apost matematica solução e gabarito 001

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  • 1. ApresentaoCaros professores orientadores e alunos doEstgio 2a edio da OBMEP Este um nmero especial da Revista do Professor deMatemtica RPM, elaborado para utilizao no Estgio 2aedio da OBMEP, a ser realizado a partir do primeiro semestrede 2007. A RPM, como seu nome diz, uma revista dedicada aosprofessores de Matemtica da educao bsica, a alunos eprofessores de cursos de licenciatura em Matemtica e a todosaqueles que se interessam pela Matemtica do nvel mdio. Otratamento dado aos temas abordados procura ser acessvel eagradvel, sem sacrificar o rigor. A revista uma publicao daSociedade Brasileira de Matemtica SBM e tem sido editada edistribuda sem interrupes desde 1982. A revista publica crnicas, artigos e sees, comoProblemas, O leitor pergunta, Livros, Olhando mais de cima,etc. Nos artigos, temas interessantes de nvel elementar ouavanado so apresentados de modo acessvel ao professor e aoaluno do ensino mdio ou de cursos de Licenciatura emMatemtica. Uma experincia interessante em sala de aula, umproblema que suscita uma questo pouco conhecida, uma histriaque merea ser contada ou at uma nova abordagem de um assuntoconhecido podem compor um artigo da revista. Nas sees, arevista conversa com os leitores, publicando problemas e/ousolues propostas por eles, cartas, resenhas de livros, errosencontrados em textos didticos, etc., sempre visando aoaperfeioamento do trabalho do professor na sua sala de aula. i
  • 2. Para este exemplar especial, o Comit Editorial da RPM escolheu artigos que pretendem ampliar o conhecimento dos alunos em diferentes tpicos, bem como temas que motivem discusses ou satisfaam a curiosidade terica e histrica de alunos interessados em Matemtica. Por exemplo, as cnicas so tratadas de modo prtico no texto Sorrisos, sussurros, antenas e telescpios; a intuio desafiada em diferentes situaes no texto Quando a intuio falha; a anlise combinatria utilizada para discutir a funcionalidade da brincadeira Amigo oculto (ou secreto), etc. Apresentamos tambm uma seleo de 30 problemas, cuidadosamente escolhidos entre os publicados na seo Problemas, que abrangem a maioria dos tpicos do ensino mdio. As solues dos problemas propostos esto no fim da revista. Para o ensino fundamental, e tambm para o ensino mdio, selecionamos 30 ...probleminhas, parte integrante da seo Problemas dos nmeros usuais da revista. Os probleminhas so caracterizados por exigir muito pouco conhecimento de contedo especfico, apenas raciocnio lgico-dedutivo e domnio de operaes elementares. a parte ldica, permitindo que professores e alunos se divirtam, resolvendo problemas desafiadores, e se sintam realizados ao obter as solues. As respostas dos probleminhas tambm esto no final da revista. Os artigos aqui apresentados no esto com as referncias bibliogrficas, que podem ser encontradas nos exemplares originais da RPM. Comit Editorial da RPMii
  • 3. ContedoComo escolher namorada pelo horrio dos trens ................ 1Quando a intuio falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Eleies preferncia transitiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A divisibilidade e o dgito verificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11O tamanho da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Problema das idades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A ilha dos sapatos gratuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fraes egpcias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27As dzimas peridicas e a calculadora ....................... 30Mania de Pitgoras ................................... 34Usando reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Trigonometria e um antigo problema de otimizao ............ 45Vale para 1, para 2, para 3, ... Vale sempre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Semelhanas, pizzas e chopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Sorrisos, sussurros, antenas e telescpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A Matemtica do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65O problema do amigo oculto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72O princpio da casa dos pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Probabilidade geomtrica: os problemas dos ladrilhos, do encontro e do macarro . . . . . . . . 83Alguns problemas clssicos sobre grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95O que tem mais: racionais ou naturais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Solues dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Respostas dos ...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 iii
  • 4. iv
  • 5. Como escolher namorada pelo horrio dos trens Joo amava Lcia, que amava Joo. S que Joo, almde amar Lcia, tambm amava Letcia e tentava namoraras duas ao mesmo tempo. Durante a semana, at quedava, mas quando chegava o sbado noite era terrvel.As duas queriam Joo e este no possua o dom dapresena ao mesmo tempo em dois lugares. Assim,alternadamente, ou Lcia ou Letcia ficava sem sair comJoo, nos embalos de sbado noite. Honesto, Joo decidiuinformar Lcia sobre a existncia de Letcia e Letciasobre Lcia. Com choros e lamrias de todos os lados,Joo continuou dividido, sem saber quem escolher. Joo usava como meio de transporte os trensmetropolitanos. Para visitar Lcia, Joo pegava trens queiam no sentido da direita e para visitar Letcia pegava trensque iam para a esquerda. Quanto a horrios no haviadvidas: trens para cada lado de meia em meia hora. Mascomo escolher entre Lcia e Letcia? Letcia, que era professora de Matemtica, props aJoo um critrio justo, equnime, salomnico para escolherentre as duas namoradas. A proposta foi: Joo iria para aestao de trens sem nenhuma deciso. Ao chegar pegariao primeiro trem que passasse, fosse para a direita, fossepara a esquerda. Proposta aceita, Joo comeou a usaresse critrio aparentemente justo e aleatrio. Depois deusar o critrio por cerca de trs meses, descobriu quevisitara Letcia muito mais que Lcia, e, se a sorte quis 1
  • 6. assim, ficou com Letcia e com ela se casou sem nunca haver entendido por que a sorte a privilegiara tanto. S nas bodas de prata do seu casamento que Letcia contou a Joo a razo de o trem a ter escolhido muito mais vezes que a concorrente. Letcia estudara os horrios dos trens e verificara que os horrios eram: Trens para a esquerda (Letcia): 8h00; 8h30; 9h00; 9h30; ... Trens para a direita (Lcia): 8h05; 8h35; 9h05; 9h35; ... Ou seja, considerando, por exemplo, o intervalo de tempo, 8h00 8h30, o horrio H de chegada na estao, que faria Joo tomar o trem para a direita, deveria ser tal que 8h00 < H < 8h05. Se 8h05 < H < 8h30, Joo pegaria o trem para a esquerda. A situao se repete em qualquer outro intervalo de 30 minutos: 25 minutos so favorveis ao trem da esquerda e 5 minutos ao da direita. Na guerra como no amor tudo vale..., at usar Matemtica. Baseado no artigo Como escolher namorada pelos horrios do trem do subrbio Manoel Henrique Campos Botelho, RPM 142
  • 7. Quando a intuio falhaProblema 1 Suponhamos que seja possvel colocar uma cordacircundando a Terra, ajustando-a ao equador. Em seguida,retiramos essa corda, aumentamos 1 m no seucomprimento e a recolocamos em volta da Terra, formandouma circunferncia concntrica com o equador. Sabendoque o raio da Terra aproximadamente igual a6 355 000 m, teramos substitudo uma corda deaproximadamente 2 x 3,14 x 6 355 000 m = 39 909 400 mpor uma de 39 909 401 m. Assim, teremos um vo entreo equador e a corda, ou melhor, uma diferena d entre osraios das duas circunferncias