apostila geometria analitica

GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

PROF. FERNANDO HENRIQUE

2010

Direitos Autorais Reservados É proibida a reprodução total ou parcial desta apostila sem autorização do autor

y

B’(0,-b)

M(x,y)

x

A’(-a,0) A(a,0)

B(0,b)

F’(-c,0) F(c,0)

a b

c

a

y


2

Ao Aluno, Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar o

acompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria

Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de

um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades

matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a

lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras

bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala

de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação desta

fantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica.

“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para

o estudo desta disciplina.”

Bons estudos.

Belo Horizonte, julho de 2009.


3

Introdução O que é Geometria Analítica....................................................................... 4 Capítulo 1 Espaços dimensionais; Sistemas de referência; Sistema de

coordenadas retangulares.......................................................................... 4 1.1 Espaços dimensionais................................................................................... 4 1.2 Sistemas de referência para R²..................................................................... 5 1.3 O sistema de coordenadas retangulares....................................................... 6 Capítulo 2 Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio................... 8 2.1 Distância entre dois pontos............................................................................ 8 2.2 Coordenadas do ponto médio........................................................................ 10 2.3 Exercícios propostos...................................................................................... 13 Capítulo 3 Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de

retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre ponto e reta........................................................................ 15

3.1 Retas em R²................................................................................................... 15 3.2 Coeficiente angular........................................................................................ 15 3.2.1 Coeficiente angular através de dois pontos................................................... 18 3.3 Equações da reta........................................................................................... 21 3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.................................................. 21 3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular....................................... 22 3.3.3 Equação reduzida.......................................................................................... 23 3.3.4 Equação segmentária.................................................................................... 23 3.3.5 Equação geral................................................................................................ 24 3.4 Interseção de retas......................................................................................... 26 3.5 Paralelismo..................................................................................................... 27 3.6 Perpendicularismo.......................................................................................... 27 3.7 Ângulo entre duas retas................................................................................. 29 3.8 Distância entre ponto e reta........................................................................... 30 3.9 Exercícios propostos...................................................................................... 32 Capítulo 4 Circunferência.............................................................................................. 35 4.1 Definição........................................................................................................ 35 4.2 Equação da circunferência............................................................................ 36 4.3 Equação geral da circunferência................................................................... 37 4.4 Identificando o centro e o raio na equação geral da circunferência............... 38 4.5 Exercícios propostos...................................................................................... 40 Capítulo 5 As Seções Cônicas...................................................................................... 42 5.1 Elipse.............................................................................................................. 43 5.1.1 Elementos da elipse....................................................................................... 43 5.1.2 Equação reduzida da elipse........................................................................... 45 5.1.3 Equações reduzidas genéricas da elipse....................................................... 46 5.1.4 Excentricidade................................................................................................ 48 5.1.5 Exercícios propostos...................................................................................... 50 5.2 Hipérbole........................................................................................................ 52 5.2.1 Elementos da hipérbole.................................................................................. 53 5.2.2 Equações reduzidas genéricas da hipérbole................................................. 54 5.2.3 Excentricidade................................................................................................ 56 5.2.4 Exercícios propostos...................................................................................... 59 5.3 Parábola......................................................................................................... 61 5.3.1 Elementos da parábola.................................................................................. 62 5.3.2 Equações reduzidas genéricas da parábola.................................................. 63 5.3.3 Exercícios propostos...................................................................................... 66 Capítulo 6 Translação de eixos coordenados............................................................. 68 6.1 Objetivo.......................................................................................................... 68 6.2 Relação entre os sistemas XoY e X’o’Y’........................................................ 71 6.3 Exercícios propostos...................................................................................... 74 Capítulo 7 Noções do sistema de coordenadas polares............................................ 76 7.1 Introdução...................................................................................................... 76 7.2 Elementos...................................................................................................... 77 7.3 Relação entre os sistemas cartesiano e polar............................................... 78 Apêndice I Álgebra.......................................................................................................... 81 Apêndice II Fórmulas Trigonométricas.......................................................................... 82 Apêndice III Geometria...................................................................................................... 83 Apêndice IV Seções Cônicas............................................................................................ 85 Descartes ........................................................................................................................ 88 Bibliografia ........................................................................................................................ 89

Introdução

O que é Geometria Analítica?

O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a

antiguidade. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada

pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos,

relacionados à geometria. Existem vários ramos de estudo da geometria como a

geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analítica. A Geometria

Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de estudo de

geometria.

A Álgebra é a ferramenta utilizada no estudo de geometria através da Geometria

Analítica. Na essência, a Geometria Analítica consiste na transformação de

problemas geométricos em problemas algébricos correspondentes.

Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de números reais e uma

curva é uma equação.

Capítulo 1

Espaços Dimensionais; Sistemas de Referência; Sistema de Coordenadas

Retangulares.

1.1 Espaços Dimensionais.

Quando iniciamos um estudo em Geometria Analítica precisamos definir em qual

espaço dimensional estão baseadas nossas informações para a correta

interpretação e solução dos problemas. Podemos trabalhar em nReRRR 32 ,,

O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). Uma reta

onde representamos infinitos pontos que são associados aos números reais, de

modo que cada ponto corresponde a apenas um número real.

1 2 3 -1 0 -3 -2

π 3− 3

2


5

O Sistema dimensional 2R é o plano, (duas dimensões) onde os pontos são

representados por um par de números reais e as equações das curvas têm duas

variáveis.

Já 3R , é o que chamamos de espaço, (três dimensões) onde os pontos são

definidos por um terno de números reais e as equações das curvas têm três

variáveis.

Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimensão qualquer, nR , mas neste

texto nos concentraremos principalmente em 2R .

1.2 Sistemas de Referência para 2R .

Para utilizar o fantástico poder da geometria analítica no estudo de questões

geométricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com precisão, os

pontos em um plano.

Podemos definir precisamente a posição de um ponto num plano por meio de um

par de números reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um

sistema de referência. Um sistema de referência é composto de um referencial e

de uma regra que define como os pontos serão localizados em relação a este

referencial.

Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na

Geometria Analítica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas

retangulares (chamado também de Plano Cartesiano) e o sistema de

coordenadas polares.

Estes sistemas são os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos

criar sistemas de referência de acordo com nossa necessidade, bastando para

isso, definir um referencial e uma regra para a localização dos pontos no plano.

Podemos estudar as curvas planas por meio de equações descritas em relação a

um sistema de referência. Uma curva plana é um conjunto de pontos que

obedecem a uma determinada regra e sua equação é uma expressão matemática

que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja


6

considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do

tipo 0=++ cbyax que é uma equação em relação ao sistema de coordenadas

retangulares. Cada curva tem uma equação bem definida em relação a um

sistema de referência. Ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a

equação da curva. Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou

mais apropriada, em relação a um determinado sistema de referência. Por isso

existem vários, e são utilizados de maneira conveniente.

1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares.

O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas,

chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si.

Para cada eixo é definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja

origem é a interseção.

Os números reais são representados nestes eixos, sendo que a distância entre

dois números inteiros, é uma unidade da escala definida. O número zero está na

interseção dos eixos e é chamado de origem do sistema.

O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são representadas pela letra x. O

eixo vertical é o eixo das ordenadas, representadas pela letra y.

A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de

referência de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser

1 2 3 -1 0 -3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

x

Figura 1.1


7

perfeitamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância

orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A

distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x

será sua ordenada. Isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais

do tipo ),( yxP .

Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema

de coordenadas retangulares. É importante observar que, a distância do ponto em

relação a um eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas,

ou seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa terá

sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se ele estiver

localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano será então identificado por um,

e apenas um, par ordenado de números reais e, cada par ordenado de números

reais representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de

característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares.

Em homenagem a René Descartes (1596 – 1650), cujo nome em Latim era

Renatus Cartesius, filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria

Analítica (vide texto página 85), o sistema de coordenadas retangulares

desenvolvido por ele, é também denominado de Sistema Cartesiano ou Plano

Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante.

A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos

).3,2()2,2();2,1();1,2( −−−− DeCBA

)1,2(A

)2,1(−B

)2,2( −−C

)3,2( −D

x 1 2 3 -1 0 -3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

Figura 1.2


8

Capítulo 2

Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio.

2.1 Distância Entre Dois Pontos.

Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como

ferramenta. Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos

do plano teremos que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto,

desenvolver uma técnica, ou fórmula, para calcular a distância entre dois pontos

quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo, pontos de coordenadas

genéricas, ou seja, pontos que estarão representando qualquer um dos infinitos

pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvolvida para calcular a

distância entre estes pontos genéricos, servirá para calcular a distância entre dois

pontos específicos quaisquer do plano.

Obviamente precisaremos também do nosso já conhecido Plano Cartesiano, pois

já sabemos que, sem um sistema de referência não é possível localizar pontos

num plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias.

Figura 2.1

“A menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une”

)x( 2

'Q

)y,xR( 12

)y,x(P 11

0

y

x

)(y2

"Q )y,(x 22Q

)y(P 1

"

)x( 1

'P

r


9

A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genéricas ),( 11 yxP e ),( 22 yxQ

representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo é definir uma

fórmula para calcular a distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a

passo.

• As projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos

P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y;

• Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto

R;

• O triângulo PQR é retângulo;

Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos:

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

12

222

)()(

)()()(

,

)(''''

)(''

,)()()(

yyxxd

yyxxdPQ

então

yyQdPdRQ

xxQdPdPR

masdRQdPRdPQ

−+−=

−+−=

−==

−==

+=

Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula acima para calcular

a distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos

dpordPQ .

Distância entre dois pontos


10

Exercício resolvido:

Prove que o triângulo ABC é isósceles.

R: Como dAC = dBC podemos concluir que o triângulo é isósceles.

2.2 Coordenadas do Ponto Médio.

Um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades.

O Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em

duas partes congruentes (de mesma medida).

Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos então deduzir uma

fórmula para este fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no

Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2.

Figura 2.2

A (-7,2)

B (3,-4) C (1,4)

68644)44()31(

68464)24()71(

13636100)24()73(

22

22

22

=+=++−=

=+=−++=

=+=−−++=

BC

AC

AB

d

d

d

)('' 2yQ

)(" yM

)('' 1yP

);( yxM

α

),( 2 yxS

),( 22 yxQ

s

r

);( 1yxR

x

y

β

),( 11 yxP

)(' 1xP )(' xM )(' 2xQ


11

• O ponto ),( yxM é o ponto médio do segmento definido pelos pontos

),( 11 yxP e ),( 22 yxQ ;

• As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos dão os

pontos P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y;

• Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto

),( 1yxR ;

• Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos

o ponto ),( 2 yxS ;

• Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são

congruentes, pois:

≅

≅

≅

∆≅∆

)(ˆˆ

)(

)(

retosSR

médiopontoéMMQPM

entescorrespond

SQMMRP

βα

• Sendo congruentes os triângulos, podemos concluir que seus respectivos

catetos PR e MS têm a mesma medida;

• O cateto PR, tem a mesma medida do segmento P’M’ que por sua vez

mede ).( 1xx − O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que

por sua vez mede )( 2 xx − , então:

2

2

21

21

21

21

xxx

xxx

xxxx

xxxx

+=

+=

+=+

−=−

2

21 yyy

+= analogamente:


12

Concluindo:

A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das

abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto médio será a

metade da soma das ordenadas das extremidades.

++

2,

2

2121 yyxxM

Exercícios resolvidos:

1) A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado

oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vértices são: A(2,3) ; B(3,-3) e

C(-1,-1)

Cálculo dos pontos A’, B’, C’

Ponto médio

C (-1, -1) )2,1(' −A

0,

2

5'C

1,

2

1'B

A (2, 3)

B (3, -3)

AA’, BB’ e CC’ são as medianas do ∆ ABC.

Cálculo do comprimento das medianas

1,

2

1`B

)2,1(` −A

=−

=

=+

=

=−

=

=−

=

−=−−

=

=−

=

02

33

2

5

2

32

12

13

2

1

2

12

22

13

12

13

`

`

`

`

`

`

yC

xC

yB

xB

yA

xA

532

1

4

531

4

49

12

7)10(1

2

5

892

1

4

8916

4

25

42

5)31(3

2

1

26251)32()21(

2

2

2

`

2

2

2

2

`

22`

==+=

+

=++

+=

==+=

+

−=++

−=

=+=−−+−=

mCC

mBB

mAA

0,

2

5'C


13

2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2).

2.3 Exercícios propostos:

1) Calcular a distância entre os pontos ( )4,3 +− baA e ( )1,1 ++ baB .

2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA

respectivamente de um triângulo ABC, determinar A, B e C.

3) Determinar os pontos que dividem o segmento −−

AB em quatro partes

congruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21).

4) Num triângulo ABC são dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto médio de −−

AB . obter o

vértice C do triângulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10 2

respectivamente.

5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que estão a uma distância

de 117 do ponto P(5,-2).

6) Prove que o quadrilátero com vértices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e

(7,10) é um retângulo.

7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) são vértices de um triângulo

retângulo e ache sua área.

8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) são colineares, usando a fórmula da

distância entre dois pontos.

9) Os vértices opostos de um quadrado estão em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros

dois vértices.

)8,13(

813

62141

2

23

2

17

−

−==

−=+=+

+=−

+=

B

yx

yx

yx

A (1, 2) B (x, y)

M (7,-3)


14

10) Um triângulo ABC é retângulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas.

Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A.

11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos

quadrantes ímpares.

12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos

quadrantes pares.

Respostas:

1) 5

2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12)

3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13)

4) C1(-6,-6) e C2(10,6)

5) 144 =−= xoux

9) (6,-7) e (6,-1)

10) A1(0,-1) e A2(0,5)

11) (9,9)

12)

−

13

67,

13

67


15

Capítulo 3

Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de retas;

Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre

ponto e reta.

3.1 Retas em R².

Começaremos agora o estudo das equações de algumas curvas planas. Neste

capítulo vamos discutir as particularidades e estudar a equação de uma curva

simples, porém de extrema importância. A reta. Sim, a reta também é chamada

de curva, numa generalização deste termo. Uma curva plana é formada por um

conjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que é

sua equação. A reta, como sugere o próprio nome, é um conjunto de pontos

alinhados.

Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de

seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta

podemos determinar sua equação.

Mas também podemos determinar a equação de uma reta conhecendo um de

seus pontos e seu coeficiente angular.

Então, o que é o coeficiente angular de uma reta?

3.2 Coeficiente Angular.

α

y

r

x

αP

Q

y∆

x∆

“O coeficiente angular também é chamado de inclinação ou declividade”

Figura 3.1


16

Imagine uma partícula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao

fazer este movimento a partícula se deslocou horizontalmente x∆ e verticalmente

y∆ . O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definição é a razão

entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal.

x

y

horizontaliação

verticaliaçãom

∆

∆==

var

var

Observando a figura 3.1 podemos identificar um triângulo retângulo cuja

hipotenusa é o segmento PQ e os catetos são y∆ e x∆ . O ângulo α é o ângulo

entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que é correspondente ao ângulo

agudo adjacente ao cateto x∆ do triângulo retângulo.

A tangente do ângulo α é calculada por: x

ytg

∆

∆=α .

Então o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado através da expressão:

αtgm =

Através do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela é crescente,

decrescente, constante ou vertical.

Ora, se retas são crescentes, o ângulo entre elas e o sentido positivo do eixo x

pode variar no intervalo 2

0π

α << . Os ângulos neste intervalo possuem

tangentes positivas e consequentemente as retas terão coeficientes angulares

positivos )0( >m . Lembre-se: αtgm = .

“ O coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo x.”


17

Se retas são decrescentes, o ângulo α estará no intervalo παπ

<<2

. Os

ângulos neste intervalo possuem tangentes negativas, logo, essas retas terão

coeficientes angulares negativos )0( <m .

As retas constantes são aquelas paralelas ao eixo x, cujo ângulo α é igual a

zero. Estas retas têm coeficiente angular igual a zero )0( =m , pois 00 =tg .

As retas verticais, por sua vez, são perpendiculares ao eixo x. Então 2

πα = .

Essas retas não possuem coeficiente angular, pois não existe 2

πtg .

Figura 3.2

A figura 3.2 mostra um exemplo de cada tipo de reta, em relação à inclinação.

α

y

r

x

0=α

y

t

x

0=m

0>m

2

πα =

y u

x

m não é definido

α

y

s

x

0<m


18

3.2.1 Coeficiente Angular através de dois pontos.

Podemos também, determinar o coeficiente angular de uma reta, através das

coordenadas de dois pontos pertencentes à reta.

Observe a figura 3.3 onde estão representados, uma reta e dois de seus pontos

com coordenadas genéricas.

Figura 3.3

• As projeções dos pontos A e B nos eixos coordenados nos dão os

pontos A’ e B’ no eixo x, e A’’ e B’’ no eixo y;

• Pelo ponto A, traçamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o

ponto R;

• O triângulo ARB é retângulo, então:

AR

RBtg =α ou

12

12

xx

yytg

−

−=α

)('' 1yA

)('' 2yB

α

y

s

),( 22 yxB

)(' 2xB )(' 1xA

),( 11 yxA R

x

r


19

Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a

fórmula:

12

12

xx

yym

−

−=


1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboçar os gráficos:

3

2

3

2

25

13

)

12

12

1

=

=−

−=

−

−=

m

m

xx

yym

r

102

02

)

12

12

2

=−

−=

−

−=

m

xx

yym

r

)4;2(

)3;2(

)4;2(

)4;3(

)2;2(

)1;1(

)2;2(

)0;0(

)3;5(

)1;2(

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

B

Ar

B

Ar

B

Ar

B

Ar

B

Ar

−−

−

−

α

B1

A1

x

y

B2

A2 α

y

x


20

13

3

12

12

)

12

12

3

−=−

=−−

+=

−

−=

m

xx

yym

r

032

44

)

12

12

4

=+

−=

−

−=

m

xx

yym

r

∃/=+

=

−

−=

0

7

0

34

)

12

12

5

m

xx

yym

r

Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomando-

se quaisquer pares de pontos pertencentes à mesma.

y

x

α

B3

A3

x

B4 A4

y

A5

x

B5

y

0=m , para todas as retas paralelas ao eixo x. Retas constantes.

m , não é definido para todas as retas perpendiculares ao eixo x. Retas verticais.


21

3.3 Equações da Reta.

Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de

seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A

partir desses elementos podemos definir uma equação matemática, ou seja, uma

regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que

pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como já sabemos, de um sistema

de referência que irá nos possibilitar identificar os pontos por meio de

coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equações

do 1º grau com duas variáveis.

3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.

Figura 3.4

Os pontos A e B são pontos conhecidos da reta e estão representados no plano

cartesiano, com coordenadas genéricas, pois a equação obtida servirá como um

modelo para se obter a equação de uma reta específica qualquer. O ponto M é

um ponto qualquer da reta, ou um ponto genérico, e suas coordenadas serão as

variáveis da equação.

y

),( yxM

),( 22 yxB

),( 11 yxA

r

x


22

Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e

M ou os pontos A e B. Então:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

mm ABAM

−

−=

−

−

=

3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular.

Uma simples alteração na fórmula nos possibilita determinar facilmente a equação

de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu

coeficiente angular.

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy −

−

−=−

A equação de qualquer reta no plano, pode ser obtida substituindo as coordenadas de dois de seus pontos na fórmula, ou modelo, acima.

)(

:

:

)(

:

11

12

12

1

12

12

1

xxmyy

então

mxx

yy

mas

xxxx

yyyy

temos

−=−

=−

−

−−

−=−


23

3.3.3 Equação Reduzida.

É interessante trabalhar com a equação reduzida de uma reta, pois deste modo

podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear

(intercepto do eixo y). A equação reduzida tem um formato característico como

veremos a seguir:

)(

:

11 xxmyy

temos

−=−

Se o ponto conhecido for ),,0( bB então:

)0( −=− xmby

3.3.4 Equação Segmentária.

A equação de uma reta na forma segmentária é muito interessante, pois temos a

informação imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados.

Figura 3.6

Coeficiente linear (onde corta o eixo-y) Coeficiente angular

bmxy +=

A (a,0)

B (0,b)

y

x

),0( bB

y

x

Figura 3.5


24

Substituindo os pontos A e B na fórmula da equação da reta, temos:

⇒=+

=+

→=+

+−=

−−=

−−

−=−

−−

−=−

1

)(

)(0

00

)( 1

12

121

a

x

b

y

b

b

ab

bx

b

y

bportudoividindobxa

by

bxa

by

axa

by

axa

by

xxxx

yyyy

d

onde

3.3.5 Equação Geral.

É a equação da reta na forma:

onde a e b não são nulos simultaneamente.

a é o intercepto eixo-x b é o intercepto eixo-y

1=+b

y

a

x

0=++ cbyax

0≠bea


25

Para relembrar:

verticalretam

teconsretam

edecrescentretam

crescenteretam

bmxySeja

⇒∃

⇒=

⇒<

⇒>

+=

tan0

0

0


1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida,

geral e segmentária:

Sol:

Cálculo de m

⇒=−

+−=

−

−=

4

8

812

816

2

12 mxx

yym

82

1628

)8(28

)( 11

+−=

+−=+

−−=+

−=−

xy

xy

xy

xxmyy

082 =−+ yx

2−=m

Eq. reduzida

Eq. geral Eq. segmentária

8

8

88

2

82

=+

=+

yx

yx

184

=+yx


26

3.4 Interseção de retas.

Figura 3.7

O ponto de interseção de duas retas deve satisfazer à equação de ambas,

portanto, para determiná-lo, basta resolver um sistema formado por tais

equações.

Em geral a solução de um sistema de equações, é, ou são, os pontos de

interseção de seus gráficos.

Ex: Obter o ponto I de interseção das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x – 4y + 7 = 0

sol:

⇒=

−=

=−+×

=

=−

=+−

=−+

4

9,1

4

9

3124

012413

:,

1

055

:

0742

01243

Iy

y

y

temosequaçãoprimeiranaxdevalorolevando

x

x

temosequaçõesassomando

yx

yx

y

x

I


27

3.5 Condição de Paralelismo.

Duas retas são consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular

e coeficientes lineares distintos.

Figura 3.8

3.6 Condição de Perpendicularismo.

Os coeficientes angulares de duas retas distintas também podem nos dizer se

elas são perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo.

Figura 3.9

y

x rα sα

s

r

( )

msmr

stgrtg

correspsr

=

⇓

=

=

αα

αα .

rα sα

sα rα

y

x

s r

t


28

Pelo ponto de interseção das retas, traçamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com

isso podemos identificar os ângulos correspondentes de res αα entre as retas r e

s e a reta t.

Podemos relacionar os ângulos res αα da seguinte maneira:

0.1:2

:2.1

:2

)(

,2

,2

=+∃

=+

−

=−

=−

+=

stgrtgentãotg

mastgstgrtg

stgrtg

identidadeausandotgsrgt

seguesr

ousr

ααπ

π

αα

αα

παα

παα

παα

msmrmsmr

msmr

stgrtg

11.

0.1

0.1

−=⇒−=

=+

=+ αα

Concluindo:

Duas retas r e s distintas são perpendiculares, se e somente se, ms

mr1

−= ,

o que equivale a dizer que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente

angular de uma é igual ao da outra invertido e com o sinal oposto.

Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta é igual a 3, então o coeficiente

angular de qualquer reta perpendicular a ela é 3

1− .

tgbtga

tgbtgabatg

⋅+

−=−

1)(


29

3.7 Ângulo entre Duas Retas.

Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma fórmula para o cálculo do

ângulo entre duas retas quaisquer, também utilizando seus coeficientes

angulares.

Figura 3.10

⇒×+

−=

−=

−=

stgrtg

stgrtgtg

srtgtg

sr

αα

ααθ

ααθ

ααθ

1

)(


1) Obter o ponto P, simétrico de Q(-1,8) em relação à reta r de equação 03 =−− yx

msmr

msmrtg

⋅+

−=

1θ

M é o ponto médio de PQ.

M

r: x – y – 3 = 0

Q(-1, 8)

P(x, y)

rα

y

x

rα sα

r s

sα

θ


30

Cálculo da inclinação da reta r

13

03

=⇒−=

=−−

rmxy

yx

então : 1−=PQm

Equação da reta PQ

07

18

)1(18

)( 11

=−+

−−=−

+−=−

−=−

yx

xy

xy

xxmyy

Determinação do ponto M ⇒ PQr ∩

5

102

0102

07

03

=

=

=−

=−+

=−−

x

x

x

yx

yx

)2,5(2

35

035

My

y

y

⇒=

−=

=−−

3.8 Distância Entre Ponto e Reta.

A menor distância de um ponto ),( 00 yxP a uma reta 0: =++ cbyaxr é o

comprimento do segmento que vai do ponto à reta e é perpendicular à mesma,

como vemos na figura 3.11.

Concluindo:

11

101

2

15

2

21

=

=+−

+−=

+=

x

x

x

xxx

4

48

2

82

2

21

−=

=+

+=

+=

y

y

y

yyy

)4,11( −

⇓

P


31

Figura: 3.11

Podemos calcular a menor distância do ponto P à reta r utilizando a fórmula:

22

00Pr

ba

cbyaxd

+

++=


1) Calcular a medida da altura AH do triângulo cujos vértices são: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7).

utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos:

45

20

25

20

916

131.31.4

01334:

)1,1(

===

+

++=

=++

dpr

dpr

yxBCreta

A

Então a altura AH mede 4 unidades.

H B(-1,-3)

A(1, 1)

C(2,-7)

0: =++ cbyaxr

),( 00 yxP


32

2) Calcular a distância entre as retas paralelas r: 7x + 24y – 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0


1) Em cada caso determine a equação geral da reta:

a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinação 3;

b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5);

c) bissetriz do 1º e 3º quadrantes;

d) que passa pela origem e tem coeficiente angular 3

2−=m .

2) Verifique se a afirmação está correta:

a) a reta 01042: =+− yxr é perpendicular à reta 062: =++ yxs ;

b) a reta 023: =+− yxt é paralela à reta 0526: =−− yxu .

3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e é paralela à reta

0132: =+− yxr .

4) Determinar a equação da reta que passa por Q(2,-3) e é perpendicular à reta

072: =+− yxs .

5) Determinar os vértices A, B e C do triângulo cujos lados têm as equações

01: =+− yxAB , 0177: =++ yxBC e 01135: =−+ yxCA .

6) Achar o ponto B simétrico de A(3,-1) em relação à reta 01032: =−+ yxr .

Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a

x e calculando y

rPentão

yy

y

yx

∈−

−=⇒−=

−=

=−+⇒=

)2,7(,

224

48

49124

01247.77

logo:

225

50

57649

49)2.(247.7==

+

+−+== dPsdrs , ou seja: a distância entre r e s é de 2 unidades

s

r

P(7,-2)


33

7) Provar que são perpendiculares as diagonais do quadrilátero de vértices

consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1).

8) Determinar o valor de k de modo que a reta 073: =++ kyxr passe pelo ponto

A(3,-2).

9) Calcular a distância do ponto A(3,4) à reta 01043: =−+ yxs .

10) Determinar a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano onde P é a

interseção das retas 02: =−xr e 03: =−ys .

11) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os

eixos coordenados, no 1º quadrante, um triângulo de área igual a 12.

12) Calcular a interseção da reta 012: =+− yxr com a reta que passa pelos

pontos A(0,3) e B(1,1).

13) Determinar o ponto da reta 043: =++ yxr que é eqüidistante dos pontos

P(-5,6) e Q(3,2).

14) Ache a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo de

vértices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1).

15) Obter o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD,

sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6).

16) Obter a equação da mediatriz do segmento AB, dados A(1,-7) e B(6,-12).

17) Dadas as retas 0343: =+− yxr e 22: += xys , determine o ponto P da reta s,

que dista 6 unidades da reta r.

18) O baricentro de um triângulo ABC é G(4,-2). Obter C, sabendo que A(5,-7) e

B(8,-3).

Obs.: baricentro:

++++

3,

3

yCyByAxCxBxAG

19) Obter os vértices B e C do triângulo ABC sendo dados o vértice A(0,0), o

ponto M(1,2) médio do lado AB e o baricentro G(0,5).

20) Verificar se os pontos )2,1()3,2(),1,(` ++++− bCebaBbaA são colineares.

21) Existe alguma reta passando por )4,3()2,1(),1,(` +++++ aaCeaaBaaA ?

22) Determinar x de modo que )12,1()3,2(),2,(` −−− CeBxA sejam colineares.

23) Obter o baricentro do triângulo MNP, dados ),(),,(` fecbNedbaM −−−− e

),( dfacP −− .


34

24) Calcular a altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices

).2,5()1,2(),3,0( −− CeBA

Respostas:

1)

a) 093 =+− yx

b) 053 =−+ yx

c) 0=− yx

d) 032 =+ yx

2)

a) sim

b) sim

3) 0832 =+− yx

4) 012 =−+ yx

5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3)

6)

13

29,

13

67B

8) k=8

9) 3

10) 13

11) 01232 =−+ yx

12)

2,

2

1

13) (-2,2)

14) 079 =−+ yx

15)

2

5,

2

5

16) 013 =−− yx

17) )12,5()12,7( 21 PeP −−

18) C(-1,4)

19) B(2,4) e C(-2,11)

20) sim

21) sim

22) 1=x

23) G(0,0)

24) 23


35

Capítulo 4

Circunferência.

4.1 Definição.

A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um

conjunto de infinitos pontos de 2R .

Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos

devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a

seguinte:

Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são eqüidistantes de um

ponto fixo deste plano.

Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é

seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.

Figura 4.1

Na figura 4.1, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um

plano π .

Os pontos nMMMM ,,, 321 pertencem à circunferência, se e somente se, a

distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio.

rdcMndcMdcMdcM ==== 321

r

P

Q

c

M1

M2

M3

π

Mn


36

A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio e portanto ele não pertence à

circunferência, (Q é um ponto exterior), assim como o ponto P também não

pertence à circunferência pois sua distância ao centro é menor que o raio, (P é

um ponto interior).

rdcPerdcQ <>

4.2 Equação da Circunferência.

Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu

centro e seu raio.

Na figura 4.2 abaixo, está representada no plano cartesiano uma circunferência

de centro ),( khc e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a

distância de um ponto qualquer ),( yxM ao centro ),( khc é igual ao raio r.

Figura 4.2

M(x,y)

c(h,k)

r

y

x

( )

222

22

22

22

)()(

)()(

)()(

:

:

rkyhx

rkyhx

rkyhx

então

rdcMmatemáticaDefinição

=−+−

=−+−

=−+−

=

Eq. da circunferência na forma centro-raio


37

Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é

relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.

Por exemplo, a equação 175

2)3(

2

2 =

++− yx representa uma circunferência

de centro

−

5

2,3 e raio 17 .


Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(-3,4) e o raio r=6.

sol:

222 )()( rkyhx

raiocentroequação

=−+−

−

36)4()3( 22 =−++ yx

4.3 Equação Geral da Circunferência.

A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral,

como o desenvolvimento da equação centro-raio. Vejamos:

( )

022

:

22

:sen

)()(

,

22222

22222

222

=−++−−+

=+−++−

=−+−

rkhkyhxyx

ordememcolocando

rkkyyhhxx

temosvolvendode

rkyhx

rraioekhCcentrodeequaçãoaSeja

É a equação pedida, através da qual podemos identificar facilmente o centro e o raio.


38

0

:,

2

2

:

22

222

=++++

=−+

=−

=−

FEyDxyx

temosFrkh

Ek

Dh

fazendo

É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois

termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.

Vamos desenvolver a equação do exercício anterior

01186

03616896

36)4()3(:

22

22

22

=−−++

=−+−+++

=−++

yxyx

yyxx

yxtemos

4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência.

Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de

calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Faremos o seguinte:

Seja a equação geral: 022 =++++ FEyDxyx

Para identificar o centro e o raio na equação acima utilizaremos os coeficientes D,

E e F.

−−∴−=⇒−=

−=⇒−=

2,

222

22

),(:

EDC

EkkE

DhhD

khccentro

Esta equação está na forma Geral. Não podemos identificar facilmente o centro e o raio ao olhar.

Esta é a Equação Geral da circunferência


39

2

4

4

4

44

22

:

22222

222

22

2

222

FEDr

FEDr

FED

r

FED

r

rkhF

rraio

−+=∴

−+=

−+=

−

−+

−=

−+=

realénciacircunferêaFEDse

pontoumapenasénciacircunferêaFEDse

vazioconjuntonciacircunferêFEDse

Obs

⇒>−+

⇒=−+

∃⇒<−+

0)4(

0)4(

)(0)4(

:

22

22

22


1) Dada a equação da circunferência, 076322 =−+−+ yxyx , identificar o centro e o raio.

−

−

−−

−−

3,2

3

2

6,

2

3

2,

2

C

C

EDC

2

73

2

28369

2

)7(4369

2

422

=

++=

−×−+=

−+=

r

r

r

FEDr


40


1) Determine o centro e o raio, caso a circunferência exista:

a) 014222 =+−−+ yxyx

b) 0918333 22 =+−−+ yxyx

c) 03110722 =+−++ yxyx

d) 03222 =−−+ yyx

e) 034223 22 =+−+− yxyx

f) 0922 =+−− yx

g) 0422 =++ yx

h) 08222 =+−++ yxyx

2) Determine a equação geral da circunferência cujo centro é o ponto C(3,-5) e é

tangente à reta 0143: =+− yxr .

3) Determinar a equação da reta tangente à circunf. 0392222 =−−++ yxyx no

ponto A(4,5).

4) Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(0,1) e

tangencia a reta 034 =+− yx no ponto B(0,3).

5) Achar a equação cartesiana da circunferência que passa pelo ponto A(4;8) e

tangencia as retas .010 == yey

6) Determinar os pontos de interseção da reta 05 =−+ yx com a circunferência

014222 =+−−+ yxyx e fazer um esboço do gráfico das duas curvas.

7) Determinar as equações das circunferências de raio r = 2 e tangentes à reta

01 =−+ yx e centro sobre o eixo x.

8) A reta 01 =+y é tangente à circunferência de centro (-1,m) e raio 2. Ache

uma equação de cada circunferência que tem essa propriedade.

9) Dada a circunferência 03222 =−−+ yyx e os pontos ( )31,1 −−M e ( )1,2N que

pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP, sabendo que N e

P são os extremos de um diâmetro.


41

10) Obter as equações das circunferências de raio 3, tangentes à reta 07 =−y e

tangentes exteriormente à circunferência .422 =+ yx

11) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos

).4,1()0,5(),3,2( −−− PeNM

Respostas:

1)

a) r=2, c(1,2)

b) r=2

5, c

3,

2

1

c) r=2

5, c

− 5,

2

7

d) r= 2 , c ( )1,0

e) não é circunferência

f) r=3 , c ( )0,0

g) conjunto vazio

h) conjunto vazio

2) 0210622 =−+−+ yxyx

3) 04045 =−+ yx

4) ( ) ( ) 172422

=−+− yx

5) ( ) 25522 =−+ yx e ( ) ( ) 2558

22=−+− yx

6) )4,1()2,3( e

7) ( ) 21 22=++ yx e ( ) 23 22

=+− yx

8) ( ) ( ) 41122

=−++ yx e ( ) ( ) 43122

=+++ yx

9) 2=MPd

10) ( ) ( ) 94322

=−++ yx e ( ) ( ) 94322

=−+− yx

11) 0458422 =−−++ yxyx


42

Capítulo 5

O Estudo das Cônicas.

Seções Cônicas.

Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas: todas essas curvas são

encontradas a partir de seções de um plano em uma superfície cônica. (ver

apêndice IV).

Muitas descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estão

relacionadas às seções cônicas. Os gregos clássicos - Arquimedes, Apolônio e

outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio,

sem qualquer pensamento em possíveis aplicações. As primeiras aplicações

apareceram quase 2.000 anos depois, no início do século XVII. Em 1604, Galileu

descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre,

supondo que a única força atuante fosse a gravidade - isto é, a resistência do ar e

outros fatores complicadores são desconsiderados -, sua trajetória será uma

parábola. Um dos grandes eventos da história da Astronomia ocorreu alguns anos

mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que a

órbita de Marte era uma elipse, lançando a hipótese de que todos os planetas se

moveriam em órbitas elípticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou

matematicamente que a órbita planetária elíptica é causa e conseqüência de uma

lei de atração gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distância. Isso

levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitação

Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada

como sendo a maior contribuição feita a ciência por um só homem. Esses

desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrás, mas o estudo das seções

cônicas não é, ainda hoje, nem um pouco anacrônico. De fato, essas curvas são

instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e também

nas pesquisas do comportamento de partículas atômicas: os satélites artificiais

movem-se em torno da terra em órbitas elípticas e a trajetória de uma partícula

alfa movendo-se no campo elétrico de um núcleo atômico é uma hipérbole. Esses

exemplos e muitos outros mostram que a importância das seções cônicas, tanto

antigamente como atualmente, não pode ser desprezada.


43

5.1 A Elipse.

A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2R .

Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos

devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse é a seguinte:

Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a

dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k).

Cada elipse tem a sua constante k.

Figura 5.1

kFdMFdMelipseMn nn =+⇒∈ '

5.1.1 Elementos da Elipse.

A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano.

F’

M1

π

M2

Mn

F

y

x

2a B’(0,-b)

A’(-a,0) A(a,0)

B(0; b) 2c

F’(-c,0) F(c,0)

B(0,b)

Figura 5.2


44

Seus principais elementos são:

• Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;

• Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;

• Vértices: são os pontos )0,()0,(' aAeaA − ;

• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cFecF − , a distância focal (entre focos)

mede 2c;

• Os pontos ),0(),0(' bBebB − são as extremidades do eixo menor.

Importante:

1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu

eixo maior 2a.

Então: ak 2=

Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(' aA − que pertence à elipse e por

isso deve satisfazer à condição:

kFdAFdA =+ '''

de fato:

aK

kcaca

então

caFdA

caFdA

2

,

'

''

=

=++−

+=

−=

2. Relação entre a, b e c.

222

cba +=

Definição matemática

y

B’(0,-b)

M(x,y)

x

A’(-a,0) A(a,0)

B(0,b)

F’(-c,0) F(c,0)

a b

c

a

y


45

5.1.2 Equação Reduzida da Elipse.

Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência um sistema de

eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão posicionadas tal que seus

vértices e focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem

como na figura 5.2. No caso das parábolas, seu foco deverá estar sobre um dos

eixos e seu vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações

reduzidas destas curvas.

Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos focos são

)0,3()0,3(' FeF − e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que ka =2 .

Esta elipse está representada na figura 5.3

Figura 5.3

Seja o ponto genérico elipseyxM ∈),(

adMFdMFmatemáticaDefinição 2: ' =+

então:

M(x, y)

x

2a = 10

A’(-5,0) A(5,0)

F’(-3,0) F(3,0)

y


46

10)3()3( 2222 =+−+++ yxyx

5.1.3 Equações Reduzidas Genéricas da Elipse.

Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com

focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à

origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas

genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação

aplicando a definição matemática.

Figura 5.4

( ) ( )

( )

116251625

1

400

25

400

16

400

400

)400(2516400

2516225625

25225150256251509

96(256251509

)3(5)253(

)4()3(2010012

6)3(201006

96)3(2010096

)3(10)3(

2222

22

22

22

222

222

2222

22

22

222222

222

222

=++=

+=

÷+=

+=−

++−=+−

++−=+−

+−−=−

÷+−−=−

−+−−=

++−++−−=+++

+−−=++

yxyx

yx

yx

yx

yxxxx

yxxxx

yxx

yxx

xyxx

yxxyxyxx

yxyx

ou Equação reduzida da elipse na sua forma característica após simplificação.

Para lembrar:

222 cba +=

y

M(x,y)

x

A’(-a,0) A(a,0)

F’(-c,0) F(c,0)

y


47

( ) ( )

( )

22

22

22

22

22

22

22222222

222

22222222

222222224

22222224222

22224222

22222

222

222

222222222

222

222

2222

'

)(

)()(

22

)2(2

)()(

)4()(444

2)(442

2)(442

)(2)(

2)()(

2

ba

ya

ba

xb

ba

ba

bayaxbba

bcaazendo

yacaxcaa

yaxcxacaa

yacacxaxaacxaxc

yccxxaacxaxc

ycxaacx

ycxaacx

cxycxaacx

yccxxycxaayccxx

ycxaycx

aycxycx

adMFdMF

+=

÷+=

=−

+−=−

+−=−

++−=+−

++−=+−

+−−=−

÷+−−=−

−+−−=

/+/+−/++−−=/+/++/

+−−=++

=+−+++

=+

f

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Analogamente, temos:

Eq. genérica reduzida de uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.

y

x

A’(0, -a)

A(0,a)

B’(-b,0) B(b,0)

F(0,c)

F’(0,-c)

Eq. genérica reduzida de uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Figura 5.5


48

Importante:

Notemos que no caso da elipse, 22 baentãoba >> sendo 0, >ba , ou seja:

o 2a que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maior

denominador na equação reduzida.

5.1.4 Excentricidade.

Excentricidade é a razão a

ce = que nos informa o quão achatada é uma elipse.

Como 10 <<⇒> eca

Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:

2

2

2

22

22

22

222

222

1a

be

a

bae

a

bae

bac

bac

bca

−=∴−

=

−=

−=

−=

=−

Observações:

Note que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido no intervalo

aberto (0,1).

Uma elipse com uma excentricidade próxima de zero, é uma elipse menos

achatada, ou mais arredondada, quanto menor a excentricidade mais

arredondada será a elipse. No caso limite onde 0=c e, portanto 0=e teremos

uma circunferência de raio a.


49

Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante

achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique

próximo de a.


1) Determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos:

I.

=

=

82

122

c

a

sol:

12036

20

1636

3616

46

222

2

2

222

=+∴=

−=

−=

−=

==

yxb

b

b

bac

cea

II.

=

=

2

162

e

b

sol:

4

11

9

91

4

1

91

2

1

1

3

2

2

2

2

2

2

2

−=

−=

−=

−=

=

a

a

a

a

be

b

1

91212

363

4

39

222

2

2

=+∴=

=

=

yxa

a

a


50

5.1.5 Exercícios propostos:

1) Determinar a equação reduzida da elipse nos seguintes casos:

a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x

b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y

c) 2b = 12; e = 4

5 , com focos no eixo x

2) Determinar os elementos da elipse:

a) 141

22

=+yx

b) 05102 22 =−+ yx

3) Determinar na elipse 1425

22

=+yx

os pontos cujas abscissas são iguais a -3.

4) Determinar os pontos da elipse 136100

22

=+yx

cujas distâncias ao foco direito

medem 14.

5) Determinar os pontos de interseção da reta 072 =−+ yx com a elipse

0254 22 =−+ yx .

6) Determinar a equação reduzida da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo y,

sabendo que passa pelos pontos )22,2()14,1( −QeP .

7) Determinar a equação reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x,

excentricidade 2

1 e que passa pelo ponto P(2,3).

8) Determinar as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse

01616 22 =−+ yx .

9) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 3

1 viaja ao redor de um planeta

situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do

satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância.

10) O teto de um saguão com 10m de largura na base, tem a forma de uma semi-

elipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a

altura do teto a 2m de cada parede.


51

Respostas:

1)

a) 1925

22

=+yx

b) 1169144

22

=+yx

c) 136

11

576

22

=+yx

2)

a)

( )

=

−

−

−

2

3

)3,0()3,0('

0,1)0,1('

)2,0()2,0('

e

FeF

BeB

AeA

b)

=

−

−

−

5

2

)0,2()0,2('

2

1,0

2

1,0'

0,2

50,

2

5'

e

FeF

BeB

AeA

3)

−

−−

5

8,3

5

8,3 e

4) ( ) ( )27,527,5 −−− e

5) ( )2,32

3,4 e

6) 1168

22

=+yx

7) 11216

22

=+yx

8) 116 2222 =+=+ yxeyx

9) kmd 600=

10) mh 4,8=


52

5.2 A Hipérbole.

Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um

conjunto de infinitos pontos de 2R .

Sua definição matemática é a seguinte:

Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das

distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma

constante (k).

Cada hipérbole tem a sua constante k.

Figura 5.6

kFdMFdMhipérboleMn nn =−⇒∈ '

y

x F’ F

Mn

M2

M1

π


53

5.2.1 Elementos da Hipérbole.

A figura 5.7 mostra uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano.

Figura 5.7

Seus principais elementos são:

• Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;

• Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;

• Vértices: são os pontos )0,()0,(' aAeaA − ;

• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cFecF − , a distância focal (entre focos)

mede 2c;

• Assíntotas: são as retas xa

byx

a

by =−= e .

by −=

ax −=

ax =

by =

F’(-c,0) F(c,0)

y

x

xa

by =

xa

by −=

B’(0,-b)

A’(-a,0)

B(0,b)

A(a,0)

Obs: Os focos estão sobre o eixo x e simétricos em relação à origem


54

Importante:

A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu

eixo transverso 2a.

Então: ak 2=

Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(aA que pertence à

hipérbole e por isso deve satisfazer à condição:

kdAFdAF =−'

de fato:

02

2

,

)()(

'

>=

=

=+−+

=−−+

=−

apoisak

ak

kacca

então

kacca

kdAFdAF

5.2.2 Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole.

Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com

focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à

origem. A figura 5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com

coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua

equação aplicando a definição matemática.

Definição matemática


55

Figura 5.8

Seja o ponto genérico hipérboleyxM ∈),(

:

2: '

então

adMFdMFmatemáticaDefinição =−

aycxycx 2)()( 2222 =+−−++

Eliminando os radicais, simplificando e fazendo:

222bac =−

encontramos:

12

2

2

2

=−b

y

a

x Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices

sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem.

Relação importante:

222 bac +=

A(-a,0) F’(-c,0) F(c,0) A(a,0)

M(x,y)

x

y


56

Analogamente:

Importante:

Na equação reduzida da hipérbole o 2a também nos indicará a posição dos focos

e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva.

nota: se ba = temos o que chamamos de hipérbole eqüilátera.

5.2.3 Excentricidade.

Também é calculada pela razão a

ce = que nos dá a abertura dos ramos da

hipérbole.

Como ac > a excentricidade da hipérbole sempre será 1> .

Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:

2

2

2

22

22

22

222

222

1a

be

a

bae

a

bae

bac

bac

bac

+=∴+

=

+=

+=

+=

=−

F’

A’

A

F

12

2

2

2

=−b

x

a

y Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices

sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.


57


1) Determinar as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles:

a) 3694 22 =− yx

b) 822 =− xy

c) 22 22 =− yx

sol:

a) 36

36

36

9

36

4 22

=−yx

149

22

=−yx

49 22 == bea

1313

49

2

2

222

=⇒=

+=

+=

cc

c

bac

∴

b) 8

8

88

22

=−xy

188

22

=−xy

88 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo y.

)8,0()8,0('

)4,0()4,0('4

162

222

AeA

FeFc

c

bac

−

−∴=

=

+=

( ) ( )( ) ( )0,30,3'

0,130,13'

AeA

FeF

−

−

Focos e vértices estão sobre o eixo x.


58

c) 2

2

22

2 22

=−yx

121

22

=−yx

21 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo x.

)0,1()0,1('

)0,3()0,3('3

212

222

AeA

FeFc

c

bac

−

−∴=

+=

+=

2) Obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos:

a) 2a = 8 e um dos focos é (5,0)

2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 25 – 16

b2 = 9

b) 2b = 2 e um dos focos é (-2,0)

2b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ b2 = 1

2c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ c2 = 4

c2 = a2 + b2

a2 = c2 – b2

a2 = 4 – 1

a2 = 3

O eixo transverso está contido no eixo x.

⇒=− 12

2

2

2

b

y

a

x 1

916

22

=−yx

O eixo transverso está contido no eixo x.

⇒=− 12

2

2

2

b

y

a

x 1

13

22

=−yx


59

c) 2a = 6 e um dos focos é (0,-5)

2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a2 = 9

2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 25 – 9

b2 = 16


1) Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo das ordenadas e

simétricos em relação à origem.

a) a = 6; b = 18

b) 2c = 10; 3

5=e

2) Verificar se o ponto

−

4

9,5M pertence à hipérbole 0144169 22 =−− yx .

3) Determinar a equação da hipérbole cujos focos são simétricos em relação à

origem e estão no eixo x, sabendo:

a) P(6,-1) e Q (-8, 22 ) ∈ hipérbole;

b)

−1,

2

9P ∈ hipérbole e xy

3

2±= são as equações das assíntotas.

4) Achar os pontos de interseção da reta 0102 =−− yx com a hipérbole

1520

22

=−yx

.

5) Esboçar o gráfico da hipérbole eqüilátera 922 =− yx .

O eixo transverso está contido no eixo y.

⇒=− 12

2

2

2

b

x

a

y 1

169

22

=−xy


60

Respostas:

1)

a) 132436

22

=−xy

b) 1169

22

=−xy

2) Pertence

3)

a) 1832

22

=−yx

b) 1818

22

=−yx

4) ( )2,63

2,

3

14e

−


61

5.3 A Parábola.

Uma das curvas planas mais conhecidas e com várias aplicações na matemática

e na engenharia é a parábola cuja definição matemática é:

Um conjunto de infinitos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta

diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano.

O foco não pertence à diretriz.

Figura 5.9

)(ddMFdMparábolaMn nn =⇒∈

y π

F

(d) diretriz

nM


62

5.3.1 Elementos da Parábola.

A figura 5.10 mostra uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano,

concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x.

Figura 5.10

Os elementos desta curva são:

• Foco: é o ponto fixo F ;

• Diretriz: é a reta fixa (d);

• Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz;

• Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo;

• Parâmetro*: chamaremos de parâmetro (P) a distância do foco ao vértice,

sendo então 2p a distância do foco à diretriz;

• Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é

perpendicular ao eixo e passa pelo foco.

* alguns autores consideram o parâmetro p como sendo a distância entre o foco e a diretriz.

Neste caso a distância entre o foco e o vértice é 2

p .

y

x

F(p,0) -p

v

L

R

(d) x=-p


63

Como já foi dito, estudaremos primeiramente as equações reduzidas das

parábolas. Neste caso o plano cartesiano terá a sua origem coincidindo com o

vértice da parábola cujo eixo, e conseqüentemente seu foco, estará sobre um dos

eixos coordenados.

5.3.2 Equações Reduzidas da Parábola.

Seja o ponto genérico parábolayxM ∈),(

)(: ddMdMFmatemáticaDefinição =

(d)

00 =++

−=

pyx

oupx

22

00

2

12

2

12 )()(

:

ba

cbyaxdpr

yyxxd

lembrarpara

+

++=

−+−=

y

x F(p,0)

-p v

M(x,y)


64

+=+

++=

+−=

pxpyx

ddM

ypxdMF

01

.0.1)(

)(

2

22

( )

pxyppxxyPpxx

pxypx

pxypx

então

422

)(

)(

222222

2222

22

=∴++=++−

+=+−

+=+−

podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equações reduzidas

para as parábolas.

Eq. genérica reduzida de uma parábola com a concavidade voltada para a direita.

x=-p y

x

F(p,0) -p

pxy 42 =

x=p

y

x

F(-p,0) p

pxy 42 −=

F(0,p)

y

x

-p

y=-p

pyx 42 =

y

x

p

F(0,-p)

y=p

pyx 42 −=


65


1) Esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola

042 =− xy

sol:

xy 42 =

vamos comparar a equação dada com a equação genérica pxy 42 =

1

444

42

2

=

=⇒=

=

p

ppxy

xy

2) Determine a equação da parábola cujo foco é

− 0,

2

1F e a diretriz é a reta 012 =−x

sol:

a equação da diretriz pode ser escrita como 2

1=x

pela posição do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parábola com vértice na

origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equação genérica é pxy 42 −=

seu parâmetro p vale 2

1.

então:

xy

xy

2

.2

1.4

2

2

−=

∴

−=

x=-1 y

x

F(1,0) -1

xy 42 =


66


1) Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e a

equação da diretriz:

a) yx 42 −=

b) xy 62 =

c) xy 82 −=

d) 02 =+ yx

e) 02 =− xy

f) 032 =+ xy

g) 0102 =− yx

h) 092 2 =− xy

i) 16

2x

y =

j) 12

2y

x −=

2) Determinar a equação da parábola com vértice na origem, eixo sobre o eixo y

e que passa pelo ponto M(6,3).

3) Um arco parabólico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base.

Se o vértice da parábola está no topo do arco, a que altura sobre a base o

arco tem uma largura de 1,8m?

4) Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do

vértice ao foco é 30cm. Se o diâmetro do espelho é 10cm, qual a sua

profundidade?

5) Admita que a água que escoa do final de um tubo horizontal que está a 2,5m

do chão descreva uma curva parabólica. O vértice da parábola está no final do

tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo d’água curvou-

se 1,0m além da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distância

desta reta a água tocará o chão?

6) A diretriz da parábola pxy 42 = é tangente à circunferência que tem o foco da

parábola como centro. Ache a equação da circunferência e os pontos de

interseção das duas curvas.


67

7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parábola é 4p.

Respostas:

1)

a) 1;)1,0( =− yF

b) 2

3;0,

2

3−=

xF

c) ( ) 2;0,2 =− xF

d) 4

1;

4

1,0 =

− yF

e) 4

1;0,

4

1−=

xF

f) 4

3;0,

4

3=

− xF

g) 2

5;

2

5,0 −=

yF

h) 8

9;0,

8

9−=

xF

i) ( ) 4;4,0 −=yF

j) ( ) 3;0,3 =− xF

2) yx 122 =

3) m5,1

4) cm208,0

5) m77,1

6) )2,()2,(;032 222 ppeppppxyx −=−−+


68

Capítulo 6

Translação de Eixos Coordenados.

6.1 Objetivo.

Como vimos nos capítulos anteriores, podemos determinar equações para

algumas curvas planas em relação a um determinado referencial. Se o referencial

mudar de posição no plano em relação à curva, esta terá sua equação

modificada.

A figura 6.1 mostra uma curva plana qualquer e três sistemas de referência num

mesmo plano.

Figura 6.1

Como temos três sistemas de referência diferentes podemos determinar três

equações diferentes para a mesma curva em questão. Na verdade podemos

determinar infinitas equações para uma mesma curva plana, pois podemos

posicionar um sistema de referência em qualquer lugar do plano.

O

Y’

X’ O’

Y

X

Y’’

X’’ O’’


69

Em relação aos três sistemas da figura 6.1, nenhum deles nos dará uma equação

reduzida para a curva, que é uma elipse, pois obviamente os focos e vértices da

mesma não estão sobre nenhum eixo.

Para obtermos uma equação reduzida para a elipse acima temos que posicionar

um novo sistema de referência num local que atenda às exigências que vimos no

capítulo 5.

Este procedimento é o que chamamos de Translação de Eixos Coordenados.

Então, o objetivo de uma translação de eixos coordenados é reduzir as equações

de algumas curvas a uma forma mais simples.

Numa translação de eixos não alteramos as características originais do sistema

de referência, apenas mudamos de lugar, ou seja:

dois sistemas cartesianos ''' YoXeXoY são transladados quando os eixos

'''' YoeXo são respectivamente paralelos aos eixos .oYeoX

Figura 6.2

O

Y’

X’ O’

Y

X

oYYoeoXXotranslaçãoexiste //// ''''⇔


70

Para ilustrar o que acabamos de ver, vamos resolver o seguinte exercício:

Determinar a equação geral da circunferência cujo centro é )4,3(c e o raio .2=r

1. Em relação ao plano .XoY

02186

0416896

2)4()3(

)()(

22

22

222

222

=+−−+

=−+−++−

=−+−

=−+−

yxyx

yyxx

yx

rkyhx

2. Agora vamos determinar a equação da mesma circunferência em relação

ao sistema '''YoX com eixos paralelos aos do sistema XoY e com sua

origem no centro da circunferência.

O

Y

X

C(3,4)

2

X

X’

Y’

O’

O

Y

C(3,4)

2

sol:

4)()( 2'2' =+ yx pois o centro da circunferência é o ponto (0,0) do sistema '''

YoX


71

Conclusão:

Podemos observar que a equação da circunferência ficou bem mais simples em

relação ao novo sistema transladado, inclusive os termos do 1º grau sumiram.

Para uma translação bem feita, temos que saber onde posicionar a origem do

novo sistema. No caso de uma circunferência, teremos uma equação reduzida se

a origem do sistema coincidir com seu centro.

Veremos a seguir como identificar a melhor localização do sistema de referência

para as outras curvas cônicas.

6.2 Relação Entre os Sistemas ''' YoXeXoY

dados:

PPonto

YoXSistema

XoYSistema'''

Figura 6.3

os pontos o’ e P possuem dois pares de coordenadas pois existem dois sistemas de referência no plano

O

Y’

X’

)0,0(

),('

kho

Y

X

),(

),('' yx

yxP

A2(x)

B’(y’)

A1(h)

B1(k)

B2(y)

A’(x’)


72

Importante: ),( kh é a origem do sistema transladado ''' yox em relação ao

sistema original xoy .

Tomando as projeções dos pontos o’ e P nos eixos coordenados, podemos dizer

que:

kyyBBOBOB

hxxxhx

então

xAoAA

hOA

xOA

masAAOAOA

+=⇒+=

+=⇒+=

==

=

=

+=

'

2112

''

'''

21

1

2

2112

:

Concluindo:

as relações

+=

+=

kyy

hxx'

'

serão utilizadas para determinar a origem ( )kh, do

sistema de referência transladado ( )'''YoX .


73


Dada a equação da cônica abaixo, pede-se:

• Identificá-la;

• Determinar seus elementos;

• Fazer um esboço do gráfico.

01119128150162522 =−−++ yxyx

Esta é a equação de uma elipse, pois podemos identificar dois termos do 2º grau, ambos

positivos. Como sabemos, as equações reduzidas das elipses possuem dois termos do 2º grau e

um termo independente. Então para obter uma equação reduzida, sem os termos do 1º grau, que

represente a mesma curva acima temos que utilizar um sistema de referência transladado.

Para mudar de sistema de referência utilizamos a seguinte relação:

+=

+=

kyy

hxx'

'

( )

1100

)(

64

)(

1600)(16)(25

,

4,34012832

3015050

,1

011191281501625)12832()15050()(16)(25

011191281281501501632)(162550)(25

01119)(128)(150)(16)(25

2'2'

2'2'

'

22''2'2'

''2'2'2'2'

''2'2'

=+

=+

−∴=⇒=−

−=⇒=+

=−−+++−++++

=−−−+++++++

=−+−+++++

yx

ou

yx

ficaequaçãonakehdosubstituin

okh

hh

temosgraudotermososanulando

khkhykxhyx

parcelasasordenando

kyhxkkyyhhxx

kyhxkyhx

o

Equação reduzida de uma elipse em relação ao plano x’o’y’ com focos sobre o eixo-y’.


74

Determinando seus elementos:

)6,0()6,0(

)10,0()10,0(

6

64100

64

10100

'

'

222

2

2

FeF

AeA

c

c

bac

b

aa

−

−

∴

=

−=

−=

=

=⇒=


1) Determine a equação da elipse cujo centro está no ponto C(1,4), um foco é o

ponto F(5,4) e a excentricidade é 3

2.

2) Determine a equação da elipse com eixo maior igual a 10 e focos F’(2,-1) e

F(2,5).

3) Determine a equação da elipse com centro no ponto C(-3,0), um foco em

F(-1,0) e que é tangente ao eixo y.

4) Faça um esboço do gráfico das seguintes elipses:

a) 0369636169 22 =++−+ yxyx

b) 031164501625 22 =−+++ yxyx

5) Determine a equação da hipérbole com centro no ponto C(3,2), um vértice em

A(1,2) e um foco em F(-1,2).

6) Determine a equação da hipérbole com vértices em (3,-2) e (5,-2) e um foco

em (-1,-2).

7) Determine a equação da hipérbole com vértices em (5,-1) e (5,5) e

excentricidade 2.

8) Faça um esboço do gráfico das seguintes hipérboles:

a) 043161849 22 =−−−− yxyx

b) 01991864916 22 =+−−− yxyx

X’

X O

Y Y’

O’(-3,4)

Curva fora da escala


75

9) Determine a equação da parábola cujo vértice é o ponto V(-2,3) e o foco é o

ponto F(-2,1).

10) Determine a equação da parábola cujo foco é F(-7,3) e a diretriz é a reta

03 =+x .

11) Determine a equação da parábola que tem seu vértice no ponto V(4,-3), seu

eixo paralelo ao eixo x, e que passa pelo ponto P(2,1).

12) Faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas:

a) 012842 =+++ yxx

b) 0392022 =−−− yxx

c) 0441642 =−++ xyy

d) 0492162 =++− yxy

Respostas:

1) 031721095 22 =−−−+ yxyx

2) 0236641001625 22 =−−−+ yxyx

3) 03095 22 =++ xyx

4)

a) )3,2(' −O

b) )2,1(' −−O

5) 0114183 22 =++−− yxyx

6) 0356419224 22 =+−−− yxyx

7) 04012103 22 =++−− yxyx

8)

a) )2,1(' −O

b) )1,2(' −O

9) 020842 =−++ yxx

10) 049682 =+−+ yxy

11) 023682 =−++ yxy

12)

a) )1,2(' −−O

b) )2,1(' −O

c) )2,3(' −O

d) )1,3(' −O


76

Capítulo 7

Noções do Sistema de Coordenadas Polares.

7.1 Introdução.

Veja a figura 7.1 abaixo.

Figura 7.1

Para localizar o ponto M no plano π nós precisamos de um sistema de referência.

Até agora o único que conhecemos é o Plano Cartesiano ou Sistema de

Coordenadas Retangulares.

Vamos ver então uma outra forma ou um outro sistema para localizar o ponto M:

• Traçamos uma semi-reta OX no plano π ;

π

M

π

M

O

θ

X

ρ

)


77

• Medimos a distância orientada do ponto O (origem da semi-reta) ao ponto

M. Chamaremos esta distância de ρ (ro);

• ρ=dOM ;

• Medimos o ângulo θ , positivo no sentido anti-horário, formado a partir do

eixo OX até o segmento OM;

• O ponto M fica bem determinado no plano pelo par ordenado ),( ρθ ;

• Este par ordenado faz parte do sistema de Coordenadas Polares.

7.2 Elementos.

Figura 7.2

Vejamos:

Seja o ponto

5,

6

πA

M

O θ

X

ρ

pólo eixo polar

ângulo polar

raio polar

5,

6

πA

O X


78

O sistema de coordenadas polares não possui a característica biunívoca do

sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, cada ponto do plano pode ser

representado por infinitos pares ordenados do tipo ),2( ρθπ +kP

Como exemplo, vamos verificar que podemos representar o ponto

5,

6

πA de

várias formas:

+

+

−+

−

−−

5,6

2

5,26

5,6

5,6

11

5,6

5

ππ

ππ

ππ

π

π

kA

A

A

A

A

7.3 Relação entre os Sistemas Cartesiano e Polar.

Podemos definir uma relação entre os sistemas polar e cartesiano para

transformar equações de curvas de um sistema para outro.

Vamos notar que algumas curvas possuem equações mais simples em relação a

um determinado sistema de referência. Por exemplo, as cônicas geralmente têm

suas equações mais simplificadas no sistema polar.

A figura 7.3 abaixo mostra um ponto P representado nos dois sistemas,

cartesiano e polar, onde suas origens coincidem num mesmo ponto e o eixo polar

se sobrepõe ao eixo cartesiano das abscissas.

xeixoOX ≡ ),(

),(

ρθ

yxP

O

θ

X

ρ

x

Y

y

)(1 xP

)(2 yp


79

PolarCartesiano →

)sen,cos(),(

sen.

cos.1

θρθρ

θρ

θρ

→∴

=

=⇒∆

yx

y

xretânguloéPOP

CartesianoPolar →

+→∴

+=

=

22

22

,),( yxx

yarctg

yx

x

yarctg

ρθ

ρ

θ


1) Passar a equação cartesiana 0632 =+− yx para a forma polar.

sol:

θθρ

θθρ

θρθρ

θρθρ

θρ

θρ

sen3cos2

6

6)sen3cos2(

6sen3cos2

06)sen(3)cos(2

:

sen

cos

−

−=

−=−

−=−

=+−

=

=

então

y

x


80

2) Passar a equação polar θ

ρcos2

4

−= para a forma cartesiana.

sol:

( ) ( )

( )

016843

081644

8164

42

42

4cos2

:

22

222

222

22

22

22

22

=−−+

=−−−+

++=+

+=+

=−+

=−

+=

xyx

xxyx

xxyx

xyx

xyx

entao

yx

θρρ

ρ

3) Passar a equação polar θ

ρcos

3= para a forma cartesiana.

sol:

3

3cos

=

=

x

θρ


81

Apêndice I Álgebra

1. Lei dos Expoentes

n mnmmnnmmmmnmnm aaaabaabaaa ==== + /;)(;)(;

Se :0≠a m

mnm

n

m

aaaa

a

a 1;1; 0 === −−

2. Zero (a divisão por zero não é definida)

Se :0≠a 00,1,00 0 === a

aa

Para qualquer número a: 0.00. == aa

3. Frações

b

a

b

a

b

a

c

d

b

a

dc

ba

bd

ac

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

−=−=

−⋅==⋅

+=+ ;

/

/;;

4. Produtos Notáveis

32233

222

33)(

2)(

babbaaba

bababa

+++=+

++=+

5. Diferença de Potências Inteiras Iguais

))((

))((

))((

322344

2233

22

babbaababa

babababa

bababa

+++−=−

++−=−

+−=−

6. Fórmula Quadrática (Báskara)

Se 0≠a , 02 =++ cbxax

a

acbbx

2

42 −±−=


82

Apêndice II Trigonometria

1. Definições e Identidades Fundamentais

Seno: θ

θecr

ysen

cos

1==

Cosseno: θ

θsec

1cos ==

r

x

Tangente: θ

θgx

ytg

cot

1==

2. Identidades

tgBtgA

tgBtgABAtg

tgBtgA

tgBtgABAtg

senBsenABABA

senBsenABABA

senBABsenABAsen

senBABsenABAsen

sen

sensensen

gectgsen

sensen

+

−=−

−

+=+

+=−

−=+

−=−

+=+

−=

+=

−==

+=+==+

=−−=−

1)(

1)(

coscos)cos(

coscos)cos(

coscos)(

coscos)(

2

2cos1;

2

2cos1cos

cos2cos;cos22

cot1cos;1sec;1cos

cos)cos(;)(

22

22

222222

θθ

θθ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθ

senAAAAsen

senAAAAsen

−=

+=

+

=

−−=

−

2cos;cos

2

2cos;cos

2

ππ

ππ

x

y

P(x,y)

x

y

r

0

θ


83

Apêndice III Geometria

1. Cevianas

Ceviana é um segmento de reta, ou semi-reta, que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. São exemplos de cevianas a Mediana, a Altura e a Bissetriz.

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um triângulo são concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo.

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.

Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. As três bissetrizes internas de um triângulo se encontram no centro de uma circunferência inscrita ao triângulo, ou incentro.


84

2. Mediatriz

Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo.

3. Fórmulas de Geometria Plana


85

Apêndice IV – Seções Cônicas

As curvas cônicas são conhecidas e estudadas há muitos séculos. Os

trabalhos mais antigos sobre o assunto foram feitos por Menaechmus (380 – 320

a.C.), Aristeu e Euclides. Mas foi Apolônio, conhecido como “O Grande Geômetra”

que nasceu por volta de 262a.C. em Perga, no sul da Ásia Menor e morreu por

volta de 190a.C. em Alexandria, que desenvolveu um estudo mais completo e

detalhado sobre as seções cônicas. Sua grande obra Seções Cônicas supera

completamente os trabalhos anteriores sobre o assunto (EVES, 1997).

FIGURA 1 – Seções cônicas não degeneradas

Na FIG. 1, vê-se a obtenção das seções cônicas como cortes de um

plano em uma superfície cônica de revolução.

Variando o ângulo do plano em relação ao eixo da superfície cônica,

obtêm-se as diferentes curvas cônicas. (FIG. 2).

FIGURA 2 – Variação do ângulo do plano de corte


86

A circunferência também é considerada uma cônica, pois pode ser

obtida quando um plano secciona uma superfície cônica perpendicularmente ao

eixo. Existem ainda, as chamadas cônicas degeneradas que ocorrem quando o

plano intercepta a superfície cônica em seu vértice e dependendo de seu ângulo

surgem um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes, (FIG. 3).

FIGURA 3 – Cônicas degeneradas

a) uma reta

b) um ponto

c) duas retas concorrentes

Winterle (2000), descreve como obter uma “superfície cônica” a partir

de duas retas (FIG. 5). “Sejam duas retas e e g concorrentes em o e não-

perpendiculares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno

de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g

gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas

pelo vértice o.”

FIGURA 1 – Superfície cônica

e

g

o


87

No início os matemáticos estudavam estas elegantes curvas sem

maiores preocupações com aplicações práticas. Mas ao longo do tempo inúmeras

descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estavam

ligadas às seções cônicas.

Dois exemplos clássicos são, a descoberta de Galileu Galilei que em

1604 descobriu que um projétil que era lançado horizontalmente do topo de uma

torre tinha uma trajetória em forma de parábola se considerando atuante apenas a

força da gravidade e a publicação de Kepler em 1609 de sua descoberta de que a

órbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lançando a hipótese que todos os

planetas se moveriam em órbitas elípticas, o que foi comprovado décadas mais

tarde por Isaac Newton. (EVES, 1997).


88

Descartes, por vezes chamado o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é

considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da história humana. Ele inspirou os

seus contemporâneos e gerações de filósofos. Na opinião de alguns comentadores, ele iniciou a

formação daquilo a que hoje se chama de Racionalismo continental (supostamente em oposição à

escola que predominava nas ilhas britânicas, o Empirismo), posição filosófica dos séculos XVII e

XVIII na Europa

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais

alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razão

muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou

justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar

rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na

carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele,

oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos,

não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam

seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado “A

Geometria” como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial

da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo

para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

Fonte: Wikipédia

René Descartes (31 de Março de

1596, La Haye en Touraine, França

— 11 de Fevereiro de 1650,

Estocolmo, Suécia), também

conhecido como Renatus Cartesius,

foi um filósofo, um físico e

matemático francês. Notabilizou-se

sobretudo pelo seu trabalho

revolucionário da Filosofia, tendo

também sido famoso por ser o

inventor do sistema de coordenadas

cartesiano, que influenciou o

desenvolvimento do Cálculo

moderno.


89

Bibliografia.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Harbra Ltda,

1994, 3ª edição.

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-

Hill, 1987.

JÚDICE, Edson Durão. Elementos de Geometria Analítica – Belo Horizonte:

Sistema Pitágoras de Ensino, 1976, 2ª edição.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books do

Brasil Editora Ltda, 2000.

BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento

vetorial – São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987, 2ª edição.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica, Vol 2 – São Paulo:

Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2ª edição.

REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Lima da. Geometria Analítica – Rio de

Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1984.

KLETENIK, D. Problemas de Geometria Analítica – Moscou: Editora Mir, 1968.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática – Campinas: Editora da

Unicamp, 1997

apostila geometria analitica

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