apostila de estatistica

INSTITUTO FEDERAL DO ESPIRITO SANTO IFES CAMPUS GUARAPARI

CURSO TCNICO EM ADMINISTRAO

APOSTILA DE ESTATISTICA

Gibson Dall'Orto Muniz da Silva

Estatstica uma parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de deciso. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

Estatstica Descritiva: Estuda a coleta, a organizao e a descrio dos dados.

Tabelas Coleta de Dados Critica dos dados Grficos Estatistica Indutiva ou Inferncia Estatistica: a parte da estatistica que realiza a anlise e interpretao dos dados. Variaveis: A cada fenmeno corresponde um numero de resultados possveis. Assim, por exemplo: Para o fenmeno sexo so dois os resultados possveis: sexo masculino e sexo feminino Para o fenmeno numero de filhos h um numero de resultados possveis expresso atravs dos numeros naturais: 0,1,2,3,4,.........n Para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois o resultado podem tomar um numero infinito numrico dentro de um determinado intervalo. Anlises

Variavel , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenomeno

Tipos de variaveis a) Qualitativa: quando seus valores so expressos por atributos: Ex. Sexo ( masculino, feminino), cor(branca,vermelha,parda etc.) b) Quantitativas: quando seus valores so expressos em nmeros( slario das pessoas, idade dos alunos de sua sala de aula etc.) Devemos observar que uma variavel quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variavel Continua. Uma variavel que s pode assumir valores pertencentes ao conjunto dos numeros inteiros chamada variavel discreta. ex. a quantidade de alunos de uma escola pode ser 100, 80, 400 etc, jamais teriamos uma escola com 40,5 alunos. Populao e Amostra Populao: Uma populao uma coleo de unidades individuais, que podem ser pessoas, animais, resultados experimentais, com uma ou mais caractersticas comuns, que se pretendem analisar. Obs. Podemos tambm definir populao como um conjunto de elementos abrangidos por uma mesma definio. A cada elemento da populao d-se o nome de unidade estatstica. O nmero de elementos da populao designa-se por dimenso da populao e representa-se por N. A dimenso da populao pode ser finita ou infinita. Muitas vezes a populao confundida com a prpria caracterstica populacional em estudo. Exemplo Ao considerarmos a populao constituda pelos alunos de uma Universidade, no ano letivo 2005/06, podemos estar interessados em estudar a altura. Assim falamos na populao constituda pelas alturas dos alunos da Universidade, j que a caracterstica a estudar. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

Nem sempre possvel estudar exaustivamente todos os elementos de uma populao! Porqu? Pode a populao ter dimenso infinita (ex. a populao das temperaturas em todos os pontos da cidade) Pode o estudo da populao levar destruio da mesma (ex. Populao dos fsforos numa caixa) Pode o estudo da populao ser muito dispendioso em tempo ou dinheiro (ex. Sondagem exaustiva de todos os eleitores) Inacessibilidade a alguns dos elementos da populao (ex. por razes de ordem legal) Amostra Uma amostra um conjunto de dados ou observaes recolhidas a partir de um subconjunto da populao. Obs. O nmero de elementos que fazem parte da amostra designa-se por dimenso da amostra e representa-se por n . Ser importante a fase da escolha da amostra? Sim, pois a amostra deve ser representativa quanto possvel da populao de onde foi extrada, para que as concluses possam estender-se a toda a populao. Uma amostra no representativa diz-se enviesada. Exemplo Utilizar uma amostra constituda por 10 botafoguense, para prever o vencedor de um jogo do Botafogo - Flamengo. Utilizar uma amostra constituda por leitores de uma revista especializada, para tirar concluses sobre a populao em geral. Surge assim a necessidade de fazer um planejamento de experincias, onde se decide: quais e como devem ser recolhidos os dados Exerccio Considere a seguinte situao: Um poltico, candidato a Presidente da Repblica, pretende ter uma ideia de qual a sua representatividade, junto ao eleitorado brasileiro, pelo que encarrega uma empresa de fazer o estudo conveniente. Identifique: Populao, Amostra e unidade estatstica. Exerccio Diga porque que as seguintes situaes representam amostras ruins: - Para saber qual o candidato mais votado, para a Cmara de determinada cidade, ouviu-se a opinio dos clientes de determinado supermercado. - Para conhecer a situao financeira das empresas txteis brasileiras, verificou-se a situao das empresas que tiveram maior volume de exportaes, no ltimo ano. Amostragem: o estudo de um pequeno grupo de elementos retirado de uma populao que se pretende conhecer. Esses pequenos grupos retirados da populao so chamados de amostras. Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da populao estudada. Para isso, existem tcnicas adequadas para cada tipo de situao.

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Veremos a seguir as principais tcnicas de amostragem, divididas em probabilsticas e no probabilsticas: Tcnicas Probabilsticas (aleatrias) As tcnicas probabilsticas garantem a possibilidade de realizar afirmaes sobre a populao com base nas amostras. Normalmente, todos os elementos da populao possuem a mesma probabilidade de serem selecionados. Assim, considerando N como o tamanho da populao, a probabilidade de cada elemento ser selecionado ser 1/N. Estas tcnicas garantem o acaso na escolha. So tcnicas probabilsticas: Amostragem Aleatria Simples o processo mais elementar e freqentemente utilizado. Pode ser realizado nume rando-se os elementos da populao de 1 a n e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatrio qualquer, X nmeros dessa seqncia, que correspondero aos elementos pertencente amostra. Exemplo Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma populao de 200 alunos de uma escola. 1) Numerar os alunos de 1 a 200; 2) Escrever os nmeros de 1 a 200 em pedaos de papel e coloc-los em uma urna; 3) Retirar 20 pedaos de papel, um a um, da urna, formando a amostra da populao. Nesta tcnica de amostragem, todos os elementos da populao tm a mesma probabilidade de serem selecionados: 1/N, onde N o nmero de elementos da populao. Amostragem Estratificada Quando a populao possui caractersticas que permitem a criao de subconjuntos, as amostras extradas por amostragem simples so menos representativas. Nesse caso, utilizada a amostragem estratificada. Como a populao se divide em subconjuntos, convm que o sorteio dos elementos leve em considerao tais divises, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao


nmero de elementos desses subconjuntos. Observe a figura abaixo:

Exemplo Em uma populao de 200 alunos, h 120 meninos e 80 meninas. Extraia uma amostra representativa, de 10%, dessa populao. Nesse exemplo, h uma caracterstica que permite identificar 2 subconjuntos, a caracterstica Sexo. Considerando essa diviso, vamos extrair a amostra da populao.

Portanto, a amostra deve conter 12 alunos do sexo masculino e 8 do sexo feminino, totalizando 20 alunos, que correspondem a 10% da populao. Para selecionar os elementos da populao para formar a amostra, podemos executar os seguintes passos: 1) Numerar os alunos de 1 a 200, sendo os meninos numerados de 1 a 120 e as meninas, de 121 a 200; 2) Escrever os nmeros de 1 a 120 em pedaos de papel e coloc-los em uma urna A; 3) Escrever os nmeros de 121 a 200 em pedaos de papel e coloc-los em uma urna B; 4) Retirar 12 pedaos de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B, formando a amostra da populao. So exemplos desta tcnica de amostragem as pesquisas eleitorais por regio, cidades pequenas e grandes, rea urbana e rea rural, sexo, faixa etria, faixa de renda, etc. Amostragem Sistemtica Esta tcnica de amostragem em populaes que possuem os elementos ordenados, em que no h a necessidade de construir um sistema de referncia. Nesta tcnica, a seleo dos elementos que comporo a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador. Exemplo Obter uma amostra de 80 casas de uma rua que contm 2000 casas. Nesta tcnica de amostragem, podemos realizar o seguinte procedimento: 1) Como 2000 dividido por 80 igual a 25, escolhemos, por um mtodo aleatrio qualquer, Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

um nmero entre 1 e 25, que indica o primeiro elemento selecionado para a amostra. 2) Consideramos os demais elementos, periodicamente, de 25 em 25. Se o nmero sorteado entre 1 e 25 for o nmero 8, a amostra ser formada pelas casas: 8, 33, 58, 83, 108, etc. Apesar de esta tcnica ser de fcil execuo, h a possibilidade de haver ciclos de variao, que tornariam a amostra no-representativa da populao. Amostragem por Conglomerados Esta tcnica usada quando a identificao dos elementos da populao extremamente difcil, porm pode ser relativamente fcil dividir a populao em conglomerados (subgrupos) heterogneos representativos da populao global. A seguir, descrito o procedimento de execuo desta tcnica: 1) Seleciona uma amostra aleatria simples dos conglomerados existentes; 2) Realizar o estudo sobre todos os elementos do conglomerado selecionado. So exemplos de conglomerados: quarteires, famlias, organizaes, agncias, edifcios, etc. Exemplo Estudar a populao de uma cidade, dispondo apenas do mapa dos quarteires da cidade. Neste caso, no temos a relao dos moradores da cidade, restando o uso dos subgrupos heterogneos (conglomerados). Para realizar o estudo estatstico sobre a cidade, realizaremos os seguintes procedimentos: 1) Numerar os quarteires de 1 a n; 2) Escrever os nmeros de 1 a n em pedaos de papel e coloc-los em uma urna; 3) Retirar um pedao de papel da urna e realizar o estudo sobre os elementos do conglomerado selecionado. Tcnicas No-Probabilsticas (no-aleatrias) So tcnicas em que h uma escolha deliberada dos elementos da populao, que no permite generalizar os resultados das pesquisas para a populao, pois amostras no garantem a representatividade desta. So tcnicas no-probabilsticas: Amostragem Acidental Trata-se da formao de amostras por aqueles elementos que vo aparecendo. Este mtodo utilizado, geralmente, em pesquisas de opinio, em que os entrevistados so acidentalmente escolhidos. Exemplo Pesquisas de opinio em praas pblicas, ruas movimentadas de grandes cidades, etc. Amostragem Intencional De acordo com determinado critrio, escolhido intencionalmente um grupo de elementos que comporo a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinio. Exemplo Em uma pesquisa sobre preferncia por determinado cosmtico, o pesquisador entrevista os freqentadores de um grande salo de beleza. Agora que j conhecemos as principais tcnicas de amostragem, vamos aprender a calcular o tamanho das amostras dos estudos estatsticos. Antes de prosseguir, vamos definir alguns termos:


Parmetro: Caracterstica da populao. Estatstica: Caracterstica descritiva de elementos de uma amostra. Estimativa: valor acusado por uma estatstica que estima o valor de um parmetro. O clculo do tamanho da amostra est diretamente ligado ao erro amostral tolervel. Mas o que erro amostral? a diferena entre o valor que a estatstica pode acusar e o verdadeiro valor do parmetro que se deseja estimar. O erro amostral tolervel a margem de erro aceitvel em um estudo estatstico. Para esclarecer melhor, quando o apresentador do telejornal, em ano de eleies, anuncia: O candidato Fulano de Tal tem 42% das intenes de voto, 2 para mais, 2 para menos. Quando o apresentador cita 2 para mais, 2 para menos, ele se refere ao erro amostral tolervel para aquela pesquisa de intenes de voto. Tamanho da Amostra Obs.: um passo importante antes de iniciar o clculo do tamanho da amostra definir qual o erro amostral tolervel para o estudo que ser realizado.

Observe o seguinte exemplo para compreender melhor: Exemplo Em uma empresa que contm 2000 colaboradores, deseja-se fazer uma pesquisa de satisfao. Quantos colaboradores devem ser entrevistados para tal estudo? Resoluo N = 2000 Definindo o erro amostral tolervel em 2% E0 = 0,02 n0 = 1 / (E0)2


n0 = 1 / (0,02)2 n0 = 2500 n = (N . n0) / (N + n0) n = (2000 . 2500) / (2000 + 2500) n = 1111 colaboradores Com o erro amostral tolervel em 2%, 1111 colaboradores devem ser entrevistados para a pesquisa. Vamos repetir os clculos, definindo o erro amostral tolervel em 4%. N = 2000 E0 = 0,04 n0 = 1 / (E0)2 n0 = 1 / (0,04)2 n0 = 625 n = (N . n0) / (N + n0) n = (2000 . 625) / (2000 + 625) n = 476 colaboradores

Atravs deste segundo clculo, possvel observar que, quando aumentamos a margem de erro, o tamanho da amostra reduz. E se houvesse 300.000 colaboradores na empresa? N = 300.000 E0 = 0,04 n0 = 1 / (E0)2 n0 = 1 / (0,04)2 n0 = 625 n = (N . n0) / (N + n0) n = (300.000 . 625) / (300.000 + 625) n = 623 colaboradores Observe que a diferena entre n e n0, neste ltimo clculo, muito pequena. Portanto, se o nmero de elementos da populao (N) muito grande, a primeira aproximao do tamanho da amostra j suficiente. Observe ainda: N = 2000 E0 = 0,04 n = 476 colaboradores = 23,8% da populao N = 300.000 E0 = 0,04 n = 623 colaboradores = 0,2% da populao TABULAO Uma vez feita a coleta dos dados , e sua respectiva apurao, devemos efetuar a apresentao Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

dos dados, que geralmente feita atravs de tabelas e grficos, pois permitem a sintese dos resultados. As tabelas devem oferecer o mximo de esclarecimento, com o minimo de espao e tempo. ESTRUTURAO Uma tabela e mesmo um grfico podem ser decompostos em 3 partes: cabealho,corpo e rodap. Cabealho O cabealho, que a apresentao do que a tabela est procurando representar, deve conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes questes: O QU? ( referente ao fat) ONDE? ( relativo ao lugar) QUANDO? ( correspondente ao tempo) Corpo O corpo de uma tabela reprentado por uma srie de colunas e subcolunas, dentro das quais so colocados os dados apurados. Exemplo Previso da populao para a cidade de So Paulo 1984-2020 Anos Populao (1000 hab) 1984 1990 1995 2000 2010 2020 Hipotese de crescimento baixo (fev.83) fonte:Sabesp 9439 11160 12224 13410 14910 15532

Rodap No rodap de uma tabela devemos colocar a legenda e as observaes que venham esclarecer a interpretao da tabela. Geralmente tambm no rodap que se coloca a fonte dos dados, embora em alguns casos ela possa ser colocada tambm no cabealho. A fonte serve para dar maior autenticidade a tabela. Tabelas Uma das formas de sintetizar a informao contida em dados observados por meio de tabelas e grficos. A fim de apresentar as representaes mais usuais de variaveis continuas, consideremos o resultado do ensaio de ruptura de uma mostra de 80 corpos de prova de concreto indicado no quadro abaixo. Quadro 1 328 353 321 265 271 250 282

298 290 346 284 272 303 277

321 293 334 315 323 306 326

354 348 305 283 295 325 289

352 289 289 298 306 285 265

334 335 280 294 323 300 302

310 335 323 275 298 267 302

247 319 283 269 317 309 322

343 324 310 293 292 284 285

352 267 254 270 306 287 324


339

296

332

276

317

292

290

277

291

324

Estes dados, registrados em sua ordem cronologica, fornecem pouca informao sobre o fenmeno. Apresentadas em sua ordem crescente, como no quadro 2, mostram que a resistencia a ruptura varia entre 247 e 354. Quadro 2 247 250 254 265 265 267 267 269 270 271 272 275 276 277 277 280 282 283 283 284 285 285 287 289 289 289 290 290 292 292 293 293 293 294 295 296 298 300 302 302 303 305 306 306 306 309 310 315 317 317 319 321 321 322 323 323 324 324 324 325 326 328 332 334 284 291 298 310 323 334

335 335 339 343 346 348 352 352 353 354 Agrupando os dados em classes como no quadro 3, podemos apreciar que a maior concentrao se apresenta na classe central, decrescendo medida que nos aproximamos dos extremos. O numeo de observaes em cada classe denomina-se frequencia da classe, sendo este quadro designado tabela de frequencias. Quadro 3 Tabela de frequencias Tenso de ruptura Numero de corpos 240 a 249 1 250 a 269 7 270 a 289 19 290 a 309 22 310 a 329 18 330 a 349 9 350 a 359 4 Estatistica Grfica Corresponde s representaes dos dados sob diferentes formas grficas, a fim de permitir uma viso rpida e global do fato estudado. De uma maneira geral, podemos dizer que os grficos devem ser construidos de maneira simples e clara, de tal sorte que o observador entenda facilmente aquilo que o grfico busca evidenciar. extremamente importante que o grfico seja construido com honestidade, buscando retratar a realidade, observando-se o mximo cuidado no traado quanto a escala. Grficos para distribuio de frequencia de uma variavel discreta Numeros de erros por paginas observadas em um livro Xi Fi 0 1 35 20


2 3 4 5

13 6 4 2

Fi 35

20 13 6 4 2 0 1 2 3 4 5 Xi Representao grfica da distribuio de frequncia de uma variavel continua Histograma a representao grfica atrvs de retangulos adjacentes onde a base colocada no eixo da abscissas corresponde aos intervalos das classes, e a altura dada pela frequncia absoluta das classes. Notas dos alunos 3 periodo de Administrao Notas 02 24 46 68 8 10 Frequencia simples 3 5 10 6 1 Frequencia acumulada 3 8 18 24 25

25 Histograma FI Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 notas

Poligono de frequncia a representao grfica de uma distribuio de frequncias por meio de um poligono, onde os pontos so obtidos por perpendiculares traadas a partir dos pontos mdios das classes, e de altura proporcional frequncia de cada uma das classes. No caso de frequncia acumulada, os segmentos perpendiculares so traados a partir dos limites superiores da classe. Em ambos os casos, o primeiro e o ultimo pontos so colocados de modo a manter a proporcionalidade do grfico.

FI 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 notas Medidas de posio A distribuio de frequncias, at agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma variavel pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentrao de valores de uma determinada distribuio, isto , se ela se localiza no inicio, no meio ou no final, ou ainda, se h uma distribuio igual. Porm, para ressaltar a tndencias caracteristicas de cada distribuio, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem atravs de numeros, que nos permitam traduzir essas tendncias. Esses conceitos so denominados elementos tipicos da distribuio e so as: a- medidas de posio b- medidas de variabilidade ou disperso c- medidas de assimetria d- medidas de curtose As medidas de posio mais importantes so as medidas de tendncia central, que rcebemtal denominao pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentr as medidas de tendncia central, destacamos. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

a-Mdia artimtica b-Mediana c- Modalidade d-Quartis e- Percentis Mdia Artimtica dados no agrupados Em um conjunto de dados, podemos definir vrios tipos de mdia. Porm em nossos estudos iremos nos limitar a mais importante: a mdia artimtica. Mdia aritmtica o quociente da diviso da soma dos valores da variavel pelo numero deles: x = xi/n onde: x mdia aritmtica xi valores da variavel n numero de valores Exemplo

Um aluno obteve as seguintes notas nas provas parciais de estatistica Prova Nota Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Aplicando a formula da mdia artmtica teremos x = (50+70+45+60)/4 x = 56,25 pontos Mdia artimtica dados agrupados Consideremos a distribuio relativa a 34 famlias de quatro filhos, tomando para variavel o numero de filhos do sexo masculino. Tabela Numero de meninos fi O 1 2 3 4 2 6 10 12 4 50 70 45 60

= 34 Neste caso, como as frequncias so numeros indicadores da intensidade de cada valor da variavel, elas funcionam como fatores de ponderao, o que nos leva a calcular a mdia artimtica Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

ponderada, dada pela seguinte formula: x = xifi/ fi O modo mais prtico de obteno da mdia ponderada abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xifi. Tabela xi fi xifi O 1 2 3 4 2 6 10 12 4 = 34 temos ento xifi = 78 logo: x = xifi/fi =78/32 = 2,3 meninos fi = 34 0 6 20 36 16 = 78

Mediana (Md) A mediana outra medida de posio definida como o nmero que se encontra no centro de uma serie de numeros, estando estes dispostos segundo uma ordem. o numero que separa o conjunto em duas partes com o mesmo numero de elementos quando ordenados. Exemplo: Dada a srie de valores, abaixo 5,13,10,2,18,15,6,16,9 Vamos ordenar em ordem crescente 2,5,6,9,10,13,15,16,18 Tomamos o valor central que apresenta o mesmo numero de elementos a direita e a esquerda. Md = 10 Se porm a serie tiver numero par de elementos, a mediana ser, por definio qualquer dos numeros compreendidos entre os dois valores centrais da srie. Convencionou-se utilizar o ponto mdio. Exemplo 2,6,7,10,12,13,18,,21 A mediana ser a mdia dos dois valores centrais Md = (10 + 12)/2 Md = 11 Mediana para dados agrupados Se os dados se agrupam em uma distribuio de frequncia, o clculo da mediana se processa de modo muito semelhante quele dos dados no agrupados visto anteriormente, implicando, porm, a determinao prvia das frequncias acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuio em dois grupos que contenham o mesmo numero de elementos. Para o caso de uma distribuio, porm, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, dada por. fi/2 Numero de Meninos Frequncia(fi) Frequncia


Acumulada(Fi) 0 1 2 3 4 2 6 10 12 4 2 8 18 30 34

Sendo : fi/2 = 34/2 = 17 A menor frequncia acumulada que supera esse valor 18, que corresponde ao valor 2 da variavel, sendo este valor mediano, logo: Md = 2 No caso de existir uma frequncia acumulada ( Fi), tal que: Fi = fi/2 A mediana ser dada por: Md = (xi + xi+1)/2 Isto , a mediana ser a mdia aritmtica entre o valor da variavel correpondente a essa frequncia acumulada e o seguinte. Exemplo Xi 12 14 15 16 17 20 fi 1 2 1 2 1 1 =8 8/2 = 4 = F3, Logo: Md = (15 + 16)/2 ento, Md=15,5 Exercicio 1 Complete o esquema para o clculo da mediana das distribuies: a) xi 2 4 6 8 10 fi Xi 2 4 6 8 10 fi 3 7 12 8 4 Instituto Federal do Espirito Santo - IFES 3 7 12 8 4 FI ..... 10 .... 30 .... Fi 1 3 4 6 7 8

= ...... Md =.......... b) xi fi Xi 0 .. .. .. 4 ... fi 2 ...... 9 ... ... ... = ...... Md =.......... Mediana com intervalo de classe Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que esta compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana classe da mediana. Tal classe ser, evidentemente, aquela correspondente frequncia acumulada imediatamente superior a: fi 2 Feito isto, um problema de interpolao resolve a questo, admitindo-se, agora que os valores se distribuam uniformemente em todo intervalo de classe. Assim , considerando a distribuio da tabela abaixo, acrescida das frequncias acumuladas. Tabela I Estatura (cm) fi FI 1 2 3 4 5 6 150154 154158 158162 162166 166170 170174 4 9 11 8 5 3 = 40 fi/2 = 40/2 = 20 Como h 24 valores incluidos nas tres primeiras classes da distribuio e como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20 lugar, a partir do incio da srie, vemos que este deve estar localizado na terceira classe ( i = 3 ), supondo que as frequncias dessas classes estejam uniformemente distribuidas. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES 4 13 24 32 37 40 012345 259763 Fi 2 ... ... ... ... ...

Como h 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe igual a 4, devemos tomar, a partir do limite inferior, a distancia: 20 13 x 4 = 7 x 4 11 11 e a mediana ser dada por: Md = 158 + 7 x 4 = 158 + 28 = 158 2,54 = 160,54 11 11 Md= 160,5 Na pratica devemos seguir os seguintes passos 1) Determinamos as frequncias acumuladas 2) Calculamos fi 2 3) Marcamos a classe correspondente frequncia acumulada imediatamente superior -classe da mediana e, em seguida, empregamos a frmula: 2 ( fi - f(ant) ) h* 2 f*

fi

Md =

na qual: L* o limite inferior da classe mediana F(ant) a frequncia acumulada da classe anterior classe da mediana f* a frequncia simples da classe mediana h* a amplitudee do intervalo da classe mediana Tomando como exemplo a distribuio anterior, temos: fi = 40 = 20 2 Logo, a classe mediana a de ordem 3. Ento L* = 158, F (ant) = 13, f* = 11 e h* = 4 Substituindo esses valores na formula, obtemos: Md = 158 + (20 + 13) 4 158 + 28 = 158 + 2,58 = 160,54 11 11 isto : Md = 160,5 Exercicios 1) Complete o esquema para o clculo da mediana da distribuio de frequncias Custos (R$) fi Temos i 1 4505506507508509501050115 0 8 Custos (R$) 450550 fi 8 10 11 16 13 Fi 8 5 1


2 3 4 5 6 7

550650 650750 750850 850950 9501050 10501150

.... .... .... .... .... = ..

18 ... ... .... ....

Exerccios 1) Considerando os conjuntos de dados: a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7 c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 calcule: I. a mdia; II. a mediana;

III. a moda.

2) O salrio-hora de cinco funcionrios de uma companhia, so: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00 Determine: a. a mdia dos salrios-hora; b. o salrio-hora mediano. 3. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. Determine: a) a nota mdia; b) a nota mediana; c) a nota modal. 4. Considerando a distribuio abaixo: xi fi 3 4 4 8 5 6 7 8 11 10 8 3

Calcule: a) a mdia; b) a mediana; c) a moda. 5. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuio: NOTAS N DE ALUNO Determine: a) a nota mdia; b) a nota mediana c) a nota modal. 6. Determine a mdia aritmtica de: a. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES 2 3 4 5 6 1 3 6 10 13 8 7 8 5 3 9 10 1

VALORES QUANTIDADE b. xi fi 50 20 58 50 66 30

50 60 80 90 8 5 4 3

7. Determine os desvios em relao mdia dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 4, 15. Determine a soma dos desvios.

8. Calcule a mdia aritmtica das distribuies de freqncia abaixo: a. NOTAS 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 fi 5 8 14 10 7 = 44 b. ESTATURAS (cm) 150 158 158 166 166 174 174 182 182 190 fi 5 12 18 27 8 = 70

c. SALRIOS (R$) 500 700 700 900 900 1.100 1.100 1.300 1.300 1.500 1.500 1.700 1.700 1.900

fi 18 31 15 3 1 1 1 = 70

d. PESOS (kg) 145 151 151 157 157 163 163 169 169 175 175 181 181 187

fi 10 9 8 6 3 3 1 = 40

9. Calcule a mediana de cada uma das distribuies do exerccio 8. 10. Calcule a moda de cada uma das distribuies do exerccio 8.


11. Voc fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5. Qual deve ser a nota que voc deve tirar no 3 trabalho para que a mdia dos trs seja 7: 12. Numa empresa, vinte operrios tm salrio de R$ 4.000,00 mensais; dez operrios tm salrio de R$ 3.000,00 mensais e trinta tm salrio de R$ 2.000,00 mensais. Qual o salrio mdio desses operrios: 13. Explique a relao mdia aritmtica e mdia ponderada. Pesquise caso necessrio. 14. Numa grande empresa, em trs setores pesquisados num determinado dia, foram constatadas faltas de funcionrios, assim distribudos: * 4% no setor administrativo; * 8% no setor de produo; * 12% no setor comercial. Calcule a mdia de faltas desse dia, considerando que, no setor de produo, h 200 funcionrios, o setor administrativo tem 50 funcionrios e o setor comercial tem 75 funcionrios. 15. Um carro, numa viagem, andou 5 horas a 60 km por hora. Determine a velocidade horria mdia nessas 8 horas de viagem. 16. A mdia aritmtica entre 50 nmeros igual a 38. Dois nmeros so retirados: o nmero 55 e o 21. Calcule a mdia aritmtica dos nmeros que restaram. 17. Um ourives fez uma liga fundindo 200 g de ouro 14 k (quilates) com 100 g de ouro 16 k. O nmero que d a melhor aproximao em quilates de ouro obtido : a) 14,5 k b) 14,6 k c) 14,7 k d) 15,0 k e) 15,5 k 18. Num concurso de vestibular para dois cursos A e B, compareceram 500 candidatos para o curso A e 100 candidatos para o curso B. Na prova de Matemtica, a mdia aritmtica geral, considerando os dois cursos, foi 4,0. Mas, considerando apenas os candidatos ao curso A, a mdia cai para 3,8. A mdia dos candidatos ao curso B, na prova de Matemtica, foi: a) 4,2 b) 5,0 c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2

19. Seja M a mdia aritmtica de 15 nmeros quaisquer. Subtraindo-se 10 unidades de cada um desses nmeros, obtm-se 15 novos nmeros, cuja mdia aritmtica : a) M 15 b) M + 150 c) M 10 d) M + 10 e) 10 M

20. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a mdia de idade desse grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo? a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano d) Aumenta mais de 1 ano c) Aumenta 12 anos e) Aumenta menos de 1 ano x

21. A mdia aritmtica dos nmeros pares de dois algarismos : Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

a) 50

b) 51

c) 52

d) 53

e) 54

22. A mdia aritmtica de um grupo de 120 pessoas de 40 anos. Se a mdia aritmtica das mulheres de 35 anos e dos homens de 50 anos, qual o nmero de pessoas de cada sexo, no grupo? 23. Sabe-se que a mdia aritmtica de 5 nmeros inteiros distintos, estritamente positivos, 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir : a) 16 b) 20 c) 10 d) 70 e) 100

24. Num pas, a populao feminina 51% do total. A idade mdia da populao feminina 38 anos e da masculina 36. Ento, a idade mdia da populao, em anos, : a) 37,02 b) 37,00 c) 37,20 d) 36,60 e) 37,05

25. Numa populao, a razo do nmero de mulheres para o de homens de 11 para 10. A idade mdia das mulheres 34 e a idade mdia dos homens 32. Ento, a idade mdia da populao aproximadamente: a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 e) 33,10

26. Numa classe de uma faculdade existem alunos de ambos os sexos. Numa prova, as mdias aritmticas das notas dos homens e das mulheres foram respectivamente iguais a 6,2 e 7,0. A mdia aritmtica das notas de toda a classe foi igual a 6,5. A maior parte dos estudantes dessa classe composta de meninos ou de meninas? Justifique sua resposta, calculando a porcentagem de alunos do sexo masculino.

Medidas de disperso As medidas de disperso servem para verificarmos a representatividade das medidas de posio, pois muito comum encontrarmos sries que, apesar de terem a mesma mdia, so compostas de maneira distinta. Assim para as sries: a) 20,20,20,20,20 b) 15,10,20,25,30 fazendo os clculos temos xa = xb = 20 Nota-se que os valores da serie a se concentram totalmente na mdia 20, enquanto os valores da srie b se dispersam em torno do mesmo valor. Ou seja, a srie a no apresenta disperso e os valores da srie b esto disperso em torno de 20. Vamos medir o grau de concentrao ou disperso dos dados em torno da mdia. Vamos calcular as medidas de disperso. Amplitude A amplitude se baseia somente nos valores extremos do conjunto de dados, sendo definida como a diferena, em valor absoluto, entre esses extremos superior e inferior. Assim, se o menor valor entre os dados for 2 e o maior for 49, a amplitude ser 47, pois 49 2 = 47. Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

Esta no a forma mais indicada de medir a disperso de um conjunto de dados, mas um elemento auxiliar na anlise, j que serve para mostrar a faixa de variao onde encontraremos todos os elementos do conjunto de dados. Variancia A variancia calculada a partir das diferenas entre cada elemento e a mdia do conjunto; sendo assim, uma medida mais significativa que a amplitude. Numa sequncia de valores qualquer, a varincia ser calculada seguindo os seguintes passos: passo1 Encontrar a mdia aritmtica dos elementos da sequncia Passo 2 Encontrar as diferenas entre a mdia e cada elemento da sequencia Passo 3 Elevar ao quadrado essas diferenas Passo 4 Somar essas diferenas Passo 5 Dividir o resultado da soma pelo numero de elementos do conjunto. Seja o seguinte exemplo: 67,59,68,62,64,60,66,66,65,67,63,65,67,58 a) Clculo da mdia x= xi n = 67+ 59+ 68+ 62+ 64+ 60+ 66+ 66+ 65+ 67+ 63+ 65+ 67+ 58 14

x = 64 b) Calculo das diferenas ( xi - x) 67 64 = 3 59 64 = -5 68 64 = 4 resolvendo para todos os elementos teremos 3,-5, 4,-2,0,-4,2,2,1,3,-1,-1,1,3,-6 c) Elevando-as ao quadrado e somando: ( xi x )2 (67 64)2 = 9 (59 64)2 = 25 e assim por diante, teremos portanto: 9+ 25+ 16+ 4+ 0+ 16+ 4+ 4+ 1+ 9+ 1+ 1+1+9+36 = 136 d)Dividindo por 15, que o numero de elementos do conjunto, teremos a varincia: Varincia = 136 15 Varincia = 9,07

Varincia = (x-x)2 n


1 Lista de exercicios 1. Em uma prova de Estatstica, 3 alunos obtiveram a nota 8,2; outros 3 obtiveram a nota 9,0; 5 obtiveram a nota 8,6; 1 obteve a nota 7,0 e 1 a nota 8,9. Tirando a mdia aritmtica, esta ser: A) uma mdia aritmtica simples com valor 8,0. B) uma mdia aritmtica simples com valor 8,7. C) uma mdia aritmtica ponderada com valor 8,0. D) uma mdia aritmtica ponderada com valor 8,5. E) Nenhuma das anteriores. 2. Um professor, aps verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminou as questes que no foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de 3 pontos. Ento: A) a mdia aritmtica ficou alterada, assim como a mediana. B) apenas a mdia aritmtica ficou alterada. C) apenas a mediana ficou alterada. D) no houve alterao nem na mdia nem na mediana. E) nada podemos afirmar sem conhecer o nmero total de alunos. 3. Na tabela primitiva: { 6, 2, 7, 6, 5, 4 } a soma dos desvios em relao mdia aritmtica igual a: A) ao nmero 4. B) ao nmero 8. C) ao nmero 0. D) ao nmero 25. E) ao nmero 4. 4. A mediana da srie { 1, 3, 8, 15, 10, 12, 7 } : A) igual a 15. B) igual a 10. C) igual a 7. D) igual a 3,5. E) Nenhuma das anteriores. 5) Numa pesquisa de opinio, 80 pessoas so favorveis ao divrcio, 50 so desfavorveis, 30 so indiferentes e 20 ainda no tm opinio formada a respeito do assunto. Ento a mdia aritmtica ser: A) igual a 180, porque todos opinaram somente uma vez. B) igual a 40, porque a mdia entre os valores 50 e 30. C) igual a 45. E) igual a 1, porque todos opinaram somente uma vez. E) no h mdia aritmtica. 6) Dados os conjuntos de nmeros: A = { -2, -1, 0, 1, 2 } B = { 220, 225, 230, 235, 240 } Podemos afirmar de acordo com as propriedades do desvio padro, que o desvio padrode B igual: Instituto Federal do Espirito Santo - IFES

A) ao desvio padro de A. B) ao desvio padro de A, multiplicado pela constante 5. C) ao desvio padro de A, multiplicado pela constante 5, e esse resultado somado a 230. D) ao desvio padro de A mais a constante 230. 7)Calcule a estatura modal da tabela abaixo. classes (em cm) 54 |------------ 58 58 |------------ 62 62 |------------ 66 66 |------------ 70 frequncia 9 11 8 5


apostila de estatistica

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