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Geometria Analí tica

Vetores

Reta Orientada – Eixo Uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado o sentido positivo e indicado por uma

seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.

Segmento Orientado Um segmento orientado é determinado por um par de pontos, o primeiro chamado de origem do segmento e o

segundo chamado de extremidade. O segmento orientado de origem e extremidade será representado por e, geometricamente, indicado por uma

seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.

Segmento Nulo Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem (um ponto).

Segmentos Opostos Se é um segmento orientado, o segmento orientado é oposto de .

Medida de um Segmento Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a

medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O

comprimento do segmento é indicado por .

Assim, o comprimento do segmento representado pela figura abaixo e de 5 unidades de comprimento ( u.c.).

Observações: a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.

b)

Direção e Sentido Dois segmentos orientados não nulos e têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:

ou coincidentes:

Observações:

𝑟

𝐴

𝐵

2

a) Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção. b) Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados e são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo

comprimento. Se os segmentos e não pertencem a mesma reta, para que seja equipolente a é necessário que

e , isto é, deve ser um paralelogramo.

Observações: a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b) A equipolência dos segmentos e é representada por

Propriedades da Equipolência I) (reflexiva) II) Se , (simétrica) III) Se e , (transitiva) IV) Dado um segmento orientado e um ponto , existe um único ponto tal que .

Vetor Vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente podemos escrever:

* + onde é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por é indicado por ou ou .

Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por .

Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado de vetor nulo ou vetor

zero, e que é indicado por .

Vetores Opostos

Dado um vetor , o vetor é o oposto de indicado por ou por .

Vetor Unitário Um vetor é unitário se .

Versor Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e sentido de . Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3

3

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma direção

e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

Vetores colineares Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras, e são colineares se tiverem

representantes e pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

Vetores coplanares Se os vetores não nulos e (o número de vetores não importa) possuem representantes , e

pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.

Guardemos bem o seguinte: dois vetores quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no

espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano que passa por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplanares.

Operações com vetores

Adição de vetores Sejam e representados pelos segmentos orientados e .

𝜋

𝜋 𝜋

4

Os pontos e determinam um vetor que é, por definição, a soma dos vetores e , isto é, .

Propriedades da adição I) Comutativa: II) Associativa: ( ) ( )

III) Existe um único vetor nulo tal que para todo vetor se tem IV) Qualquer que seja o vetor , existe um único vetor (vetor oposto de ) tal que

( )

Diferença de Vetores

Chama-se diferença de dois vetores e , e se representa por , ao vetor ( ). Dados dois vetores e , representados pelos segmentos orientados e , respectivamente, e construído o

paralelogramo , verifica-se que a soma é representada pelo segmento orientado (uma das diagonais) e que

a diferença é representada pelo segmento orientado (a outra diagonal).

Multiplicação por um número real Dado um vetor e um número real , chama-se produto do número real pelo vetor o vetor , tal

que: a) Módulo: ; b) Direção: a mesma de ; c) Sentido: o mesmo de se , e contrário ao de se .

Observações:

a) Se ou , o produto é o vetor .

b) O versor de um vetor é o vetor unitário

De fato ele é unitário, pois

|

|

Daí conclui-se que , isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e

mesmo sentido de . Propriedades da multiplicação por um número real Se e são vetores quaisquer e e números reais, temos: I) ( ) ( ) (associativa) II) ( ) (distributiva em relação à adição de escalares)

5

III) ( ) (distributiva em relação à adição de vetores) IV) Exemplos

1) Dados os vetores e , de acordo com a figura, construir o vetor

.

Solução:

2) O paralelogramo é determinado pelos vetores e , sendo e pontos médios dos lados e , respectivamente. Completar convenientemente:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Ângulo de dois vetores O ângulo de dois vetores e não nulos é o ângulo formado pelas semirretas e e tal que

Observações: a) Se e têm mesma direção e sentidos contrários.

b) Se e têm mesma direção e mesmo sentido.

c) Se

e são ortogonais e indica-se:

6

Neste caso, 0 permite escrever:

d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. e) Se é ortogonal a e é um número qualquer, a . f) O ângulo formado pelos vetores e é o suplementar do ângulo de e .

Exercícios 1) Dados os vetores e da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: a) b) c) d)

2) Dados os vetores e , como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores:

a)

b)

c) ( ) 3) Sabendo que o ângulo dos vetores e é de , determinar o ângulo formado pelos vetores: a) e b) e c) d) e

Vetores no e

Decomposição de um Vetor no Plano Dados dois vetores e , não colineares, qualquer vetor (coplanar com e ) pode ser decomposto segundo as

direções de e . O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de e e cuja soma seja . Em outras palavras, iremos determinar dois números reais e tais que:

Exemplos: 1) Dados os vetores e não colineares e (arbitrário), a figura mostra como é possível formar um paralelogramo em

que os lados são determinados pelos vetores e e, portanto, a soma deles é o vetor , que corresponde à diagonal desse paralelogramo:

7

2) Na figura seguinte os vetores e são mantidos e consideramos outro vetor .

Para esta figura, tem-se: e 3) Se, no caso particular, o vetor tiver a mesma direção de ou de , digamos de , como na figura, não pode ser a

diagonal do paralelogramo e, portanto, deve ser igual a zero: Na situação do item 3, quando e têm a mesma direção, dizemos que o conjunto * + é linearmente dependente

ou que os vetores são linearmente dependentes. Quando o vetor estiver representado por dizemos que é combinação linear de e . O par de

vetores e , não colineares, é chamado base do plano (também dizemos que e são linearmente independentes ou simplesmente LI). Aliás, qualquer conjunto * + de vetores não colineares constitui uma base do plano (aqui o conjunto * + também pode ser denominado conjunto linearmente independente ou LI). Os números e da representação de são chamados componentes ou coordenadas de em relação à base * +. É bom esclarecer que, embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado.

Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.

Uma base * + é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e .

Na figura abaixo consideramos uma base ortonormal * +no plano e um vetor com componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, .

No caso de uma base ortonormal como esta, os vetores e são chamados de projeções ortogonais de sobre

e , respectivamente. Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano , porém uma delas é particularmente importante.

Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em e extremidade nos pontos ( ) e ( ). Estes vetores são simbolizados com e e a base * + é chamada canônica.

Em nosso estudo, a menos que haja referência em contrário, trataremos somente de base canônica. Dado um vetor no qual e são as componentes de em relação à base * +, o vetor é a projeção

ortogonal de sobre (ou sobre o eixo dos ) e é a projeção ortogonal de sobre (ou sobre o eixo dos ). Como a projeção será sempre ortogonal, diremos apenas projeção.

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Expressão analítica de um vetor Fixada uma base fica estabelecida uma correspondência entre os vetores do plano e os pares ordenados ( ) de

números reais. Nestas condições, a cada vetor do plano pode-se associar um par ( ) de números reais que são suas componentes na base dada, razão porque define-se:

Vetor no plano é um par ordenado ( ) de números reais e se representa por ( ) que é a expressão analítica de .

A primeira componente é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em vez de escrever , pode-se escrever ( ). Assim também,

( ) ( ) ( )

e, particularmente, ( ) ( ) e ( ). Observação: Deve ter ficado claro que a escolha proposital da base * + deve-se à simplificação. Assim, para exemplificar, quando

nos referimos a um ponto ( ), ele pode ser identificado com o vetor , sendo a origem do sistema. Desta forma, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.

Igualdade e operações

Igualdade Dois vetores ( ) e ( ) são iguais se, e somente se, e , e escreve-se . Exemplos

1) Os vetores ( ) e (√ ) são iguais.

2) Se o vetor ( ) é igual ao vetor ( ), de acordo com a definição de igualdade dos vetores, e ou e . Assim, se , então e .

Operações Sejam os vetores ( ) e ( ) e . Define-se: a) ( ) b) ( ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas correspondentes, e para multiplicar um vetor por

um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Exemplos 1) Dados os vetores ( ) e ( ), calcular e . Solução:

2) Determinar o vetor na igualdade

, sendo dados ( ) e ( ).

Solução: 3) Encontrar os números e tais que

( ) ( ) ( ) Solução:

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Vetor definido por dois pontos Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema.

Consideremos o vetor de origem no ponto ( ) e extremidade em ( ).

De acordo com o que vimos, os vetores e têm expressões analíticas:

( ) ( ). Por outro lado, do triângulo da figura, vem:

donde

ou

( ) ( ) e

( )

isto é, as componentes de são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade as coordenadas da origem ,

razão pela qual também se escreve

É importante assinalar que as componentes do vetor independem de onde o representante tem origem. As componentes serão sempre as mesmas e o vetor resultante terá origem na origem do sistema.

Exemplo: Dados os pontos ( ) ( ) e ( ), determinar

( ) de modo que

.

Solução:

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Decomposição no espaço Todo estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma análoga, consideradas as

adequações necessárias. No plano, qualquer conjunto * + de dois vetores não colineares, é uma base e, portanto, todo vetor deste plano é

combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem os números e reais tais que . No espaço, qualquer conjunto * + de três vetores não coplanares é uma base e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais e tais que:

onde e são as componentes de em relação à base considerada. Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. Por analogia ao que

fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo a base canônica

representada por { }. Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo ponto e por este ponto três

retas como mostra a figura abaixo. A reta com a direção do vetor é o eixo dos (das abscissas), a reta com a direção do vetor

é o eixo dos (das ordenadas) e a reta com a direção do vetor é o eixo dos (das cotas). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo. Estes eixos são chamados eixos coordenados.

Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano ou , o

plano ou e o plano ou . As figuras abaixo dão uma idéia dos planos , respectivamente.

Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada octante.

A cada ponto do espaço vai corresponder uma terna ( ) de números reais, chamados de coordenadas de e

denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. Para obter a abscissa de , tracemos por um plano paralelo ao

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plano ; o ponto de interseção deste plano com o eixo dos tem, nesse eixo, uma coordenada , que é a abscissa de . Para obter a ordenada de , tracemos por um plano paralelo ao plano ; o ponto de interseção deste plano com o eixo dos tem, neste eixo, uma coordenada , que é a ordena de . De forma análoga, ao traçar por um plano paralelo ao plano , fica determinada a coordenada , que é a cota de .

Com este procedimento de traçar os três planos pelo ponto fica determinado um paralelepípedo como o da figura abaixo.

Se o ponto fosse ( ), com idêntico procedimento teríamos o paralelepípedo da figura abaixo.

Com base nesta figura, temos: ( ) – um ponto ( ) está no eixo dos quando e ; ( ) – um ponto está no eixo dos quando e ; ( ) – um ponto está no eixo dos quando e ; ( ) – um ponto está no plano quando ; ( ) um ponto está no plano quando ; ( ) um ponto está no plano quando . O ponto é a projeção de no plano , assim como e são as projeções de nos planos e respectivamente.

O ponto ( ) é a projeção de ( ) no eixo dos , assim como ( ) e ( ) são as projeções de nos eixos dos e dos , respectivamente.

Está claro que um ponto do plano é do tipo ( ). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos ( ), procedemos assim:

1°) marca-se o ponto ( ) no plano ; 2°) Desloca-se paralelamente ao eixo dos , 4 unidades para cima (se fosse seriam 4 unidades para baixo).

Para completar nosso estudo, consideremos um vetor , onde e são as componentes de na

base canônica { }. Da mesma forma como fizemos para o plano, este vetor é igual ao vetor com ( ) e ( ).

Na figura abaixo, o vetor corresponde à diagonal do paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores e . E, para simplificar, escrevemos

( ) que é a expressão analítica de .

Em vez de escrever , pode-se escrever ( ). Assim, também, ( )

( )

( )

e, em particular, ( ) ( ) e ( ).

Tendo em vista a correspondência entre o conjunto de pontos ( ) do espaço e o conjunto de vetores

, o espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Diz-se que este espaço tem

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três dimensões ou que ele é tridimensional, porque qualquer uma de suas bases tem três vetores e, portanto, o número de componentes de um vetor é três. De forma análoga, o plano tem dimensão dois ou é bidimensional. Fica fácil entender que a reta tem dimensão um ou é unidimensional.

O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui um sistema referencial. Em particular, que é o nosso caso,

o conjunto formado pelo ponto e pela base { } é chamado de referencial ortonormal de origem ou, ainda, sistema

cartesiano ortonormal . Este sistema é indicado por ( ). Por analogia, no plano, o sistema ( ) é chamado

sistema cartesiano ortonormal ou, simplesmente, sistema cartesiano . Por outro lado, sabemos que a representação geométrica do conjunto dos reais é a reta, por isso também chamada

reta real.

O produto cartesiano ou é o conjunto *( ) + e sua representação geométrica é o plano

cartesiano determinado pelos dois eixos cartesianos ortogonais e .

O produto cartesiano ou é o conjunto *( ) + e sua representação geométrica é o

espaço cartesiano determinado pelos três eixos cartesianos, dois a dois ortogonais, e .

Igualdade – Operações – Vetor definido por dois pontos Da mesma forma como tivemos no plano, teremos no espaço: I) Dois vetores ( ) e ( ) são iguais se, e somente se, e ; II) Dados os vetores ( ) e ( ) e , define-se: ( ) ( ) III) Se ( ) e ( ) são dois pontos quaisquer no espaço, então:

( )

Condição de paralelismo de dois vetores Vimos anteriormente que, se dois vetores ( ) e ( ) são colineares (ou paralelos), existe um

número tal que , ou seja, ( ) ( ) ou: ( ) ( ). Mas, pela definição de igualdade de vetores: ou ainda:

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Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. Representa-se por dois vetores e paralelos.

Exemplos: 1) Os vetores ( ) e ( ) são paralelos pois

É claro que se uma componente de um vetor é nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. 2) Dados os pontos ( ) e ( ) e os vetores ( ), ( ) e ( ), verificar se

existem os números e tais que . Solução: 3) Dados os pontos ( ) ( ) e ( ), determinar as coordenadas de um ponto tal que e sejam

vértices de um paralelogramo. Solução: 4) Determinar os valores de e para que os vetores ( ) e ( ) sejam paralelos. Solução: 5) Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades ( ) e ( ).

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Solução: Exercícios 1) Determinar a extremidade do seguimento que representa o vetor ( ), sabendo que sua origem é o ponto

( ). 2) Dados os vetores ( ) e ( ), determinar o vetor tal que

a) ( )

b) ( ) ( )

3) Dados os pontos ( ) ( ) e ( ), calcular e .

4) Dados os vetores ( ) e .

/, verificar se existem números e tais que e .

5) Dados os vetores ( ) ( ) e ( ), determinar e tais que .

6) Dados os pontos ( ) ( ) e ( ), determinar tal que .

7) Dados os pontos ( ) e ( ), determinar o ponto tal que .

8) Dados os pontos ( ) e ( ), determinar o ponto tal que . 9) Determinar o vetor sabendo que ( ) ( ) . 10) Encontrar os números e tais que , sendo ( ) ( ) e ( ). 11) Determinar e de modo que os vetores ( ) e ( ) sejam paralelos. 12) Verificar se são colineares os pontos: a) ( ) ( ) e ( ). b) ( ) ( ) e ( ). 13) Calcule e de modo que sejam colineares os pontos ( ) ( ) e ( ).

Produto de Vetores

Produto Escalar Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores ( ) e ( ), e se representa

por , ao número real

O produto escalar de por também é indicado por ⟨ ⟩ e se lê “ escalar ”. Exemplos: 1) Se ( ) e ( ), tem-se ( ) ( ) ( ) . 2) Dados os vetores ( ) e ( ) e os pontos ( ) e ( ), determinar o valor de tal que

( )

Solução:

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Módulo de um vetor Módulo de um vetor ( ) representado por é o número real não negativo

√ ou, em coordenadas,

√( ) ( ) isto é,

√ Exemplo: Se ( ), então

√ ( ) √ √ Observações: a) Versor de um vetor: Se o versor do vetor do exemplo for designado por , tem-se:

( ) (

)

O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois:

|(

)| √(

)

(

)

(

)

√

√

b) Distância entre dois pontos: A distância entre os pontos ( ) e ( ) é assim definida:

| |

e, portanto,

√( ) ( )

( )

Exemplos: 1) Sabendo que a distância entre os pontos ( ) e ( ) é 7, calcular . Solução:

2) Determinar para que o vetor .

/ seja unitário.

Solução:

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Propriedades do produto escalar Para quaisquer que sejam os vetores ( ) ( ) ( ) e , é fácil verificar que:

I) e somente se ( ). II) . III) ( ) . IV) ( ) ( ) ( ). V) . Exemplos: 1) Provar que Solução: 2) Provar que ( ) ( )

Ângulo entre dois vetores Já vimos que o ângulo entre dois vetores não nulos e varia de a . Vamos mostrar que o produto escalar de

dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formado. Se e se é o ângulo dos vetores e , então:

De fato, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo da figura abaixo, temos

Por outro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do produto escalar: Comparando as duas igualdades:

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logo

Observações: a) Se , de acordo com a igualdade acima, deve ser um número positivo, isto é, , o que implica

Nesse caso, é o ângulo agudo ou nulo. b) Se , de acordo com a igualdade acima, deve ser um número negativo, isto é, , o que implica

Nesse caso, é o ângulo obtuso ou raso. c) Se , de acordo com a igualdade acima, deve ser igual a zero, isto é, , o que implica

Nesse caso, é o ângulo reto.

Cálculo do ângulo de dois vetores Da igualdade , segue que:

Condição de ortogonalidade de dois vetores De acordo com o item c) das observações, podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se, e somente se, o

produto escalar é nulo, isto é, se:

Exemplos 1) ( ) é ortogonal a ( ), pois

( )( ) ( ) ( ) 2) Calcular o ângulo entre os vetores ( ) e ( ). Solução:

3) Sabendo que o vetor ( ) forma um ângulo de com o vetor determinado pelos pontos ( ) e ( ), calcular o valor de .

Solução: 4) Determinar os ângulos internos ao triângulo , sendo ( ) ( ) e ( ). Solução:

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5) Provar que o triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ) é um triângulo retângulo. Solução: 6) Determinar um vetor ortogonal aos vetores ( ) e ( ). Solução:

Produto escalar no Todo o estudo sobre produto escalar feito em relação a vetores do é válido também no .

Exercícios 1. Dados os vetores ( ) ( ) ( ), determinar de modo que

( ) .

2. Dados os pontos ( ) ( ) e ( ), determinar o vetor tal que ( ) .

3. Determinar o vetor , sabendo que ( ) ( )

4. Dados os pontos ( ) ( ) e ( ) determinar o versor do vetor 5. Verificar se são unitários os seguintes vetores:

( ) (

√

√

√ )

6. Determinar o valor de para que o vetor .

/ seja unitário.

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7. Seja o vetor ( ) ( ) . Calcula para que √ . 8. Calcular o perímetro do triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ). 9. Obter um ponto do eixo das abscissas equidistante dos ponto ( ) e ( ). 10. Seja o triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ). Determinar o ângulo interno ao vértice . 11. Os pontos e são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto escalar dos

vetores e . 12. Determinar os ângulos do triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ).

13. Sabendo que o ângulo entre os vetores ( ) e ( ) é

, determinar .

14. Dados os vetores ( ) ( ) e ( ), determinar o valor de para que o vetor seja ortogonal a .

15. Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao ( ), tal que . 16. Determinar o vetor ortogonal ao vetor ( ) e colinear ao vetor ( ). 17. Provar que os pontos ( ) ( ) e ( ) são vértices de um triângulo retângulo.

18. Qual o valor de para que os vetores e ( ) sejam ortogonais? 19. Verificar se existe um ângulo reto no triângulo , sendo ( ) ( ) e ( ). 20. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar. 21. Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e . Determinar .

22. Sabe-se que

e

. Determinar .

23. Determinar um vetor unitário ortogonal a ( ). 24. Mostrar que se e são vetores tais que é ortogonal a então 25. Mostrar que, se é ortogonal a e a , também é ortogonal a . 26. Calcular o módulo dos vetores e , sabendo que , e o ângulo entre e é de 60°.

Produto vetorial Dados os vetores e , tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos

vetores e , e se representa por , ao vetor:

( ) ( ) ( ) Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de ordem:

|

| |

| |

| ( )

Uma maneira fácil de memorizar esta expressão é utiliza a notação:

|

|

pois o 2o membro da igualdade (1) é o desenvolvimento deste determinante simbólico segundo os elementos da 1

a linha,

observada a alternância dos sinais que precedem os termos do 2o membro. Na realidade, o símbolo à direita da igualdade acima

não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores ao invés de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.

Observação: O produto vetorial do vetor pelo vetor é também indicado por e se lê “ vetorial ”.

Exemplo: Dados os vetores e , encontre os vetores e . Solução:

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Propriedades do produto vetorial Veremos que algumas propriedades do produto vetorial derivam das propriedades dos determinantes.

I) , qualquer que seja . II) III) ( ) IV) ( ) ( ).

V) se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se e são colineares. VI) é ortogonal simultaneamente aos vetores e . VII) Os vetores , e têm as direções das arestas de um triedro direto (regra da mão direita). VIII) ( ) (Identidade de Lagrange).

IX) Se e se é o ângulo dos vetores e então:

X) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral ( ) ( )

Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois vetores Geometricamente, o módulo do produto vetorial de dois vetores e mede a área do paralelogramo

determinado pelos vetores e .

De fato,

Logo

mas

portanto,

Exemplos: 1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ( ) e ( ). Solução: 2) Dados os vetores ( ) e ( ) calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores e

. Solução:

21

3) Sejam os vetores ( ) e ( ). Calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado

por e seja igual a √ . Solução: 4) Calcular a área do triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ). Solução:

22

Exercícios

1) Dados os vetores ( ) ( ) e ( ), calcular: a) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) ( )

2) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores e , sendo ( ) e

( ). 3) Determinar o valor de para que o vetor ( ) seja simultaneamente ortogonal aos vetores

( ) e ( ). 4) Determinar um vetor unitário simultanteamente ortogonal aos vetores ( ) e ( ). Nas

mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.

5) Sabendo que ‖ ‖ √ e é o ângulo entre e , calcular .

6) Se √ e é o ângulo entre e , determinar . 7) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ( ) e ( ). 8) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos ( ) ( ) ( ) e ( ) é

um paralelogramo e calcular a sua área. 9) Calcular a área do triângulo de vértices

a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( )

10) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto ( ) e uma diagonal de extremidades ( ) e ( ).

11) Dado o triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ), calcular a medida da altura relativa ao lado .

23

Produto Misto Usaremos o produto interno e o produto vetorial para definir o produto misto. A cada terna ordenada de vetores, essa

operação associa um número real. O número real associado à terna ( ) será indicado por , -, e é definido por:

, - ( )

Analisemos a figura abaixo:

O volume do paralelepípedo é igual ao produto da altura pela área da base. Vimos que a área da base é . Vemos,

pela figura, que a altura é dada por , onde é o ângulo formado pelos vetores e . Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por:

, - Assim, o valor absoluto do produto misto de três vetores é igual ao volume de qualquer paralelepípedo cujas arestas são

representantes desses três vetores. Podemos determinar se três vetores são coplanares pelo anulamento do produto misto entre eles. Mais precisamente, os

vetores e são coplanares (ou linearmente dependentes) se, e somente se, , - . Reciprocamente, se , - , então o paralelepípedo é um conjunto plano, logo e são linearmente dependentes.

Podemos também expressar o produto misto como um determinante. Na verdade, um determinante legítimo (e não simbólico, como o obtido para o produto vetorial). Se

( ) ( ) ( )

são três vetores quaisquer, então, como foi visto anteriormente, ( )

Levando-se em conta que , - ( )

obtemos , - ( ) ( ) ( )

e, pode-se mostrar facilmente que a expressão anterior é o desenvolvimento do determinante

|

|

ou seja,

, - |

|

A expressão dada permite ver que muitas das propriedades usuais de determinantes (de terceira ordem) são válidas também para o produto misto.

Exemplo Mostre que, quaisquer que sejam os vetores e do ,

, - , - , - , - Solução:

24

Exemplo: Verificar se são coplanares os seguintes vetores: ( ) ( ) ( )

Solução: Exemplo: Qual deve ser o valor de para que os vetores ( ) ( ) ( ) sejam

coplanares? Solução: Exemplo: Verificar se os pontos ( ) ( ) ( ) e ( ) estão no mesmo plano. Solução: Exemplo: Dados os vetores ( ) ( ) ( ) calcular o valor de para que o volume do

paralelepípedo determinado por seja 24 u.v. (unidades de volume). Solução:

25

Exercícios 1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( )

2) Verificar se são coplanares os pontos: a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ( ) ( ) ( ) ( )

3) Para que valores de os pontos ( ) ( ) ( ) e ( ) são coplanares?

4) Sejam os vetores ( ) ( ) e . Determine o volume do paralelepípedo definido por e .

5) Os vetores ( ) ( ) e ( ) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular .

6) Calcular o volume do tetraedo , sendo dados ( ) ( ) ( ) e ( ).

Estudo da Reta

Considere uma reta . Escolha um ponto , e um vetor paralelo a . Então é fácil ver que um ponto

pertence a se, e somente se, e são paralelos, isto é, se, e somente se, existe tal que , ou seja,

(1)

Em outras palavras, dado real, (1) nos dá um ponto de , e dado , existe tal que (1) se verifica. A equação

(1) se chama equação vetorial da reta . Escreve-se:

( ) Observações: (a) O vetor é chamado de vetor diretor da reta . (b) Devido à arbitrariedade da escolha do ponto e do vetor diretor, existem muitas equações vetoriais diferentes para a

mesma reta. (c) Do ponto de vista geométrico, podemos interpretar a equação (1) imaginando que seja uma reta infinita em que o

ponto zero é e cuja escala tem como unidade (veja figura abaixo). A posição de cada ponto da reta é determinada pelo valor de ; por exemplo, para o ponto , ; para ; para , e, para , naturalmente . Se trocarmos o vetor diretor por outro, , mudaremos a unidade ou o sentido da escala. Se trocarmos o ponto por outro ponto de , mudaremos a origem da escala. Assim como muitas réguas podem ser imaginadas sobre a mesma reta, muitas equações podem estar associadas a ela.

Tomemos agora um sistema de coordenadas e suponhamos que, em relação a ele, ( ) ( ) e

( ) (note que, como , pelo menos uma das coordenadas e é diferente de zero). Escrevendo a equação (1) em coordenadas, obtemos

( ) ( ) ( ) ( ) ou seja,

{

( )

(2)

26

O sistema de equações (2) chamado sistema de equações paramétricas da reta , ou sistema de equações da reta na

forma paramétrica. É claro que só faz sentido entender (2) como um sistema de equações, pois para caracterizar ponto de devemos

considerar todas as suas três coordenadas. Apesar disso, por abuso de linguagem, omitiremos a palavra sistema e nos referiremos a (2) simplesmente como equações paramétricas da reta .

Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de é nula, podemos isolar no primeiro membro de cada uma das

equações de (2):

Portanto,

O sistema de equações acima é chamado sistema de equações da reta na forma simétrica ou, por abuso de linguagem,

equações da reta na forma simétrica. Observe que, sob a hipótese , cada sistema de equações de na forma paramétrica dá origem a um

sistema de equações de na forma simétrica. Por isso, o sistema de equações de uma reta na forma simétrica não é único. O fato de estarmos falando na forma das equações obriga-nos a uma certa rigidez. Equações como

{

não são equações na forma paramétrica, pois não são estritamente da forma (2). Pelo mesmo motivo,

não são equações na forma simétrica.

Exemplo: Seja a reta determinada pelos pontos ( ) e ( ). a) Obtenha as equações da reta nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. b) Verifique se o ponto ( ) pertence a . c) Obtenha dois vetores diretores de e dois pontos de , distintos de e .

Solução: Qual a finalidade de estudar tantas formas de equações de reta? Acontece que cada uma tem suas

características próprias que, bem exploradas, simplificam certas tarefas. A forma vetorial é intríseca, isto é, não depende de sistema de coordenadas. Por isso, é útil em situações teóricas ou quando não se fixou um sistema. A

27

forma paramétrica e sua forma vetorial equivalente ( ) ( ) ( ), permitem a caracterização dos pontos da reta com o auxílio de uma única variável , o que, na prática, leva à redução do número de incógnitas (em vez de três, x, y e z, trabalhamos com uma, ). A forma simétrica, que não apresenta parâmetro, exibe relações que as coordenadas dos pontos da reta devem manter entre elas mesmas. Um aspecto comum às três formas é a sua funcionalidade visual: basta olhar as equações para conhecer um ponto da reta e um vetor não-nulo paralelo a ela.

Exemplo: Mostre que as equações

Descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

Solução: Exemplo: São dados os ponto ( ) e ( ), e a reta ( ) ( ). Determine o

ponto de tal que e são vértices de um triângulo retângulo. Solução:

28

Exercícios: 1) Estudando Geometria Analítica em uma noite de sábado, Amanda resolveu vários exercícios que

pediam equações da reta. Relacionamos a seguir as respostas dela e as do livro. Quais exercícios Amanda acertou?

Exercício A ( ) ( ) ( ) .

/

Exercício B ( ) ( ) ( ) ( ) Exercício C ( ) ( ) ( ) ( ) 2) (a) Sejam ( ) e ( ). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica

para a reta . Verifique se ( ) pertence a essa reta. (b) Dados ( ) e ( ), escreva equações da reta que contém e é paralela a , nas formas

vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.

3) Escreva equações paramétricas para os eixos coordenados. Essas equações podem ser colocadas na

forma simétrica? 4) Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas

{ ( )

Verifique se os pontos ( ) e ( ) pertencem à reta. 5) Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto ( ) e é paralela à reta de

equações paramétricas

{

√ ( )

6) Sejam ( ) e ( ). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3, 3, 3) e

é paralela à reta . 7) Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto ( ) e é

paralela à reta descrita pelas equações

.

8) Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto ( ) e pelo ponto

médio do segmento de extremidades ( ) e ( ). 9) Sejam ( ) ( ) e ( ).

(a) Mostre que e são vértices de um triângulo. (b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice .

29

10) Sejam, em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, ( ) ( ) e ( ). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice .

11) Sejam ( ) e ( ). Escreva equações da reta nas formas vetorial,

paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam √ de .

12) Sejam ( ) e ( ). Determine o ponto da reta tal que ‖ ‖ .

13) Sejam ( ) e ( ) ( ). Obtenha os pontos de que distam √ de

. Em seguida, verifique se a distância do ponto à reta é maior, menor ou igual a √ e justifique sua resposta.

14) Sejam ( ) ( ) e ( ) ( ). Determine os pontos de

equidistantes de e . 15) Sejam ( ) e ( ). Determine um ponto da reta tal que a área do

triângulo seja 9, nos casos: (a) ( ) ( ) (b) ( ) ( ).

Equações do Plano

Se e são dois vetores não paralelos, todos os planos paralelos a e são paralelos entre si. Logo, assim como um vetor não nulo determina a direção de uma reta, uma par de vetores não paralelos determina a direção de um plano. Isto motiva a seguinte definição.

Definição: Se e são vetores não paraleos entre si mas paralelos a um mesmo plano , o par ( ) é chamado par de vetores diretores de . Para simplificar a linguagem, diremos que e são vetores diretores de .

Sejam um ponto do plano e ( ) um par de vetores diretores de . Um ponto pertence a se, e

somente se, existem números reais e tais que . Isto equivale a

Definição: A equação acima chama-se equação vetorial do plano , ou equação do plano na forma vetorial.

É perceptível a forte analogia entre equações vetoriais de reta e de plano: a diferença está na quantidade de vetores diretores utilizados que passou de um para dois.

Observações (a) Quando quisermos enfatizar que e percorrem todo o conjunto dos números reais, escreveremos

“ ”, entre parênteses, após a equação. Também é usual indicar o nome do plano à frente da

30

equação, separado dela por dois pontos. Assim, ( ) significa que é o plano que contém e é paralelo aos vetores e .

(b) Qualquer ponto do plano pode ser usado em lugar de e quaisquer dois vetores não paralelos entre si mas paralelos a , em lugar de e . Por isso, existem infinitas equações vetoriais diferentes para o mesmo plano.

Passemos a trabalhar com coordenadas. Fixado um sistema de coordenadas, suponhamos que ( )

( ) ( ) e ( ). A equação vetorial fica ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ou seja,

{

( )

Definição: O sistema de equações acima é chamado sistema de equações paramétricas do plano , ou sistema de equações do plano na forma paramétrica.

Como no caso da reta, também iremos omitir a palavra sistema quando referir-nos às equações acima. Invertendo a ordem das idéias, notamos que, fixado um sistema de coordenadas, todo sistema de equações da

foram acima, sob a condição de que e não sejam proporcionais, descreve um plano de : é o plano que contém o ponto ( ) e é paralelo aos vetores não paralelos ( ) e ( ), isto é, tem esses vetoresd como vetores diretores.

Exemplo: Seja o plano que contém o ponto ( ) e é paralelo a ( ) e ( ).

a) Obtenha duas equações vetoriais de . b) Obtenha equações paramétricas de . c) Verifique se o ponto ( ) pertence a . d) Verifique se o vetor ( ) é paralelo a .

Solução:

31

Exemplo: a) Escreva uma equação vetorial do plano que tem equações paramétricas

{

( )

b) Obtenha três pontos não colineares desse plano. Solução:

Vamos apresentar agora uma forma de equação de plano que não depende de parâmetros: ela estabelece, diretamente, relações entre as coordenadas e dos pontos do plano, sem recorrer às variáveis auxiliares e .

Fixado um sistema de coordenadas, seja o plano que contém o ponto ( ) e tem vetores diretores

( ) e ( ). Sabemos que um ponto ( ) pertence a se, e somente se, o vetor for combinação linear de e . Isto significa que o determinante

|

|

Reescrevendo esse determinante, obtemos

| | ( ) |

| ( ) |

| ( )

e, introduzindo a notação,

| | |

| |

|

podemos escrever a igualdade na forma,

Observe que , isto é, que e não são simultaneamente nulos, pois se assim fosse, os

números seriam proporcionais a e os vetores e seriam paralelos. A última equação acima é chamada de equação geral do plano .

Suponha agora que seja dada a equação

Então, fixado um sistema de coordenadas, existe um plano que tem por equação geral. Observação: Se o plano passa por ( ) ( ) ( ), pontos estes não colineares, então uma equação geral do plano pode ser obtida a partir de

32

|

|

Exemplo: Ache uma equação geral do plano que passa por ( ) e é paralelo aos vetores ( ) e ( ). Solução: Exemplo: Idem, passando por ( ) ( ) ( ). Solução: Exemplo: Dadas equações paramétricas de um plano ,

{

( )

Obtenha uma equação geral de . Solução: Exemplo: Um plano tem por equação geral . Obtenha equações paramétricas de .

33

Solução: Exemplo: Uma reta é dada como intersecção de dois planos:

{

Dê equações paramétricas de . Solução:

Observação: É bastante frequente descrever-se uma reta por um par de equações da forma

{

com

e

, isto é, encarar a reta como interseção de dois planos e . É claro que nesse caso esses dois planos não devem ser paralelos, e uma condição para isso, como veremos mais adiante, é que os coeficientes não sejam proporcionais a .

Por outro lado, dadas equações paramétricas de uma reta , podemos obter equações de sob a forma do sistema de equações acima eliminando o parâmetro, por substituição, por exemplo. Caso o parâmetro não compareça em uma das três equações paramétricas, esta já é equação de um plano que contém . Vejamos alguns exemplos:

1)

{

( )

34

2)

{

( )

3)

{

( )

Finalmente, repare que o procedimento de “eliminar o parâmetro” já foi utilizado no capítulo anterior, para se obter equações de uma reta na forma simétrica. Assim, se

podemos escrever

35

{

ou

{

( )

( )

Exercícios

1) Verifique se nos seguintes casos (explique por que). a)

b)

2) Obtenha equações gerais para o plano descritos abaixo:

a) passa por ( ) e ( ) e é paralelo ao vetor ( ). b) passa por ( ) e ( ) e é paralelo ao segmento , onde ( ) e ( ). c) passa pelos pontos ( ) ( ) e ( ). d) passa pelos pontos ( ) ( ) e ( ).

3) Dadas as retas

obtenha uma equação geral para o plano determinado por e .

4) Idem, sendo

5) Obtenha a equação geral do plano

{

6) Idem para

{

7) Seja o plano que passa pelos pontos ( ) ( ) e ( ). Seja o plano que passa por

( ) e é paralelo aos vetores ( ) e ( ). Seja o plano de equação vetorial ( ) ( ) ( ). a) Escreva as equações gerais de e . b) Mostre que a interseção se reduz a um único ponto; determine-o.

8) Verifique se a reta está contida no plano nos seguintes casos:

a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) e passa pelos pontos ( ) e ( ). c) e

9) Sejam ( ) e ( ) ( ).

36

a) Mostre que . b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por e por

Vetor normal a um plano Consideremos um plano . Chama-se vetor normal a a qualquer vetor não nulo ortogonal a . É claro que

é um vetor normal a se, e somente se, é ortogonal a qualquer vetor paralelo a (ou a qualquer vetor diretor de ). Vejamos como obter uma equação geral de conhecendo um ponto ( ) de e um vetor ( ) normal a ( ): pondo ( ), temos que

logo

ou

( ) ( ) ( ) e pondo

concluímos que

Então, essa última equaçãos é uma equação geral de ; a particularidade importate é que os coeficientes de e nessa equação são as coordenadas de um vetor normal, na ordem adequada, e é dado por .

Reciprocamente, se é uma equação geral do plano , mostraremos que ( ) é uma vetor normal a . Para isso, basta mostrar que , para todo vetor paralelo a , ou seja, que

, para quaisquer pontos e de . Sejam ( ) e ( ). Se e temos

e

donde se obtém, subtraindo-se membro a membro, ( ) ( ) ( ) que é justamente o

que queríamos, já que a expressão do primeiro membro é igual a . Exemplo: Obtenha uma equação geral do plano , que passa pelo ponto ( ) e tem vetor normal ( ). Solução: Exemplo: Obtenha uma equação geral do plano que passa por ( ) e tem vetores diretores ( ) e ( ).

37

Solução: Exemplo: Escreva equações paramétricas para a reta , onde e . Solução:

Exercícios

1) Obtenha um vetor normal ao plano nos seguintes casos: a) passa pelos pontos ( ) ( ) e ( ). b) tem equações paramétricas

{

c) tem equação geral .

2) Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto ( ) e é paralelo a

3) Dê uma equação geral do plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa por ( ) e ( ).

4) Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto ( ) e é perpendicular à reta ( ) ( ).

5) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por ( ) e é perpendicular ao plano .

6) Escreva equações paramétricas da reta de interseção dos planos

{

{

38

7) Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano

{

Posição relativa de retas e planos

Reta e reta Queremos neste parágrafo resolver o seguinte problema: dadas duas retas e , descobrir se elas são paralelas, concorrentes ou reversas; se forem paralelas, verificar ainda se são coincidentes ou distintas.

Para isso, fixemos um sistema de coordenadas e designemos por ( ) um vetor diretor de , por ( ) um vetor diretor de , por ( ) um ponto qualquer de e por ( ) um ponto qualquer de . Observemos então que:

a) e são reversas se e somente se ( ) não são coplanares, ou seja, se e somente se,

|

|

39

b) e são paralelas se e somente se e são paralelos, isto é, se e somente se existe tal que

c) e são concorrentes se e somente se são coplanares e não são paralelas, ou seja, se e somente se,

|

|

A partir dessas considerações, podemos estabelecer um roteiro para estudar a posição relativa das retas e : 1) Escolher um vetor paralelo a r e um vetor paralelo a . Temos duas possibilidades para algum

ou para todo .

2) Se para todo , escolher um ponto e um ponto , e verificar se ( ) não são

coplanares (condição a)). Em caso afirmativo, e são reversas. Se, por outro lado ( ) são

coplanares, estão obedecidas as condições c) e e são concorrentes. 3) Se (condição b)), e são paralelas. Resta saber se coincidem ou não. Para isso, basta escolher um

ponto qualquer de e verificar se pertence a : se sim, temos (pois e e tem um ponto em comum); se não, e são paralelas distintas ( e ).

Observação: Se e são concorrentes, o único ponto comum a elas pode ser determinado resolvendo-se o sistema constituído das equações de e . Aliás, o estudo da posição relativa pode também ser feito resolvedo-se esse sistema. Se tiver uma única solução, e são concorrentes; se for indeterminado então ; se for incompatível, dois casos podem ocorrer: as retas são reversas ou paralelas distintas (isso pode ser decidido tomando-se um vetor diretor de cada uma e verificando se são proporcionais ou não). Exemplo: Estude a posição relativa das retas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solução: Exemplo: Estude a posição relativa das retas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solução:

40

Exemplo: Estude a posição relativa das retas

( ) ( ) {

Solução: Exercícios

1) Estude a posição relativa das retas e nos seguintes casos:

a) ( ) ( ) {

b) {

{

c)

{

d) ( ) ( ) ( ) ( )

e)

2) No Exercício 1), obtenha, quando for o caso, uma equação geral para o plano determinado pelas retas e .

3) Determine para que as retas ( ) ( ) e ( ) ( ) sejam

coplanares, e, nesse caso, estude sua posição relativa.

Reta e Plano O problema que queremos resolver agora é: dados uma reta e um plano , decidir se está contida em ou se é paralela a ou se é transversal a , isto é, se fura num ponto . Neste último caso, usaremos o símbolo .

Lembrando que a) contém infinitos pontos; b) ; c) contém um único ponto;

devemos, para resolver o problema, estudar a interseção . Fixemos então um sistema de coordenadas e sejam, em relação a ele,

( ) ( ) e

Vamos discutir o sistema de quatro equações lineares nas incógnitas e ;

41

{

ou equivalentemente:

{

Sabemos que este sistema tem solução única se e somente se, o determinante

|

|

E calculando o determinante, isso nos dá Concluímos que

ou, em outros termos,

Podemos assim estabelecer o seguinte roteiro para estudar a posição relativa de uma reta e um plano . 1) Achar um vetor ( ) paralelo à reta e uma equação geral para o plano . 2) Se , a reta é transversal ao plano e para obter o ponto comum a eles, basta resolver o

sistema formado por suas equações. 3) Se , podemos ter ou . Para decidir isso, é suficiente escolher um ponto

qualquer de e verificar se ele pertence a . Se sim, ; se não, temos . Observações: a) Se o sistema de coordenadas for ortogonal, o vetor ( ) é normal ao plano e o número

é o produto escalar . A condição significa que . b) Se forem conhecidos dois vetores ( ) e ( ) não colineares e paralelos a , e endo,

como antes, ( ) um vetor diretor da reta , uma condição necessária e suficiente para que seja transversal a é que as componentes dos vetores satisfaçam

|

|

isto é, não são coplanares. Exemplo: Dados o plano ( ) ( ) ( ) e a reta ( ) ( ) estude a posição relativa entre e . Solução:

42

Exemplo: Idem para ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ). Solução:

Exemplo: Idem para e {

Solução: Exemplo: Idem para ( ) ( ) e . Solução:

Exercícios

1) Estude a posição relativa da reta e do plano nos seguintes casos: a) ( ) ( )

b)

( ) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d) {

e)

2) Calcule para que a reta ( ) ( ) seja paralela ao plano

( ) ( ) ( )

3) Calcule para que a reta ( ) ( ) esteja contida no plano

43

4) Calcule para que a reta

seja transversal ao plano

Plano e plano O problema que se coloca agora é: dados os planos e , decidir se , ou se e são paralelos distintos, ou se e são transversais. Neste último caso, usaremos a notação , e a interseção é uma reta.

Fixado um sistema de coordenadas, sejam equações gerais de e respectivamente.

a) Se forem proporcionais a , isto é, se existir tal que

Teremos e dividindo por , concluímos que é também equação geral para . Conclusão: .

b) Suponhamos agora que são proporcionais a , mas que e não seguem essa proporcionalidade, isto é, existe tal que e . Neste caso podemos escrever e, portanto, todo ponto ( ) de satifaz

Como todo ponto ( ) de satisfaz

e

, vemos claramente que nenhum ponto pode pertencer simultaneamente aos dois planos.

Conclusão: e e são paralelos.

c) Se não são proporcionais a (e aqui não interessa analisar e ), concluímos, por exclusão, que e que é uma reta.

Resumindo, temos o seguinte roteiro para estudar a posição relativa dos planos e , conhecidas suas equações gerais

1) Se são proporcionais a , temos . 2) Se são proporcionais a mas e não seguem essa proporção, então e são

paralelos distintos. 3) Se não são proporcionais a , então e é uma reta.

Exemplo: Estude a posição relativa dos planos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solução:

44

Exemplo: Estude a posição relativa dos planos

Solução: Exemplo: Idem para Solução:

Exercícios

1) Estude a posição relativa de e nos seguintes casos; a) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b)

c) ( ) ( ) ( )

2) Calcule para que os planos

( ) ( ) ( ) e

Sejam paralelos distintos nos casos: a) b)

3) Mostre que os planos

( ) ( ) ( ) e

( ) ( ) ( ) são transversais, para todo .

45

Perpendicularismo e ortogonalidade

Reta e reta Para decidir se duas retas são ou não ortogonais, tomamos vetores paralelos a elas e verificamos se estes são ou não ortogonais.

Note que há diferença entre os termos retas ortogonais e retas perpendiculares. Retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas, enquanto que retas perpendiculares são concorrentes obrigatoriamente. Exemplo: Verifique se as retas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

são ortogonais. Verifique também se são perpendiculares. Solução: Exemplo: Idem para

{

{

Solução:

Exercícios

1) Verifique se as retas e são ortogonais; em caso afirmativo, se são também perpendiculares. a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( )

46

c)

d) {

2) Dê equações paramétricas da reta que passa por ( ) e é perpendicular a

{

Reta e plano

Para decidir se uma reta e um plano são perpendiculares, podemos proceder assim: sendo paralelo a , e não proporcionais e paralelos a , então se, e somente se, é paralelo a .

Caso o plano seja dado por uma equação geral

então, como ( ) é normal a , basta verificarmos se este vetor é paralelo a .

Exemplo: Verificar se e são perpendiculares, sendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Solução:

Exemplo: Idem para e {

.

Solução:

47

Exemplo: Ache equações na forma simétrica da reta que passa por ( ) e é perpendicular ao plano . Solução:

Exercícios

1) Verifique se é perpendicular a nos casos a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b) {

c) {

d) {

2) Ache equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano nos casos:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( )

3) Ache uma equação geral do plano que passa por e é perpendicular à reta nos seguintes casos:

a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) passa por ( ) e ( )

Plano e plano Se é normal ao plano , é normal ao plano , então se, e somente se .

48

Exemplo: Verificar se são perpendiculares os planos

( ) ( ) ( )

Solução:

Exercícios

1) Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos: a) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )

d)

2) Ache uma equação geral do plano que passa por ( ) que é perpendicular aos planos e .

3) Dados os planos e , ache uma

equação do plano que contém e é perpendicular a .