apostila de dinâmica ii - v26!11!2009

8/12/2019 Apostila de Dinmica II - V26!11!2009

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EsEsEsEs

UnUnUnUnDep

Nav

DI

ola Politcnica daola Politcnica daola Politcnica daola Politcnica da

versidade deversidade deversidade deversidade de So PaSo PaSo PaSo Partamento de Engenharia

l e Ocenica

MICA DESISTEMAS II

Material de Apoio

Prof. Dr. Andr Lu

lolololo

s Condino Fujarra


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Material de Apoio

Dinmica de Sistemas II

2

1 2 s

Verso Dat

MateriDin

Dept./Unidade Dat

PNV/EPUSP Ago

Disciplina oferecida pelUniversidade de So Pa

em./2009 Texto em elaborao

a Observaes

al de Apoio:ica de Sistemas II

Autor:

sto de 2009 Prof. Dr. Andr Lus Con

o programa de graduao da Escolaulo.

Identifica

oBibliogrfica

0

ino Fujarra

Politcnica da


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Material de Apoio


Sumrio

0

SUMRIO

1. PREFCIO .................................................................................................. 1

2. ONDAS DE SUPERFCIE NO CONTEXTO DA ENGENHARIA NAVAL E

OCENICA ........................................................................................................ 2

3. CLASSIFICAO DOS COMPORTAMENTOS DINMICOS .................... 9

3.1 Determinstico versus no-determinstico ................................................ 9

3.2 Classificao dos comportamentos determinsticos .............................. 10

3.2.1 O comportamento peridico senoidal ......................................... 11

3.2.2 O comportamento peridico complexo. ...................................... 12

3.2.3 O comportamento quase-peridico ............................................. 14

3.2.4 O comportamento transiente....................................................... 15

3.3 Classificao dos comportamentos no-determinsticos ....................... 16

4. ASPECTOS PRELIMINARES DO MAR IRREGULAR .............................. 17

5. PRIMEIRO CONJUNTO DE EXERCCIOS NUMRICOS ........................ 22

5.1 Proposio geral .................................................................................... 22

5.2 Proposio para este primeiro conjunto de exerccios .......................... 22

5.3 Carregando e apresentando um registro de mar ................................... 22

5.4 Identificao de perodos entre zeros ascendentes, mximos e mnimos

............................................................................................................... 25

6. REFINAMENTO NAS ANLISES DO MAR IRREGULAR ....................... 30

6.1 Parmetros e relaes importantes ....................................................... 30

6.2 As distribuies de Gauss e Rayleigh.................................................... 33

7. ESPECTRO DE ENERGIA ........................................................................ 36

8. CONVERSO DO REGISTRO DE MAR EM ESPECTRO ........................ 42

8.1 Aspectos gerais da anlise de Fourier ................................................... 42

8.2 A anlise de Fourier discreta ................................................................. 43

8.3 Exemplo de aplicao ............................................................................ 44


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Sumrio

1

8.4 Alturas e perodos obtidos a partir do espectro de mar ......................... 48

8.5 Os momentos espectrais ....................................................................... 50

8.6 Exerccio proposto ................................................................................. 51

8.6.1 Soluo baseada na definio dos momentos espectrais .......... 52

8.6.2 Soluo baseada em analogias geomtricas.............................. 53

9. ESPECTROS PADRONIZADOS DE MAR ................................................ 54

9.1 Mar plenamente desenvolvido ............................................................... 54

9.2 Forma geral dos espectros padronizados .............................................. 56

9.3 Espectros usuais nas aplicaes navais e ocenicas............................ 579.3.1 Espectro de Pierson-Moskowitz .................................................. 57

9.3.2 Espectro de Bretschneider .......................................................... 58

9.3.3 Espectro ISSC ............................................................................ 59

9.3.4 Espectro ITTC ............................................................................. 59

9.3.5 Espectro JONSWAP ................................................................... 60

9.4 Comparao entre os espectros padronizados ..................................... 61

9.5 Aspectos prticos................................................................................... 62

10. RESPOSTA EM EXCITAO ALEATRIA ............................................. 64

10.1Anlises preliminares excitao regular .............................................. 64

10.2Anlise do domnio da freqncia sobreposio de efeitos ................ 66

10.3Parmetros importantes a partir do espectro de resposta ..................... 69

10.4A composio de movimentos ............................................................... 70

10.4.1 A composio de movimentos em ambiente matemtico ........... 73

10.5O impacto da velocidade de avano ...................................................... 75

11. FUNO DE TRANSFERNCIA .............................................................. 78

11.1Obteno experimental .......................................................................... 79

11.1.1 Exemplo experimental para a ITTC-SR192 em escala 1:105 ..... 80

11.2Obteno numrica................................................................................ 83

11.2.1 Exemplo numrico a partir do WAMIT ...................................... 85

12. COMPORTAMENTO EM ONDAS DE UMA PLATAFORMA S-S ............. 86

12.1Breve reviso da Teoria Linear de Ondas para guas profundas .......... 86


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Sumrio

2

12.2Estimativa das foras hidrodinmicas .................................................... 88

12.2.1 Foras reativas ........................................................................... 88

12.2.2 Foras de excitao de onda ...................................................... 92

12.3Equacionamento dinmico para a plataforma S-S ................................. 93

12.3.1 Foras reativas ........................................................................... 93

12.3.2 Foras de excitao nos pontoons ............................................. 94

12.3.3 Foras de excitao nas colunas ................................................ 97

12.3.4 Consideraes sobre o amortecimento viscoso .......................... 99

12.3.5 Equaes do movimento............................................................. 99

12.4Anlises com o auxlio do ambiente matemtico ................................. 100

12.4.1 Construo analtico-numrica dos RAOs ................................ 100

13. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 109

14. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................... 110


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Material de Apoio


Captulo:Prefcio

1

1. PREFCIO

(Redao ao trmino do texto)


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Material de Apoio


Captulo:OndasdeSuperfcienoC

ontextodaEngenhariaNav

aleOcenica

3

interesse, caracterizando-se por uma menor aleatoriedade e maior

previsibilidade.

Em se tratando das respostas1de um sistema tpico (fixo ou mvel) mediante a

ao de uma condio de mar, sabe-se que sua determinao pode ser

bastante dificultada por efeitos como: as no linearidades; a multiplicidade na

direo de incidncia; a interao com outros agentes (por exemplo, a

correnteza); a interao com outro(s) sistema(s) operando em proximidade;

entre outros.

Ainda que analisada a luz de simplificaes consistentes quanto a esses

efeitos, estratgia pertinente para uma disciplina de graduao, a ao das

condies de mar sobre o sistema em estudo pode trazer reflexos ou

conseqncias (respostas) como: resistncia adicional ao sistema de fixao

ao leito do mar; reduo da velocidade de avano, no caso de sistemas

mveis; aumento do consumo de combustvel, quer seja para o avano, quer

para a manuteno da posio; fadiga estrutural do sistema em estudo, bem

como dos seus subsistemas de operao; abraso excessiva de partes

estruturais prximas superfcie livre; paradas em virtude de solicitaes que

excedam os limites de operao segura.

Desta forma, em linhas gerais, buscar-se- responder duas questes

fundamentais, quais sejam:

1 Questo:Como caracterizar a condio de mar (excitao aleatria ou mar

irregular) de uma maneira prtica e til para anlises e projetos?

A esse respeito, a Figura 1 mostra a sobreposio de efeitos regulares nacomposio de um mar real e que, portanto, apresenta uma pista da estratgia

a ser adotada para a caracterizao da condio de mar.

Esta figura apresenta, inclusive, o aspecto da multiplicidade na direo de

incidncia. Obviamente, como alertado, este comportamento de mltiplas

incidncias no ser foco da presente disciplina, representando uma das

1Aceleraes, velocidades, deslocamentos, deformaes, presses, carregamentos internos.


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aleOcenica

4

muitas simplificaes adotadas nesta disciplina introdutria de comportamento

no mar de sistemas navais e ocenicos.

Figura 1: Sobreposio de efeitos regulares na composio de um mar real.

Fonte: Pierson, Newman e James

2 Questo:Como obter a resposta do sistema, conhecendo seu comportamento e a

prpria condio de mar que o est excitando?

Neste caso, a Figura 2 d a pista. Nela notam-se duas possibilidades de se

responder a essa questo. Uma referente a uma anlise no domnio do tempo e

outra no domnio da frequncia, esta ltima caracterizada por ser mais prtica, e

expedita.


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aleOcenica

5

Fonte: Torgeir Moan - NTNU

Fonte: Torgeir Moan - NTNU

Figura 2: Anlises tpicas para o problema da excitao de mar agindo sobre

sistemas em operao no mar: (a) no domnio do tempo e (b) no domnio da

frequncia.

A anlise no domnio da frequncia, foco da presente disciplina, prescinde da

caracterizao da excitao aleatria na forma de seu Espectro de Mar, )(S ,

(b) Anlise no Domnio da Freqncia

)(zH

1

Funo deTransferncia

)(zH

Espectro de

Mar, )(S

Espectro deResposta,

)(zS

(a) Anlise no Domnio do Tempo

SistemaExcitao

de Mar

Resposta

do Sistema

k

m

c

F(t)


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aleOcenica

6

representao simplificada que corresponde distribuio da densidade de

energia contida em cada uma das componentes regulares que por

sobreposio de efeitos permitem sua reconstruo. Alm desta

caracterizao, h que se conhecer a Funo de Transferncia do Sistema (por

exemplo: a do movimento vertical, ou heave, )(zH ).

De acordo com o arcabouo terico explorado em Dinmica I, trs regies so

facilmente identificadas na funo de transferncia da Figura 2: A) na qual

dominam os termos de restaurao do sistema; B) onde dominam os termos de

dissipao e, finalmente, a regio C) cuja prevalncia refere-se aos termos

inerciais do sistema.

Com base em um tratamento, que no por acaso justamente a resposta para

a 2 Questo desta disciplina, possvel chegar ao Espectro de Resposta do

Sistema (neste exemplo, o espectro de resposta em heave), )(zS , que, de

maneira anloga excitao, corresponder distribuio da densidade de

energia contida em cada componente regular de resposta. Obviamente, dada a

hiptese de linearidade assumida nas anlises, atravs da sobreposio deefeitos regulares tambm se pode recompor o registro da resposta irregular no

domnio do tempo.

Nas prximas sees deste texto ser apresentada a teoria, bem como as

tcnicas, os aspectos importantes e exerccios que permitiro a compreenso

do comportamento no mar de sistemas navais e ocenicos.

Antes disso, a ttulo de curiosidade final do presente captulo de

contextualizao, na Figura 3 apresentada uma seqncia de fotos, cadaqual referente a um estado de mar na escala Beaufort2 (de 1 a 12 em

severidade).

2Uma das primeiras escalas criadas para estimar a velocidade do vento e seus efeitos sobre a

superfcie livre do mar foi criada por Sir Francis Beaufort (1774-1857). O Almirante britnico

Beaufort desenvolveu essa escala em 1805 para auxiliar os marinheiros a estimar visualmente

a fora do vento e as condies de mar respectivamente associadas a essa observao. A

escala Beaufort, como conhecida, ainda usada at hoje escalonada de fora 0 (condiocalma de mar e vento) at fora 12 (condio equivalente passagem de um furaco).


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aleOcenica

7

Figura 3: Fotos representando cada uma das condies de mar da escala

Beaufort.

Estas fotos, por sua vez, so acompanhadas das seguintes descries e

especificaes para o uso do mar:

ForceEquivalent Speed 10mabove the sea surface Description Specifications for use at sea

Miles/hour Knots0 0-1 0-1 Calm Sea like a mirror.

1 1-3 1-3 Light air

Ripples with the appearance of

scales are formed, but without foamcrests.


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aleOcenica

8

2 4-7 4-6 Light Breeze

Small wavelets, still short,but more pronounced. Crests havea glassy appearance and do not

break.

3 8-12 7-10 Gentle BreezeLarge wavelets. Crests begin tobreak. Foam of glassy appearance.Perhaps scattered white horses.

4 13-18 11-16ModerateBreeze

Small waves, becoming larger; fairlyfrequent white horses.

5 19-24 17-21 Fresh Breeze

Moderate waves, taking a morepronounced long form; many whitehorses are formed. Chance of somespray.

6 25-31 22-27 Strong Breeze

Large waves begin to form; thewhite foam crests are moreextensive everywhere. Probably

some spray.

7 32-38 28-33 Near Gale

Sea heaps up and white foam frombreaking waves begins to be blownin streaks along the direction of thewind.

8 39-46 34-40 Gale

Moderately high waves of greaterlength; edges of crests begin tobreak into spindrift. The foam isblown in well-marked streaks alongthe direction of the wind.

9 47-54 41-47 Severe Gale

High waves. Dense streaks of foamalong the direction of the wind.Crests of waves begin to topple,tumble and roll over. Spray mayaffect visibility.

10 55-63 48-55 Storm

Very high waves with long over-hanging crests. The resulting foam,in great patches, is blown in densewhite streaks along the direction ofthe wind. On the whole the surfaceof the sea takes on a whiteappearance. The 'tumbling' of thesea becomes heavy and shock-like.Visibility affected.

11 64-72 56-63 Violent Storm

Exceptionally high waves (small

and medium-size ships might be fora time lost to view behind thewaves). The sea is completelycovered with long white patches offoam lying along the direction of thewind. Everywhere the edges of thewave crests are blown into froth.Visibility affected.

12 73-83 64-71 Hurricane

The air is filled with foam and spray.Sea completely white with drivingspray; visibility very seriouslyaffected.


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Captulo:ClassificaodosCompo

rtamentosDinmicos

9

3. CLASSIFICAO DOS COMPORTAMENTOS DINMICOS

3.1 Determinstico versus no-determinstico

Conforme mencionado no captulo anterior, a apresentao terica e

respectivas anlises desenvolvidas neste texto tero como foco as excitaes

de carter aleatrio (excitao de mar: ondas de superfcie).

Antes disto, no entanto, cumpre caracterizar perfeitamente o que um

comportamento no-determinstico, ou aleatrio, de uma grandeza sob anlise,

descrevendo-o luz de uma comparao com o comportamento determinstico,

usualmente estudado at o presente momento. Para tanto, sero utilizados osconceitos de fenmeno estacionrio e fenmeno ergdico, bem como os

fundamentos de funes estatsticas baseados em anlises acerca das

amplitudes da grandeza de interesse, vista no domnio do tempo e tambm no

domnio da frequncia.

Assim, considere que qualquer fenmeno fsico de interesse possa ser

observado e registrado por uma grandeza pertinente e que, desta forma, seja

passvel de uma classificao entre determinstico e no-determinstico.

Determinsticos so aqueles fenmenos que permitem uma descrio atravs

de relaes matemticas explcitas. Por exemplo, o sistema linear f ilustrado na

Figura 2, formado pelo conjunto: massa mola amortecedor, pode ser

aproximadamente descrito3pela seguinte relao matemtica:

= , 0

(1)

Como a equao (1) define a exata localizao da massa para um dado

instante de tempo, ento, pode-se dizer que o comportamento deste sistema

determinstico.

Conforme verificado em Dinmica I, existe uma srie de fenmenos, e em

particular sistemas mecnicos, que podem ser classificados como

determinsticos, visto serem aproximadamente bem representados por

3Atravs das Leis da Mecnica ou de observaes repetidas.


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Material de Apoio


equacionamentos mate

ser contestada porque,

robusto o suficiente par

perturbaes, etc) iner

adequados da preciso

pode ser considerada co

3.2 Classificao dos

Em se tratando desubdivididos em peridic

Conforme ilustrado na

serem classificados em

vez, os comportamento

peridicos ou transie

comportamentos pode o

Figura 4: Class

ticos explcitos. Obviamente, esta con

de fato, nenhum equacionamento m

considerar toda e qualquer variabilidad

nte ao mundo fsico real. Porm,

e de representatividade desejadas, est

rreta.

omportamentos determinsticos

omportamentos determinsticos, esteos e no-peridicos.

igura 4, os comportamentos peridicos

uramente senoidais ou peridicos com

s no-peridicos podem ser classifica

ntes. Logicamente, qualquer combi

correr.

ificao dos comportamentos determin


rtamentosDinmicos

10

iderao pode

temtico ser

(imprecises,

ediante nveis

a classificao

s podem ser

podem, ainda,

lexos. Por sua

os em quase-

nao destes

ticos.


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Material de Apoio



rtamentosDinmicos

11

A seguir so descritas as caractersticas de cada um dos comportamentos

determinsticos possveis.

3.2.1 O comportamento peridico senoidal

Comportamentos peridicos senoidais so aqueles passveis de representao

atravs da seguinte funo varivel no tempo:

= 2

+ ,

: = 1 (2)

Na prtica, o ngulo de fase pode ser ignorado para grande parte dasanlises.

Notar que a representao deste comportamento peridico no domnio da

freqncia profundamente mais sinttica, plenamente caracterizada apenas

pela amplitude e a respectiva freqncia . Tal representao conhecidacomo espectro discreto ou, ainda, espectro linear.

Figura 5: Registro temporal e respectivo espectro do comportamento senoidal.

Trata-se de um comportamento bastante simples, comum a vrios fenmenos

fsicos, dentre os quais, a oscilao do sistema massa-mola, intensamente

explorado nas anlises durante a disciplina de Dinmica I.


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rtamentosDinmicos

12

3.2.2 O comportamento peridico complexo.

O comportamento determinstico conhecido como peridico complexo

caracterizado por funes matemticas exatas definidas como na equao (3),

ou seja, que se repetem em intervalos regulares. Estas funes podem ainda

ser expandidas em sries de Fourier, como aquela apresentada na equao

(4): = + , = 1 , 2 , 3 , (3)

= 2 + 2 + 2 , : = 2 2 , =0,1,2,3, = 2 2 , =1,2,3, (4)

Tambm neste caso, possvel identificar um perodo fundamental

e,

portanto, perceber que o comportamento senoidal um caso particular docomportamento peridico complexo.

Outra maneira de apresentar a equao (4) caracteriza-se pela sobreposio

de uma componente constante, = , e componentes senoidais,chamadas de harmnicos, definidos por amplitudes e respectivas fases .Desta forma:

= + 2

, : = + , = 1 , 2 , 3 , = , = 1 , 2 , 3 , (5)

As fases, por sua vez, em geral so ignoradas e uma representao do

comportamento peridico complexo pode ser apresentada como na Figura 6.


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rtamentosDinmicos

13

Figura 6: Espectro do comportamento peridico complexo.

H casos, no entanto, em que o perodo fundamento ausente, por exemplo:na sobreposio de trs comportamentos senoidais caracterizados

respectivamente por freqncias de 60, 75 e 100Hz. Para este comportamento,

a freqncia de 5Hz o maior mltiplo comum dentre aquelas que

caracterizam o comportamento e, portanto, define o perodo fundamental do

mesmo. =0,2.Portanto, a srie de Fourier que descreve este comportamento ter todos os

valores de nulos, exceto para = 1 2, = 1 5e = 2 0.De fato, comportamentos peridicos complexos so mais comuns emfenmenos fsicos e os comportamentos senoidais acabam por representar

apenas uma aproximao daqueles.

Um bom exemplo de comportamento fsico com esta natureza diz respeito

oscilao de uma corda. Excitada por uma flecha inicial no nula, esta estrutura

ir exibir uma cascata de harmnicos.


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rtamentosDinmicos

14

3.2.3 O comportamento quase-peridico

Considere-se agora uma sobreposio de efeitos regulares, semelhante quela

da seo anterior, porm caracterizada pela ausncia de um mximo mltiplo

comum entre as freqncias que os definem. Em outras palavras, considere um

comportamento ditado pela sobreposio de efeitos senoidais puros,

caracterizados por freqncias prprias , de tal forma que, neste caso,qualquer um dos cocientes entre duas dessas freqncias resulte em um

nmero irracional. Estas so condies para que um comportamento seja

definido como quase-peridico.

Assim, o comportamento determinstico ditado pela equao (6) definido

como peridico complexo com perodo fundamento = =1: = 2 + + 5 + + 7 + . (6)Notar que os cocientes entre as freqncias componentes:

, e , so todosnmeros racionais.

Por outro lado, considere-se agora o comportamento determinstico

caracterizado pela seguinte sobreposio de efeitos regulares:

= 2 + + 5 + + 5 0 + . (7)Neste caso, o comportamento dito quase-peridico, pois os cocientes

e

so nmeros irracionais e, portanto, caracterizam um perodo fundamental

infinitamente longo. Para este comportamento, no existir valor de quesatisfaa a equao (3).Comportamentos desta natureza geralmente acontecem quando h a

sobreposio de dois ou mais efeitos no relacionados. Ainda assim, se os

ngulos de fase forem ignorados, a equao (7) tambm pode ser

representada no domnio da freqncia, de maneira anloga quela

apresentada na Figura 6. A nica diferena ser que as freqncias

componentes no estaro relacionadas por nmeros racionais.


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rtamentosDinmicos

15

3.2.4 O comportamento transiente

Transientes so comportamentos caracterizados pela ausncia de

periodicidade e que tambm no podem ser classificados como quase-

peridicos. Trs bons exemplos so:

(a) O resfriamento de um recipiente contendo fluido aquecido.

= , 0 = 0 , < 0 (8)

(b) A oscilao livre de um sistema massa-mola-amortecedor (decaimento).

= cos , 0 = 0 , < 0 (9)

(c) O rompimento de um cabo sob trao.

= , 0 = 0, < < 0 (10)


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rtamentosDinmicos

16

Importante destacar que, ao contrrio dos comportamentos peridicos e quase-

peridicos, os transientes no so passveis de uma representao espectral

discreta.

No caso dos comportamentos transientes, a representao no domnio da

freqncia se far atravs de uma representao espectral contnua, valendo-

se de uma Transformada de Fourier enunciada como: = . (11)De acordo com esta transformada,

so nmeros complexos expressos em

funo de uma magnitude ||e um argumento , de tal forma que:

Maiores detalhes acerca desta representao sero apresentados em

momento pertinente, mais adiante neste texto.

3.3 Classificao dos comportamentos no-determinsticos

(Em redao).

= || . (12)


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Captulo:AspectosPreliminaresdo

marirregular

17

4. ASPECTOS PRELIMINARES DO MAR IRREGULAR

Conforme mencionado, um mar irregular (mais adiante melhor caracterizado4

como uma excitao aleatria, ou seja, no determinstica) pode ser

representado pela superposio de muitas ondas regulares (excitaes

harmnicas). De fato, a simples sobreposio de duas ondas regulares

unidirecionais com diferentes velocidades e d mostra disso, ver Figura 7.

Figura 7: Sobreposio simples de dois comportamentos regulares.

Desta forma, assumindo um registro temporal suficientemente longo5 da

elevao do mar irregular (considerando uma propagao unidirecional na

4Mediante hipteses e consideraes pertinentes.

5

Suficiente para uma boa caracterizao com sendo um comportamento ergdico eestacionrio.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1

Onda com velocidade c1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

2

Onda com velocidade c2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2

1

+

2

Onda sobreposta


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Material de Apoio


Alm disso, a cada inter

e sua respectiva altur

Figura 8: Procedimenzeros ascend

A partir deste procedim

onda identificadas, 150

0,5m cada.

Tabela 1: Anlise estat

Intervalos deH [m]

0,25 a 0,750,75 a 1,251,25 a 1,751,75 a 2,252,25 a 2,752,75 a 3,253,25 a 3,75

3,75 a 4,25TOTAIS

De uma maneira simpl

mdiodessa onda irregu

alo entre zeros ascendentes, correspo

,

, com

= 1 , 2 , 3 , .

to de anlise estatstica simplificada. Identes, perodos e respectivas alturas de

nto, possvel montar a Tabela 1, ond

o total, so agrupadas em intervalos, p

tica simples para o registro de mar irreg

Valor

aractersticodo Intervalo

[m]

Nmero deOcorrnciasno Intervalo

0,5 15 0,1001,0 30 0,2001,5 55 0,3672,0 21 0,1402,5 14 0,0933,0 9 0,0603,5 5 0,033

4,0 1 0,007150 1,000

s, pode-se obter um valor estimado

lar hipottica atravs da seguinte opera

T = 1N


marirregular

19

de um perodo

tificao denda.

as alturas de

or exemplo, de

ular hipottico.

0,1000,3000,6670,8070,9000,9600,993

1,000

ara o perodo

o:

(14)


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Material de Apoio



marirregular

20

Para a obteno de dados estatsticos acerca da altura de onda, no entanto, se

faz necessria a definio de duas funes, a saber:

a) A funo de densidade de probabilidade, , obtida com o quocienteentre o nmero de ocorrncias em cada intervalo pelo nmero total deocorrncias, Figura 9.

Figura 9: Funo densidade de probabilidade para o mar irregular hipottico.

b) A funo de distribuiodas alturas de onda, , obtida com base nasdensidades de probabilidade acumuladas, Figura 10.

Figura 10: Funo de distribuio das alturas para o mar irregular hipottico.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Funo Densidade de Probabilidade

H [m]

f(H)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funo de Distribuio

H [m]

F(H)


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marirregular

21

Com base nesses grficos torna-se possvel, ento, a obteno de informaes

complementares do tipo:

A probabilidade das alturas de onda superarem um determinado valor de

referncia, : > =

No exemplo, se >3,25, a probabilidade de serem encontradasondas com altura superior a esse valor ser de:

>3,25 = 5 + 1150 =0,033+0,007=0,040 A altura mdia de onda, :

= 0,515+ + 4 , 0 1150 =0,50,100+ +4,00,007=1,64 A altura significativa de onda, ou definida como a altura mdiaentre o tero de ondas com maiores alturas: = = 2,021+ + 4 , 0 1150 3 = 2,00,140+ +4,00,0071 3 =2,51

A ttulo de curiosidade, a altura significativa um valor bem prximo da media

entre as maiores ondas observadas por algum que se encontre na tarefa de

acompanhar o comportamento da elevao de mar.

Desta forma, juntamente com as probabilidades de ocorrncia > osprocedimentos de anlise sempre estaro preocupados em caracterizar duas

grandezas principais do mar (regular ou irregular): uma relacionada com o

aspecto temporal, no caso perodos e/ou freqncias; e outra relacionada com

o aspecto intensidade, em particular alturas e/ou amplitudes de onda. Esta

preocupao se faz tanto em procedimentos mais simples como os

apresentados neste captulo, como naqueles mais elaborados, discutidos nos

prximos.


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Material de Apoio


Captulo:PrimeiroConjuntodeExe

rcciosNumricos

22

5. PRIMEIRO CONJUNTO DE EXERCCIOS NUMRICOS

5.1 Proposio geral

Ao longo deste texto, e sempre que se fizer conveniente, sero realizados

exerccios numricos explorando os contedos apresentados e, ao mesmo

tempo, proporcionando ao leitor a oportunidade de, concomitantemente,

explorar e aprender as funcionalidades bsicas de um programa de anlise

tpico.

No caso deste texto, sero exercitados os conceitos tericos atravs da

ferramenta MatLab, disponvel aos alunos do curso de Engenharia Naval eOcenica da EPUSP. No entanto, importante deixar claro que qualquer um

destes exerccios pode ser perfeitamente vertido para outros ambientes de

anlise matemtica, dentre os quais podem ser citados: SciLab; Octave e

mesmo o Excel; logicamente guardadas suas particularidades.

5.2 Proposio para este primeiro conjunto de exerccios

Neste primeiro conjunto de exerccio sero apresentadas funcionalidades

voltadas principalmente aos seguintes pontos:

Carregar um registro de mar padro em ambiente matemtico;

Explorar este registro luz dos conceitos apresentados nas sees

anteriores deste texto e, eventualmente, antecipar outros conceitos que

venham a ser apresentados nas sees seguintes.

5.3 Carregando e apresentando um registro de mar

Como primeiro passo usual a aplicao de alguns comando no ambiente

MatLab, que se encarregam de preparar: a Command Windowe o Workspace,

bem como se desfazer de qualquer janela grfica disponvel. Os trs comandos

que, respectivamente, se encarregam destas tarefas so:

clcclear allclose all


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rcciosNumricos

23

Em seguida, um registro temporal de elevao de mar, gravado no arquivo

ExemploMar.txt, carregado e apresentado no ambiente matemtico atravs

dos seguintes comandos:

load 'ExemploMar.txt't = ExemploMar(:,1);el = ExemploMar(:,2);fig1 = figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...

'color','w');plot(t,el,'k')xlabel('Tempo, t [s]')ylabel('Elevao, \eta(t) [cm]')

O resultado apresentado como na Figura 11. Importante destacar tratar-se deum registro temporal de elevao de um mar gerado em tanque de provas

fsico, em escala 1:100, ou seja, cada 1cm no grfico equivale a 1m em escala

real.

Figura 11: Apresentao grfica do exemplo de mar carregado no ambientematemtico.

0 50 100 150 200 250-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tempo, t [s]

Eleva

o,

(t)[cm

]


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Material de Apoio



rcciosNumricos

24

Ainda com base no exemplo de registro de mar possvel calcular o valor

mdio das elevaes, subtraindo-o de todo os demais valores.

Alm disso, pode-se tambm construir um histograma das elevaes, tomando-

se como referncia o valor mximo absoluto da amostra, bem como uma

classificao das elevaes segundo intervalos discretos de 0,5cm.

Para tanto, so utilizadas as seguintes instrues:

el_med = mean(el);el = el - el_med;el_max = ceil(max(abs(el)));discr = .5;

el_hist = [-el_max:discr:el_max];fig2 = figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...'color','w');

hist(el,el_hist);

A Figura 12 ilustra o histograma obtido. Note que a distribuio tem uma

caracterstica bastante parecida com um Distribuio de Gauss.

Figura 12: Histograma das elevaes do exemplo de mar carregado.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

500

1000

1500

Intervalos de Elevao, [cm]

Nmero

de

Ocorr

nc

iasem

ca

da

Interva

lo


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rcciosNumricos

25

A ttulo de melhor a compreenso das funcionalidades at aqui apresentadas,

sugere um estudo complementar via helpativo na Command Window. Assim,

procure ler o contedo apresentado a partir da execuo do seguinte

comoando:

help clear all

Repita esta estrutura, help , para os demais comandos utilizados at

este ponto, so eles:

close all

clcloadfigureplotxlabelylabelbreakceilmaxabshistclfsubplotfind

5.4 Identificao de perodos entre zeros ascendentes, mximos e

mnimos

Com base nos mesmos comandos iniciais para carregar o exemplo de registro

de mar na rea de trabalho, pode-se, agora, estender as anlises em direo :

Identificao dos perodos entre zeros ascendentes;

Identificao dos valores mximos e mnimos dentro de cada um dessesperodos.

Tais anlises se fazem a partir das seguintes linhas de comando:

clear allclose allclc

load 'ExemploMar.txt'[L,C] = size(ExemploMar);tamanho = L;

t = ExemploMar(1:tamanho,1);el = ExemploMar(1:tamanho,2);el_med = mean(el);


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Material de Apoio


Figura 13: Grficos co

ascendentes, b

Figura 14: Zoom da i

0 50-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Eleva

o,

(t)[cm

]

0 50-6

-4

-2

0

2

4

68

Eleva

o,

(t)[cm

]

o exemplo de registro de mar. Identific

m como mximos e mnimos em cada p

entificao de zeros ascendentes (o

), mmnimos (*)

100 150 200

Tempo, t [s]

100 150 200

Tempo, t [s]


rcciosNumricos

27

o dos zeros

erodo.

ximos (*) e

250

250


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rcciosNumricos

28

Finalmente, seguindo o mesmo procedimento apresentado no captulo 4 deste

texto, pode-se construir uma representao grfica para a funo de densidade

de probabilidade, , ver . Neste caso, no entanto, faz-se uma apresentaode, onde . Para tanto, devem ser utilizados as seguintes instrues:figure('units','normalized','position',[.2 .2 .6 .6],...

'color','w');ampl_el = [el_maximos-el_minimos]/2;max_ampl_el = ceil(max(ampl_el));discr = 0.5;ampl_el_hist = [0:discr:max_ampl_el];hist(ampl_el,ampl_el_hist);xlabel('Elevao, \zeta(t) [cm]','fontsize',12)

ylabel('Funo Densidade de Probabilidade, f(A = H/2)','fontsize',12)lim_abscissa = get(gca,'xlim');lim_abscissa(1) = 0;set(gca,'xlim',lim_abscissa);h = findobj(gca,'type','patch');set(h,'facecolor','w','edgecolor','k')

Figura 15: Funo densidade de probabilidade para o exemplo de mar em

estudo, neste caso: f(A = H/2).

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

Elevao, (t) [cm]

Funo

Dens

ida

de

de

Pro

ba

bilida

de,

f(A=H

/2)


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Material de Apoio


Captulo:RefinamentonasAnlisesdoMarIrregular

30

6. REFINAMENTO NAS ANLISES DO MAR IRREGULAR

6.1 Parmetros e relaes importantes

Considere-se, agora, uma anlise mais completa e elaborada de um registro

temporal de elevao de mar, Figura 16, que em virtude do carter longo, torna

imperativa a utilizao de algoritmo computacional de apoio.

Antes disso, porm, cumpre destacar que o carter longo a que se refere o

pargrafo anterior est intrinsecamente relacionado ergodicidade do

comportamento aleatrio, como forma de garantir que todos os efeitos de

interesse estejam presentes na amostra considerada. Desta forma, assume-secomo longo o registro cujo tempo total seja igual ou superior a 100 vezes o

maior perodo de interesse.

Na prtica, registros de 15 a 20 minutos, tomados a uma taxa de amostragem

de 0,5 segundo, so suficientes para uma caracterizao aproximada do

estado de mar. Sabe-se, no entanto, que estados de mar reais tm perodo de

durao da ordem de 3 horas, exigindo registros mais longos para uma

caracterizao mais precisa. Aspecto semelhante norteia as anlisespermeadas pela presena de variao de mar e/ou coexistncia de um swell.

Figura 16: Trecho de um registro temporal de mar irregular.


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31

Naturalmente, com base neste registro suficientemente longo, possvel se

definir uma elevao mdia,

, para a elevao de mar. De acordo com

incrementos iguais de tempo, , uma vez descontado o nvel mdio de todo oregistro, tem-se condies de identificar um nmero N de elevaes dasuperfcie livre.

Ento, a partir destas elevaes, pode-se definir de maneira preliminar o desvio

padro, , como sendo:

De acordo com o ilustrado na Figura 17, possvel construir uma funo

densidade de probabilidade para as elevaes de onda, f, obedecendo aseguinte formulao:

Figura 17: Densidades de probabilidade das elevaes de mar, .

= 1 1 (15)

fd = 1, 0

(16)


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32

Assim, a partir do registro de elevao original e da definio da funo

densidade de probabilidade, pode-se tambm enunciar a elevao mdia do

mar irregular com sendo o valor que coincide com o centride da rea sob acurva f, ou seja:

Alm deste parmetro importante do mar, possvel definir outro, o valor

quadrtico mdio:

Note que, mantendo a analogia geomtrica, o valor quadrtico mdio

corresponde ao momento de inrcia da rea sob a curva fcom relao aovalor nulo de elevao,

= 0 . Desta forma, a varincia da elevao do mar,

, definida como o valor quadrtico mdio com relao mdia , ser:

E, portanto, possvel se estabelecer uma relao direta entre o desvio padro

do mar, , fcil de se obter a partir do registro temporal, e os parmetros devalor quadrtico mdio, , de elevao mdia quadrtica, , ou seja:

Importante verificar que se a elevao mdia for nula, = 0, o desvio padrodas elevaes de mar ser absolutamente igual raiz do valor quadrtico

= f (17)

= f (18)

= f =

f 2

f + f

= 2 + = (19)

= (20)


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Material de Apoio



33

mdio,

= , este ltimo tambm conhecido como valor RMS Root Mean

Square.

6.2 As distribuies de Gauss e Rayleigh

As distribuies de Gauss e Rayleigh certamente so de ocorrncia freqente

na natureza. No obstante, os prprios exerccios at aqui apresentados deram

indcios de que as distribuies de elevao e de amplitudes de elevao esto

respectivamente relacionadas com as mesmas.

Assim, a densidade de probabilidade das elevaes de mar irregular, pode ser

aproximadamente6considerada como sendo uma distribuio de Gauss, bem

estabelecida no entorno de um valor mdio de elevao, , atravs da seguinteequao:

Portanto, o desvio padro mede a disperso em torno do valor mdio da

elevao e, quanto menor seu valor, melhor ser a considerao de uma

distribuio gaussiana de banda estreita. Outra definio para este ltimo

aspecto ser apresentada aps a definio dos momentos espectrais.

Neste caso, de maneira mais precisa que aquela apresentada no captulo 4,

pode-se definir a probabilidade de ocorrncia de um determinado valor de

elevao de onda como sendo:

6 Na realidade, h alguma discrepncia nas extremidades dessa distribuio, explicada por

efeitos no-lineares que tendem a aumentar as cristas das ondas e concomitantemente

achatar suas cavas. Portanto, deslocando a funo densidade de probabilidade daselevaes no sentido positivo dos valores.

= 12

2 (21)

+ = 12 2

(22)


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Material de Apoio



34

comum a definio de intervalos a partir de propores inteiras do desvio

padro, dentro dos quais possvel garantir uma probabilidade de ocorrncia

das elevaes de mar. Assim, pode-se dizer que provvel que 68,3% dos

valores de elevao registrados em uma amostra temporal estejam dentro de

um intervalo de , +. Respectivamente, tratando-se apenas de valorespositivos ||, possvel que 31,7% desses valores estejam acima de . Atraz este e outros intervalos definidos a partir de mltiplos do desvio padro.

Tabela 2: Probabilidades das ocorrncias de elevao de mar em intervalosmltiplos do desvio padro.

+ || > 1 68,3% 31,7%2 95,4% 4,6%3 99,7% 0,3%

Por outro lado, levando-se em considerao apenas as amplitudes dentro deciclos completos de variao da elevao da superfcie livre, , porconseqncia, restringindo-se apenas a valores positivos, a densidade de

probabilidade ser caracterizada por uma distribuio de Rayleigh,definida como:

Graficamente, a Figura 18 ilustra a distribuio de Rayleigh para as amplitudes

de elevao do mar. Neste caso, o valor mdio das amplitudesser:

E o valor quadrtico mdio das amplitudesdado por:

=

2 , com 0 (23)

= =

2 = 2 (24)


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Material de Apoio


Captulo:EspectrodeEnergia

36

7. ESPECTRO DE ENERGIA

O leitor j deve ter percebido que as anlises tecidas at este ponto do texto,em sua maioria, seno totalidade, tm se concentrado no domnio do tempo.

Definies e parmetros tm sido apresentados com base em variaes

temporais da grandeza de interesse, no caso a elevao de mar, bem como em

funo de perodos caractersticos para a descrio das mesmas.

Assim sendo, deste ponto em diante, cumpre estabelecer relaes entre essas

anlises no domnio do tempo e aquelas desenvolvidas no domnio da

freqncia.Parta tanto, ser tomada como premissa bsica a reciprocidade entre perodos

e freqncias = 2 , de tal forma que se possam apresentar novosaspectos e definies, permitindo relao direta entre os dois domnios.

Ento, mais uma vez, considere-se o registro temporal suficientemente longo

da elevao de mar irregular ilustrado na Figura 16.

Com base na linearidade das anlises e representaes j apresentadas,

considere-se tambm que o princpio da sobreposio de efeitos regulares seja

possvel, conforme estabelecido atravs da equao (13); e que, ao menos

para efeitos de projeto, sua representao aproximada seja feita por uma srie

de Fourier do tipo:

Com relao a esta representao, importante destacar que:

Maiores detalhes quanto obteno dos coeficientes e da sriesero trazidos em momento oportuno deste texto;

Conforme definido no captulo 3, trata-se de um comportamento

complexo peridico, portanto determinstico, caracterizado pela

sobreposio de efeitos harmnicos definidos por freqncias

= cos

+ sen (27)


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Material de Apoio



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mltiplas da freqncia fundamental = 2 , onde o tempototal do registro considerado;

Por hiptese, acrescentou-se a considerao de que este registro

tenha mdia nula, da a srie se iniciar em = 1.De fato, representao mais precisa da aleatoriedade intrnseca do mar

irregular seria possvel atravs da adoo de propriedades estatsticas, em

particular a distribuio Gaussiana de banda estreita para as elevaes, que no

domnio da freqncia se refletiria em uma distribuio de energia adequada

em cada raia das componentes harmnicas, , compondo a srie daequao (27).Com base nesta representao, a energia total (por unidade de rea)

contida em um registro infinito de mar de uma dada regio seria dada

por:

Seguindo (Chakrabarti, 2001), por conta da aleatoriedade intrnseca do mar,

uma representao melhor do mesmo prescinde da generalizao da equao

(27), a qual se faz atravs de coeficientes e que no mais advenhamde uma anlise de Fourier, mas de variaes contnuas com respeito

freqncia, dadas por:

Desta forma, a equao que descreve a elevao do mar pode ser reescrita de

uma maneira mais precisa como:

=12

1

, (28)

= cos = sen , (29)

= 1 cos cos + 1 sen sen


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Material de Apoio



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Para esta deduo importante lembrar que:

Combinando as equaes (28) e (30) chega-se, ento, a uma nova equao

para a energia total contida no mar, qual seja:

Trabalhando matematicamente:

Ou:

Portanto, comparando as equaes (28) e (34), chega-se igualdade do

Teorema de Parseval, que da origem ao conceito de espectro de energia demar:

=1 cos + sen

= cos + sen = 1 cos + sen (30)

= 1 cos

= 1 sen = 2 ; 1 = = 2 = (31)

= 2 1 1 c o s + sen (32)

= 2 1 cos + sen (33)

= 2 1 + = 2 1 (34)


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Material de Apoio



39

Posto que por hiptese = 0, assumindo a definio de varincia daselevaespara um registro de tempo :

O que, por sua vez, permite definir a energia mdia por unidade de rea como:

De onde emerge a definio de densidade espectral de energia, , definidacomo:

De tal forma que a energia mdia de mar pode ser reescrita como:

Note que, no caso do Sistema Internacional SI, a dimenso da densidade

espectral de energia,

, ser

.

Importante destacar tambm que, em termos prticos, sero realizadas

anlises a partir de registros tomadas em um intervalo finito de tempo . Destaforma, conveniente redefinir a densidade espectral de energia a partir das

amplitudes das componentes harmnicas que compem a srie de Fourier

aproximada, ou seja:

=1

(35)

= = 1 (36)

= 1 = 12 (37)

= (38)

= 12 (39)

= 2 (40)


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Material de Apoio



40

A Figura 1Figura 19 traz uma representao grfica para o processo de

transcrio de um registro de mar tomado no domnio do tempo para o

respectivo espectro no domnio da freqncia. Notar que as densidades

espectrais de energia, , so proporcionais e, neste caso, = diz respeito a n-sima componente harmnica advinda da anlise deFourier.

Figura 19: Transcrio do domnio do tempo para o domnio da freqncia.

Adaptado de (Journe, 2001).

Na representao apresentada, os valores espectrais so baseados emfreqncias angulares e no devem ser os mesmos quando .De fato, para uma correta converso deve-se assumir que as energias contidas

em cada uma das representaes espectrais seja a mesma, ou seja:

= = 2 (41)


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Captulo:ConversodoRegistrodeMaremEspectro

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8. CONVERSO DO REGISTRO DE MAR EM ESPECTRO

8.1 Aspectos gerais da anlise de Fourier

A converso da elevao de mar (onda irregular) em espectro requer sua

decomposio em componentes regulares. Obviamente, este procedimento

parte do pressuposto que as hipteses fundamentais at aqui discutidas sejam

atendidas, como forma de garantir que esta representao no domnio da

freqncia seja fiel s caractersticas estatsticas da excitao aleatria em

considerao.

Para tanto, faz-se uso da srie de Fourier, capaz de representar qualquerfuno peridica no tempo em uma sobreposio linear de efeitos regulares.

Lembrar que esta representao pressupe um comportamento estacionrio e

ergdico (tempo total de registro, , suficientemente longo para garantir quetodas as causas de interesse estejam estatisticamente presentes).

Segundo esta anlise de Fourier:

A respeito da equao (43) note que:

As freqncias so mltiplos inteiros da freqncia fundamental = 2 ; Trata-se de uma representao no domnio dos nmeros complexos,

onde os coeficientes e so respectivamente obtidos a partir de:

O coeficiente

diz respeito ao valor mdio da elevao, dado por:

= + cos2 + sin2 (43)

= 2 cos

= 2 sen

, = 1, 2, 3, , (44)


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43

Obviamente, por definio, nulo. Alm disso, se por hiptese forassumido um registro de mar com mdia nula, tambm o ser.

Desta forma, pode-se dizer que a elevao um mar qualquer, de mdia nula e

registrada por um tempo suficientemente longo, pode ser expressa por uma

funo contnua dada pela sobreposio linear de um nmero infinito de efeitosregulares. Outra maneira de apresentar esta sobreposio dada pela

equao (46):

8.2 A anlise de Fourier discreta

Na prtica, sabe-se que o registro de elevao de mar colhido de maneira

discreta, mediante uma freqncia de amostragem:

Onde: o nmero de medidas registradas da elevao.Neste caso, os coeficientes da srie de Fourier podem ser obtidos atravs de

um algoritmo expedito de anlise, largamente conhecido como Fast Fourier

Transform FFT, segundo o qual possvel a transcrio do registro temporal

de mar para a seguinte forma:

= 1

(45)

= cos2 , :

= 2

+

= . (46)

= , (47)


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45

stem(frs,Sf_fft,'sk','fill','linewidth',2)xlabel('Freqncia, f','fontsize',12)ylabel('abs( fft( \zeta ) / N)','fontsize',12)

set(gcf,'unit','normalized','position',[.1 .1 .8 .8],'color','w')set(gca,'fontname','arial','fontsize',12,'ylim',[0 (A+2)])

Figura 20: Exemplo de anlise de Fourier. No alto apresentado o registro de

mar regular ( = 2e = 2 ); ao centro apresentado o resultado a aplicaoda funo FFT e, abaixo, o respectivo espectro de mar.

Importante notar que:

Os incrementos em freqncias so dados por: = 1 ; Conforme esperado, comparece na representao grfica /funo deuma contribuio exatamente em = 1 2 .

Entretanto, outros aspectos podem causar estranheza ao leitor e, no intuito de

dirimir eventuais dvidas que possam gerar, so discutidos em profundidade

nos prximos pargrafos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo, t

Eleva

o

do

Mar,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

Freqncia, f

abs

(fft()/N)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

Freqncia, f

Espec

tro

de

Mar,

S

(f)


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A primeira constatao aparentemente estranha que decorre da observao do

grfico central da Figura 20 diz respeito s amplitudes das componentes

identificadas. Percebe-se que h uma simetria com relao freqncia central

do grfico, de acordo com a qual, so notadas componentes em =0,5 9,5, cada uma com metade da amplitudeoriginal.Esta aparente inconsistncia decorre da prpria teoria da amostragem,

segundo a qual, dada uma taxa de aquisio fixa impossvel distinguir a que

registro a amostra se refere:

componente de menor freqncia, no caso exemplo, em

0,5;

Ou componente simtrica em relao freqncia mdia, neste caso9,5.De fato, as linhas de comando abaixo ilustram este problema, apresentando

como resultado a Figura 21.

% Frequncias de Aliasingto = 0;tf = 10;t = linspace(to,tf,10000);

t_discreto = linspace(to,tf,100);el_interesse = A/2*sin(2*pi*1/T*t);el_aliasing = A/2*sin(2*pi*(10-1/T)*t);el_int_discr = A/2*sin(2*pi*1/T*t_discreto);el_ali_discr = A/2*sin(2*pi*(10-1/T)*t_discreto);figureplot(t,el_interesse,'k',t,el_aliasing,'k:',...

t_discreto,el_int_discr,'ko',t_discreto,el_ali_discr,'k*')xlabel('Tempo, t','fontsize',12)ylabel('Elevao do Mar, \zeta','fontsize',12)set(gcf,'unit','normalized','position',[.1 .1 .8 .8],'color','w')set(gca,'fontname','arial','fontsize',12,...

'xlim',[0 3],'ylim',[-(A+1) (A+1)])

De acordo com esta figura, percebe-se que uma mesma taxa de amostragem

pode suscitar dois vetores de valores registrados: um referente a um

comportamento de interesse (o de menor freqncia) e outro referente a um

comportamento sem interesse para as anlises (o de maior freqncia). Note

que a taxa de amostragem fornece leituras vlidas para ambos os casos.

Com base neste aspecto, o que se faz em termos prticos garantir que todos

os efeitos regulares de interesse se encontrem esquerda da freqncia


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47

central, por este motivo tambm conhecida como freqncia de corte, = 2 =1/2

.

Figura 21: Reflexo da amostragem. Comportamento de interesse versus

comportamento sem interesse (problema de aliasing).

Desta forma, garante-se que todas as freqncias direita de

no sejam de

interesse, visto estarem relacionadas ao problema de aliasing, ou seja, de

amostragem insuficiente. A partir da teoria de processamento de sinais

possvel mostrar que se um registro temporal for colhido a uma taxa de

amostragem no mnimo 2 vezes maior que a mxima freqncia de interesse,

todos os efeitos importantes estaro presentes esquerda da freqncia de

corte (Teorema de Nyquist-Shannon). Desta forma, define a mximafreqncia detectada com a anlise de Fourier e tambm conhecida como

freqncia de Nyquist.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo, t

Eleva

o

do

Mar,

Comportamento Contnuo DE InteresseComportamento Contnuo SEM InteresseRegistro Amostrado do Comportamento DE InteresseRegistro Amostrado do Comportamento SEM Interesse


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48

A partir destas consideraes, possvel construir o espectro do registro de

interesse, bastando transformar os valores de

/ em densidades

espectrais de energia atravs da relao estabelecida pela equao (40),

considerando valores dobrados para as componentes esquerda da

freqncia de corte ou Nyquist.

As linhas de comando que se seguem permitem a composio do grfico mais

abaixo na Figura 20.

Com relao aos resultados importante destacar que, de fato, a densidade

espectral de energia em

= 0,5no atinge o valor esperado de:

= 2 = 20 No entanto, aproxima-se muito deste valor em funo do tempo total de registro

e do nmero de amostras colhidas. Assim, a densidade espectral se

aproximar mais do valor esperado quanto maior for o tempo de aquisio e/ou

a taxa de amostragem.

A Tabela 3 ilustra esse aspecto com relao taxa de amostragem, assumindoum tempo de aquisio fixo de 10.

Tabela 3: Valor da densidade espectral 0,5como funo da taxa deamostragem adotada. Nestes casos: = 1 0 .

,100 10 19,6306

500 50 19,95341.000 100 19,97835.000 500 19,995910.000 1.000 19,9980

8.4 Alturas e perodos obtidos a partir do espectro de mar

Nas anlises de sistemas navais e ocenicos usual a caracterizao do mar

atravs de alturas de onda,

2 .


54/129


55/129

Material de Apoio



50

De acordo com a determinao de , possvel a definio matemtica daaltura significativa,

ou

/, que corresponde mdia das alturas entre o

tero de ondas mais altas, portanto, correspondendo ao centride da rea

direita de = ln 3 .Assim:

E, portanto:

Onde a funo erro complementar definida como:

Por fim, sabendo que = 22, pode-se concluir que a altura significativa aproximadamente:

8.5 Os momentos espectrais

No captulo anterior foi apresentada a igualdade entre a varincia das

elevaes, , e a integral do espectro de mar.Se neste ponto, no entanto, for apresentada a definio para os momentos

espectrais, qual seja:

/ = 3 = 32 ln 3+ ln 3 (55) 1,416 (56)

= 2

= 1

(57)

/ 4 (58)

= . (59)


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Material de Apoio



51

Ento, a varincia das elevaesser igual ao momento espectral de ordem

zero,

= e, portanto:

/ 4.

Este um dos resultados importantssimo no processo de caracterizao da

excitao de mar, muito utilizado nas apresentaes padronizadas descritas

mais adiante neste texto.

Entretanto, resta ainda apresentar alguns parmetros representativos da

grandeza temporal do mar. Neste caso, tambm fazendo uso dos momentos

espectrais, possvel definir:

Destas definies surgem, finalmente, os referidos perodos caractersticos:

8.6 Exerccio proposto

Um espectro de excitao aleatria hipottica, , tem sua representaosegundo a Figura 22. Note que os parmetros apresentados so

adimensionais. Determine o valor dos parmetros A e B desse espectro.

Figura 22: Espectro de uma excitao aleatria hipottica: exerccio proposto.

= . , ; = . , . (60) = 2 , ;

= 2 , .

(61)

msTH

S2

)(

2

mTA2

1

B


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Material de Apoio



52

8.6.1 Soluo baseada na definio dos momentos espectrais

Como ponto de partida para a soluo deste exerccio, tem-se a necessidade

de dimensionar os valores identificados no grfico da Figura 22. Assim, em

termos dimensionais, no eixo das abscissas so identificados os valores e 2 , e no eixo das ordenadas o valor .Em seguida, usual um encaminhamento da soluo atravs da aplicao da

definio dos momentos espectrais. Para tanto, determina-se a equao da

reta que caracteriza a variao das densidades espectrais no intervalo

; 2 , ou seja:

= 2 1 2 Com base nesta equao, determina-se o momento espectral de ordem zero:

= 2 2 1Analogamente, determina-se o momento espectral de primeira ordem, dado

por: = 32 14 3+ 1Sabendo-se que =16, onde =162 1 2 , ento: = Por outro lado, da definio do perodo mdiotem-se ainda:

= 32 1 4 3 + 1 Portanto, uma segunda equao dada por:4 12 + 9 2 = 0 12 2 = 0Notar que as duas primeiras razes de no convm e que, ento: = 2. Por fim, substituindo este resultado na primeira equao obtida a partirde

, tem-se que

= 1 2 4 .


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Material de Apoio


Captulo:EspectrosPadronizadosdeMar

54

9. ESPECTROS PADRONIZADOS DE MAR

Espectros padronizados de mar so representaes analticas da distribuiodas densidades espectrais de energia, obtidas de maneira precisa pela

monitorao recorrente e continuada das elevaes de mar, portanto pela

caracterizao de processos estocsticos de longos perodos.

Como tal, tm importncia prtica para projetos de sistemas navais e

ocenicos, na medida em que so caracterizados por formulaes baseadas

em poucos parmetros do mar, geralmente: a altura significativa; algum perodo

caracterstico (mdio, entre zeros ascendentes ou entre picos); ou mesmo,fatores de forma que contribuem para distribuio mais precisa das densidades

espectrais de energia.

Alguns espectros, ainda, tm sua padronizao definida com base na

velocidade do vento, , que deu origem ao estado de mar.Independente de qual seja o parmetro utilizado, as representaes

normalmente dizem respeito a uma condio onde o mar se apresente

plenamente desenvolvido. Em outras palavras, espera-se que o marrepresentado de maneira padronizada seja fruto da ao do vento em uma

regio com rea superficial (pista) suficiente para que as ondas que o

componham exibam uma condio estvel em termos dos parmetros

estatsticos caractersticos.

Maiores detalhes so apresentados a seguir.

9.1 Mar plenamente desenvolvido

Conforme mencionado, modelos para a predio de um estado de mar so

baseados em parmetros como: velocidade do vento; distncia na qual as

ondas tm que viajar sob determinada ao de vento, tambm conhecida como

pista; e durao da condio de vento.

Para aplicaes mais prximas da costa h, ainda, um quarto parmetro: a

profundidade, que tem implicaes diretas sob a estabilidade das ondas.


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Material de Apoio



55

Exceto pela profundidade, menos relevante para aplicaes navais e ocenicas

em mar aberto, a Figura 23 apresenta a relao entre os demais parmetros

importantes para a caracterizao de um mar plenamente desenvolvido.

Assim, definida a velocidade de vento na escala vertical mais direita no

grfico, medida em m/s, bem como o comprimento de pista disponvel, fetch,

medida em km, pode-se estimar a durao mnima para o estabelecimento de

uma condio de mar, escala abaixo, medida em horas. Esta condio de mar

ser caracterizada por uma altura de onda (escala mais esquerda, medida

em metros) e um perodo (medido em segundos e obtido pela interpolao

entre os valores das linhas tracejadas).

Figura 23: Relao entre parmetros para a definio de um mar plenamente

desenvolvido. Fonte: (Bowers, 1975).


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Material de Apoio



56

Ainda de acordo com este grfico, os mares plenamente desenvolvidos so

aqueles definidos na regio triangular em destaque, ou seja, aquela na qual,

definida uma determinada velocidade de vento, maiores comprimentos de pista

e durao no alteram as caractersticas do mar (altura e perodo)

A ttulo de exemplo, suponha-se uma condio de vento com =10/. Deacordo com a Figura 23 (ver ponto em destaque), considerando uma pista com60, tem-se para uma durao mnima de 6 uma altura significativa deaproximadamente = 1 , 5 e um perodo de = 4 , 8 .Para este mesmo vento, adicionalmente, para pistas com comprimento superior

a 600tem-se um mar plenamente desenvolvidocom = 2 , 0 e = 6 , 4 .Portanto, possvel perceber a importncia da velocidade de vento, sua

durao e sua extenso de ao, na definio da condio de um mar

plenamente estabelecido.

A seguir so apresentados os espectros padronizados usualmente aplicados

em projetos navais e ocenicos, geralmente baseados nesta considerao de

mar plenamente desenvolvido (fully-developed sea).

9.2 Forma geral dos espectros padronizados

A forma geral segundo a qual a grande maioria dos espectros padronizados

apresentada obedece ao seguinte equacionamento:

Onde: ,, e so os quatro parmetros espectrais que definem adistribuio das densidades de energia contidas no mar, .Os dois parmetros comumente utilizados para esta representao so a altura

significativa e o perodo mdio, e = , ambos definidos com base nosmomentos espectrais. Ainda de acordo com a equao (62), pode-se mostrar

que a freqncia de pico do espectro dada por:

=

(62)

= (63)


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57

9.3 Espectros usuais nas aplicaes navais e ocenicas

9.3.1 Espectro de Pierson-Moskowitz

De acordo com (Chakrabarti, 2001), em 1964 Pierson e Moskowitz propuseram

uma frmula para a distribuio das densidades espectrais de energia,

baseada na teoria de similaridade proposta por Kitaigorodskii, bem como em

uma base de registros de elevao de mar mais precisa.

Trata-se de um espectro padronizado bastante difundido e ainda utilizado em

projetos navais e ocenicos por sua grande generalidade. Em linhas gerais

definido com base na velocidade do vento, , que caracteriza uma condiode mar plenamente desenvolvida (pista e durao so consideradas infinitas).Apesar desta hiptese, tambm bastante representativo de condies de

projeto baseadas em tempestades severas.

Matematicamente o espectro de P-M pode ser escrito como:

Alternativamente, tambm pode ser apresentado como funo da freqncia de

pico do espectro, , ou seja:

A partir destas formulaes, bem como das definies apresentadas nos

captulos anteriores, podem ser apresentadas ainda as seguintes relaes:

Para exemplificar, a Figura 24 apresenta as dependncias do espectro de P-Mcom a velocidade do vento e tambm com altura significativa do mar.

=0,0081

0,74

(64)

=0,00811,25 (65)

= 0,00815 (66) = 0,161 =0,710 (67)


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Material de Apoio



58

Figura 24: Dependncia do espectro de Pierson-Moskowitz com a velocidade

de vento e com a altura significativa do mar.

9.3.2 Espectro de Bretschneider

Partindo das hipteses que o espectro de energia seja de banda estreita e que

alturas e perodos de onda apresentem distribuies de Rayleigh,Bretschneider props a seguinte formulao em 1969:

Onde: = 2 o perodo significativo do mar, ou seja, a mdia dosperodos referentes ao tero das ondas com maiores amplitudes. De acordo

com a prpria definio do espectro de Bretschneider:

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

12

14(b)

[rad/s]

S

()[m

2.s

]

Hs= 8 [m]

Hs= 6 [m]

Hs= 4 [m]

Hs= 2 [m]

0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50(a)

[rad/s]

S

()[m

2.s

]

Uw

= 25 [m/s]

Uw

= 20 [m/s]

Uw

= 15 [m/s]

Uw

= 10 [m/s]

=0,1687 0,675 (68)

=0,946 (69)


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Material de Apoio



59

Note que a relao (69) torna os espectros de Pierson-Moskowitz e

Bretschneider equivalentes.

Importante destacar, ainda, que a formulao proposta pressupe um mar

plenamente desenvolvido e que, portanto, a partir de inferncias empricas:

No entanto, Bretschneider tambm apresenta correes para a formulao

proposta tambm atenda a mares no plenamente desenvolvidos, de acordo

com as quais:

9.3.3 Espectro ISSC

Em 1964, por ocasio do ISSC International Ship Structures Congress, foram

sugeridas ligeiras modificaes ao espectro de Bretschneider:

De acordo com o qual:

9.3.4 Espectro ITTC

Por sua vez, a reunies de 1966, 1969 e 1972 da ITTC International Towing

Tank Conferencepropuseram modificaes ao espectro de P-M, apresentando-

o como funo da altura significativa e do perodo entre zeros ascendentes.

Assim:

=0,282 e =6,776 (70)

=0,254 90% ou 0,776 80% (71) =4,764 (72)

=0,1107 0,442 (73)

=1,296 (74)


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Material de Apoio



60

Onde:

Importante notar que:

E, portanto, o espectro ITTC se reduz ao espectro P-M definido apenas com

base na altura significativa. Para tanto:

9.3.5 Espectro JONSWAP

Buscando aprimorar a distribuio das densidades de energia definida pelo

espectro de P-M, entre 1968 e 1973, um extenso programa de medies no

Mar do Norte, denominado de JONSWAP Joint North Sea Wave Project, deu

origem seguinte proposio matemtica para os espectros de mar:

Onde = 3,30 1 7diz respeito ao parmetro de agudeze ao parmetro de forma do espectro ( = = 0,07 e = =0,09 > ), considerando um vento predominante com velocidade agindo sobre uma pista de comprimento . Ainda de acordo com estadefinio:

=

4

(75)

= 0,0081 e = 3,54 (76)

= 1

=

3,13 (77)

= 516 =0,710 (78)

= 1,25

(79)

=0,076,ou =0,0081quando for desconhecido (80)


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61

Neste caso, = ou = ,, sendo esta ltima relao mais usadapara o clculo de.Em 1979, Goda derivou uma expresso aproximada para o espectro deJONSWAP em funo apenas da altura significativa e do perodo de pico. De

acordo com esta expresso:

Onde:

9.4 Comparao entre os espectros padronizados

A escolha pela padronizao compete ao projetista ou analista do sistema

naval e ocenico. Em geral, est associada localidade onde este sistema

dever operar.

Assim, os espectros de Pierson-Moskowitz e Bretschneider so mais utilizados

para sistemas em operao no Golfo do Mxico. O espectro de JONSWAP, por

sua vez, bastante representativo do Mar do Norte, porm tambm a

formulao mais utilizada para os estudos referentes Bacia de Campos,

Brasil.

A Figura 25 compara graficamente os espectros de JONSWAP (calculado combase em = 3 , 3 0); Bretschneider e Pierson-Moskowitz (equivalente osespectros ISSC e ITTC).

Notar que para = 1, =0,312, o que reduz o espectro de JONSWAP aoespectro de P-M, equao (81).

Na prxima seo so apresentados aspectos prticos da utilizao dos

espectros padronizados.

= 1,25 (81)

= 0,06240,230+0,03360,1851.9+ (82)


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Material de Apoio



63

Tabela 4: Exemplo de apresentao til ao projeto. Fonte: Petrobras.

Direo

Parmetros Unid. Perodo de Retorno em Anos

1 10 30 50 100

N

altura mxima [m] [m] 7 8,1 8,7 8,8 9,2perodo associado a [s] 8,5 8,7 8,8 8,9 8,9altura significativa [m] 3,6 4,2 4,5 4,6 4,8perodo de pico [s] 8,38 8,71 8,87 8,93 9,05perodo entre zeros ascendentes [s] 6,2 6,4 6,6 6,6 6,8parmetro de forma [-] 0,0106 0,0123 0,0128 0,0134 0,0134parmetro de agudez [-] 2,05 2,13 2,17 2,18 2,21NE

altura mxima [m] [m] 7,3 8,7 9,3 9,7 10,1perodo associado a [s] 8,6 8,8 8,9 9 9,1altura significativa [m] 3,9 4,7 5 5,2 5,4

perodo de pico [s] 8,54 8,99 9,16 9,28 9,4

perodo entre zeros ascendentes [s] 6,42 6,76 6,89 6,98 7,06parmetro de forma [-] 0,0115 0,0133 0,0139 0,0142 0,0145parmetro de agudez [-] 2,09 2,19 2,23 2,25 2,28E

altura mxima [m] [m] 6,8 7,8 8,2 8,4 8,7perodo associado a [s] 9,2 9,4 9,5 9,5 9,6altura significativa [m] 3,7 4,2 4,4 4,5 4,7perodo de pico [s] 8,89 9,05 9,11 9,14 9,21perodo entre zeros ascendentes [s] 6,68 6,8 6,85 6,87 6,92parmetro de forma [-] 0,0088 0,0105 0,0111 0,0114 0,0121parmetro de agudez [-] 2,06 2,13 2,15 2,17 2,19

SE

altura mxima [m] [m] 8,3 10,3 11,3 11,8 12,4perodo associado a [s] 10,7 11,1 11,2 11,3 11,4

altura significativa [m] 4,5 5,5 6 6,3 6,7

perodo de pico [s] 10,29 10,76 11 11,15 11,35perodo entre zeros ascendentes [s] 7,74 8,09 8,27 8,38 8,53parmetro de forma [-] 0,0081 0,0101 0,0109 0,0114 0,012parmetro de agudez [-] 1,51 1,54 1,55 1,56 1,58S

altura mxima [m] [m] 9,4 11,3 12,1 12,5 13perodo associado a [s] 12,6 13 13,1 13,2 13,3altura significativa [m] 5,1 6,1 6,5 6,7 7perodo de pico [s] 13,26 14 14,31 14,46 14,7perodo entre zeros ascendentes [s] 9,97 10,53 10,76 10,87 11,05parmetro de forma [-] 0,0038 0,0043 0,0044 0,0045 0,0046parmetro de agudez [-] 1,53 1,57 1,59 1,6 1,62SW

altura mxima [m] [m] 10,7 12,7 13,6 14 14,6

perodo associado a [s] 12,9 13,3 13,5 13,6 13,7altura significativa [m] 5,7 6,9 7,3 7,5 7,8perodo de pico [s] 13,7 14,62 14,94 15,1 15,35perodo entre zeros ascendentes [s] 10,3 10,99 11,23 11,35 11,54parmetro de forma [-] 0,0041 0,0046 0,0047 0,0047 0,0047parmetro de agudez [-] 1,55 1,61 1,63 1,64 1,7W/NW

altura mxima [m] [m] 5,7 7,4 8,2 8,6 9perodo associado a [s] 8,2 8,6 8,7 8,8 8,9altura significativa [m] 3 4 4,2 4,4 4,6perodo de pico [s] 8,06 8,14 8,16 8,17 8,19perodo entre zeros ascendentes [s] 6,06 6,12 6,13 6,15 6,16parmetro de forma [-] 0,0087 0,0146 0,0159 0,0172 0,0186

parmetro de agudez [-] 1,97 2,1 2,12 2,15 2,18


69/129

Material de Apoio


10. RESPOSTA EM

10.1 Anlises prelim

Conforme visto, equa

como a sobreposio d

estabeleam relao dir

relao: = De fato, com base nest

at aqui encaminhadas

cada componente regul

Figura 27: Resposta m

Exemplos desta sobrep

graus de liberdade dos

pitch e yaw).

Antes disso, porm, i

na obteno da respost

funo de transferncia

Com exemplo7 bem

inicialmente um sistema

7 Retirado da Apostila de

Tecnologia em Construo Ne Andr Fujarra Marinha do

EXCITAO ALEATRIA

nares excitao regular

o (13), a excitao de mar real pode sefeitos regulares, de tal forma que seta com as densidades espectrais, 2 .sobreposio, e graas ao carter line

, pode-se analisar separadamente a

r na resposta total do sistema, ver Figur

arcada pela sobreposio de contribui

osio podem ser estendidos inclusiv

istemas navais e ocenicos (surge, s

teressante apresentar os aspectos ge

a partir de uma nica componente, co

o sistema.

simples da obteno da resposta,

naval hipottico, livre para oscilar apen

idrodinmica, referente ao Mdulo 3 do Cu

aval, ministrado em conjunto pelos ProfessoresBrasil, (Simos & Fujarra, 2009).

Captulo:RespostaemExcitaoA

leatria

64

er considerada

as amplitudes, atravs dar das anlises

ontribuio de

27.

es regulares.

para os seis

ay, heave, roll,

ais envolvidos

nhecendo-se a

considere-se

s em um grau

rso de Gesto e

Alexandre Simos


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Material de Apoio



leatria

65

de liberdade, o de heave, cuja funo de transferncia dada na forma grfica

pela Figura 28. Importante notar que se trata de uma representao

simplificada, onde a amplitude de resposta em heave, , adimensionalizadapela amplitude da onda, , tendo influncia apenas no intervalo 10 , defreqncias angulares.

Figura 28: Funo de transferncia do movimento de heave de um sistema

naval hipottico.

A partir desta informao, sugere-se determinar a amplitude de resposta em

heavedo sistema, sabendo que o mesmo excitado por uma onda regular de

amplitude constante, = 81 17 , representada pelo registro temporal daFigura 29.

Figura 29: Trecho do registro temporal da elevao da onda regular excitando osistema hipottico.

][ st

][(t) m

1781

9

a

z

]/[ srad10

3,0


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Material de Apoio



leatria

66

Uma soluo mais intuitiva parte da observao que o perodo da excitao

de

3e, portanto, uma freqncia angular de

2 3 .

Com base na Figura 28, observa-se tambm que:

= = 13 10E que, portanto:

= 23 = 1790 = . = 1790 8117 =0,9Conforme se pode notar, esta soluo no se vale da teoria at aqui

apresentada, justamente por se tratar de uma excitao monocromtica. Na

prxima seo, no entanto, este mesmo exemplo ser resolvido luz de um

tratamento espectral, domnio da freqncia, extensvel para a sobreposio de

efeitos regulares que caracteriza a excitao aleatria de mar.

10.2 Anlise do domnio da freqncia sobreposio de efeitos

Considere-se agora a amplitude generalizada por amplitude de onda incidente,

ou seja, a funo de transferncia = para um determinadograu de liberdade = 1, 2, 3, 4, 5 e/ou 6, bem como o respectivo ngulo defase = , a resposta do sistema poder ser formalmente escrita como:

Ento, calculada a resposta para uma dada componente , pode-se repetir omesmo procedimento para a demais e definir a resposta total do sistema no

graude liberdade como sendo: = cos + +

(83)

= cos + + (84)


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Material de Apoio



leatria

67

No limite em que e, portanto, 0, valendo-se dos resultados jenunciados para a excitao aleatria, pode-se apresentar a varincia da

respostacomo sendo:

Esta operao no domnio da freqncia, simples e expedita, conhecidacomo cruzamento espectral e caracteriza-se como o equacionamento

fundamental para o comportamento no mar de sistemas navais e ocenicos.

De fato, se por analogia for definido que:

Ento valer (86), pois:

A Figura 30 traz uma interpretao grfica para o cruzamento espectral a partir

de uma excitao aleatria caracterizada no domnio da freqncia. Note que

esquerda temos a transcrio do registro temporal de elevaes de mar para o

domnio da freqncia, via Transformada de Fourier; ao centro, apresenta-se a

funo de transferncia para um dado grau de liberdade e, direita, a resposta

do sistema sobreposio de efeitos harmnicos regulares, caracterizada pelo

espectro de resposta .Importante destacar que, particularmente neste caso, apenas um grau de

liberdade, as fases relativas entre a onda e o movimento , nodesempenham papel decisivo, o que no acontecer quando forem

= , : (85) = (86)

= 2 (87)

= 2 = (88)


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Material de Apoio



leatria

68

considerados dois ou mais graus de liberdade. Detalhes na prxima

seo.

Figura 30: Apresentao grfica do Cruzamento Espectral. Adaptado de

(Journe, 2001).

Antes disso, porm, interessante retomar o sistema naval hipottico

analisado anteriormente, desta vez obtendo sua resposta atravs do

cruzamento espectral.

Este exerccio tem a dupla funo de sedimentar o procedimento no domnio

da freqncia (traando paralelos com a mesma anlise no domnio do tempo)

e, concomitantemente, trazer generalidade ao mesmo.


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Material de Apoio



leatria

69

Assim, se8:

= = ||

Ento:

= = = 12 8117 1790 = 12 8190 O que de maneira anloga quela desenvolvida para a excitao permite

escrever:

= 2 = = 2 = 8190 =0,910.3 Parmetros importantes a partir do espectro de resposta

Com base no espectro de resposta generalizada, , e mantendo aanalogia com a teoria desenvolvida para o espectro de excitao, podem ser

definir momentos espectrais de resposta, dados por:

Desta forma, a amplitude significativa de resposta, definida como o valor mdio

entre o tero de respostas com maiores amplitudes, pode ser expresso em

termos do momento espectral de ordem zero, :

Por sua vez, o perodo mdio da respostapode ser obtido a partir do centride

do espectro , ou seja:

8Note que, na maioria das vezes, = 3refere-se ao grau de liberdade de heave.

= . (89)

= 2 (90)

= 2 (91)


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Material de Apoio



leatria

70

Da mesma forma que o perodo entre zeros ascendentes da respostapode ser

obtido com base no raio de girao do espectro:

Assumindo que a excitao aleatria, no nosso caso uma onda irregular com

distribuio Gaussiana de elevaes, seja de banda estreita, as amplitudes de resposta obedecero uma distribuio de Rayleigh. Desta forma, a funo

de densidade de probabilidade dessas amplitudes ser do tipo:

Assim, a probabilidade da amplitude de resposta exceder um determinado valorde referncia ser dada por:

Portanto, consideraes acerca do nmero de ocorrncias acima de um

determinado valor tambm so exatamente anlogas quelas tecidas para o

cas

apostila de dinâmica ii - v26!11!2009

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