Instituto de Ensino Superior de Rio Verde

Instituto de Ensino Superior de Rio Verde

IESRIVER

Faculdades Objetivo

MATEMTICA FINANCEIRA

Prof.: Warley Augusto Pereira

SUMRIO

1.Introduo

1.1.Importncia da Matemtica Financeira

01

1.2.Aplicaes

02

1.3.A Matemtica Financeira e a Inflao

03

2.Fundamentos

2.1.Taxas: Percentual e Unitria

04

2.2.Juro, Capital e Montante

06

2.3.Regimes de Capitalizao

06

2.4.Fluxo de Caixa

07

3.Juros Simples

3.1.Frmulas do Juro e do Montante

09

3.2.Taxas Equivalentes

11

3.3.Juro Exato e Juro Comercial

12

3.4.Valor Nominal e Valor Atual

13

4.Descontos Simples

4.1.Conceitos Bsicos

14

4.2Desconto Simples Racional ou Por Dentro

14

4.3.Desconto Simples Comercial ou Por Fora

16

4.4.Taxa de Desconto e Taxa Efetiva

17

5.Juros Compostos

5.1.Frmula do Montante Composto

19

5.2.Taxas equivalentes

20

5.3.Clculo do montante em um nmero fracionrio de perodos

22

5.4.Perodo de capitalizao diferente do perodo da taxa

26

5.5.Valor Atual e valor Nominal a juros compostos

27

6.Sries de Capitais

6.1.Conceito

30

6.2.Srie Bsica

30

6.3.Valor Atual da Srie Bsica

31

6.4.Montante da Srie Bsica

32

Bibliografia

351. INTRODUO

1.1. IMPORTNCIA DA MATEMTICA FINANCEIRA

A matemtica Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu Objetivo bsico o de efetuar anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada de dinheiro (aplicaes e pagamentos de emprstimos) de caixa verificados em diferentes momentos.

As operaes de aplicao e emprstimos so geralmente realizadas por meio da intermediao de uma instituio financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captao feita a uma taxa menor que a de emprstimo e a diferena a remunerao da instituio.

Investidores tm vrias opes de aplicao sua disposio e cada opo tem sua taxa em funo do prazo da aplicao e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de emprstimo tm vrias opes de financiamento cujas taxas variam em funo dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mais os tomadores tendem a diminuir a demanda por crdito.

1.2. APLICAES

A matemtica financeira usada em operaes de aplicao e emprstimos em dois regimes bsicos de capitalizao dos juros: juros simples e juros compostos.

O regime de juros simples tem aplicaes prticas bastante limitadas, restringindo-se principalmente s operaes praticadas no mbito do curto prazo e em operaes de desconto. Alm disso, muitas taxas praticadas no mercado financeiro esto referenciadas em juros simples, porm a formao dos montantes das operaes processa-se a juros compostos. Por exemplo, a caderneta de poupana paga uma taxa de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo ms o rendimento proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operao obedece o regime de juros simples, porm os rendimentos so capitalizados segundo o critrio de juros compostos, ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros.

Normalmente o regime de capitalizao composta adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. Dentro das aplicaes do regime de capitalizao composta esto as operaes de fluxo de caixa, aplicaes, emprstimos, clculos inflacionrios, financiamentos, estratgias comerciais de compra e venda, anlise de investimentos, ttulos, sistemas de amortizao de emprstimos e financiamentos, avaliao de aes etc.

1.3. A MATEMTICA FINANCEIRA E A INFLAO

De maneira simplista, o processo inflacionrio de uma economia pode ser entendido pela elevao generalizada dos preos dos vrios bens e servios.

Em sentido contrrio, diante de uma baixa predominante dos preos de mercado dos bens e servios, tem-se o fenmeno definido por deflao.

- ndices de Preos e Taxas de Inflao: Um ndice de preos resultante de um procedimento estatstico que, entre outras aplicaes, permite medir as variaes ocorridas nos nveis gerais de preos de um perodo para outro. Assim, o ndice de preos representa uma mdia global das variaes de preos que se verificaram num conjunto de determinados bens, ponderada pelas quantidades respectivas.

Ilustrativamente, abaixo esto relacionados os valores do IGP (ndice Geral de Preos) referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano.

Msmaiojunhojulhoagostosetembrooutubronovembrodezembro

IGP649,79703,38800,31903,791.009,671.152,631.353,791.576,56

Pela evoluo desses ndices de preos, pode ser constatado como os preos gerais da economia variaram no perodo. Para tanto, relaciona-se o ndice do fim do perodo que se deseja estudar com o do incio.

Por exemplo, a taxa de inflao do 2o semestre medida pelo IGP est refletida na evoluo apresentada entre o ndice de junho (incio do semestre) e o de dezembro (fim do semestre). Assim:

Inflao do 2o semestre = = 2,2414 1 = 124,14%

Os preos nesse perodo cresceram 2,2414 vezes, indicando uma evoluo de 96,99%.

A inflao verificada no ms de outubro atinge:

Inflao de outubro = = 14,16%

Dessa maneira, a taxa de inflao, a partir de ndices de preos, pode ser medida pela seguinte expresso:

onde:

I = taxa de inflao obtida a partir de determinado ndice de preos;

P = ndice de preos utilizado para o clculo da taxa de inflao;

n, n t = respectivamente, data de determinao da taxa de inflao e o perodo anterior considerado.

EXERCCIOS

1. Abaixo esto alguns valores divulgados do ITP (ndice Terico de Preos) e do INTP (ndice Nacional Terico de Preos).

Dez/02Jun/03Nov/03Dez/03

ITP100,00708,381.353,791.576,56

INTP5,934143,459983,9349100,00

Com base nesses resultados, pede-se:

a) A taxa de inflao, medida pelo ITP e INTP, para os seguintes perodos de 2003:

ano

1o semestre

ms de dezembro;

b) um bem que custava $ 5.000,00 no incio do ano, quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variao do ITP e INTP;

c) admitindo que o proprietrio tenha vendido este imvel ao final do ano por $ 90.000,00, determinar o lucro obtido.

2. Os ndices gerais de preos referentes ao primeiro semestre de 1996 so os seguintes:

Data31-12-9531-01-9628-02-9631-03-9630-04-9631-05-9630-06-96

ndice de Preos148,70150,07152,15153,98157,21158,13162,01

Com base nesses valores, calcular:

a) a evoluo dos preos no semestre;

b) a evoluo mensal dos preos;

c) se as inflaes de julho e agosto de 1996 atingirem, respectivamente, 1,13% e 0,97%, determinar o ndice de preos que deve vigorar em cada um desses meses.

2. FUNDAMENTOS

2.1. TAXAS: PERCENTUAL E UNITRIA

A razo cujo denominador 100 recebe o nome de razo centesimal. So exemplos de razes centesimais:

,

,

e

O smbolo % significa que o valor est dividido por 100. Assim, existem duas formas bsicas de notao de valores:

Taxa percentual: exibe o nmero que deve ser dividido por 100. No permite operao algbrica imediata. Por exemplo:

= 30%;

= 4%;

= 135%

e

= 27,9%

As expresses 30%, 4%, 135% e 27,9% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Taxa unitria: exibe o nmero puro, permitindo operaes algbricas. Por exemplo:

= 0,3;

= 0,04;

= 1,35

e

= 0,279

Porcentagem: o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos

1. Converta para a forma percentual:

a) 0,57 = 57%

b) 2,08 = 208%

c) 0,02 = 2%

2. Converta para a forma unitria:

a) 163% = 1,63

b) 2.107% = 21,07%

c) 12% = 0,12

3. Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito; a razo entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas dada por:

4. Um CD vendido por R$ 25,00. Se seu preo fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preo original, quanto o CD passaria a custar?

- Aumento:Preo = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75

- Desconto:Preo = 25 0,15 x 25 = 25 . (1 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25

FATOR DE MULTIPLICAO:

a) No caso de haver um acrscimo, o fator de multiplicao ser:

Fator de Multiplicao = 1 + taxa de acrscimo (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao

10%1,10

15%1,15

47%1,47

67%1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser:

Fator de Multiplicao = 1 taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

DescontoFator de Multiplicao

10%0,90

25%0,75

34%0,66

90%0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00EXERCCIOS

1. Calcular os valores de:

a) 10% de 29 + 4,2% de 17

b) 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7

c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25

d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432

2. De uma classe com 40 alunos, 35% so rapazes. Quantos rapazes e quantas moas h na classe?

3. O preo de venda de um CD de R$ 22,00. Quanto passar a custar o CD se a loja anunciar:

a) Um desconto de 12%?

b) Um acrscimo de 5%?

4. De um exame para habilitao de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovao foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados?

5. Em uma liquidao, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto?

6. Um automvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro?

7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comisso. Qual o valor da venda das propriedades?

8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos?

9. Uma nota promissria, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto

10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razes:

a)

b)

c)

d)

e) 0,125

11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razes, sob a forma mais simples possvel:

a) 80%

b) 25,2%

c) 0,48%

d)

e) 2

2.2. JURO, CAPITAL E MONTANTE

Chamamos de capital a qualquer valor monetrio que uma pessoa (fsica ou jurdica) empresta para outra durante certo tempo.

Tendo em vista que o emprestador se abstm de usar o valor emprestado, e ainda, em funo da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflao e do risco de no pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do emprstimo (para o tomador) ou a remunerao pelo uso do capital (para o emprestador).

Chama-se montante ou capital acumulado a soma de um certo capital (aplicado a uma taxa peridica de juros por determinado tempo) com os prprios juros

A taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do fator capital utilizado durante certo perodo de tempo.

2.3. REGIMES DE CAPITALIZAO

Pode-se compreender regime de capitalizao como o processo em que os juros so formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Assim, identificam-se dois regimes de capitalizao dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

O regime de capitalizao simples (RCS) comporta-se como se fosse uma progresso aritmtica (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critrio, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operao (aplicao ou emprstimo), no se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.

Exemplo: $ 100,00 aplicados a 5% ao perodo render sempre $ 5,00 (0,05 x $ 100,00) por perodo. Em trs perodos, o total dos juros ser igual a:

3 x $ 5,00 = $ 15,00

No regime de capitalizao composta (RCC), ou regime de juros compostos ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidir sobre o montante acumulado no final do perodo anterior. Assim:

Ao final do 1o perodo, os juros incidentes sobre o capital inicial so a eles incorporados, produzindo o 1o montante (M1).

Ao final do 2o perodo, os juros incidem sobre M1 e incorporam-se a ele, gerando o 2o montante (M2).

Ao final do 3o perodo, os juros incidem sobre M2 e incorporam-se a ele, gerando o 3o montante (M3), e assim por diante.

Exemplo: Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do perodo o montante ser?

- 1o ano:1.000,00 x 0,10 = $ 100,00

(Montante = $ 1.100,00

- 2o ano:1.100,00 x 0,10 = $ 110,00

(Montante = $ 1.210,00

- 3o ano:1.210,00 x 0,10 = $ 121,00

(Montante = $ 1.331,00

2.4. FLUXO DE CAIXA

O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentao de recursos ao longo do tempo (entradas e sadas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa so:

a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc);

o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o nmero de perodos passados;

as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Tm sinal positivo e so representadas por setas apontadas para cima.

as sadas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Tm sempre sinal negativo e so representadas por setas apontadas para baixo.

Operao de Emprstimo

Operao de Aplicao

Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um emprstimo contrado por algum no valor de $ 300,00 que ser quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir.

Exerccios

1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao no valor de $ 500,00 que ser resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00.

2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalao industrial com investimento inicial igual a$ 300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negcio so estimados em $ 80,00 e as receitas em $ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operao.

3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:

AnoFluxo de caixa

0 700,00

1500,00

2400,00

3300,00

4200,00

5 300,00

3. JUROS SIMPLES

3.1. FRMULAS DO JURO E DO MONTANTE

Juros: O valor dos juros calculado a partir da seguinte expresso:

J = C x i x nonde:

J = valor dos juros ($);

C = capital ($) ou valor presente (VP) representativo de determinado momento;

i = taxa de juros, expressa em sua forma unitria;

n = prazo.

Para clculo dos demais valores:

Abreviaturas empregadas na notao das taxas

AbreviaturaSignificado

a.d.ao dia

a.m.ao ms

a.b.ao bimestre

a.t.ao trimestre

a.q.ao quadrimestre

a.s.ao semestre

a.a.ao ano

Obs.: A taxa de juros (i) e o nmero de perodos (n) devem estar na mesma base. Porm, deve-se sempre alterar n, evitando alterar i.

Exemplo 1: Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no regime de capitalizao simples. Qual o valor dos juros mensais?

Soluo:

J = C x i = 500 x 0,05

(

J = $ 25,00

Exemplo 2: Um capital de $ 120,00 foi aplicado a uma taxa de 4% a.m. no regime de capitalizao simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o perodo de vigncia da aplicao?

Soluo:

J = C x i x n = 120,00 x 0,04 x 7 = $ 33,60

Exemplo 3: Uma pessoa compra a prazo de um CD-player que custa a vista $ 300,00 pode ser paga em duas parcelas mensais iguais (entrada no ato) no valor de $ 170,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja?

Soluo:

C = 300,00 170,00 = $ 130,00

J = 170,00 130,00 = $ 40,00

ou 30.77%

Capital e Montante: Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa peridica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante constitudo do capital mais o valor acumulado dos juros, isto :

M = C + J

No entanto, sabe-se que:

J = C . i . n

Assim,

M = C + C . i . nM = C.(1 + i . n)

O valor de C pode ser obtido por:

O valor de i pode ser obtido por:

O valor de n pode ser obtido por:

EXERCCIOS

1. Um capital de $ 80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste perodo.

R:J = 6.000,002. Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao ms durante nove meses. Ao final deste perodo, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.

R:C =500.000,003. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupana por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operao.

R:i = 2,2%4. Uma aplicao de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao ms produz, ao final de determinado perodo, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicao.

R:n = 6 meses5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operao.

R:M = $ 3.900,006. Uma aplicao feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 aps 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operao?

R:C =

7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obteno de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalizao era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operao.

R:i =0,20 = 20%

8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicao de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalizao simples. Qual a durao da operao?

R:i = 48,53

3.2. TAXAS EQUIVALENTES

Toda operao financeira envolve dois prazos:

(1) o prazo a que se refere a taxa de juros;

(2) o prazo de capitalizao (ocorrncia) dos juros.

Admita um emprstimo bancrio a uma taxa nominal de 24% ao ano. Ao se estabelecer que os encargos incidiro sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados so coincidentes.

Por outro lado, sabe-se que a caderneta de poupana paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual agregada ao principal todo ms atravs de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, ento, dois prazos prazo da taxa (ano) e prazo de capitalizao (ms).

necessrio expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou, ou o perodo de capitalizao passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros.

No regime de juros simples, transforma-se o prazo da taxa para o de capitalizao atravs da diviso entre a taxa de juros considerada na operao e a quantidade de perodos de capitalizao. Esta transformao processada pela denominada taxa proporcional de juros tambm denominada de taxa linear ou nominal.

Exemplos

1) Para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalizao for definida mensalmente, o percentual de juros que incidir sobre o capital a cada ms ser:

Taxa Proporcional = = 0,015 = 1,5% ao ms

As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.

2) Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto :

J (2,5% a.m.) = $ 500.000,00 x 0,025 x 12 = $ 150.000,00

J (15% a.s.) = $ 500.000,00 x 0,15 x 2 = $ 150.000,00

No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes so consideradas a mesma coisa.

Pelo critrio de proporcionalidade de taxas de juros, diz-se que duas taxas de juros ia e ib, referidas a perodos diferentes no regime de capitalizao simples, so proporcionais quando:

Ma = Ca (1 + ia . na) e Mb = Cb (1 + ib . nb)

Como Ma = Mb e Ca = Cb, tem-se que:

(1 + ia . na) = (1 + ib . nb) ou ia . na = ib . nb

Observa-se que ia e na, da mesma forma que ib e nb devem estar na mesma base. Assim:

Exemplo: Determinar as taxas semestral e anual proporcionais taxa de juros simples de 3% a.m.

= 0,18 = 18% a.s.

= 0,36 = 36% a.s.

EXERCCIOS

1. Determine a taxa de juros simples anual proporcional s seguintes taxas:

(a) 2,5% ao ms;

(b) 56% ao quadrimestre;

(c) 32,5% para cinco meses.

R: i = 30% a.a.

i = 168% a.a.

i = 78% a.a.

2. Calcular o montante de um capital de $ 600.000,00 aplicado taxa de 2,3% ao ms pelo prazo de um ano e 5 meses.

R:M = $ 834.600,00

3. Uma dvida de $ 30.000,00 a vencer dentro de um ano saldada 3 meses antes. Para a sua quitao antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dvida a ser pago antecipadamente.

R:C = 28.915,66

3.3. JURO EXATO E JURO COMERCIAL

comum nas operaes de curto prazo, onde predominam as aplicaes com taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em nmero de dias. Nestes casos, o nmero de dias pode ser calculado de duas maneiras:

a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendrio do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato;

b)pelo ano comercial, o qual admite o ms com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critrio, a apurao do denominado juro comercial ou ordinrio.

Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critrios enunciados, taxa diria de:

a) Juro Exato:

= 0,032877% ao diab) Juro Comercial:

= 0,033333% ao dia

Exerccios

1. Calcule os juros simples cobrados sobre uma operao de emprstimo no valor de $ 40.000,00, realizada por 58 dias, com uma taxa igual a 23% a.a. Empregue nos clculos o ano:

a) comercial;

R:J = $ 1482,22b) civil ou exato.

R:J = $ 1.461,922. Calcule os juros simples de um capital de $ 65.000,00 aplicado durante 188 dias a taxa de 8% a.a. Empregue nos clculos o ano:

a) comercial;

R:$ 2.715,56b) exato.

R:$ 2.678,363. Calcule o montante correspondente a um negcio de $ 60.500,00 aplicado pelo prazo de 53 dias, taxa de 5% a.m., no regime de juros simples e considerando o ano comercial.

R:M = 65.844,17

3.4. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL

A expresso (1 + i . n) definida como fator de capitalizao dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante. O valor de uma dvida, na data de seu vencimento, chamado de valor nominal.

O inverso, ou seja, 1/(1 + i . n) denominado de fator de atualizao. Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equivalente numa data atual (valor atual).

Exerccios1. Uma pessoa aplica $ 18.000,00 taxa de 1,5% ao ms durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste perodo.

R:M = $ 20.160,00

2. Uma dvida de $ 900.000,00 ir vencer em 4 meses. O credor est oferecendo um desconto de 7% ao ms caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidao da dvida.

R:C = $ 703.125,00

4. DESCONTOS SIMPLES

4.1. CONCEITOS BSICOS

Valor Nominal: o valor definido para um ttulo em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o prprio montante da operao (valor de resgate).

Desconto: a operao de se liquidar um ttulo antes de seu vencimento, o que envolve geralmente uma recompensa pelo pagamento antecipado. Assim, desconto a diferena entre o valor nominal de um ttulo e o seu valor atualizado apurado n perodos antes de seu vencimento.

Valor Descontado: o valor atual de um ttulo na data do desconto, sendo determinado pela diferena entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal Desconto

4.2. DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO

O desconto racional, tambm denominado de desconto por dentro, incorpora os conceitos e relaes bsicas de juros simples.

Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa peridica de juros e n o prazo do desconto (nmero de perodos que o ttulo negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expresso de juros simples:

Dr = C x i x n

Pela prpria definio de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital no clculo do desconto, tem-se:

Dr = N Vrsendo N o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e Vr o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operao. Como:

tem-se ento o valor do desconto racional a juros simples:

O valor descontado obtido pela seguinte expresso:

Vr = N Dr

No desconto racional, o juro incide sobre o capital do ttulo. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o perodo do desconto.

Exemplo 1: Seja um ttulo de valor de $ 4.000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operao.

Soluo:Graficamente:

Desconto:

$ 380,10

Valor Descontado:

Vr = N Dr

Vr = 4.000,00 380,10 = $ 3.619,90

ou

$ 3.619,90

Do ponto de vista do devedor, $ 380,10 representam o valor que est deixando de pagar por saldar a dvida antecipadamente. O valor lquido do pagamento (valor descontado) de $ 3.619,90.

Exemplo 2: Determinar a taxa mensal de desconto racional de um ttulo negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10.

Soluo:Sabe-se que no desconto racional o desconto aplicado sobre o valor atual do ttulo, ou seja, sobre o capital liberado. Logo:

Dr = Vr x i x n

e

ou

3,2% a.m.

EXERCCIOS

1. Calcular o valor racional nas seguintes condies:

a)Valor nominal:

$ 70.000,00

Prazo do desconto:

3 meses

R: Vr = $5.483,87

Taxa de desconto:

34% a.a.

b)Valor nominal:

$ 37.000,00

Prazo do desconto:

80 dias

R: Vr = $ 1.947,37

Taxa de desconto:

25% a.a.

2. Calcular a taxa mensal racional de um ttulo com valor nominal de $ 5.400,00 negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor atual deste ttulo de $ 4.956,90

R:i = 2,98% a.m.

4.3. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR FORA

Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do ttulo, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operaes.

A modalidade de desconto por fora amplamente adotada pelo mercado em operaes de crdito bancrio e comercial em curto prazo.

O valor desse desconto, (desconto por fora) DF, no regime de juros simples determinado pelo produto do valor nominal do ttulo (N), da taxa de desconto peridica por fora contratada na operao (d) e do prazo de antecipao definido para o desconto (n). Isto :

DF = N x d x n

O valor descontado por fora (VF), aplicando-se a definio obtido:

VF = N DFVF = N N x d x n

Exemplo 1: Seja um ttulo de valor de $ 4.000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operao.

Soluo:Graficamente:

Desconto:

DF = N x d x n

DF = 4.000,00 x 0,035 x 3

(

DF = $ 420,00

O maior valor dos juros cobrado pelo ttulo deve-se ao fato de o desconto por fora ser aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e no sobre o valor atual como caracterstico das operaes de desconto racional.

O valor de desconto por fora equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto por dentro, supondo-se as mesmas condies de prazo e taxa. Isto :

DF = Dr (1 + i x n)

DF = 380,10 x (1 + 0,035 x 3) = 380,10 x 1,105

DF = $ 420,00

Valor Descontado:

VF = N (1 d x n)

VF = 4.000,00 x (1 0,035 x 3) = 4.000,00 x 0,895

VF = $ 3.580,00

Exemplo 2: Determinar a taxa de desconto por fora de um ttulo negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10.

Soluo:

DF = N VF

DF = 26.000,00 24.436,10

(

DF = $ 1.563,90

DF = N x d x n

1.563,90 = 26.000,00 x d x 2

1.563,90 = 52.000,00 x d

= 0,030ou 3,0% ao ms

4.4. TAXA DE DESCONTO E TAXA EFETIVA

Suponha um ttulo de valor nominal de $ 50.000,00, descontado num banco um ms antes de seu vencimento taxa de 5% ao ms. Aplicando-se o critrio de desconto por fora, tem-se:

Observe que a taxa de juros adotada de 5% a.m. no iguala VF e N em nenhum momento. Ou seja, esta taxa, se aplicada ao valor descontado de $ 47.500,00, no produz, para o perodo de um ms, o montante de $ 50.000,00 (atinge a: $ 47.500,00 + 5% = $ 49.875,00).

Logo a uma taxa implcita de juros na operao, superior aos declarados 5% ao ms, que conduz VF e N a um mesmo resultado no perodo. Esta taxa obtida por:

D = C x i x n

Assim:

Substituindo os valores, chega-se a:

= 5,26% ao ms

O resultado indica que h uma taxa implcita de juro de 5,26% numa operao de desconto de 5% a.m. (d = 5%) pelo perodo de um ms.

Os clculos de apurao da taxa de juros podem ser substitudos pelo emprego direto da seguinte frmula:

Aplicando-se esta frmula ao exemplo anterior:

= 5,26% ao ms

Para n = 2 meses ( = 11,11% ao ms

Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operao?

Resoluo:

Temos:

d = 4% e n = 3

= 0,0455 = 4,55% a.m.

EXERCCIOS

1. Um ttulo descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco de 3,3% a.m. Sendo de $ 25.000,00 o valor nominal deste ttulo, e sabendo-se que a instituio financeira trabalha com sistema de desconto por fora, pede-se calcular:

a) valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do ttulo liberado ao cliente;

R:DF = $ 2.475,00

e

VF = $ 22.525,00

b) taxa implcita simples desta operao;

R:i = 10,99% a.t.

ou

i = 3,66% a.m.c) apurao da taxa implcita pela frmula direta de clculo.

R:i = 10,99% a.t.

2. Uma instituio financeira publica que sua taxa de desconto de 3,5% ao ms. Calcular a taxa implcita mensal admitindo um prazo de desconto de dois meses.

R:i = 7,53% a.b.

5. JUROS COMPOSTOS

5.1. FRMULA DO MONTANTE COMPOSTO

De modo geral, um capital C, a juros compostos, aplicado a uma taxa fixa i, durante n perodos, produz:

Ao final do 1o perodo:M1 = C + Ci ( M1 = C (1 + i)

Ao final do 2o perodo:M2 = M1 + M1 . i = M1 (1 + i) ( M2 = C (1 + i)2 Ao final do 3o perodo:M3 = M2 + M2 . i = M2 (1 + i) ( M3 = C (1 + i)3.

.

.

Ao final do n-simo perodo:Mn = C (1 + i)n

Em funo do capital:

Em funo da taxa:

Em funo do perodo:

Como o valor monetrio dos juros (J) apurado pela diferena entre o montante (M) e o capital (C), podendo-se obter o seu resultado tambm pela seguinte expresso:

J = M C = C (1 + i)n C ( J = C [(1 + i)n 1]

Exemplo 1: Em uma operao de emprstimo de R$ 100,00 por 3 meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de cada perodo incidiro sempre sobre o montante do final do perodo anterior. Assim, a composio dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos pode ser vista no quadro abaixo.

NM (JS)M (JC)

0100,00100,00

0,1106,00104,81

0,5130,00126,49

0,8148,00145,65

1160,00160,00

2220,00256,00

3280,00409,60

O valor futuro calculado no regime de capitalizao composta supera aquele obtido no regime de capitalizao simples para perodos superiores unidade. Para perodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, maior.

Obs.: A taxa de juros (i) e o perodo (n) devem estar sempre na mesma base. Porm, no regime de juros compostos a taxa de juros nunca deve ser multiplicada ou dividida. O que deve ser feito a alterao do perodo para a mesma base da taxa.

Exemplo 2: Qual o montante obtido de uma aplicao de $ 550,00 feita por quatro meses a uma taxa de 20% a.a.

Resp.: Neste caso, necessrio equiparar taxa e prazo, expressando o prazo em anos:

quatro meses = ano

Aplicando-se a frmula, encontra-se:

M = C (1 + i)n = 550 (1 + 0,2) ( M = 584,46

EXERCCIOS

1. Uma operao no regime de capitalizao composta rendeu um montante igual a $ 8.400,00 aps 6 meses. Sabendo que a taxa da operao foi igual a 2% a.m., calcule o valor presente (capital).

R:C = 7.458,96

2. Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros aps permanecer aplicado por 4 meses. Qual foi a taxa de juros mensal da aplicao?

R:i = 0,0436

3. Um montante de $ 630,00 foi obtido aps a aplicao de $ 570,00 a uma taxa de juros compostos igual a 3% a.m. Qual foi a durao da operao?

R:n = 3,3859 meses

5.2. TAXAS EQUIVALENTES

Em juros simples, a taxa equivalente a prpria taxa proporcional da operao. Por exemplo, a taxa de 3% ao ms e 9% ao trimestre so ditas proporcionais, pois mantm a seguinte relao:

=

Prazos Taxas

So equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo perodo de tempo. Por exemplo, em juros simples um capital de $ 80.000,00 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.

e assim por diante.

No regime de juros compostos, a frmula de clculo da taxa de juros da forma exponencial, sendo esta a mdia geomtrica da taxa de juros do perodo inteiro, isto :

onde:

q = nmero de perodos de capitalizao.

Exemplo 1: Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre?

= 1,0166 1 = 0,0166 ou 1,66%

Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicao, indiferente o rendimento de 1,66% ao ms ou 10,3826% ao semestre. Neste exemplo, para um capital de $ 100.000,00 aplicado por dois anos produz:

Para i = 1,66% e n = 24 meses:

M = 100.000,00 (1,0166)24 = $ 148.457,63

Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:

M = 100.000,00 (1,103826)4 = $ 148.457,63

Exemplo 2: Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicao financeira de 12% ao semestre (ou 2% ao ms). Desta maneira, uma aplicao de $ 10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ 11.200,00 ($ 10.000,00 x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se na taxa de rentabilidade da operao para o perodo inteiro de um semestre e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de taxa equivalente composta. Assim, os 2% de rendimentos mensais anunciados pelo banco so equivalentes aos 12% de rendimentos do semestre?

= 0,0191

i6 = 1,91%

Naturalmente, ao se aplicar $ 10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de 1,91% ao ms, chega-se ao seguinte montante:

M = 10.000,00 (1,0191)6 = $ 11.200,00

EXERCCIOS

1. Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?

R:i = 1,877% a.m.

i = 5,737%

2. Explicar a melhor opo: aplicar um capital de $ 60.000,00 taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou taxa de 20,78% ao ano.

R:As duas taxas produzem o mesmo montante em um perodo de capitalizao igual:M = 72.468,00

3. Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre equivalente taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular tambm a equivalente mensal composta dessas taxas.

R:Em 15 meses ( i3 = 74,969% e i5 = 74,969%

5.3. CLCULO DO MONTANTE EM UM NMERO FRACIONRIO DE PERODOS

No regime de juros compostos, o prazo de uma operao pode ser fracionado (desmembrado) sem que isso leve a alterar os resultados de valor presente (C) e valor futuro (M) calculados.

Basicamente, esta propriedade pode ser explicada pelo produto de potncias. Sendon = n1 + n2, tem-se:

M = C x (1 + i)nou

M = C (1 + i)n1 x (1 + i)n 2 = C x (1 + i)n1 + n 2 = C x (1 + i)n

O prazo do expoente (prazo n) pode ser fracionado de forma que a soma dos subperodos seja igual ao perodo inteiro.

Exemplo: Calcular o montante de um capital de $ 30.000,00 aplicado a 14% ao ano, pelo prazo de um ano, tendo os seguintes perodos de capitalizao:

n = 12 meses:M = 30.000,00 x (1,14)

= $ 34.200,00

n = 6 meses:M = 30.000,00 x (1,14)1/2 x (1,14)1/2

= $ 34.200,00

n = 4 meses:M = 30.000,00 x (1,14)1/3 x (1,14)1/3 x (1,14)1/3

= $ 34.200,00

e assim por diante.

Para cada perodo de capitalizao pode-se tambm utilizar a respectiva taxa equivalente composta, ao invs de se trabalhar com expoentes fracionrios:

n =12 meses

i = 14% a.a.

M = 30.000,00 x (1,14) = $ 34.200,00

n =6 meses

= 6,77% a.s.

M = 30.000,00 x (1,0677)2 = $ 34.200,00

n =4 meses

= 4,46% a.q.

M = 30.000,00 x (1,0446)3 = $ 34.200,00

A equivalncia financeira (de capitais) se verifica quando dois ou mais capitais produzem o mesmo resultado se expressos em certa data comum de comparao a uma mesma taxa de juros.

Em juros compostos a equivalncia de capitais pode ser definida para qualquer data focal. A capacidade de desmembramento do prazo determina que a equivalncia independe da data de comparao escolhida.

Exemplo: Admita que A deve a B os seguintes pagamentos:

$ 50.000,00 de hoje a 4 meses.

$ 80.000,00 de hoje a 8 meses.

Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituio ao original. A proposta de A a de pagar $ 10.000,00 hoje, $ 30.000,00 de hoje a 6 meses e o restante ao final do ano.

Sabe-se que B exige uma taxa de juros de 2% a.m. Esta taxa a que consegue obter normalmente em suas aplicaes de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago.

A situao trata da substituio de um conjunto de compromissos financeiros por outro equivalente, devendo-se determinar o valor do pagamento no ms 12. Este pagamento deve ser tal que o valor da proposta expressa em certa data focal seja exatamente igual ao valor do plano original expresso no mesmo momento.

Admitindo que a data de comparao escolhida seja o momento atual (data zero), tem-se:

Data Focal = 0

46.192,27 + 68.279,23 = 10.000,00 + 26.639,14 +

114.471,50 = 36.639,14 + 0,7885 X

(

77.832,36 = 0,7885 X

X = $ 98.710,25

Definindo-se o ms 12 outra data focal para o clculo do pagamento:

Data Focal = 12

50.000 x (1 + 0,02)8 + 80.000 x (1 + 0,02)4 = 10.000 x (1 + 0,02)12 + 30.000 x (1 + 0,02)6 + X

58.582,97 + 86.594,57 = 12.682,42 + 33.784,87 + X

145.177,54 = 46.467,29 + X

X = $ 98.710,25

O saldo a pagar no se altera com a data focal. Em juros compostos a equivalncia financeira independe do momento tomado como comparao.

EXERCCIOS

1. Uma empresa deve $ 180.000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no perodo, a empresa negocia com o banco a substituio deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% ao ms a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal:

a) hoje;

R:P = 98.304,64b) de hoje a 3 meses;

R:P = 98.304,64c) de hoje a 5 meses.

R:P = 98.304,642. Um ttulo vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal (resgate) de $ 407.164,90. proposta a troca deste ttulo por outro de valor nominal de $ 480.00,00 vencvel daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao ms a rentabilidade exigida pelo aplicados, pede-se avaliar se a troca vantajosa.

R:a) i = 4,2% a.m. < 5% a.m.

b) C = $ 394.897,20 < $ 407.164,90 ( no vantajoso Conveno Linear e Conveno Exponencial para Perodos no Inteiros

Em algumas operaes financeiras, o prazo no um nmero inteiro em relao ao prazo definido para a taxa. Por exemplo: taxa de juros de 18% ao ano e prazo da operao de 1 ano e 7 meses. Sendo anual o perodo de capitalizao dos juros, o prazo inteiro 1 ano e o fracionrio 7 meses.

Ao se adotar o conceito de capitalizao descontnua, no poderia haver incorrncia de juros no intervalo de tempo fracionrio, somente ao final de um perodo completo. Como na prtica muito raro a no formao dos juros em intervalos de tempo inferiores a um perodo inteiro, passa-se a adotar duas convenes para solucionar estes casos: linear e exponencial.

a) Conveno Linear: A conveno linear admite a formao de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionria. A expresso de clculo do montante na conveno linear a seguinte:

sendo: m/k = parte fracionria do prazo.

Exemplo: Seja o capital de $ 100.000,00 emprestado taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste emprstimo pela conveno linear.

Soluo:C = $ 100.000,00

i = 18% a.a.

n (inteiro) = 4 anos

M = ?

(fracionrio) =

M = 100.000,00 x 1,938778 x 1,135

M = $ 220.051,30

Na maioria das operaes financeiras adotada a conveno exponencial para todo o intervalo de tempo.

b) Conveno Exponencial: A conveno exponencial adota a capitalizao composta tanto para a parte inteira como para a fracionria.

Esta conveno mais generalizadamente usada na prtica, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os perodos no inteiros. A expresso bsica de clculo a seguinte:

Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, calcula-se o montante:

Soluo:

M = 100.000,00 x (1,18)4 + 0,75

M = 100.000,00 x (1,18)4,75 = $ 219.502,50

O procedimento o mesmo ao se determinar a taxa equivalente mensal de 18% ao ano e capitaliz-la para os 57 meses (4 anos e 9 meses):

i = 18% a.a.

= 1,388843% a.m.

M = 100.000,00 x (1 + 0,01388843)57 = $ 219.502,50

Observe que existe uma diferena entre os montantes apurados:

M (Conv. Linear)

= $ 220.051,30

M (Conv. Exponencial)

= $ 219.502,50

Diferena:

$ 548,80

EXERCCIOS

1. Um capital no valor de $ 5.000,00 foi aplicado por 3 meses e 15 dias a taxa de 4% a.m. no regime de capitalizao composta com conveno linear. Estime qual ser o valor de resgate desta aplicao.

R:M = $ 5.736,81

2. O valor de $ 68.000,00 foi resgatado aps ter sido aplicado por 2 meses e 3 dias a uma taxa de 8% a.m., no regime de capitalizao composta com conveno linear. Determine qual foi o capital aplicado.

R:M = $ 57.836,35

3. Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses taxa de 18% a.a. Determinar o valor da aplicao sabendo-se que o montante produzido ao final do perodo atinge $ 24.800,00. Resolver o problema utilizando as convenes linear e exponencial.

R:Conveno Linear:

C = $ 16.586,35

Conveno Exponencial:

C = $ 16.624,05

5.4. PERODO DE CAPITALIZAO DIFERENTE DO PERODO DA TAXA

Taxa Nominal e Efetiva: A taxa efetiva de juros a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente atravs dos perodos de capitalizao. Ou seja, taxa efetiva o processo de formao dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos perodos de capitalizao. obtida pela seguinte expresso:

Taxa Efetiva (if) = (1 + i)q 1

onde q representa o nmero de perodos de capitalizao dos juros.

Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao ms determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, os seja:

if = (1 + 0,038)12 1 = 0,56447 ou 56,45% a.a.

Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de juros nominal, geralmente admitido que o prazo dos juros (ou seja, perodo de formao e incorporao dos juros ao principal) no o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos no so coincidentes. O prazo de capitalizao de um ms e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses).

Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um perodo inteiro, a qual deve ser atribuda ao perodo de capitalizao.

Quando se trata de taxa nominal comum admitir-se que a capitalizao ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por perodo de capitalizao de 36% /12 = 3% ao ms (taxa proporcional ou linear).

Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior quela declarada para a operao. Assim:

Taxa nominal da operao para o perodo

=36% ao ano

Taxa proporcional simples

(taxa definida para o perodo de capitalizao)=3% ao ms

Taxa efetiva de juros:

ao ano

Para que 36% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formao mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja:

Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se aos 36% ao ano:

Exemplo: O custo efetivo de 4,2% ao ms cobrado por um banco, pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao ms para o mesmo perodo, ou seja:

= 0,137234% ao dia

x 30

4,12% ao ms

A taxa de 4,12% a.m. nominal (linear) e equivalente a efetiva de 4,2% a.m.

EXERCCIOS

1. Um emprstimo no valor de $ 11.000,00 efetuado pelo prazo de um ano taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do emprstimo.

R.M = $ 14.965,40

if = 36% a.a.

2. A caderneta de poupana paga juros anuais de 6% com capitalizao mensal base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicao financeira.

R.if = 6,17% a.a.

3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituio, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o perodo de capitalizao dos juros seja:

a) mensal;

R:if = 26,82% a.a.b) trimestral;

R:if = 26,25% a.a.c) semestral.

R:if = 25,44% a.a.4. Uma aplicao financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um ms o prazo da aplicao, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como:

a) Taxa Efetiva

R:iq = 2,97% a.m.b) Taxa Nominal

R:i = 3,5% a.m.if = 51,1% a.a.5.5. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL A JUROS COMPOSTOS

No clculo de juros compostos, o valor (1 + i)n o fator de capitalizao (ou de valor futuro), FCC (i, n) a juros compostos, e 1/(1 + i)n o fator de atualizao (ou de valor presente) FAC (i, n) a juros compostos.

A movimentao de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicao destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustrao a seguir:

No estudo de juros compostos, o valor presente (capital) no se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Na verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior do valor futuro (montante).

Exemplo: Pode-se desejar calcular quanto ser pago por um emprstimo de $ 20.000,00 vencvel de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor est disposto a atualizar a dvida taxa composta de 2,5% a.m.

O problema envolve basicamente o clculo do valor presente, ou seja, um valor atualizado a uma data anterior do montante (ms 9)

= $ 17.677,10

Graficamente:

As expresses de clculos de C e M permitem capitalizaes e atualizaes envolvendo diversos valores e no somente um nico capital ou montante.

Exemplo: Admita um emprstimo que envolve os seguintes pagamentos: $ 15.000,00 de hoje a 2 meses; $ 40.000,00 de hoje a 5 meses; $ 50.000,00 de hoje a 6 meses e $ 70.000,00 de hoje a 8 meses. O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) destes fluxos de pagamento, pois est negociando com o banco a liquidao imediata de toda a sua dvida. A taxa de juros considerada nesta antecipao de 3% ao ms.

Soluo: Representao grfica da dvida:

Utilizando-se a frmula de valor presente:

C = 14.138,94 + 34.504,35 + 41.874,21 + 55.258,65

C = $ 145.776,15

EXERCCIOS

1. Determinar o montante de uma aplicao de $ 22.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas:

a) i = 2,2% a.m.;

n = 7 meses

R:M = 25.619,99

b) i = 12% a.t.;

n = 1 ano e meio

R:M = 43.424,10

c) i = 20% a.s.;

n = 4 anos

R:M = 94.595,97

d) i = 9% a.a.;

n = 216 meses

R:M = 103.776,65

2. Calcular o juro de uma aplicao de $ 300.000,00 nas seguintes condies de prazo e taxa:

a) i = 2,5% a.m.;

n = 1 semestre

R:J = 47.908,03

b) i = 10% a.a.;

n = 120 meses

R:J = 478.122,743. Um banco lana um ttulo pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de $ 58.000,00 daqui a 3 anos, quanto dever aplicar neste ttulo?

R:C = 28.824,22

4. Um banco publica em suas agncias o seguinte anncio: aplique $ 1.000,00 hoje e receba $ 1.180,00 ao final de 6 meses. Determinar a efetiva taxa mensal, semestral e anual de juros oferecida por esta aplicao.

R:i = 2,25% a.m.i = 18,0% a.s.

i = 39,24% a.a.6. SRIES DE CAPITAIS6.1. CONCEITO

De modo geral, uma srie ou uma anuidade corresponde a toda e qualquer seqncia de entradas ou sadas de caixa com os seguintes objetivos: (1) amortizao de uma dvida ou (2) capitalizao de um montante. As sries podem ser classificadas de diferentes formas:

Quanto ao no de prestaes:Finitas: quando ocorrem durante um perodo predeterminado de tempo.

Infinitas: ou perpetuidades, quando ocorrem quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente.

Quanto periodicidade dos pagamentos:Peridicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem a intervalos constantes.

No peridicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo.

Quanto ao valor das prestaes:Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos so iguais.

No uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.

Quanto ao prazo dos pagamentos:Postecipadas: quando os pagamentos ou recebimentos iniciam aps o final do primeiro perodo.

Antecipadas: quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre na entrada, do incio da srie.

Quanto ao primeiro pagamento:Diferidas ou com carncia: quando houver um prazo maior que um perodo entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestao.

No diferidas: quando no existir prazo superior a um perodo entre o incio da operao e o primeiro pagamento ou recebimento.

6.2. SRIE BSICA

As sries uniformes apresentam prestaes iguais, isto , considerando a srie de capitais y1, y2, y3, ..., yn, respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n, dizemos que esse conjunto constitui uma srie uniforme se

y1 = y2 = y3 = ... = yn = PMT

isto , se todos os capitais so iguais. Indicando esse capital por PMT, a representao grfica da srie uniforme a seguinte:

6.3. VALOR ATUAL DA SRIE BSICA

O valor presente (capital) de uma srie uniforme, para uma taxa peridica de juros, determinado pelo somatrio dos valores presentes de cada um dos seus valores. Logo:

Simplificaes podem ser feitas se notarmos que a expresso entre colchetes a soma dos termos de uma progresso geomtrica (PG) cujo 1o termo a1 = e cuja razo q = .

A soma dos n primeiros termos de uma PG dada por:

Logo a expresso do valor atual fica:

= =

e, finalmente,

C = PMT .

A expresso entre colchetes denominada fator de valor presente e pode ser indicado pelo smbolo:

a (l-se: a, n, cantoneira i, encontrado em tabelas financeiras).

Exemplos:

1. Um eletrodomstico vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de $ 550,00, vencendo o primeiro um ms aps a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preo a vista?

Soluo:

n = 4

i = 5% a.m.

PMT = 550

Assim:

C = 550 .

C = 1.950,27

2. Uma geladeira possui preo a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais sem entrada. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja igual a 5% a.m., calcule o valor da prestao a ser cobrada pela loja.

Soluo:

=

PMT = 293,77

6.4. MONTANTE DA SRIE BSICA

Chamamos de montante da srie, na data n, a soma dos montantes de cada capital PMT, aplicado desde a data considerada at a data n.

Assim, indicando por M o montante, teremos:

M = PMT (1 + i)n 1 + PMT (1 + i)n 2 + PMT (1 + i)n 3 + + PMT M = PMT [(1 + i) n 1 + (1 + i) n 2 + ... + (1 + i) + 1]

O segundo membro dessa expresso a soma dos termos de uma PG finita, em que:

a1 = PMT (1 + I)n 1 e cuja razo q =

Lembrando a frmula da soma da PG finita:

resulta no caso de nossa expresso:

M = PMT

A expresso entre colchetes denominada fator de acumulao e pode ser indicado pelo smbolo:

s (l-se: s, n, cantoneira i, encontrado em tabelas financeiras).

Exemplo: Um investidor aplica mensalmente $ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicaes taxa de juros compostos de 2% a.m. Se o investidor fizer 7 aplicaes, qual o montante no instante do ltimo depsito

Soluo:

PMT = 2.000 i = 2% a.m.

n = 7

Assim:

M = 2000 = 2000 . 7,434283

M = $ 14.868,57

- Sries com Carncia: Se a srie tiver carncia de m + 1 perodos, a frmula genrica para sries uniformes torna-se igual a:

Onde:m + 1 = carncia at o primeiro pagamento

Exemplos1. Um congelador no valor de $ 950,00 a vista vendido em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada. Sendo a taxa de juros de 3,7909% a.m., qual o valor de cada prestao?

Soluo:Sries Postecipada ( m + 1 = 1 ( m = 0

PMT =

PMT = 100,00

2. Uma loja de decoraes anuncia a venda de um objeto de arte por $ 600,00 a vista ou em uma entrada mais oito parcelas todas iguais, cobrando uma taxa de juros de 4,8598% a.m. Qual o valor de cada prestao?

Soluo:Srie Antecipada ( m + 1 = 0 ( m = 1

PMT =

PMT = 80,00

EXERCCIOS

1. Um emprstimo de $ 50.000,00 realizado taxa de 4,8% a.m. para ser liquidado em seis prestaes mensais, iguais e sucessivas. Qual o valor da prestao?

R:PMT = $ 9.787,96

2. Quanto preciso aplicar mensalmente, num total de 48 prestaes, numa poupana, para que possa resgatar $ 52.800,00 no final do perodo, taxa de 4% a.m., comeando a aplicao agora?

R:PMT = $ 364,56

3. Um veculo novo est sendo vendido por $ 4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 5,5% a.m., determinar at que preo interessa comprar o veculo a vista.

R:C = $ 18.986,59

4. Calcular o montante acumulado ao final do 7o ms de uma seqncia de 7 depsitos mensais e sucessivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupana que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.

R:M = $ 5.965,41

5. Uma betoneira, cujo valor a vista de $ 30.000,00 ser financiada em 20 prestaes mensais e sucessivas, alm de uma entrada de $ 7.500,00 por ocasio da compra. Determine o valor das 20 prestaes mensais, sabendo que o financiamento ser realizado a juros compostos de 1,25% a.m., considerando que a 1a prestao vencer:

a) 30 dias aps a data da compra;

R:PMT = 1.278,46b) no ato da compra.

R:PMT = 1262,686. Um eletrodomstico vendido a vista por $ 8.000,00, ou em 4 pagamentos mensais de $ 2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses aps a compra. Qual deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 4% a.m.?

R:Entrada = $ 1.000,00BIBLIOGRAFIABRUNI, Adriano Leal e FAM, Rubens. Matemtica Financeira com HP 12C. So Paulo, ed Atlas, 2002.

HAZZAN, Samuel e POMPEO, Jos Nicolau. Matemtica Financeira. Ed. Saraiva, 5a Ed., So Paulo, 2004.

NETO, Alexandre Assaf. Matemtica Financeira e Suas Aplicaes. So Paulo, ed. Atlas, 2002.

PAGE

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550

3

2

1

0

4

550

550

550

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C

M

C

M

M = C x FCC (i, n)

C = M x FAC (i, n)

n (escala de tempo)

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2000

3

2

1

0

7

2000

2000

2000

4

5

6

2000

2000

2000

M

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PMT

3

2

1

0

PMT

PMT

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PMT

3...

2

1

0

n

PMT

PMT

PMT

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Valor Presente

Carncia

n = nmero de pagamentos iguais

Prestaes ou pagamentos

0

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VF

DF = $ 2.500,00

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N

Liberao dos recursos

$ 50.000,00

Valor de resgate

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VF = $ 24.436,10

t - 2

t (meses)

N = $ 26.000,00

n = 2 meses

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0

VF

9

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N = $ 4.000,00

d = 42% a.a.

3,5% a.m.

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0

Vr

9

12 (meses)

N = $ 4.000,00

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3,5% a.m.

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Ct

Cn

t

n

Ct = Cn . 1/(1 + i . n)

Ct = Cn . (1 + i . n)

FCS

FAS

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12

meses

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n

n

Valor Presente (C)

Valor Presente (C)

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+

juros

Valor Presente

+

juros

Valor Futuro (M)

Perodo de capitalizao

Perodo de capitalizao

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n = 6 meses

Valor Presente (C)

Valor Futuro (M)

M = - $ 340,00

C = + $ 300,00

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C

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14

M = $ 20.000,00

9

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Antecipao

n (meses)

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