bloco sobe ou desce a rampa.

R: 1,177 m/s2


172

5. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de

giração centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concêntrica de

75 mm de raio nele entalhada. Uma força estacionária T fazendo um ângulo

θ com a horizontal é aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura,

conforme mostrado na figura. Se T = 30 N, θ = 0º, μe = 0,10 e μd = 0,08,

determine a aceleração angular α do disco, a aceleração a do seu centro de

massa G e a força de atrito F que a superfície exerce sobre o disco.

R: 0,425 m/s2; - 2,13 rad/s2; 19,35 N


173

6. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de

giração centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concêntrica de

75 mm de raio nele entalhada. Uma força estacionária T fazendo um

ângulo θ com a horizontal é aplicada a um fio enrolado em torno da

ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 50 N, θ = 30º, μe = 0,10 e

μd = 0,08, determine a aceleração angular α do disco, a aceleração a do

seu centro de massa G e a força de atrito F que a superfície exerce sobre o

disco. R: α = 0,295 rad/s2; F = 17,62 N


174

7. Ao tambor A é imposta uma aceleração angular constante α0= 3 rad/s2, que

faz com que o carretel B de 70 Kg role sobre a superfície horizontal. O

tambor A aciona o carretel B por meio do cabo de conexão, que se enrola em

volta do centro do carretel. O raio de giração k do carretel, em relação ao eixo

que passa pelo seu centro de massa G, é de 250 mm, e o coeficiente de atrito

estático entre o carretel e a superfície horizontal é de 0,25. Determine a força

trativa T atuante no cabo e a força de atrito F exercida pela superfície

horizontal sobre o carretel.

R: T = 154,6 N


175

Cinética Planar de Corpos Rígidos: Trabalho e Energia

1. Introdução

2. Energia Cinética

3. Trabalho de uma Força

4. Trabalho de um binário

5. Princípio do Trabalho e Energia

6. Conservação da Energia

7. Potência



176

Os princípios de trabalho e energia são especialmente úteis na descrição

do movimento que resulta do efeito cumulativo de forças atuantes durante

um deslocamento. Além disso, quando as forças são conservativas pode-

se determinar as variações de velocidade pela análise das condições de

energia no início e no final do intervalo do movimento.

Para deslocamentos finitos, o método do trabalhotrabalho--energiaenergia elimina a

necessidade de determinar a aceleração e a posterior integração no

intervalo de tempo para obter a variação da velocidade.

Essas vantagens são obtidas ao se estender os princípios do trabalho-

energia para descrever o movimento de corpos rígidos.

1. Introdução


177

Para que se possa aplicar o Método do Trabalho e Energia a problemas

de cinética, é necessário desenvolver uma forma de calcular a energia

cinética de um corpo quando este está sujeito a translação, rotação em

torno de um eixo fixo ou movimento plano geral.

2. Energia Cinética ( )T


178

Considere o corpo rígido mostrado na figura abaixo, que se desloca num

plano de referência x - y.

Uma partícula arbitrária de ordem i deste corpo, de massa dm , está

localizada a uma distância r do ponto arbitrário P. Se para o instante

representado a partícula i tiver velocidade vi, então a energia cinética é

dada por

T

2

2

1ii dmvT =


Energia Cinética

179

A energia cinética do corpo é calculada escrevendo equações semelhantes

para cada partícula do corpo e integrando os resultados, isto é,

Esta equação pode também ser expressa em termos da velocidade do

ponto P. Se o corpo tiver velocidade angular ,

Substituindo na equação da

energia cinética, obtém-se:


∫=m

ii dmvT 2

2

1

ωr

jxviyvv

jyixkjvivv

vvv

yPxPi

yPxPi

PiPi

ˆ])[(ˆ])[(

)ˆˆ(ˆˆ)(ˆ)(

/

ωω

ω

++−=

+×++=

+=

r

r

rrr

2222

2222222

222

)(2)(2

)(2)()(2)(

])[(])[(.

rxvyvvv

xxvvyyvvv

xvyvvvv

yPxPPi

yPyPxPxPi

yPxPiii

ωωω

ωωωω

ωω

++−=

++++−=

++−==rr

Energia Cinética

180

Mas

: localização da coordenada y do centro de massa Grelativamente a P

: localização da coordenada x do centro de massa Grelativamente a P

: Momento de inércia relativamente a um eixo z que passa em P

Pode-se, portanto escrever:

Como caso especial, se o ponto P coincidir com o centro de massa G do

corpo, temos y = x = 0, e portanto:

22

2

1..)(..)(

2

1 ωωω PyPxPP ImxvmyvmvT ++−=


Energia Cinética

181

Para se aplicar o MMéétodo do Trabalho e Energiatodo do Trabalho e Energia a problemas de cinética

é necessário calcular a energia cinética de um corpo quando este está

sujeito a translação, a rotação em torno de um eixo fixo, ou

movimento plano geral.


Energia Cinética

182

Translação

Se um corpo rígido de massa m descrever um movimento de translação

retilínea ou de translação curvilínea, a energia cinética devido à rotação é

nula, pois ω = 0. Então:

Rotação em torno de um eixo fixo

Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo rígido que passa num

ponto O, o corpo tem energia cinética de rotação:

Movimento Plano Geral

Quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano geral o corpo

tem velocidade angular e o seu centro de massa tem velocidade:

02

2

1IT ω=

2

2

1GmvT =

22

2

1

2

1 ωGG ImvT +=


Energia Cinética

183

Se uma força atua num corpo rígido, o trabalho realizado à medida que

se desloca ao longo do caminho s é definido por

Para um sistema de forças externas a atuar num corpo rígido, o

trabalho total realizado é simplesmente a soma algébrica do trabalho de

cada força.

3. Trabalho de uma Força

∫=s

F dsFU .cos. θ


184

Trabalho de uma força constante

Trabalho de um peso

Trabalho da força de uma mola elástica

∫=s

F dsFU .cos. θ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=−

21

2221 2

1

2

1kxkxU

( )12. yyWUW −=


Trabalho de uma Força

185

Forças que não realizam trabalho

- Forças que atuam em pontos fixos do corpo;

- Forças que atuam numa direção perpendicular às suas trajetórias de

deslocamento;

Exemplo de forças que não realizam trabalho: “Caso de rolamento sem

escorregamento”

- Peso W

- Reação normal N

- Força de atrito Fr, pois atua num ponto de velocidade nula


Trabalho de uma Força

186

Considere-se um corpo sujeito a um binário M = F.r

Quando o corpo está em translação, o trabalho de uma força anula o

trabalho da outra.

um deslocamento diferencial = translação + rotação


4. Trabalho de um binário

187

Quando o corpo tem uma rotação diferencial dθ, o trabalho realizado é:

Quando o corpo tem uma rotação diferencial dθ, o trabalho realizado é:

Para um binário constante, temos: UM = M (θ2 – θ1)


θθ

θθ

θθ

MddU

FrddU

dr

Fdr

FdU

FdsFdsdU

M

M

M

M

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

22

∫=2

1

θ

θ

θdMU M

Trabalho de um binário

188

O Princípio do Trabalho e Energia aplicado a cada uma das partículas do

corpo rígido, somando algebricamente obtém-se o Princípio do Trabalho e

Energia para um Corpo Rígido:

T1 = Energia Cinética inicial de translação e rotação

T2 = Energia Cinética final de translação e rotação

= Soma dos Trabalhos realizados por todas as forças externas e

binários

5. Princípio do Trabalho e Energia

12212211 TTUTUT −=→=+ ∑∑ −−

∑ −21U


189

Energia Potencial Gravitacional

Energia Potencial Elástica

- Energia Potencial

GG yWV .=

2.2

1xkVe =


190

Quando um sistema de forças que atua num corpo rígido é constituído

apenas por forças conservativas, pode também ser usado o Teorema da

Conservação de Energia para resolver problemas que de outra forma

seriam resolvidos por aplicação do Princípio do Trabalho e Energia.

Este teorema é frequentemente mais fácil de aplicar, já que o trabalho de

uma força conservativa é independente da trajetória e depende só da

posição inicial e final do corpo.

6. Conservação da Energia


191

Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido

Aplicando-se o Teorema da Conservação de Energia a cada uma das

partículas do corpo rígido e somando algebricamente os resultados, obtém-

se o Teorema da Conservação de Energia para um Corpo Rígido:

T1 + V1 = T2 + V2

T1 = Energia Cinética no instante 1T2 = Energia Cinética no instante 2V1 = Energia Potencial no instante 1V2 = Energia Potencial no instante 2


Conservação da Energia

192

A potência é a taxa de variação temporal com a qual o trabalho é

realizado!

Para uma força atuante sobre o corpo rígido em movimento plano, a

potência desenvolvida pela força em um dado instante é a taxa com que ela

está realizando trabalho

onde e são, respectivamente, o deslocamento infinitesimal e a

velocidade do ponto de aplicação da força.

7. Potência

vFdt

rdF

dt

dUP

rrrr

..

===


rdr

vr

193

Analogamente, para um momento (ou binário) M atuante sobre o corpo, a

potência desenvolvida em um dado instante é a taxa com que ele realiza

trabalho, e é expressa por

onde e são, respectivamente, o deslocamento angular infinitesimal e

a velocidade angular do corpo.

Se os sentidos de M e ω forem os mesmos, a potência é positiva e a

energia é fornecida para o corpo. Ao contrário, se M e ω apresentarem

sentidos opostos, a potência é negativa e a energia é removida do

corpo.

Se a força F e o momento M atuarem simultaneamente, a potência

instantânea total será:

Potência

ωθM

dt

Md

dt

dUP ===


θd ω

ωMvFP +=rr

.

194

Exemplo 1

A roda rola rampa acima apoiada em seu eixo sem deslizar, e é puxada

pela força de 100 N aplicada ao fio enrolado ao redor da sua borda

exterior. Se a roda parte do repouso, calcule a sua velocidade angular ω

após seu centro ter-se movido de uma distância de 3 m rampa acima. A

roda possui uma massa de 40 Kg, com centro de massa em O e um raio de

giração centroidal de 150 mm. Determine a potência fornecida pela força

de 100 N ao final do percurso de 3 m do movimento da roda.

Trabalho e Energia


195

Resolução:

Das quatro forças mostradas no diagrama de corpo livre da roda, apenas a

tração de 100 N e o peso de 40.9,81 = 392 N realizam trabalho. A força de

atrito não realiza qualquer trabalho enquanto a roda não desliza.


196

Utilizando o conceito de centro instantâneo de velocidade nula C,

verifica-se que um ponto A no fio ao qual a força de 100 N é aplicada tem

uma velocidade vA = ω.rCA e vO = ω.rCO, então vA/rCA = vO /rCO

Logo vA = rCA.vO /rCO, que dá: vA = [(200 + 100)/100]v → vA = 3v

Assim o ponto A tem uma velocidade 3 vezes maior que o centro de massa

da roda e se move de uma distância também 3 vezes maior do que o

centro de O.

O trabalho realizado sobre a roda fica:U1-2 = F.(sA2 - sA1) – P.sen 15º.(s2 - s1) = 100.9 – 392.sen 15º.3 = 595 J


197

A roda está sujeita a um movimento plano geral, de modo que a variação

em sua energia cinética é:

Pelo princípio do Trabalho e Energia (equação trabalho-energia), tem-se:U1-2 = ΔT → 595 = 0,650ω2 → ω = 30,3 rad/s

222222 650,00)15,0(402

1)10,0(40

2

10

2

1

2

1 ωωωω =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Δ⇒−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Δ TImvT


198

A potência fornecida à roda pela força de 100 N, quando ω = 30,3 rad/s, éigual:

→ P100 = F.r.ω → P100 = 100.0,3.30,3 = 908 W

Observação: Uma vez que a velocidade do centro instantâneo C da roda énula, a taxa com que a força de atrito realiza trabalho é constantemente nula. Assim, F não realiza trabalho enquanto a roda não deslizar. Entretanto, se a roda estivesse rolando sobre uma plataforma móvel a força de atrito realizaria trabalho, mesmo que não houvesse deslizamento.

vFPrr

.=


199

Exemplo 2Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa até a altura máxima h. Se h = 3v2/4g, que corpo deve ser esse?

Resolução:A estratégia para resolver este problema é descobrir o momento de inércia do corpo e compará-lo com o momento de inércia de corpos conhecidos. Como éum sistema conservativo, a energia total (mecânica) é conservada: T1 + V1 = T2 + V2 →

aplicando-se a condição de rolamento v = ωR

Com este momento de inércia o corpo pode ser um disco ou um cilindro de massa m e raio R.

mghImv +=++ 002

1

2

1 22 ω

g

vmg

R

vImv

4

3

2

1

2

1 22

22 =+

2

32

m

R

Im =+

2

2mRI =

Trabalho e Energia


200

Exemplo 3

No mecanismo mostrado na figura, cada uma das duas rodas possui uma

massa de 30 Kg e um raio de giração centroidal de 100 mm. Cada elemento

de ligação OB tem uma massa de 10 Kg e pode ser tratado como uma barra

esbelta. O colar de 7 Kg em B desliza sobre o eixo vertical fixo com atrito

desprezível. A mola tem uma rigidez k = 30 kN/m e entra em contato com a

parte inferior do colar quando as barras alcançam a posição horizontal. Se o

colar é liberado a partir do repouso na posição θ = 45º e se o atrito é

suficiente para prevenir o deslizamento das rodas, determine a velocidade vB

do colar quando ele encosta na mola.

Trabalho e Energia


201

Resolução:

O mecanismo executa um movimento plano e é conservativo, uma vez que as

perdas por atrito dinâmico são desprezíveis. A referência para o cálculo da

energia potencial gravitacional Vg é, por conveniência, considerada como

passando por O, conforme indicado.

Para o intervalo de θ = 45º até θ = 0, nota-se que ΔTrodas é nula, uma vez que

cada roda parte do repouso e retorna ao repouso em θ = 0º. Observa-se

também, que para a posição mais baixa cada barra está simplesmente girando

em torno de seu centro O, de modo que:

ΔT = [2(½IOω2) – 0]barras + [½mv2 – 0]colar

ΔT


22

2

2 83,67.2

1

375,0).10.(0,375

3

1 BB

B vvv

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

202

O colar em B desce de uma distância de 0,375.sen 45º = 0,265 m,e assim:

ΔV = ΔVg = 0 – 2.10.9,81.(0,265/2) – 7.9,81.0,265 = - 44,2 J

A força de atrito atuante sob cada uma das rodas não realiza trabalho, uma

vez que a roda não desliza e, naturalmente, a força normal também não

realiza trabalho.

Como o trabalho do peso do colar B foi incluído no termo ΔVg e não existem

outras forças externas realizando trabalho no sistema, pode-se dizer que

U1-2 = 0.

Logo:

U1-2 = ΔT + ΔV

0 = 6,83vB2 – 44,2 → vB = 2,54 m/s


203

Atividades

1. A tora mostrada na figura é suspensa pelos dois cabos paralelos de 5 m

e é utilizada como um aríete. Com que ângulo θ ela deve ser liberada a

partir do repouso para que atinja o objeto a ser esmagado com uma

velocidade de 4 m/s?

R: θ = 33,2º


Trabalho e Energia

204

2. A roda de 15 Kg mostrada na figura é liberada a partir do repouso e

rola sobre seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade v de seu centro O

após ter se movido de uma distância x = 3 m rampa abaixo.

O raio de giração da roda em relação ao O é de 125 mm.

R: v = 0,899 m/s


10

205

3. Um cilindro maciço de 10,4 cm de raio e massa 11,8 Kg parte do

repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado

de uma casa, que é inclinado de 27º. Qual a velocidade angular do cilindro

em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado?

R: ω ≈ 58 rad/s


206

4. As rodas representam duas condições extremas de distribuição de

massa. Para o caso A, toda a massa m é considerada concentrada no centro

geométrico do aro em uma barra axial de diâmetro desprezível. Para o

caso B, toda a massa m é admitida como concentrada na periferia.

Determine a velocidade do centro de cada aro após ele ter percorrido uma

distância x rampa abaixo a partir do repouso. Os aros rolam sem deslizar.

R: vA = √2gxsenθ; vB = √gxsenθ;


207

5. A barra de 1200 mm tem uma massa de 20 Kg com centro de massa em B,

e é liberada a partir do repouso na posição para a qual o ângulo θ é

praticamente nulo. O ponto B é confinado a se mover na guia vertical lisa,

enquanto a extremidade A se move na guia horizontal lisa e comprime a mola

quando a barra cai. Determine (a) a velocidade angular da barra ao passar

pela posição θ = 30º e (b) a velocidade com que B atinge a superfície

horizontal, considerando que a rigidez da mola é de 5 kN/m.

R: ω ≈ 2,74 rad/s; (b) v = 2,15 m/s


208

6. Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o

mesmo raio R, são liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo

que os momentos de inércia I dos corpos valem respectivamente

(2/5)mR2, (1/2)mR2 e mR2, utilizando o teorema do trabalho-energia

represente a velocidade de cada corpo após terem rolado uma distância h

da altura inicial.

R: vesf = 0,845√2gh; vcil = 0,816√2gh; vanel = 0,707√2gh


209

7. Uma força estacionária de 22 N é aplicada

perpendicularmente à manivela do rebolo manual.

A engrenagem dentro da caixa, com o eixo e a

manivela a ela ligados, tem uma massa de 1,8 Kg e

um raio de giração em relação a seus eixos de

72 mm. A roda de amolar, junto com seu eixo e

pinhão (dentro da caixa), apresenta uma massa

combinada de 0,55 Kg e um raio de giração de

54 mm. Se a razão entre a engrenagem e o pinhão

é de 4:1, calcule a velocidade de rotação N da roda

de amolar após 6 voltas completas da manivela

partindo do repouso.

R: N = 3220 rev/min


210

8. Uma roda livre, com raio de giração de 400 mm, tem sua velocidade

reduzida de 5000 para 3000 rpm durante um intervalo de 2 minutos.

Calcule a potência média fornecida pela roda. Expresse a resposta tanto

em quilowatts quanto em hp.

R: P = 140,4 kW =188 hp


211

Cinética Planar de Corpos Rígidos:

Impulso e Quantidade de Movimento

1. Quantidade de movimento linear e angular

2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

3. Conservação da Quantidade de Movimento Linear

4. Conservação da Quantidade de Movimento Angular



212

- Quantidade de movimento linear

A quantidade de movimento linear de um corpo rígido é determinada

somando vetorialmente a quantidade de movimento linear de todas as

partículas que compõem o corpo, isto é:

Como , pode-se escrever:

Segundo esta equaSegundo esta equaçção, a quantidade de movimento linear de um corpo ão, a quantidade de movimento linear de um corpo éé

uma quantidade vetorial de muma quantidade vetorial de móódulo dulo m.vG e diree direçção e sentido definidos ão e sentido definidos

pela velocidade do centro de massa, pela velocidade do centro de massa, vG..

1. Quantidade de movimento linear e angular

∑ = Gii vmvmrr

.

∑= ii vmLrr

.

GvmLrr

.=


213

- Quantidade de movimento angular


Considere-se o corpo representado na figura acima, que descreve

movimento plano geral. No instante representado na figura, o ponto

arbitrário P tem velocidade e o corpo tem velocidade angular . A

velocidade da partícula de ordem i pode ser determinada pela expressão

seguinte: rvv Pi

rrrr×+= ω

Quantidade de movimento linear e angular

214


A quantidade de movimento angular da partícula i é dada pelo “momento”

da quantidade de movimento linear relativamente ao ponto P.

Então:

Exprimindo em função de e usando vetores em coordenadas

cartesianas:

Segundo a direção z fica:

Fazendo tender mi → dm e integrando ao longo de toda a massa m do

corpo, obtém-se:

em que HP é a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um

eixo z que passa no ponto P e é perpendicular ao plano do movimento.

ivr

Pvr

iiP vmrHrr

×=)(

)]ˆˆ(ˆˆ)(ˆ)[()ˆˆ(ˆ)( jyixkjvivjyixmkH yPxPiiP +++×+= ω

2)()()( rmvxmvymH iyPixPiiP ω++−=

ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫∫

m

yP

m

xP

m

P dmrvdmxvdmyH .)(.)(. 2


215


O integral presente no 1º termo, , e o integral presente no 2º termo,

, são usadas para localizar a posição do centro de massa G

relativamente a P, uma vez que

∫m

dmy.

∫m

dmx.


216


O integral presente no último termo, , representa o momento de

inércia do corpo calculado relativamente ao eixo z que passa no ponto P,

isto é, .

Obtém-se então:

∫m

dmr 2

∫=m

P dmrI 2

ωPyPxPP IvmxvmyH ++−= )()(

Quando P coincide com o centro de massa G, , obtendo-se uma expressão

mais simples:


217

- Quantidade de movimento angular



218

- Translação

Quando um corpo está sujeito a um movimento de translação retilínea ou

de translação curvilínea o seu centro de massa tem velocidade

sendo . Assim, a quantidade de movimento linear e angular é dada

por:

Se a quantidade de movimento angular for calculada relativamente a outro

ponto A , mostrado na figura acima, o momento da quantidade de movimento

linear tem de ser calculada relativamente a esse ponto. Como d é o “braço”,

então de tem-se:

-- PodemPodem--se considerar três tipos de movimento: se considerar três tipos de movimento:

vvG =r

0=GH

0rr

=ω.= GvmL

dmvH GA =


219

- Rotação em torno de um eixo fixo

Quando um corpo rígido roda em torno dum eixo fixo que passa num

ponto O a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G

são dadas por:

É por vezes conveniente calcular a quantidade de movimento angular do

corpo relativamente a um eixo que passa em O. Neste caso é necessário ter

em conta o “momento” provocado por e em torno de O. Como (ou )

é sempre perpendicular a , temos:

Esta equação pode ser simplificada, fazendo a substituição vG = rGω e

notando que I0 = IG +m , obtendo-se então: ωOO IH =


ωGG

G

IH

vmL

=

= .

Lr

GHr

Lr

Gvr

Grr

220

- Movimento plano geral

Quando um corpo rígido se desloca em movimento plano geral a

quantidade de movimento linear e angular relativamente a G são dadas

por:

Se for conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo

relativamente a um eixo que passa num ponto A, é necessário ter em conta

o “momento” provocado por e em torno de O.

Teremos então:

GvmL = .

ωGG IH =

Lr

GHr

ωGGA ImvdH += )(


221

““O mO méétodo do Impulso e Quantidade de Movimento todo do Impulso e Quantidade de Movimento éé particularmente particularmente úútil til

àà solusoluçção de problemas envolvendo tempo e velocidades.ão de problemas envolvendo tempo e velocidades.””

- Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear:

O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear para um

corpo rígido pode ser obtido combinando a equação do movimento com a

cinemática. A equação resultante permite obter uma solução direta para

problemas que envolvem força, velocidade e tempo:

Como a massa do corpo é constante, obtém-se:

Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições:

vG = vG1 para t = t1 e vG = vG2 para t = t2 , obtém-se o Princípio do

Impulso e Quantidade de Movimento Linear:

2. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento


∑∫ −=2

1

12 )()(t

t

GG vmvmdtFrrr

dt

vdmamF G

G

rrr

==∑ .

)(. GG vmdt

damF

rrr∑ =

222


- Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular:

Para um corpo rígido submetido a movimento plano geral temos:

Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condições:

ω = ω1 para t = t1 e ω = ω2 para t = t2 , obtém-se o Princípio do

Impulso e Quantidade de Movimento Angular:

∑ ∫ −=2

1

12

t

t

GGG IIdtM ωω

)( ωα GGG Idt

dIM ==∑

Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

223

Em resumo, para um corpo rígido em movimento plano geral, por

aplicação do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento podem

escrever-se três equações escalares:


224

As equações do Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

podem também ser aplicadas a um sistema inteiro de corpos interligados.

Desta forma elimina-se a necessidade de incluir os impulsos relativos que

ocorrem nas ligações, já que são internos ao sistema. As equações

resultantes ficariam então:


225

Se a soma de todos os impulsos lineares que atuam num sistema de corpos

rígidos ligados é zero, então a quantidade de movimento linear é

constante, ou conservada. Consequentemente:

Esta equação é designada por Conservação da Quantidade de

Movimento Linear.

3. Conservação da Quantidade de Movimento LinearQuantidade de Movimento Linear


226

A quantidade de momento angular de um sistema de corpos rígidos

ligados é conservada em torno de um ponto (centro de massa G ou um

ponto fixo O), quando a soma de todos os impulsos angulares calculados

relativamente a esse ponto pelas forças e momentos exteriores for zero.

Consequentemente:

Esta condição é designada por Conservação da Quantidade de

Movimento Angular.


Conservação da Quantidade de Movimento LinearQuantidade de Movimento Linear

227

Exemplo 1

O bloco de 6 kg mostrado na figura é preso a uma corda que é enrolada na

periferia de um disco de 20 kg. Se o bloco inicialmente se desloca para

baixo com uma velocidade de 2 m/s, determine a sua velocidade após 3 s.

Considera-se que a massa da corda pode ser desprezada.



228

Resolução:Construindo os diagramas de impulso e quantidade de movimento para o bloco e o disco:

Momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação:

Velocidade angular do disco: vB = ω.r = ω.0,2;


229

Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear ao bloco:

Aplicando o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular ao disco, relativamente a A:

Resolvendo obtém-se


230

Exemplo 2

A força P, que é aplicada ao cabo enrolado ao redor do cubo central da roda

simétrica, é aumentada lentamente obedecendo a relação P = 6,5t, onde P é

expressa em Newtons e t é o tempo em segundos após P ter sido aplicada.

Determinar a velocidade angular ω da roda 10 s após a aplicação de P se a

roda está se movendo para a esquerda e a velocidade de seu centro

geométrico é de 0,9 m/s no tempo t = 0. A roda, que possui uma massa de 60

Kg e um raio de giração de 250 mm em relação ao seu centro, rola sem

deslizar.



231

Resolução:

O diagrama de corpo livre da roda para uma posição qualquer no intervalo do

movimento é mostrado na figura abaixo. Também estão indicadas as

quantidades de movimento linear e angular no instante inicial t = 0 e as

quantidades de movimento linear e angular no instante final t = 10 s. O

sentido correto da força de atrito F é oposto ao deslizamento que ocorreria

caso não houvesse atrito.


232

A aplicação da equação do impulso-quantidade de movimento linear e da

equação do impulso-quantidade de movimento angular para todo o intervalo

fornece:

Uma vez que a força F é variável, ela deve permanecer dentro da integral.

Elimina-se F entre as duas equações multiplicando a segunda equação por

0,450 e, em seguida, somando-se à primeira. Integrando e resolvendo para ω,

obtém-se:

ω = 2,60 rad/s; no sentido horário


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=−→−=

−−=−→−=

∫∫∑

∫∫∑

450,0

9,0)250,0(60)]5,6(225,0450,0[(

)]9,0(450,0[60)5,6(

210

0

1

10

0

2

1

2

12

2

1

ω

ω

tdtFHHdtM

tdFtGGdtF

t

t

GGG

xx

t

t

x

233

Exemplo 3

O disco de 20 lb mostrado na figura é uniforme e está suportado por um

pino em seu centro. Se o disco está submetido a um torque de binário de 4

lg.pés e a uma forma de 10 lb aplicada na corda enrolada em sua periferia,

determine a sua velocidade angular dois segundos após a partida do

repouso. Determine também quais são os componentes da força de reação

no pino.



234

Resolução:

O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo fixo de rotação é:

Como velocidade angular, força e tempo estão envolvidos, aplicaremos os

Princípios do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular.


Resolvendo o sistema:

235

Atividades

1. Uma pessoa que passa através de uma porta giratória exerce uma força

horizontal de 90 N sobre um dos quatro paineis da porta e mantém um ângulo

de 15º constante em relação à linha perpendicular ao painel. Se cada painel for

modelado por uma placa retangular uniforme de 60 Kg com 1,2 m de

comprimento, quando visto de cima, determine a velocidade angular final da

porta se a pessoa exercer a força durante 3 segundos. A porta está,

inicialmente, em repouso e o atrito pode ser desprezado.

R: ω = 1,811 rad /s



236

2. A força constante de 40 N é aplicada a um cilindro de massa 36 Kg,

conforme mostrado na figura. O raio de giração centroidal do cilindro é

k = 200 mm, e ele rola sobre a ladeira sem deslizar. Se o cilindro está em

repouso quando a força começa a ser aplicada, determine sua velocidade

angular oito segundos mais tarde.

R: ω = 24,2 rad /s


237

3. O projétil de 30 g possui uma velocidade horizontal de 500 m/s quando

atinge a barra AO de 10 Kg, que é suspensa de um ponto O e está

inicialmente em repouso. Calcule a velocidade angular ω adquirida pela

barra com o projétil nela alojado imediatamente após o impacto.

R: ω = 2,81 rad /s


238

4. Imediatamente após deixar a plataforma, o corpo do mergulhador de 80

Kg, completamente estendido, tem uma velocidade de rotação de 0,3 rev/s

(voltas por segundo) em torno de um eixo perpendicular ao plano da

trajetória. Estime a velocidade angular N alguns instantes mais tarde,

durante o salto, quando o corpo do mergulhador estiver na posição

grupada.

Obs.: Elabore a hipótese de que o corpo do mergulhador pode ser

considerado uma barra homogênea (I = 1/12.mL2) no primeiro instante, e uma

esfera (I = 2/5.mr2) no segundo instante.

R: N2 = 2,04 rev/s


239

5. O bloco mostrado na figura tem massa de 6 Kg e está preso a uma

corda enrolada na periferia de um disco de 20 Kg cujo momento de

inércia é IA = 0,40 Kg.m2. Se o bloco se desloca inicialmente para baixo a

uma velocidade de 2 m/s, determine sua velocidade após 3 s. Despreze a

massa da corda.

R: v2 = 13 m/s


240

6. A barra delgada de 5 Kg mostrada na figura está presa por um pino em

O e está inicialmente em repouso. Se uma bala de 4 g é disparada contra a

barra com velocidade de 400 m/s, como mostrado, determine a velocidade

angular da barra imediatamente após a bala ficar encravada nela.

R: ω2 = 0,623 rad/s


241

ObservaObservaççãoão: Muitos fenômenos interessantes podem entendidos usando a lei : Muitos fenômenos interessantes podem entendidos usando a lei

de conservade conservaçção do momento angular. Considere, por exemplo, o caso de uma ão do momento angular. Considere, por exemplo, o caso de uma

bailarina fazendo um movimento de rotabailarina fazendo um movimento de rotaçção em torno do seu corpo.ão em torno do seu corpo.

Se durante o movimento de rotaSe durante o movimento de rotaçção os seus braão os seus braçços estão abertos a velocidade os estão abertos a velocidade

serseráá menor do que quando os seus bramenor do que quando os seus braçços estiverem juntos ao corpo. Isto pode os estiverem juntos ao corpo. Isto pode

ser explicado se usamos a definiser explicado se usamos a definiçção de momento de inão de momento de inéércia rcia II = = mrmr22. .

- Quantidade de movimento linear e angular


242

ÉÉ claro que quando os braclaro que quando os braçços são puxados para pros são puxados para próóximo do corpo da bailarina, ximo do corpo da bailarina,

o eixo de rotao eixo de rotaçção ão rr éé reduzido, consequentemente o momento de inreduzido, consequentemente o momento de inéércia rcia

diminuirdiminuiráá. Desde que o momento angular permanece constante, se . Desde que o momento angular permanece constante, se II decresce, decresce,

então a velocidade angular tem que crescer para manter o momentoentão a velocidade angular tem que crescer para manter o momento angular angular

constante (constante (MM = = I.I.ωω = = constconst. ). Se a bailarina reduz o seu momento de in. ). Se a bailarina reduz o seu momento de inéércia rcia

por fator 2, então ela rodarpor fator 2, então ela rodaráá com uma velocidade angular duas vezes maior. com uma velocidade angular duas vezes maior.

Um exemplo similar ocorre com atletas de saltos ornamentais. EleUm exemplo similar ocorre com atletas de saltos ornamentais. Eles usam deste s usam deste

mesmo princmesmo princíípio para girar mais ou menos rpio para girar mais ou menos ráápido em torno do seu centro de pido em torno do seu centro de

massa. Note que para o momento angular ser conservado massa. Note que para o momento angular ser conservado éé necessnecessáário que o rio que o

torque resultante seja zero, mas a fortorque resultante seja zero, mas a forçça resultante não necessariamente tem a resultante não necessariamente tem

quer ser nula. Por exemplo, no caso da atletas de saltos ornamenquer ser nula. Por exemplo, no caso da atletas de saltos ornamentais o torque tais o torque éé

igual a zero, mesmo tendo uma forigual a zero, mesmo tendo uma forçça gravitacional atuando sobre ela.a gravitacional atuando sobre ela.

- Quantidade de movimento linear e angular


243

1. Uma caminhonete de 1500 Kg carregando uma carga de 500 Kg atinge

uma velocidade de 60 Km/h, a partir do repouso, em uma distância de 50 m

subindo uma ladeira com 10 % de inclinação, com aceleração constante.

Calcule a força normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a força

de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de

atrito efetivo entre os pneus e a pista é de no mínimo 0,7 e que a aceleração

gravitacional é 9,81 m/s2. Verifique se as superfícies são suficientemente

rugosas para suportar o valor calculado da força de atrito Fat.

ATIVIDADES GERAIS - CINÉTICA PLANAR

DOS CORPOS RÍGIDOS


244

2. Calcule a aceleração a de cima para baixo do cilindro maciço de 10 Kg.

O tambor pode ser considerado um cilindro uniforme de momento de

inércia I = ½mr2, e o atrito no pivô é desprezível.


245

3. O cilindro maciço homogêneo (I = ½mr2) mostrado na figura é liberado

a partir do repouso sobre a rampa. Se θ = 30º, determine a aceleração do

centro de massa G e a força de atrito F exercida pela rampa sobre o

cilindro.


246

4. Com base no exercício anterior, sabendo que os coeficientes de atrito

estático e cinético valem respectivamente μe = 0,15 e μd = 0,10, verifique

se com o valor de F encontrado é realmente possível que haja rolamento

sem deslizamento.


247

5. Em um dado instante, a velocidade do cilindro de 8 Kg é de 0,3 m/s.

qual é sua velocidade v após descer 1,5 m adicional? A massa do tambor é

de 12 Kg, seu raio de giração centroidal é de k = 210 mm e o raio de seu

núcleo é ri = 200 mm. O trabalho do momento devido ao atrito não pode

ser desprezado, valendo UM = 22,5 J.


248

6. A barra esbelta AO de 15 Kg é liberada a partir do repouso na posição

vertical e comprime a mola de rigidez k = 20000 N/m quando passa pela

posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo

a distância h, que resultará em uma velocidade para a barra ω = 4 rad/s

quando ela cruzar a posição horizontal. Discuta qual é o efeito da dimensão x

na dinâmica desse problema. Lembre-se que o centro de massa da barra

encontra-se no seu centro (300 mm) e que seu momento de inércia em relação

a esse ponto vale IG = (1/3)mL2.


249

7. Uma cápsula espacial tem massa de 1200 Kg e momento de inércia

IG = 900 Kg.m2 em relação a um eixo que passa por G e é perpendicular à

página. Se ela se desloca para a frente com velocidade vG = 800 m/s e

executa uma volta graças à ação de dois jatos, que fornecem um empuxo

constante de 400 N, durante 0,3 s, determine a velocidade angular da

cápsula depois de interrompida a ação dos jatos.R: 0,386 rad/s


250

8. O homem puxa a corda com uma força de 100 N, na direção mostrada

na figura. Se a bobina tem peso de 250 N e raio de giração kG = 0,8 m em

relação ao seu eixo em A, determine a velocidade angular da bobina 2 s

após ter partido do repouso. Despreze o atrito e o peso da corda removida.R: 15,3 rad/s


dinÂmica ii - apostila

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