apostila ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE

CONVERSO DE ENERGIA

PARTE II

MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNTICOS

Prof. Rubem Cesar Rodrigues Souza

MANAUS/AM

Converso de Energia I Parte II

Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 1

2. MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNTICOS

2.1 CLASSIFICAO DOS MATERIAIS DO PONTO DE VISTA MAGNTICO

Todos os meios possuem propriedades magnticas: posto na presena de um campo

magnticoH , estes ficam sujeitos a uma induo

B .

Vimos no captulo anterior que o vcuo tem uma permeabilidade no nula (o =

4 x 10-7 H/m), e escrevemos sua lei constitutiva sobre a forma:

HB o

Para os outros meios, supomos que possvel escrever sua lei de forma similar

HB , introduzindo sua permeabilidade magntica .

NOTA

Intensidade de magnetizao ( I )

A intensidade de magnetizao, chamada tambm de momento magntico unitrio, vetor

magnetizao ou intensidade de magnetizao que representa o incremento positivo ou

negativo do valor de Bo, expressa como:

oBBI

Substituindo a Bo pelo valor oH temos a importante relao:

IHB o

que liga as trs grandezas fundamentais: campo H, induo B e intensidade de

magnetizao I dos materiais magnticos. A induo dependente das duas primeiras.

Por outro lado, lembrando de relaes apresentadas anteriormente, tem-se:

1B1HHHI rorooro

Esta relao estabelece a ligao entre a intensidade de magnetizao, a induo

magntica do vcuo e a permeabilidade relativa do material em exame.

A sua unidade de medida evidentemente aquela estabelecida para a induo, isto ,

em Wb/m2.

Sucetibilidade magntica ( )

Esta grandeza definida pela relao



H

I

isto , a relao entre a intensidade de magnetizao da substncia e a respectiva

intensidade magntica do campo.

O seu valor ligado permeabilidade magntica do material por uma relao que se

determina dividindo a relao oBBI por H e lembrando as expresses fundamentais.

H

Ie

H

B

Temos

o

e desta relao

o

Que indica que a sucetibilidade de um material dada pela diferena entre sua

permeabilidade absoluta e a do ar. Se no lugar de se coloca o produto or tem-se a outra relao

1ro

Que juntamente com a expresso o liga os parmetros magnticos de

sucetibilidade, permeabilidade do ar e permeabilidade absoluta ou relativa do material.

Quando os vetores H e

B no so paralelos, mais adequado caracterizar um

meio, do ponto de vista magntico, por seu vetor de imantao relacionado ao

campo H pela expresso:

H [21]

onde a sucetibilidade magntica do meio. Para os materiais magnticos ditos

perfeitos os vetores e

H so paralelos (caso frequente na realidade tcnica).

Considerando agora que um meio se superpe ao vcuo, escrevemos sua lei constitutiva sobre a forma:

H1HB oo

fazendo = o (1 + ), tem-se:



HB [2 2]

Verifica-se tambm que a permeabilidade relativa de um material,

or

aparece como igual a sua sucetibilidade magntica aumentada de um:

r = 1 + [23]

O estudo dos materiais magnticos pode ser feito por meio da relao [22]; no obstante, mais precisa a classificao dos materiais atravs da relao [21].

Assim, podemos classificar os materiais como:

a) Materiais paramagnticos (ver figura 2.1) quando tem uma sucetibilidade positiva, praticamente constante, e muito fraca.

H0

F

Ferromagntico

Paramagntico

Diamagntico

Figura 2.1 Classificao dos materiais.

Exemplos de materiais que se enquadram nessa categoria so:

- O ar

( = + 3,8 X 10-7) - Oxignio O2

( = + 2 X 10-5) - O alumnio Al - A platina Pt

b) Materiais diamagnticos (ver figura 2.1), so aqueles que possuem sucetibilidade negativa, praticamente constante e muito fraca. Este o caso da grande maioria dos

materiais. Alguns exemplos so:

- a gua H2O ( = - 9 X 10-6

)

- o bismuto Bi ( = - 1,5 X 10-4) - o cobre Cu.



c) Materiais ferromagnticos (ver figura 2.1) so aqueles que possuem sucetibilidade extremamente grande e varivel. Estes materiais so raros, porm importantes para a

Engenharia Eltrica. Podemos citar alguns exemplos:

- o ferro Fe e a magnetita Fe3O4 - o cobalto Co - O nquel Ni - Algumas ligas (ao, ferronquel, ferrites).

Na prtica, para os materiais paramagnticos e diamagnticos, podemos desprezar

diante de 1 (devido a ordem de grandeza de ) e considerar que estes materiais so

equivalentes ao vcuo do ponto de vista magntico (permeabilidade o). Este ser o caso notadamente dos entreferros no interior das mquinas.

Por outro lado, para os materiais ferromagnticos, o 1 que ser desprezvel diante

de , e a ser praticamente igual permeabilidade relativa o

r

, atingindo

normalmente valores da ordem de 5.000.

2.2 INTERPRETAO DA TEORIA DOS DOMNIOS

Uma interpretao das propriedades magnticas dos materiais dada pela teoria

moderna dos domnios. Segundo esta teoria, um material constitudo por um conjunto de pequenos domnios (da ordem de 10

-9 cm

3) no interior do qual todos os momentos

magnticos1, teriam a mesma orientao, e destes domnios resulta a ao do campo

molecular (isto , o campo resultante devido ao conjunto das rbitas eletrnicas das molculas do material).

Podemos assim, colocar em evidncia as seguintes propriedades:

a) Um material no magntico (figura 2.2), ou fracamente magntico (isto , diamagntico ou paramagntico) possui os momentos magnticos de seus domnios

orientados aleatoriamente na presena de um campo H .

1 Como no existem monopolos magnticos, isto , partculas s quais se possa associar apenas um plo

magntico, a estrutura com efeitos magnticos mais simples uma partcula com um momento (de dipolo)

magntico, ou seja, uma partcula que se comporta como um pequeno im. Assim, o eltron, tem um

momento magntico intrnseco, que se supe associado ao seu spin. Por outro lado, como uma espira com

uma corrente eltrica (convencional) tem um momento magntico com direo perpendicular ao plano da

espira e sentido dado pela regra da mo direita, um eltron numa rbita atmica tem um momento magntico

orbital perpendicular ao plano da espira mas com sentido contrrio quele dado pela regra da mo direita.



H

Figura 2.2 No magntico. b) Um material ferromagntico (figura 2.3) possui seus domnios orientados

paralelamente ao campo H .

H

Figura 2.3 Ferromagnetismo.

c) Um material antiferromagntico (figura 2.4) possui os momentos magnticos de seus domnios iguais e paralelos, mais opostos dois a dois (este o caso do cromo Cr e do xido de ferro FeO, por exemplo).

H

Figura 2.4 Antiferromagnetismo.

d) Um material ferri magntico (figura 2.5) possui seus momentos magnticos opostos dois a dois e paralelos, mais diferentes (este o caso dos ferrites, que so particularmente interessantes em Engenharia eltrica, por serem praticamente isolantes;



os ferrites so compostos de frmula geral XFe2O4, onde X designa um metal bivalente

tal como Co, Ni, Cu e Zn).

H

Figura 2.5 Ferrimagnetismo.

OUTRA EXPLICAO2

Para se entender o comportamento magntico dos materiais, necessrio um exame

microscpio da matria. Um bom ponto de partida a composio do tomo, que Bohr

descreveu como constitudo por um ncleo pesado e vrios eltrons se movendo ao redor

do ncleo em rbitas especficas. Uma investigao mais apurada revela que o tomo de

qualquer substncia experimenta um torque quando colocado num campo magntico; isso

chamado de momento magntico. O momento magntico resultante de um tomo depende

de trs fatores a carga positiva do ncleo girando no seu eixo, a carga negativa do eltron girando no seu eixo e o efeito dos eltrons se movendo em suas rbitas. O momento

magntico dos movimentos de rotao e translao do eltron excede, em muito, o da

rotao do prton. Contudo, esse momento magntico pode ser afetado pela presena de um

tomo adjacente. Consequentemente, se dois tomos de hidrognio se combinam para

formar uma molcula de hidrognio, decorre que a rotao do eltron, a rotao do prton e

os movimentos de translao dos eltrons de cada tomo se opem entre si de forma que

um momento magntico resultante igual zero deveria ser obtido. Embora o resultado

esteja prximo disso, experincias revelam que a permeabilidade relativa do hidrognio no

igual a 1, mas ligeiramente inferior unidade. Em outras palavras, a reao molecular

tal que, quando o hidrognio o meio, ocorre uma pequena reduo no campo magntico,

em comparao com o vcuo. Esse comportamento ocorre porque h um movimento que

altera todas as cargas rotativas em relao direo do campo e o efeito desta mudana o

aparecimento de um campo oposto ao campo aplicado, independentemente da direo do

movimento de rotao ou translao. Materiais nos quais esse efeito se manifesta so

diamagnticos, por razes bvias. Alm do hidrognio, outros materiais que possuem essa

caracterstica so a prata e o cobre.

Continuando com a molcula de hidrognio, vamos supor que a seguir se retire um

eltron da mesma, criando-se, ento, um on de hidrognio. Evidentemente, deixa de existir

a completa neutralizao dos movimentos de rotao e translao dos eltrons. Na

realidade, quando um campo magntico aplicado, o on fica orientado de tal forma que

seu momento magntico total se alinha com o campo, desta forma provocando um pequeno

2 Toro, V.D. Fundamentos de Mquinas Eltricas. Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. LTC, Rio de

Janeiro RJ, 1999.



aumento na densidade do fluxo. Este comportamento descrito como paramagnetismo e

caracterstico de materiais como o alumnio e a platina. Materiais paramagnticos tm

permeabilidade relativa ligeiramente superior unidade.

At este ponto estudamos os elementos cujas propriedades magnticas diferem

apenas ligeiramente da do vcuo. Na realidade, a grande maioria dos materiais se situa

nessa categoria. Contudo, existe uma categoria de materiais principalmente ferro e suas ligas com nquel, cobalto e alumnio para os quais a permeabilidade relativa muitas vezes maior que a do vcuo. Estes materiais so chamados ferromagnticos e so de grande

importncia na engenharia eltrica. Podemos perguntar, nesse ponto, porque o ferro (e suas

ligas) to mais magntico do que ou outros elementos. Essencialmente, a resposta

fornecida pela teoria do domnio do magnetismo. Como todos os materiais, o ferro tem

estrutura cristalina, com os tomos dispostos numa estrutura espacial. Contudo, os

domnios so partculas sub-cristalinas de tamanhos e formatos variados, contendo cerca de

1015

tomos num volume de aproximadamente 10-9

centmetros cbicos. O fator

caracterstico do domnio que os momentos magnticos dos tomos que o constituem

esto todos alinhados no mesmo sentido. Desta forma, num material ferromagntico, no

apenas deve existir um momento magntico devido a uma rotao no neutralizada de um

eltron em uma rbita interna, mas tambm a rotao resultante de todos os tomos

vizinhos no domnio deve ser paralela.

Poderia parecer, pela explicao dada at este ponto que, se o ferro for composto de

domnios completamente magnetizados, ento ele deveria estar no estado de completa

magnetizao ao longo do corpo material mesmo sem aplicao de uma fora

magnetizante. Na realidade, esse no o caso, porque os domnios atuam

independentemente, e, para uma amostra de ferro no-magnetizado, estes domnios so

alinhados aleatoriamente em todas as direes, de forma que o momento magntico total

zero na amostra. Quando todos os domnios esto alinhados, o ferro dito saturado no h mais aumento na densidade de fluxo acima daquela do vcuo para qualquer aumento

adicional na fora magnetizante.

Grandes elevaes de temperatura numa amostra de ferro magnetizante trazem uma

reduo na sua capacidade de magnetizao. O aumento da temperatura refora a agitao

existente entre tomos at que, na temperatura de 750oC, a agitao to intensa que

destri o paralelismo existente entre os momentos magnticos dos tomos vizinhos do

domnio e, desta forma, faz com que ele perca sua propriedade magntica. A temperatura

na qual isso ocorre chamada o ponto de curie.

2.3 DADOS NUMRICOS

As propriedades de um material ferromagntico so geralmente representadas por

sua curva de magnetizao B(H). A figura 2.6 representa esta curva B(H) para 3 materiais ferromagnticos utilizados

correntemente em eletrotcnica (ao-silcio, ao fundido doce e ferro), onde se pode

observar as trs seguintes zonas:

- Uma pequena parbola inicial (Oa ou Ob) que possui pouco interesse prtico, porque decorre de um valor muito pequeno do campo H, e que depende de estados anteriores.

- Uma zona sensivelmente linear, na vizinhana dos pontos de inflexo (a e b) onde a inclinao da curva mxima.



- Um cotovelo, seguido por um prolongamento assinttico, neste caso a induo aumenta muito pouco com relao ao aumento dado para o campo (B ultrapassa raramente os

valores na ordem de 1,8 a 2 T). Esta zona corresponde a saturao do material, onde

consideramos que seus campos esto orientados paralelamente H .

Figura 2.6 Curva de magnetizao.

A figura 2.7 representa a permeabilidade relativa em funo da induo, r(B) para os 3 materiais considerados. Podemos deduzir essa curva da anterior, porque a

permeabilidade representada pela inclinao da curva B(H) em cada ponto. A

permeabilidade inicia crescendo, passa por um valor mximo (na vizinhana dos pontos a e

b) e tende ento para um valor muito pequeno, quando o material est saturado.

Figura 2.7 Permeabilidade relativa em funo da induo r(B).

ao silcio

ao doce ordinrio

1000 2000 3000

H (A.e/m)

B (T)

1,5

1

0,5



Por exemplo, para o ao fundido doce, a permeabilidade relativa mxima da

ordem de 2.200 na vizinhana do ponto a e corresponde aos seguintes valores do campo e da induo:

(r)max 2200 H 110 A.e/m B 0,3 T

Para o ao-silcio, na vizinhana do ponto b, temos:

(r)max 5200 H 60 A.e/m B 0,4 T

Certos materiais possuem permeabilidade relativa mxima extremamente elevada,

por exemplo:

- Ferro eletroltico (r)max 15.000

- Ferronquel (r)max 80.000

2.4 CANALIZAO DO FLUXO PARA OS MATERIAIS FERROMAGNTICOS

A importncia dos materiais ferromagnticos em Engenharia Eltrica decorre do

fato que estes so capazes, graas a sua permeabilidade elevada, de canalizar e de capturar

em seu ncleo o fluxo de toda induo devido as correntes situadas em sua vizinhana, e

em particular enroladas ao redor de um eixo.

Consideremos um circuito eltrico bobinado imerso no ar, e o mesmo circuito

bobinado ao redor de um ncleo ferromagntico (Figura 2.8 a e b). Nos dois casos, os

campos H nos pontos M1 e M2 so da mesma ordem de grandeza (no caso a, ele depende de

parmetros geomtricos da bobina, no caso b, ele depende do comprimento do ncleo).

1M

im

i

f

2M '1M

( b )( a )

Figura 2.8 Canalizao do fluxo.

Consideremos a induo:

Em um ponto tal que M1, ou M1, no ar, vale: HB o

Em um ponto M2, no interior do ncleo, ele vale:



HHB ro

Deve-se observar que r muito grande. Dado isso, r alcana facilmente o valor de 1.000, donde vemos que o fluxo da induo no ar aproximadamente 1000 vezes menor que o

fluxo no interior do material. Na prtica, podemos considerar que grande parte do fluxo

canalizado para o interior do ncleo.

2.5 CRIAO DO CAMPO NO INTERIOR DE ENTREFERROS

Uma outra aplicao importante dos materiais ferromagnticos, devido a sua aptido

de capturar o fluxo, a possibilidade de criar campos magnticos importantes no interior de

entreferros. Consideremos um ncleo de seo constante S, de permeabilidade suposta

constante, onde temos uma pequena abertura de comprimento e (Figura 2.9).

i

n e

l

fH

eH

r

Figura 2.9 Campo em um entreferro.

Ao longo da linha de induo , o campo magntico assume dois valores diferentes, tal que (de acordo com o teorema de Ampre):

i.ne.Hl.H ef [24]

Por outro lado, se admitirmos que o fluxo se conserva no interior do ncleo

(incluindo o entreferro), a induo S

B

a mesma no ferro e entreferro:

ef BB

ou

eofro HH [2-5]

As duas relaes [2-4] e [2-5] permitem calcular os campos:



el

inH

el

inH

rre

rf

[2-6]

Vimos que o campo mantido no interior do entreferro, He, r vezes maior que o campo no ferro, Hf. Tudo se passa como se concentrssemos no pequeno espao do

entreferro o campo da corrente i.

A induo B (que a mesma) pode ser calculada a partir da seguinte relao:

inl

eB

ro

[2-7]

OBSERVAO:

Na prtica, a permeabilidade relativa r no constante (esta uma funo de B, que depende do estado de saturao do ncleo). Podemos utilizar diretamente a

relao [2-7] para calcular B, ou as relaes [2-6] para calcular He e Hf.

2.6 LEI DOS CIRCUITOS MAGNTICOS: ANALOGIA DE HOPKINSON

Quando um circuito magntico comporta diversos meios e diversas excitaes (como no caso dos materiais de permeabilidade ou de sees diferentes), existe uma relao

entre os fluxos que circulam no interior dos diferentes trechos e as f.m.m. que lhe so

aplicadas.

Para facilitar o equacionamento do circuito, podemos utilizar uma analogia,

chamada analogia de HOPKINSON, a qual permite utilizar o mesmo procedimento de

clculo utilizado em circuitos eltricos para os circuitos magnticos, considerando as

quantidades equivalentes. Seria suficiente aplicar a lei de KIRCHOFF.

Para introduzir esta analogia, consideremos um circuito simples, com uma malha,

constitudo de 3 materiais diferentes, de permeabilidade 1, 2 e 3 (Figura 2.10). Os campos magnticos H1, H2 e H3, criados pela f.m.m. nas 3 partes, so relacionados pela lei

de Ampre:

inlHlHlH 332211 [2-8]



i

n

1

2

3

1H

2H

3H

Figura 2.10 Circuito no homogneo com uma malha.

Podemos escrever essa relao de outra forma, introduzindo o fluxo que atravessa o circuito. Este fluxo o mesmo por todo o ncleo, a induo ser a mesma se admitirmos

a seo constante:

332211 HHHS

B

da relao [2-8] se pode escrever:

inS

l

S

l

S

l

3

3

2

2

1

1

escrevendo em funo da relutncia, tem-se:

in321 [2-9] A forma da ltima relao sugere uma analogia com um circuito eltrico com uma

malha (Figura 2.11), onde a f.e.m. E ser semelhante f.m.m. ni, que teria 3 resistncias R1,

R2 e R3 em srie, semelhante respectivamente ,e, 321 que sero percorridas por

uma corrente I semelhante ao fluxo :

EIRRR 321 Generalizando, a analogia de Hopkinson consiste em substituir um circuito

magntico pelo seu anlogo eltrico, utilizando a tabela de correspondncia a seguir:

Quantidade magntica Quantidade eltrica Fora magnetomotriz n i (A-espiras)

(A-e)

Fora eletromotriz E (V)

Fluxo (Wb) Corrente I (A)

Relutncia S

l

1

(A/Wb) Resistncia S

lR

R ()

Potencial magntico U = ni - U (A-e) Potencial eltrico V = E - RI V (V)

Malha magntica Malha eltrica

N magntico N eltrico



ni+

-

13

2

Figura 2.11 Circuito eltrico anlogo.

necessrio notar que esta analogia somente um guia, e no a expresso dos

fenmenos fsicos tendo um significado real. Ela til quando podemos admitir que a

permeabilidade constante, isto , que a relutncia tambm constante e no varia mais em funo do fluxo (da mesma forma que, em um circuito eltrico, se a resistividade

constante, a resistncia tambm , e no varia mais em funo da corrente).

A seguir apresentaremos dois exemplos de utilizao desta analogia.

EXEMPLO: CIRCUITO COM DOIS MEIOS DE PERMEABILIDADE

CONSTANTE

Considere o circuito magntico da Figura 2.12, suposto de permeabilidade relativa

constante r = 2 000. O segmento do lado direito possui um entreferro de espessura BC = 0,3 mm, e no ramo esquerdo tem-se uma corrente contnua de 0,8 A em um circuito de

1.000 espiras. Solicita-se calcular a induo B1 no entreferro.

0,3 mm

A

E

D

B

C

F

Seo

12 cm2Sees

10 cm2CD = 40 cmDFA = 80 cm

AED = 30 cm

0,8 A

AB = 40 cm

n = 1.000

Figura 2.12. Exemplo de circuito com dois meios.

A aplicao da analogia mostra que este circuito se comporta como um circuito

eltrico desenhado na figura 2.13, onde e21 e, representam respectivamente as

relutncias dos ramos DFA ou AB + CD (mesmo comprimento 80 cm, e mesma seo 10

cm2), AED (ramo central) e BC (entreferro).



Suas equaes deduzidas da lei de Kirchoff, so:

22211in [2-10] 1e122 [2-11]

+

-

21

2

1

11

2

e

A

D Figura 2.13 Circuito eltrico anlogo.

Podemos calcular as relutncias que se supem constantes:

Wb/A10x38,210x10x10x4

10x3,0

Wb/A10x95,910x12x2000x10x4

3,0

Wb/A10x18,310x10x2000x10x4

8,0

5

47

3

e

4

472

5

471

A relao [2-11] permite obter: 2 = 5,6 1, da relao [2-10] obtemos ni = 800:

1 = 0,3 x 10-3

Wb

2 = 1,68 x 10-3

Wb

O que permite deduzir a induo T4,1S

B2

22

no interior do ramo central AD, e

a induo 1

11

SB

, no entreferro (igual, alm disso, induo no ferro do ramo da

direita):

B1 = 0,3 T [2-12]

Neste exemplo, o clculo simples porque as relutncias so constantes (uma vez

que a induo B proporcional ao campo H). Estudaremos mais adiante o mesmo circuito

compreendendo a no linearidade da curva de magnetizao B(H).



2.7 CLCULO DOS CIRCUITOS MAGNTICOS

O clculo de um circuito magntico significa a determinao da f.m.m. necessria para produzir um determinado fluxo em uma parte da carcaa, ou ento a determinao do

fluxo que produzido por uma f.m.m. dada (problema inverso).

Em geral, as dimenses geomtricas do circuito so dadas, bem como a natureza do

material, isto sua curva de magnetizao, sob a forma B(H), sobre a forma r(B) ou

ento, sob a forma (ni).

2.7.1 Primeira categoria de clculo: conhecendo , calcular ni

Para calcular a f.m.m. a partir do fluxo, se deve seguir o seguinte procedimento:

a) Calcular as indues nas diversas partes do circuito, que dependem de suas sees e dos

fluxos que as atravessam:

...S

BS

B2

22

1

11

b) Calcular os campos, a partir das indues, dada pela relao conhecida B(H) (no

material), dada por o

BH

(no ar).

c) Calcular as f.m.m. parciais H1l1, H2l2, ... necessrias para magnetizar as diferentes partes.

2.7.1.1 Se o circuito no comporta somente uma malha, a f.m.m. total ser igual a soma

das f.m.m. parciais:

...lHlHin 2211 [2-13]

A seguir tem-se um exemplo.

EXEMPLO: CIRCUITO MAGNTICO DE UM DNAMO COM 4 PLOS

Considere o circuito magntico da Figura 2.14, onde a armadura de ao silcio e

cuja a carcaa e os ncleos (onde esto enroladas as bobinas indutoras de campo, todas em

srie) so em ao doce. As dimenses so dadas, conhecido o nmero de espiras de cada

bobina n = 1200, e pede-se calcular a corrente de excitao necessria para criar um fluxo por plo de 0,06 Wb. As curvas de magnetizao B(H) so dadas (Figura 2.6) e admitiremos que seja possvel desprezar as fugas de fluxo.



Figura 2.14 Circuito indutor de um dnamo de 4 plos.

Considere uma linha de fluxo entre dois plos adjacentes, tal que ABCDEF: o fluxo

de 0,06 Wb que circula no entreferro CD (fluxo por plo) se divide em duas partes iguais,

esquerda ao longo de EF, e direita ao longo de EH. O fluxo que circula no interior da

armadura, ao longo de EF de 0,03 Wb, sendo igual na parte AB da carcaa.

Por outro lado, na parte BC do ncleo, o fluxo 0,06 Wb, pois se acrescenta o fluxo

vindo do circuito da direita. Este o fluxo criado pelo ncleo sobre cada plo (fluxo por plo). Conhecendo as sees das diferentes partes, podemos calcular as indues:

No entreferro T75,0

08,0

06,0B

Na armadura T5,1

02,0

03,0B

Na carcaa T86,0

035,0

03,0B

No ncleo T33,1

045,0

06,0B

Calculamos os campos, considerado para cada parte da curva de magnetizao

correspondente ao material (ver figura 2.6).

Entreferro )ar(m/Ae000.597

BH

o

Armadura

)silcioaodocurva(m/Ae600.2H

Carcaa

)doceaodocurva(m/Ae560H

Ncleo

)doceaodocurva(m/Ae900.1H

AB = 50 cm

BC = 15 cm

CD = 0,3 cm

EF = 20 cm

Entreferro 800 cm2

Carcaa 350 cm2 ao doce

ordinrio

Ncleo polar 450 cm2 ao

doce ordinrio

Armadura 200 cm2 ao

silcio

Bobina indutora do campo 1200

espiras por plo.



Calculamos ento, as f.m.m. parciais necessrias para magnetizar cada parte,

conhecendo seus comprimentos:

Entreferro

Ae580.310x3x000.597x2lH 3

Armadura

Ae5202,0x600.2lH

Carcaa

Ae2805,0x560lH

Ncleo

Ae57015,0x900.1x2lH

Aplicando a relao [2-13] calculamos a f.m.m.:

950.4570280520580.3in Ae

Como consideramos um circuito com dois plos adjacentes, preciso, por plo,

2.475 Ae. E como cada bobina comporta 1.200 espiras, necessria uma corrente

induzida (denominada de corrente de campo):

A06,2200.1

475.2if [2-14]

Podemos observar que a induo criada ao nvel de entreferro no tem uma forma

senoidal ao longo da armadura. Entretanto, a forma no interior dos ncleos, que comportam uma zona de expanso polar (ver figura 2.14), permite uma aproximao (considerando que o entreferro tenha uma seo de 800 cm

2, desde que os ncleos tenham uma seo de 450 cm

2).

2.7.1.2 Se o circuito estudado comporta vrias malhas, a f.m.m. total ser calculada a

partir das f.m.m. parciais, fazendo o clculo passo a passo a partir do fluxo dado.

interessante introduzir o potencial magntico U que comum a vrios ramos, assim como mostra o exemplo a seguir.



EXEMPLO: CIRCUITO COM DUAS MALHAS, DE PERMEABILIDADE

VARIVEL (Figura 2.15)

0,3 mm

A

E

D

B

C

F

Seo

12 cm2Sees

10 cm2CD = 40 cmDFA = 80 cm

AED = 30 cm

i = ?

AB = 40 cm

n = 1.000

Figura 2.15 Circuito com duas malhas, permeabilidade varivel.

Retomamos o circuito magntico do pargrafo 2.6 supondo agora que se trata de

folhas em ao doce, cuja curva de magnetizao B(H) conhecida (ver figura 2.6).

Supondo ainda, que a induo no interior do entreferro vale B1 = 0,3 T, e que a

bobina comporta 1.000 espiras. Determine a corrente i de excitao correspondente. Os valores numricos B(H) so dados:

B (T)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9 1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

H

(A/m)

50

80

110

160

220

300

380

490

600

760

980

1300

1700

2400

3300

4700

7500

11500

Como as relutncias so variveis, a analogia de Hopkinson no mais interessante,

preciso calcular a f.m.m. por intermdio dos 4 campos H, H1, H2 e He respectivamente

criados nos ramos da esquerda, da direita, no ramo central e no entreferro.

Introduzindo o potencial magntico U entre os pontos A e D, podemos escrever

duas equaes do circuito da seguinte forma:

UlHin [2-15]

eHlHlHU e1122 [2-16]

Calculamos agora os campos de ramo em ramo, deduzindo as indues a partir de

B(H), e deduzindo ainda as indues do fluxo:

Sendo possvel conhecer agora o fluxo 1 no ramo da direita (a seo constante de 10 cm

2):

Wb10x3,0SxB 3111

A induo B1 = 0,3 T sendo a mesma no entreferro e no ferro do ramo da direita,

permite deduzir os campos He e H1:



))H(Btabelaacomacordode(m/Ae110H

)arno(m/Ae000.239B

H

1

o

1e

Cujo potencial magntico U, de acordo com [2-16], vale:

e.A1607288eHlHU e11

Para calcular o campo H, necessrio conhecer o fluxo no ramo da esquerda, e

por conseqncia calcular o fluxo 2 no ramo central. O campo H2 vale:

m/e.A5343,0

160

l

UH

22

A induo correspondente vale B2 = 0,84 T (de acordo com a tabela, interpolando

entre 0,8 e 0,9 T). Deduzimos:

Wb10x01,110x12x84,0S.B 34222

O fluxo no ramo esquerdo vale:

Wb10x31,1 321

Deduzimos a induo B1 = 1,31 T (superfcie constante 10 cm2), e o campo:

H = 1.770 A.e/m (a partir da tabela, por interpolao)

Podemos agora calcular a f.m.m. necessria, a partir de [2-15]:

n i = H l + U = 1.415 + 160 = 1.575 A.e

Cuja corrente de excitao necessria, pois a bobina comporta 1.000 espiras, vale:

i = 1,575 A [2-17]

OBSERVAO: Podemos observar, comparando com o exemplo do pargrafo 2.6 onde

conseguimos obter a mesma induo no entreferro B1 = 0,3 T com somente i = 0,8 A, que

necessria uma corrente consideravelmente maior quando consideramos a saturao do

ncleo.

2.7.2 Segunda categoria de clculo: dado n i, determinar o

Esta segunda categoria de problemas mais delicada. De fato, parece impossvel

determinar o fluxo a partir de uma relao do tipo:

...in 21 porque as relutncias ...21 dependem da permeabilidade, isto das indutncias,

portanto, do fluxo, que desconhecido.

De outra forma, se considerarmos uma relao do tipo:

...lHlHin 2211

os campos ...,,H,H 21 dependente das indues, isto do fluxo que desconhecido.

necessrio ento, resolver o problema por aproximaes sucessivas (ou por

interao), supondo conhecido a priori um valor do fluxo, qualquer. Calculamos a f.m.m.

correspondente ao valor inicial escolhido para o fluxo, e comparamos com o valor da



f.m.m. dado. Deduzimos um segundo valor de fluxo, mais provvel, e recalculamos a

f.m.m., etc., at que a diferena entre a f.m.m. calculada e a f.m.m. dada seja inferior 5%, ou outra preciso fixada anteriormente.

Se o circuito tem somente uma malha, podemos determinar simultaneamente os

valores de ni e que satisfazem a lei do circuito.

EXEMPLO: INDUTOR com entreferro

Seja um circuito magntico conectado, possuindo um entreferro, e excitado por uma

corrente de 1,3 A circulando em uma bobina de 1.000 espiras (figura 2.16). Calcular a

induo B no interior do entreferro, sabendo que a permeabilidade relativa do ferro varia, em funo de B, segundo a tabela seguinte (ver figura 2.7):

B (T) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

r 480 350 300 250 200 150 120 110 90 50

1 mm

1,3 A

n = 1.000

+

-

B

20 cm Figura 2.16 Indutor com entreferro.

Introduzindo as relutncias, a lei do circuito permite escrever:

S

e

S

lin

oro

f

ainda, introduzindo a induo B (supondo que a superfcie S constante):

Bel

inoro

f

seja, com os valores numricos dados:

B1200

63,1r

[2-18]

Observa-se que B e r, relacionados pela relao r(B) da tabela dada, devem satisfazer simultaneamente esta equao; procede-se ento, fazendo ensaios, a priori:

Para B = 0,6 T: 4,11150

2006,0



O valor encontrado inferior ao valor 1,63, assim utiliza-se o valor superior no novo

clculo.

Para B = 0,7 T: 87,11120

2007,0

Obteve-se, portanto, um valor superior 1,63. Dessa forma, atravs da interpolao

dos dois valores, obtm-se:

T65,0B

2.8 FENMENO DE HISTERESE

Quando submetemos um material ferromagntico a um campo alternado (variando

entre dois valores opostos com certa freqncia), ele pode produzir um fenmeno chamado

de histerese, decorrente do fato dos campos do metal apresentar certa constante de tempo antes de se orientar (de outra forma, existe um retardo entre a aplicao do campo e

a apario da induo).

2.8.1 Anlise do fenmeno

Considere um circuito bobinado sobre uma carcaa ferromagntica toridal (figura

2.17) alimentado por uma fonte de tenso v senoidal. Aps alguns fenmenos transitrios, estabelecido um regime permanente caracterizado pelo fato de, para o mesmo

valor do campo H em um elemento d, a induo B assume dois valores diferentes, um para o semi-perodo crescente (ponto a, figura 2.18), e outra para o semi-perodo decrescente

(ponto b, figura 2.18).

Diz-se que o material se colocou sobre um ciclo de histerese, representado pela curva B(H) durante um perodo T.

Para estudar esse fenmeno, aplicamos a Lei de Faraday, que fornece a f.e.m. nos

bornes do circuito:

dt

dne

Figura 2.17 Bobina toroidal.



Figura 2.18 Ciclo de histerese.

Se desprezarmos a resistncia do circuito, bem como as perdas de fluxo (indutncia de fuga l), a fonte v compensar a cada instante esta f.e.m., seja:

dt

dntcosEev

Podemos calcular por integrao o fluxo criado pelo circuito no interior do ncleo,

que varia igualmente de forma senoidal:

tsenn

E

Se a seo S constante, a induo B no ncleo vale:

tsenSn

EB

Verifica-se que o valor mximo desta induo est relacionado com o valor eficaz

da f.e.m. pela expresso:

Sf2n

E2

Sn

EB efmax

que se pode escrever:

maxef BSfn44,4E [2-20]

Assim, a tenso nos bornes de um indutor (prximo de sua f.e.m., na prtica), proporcional ao valor mximo da induo no ncleo e tambm a freqncia da fonte.

Quanto a corrente i que circula no circuito, podemos calcular a partir do campo H no ncleo, aplicando o teorema de Ampre ao longo da linha de induo mdia:

Hn

l)H(fi [2-21]

H (A.e/m)

B (T)

1

5

2

3

6

4

a

b



Considerando a forma do ciclo de histerese (figura 2.18), esta corrente tem uma

forma peridica no senoidal.

Podemos determinar a forma de variao da corrente seguindo ponto a ponto sobre a

figura 2.18 os valores assumidos para o campo H, quando descrevemos o ciclo fazendo

variar B de forma senoidal (pontos 1 a 6 sobre a figura 2.18, assim como na figura 2.19).

Figura 2.19 Variaes de v, e i ao longo do ciclo de histerese.

Quando B nulo (ponto 1), o campo tem certo valor no nulo, chamado campo remanente. Quando B atinge seu valor mximo (ponto 2), o campo atinge tambm seu valor mximo. Quando o campo torna-se nulo (ponto 3) a induo no nula, ela

chamada induo remanente. Quando a induo torna-se nula (ponto 4), o campo apresenta um valor oposto no nulo. O resto do ciclo simtrico (pontos 5 e 6).

O resultado da histerese ento, de defasar a corrente i (ou o campo H)

adiantando com relao ao fluxo (ou a induo B). Entretanto, a expresso de i no

simples: se chamarmos de o ngulo correspondente defasagem entre i e o , chamado de ngulo de avano histertico, e se desenvolvermos uma srie de Fourier, i ter somente harmnicos mpares:

...)t(3senI)t(senIi 3m [2-22]

Representamos sobre a Figura 2.19, a fundamental (im), e a harmnica de terceira ordem (i3) de tal sorte que sua soma representa a cada instante a corrente i. De fato, as amplitudes dos harmnicos podem assumir valores bastante elevados, mesmo se o

i ou H

ou B

v ou e

t

t

t

Fundamental

harmnicos



material est pouco saturado. Por exemplo, em porcentagem da amplitude mxima total da

corrente, a fundamental pode atingir 40%, a 3a. harmnica 25%, a 5

a. harmnica 15%, etc.

2.8.2 Representao da bobina por um circuito equivalente

Supondo que a corrente i na bobina se reduz a sua componente fundamental im (chamada, na prtica, corrente de magnetizao), podemos representar o diagrama de fasores do circuito como na Figura 2.20. A f.e.m. E est defasada de 90

o com relao ao

fluxo , e Im est defasado do ngulo (ngulo de avano histertico) com relao ao

fluxo .

ERI

mITI

90

Figura 2.20 Diagrama de fasores.

O fato de ser diferente de zero significa que existe uma componente ativa da corrente, IR em fase com E, ou ento que a corrente Im no inteiramente reativa. Podemos

representar o conjunto bobina mais ncleo por um circuito eltrico equivalente, tal como o

apresentado na figura 2.21, composto de uma resistncia R e uma indutncia T em

paralelo, respectivamente percorrida pela corrente ativa IR e a corrente reativa IT.

VR TE RI

TI

mI

Figura 2.21 Circuito eltrico equivalente.

A potncia eltrica ativa consumida no circuito que representa as perdas devido

histerese, vale:

RmH IEcosIEP [2-23]



A reatncia T e a resistncia R esto definidas em funo da corrente Im, da tenso E e da potncia consumida PH, pelas seguintes expresses:

senI

ET

m

[2-24]

H

2

m P

E

cosI

ER

[2-25]

OBSERVAO: O esquema da figura 2.21 vlido somente se o fio da bobina tem uma

resistncia desprezvel e se no houver indutncia de fuga.

2.8.3 Frmulas prticas de perdas

Podemos exprimir as perdas histerticas de outra forma, considerando a energia

fornecida pela fonte para magnetizar o toride ferromagntico. A expresso [1-56] informa

que a energia elementar por elemento de volume d do toride, vale, para uma variao dB de induo considerando o campo H constante:

dBHd

dWd

a energia elementar por elemento de volume fornecida pela fonte durante um perodo

representada pela superfcie do ciclo histertico B(H):

perodo1 dBHd

dW

Onde: a rea do ciclo de histerese dada por [J/m3/ciclo]

Se designarmos por V o volume do toride, a energia fornecida por perodo vale:

VW

e a potncia correspondente para uma freqncia f vale:

VfPH [2-26]

Supondo (figura 2.22) que a superfcie do ciclo , varia com o quadrado de induo

mxima, Bmax, seja 2maxH B a relao [2-26] permite escrever:

2maxHH BVfP [2-27]



Figura 2.22 Variao de em funo de Bmax.

Na expresso [2-27], H um coeficiente caracterstico da forma do ciclo e das perdas por histerese.

Acontece igualmente, nos materiais ferromagnticos, perdas por corrente de FOUCAULT, que correspondem circulao de correntes induzidas na prpria massa do metal. Para reduzi-las, utilizamos um empilhamento de placas laminadas isoladas de

pequena espessura (chapas). Podemos demonstrar que, no caso de uma chapa de espessura

e, suas perdas por correntes de Foucault so determinadas pela relao:

2max22

EE BeVfP [2-28]

As relaes [2-27] e [2-28] mostram que, para um mesmo valor de induo mxima,

as perdas histerticas variam proporcionalmente com a freqncia, enquanto que as perdas

por correntes de Foucault variam proporcionalmente com o quadrado da freqncia.

Nas mquinas, as perdas por histerese e correntes de Foucault constituem um

fenmeno no desejvel. Procura-se reduzi-las escolhendo um material cujo ciclo seja o

mais estreito possvel: ao doce para a carcaa (estator) da mquina girante, ao de silcio com fraco teor de silcio (2 a 3%) para as armaduras do indutor (rotor) de mquinas de corrente contnua, ao a gro orientadocom alto teor de silcio (4 a 5%) para as chapas de transformadores.

2.9 IMS PERMANENTES

Um im permanente um material magntico duro, magnetizado previamente, cuja indutncia remanente a maior possvel. Consideremos um material cujo o ciclo de histerese muito largo (figura 2.23) e que foi submetido a ciclos alternativos at a saturao (ponto S) durante um tempo bastante

grande. Quando interrompemos a corrente de excitao o campo H torna-se nulo, mas a

induo B continua igual a um valor no nulo Br. Isto significa que o material capaz de

enviar um fluxo magntico no nulo no espao; temos assim, um im permanente.

Bmax 3

Bmax 2

Bmax 1

B(T)

H(Ae/m)

3

2

1



H

SB

uHcHmaxH

uB

rB

reta de

magnetizao maxB

T3,0diviso1:B

m/Ae000.1diviso1:Hcostpivalores

M

Figura 2.23 Funcionamento de um im permanente.

2.9.1 Circuito de utilizao do im permanente

Como os ims so constitudos de materiais bastante duros, particularmente difceis

de usinar, isto faz com que sejam utilizados em forma geomtrica simples: cilndricos,

cbicos, paraleleppedos e etc. Um im tem, por conseqncia, sempre um entreferro constitudo pelo conjunto do espao entre seu plo N e seu plo S.

Na prtica se utiliza os ims permanentes para criar um campo no entreferro de

dimenso pequena: isso leva ento, a canalizar o fluxo na direo do entreferro atravs do

material ao contrrio bastante mole (de grande permeabilidade e de relutncia desprezvel), aos quais se d a forma que se deseja. A figura 2.24 mostra um circuito de utilizao para um im em ferradura e a figura 2.25 para um im de peas polares.

material duro

S

SN

N

im

im

L

l

seo

uniforme

H

N S

He

material mole

Figura 2.24 Im em ferradura Figura 2.25 Im em peas polares.



Seja B e H a induo e o campo no interior do im, de comprimento L, e He o

campo no entreferro de comprimento l (admiti-se que o campo no interior do material

macio nulo). Supondo o fluxo conservativo, e a seo S do circuito constante (figura

2.25), a induo a mesma em todas as direes, seja:

eoHS

B

[2.29]

Por outro lado, o teorema de Ampre aplicado ao circuito (sem f.m.m., ni = 0) se

escreve:

0lHLH e [2.30]

Estas duas relaes mostram que a induo e o campo dentro do im so associados

pela relao:

Hl

LB o [2-31]

No grfico B(H) (figura 2.23) esta equao representa uma reta de inclinao

negativa (igual l

Lo ), dita reta de desmagnetizao. O ponto de funcionamento do

im representado pelo ponto M de interseo da curva de histerese com esta reta: ele

sempre situado no quadrante superior da esquerda (B > 0, H < 0).

2.9.2 Problema prtico do im: volume mnimo

Na prtica, para criar um campo Ho no interior de um entreferro de volume Vo dado

por meio de um im, til determinar o volume V que deve ter o im. Utiliza-se para isso

uma relao entre esse volume V e o dobro da densidade de energia BH do im (ver relao de definio [1-50]). Multiplicando a relao [2-31] por H, tem-se:

2o H

l

LBH [2-32]

Aplicando-se o teorema de Ampre tem-se:

oo HL

lH0lHLH [2-33]

Substituindo [2-33] em [2-32], tem-se: 2

oo HL

l

l

LBH

2oo H

L

lBH [2-34]

Multiplicando e dividindo [2-34] pela rea da seo transversal S, tem-se:



2o

oo H

V

VBH

Portanto,

BH

HVV

2ooo [2-35]

Assim, o volume V do im inversamente proporcional ao produto BH. Em

particular esse volume ser mnimo quando o produto BH for mximo.

Porm, ao representarmos a variao de B em funo do produto BH , se obtm

uma curva cuja forma mostrada na figura 2.26, onde se pode observar que BH apresenta

um mximo para certo valor de B, igual Bu.

O im dever ser calculado de forma que seu ponto de funcionamento M (figura

2.23) corresponde ao mximo de BH , isto B = Bu.

Esta condio determina a inclinao da reta de desmagnetizao e consequentemente L se conhecido l.

B

|BH|

rB

uB

maxuu BHHB

Figura 2.26 Variaes do produto da energia BH.

EXEMPLO DE CLCULO DE UM IM (FIGURA 2.27)

l = 4 mmPea polar

Seo S

S = 3 cm2

l

Figura 2.27 Exemplo de clculo.



Desejamos fabricar um im com peas polares para se obter uma induo Be = 0,5 T

no interior de um entreferro de comprimento l = 4 mm e de seo S = 3 cm2. Conhecemos

as caractersticas do material escolhido, por meio de sua curva de histerese, os valores

correspondem ao mximo do produto BH:

Bu = 0,9 T maxuuHB = 31.500 J/m

3

Solicita-se calcular as dimenses (seo S e comprimento l) do im. (Despreze a

relutncia das peas polares bem como os fluxos de fuga).

Supondo que o im funciona no mximo de BH , a conservao do fluxo expressa

por:

sBSB eu

onde se deduz a seo do im:

2

u

e cm667,13x9,0

5,0sx

B

BS

A equao de reta de desmagnetizao :

HS

s

l

LB o

onde se deduz o comprimento L, sabendo

m/e.A000.359,0

31500

B

HBHH

u

uuu

m10x56,410x5,3x10x3x10x4

10x667,1x10x4x9,0

Hs

SlBL 2

447

43

uo

u

32 cm6,7Vcm667,1Scm56,4L

2.9.3 Dados numricos

Os materiais utilizados para fabricar ims permanentes so geralmente aos duros

(isto , com alto teor de carbono), contendo porcentagem varivel de Titneo Ti, Cobalto

Co, Nquel Ni, Alumnio Al, e por isso chamados de TICONAL ou ALNICO.

Utiliza-se tambm ferrites duros, interessante porque so isolantes. O quadro abaixo

fornece, para 3 materiais duros, os valores numricos da induo remanescente Br, do



campo remanente Hc, do mximo do produto da energia maxuuHB , com seus

correspondentes valores de induo e do campo Bu e Hu.

Tipo de im Br

( T ) cH

(A.e/m)

Bu

( T ) maxuu

HB

(J/m3)

uH

(A.e/m)

ALNICO 5% Cobalto 0,85 45.000 0,7 19.000 27.000

TICONAL E 1,1 56.000 0,9 31.500 35.000

TICONAL G 1,3 50.000 1,05 45.000 43.000

Os ims permanentes so utilizados em muitos aparelhos industriais, associados a

seus circuitos de utilizao: tem-se um im em ao duro A, de forma simples, cujo fluxo

canalizado por um ao mole B, o qual foi dada forma adequada, e este produz uma

induo no entreferro C.

A figura 2.28 mostra um tipo de im utilizado em alto-falante, onde o entreferro

anular e a induo radial.

A

C

B

N S

Figura 2.28 Im de alto-falante.

A figura 2.29 mostra um tipo de im utilizado nos telefones, cuja forma circular

imposta devido a limitaes de espao.



Figura 2.29 Im de telefone.

2.10 CIRCUITOS ACOPLADOS LINEARMENTE. DIVERSAS INDUTNCIAS

2.10.1 Definies

De modo geral, podemos considerar todas as mquinas eltricas como circuitos

acoplados mveis, isto , um conjunto de bobinas percorridas por correntes (indutor e induzido), tendo um circuito magntico comum, e cuja geometria pode variar. necessrio

ento, definir de forma precisa, as indutncias destes diversos circuitos. De fato, no caso onde a geometria da mquina no varivel, as indutncias podem eventualmente variar

em funo do valor das correntes (por causa do fenmeno de saturao, veja pargrafo

1.7.3), e, no caso onde a geometria da mquina varivel, estas indutncias variam no

somente em funo do valor das correntes mais tambm, em funo da posio da

armadura ou do rotor (na realidade so estas variaes que produzem o acoplamento ou a

fora eletromagntica, neste caso (ver pargrafo 1.5.1)).

As definies dadas nesse pargrafo dizem respeito a circuitos acoplados

linearmente, isto quer dizer que os fluxos so proporcionais as correntes (curvas de

magnetizao F semelhantes a retas). Consideremos dois circuitos eltricos, acoplados de forma qualquer (figura 2.30)

tendo respectivamente n1 e n2 espiras, percorridas por correntes i1 e i2, e chamemos de 1 e

2 os fluxos produzidos por estes circuitos.



circuito

magntico

qualquer+

-+

-

1n

1i

2i

1f

2f 2n

2m

1m

Figura 2.30 Representao geral de 2 circuitos acoplados.

O fluxo 1 constitudo, em geral, de uma parte m1 que atravessa o circuito 2, e de

uma parte f1 que no atravessa o circuito 2 (na figura 2.30, este fluxo f1 representado como o fluxo de flui no ar, mas ele pode igualmente representar um fluxo que atravessa

uma outra parte do circuito magntico, mas sem atravessar o circuito 2: ver exemplo do

pargrafo 2.12.3). Acontece o mesmo para o fluxo 2 produzido pelo circuito 2. Tem-se ento:

2f2m2

1f1m1 [2-36]

podemos ver que o fluxo mtuo definido como o fluxo comum que atravessa ao mesmo tempo os dois circuitos vale:

2m1mm [2-37]

Igualmente podemos ver que os fluxos que atravessam respectivamente os circuitos

so constitudos dos fluxos produzidos por ele mesmo 1 ou 2, e de uma parte do fluxo

produzido pelo outro circuito, m2 ou m1. Designando-se estes fluxos totais por 1t e 2t, tem-se:

1m2t2

2m1t1 [2-38]

ou ainda, considerando a definio anterior do fluxo mtuo m:

m2ft2

m1ft1 [2-39]

Observao: Os sinais ( + ) que aparecem nas relaes [2-37], [2-38] e [2-39]

correspondem s polaridades de corrente e ao sentido dos enrolamentos da

figura 2.30.

Seria necessrio colocar um sinal ( - ) caso fosse invertido o sentido da

corrente i2 ou o sentido dos enrolamentos do circuito 2.



2.10.2 As oito indutncias de dois circuitos acoplados

Para os dois circuitos acoplados, se defini as oito indutncias seguintes, em funo

do fluxo definido anteriormente:

Indutncia de magnetizao do circuito 1

1

1m11

inT

[2-40] Indutncia de magnetizao do circuito 2

2

2m22

inT

Indutncia de fuga do circuito 1

1

1f11

inl

[2-41] Indutncia de fuga do circuito 2

2

2f22

inl

Indutncia prpria do circuito 1

1

111

inL

[2-42] Indutncia prpria do circuito 2

2

222

inL

Indutncia mtua do circuito 1

2

2m11

inM

[2-43] Indutncia mtua do circuito 2

1

1m22

inM

Estas definies so um pouco arbitrrias, pois supomos que os fluxos so

proporcionais as correntes, o que no sempre verdadeiro para os fluxos de fuga, o que ocorre unicamente na zona linear da curva de magnetizao, para o fluxo de magnetizao.

Da mesma forma que para um nico circuito (ver pargrafo 1.7.2) as indutncias

prprias, so relacionadas s indutncias de fuga e de magnetizao pelas seguintes

relaes:

222

111

TlL

TlL [2-44]

Na relao [2-43], no imediatamente evidente que as indutncias mtuas M1 e M2

so iguais, assim como poderamos prever a partir da frmula de Neumann [1-41].

Podemos fazer o seguinte raciocnio simples: qualquer que seja o circuito ele

apresenta a cada instante uma relutncia m na passagem do fluxo comum m. Aplicando o Teorema de Ampre ao campo H1 que seria criado pela corrente i1 sozinha, supondo que a

corrente i2 seja nula (m2 = 0):

1mmm111 lHin

Da mesma forma, se aplicarmos o Teorema de Ampre com (i1 = 0) tem-se:

2mmm222 lHin



deduz-se a partir das relaes de definies [2-43]:

m

21

2

2m11

nn

i

nM

e

m

12

1

1m22

nn

i

nM

As duas indutncias mtuas M1 e M2, so iguais: designando seu valor comum por

M:

M1 = M2 = M [2-45]

2.10.3 Relaes entre indutncias e a razo do nmero de espiras

Algumas vezes til, em particular, para transformadores e motores de induo,

expressar as indutncias de fuga e magnetizao em funo da indutncia mtua M e da

razo entre os nmeros de espiras dos circuitos acoplados. Temos como efeito:

2

1

n

na [2-46]

Obtm-se, a partir das relaes [2-40] e [2-45]:

MaMn

n

inT 2

2

1

1

1m11

a

MM

n

n

inT 1

1

2

2

2m22

a

MT

MaT

2

1

[2-47]

Fazendo o quociente e o produto dessas duas relaes obtm-se:

2

2

1 aT

T [2-48]

21TTM [2-49]

Podemos igualmente expressar as duas indutncias de fuga numa outra forma, por

meio das indutncias prprias:



De acordo com as relaes [2-44]:

L1 = l1 + T1 = l1 + aM

L2 = l2 + T2 = l2 + M/a

a

MLl

aMLl

22

11

[2-50]

EXEMPLO:

Conhecem-se as duas indutncias de fuga e a indutncia mtua de dois circuitos

acoplados numa carcaa magntica com n1 = 500 espiras e n2 = 50 espiras:

l1 = 6 H l2 = 0,03 H M = 12 H

Calcular as indutncias prprias L1 e L2 dos circuitos, e as indutncias de magnetizao T1

e T2.

De acordo com [2-44]: T1 = 120 H T2 = 1,2 H

De acordo com [2-41]: L1 = 126 H L2 = 1,23 H

2.11 COEFICIENTE DE ACOPLAMENTO E DE DISPERSO

Quando dois circuitos so acoplados, til definir dois coeficientes k e , denominados de coeficiente de acoplamento e coeficiente de disperso que caracterizam as trocas mtuas de fluxo entre os circuitos. De fato, se no h fugas, o fluxo

mtuo m seria igual soma dos fluxos produzidos 1 + 2, e pode ser interessante saber de quanto nos afastamos do caso ideal.

Assim, foi definido, para cada circuito, as percentagens teis dos fluxos por meio dos

coeficientes de fuga(ver [1-45]):

2

2

2

2m2

1

1

1

1m1

L

Tk

L

Tk

O coeficiente de acoplamento k, definido como a mdia geomtrica dos coeficientes de fuga de cada circuito:

21

2

21

2121

2

LL

M

LL

TTkkk [2-51]

Vejamos que expressando a indutncia mtua M, por meio da indutncia prpria L1 e

L2 e de seu coeficiente k, temos:



21LLkM [2-52]

O coeficiente de acoplamento excelente para um transformador (da ordem de 0,95),

bastante superior do que para um motor de induo (da ordem de 0,60).

O coeficiente de disperso definido pela seguinte relao:

2k1 [2-53]

Podemos express-lo em funo das 2 indutncias prprias e da indutncia mtua:

21

221

LL

MLL [2-54]

Quando o acoplamento entre os dois circuitos perfeito, tem-se:

0

1k

2.12 EXEMPLO DE ACOPLAMENTO

2.12.1 Duas bobinas em srie

Consideramos (figura 2.31) duas bobinas percorridas pela mesma corrente i,

supondo que o acoplamento seja perfeito (k =1, sem fluxo de fuga).

B(a)

A

i

1L 2L

B(b)

A

i

1L 2L

Figura 2.31 Duas bobinas em srie.

Se L1 e L2 so as indutncias prprias de cada bobina, a indutncia equivalente s

duas bobinas entre A e B, depende da forma de conexo das mesmas.



Caso cada fluxo mtuo seja adicionado ao fluxo prprio de cada bobina (caso

mostrado em a, figura 2.31), tem-se, com k =1:

22121AB LLM2LLL [2-55]

Caso cada fluxo mtuo se subtraia do fluxo prprio de cada bobina (caso b, figura

2.31), tem-se:

22121AB LLM2LLL [2-56]

Pode-se, em particular, zerar a indutncia de um bobinamento tal como na figura

2.31b, tomando o mesmo nmero de espiras para as duas bobinas (L1 = L2).

2.12.2 Acoplamento por disperso

Consideramos dois circuitos bobinados de resistncia desprezvel, de indutncia

prprias e mtua L1, L2 e M, cujo um alimentado por uma fonte alternada (circuito 1,

figura 2.32) e cujo outro est em curto-circuito (circuito 2, figura 2.32).

curto

circuito

1L

2L

1i

2iM

e

Figura 2.32 Acoplamento por disperso.

Caso o circuito 2 esteja suficientemente afastado do circuito 1, no h influncia

mtua e a Lei de Faraday se escreve simplesmente para o circuito 1:

dt

diLe 11

Colocando agora o circuito 2 em curto-circuito prximo ao circuito 1, ocorrer uma

troca de fluxo entre os dois circuitos, e uma corrente induzida i2 circular no circuito 2.



As Leis de Faraday se escrevero da seguinte forma, designando por M a indutncia

mtua:

dt

diM

dt

diL0

dt

diM

dt

diLe

122

211

Calculamos ento, a indutncia equivalente do circuito 1.

Eliminando i2 entre as duas equaes precedentes obtm-se:

dt

di

L

MLLe 1

2

221

introduzindo o coeficiente de disperso dos dois circuitos (ver [2-54]):

dt

diLe 11

esta equao mostra que o efeito da presena do circuito 2 sobre o circuito 1 de modificar

sua indutncia prpria L1 para transform-la em 1L .

Esta indutncia 1L chama-se indutncia de disperso.

2

221

1dispL

MLLLL

[2-57]

Ela tem um papel importante na teoria dos motores de induo com o rotor em

curto-circuito ( ela que intervm na expresso do acoplamento eletromagntico).

2.12.3 Acoplamento em um circuito magntico qualquer

Dois circuitos eltricos podem estar acoplados em uma carcaa magntica qualquer,

por exemplo, sobre esta que est desenhada na figura 2.33, comportando trs ramos.



15 cm

+

-

-

+

500n1 2000n2

1i

2i30 cm

2cm4seo

30 cm

A

B

Figura 2.33 Acoplamento em um circuito com 3 ramos.

Podemos teoricamente calcular diretamente as indutncias dos circuitos, pois estes so, de fato, parmetros geomtricos relacionados s relutncias das diversas partes do circuito magntico (ver [1-36]).

A ttulo de exemplo, supondo que o circuito magntico da figura 2.33 seja de

permeabilidade constante r = 2000, que os nmeros de espiras sejam respectivamente n1 = 500 e n2 = 2000 e que as fugas de fluxo no ar sejam desprezveis (entretanto, todo o fluxo

produzido pelo circuito 1 no atravessa o circuito 2, pois uma parte chamada f1 deste fluxo passa no ramo central).

Pede-se calcular as indutncias prprias e mtuas L1, L2 e M e os coeficientes de

acoplamento e de disperso.

As dimenses sendo dadas se pode calcular diretamente as relutncias dos ramos da

direita e da esquerda:

Wb/e.A10x310x4x10x4x10x2

3,0

S

l 5473

ro21

e a relutncia do ramo central:

Wb/e.A10x5,12

51c

O circuito equivalente de Hopkinson desenhado como na figura 2.34, com

notaes que correspondem aquelas do pargrafo 2.10.1 e 2.10.2. Podemos ver que para

calcular os diferentes fluxos preciso isolar as fontes. Suprimindo n2i2, por exemplo,

obtm-se o circuito equivalente desenhado na figura 2.35, cujas equaes so:

+

-

1

C

A

B

22in11in

12 2m1

1m2

2f1f

+

-

1

C

A

B

11in

1

1m

1f

1



Figura 2.34 Circuito anlogo geral. Figura 2.35 Circuito anlogo com somente uma fonte.

1m11fc

1m11fc11fc1111in

Deduz-se:

c

2

11

111m

1c

111f

2

in

2

in

Obtm-se ento, de acordo com as frmulas de definies [2-40] e [2-41]:

H208,010x12

10x25

2

n

inT

H416,010x6

10x25

2

n

inl

5

4

c

2

11

2

1

1

1m11

5

4

1c

2

1

1

1f11

De acordo com a frmula de definio [2-43] da indutncia mtua M2 (igual M),

ou ainda de acordo com a relao [2-47]:

H832,0n

nxT

inM

1

21

1

1m22

Pode-se calcular da mesma forma as indutncias do circuito 2, suprimindo a fonte

n1i1, no circuito de Hopkinson:

)overifica(H832,0M

H34,3T

H67,6l

1

2

2

Os valores solicitados so, de acordo com [2-44]:

H832,0M

H01,10LH624,0L 21



O coeficiente de acoplamento vale:

H333,024,6

832,0

LL

Mk

21

e o coeficiente de disperso vale:

889,0k1 2

O acoplamento assim realizado no naturalmente muito bom, por causa do ramo

central no qual passa uma parte importante dos fluxos.

2.12.4 Amplificador magntico

Utiliza-se algumas vezes carcaas magnticas com trs ramos (tal como aqueles da

figura 2.33) como ncleo em alguns tipos de amplificadores magnticos.

Podemos explorar ento, o fato de que a permeabilidade r pode variar em um grande intervalo de acordo com a f.m.m. de excitao, passando da zona no saturada onde

r praticamente constante e muito grande a zona de saturao onde r pode ser da ordem de 10 a 100 vezes mais fraco (figura 1.7).

O ncleo do amplificador magntico suporta dois enrolamentos (figura 2.36):

Figura 2.36 Amplificador magntico.

1. Um circuito de potncia percorrido por uma corrente alternada i1, alimentada por uma fonte alternada v1, comportando a metade de suas espiras n1/2 no ramo da esquerda e a

outra metade n1/2 no ramo da direita, bobinado de tal sorte que os fluxos alternativos

1/2 sejam a cada instante direcionados no mesmo sentido ao longo da carcaa.

Circuito de controle

Circuito de

potncia

v1

i1

i1

i2

Z



2. Um circuito de controle percorrido por uma corrente contnua i2, que podemos ajustar atravs de um reostato R, e cujas espiras n2 esto no ramo central.

Podemos variar a potncia consumida nas cargas Z do circuito de potncia

ajustando o reostato do circuito de controle. Constata-se, de fato que:

a) Os dois circuitos esto totalmente desacoplados: nenhum fluxo alternativo 1 devido a corrente i1 passa no ramo central (pois, qualquer que seja a alternncia a diferena do

potencial magntico entre A e B nula, se as relutncias dos ramos da direita e da

esquerda so iguais). No h, por consequncia, nenhuma f.e.m. induzida no circuito de

controle.

b) O fluxo 2 devido corrente contnua i2 se divide em duas partes iguais ao longo dos ramos da direita e da esquerda, e saturam mais ou menos o ncleo. A indutncia

dinmica L1 do circuito de potncia (alternada) varia de acordo com o estado de

saturao.

A figura 2.35 mostra as variaes do fluxo alternado 1, superposto ao fluxo

contnuo 2, para dois valores n2i2 de excitao da corrente de controle:

- Quando o ncleo no est saturado (f.m.m. n2i2 fraca, ponto a da figura 2.37), a indutncia

L1 tem um valor grande e a corrente i1 tem um valor pequeno

(em valor eficaz 21

22

11

LZ

vI

)

- Quando o ncleo est saturado (f.m.m. n2i2 grande, ponto b da figura 2.37), a indutncia

L1 praticamente nula e a corrente i1 tem um valor que depende somente de Z (em valor

eficaz Z

VI 11 ). Tudo se passa como se o ncleo no exista mais.



2.37 Fluxo no ncleo.

A figura 2.38 evidencia como varia a corrente i1 no circuito de potncia em funo

da f.m.m. de controle. Mostramos que, na prtica industrial, os amplificadores magnticos

no so utilizados exatamente como est descrito aqui. Neles se acrescenta outros circuitos

destinados a melhorar seu desempenho (circuito de feed-back para a potncia e circuito de polarizao para a linearidade).

min

max

1i

2i2n

Figura 2.38 Variao da corrente i1 em funo da f.m.m. de controle.

apostila ii

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